tAREA DE ÁLGEBRA UNO
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ESCUELA DE BACHILLERES, SALVADOR ALLENDE
TAREA DE ÁLGEBRA UNO
2012
DATOS GENERALES
Semestre:
Asignatura:
Tipo:
Primero
Matemáticas I: Álgebra
Curso – Taller
Horas por semestre:
Horas por semana:
Créditos:
80 horas
5 horas
8 (ocho)
Horas teoría/sem: 3
Horas práctica/sem: 1
Horas de lab/sem: 1
PROPÓSITO GENERAL
El Álgebra en el bachillerato debe proporcionar el lenguaje necesario para que el estudiante pueda interpretar y utilizar conceptos y
modelos matemáticos, de hecho, el álgebra es una poderosa herramienta que es indispensable en el estudiante para continuar con
cursos posteriores de matemáticas a lo largo de su vida para desarrollarse en su entorno social, recordando que nuestro bachillerato es
único y propedéutico.
CONTENIDO PROGRAMÁTICO POR UNIDAD
Unidad I. Historia de la matemática
o
Historia de la matemática.
Unidad II. El campo ordenado de los números reales
o
o
o
o
o
Conjuntos y subconjuntos (unión, intersección y complementos).
Conjuntos numéricos (N, Z, Q, I, R).
Operaciones con números (suma, resta, producto y cociente).
Postulados de campo de los números reales.
Orden y distancia.
Unidad III. Introducción al álgebra
o
o
o
o
o
o
o
Terminología y nomenclatura Algebraica.
Valor numérico de expresiones algebraicas.
Exponentes enteros positivos y sus leyes.
Suma, resta, multiplicación y división de polinomios.
Productos notables.
Factorización.
Reducción de fracciones algebraicas simples y complejas.
Unidad IV. Ecuaciones de primer grado con una incógnita
o
o
o
o
Propiedades de la igualdad.
Resolución de ecuaciones de primer grado.
Problemas que involucren ecuaciones de primer grado.
Despejes de fórmulas
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Historia de la matemática (3 horas)
En el primer día de clases se presentará el docente, el curso y las formas de trabajo y de evaluación durante el mismo, se
intercambiarán ideas sobre lo que se espera de este semestre. En un segundo momento se solicitará al estudiante que para el día de
mañana consiga información sobre la evolución que ha tenido la matemática a lo largo de los años, en particular sobre ela aritmética y
el álgebra, se tiene que hablar al menos de tres culturas distintas que hayan trabajado en estas áreas de la matemática, la información
debe ser obtenida por medio de libros, principalmente y de medios electrónicos. Uno de los productos finales será la elaboración de
un texto llamado “La historia de el álgebra y la aritmética” para esto se sugerirá al alumno:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
reúna información histórica de diversos medios, libros, revistas, internet, etc.
hagan equipos de a lo más cinco personas para trabajar en equipos cooperativos.
ordenen la información de acuerdo a los bloques históricos y de las palabras clave,
ubiquen a los personajes principales dentro de cada bloque además de tener información de su vida.
después de seleccionar la información utilicen señalizaciones en el texto, hagan resúmenes, mapas, etc.
Ordenar la información para elaborar su texto y además para la creación del “árbol genealógico” o “línea de tiempo” de estos
temas.
Después los equipos presentaran al grupo su árbol genealógico o su línea de tiempo con una duración de a lo más cinco minutos en
esta presentación deben incluir una nota curiosa sobre los matemáticos de la época y al final de las presentaciones se hará una
cosmovisión general del tema. Se recomienda que el trabajo de organización de información se haga en una hora de clase y las dos
restantes sean para presentar el tema.
Unidad II. El campo de los números ordenados (20 horas)
Conjuntos (2 horas)
1. Relaciones las columnas correctamente si se tiene que:
U = x | x es un digito
A = x U | 0 < x < 6
B = x U | 0 < x < 9 y x es par
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
AB
AC
AB
BC
AC
BC
A–B
B–C
CC
A–C
B–A
C–B
C–A
( A B) C
( A c) B
( A B) C
A C
BC
C = x U | 7 x 9
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
6, 8
8
7, 9
7, 8 , 9
1 , 2, 3, 4 , 5, 6, 8
1, 3, 5
1, 2 , 3, 4, 5
2, 4, 6, 8
0, 6, 7, 8, 9
1, 3, 5, 7, 9
0, 1, 3, 5, 7, 9
0, 1, 2, 3, 4 , 5, 6
2, 4
2, 4, 6, 7, 8, 9
2, 4, 6
1, 3, 5, 7
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9
1, 2, 3, 4, 5, 7,8, 9
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Elabore un mapa conceptual de los números reales y sus subconjuntos.
Clasificación de los números (1 hora)
En la siguiente tabla marque con una palomita a que conjunto pertenece cada uno de los números, en los últimos renglones escriba
cinco números cualesquiera y clasifíquelos.
Número
-2/5
0
3 + 5i
2
–5
10/2
7.345
1.3333…
/5
N
Z
Q
I
R
C
7
Orden (30 minutos)
1. Enuncia la propiedad de tricotomía de los números reales
2. Ordena de menor a mayor los siguientes números enteros.
a) -4; -10; 0; 5; -120; 403
b) 6; 4; 12; -9; 0; 8; -20
c) 12,075 ; 12,068 ; 12,9 ; 12,098 ; 12,009 ; 11,99 ; 12,1974 ; 13,01
d) 2/3, 4/5, 20/30, 1/2, 3/4, 1
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Conversión de decimales a fracciones y viceversa (1 hora)
1.
Cambia los números racionales a decimales mediante una división.
1) 7/8
2) 9/3
3) 7/10
4) -11/3
5) 5/4
6) 8/9
7) -103/11
8) 221/14
2.
Escribe en forma de fracción las expresiones siguientes, utiliza los espacios en blanco para justificar tus respuestas:
1) 2.0
2) 8,421
3) 2,23
4) 0,75
5) 0, 24
6) 0,0053
7) 1,36
8) 1, 3
9) 2,05
10)
1,63
11)
0.123123…
12)
3.216929292..
Números Reales y la Recta Real (20 minutos)
Aproxima en la recta numérica los siguientes elementos de Q: a) 0.25, b) 1.3, c) 12/3, d) 6.5, e) -20/4, f) -10/10.
Identifique los números marcados en la recta numérica
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Propiedades de campo (2 horas)
1) Relaciona las siguientes columnas.
a)
(6x3)2=6(3x2)
b)
2(3+8) =( 2x3)+(2x8)
c)
7+0=7
d)
9+3 = 3+9
e)
6x1=6
1
f)
4 1
4
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
Axioma de distributividad
Axioma de asociatividad
Axioma de conmutatividad
Axioma de existencia del inverso o recíproco
Axioma de elemento neutro aditivo
Axioma de identidad para el producto
2) Frente a cada expresión escribe la propiedad de los números reales por la cual la proporción indicada es verdadera:
a)
b)
c)
d)
6+9 =9+6
9+0=9
6+ (5+3)=(6+5)+3
16 (0) = 0
e)
1
8 1
8
3) Escribe el recíproco de
-96,
-9,
4) Escribe el inverso aditivo de
-96,
-9,
10
10
5) Siendo a, b y c números reales, con b≠0≠c, señala como falso o verdadero, las siguientes proposiciones. En caso de ser
falso menciona porqué con un ejemplo.
1.- a( b + c ) = ab + c
2.-
ab a b
c
c c
a
c a
b
b
c
4.- 1 1 1
bc b c
3.-
6) Diga si los enteros forma un campo ordenado, justifique.
7) Mencione tres subconjuntos de los reales que no forman un campo ordenado. Justifique.
