VII Solución Sección 22.2 ENERGIA DE AMARRE NUCLEAR R. Serway – J . Jewett . Vol. 2. 6º Edición. Thomson 2005 14. Calcule la energía de enlace por núcleos para a) 2 H b) 4 He c) Solución: Energía de enlace MeV E b (MeV) Z.m p N.m n MA 931 .494 u 2 a) H A 2 Z 1 N 1 mp mn mnucleo Constante Eb Eb/A 56 Fe d) 238 U H 1.007825 1.008665 2.014102 931.494 2.22440767 1.11220384 b) 4 He A Z N c) 56 4 2 2 mnucleo Eb 4.002602 28.2969247 Eb/A 7.07423118 Fe A 56 Z 26 N 30 mnucleo Eb Eb/A d) He 238 Fe 55.93494 492.257319 8.79030927 U A 238 Z N 92 146 mnucleo Eb Eb/A U 238.050784 1801.70128 7.57017346 15. El isótopo del hierro 56 Fe se encuentra cerca del pico de la curva de estabilidad.Esta es la razon por la cual el hierro es un elemento prominete en el espectro del Sol y las estrellas.Demuestre que el 56 Fe tiene una energía de amarre mayor por nucleón que sus vecinos 55 Mn y 59 Co . Compare sus resultados con la figura 22.5 FACULTAD DE EDUCACION M ATEM ATICA, FISICA e INFORM ÁTICA Página 2 VII Solución: Energía de enlace 56 E b (MeV) Z.m p N.m n MA 931 .494 MeV u Fe A Z N 56 26 30 Fe Mp Mn mnucleo Constante Eb Eb/A 55 1.007825 1.008665 55.93494 931.494 492.257319 8.79030927 Mn A Z N 55 25 30 Mn mnucleo Eb Eb/A 59 54.938048 482.073295 8.76496901 Co A Z N 59 27 32 Co mnucleo Eb Eb/A 58.933198 517.311713 8.76799514 Observamos que la energía de enlace por nucleón del es superior. 56 Fe 16. Dos núcleos que tienen el mismo numero de masa se conocen como isobaros. Calcule la diferencia en la energía de enlace por nucleón para los isobaros 23 23 11 Na y 12 Mg .¿ Como explica usted la diferencia? Solución MeV Aplicamos : Energía de enlace E b (MeV) Z.m p N.m n MA 931 .494 u (porque hemos encontrados los valores de masas atomicas de cada núcleo) 23 11 Na A Z N 23 11 12 mp mn mnucleo Constante Eb Eb/A FACULTAD DE EDUCACION M ATEM ATICA, Na 1.007825 1.008665 22.98977 931.494 186.564276 8.11149025 FISICA e INFORM ÁTICA Página 3 VII 23 12 Mg A Z N 23 12 11 Mg mp mn mnucleo Constante Eb Eb/A DIFERENCIA 23 11 1.007825 1.008665 22.994127 931.494 181.723301 7.90101311 0.21047714 MeV 23 12 Na A = Z+ N 23 = 11 + 12 Mg A = Z+ N 23 = 12 + 11 Una repulsión electrostática adicional hace menos estable al núcleo de Mg .(es decir , si agregamos un neutrón). 17. Núcleos que tienen el mismo número de masa reciben el nombre de isóbaros. 139 El isótopo 139 57 La es estable. Un isóbaro radiactivo 59 Pr , se localiza bajo la línea de núcleos estables en la figura 44.3 y decae por emisión e+.Otro isóbaro - y se localiza sobre la línea de radiactivo de 139 La , 139 55 Cs , decae por emisión e núcleos estables en la figura 44.3. a) ¿Cuál de estos isóbaros tiene la proporción neutrón - protón mas alta? b) ¿Cuál tiene mayor energía de enlace por nucleón?. c) ¿Cuál esperaría usted que sea mas pesado , el 139 Pr o el 139 Cs ? Solución: a) 139 139 139 57 La 55 Cs 59 Pr A = Z+ N 139 = 57 + 82 A = Z+ N 139 = 59 + 80 A = Z+ N 139 = 55 + 84 Proporción: n-p 25 Ó 1,44 Proporción: n-p 21 Ó 1,36 Proporción: n-p 29 Ó 1,53 Observamos que el 139 55 Cs tiene la proporción neutrón – protón más alta b) Como no hemos podido encontrar la masa de Energía de enlace 2 3 139 55 E b C 1 .A C 2 .A C 3 . FACULTAD DE EDUCACION M ATEM ATICA, Cs , aplicamos : Z(Z 1) 1 A3 FISICA e (N Z)2 C4 . A INFORM ÁTICA Página 4 VII Energía de enlace por nucleón Eb 1 4 C 1 C 2 .A 3 C 3 .Z(Z 1).A 3 C 4 .