1 importancia de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

IMPORTANCIA DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
LINEALES FINITOS E INFINITOS EN EL DESARROLLO DEL ANALISIS
FUNCIONAL
Diego Alejandro Espitia Villalobos
Doctor Alberto Campos
Director
Profersor Honorario de la Universidad Nacional de Colombia
Oscar Eduardo Gómez Rojas
Co Director
Matemático de la Fundación Univesitaria Konrad Lorenz
Fundación Universitaria Konrad Lorenz
RESUMEN: El propósito del presente escrito es ubicar al lector
históricamente en el desarrollo del análisis funcional y en el artículo de
Erika Luciano presentado en la Revue d’historie des mathématiques
titulado “At the origins of functional analysis: G. Peano and M.
Gramegna on ordinary differential equations”.
Se hace una lectura crítica del artículo, destacando los puntos claramente
desarrollados en éste, y se intenta exponer los que parecen requerir
esclarecimiento.
1
1. HISTORIA DEL DESARROLLO DEL ANALISIS FUNCIONAL
SEGÚN FERNANDO BOMBAL1
Como muchas teorías matemáticas, el análisis funcional surgió de la necesidad de
encontrar nuevas técnicas para resolver algunos problemas que con los métodos
tradicionales no se podían resolver. Desde los comienzos del cálculo diferencial los
matemáticos han visto la necesidad de construir conjuntos cuyos elementos no fuesen
puntos, como en la geometría euclidiana, sino funciones, como en las ecuaciones
diferenciales donde la solución de un problema conduce a estudiar el conjunto de
funciones solución de dicho problema y al estudio de sus propiedades.
El análisis funcional es el estudio de los espacios funcionales, los cuales son
conjuntos formados por funciones, dotados de determinadas propiedades que
permiten realizar en ellos gran parte de las operaciones habituales del análisis como
límites de sucesiones, continuidad de funciones sobre ellos, etc.
En 1750 Daniel Bernoulli enunció el principio de superposición que afirma que la
forma más general que puede tomar una cuerda homogénea de longitud π , mantenida
en tensión y sometida a vibración en un plano, puede obtenerse como superposición
de las formas más sencillas que puede adoptar (es decir, como superposición de las
funciones seno y coseno a distintas amplitudes y períodos). Para pequeñas
vibraciones la posición u ( x, t ) en la abscisa x en el instante t viene dada por la
solución general de la ecuación diferencial:
∂ 2u ∂ 2u
∂u
= 2 con u ( x, 0 ) = ϕ ( x ) y
( x, 0 ) = φ ( x )
2
∂x
∂t
∂t
(1)
donde ϕ ( x ) y φ ( x ) representan la posición y velocidad iniciales de cada una de las
partículas en la cuerda.
1
[3], [4] y [7].
2
El principio de superposición enuncia que la solución general de (1) se puede escribir
de la forma
∞
u ( x, t ) = ∑ an sen ( nx ) cos  n ( t − bn ) 
i =1
para adecuadas elecciones de an y bn .
Más adelante, con el descubrimiento por D’Alembert de la ecuación diferencial que
rige el movimiento y con el desarrollo de las técnicas analíticas, se relegó el método
de Bernoulli a un segundo plano.
Sin embargo, la idea de Bernoulli de pasar de un sistema finito de ecuaciones a uno
infinito siguió siendo utilizada, principalmente por Fourier, para obtener las
ecuaciones diferenciales que controlan los fenómenos de transmisión del calor y para
la obtención concreta de soluciones.
Es Fourier quien encuentra que para resolver algunas ecuaciones diferenciales por el
método de superposición se debe utilizar la eliminación de parámetros que consiste
en derivar una serie término a término e igualar y a 0, lo que conduce a un sistema de
infinitas ecuaciones con infinitas incógnitas. Para solucionar este problema, Fourier
propone truncar hasta solo las primeras n ecuaciones con n incógnitas y luego hacer
tender n a infinito. Sin embargo este método no es técnicamente correcto y el propio
Fourier aclara sobre este proceder “Como estos resultados parecen desviarse de las
consecuencias ordinarias del cálculo, es necesario examinarlas con cuidado e
interpretarlas en su verdadero sentido”.
Por ejemplo, al considerar el sistema
3
x1 + x2 + x3 + ... + xn + ... = 1
x2 + x3 + ... + xn + ... = 1
x3 + ... + xn + ... = 1
las soluciones del sistema truncado son ( 0, 0,...,1) que convergen a xi = 0 para todo i,
resultado claramente falso.
Después de Fourier los sistemas de infinitas ecuaciones lineales no fueron estudiados
por más de 50 años.
Los trabajos de Fourier tuvieron gran influencia en el tratamiento posterior de las
ecuaciones diferenciales; por ejemplo, cuando se estudian las soluciones de la
ecuación diferencial de la forma
∂ 2u ∂ 2u
+
=0
∂x 2 ∂y 2
empleando el método de separación de variables y haciendo u ( x, y ) = v ( x ) w ( y ) ,
cuando se reemplaza en la ecuación, se obtiene
v '' ( x )
w '' ( y )
=−
v ( x)
w( y)
Como el primer miembro depende sólo de x y el segundo de y , sólo pueden ser
iguales si ambos son una constante λ , lo cual conlleva al estudio de la ecuación
diferencial de segundo orden:
y′′ − q ( x ) y '+ λ y = 0
4
donde λ es un parámetro complejo, q ( x ) es real y la función incógnita y es de orden
2 en un intervalo [ a, b ] .
Ch. Sturm y J. Liouville desarrollaron una teoría general para abordar este tipo de
problemas. Sturm demostró que el problema planteado solo tiene solución para una
sucesión estrictamente creciente de valores reales del parámetro λ , es decir, de los
autovalores del problema, con lo que sentó las bases para la teoría espectral.
∑a u
Liouville demostró que la serie
an =
∫ uu
∫u
n
2
n
n n
, donde u n son las autofunciones y
, converge si la serie de Fourier de u (cualquier función continua) es
convergente.
Por último, para la demostración de que la función U = ∑ anun coincide con u se
b
debe probar que si
∫ (U − u )u
n
= 0 para todo n, entonces U = u , lo cual Liouville
a
hace bajo hipótesis restrictivas. Esta es la primera vez que aparece la propiedad de
completitud de un sistema ortonormal.
El cálculo de variaciones también aportó para el desarrollo del análisis funcional. En
este cálculo se intenta maximizar o minimizar una función del tipo
b
J (ϕ ) = ∫ F (ϕ ( x ), ϕ ' (x ),...)dx
a
donde F es una función regular, y las variables ϕ un conjunto de curvas regulares
parametrizadas en [a,b]. Es en este contexto, en donde aparece la idea de campo
funcional como conjunto de funciones admisibles, y la de distancia entre funciones.
