FÍSICA APLICADA A FARMACIA. CURSO 2011-2012. PRIMER PARCIAL Problema 1 (experimental, 2.5 p). Disponemos de dos resortes de igual longitud L0 = (205±2) mm y constantes elásticas k1 = (3.0±0.3) N/m y k2 = (3.0±0.2) N/m con los que se realiza el siguiente experimento: se colocan en paralelo y se estiran aplicándoles distintas fuerzas usando un dinamómetro, midiendo las respectivas longitudes (véase la figura y la tabla adjuntas). Se pide: L (mm) ∆L (mm) F (N) ∆F (N) k 1 a) Calcular el valor teórico esperado de la constante elástica del conjunto en paralelo a partir de las constantes elásticas de los dos resortes. Una vez resuelto el siguiente apartado, comprobar si hay o no coincidencia. F 1 2 3 4 k2 5 6 L 303 335 434 467 599 663 2 2 2 2 5 5 0,60 0,75 1,40 1,60 2,25 2,75 0,05 0,05 0,10 0,10 0,10 0,10 b) Determinar a partir de estos datos experimentales la constante elástica del conjunto de ambos resortes. Realícese una representación gráfica sobre papel milimetrado y explíquese el procedimiento seguido. (Ambos apartados con análisis de errores y expresando los resultados en N/m). Problema 2 (2.5 p). Se quiere saber el porcentaje de grasa corporal de un paciente cuyo peso es 650 N. Para ello se ha de determinar la densidad media de su cuerpo midiendo su peso cuando se encuentra completamente sumergido en agua: ese peso sumergido es de 57 N. Puesto que el cuerpo humano es algo menos denso que el agua, para que pueda sumergirse completamente se ha añadido un contrapeso de 60 N cuyo volumen es prácticamente despreciable. Estas medidas, junto con otros datos necesarios, están recogidas en la tabla siguiente. Hágase un diagrama claro de las distintas fuerzas que actúan cuando el cuerpo se encuentra sumergido y calcúlese el porcentaje de grasa corporal del paciente indicando cuál es el fundamento físico del cálculo realizado. Peso paciente (N) Peso del paciente sumergido (N) Contrapeso (N) 650 57 60 Densidad de la grasa (kg·m-3) -3 Densidad resto tejidos (kg·m ) 905 1018 1 Cuestión 3 (2 p). Un joven baja en monopatín por una rampa curva en un parque. Si consideramos el sistema como una partícula, ésta describe un cuarto de círculo de radio R = 3.00 m, siendo la masa total del conjunto de 25.0 kg. Si el joven parte del reposo y despreciamos el rozamiento, calcule: a) La velocidad cuando llega al final de la rampa b) La fuerza normal que actúa sobre él en ese punto. Cuestión 4 (1.5 p). Estamos intentando mover una caja de 500 N por una superficie horizontal. Para comenzar a moverla, debemos tirar de ella con una fuerza horizontal de 230 N. Una vez que la caja comienza a moverse, podemos mantenerla con velocidad constante con sólo 200 N. ¿Cuáles son los coeficientes de rozamiento estático y dinámico? Comentar el resultado. Cuestión 5 (1.5 p). Una arteria transporta un flujo constante de sangre en régimen estacionario. En la arteria hay un ateroma que reduce su calibre. Utilice los fundamentos de la física de fluidos para comparar la velocidad de la sangre y la presión en la zona libre y en la zona del estrechamiento (suponga que la arteria discurre horizontalmente) 2 Problema 1 (experimental). Disponemos de dos resortes de igual longitud L0 = (205±2) mm y constantes elásticas k1 = (3.0±0.3) N/m y k2 = (3.0±0.2) N/m con los que se realiza el siguiente experimento: se colocan en paralelo y se estiran aplicándoles distintas fuerzas usando un dinamómetro, midiendo las respectivas longitudes (véase la figura y la tabla adjuntas). Se pide: a) Calcular el valor teórico esperado de la L (mm) ∆L (mm) F (N) ∆F (N) k1 303 2 0,60 0,05 1 constante elástica del conjunto en F 335 2 0,75 0,05 2 paralelo a partir de las constantes 434 2 1,40 0,10 3 467 2 1,60 0,10 4 elásticas de los dos resortes. Una vez k2 599 5 2,25 0,10 5 resuelto el siguiente