Matrices - Facultad de Ciencias Naturales y Museo
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Universidad acional de La Plata
Facultad de Ciencias aturales y Museo
Cátedra de Matemática y Elementos de Matemática
Asignaturas:
Matemática: Unidad Temática nº 4
Elementos de Matemática: Unidad Temática nº 3
Contenidos de la Unidad Temática
Matrices: Suma y producto
Propiedades.
Producto
entre
Pseudoinversa y Matriz inversa.
por un escalar.
matrices.
Matriz
Determinantes: definición y propiedades. Desarrollo de
un determinante por los elementos de una línea.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Resolución aproximada de sistemas incompatibles:
utilización de la matriz pseudoinversa..
Introducción a la Teoría de Grafos. Representación.
Elementos. Definiciones. Notaciones.
Método de
ordenación de grafos. Aplicaciones a las Ciencias de la
Conducta: Matrices Sociométricas. Problema del
transporte.
Ing. Carlos Alfredo López
Profesor Titular
2
Cátedra de Matemática y Elementos de Matemática
Ing. Carlos Alfredo López
MATRICES Y GRAFOS
Además de las matrices que se definen teniendo en cuenta que sus
elementos provienen de una relación funcional, los datos que corresponden a la información
recogida sobre diversos temas suelen ser organizados frecuentemente en tablas de una o
más entradas mediante conjuntos numéricos cuyos elementos están ordenados por uno o
más subíndices. Formalmente una tabla unidimensional se denomina vector mientras que una
bidimensional se designa con el nombre de matriz.
Ejemplo :
En un viaje de campaña realizado por alumnos de la Facultad, se han
organizado cuatro grupos A, B, C, D conectados mediante equipos de radio de modo tal que A
solo puede comunicarse directamente con B y D ; B sólo puede comunicarse con A; C sólo
puede comunicarse con D y D puede comunicarse con A y C. Presentar esta información
mediante una matriz de orden 4, usando un 1 o un 0 para indicar si dos campamentos
pueden comunicarse directamente o no.
0
1
Solución →
0
1
1 0 1
0 0 0
0 0 1
0 1 0
Ejemplo :
La tabla de posiciones del campeonato de fútbol es una tabla a doble
entrada o bidimensional. Se trata de una matriz.
Considerando un espacio vectorial de n dimensiones, un vector puede
representarse mediante una matriz; los elementos de ésta son las componentes del vector y
pueden escribirse en fila o en columna. Si la disposición es en una fila, la matriz resulta de
dimensión 1xn y se llama matriz fila o también vector fila, mientras que si la disposición es en
columna, el orden es mx1 y hablamos de matriz o vector columna.
1
Por ejemplo A = 2 es una matriz columna de dimensión 3x1
3
Un caso particular lo constituye como ejemplo la matriz A = (3) de
dimensión 1.
3
Teniendo en cuenta lo hasta aquí expresado, una matriz puede
prácticamente ser considerada como la yuxtaposición ordenada de matrices fila o como una
yuxtaposición ordenada de matrices columna.
Simbolizando con Fi la fila i y con Cj la columna j, podemos escribir:
a11 a12 a13 a14 F1
A = a 21 a 22 a 23 a 24 = F 2 = (C1 C 2 C 3 C 4 )
a 31 a32 a 33 a34 F 3
Álgebra Matricial:
Igualdad.
Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y
ubicados en la misma posición son iguales.
Ejemplo :
los elementos
Hallar los valores de x, y, z, w si se satisface la igualdad:
x + y 2z + w 3 5
=
x - y z - w 1 4
igualando elemento a elemento correspondiente, resulta :
x+y =3
2z + w = 5
x-y =1
z-w=4
sistema de ecuaciones lineales cuya solución es : { x = 2 ; y = 1 ; z = 3 ; w = -1}
Suma de matrices:
Si tenemos en cuenta que las filas o las columnas de una matriz pueden
considerarse como vectores fila o como vectores columna, la operatoria entre matrices deberá
seguir las reglas de la operatoria entre vectores y dado que, los vectores se suman elemento
a elemento correspondiente, definiremos en forma análoga la suma entre dos matrices con el
agregado de que, para que dos matrices resulten sumables deben ser del mismo orden. La
suma entre matrices de distinta dimensión no está definida.
Dadas entonces las matrices A = (aij) y B = (bij) ambas de orden mxn, la
suma resultará ser una matriz C = (cij) de la misma dimensión de los sumandos, cuyos
4
elementos se obtendrán haciendo la suma de los elementos correspondientes de las matrices
dadas.
Amxn + Bmxn = Cmxn ; con (cij) = (aij) + (bij)
Ejemplo :
2 − 1 3
2 3 1
y B =
Si A =
3 2 1
3 2 − 1
4 2 4
C = A + B =
6 4 0
Producto de una matriz por un escalar:
La operación tiene las mismas características que el producto de un
vector por un escalar: todos los elementos de la matriz quedan multiplicados por el escalar y
se conserva la dimensión de la matriz.
