estimación de la confiabilidad de un ducto que transporta

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
ESTIMACIÓN DE LA CONFIABILIDAD DE UN DUCTO QUE TRANSPORTA GAS
MEDIANTE EL MÉTODO FORM
Osvaldo A. Miramontes Moreno1, Joel A. García Vargas2
RESUMEN
Debido a que la mayoría de las variables involucradas en el diseño de un ducto tienen carácter aleatorio, es
necesario utilizar métodos de confiabilidad capaces de tomar en cuenta tal aleatoriedad. En este trabajo se
presenta un estudio realizado a un ducto que transporta gas con una longitud total de 1,859.65 ft y en su
trayectoria maneja tramos de tubería subterránea y tubería enterrada, la cual está sometida a un par de
solicitaciones debidas al efecto de la temperatura y la presión de operación. Se empleó el método de
confiabilidad FORM para determinar los índices de confiabilidad y probabilidad de falla en algunos nodos del
ducto considerados los más críticos. También se empleó el Método de Superficie de Respuesta Cuadrática
(SRQ) debido a que no se disponen de datos estadísticos del ducto analizado. Se realizó el análisis de
confiabilidad considerando valores nominales y valores medios. Para el análisis de esfuerzos del ducto se
empleó el programa Autopipe.
ABSTRACT
Because most of the variables involved in the design of pipeline they have random character, it is necessary to
use reliability methods able to take into account such randomness. In this work a study made to pipeline
appears that transports gas with a length overall of 1.859,65 ft and in its trajectory handles to sections of
underground pipe and buried pipe, which is put under a pair of requesting due in order that the temperature
and the pressure of operation. The method of reliability FORM was used to determine the indices of
reliability and probability of fault in some nodes of pipeline considered most critical. Also the Method of
Surface of Response Quadratic was used (SRQ) because they are not had statistical data of pipeline analyzed.
It was made the reliability analysis having considered nominal values and average values. For the stress
analysis of pipeline the Autopipe program was used.
INTRODUCCIÓN
En la industria petrolera existen tres procesos fundamentales: la producción, el procesamiento y/o refinación y
la distribución y/o venta. Dichos procesos no son tan fáciles de efectuar y para ello se requiere de la ayuda
indispensable de los ductos o tuberías que conecten a esos procesos, para llevar desde el sitio de la extracción
a los lugares de destino o ventas los distintos productos obtenidos. Cuando se diseña este tipo de estructuras
siempre conlleva la mejor intención para que pueda soportar todos los tipos de cargas y solicitaciones que se
supone actuarán durante su vida útil.
Pero se observa que desde el mismo proceso de construcción o fabricación existen diferencias entre los
valores de las variables que se utilizan en el análisis con los valores de éstas al finalizar dicho proceso de
construcción y durante el transcurso de la vida útil de la estructura, como por ejemplo: las condiciones de
apoyo, solicitaciones, dimensiones y propiedades del material, etc. Lo anterior recuerda que los datos no se
tienen a nuestra disposición con total certeza, por lo cual, los parámetros que se utilizan en el análisis y en el
diseño de estructuras son aleatorios y es por eso se requiere utilizar métodos de confiabilidad que tomen la
aleatoriedad de esas variables de diseño.