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Operaciones básicas – Jerarquía de las operaciones (12 horas)
I. Sin utilizar calculadora resuelva las siguientes operaciones con números enteros:
1)
5 (5)
2)
8 (3)
3)
6 5
4)
8 (4)
5)
4 (3 6)
6)
6 (4 8)
7)
12 (5 3)
8)
4 (3) (6 4)
9)
3 (5) 8 (3)
10)
6 (5 8) (3)
11)
5 (3 2) 5
12)
(3) (3) (3)
13)
(3) (3) (3) (3)
14)
(3) (3) (3) (3)
15)
12 : (2)
16)
3 (5) (4 3)
17)
(6) : (2) 5
18)
5(3 1) : 2 6
20) (4 3) (5 2) (7 3)
21) 3 4 (3 6) (8 5)
22) 3 (8 6) (5 4)
23) (8 4) 3 (4 6) 2
24) (7 8) (4 3) 2
25) (5 4) (2 4) (14 6) (7 8)
26) (8 3) (6 3) (12 4)
27) 2 (5) (7 3 12) 2
28) 2 5 6 : 2 4 3
29) 13 5 8 3 2 14 (2 3)
30) 5 14 2 3 11 5 15 2 14 : 7
19)
7 2 (8 3) (5 2)
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II. Los ejercicios de esta sección corresponde al cuadernillo de aritmética 2012. Está en la página del curso de
verano.
III. Resuelve los siguientes ejercicios sin utilizar calculadora.
1. De una pieza de tela de 60 metros. un comerciante vende 2/5 de ella y después ¾ del resto. ¿Cuántos metros de tela
le quedan?
2. Un padre deja al mayor de sus hijos ¼ de su fortuna, al segundo 2/5 y al tercero $140,000.00 que restan. Calcula el
monto total de la herencia.
3. José Luís gana $ 12,000.00 mensuales. Si el monto de sus gastos mensuales es de 4/5 de su salario. ¿cuánto ahorra
en un año?
4. El costo unitario de una cerradura es de $ 60.00 .Si se desea que la ganancia sea de 2/5 de su precio de compra. ¿Cuál
debe ser su precio de venta?
5. En una finca de 500 hectáreas se cultivan 3/20, se alquilan 1/10 y el resto se piensa vender a $ 5000.00 la hectárea.
Determina el resultado de la venta.
6. Un vestido cuesta $ 5 430 más el 15% de IVA. Determina el costo del vestido.
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7. En un grupo de 1500 alumnos, reprobó el 12%, determina el número de alumnos que aprobaron.
8. Calcula el sueldo de un empleado si después de descontarle el 14% de su sueldo por impuestos recibe $3 680.00.
9. Un alumno tiene 80 en el primer parcial, 92 en el segundo parcial, 75 en el tercer parcial, 45 en el examen final. Para
determinar la calificación definitiva se considera el promedio de los parciales como un 60% y el examen final como
un 40%, ¿cuál es la calificación del alumno?
10. Un cliente en un banco retira el 25% de sus ahorros, recibe $25,500.00, determina su saldo anterior.
11. Un estacionamiento cobra $6.00 por la primera hora y $1.00 por cada 15 minutos o fracción adicionales. ¿Cuánto
tiempo estuve en el estacionamiento si me cobraron $12.00?
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Unidad III: Introducción al álgebra (37 horas)
Lenguaje algebraico
I. Transformar en enunciados verbales las siguientes expresiones algebraicas:
1.
ab
2
2.
ab
2
3.
ab
2
4.
a
;b 0
b
5.
2n 1
6.
n 5n 5
7.
n 102
8.
n 13
9.
4n 8
10. 5n n 6
2
11. 3n 2 5
2
12.
x2 1
1
x3
13.
2n 1
, n 3
n3
14. 5x 1 9
15. x 5 12
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16.
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x
26
5
17. a ba b
18. x x 2 x 4 1202
19. 3x 2 x 5 x 4
20. x 7 x 12 0
2
21. 3n n 2
2
22.
x 8
2x 2 x 3
5
a2 b2
23.
24.
3a
2
25. a b
2
26.
3
27.
abc
3
abc
28. a ba b
29. a b
2
II. Transformar en expresiones algebraicas los siguientes enunciados verbales:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
El doble de un número más su cubo
El cuadrado de un número entre el triple de otro
El cubo de la mitad de la diferencia de dos números
El triple del cuadrado de un número más el doble del mismo
La raíz cuadrada del producto de dos números
El producto de dos números consecutivos
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g)
h)
i)
j)
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La suma de dos números
La semisuma de dos números
La tercera parte de un número
La suma de dos números por su diferencia
III. Relaciona las columnas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
El doble de un número, menos el cubo de otro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . … . .
La suma de dos números cualesquiera. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El triple de la diferencia de dos números cualesquiera. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El cuadrado de un número, menos el cubo del mismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El triple del cuadrado de un número cualquiera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El doble de un número aumentado en seis unidades, es igual a veinte. . . . . . .
El triple del producto de dos números cualesquiera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
El cociente de dos números cualesquiera, disminuido en dos unidades. . . . . .
El cubo de la suma de dos números. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dos números consecutivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
a) a a
2
3
2
b) 3a
c) x+ y
d) 2a b
e) 2a+6=20
3
d) 3(m - n)
g) 3xy
a
2
b
3
i) a b
h)
j)x, x+1
k) 2 a-b3 =20
IV. Expresa los siguientes enunciados en lenguaje algebraico:
1. Un número.
3. El cuadrado de un número.
5. Dos tercios de un número.
2. El doble de un número.
4. La mitad de un número.
6. El cubo de un número.
7. El doble de la suma de dos números.
8. El cuadrado de la resta de dos números.
9. El cubo de la resta de dos números.
10. El triple de la suma de dos números.
11. La mitad del producto de dos números.
12. La suma de 8 y un número . n
13. La suma de 12 y el doble de es 4. n
14. El producto de un número x y 10 es disminuido por 35.
15. Seis menos que el número es . n1−
16. Un número es 8 unidades menor que otro.
17. Un tercio del producto de dos números.
18. Seis menos que cuatro veces el número . n
19. La razón de x a 3.
21. El número es cuadriplicado y el producto es aumentado
por 10
20. Siete quintos del número . n
23. La suma de 10 y un cuarto del cubo de x es 10.
24. 8 veces la razón de 3 a 5.
22. La división de un número x entre seis.
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Evaluación de expresiones algebraicas
EL PESO IDEAL En algunos países se tiene la siguiente formula para calcular el peso ideal: “ Se mide la altura de la
persona, la altura se escribe en centímetros, a esa cantidad se le resta 100. Este resultado es el peso ideal de la persona”
a) ¿Cuál sería tu peso según esta formula?
b) ¿Cuál es la diferencia entre tu peso ideal y tu peso real?
c) Si tu sabes que la mamá de una amiga pesa 75 Kg. y mide 1.54 metros ¿Qué piensas de su peso? Coméntalo.
d) Averigua cómo se calcula el peso ideal en México.