(N Z)2 .A 2 A Para núcleos A 15 , las constantes tienen los valores indicados en teoria 139 57 139 59 139 55 La A Z N C1 C2 C3 C4 Eb Eb/A 64 30 34 15.7 17.8 0.71 23.6 559.68 8.7449 A Z N C1 C2 C3 C4 Eb Eb/A 139 59 80 15.7 17.8 0.71 23.6 1160.8 8.3508 A Z N C1 C2 C3 C4 Eb Eb/A 139 55 84 15.7 17.8 0.71 23.6 1154.8 8.3079 La MeV MeV MeV MeV Pr Pr MeV MeV MeV MeV Cs Observamos que el 139 57 Cs MeV MeV MeV MeV La tiene mayor Eb/A. c) Esperaría que Cs, por lo indicado en a). 18. La energía requerida para construir una esfera cargada uniformemente de carga total Q y radio R es U=3kQ2/5R donde k es la constante de Coulomb.Suponga que un núcleo de 40 Ca esta compuesto por 20 protones distribuidos de manera uniforme en un volumen esférico. a) ¿Cuánta FACULTAD DE EDUCACION M ATEM ATICA, FISICA e INFORM ÁTICA Página 5 VII energía se requiere para contrarrestrar la repulsión electrostática dada por la ecuación anterior?.(Sugerencia : calcule primero el radio de un núcleo de 40 Ca ). b)Calcule la energía de enlace 40 Ca . c) Explique que puede concluir al comparar el resultado del inciso b) con el del inciso a) Solucion: a) 40 20 r = r0.A1/3 Ca A = Z+N 40 = 20 + 20 Luego : U r = (1,2 x 10-15 m).(40)1/3 r = 7,5895 x 10-15m 3 kQ 2 3 (9 10 9 ) (1,6 10 19 C)1 1,82 10 14 J 0,1138 MeV 15 5R 5 (7,5895 10 ) b) Energía de enlace de : 40 20 40 20 Ca Ca A Z N 40 20 20 mp mn mnucleo Constante Eb Eb/A Ca 1.007825 1.008665 39.962591 931.494 342.05298 8.55132451 c) 21. Calcule la energía mínima requerida para quitar un neutrón de un núcleo de 43 20 Ca Solución 43 20 Ca A Z N 43 20 23 mp mn mnucleo Constante Eb Eb/A FACULTAD DE EDUCACION M ATEM ATICA, Ca 1.007825 1.008665 42.958767 931.494 369.8292 8.60067907 FISICA e INFORM ÁTICA Página 6 VII 19. Un par de núcleos para los cuales Z1=N2 y Z2=N1 reciben el nombre de isóbaros espejo (los números atómicos y de neutrones son intercambiables).Las mediciones de energía de enlace en estos núcleos pueden emplearse para obtener evidencia de la independencia de la carga de las fuerzas nucleares( esto es, las fuerzas nucleares protón – protón , protón – neutron y neutron – neutron son iguales). Calcule la diferencia de la energía de enlace para los dos isóbaros espejo 158 O y 157 N Solución : Sean : A = Z1 + N 1 A Z A Z X Y A = Z2 + N2 Isobaros espejos (intercambiamos) 15 8 O A Z N 15 8 7 mp mn mnucleo Constante Eb Eb/A 15 7 o 1.007825 1.008665 15.003065 931.494 111.956264 7.46375092 N A Z N 15 7 8 mp mn mnucleo Constante Eb Eb/A DIFERENCIA N 1.007825 1.008665 15.000108 931.494 115.493147 7.69954311 3.53688272 MeV A favor para N 19. Calcule la energía mínima necesaria para remover un neutrón del núcleo 43 20 FACULTAD Ca DE EDUCACION M ATEM ATICA, FISICA e INFORM ÁTICA Página 7 VII Solución Sección 22.3 MODELOS NUCLEARES R. Serway – J . Jewett . Vol. 2. 