Reporte 11.

Semana 11.
Arturo Ramı́rez.
Lugares geométricos
Pons asinorum: Dos ángulos de un triángulo isósceles son iguales. (Utilizando sólo el triángulo del
dibujo y el criterio de congruencia LLL)
Construcción de la bisectriz
Pons asinorum (demostrado ahora usando la bisectriz)
construccion de una mediatriz con regla y compás
Construcción de una recta perpendicular a una recta que pase por un punto dado
Lugares geométricos: cı́rculo, mediatriz bisectriz.
Incı́rculo, circuncı́rculo, ¿es el incı́rculo único?
Desigualdad del triángulo
La distancia más corta de un punto P a una recta l es la determinada por la perpendicular a la
recta l trazada desde el punto P.
Las notas de arturo se encuentran en la página:
http://www.cimat.mx/especialidad.seg/documentos/geometria-euclideana.pdf
Lo correspondiente a esta sesión es de la página 14 a 23.
Tarea.
Hacer nuevamente el experimento de la luna.
Ricardo Vila.
Razones
http://www.cimat.mx/especialidad.seg/documentos/algebra3y4.pdf
Alfredo.
Repaso
i) Propiedades algebraicas de suma y multiplicación: conmutatividad, asociatividad, distributividad,
existencia de un neutro
ii) Números racionales, enteros naturales
iii) mı́nimo común múltiplo
iv) Máximo común divisor
1
v) suma y equivalencia de fracciones
vi) solución de ecuaciones de primer orden
vii) solución del problema del iva y el descuento
viii) multiplicación de expresiones algebraicas
Problemas de practica de álgebra
Problema 1. Utilizando las propiedades algebraicas realiza las siguientes cosas:
1) Realiza la multiplicación (2x − 3)(3x + 4).
2) Resuelve la ecuación 3x + 4 = 27
3) Realiza la suma de fracciones de forma que quede expresado en una sola fracción:
3x+1
x
+
x
x+1
a
4) Demuestra que ab · dc = ac
bd . Sugerencia: recuerda las definiciones de la notación b , usa las propiedades
conmutativa y asociativa, y recuerda que el inverso es único.
Problema 2. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas de forma que quede una sola fracción, no
es necesario indicar las propiedades que se usan, pero si los pasos que hacen y que ustedes observen que
propiedades usan.
1.
a
b
+ cb +
c
a
2.
3.
3
5
x
x+1
+
x+2
x
·
3
5
+
2
7
3
+1
Problema 3. calcula el Máximo común divisor y el mı́nimo común múltiplo de los siguientes números.
36, 4, 9
25, 5, 2
33, 7, 6
Filomeno.
Solución a la tarea
Utilice las tablas de verdad para verificar las siguientes tautologı́as:
Conmutatividad: (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∨q
0
1
1
1
q∨p
0
1
1
1
Asociatividad: ((p ∨ q) ∨ r) ⇔ (p ∨ (q ∨ r))
2
(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
1
1
1
1
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
p∨q
0
0
1
1
1
1
1
1
r
0
1
0
1
0
1
0
1
q∨r
0
1
1
1
0
1
1
1
(p ∨ q) ∨ r
0
1
1
1
1
1
1
1
p ∨ (q ∨ r)
0
1
1
1
1
1
1
1
[(p ∨ q) ∨ r] ⇔ [p ∨ (q ∨ r)]
1
1
1
1
1
1
1
1
Distributividad: [p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)]
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r
0
1
0
1
0
1
0
1
p∨q
0
0
1
1
1
1
1
1
p∨r
0
1
0
1
1
1
1
1
q∧r
0
0
0
1
0
0
0
1
p ∨ (q ∧ r)
0
0
0
1
1
1
1
1
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
0
0
0
1
1
1
1
1
[p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)]
1
1
1
1
1
1
1
1
Ley de De Morgan: ¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q)
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
¬p
1
1
0
0
¬q
1
0
1
0
p∨q
0
1
1
1
¬(p ∨ q)
1
0
0
0
¬p ∧ ¬q
1
0
0
0
[¬(p ∨ q)] ⇔ [¬p ∧ ¬q]
1
1
1
1
Cuantificadores
En la lógica proposicional usamos grandes cantidades de lenguaje matemático, de manera que esas
partes puedan tener un valor de verdad. Desafortunadamente éste uso del lenguaje es insuficiente para
la práctica matemática. Un simple argumento, tal como “Todos los cuadrados son positivos, 9 es un
cuadrado, por lo tanto 9 es positivo” no puede ser manejado de manera simple. Desde el punto de vista
de la lógica proposicional la afirmación anterior es de la forma:
(p ∧ q) ⇒ r.