Actividad grupal (en clase)
Indicaciones generales: Dividir al grupo en equipo de cinco personas. Cada equipo debe contar con tres dados de
distintos colores (se les debe de pedir en la clase anterior)
a) Cada uno de los dos dados, recibirá un nombre, uno se llamara “signo”, otro “X”, y el otro “Y”,
b) el primer dado al lanzarse dará el signo de cada uno de los valores de x o de y, si es par será positivo, si es impar será
negativo
c) dependiendo de los valores que se vayan obteniendo al lanzar los dados, iras reemplazando en cada una de las
expresiones o términos algebraicos.
d) Cada alumno del equipo lanzara los tres dados por lo menos una vez, después cada alumno realizará sus operaciones
en su cuaderno y al terminar compararán con sus compañeros sus resultados.
e) El equipo ganador obtendrá un punto en el parcial. (hay que entregar las operaciones en su cuaderno)
Cara del dado X
Expresión o término
y
3
2
4
x
6
y
2
Cara del dado Y
(incluyendo signo) (incluyendo signo)
Termino o expresión
evaluada
x
2
y
x
y
x
4
3 x y
y
2
2 x 6 x
3
4
5 2y
x y2
4 3 y
x 2 3
x2 y2 2 x y
2x 3y
x y
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Exponentes enteros positivos y sus leyes
I. Para cada uno de los siguientes términos algebraicos, determina su signo, coeficiente numérico, factor literal y grado:
Ejercicio
– 5,9ª2b3c
Signo
menos
C. numérico
5,9
F. literal
a2b3c
Grado
2+3+1=6
3 4 5
hk
3
abc
xy 2
4
– 8ª4c2d3
3
a
4
1
abr 3
4
2 5
3h k
3
-8b3c2d3
xy 2
2
II. Determina el grado y clasifica según el número de términos. Recuerda que todos son polinomios
Expresión algebraica
2x – 5y3
Grado de la expresión
1; 3 = 3
Número de términos
2: binomio
x2 y3
4
a – b + c – 2d
M2 + mn + n2
x + y2 + z3 – xy2z3
7x2y + xy
abc
2
b 2 c 3 h4
4
½
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III. Calcula el valor de cada potencia, utiliza las leyes de los exponentes y no uses calculadora.
1
a)
4
2
2
d)
3
g)
h)
2
2
c)
3
3
3
f)
2
1
b)
4
3
1
e)
5
( 3 2 )2 ·( 2 3 )2 · 3· 2 2 · 37
( 2· 3 2 )5 ·( 35 · 2 2 )2 · 27 · 3 3
7 · 35 · 2 4 · 3 2 ·7 2 ·7
( 7 · 3 )4 · 2 3 · 3 2 ·5· 2 2
i)
j)
2·5 2 · 3· 2 3 ·5 2 · 2 3
( 3·5 ) 4 ·5· 2 4
4·16 2 ·4 4 · 3 2 ·4 5
3·4 8 ·4·4 3 · 3 3
3
5
IV. Simplifica los siguientes ejercicios utilizando las leyes de los exponentes.
a.
a6 a 3
b.
a5 a
d.
bbx
e.
23 22
g.
3a 4 a
j.
2 p 3 2
m.
m m
x
h.
3mn
2 4
3 a 1
3
n.
a2x
a3
a x y a 2 x3 y
f.
p5 6
i.
3 x 2
x
1 6
3 5
k.
3 a 1
c.
l.
3
2
3 2
3
x
5
x
pn 1 pn 2
3
o.
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1.
x 2 x 3 x6
2.
nk 3 n4 k
3.
m6 c : mc 6
4.
3a 2 : 6 a 3
5.
x 2n 1 : x n 1
6.
a m bm
7.
k3 k4
2
8.
( 2a )4 x ( 3b )4 x
9.
27 p1 9 3 p 2
2 x3 : 128 x1 5 x11
10. 64
125 a 4 b 6 c 2
13.
50 a 3 b 2 c
32 x 4 y 3
p 2 q 3 r 5 ( pq )3
3
2
16. ( aq ) ( pr ) pq
3 3
14. 8 x y
19.
an : am
( a 3 b 2 )5 ( a 2 b 2 ) 3
3 4
2
2
2 2
4
y
3
y
:9y
11.
4 2 2
( ab ) ( a b )
17.
amn
( x 3 y 4 ) 2 ( x 2 y 2 )4
3 2
4 2 2
20. ( xy ) ( x y )
k 3t 2
k 2 3t
12.
10
a 2 b 3 a 5 b7
( ab )3 b 2 a
15.
p 2 q 3 p
2 5 p·q
q
q p
18.
pa bq b p 2a
q 2 b p b ( pq )a b
21.
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Polinomios
Términos semejantes (Suma y/o resta de polinomios)
I. Simplifica los términos semejantes, diga el grado del polinomio y ordene alfabéticamente.
2) 8x -3x+7x=
3) 3x +9y –2x –6y=
4) a + 2a + 9a
5) m2 – 2m2 – 7m2
6) 6x2y2 – 12x2y2 + x2y2
7) x2yz + 3xy2z – 2xy2z – 2x2yz
8) 2x – 6y – 2x – 3y – 5y
9) a + a2 + a3 + a4 – a – 2a2 + 3a3 – 4a4
10)
7a2 – 15b3 + 5b3 + 9a 2 – 4b3 =
11)
3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c =
12)
0,01 b2c – 0,2 c2b - 0,8 c2b + 0,99 b2c=
13)
1 + x + xy – 2 + 2x – 3xy – 3 + 2xy – 3x
14)
m
15)
a a a
2 3 4
m 2m m
2
3
4
2p
16)
3
3
q 7 p q
4
2
17)
a 2 b 2ab 2 3ab 2 6a 2 b
5
3
2
5
19)
11
3
2
1
5
1
s t s s st t
3
4
3
3
3
4
18)
3 2
1 2 1
m 2 mn
m mn 2 mn 2 m 2
5
10
3
20)
1 2
2
3
3 2
8
m n mn m 2 n
m n mn
5
3
2
10
3
21)
2 2
3
3
2
1
1
x y 31 xy 2 y 3 x 2 y xy 2 y 3 6
5
8
5
5
5
4
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Uso de paréntesis
I. Elimine los paréntesis y simplifique los términos semejantes.
1) (10b +4) +(6 –9b) –(3b-7)=
2) 20 + (-7 +2x) –(-3x-7)=
3) 4 x y 5 x 3 y 2 x 3 y 5 x y 1 2 x y
4) 2 x y z z x y x y
5) - ( x - 2y ) - { 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) } =
6) 9x + 13 y - 9z - 7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z } =
7) 6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} =
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8) 9x + 3
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1
1
1
y - 9z - 7 x y 2 z 5 x 9 y 5 z 3 z
2
3
2
9) 3x + 2y - x – (x – y)
10)
2m – 3n - -2m + n – (m – n)
11)
-(x2 – y2) + 2x2 – 3y2 – (x2 – 2x2 – 3y2)
12)
--(a – 2b) – (a + 2b) – (-a – 3b)
13)
3x + 2y - 2x - 3x – (2y – 3x) – 2x - y
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14)
15 - (6a3 + 3) – (2a3 – 3b) + 9b
15)
16a + -7 – (4a2 – 1) - -(5a + 1) + (-2a2 + 9) – 6a
16)
25x - - -(-x – 6) – (-3x – 5) - 10 + -(2x + 1) + (-2x – 3) - 4
17)
2 - --(5x – 2y + 3) - (4x + 3y) + (5x + y)
18)
- -(5a + 2) + (3a – 4) – (-a + 1) + (4a – 6)
19)
7a - -2a - -(-(a + 3b) – (-2a + 5b) - (-b + 3a)
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Suma y resta de polinomios
I. Dados los polinomios, encuentre lo que se pide
A: 2b2c –3b + 6c
B: 4b - c2b + 12 b2c
C: 4 – 2c
Ejecute las siguientes operaciones:
a) A + B =
b) A – C =
c) B – A =
d) A + 2B – 3C
e) C – ( A + B )
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II. Suma los siguientes polinomios
2
1. (3x +2) + (-2x +3) =
2. ( 5x + 6x +1) + (-7x +2)=
3. (-4x2 +6x –3 ) + (-7x2 – 4x + 5)=
4. (3x2 + 2x -2) + (-2x2 +5x +5)=
5. (12m2 + 9m -10) + (8m2+ 3m +15)=
6. (5x3 + 6x2 – 3x +1) +( 5x4 –6x3 +2x –5)=
7. (8a5 –6a3 +6a+5) + (17a5 + 3a3 + 4a -7)=
8. (-3cd4 +6d2 +2cd –1) + (-3d2 +2cd +1)=
1 2 1
3
m mn 2 mn 2 m 2
9. m 2 2 mn
10
5
3
5 2 4 2 8
2 2 3
2
b ab 2a 7 ab b a ab
5
7
7
9
10. 3
11.
x 1
5b x 1 18 15a x 1 b y 1 10 4a c 1 b y 1 28
11. 7 a
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III. Efectuar las siguientes restas de polinomios.