6º Edición. Thomson 2005 21. Empleando la grafica en la figura 22.5 cuanta energía es liberada cuando un núcleo de numero de masa 200 se divide en dos núcleos cada uno con numero de masa 100 cada uno Solución 7,5 MeV 8,5 MeV 8,5 MeV + B = + m = 200 7,5 (200) m = 100 + B = m = 100 8,5 (100) + 1500MeV +B = 850 MeV 1500MeV +B = 1700 MeV + 8,5 (100) 850 MeV B = 200 MeV 22. a)En el modelo de la gota liquida de la estructura nuclear ¿Por qué el termino del efecto de la superficie –C2.A2/3 tiene un signo negativo?. b)¿Qué pasaría si? La energía de amarre del núcleo aumenta al FACULTAD DE EDUCACION M ATEM ATICA, FISICA e INFORM ÁTICA Página 8 VII incrementarse la relación volumen a superficie. Calcule esta relación para formas esféricas como para cúbicas y explique cual es más plausible para los núcleos. Solución a) Porque los nucleones superficiales REDUCEN la energía de enlace. 23. a) Utilice la fórmula de energía de amarre semiempírica para calcular la energía de unión de 56 26 Fe . b) ¿Qué porcentaje del total de la energía de amarre es aportado por cada uno de los cuatro términos? Solución a) Energía de enlace 2 3 E b C 1 .A C 2 .A C 3 . 56 26 Z(Z 1) 1 A3 (N Z)2 C4 . A Fe A Z N C1 C2 C3 C4 Eb Eb/A 56 26 30 15.7 17.8 0.71 23.6 491.29 8.773 Fe MeV MeV MeV MeV b) C 1 .A C 2 .A C3. DE EDUCACION porcentaje(%) 178.958102 - 260.54 53.0325334 - 120.63 24.553084 - 6.7429 1.37248512 2 3 Z(Z 1) 1 A3 ( N Z) 2 C4. A FACULTAD 879.2 M ATEM ATICA, FISICA e INFORM ÁTICA Página 9 VII PRÁCTICA DIRIGIDA Algunas propiedades de los núcleos Energía de amarre nuclear. Modelos Nucleares Sección 54.1.Descubrimiento del núcleo Halliday Resnick Krane . Vol. 2. Pag. 629.. 4º Edición. CECSA.1996 Sección 54,1. Descubrimiento del núcleo. 1. Calcule la distancia de mayor acercamiento de una colisión de frente entre una partícula de 5,30 MeV y el núcleo de un átomo de cobre. R. 15,7 fm 3,26 MeV 2. (a) Calcule la fuerza eléctrica sobre una partícula en la superficie de un átomo de oro, suponiendo que la carga positiva esté distribuida uniformemente en todo el volumen del átomo. No tome en cuenta los electrones atómicos. Un átomo de oro tiene un radio de 0,16 nm; considere a la partícula corno una partícula puntual. (b) ¿A lo largo de qué distancia tendría que actuar esta fuerza, que se presume constante, para llevar al reposo a la partícula de 5,30 MeV? Exprese su respuesta en términos del diámetro del átomo de oro. 3. Supóngase que un núcleo de oro tiene un radio de 6,98 fm , y una partícula tiene un radio de 1,8 fm. ¿Qué energía debe tener una partícula incidente para apenas tocar al núcleo de oro? 4. Cuando una partícula choca elásticamente con un núcleo, el núcleo retrocede. Una partícula de 5,00 MeV tiene una colisión elástica de frente con un núcleo de oro, inicialmente en reposo. ¿Cuál es la energía cinética (a) del núcleo en retroceso y (b) del rebote de la partícula ? Puede considerarse que la masa de la partícula es de 4,00 u y la del núcleo de oro es de 197 u. Sección 54.2.Algunas Propiedades Nucleares Halliday Resnick Krane . Vol. 2. Pag. 629.. 