Xxxxx xxxxx xxxxx x xxx xxxxxxxxxxx xxxxx xxxxx x xxx xxxxxxxxxxx

RESOLUCIÓN FACSÍMIL DE MATEMÁTICA
PARTE I
PRESENTACIÓN
En esta publicación junto con las siguientes tres publicaciones de matemática se
comentarán las preguntas que aparecen en el facsímil publicado el 22 de mayo de este
año, por este mismo diario. El objetivo de estas publicaciones, es entregar información
a profesores y alumnos acerca de los tópicos y habilidades cognitivas que se evalúan
en cada uno de los ítemes de ese facsímil.
Cada pregunta se presentará acompañada del porcentaje de respuestas correctas,
del porcentaje de omisión y de la forma o formas de responderla, explicitando las
capacidades que se ponen en marcha para llegar a la solución y los errores más
comunes que cometen los alumnos. También se indicará el curso en el cual se ubica el
contenido dentro del Marco Curricular.
El porcentaje de respuestas correctas es un indicador de la dificultad de la pregunta
en el grupo evaluado y la omisión se considera como un índice de bajo dominio o
desconocimiento de los contenidos involucrados en la pregunta.
Esta publicación se abocará al análisis de las primeras 18 preguntas del facsímil de
prueba mencionado anteriormente y que corresponde a contenidos de primer año de
Enseñanza Media del Eje Temático de Números y Proporcionalidad, y de primero y
segundo año de Enseñanza Media del área temática de Álgebra.
Se espera que los análisis de las preguntas aquí presentados sirvan de
retroalimentación al trabajo de profesores y alumnos.
COMENTARIO DE LAS PREGUNTAS REFERIDAS
AL EJE TEMÁTICO DE NÚMEROS Y
PROPORCIONALIDAD
PREGUNTA 1
40  20  2,5 + 10 =
A)
B)
C)
D)
E)
0
20
60
75
250
Comentario:
En esta pregunta, el estudiante debe tener la capacidad de operar con números
decimales.
Para resolver este ítem, se deben efectuar las operaciones en el siguien te orden:
primero el producto y luego la suma o la resta.
Así, 40  20  2,5 + 10 = 40  50 + 10 = 10 + 10 = 0
Por lo tanto, la respuesta correcta está en la opción A).
Considerando que la resolución de esta pregunta se hace a través de una operatoria
rutinaria y que ésta se realiza desde la Enseñanza Básica, los datos estadísticos de
esta pregunta sorprenden, ya que resultó de dificultad mediana, pues solamente el 45%
de los estudiantes que abordaron el ítem en la prueba oficial la contestaron
correctamente.
La omisión de un 13,6%, indica que hay un número no menor de estudiantes que no
saben operar con números enteros y decimales, o bien no manejan la prioridad de las
operaciones.
El distractor C) tuvo un alto porcentaje de adeptos (20%) y corresponde a aquellos
estudiantes que siguen el orden de las operaciones de izquierda a derecha, tal como
aparecen en el enunciado, sin respetar las prioridades de las operaciones cuando éstas
no están indicadas con paréntesis, es decir,
40  20  2,5 + 10 = 20  2,5 + 10 = 50 + 10 = 60
PREGUNTA 2
Si a
5
6
A)

B)
C)
D)
E)
se le resta
1
resulta
3
1
2
1
2
2
3
4
3
2
9
Comentario:
En este ítem el estudiante debe comprender la información dada en el enunciado,
para luego traducirla como una resta de fracciones, la cual se resuelve sacando el
mínimo común múltiplo entre los denominadores y simplificando el resultado obtenido.
52
5
1
3
1

=
=
=
6
3
6
2
6
La opción correcta es la B), la que fue elegida por el 57% de los estudiantes,
indicando estadísticamente, que esta pregunta resultó de dificultad mediana para la
población que la abordó.
Un alto porcentaje de los estudiantes se inclinaron por la alternativa D), el 28,8%,
que corresponde a aquellos alumnos que restan hacia el lado, o sea numeradores entre
sí y denominadores entre sí. Este error es muy común y se ha repetido a lo largo del
tiempo en los alumnos egresados de la Enseñanza Media.
La omisión de un 9,1% se debiera de interpretar como alta, dado lo sencillo del
problema.
PREGUNTA 3
En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para repartir entre 31 niños
invitados. ¿Cuál es el número mínimo de golosinas que se necesita agregar para
que cada niño invitado reciba la misma cantidad de golosinas, sin que sobre
ninguna?
A)
B)
C)
D)
E)
11
20
21
0
7
Comentario:
Esta pregunta es contextualiza en el ámbito de los números enteros, requiere la
capacidad de comprender la información dada en el enunciado, para luego realizar una
operación aritmética sencilla.
En efecto, para determinar cuántas golosinas como mínimo se deben agregar al
total se requiere dividir 237 por 31, es decir,
237 : 31 = 7, donde queda resto 20.
Por lo tanto, a cada niño le corresponden 7 dulces.
Ahora, como sobran 20 dulces y son 31 niños, se debe agregar 11 golosinas como
mínimo para que a cada uno le correspondan 8 golosinas.
Luego, la opción correcta es A).
Esta pregunta la contestó bien el 51,7% de los estudiantes que la abordaron
resultando de dificultad mediana y la omisión no fue baja, llegando al 17,2%.
La opción errónea más recurrida por los estudiantes fue B), con un 10,3% y
corresponde a aquellos que, sin razonar mayormente toman el resto 20 como las
golosinas que se deben agregar.
PREGUNTA 4
El gráfico de la figura 1, representa el volumen de agua que hay en un estanque,
en un período de tiempo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El volumen máximo de agua se mantiene por 1 segundo.
No hay agua en el estanque a los 2 minutos.
3
A los 1,55 minutos hay 35 m de agua.
m3
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo II y III
I, II y III
35
fig. 1
0
1,5 1,6
2
Minutos
Comentario:
Esta pregunta es del tipo combinada y su contenido corresponde al análisis y
descripción de fenómenos y situaciones que ilustren la idea de variabilidad en un
gráfico.
El estudiante debe comprender e interpretar la información entregada en el
enunciado y en el gráfico, para luego determinar el valor de verdad o falsedad de cada
una de las afirmaciones dadas.
Para determinar la veracidad o falsedad de I), debe comprender que efectivamente
el volumen máximo de agua se mantiene, pero no es por 1 segundo, es por
0,1 minutos, los que equivale a 6 segundos, este resultado se obtiene al plantear la
siguiente proporción:
1 minuto
0,1 minuto

60 segundos x segundos
De esta manera se determina que la afirmación I) es falsa.
La afirmación II) es verdadera, pues del gráfico se desprende que a 2 minutos en la
3
abscisa le corresponden 0 m en la ordenada.
Como 1,55 minutos es el punto medio entre 1,5 y 1,6 minutos, y a este valor según
3
el gráfico le corresponde 35 m de agua, la afirmación III) es verdadera.
Luego, la opción correcta es D).
Los datos estadísticos nos muestran que el 43% de los estudiantes que abordaron
la pregunta la respondieron correctamente, indicando que la dificultad fue mediana y l a
omisión llegó al 13,9%.
El distractor marcado por un alto porcentaje de los alumnos fue E) con un 31,3% y
corresponde a aquellos alumnos que, interpretan bien II) y III), pero en I) cometen el
error señalado en el párrafo tercero del comentario a esta pregunta.
PREGUNTA 5
En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en él corresponden a 25 km en la
realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5,4 cm, entonces la
distancia real es
A)
B)
C)
D)
E)
50 km
65 km
67,5 km
62,5 km
ninguno de los valores anteriores.
Comentario:
Este es un ítem donde el estudiante debe plantear una proporción directa y resolver
la ecuación asociada a ella.
En efecto, como las variables directamente proporcionales son la distancia en el
mapa (cm) y la distancia en la realidad (km), se tiene
2 cm
5,4 cm

25 km
x
De donde x =
25 km  5,4 cm
= 67,5 km.
2 cm
Esta respuesta se encuentra en la opción C), la que fue marcada por el 51,3% de
los alumnos que la abordaron, por lo que resultó estadísticamente de mediana
dificultad.
Llama la atención el alto porcentaje de omisión, cercano al 18%, pues este tipo de
planteamientos, se supone que es de mucha recurrencia en al aula.
El 7% de las personas contestaron el distractor D), lo más probable es que
razonaron de la siguiente manera:
Como 2 cm en el mapa equivalen a 25 km en la realidad, por lo tanto 4 cm equivalen
a 50 km y 1 cm equivalen a 12,5 km. Suman ambas cantidades dándoles 62,5 km y se
olvidan de agregarles la equivalencia de los 0,4 cm.
PREGUNTA 6
Dos variables N y M son inversamente proporcionales entre sí. Para mantener el
valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces N
A)
B)
C)
D)
E)
aumenta al doble.
disminuye a la mitad.
aumenta en dos unidades.
disminuye en dos unidades.
se mantiene constante.
Comentario:
En este ítem se requiere que el estudiante sepa reconocer cuando dos variables son
inversamente proporcionales entre sí.
Debe recordar que dos variables N y M son inversamente proporcionales si su
producto es constante, es decir, N · M = k, donde k es la constante de proporcionalidad
inversa.
Como M aumenta al doble y dicha constante k debe mantenerse, necesariamente N
debe disminuir a la mitad.
En efecto,
1 
  N (2M) = N  M = k.
2 
Por lo que la opción correcta es B), la que fue contestada por el 40% de los
estudiantes, resultando la pregunta de mediana dificultad.
El distractor más recurrido con un 16,5% fue A) y corresponde a los alumnos que
dicen que si M aumenta en cierta cantidad, también N debe aumentar en esa misma
cantidad, para mantener la constante, pero esto ocurre cuando las variables son
directamente proporcionales.
En esta pregunta, la omisión resultó alta, alcanzando al 27,8%, esto se debe a un
desconocimiento del tema o podría ser que la manera de preguntar este contenido no
es habitual para los postulantes.
PREGUNTA 7
El orden de los números: M = 4,5110  ; N = 45,110 
a mayor, es
6
A)
B)
C)
D)
E)
M,
P,
N,
P,
M,
N,
M,
M,
N,
P,
5
y P = 45110  , de menor
7
P
N
P
M
N
Comentario:
El contenido involucrado en la pregunta es el de potencia de base positiva y
exponente entero.
En este caso el alumno debe tener la capacidad de establecer una relación de orden
entre números que se presentan en esta forma, y que es muy usada en la notación
científica.
Para poder ordenar estos números, es conveniente escribirlos como el producto de
una potencia de diez y un número mayor o igual a uno, pero menor que diez.
De esta manera:
M = 4,5110 
N = 45,110 
6
5
= 4,51·10 
P = 45110  = 4,51 · 10 
7
4
5
Como el número decimal es el mismo en los tres casos, se deben comparar los
6
5
4
exponentes de las potencias de 10, así se tiene que 10   10   10  , y por lo tanto el
orden pedido es M  P  N.
Luego, la opción correcta es E).
La estadística de este ítem nos muestra que resultó difícil, pues lo contestó
correctamente sólo el 22,9% de los estudiantes y la omisión fue alta, llegando a un
19%.
Los alumnos que se equivocaron al contestar este ítem, se distribuyeron en forma
muy pareja entre los distractores, debido a diversos errores que cometen al trabajar con
números en notación científica.
Un error muy común, al transformar de número decimal a notación científica, y que
no está puesto dentro de las alternativas de la pregunta por ser demasiado fuerte, es el
siguiente:
M = 4,5110 
6
N = 45,110  = 4,51·10 
5
6
P = 45110  = 4,51 · 10 
7
Como 10   10 
9
6
9
= 10  , el orden pedido es P  M = N.
6
PREGUNTA 8
En la tabla adjunta z es directamente proporcional a
registrados, el valor de
A)
B)
C)
D)
E)
1
. Según los datos
y
a
, es
b
256
16
1
16
64
1
64
z
8
a
1
1
4
y
2
4
16
b
Comentario:
El contenido involucrado en esta pregunta es el de relación entre las tablas y la
expresión algebraica de la proporcionalidad directa.
El alumno debe recordar que dos variables son directamente proporcionales entre
sí, cuando su cuociente es constante.
En este caso, como z es directamente proporcional a
con k la constante de proporcionalidad.
1
1
, se tiene que z :
= k,
y
y
1
= z · y = k, se concluye que la variable z es inversamente
y
proporcional a la variable y.
Como
z :
De la tabla se desprende que el valor de la constante k es 16, porque el producto de
los números correspondientes a z y a y que aparecen en la segunda y en la cuarta
fila, es igual a 16.
Así, a = 4 y b = 64, de donde
4
1
a
=
=
.
b
64
16
La alternativa correcta se presenta en la opción C) y la contestó el 24,7% de las
personas que abordaron la pregunta, resultando difícil.
Uno de los errores que cometen los alumnos es pensar que z es directamente
1
proporcional a y, y no a
. De esta manera utilizando los primeros valores que se dan
y
para z e y deducen que la constante de proporcionalidad es 4 y que a = 16 y b =
luego
1
,
16
16
a
=
= 256, dicho resultado se encuentra en la alternativa A).
1
b
16
La omisión fue muy alta alcanzando al 60,2%, lo que indica que los estudiantes
tienen serios problemas para relacionar dos variables proporcionales con su respectiva
constante de proporcionalidad.
PREGUNTA 9
Un par de zapatos más dos pantalones valen $ 70.000 en una tienda. Se ofrece
una oferta, al comprar dos o más pares de zapatos del mismo precio se
descuenta un 10% en cada par y por tres o más pantalones del mismo precio un
15% en cada pantalón. Juan paga por tres pantalones $ 38.250 y luego, compra
dos pares de zapatos. ¿Cuánto pagó Juan por los dos pares de zapatos?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
45.000
50.000
57.150
72.000
81.900
Comentario:
Este es un problema contextualizado, referido al contenido de porcentaje. El alumno
debe comprender e interpretar los datos del enunciado para establecer relaciones y
poder aplicar una estrategia de resolución.
Así, del enunciado se desprende que antes de la rebaja:
1 par de zapatos + 2 pantalones = $ 70.000
(1)
Como por comprar 3 o más pantalones hay un 15% de descuento y Juan compró
3 pantalones pagando en total $ 38.250, significa que cada pantalón ya rebajado le
costó $ 12.750.
Ahora, para encontrar el precio de un pantalón sin rebaja, se debe plantear la
siguiente proporción:
12.750
x

85%
100%
Por lo tanto, el costo de cada pantalón antes de la rebaja era de
x=
12.750  100
= $ 15.000.
85
Reemplazando este valor en (1) se tiene que
1 par de zapatos + 2 · $ 15.000 = $ 70.000.
Así, 1 par de zapatos (sin rebaja) es de $ 40.000.
Como la rebaja por cada par de zapatos es del 10%, o sea $ 4.000, cada zapato
rebajado, le costó
$ 40.000  $ 4.000 = $ 36.000
Como Juan compró 2 pares de zapados rebajados, él pagó por éstos, en total,
$ 72.000.
La opción correcta es D), la que fue contestada sólo por el 12,3% de los
estudiantes, indicando que la pregunta resultó muy difícil.
La omisión en esta pregunta fue muy alta llegando al 70%.
El distractor A) fue el más marcado con un 8,2%, y corresponde a aquellos
postulantes que no supieron interpretar el problema y plantearon la siguiente
proporción:
38.250
x