Demostración:
a11 a12
y el escalar λ = 2 ; la operación
a
21
a
22
Sea la matriz A =
a11 a12 a11 a12 a11 a12 2a11 2a12
=
+
=
a 21 a 22 a 21 a 22 a 21 a 22 2a 21 2a 22
2
verifica que cada elemento de la matriz original queda multiplicado por el escalar 2
Habiéndose definido para el conjunto de las Matrices las operaciones de
suma y de producto por un escalar, con las propiedades correspondientes que hemos
detallado, decimos que este conjunto tiene estructura de Espacio Vectorial.
Ejemplo : (Válido para las operaciones descritas de suma y producto por un escalar )
Hallar los valores de x, y, z y w que satisfacen:
x + y
x y x 5 2
=
+
2
4
z w − 1 w z + w
5 + x + y
2x 2 y x + 2
=
w + 4
2 z 2w − 1 + z + w
igualdad de matrices que da origen por igualación de sus elementos correspondientes al
siguiente sistema de ecuaciones lineales:
5
→
→
2x = x+2
2y = 5+x+y
2z = -1+z+w
2w = w+4
→
→
x =2
→
y = x +5 →
z=w-1 →
w=4
→
x=2
y = 2+5 = 7
z = 4 -1 = 3
w=4
la solución es entonces el conjunto {x = 2 ; y = 7 ; z = 3 ; w = 4}
Producto entre Matrices:
Es una operación cuyo resultado, si existe, depende del orden en que se
coloquen los factores y sólo es posible cuando el número de columnas de la primera matriz es
igual al número de filas de la segunda.
Comencemos por tratar de multiplicar una matriz fila
b11
b 21
A1xn = (a11 a12........a1n) por una matriz columna Bmx1 = ... ; con m=n llamamos entonces
...
bm 1
producto A1xm x Bmx1 = C1x1 a la matriz cuyo único elemento es
c = a11 b11 + a12 b21 + ............. + a1n bm1
se trata del producto escalar entre la matriz o vector fila A1xm y la matriz o vector columna
Bmx1.
Observamos que para que el producto resulte posible el número de
elementos de los vectores fila de la primera matriz del producto debe ser igual al número de
elementos de los vectores columna de la segunda matriz. Lo dicho significa que la dimensión
de los vectores fila de la primera matriz del producto debe ser igual a la dimensión de los
vectores columna de la segunda matriz.
Esta última razón es la que ha posibilitado decir que para que el
producto entre dos matrices resulte posible el número de columnas de la primera matriz debe
ser igual al número de filas de la segunda.
6
Ejemplo :
Sean A1x3 = (3 2 -1)
y
2
B3x1 = 1 ; obtener A1x3 x B3x1 = C1x1
− 3
2
(3 2 -1) 1 = (3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 + (−1)(−3) ) = (6 + 2 + 3) = (11) = C1x1
− 3
Sean ahora las matrices Amxn = (aij) ; i = {1,2,.....,,m} ; j = {1,2,.......,n}
Bnxp = (bij) ; i = {1,2,......,,n} ; j = {1,2,........,p}
llamamos producto Amxn x Bnxp en ese orden a la matriz Cmxp que tiene igual número de filas
que la matriz A e igual número de columnas que la matriz B. (Verificamos nuevamente que el
número de columnas de la primer matriz (A) debe coincidir con el número de filas de la
segunda matriz (B).
Veamos algunos ejemplos:
A2x3 x B3x2 = C2x2
B3x2 x A2x3= C3x3; de la definición de estos dos productos observamos que el producto entre
dos matrices no es en general conmutativo.
A2x3 x B3x1 = C2x1
B3x1 x A2x3 no es posible (por ser el nº de columnas de B ≠ al nº de filas de A)
Disposición conceptual para el producto:
Si quieremos multiplicar A2x3 x B3x2, debemos obtener C2x2; sean entonces:
b11 b12
a11 a12 a13
c11 c12
; B = b21 b22 ; C =
A =
c
21
c
22
a 21 a 22 a 23
b31 b32
a11 a12 a13
a
21
a
22
a
23
b11 b12
b
21
b
22
b31 b32
c11 c12
c
21
c
22
7
en la intersección de la fila 1 de la matriz A con la columna 1 de la matriz B se encuentra el
elemento c11 cuya expresión se obtiene haciendo el producto escalar :
c11 = a11 b11 + a12 b21
c12 = a11 b12 + a12 b22
c21 = a21 b11 + a22 b21
c22 = a21 b12 + a22 b22
+ a13 b31; con análogo razonamiento :
+ a13 b32
+ a23 b31
+ a23 b32
DETERMIATES:
DEFINICIÓN: Un determinante es una función cuyo dominio es el conjunto de las matrices
cuadradas y cuya imagen es el conjunto de los números reales. Para cada matriz particular el
número que representa su determinante asociado se obtiene sumando todos los productos
posibles en los cuales haya un elemento de cada fila y uno de cada columna, dependiendo el
signo de cada producto de la clase de la clase de la permutación (ver capítulo sobre Análisis
combinatorio) de sus subíndices.