4º Edición. CECSA.1996 6. Se mide que el radio de un núcleo, por métodos de dispersión de electrones, es de 3,6 fm. ¿Cuál es el número másico probable del núcleo? 7. ¿Cuál es la densidad aproximada de la materia nuclear de la que están hechos todos los núcleos? R. 2,4 x 1017 kg/m3 8. Una estrella de neutrones es un objeto estelar cuya densidad es aproximadamente aquella de la materia nuclear, que se calculó en el problema anterior (7). Supóngase FACULTAD DE EDUCACION M ATEM ATICA, FISICA e INFORM ÁTICA Página 10 VII que el Sol fuese a chocar contra una de estas estrellas sin perder nada de su masa actual. ¿Cuál sería su radio esperado? 9. Verifique que la energía de amarre por nucleón para el 239Pu es realmente 7,56 MeV/nucleón. Las masas atómicas necesarias son 239,052158 u (239Pu), 1,007825 u ('H) y 1.008665 u (neutrón). 10.Calcule la energía de amarre por nucleón promedio del 62Ni, que tiene una masa atómica de 61,928346 u. Este núcleo tiene la máxima energía de amarre por nucleón de todos los núcleos estables conocidos. 11.Las masas atómicas del 'H, 12C y 238U son 1,007825 u, 12,000000 u (por definición), y 238,050785 u, respectivamente, (a) ¿Cuáles serían estas masas si la masa unitaria se definiese como si la masa del 'H fuese (exactamente) 1,000000 u? (b) Use su resultado para indicar por qué no se hizo esta elección por demás obvia? R.(a)1,000 u ;11,906830u ; 236,202500u 12. (a) Convénzase de que la energía vinculada con los enlaces nucleares, o fuerza fuerte, es proporcional a A, el número másico del núcleo en cuestión, (b) Convénzase de que la energía vinculada con los enlaces por medio de la fuerza de Coulomb entre los protones es proporcional a Z(Z - 1). (c) Demuestre que, cuando vamos a núcleos cada vez más grandes , la importancia de (b) aumenta más rápidamente de lo que lo hace (a). 13.En la tabla periódica, la anotación del magnesio es: 12 Mg 24,30 5 Existen tres isótopos: 24Mg, masa atómica = 23,985042 u. atómica = 24,985837 u. 26Mg, masa atómica = 25,982594 u. La abundancia del 24Mg es del 78.99% en masa. Calcule las abundancias de los otros dos isótopos. R. 25 Mg: 10,01% ; 26 Mg : 11,00 % 14. Puesto que un nucleón está confinado en un núcleo, podemos considerar que la incertidumbre en su posición es aproximadamente el radio nuclear R. ¿Qué dice el principio de incertidumbre para la energía cinética de un nucleón en un núcleo con, digamos A = 100? (Sugerencia: Considere que la incertidumbre en el ímpetu p sea el ímpetu real p.) 15. Se le pide que divida una partícula (4He) quitando, en secuencia, un protón, un neutrón y un protón. Calcule (a) el trabajo necesario en cada paso, (b) la energía de amarre total de la partícula a y (c) la energía de amarre por nucleón. Las masas atómicas necesarias son 4He 4,002603 u 2H 2,014102 u 3H 3,016049 u 'H 1,007825 u 25Mg, masa FACULTAD DE EDUCACION M ATEM ATICA, FISICA e INFORM ÁTICA Página 11 VII n u. 1,008665 R. (a) 19,81 MeV; 6,258 MeV ; 2,224 MeV (b) 28,30 MeV (c) 7,075 MeV 15.1. Imagine que un numero tipico de masa media como el 120 Sn se separa en sus protones y neutrones constituyentes.Halle (a) la energia total necesaria y (b) la energia por nucleon.La masa atomica del 120 Sn es 119,902199 u R.