A4S2 P - Daniel Santelices

Universidad Diego Portales.
Escuela de Industrias, Facultad de Ingeniería.
Gestión de Operaciones; 1er semestre de 2013.
Profesor: Mauricio Varas.
Ayudantes: Diego Espinoza y Daniel Santelices.
Enunciado Ayudantía N° 4 S2
Problema 1
Considérese un fabricante que necesita 2000 piezas pequeñas durante el próximo año. El costo de las
unidades es de $5 cada una. Se tienen disponibles en la localidad con un tiempo de entrega de una
semana, y el costo de ordenar para el fabricante es de $5 por orden. El costo de conservación es de $1,5
por unidad que es almacenada anualmente, más el 10% del costo del producto debido al costo de
oportunidad del capital. Basado en estos antecedentes, responda las siguientes preguntas:
a)
¿Cuántas unidades debe ordenar el fabricante con el fin de minimizar sus costos de inventario?
𝜆 = 2000
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑎ñ𝑜
𝐾 = 5 $;
𝐻 = 1,5 + 0,1 ∙ 5
𝑄 = √
∗
$
$
= 2
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 ∙ 𝑎ñ𝑜
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 ∙ 𝑎ñ𝑜
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
2 ∙ 2000
∙5$
2∙𝜆∙𝐾
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑎ñ𝑜
= √
= 100
$
𝐻
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛
2
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 ∙ 𝑎ñ𝑜
b) ¿Cuántos pedidos se harán en un año?
𝑓=
c)
1
𝜆
2000
ó𝑟𝑑𝑒𝑛𝑒𝑠
= ∗=
= 20
𝑇
𝑄
100
𝑎ñ𝑜
¿Cuántos días habrá entre órdenes?
𝑇=
𝑄∗
100
1
𝑎ñ𝑜
365 𝑑í𝑎𝑠
𝑑í𝑎𝑠
=
=
=
= 18
𝜆
2000 20 ó𝑟𝑑𝑒𝑛𝑒𝑠
20 ó𝑟𝑑𝑒𝑛𝑒𝑠
ó𝑟𝑑𝑒𝑛𝑒𝑠
d) ¿Cuál es el punto de reorden?
𝑅𝑂𝑃 = 𝜆 ∙ 𝐿𝑇 = 2000
e)
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
2000 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
∙ 7 𝑑í𝑎𝑠 =
∙ 7 𝑑í𝑎𝑠 = 38 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑎ñ𝑜
365
𝑑í𝑎𝑠
¿Cuál es el costo promedio anual de inventario? ¿Cuál es el costo mensual? ¿Y el costo diario?
No considere el costo de adquisición.
𝐶𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 𝐾 ∙
𝜆
𝑄∗
$
ó𝑟𝑑𝑒𝑛𝑒𝑠
$
+ 𝐻∙
=5
∙ 20
+ 2
∙ 50 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
∗
𝑄
2
ó𝑟𝑑𝑒𝑛𝑒𝑠
𝑎ñ𝑜
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 ∙ 𝑎ñ𝑜
𝐶𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 100
$
$
$
200 $
200 $
+ 100
= 200
=
=
𝑎ñ𝑜
𝑎ñ𝑜
𝑎ñ𝑜
12 𝑚𝑒𝑠 365 𝑑í𝑎
Problema 2
La cafetería de la universidad utiliza diariamente 120 vasos plásticos de seis onzas. Asuma, por
simplicidad, que la cafetería opera 360 días del año. Los vasos tienen un costo de $10 por docena y cada
vez que se coloca una orden se incurre en un costo fijo de $5. Dado que estos artículos ocupan espacio
útil, se ha estimado que el costo de mantener un vaso durante un año (laboral) guardado equivale al
50% del costo del producto.
a)
Determine la cantidad óptima de pedido mediante el modelo EOQ.
𝜆 = 120
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑑í𝑎𝑠
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
∙ 360
= 43200
;
𝑑í𝑎
𝑎ñ𝑜
𝑎ñ𝑜
𝐾 = 5 $;
𝐻 = 0,5 ∙
10
$
5
$
=
12 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 ∙ 𝑎ñ𝑜
12 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 ∙ 𝑎ñ𝑜
De esta forma:
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
2 ∙ 43200
∙5$
2∙𝜆∙𝐾
2 ∙ 43200 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 2
𝑎ñ𝑜
𝑄 = √
= √
= √
1
5
$
𝐻
12
12 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 ∙ 𝑎ñ𝑜
∗
𝑄 ∗ = √2 ∙ 43200 ∙ 12 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 2 = 1018,233 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 ó 85 𝑑𝑜𝑐𝑒𝑛𝑎𝑠 (𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥).
b) Considere que, generalmente, la cafetería ordena vasos cada 30 días. Obtenga la relación entre
la cantidad ordenada real, y la cantidad óptima que determinó en a). Además, determine la
relación entre los costos medios anuales reales y los costos medios anuales óptimos sin
considerar los costos de adquisición.
Note que la cantidad real ordenada está dada simplemente por:
𝑄𝑅 =
43200
= 3600 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 ≈ 300 𝑑𝑜𝑐𝑒𝑛𝑎𝑠
12
De esta forma 𝑄 𝑅 ≫ 𝑄 ∗ .
Ahora, en la situación actual:
$
Costo de reposición = $ 5 ∙ 12 = 60
Costo de inventario =
5
$
12 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 ∙ 𝑎ñ𝑜
∙
3600
2
𝑎ñ𝑜
.
= 750
Costo total (sin adquisición) = 810
$
𝑎ñ𝑜
$
𝑎ñ𝑜
Mientras que en la situación con EOQ:
Costo de reposición = $ 5 ∙
Costo de inventario =
5
43200
1018,233
$
12 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 ∙ 𝑎ñ𝑜
∙
= 212
1018,233
2
$
𝑎ñ𝑜
.
= 212,3
$
𝑎ñ𝑜
Costo total (sin adquisición) = 424,3
$
𝑎ñ𝑜
De esta forma, la cafetería se podría ahorrar casi $385 anualmente.
Problema 3