,
85%
100%
de donde el valor de x es $ 45.000, que corresponde al valor de tres pantalones.
COMENTARIO DE LAS PREGUNTAS REFERIDAS
AL ÁREA TEMÁTICA DE ÁLGEBRA
PREGUNTA 10
Claudia tenía en el banco $ 4p. Retiró la mitad y horas más tarde depositó el triple
de lo que tenía al comienzo. ¿Cuánto dinero tiene ahora Claudia en el banco?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
8p
10p
12p
16p
14p
Comentario:
El contenido de este ítem corresponde a uno de Primer año de Enseñanza Media y
se refiere a la operatoria con expresiones algebraicas no fraccionarias.
Para resolverlo el alumno debe comprender la información dada en el enunciado y
posteriormente realizar simples operaciones algebraicas.
Claudia tenía en el banco $ 4p y retiró la mitad de él ($ 2p), es decir quedó en un
momento con $ 2p. Si horas más tarde depositó el triple de lo que tenía al c omienzo, o
sea $ 12p, queda al final con $ 14p.
Por lo que la opción correcta es la E), que fue marcada por el 75% de las personas
que abordaron la pregunta, lo que demuestra que este ítem es fácil para la población
que rindió esta prueba.
La omisión fue muy baja alcanzando sólo el 1,3%. El distractor más marcado como
respuesta fue A), y corresponde a aquellos estudiantes que sumaron, a lo que le
quedaba después del retiro, es decir, a $ 2p, el triple de esta cantidad ($ 6p), llega ndo
a $ 8p como resultado.
PREGUNTA 11
Un número real n, distinto de cero, sumado con su recíproco, y todo al cuadrado,
se expresa como
2
A)
1

n  
n

B)
 1
2
n +  
n
C)
 1
n+  
n
D)
E)
2
2
n  (  n) 2
2
n + (n)
2
Comentario:
Para responder esta pregunta, el estudiante debe ser capaz de traducir del lenguaje
común al matemático, comprendiendo a cabalidad los datos entregados en el
enunciado, lo cual se enseña en Primer año de la Enseñanza Media.
Además, el alumno debe recordar que el recíproco de un número real n distinto de
1
cero es su inverso multiplicativo, es decir, el reciproco de n es .
n
Así, la expresión de la suma de n con
1
y todo esto elevado al cuadrado, se
n
encuentra representado en la opción A).
El problema lo contestó correctamente el 56,5% de los alumnos, resultando de
dificultad mediana.
Llama la atención que casi un tercio (32,1%) de los estudiantes que rindieron la
prueba omitieron el ítem, donde la dificultad mayor podría radicar en saber cuál es el
recíproco de un número real.
Los distractores D) y E), por los que en conjunto se inclinaron el 7% de los que
abordaron el ítem, indica que aquellos alumnos confunden el recíproco de n, con su
inverso aditivo que es n.
PREGUNTA 12
Si x es un número entero mayor que 1 y el área de un rectángulo se expresa
2
como (x + 5x – 6), ¿cuál de las siguientes opciones puede representar a sus
lados?
A)
B)
C)
D)
E)
(x
(x
(x
(x
(x
–
+
–
+
–
1)
2)
1)
1)
2)
(x – 5)
(x – 3)
(x + 6)
(x – 6)
(x – 3)
y
y
y
y
y
Comentario:
El ítem apunta al contenido de interpretación geométrica de los productos notables
que se encuentra en Primer año de la Enseñanza Media.
El alumno debe recordar que el área de un rectángulo es igual al producto de la
base por su altura, conocimiento adquirido en la Enseñanza Básica.
La expresión x + 5x  6 representa el área de un rectángulo y ella se puede
factorizar como el producto de dos binomios con un término común, de acuerdo a la
siguiente regla:
2
2
x + bx + c = (x + m)(x + t), con m · t = c y m + t = b,
que al aplicarla resulta
x + 5x  6 = (x  1)(x + 6),
2
donde cada uno de estos factores puede corresponder a la base o a la altura del
rectángulo.
Así, los factores hallados se encuentran en la opción C), que fue marcada por el
43,5% de los alumnos que abordaron el ítem, indicando que éste es de mediana
dificultad.
Los alumnos que dijeron que el trinomio tenía como factores (x + 2) y (x – 3),
alternativa B), aplicaron mal la regla antes mencionada, ya que si bien es cierto que
2  3 = 6 pero 2 + (3)  5.
Considerando que el trinomio dado es de fácil factorización, ya que aparece en
todos los textos y guías usados por los alumnos, llama la atención el 36,8% de omisión
que obtuvo la pregunta.
PREGUNTA 13
Si el radio r de un círculo aumenta en  unidades, entonces el área del nuevo
círculo se expresa, en unidades cuadradas, como
A)
B)
C)
D)
E)
 r2  
 r 2  2
 (r 2   2 )
 ( r 2  )
 ( r   )2
Comentario:
Este contenido es de Primer año de Enseñanza Media y se refiere al análisis de
fórmulas de áreas en relación con la incidencia de la variación de los elementos
lineales.
El estudiante para enfrentar este ítem debe recordar, de la Enseñanza Básica, que
2
la fórmula del área de un círculo de radio r, es  · r .
Por lo tanto, el área del círculo inicial del problema es  · r .
2
Como se señala que el radio r aumenta en  unidades, el radio del nuevo círculo es
2
(r +  ) unidades, luego el área de este nuevo círculo es  · (r +  ) unidades
cuadradas, expresión que se encuentra en la opción E).
El error más marcado por los alumnos está en la alternativa A) con un 6,8%, lo más
2
probable es que pensaron que como el área inicial del círculo es  · r y el radio
aumentó en  unidades, entonces dicho valor se lo suman al área y no al radio,
resultando  r 2   .
El 37,2% de los estudiantes contestó correctamente el ítem y la omisión resultó
bastante alta (43,7%) para lo sencillo del problema.
PREGUNTA 14
Juan en 10 años más tendrá el doble de la edad que tenía hace 5 años. ¿Qué
edad tendrá Juan en un año más?
A)
B)
C)
D)
E)
21
20
16
15
11
años
años
años
años
años
Comentario:
Este contenido es de Primer año de Enseñanza Media y se refiere a planteo y
resolución de problemas que involucran ecuaciones de primer grado con una incógnita.
El alumno para responder el ítem debe ser capaz de traducir el enunciado a una
ecuación de primer grado y solucionar dicha ecuación. Además, debe darse cue nta que
no le están pidiendo la edad actual de Juan sino que por la edad que tendrá en un año
más.
Si consideramos que la edad actual de Juan es x años, entonces en 10 años más
tendrá (x + 10) años y que hace 5 años tenía (x  5) años.
Así, la ecuación que permite resolver la situación planteada es:
x + 10 = 2(x  5), de donde
x + 10 = 2x  10
Luego, despejando x se obtiene que la edad actual de Juan es de 20 años. Por lo
que en un año más, tendrá 21 años.
La opción correcta es A), a la que llegó el 34,5% de los estudiantes que abordaron
el ítem.
La omisión del 26% se debe considerar alta, ya que este planteamiento de
problemas es bastante común en el trabajo de aula.
El distractor C) con un 16,9% fue el más marcado y corresponde a aquellos alumnos
que, habiendo planteado bien la ecuación que resuelve el problema, distribuyeron mal
el factor 2 al resolverla.
En efecto,
x + 10 = 2(x  5)
x + 10 = 2x  5,
y así llegan a que x = 15 años, luego Juan tendrá en un año más 16 años .
La opción E), que fue el segundo distractor más marcado, con un 11%, se obtiene
de plantear la ecuación
10 = 2(x  5)
de donde x = 10. Por lo que llegan a que Juan tendrá 11 años en un año más.
PREGUNTA 15
2 2
2
Dada la expresión x y + x y + xy + x, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es
(son) factor(es) de ella?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
xy + 1
x+1
y+1
I
II
III
I y III
II y III
Comentario:
El contenido de la pregunta está referido a la factorización de una expresión
algebraica, el cual se ve en Primer año de la Enseñanza Media.
En este polinomio el estudiante tiene que realizar una factorización por agrupación
de términos.
Es decir, al polinomio lo agrupamos en dos binomios donde uno de ellos se puede
factorizar por xy y el otro por x.
En efecto,
2 2
2
(x y + xy) + (x y + x) = xy(xy + 1) + x(xy + 1)
Luego, como al lado derecho de la igualdad se repite el binomio (xy + 1), se puede
factorizar por dicho binomio
xy(xy + 1) + x(xy + 1) = (xy + 1)(xy + x)
Además, como (xy + x) se puede factorizar por x, se tiene finalmente que
2 2
2
x y + x y + xy + x = (xy + 1) (y + 1)x.
De esta manera los factores del polinomio dado son:
x, (xy + 1) e (y + 1)
Así, la opción correcta es D).
Esta pregunta resultó muy difícil, pues la contestó bien solamente el 10,6% de los
estudiantes que la abordaron y la omisión fue alta, llegando al 62,6%. Esta alta omisión
indica que una gran parte de nuestros alumnos no conocen o no están familiarizados
con este tipo de factorización.
El distractor A) fue marcado por el 10,5% de los estudiantes, ellos consideraron que
sólo (xy + 1) era factor de la expresión dada en el enunciado. Esto, quizás se debió a
que sólo llegaron a la primera factorización (xy + 1)(xy + x) y no se dieron cuenta que
(xy + x) se podía factorizar por x.
PREGUNTA 16
(2a)  (3a) =
3
A)
B)
C)
D)
E)
2
2
72a
5
72a
5
6a
6
36a
5
36a
Comentario:
Esta pregunta es de Segundo año de Enseñanza Media y pertenece al contenido de
potencias con exponente entero. En particular, a la multiplicación de potencias de igual
base.
Para responderla el alumno debe recordar que para calcular la potencia de un
producto, se eleva cada uno de los factores al mismo exponente, es decir,
(a  b) = a  b .
n
n
n
Si aplicamos esta propiedad en la pregunta, se tiene que:
3
3
3
(2a) = 2 a = 8a
3
y
2
2 2
(3a) = 3 a = 9a
2
Luego, al aplicar la propiedad de multiplicación de potencias de igual b ase se tiene
3
2
8a · 9a = 72a
5
Así la opción correcta es B), contestada por el 49,9% de los alumnos, lo que
muestra que la pregunta resultó de dificultad mediana.
El distractor más llamativo fue C), con un 23,7% de adhesión y corresponde a
aquellos estudiantes que aplicaron mal la propiedad de la potencia de un produ cto, o
sea elevaron solamente los factores literales y luego procedieron a multiplicar los
factores numéricos entre sí:
(2a)  (3a) = 2a · 3a = 6a .
3
2
3
2
5
Considerando que este contenido se evalúa en una forma muy sencilla y que es
bastante trabajado en el aula, el 11,6% de omisión que ella presentó, se debe
interpretar como bastante alta.
PREGUNTA 17
1
1
1
+
+
=
x
x
x
A)
B)
C)
D)
E)
3
1
x3
3
x
1
3x
3
x3
Comentario:
Este ítem corresponde a un contenido de Segundo año de Enseñanza Media y se
refiere a la operatoria con expresiones fraccionarias simples.
El estudiante debe recordar que para sumar fracciones de igual denominador, éste
se conserva y se procede a sumar los elementos del numerador.
En este caso:
1
1
1
3
+
+
=
x
x
x
x
La alternativa correcta es C) y la contestó correctamente el 61,8% de los
estudiantes, indicando que su dificultad fue relativamente fácil.
El distractor E) fue el más elegido por los alumnos con un 11,9% y corresponde a
quienes no saben cómo operar cuando en el denominador se tiene la misma expr esión
en cada una de las fracciones y en vez de conservar dicha expresión, la multiplican
entre sí y luego suman las cantidades del numerador.
Sorprende el 13% de omisión, considerando que la operación pedida en el ítem es
demasiado rutinaria y directa.
PREGUNTA 18
Para completar la tabla adjunta se debe seguir la siguiente regla: el últi mo número
de cada fila es la suma de los tres números anteriores y el último número de cada
columna es la suma de los tres números anteriores. ¿Cuál es el valor de x?
A)
B)
C)
D)
E)
5
7
8
9
16
x
4
4
9
8
24
20
13
16
55
Comentario:
El contenido de la pregunta es la resolución de desafíos y problemas no rutinarios
que involucren sustitución de variables por dígitos y/o números, que se encuentra en
Segundo año Medio. Requiere de parte del alumno, la capacidad de comprender las
instrucciones dadas en el enunciado que le permiten completar la tabla.
Para determinar el valor de x, el alumno debe completar en las columnas y en las
filas los valores faltantes necesarios, siguiendo la regla dada en el enunciado.
De esta manera, para que los valores de la última columna sumen 55 el valor
faltante debe ser 22, éste valor es la suma de los tres números anteriores de la
segunda fila, de esta forma el valor faltante es el 9 y en la primera columna el valor que
falta es el 7 para que la columna sume 24.
Es decir:
7
x
4
20
9
4
9
22
8
24
13
16
55
Es así como, en la primera fila, para lograr la suma de 20, indicada al final de ella, el
valor de x debe ser igual a 9, luego la alternativa correcta es D), la cual fue señalada
por el 69,6% de los estudiantes, lo que indica que el ítem resultó fácil.
La omisión del 18% implica que un número importante de estudiantes no
comprendió lo que pedía el problema. El distractor C) indica que los alumnos
probablemente razonaron de la siguiente manera: como en la primera fila la suma de
los tres números debe ser 20 y ya tengo 4, los dos restantes deben ser iguales, o sea
valen 8. El 4,4% de los postulantes que rindieron la prueba oficial se inclinaron por este
distractor.
PREGUNTA 19
Si P =
2P
R
A)
B)

R
2P
C)

2P
R
D)
2R
P
E)
R
2P
1
RH, entonces H 1 es igual a
2
Comentario:
El contenido abordado en este problema es el de potencia con exp onente
entero, tema perteneciente a Segundo año Medio.
El alumno para llegar a la respuesta correcta puede despejar H de la
igualdad dada, de la misma manera que se enseña a despejar una variable en
una fórmula, para posteriormente encontrar H 1.
1
RH se multiplica por el inverso multiplicativo de
2
1
2P
y se obtiene 2P = RH, luego, al multiplicar por
se tiene
= H.
R
R
En efecto, la igualdad P =
1
2
Por otro lado, se sabe que H 1 =
H 1 
1
2P
, reemplazando H por
, se obtiene
R
H
1
R
, lo que es igual a H 1 =
.
2P
2P
R
Luego la opción correcta es E).
El ítem resultó difícil, ya que lo contestó correctamente un 28,1% de los
postulantes que abordaron el problema. Llama la atención que siendo un ítem
de resolución sencilla, donde se aplica operatoria básica obtuviera una omisión
alta, cercana al 58%.
Al analizar los distractores desde el punto de vista estadístico, se o bserva
que la opción A) fue la más marcada por quienes erraron la respuesta y este
error se debe seguramente, a que sólo calcularon H y no comprenden el
significado de H1.
PREGUNTA 20
Si P =
a
c

, con a, b, c y d distintos de 0, ¿cuál(es) de las
b
d
siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
ac
bd
I)
P=
II)
El inverso aditivo de P es –
III)
El inverso multiplicativo de P es
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
I
II
III
I y III
II y III
ad  cb
bd
b d

a c
Comentario:
El contenido involucrado en este ítem es de Segundo año Medio y
corresponde a expresiones algebraicas fraccionarias e interpretación de ellas
como números fraccionarios y viceversa.
El alumno para llegar a la clave debe analizar el valor de verdad de las
afirmaciones I), II) y III), junto con los datos entregados en el enunciado.
A continuación se analizará cada una de ellas:
Al aplicar a P =
a
c
la definición de sumas de fracciones con distinto

b
d
denominador, se tiene
a
c
ad
cb
ad  cb

=
+
=
b
d
bd
bd
bd
que no siempre es igual a
ac
, de esta manera la afirmación I) es falsa.
bd
a
c
ad  cb

=
, y el inverso aditivo de P es P, se
b
d
bd
ad  cb
obtiene que P = 
, luego la afirmación II) es verdadera.
bd
Ahora bien, como P =
Por otro lado, el inverso multiplicativo de P es
1
,
P
por lo tanto
1
1
1
bd