(a) Eb=1020,6 MeV (b) 8,50 MeV/nucleón 16.Para simplificar los cálculos, a veces se tabulan las masas atómicas no como masas atómicas reales m sino como (m - A)c2, donde A es el número másico expresado en unidades de masa. Esta cantidad, que por lo general se expresa en MeV, se llama el exceso de masa (símbolo ). Usando los datos del problema 15,1, halle los excesos de masa de (a) el 'H, (b)el neutrón y (c) el 120Sn. 17. (a) Demuestre que la energía de amarre total de un núclido puede escribirse como: E B Z. H N. n donde H , n y son los excesos másicos apropiados; véase el problema anterior 16. (b) Usando este método calcule la energía de amarre por nucleón del 197Au. Compare su resultado con el valor mostrado en las tablas . Los excesos másicos necesarios son H = +7,289 MeV, n = + 8,071 MeV y 197 = - 31,17 MeV. H es el exceso de masa del 'H. Nótese la economía en el cálculo que resulta cuando se emplean los excesos másicos en lugar de las masas reales. R. (b) 7,92 MeV 18.Una moneda de cobre tiene una masa de 3,00 g. Calcule la energía nuclear que se requeriría para separar a todos los neutrones y protones contenidos en esta moneda. Haga caso omiso de la energía de amarre de los electrones. Para simplificar, supóngase que la moneda está formada por completo de átomos de 63Cu (masa = 62,929599 u). Las masas atómicas del protón y del neutrón son 1,007825 u y 1,008665 u, respectivamente. 19.Los radios nucleares pueden medirse por la dispersión de electrones de alta energía de los núcleos, (a) ¿Cuál es la longitud de onda de de Broglie para electrones de 480 MeV? (b) ¿Son sondas apropiadas para este objeto? Debe tenerse en cuenta la relatividad. R. (a) 2,59 fm (b) Si 20. Ya que el neutrón carece de carga, su masa debe determinarse de algún otro modo que mediante el uso de un espectrómetro de masas. Cuando se encuentran un neutrón en reposo y un protón, se combinan y forman un deuterón, emitiendo un rayo gamma cuya energía es de 2,2233 MeV. Las masas atómicas del protón y del deuterón son 1,007825 u y 2,014102 u, respectivamente. Encuentre la masa del neutrón a partir de estos datos, hasta tantas cifras significativas como éstos lo permitan. 22. (a) Demuestre que la energía potencial electrostática de una esfera uniforme de carga Q y radio R está dada por: U FACULTAD DE EDUCACION 3Q 2 20 0 R M ATEM ATICA, FISICA e INFORM ÁTICA Página 12 VII (Sugerencia: Armar la esfera a partir de esferas huecas delgadas traídas desde el infinito.) (b) Halle la energía potencial electrostática del núclido de 239Pu, supuesto como esférico;. (c) Compare su energía potencial electrostática por partícula con su energía de amarre por nucleón de 7,56 MeV. (d) ¿Qué concluye usted? FACULTAD DE EDUCACION M ATEM ATICA, FISICA e INFORM ÁTICA Página 13