MATEMÁTICAS PARA TODOS

EN ESTE BOLETÍN:
MATEMÁTICAS
PARA
TODOS
Educación y Desarrollo,
el Desarrollo,
A. A.
C. C.
La creatividad en la
solución de problemas
La simetría en las
matemáticas
Algunos números
interesantes
Los problemas del
calendario
Año 10, Número 90, mayo de 2009
LA CREATIVIDAD EN LA SOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
Uno de los temas que se enseñan en secundaria y
bachillerato es la resolución de problemas,
habilidad por demás fundamental en la vida del
hombre. Los docentes deben estar conscientes de la
importancia de saber solucionar problemas en la
vida cotidiana; es más, puede decirse que ese es
uno de los fines fundamentales de las matemáticas,
los otros pudieran ser realizar comprobaciones,
hacer mediciones o simplemente divertirse.
En nuestra vida diaria todos resolvemos problemas
con el apoyo de las matemáticas, por ejemplo, al
hacer el cálculo del tiempo que requerimos para
algo, la estimación de costos, el cálculo de
descuentos, la estimación de la probabilidad de que
algo suceda, etc.
La resolución de problemas matemáticos ha sido
objeto de estudio de la psicología, la ingeniería, la
inteligencia artificial y, en general, de todas las
ciencias. Sin embargo, puesto que cada persona
mata las pulgas como puede, aunque se han hecho
intentos serios por establecer diversas metodologías
para solucionar problemas matemáticos, no se ha
logrado definir una técnica única que sea exitosa en
todos los casos.
Para mejorar nuestra práctica docente en este tema
es importante que consideremos lo siguiente:
a) Aunque se recomienda conocer algunos métodos para la
solución de problemas, no deben tomarse como la panacea
pues cada problema requiere de un tratamiento
individual. Además, la creación de una solución
dependerá de los conocimientos matemáticos, las
características y las necesidades de quien lo resuelve y no
del método.
b) Los problemas pueden tener muchos caminos para llegar
a su solución, además de que pueden tener muchas
soluciones.
c) Todos tenemos la capacidad de solucionar problemas
matemáticos sólo que lo hacemos a diferentes velocidades
y de diferentes maneras. Por esto, habrá que tener en
consideración cuáles problemas requieren velocidad para
solucionarse y cuáles no.
d) La habilidad para resolver problemas se desarrolla con la
práctica, la experiencia y el conocimiento de algunas
bases matemáticas.
Existen universidades que dedican muchos
recursos al desarrollo de la creatividad aplicada a la
resolución de problemas y para ello incluyen en su
currículo varios cursos. En nuestro sistema
educativo de educación básica y bachillerato, por el
contrario, sólo se incluye como un tema más y se
trata de cubrir haciendo ejercicios con el fin de
mecanizar algunas operaciones. Es más, en
ocasiones los docentes enfrentan a los estudiantes a
problemas con soluciones tan sencillas que los
estudiantes no alcanzan a desarrollar su capacidad
para formular los caminos hacia las soluciones. Por
lo anterior, reitero que uno de los objetivos de los
profesores de matemáticas debe ser precisamente el
que los alumnos desarrollen sus habilidades para
resolver problemas.
En las aulas, a veces se da mucha teoría sobre cómo
solucionar los problemas o sobre los errores que se
cometen al resolverlos. Esto no estorba pero
consume el tiempo que podría emplearse mejor en
aquello que sí garantiza el éxito en esta
competencia: la práctica constante y reflexiva.
Al orientar a los alumnos para desarrollar esta
habilidad, no deben perderse de vista los siguientes
puntos:
“Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas y
cuando son ciertas no se refieren a la realidad.”
Albert Einstein
Mayo de 2009
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“El experimentador que no sabe lo que está buscando no comprenderá lo que
encuentra.”
Claude Bernard
1) La solución de un problema matemático siempre implica
creatividad.
2) Para resolver un problema es necesario entenderlo de
manera absoluta.
3) Es necesario definir qué datos se requieren y con cuáles
se cuenta.
4) Si es factible, debe estimarse de manera aproximada la
magnitud del resultado, con ello se podrá evaluar si lo
obtenido es lógico.
5) Siempre se debe tratar de establecer un método de
comprobación.
6) Si no se encuentra la solución de inmediato no debe
olvidarse el problema, lo que debe hacerse es descansar y
luego volverlo a tomar.