Alumno de posgrado y exbecario IMP1, Profesor de posgrado2. Sección de Estudios de Posgrado e
Investigación / E.S.I.A.-I.P.N. Av. Juan de Dios Batíz s/n. Edificio 12, 3er. piso. Unidad Profesional “Adolfo
López Mateos”, Zacatenco, 07738 México, D.F. omiramon@imp.mx, garciavjaipn@yahoo.com.mx
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XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Acapulco, Gro., 2004
MÉTODOS DE CONFIABILIDAD
Debido a que no es posible aún tomar en cuenta todas las variables aleatorias que intervienen en los diseños,
solamente se eligen a aquellas que se consideran más importantes o determinantes en el diseño. Para el
desarrollo de este trabajo, se realizó un estudio de los parámetros más importantes y relevantes que
intervienen en el diseño de un ducto, se analizaron los casos típicos de falla que pueden presentarse y los
métodos que pueden aplicarse, en particular los métodos de Superficie de Respuesta Cuadrática (Surface of
Response Quadratic) y el de confiabilidad FORM (First Order Reliability Method). Para evaluar la
confiabilidad es necesario evaluar la probabilidad de falla y obtener su complemento. Sin embargo, su cálculo
es a menudo bastante complejo. Por lo que se recurre al uso de métodos aproximados como el del índice de
Hasofer y Lind (Método FORM) y los métodos de superficie de respuesta como lo es el de superficie de
respuesta cuadrática (SRQ).
Método FORM
El índice utilizado β HL o simplemente β , propuesto por Hasofer y Lind, es simple de obtener al menos para
muchos casos de interés práctico. Sus autores proponen efectuar un cambio de variables y colocarse así en el
espacio de variables normales estándar (media nula y desviación estándar unitaria) estadísticamente
independientes. La transformación de las variables X en variables normales estándar es:
(1)
U = T(X )
A ésta transformación se le llama transformación probabilista. Ella existe siempre para variables continuas. Se
tiene así, para la función de estado límite:
G ( X ) = G ( X (U )) ≡ G (U ) = 0
y la probabilidad de falla:
Pf =
∫ φ (u)du ...du
1
n
G (U ) ≤ 0
donde φ (u ) es la función de densidad de probabilidades de la función normal de n dimensiones. El índice de
confiabilidad β se define como la distancia más corta del origen a la línea de falla de la función límite
G(U ) = 0 en el espacio U . Esta distancia proporciona un hiperplano tangente a la función límite en el punto
P ∗ , llamado punto de falla más probable o punto de diseño, ver figura 1. Este método es conocido como el
método FORM (First Order Reliability Method). La probabilidad de falla (FORM) se aproxima mediante:
Pf = φ (− β )
Pf
U2
P
*
u2
G (U )= 0
β
Φ
α
U1
u1
_ 0 ]≈ Φ
P ro b [G (X )<
Figura 1 Estimación del valor de β.
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siendo φ la función normal estándar. Esta aproximación es de primer orden. El grado de aproximación
depende de la no linealidad de la función de estado límite. La solución por el método FORM se reduce a
solucionar un problema de optimización, en donde se busca minimizar β , con la condición de que G(U ) = 0 ,
la cual se encuentra mediante un algoritmo de optimización.
Método de superficie de respuesta cuadrática (SRQ)
Existen otros métodos ligados a los métodos de confiabilidad para resolver el caso de estudio y evaluar la
probabilidad de falla. Estos métodos son llamados de Superficie de Respuesta (Surface of Response
Approach), la idea central es la utilización de una aproximación de la superficie de estado límite mediante un
polinomio (Rajashekhar y Ellingwood, 1993). El método de Superficie de Respuesta Cuadrática (Flores,
1994), se utiliza en los casos en los que no se dispone de la función de estado límite G ( X i ) de manera
explícita. Para ello es necesario repetir el cálculo determinista para un cierto número de puntos seleccionados
alrededor del punto de diseño y después hacer un análisis de regresión, ver figura 2. Los métodos de
Superficie de Respuesta son utilizados como una alternativa para el análisis de confiabilidad de estructuras,
están fundados en la aproximación de la función de estado límite mediante un polinomio de variables
aleatorias en el cual los coeficientes son desconocidos. El método permite la aproximación de la superficie de
estado límite con una superficie cuadrática partiendo de algunas realizaciones. Se puede obtener esta
aproximación mediante el polinomio de Rajashekhar:
n
n
n−1
i =1
i =1
i =1
Q( Xi ) = c + ∑ai Xi +∑bii Xi2 +∑
n
∑b X X
j =i +1
ij
i
(2)
j
La construcción de Q( X il ) se hace a partir de un conjunto K de realizaciones de G( X il ) . La ecuación (2)
permite el cálculo de una aproximación de β K y de un punto de falla X i*( ) . Una nueva aproximación de ( K + 1)
k
se obtiene a partir de realizaciones situadas alrededor de X i . Algunas iteraciones permiten aproximar la
función de estado límite y el cálculo del índice β . La figura 2 muestra esquemáticamente el método SRQ
(Método de Superficie de Respuesta Cuadrática).