5
Uno de los primeros problemas planteados con el programa de rigorización del
análisis, fue estudiar bajo qué condiciones el límite puntual de una sucesión de
funciones conserva las propiedades de las funciones de la sucesión, tales como
continuidad, derivabilidad, integrabilidad, etc.
Uno de los primeros intentos para atacar este problema fue imponer ciertas
condiciones sobre la manera de converger de las sucesiones. De esta manera aparece
el concepto de convergencia uniforme.
Por otro lado, los matemáticos italianos Dini, Arzelá y Ascoli no modificaron la
noción de convergencia sino que dieron una condición general sobre el conjunto
formado por la sucesión de funciones. Tal condición es la equicontinuidad2. Esta
condición garantiza que el límite puntual sea continuo.
Aquí aparece uno de los aportes de los artículos de Giuseppe Peano, quien trabajó en
ecuaciones diferenciales y en sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
homogéneas. En estos trabajos Peano sienta las bases para la teoría de operadores
(teoría decisiva en ciertos trabajos de D. Hilbert y fundamental para el desarrollo del
análisis funcional).
Peano trabaja con las formas más simples de operadores lineales (a saber, las
matrices), desarrolla algunas propiedades básicas de estos tales como igualdad, suma
y producto de un operador con respecto a un elemento, además establece la noción de
módulo o norma de un operador.
Otra de las ramas que hizo surgir el análisis funcional, fue las ecuaciones integrales.
En esta rama aparecen problemas tales como encontrar una función σ ( x ) que
verifique la siguiente ecuación
2
Sean ( X ,τ ) un espacio topológico, (Y , d ) un espacio métrico y x0 un punto en
X . Un conjunto
H de funciones de X en Y se dice equicontinuo en x0 si y solamente si para todo r > 0 , ∃A
(
)
vecindad de x0 tal que ∀f ∈ H , f ( A ) ⊆ B f ( x0 ) , r .
6
b
σ ( x ) + ∫ k ( x, y )σ ( y )dy = f ( x )
a
siendo k un núcleo simétrico3 y continuo.
Esta es una ecuación integral de segundo tipo (en terminología de Hilbert) dado que
la función incógnita aparece tanto dentro como fuera de la integral.
Si se considera la integral como un operador sobre un cierto espacio funcional, la
anterior ecuación toma la forma
(I + K )σ
= f
cuya solución formal es
σ = (I + K )−1 f = f − Kf + K 2 f − K 3 f + ... 4
(2)
si la serie converge.
Los primeros resultados generales para ecuaciones integrales fueron obtenidos por
J.M. Le Roux y V. Volterra quienes establecieron teoremas de existencia y unicidad
para ecuaciones del tipo
x
f ( x ) + ∫ k ( x, t ) f (t )dt = g (x )
a
Aunque los resultados de estos dos matemáticos fueron similares, el trabajo de
Volterra tuvo una mayor influencia posterior al resaltar las propiedades de los
operadores.
Después de esto, Volterra hace notar la semejanza que tiene la ecuación integral con
un sistema de ecuaciones lineales con matriz de coeficientes triangular.
3
Es decir, k ( x, y ) = k ( y , x ) .
4
Recuérdese la serie geométrica (1 − x )
−1
= 1 − x + x 2 − x3 + ... , por lo tanto, se puede tomar a σ
como una generalización de ésta serie.
7
En este momento aparece el aporte del trabajo de Maria Gramegna, ya que en su tesis
de grado ella trabaja con sistemas infinitos de ecuaciones diferenciales lineales
homogéneos en infinitas incógnitas.
En este trabajo también utiliza el concepto de operador, como su maestro Peano, pero
esta vez lo hace como una matriz infinita, en donde también desarrolla las
propiedades de igualdad, suma y producto además de la norma del operador.
También trabaja las ecuaciones integro-diferenciales llegando a encontrar la solución
1
a problemas tales como la ecuación de Abel g ( x ) = ∫ k ( x, y ) f ( y )dy donde
0
(
)
k ∈ C [0,1] , f ∈ C ([0,1]) y x ∈ [0,1], o la ecuación
2
∂f (t , x )
= ∫ k (t , x, y ) f (t , y )dy + h(t , s )
∂t
0
1
(
)
donde k ∈ C [0,1] , h ∈ C ([0,1]) y f ∈ C ([0,1]) .
2
Tal solución la encuentra utilizando el método llamado “integraciones sucesivas”,
método también utilizado por su maestro, Peano, en la demostración de sus teoremas
sobre la existencia de una solución para las ecuaciones diferenciales y para los
sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.
Gramegna no se interesó más por el tema de las ecuaciones diferenciales e integrodiferenciales, aludiendo a que Volterra ya lo había estudiado más profundamente, por
lo cual (sumado a que el artículo de Gramegna no había circulado) muchos de los
matemáticos ignoraron los métodos que ella utilizó en el estudio de este tipo de
ecuaciones, lo que conllevó a que, en los estudios sobre estos problemas, se
referenciara únicamente a Arzelá, Ascoli y Volterra.
8
Fue una observación hecha por Volterra la que influyó decisivamente en el trabajo de
I. Fredholm cuya intención era dar un nuevo método de solución del problema de
Dirichlet5.
Para ello, Fredholm utiliza los resultados de Volterra en ecuaciones integrales y
algunos de los razonamientos utilizados por éste en sus demostraciones. De esta
manera deduce que el problema de Dirichlet tiene solución única para todo dominio
Ω acotado del plano con superficie suficientemente regular.
Al presentar estos resultados en el Acta Matemática en 1903, Fredholm muestra la
analogía que supone el estudio de las ecuaciones integrales con los sistemas de
ecuaciones lineales.
La potencia de estos resultados y la elegancia de las demostraciones de Fredholm,
colocaron las ecuaciones integrales en el centro de interés de los matemáticos de la
época. Además, supone el punto de partida de la teoría espectral, el cual es un punto
esencial para el posterior desarrollo del análisis funcional.
D. Hilbert también se interesó vivamente en el tema. Entre 1904 y 1910 publicó seis
artículos sobre ecuaciones integrales en el Göttingen Nachrichten. En estos aparecen
nuevas ideas y directrices que posteriormente, en manos de Riesz y Schmidt, se
convertirán en fundamentos del análisis funcional.
En uno de los artículos, Hilbert, trabaja con la ecuación integral
b
f ( x ) + λ ∫ k ( x, t ) f (t )dt = g ( x )
(3)
a
El problema de Dirichlet consistía en encontrar una función armónica u en un dominio Ω que toma
valores prefijados en la frontera Γ de Ω .
5
9
donde λ es un parámetro complejo y el núcleo es simétrico.