.
c
ad  bc ad  bc
P a

b
d
bd
Si se suman las fracciones presentadas en III) se obtiene
b
d
bc  ad

=
a
c
ac
que no siempre corresponde a la expresión encontrada para el inverso
multiplicativo de P, por lo que la afirmación III) es falsa.
Del análisis realizado anteriormente se concluye que la clave es la o pción
B).
Estadísticamente este ítem resultó muy difícil, sólo un 15,6% de los
postulantes que abordaron el problema lo hizo de forma correcta. Su om isión
fue cercana al 50%. Este resultado tal vez se deba, a que no es un tipo de
problema que se trabaje en las aulas, o bien, a un desconocimiento de la
operatoria de fracciones algebraicas.
El distractor con mayor preferencia por parte de los postulantes que
abordaron el ítem fue D), seguramente ellos no saben sumar fracciones, lo que
los lleva a determinar en forma errónea el inverso aditivo y el inverso
multiplicativo, concluyendo que I) y III) son verdaderas.
PREGUNTA 21
Si a  0 y a  b, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es (son)
verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
I)
a + b  a  b
II)
a + b  b  a
III)
a  b  b  a
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
Comentario:
Este ítem involucra un contenido de Tercer año Medio sobre desigua ldades,
intervalos y la resolución de inecuaciones aplicando operatoria b ásica.
El alumno debe tener la habilidad de analizar cada una de las relaciones
para llegar a la verdad o falsedad de ellas, utilizando los datos entr egados en
el enunciado y recordando que cuando se suma o resta un número a ambos
lados de la desigualdad, el sentido de ésta no cambia. Lo mismo ocurre cuando
se multiplica o divide a ambos lados de la desigualdad por un número positivo.
Del enunciado podemos concluir que si a < 0 y a > b, entonces b < 0.
En I), se tiene que a + b  a  b, si se suma el inverso aditivo de a a ambos
lados de la desigualdad, se tiene b < b, luego si se suma b a ambos lados, se
obtiene 2b < 0, y al dividir por 2 a ambos lados de la desigualdad se obtiene
que
b < 0, que coincide con lo entregado en el enunciado, por lo tanto I) es
verdadero.
En II), se tiene que a + b  b  a, si se suma el inverso aditivo de b a ambos
lados de la desigualdad, se tiene a < a, luego al sumar a a ambos lados, se
obtiene 2a < 0, por lo tanto a < 0, lo que también coincide con lo entregado en
el enunciado, luego II) es verdadero.
En III), se tiene a  b  b  a, si se suma a a ambos lados se obtiene
2a  b < b, ahora si se suma b a ambos lados y luego se divide por 2, se
obtiene que a < b, lo que se contradice con los datos del enunciado, luego III)
es falsa.
Por el análisis de I), II) y III) se concluye que la clave es D).
El ítem resultó de dificultad mediana con un 42,3% de respuestas c orrectas
y con un 34,1% de omisión.
PREGUNTA 22
6
A)
B)
C)
D)
E)
1

4
5
1

16
8
4
=
25
61
20
7

2
2
6
+
4
5
151
20
6 
5 +
8 +
7
20
Ninguno de los valores anteriores.
Comentario:
En este problema, el alumno debe calcular raíces cuadradas, contenido que
se encuentra en Tercer año Medio. Además, debe aplicar la adición de
fracciones, contenido de Enseñanza Básica.
En la expresión
6
1

4
5
1

16
8
4
, se resuelven las adiciones y
25
sustracciones que aparecen en las cantidades subradicales, obteniénd ose
24  1

4
80  1

16
200  4
=
25
aplicando raíz de un cuociente, resulta
25

4
extrayendo las raíces cuadradas se tiene
25

4
81

81

16
196
16
196
25
,
25
5
9
14


,
2
4
5
y por último, operando las fracciones se llega a
50  45  56
61

.
20
20
Por lo anterior la opción correcta es A).
Estadísticamente el ítem resultó difícil, con un 20,8% de respuestas
correctas. La alta omisión (60%) que presenta el problema deja de manifiesto
el poco dominio de este contenido en los egresados de la Enseñanza M edia,
ya que el problema en sí no es de una gran complejidad.
El distractor más marcado por parte del alumnado fue D), con un 10,8%.
Para llegar a marcar esta opción, lo más probable es que ellos aplicaron raíz a
cada sumando, luego calcularon la raíz cuadrada de las fracciones, para luego
sumarlas, es decir,
6
1

4
5
1

16
8
4
=
25
1
+
16
4
=
25
6 +
1

4
5 +
6 
5 +
8 +
1
1
2
+

=
2
4
5
6 
5 +
8 +
10  5  8
=
20
8 
6 
5 +
8 +
7
20
PREGUNTA 23
3
a 2x  2 
3
ax  1 =
3x + 3
A)
a
B)
6
C)
D)
E)
a
x+3
a
x+1
a
a 3x  3
3x
Comentario:
El contenido que involucra este ítem es de Tercer año Medio y corre sponde
a raíz cúbica. Para resolver el ítem se debe aplicar las propiedades de
multiplicación de raíces de igual índice 3 a  3 b  3 ab y la multiplicación de
n
m
n + m
potencias de igual base (a · a = a
), contenido que se encuentra en
Segundo año Medio.

Así,
3
a2 x  2

3
ax  1 =
3
a2x 2  ax 1 =

3
a3 x 3 . Si se factoriza por 3 el




n




exponente de la cantidad subradical y se aplica la propiedad  3 an  a 3  ,
entonces se tiene que
3
a3( x 1) = a
3( x 1)
3
.
Por último, al simplificar el exponente se llega a que el resultado es ax 1 .
Así la clave es E).
El problema resultó muy difícil, con un 19,4% de respuestas correctas de los
alumnos que abordaron el ítem, la omisión fue cercana al 41%. Estos
resultados reflejan una mala internalización del contenido o un
desconocimiento de él.
Un cuarto de los postulantes que abordaron el problema se inclinaron por el
distractor B). El alumno para llegar a marcar esta opción como cl ave, aplica
bien la propiedad de la multiplicación de potencias de igual base, pero no la de
multiplicación de raíces de igual índice, ya que no conserva los índices sino
que los suma, es decir,
3
a2 x  2 
3
ax  1 =
6
a2x 2  ax 1 =
6 3 x 3
a
PREGUNTA 24
¿Cuál es el conjunto de todos los números que están a una distancia
mayor que 6 de 0 y a una distancia menor que 20 de 8?
A)
B)
C)
D)
E)
 6, 8 
 6, 28 
  12 ,  6    6, 28 
  , 28 
  ,  12     6, 6    28,  
Comentario:
El contenido que está involucrado en este ítem es el de desigualdades e
intervalos en los números reales, que se encuentra en Tercer año Medio.
El alumno para resolver el ítem debe comprender el enunciado y trad ucirlo a
intervalos, luego graficar dichos intervalos, y así encontrar la respuesta a
través de la intersección de ellos.
Todos los números que están a una distancia mayor que 6 de 0,
corresponden a los números reales que pertenecen al intervalo
,  6    6,   .
Gráficamente ésto corresponde a
6
0
6
Por otro lado, todos los números que están a una distancia menor que 20 de
8, corresponden a los números reales que pertenecen al intervalo   12, 28  .
Gráficamente ésto corresponde a
12
0
8
28
Ahora bien, como son todos los números reales que cumplen con ambas
condiciones, se debe encontrar el intervalo resultante de la interse cción de los
dos intervalos anteriores. El siguiente gráfico representa dicha intersección.
12
6
0
28
6
Luego, se observa que los números que cumplen ambas condiciones
pertenecen al intervalo   12 ,  6    6, 28  .
Resultado que se encuentra en la opción C).
Este problema resultó muy difícil, con un 7,2% de respuestas correctas por
parte de los alumnos que abordaron el ítem. Su om isión fue muy alta
alcanzando el 79,6%. Estos resultados se pueden deber a un desconoc imiento
del contenido o bien, al no saber interpretar este tipo de problemas.
Por otra parte, el distractor A) obtuvo un 6% de preferencia, esta elección
por parte del alumnado se debe probablemente al siguiente error:
De la condición “todos los números que están a una distancia mayor que 6
de 0”, la interpretan como “los números mayores que 6”, que en intervalo se
expresa como  6,   y que gráficamente se interpreta como
0
6
Por otro lado, “una distancia menor que 20 de 8” la interpretan como “los
números menores que 8” que en intervalo se expresa como   , 8  y
gráficamente es
0
8
Y por último, la intersección de ambos intervalos es
gráficamente corresponde a
0
 6, 8  ,
que
6 8
COMENTARIOS DE LAS PREGUNTAS REFERIDAS AL ÁREA TEM ÁTICA
DE FUNCIONES
PREGUNTA 25
Si x e y satisfacen las ecuaciones x + y = 8
x  y es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
y x – y = 2, entonces
16
15
0
–20
ninguno de los valores anteriores.
Comentario:
Para encontrar la opción correcta en este tipo de ítemes el alumno debe
saber resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, contenido que se
encuentra en Segundo año Medio.
El alumno debe aplicar uno de los métodos de resolución de sistemas de
ecuaciones que le permitan encontrar los valores de x e y, para luego calcular
su producto.
Así, se tiene el sistema
(1)
(2)
x+y=8
xy=2
Aplicando el método de reducción se obtiene 2x = 10, lo que implica que x =
5. Si este valor se reemplaza en (1) se obtiene que y = 3. Por último, el
producto de x por y es 15. Por lo tanto, la opción correcta es B).
Estadísticamente el ítem resultó con un 56% de respuestas correctas, que
lo convierte en un ítem de dificultad mediana. A pesar de ser un ítem que se
trabaja bastante en el aula obtuvo una alta omisión, alcanzando el 21,2%.
El distractor A) fue uno de los más marcados por los estudiantes, lo más
probable es que razonaron de la siguiente manera:
En el sistema
(1)
(2)
x+y=8
xy=2
como la variable y se está sumando en una ecuación y se está restando en la
otra, la eliminan y en vez de sumar los coeficientes de x y los números, los
2
multiplican, quedando x = 16, de donde x = 4.
Reemplazando este valor en (1) se llega a que y = 4. Por lo tanto, x  y = 16.
PREGUNTA 26
Si f(x) = 5x, entonces 5  f(5x) es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
125x
25x
2
125x
2
25x
ninguna de las expresiones anteriores.
Comentario:
El contenido al cual está referido este ítem se encuentra en Segundo año
Medio y corresponde al concepto de función.
Lo primero que se debe hacer en este problema es reconocer las vari ables
y luego valorarlas en la función.
Para calcular 5  f(5x), se debe evaluar 5x en la función dada, en efecto
f(5x) = 5(5x) = 25x, y al calcular 5  f(5x) se obtiene 5  (25x) = 125x.
Luego, la opción correcta es A).
El distractor con mayor preferencia por parte de los postulantes fue B), con
un 18,3%. El error que cometen los alumnos que marcan esta opción es
trabajar con f(x) y no con f(5x), es decir,
5  f(x) = 5  (5x) = 25x
Estadísticamente el problema obtuvo una alta omisión (28,8%), y resu ltó
difícil, logrando sólo un tercio de respuestas correctas por parte de los
postulantes que la abordaron.
PREGUNTA 27
La ecuación de una recta es x – my – 2 = 0. Si el punto (–2, 8) pertenece a
esta recta, entonces el valor de m es
A)
B)
C)
–2
–3
–
1
2
D)
1
2
E)
2
Comentario:
Este ítem aborda un contenido que se encuentra en Segundo año Medio y
está relacionado con la ecuación de una recta y la pertenencia de un punto a
ésta. Para encontrar la solución, el alumno debe reemplazar en la ecu ación de
la recta el punto dado para formar una ecuación de primer grado con una
incógnita m, contenido tratado en Primer año Medio.
Como el punto (2, 8) pertenece a la recta dada, al reemplazar sus
coordenadas en x – my – 2 = 0, se tiene la igualdad 2  m · 8  2 = 0, luego
m  8 = 4, obteniéndose que m = 
1
.
2
Así, la opción correcta es C).
Llama la atención que este ítem resultara con una omisión alta, llegando al
62,2% y difícil, con un 26,5% de respuestas correctas por parte de los
postulantes que abordaron la pregunta. Estos resultados sorprenden, ya que la
pregunta en sí no plantea una situación nueva o relativamente nueva, sino que
por el contrario, es un problema bastante recurrente en el trabajo del aula.
El distractor con mayor porcentaje de preferencia fue A), esto se debe
probablemente a un errado desarrollo de la ecuación de primer grado, ll egando
al valor recíproco de m.
PREGUNTA 28
Si f(x) =
A)
4
B)
17
2
C)
−
2
, entonces f(7) es igual a
11
2
11
2
D)
E)
2x  3
−
17
2
Comentario:
El contenido que se mide en este problema es de Segundo año Medio y
se trata de la función valor absoluto.
El alumno debe conocer la definición de la función valor absoluto y
luego valorar dicha función en un número real dado.
 x,
 x,
Como la función valor absoluto se define f ( x )  x  
se tiene que f (7) 
2  7  3
2

14  3
2

17
2

si
x0
si
x0
17
17
 
.
2
2
Lo que indica que la clave es la opción E).
La estadística nos muestra que este ítem resultó difícil, con un 33,4%
de respuestas correctas, y la omisión fue cercana al 50%. Esta alta
omisión se debe seguramente a que no identifican la función valor
absoluto.
La opción B) obtuvo un 9,6% de las preferencias, siendo la más elegida
dentro de los distractores por parte de los alumnos que abordaron el
problema. El error cometido, seguramente, se debió a que asumieron que
el denominador estaba dentro del valor absoluto, y por tal motivo llegan a
17
.
2
PREGUNTA 29
En el gráfico de la figura 2, se muestran las tarifas de un estacionamiento
por horas. Un automovilista estaciona durante 4 días: el primer día 152
minutos, el segundo día 180 minutos, el tercer día 90 minutos y el cuarto día
210 minutos. ¿Cuánto canceló en total por los días que estacionó?
A)
B)
C)
D)
E)
$ 1.900
$ 2.300
$ 2.400
$ 2.000
Ninguno de los valores anteriores.
Pesos
700
600
fig. 2
400
300
1
2
3
4
Horas
Comentario:
Este es un problema contextualizado que aborda el contenido de asi gnación
de precios por tramos de consumo, tópico que se encuentra en Segundo año
de Enseñanza Media.
Así, para determinar cuánto canceló el automovilista por los días que
estacionó, se debe calcular lo que gastó en cada uno de ellos. Para ésto como
los períodos los dan en minutos y en el gráfico están los tramos por hora, se
debe realizar la equivalencia.
er
1
día: Estacionó 152 minutos, que equivalen a 2,5 horas
aproximadamente, observando el gráfico se ve que este período se encuentra
entre 2 y 3 horas, por lo tanto gastó $ 600.
do
2 día: Estacionó 180 minutos, que equivalen a 3 horas, período que se
encuentra entre 2 y 3 horas (3 horas inclusive), por lo tanto gastó $ 600.
er
3 día: Estacionó 90 minutos, que equivalen a 1,5 horas, período que se
encuentra entre 1 y 2 horas, por lo tanto gastó $ 400.
to
4 día: estacionó 210 minutos, que equivalen a 3,5 horas, período que se
encuentra entre 3 y 4 horas por lo tanto gastó $ 700.
Luego sumando los cuatro precios se obtiene que canceló en total por los
días de estacionamiento $ 2.300. De esta manera la clave es la opción B).
Este ítem resultó difícil, con un 23% de respuestas correctas, y un cua rto de
los alumnos que abordaron el problema lo omitieron.
A continuación, se muestran los dos distractores que obtuvieron porce ntajes
de preferencias por sobre el 6%.
El distractor C) se obtiene de la siguiente manera:
er
er
to
do
En el 1 , 3 y 4 día hicieron bien los cálculos de lo gastado, pero el 2
día, el automovilista estacionó 180 minutos, lo que equivale a 3 horas,
interpretando que gastó $ 700 en vez de $ 600.
Luego, sumando los precios de los cuatro días se obtiene $ 2.400.
El distractor A) se obtiene de calcular las horas sin preoc uparse de los
minutos, es decir,
er
1
día: Estacionó 152 minutos, que equivalen a 2,5
aproximadamente, lo aproxima a 2 horas, por lo tanto gastó $ 400.
horas
do
2 día: Estacionó 180 minutos, que equivalen a 3 horas, por lo tanto gastó
$ 600.
er
3 día: Estacionó 90 minutos, que equivalen a 1,5 horas, lo aproxima a 1
hora, por lo tanto gastó $ 300.
to
4 día: Estacionó 210 minutos, que equivalen a 3,5 horas, lo aproxima a
3 horas, por lo tanto gastó $ 600.
Luego, al sumar los precios de los cuatro días, se obtiene $ 1.900.
PREGUNTA 30
2
Un patio rectangular de 24 m de superficie, tiene 2 metros más de frente
que de fondo. Si x es la medida del fondo, ¿cuál de las siguientes
ecuaciones permite calcular las dimensiones del patio?
A)
B)
C)
x(x + 2) – 24 = 0
x(x – 2) – 24 = 0
x(x – 2) + 24 = 0
D)
x  22 = 0
E)
4x  20 = 0
2
Comentario:
El postulante para llegar a la opción correcta en este ítem contextual izado
debe comprender el enunciado y traducirlo a una expresión algebra ica, que en
este caso, corresponde a una ecuación de segundo grado, contenido que se
encuentra en Tercero Medio.
Además, debe recordar y aplicar la fórmula del cálculo de la superficie de un
rectángulo, contenido de Enseñanza Básica. Así, un rectángulo de lados a y b
tiene como superficie a · b.
Del enunciado se tiene que el valor de una superficie rectangular con x de
2
fondo y con (x + 2) de frente, es de 24 m , por lo tanto, aplicando la fórmula se
tiene
x(x + 2) = 24, y si se iguala a cero se tiene que x(x + 2)  24 = 0 es la
expresión que permite encontrar las dimensiones del patio, la cual se
encuentra en la
opción A).
Este ítem a pesar de ser sólo de comprensión y traducción resultó dif ícil,
con un 31,3% de respuestas correctas y su omisión fue muy alta alca nzando
un 56%. Estos resultados se pueden deber a un desconocimiento del contenido
o al hecho de no recordar lo que es la superficie de un rectángulo y asociarlo a
los datos dados.
El distractor que obtuvo un mayor porcentaje de preferencia fue C), lo más
probable que el error cometido se deba a una mala comprensión del
enunciado, así de la lectura “2 metros más de frente que de fondo”, la toman al
revés, toman x como el fondo y (x  2) como el frente, obteniendo x(x  2) = 24,
y además igualan a cero en forma errada, obteniéndose x(x  2) + 24 = 0.
PREGUNTA 31
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)
cuando la variable x toma los tres valores 0, 1, –1?
I)
x2   x
II)
x2  x
III)
x2  x
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
Ninguna de ellas.
Comentario:
El contenido al que está referido este problema apunta a uno de Tercer año
Medio referido a la identificación de
x 2  x . Aquí el alumno debe recordar el
concepto de la función valor absoluto, tópico tratado en Segundo año Medio.
Así, se toman los valores 0, 1 y –1 del enunciado y se reemplazan en las
tres igualdades.
En I), se debe cumplir la igualdad
si x = 1 
x2   x
12  1   1 , por lo tanto no se cumple la igualdad.
Luego I) es falsa.
En II), se debe cumplir la igualdad
si x = 0 
02  0  0 ,
si x = 1 
12  1  1 ,
si x = –1 
x2  x
( 1)2  1  1   1 .
Luego, en los tres casos se cumple la igualdad, por lo tanto II) es verdadera.
En III), se debe cumplir la igualdad
si x = –1 
x2  x
( 1)2  1  1  1 , por lo tanto no se cumple la igualdad.
Luego III) es falsa.
Por el análisis anterior se tiene que la opción correcta es B).
Llama la atención que este ítem resultara con una omisión alta, supe rando
el 57% y muy difícil, con sólo el 16,6% de respuestas correctas. Lo más
probable es que el ítem involucra un contenido que es desconocido por una
gran parte del alumnado o este tipo de problema no se trabaja en el aula.
El distractor más marcado fue C), alcanzando el 10% de adhesión, el error
que se comete es anular la raíz cuadrada con el exponente de la potencia y así
obtienen III) como verdadera, sin considerar que por definición
x2  x .
PREGUNTA 32
2
Considere la función f(x) = 2x + 4x + 5, con x en los números reales. El
menor valor que alcanza la función es
A)
B)
C)
D)
E)
5
3
2
0
–1
Comentario:
El contenido que se mide en este problema es de Tercero Medio, refer ido a
la función cuadrática, su concavidad y su vértice. Valores máximos y mínimos.
Lo primero es recordar que la función cuadrática corresponde a una
2
parábola de la forma f(x) = ax + bx + c, con a, b y c números reales y a  0.
Como en este caso a > 0, la concavidad de la parábola es hacia arriba, por
lo tanto la función tiene un valor mínimo. Dicho valor mínimo está dado por la
ordenada del vértice de la parábola. El vértice de una parábola está dado por
  b   b 
 b 