Y no hay razón por la cual ésta afirmación deba ser verdadera, aunque obviamente nosotros la aceptamos
como verdadera. La moral es que tenemos que entender el lenguaje, en una manera tal que seamos capaces
de discutir acerca de objetos y relaciones. En particular, queremos introducir el significado de hablar aceca
de todos los objetos de un dominio de discurso, por ejemplo, queremos permitir afirmaciones del tipo:
Todos los números pares son suma de dos números primos.
Dualmente, queremos un significado de expresiones tales como:
Existe un objeto tal que...
Por ejemplo: Existe un número real cuyo cuadrado es 2.
La experiencia nos ha enseñado que las afirmaciones matemáticas básicas tienen la forma:
3
a tiene la propiedad P , o,
a y b están en la relación R.
Ejemplos:
n es par.
f es una recta.
3 = 5.
7 < 12.
B está entre C y A.
Por lo tanto, construimos nuestro lenguaje de sı́mbolos para propiedades, relaciones y objetos. Aún
más, agregamos variables individuales que cubran los objetos (llamadas variables individuales) y la lógica
usual de conectivos ahora usando los cuantificadores ∀ (para todos) y ∃ (existe). Ejemplos:
∃x t.q. P (x)
∀yP (y)
∀x∃y t.q. x = 2y
∀ > 0∃n t.q. n1 < x < y ⇒ ∃z t.q. (x < z) ∧ (z < y)
∀x∃y t.q. x ∗ y = 1
Hay un x con la propiedad P
Toda y tiene la propiedad P
Para todo x hay una y tal que x es dos veces y
Para todo positivo hay un n tal que n1 < Si x < y entonces hay un z tal que x < z y z < y
Todo x tiene inverso multiplicativo.
Conjuntos
El concepto central de ésta sección, el de conjunto, es, a primera vista, extremadamente simple. Un
conjunto es cualquier colección, grupo o conglomerado. Ası́, tenemos el conjunto de los números naturales
(N), el conjunto de todos los elefantes rosas, el conjunto de todos los puntos en un plano que están a
exactamente dos centı́metros de un punto dado, etc. Los conjuntos no son objetos del mundo real, como
las mesas o las estrellas. Son construidos por nuestras mentes, no por nuestras manos. Un costal de papas
no es un conjunto de papas, el conjunto de todas las moléculas en una gota de agua no es el mismo objeto
que la gota de agua por sı́ misma. La mente humana poseé la habilidad de abstraer, de pensar a una
variedad de objetos diferentes como unidos por alguna propiedad en común. Esa propiedad puede no ser
más que la habilidad de pensar a esos objetos (como seres) juntos. De este modo, hay un conjunto que
consiste exactamente de los números: 7, 34, 23, 5, 11000, 265. Sin embargo, es difı́cil ver que es lo que une
a estos números, a parte del hecho de que los pensamos en nuestras mentes. Hasta ahora, hemos definido:
Definición. Un conjunto es una colección de objetos.
Para nuestros propósitos ésta definición es suficiente, pero veremos que en ocasiones tendremos que ser
más rigurosos, puesto que nosotros no vamos a tratar con conjuntos de personas o de objetos, sino sólo de
objetos matemáticos (números, puntos en el espacio, funciones, etc.). En adelante sólo nos interesaremos
en los conjuntos. Los conjuntos de objetos matemáticos son, por ejemplo:
El conjunto de los números primos que son divisores de 324.
El conjunto cuyos elementos son los números naturales menores que 20.
El conjunto de los números que son multiplos de 5.
Ahora, daremos un par de definiciones y empezaremos con el álgebra de conjuntos. Otro de los sı́mbolos
que ultilizaremos es: ∈, que indica la pertenencia de un elemento a algún conjunto. n ∈ N indica que n
pertenece a ( es elemento de) los números naturales.
4
Definición. Sean A y B conjuntos. Decimos que A es subconjunto de B si todo elemento de A es también
elemento de B. Esto es:
∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B.
Escribimos A ⊂ B para indicar que A es subconjunto de B.
Observación. Para cualesquiera conjuntos A, B y C se cumple lo siguiente:
A ⊂ A.