Trabajando con estas ecuaciones, Hilbert obtiene los mismos resultados a los que
Fredholm había llegado antes; sin embargo, Hilbert llegó aún más lejos. El estudio de
las ecuaciones integrales le lleva a introducir las formas cuadráticas
Qn ( x ) = ∑∑ K (xi , x j )xi x j
n
n
i =1 j =1
Luego demuestra que el paso al infinito ( n → ∞ ) permite obtener al menos un
autovalor de la ecuación integral.
También intentó generalizar estos resultados para núcleos menos regulares, pero la
solución a este problema no la alcanzó.
Hilbert demostró también que toda función de la forma
b
g ( x ) = ∫ k ( x, y ) f ( y )dy
a
con f continua tenía un desarrollo en serie de autofunciones
∞
g ( x ) = ∑ ( g , ψ n )ψ n ( x )
n =1
absoluta y uniformemente convergente, donde las ψ n forman un sistema ortonormal,
lo que permitió abordar la solución de (3) de la siguiente manera
b b
∞
a a
n =1
∫ ∫ k (x, y ) f (x )h( y )dxdy = ∑
b
donde ( f ,ψ n ) = ∫ f (s )ψ n (s )ds .
a
10
1
λn
( f ,ψ n )(h,ψ n )
En otro de los artículos que Hilbert presenta, abandona todo el marco de las
ecuaciones integrales para concentrarse en tratar de crear una teoría general de formas
bilineales y cuadráticas de infinitas variables que se aplique en particular al estudio de
las ecuaciones integrales.
Hilbert introduce la noción de sistema ortogonal completo de funciones como una
sucesión (ψ n ) de funciones continuas en [a, b] que cumpla la siguiente relación de
completitud
∞
( f , g ) = ∑ ( f ,ψ n )(g ,ψ n )
n =1
para todo par de funciones f y g .
Luego, establece que una forma cuadrática es completamente continua si
lim Qn ( x ) = Q( x )
n→∞
uniformemente para todos los x = ( x n ) tales que
n
∞
∑x
n =1
2
n
≤ 1 y donde
n
Qn ( x ) = ∑∑ k pq x p x q .
p =1 q =1
Esta condición permite asegurar el éxito del método de truncamiento de Fourier,
siempre y cuando las soluciones parciales obtenidas tengan normas en L2
uniformemente acotadas.
Más adelante, Hilbert introduce en L2 la distancia
11
2
 ∞


d ( x, y ) = ∑ ( x n − y n ) 
 n =1



1
2
y extiende las nociones de continuidad, límites, etc., para funciones escalares
sobre L2 . Muy pronto aparece el hecho crucial de que no se cumple el análogo del
teorema de Bolzano-Weierstrass, lo que lleva a Hilbert a considerar el equivalente a
la noción actual de topología débil en L2 y prueba su principio de elección que
permite extraer de cada sucesión acotada en L2 una subsucesion convergente
débilmente.
En el trabajo de Hilbert también aparecen ya algunas clases importantes de
operadores tales como los hoy llamados de Hilbert-Schimdt, nuclear, etc., aunque en
términos de formas cuadráticas.
En 1906, Fréchet introduce la noción abstracta de distancia en un conjunto, lo que
permite extender las nociones habituales de límites, continuidad, etc., en conjuntos
abstractos. También introdujo las nociones de compacidad, completitud y
separabilidad y mostró la importancia de las mismas.
En 1908, Schmidt publicó un articulo en donde define el espacio de dimensión
infinita L2 , con las nociones actuales de producto escalar, norma, ortogonalizacion,
etc.
Es en la búsqueda de resultados análogos al principio de elección de Hilbert en
distintos espacios normados en la que conforma la idea de topología débil y las
técnicas de dualidad.
En 1907, los matemáticos E. Fischer y F. Riesz descubrieron independientemente el
llamado teorema de Fischer-Riesz que establece que si se fija un sistema ortonormal
completo de funciones (ψ n ) , la aplicación f → (( f ,ψ n ))n =1 es un isomorfismo
∞
12
hilbertiano entre el espacio L2 ([a, b ]) de las funciones integrables en el sentido de
Lebesgue sobre [a, b] y el espacio de Hilbert L2 .
Este mismo año, Riesz y Fréchet obtuvieron la representación de cualquier forma
lineal continua T sobre el espacio L2 en la forma
T ( f ) = ( f , g ) = ∫ f ( x )g ( x )dx
para alguna g del mismo espacio.
En 1909, Riesz prueba que cualquier funcional lineal continua T sobre el espacio
C ([a, b]) , puede escribirse como la integral de Stieltjes
b
T ( f ) = ∫ f (x )dα ( x )
a
donde α ( x ) es una función de variación acotada.
En 1910, Riesz introduce los espacios L p , 1 < p < ∞ , como una generalización de
L2 e intenta resolver un sistema de infinitas ecuaciones del tipo
b
∫ f (x )g (x )dx = c
i
con i ∈ I
i
a
donde las f i y los escalares ci son conocidos y se debe encontrar la función g .
Para esto, utiliza los trabajos de Hilbert, Schmidt y Fischer y estudia la clase de
[ ]
p
funciones f tales que f es integrable en el sentido de Lebesgue (clase L p
[ ]
muestra que la solución g debe buscarse en la clase Lq , siendo
y
1 1
+ = 1.
p q
Luego prueba el principio de elección en L p ([a, b]) , lo que lleva a introducir la
noción de convergencia débil de la siguiente forma
13
( f n )→ f
w
x
⇔
∫
x
f n (t )dt → ∫ f (t )dt
a
∀x ∈ [a, b]
a
De este modo, Riesz establece la dualidad entre L p y Lq y prueba que toda sucesión
en L p acotada en norma, posee una subsucesion débilmente convergente a alguna
función de Lq .
En 1913, Riesz, publicó su libro Les systèmes d’Équations Linéaires à una Infinité
d’Inconnues, donde estudia los sistemas de infinitas ecuaciones con infinitas
incógnitas de la forma
∞
∑a
n =1
in
x n = ci
donde ai = ( ain ) ∈ L p y la solución se busca en Lq , con q conjugado de p .
Se observa de este modo que Riesz establece algunas nociones básicas para el análisis
funcional tales como las nociones de norma, espacio dual, convergencia débil, etc.
En 1918, Riesz presenta su teoría de los operadores compactos, que es una visión
lineal de muchas de las nociones introducidas por Hilbert en sus artículos sobre
ecuaciones integrales, aunque sin utilizar las ideas de ortogonalidad y geometría del
espacio de Hilbert.
En 1920, S. Banach presenta su tesis (publicada dos años más tarde) donde expone
una serie de resultados válidos en distintos “campos funcionales”, por lo cual
desarrolla un conjunto de teoremas muy generales que por especialización dan lugar a
los distintos resultados buscados.
