Ω−Ω Ω

___________________________________________________________________3. Memoria analítica
2.1. La ecuación de oscilación
La integración de la ecuación de oscilación permitirá conocer la evolución del ángulo δ,
así como δ& , que representa la velocidad relativa del rotor con respecto a la de
sincronismo. A continuación se describe el fundamento matemático en que se basa
dicha ecuación.
Desde el punto de vista mecánico, el par que originará la aceleración de la máquina es:
J
dΩ
= Tm − Te − Ta = Tm − Te − ka ⋅ (Ω − Ω 0 )
dt
(3.5)
donde:
J es el momento de inercia (Nms2)
Ω es la velocidad angular mecánica (rad/s)
Tm es el par motor (Nm)
Te es el par eléctrico (Nm)
Ta es el par amortiguador (Nm)
Ka es el coeficiente de par amortiguador (Nms)
La definición del par base es la siguiente:
Tbase =
Sbase
Ω0
(3.6)
donde Sbase es la potencia aparente base y Ω0 es la velocidad angular de sincronismo.
Se divide la ecuación de los pares por la del par base, resultando:
JΩ0 dΩ
kaΩ0
(Ω − Ω0 )
⋅
= tm − te −
Sbase dt
Sbase
(3.7)
Multiplicando y dividiendo por Ω0, la ecuación anterior queda expresada en función de
H (constante de inercia) y D (factor de amortiguamiento):
__________________________________________________________________________________19
“Algoritmo para analizar la estabilidad de una red eléctrica”
___________________________________________________________________3. Memoria analítica
2 H dΩ
D
⋅
= tm − te −
⋅ (Ω − Ω 0 )
Ω0
Ω 0 dt
(3.8)
La constante H se define como el cociente entre la energía cinética a la velocidad de
sincronismo (MJ) y la potencia nominal (MVA):
1
JΩ 0
Ec
2
H =
=
(seg )
Sbase Sbase
(3.9)
El factor de amortiguamiento D se define como:
D=
ka ⋅ Ω 02
Sbase
(3.10)
La velocidad angular mecánica, Ω, puede expresarse en función de la velocidad angular
eléctrica ω:
Ω=
1
ω
p
(3.11)
θ es la posición angular del rotor y δ el desplazamiento angular en grados eléctricos a
partir de un eje de referencia que gira a la velocidad de sincronismo. Se relacionan
mediante la siguiente expresión:
θ = ω0t + δ
(3.12)
Derivando la ecuación anterior con respecto al tiempo, se obtiene:
__________________________________________________________________________________20
“Algoritmo para analizar la estabilidad de una red eléctrica”
___________________________________________________________________3. Memoria analítica
ω=
dθ
dδ
= ω0 +
dt
dt
(3.13)
dδ
representa la desviación de la velocidad del rotor con
dt
respecto a la velocidad de sincronismo.
Se observa que el término
Derivando de nuevo la ecuación anterior con respecto al tiempo, se obtiene:
dΩ d 2θ d 2 δ
= 2 = 2
dt
dt
dt
(3.14)
De esta forma, podemos expresar la ecuación (3.8) como sigue:
2 H dω
D
⋅
= tm − te −
⋅ (ω − ω 0 )
ω0
ω0 dt
(3.15)
En la práctica, la velocidad del rotor no difiere significativamente de la velocidad de
sincronismo cuando la máquina es estable, por lo que los pares expresados en p.u. se
pueden aproximar por las potencias expresadas en p.u. Así, la ecuación anterior queda:
2 H dω
D
⋅
= Pm − Pe −
⋅ (ω − ω 0 )
ω0
ω 0 dt
(3.16)
Teniendo en cuenta que ω 0 = 2πf (rad/s), la ecuación de oscilación puede ser escrita en
términos de la desviación angular δ:
H d 2δ
D
⋅ 2 = Pm − Pe −
⋅ (ω − ω 0 )
πf dt
ω0
(3.17)
Si en la ecuación anterior se desprecia el amortiguamiento, se tiene:
H d 2δ
⋅
= Pm − Pe = Pa , donde Pa es la potencia acelerante
πf dt 2
(3.18)
Se observa que si Pm=Pe, el generador está funcionando a la velocidad de sincronismo.
__________________________________________________________________________________21
“Algoritmo para analizar la estabilidad de una red eléctrica”
___________________________________________________________________3. Memoria analítica
Si se resuelve la ecuación de segundo orden, se obtienen los valores de δ en función del
tiempo. La representación gráfica de estos valores es la curva de oscilación de la
máquina. Observando estas curvas puede saberse si las máquinas permanecen en
sincronismo tras una perturbación.
__________________________________________________________________________________22
“Algoritmo para analizar la estabilidad de una red eléctrica”