Todos nacemos con la capacidad de ser creativos, es
sólo cuestión de desarrollarla igual que cualquier
otra capacidad en los seres vivos. Imagine: si
durante los dos primeros años de su vida, a alguien
se le impidiera gatear, arrastrarse o caminar, y sólo
se le mantuviera acostado, esta persona perdería la
habilidad de caminar y le costaría mucho trabajo
recuperarla. Lo mismo ocurre con nuestra habilidad
para ser creativos la cual, en algunas ocasiones, es
inhibida dentro de la misma escuela. Un ejemplo
real de esto son los niños de preescolar que les
dejan de tarea hacer 10 planas del número dos y
otras tantas del número cinco. ¿No es acaso así
como se inhibe la creatividad y se despierta el odio
hacia los números? Por algo Bertrand Roussell dijo
alguna vez “interrumpí mi educación cuando
ingresé en la escuela”.
Se dice que existen dos tipos de pensamiento
creativo para la solución de problemas:
a) El pensamiento divergente, que no se
fundamenta en lo que otros han hecho sino que
supone inventar o encontrar nuevos caminos
para solucionar un problema. Antonio Meucci
(1808-1889), que inventó el teléfono, y Charles
Darwin (1809-1882), que fundamentó la teoría
de la evolución, utilizaron este método.
Antonio Meucci
Charles Darwin
b) El pensamiento convergente, que incluye la
habilidad de hacer crítica y lógica sobre lo que
otros han hecho y, con ello, plantear
posibilidades de solución. Así, fue como
Alexander Graham Bell (1847-1922) patentó el
teléfono y, posteriormente, Thomas Alva Edison
(1847-1931) perfeccionó y patentó algunas
modificaciones a este mismo aparto.
Alexander Graham Bell
Thomas Alva Edison
Imágenes obtenidas de Wikipedia
Los psicólogos, los neurocientíficos y los estudiosos
del aprendizaje se han concentrado en tratar de
encontrar las etapas o pasos que se llevan a cabo
durante el proceso creativo. Para ello, han
estudiado las características y personalidades de
quienes han desarrollado una gran creatividad. Se
han analizado a distinguidos matemáticos en sus
costumbres y formación, así como los antecedentes
culturales y educativos de sus padres, el medio en
el que crecieron, etc. No se han encontrado
estándares consistentes, sin embargo, existe una
gran tendencia a que los creadores provengan de
padres preocupados por la educación de sus hijos.
Al estudiar la forma de actuar de estos
matemáticos, se ha obtenido información muy
interesante sobre la manera en cómo enfrentan,
analizan y tratan los problemas hasta resolverlos.
De estos estudios, se han concentrado algunas
técnicas que pudieran ayudarnos en el aula al
momento de tratar este tema con nuestros alumnos.
He aquí algunas de ellas:
• Invertir el problema. En esta técnica se pueden
seguir dos caminos: Por un lado, se puede
estudiar y definir lo que no se debe hacer para
resolver el problema y con ello identificar con
qué tener cuidado. Por el otro lado, es posible
estimar un resultado, analizarlo y justificar
cómo se podría llegar a él y así reflexionar sobre
las variables que influyen en el problema. Este
Imágenes obtenidas de Wikipedia
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“Para las personas creyentes, Dios esta al principio. Para los científicos está al
final de todas sus reflexiones.”
Max Plank
último método fue el que siguió, en la mayoría
de sus inventos, Arquímedes.
• Emplear el pensamiento exploratorio con
actividades no convencionales. Incluso se
pueden utilizar técnicas que serían reprobadas
por los especialistas y obtener soluciones
inesperadas.
• Saber descansar. Cuando no se llega a un
resultado, es recomendable cambiar de
actividad de tal manera que se olvide un poco
el problema para después retomarlo; con esto es
muy probable que se encuentren caminos más
productivos.
• Analizar cómo lo hacen otros. No es malo
imitar lo que hacen otros, el problema es plagiar
los resultados. Kepler utilizó los métodos de
investigación de Galileo para estimar las órbitas
de los planetas conocidos en aquel tiempo.
• Fomentar la discusión en grupo. Para afinar la
puntería, y encontrar mejores soluciones, no
hay como generar sinergia entre pares al
discutir en grupo.
• Hacer mapas mentales. Tratar de hacer un
diagrama con todas las variables, datos,
relaciones y posibles resultados del problema,
permite integrar todos los elementos que
participan o deben participar en la solución.
• Utilizar la programación neurolingüística para
analizar todos los elementos que pudieran
contribuir al proceso creativo y entonces buscar
proporcionarlos.
• Buscar los bloqueos mentales. Analizar aquellos
elementos que actúan como freno en el
desarrollo de la creatividad que pueden ser
culturales, ambientales, intelectuales o de
incapacidad de expresión.
A pesar de todo lo anterior, este tema es uno de los
más difíciles de enseñar en la secundaria y el
bachillerato. Podemos asegurarles que sólo se
tendrá éxito en él si se busca resolver problemas
relacionados con el contexto de los estudiantes,
aquellos en los que la necesidad los obligue a
estudiarlos y, a través de ello, encontrar lo que
buscan. No olvidemos que la necesidad es la madre
de todas las ciencias.