2
1. (3x +2) - (-2x +3) =
2. ( 5x + 6x +1) - (-7x +2)=
3. (-4x2 +6x –3 ) - (-7x2 – 4x + 5)=
4. (3x2 + 2x -2) - (-2x2 +5x +5)=
5. (12m2 + 9m -10) - (8m2+ 3m +15)=
6. (5x3 + 6x2 – 3x +1) - ( 5x4 –6x3 +2x –5)=
7. (8a5 –6a3 +6a+5) - (17a5 + 3a3 + 4a -7)=
8. (-3cd4 +6d2 +2cd –1) - (-3d2 +2cd +1)=
1
3
1
9. m 2 2mn m 2 mn 2mn 2m 2
10
5
3
5 4
8
2 2 3
b ab 2a 2 7ab b2 a 2 ab
5
7 9
7
10. 3
Aplicaciones
Calcular el perímetro de la siguiente figura:
x2 +x
2x2 +x
x
3x2 +x –3
El perímetro de un rectángulo es 8x –6 y un lado es 3x +7 ¿Cuánto mide el otro lado?
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Producto de polinomios
1. Realiza las siguientes operaciones, utiliza las leyes de los exponentes:
a)
1
2 x7 x2
3
2 4
b)
x 3x 7
3
3
c) 3z 2
4
3 6 4
y y
d) 2 y
4 5
5
g) 3 x 2 5 x 2
o) ( 5 ) x 4 ( 6 ) x 4
h) 6 x 5 4 x 5
p) 4 x 3 ( 12 ) x 5
i)
x3 x2
j)
4 x 4 6 x7
q) ( 6 ) x 3 7 x 2
r)
2 5 5 7
x x
5
3
s)
( 11 ) x 3 ( 2 ) x 3
t)
4 4 2 6
x x
11
3
k) 7 x5 5x3
l)
( 3 ) x 5 6 x 7
e)
3 4 2
a a
2
5
m) 9 7 x
f)
1
x 3x 4 x 7
2
n)
4
5 3 1 5
x x
6
3
II- Resuelve los siguientes productos algebraicos de un monomio por un polinomio:
1) 7 x 2 3( x 4)
5) z 6(1 x)
9) x(1 2 x y)
2) 11 4(b 2c) 5 7b
6) 2 ( x 12) 4 y
10) 2a(b a)
3) m(n 1)
7) 4 y( y 2 y 2 )
11) (a 3ab)b
4) a(c 6bc)
8) 2a(3a b 1)
12) x2 (1 2 x y 2 )
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III- Resuelve los siguientes productos algebraicos de un polinomio por un polinomio:
1) 8a(3a - 5y – 2z) – 6y(4a - 6y + 3z) =
2) 2(5a + 8b) – 3(3a2 - 5b) + 4a(a – 7b) =
3) (a + b)(a – 2b) + (a + b)(a + b) =
4) (x - 1)(x3 + x2 + x + 1) =
5) 4(a + 4)(a – 2) =
6) 26xy – (9x – 8y)(5x + 2y) – (4y – 3x)(15x + 4y) =
7) (2x + 3y + 4z)(5x + 2y + z) =
8)
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9) (x + 4)(x + 3)(x + 2) =
10)
(7a – 2b) – [2(3a - c) – 3(2b - 3c)] =
11)
2 – x[7x – {9x – 3(3 + 6x)}] =
12)
(2a – b)[5b – 4(a + 2b) + (a - 4b)] =
13)
44x + 2y{48y – 4x2(6z + 3y – 4x) + 4z} – 2x2y{4x – 8y + 2z(4x + y)} =
14)
2 2 9 2 4 3
a b ab a b
3
8
3
1
3
2
15) ab 2 3ab 2 a 2b 3b 2 a 3
4
8
5
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Productos Notables
Binomio al cuadrado
1. Resuelve los siguientes binomios (utiliza la forma corta):
a. ( x 2 y)2
b. (2a 3)2
2
c. ( 3b – 4) =
d. (4 + 5c) 2 =
e.
3 x 2 y 2 =
y
2x
g.
2
i.
3
3x
x
f.
4ax 2 12 =
h.
a
j.
2 3
3y y
l.
2 2 3
x yz
5
3
2
2
3
2m 4
2
k.
2
2
b2
2
2
2
Binomios conjugados
1. (a – 4b) (a + 4b)
2. (m – 6) ( m + 6)
3. (3x + 7) (3x – 7)
4. (2 x 1) (2 x 1)
5. ( x2 4) ( x2 4)
6. (3a b) (3a b)
2
2
7. (2a 5) (2a 5)
8.
9m 2 3n9m 2 3n
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x 2
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3 7 2 4 3 7 2 4
9. 4 p 5 q 4 p 5 q
10.
1 7 1 4 1 7 1 4
x q x q
5 4
5
11. 4
y z y z
12. 4
5 4
5
1
2012
5 3y x2 5 3y
2
3
4
1
2
3
4
Binomios con término común
Resuelve los siguientes productos:
1) (x + 1)(x + 2) =
8) (x – 5)(x + 4) =
15) (x3 + 7)(x3 – 6) =
2) (x + 2)(x + 4) =
9) (a – 11)(a + 10) =
16) (a4 + 8)(a4 – 1) =
3) (x + 5)(x – 2) =
10) (n – 19)(n + 10) =
17) (a5 – 2)(a5 + 7) =
4) (m – 6)(m – 5) =
11) (a2 + 5)(a2 – 9) =
18) (a6 + 7)(a6 – 9) =
5) (x + 7)(x – 3) =
12) (x2 – 1)(x2 – 7) =
19) (ab + 5)(ab – 6) =
6) (x + 2)(x – 1) =
13) (n2 – 1)(n2 + 20) =
20) (xy2 – 9)(xy2 + 12)
7) (x – 3)(x – 1) =
14) (n3 + 3)(n3 – 6) =
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2012
Binomios al cubo
1)
t 2 t 3 3
2)
2u 2 3v 3
3
3)
1
1
m n
5
10
1
4) x 2 y
2
3
Reduce las siguientes expresiones, aplica productos notables:
a)
(x + 5)2 – (x – 5) 2 =
b)
(2x + 4)2 – ( 2x + 4) (2x – 4) =
c)
(x – 4) (x + 8) + (2x – 4) (2x – 8) =
d)
(x – 5) 3 – (x + 5)3 =
e)
( x + y + 3)2 – (x – y – 3 )2 =
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2012
EXAMEN DE PRODUCTOS NOTABLES
Tiempo de realización:
Aciertos:
Resuelve los siguientes productos:
1) (y – 6) (y + 4) =
2) (a + 6) (a + 8) =
y2-10y -24
y2-2y +24
y2-2y -24
y2 + 2y-24
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
x2 + 5x + 5
x2 + 6x +6
x2 + 6x + 5
x2 + 5x + 6
7) y
+ 48 a +48
+ 48 + 14a
+ 48 a +14
+ 2 a + 48
a)
b)
c)
d)
5) (xy + n) 2 =
a)
x2 y2 + n2
b)
xy2 + 2xyn + n2
c)
x2 y2 + yxn + n2
d)
(xy) 2 + 2 xyn + n2
4) (x + 5) (x + 1) =
a)
b)
c)
d)
a2
a2
a2
a2
3) (2w + 8) (8 + 2w) =
(16w + 16)2
(2w + 8)2
2(w + 4) 2
(w + 4)2
6) (2xy – 5y2)2 =
a)
b)
c)
d)
4xy 2 – 20 xy + 25y2
4x2 y 2– 4x y3+ 25y4
4x2 y 2– 20x y3+ 25y4
4x 2y 2 – 25y4
1
4
y =
3
6
a) y 2
4
18
b) y 2
1
4
y
3
18
c) y 2
4
4
y
6
9
d) y 2
1
2
y
3
9
8) (2t2 – 3r5 )3
Nota: Para esta parte hay unas copias que deben de entregarse al alumno y seleccionar que ejercicios debe hacer
extra para reafirmar su conocimiento, esto si el docente lo considera necesario.