*( k )
x
2
m(x2)
Realizaciones
Q
(1)
(X)
xl *
x
(1)
(k)
* (k)
l
Q (X)
m(x 1 )
x
1
Figura 2 Método de Superficie de Respuesta Cuadrática (SRQ)
EVALUACIÓN DE LA CONFIABILIDAD
Una vez definidos los estados límite, las variables consideradas como aleatorias y sus parámetros estimados
se procede a la evaluación de la confiabilidad y de su complemento (la probabilidad de falla), para un
escenario elegido. La frontera entre el estado falla y estado de seguridad se conoce como la superficie de
estado limite. El estado de seguridad es el estado de una estructura que es capaz de satisfacer las condiciones
(mecánicas y de servicio) para las que fue diseñada. Si Z se define como la diferencia entre la resistencia R y
la solicitación S , entonces la función de estado límite elemental, se define como:
G(Z ) = R − S
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donde R es la variable que representa todos los recursos del sistema y S es la variable que define la
solicitación. La función G( Z ) > 0 define el estado de seguridad y G( Z ) ≤ 0 define el estado de falla. La
probabilidad de falla es:
Pf =
∫f
z
G ( Z )≤0
( z )dz
donde f z (z ) es la función de densidad de probabilidades de Z .
CASO DE ESTUDIO
El caso de estudio es un ducto que transporta gas con una longitud total de 1,859.65 ft y en su trayectoria
maneja tramos de tubería subterránea (desde el nodo A00 hasta el nodo A16) y tubería enterrada (desde el
nodo A16 hasta el nodo A22), ver figura 3a y 3b. La profundidad de entierro de la tubería es de 5 ft y está
sometida a solicitaciones causadas por el efecto de la temperatura ambiente, la temperatura de operación y la
presión de operación. El tipo de suelo que se encuentra en contacto con el sistema es arena densa.
Figura 3a Tramo de ducto subterráneo (desde el nodo A00 hasta el nodo A16)
Figura 3b Tramo de ducto enterrado (desde el nodo A16 hasta el nodo A22)
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El estudio fue realizado para dos casos, uno denominado CASO 1 en el que se consideran los valores medios
y el CASO 2 en el que se consideran los valores nominales, de las variables aleatorias consideradas
(Miramontes, 2004).
MODOS DE FALLA
En el análisis de esfuerzos se consideraron diferentes escenarios de falla de manera independiente para
identificar cual de ellos fuese el más significativo, entre ellos: (1) falla por presión de operación (Max P), (2)
falla por expansión (Exp), (3) falla por Gravedad y Presión de operación (Gr + Max P), y (4) falla debido a la
combinación de las solicitaciones actuando a un mismo tiempo (Teoría de Mises). De acuerdo con los
resultados del análisis de esfuerzos realizado mediante Autopipe los modos de falla más críticos fueron por
Expansión y por la teoría de Mises (asociado con los tres esfuerzos principales). En las tablas 1 y 2, se
muestran los valores de los parámetros que se tomaron en el análisis de confiabilidad para los dos casos
considerando valores medios y valores nominales. Por otra parte, los coeficientes de variación fueron tomados
de acuerdo a la experiencia de algunos ingenieros de la práctica.