En este trabajo él utiliza las contribuciones hechas hasta el momento y presenta una
definición axiomática de lo que son los espacios vectoriales reales, normados y
completos, presenta lo que llama el principio de contracción uniforme y da la forma
general del principio de contracción en espacios métricos completos.
14
En 1922, P. Levy publica el libro Lecons d’analyse fonctionelle donde aparece por
primera vez el nombre de análisis funcional.
Con este nombramiento oficial se puede considerar que hasta aquí ha llegado el
proceso fundacional y surge una nueva rama de la matemática llamada análisis
funcional.
2. PRESENTACIÓN DEL ARTÍCULO
El artículo analizado “At the Origins of Functional Analysis: G. Peano y M.
Gramegna on Ordinary Differential Equations” ([6]) presenta una interesante
perspectiva acerca del desarrollo del análisis funcional, lo mismo que sobre los
desarrollos hechos por los matemáticos italianos de finales del siglo XIX.
Luego de comentar algunos resultados importantes en la búsqueda del análisis
funcional la autora presenta y desarrolla primero el teorema de la existencia de las
soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneo en n
incógnitas.
Este teorema fue planteado y demostrado por Peano de una manera absolutamente
maravillosa, debido al uso que hace de su simbología y del uso que hace también de
las herramientas del cálculo vectorial.
Además de demostrar la existencia de la solución para dicho sistema de ecuaciones
diferenciales, muestra algunas propiedades que tienen las soluciones debido al
método que él utiliza llamado “aproximaciones sucesivas”.
15
Aunque la demostración de este teorema llevada a cabo por Giuseppe Peano fue
asombrosa, no gozó de gran lectura entre sus colegas debido a varias razones:
El haber publicado sus resultados en el Proceedings de la academia de Turín no
permitió que se difundiera ampliamente, debido a que esta revista únicamente era
publicada en esta ciudad. Por lo tanto muchos de los matemáticos de su época no
conocieron estos resultados sino hasta cuando se los presentaban en los congresos.
También, los artículos científicos debían ser presentados principalmente en alemán o
francés, el italiano no era tan científico.
Estos errores fueron corregidos cuando apareció en el Mathematische Annalen de
Alemania la traducción al francés de su artículo.
Sin embargo, otros “errores”6 no fueron corregidos en esta publicación:
Los conceptos utilizados por Peano tales como norma o transformación no eran
diestramente utilizados en esta época por lo cual muchos de los lectores de sus
resultados no comprendieron el desarrollo de la demostración.
Y, por último, el más grande de estos llamados “errores” fue el publicar sus
resultados utilizando lo que él había desarrollado y llamado Lógica Matemática la
cual le trajo muchos problemas, no solo en la lectura de sus resultados sino también
en su vida profesional, debido a que, como esta lógica la había desarrollado y
publicado en el Proceedings
de la Academia de Turín, no fue, nuevamente,
ampliamente conocida ni tampoco el proyecto formulario que estaba llevando a cabo,
donde desarrollaba con su lógica las bases de la aritmética, el algebra, la geometría y
6
Personalmente estos últimos llamados errores no son tales, ya que Peano sabía cuales herramientas de
otras ramas tenía disponible y como utilizarlas, tales como la notación matricial y la lógica simbólica.
16
el análisis demostrando que esta herramienta desarrollada por él resultaba muy útil en
algunas demostraciones.
Si bien tenía ventajas este uso de su lógica también poseía la desventaja de ser difícil
de manejar dado que su simbología, aún en una temprana etapa, no era lo
suficientemente intuitiva para utilizarla, y había que hacer un estudio previo bastante
exhaustivo de cómo se debía operar con estos nuevos símbolos.
Después de esto, Erika Luciano señala como Maria Gramegna generalizó el teorema
demostrado por Peano, demostrándolo para n = ∞ por sugerencia de su maestro y
director de tesis. Aquí se puede ver el nivel de manejo que poseía Peano de su Lógica
Matemática y del uso de los operadores lineales, fundamentales en este trabajo.
Al final de su tesis Maria Gramegna muestra la solución para el sistema de infinitas
ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con infinitas incógnitas utilizando una
notación parecida a la utilizada por Peano en su demostración previa.
Muestra que esta solución satisface las propiedades que había mostrado Peano y lo
demuestra. Por último, trabaja con ecuaciones Integro-Diferenciales del tipo
∂f ( t , x )
∂t
(
1
= ∫ k ( t , x, y ) f ( t , y ) dy + h ( t , x )
0
)
donde k ∈ C [ 0,1] , h ∈ C ([ 0,1]) y f ∈ C ([ 0,1]) . Maria Gramegna muestra que
2
esta ecuación puede escribirse en forma abstracta Df = sk f + h y usando la notación
introducida por ella, deduce que la solución está dada por:
t
f = E ( sk ;0, t ) f 0 + ∫ E ( sk ; t , 0 ) ht dt
0
En esta última parte del artículo, ella no da pruebas de sus afirmaciones aludiendo a
que es suficiente repetir el mismo razonamiento y además escribe que no va más allá
en este tema debido a que fue estudiado por Volterra quien publicó sus resultados en
esa misma época, Febrero de 1910.
17
Es en este punto en donde los trabajos de Maria Gramegna y E. H. Moore se cruzan
en el sentido de que ambos matemáticos, estaban convencidos de que debería existir
una teoría matemática más abstracta que incluyera la teoría de las ecuaciones
diferenciales lineales en espacios finito dimensionales, la teoría de las ecuaciones
diferenciales lineales en espacios infinito dimensionales y la teoría de las ecuaciones
integrales.
Aunque el método utilizado por los dos fue distinto para esta aproximación:
Maria Gramegna se centró únicamente en algunos casos especiales de espacios
funcionales introduciendo la noción apropiada de convergencia.
Moore, en cambio, se acercó a esta teoría de una manera más abstracta. Desarrolló
una teoría cuyos elementos eran miembros de un conjunto M de funciones de valor
real x(s) para s que pertenece a un conjunto abstracto S. Luego, introduce la noción de
convergencia relativa y muestra que la convergencia con la cual trabajaba Gramegna
es un caso particular de la convergencia mostrada por él.
Moore también escribía sus trabajos con la lógica simbólica de Peano así que su
recepción fue también algo problemática y Bernkopf anota que:
“Sus trabajos eran difíciles de entender por el uso de los símbolos. Se sentía que su
Análisis General no aportaba nada nuevo y no solucionaba nuevos problemas.
Quizás, estaba conceptualmente algo adelantado a su época”.