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2012
División de polinomios
I. Efectué las siguientes divisiones de un polinomio entre un monomio.
1.
4.
7.
8 x 2 10 x 3 y
2x2 y
2.
6 x 2 yz 3 x 2 yz
.
xyz
3x 2 y3 5x 2 y5
3x 2
5.
6 a 3 b 3 9a 2 b 2 3ab 4
3ab 2
6 a 8 b 8 3a 6 b 6 a 2 b 3
3a 2 b 3
2 3 1
x
3
4
8.
1
6
x4
3.
3u 3 v 4 2 u 5 v 2 u 2 v 2
u3v 2
6.
3 x 2 y 2 xy 3 7 x
4x2 y2
1 2
x
5
2
1 3 1 4
a a
3
4
9.
1 3
a
2
x2
II. Efectué las siguientes divisiones de un polinomio entre un polinomio.
1.
2 x 4 x 3 3 x 2 7 x 12
x2 3
2.
3x 3 2x 4
2x2 1
3.
6 x 2 7 x 20
3x 4
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4.
a 4 a 2 2a 1
a2 a 1
.
2012
5.
x 2 2 x 15
x3
6.
6 x 2 7 x 20
3x 4
7.
2 x 2 4 x 28
2x 6
8.
2 x 3 14 x 2 27 x 12
x4
9.
6 x 3 11 x 2 8 x 9
2x 5
10.
3 x 3 73 x 10
x5
11.
x3 8
x2
12.
x 4 16
x2
x3 9
13.
x3
2 x 2 4 x 3 18
14.
2x 3
15.
2x4 3x3 9x 7
x2 2x 1
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31
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16.
3x4 4x2 8x 3
3x2 6 x 2
17.
x9 x5 x2 1
x2 x 1
18.
2012
x8 x6 x 2 1
x2 x 1
… Más divisiones, (puede utilizar división sintética para comprobar, donde sea posible)…
2x 3 3x 2 4x 5
x2
1.
4x4 5x 2 1
1
x
2
4.
7.
a 4 a 2 2a 1
a2 a 1
2.
x 3 8x 5
x3
3.
2x 3 7x 2 5x 3
5.
x 1
8.
5
4
3
2
6. 32 x 16 x 8 x 4 x 2 x 1
1
x
2
8n5 3n 2 1 entre n 1 9.
10. 8 x 6 16 x 5 6 x 4 24 x 2 18 x 36 entre 4 x 3 3 x
3x5 6x 2 7
x2
1 4 3 2
x y
3
3
1
6
x3 y4
1 2 2
x y
2
x2 y2
11. 3h 4 7 h 20 entre h 2
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2012
Factorización
Factor común
Encuentra el factor común de las siguientes expresiones
1. 6x - 12 =
2. 4x - 8y =
3. 24a - 12ab =
4.
10x - 15x2 =
5.
14m2n + 7mn =
6.
8a3 - 6a2 =
7.
3b – 6x
8.
20u2 – 55u =
9.
5x – 5 =
10. b4 – b3 =
11. 6x –12y + 18=
12. 15x + 20y – 30
13. 14c – 21d – 30=
14. 152x2yz – 114xyz2=
15. 25a – 30ab + 15ab2 =
16. ax + bx + cx =
17. 20x - 12xy + 4xz =
18. 3ab + 6ac - 9ad =
3
19. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =
2
2
2
3
21. 10abx + 4ab x – 40aby – 16ab y =
22. 20abc – 30abd – 60b2c + 90b2d =
23. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =
24. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =
25.
2 2
2
20. 28pq x + 20p qx – 44p qx + 4pqx=
2 2
1 2 3
1
1
1 4 2
a b a 3b4 a 2b5
a b
2
4
8
16
26.
4 2
12
8 2 3
16 3
a b
ab
a b
a b
35
5
15
25
MATERIAL RECOPILADO Y/O ELABORADO POR MAT. APL. RIT A OCHOA CRUZ
33
UAQ
ESCUELA DE BACHILLERES, SALVADOR ALLENDE
TAREA DE ÁLGEBRA UNO
27. a (x + 1) + b ( x + 1 ) =
28. x2( p + q ) + y2( p + q ) =
29. ( 1 - x ) + 5c ( 1 - x ) =
30.
31. a ( a + b ) - b ( a + b ) =
32. m (2a + b ) + p ( 2a + b ) =
33. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =
34. a (2 + x ) - ( 2 + x ) =
35. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =
36. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =
37. a a b 1 b a b 1
38. 4m a x 1 3n x 1 a
3
2
39. x 2a b c 2a b c
(x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =
40.
2012
2
2
x y n 1 3n 1
MATERIAL RECOPILADO Y/O ELABORADO POR MAT. APL. RIT A OCHOA CRUZ
34
UAQ
ESCUELA DE BACHILLERES, SALVADOR ALLENDE
TAREA DE ÁLGEBRA UNO
2012
Factorización por agrupamiento
Factoriza las siguientes expresiones
1.
a2 + ab + ax + bx =
2.
ab + 3a + 2b + 6 =
3.
ab - 2a - 5b + 10 =
4.
2ab + 2a - b – 1 =
5.
am - bm + an - bn =
6.
3x3 - 9ax2 - x + 3a =
7.
3x2 - 3bx + xy - by =
8.
6ab + 4a - 15b - 10 =
9.
3a - b2 + 2b2x - 6ax =
10. a3 + a2 + a + 1 =
11. ac - a - bc + b + c2 - c =
12. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =
13. ax - ay - bx + by - cx + cy =
MATERIAL RECOPILADO Y/O ELABORADO POR MAT. APL. RIT A OCHOA CRUZ
35
UAQ
ESCUELA DE BACHILLERES, SALVADOR ALLENDE
TAREA DE ÁLGEBRA UNO
2012
14. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =
15. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =
16.
15 2 21
10
143
x
xz
xy
yz 5 x 7 z
4
4
3
3
17.