 2a , f  2a   , luego el valor de f  2a  es el valor mínimo.
 




2
En la función f(x) = 2x + 4x + 5, se tiene que a = 2 y b = 4, luego
reemplazando en
b
b
4
4


 1
se tiene que
2a 2  2
4
2a
 b 
 se reemplaza 1 en la función dada en el
 2a 
Ahora, para calcular f 
 b 
2
 = f(1) = 2·(1) + 4·(1) + 5 = 2  4 + 5 = 3.
 2a 
enunciado. En efecto, f 
Luego el valor mínimo que alcanza la función es 3, por lo tanto la cl ave es
B).
Estadísticamente el ítem resultó muy difícil, sólo un 9% lo contestó
correctamente y su omisión fue cercana al 62%, estos resultados se deben
seguramente a un bajo dominio del tema o simplemente lo desconocen.
El distractor E) obtuvo un 10,4% de respuestas por parte de los post ulantes
que abordaron el problema, el error que probablemente se cometió, es
considerar el valor de la abscisa como mínimo y no el de la ordenada.
PREGUNTA 33
2
log (a + b) – log (a + b) =
A)
B)
C)
D)
E)
2
a+b
log a + 3 log b
log a + log b
log (a + b)
Comentario:
El contenido involucrado en este ítem es el de función logarítmica y sus
propiedades, tratado en Cuarto año Medio.
El alumno para llegar a la clave puede utilizar dos caminos distintos, p ero
en ambos casos debe aplicar las propiedades de los logaritmos.
p
Debe recordar la propiedad del logaritmo de un cuociente, log   = log p  log
q
 
n
q, o bien la propiedad de logaritmo de una potencia, log p = n·log p
Si a la expresión del enunciado se le aplica la propiedad del logaritmo de un
cuociente se obtiene
 a  b 2 

 a  b 
2
log (a + b) – log (a + b) = log 
Luego, se aplica la simplificación de fracciones algebraicas, contenido de
Primer año Medio, obteniéndose como respuesta log (a + b).
Otro modo de resolverlo es, si al minuendo de la expresión que aparece en
el enunciado se le aplica el logaritmo de una potencia, se tiene
log (a + b) – log (a + b) = 2·log (a + b)  log (a + b) = log (a +
2
b).
Por ambos caminos se llega a que la opción correcta es E).
El distractor más fuerte fue A), con un 9,1% de respuestas por parte de
quienes abordaron la pregunta, seguramente cometen los siguientes err ores:
2
log (a + b) – log (a + b) = log
a  b2
(a  b )
= 2  log
(a  b )
= 2·log 1 = 2  1 = 2
(a  b )
Aproximadamente un tercio de los postulantes que abordaron el ítem
contestaron correctamente, lo que significa que el ítem resultó difícil. La
omisión fue alta, cercana al 45%. Estos resultados se deben seguramente a
una mala internalización de las propiedades de los logaritmos.
PREGUNTA 34
Un banco reajusta diariamente los montos depositados en libretas de
ahorro. Si otorga un interés compuesto anual de un 5% sobre el capital,
¿cuál de los siguientes gráficos representa mejor el capital que posee una
persona en una cuenta de ahorro, a lo largo del tiempo, si abrió una cuenta
con $ 50.000 el año 1980 y no ha efectuado ningún depósito ni ret iro?
A)
B)
5 0.00 0
5 0.00 0
0
0
198 0
1 98 0
tie mpo
tie mpo
D)
C)
5 0 .0 0 0
5 0 .0 0 0
0
0
19 8 0
ti e m p o
19 8 0
t ie m p o
E)
5 0 .0 0 0
0
198 0
tie m p o
Comentario:
El contenido involucrado en este ítem contextualizado es un tópico de
Cuarto año Medio, que tiene relación con problemas que involucren el cálculo
de interés compuesto, siendo éste una aplicación de la función exp onencial en
las matemáticas financieras.
El alumno para llegar a la clave lo primero que debe realizar es una
comprensión del enunciado y luego interpretar los datos entregados para así
realizar un análisis de los gráficos dados en las opciones.
Ahora bien, como el monto inicial es de $ 50.000 en el año 1980 se
descartan las opciones B) y E), ya que abrió una cuenta con la cantidad dada y
no con $ 0.
Por otro lado, como el interés compuesto es una función exponencial se
descarta la opción D), ya que ésta representa la gráfica de una función lineal.
Y por último, como no se realizan retiros y es una función exponencial, su
crecimiento se representa mejor en la gráfica dada en la opción A).
El ítem resultó difícil, con un 21,1% de respuestas correctas y un tercio de
la población que lo abordó lo omitió.
Por otro lado, un cuarto de los postulantes que abordaron el ítem optó por el
distractor D), el error que seguramente cometen es pensar que el capital final
se obtiene a través de una función lineal y no una función exponencial.
PREGUNTA 35
2
3
4
Si f(x) = 4x , g(x) = x y h(x) = x , ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Comentario:
f(x) ≠ g(x), para todo número real x distinto de cero.
f(x) = h(x), para algún número real x distinto de cero.
f(x) < g(x) < h(x), para todo número real x distinto de cero.
I
II
III
I y II
II y III
El contenido al que está referido este problema está relacionado con uno
n
de Cuarto año Medio y corresponde a la función potencia: y = ax , a > 0 para
n = 2, 3 y 4.
El alumno para resolver el problema debe reconocer la función pote ncia,
para luego analizar las afirmaciones I), II) y III).
En I), si se igualan las funciones f y g para encontrar un valor de x donde
la igualdad se cumpla, se tiene
f(x) = g(x)  4x = x
2
3
 4x  x = 0
2
3
 x (4  x) = 0
2
 x = 0 o (4  x) = 0
 x = 0 o x = 4.
Por lo tanto, se tiene f(x) = g(x) para x = 4 y para x = 0.
Luego I) es falsa, ya que se indicaba que en ningún número real di stinto
de cero se cumplía la igualdad.
En II), si se igualan las funciones f y h para encontrar un valor de x donde
la igualdad se cumpla, se tiene
f(x) = h(x)  4x = x
2
4
 4x  x = 0
2
4
 x (4  x ) = 0
2
2
 x (2  x)(2 + x) = 0
2
 x = 0 o (2  x) = 0 o (2 + x) = 0
 x = 0 o x = 2 o x = 2.
Por lo tanto, se tiene que f(x) = h(x) para x = 0, x = 2 y x = 2.
Luego II) es verdadera, ya que existen dos números además del cero que
cumplen con la igualdad.
En III), se afirma que f(x) < g(x) < h(x), para todo número real distinto de cero,
pero ya se encontraron en I) y en II) números tales que sus imágenes en las
funciones son iguales, por lo tanto la desigualdad es falsa.
Por los análisis anteriores se tiene que la respuesta correcta es B).
Estadísticamente el problema resultó muy difícil, con un porcentaje de
respuestas correctas cercano al 16% y una omisión superior al 60%, estos
resultados se deben probablemente a que no es un tipo de ítem que se trabaje en
el aula o simplemente a un deficiente dominio del tópico.
El distractor que tuvo mayor preferencia por parte de los alumnos que
abordaron el ítem fue D), donde asumen que I) es verdadero, seguramente al
igualar las funciones sólo encontraron que el número cero cumplía dicha igualdad
y no supieron factorizar para encontrar el otro valor que es 4.
PREGUNTA 36
La figura 3 se rota en el plano, en 180 en torno al punto P. ¿Cuál de
las opciones representa mejor la rotación de la figura 3?
fig. 3

P
P
A)
B)

P
P

C)
D)
P
E)