El equipo de fútbol de la UDP rompe en promedio cuatro balones por semana. El equipo compra sus
balones a la tienda Sparta, que se ha caracterizado por proveer una buena calidad a bajo precio. El costo
de hacer un pedido es de $70, mientras que el costo anual de manejo de inventario por balón y por año
representa el 38% del costo del producto. La estructura de precios de Sparta es la siguiente:
Cantidad del Pedido
0-11
12-143
144 o más
a)
Precio por Unidad
$ 54
$ 51
$ 48,5
¿Cuántos balones debería comprar el equipo en cada estructura de precio?
Cantidad del Pedido
Precio por Unidad
0-11
12-143
144 o más
$ 54
$ 51
$ 48,5
𝜆=4
Costo de Inventario
(Precio por Unidad*0,38)
$ 20,52
$ 19,38
$ 18,43
𝑏𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠
𝑏𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠
∙ 52
= 208
;
𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎
𝑎ñ𝑜
𝑎ñ𝑜
𝐾 = $ 70 ;
Ahora,
𝑄∗ = √
2∙𝜆∙𝐾
𝐻
De esta forma,
𝑄1 = √
2 ∙ 208 ∙ 70
= 37,67 (𝑖𝑛𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒) → 𝑄1 = 11
20,52
𝑄2 = √
𝑄3 = √
2 ∙ 208 ∙ 70
= 38,76 (𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒) → 𝑄2 = 39
19,38
2 ∙ 208 ∙ 70
= 39,74 (𝑖𝑛𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒) → 𝑄3 = 144
18,43
b) ¿Cuál es el costo medio anual asociado a la mejor cantidad de pedido? En esta ocasión sí debe
considerar los costos de adquisición.
𝐶𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 (𝑄) = 𝐾 ∙
𝜆
𝑄∗
+
𝜆
∙
𝑐
+
𝐻
∙
𝑄∗
2
𝐶𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 (𝑄2 ) = 11359,24
𝐶𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 (𝑄3 ) = 11516,07
De esta forma es conveniente ordenar 39 unidades cada vez que se hace un pedido.
c)
Sparta descubre que ha subestimado sus costos de facturación, a causa de los procesos
especiales de pago que requieren los balones que adquiere el equipo de la UDP. Entonces, en
logar de elevar los precios, Sparta agrega una nueva categoría a la estructura de precios que le
ofrece a la UDP con miras a generar un incentivo para que se hagan pedidos más grandes y, de
ese modo, reducir el número de operaciones de facturación necesarias. Si la UDP decide
comprar 180 balones o más, el precio bajará a $ 45 por unidad. ¿Será conveniente que el
equipo de fútbol reconsidere ahora la cantidad de pedido y la reajusten a 180 balones?
Si 𝑄 = 180 entonces el precio por unidad es $45 y el costo de inventario disminuye a $17,1. El costo
medio anual de esta estructura de precios es $10979,8. Así, conviene el reajuste.
Problema 4
La empresa ICI-3031™ ha buscado (en forma incesante) disminuir el costo de reposición para su insumo
más estratégico. Para ello, le ha encomendado el desarrollo de un modelo matemático cuyo fin consiste
simplemente, pero en forma elegante, determinar los intervalos óptimos entre reposiciones. Para todos
los efectos, a este modelo lo denominaremos como Economic Order Timing (EOT).
Suponga que la demanda anual por este insumo es de 𝜆 unidades; el costo unitario del insumo asciende
a $𝐶; el costo por colocar una orden es de $𝐾; y finalmente, el costo por mantener una unidad de
producto durante un año en inventario es de $𝐻.
a)
Considere que el tiempo entre reposiciones se representa mediante 𝑇. En función de esta
variable, ¿cuál es la expresión matemática que define el costo total que se incurre entre
reposiciones? Identifique claramente sus componentes. Además, ¿cuál es la expresión que
define el costo medio entre reposiciones en función de 𝑇?
La primera relación importante, es que sabemos que existe una relación entre la tasa de demanda, el
tamaño de la orden y el tiempo entre reposiciones, y ésta es:
𝜆=
𝑄
⇒ 𝑄 = 𝜆𝑇
𝑇
Los costos que existen asociados al período entre reposiciones son:
Costo de poner una orden: $𝐾
-
Costo de compra de los insumos: $𝐶𝑄 = $𝐶𝜆𝑇
-
Costo de inventario durante el período T de las productos:
$H  T 
Q
H T 2  
$
2
2
Así, la expresión matemática que define el costo total entre reposiciones es:
Crep  K  C    T 
H T 2  
2
Derivar el costo medio entre reposiciones es sencillo a partir del resultado anterior, y resulta al dividir la
expresión por T. Luego:
Cmed 
K
H T  
 C  
T
2
b) En base a su respuesta al inciso a), determine el problema de optimización que le permite
obtener el tiempo óptimo entre reposiciones, resuélvalo, y obtenga una expresión “cerrada”
para la solución óptima del problema, 𝑇 ∗ .
El problema de optimización resulta de minimizar el costo medio, sujeto a que T  0, luego:
Min
{T }
K
H   T
 c 
T
2
s.a.
T 0
Para resolver este problema, derivamos la expresión respecto a T e igualamos a cero:
dCmed
K H 
 2 
0
dT
T
2
K H 