2
8
4
16
am am bm
bn
3
3
5
5
Factorización de trinomios cuadrados
Expresar como un producto de dos binomios con término común:
1.
x2 + 4x + 3 =
2.
a2 + 7a + 10 =
3.
b2 + 8b + 15 =
4.
x2 - x - 2 =
5.
r2 - 12r + 27 =
6.
s2 - 14s + 33 =
7.
h2 - 27h + 50 =
8.
y2 - 3y - 4 =
9.
x2 + 14xy + 24y2 =
10.
m2 + 19m + 48 =
11.
x2 + 5x + 4 =
12.
x2 - 12x + 35 =
13. x2 + 6x + 8=
14. x2 – 16x + 63
15. x2 + 10x – 56=
16. x2 –13x – 48 =
MATERIAL RECOPILADO Y/O ELABORADO POR MAT. APL. RIT A OCHOA CRUZ
36
UAQ
ESCUELA DE BACHILLERES, SALVADOR ALLENDE
TAREA DE ÁLGEBRA UNO
17. y2 – 7y – 30=
18. x2 – 14x + 48=
19. x2 – 5x – 84=
20. x2 + 7x – 120=
21. t 2 6 t
22. w2 5w 24
23. f 2 7 f 30
24. 20 a 2 21a
25. m 2 14m 33
26. k 2 6k 40
27. p 2 15 p 56
28. w2 15w 54
29. z 2 7 z 60
30. a 2 17a 60
31. y 2 20 y 300
32. x 2 x 132
33. 432 a 2 42a
34. h 2 30h 675
35. y 6 6 y 3 7
36. y 8 2 y 4 80
37. x 2 y 2 xy 12
38. 14w 24w 15
39. 5z 135z 42
40. x 2 2ax 15a 2
41. a 2 4ab 21b 2
42. x10 x 5 20
43. m 2 mn 56n 2
44. m n 5m n 24
45. a 4 b 4 2a 2 b 2 99
46. c 2 11cd 28d 2
47. c d 18c d 65
48. y 4 2 y 2 48
2
2
2012
2
2
MATERIAL RECOPILADO Y/O ELABORADO POR MAT. APL. RIT A OCHOA CRUZ
37
UAQ
ESCUELA DE BACHILLERES, SALVADOR ALLENDE
TAREA DE ÁLGEBRA UNO
2012
Factorización de trinomios cuadrados perfectos
1. Completar el desarrollo del cuadrado de un binomio:
a) x2 + 10x + .........
b) y2 –18y + ...........
c) m2 – ......... + 36n2
d) p2 + ............ + 64p2
e) ......... + 42x + 49
f) .......... – 390y + 225
g) 289z2 + 340 z + ...........
h) 64x2 – 80xy + ............
2. Expresar el trinomio cuadrado perfecto como un cuadrado de binomio:
1.
b2 - 12b + 36 =
2.
25x2 + 70xy + 49y2 =
3.
m2 - 2m + 1 =
4.
x2 + 10x + 25 =
5. 16m2 - 40mn + 25n2 =
6. 49x2 - 14x + 1 =
7. 36x2 - 84xy + 49y2 =
8. 4a2 + 4a + 1 =
9. 1 + 6ª + 9a2 =
10. 25m2 - 70 mn + 49n2 =
11. 25a2c2 + 20acd + 4d2 =
12. 289a2 + 68abc + 4b2c2 =
13. 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =
14. g2 + 2gh + h2 =
15. 36n2 + 84pn + 49p2
16. 9x2 –12xy + 4y2
17. 225 – 30b + b2
18. p2 – 2pq + q2
19. 3p2 –6pq +3 q2
20. p2 – 14pq +49 q2
21. 8p2 – 16pq +8 q2
22. 81p2 – 18pq + q2
MATERIAL RECOPILADO Y/O ELABORADO POR MAT. APL. RIT A OCHOA CRUZ
38
UAQ
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TAREA DE ÁLGEBRA UNO
2012
Factorización de trinomios cuadrados con a distinto de uno
1.
5x2 + 11x + 2 =
2.
3a2 + 10ab + 7b2 =
3.
4x2 + 7x + 3 =
4.
4h2 + 5h + 1 =
5.
5 + 7b + 2b2 =
6.
7x2 - 15x + 2 =
7.
5c2 + 11cd + 2d2 =
8.
2x2 + 5x - 12 =
9.
6x2 + 7x - 5 =
10.
6a2 + 23ab - 4b2 =
11.
3m2 - 7m - 20 =
12.
8x2 - 14x + 3 =
MATERIAL RECOPILADO Y/O ELABORADO POR MAT. APL. RIT A OCHOA CRUZ
39
UAQ
ESCUELA DE BACHILLERES, SALVADOR ALLENDE
TAREA DE ÁLGEBRA UNO
13.
5x2 + 3xy - 2y2 =
14.
7p2 + 13p - 2 =
15.
6a2 - 5a - 21 =
16.
2x2 - 17xy + 15y2 =
17.
2a2 - 13a + 15 =
18. 4 x 2 8x 3
19. 2 x 2 11x 6
20. 2 x x 6
21. 3x 16 x 12
22. 2 x 3x 2
23. 20a a 1
24. 8a 14a 15
25. 7 x 2 44 x 35
26. 15m 2 16m 15
2
2
2012
2
2
2
MATERIAL RECOPILADO Y/O ELABORADO POR MAT. APL. RIT A OCHOA CRUZ
40
UAQ
ESCUELA DE BACHILLERES, SALVADOR ALLENDE
TAREA DE ÁLGEBRA UNO
2012
Factorización de la diferencia de dos cuadrados
Factoriza las siguientes expresiones.
1.
9a2 - 25b2 =
2.
16x2 - 100 =
3.
4x2 - 1 =
4.
9p2 - 40q2 =
5.
36m2n2 - 25 =
6.
49x2 - 64t2 =
7.
169m2 - 196 n2 =
8.
121 x2 - 144 k2 =
9.
9 2 49 2
a
b
25
36
10.
1 4 9 4
x y
25
16
11.
3x2 - 12 =
12.
5 - 180f2 =
13.
8y2 - 18 =
14.
3x2 - 75y2 =
15.
45m3n - 20mn =
16.
2a5 - 162 a3 =
18. t w m 2
17. 144a 2 169b 2
2 10
19. 25 x z
2
121
20. 100k l 169 y
4 2
21. a m n 144
2
4
25. 256d
22. 1 9a b c d
8
23. 196 x y 225 z
2
2
12
4
6
12
289b 4 m 8
27.
a2 x8
36 25
29.
a b2 c d 2
24. 361 x
16
4
6
10
1
26.
m8 4x6
49
64
28.
1
9a 6
4
a2 x8
30.
36 25
MATERIAL RECOPILADO Y/O ELABORADO POR MAT. APL. RIT A OCHOA CRUZ
41
UAQ
ESCUELA DE BACHILLERES, SALVADOR ALLENDE
TAREA DE ÁLGEBRA UNO
2012
Factorización de la suma o resta de dos cubos
Factoriza las siguientes expresiones.
1.
64 – x3 =
16. r 125
3
2. 27m3 + 6n6 =
3.
1 3 8
=
x
8
27
17. 1 216m
3
18. 8a 27b
6
9
4. 8a3b3 + 27 =
19. v b
5. x6 – y6 =
20. 8n 27m
6. x 3
6
12
3
1
=
64
21.
7. a 1
3
3
1 3 8
x
8
27
23. m n x 1
3
8. y 1
3
3
3
24. 8 x 729
6
9. x 1
3
25. 8 x y
10. 8m 1
3
3
11. 27 x 64
26. t u
9
3
3
27. 8 x y
12. x 27
3
3
28. r
13. a 27
12
u6
3
29.