P
Comentario:
El contenido involucrado en esta pregunta es de Primer año Medio,
relacionado con rotaciones de figuras planas.
Al rotar una figura en torno a un centro de rotación, se debe cumplir que la
distancia de cualquier punto de la figura al centro de rotación, debe ser igu al a
la distancia del respectivo punto rotado a este centro, y además, el ángulo que
forman estos segmentos debe ser igual al ángulo de giro de la r otación (en
este caso 180°).
Por lo tanto, la figura del problema rotada en torno al punto P quedaría
como se indica en la siguiente figura:
A
B
A’
P
B’
En efecto,
APA’ =
BPB’ = 180°, AP  PA' y BP  PB' , relaciones que
se cumplen para cualquier par de puntos de la figura.
De lo anterior, se tiene que la opción correcta es C).
Como la rotación pedida es en 180°, el problema también se podría
considerar como una simetría central con respecto al punto P.
Este ítem resultó fácil, ya que el 63,3% de los jóvenes que lo abordaron lo
contestó correctamente. A pesar de esto, la omisión fue alta, de un 14%.
Los distractores más marcados fueron A) con un 7,9%, que representa una
rotación en 90° en torno al punto P en el sentido antihorario, y B) con un 7,6%
que representa una simetría con respecto a una posible recta que pasa por el
punto P.
PREGUNTA 37
En cada opción se muestran dos trozos de papel, cada uno de ellos
divididos con líneas punteadas en cuadraditos congruentes entre sí. El par
de papeles que permite construir un cubo, doblando por las líneas
punteadas y sin cortar, es
A)
B)
C)
D)
E)
Comentario:
En este caso, la pregunta apunta al contenido relacionado con puzzles de
figuras geométricas de Primer año Medio, la cual requiere que el alumno haya
desarrollado la habilidad de Comprensión y la habilidad espacial que le permita
imaginar el cubo en cada caso, sin realizar una manipulación de los trozos
mostrados en las redes planteadas.
La única red que permite formar un cubo es la que se encuentra en la
opción A), ya que si se dobla la pieza mayor por la línea segmentada queda un
cubo incompleto al que le faltan dos caras, las cuales se completan con la
pieza menor, quedando construido el cubo.
En las otras opciones, queda alguna cara sin poder cubrir, o hay caras que
se superponen, o simplemente la red no se puede doblar formando ángulos
diedros de 90°, como en C).
El 67,2% de los alumnos que rindió la prueba, contestó correctamente el
ítem, por lo que éste es considerado de dificultad fácil. Por otro lado, el 16,6%
lo omitió.
Los alumnos que contestaron erróneamente el ítem se inclinaron
principalmente por el distractor E). Al doblar la red que aparece en esta opción
se cubren tres caras laterales y una basal, superponiéndose en ésta dos
cuadraditos, con la figura en donde aparece un cuadradito se puede cubrir la
otra cara basal, pero faltaría por cubrir una cara lateral.
PREGUNTA 38
En la figura 4, PQRS es un paralelogramo y las diagonales SQ y PR se
intersectan en T. ¿Cuál(es) de las siguientes congruencias es (son)
siempre verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
I)
 PTS   STR
II)
 PTS   RTQ
III)
 PSR   RQP
Sólo III
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
R
S
T
Q
P
fig. 4
Comentario:
El contenido involucrado en este ítem es de Primer año Medio y está
relacionado con los criterios de congruencia de triángulos. Además, el alumno
debe recordar de la Enseñanza Básica las características y propiedades de los
paralelogramos.
Al analizar la afirmación I) se concluye que ésta es falsa, pues la
congruencia de triángulos que aquí se indica no se da siempre, sucede sólo
cuando el paralelogramo es un cuadrado o un rombo, que son los que tienen
sus cuatro lados congruentes.
Para determinar el grado de verdad de la afirmación II), se tiene que
PTS =
RTQ por ser éstos opuestos por el vértice, además PT  TR y
ST  TQ , pues las diagonales de un paralelogramo se dimidian. Luego, por el
criterio de congruencia ladoángulolado se tiene que  PTS   RTQ. Por lo
tanto, II) es verdadera.
Por el criterio de congruencia ladoladolado se tiene que  PSR   RQP.
En efecto, PS  QR y SR  PQ por ser lados opuestos del paralelogramo y PR
es un lado común a ambos triángulos. Por lo tanto, la afirmación III) tamb ién,
es verdadera.
En conclusión, como las afirmaciones II) y III) son siempre verdaderas, la
opción correcta es D).
Esta pregunta resultó de dificultad mediana, al contestarla correctamente el
48,6% de los estudiantes que la abordaron. La omitió el 33,4% de los
postulantes.
El distractor más marcado fue E) con un 7,1% de adhesión. Los alumnos
consideraron que la afirmación I) era verdadera, no se dieron cuenta que los
triángulos mencionados son congruentes sólo para algunos tipos de
paralelogramos.
PREGUNTA 39
¿Cuál(es) de los siguientes cuadriláteros tiene(n) siempre ejes de
simetría?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Cuadrado
Rombo
Trapecio
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo I y III
I, II y III
Comentario:
El contenido al que apunta este ítem es de Primer año Medio y tiene
relación con los ejes de simetría de figuras planas. También, se debe recordar
de la Enseñanza Básica las características de los distintos tipos de
cuadriláteros.
La afirmación I) es verdadera, ya que el cuadrado tiene 4 ejes de simetría
que son las diagonales y las rectas que pasan por los puntos medios de los
lados paralelos del cuadrado, tal como se muestra en la siguiente fig ura:
La afirmación II) también, es verdadera. El rombo tiene dos ejes de sim etría,
que son las diagonales, como se ve a continuación:
En cambio, la afirmación III) es falsa, debido a que no todos los tipos de
trapecios tienen ejes de simetría, sólo el trapecio isósceles tiene un eje de
simetría.
Por lo anterior, se tiene que la opción correcta es C).
El 30% de los alumnos que rindió la prueba, contestó correctamente el ítem,
por lo tanto la pregunta resultó difícil, además el 38% lo omitió.
El distractor más seleccionado por los estudiantes fue E), ellos
probablemente creyeron que todos los tipos de trapecios tienen que tener ejes
de simetría, pero como se mencionó anteriormente ello es posible sólo en el
caso del trapecio isósceles, o bien, pensaron que todos los trapecios son
isósceles.
PREGUNTA 40
Al punto (2, 3) del plano se le aplica una traslación, obteniéndose el
punto
(5, 2). Si al punto (2, 1) se le aplica la misma traslación se
obtiene el punto
A)
(1, 2)
B)
(5, 0)
C)
(3, 1)
D)
E)
(5, 2)
(1, 0)
Comentario:
Esta pregunta requiere que el alumno conozca el contenido de Primero
Medio que apunta a traslaciones descritas en el sistema de ejes coordenados.
En particular, debe saber que las coordenadas del punto trasladado según
un vector se obtienen sumando las coordenadas del punto dado con las
coordenadas que representan al vector de traslación. Además, debe sa ber que
para sumar dos pares ordenados, se deben sumar sus respectivas
coordenadas, y que dos puntos son iguales si sus coordenadas respectivas
son iguales.
Para resolver el problema, lo primero es determinar las coordenadas que
representan el vector de traslación correspondiente.
Si (x, y) es el vector de traslación, se tiene:
(2, 3) + (x, y) = (5, 2)
luego,
2+x=5
x=3
y
3+y=2
y = 1
lo que indica que el vector de traslación es (3, 1).
Ahora, como se pide trasladar el punto (2, 1) según este mismo vector, se
debe sumar este vector con (2, 1), luego
(2, 1) + (3, 1) = (1, 2)
sería el punto pedido, el cual se encuentra en la opción A).
Este ítem, al igual que el anterior, resultó difícil, ya que el 34,7% de los
alumnos lo contestó correctamente. El 39,6% lo omitió.
En cuanto a los distractores, E) y B) fueron los más marcados, con una
adhesión del 9,5% y 8,9%, respectivamente. En ambos casos, es posible que
los alumnos no determinaran bien el vector de traslación, al confundirse con los
signos de las coordenadas. En el primer caso consideran que el vector de
traslación es (3, 1), y en el segundo caso que es (3, 1).
PREGUNTA 41
En la figura 5, ABCD es un rectángulo y FCGI es un cuadrado.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
El área de FCGI es 12.
El área de EBFI es 6.
El área de AEIH es 3.
I
II
I y II
I y III
II y III
G
D
C
3+
I
H
3
F
3− 3
A
E
3
B
fig. 5
Comentario:
El ítem es del contenido de “Resolución de problemas relativos a polígonos”
de Primer año Medio. Los alumnos deben recordar de la Enseñanza Básica
como se calculan las áreas de un cuadrado y de un rectángulo. Del Álgebra de
Primero Medio deben recordar como desarrollar los productos notables.
En la afirmación I), se debe determinar el área del cuadrado FCGI de lado
3 + 3 . Para esto se eleva al cuadrado el lado y luego se desarrolla el
cuadrado del binomio. En efecto,
(3 +
2
3 ) = 9 + 6 3 + 3 = 12 + 6 3
valor que es distinto de 12, por lo tanto I) es falsa.
En II) se debe determinar el área del rectángulo EBFI de lados 3 
3
y
3 + 3 . Esto se hace multiplicando ambos lados, y desarrollando el producto
notable de la suma por su diferencia, o sea,
(3 
3 )(3 +
3 ) = 3  ( 3 ) = 9  3 = 6,
2
2
lo que indica que II) es verdadera.
Por último, en III) se debe determinar el área del rectángulo AEIF de lados
3 y 3  3 , la cual es:
3 (3 
3 ) = 3 3  3,
valor que es distinto de 3, por lo tanto esta afirmación es falsa.
Como sólo es verdadera la afirmación II), la opción correcta es B).
La omisión fue bastante alta, con un 48,8% de los alumnos que rindieron la
prueba y sólo contestaron correctamente el ítem el 19,3% de ellos y por lo
tanto, éste resultó difícil.
El distractor C) fue seleccionado por el 10,3% de los estudiantes. Ellos
consideraron que la afirmación I) también era verdadera, quizás por un mal
desarrollo del cuadrado de un binomio.
En efecto,
(3 +
2
3 ) = 9 + 3 = 12
PREGUNTA 42
El piso de un baño se puede teselar con 360 cerámicas cuadradas de 10
cm de lado cada una. Si se pudiera teselar con cerámicas cuadradas de
30 cm de lado, entonces el número de cerámicas que se ocuparían es
A)
B)
C)
D)
E)
120
60
40
18
12
Comentario:
Este es un problema contextualizado que está relacionado con el contenido
de Primero Medio “Análisis de la posibilidad de embaldosar (teselar) el plano
con algunos polígonos”.
Para resolverlo, primero se debe determinar la superficie del piso del baño.
Como éste se puede teselar con 360 cerámicas cuadradas de 10 cm de lado, o
2
sea, con 360 cerámicas de 10  10 = 100 cm de área, la superficie total del
2
piso es de 360  100 = 36.000 cm .
Ahora, como se pretende teselar el mismo piso con cerámicas cuadradas de
2
30 cm de lado, las cuales tienen un área de 30  30 = 900 cm , se tiene que la
cantidad de cerámicas que se necesitarían en estas condiciones sería de
36.000 : 900 = 40, respuesta que se encuentra en la opción C).
El problema resultó difícil, lo contestó correctamente el 15,2% de los
alumnos. A pesar de esto, el tema es conocido pero mal internalizado por los
estudiantes, pues la omisión fue sólo de un 18,3%.
En este caso, la dificultad estuvo posiblemente en una mala interpretación
de los datos entregados en el enunciado, pues el 47,6% de los alumnos marcó
el distractor A) y el 13,3% marcó el distractor E). En ambos casos, no
calcularon previamente la superficie de cada cerámica. En el distractor A)
pueden haber aplicado el mismo procedimiento de resolución antes
mencionado, pero multiplicaron y dividieron por el lado de la cerámica y no por
su área. En el distractor E) sólo realizaron la división de 360 por 30.
PREGUNTA 43
En la figura 6, AD = 3, DC = 4 y CB = 1. El área del cuadrilátero ABCD
es
D
A)
6+2 6
B)
6+
C)
12 + 2 6
D)
12 +
E)
ninguno de los valores anteriores.
6
C
6
A
B
fig. 6
Comentario:
El ítem, en este caso, apunta al contenido de Primer año Medio relacionado
con la “Resolución de problemas relativos a polígonos y puzzle de figuras
geométricas”.
Los alumnos para responderlo deben saber aplicar el Teorema de Pitágoras
y calcular el área de un triángulo rectángulo como el semiprod ucto de las
medidas de sus catetos.
Para determinar el área del cuadrilátero ABCD, éste se debe dividir a través
de una línea auxiliar ( AC ) en dos triángulos rectángulos, ABC y ACD, como se
muestra en la siguiente figura, para luego calcular sus áreas y sumarlas.
D
4
C
3
1
A
B
En la figura se han colocado los datos que entrega el enunciado del ítem,
para tener un panorama de los datos con los que se cuenta y saber cuáles son
los que faltan.
El área del  ACD se puede calcular directamente, como
34
= 6.
2
Para determinar el área del  ABC, se necesita determinar previamente la
medida del segmento AB. En el triángulo rectángulo ACD se tiene que el
segmento AC mide 5, pues 3, 4 y 5 son números pitagóricos. Luego, por el
teorema de Pitágoras aplicado al  ABC se tiene que:
2
2
AB + 1 = 5
2
AB = 25  1
2
AB = 24
2
AB =
24
AB =
46 2 6
Por lo tanto, el área del  ABC es
cuadrilátero ABCD es 6 +
2 6 1
 6 , lo que implica que el área del
2
6 , valor que se encuentra en la opción B).
El 13,7% de las personas que rindieron la prueba contestó correctamente la
pregunta, por lo que ésta se considera difícil, además, el 68,1% de ellas la
omitió.
Esto último, ratifica el hecho de que las preguntas que requieren, para su
resolución, del trazado de alguna línea auxiliar en su figura, por muy simple
que ella sea, resultan más difíciles.
Esto puede ser producto de que este tipo de ejercitación sea poco tr abajado
en el aula.
En general, las personas que se equivocaron se distribuyeron en forma muy
parecida entre todos los distractores, destacando con un 9% los que marcaron
la opción E), ninguno de los valores anteriores, y C) donde el posible error que
cometieron fue que al calcular el área de los triángulos no dividieran por 2.
PREGUNTA 44
Un segmento está dividido interiormente en la razón 1 : 3 : 5 y la
medida del segmento mayor es 75 cm. ¿Cuál es la longitud del
segmento del medio?
A)
B)
C)
D)
E)
45 cm
15 cm
60 cm
25 cm
No se puede determinar.
Comentario:
El contenido al que apunta la pregunta es “División interior de un trazo en
una razón dada”, que se encuentra en Segundo año Medio.
La situación planteada en el problema se puede graficar en la siguiente
figura:
.
.
75 cm
r
r dividido por los puntos
En ella, AD representa al segmento dado, que se ha
B y C en tres segmentos donde sus medidas están en la razón 1 : 3 : 5. Esto
indica que en total el segmento AD se ha dividido en 9 .partes iguales, c omo se
A
B
C
D
observa en la figura.
El segmento mayor CD, que mide 75 cm, consiste de 5 partes iguales, lu ego
75 : 5 = 15 cm, medida que corresponde a cada una de estas partes.
Como el segmento del medio BC, está formado por tres de estas partes se
tiene que este segmento mide 15  3 = 45 cm, medida que se encuentra en la
opción A).
El ítem resultó de mediana dificultad, ya que el 40,2% de los estudiantes lo
contestó correctamente. A pesar de esto, hubo un porcentaje basta nte alto que
no supo que hacer para resolver el ítem, pues la omisión alcanzó a un 39%, y
un 8,3% marcó el distractor E), que indica que el segmento pedido no se puede
determinar.
El distractor D) fue seleccionado por el 7,6% de los estudiantes, los que
pensaron seguramente que el segmento dado quedaba dividido en tres
segmentos de igual longitud, luego sólo dividieron 75 por 3 y les dio por
resultado 25 cm.
PREGUNTA 45
Si sobre el tercio central de uno de los lados del triángulo equilátero
ABC se construye otro triángulo equilátero, como se muestra en la
figura 7, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
El área del  DEF es la sexta parte del área del  ABC.
II)
El lado FE es paralelo al lado AB .
III)
El lado FE es perpendicular al lado AC .
C
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
I
II
I y II
I y III
II y III
F
E
D
A
B
fig. 7
Comentario:
El contenido involucrado en la pregunta es el de semejanza de figuras
planas de Segundo año Medio. En particular el alumno debe saber que si
dos triángulos son semejantes, donde sus lados están en la razón m : n,
2
2
entonces sus áreas están en la razón m : n .
En este caso los lados de los triángulos DEF y ABC están en la razón 1
: 3, ya que DF es la tercera parte de BC , luego la razón entre las áreas de
estos triángulos es 1 : 9, lo que indica que el  DEF es la novena parte del
 ABC y no la sexta parte como se indica en la afirmación I), luego ésta es
falsa.
Otra manera de resolverlo es calculando el área del  ABC cuyo lado
designaremos por a y el área del  DEF de lado
razón entre estas dos áreas.
a
, para luego formar la
3
Por otro lado, se tiene que
EFD =
ABC = 60° ya que son ángulos
interiores de triángulos equiláteros. Estos ángulos son alternos internos y
por lo tanto FE // AB , así la afirmación II) es verdadera.
En III), si se prolonga el segmento EF hasta que intersecte al lado AC en G,
como se muestra en la siguiente figura, se tiene que
CGF =
CAB = 60°,
por ser ángulos correspondientes entre paralelas, luego FE no puede ser
perpendicular a AC , por lo tanto la afirmación III) es falsa.
C
F
G
E
D
A
B
Al ser sólo verdadera la afirmación II), se tiene que la clave es B).
El 24,4% de los alumnos que rindió la prueba la contestó
correctamente, por lo que el ítem resultó difícil. Además, el 45,6% de los
postulantes lo omitió.
El distractor más marcado fue E), con un 11,8% de adhesión, en este caso,
probablemente al dibujar el triángulo equilátero FED (sin considerar II)
observan una inclinación del lado FE del triángulo sobre BC que les lleva a
conjeturar que estos dos segmentos son perpendiculares.
PREGUNTA 46
¿En cuál(es) de las siguientes figuras el triángulo P es semejante con el
triángulo Q?


I)
P
44
II)
Q
P
40
L1
L4
Q
 
P
III)
L2
L 1 // L 2
L3
A)
B)
Q
88
88
Sólo en I
Sólo en II
96
44
C)
D)
E)
Sólo en I y en II
Sólo en II y en III
En I, en II y en III
Comentario:
Para que el alumno pueda responder el ítem, debe manejar muy bien los
criterios de semejanza de triángulos, tema que es tratado en Segundo año
Medio.
En la figura I) los triángulos P y Q son semejantes, por el criterio de
semejanza de triángulos ánguloángulo, ya que éstos tienen dos pares de
ángulos correspondientes iguales, uno de 88° y otro de 180°  , como se
muestra en la figura:
P
180 
Q


180 
88
88
En II), al determinar la medida de los ángulos que faltan en los triángulos P
y Q, considerando que los ángulos interiores de un triángulo suman 180°, se
observa que ambos triángulos tienen los mismos ángulos (ver figura), luego por
el mismo criterio anterior los triángulos P y Q son semejantes, y por lo tanto II)
es verdadera.
96
44
44
Q
P
40
40
96
Por último, los triángulos P y Q de la figura III) también son semejantes y
por el mismo criterio de semejanza, ya que se forman dos pares de ángulos
alternos internos ( y ), pues L 1 // L2 y un par de ángulos opuestos por el
vértice (’), como se ve en la figura:
L1
L4

 Q

 

P
L2


L3
Luego, al ser los tres pares de triángulos semejantes, se tiene que la clave
es E).
Esta pregunta, a pesar de requerir del conocimiento de temas muy
recurrentes en la Enseñanza Media, y de conocimientos básicos de ángulos en
el triángulo y de ángulos formados por rectas paralelas inter sectadas por una
transversal (estudiado en la Enseñanza Básica), resultó difícil, ya que lo
contestó bien el 36,1% de los alumnos . Lo omitió el 32,2%.
El distractor más marcado fue A), con un 13% de los estudiantes que rindió
la prueba. Ellos consideraron que en la figura II) y en la figura III) los triángulos
no eran semejantes, esto quizás porque no calcularon el ángulo faltante de los
triángulos en II) y en III), pensando así que como no les daban la medida de
ningún ángulo, no podían determinar que eran semejantes.
PREGUNTA 47
En la figura 8, AB  BC y O es centro de la circunferencia. Si AB //
DE , entonces el ángulo  mide
A)
10
B)
40
C)
20
D)
70
E)
80
B
A