Tabla 1 Parámetros de las variables de diseño considerando sus valores medios
Variables
Valor
Nominal
V. N.
Coeficiente
de
Variación
c.v
Valor
Medio
Vx
Desviación
Estándar σx
f.d.p
Temperatura de Operación
(T1)
100 °F
0.3
100
30
Normal
Presión (P)
Espesor (t)
SMYS
Temperatura ambiente (T2)
Profundidad de entierro (Z)
Peso de la unidad del suelo (γ)
Diámetro (d)
Módulo de elasticidad (E)
Coeficiente de expansión
térmica (α)
Deformación térmica (ε)
Material (5LA)
200 Psi
.375 in
30,000 Psi
70 °F
5 ft
3
115 lb/ft
16 in
6
29x10 Psi
0.61 in/100 ft
0.2
0.1
0.15
-
200
0.375
30,000
-
40
0.0375
4,500
-
Normal
Normal
Normal
-
-
-
-
-
Módulo de Poisson
(ν)
-3
1.52x10
5LA
0.3
Tabla 2 Parámetros de las variables de diseño considerando sus valores nominales
Variables
Temperatura de Operación
(T1)
Presión (P)
Espesor (t)
SMYS
Temperatura ambiente (T2)
Profundidad de entierro (Z)
Peso de la unidad del suelo (γ)
Diámetro (d)
Módulo de elasticidad (E)
Coeficiente
de
expansión
térmica (α)
Deformación Térmica (ε)
Material (5LA)
Módulo de Poisson
(ν)
Coeficiente
de
Variación
C.V
K
Valor Medio
Vx
Desviación
Estándar
σx
f.d.p
100 °F
0.3
2
62.5
18.75
Normal
200 Psi
.375 in
30,000 Psi
70 °F
5 ft
3
115 lb/ft
16 in
6
29x10 Psi
0.61 in/100 ft
0.2
0.1
0.15
-
2
2
2
-
142.85
0.469
42,857.14
-
28.57
0.0469
6,428.57
-
Normal
Normal
Normal
-
-
-
-
-
-
Valor
Nominal
V. N.
1.52x10
5LA
0.3
-3
ESTADOS LÍMITES DE FALLA
Para el modo de falla por expansión (EXP), la función de estado límite quedó definida mediante:
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G ( Z ) = (0.72 * SMYS ) − σ ACT
Para el modo de falla por la combinación de solicitaciones (Mises), la función de estado límite quedó definida
mediante:
G ( Z ) = SMYS − σ ACT
donde SMYS es el esfuerzo de cedencia mínimo especificado y σ ACT es el esfuerzo actuante originado por la
solicitación. El polinomio del nodo N15 + correspondiente al CASO 1 queda conformado de la siguiente
manera:
Q ( X i ) = 1.8585 E 04 + ( −8.0115 E 01) x1 + ( −9.7528 E 01) x 2 + ( 4.422 E 04) x3 + ( −2.4870 E − 01) x 4 +
(7.6253E − 01) x12 + (1.4168E − 01) x 22 + (1.8981E 04) x32 + (1.0486 E − 05) x 42 +
( −2.7936 E − 01) x1 x 2 + (−6.8790 E 02) x1 x3 + (−2.2799 E − 03) x1 x 4 +
(1.1248 E 01) x 2 x3 + (1.8841E − 03) x 2 x 4 + (7.2115 E − 01) x3 x 4
donde x1 , x 2 , x3 , y x 4 son las cuatro variables aleatorias tomadas para el análisis de confiabilidad y
corresponden a: x1 = temperatura, x 2 = presión de operación, x3 = espesor y x 4 = SMYS. De manera
semejante se estimaron los polinomios para los demás nodos analizados (para CASO 1 y CASO 2).
RESULTADOS
Los resultados obtenidos del análisis de confiabilidad aplicando el método SRQ y FORM respecto al modo de
falla seleccionado se muestran en las tablas 3 y 4. Además se presentan las graficas 1,2.3 y 4 relacionadas con
los valores de los índices de confiabilidad β y la probabilidad de falla correspondientes a ambos casos en
estudio.