apartado, 663 5 2,75 0,10 6 L comprobar si hay o no coincidencia. b) Determinar a partir de estos datos experimentales la constante elástica del conjunto de ambos resortes. Realícese una representación gráfica sobre papel milimetrado y explíquese el procedimiento seguido. (Ambos apartados con análisis de errores y expresando los resultados en N/m). a) k1 r F1 L k2 L0 Errores: ∆k P = r F2 r F Fuerza sobre cada resorte: F1 = k1 ( L − L0 ) F2 = k 2 (L − L0 ) Fuerza sobre la asociación en paralelo: F = F1 + F2 = k1 (L − L0 ) + k 2 (L − L0 ) = k P ( L − L0 ) k P = k1 + k 2 = 3.0 + 3.0 = 6.0 N/m ∂k P ∂k ∆k1 + P ∆k 2 = ∆k1 + ∆k 2 = 0.3 + 0.2 = 0.5 N/m ∂k1 ∂k 2 k P = (6.0 ± 0.5) N/m 3 Problema 1 (continuación) b) Determinación experimental de la constante elástica del sistema en paralelo. F (N) 3,0 (2.90 ± 0.10) N 6 L (mm) ∆L (mm) F (N) 303 2 0,60 335 2 0,75 434 2 1,40 467 2 1,60 599 5 2,25 663 5 2,75 1 2 3 4 5 6 L-L 0 (m) ∆(L-L 0) (m) F (N) 0,098 0,004 0,60 0,130 0,004 0,75 0,229 0,004 1,40 0,262 0,004 1,60 0,394 0,007 2,25 0,458 0,007 2,75 1 2 3 2,5 4 5 2,0 D = 2.90 − 0.45 = 2.45 N ∆D = 0.10 + 0.05 = 0.15 N 1,5 1,0 m= N/D D = 0.490 − 0.070 = 0.420 m 0,5 (0.070 ± 0.004) m ∆D = 0.004 + 0.007 = 0.011 m (0.45 ± 0.05) N 0,1 0,2 0,3 N/m ∆F (N) 0,05 0,05 0,10 0,10 0,10 0,10 ∆F (N) 0,05 0,05 0,10 0,10 0,10 0,10 N/m (0.490 ± 0.007 ) m 0,0 0,0 L0 = (0.205 ± 0.002 ) m 0,4 6.5 6.5 6.0 6.0 0,5 L − L0 (m) m= N 2.45 = = 5.8333 N/m D 0.420 k P = (5.8 ± 0.5) N/m ∆m = ∂m ∂m 1 N ∆N + ∆ D = ∆N + 2 ∆ D ∂N ∂D D D ∆m = 1 2.45 ⋅ 0.15 + 0.011 = 0.357 + 0.153 = 0.510 ≈ 0.5 N/m 0.420 0.420 2 kP kP 5.8 5.5 Experimental 5.5 Cálculo teórico Véase que los intervalos de error de la medida experimental y del cálculo teórico se solapan en gran medida, y el valor teórico está dentro del margen de error experimental. Esto constituye un indicador de buena 4 calidad de la medida experimental. Problema 2. Se quiere saber el porcentaje de grasa corporal de un paciente cuyo peso es 650 N. Para ello se ha de determinar la densidad media de su cuerpo midiendo su peso cuando se encuentra completamente sumergido en agua: ese peso sumergido es de 57 N. Puesto que el cuerpo humano es algo menos denso que el agua, para que pueda sumergirse completamente se ha añadido un contrapeso de 60 N cuyo volumen es prácticamente despreciable. Estas medidas, junto con otros datos necesarios, están recogidas en la tabla siguiente. Hágase un diagrama claro de las distintas fuerzas que actúan cuando el cuerpo se encuentra sumergido y calcúlese el porcentaje de grasa corporal del paciente indicando cuál es el fundamento físico del cálculo realizado. Peso paciente (N) Peso del paciente sumergido (N) Contrapeso (N) 650 57 60 W F W0 Densidad de la grasa (kg·m-3) 905 Densidad resto tejidos (kg·m-3) 1018 E es el empuje de Arquímedes que actúa sobre el cuerpo completamente sumergido, de volumen V. F Paciente sumergido V P. Arquímedes: E = ρ agua ⋅ g ⋅ V ⇒ V = E W W0 F + E = W + W0 ⇒ E = W + W0 − F ⇒ E = 650 + 60 − 57 = 653 N Contrapeso V0 ≈ 0 Volumen del cuerpo: V= E ρ agua ⋅ g (Suponemos que el empuje sobre el contrapeso es nulo, al ser su volumen despreciable) 653 N = 0.0666 m 3 3 2 1000 kg/m ⋅ 9.8 m/s 5 Problema 2 (continuación). Conociendo el volumen se calcula la densidad media del cuerpo ρ= W 650 N = = 995 kg/m 3 2 3 g ⋅ V 9.8 m/s ⋅ 0.0666 m El cuerpo está formado por grasa (densidad 905 kg·m-3) y otros tejidos (densidad 1018 kg·m-3). Sabiendo la densidad media, hallamos el porcentaje de grasa por interpolación lineal. ρ (kg/m 3 ) tan θ = 1018 995 995 − 905 ⎞ ⎛ x = 100 ⋅ ⎜1 − ⎟ = 100 ⋅ (1 − 0.80 ) = 20% ⎝ 1018 − 905 ⎠ θ 905 1018 − 905 995 − 905 = 100 − 0 100 − x % grasa 0% x 100 % 6 Cuestión 3. Un joven baja en monopatín por una rampa curva en un parque. Si consideramos el sistema