O
D
E
20
C
fig. 8
Comentario:
Esta pregunta apunta al contenido de Segundo año Medio relacionado
con “Ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia”.
Los alumnos deben recordar el teorema que relaciona la medida de un
ángulo del centro con la del correspondiente ángulo inscrito, el cual es,
“En toda circunferencia la medida de un ángulo del centro es igual al
doble de la medida de un ángulo inscrito que subtiende el mismo arco”.
Además, deben saber la propiedad que enuncia: “Los ángulos inscritos
en una circunferencia que subtienden arcos congruentes son
congruentes entre sí”.
Como AB  BC , se tiene que el  ABC es isósceles y por lo tanto el
BCA = BAC = 20°.
Por otro lado, como AB // DE se tiene que los arcos de circunferencia
EB y AD son congruentes entre sí. Luego, como los ángulos BAE y AED
subtienden estos arcos, respectivamente, se tiene que:
BAE =
AED = 20°.
Ahora,
AED es un ángulo inscrito que subtiende el arco AD y  es el
ángulo del centro que subtiende el mismo arco, por lo tanto
=2
AED
 = 2  20°
 = 40°,
valor que se encuentra en la opción B).
Otra forma de resolver el ítem es considerar que los ángulos BAE y
AED son alternos internos y por lo tanto son iguales a 20°. Además, el
triángulo DEO es isósceles de base DE , lo que indica que los ángulos
OED y ODE son iguales a 20°. Por último, el ángulo AOD es exterior del
triángulo ODE, por lo cual  = 40°.
El ítem resultó difícil, puesto que lo contestó correctamente sólo el 29,5% de
los estudiantes y tuvo una alta omisión, superando el 50%. Esto llama m ucho
la atención pues este es un contenido que se comienza a tratar en la
Enseñanza Básica y es profundizado en la Enseñanza Media.
En C) se encuentra el error más recurrente por los estudiantes (9,4%),
quizás ellos pensaron que el ángulo del centro y el ángulo inscrito que
subtienden el mismo arco, son congruentes.
PREGUNTA 48
En la circunferencia de centro O de la figura 9, AD es diámetro y
ABC = 2 DAB. La medida del ABC es
A)
100
B)
30
C)
35
D)
60
E)
70
3x +20
B
A
O
.
x + 40
D
fig. 9
C
Comentario:
El ítem al igual que el anterior apunta al contenido de Segundo año Medio
relacionado con “Ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia”.
Además, debe tener la capacidad de plantear y resolver ecuaciones de primer
grado.
El estudiante para determinar el valor de x debe darse cuenta que AD es un
diámetro de la circunferencia y de esta manera, el ángulo del centro DOA es
extendido (180°). Por tal razón, los arcos DB y BA suman 180° y se puede
plantear la siguiente ecuación de primer grado:
3x + 20° + x + 40° = 180°
4x + 60° = 180°
4x = 120°
x = 30°
por lo que el arco DB mide x + 40° = 30° + 40° = 70°.
Como un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende, se tiene que
BAD =
1
 70° = 35°.
2
Por otro lado, del enunciado se tiene que
que el ángulo pedido es
ABC = 2
DAB, lo que implica
ABC = 2  35° = 70°
medida que aparece en la opción E).
El ítem sólo lo contestó correctamente el 19,4% de los alumnos que
rindieron la prueba, por lo que es considerado difícil. Adem ás, lo omitió el
63,4% de estos alumnos. Llama la atención estos porcentajes, ya que e stos
contenidos deben ser tratados en clases, seguramente el problema es que este
tipo de ejercicio no es trabajado en el aula.
El distractor D) fue el más marcado, con un 7,4% de adhesión. Para llegar a
la medida indicada en este caso, se plantea y se resuelve bien la ecuación que
permite encontrar el valor de x, pero luego es posible que cometan los
siguientes errores: primero, considerar que la medida del arco DB sea el valor
de x, o sea 30°, y luego considerar que el ángulo inscrito BAD mide lo mismo
que el arco DB (30°) y no la mitad, y todo el resto del desarrollo lo hacen bien,
llegando a la solución de 60°.
PREGUNTA 49
En la figura 10, x es igual a
A)
h
g
B)
h
gh
C)
h
hg
D)
g
h
E)
h
gh
Comentario:
1
x
h

g

fig. 10
Es de Segundo año Medio el contenido al que apunta este ítem, que
corresponde a la aplicación del Teorema de Thales en triángulos semejantes.
Este teorema establece que los lados homólogos de dos triángulos, son
proporcionales entre sí.
C
1
x

D
h
E
g

A
B
En la figura anterior, los ángulos CDE y CAB son iguales a , luego
DE // AB , y por tanto  DEC ~  ABC.
Esto permite establecer relaciones entre los lados homólogos de estos
triángulos, lo que lleva a resolver el problema planteado, es decir,
CD
CE

CA
CB
(1)
Antes de reemplazar en (1) por las expresiones que representan a las
medidas de estos segmentos, hay que determinar previamente la expresión
que representa al segmento CE. Para esto se tiene que:
CE + EB = CB
CE = CB  EB
CE = h  g
Luego, reemplazando en (1) por las expresiones respectivas, se tiene
1
hg
h

, que al multiplicar cruzado y despejar x, permite llegar a x =
,
hg
x
h
expresión que se encuentra en la opción C).
Sólo el 20,5% de los estudiantes contestó correctamente el ítem, por lo que
éste resultó estadísticamente difícil, además un 61,9% lo omitió, mostrando así
que una gran cantidad de alumnos han visto superficialmente este contenido o
sencillamente no lo han tratado.
De los alumnos que contestaron este ítem el 7,9% marcó el distractor A). En
este caso, ellos establecieron la relación
CA
CB

, sin darse cuenta que los
CD
EB
lados CD y EB no son homólogos y por tanto no se pueden relacionar.
PREGUNTA 50
Una persona está situada en el punto A, y tiene al frente dos postes
ED y BC perpendiculares al plano, como se muestra en la figura 11.
Si la distancia entre el punto A y el poste BC es (4x + 5) metros y la
distancia entre los postes es (x + 5) metros, ¿cuántos metros
separan a la persona (punto A) del poste ED ?
C
A)
B)
C)
D)
E)
1 metro
9 metros
6 metros
3 metros
30 metros
A
D
6m
2m
mmm
Em m
B
fig. 11
Comentario:
En este caso, nos enfrentamos a un problema contextualizado, que se
resuelve aplicando el Teorema de Thales, contenido que se encuentra en
Segundo año Medio. Además, los estudiantes deben saber resolver ecuaciones
de primer grado fraccionarias simples.
Para visualizar mejor el problema, es bueno poner en la figura los datos
entregados en el enunciado, tal como se muestra en la siguiente figura:
C
D
A
2m
mm
Emm
m
(x + 5) m
mmmm m
6m
B
(4x + 5) m
mmmm m
Para resolver el problema se debe encontrar los metros que separan a la
persona (punto A) del poste ED , o sea, la medida del segmento AE.
Como
AED =
ABC = 90°, se tiene que ED // BC , luego los triángulos
AED y ABC son semejantes y se pueden establecer relaciones entre sus lados
homólogos. En este caso la relación que se debe establecer es
AE
ED

AB
BC
(1)
Antes de reemplazar los datos de la figura en esta relación, hay que
encontrar una expresión, en términos de x, que represente al segmento AE.
En efecto, AE + EB = AB
AE + x + 5 = 4x + 5
AE = 4x + 5  x  5
AE = 3x
Ahora, reemplazando los datos en (1) se obtiene:
3x
2

4x  5
6
Una forma de resolver esta ecuación es multiplicando cruzado:
18x = 8x + 10
10x = 10
x=1
Por último, como AE = 3x, se llega a que AE = 3 metros, respuesta que se
encuentra en la opción D).
El distractor más marcado fue A) (1 metro), con un 5,8% de adhesión. Los
alumnos se quedaron sólo con el valor de x, sin determinar la medida de AE ,
esto debido probablemente a que no realizaron una buena lectura de la
pregunta.
El problema resultó difícil, lo contestó correctamente el 27% de los
estudiantes y lo omitió el 56,6%. Este último porcentaje es muy parecido al
obtenido en el problema anterior, lo que avala el hecho del poco dominio que
tienen los alumnos del Teorema de Thales.
PREGUNTA 51
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 12, BC = 5 cm y BD = 4
cm. La medida de segmento AD es
A)
3
cm
2
B)
9
cm
4
C)
3
cm
4
D)
4 cm
E)
9 cm
Comentario:
C
A
B
D
fig. 12
La pregunta apunta a un contenido de Tercer año Medio relacionado con la
aplicación del Teorema de Euclides.
El alumno debe saber que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la
medida de un cateto es igual al producto de la medida de la hipotenusa por la
medida de la proyección del cateto sobre la hipotenusa. Según la f igura, esto
sería
CB = BD  BA
2
(1)
C
5 cm
A
x
D
4 cm
B
Es conveniente poner los datos que aparecen en el enunciado en la figura,
para poder observar con que datos se cuenta y cuáles son los que faltan para
resolver el problema, tal como se muestra en la figura anteri or, donde x
representa la medida del segmento pedido.
Si reemplazamos los datos dados en (1), se llega a una ecuación de primer
grado que permite determinar la medida del segmento AD.
En efecto,
5 = 4  (x + 4)
25 = 4x + 16
9 = 4x
2
9
cm = x
4
Esta medida permite indicar que la clave es B).
Bastante difícil resultó el ítem, ya que sólo el 19,9% de los jóvenes que
abordaron el ítem lo contestó correctamente. La omisión alcanzó al 63,3%,
demostrando así que el Teorema de Euclides es prácticamente desconocido
para los estudiantes, pues en este caso se aplicaba el teorema en forma
directa.
Uno de los distractores más marcado fue C). Los alumnos en este caso, es
posible que determinaran que CD = 3 al aplicar el Teorema de Pitá goras en el
 DBC, luego aplicaron el Teorema de Euclides relativo a la altura, pero en
2
forma errónea, o sea, 3 = 4x en vez de, 3 = 4x.
PREGUNTA 52
En el triángulo rectángulo de la figura 13, tg  es igual a
1 p2
A)
C
p
p
B)
1
1 p
2

1 p2
C)
A
p
p
p
D)
B
fig. 13
1 p2
1
E)
1 p2
Comentario:
El contenido involucrado en el ítem está relacionado con las razones
trigonométricas en el triángulo rectángulo, tópico que se encuentra en Tercer
año Medio.
En la pregunta se pide por la tangente del ángulo  en función de p, por lo
tanto el alumno debe recordar que ésta corresponde a la razón entre el cateto
opuesto a este ángulo y el cateto adyacente al mismo.
De la figura se observa que el cateto adyacente a  es p, y que se debe
calcular el cateto opuesto, en función de p, aplicando el teorema de Pit ágoras.
En efecto,
2
2
AB + BC = AC
2
2
2
p + BC = 1
BC = 1  p
2
tg  =
2
1 p 2
BC =
Luego,
2
cateto opuesto
=
cateto ady acente
1  p2
p
expresión que se encuentra en la opción A).
También, al igual que el anterior este ítem resultó difícil, el 21,4% de los
estudiantes lo contestó correctamente, y el 68,8% lo om itió, lo cual llama
mucho la atención pues sólo hay que aplicar el teorema de Pitágoras (tratado
en la Enseñanza Básica) y la definición de tangente.
El distractor C) fue el más marcado por los postulantes. En este caso la
equivocación estuvo seguramente en la mala aplicación del teorema de
Pitágoras, confundiendo la hipotenusa con el cateto, y no en la definición de
tangente.
El planteamiento que quizás hicieron los alumnos fue:
2
2
AC + AB = BC
2
2
1 + p = BC
2
1 p 2 = BC
tg  =
luego,
1  p2
p
PREGUNTA 53
La figura 14 es un cubo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
Las rectas AD' y BC' son paralelas.
Las rectas A'B y DC' son paralelas.
Las rectas A'D y BC' no se intersectan.
A'
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo III
Sólo I y II
Sólo I y III
I, II y III
B'
A
D'
C'
D
fig. 14
B
C
Comentario:
Este ítem apunta a un contenido de Cuarto año
Medio relacionado con “Rectas en el espacio,
oblicuas y coplanares”, que requiere del alumno
un desarrollo de la habilidad espacial, y tener
claro el concepto de rectas paralelas en el
espacio, es decir, deben saber que “Dos rectas
son paralelas, si son coplanares y no tienen
puntos en común”.
Además, deben saber que: “Si dos rectas en el
espacio están en planos paralelos, entonces no
se intersectan, y que dos rectas pertenecientes a
planos paralelos son paralelas si son coplanares
y son alabeadas si no son coplanares”.
Para determinar el valor de verdad de la afirmación I) se debe reconocer
que las rectas AD' y BC' son diagonales de dos caras opuestas del cubo y que
ellas están contenidas en un mismo plano, luego son paralelas, y por tanto esta
afirmación es verdadera.
En la afirmación II) las rectas A'B y DC' también son diagonales de dos
caras opuestas del cubo, pero ellas no están contenidas en un mismo plano,
por lo tanto estas rectas son alabeadas y no paralelas como se afirma, lo que
implica que II) es falsa.
Por otro lado, las rectas A'D y BC' son diagonales de dos caras opuestas
del cubo, o sea, pertenecen a planos paralelos y por tanto no hay u n punto en
común entre ellas, lo que indica que la afirmación III) es verdad era.
Por lo anterior, la opción correcta es D).
El 26,4% de los estudiantes que abordó esta
pregunta consideró que la clave era el distractor
E), es decir ellos pensaron que la afirmación II)
también era verdadera. Esto indica que estos
jóvenes posiblemente tienen mal internalizado el
concepto de rectas paralelas en el espacio y por
esto no saben diferenciarlas de las alabeadas.
La pregunta resultó difícil, la contestó correctamente el 22,5% de los
postulantes y la omitió el 26,5%.
PREGUNTA 54
Si el trapecio de la figura 15 y su simétrico respecto al eje x se giran
en forma indefinida en torno al eje y, ¿cuál de las siguientes
opciones representa mejor el cuerpo generado?
y
fig. 15
x
y
A)
B)
y
x
x
y
y
D)
C)
x
x
y
E)
x
Comentario:
En Cuarto año Medio se encuentra el contenido al que apunta el ítem, y que
tiene relación con “Problemas sencillos de cuerpos generados por la rotación
de figuras planas”.
El estudiante además, debe saber determinar la figura simétrica de una
figura plana dada y haber desarrollado su habilidad espacial.
Para encontrar el cuerpo generado que se pide en el problema, primero hay
que determinar la figura geométrica que se hará girar indefinidamente en torno
al eje y.
En efecto, en la siguiente figura se muestra el trapecio simétrico (ADEF) del
trapecio dado (ABCD), con respecto al eje x.
y
B
C
D
E
A
x
F
Ahora, al hacer girar indefinidamente la figura completa (EFABC) en torno al
eje y, se obtiene el cuerpo generado que aparece en la opción C).
La omisión a esta pregunta fue del 34,9%, lo que indica que hay mucho
desconocimiento del tema por parte de los postulantes. Por otro lado, la
pregunta resultó difícil ya que la contestó correctamente el 34,1% de ellos.
El distractor más marcado fue E), con un 20,7% de adhesión. En este caso
parece que no fue bien leído el enunciado, pues sólo se hizo girar el trapecio
dado en la figura, sin determinar previamente su simétrico.
PREGUNTA 55
La tabla adjunta muestra el nivel educacional que tienen los
postulantes a un cargo administrativo.
Sexo
Masculino
Femenino
Nivel Educacional
Universitaria
Media
250
100
225
110
Básica
40
25
Si de este grupo se elige una persona al azar, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
390
.
750
360
La probabilidad que sea mujer es de
.
390
La probabilidad que sea varón es de
La probabilidad que tenga estudios universitarios es de
475
.
750
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
I
II
III
I y III
II y III
Comentario:
En esta pregunta, del tipo combinada, el estudiante debe interpretar la
información entregada en el enunciado, para luego determinar la veracidad o
falsedad de lo planteado en las afirmaciones propuestas.
Como se necesita el número total de postulantes para analizar las
afirmaciones, se deben sumar los datos de las filas y de las columnas como se
muestra en la tabla.
Sexo
Masculino
Femenino
Total
Nivel Educacional
Universitaria
Media
250
100
225
110
475
210
Básica
40
25
65
Total
390
360
750
El total de personas que postulan al cargo administrativo es 750 y los
varones que postulan a este cargo, independiente del nivel educacional son
390. Así, la probabilidad de elegir una persona al azar del grupo y que ésta sea
varón es de
390
, luego I) es verdadera.
750
En II), los casos favorables están referidos a la cantidad de mujeres que hay
en el grupo, que es 360. Luego, la probabilidad pedida con respecto al grupo
total es
360
, lo que indica que esta afirmación es falsa.
750
En III), como los postulantes con estudios universitarios son en total 475, la
probabilidad de elegir uno de éstos, del grupo total, es de
475
, luego III) es
750
verdadera.
Por el análisis anterior, la clave es D). Llegaron a ella el 60,7% de los
estudiantes, indicando estadísticamente, que la pregunta resultó fácil.
En este ítem la omisión llegó al 21,5%, y el distractor B) que f ue el más
contestado por los alumnos, corresponde a aquellos que segur amente no
tienen claro que los casos totales se refieren al total de postulantes al cargo
administrativo, ya que en I) y en III) no razonaron así, y en II) pensaron que era
el total de varones del grupo.
PREGUNTA 56
Se depositan en una caja tarjetas del mismo tipo con las letras de la
palabra HERMANITOS, luego se saca de la caja una tarjeta al azar, la
probabilidad de que en ésta esté escrita una vocal es
A)
1
10
B)
2
5
C)
1
5
D)
1
4
E)
2
3
Comentario:
En este ítem, el alumno primero debe reconocer que el total de casos
posibles corresponde al total de tarjetas que forman la palabra HERMAN ITOS,
las que son 10 y los casos favorables son el número de tarjetas que tienen
vocales, que son 4, luego la probabilidad de extraer una de ellas es
2
4
= .
10
5
Esto explica que la opción correcta es B).
El porcentaje de alumnos que contestó bien la pregunta fue del 52,5%, lo
que indica que ésta resultó de dificultad mediana. Lo señalado anterio rmente
llama la atención, pues ésta es una pregunta muy directa, en la cual para
determinar el número de casos totales y favorables el alumno sólo necesita
contar. Además, este es un tipo de ejercicio muy recurrente en el aula.
El distractor mayormente marcado por los alumnos fue D) con un 13,7% de
adhesión, ellos posiblemente consideran que los casos totales eran las tarjetas
con las vocales y de éstas había que elegir una.
En esta pregunta la omisión alcanzó al 15,4%.
PREGUNTA 57
Si se lanzan 4 monedas, ¿cuál es la probabilidad de obtener a lo más
tres caras?
A)
1
4
B)
7
8
C)
11
16
D)
3
4
E)
15
16
Comentario:
El contenido que se mide en esta pregunta pertenece a Segundo año de
Enseñanza Media y se refiere a “iteración de experimentos sencillos, por
ejemplo, el lanzamiento de una moneda”.
Para determinar la probabilidad que se pide en el problema, lo primero es
calcular el número total de casos posibles. Al lanzar las 4 monedas
simultáneamente se obtienen los siguientes casos, cada uno de ellos
igualmente probables, (donde c representa una cara y s un sello)
(c, c, c, c), (c, c, c, s), (c, c, s, c), (c, s, c, c), (s, c, c, c), (c, c, s, s), (c, s, c, s),
(s, c, s, c), (c, s, s, c), (s, c, c, s), (s, s, c, c), (s, s, s, c), (s, s, c, s), (s, c, s, s),
(c, s, s, s), (s, s, s, s)
4
Así, al lanzar 4 monedas se tiene 2 = 16 casos.
Luego, para calcular los casos favorables se deben sumar todos aquellos en
que aparece a lo más tres caras, es decir, 3, 2, 1 ó 0 caras, que son 15.
Entonces, la probabilidad de que al lanzar cuatro monedas salgan a lo más
tres caras está dada por
15
.
16
Otra manera de resolverlo, es que los alumnos después de un análisis se
den cuenta que en realidad se está pidiendo por el complemento, es decir, la