Tabla 3 Resultados del CASO 1
Nodo
A15 N+
A15 N+1
A15FA18 N+
A18 N+
A18 FA18F-
Valores Medios
Modo de falla
β
Mises
1.700E+00
Mises
2.234E+00
Mises
2.134E+00
Expansión
1.599E+00
Mises
1.659E+00
Expansión
2.661E+00
Mises
2.986E+00
pf
4.455E-02
1.276E-02
1.645E-02
5.492E-02
4.859E-02
3.855E-03
1.400E-03
Tabla 4 Resultados del CASO 2
Nodo
A15 N+
A15 N+1
A15FA18 N+
A18 N+
A18 FA18F-
Valores Nominales
Modo de falla
β
Mises
1.051E+00
Mises
1.104E+00
Mises
1.092E+00
Expansión
8.801E-01
Mises
1.070E+00
Expansión
8.117E-01
Mises
1.417E+00
pf
1.467E-01
1.349E-01
1.375E-01
1.893E-01
1.423E-01
2.085E-01
7.824E-02
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=
=
3 .0
C a s o
C a s o
1
2
Índice β
2 .5
2 .0
1 .5
1 .0
0 .5
A 1 5 N + 1
C o m b
A 1 5 N +
C o m b
A 1 5 F C o m b
A 1 8 N +
E x p
N o d o s
e n
A 1 8 N +
C o m b
e s tu d io
A 1 8 F E x p
A 1 8 F C o m b
Gráfica 1 Índices β de los nodos en estudio del Caso 1 y Caso 2
=
=
C a s o 1
C a s o 2
0 .1 5
(pf)
Probabilidad de falla
0 .2 0
0 .1 0
0 .0 5
0 .0 0
- 0 .0 5
A 1 5 N +
C o m b
A 1 5 N + 1
C o m b
A 1 5 F C o m b
A 1 8 N +
E x p
N o d o s e n
A 1 8 N +
C o m b
A 1 8 F E x p
A 1 8 F C o m b
e s tu d io
Gráfica 2 Probabilidad de falla de los nodos en estudio del Caso 1 y Caso 2
CONCLUSIONES Y COMENTARIOS FINALES
Los resultados de los análisis de esfuerzos se suponen congruentes debido a que mediante el empleo del
software Autopipe desarrolla un modelo representativo del comportamiento del ducto sujeto a las diferentes
solicitaciones y considerando la interacción suelo-ducto.
A su vez los resultados del análisis de confiabilidad nos muestran valores más realistas debido a que en el
análisis se incorpora la aleatoriedad de algunas de las variables involucradas en el diseño de un ducto.
Aunque solamente se consideraron cuatro variables aleatorias, el desarrollo de este trabajo es un inicio para
realizar en un futuro próximo, análisis y diseños de ductos considerando una mayor cantidad de variables
aleatorias, ya que para ello se requiere de datos estadísticos y programas de cómputo más robustos.
Referente al ducto en estudio de acuerdo con los resultados obtenidos se considera un buen diseño ya que la
probabilidad de falla más alta resulta ser del 20.8 % en el nodo A18 F- del Caso 2.
Por otra parte se comprueba el por qué del uso de los valores nominales (Caso 2) en las variables de diseño,
debido a que proporcionan una probabilidad de falla mayor que cuando se utilizan sus valores medios (Caso
1) y por tanto los factores de seguridad son considerablemente más conservadores.
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REFERENCIAS
Rajashekhar M.R. y Ellingwood B.R. (1993), “A new look at the response surface approach for reliability
analysis”. Structural Safety. 12(3):205-220.
Flores M.O. (1994). “Modèles fiabilistes et mécaniques: élément finis stochastiques”. Méthodes de
couplage et applications. Tesis doctoral de la Université Blaise Pascal, Clermont-Ferrand, Francia.
Miramontes M. O A., (2004), “Normatividad para el análisis, diseño y mantenimiento de ductos”, Tesis
de maestría, SEPI, ESIA, IPN.
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