(A ⊂ B y B ⊂ A) ⇒ A = B.
(A ⊂ B y B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C.
Definición. Sean A y B dos conjuntos.
1. La unión de A y B es el conjunto A ∪ B que consiste de los elementos x tales que x ∈ A o x ∈ B:
A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}
2. La intersección de A y B es el conjunto A ∩ B que consiste de los elementos que están en A y en
B:
A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}
3. Decimos que A y B son disjuntos si no tienen elementos en común, es decir, si su intersección es
vacı́a. Escribimos A ∩ B = ∅.
4. La diferencia de A y B es el conjunto A \ B que consiste de los elementos que están en A y no están
en B:
A \ B = {x | x ∈ A y x ∈
/ B}
5. La diferencia simétrica de A y B es el conjunto A 4 B que consiste de los elementos que están en
la unión de B \ A y A \ B:
A 4 B = {x | x ∈ (A \ B) ∪ (B \ A)}
Los conjuntos anteriores están estrechamente ligados con los conectivos. Esto puede verse en las
siguientes propiedades:
Proposición. Sean A, B y C conjuntos. Entonces se satisfacen las siguientes propiedades:
1. Propiedad conmutativa:
A∪B = B∪A
A∩B = B∩A
2. Propiedad asociativa:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
3. Propiedad distributiva:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
5
4. Leyes de De Morgan:
C \ (A ∪ B) = (C \ A) ∩ (C \ B)
C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \ B)
Demostración. Haremos una demostración de cada propiedad y las restantes quedarán como ejercicio:
1. Sea x un elemento de A ∪ B entonces:
x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A o x ∈ B, por definición de A ∪ B.
⇔ x ∈ B o x ∈ A, pues ya vimos que el conectivo “o” es conmutativo.
⇔ x ∈ B ∪ A, por definición de B ∪ A.
2. Sea x un elemento de (A ∪ B) ∪ C, entonces:
x ∈ (A ∪ B) ∪ C ⇔ x ∈ (A ∪ B) o x ∈ C, por definición de (A ∪ B) ∪ C.
⇔ (x ∈ A o x ∈ B) o x ∈ C, por definición de A ∪ B.
⇔ x ∈ A o (x ∈ B o x ∈ C), porque el conectivo “o” es asociativo.
⇔ x ∈ A o x ∈ (B ∪ C), por deficición de B ∪ C.
⇔ x ∈ A ∪ (B ∪ C), por definición de A ∪ (B ∪ C).
3. Sea x un elemento de A ∪ (B ∩ C), entonces:
x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇔ x ∈ A o x ∈ (B ∩ C), por definición de A ∪ (B ∩ C).
⇔ x ∈ A o (x ∈ B y x ∈ C), por definición de A ∩ B.
⇔ (x ∈ A o x ∈ B) y (x ∈ A y x ∈ C), porque el conectivo “o” se distribuye.
⇔ x ∈ (A ∪ B) y x ∈ (A ∪ C), por deficición de A ∪ B y de A ∪ C.
⇔ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), por definición de (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Tarea
1. Usar las tablas de verdad para demostrar que las siguientes afirmaciones son tautologı́as:
(p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)
[(p ∧ q) ∧ r] ⇔ [p ∧ (q ∧ r)]
[p ∧ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]
¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)
2. Demostrar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva para la intersección de conjuntos.
notas
Llegamos a un punto en el que tenemos que ir a la par con lo que ven los investigadores, ası́ que si
algo de las clases de los miercoles no les queda muy claro, pregunten para ver que es lo que mas hace falta
ver en las tutorias.
El viernes no haremos el examen, subimos un archivo que contiene problemas para que practiquen,
esto es para que los chequen y saquen dudas.
6
Los archivos son para que los chequen siempre y esten preguntando dudas, de nada les va a servir si
solo los checan antes de un examen.
Es importante asistir a las clases, ahorita por vacaciones y algunas suspensiones no han tenido que
dedicarle mucho tiempo, pero ya han visto que es pesado y si faltan, será mas complicado aún.
Les estamos dando algunos ejercicios para que estudien, pero estudien tambien las notas, de algebra es
importante checar el reporte 7 y hacer los ejercicios que les indico, si quieren mas material para estudiar,
nos avisan, pero creo que por ahora con esto basta.
Solo filo dejó tarea.
7
B
A
A
B
INTERSECCIÓN
UNION
A
A
B
B
DIFERENCIA
SIMÉTRICA
DIFERENCIA
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