El trabajo de Gramegna fue prontamente exaltado por los discípulos de la escuela de
Peano, quienes escribieron que el trabajo de Gramegna era una muestra de lo que la
lógica simbólica de Peano podía llegar a hacer, ella muestra la importancia del uso de
los operadores y el uso de la teoría de las matrices infinitas y determinantes infinitos
18
para resolver el problema de los sistemas infinitos de ecuaciones diferenciales
lineales.
Sin embargo, este trabajo no fue ampliamente leído, de nuevo, debido al uso de la
simbología a la cual muchos todavía no le dedicaban la debida atención; por lo tanto,
el trabajo de Gramegna no fue lo suficientemente citado durante la primera mitad del
siglo XX en análisis funcional.
Sin embargo, sí lo hicieron Hellinger y Toeplitz en el prestigioso Encyclopädie der
Mathematischen Wissenchften y Vivanti y Volterra se refieren a él en una bibliografía
general sobre ecuaciones integro-diferenciales.
Este trabajo realizado por Maria Gramegna fue también la causa de que la vida
académica de Peano terminara.
Giuseppe Peano presentó el trabajo de Maria Gramegna a la Academia de Ciencias de
Turín titulado “Serie di equazioni differenziali lineari ed equazioni integrodiferenziali” el 13 de Marzo de 1910.
En esta sesión estaban presentes el presidente de la academia Enrico D’Ovidio, Segre,
Peano, Somigliana, Jadanza, Naccari, Guareschi, Guido, Mattirolo, Fusari y Parona.
Cuatro dias después, un encuentro de facultados tomo lugar en Turín al cual
asistieron el Decano Corrado Segre, el secretario Gino Fano y los profesores de
tiempo completo D’Ovidio, Somigliana Boggie, Jadanza, Nacxari, Guareschi, Parona,
Spezia y Mattirolo.
En esta reunión, Segre, luego de reconocer los méritos de Giuseppe Peano en lógica,
cálculo infinitesimal y en fundamentos de la matemática, criticó el modo en el que el
profesor Peano estaba desarrollando los cursos de cálculo infinitesimal y de análisis
avanzado debido a que éste tenía como texto principal el Formulaire de
Mathématiques, por lo cual dedicaba mayor tiempo en estudiar los símbolos que
19
había desarrollado gracias a su lógica matemática que en estudiar los temas propios
de la materia.
Segre también decía que el texto presentaba temas disconexos y arbitrariamente
elegidos, dejando de lado aspectos importantes para un curso de análisis avanzado.
Argumentaba que de ésta manera los estudiantes brillantes no podían avanzar ni
liderar investigaciones en matemáticas avanzadas. Con estos métodos, ellos aprendían
únicamente el acercamiento crítico, más no el constructivo de esta disciplina.
D’Ovidio enfatizó en que no se debería confundir la enseñanza de la escuela del
magisterio, que educaba a los estudiantes para enseñar en la escuela secundaria, con
los cursos de Análisis Avanzado, donde se presentaban nuevas teorías, preguntas,
herramientas y direcciones de búsqueda a los estudiantes.
Otro punto del profesor D’Ovidio fue, que en cada teoría matemática, la fase
inventiva o constructiva precede a la fase critica y que además ningún profesor
debería negar la intuición a favor del rigor.
Por último, Somigliana expresó serias dudas en la habilidad del profesor Peano para
desarrollar algunos capítulos fundamentales de análisis avanzado tales como la teoría
de las ecuaciones diferenciales y la teoría de las funciones elípticas.
Peano se defendió de estas críticas argumentando que en sus clases introducía temas
bastante recientes y que además estimulaba a sus estudiantes en la conducción de
búsquedas originales, donde algunos de los resultados de estas investigaciones habían
sido publicados o estaban en proceso.
También, que tomaba con especial atención aquellos temas que podrían ser útiles para
los estudiantes que quisieran enseñar en escuelas secundarias y que además pretendía
defender el rigor de la matemática haciéndola libre de errores (Véase [5]).
20
A partir de esta reunión, Peano fue despedido de los cursos de análisis avanzado y de
cálculo infinitesimal, al no aceptar tomar otros textos como principales y dejar el
Formulaire como texto auxiliar. También, le fue denegada una propuesta para
realizar un curso libre donde iba a mostrar el poder que tenía su lógica matemática y
los resultados a los que, con ésta, había llegado.
Después de esto, Peano se dedicó a su nuevo proyecto: “El proyecto interlingua” o
latín sin inflexiones, el cual pretendía ser un idioma con el cual toda la comunidad
matemática presentara sus escritos abandonando el proyecto de una nueva edición del
Formulaire de Mathématiques y de su Rivista de matematica.
Este fue el final de la vida académica de Giuseppe Peano.
3. DEMOSTRACIÓN DE LOS TEOREMAS DE GIUSEPPE PEANO Y
MARIA GRAMEGNA
Aunque sobre lo que quiere hacer énfasis la autora es en la importancia de los
artículos publicados por Peano y Gramegna en el desarrollo del análisis funcional,
esta importancia no es resaltada de manera apropiada dentro del artículo.
Lo que la autora desarrolla primero de forma exhaustiva en el artículo es la
demostración de los teoremas presentados por G. Peano y por M. Gramegna en
“Integrazione per serie delle equazioni differenziali lineari” de 1887 y en “Serie di
equazioni differenziali lineari ed equazioni integro-differenziali” de 1910
respectivamente.
Por lo pronto pretendo desarrollar algunos pasajes complicados del artículo de Erika
Luciano presentado en la Revue d’historie des mathématiques
titulado “At the
origins of Functional Analyisis: G. Peano and M. Gramegna on ordinary differential
equations”.
21
El teorema demostrado por Giuseppe Peano presentado en “Integrazione per serie
delle equazioni differenziali lineari” de 1887, es el siguiente:
Sean n ecuaciones diferenciales lineales homogéneas en n funciones x1 , x2 ,..., xn de
una variable real t, donde los coeficientes α ij son funciones de t, continuas en un
intervalo cerrado y acotado [ p, q ] expresado así:
dx1
= α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn
dt
dx2
= α 21 x1 + α 22 x2 + ... + α 2 n xn
dt
M
dxn
= α n1 x1 + α n 2 x2 + ... + α nn xn
dt
Sustituyendo n constantes arbitrarias a1 , a2 ,..., an en el lado derecho de las
ecuaciones, en lugar de x1 , x2 ,..., xn e integrando desde to hasta t, obtenemos n
funciones de t denotadas por a1' , a2' ,..., an' . Ahora, sustituyendo a1' , a2' ,..., an' de nuevo
en el lado derecho de las ecuaciones por x1 , x2 ,..., xn e integrando desde to hasta t,
obtenemos n nuevas funciones de t denotadas por a1'' , a2'' ,..., an'' . Repitiendo este
proceso se tiene
a1 + a1' + a1'' + ...
a2 + a2' + a2'' + ...