probabilidad de sacar cuatro caras, que es 1 

1  15
.

16  16
Ambos procedimientos llegan al resultado que se encuentra en la opción
correcta E), la que fue marcada solamente por el 6,6% de los est udiantes que
la abordaron, lo que señala que esta pregunta resultó muy difícil.
Un alto número de personas, el 21,9%, contestó el distractor D) y
corresponden a aquellas que razonan posiblemente de la siguiente manera:
como hay 4 monedas y piensan en tres caras, obtienen como probabilidad
3
,
4
no considerando el espacio muestral de los cuatro lanzamientos, y no
realizando un análisis de todos los posibles casos en donde aparezca a lo más
tres caras.
Además, el 20,9% de los postulantes marcaron el distractor A),
seguramente ellos leyeron la probabilidad de “obtener 3 caras” en vez de “a lo
más 3 caras”, es así como esta probabilidad sería
4
1
 .
16 4
La alta omisión, cercana al 42%, demuestra que los alumnos no están
habituados a trabajar con este tipo de ítemes o simplemente desconocen el
contenido.
PREGUNTA 58
Las muestras de ciertas pinturas son de uno de estos tres colores:
rojo, verde o azul, y con una de estas dos terminaciones: opaca o
brillante. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una muestra de
pintura al azar, ésta sea de color verde opaco?
A)
1
6
B)
1
3
C)
1
2
D)
2
3
E)
5
6
Comentario:
Esta pregunta está referida a un contenido de Tercer año de Enseñanza
Media sobre la resolución de problemas sencillos que involucren el producto de
probabilidades.
Para resolver este problema el alumno debe comprender que tiene que
aplicar el producto de probabilidades, ya que la muestra de pintura elegida al
azar debe cumplir con dos condiciones en forma sim ultanea: debe ser verde y
opaca.
Como los colores que están en la muestra son tres, la probabilidad de sacar
1
, y como las terminaciones son dos,
3
1
la probabilidad de sacar una muestra de color opaco es .
2
al azar uno de estos tres colores es de
Por lo tanto, la probabilidad de que sea de color verde y además, de tono
opaco es
1 1
1
·
=
, resultado que se encuentra en la opción A), que fue
3 2
6
contestada por el 40,9% de los postulantes que abordaron el ítem,
demostrando que éste resultó de dificultad mediana.
También, se puede resolver el problema considerando que todas las
combinaciones posibles entre colores y terminaciones son 6 y sólo 1 cumple
con las condiciones de la muestra elegida al azar, por lo tanto, la probabil idad
pedida es
1
.
6
El distractor más llamativo fue D), con un 8,7% de adeptos. Posiblemente el
error de estos estudiantes es que pensaron que la probabilidad de elegir uno
de los tres colores es
1
1
, y como son dos las terminaciones, obtienen 2·
=
3
3
2
.
3
La omisión resultó alta, pues llegó al 28,3%, lo que demuestra que los
estudiantes no están habituados a trabajar problemas donde apliquen el
producto de probabilidades, o simplemente no trabajan en el aula este tipo de
problemas.
PREGUNTA 59
La tabla adjunta muestra el número de fábricas que poseen un
determinado número de máquinas eléctricas. Al seleccionar una de
estas fábricas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ésta tenga
menos de tres máquinas eléctricas?
A)
1
2
B)
1
4
C)
3
4
D)
1
3
E)
2
3
Nº fábricas
Nº de máquinas
eléctricas
2
4
2
1
3
0
1
2
3
4
Comentario:
Esta pregunta de Tercer año de Enseñanza Media, se refiere a la relación
entre la probabilidad y la frecuencia relativa.
Para resolver el problema se debe calcular la probabilidad de que al elegir
una fábrica, ésta tenga menos de 3 máquinas eléctricas, es dec ir; 0, 1 ó 2
máquinas eléctricas.
Si se suma el número de fábricas se tiene que los casos totales son 12.
Para determinar los casos favorables se tienen 2 fábricas con 0 máquinas
eléctricas, 4 fábricas con 1 máquina eléctrica y 2 fábricas con 2 máquinas
eléctricas, luego, existen 8 fábricas que cumplen con la condición, por lo que
la probabilidad pedida está dada por
2
8
= , resultado que está en la opción
12
3
E).
Contestaron la clave el 31,1% de los alumnos que abo rdaron la pregunta,
lo que indica que ésta resultó difícil.
La omisión fue alta alcanzando al 34,8% y el distractor más marcado fue
B), con un 10,7%, probablemente los alumnos que marcaron esta opción
sumaron bien el número total de fábricas, pero como hay 3 grupos de
fábricas que cumplen con la condición de tener menos de 3 máquinas cada
una de ellas, escribieron la razón
1
3
= .
12
4
El distractor C), también fue bastante marcado (10,1%) por los
estudiantes. Es posible que ellos calcularan la probabilidad de que al
seleccionar una de las fábricas al azar ésta tuviese menos o igual a 3
máquinas eléctricas, o sea, la probabilidad sería
3
9
= .
12
4
COMENTARIO DE LAS PREGUNTAS REFERIDAS AL ÁREA TEMÁTICA
DE ESTADÍSTICA
Las preguntas desde la N 60 a la N 63 y que apuntan a esta área
corresponden al Cuarto año de Enseñanza Media.
PREGUNTA 60
La tabla adjunta muestra la distribución de los puntajes obtenidos por
los alumnos de un curso en una prueba de matemática. ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El total de alumnos que rindió la prueba es 40.
La mediana se encuentra en el intervalo 20  29.
El intervalo modal (o clase modal) es el intervalo 30  39.
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
I, II y III
Intervalos de
puntaje
10  19
20  29
30  39
40  49
50  59
Frecuencia
6
8
12
5
9
Comentario:
El contenido involucrado en este ítem se refiere a la interpretación de datos
estadísticos provenientes de diversos contextos.
En esta pregunta que es del tipo combinada, el estudiante debe analizar la
información dada en la tabla, para así decidir la veracidad o fa lsedad de cada
una de las afirmaciones.
Para determinar el total de alumnos que rindió la prueba, se debe sumar los
datos de la columna de las frecuencias, lo que da un total de 40 personas, por
lo que I) es verdadera.
Para determinar la veracidad de II), se debe recordar que la mediana de un
conjunto de datos es el valor por encima y por debajo del cual queda el 50% de
los casos.
Como este ítem, trata de datos agrupados en intervalos y como son 40 los
alumnos que rindieron la prueba, la mediana se encuentra en el inte rvalo en el
cual está el valor medio
40
= 20, valor que se encuentra en el intervalo 30 
2
39 y no en el señalado en II), por lo que esta afirmación es falsa.
La moda de una serie de datos es el valor que presenta la mayor frecuencia
y como en este caso, la mayor frecuencia es 12 y este valor se encuentra en el
intervalo 30  39, la afirmación III) es verdadera.
Luego por el análisis realizado se tiene que la opción correcta es D).
La pregunta fue contestada correctamente por el 49,3% de las pers onas que
la abordaron, lo que indica que fue una pregunta de dificultad medi ana.
El distractor más marcado fue E), con un 17,5% de pr eferencias,
seguramente los alumnos que optaron por marcar esta opción ordenan las
frecuencias de menor a mayor y luego toman el dato del medio como mediana,
es decir, escriben 5, 6, 8, 9 y 12, y toman el 8 como mediana.
La omisión fue del 22,9%, lo que demuestra posiblemente un
desconocimiento, de parte de un número no despreciable de estudiantes, con
respecto al manejo de las medidas de tendencia central.
PREGUNTA 61
Se pregunta a los alumnos de 4º Medio acerca de lo que más les gusta
hacer en vacaciones y sus respuestas están en el gráfico de la figura
16. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
Sólo II y III
I, II y III
Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es chatear.
A la mitad de los alumnos lo que más les gusta es ver TV o
jugar.
Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es leer o jugar.
Nº de alumnos
12
9
6
3
Chatear Ver Tv
Jugar
Leer
Actividades
fig. 16
Comentario:
En esta pregunta el contenido involucrado se refiere a la selección de
diversas formas de organizar, presentar y sintetizar un conjunto de datos.
El alumno para resolver el ítem debe interpretar el gráfico dado y calcular
porcentajes.
Antes de analizar las afirmaciones se debe calcular el número total de
alumnos, el cual se obtiene sumando el número de alumnos de cada una de
las actividades que más les gusta hacer en vacaciones, luego, 12 + 9 + 6 + 3 =
30.
En I), se tiene que 12 alumnos chatean. Para calcular a qué porcentaje del
total corresponden, se tiene
30
12
100  12

, luego x =
, por lo tanto x =
30
100% x%
40%, y no un 30% como se afirma en I), por lo tanto ésta es fa lsa.
Para II), se debe sumar la cantidad de alumnos que les gusta ver TV con la
cantidad de alumnos que les gusta jugar, dando como resultado 15 alumnos,
esto equivale a la mitad del total de alumnos, por lo tanto II) es verdadera.
Para III), se debe sumar la cantidad de alumnos que les gusta leer con la
cantidad de alumnos que les gusta jugar, dando como resultado 9 alumnos. Así
se tiene que
verdadera.
30
9