Mayo de 2009
LA SIMETRÍA
EN LAS MATEMÁTICAS
Cuando nos vemos en el espejo, en el reflejo
observamos una figura simétrica a nuestra cara. En
las matemáticas, a esto se le llama isometría.
Imagen de Microsoft Clip Art
Toda figura tiene un contorno simétrico o genera
una figura simétrica al reflejarse. La simetría puede
encontrarse en algunas figuras, en ecuaciones y en
otros elementos físicos o abstractos y se define
como “la posibilidad de que al dividir algo por un
eje, las distancias de dicho eje a los puntos del
contorno o elementos característicos de lo dividido
sean las mismas”.
p
a
a’
b
b’
c
c’
a=a’
b=b’
c=c’
Esto implica que una figura puede tener un
contorno simétrico o que dos figuras pueden ser
simétricas. Por ejemplo, el cuerpo humano, al
dividirlo por un eje vertical, es simétrico y las dos
manos son simétricas
una a la otra.
p
p’
En la geometría
euclidiana, la simetría puede ser
producto de una reflexión o una rotación. Lo
importante es que siempre se podrá calcular la
posición de una figura simétrica. Esto se logra al
realizar operaciones con las dimensiones de los
puntos al eje de simetría. El eje puede ser vertical,
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“Se puede tener por compañera la fantasía, pero se debe tener como guía a la
razón.”
Samuel Johnson
horizontal o diagonal. Observe las siguientes
figuras:
p
q
b
d
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Las letras p, q, b y d son simétricas según sea su eje,
vertical u horizontal. El símbolo del yin-yang puede
ser producto de la simetría con una rotación de
1800.
Para enseñar el concepto de simetría en primaria y
secundaria, recomendamos a nuestros lectores que
lo hagan por medio de palíndromos, de retos o de
manera práctica con la construcción de un aparato
para obtener el reflejo.
Por ejemplo, puede introducir el concepto de
simetría pidiendo a sus alumnos que de la figura
siguiente, dibujen las formas que faltan y que luego
que las pongan en orden.
Para construir un instrumento para dibujar el
reflejo de una figura, siga los siguientes pasos:
Coloque en un riel cuatro varillas articuladas del
mismo tamaño como se muestra en la figura.
o
a
b
ALGUNOS NÚMEROS INTERESANTES
Si para contar 200 números usted necesita un
minuto y decidiera contar durante 12 horas al día.
A este ritmo, se llevaría 19,024 años, 68 días, 10
horas y cuarenta minutos el contar hasta un trillón.
El número más grande que se puede escribir con
(9 )9
tres dígitos es el: 9
Lo que es igual a 9387’420,489 . Si usted escribiera este
número con todos sus dígitos tendría una hilera de
cerca de 965 kilómetros de longitud y su lectura le
tomaría unos 150 años.
¿Será verdad esto?
L OS PROBLEMAS DEL CALENDARIO
Viernes 1. Pedro recorre en automóvil 5,000
kilómetros. Para que todas las llantas
(incluida la de repuesto) sufran el mismo
desgaste las cambia regularmente. ¿Cuántos
kilómetros recorre cada llanta?
Martes 5. Un concurso de matemáticas
consiste de 20 preguntas. Por cada solución
correcta se dan 8 puntos, por cada solución
incorrecta se penalizan 5 puntos y si un
problema se deja sin resolver se dan 0 puntos.
Si un estudiante obtuvo 13 puntos, ¿cuántos
problemas resolvió correctamente?
Viernes 15. Si en la figura los dos triángulos
son equiláteros ¿Cuánto mide el ángulo x?
p
x
Las uniones articuladas a y b corren libremente
sobre el riel. Con el extremo O se sigue el contorno
de la figura y en P se coloca un lápiz para dibujar el
reflejo de la figura. ¡Así de fácil! ¿Qué otras formas
se le ocurren para enseñar este tema?
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Matemáticas para todos. Año 10, número 90, mayo de 2009. Periodicidad: diez números al año. Editor responsable: Alfonso
Ramón Bagur. Nº de Certificación de reserva de derechos al uso exclusivo de título: 04-2000-0829110600-106.
Certificado de licitud de título: Núm. 11423. Certificado de licitud de contenido: Núm. 8018. Publicación en formato
electrónico elaborado y distribuido por: Educación y Desarrollo, A.C. y el Instituto de Ingeniería de la UNAM.
E-mail: fdomexia@prodigy.net.mx. Página web: www.educacion.org.mx
Educación y
Desarrollo, AC
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• Roger Díaz de Cossío • Guillermo Fernández de la Garza • Carlos Lara Esparza • María Teresa Rojano • Fernando
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