como una partícula, ésta describe un cuarto de círculo de radio R = 3.00 m, siendo la masa total del conjunto de 25.0 kg. Si el joven parte del reposo y despreciamos el rozamiento, calcule: a) La velocidad cuando llega al final de la rampa b) La fuerza normal que actúa sobre él en ese punto. a) Tomamos como nivel de referencia el suelo y aplicamos el principio de conservación de la energía entre los puntos 1 y 2. En ausencia de fuerzas de rozamiento se conserva la energía mecánica [Ec(2) + Ep(2)] = [Ec(1) + Ep(1)] En el punto inicial la velocidad es cero, porque parte del reposo, mientras que en el punto final la energía potencial es cero porque en el suelo está el nivel de referencia 1 1 mv 22 + mgh 2 = mv12 + mgh1 2 2 0 La altura h1 es igual al radio R de la rampa curva 1 2 mv2 = mgh1 = mgR 2 0 v2 = 2 gR = 7.67 m/s b) Cuando el joven recorre la rampa, la fuerza centrípeta que hace variar la dirección de su velocidad es la diferencia entre la reacción normal N y la componente de su peso dirigida según el radio de la curva. En el momento en que llega al final de la rampa (punto 2), la situación es la que se indica en el diagrama. v22 FC = N − mg = m R O N FC mg ⎛ v22 ⎞ ⎜ N = m ⎜ g + ⎟⎟ R⎠ ⎝ 2 gR ⎞ ⎛ N = m⎜g + ⎟ = 3mg R ⎠ ⎝ En el apartado anterior habíamos determinado el valor de v2 v2 = 2 gR N = 735 N 7 Cuestión 4. Estamos intentando mover una caja de 500 N por una superficie horizontal. Para comenzar a moverla, debemos tirar de ella con una fuerza horizontal de 230 N. Una vez que la caja comienza a moverse, podemos mantenerla con velocidad constante con sólo 200 N. ¿Cuáles son los coeficientes de rozamiento estático y dinámico? Comentar el resultado. En ambas situaciones actúan cuatro fuerzas, que son las que aparecen en el dibujo. Justo antes de que la max caja empiece a moverse actúa la fuerza de rozamiento Fr = µ e N estática que alcanza su valor máximo en ese instante La situación Diagrama de Diagrama de sólido libre sólido libre justo antes de cuando se empezar a mueve con moverse velocidad constante Justo antes de que la caja empiece a moverse Una vez que está en movimiento, las fuerzas son ∑F ∑F Una vez que la caja empieza a moverse con velocidad constante, la fuerza de rozamiento que actúa es la dinámica o cinética. (2) Aplicamos la segunda ley de Newton en ambos casos, descomponiendo las fuerzas en los ejes X e Y x = T −Frmax = 0 ⇒ y = N −P = 0 ⇒ ∑F ∑F Fr = µ k N (1) Frmax = T = 230 N N = P = 500 N x = T −Fr = 0 ⇒ Frmax = T = 200 N y = N −P = 0 ⇒ N = P = 500 N Usando la ecuación (1) y este resultado Usando la ecuación (2) y este resultado Frmax µe = = 0.46 N µk = Fr = 0.40 N Es más fácil mantener la caja en movimiento que comenzar a moverla: el coeficiente de rozamiento cinético es 8 menor que el estático. Cuestión 5. Una arteria transporta un flujo constante de sangre en régimen estacionario. En la arteria hay un ateroma que reduce su calibre. Utilice los fundamentos de la física de fluidos para comparar la velocidad de la sangre y la presión en la zona libre y en la zona del estrechamiento (suponga que la arteria discurre horizontalmente) * Según la ecuación de continuidad aplicada a un fluido incompresible, flujo constante implica que S1 Sección ancha S1 ·c1 = S 2 ·c2 S 2 Estrechamiento Puesto que S1 > S 2 c1 c2 = c2 S1 ·c1 S2 ⇒ c1 < c2 La velocidad es mayor en el estrechamiento * Ecuación de Bernoulli: siempre que las condiciones sean tales que pueda suponerse que la sangre se comporta como fluido ideal, la relación entre presión y velocidad considerando que el vaso está colocado horizontalmente es 1 1 P1 + ρ ⋅ c12 = P2 + ρ ⋅ c22 2 2 Diferencia presiones: ( ) 1 ρ ⋅ c22 − c12 2 Puesto que antes demostramos que c1 < c2 P1 − P2 = se puede afirmar que P1 − P2 > 0 La presión es menor en el estrechamiento 9