M
an + an' + an'' + ...
Estas series son convergentes en el intervalo ( p, q ) . Sus sumas que indicaremos por
x1 , x2 ,..., xn son funciones de t que satisfacen el sistema dado. Más aún, para t = t0 ,
ellos asumen los valores arbitrariamente escogidos a1 , a2 ,..., an .
22
Para demostrar este teorema Peano se valió de la notación de matrices y vectores y
usó la teoría de las transformaciones y complejos, entendidos como n-uplas, así como
el nuevo método de aproximaciones sucesivas esbozado por J. Caqué y L. Fuchs, lo
cual condujo a Peano a una prueba de la existencia de una solución para un sistema
de ecuaciones diferenciales lineales.
Demostración:
Un
número
complejo
a = [ a1 , a2 ,..., an ] ∈
n
y
de
la
orden
n
norma
es
o
una
n-upla
módulo
de
de
éste
números
se
define
reales
por
a = a12 + a22 + ... + an2 .
Una transformación u operador lineal7 en
α = (α ij )i , j =1,..,n ∈ M n (
n
esta representado por la matriz
).
Las propiedades elementales tales como igualdad, suma y producto son definidas del
modo como se utiliza en las matrices.
El modulo de una transformación α es el operador norma en L = L
( ) definido de
n
la siguiente manera:
α
7
L
= sup
x ≠0
αx
x
Una función A de X en Y (donde X e Y son espacios lineales) es llamada operador lineal si se
cumple que A ( x1 + x2 ) = A ( x1 ) + A ( x2 ) = Ax1 + Ax2 , para todo x1 , x2 ∈ X y
A (α x ) = α A ( x ) = α Ax , para todo α ∈
y para todo x ∈ X , [8] y [10].
23
Con estas herramientas y escribiendo el sistema antes presentado como la ecuación
vectorial
dx
= α x donde x ∈
dt
y α es la matriz de los coeficientes por el cual es
n
representado el operador lineal α ∈ L
( ),
n
Peano demuestra el teorema de la
siguiente manera.
Sea a ∈
n
una n-upla constante arbitrariamente escogida.
t
Sean
a ' = ∫ α adt ,
t
t
a '' = ∫ α a ' dt ,
t0
a ''' = ∫ α a '' dt , etc. Los componentes de
t0
t0
a , a ', a '', a ''',... son precisamente los números introducidos en el teorema.
Para
demostrar
a + a '+ a ''+ a '''+ ... converge,
que
se
debe
demostrar
que
a + a ' + a '' + a ''' + ... converge.
Siendo
t
a' =
t
∫ α adt ≤
∫
t0
t0
t
α a dt ≤ ∫ α a dt 8 y como las funciones
( p, q )
( p, q ) , y si
se tiene entonces que:
t
∫α
L
ij
entonces α
t
t
t0
t0
L
es también continua y acotada en
a dt ≤ ∫ M a dt = ∫ dtM a = M ( t − t0 ) a
t0
Por lo tanto a ' ≤ M (t − t0 ) a .
Del mismo modo se tiene
8
La mayoración
t
t
t0
t0
∫ α adt ≤ ∫ α a
son
t0
continuas y acotadas en
M = max α
(α )
dt se da, ya que α a y α a son integrables en el intervalo
( to , t ) . Véase[1] p. 631, [2] p. 241 y [9].
24
a '' =
t
t
t
t
t0
t0
t0
t0
∫ α a ' dt ≤ ∫ α a ' dt ≤ ∫ α a ' dt ≤ ∫ MM ( t − t0 ) a dt
t
∫ MM ( t − t ) a
0
t
dt = ∫ ( t − t0 ) dtM
t0
Por lo tanto a '' ≤ M
2
a =M
2
( t − t0 )
2!
t0
2
( t − t0 )
2!
2
a
2
a .
Ahora, a + a ' + a '' + a ''' + ... es menor o igual que
M 2 ( t − t0 )
≤ a + M (t − t0 ) a +
2
2!
a + ...
2


M 2 ( t − t0 )
≤ 1 + M (t − t0 ) +
+ ... a
2!


=e
M ( t − t0 )
a
que converge para cualquier t ∈ ( p, q ) .
Como la serie de los módulos converge entonces a + a '+ a ''+ a '''+ ... converge
Si se hace xt = a + a '+ a ''+ a '''+ ... veamos que es la solución pedida.
t
t
t
t0
t0
t0
xt = a + a '+ a ''+ a '''+ ... = a + ∫ α dt ⋅ a + ∫ α dt ∫ α dt ⋅ a + ...
Diferenciando término a término se tiene que
dxt
= α a + α a '+ α a ''+ α a '''+ ...
dt
dxt
= α [ a + a '+ a ''+ a '''+ ...]
dt
dxt
= α xt
dt
25
Lo que se quería demostrar.
Luego, en la traducción al francés de este artículo, Peano introduce la siguiente
notación para representar la solución del sistema dado:
t
t
t
t
xt = a + ∫ α dt ⋅ a + ∫ α dt ∫ α dt ⋅ a + ... = E   a
 t0 
t0
t0
t0
El teorema de Maria Gramegna presentado en “Serie di equazioni differenziali lineari
ed equazioni integro-differenziali” de 1910, es el siguiente:
Considérese un sistema infinito de Ecuaciones Diferenciales en un número infinito de
incógnitas:
dx1
= u11 x1 + u12 x2 + ... + u1n xn + ...
dt
dx2
= u21 x1 + u22 x2 + ... + un xn + ...
dt
...
donde cada urs es constante con respecto al tiempo. Sea A la sustitución representada
por la matriz de los urs y su < ∞ , sea x la secuencia ( x1 , x2 ,...) y x0 su valor inicial.
Podemos escribir el sistema de ecuaciones diferenciales dadas como una única
ecuación Dx = Ax , y la integral es dada por xt = e At x0 .
Primero Erika Luciano presenta una prueba simple desarrollada por Gramegna.
De Dx = Ax , Maria Gramegna infiere que Dxt − Axt = 0 y que e − At ( Dxt − Axt ) = 0 .
(
)
Por lo tanto D e − At xt = 0 y e− At xt = x0 , luego xt = e At x0 .
Demostración:
26
Un
l∞ (
complejo
n
)=l
∞
infinito
es
una
secuencia
a = ( an )n∈
y


= a = ( a j ) : sup a j < ∞  . La igualdad, suma y producto escalar los
j ≥1
j ≥1


define extendiendo la exposición hecha por Peano.