14. 27m n
3
z 23 m 33
3
30. 8 x 125 y z
9
3
6
15. x 64
6
MATERIAL RECOPILADO Y/O ELABORADO POR MAT. APL. RIT A OCHOA CRUZ
42
UAQ
ESCUELA DE BACHILLERES, SALVADOR ALLENDE
TAREA DE ÁLGEBRA UNO
2012
Expresiones racionales simples
Simplificar las siguientes expresiones, aplicando los criterios de factorización que corresponda:
48a
a)
72ab
25a 2b
b)
=
75ab 2
96m3n 2
c)
32m4 n 3
4a 4b
e)
5a 5b
3x 6 y
f)
=
5x 10 y
x 2 xy
g)
xy y 2
24 x 18 y
i)
44 x 33 y
x 2 16
j) 2
=
x 8 x 16
9 x 2 30 x 25
k)
6 x 10
4 y2 4 y 1
m)
6x 3
( a b) 2 c 2
p) 2
a (b c) 2
a2 9
t)
3(a 3)
x 2 6x 8
n) 2
=
x 7 x 12
1 64c 6
q)
1 4c 2
m2 n 2
v)
2n 2m
x 2 4 x 12
ñ) 2
x 8 x 12
x 2 7 x 10
r)
x 2 25
y 2 y 12
w) 2
y 2 y 15
d)
h)
3(a b)
5(a b)
8x 7 y
64 x 2 49 y 2
x 2 25
l) 2
x x 20
64 u 2
o) 2
u 13u 40
x2 x 2
s) 2
x 3x 2
x 2 5x 6
x) 2
x 8 x 15
MATERIAL RECOPILADO Y/O ELABORADO POR MAT. APL. RIT A OCHOA CRUZ
43
UAQ
ESCUELA DE BACHILLERES, SALVADOR ALLENDE
TAREA DE ÁLGEBRA UNO
2012
Efectúa las siguientes operaciones algebraicas
1) 4a2b3
21x2y4
7x2 y8
– a3b6
x
2) 56a4b2
27xy4
x
9x3y2
35a5b2
3) ( 2x ) 3 x ( 9y )2
(– 4y ) 2 ( 3x )4
4) ( 12x y3 ) 3 x ( 9x3 )2
( 18x2y2) 2
( 4xy2 )3
5) 6a2b3 15a4 b3
8x2y6
–12x3y6
6) 2x2 + 3x . x2 + 2x – 3 .
x2 – x
4x2 + 8x + 3
7) a2 + 7a + 10 . a2 – 9
a2 – a – 6
a2 + 3a
8) a2 – 81
2a2 + 10
=
. a2 + 5 . __ 8ab
4a – 36 ab + 9b
=
MATERIAL RECOPILADO Y/O ELABORADO POR MAT. APL. RIT A OCHOA CRUZ
44
UAQ
ESCUELA DE BACHILLERES, SALVADOR ALLENDE
TAREA DE ÁLGEBRA UNO
2012
9) a2 – 81 . a + 11 . 2a – 12 . a3 + 5a2
2a2 + 10a a2 – 36
2a + 18 2a + 22
10)
2x2 + 15x + 18 . 12x2 – 23x – 24 . 12x2 – 25x + 12
12x2 – 41x + 24
4x2 + 27x + 18
8x2 + 10x – 3
11)
x2 + 4x + 4
3x2 – 12
12)
x3 – x
x2 + 6x
13)
15x2 + 7x – 2 6x2 + 13x + 6
25x3 – x
10x2 + 17x + 3
14)
a2x2 + 5a
4a2 – 1
x2 + 2x.
x3 – 2x2
5x2 – 5x
2x + 6
ax2 + 5
2a + 1
MATERIAL RECOPILADO Y/O ELABORADO POR MAT. APL. RIT A OCHOA CRUZ
45
UAQ
ESCUELA DE BACHILLERES, SALVADOR ALLENDE
TAREA DE ÁLGEBRA UNO
2012
Efectúa las siguientes sumas y restas con las fracciones algebraicas
15)
2a
–
a + 3
17)
a + x
a
a – 1 +
a + 3
–
a
a – x
2
=
a + 3
16)
2a
–
a + 5
=
18)
a + x
a+x
a
+
a +5
–
19)
2
–
5
+
3
=
(2x + 3)(x + 1)
( 2x + 3)(x – 2)
(x + 1)(x – 2)
20)
1
–
5(1 + a)
21)
1
ax
–
a2
1
10(1 –
1
+
+ ax
+
a2)
1
a + x
a
a – x
4
a + 5
=
=
1
=
5(1 – a)
=
MATERIAL RECOPILADO Y/O ELABORADO POR MAT. APL. RIT A OCHOA CRUZ
46
UAQ
ESCUELA DE BACHILLERES, SALVADOR ALLENDE
TAREA DE ÁLGEBRA UNO
22)
2
–
+ 5x + 3
2x2
23)
a – 3
20a + 10
24)
x2
+
2x2
5
– x – 6
2a + 5
40a + 20
1
–
+ 5x + 6
x2
–
2
– 4
+
x2
3
– x – 2
5a – 2
60a + 30
+
x2
2012
=
=
1
+ x – 6
=
MATERIAL RECOPILADO Y/O ELABORADO POR MAT. APL. RIT A OCHOA CRUZ
47
UAQ
ESCUELA DE BACHILLERES, SALVADOR ALLENDE
TAREA DE ÁLGEBRA UNO
2012
Efectúa las siguientes sumas y restas con las fracciones algebraicas complejas
1
2
26)
2x 1
1
2x
25)
2
4x 1
2x 2
2x
ba
1 ab
27) 1 a ( b a )
1 ab
x2 y2
x
y
1 1
y x
x +
28)
29)
a
x .
2
__________________________________________
x –
x .
4
x +
1 – 2x .
2
__________________________________________
1 –
=
=
4 – x .
4
MATERIAL RECOPILADO Y/O ELABORADO POR MAT. APL. RIT A OCHOA CRUZ
48
UAQ
ESCUELA DE BACHILLERES, SALVADOR ALLENDE
TAREA DE ÁLGEBRA UNO
a
–
a – b
30)
b .
a + b
__________________________________________
a + b
a – b
a
+
–
__________________________________________
1
a
+
–
__________________________________________
1
+
x + 3 +
33)
x .
a
=
x
a
x
32)
a .
b
=
x
a
x
31)
2012
x .
a
6 .
x – 4
__________________________________________
x + 5 +
=
=
x .
4
MATERIAL RECOPILADO Y/O ELABORADO POR MAT. APL. RIT A OCHOA CRUZ
49
UAQ
ESCUELA DE BACHILLERES, SALVADOR ALLENDE
TAREA DE ÁLGEBRA UNO
b
+
4 + b
34)
4–b .
b
__________________________________________
4+ b
b
–
z 2 – 25
z– 5
2012
b .
4+b
=
+ 3
__________ _____________________________
z+8
35)
__________________________________________
9 +
z – 36 .
z– 6
=
2
__________ _____________________________
z – 11
MATERIAL RECOPILADO Y/O ELABORADO POR MAT. APL. RIT A OCHOA CRUZ
50
UAQ
ESCUELA DE BACHILLERES, SALVADOR ALLENDE
TAREA DE ÁLGEBRA UNO
2012
Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Determinar la solución de las siguientes ecuaciones:
1. 5 + 6x = 2
2. 4b + 1 = -18
3. 18c - 3 = 0
4. 5 - 2d = 9
5. - 3f + 1 = 4
6. - 2 - 5g = 0
7. 13 - h = 13
8. 5j - 9 = 3j + 5
9. 2k + 7 = 12 - 3k
10. 10 - 4x = 7 - 6x
11. 5m - 3,2 = 2m + 2,8
12. 5n - 2n + 12 = 35 - 4n
13. 3ñ - 15 + 2ñ - 14 = ñ – 11
14. 48p - 13 + 12p = 72p - 3 - 24p
15. q - 3 + 6q - 9 + 12q - 15 = q
16. 6r + 12r - 9 - 8r + 10 + r = 0
18. 5s + (4 - s) = 9 - (s - 6)
19. (3t - 1) + 7 = 8t - (3 - 2t)
20. 3 - (8v-5) + (6-7v) - 1 = 7 - (v-1) + (4v+4)
21. (3w - 8) - (4 - 9w) + 3 = 7w - 2 - (5w + 9 - 3)
22. -(4x-6+5x) + (9-5x+3-2x) = 7x - (1 - 6x)
12y = 3(3y - 5)
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23. 7 - 6(c - 1) + 3(3 - 4c) = 7 + (7c - 4)
24. – 2(d + 7)-(3d + 5)=2d+(4d-9+3d)-(d - 3)
25. 8(6f - 14)-7(12 - 5f)+(23f + 2)-(2f + 65) = 0
26. 21 - [5g - (3g - 1)] - g = 5g – 12
27. 40h - [24 - (6h + 8) - (5 - 2h )] = 3-(8h - 12)
28. 2 - {2m + [2m - (2 - 2m)]} = 2
29. 34 - 52(12n - 34) + 235 = 32 + 101(35n - 1)
30. 2 - (3ñ + 4)-(5ñ - 6 )-(7ñ - 8)-(9ñ - 10) = 11
31. (t - 3)² - (t - 2)² = 5
32. (2v - 4)² + 6v - 3 = 4v² - (3v - 1)
33. (w + 3)² + 4 = (w - 2)² + 5w – 2
34. (3x - 3)² - (2x - 7) = (3x - 5)(3x + 5)
35. 2 - (y + 1)² = 5 - 3[y - (5y + 9)] - y²
36. (x - 7)² - (1 + x)² = 2(3x - 4)
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Problemas verbales que involucran ecuaciones lineales
Plantear una ecuación consiste en interpretar, comprender y expresar en una ecuación matemática el
enunciado verbal de cualquier problema. Es decir:
Lenguaje verbal (un problema)
traducción
Lenguaje matemático (ecuaciòn)
Recomendaciones para plantear una ecuación
No existen reglas sencillas que garanticen el éxito en la resolución de problemas. Sin embargo es posible
establecer algunas pautas generales y algunos principios que pueden ser útiles en la solución de problemas:
1. Leer y comprender el problema.
2. Ubicar la incógnita y relacionarlo con los datos del problema.
3. Plantear la ecuación y resolverla.
4. Comprobar el resultado. Ver si la respuesta es razonable.
Para plantear correctamente una ecuación es necesario simbolizar correctamente el enunciado de un
problema. Veamos a continuación algunos ejemplos de enunciados y su respectiva representación
matemática.
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Enunciado
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Representación matemática
Un numero
El doble de un numero
El doble de un numero, aumentado en 5
El doble, de un numero aumentado en 5
El triple de un numero, disminuido en 7
El triple, de un numero disminuido en 7
Lo que tiene Omar es igual a lo que tiene Silvana
Omar tiene el doble que Silvana
Carlos tiene dos veces lo que tiene Diana
Carlos tiene dos veces mas de lo que tiene Diana
“x” es tres veces “y”
“x” es tres veces mas que “y”
“a” es a “b” como 3 es a 5
“m” y “n” están en la misma razón que 2 y 7
La suma de tres números
La suma de tres números consecutivos
La suma de tres números pares consecutivos
La suma de los cuadrados de tres números
El cuadrado de la suma de tres números
El cubo del doble de un numero
El doble del cubo de un numero
“A” excede a “B” en 4
“m” es excedido en 5 por “n”
Tres menos dos veces un numero cualquiera.
Un número par
Tres pares consecutivos
Un número impar
Tres impares consecutivos
Un número múltiplo de cinco
Un número múltiplo de tres
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Plantear y resolver los siguientes problemas
1. Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo
número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el número?
2. ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5?
3. El doble de un número aumentado en 12 es igual a su
triple disminuido en 5. ¿Cuál es el número?
4. Tres números impares consecutivos suman 81.
¿Cuáles son los números?
5. El doble de un número más el triple de su sucesor, 6. La diferencia entre los cuadrados de dos números
más el doble del sucesor de éste es 147. Hallar el
consecutivos es 103. ¿Cuáles son los números?
número.
7. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma 8. Encuéntrense tres números enteros consecutivos cuya
sea 103. R/51 y 52.
suma sea 57. R/18, 19 y 20.
9. Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar 10. Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya
estos tres números. R/67, 68 y 69.
suma sea 74. R/17, 18, 19 y 20.
11. Hallar tres números enteros pares consecutivos cuya 12. Hallar tres números enteros consecutivos pares cuya
suma sea 192. R/62, 64 y 66.
suma sea 486. R/160, 162 y 164.
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13. La suma de tres números enteros pares consecutivos
es 102. ¿Cuáles son los números? R/32,34 y 36.
14. La suma de tres números es 200. El mayor excede al
del medio en 32 y al menor en 65. Hallar los números.
15. Si a un número le restas 12, se reduce a su tercera
parte. ¿Cuál es ese número? Sol: 18
16. La suma de tres números naturales consecutivos es
igual al cuádruplo del menor. ¿De qué número se
trata?
17. Si al cuadrado de un número le quitas su doble, 18. El producto de un numero natural por su siguiente es
obtienes su quíntuplo. ¿Cuál es ese número? Sol: el 0
igual a 210. ¿De qué número se trata? Sol:14
y el 7.
19. Halla un número tal que su doble aumentado en una 20. La suma de tres números consecutivos es 144. ¿Cuáles
unidad sea igual que su triple disminuido en tres
son esos números? Sol: 46, 47, 48.
unidades. Sol: 4
1
21. Calcula tres números naturales consecutivos, sabiendo 22. En el triángulo ABC, los lados
AB 3BC y BC AC .
2
que su suma es igual al cuádruplo del menor.
Si su perímetro es 84 m. ¿Cuánto mide cada lado?
23. El numerador de una fracción excede en dos unidades 24. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma
al denominador. Si al numerador se le suma 3, la
sea 103.
fracción queda equivalente a
4
. Hallar la fracción.
3
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25. Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar 26. La suma de tres números impares consecutivos es 99.
los números.
Hallar los números.
27. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La 28. Dividir 85 en dos partes tales que el triple de la parte
mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio
menor equivalga al doble de la mayor.
18 años menos que la mayor. Hallar las edades
respectivas.
29. Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el
doble del menor más el triple del mediano, más el
cuádruple del mayor equivalgan a 740.
30. La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso
total, la cola a un cuarto del peso y el resto del cuerpo
pesa 4 kg. 600 gramos. ¿Cuánto pesa el pez?
31. Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de Bohemia, eligió a su consorte entre tres
pretendientes, planteándoles el siguiente problema: ¿cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la
mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que quedó y una
ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el canasto se
vació. ¿Puedes calcularlo tú?
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Despejes de variables
Despeja en las siguientes expresiones la incógnita indicada. Lo ideal es que se despeje cada una de las variables
1. La velocidad de un objeto bajo ciertas condiciones está dada por la fórmula; V2 = v0
inicial, a es la aceleración y d es el desplazamiento.
Despeje la aceleración
2. La expresión
Despeje la r
2
+ 2ad donde v0 es la velocidad
Despeje el desplazamiento
aparece en el estudio de las progresiones geométricas. Despeja r y L.
Despeje L
Despeje a
3. La relación entre la temperatura en °C y la temperatura en °F es C = 5/9 C (F - 32). Despeje la variable F.
4. El área de un cilindro está dada por A = 2πr(r + h). Despeja para h.
2
5. El nivel de energía de un objeto es E = mgh + 1/2mv .
Despeje la m
Despeje h
Despeje v
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6. De la formula d v i t
Despeje la a
at 2
que representa la distancia que recorre un móvil:
2
Despeje vi
a2 3
7. De la formula A
4
8. De la formula R
Despeje la r1
que sirve para calcular el área de de triángulo equilátero. Despeja el lado a-
r1 ·r2
que sirve para calcular la resistencia eléctrica total en paralelo.
r1 r2
Despeje r2
9. De la formula F K ·
Despeje la r
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q1 ·q 2
r2
que en física sirve para calcular la fuerza atracción entre dos cargas,
Despeje q1
Despeje q2
10. La fórmula que relaciona la capacitancia equivalente (Cs) para capacitadores en serie está dada por:
Despejar cada una de las cuatro variables.
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