T2
2
2 K
T2 
H 
2 K
T* 
H 
Después de un análisis del mercado, de sus proveedores, y a su vez, de sus propios procesos internos,
ICI-3031™ le comenta que estima que la demanda anual por el insumo es de 500.000 unidades; que el
costo unitario del insumo asciende a $60; que el costo anual de inventario es de 30% el costo del
producto; y que el costo por colocar una orden es de $22.050.
c)
Determine el tiempo óptimo de reposición 𝑇 ∗ -medido en semanas- y el tamaño óptimo de la
orden 𝑄 ∗ en base al modelo que caracterizó en b). Sin resolver, ¿cómo se compara el lote
económico del modelo EOT con el que habría obtenido utilizando el modelo EOQ?
Tenemos que:
-
Costo de poner una orden: $𝐾 = $22.050
Costo de unitario compra de los insumos: $𝐶 = $60
-
Costo de inventario por unidad y año: $ H
-
Tasa de demanda anual: 𝜆 = 500.000
 0,3  60  $18
Luego, reemplazando en la expresión obtenida en b) tenemos que:
2 K
2  22.050

 0,07 años  3,64 semanas
H 
18  500.000
Q*    T *  500.000  0,07  35.000 unidades
T* 
Como usted vislumbra, es difícil implementar una política donde el tiempo de ciclo sea, por ejemplo, de
π semanas. En base a lo anterior, ICI-3031™ le pide evaluar un nuevo sistema de reabastecimiento en el
cual las órdenes sólo pueden ser colocadas en intervalos que son una potencia de un intervalo base.
Para todos los efectos, a este sistema lo denominaremos como Power of Two Policies.
d) Considere que el espacio de soluciones factibles del modelo que desarrolló en el inciso b),
ahora se restringe a que 𝑇 = 𝑇𝐵 ∙ 2𝑘 ; con 𝑇𝐵 igual a 1 semana, y 𝑘 ∈ 𝑍 + ∪ {0}. Bajo este nuevo
modelo, ¿cuál es el tiempo óptimo de reposición? ¿Cuál es la cantidad óptima a ordenar? ¿Cuál
es el mayor costo que se incurre por adoptar esta política?
El sistema propuesto define el dominio de soluciones factibles del problema anterior a uno más
acotado. Luego, debemos revisar lo que ocurre en los puntos más cercanos al óptimo del dominio no
restringido que calculamos en c). Estos puntos son:
T1  1 21  2 semanas
T2  1 22  4 semanas
En ambos puntos, debemos evaluar el costo, y el óptimo será el que entregue un valor menor. Así:
K
 H  T
C   
T
52 52 52 2
22.050
 0,3  60 500.000 2

C T1  
C 

  14353  C 
2
52
52
52
2
52
22.050
 0,3  60 500.000 4

C T2  
C 

  12169  C 
4
52
52
52
2
52
C T  
Claramente, el costo para
T2  4 semanas es menor, por lo que este es el óptimo. A partir de T óptimo
podemos evaluar el tamaño óptimo de las órdenes:
T *  4 semanas
500.000
Q*    4 
 4  38461,5
52