El modulo de un complejo infinito es µ a = a
∞
= sup a j .
j ≥1
Una sustitución u homografía para complejos infinitos es un operador definido en l ∞
del modo siguiente:
A : l∞ → l∞
x → Ax
que satisface las siguientes propiedades
∀x, y ∈ l ∞ A ( x + y ) = A ( x ) + A ( y ) = Ax + Ay
∀x ∈ l ∞ sup Ax
x ∞ ≤1
∞
<∞
El espacio de los operadores definidos sobre l ∞ es denotado por Subst C∞ que hoy en
( )
día se denota por el conjunto L l∞ .
( )
El módulo de una substitución es el operador norma en L l∞
A L = sup
x≠0
Que satisface las siguientes propiedades
27
Ax
x
∞
∞
( )
∀x ∈ l ∞ ∀A ∈ L l ∞
( )
∀A, B ∈ L ( l )
∀A, B ∈ L l ∞
∞
Ax ≤ A ⋅ x
A+ B ≤ A + B
A⋅ B ≤ A ⋅ B
El kernel de una sustitución acotada9 es la matriz u
u = ( urs )r , s =1,...,∞
 u11 u12 ... 


=  u21 u22 ... 
 M

M


tal que
u: × →
( s, r ) → u ( s, r ) = ( Ais )r = urs
( )
donde A ∈ L l ∞ , s ∈
e is = ( 0, 0,..., 0,1, 0,...) ∈ l ∞ y el r-componente de la
secuencia Ais ∈ l ∞ es denotado por ( Ais )r = urs .
Gramegna denota por su el operador lineal sobre l∞ representado por la matriz u y
sux = su ( x ) =
( ( sux ) , ( sux ) ,...) donde
1
2
( sux )1 = u11 x1 + u12 x2 + ...
( sux )2 = u21 x1 + u22 x2 + ...
M
Una vez desarrollados adecuadamente los anteriores conceptos, Maria Gramegna
procede a demostrar el teorema como sigue
El sistema de ecuaciones diferenciales
9
Una sustitución se dice acotada si existe un c ∈ R tal que Ax ≤ c x para todo
28
x ∈ l∞ .
dx1
= u11 x1 + u12 x2 + ... + u1n xn + ...
dt
dx2
= u21 x1 + u22 x2 + ... + un xn + ...
dt
...
donde los urs son funciones continuas de t, se puede escribir de la siguiente manera:
Dxt = At xt
( )
donde A ∈ L l ∞ .
Supongamos x0 ∈ l ∞ , entonces aplicando el método de las aproximaciones sucesivas
se tiene:
Dxt = At x0
t
x1 = ∫ At x0 dt
0
t
x2 = ∫ At x1dt
0
M
Entonces la serie x0 + x1 + x2 + x3 + ... converge si y solo si x0 + x1 + x2 + x3 + ...
converge.
Si sup { At
t
t
t
0
0
0
∫ At x0 dt ≤ ∫ At x0 dt ≤ ∫ At ⋅ x0 dt .
Se tiene que x1 =
} = m es un número finito, entonces
t
∫
0
t
t
0
0
At ⋅ x0 dt ≤ ∫ m ⋅ x0 dt = ∫ dt ⋅ m ⋅ x0 = tm x0
29
Por lo tanto x1 ≤ tm x0
t
Del mismo modo se tiene que x2 =
t
∫ A x dt ≤ ∫
t 1
0
t
At x1 dt ≤ ∫ At ⋅ x1 dt
0
t
t
0
0
0
≤ ∫ mtm x0 dt = ∫ tdt ⋅ m 2 x0 =
Por lo tanto x2 ≤
t 2m2
x0 .
2!
t 2m2
x0 .
2!
Ahora, la serie x0 + x1 + x2 + x3 + ... es menor o igual o está mayorada por
x0 + tm x0 +


t 2m2
t 3 m3
t 2 m 2 t 3 m3
x0 +
x0 + ... = 1 + tm +
+
+ ...  x0 = etm x0
2!
3!
2!
3!


que converge para cualquier t, por lo tanto la serie x0 + x1 + x2 + x3 + ... converge.
t
t
t
t
t
t
0
0
0
0
0
0
Sea xt = x0 + x1 + x2 + x3 + ... = x0 + ∫ At x0 dt + ∫ At dt ∫ At x0 dt + ∫ At dt ∫ At dt ∫ At x0 dt + ... ,
la serie de las derivadas es:
t
t
t


At x0 + At ∫ At x0 dt + At ∫ At dt ∫ At x0 dt + ... = At  x0 + ∫ At x0 dt + ∫ At dt ∫ At x0 dt + ... = At xt
0
0
0
0
0
0


t
t
t
Luego, la serie de las derivadas es la derivada de la serie, es decir, Dxt = At xt , por lo
tanto xt satisface el sistema.
Al igual que su maestro Peano, Gramegna introduce la notación E ( A; t0 , t ) para
expresar la solución del sistema dado:
30
t
t
t
t
t
t
0
0
0
0
0
0
xt = x0 + ∫ At x0 dt + ∫ At dt ∫ At x0 dt + ∫ At dt ∫ At dt ∫ At x0 dt + ... = E ( A; t0 , t ) x0
Una vez demostrados estos teoremas Maria Gramegna dedica unas páginas al estudio
de ecuaciones integro-diferenciales, previamente estudiados por Fredholm y Volterra.
En estas páginas ella introduce las nociones de complejo infinito, sustitución
continua, módulo de una sustitución continua, producto funcional de dos
sustituciones continuas y la exponencial de una sustitución.
4. CONCLUSIONES
Aunque la primera finalidad del artículo es la de mostrar la importancia de los
artículos de Peano y de Gramegna, esta importancia no es muy clara dentro del
trabajo, la autora muestra como se demostraron estos teoremas y muestra las
herramientas utilizadas por Peano y Gramegna en sus trabajos, más no hace explicita
la razón por la que estos trabajos son importantes en el desarrollo del análisis
funcional.
La importancia de estos artículos y los teoremas anteriormente demostrados en el
desarrollo del análisis funcional radica en la modernidad de las técnicas usadas y en
el manejo de nuevas teorías tales como la teoría de los operadores lineales y de
conceptos no muy diestramente manejados en esa época tales como norma de una
transformación.
Estos conceptos fueron lo suficientemente estudiados y desarrollados por Giuseppe
Peano y Maria Gramegna como para expresarlos en lenguaje abstracto (sin empleo de
matrices).
31
El asentamiento de la teoría de operadores desarrollada por Peano, es de vital
importancia en el análisis funcional debido a que permite manejar conjuntos de
funciones y pasar de un espacio funcional a otro sin la necesidad de utilizar matrices
como transformaciones lineales, además elimina la restricción de únicamente poder ir
de un espacio de dimensión finita a otro (o al mismo) espacio de dimensión finita al
permitir pasar de espacios de dimensión finita o infinita a otro espacio (o al mismo)
de dimensión finita o infinita.