, luego x = 30%, por lo que la afirmación III) es
100%
x%
Por el análisis hecho se tiene que la opción correcta es D), que fue
contestada por el 40,9% de los alumnos que abordaron el ítem, indicando que
la pregunta resultó mediana.
La omisión del 18,8% y un 40,3% de error, es bastante preocupante en una
pregunta rutinaria y de baja complejidad.
El distractor más marcado fue B), con un 15,4%, seguramente hacen una
mala interpretación en II), es decir, sólo se preocupan de los alumnos que les
gusta ver TV o de los alumnos que les gusta jugar, pero no buscan la suma de
ellos y las comparan con el total.
PREGUNTA 62
Si se tabularan las frecuencias de las estaturas y color de ojos de los
alumnos de un curso, ¿cuál de las opciones siguientes es siempre
verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
Con la moda de las estaturas se determina la estatura promedio del
curso.
Con la mediana del color de ojos se determina el color de ojos que
predomina.
Con el promedio de las estaturas se determina la estatura más
frecuente.
Con la mediana de las estaturas se determina la estatura más
frecuente.
Con la moda del color de ojos se determina el color de ojos que
predomina.
Comentario:
Esta pregunta apunta a los conceptos de las medidas de tendencia central
de Media Aritmética (o promedio), Mediana y Moda.
Al analizar cada una de las opciones se tiene:
En A), se afirma que se conoce la moda, pero con este dato no se puede
determinar el valor del promedio de las estaturas del curso, sino que se conoce
la estatura que más se repite entre los alumnos del curso, por lo que e sta
afirmación es falsa.
En B), es imposible conocer la mediana, ya que el color de ojos es una
variable cualitativa y no cuantitativa, por lo tanto no existe mediana. Luego es
falsa.
En C), se tiene el promedio de las estaturas, pero no siempre este val or
corresponde a la moda, por lo tanto C) también es falsa.
En D), al conocer la mediana de las estaturas se conocería el valor central
de los datos ordenados, pero no necesariamente este dato es la moda. Luego,
esta afirmación al igual que las anteriores es falsa.
En E), se da la moda del color de ojos y efectivamente este color es el que
tiene mayor frecuencia, por lo tanto es el que predomina, luego esta opción es
la clave.
Esta pregunta la contestó correctamente el 45,7% de los alumnos que la
abordaron, indicando que estadísticamente, el ítem resultó de mediana
dificultad y su alta omisión, del 32%, señala un desconocimiento de los
conceptos o no saben trabajar con este tipo de ítemes contextualizados usando
medidas de tendencia central.
El distractor más marcado fue C) con un 7,4%, ya que posiblemente
confunden el concepto de promedio con el concepto del dato que tiene más
frecuencia, que es la moda.
PREGUNTA 63
El gráfico de la figura 17 apareció en un periódico de una ciudad. En él
se indica la preferencia por el noticiero central de cinco canales de
televisión, según una muestra aleatoria, en un año determinado.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
De acuerdo a la muestra el noticiero central con menor
probabilidad de ser visto es TV 5.
El gráfico muestra exactamente la realidad de las
preferencias de los noticieros centrales de esta ciudad.
Aproximadamente, un cuarto de la muestra no ve los
noticieros centrales de estos cinco canales.
26,3%
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo I y III
I, II y III
22,3%
11,5%
9,8%
5,2%
fig. 17
TV 1
TV 2
TV 3
TV 4
TV 5
Comentario:
Este ítem involucra el contenido de muestra al azar, considerando
situaciones de la vida cotidiana. En él, el estudiante debe interpretar e inferir la
información entregada en el gráfico para determinar el valor de v erdad de I), de
II) y de III).
Para determinar la verdad o falsedad de I), el alumno debe recordar que
una probabilidad está asociada a un porcentaje, por lo tanto, se desprende que
es TV 5 el noticiero con menor porcentaje llegando sólo al 5,2% de
preferencias, por lo que tiene la menor probabilidad de ser visto.
En II), se afirma que el gráfico muestra exactamente la realidad de las
preferencias, esto es falso ya que, se trata solamente de una muestra aleatoria
y no de toda la población.
En III), se deben sumar los porcentajes de las preferencias por los
noticieros y con una simple sustracción determinar el porcentaje de personas
que no ven los noticieros.
Así, 26,3% + 22,3% + 11,5% + 9,8% + 5,2% = 75,1%.
Luego, 100%  75,1% = 24,9%, este porcentaje de personas no ve los
noticieros centrales representados en el gráfico y equivale, aproximadamente,
a un cuarto de la muestra. Por lo tanto, III) es verdadera.
Entonces, por el análisis realizado se tiene que la opción correcta es D) y
fue contestada por el 29% de los estudiantes que abordaron el problema, por lo
que la pregunta resultó difícil.
La omisión fue de un 23% y el distractor más marcado fue C), con un 17%,
seguramente los alumnos no analizan que los datos mostrados en el gráfico
son de una muestra y no de la población total, por lo que concluyen que II) es
verdadera. Por otro lado en III), probablemente no supieron asociar porcentajes
con fracciones, llegando a que III) es falsa.
COMENTARIO A LAS PREGUNTAS DE
EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS
Instrucciones para las preguntas Nº 64 a la Nº 70
Para las preguntas siguientes no se pide que el estudiante dé la solución
al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del
problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para
llegar a esa solución.
Los alumnos deberán marcar la letra:
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,
(2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es,
Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son
suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las
afirmaciones por sí sola es suficiente,
Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente
para responder a la pregunta,
Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son
insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información
adicional para llegar a la solución.
Estas preguntas apuntan a medir especialmente el desarrollo de la
Habilidad Cognitiva de Análisis, proceso intelectual de nivel superior.
PREGUNTA 64
Se puede determinar el monto de una deuda si:
(1) La cuota mínima a pagar es el 5% de la deuda.
(2) La cuota mínima a pagar es de $ 12.000.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
Comentario:
El contenido al que apunta esta pregunta es del Eje Temático de
Números y Proporcionalidad, de Primer año Medio, correspondiente a
planteo y resolución de problemas que involucren porcentaje.
Si se designa por x el monto total de la deuda, en (1) se tiene que la
cuota mínima a pagar es el 5% de la deuda, es decir,
mismo que
5
de x, que es lo
100
5x
, luego no se puede determinar el valor de la deuda. Con
100
(1) por sí sola no es posible solucionar el problema.
Con la afirmación (2) se puede saber solamente que la cuota mínima a
pagar es de $ 12.000, pero esta información por sí sola es insuf iciente
para determinar la deuda total.
Ahora, si juntamos los datos entregados en (1) y en (2) se tiene que la
cuota mínima es
5x
5x
y ésta equivale a $ 12.000, luego
= $ 12.000,
100
100
resolviendo esta ecuación simple, contenido de Primer año Medio, se
tiene que x = $ 240.000. Luego con (1) y (2) es posible resolver el
problema, por lo tanto la clave es C).
La contestó bien el 49,6% de los alumnos que la abordaron, resultando
estadísticamente de dificultad mediana y la omisión alcanzó al 23%.
El distractor D) fue el de mayor preferencia, con un 9,4%, seguramente
quienes se inclinaron por él y sin hacer un mayor análisis, pensaron que
teniendo un dato podían llegar a calcular el total de la deuda.
PREGUNTA 65
Se puede determinar cuánto vale m si se sabe que:
(1) La tercera parte de m sumada con 2 resulta 7.
(2) Al restarle 1 al 20% de m resulta 2.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
Comentario:
Esta pregunta corresponde a un contenido de Primer año Medio
referido al planteo y resolución de problemas que involucren ecuaciones
de primer grado con una incógnita, perteneciente al Área Temática de
Álgebra.
Para resolver el ítem el alumno debe traducir los datos entregados en
(1) y en (2) a un lenguaje algebraico, obteniendo en ambos casos una
ecuación de primer grado con una incógnita. Además, debe saber
expresar el porcentaje de una cantidad, contenido que lo ejercita a partir
de la Enseñanza Básica.
Así, en (1) se tiene que la tercera parte de m sumada con 2 resulta 7, se
escribe como
m
+ 2 = 7, ecuación que permite determinar el valor de m.
3
Luego, (1) por sí sola es suficiente para obtener la solución del problema.
En (2), al restarle 1 al 20% de m resulta 2, se escribe
20
· m  1 = 2,
100
planteamiento que también permite llegar a la solución.
Por lo señalado en los párrafos precedentes, la opción correcta es D),
cada una por sí sola. El 42,9% de los alumnos que abordaron la pregunta
contestaron correctamente, indicando que el ítem resultó de dificultad
mediana.
El distractor más marcado fue A) con un 16,2%, posiblemente los
alumnos que se inclinaron sólo por (1) hicieron correcta la traducción de
ésta llegando a una ecuación, no así en (2), ya que al tener un porcentaje
no supieron escribirlo como la fracción de un número.
PREGUNTA 66
Se pueden calcular las edades de Juanita y de su madre si se sabe que:
(1) Actualmente la suma de sus edades es 44 años.
(2)
Dentro de 11 años, la edad de Juanita será la mitad de
la edad de su madre.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
Comentario:
Esta pregunta es del Área Temática de Funciones y se refiere al
contenido de planteo y resolución de problemas y desafíos que
involucren sistema de ecuaciones, perteneciente al Segundo año de
Enseñanza Media.
Para resolver el ítem el alumno debe realizar una traducción al lenguaje
algebraico de las afirmaciones dadas en (1) y en (2), obteniendo en ambos
casos una ecuación de primer grado con dos incógnitas.
Si se designa por J la edad de Juanita y por M la edad de la madre, en
(1) se tiene J + M = 44, ecuación que no permite calcular cada una de las
edades.
En (2), como se trabaja con 11 años más, se tiene que la edad de
Juanita será
(J + 11) y la edad de su madre será (M + 11), luego al
traducir se tiene
J + 11 =
M  11
, que al desarrollarla se llega a M  2J = 11, obteniendo
2
también una ecuación de primer grado con dos incógnitas, por lo tanto
con (2) por sí sola no se puede resolver el problema.
Ahora, si se trabaja con ambas ecuaciones encontradas tanto en (1)
como en (2), se
obtiene el sistema
J + M = 44
M  2J = 11
que al resolverlo permite obtener ambas edades.
Luego la opción correcta es C), marcada por el 65,3% de los
estudiantes, lo que indica que este ítem resultó fácil. La omisión fue baja
con un 9%. Estos resultados reflejan que este tipo de problemas es
habitual en el trabajo realizado en el aula.
El distractor más llamativo fue B) con un 8,9% de preferencias, tal vez
el grupo que lo marcó pensó que al tener el dato de 11 años más que la
edad actual y saber que una de las edades era la mitad de la otra, con
esto se podía resolver el problema.
PREGUNTA 67
Sea n = 7, se puede saber cuántas unidades es x mayor que y si:
(1) x = n + y
(2)
A)
B)
C)
D)
E)
x
=y5
n
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
Comentario:
Este ítem es del Área Temática de Álgebra, que aborda un contenido de
Segundo año Medio y está referido a la resolución de desafíos y problemas no
rutinarios que involucren sustitución de variables por dígitos y/o núm eros.
Así, para resolver este tipo de problemas el alumno debe reemplazar los
datos dados del enunciado en las ecuaciones dadas en (1) y en (2), para luego
analizar si con las ecuaciones obtenidas es posible resolver el pr oblema.
En (1), si se reemplaza n = 7 en la igualdad se tiene que x = 7 + y, por lo
tanto se puede determinar las unidades que x es mayor que y. Entonces, (1)
por sí sola es suficiente para responder la pregunta.
Ahora en (2), si se reemplaza n = 7 en la ecuación dada se obtiene
x
=y
7
5, que es lo mismo que x = 7(y  5), luego, de esta expresión no se puede
deducir cuántas unidades es mayor x que y.
Por lo anterior se tiene que la clave es A).
El ítem resultó difícil, sólo un 18,5% de los postulantes que lo abordaron lo
contestó correctamente y tuvo una alta omisión cercana al 48%, lo que indica
que los alumnos no están habituados a trabajar en el aula con este tipo de
desafíos.
El 12% de los alumnos se inclinó por la opción C), ya que al obtener ambas
ecuaciones, forman un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, y al
resolverlo obtienen los valores de x e y, pero no se percataron que sólo con (1)
se podía responder el problema. Esto refleja una mala compre nsión de lo que
se pide.
PREGUNTA 68
En la figura 18 el trazo AC corresponde a la sombra de la torre vertical
AB , en un cierto momento. Es posible calcular la altura de la torre si se
sabe que, en ese mismo instante:
(1)
Muy cerca del la torre, un poste vertical de 1 metro tiene
una sombra de 1 metro.
(2) Se conoce la medida del trazo AC.
B
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
C
fig. 18
Comentario:
Este ítem está referido a un contenido de Tercer año Medio que involucra la
resolución de problemas relativos a cálculos de alturas o distancias
inaccesibles que pueden resolverse a través de la proporcionalidad en
triángulos rectángulos, del Eje Temático de Geometría.
Con la condición (1) se tiene un poste vertical de 1 metro de altura con su
sombra también de 1 metro, que forman un triángulo rectángulo isósc eles de
catetos 1 metro. La razón entre la altura del poste y su sombra es 1. En ese
mismo instante la torre con su sombra también forman un triángulo rectángulo
isósceles, semejante al formado por el poste y su sombra, luego se tiene
BA
=
CA
1. Pero con esta expresión no es posible calcular la altura de la torre.
En la condición (2) se conoce la medida de la sombra AC producida por la
torre, pero sólo con este dato, no podemos conocer la altura de la torre. Luego,
(2) por sí sola no es suficiente para resolver el problema.
Ahora bien, si juntamos los datos de (1) y de (2) se tiene
BA
= 1 y la
CA
medida de CA , por lo que es posible encontrar la medida de la altura de la
torre BA .
Luego la respuesta es C).
La pregunta la contestó correctamente el 33,6% de los alumnos que
abordaron el ítem, demostrando que la pregunta resultó difícil y
aproximadamente una cuarta parte de los postulantes la omitió.
El distractor más marcado fue B) con un 15,2%, lo que seguramente lleva a
marcar esta opción como clave, es creer que el valor de la sombra de la torre
se puede deducir a partir de la altura de dicha torre, pensando que son igu ales.
PREGUNTA 69
En la figura 19, ABCD es un cuadrado, P es un punto de la recta AB, M es
la intersección de los segmentos PC y AD. Es posible determinar el área del
 PBC si:
(1) El lado del cuadrado mide 8 cm.
(2) Se sabe que M es punto medio de AD .
D
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
C
M
P
A
B
fig. 19
Comentario:
Este ítem está relacionado con un contenido de Primer año de Enseñanza
Media sobre la demostración de propiedades de triángulos y cuadriláteros
relacionados con congruencia del Eje Temático de Geometría.
El alumno para encontrar la respuesta debe aplicar los criterios de
congruencia en triángulos y debe recordar la fórmula del cálculo de área de un
triángulo, que en este caso al ser rectángulo, dicha fórmula e s el semiproducto
de los catetos.
Para encontrar el área pedida se deben determinar los valores de los
segmentos PB y BC.
Así, con los datos entregados en (1) se conoce el lado del cuadrado, es
decir, se conoce la medida del segmento BC, pero no podemos calcular el área
del triángulo, ya que al no indicar la posición de P, este puede ir v ariando en la
recta AB, por lo tanto no se puede determinar PB.
Con (2) se tiene que M es punto medio del trazo AD, por lo que AM = MD,
pero con esta información no es posible determinar ninguna medida, por lo que
no es posible determinar el área.
Ahora, si se toman los datos entregados en (1) y en (2) se tiene
AB = BC = 8 cm y AM = MD = 4 cm. Falta determinar la medida de PA para
obtener la medida de PB .
Para esto, se utilizará congruencia de triángulos, así se tiene que
 PAM   CDM, por criterio ALA. En efecto,
PMA =
CMD por ser
opuestos por el vértice, AM = MD y
PAM =
CDM = 90. Por lo tanto, DC =
PA = 8 cm. Así, PB = PA + AB = 16 cm.
Luego, se puede calcular el área pedida, por lo que la opción correcta es
C), ambas juntas.
Otra manera de resolverlo es utilizando proporcionalidad de trazos,
aplicación del teorema de Thales.
Con los datos dados en (1) y en (2) se establece la siguiente relación de
proporcionalidad:
4
1
PA AM
PA
, reemplazando por los datos dados, se tiene
=
= , de

PB BC
PA  8
8
2
donde 2 ·PA = PA + 8, luego, PA = 8 cm.
Estadísticamente la pregunta resultó mediana, con un 39,1% de respuestas
correctas por parte de quienes la abordaron y su omisión fue muy alta
alcanzando el 35,3%. Esta alta omisión se puede deber a un desconocimiento
del contenido o a que este tipo de problemas no se trabaja en aula.
El distractor más recurrido por los alumnos fue E), con el 8,7%,
seguramente, no supieron relacionar los datos entregados en (1) y en (2), por
lo que creyeron que faltaba información, o bien, no supieron determinar la
medida del segmento PA, al no reconocer que los triángulos PAM y CDM eran
congruentes o que los triángulos PAM y PBC eran semejantes.
PREGUNTA 70
Se tiene una bolsa con fichas verdes y rojas de igual tamaño y peso.
Se puede determinar la probabilidad de sacar una ficha roja si:
(1) El número de fichas rojas es mayor que el
número de fichas verdes.
(2) El número total de fichas es 36.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
Comentario:
Esta pregunta apunta a un contenido del Área Temática de probabilidades
de Segundo año Medio sobre la probabilidad como proporción entre el
número de resultados favorables y el número total de resultados posi bles, en
el caso de experimentos con resultados equiprobables.
Para resolverlo, el alumno debe traducir la afirmación (1) a una simple
desigualdad y en (2) debe traducir a una ecuación de primer grado, co ntenido
tratado en Primer año Medio.
Se designará por r a la cantidad de fichas rojas y por v a la cantidad de
fichas verdes. Para determinar la probabilidad de sacar una ficha roja se
debe conocer el número de fichas rojas que hay en la bolsa y el total de
fichas que hay en dicha bolsa.
En (1) se tiene r > v, con lo cual no se puede determinar la cantidad total
de fichas, ni el número de fichas rojas que hay en la bolsa, ni la proporción
de fichas rojas que hay con respecto al total de fichas, por lo tanto no se
puede determinar la probabilidad pedida.
El dato entregado en (2), indica que el número total de fichas es 36, pero
no se puede determinar el número total de fichas rojas, por lo que no se
puede determinar la probabilidad de sacar una ficha de este color.
Ahora, al juntar ambas informaciones (1) y (2), se tiene r > v y v + r = 36.
A pesar de tener ambas relaciones es imposible calcular la cantidad de fichas
rojas para determinar la probabilidad pedida.
Por el análisis realizado se llega a que la clave es E), se requiere
información adicional.
Cerca de un 50% de los postulantes que abordaron el ítem lo respondió
correctamente, esto indica que el problema es de dificultad mediana. Su
omisión fue sólo de un 5,2%, estos datos estadísticos, se deben seg uramente
a que los estudiantes están habituados a trabajar con este tipo de problemas
en el aula.
Llama la atención que el distractor más llamativo fuera A) con un 11,1% de
adeptos, tal vez sea porque al afirmar en (1) que las fichas rojas son más que
las fichas negras, pensaron que se puede determinar la cantidad total de
fichas y además, la cantidad de fichas rojas siendo que lo único que pueden
determinar es que la probabilidad de sacar una ficha roja es mayor que la de
sacar una negra.