Esta posibilidad de trabajar con espacios finito o infinito dimensionales es altamente
importante en el estudio de los espacios de Hilbert y los espacios de Banach,
conceptos fundamentales en el análisis funcional.
Erika Luciano plantea dos puntos fundamentales a desarrollar en su trabajo; el
primero, es precisamente el que muestra en el título de su artículo, por que fueron
importantes los trabajos presentados por Giuseppe Peano sobre la existencia de una
solución de una ecuación diferencial y la existencia de una solución para un sistema
de n ecuaciones diferenciales con n incógnitas y el trabajo presentado por Maria
Gramegna en el cual generaliza el trabajo de Peano y muestra la existencia de una
solución para un sistema de infinitas ecuaciones diferenciales con infinitas incógnitas
en el desarrollo del análisis funcional, lo cual acabo de exponer.
El segundo punto que la autora plantea es el del mal recibimiento del trabajo de la
señorita Gramegna por parte de la Academia de Ciencias de Turín debido al uso que
ella tiene de la lógica simbólica desarrollada por su maestro Peano que, si bien tenía
mucho potencial, su complicada simbología hacía los trabajos presentados de esta
manera poco fáciles de entender.
La lógica matemática y el simbolismo creado por Giuseppe Peano son importantes
para el posterior desarrollo de Russell sobre la lógica simbólica. En el congreso de
1900 en Roma, Peano comentó sus ideas sobre este tema con Bertrand Russell quien
32
logró advertir el gran potencial que esta rama tendría en la futura matemática. Las
ideas de Peano no tuvieron una buena acogida por la mayoría de sus colegas debido a
que su simbología era difícil de entender.
La lógica matemática desarrollada por Russell, en cambio, tuvo un buen recibimiento
ya que el desarrollo y sustento que Russell hace de esta lógica es tal que no da lugar a
dudas.
Sobre el recibimiento por parte de los miembros de la Academia de Ciencias de Turín
del trabajo de grado de la señorita Maria Gramegna (trabajo dirigido por Giuseppe
Peano) está, en mi punto de vista, muy bien explicado, ya que aquí la autora narra
ordenadamente y paso a paso los hechos fundamentales ocurridos en las reuniones de
los miembro de la Academia, de la cual quiero hacer un pequeño resumen aquí.
El trabajo de la señorita Gramegna llamado “Serie di equazioni differenziali lineari ed
equazioni integro-differenziali” es presentado por su maestro y director Giuseppe
Peano a los miembros de la Academia de Ciencias de Turín, los cuales al ver el modo
de proceder y la simbología utilizada por la autora de la tesis y conociendo quien la
dirigió, atacaron sin consideración alguna a Peano mostrando su inconformidad frente
los siguientes aspectos:
1. La lógica simbólica tan complicada de entender usada por Gramegna para
exponer afirmaciones y el contenido mismo de las demostraciones mostradas
en su trabajo. Los miembros del consejo sabían que esta idea había llegado de
Peano quien la había desarrollado y ahora la estaba impartiendo en su curso de
análisis avanzado.
2. Peano, quien había trabajado por bastante tiempo con la lógica simbólica,
escribió un texto totalmente con esta simbología acerca del desarrollo de todos
los temas que para él era importante desarrollar en un curso de análisis
avanzado, tales como la geometría, la aritmética, el álgebra, etc. Peano había
33
adoptado este libro llamado “Formulario Matemático” como texto principal
para impartir sus cursos, cosa con la cual no estaban de acuerdo los miembros
del consejo: el uso de este libro no permitía a los estudiantes brillantes
“progresar en investigación avanzada en análisis avanzado”, además, “ellos
aprenderían únicamente el acercamiento crítico […] pero no el constructivo,
esencial para esta disciplina”.
Debido a estas críticas Peano fue obligado a impartir el curso de análisis avanzado
con los libros clásicos y dejando el Formulario como texto auxiliar. Peano no acepta
esta condición y propone desarrollar un curso libre, petición que tampoco es aceptada
por el consejo.
Luego de esto Peano presenta su renuncia la cual es aceptada y deja los cursos que
por tanto tiempo impartió (calculo infinitesimal) y el recientemente nombrado
profesor de análisis avanzado.
Sin embargo a pesar que estos eran los temas principales sobre los cuales la autora
quería abordar, también, se puede encontrar otra referencia que es digna de abordar
en este documento.
Erika Luciano muestra tres modos distintos del proceder de los matemáticos de
finales de los años 1800 y principios de los años 1900 que finalmente convergen
hacia el análisis funcional.
Una rama de estos desarrollos fue trabajada por D. Hilbert e I. Fredholm quienes
investigaron las ecuaciones integrales en 1900. Posteriormente, estas investigaciones
fueron continuadas por Schimdt, Riesz, Hellinger y Toeplitz quienes encontraron y
demostraron muchos teoremas fundamentales sobre la teoría de los operadores
abstractos, aunque fueron expresados en términos matriciales.
34
Es en estas investigaciones donde aparece formalmente el concepto de espacio
funcional, concepto que ya había trabajado Hilbert en sus estudios previos de
Ecuaciones Integrales sin mencionarlo explícitamente.
Otra rama de estos avances fue desarrollada en Italia donde por un lado Ascoli,
Arzelá y Volterra trabajaron con conjuntos de funciones, en especial, con funciones
continuas cuyo dominio es un conjunto de funciones continuas, y quienes
desarrollaron la teoría de funcionales, [7].
Por otro lado, Peano y Pincherlé fueron líderes en el estudio de funcionales y las
operaciones distributivas aprovechando los estudios de Grassman y Laguerre en esta
materia.
Fueron precisamente estos trabajos los que inspiraron a Hadamard y a Fréchet quien
le añadió una estructura geométrica adicional al concepto de espacio introduciendo la
noción de espacio métrico abstracto lo cual proveyó una nueva forma de abordar los
espacios funcionales.
Sin embargo, los trabajos de Peano y Pincherlé no fueron ampliamente difundidos
entre los matemáticos de ese tiempo, por lo tanto estos resultados no fueron
conocidos ni aprovechados de modo que muchos matemáticos siguieron pensando en
términos matriciales y quedaron por unos 20 años en el olvido hasta que E.H. Moore
los redescubrió en 1910 y Maria Gramegna los utilizara para su trabajo de grado
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variable con una introducción al álgebra lineal. Editorial Reverté. Segunda
Edición. 813 pp.
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variables y álgebra lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a
las probabilidades. Editorial Reverté. Segunda Edición. 813 pp.
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Taylor, Angus. 1986. Introduction to Functional Analysis. Krieger Pub
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36