Como cada elemento de un determinante tiene dos subíndices, si
tenemos la precaución de colocar en cada producto uno de los subíndices, por ejemplo el
primero, en orden natural, la clase de la permutación de los segundos subíndices será
responsable del signo del producto.
Ejemplificamos para un producto cualquiera de un determinante de orden cuatro: tomemos
para analizar el producto a14a23a32 a41 ; en él los primeros subíndices están colocados en
orden natural; en consecuencia los segundos subíndices determinarán el signo del producto.
Para encontrar la clase de la permutación estudiamos el orden 4321,
comparando cada elemento con los siguientes: así el 4 presenta una inversión con el 3, otra
con el 2 y una tercera con el 1; el 3 una inversión con el 2 y otra con el 1; el dos una inversión
con el 1; en total hay seis inversiones, la clase de la permutación es par y el signo es positivo.
Para el producto cuyos subíndices son 4312, utilizando el mismo
procedimiento puede demostrarse que hay cinco inversiones; la clase de la permutación es
impar y el signo correspondiente del producto es negativo.
Un mecanismo distinto consiste en colocar la permutación a estudiar
sobre el orden natural correspondiente; se unen mediante trazos los números iguales y se
cuentan las intersecciones. El número de ellas indica la clase de la permutación; para el
ejemplo que sigue hay cinco intersecciones; clase de la permutación impar, signo negativo.
4 3 1 2
1 2 3 4
8
DETERMINANTES DE ORDEN DOS.
Dados cuatro números a11, a12, a21 y a22, llamamos determinante de
orden dos (dos filas y dos columnas) a:
a11 a12
a 21 a 22
en el cual
fila 1 : a11
fila 2 : a21
a12
a22
columna 1 : a11
a21
columna 2 : a12
a22
Diagonal principal: a11; a22
Contra diagonal: a12; a21
Analizando el determinante puede observarse que cada elemento del
mismo tiene dos subíndices; el primero corresponde a la fila y el segundo a la columna; así, el
elemento a21 pertenece a la segunda fila (primer subíndice) y a la primera columna (segundo
subíndice); en general podemos decir que el elemento genérico de un determinante, tiene la
forma ai j , donde i indica la fila a la cual pertenece y j designa a la columna.
En estas condiciones decimos que un determinante de orden dos es un
número que se obtiene efectuando el producto de los elementos de la diagonal principal y
restándole el producto de los elementos de la contradiagonal, o sea:
a11 a12
a 21 a 22
= a11.a 22 − a12 .a 21
Los signos de los productos pueden verificarse estudiando la clase de la
permutación de los segundos subíndices: para el producto a11 ⋅ a22 como los segundos
subíndices están en orden natural, el signo correspondiente es positivo, mientas que para el
producto a12 ⋅ a21 los segundos subíndices presentan una inversión: clase de la permutación
impar y en consecuencia, signo negativo.
Ejemplo:
3
-1
2
-1
= 3 . ( −1) − ( −1) . 2 = −3 + 2 = 1
9
DETERMINANTES DE ORDEN TRES:
Sea
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
en el que: fila 1 :
columna 1:
a11 a12 a13
a11 a21 a31
diagonal principal:
contra diagonal:
a11 a22 a33
a13 a22 a31
Los productos correspondientes al determinante de orden 3 son: los
elementos de la diagonal principal, los conformados por los vértices de los triángulos con base
paralela a la diagonal principal (ver esquemas siguientes):
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23 = a11 . a 22 . a 33 ; a12 . a 23 . a 31 ; a13 . a 21 . a 32
a 31
a 32
a 33
los elementos de la contra diagonal y los vértices de los triángulos con base paralela a la
contra diagonal:
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23 = a13 . a 22 . a 31 ; a12 . a 21 . a33 ; a11 . a 23 . a 32
a 31
a 32
a 33
resultando del estudio de los signos correspondientes a la clase de la permutación de los
segundos subíndices:
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23 =
a 31
a 32
a 33
a 11 . a 22 . a 33 + a 12 . a 23 . a 31 + a 13 . a 21 . a 32
− (a 13 . a 22 . a 31 + a 12 . a 21 . a 33 + a 11 . a 23 . a 32 )
10
= a11 (a22 . a33 − a23 . a32 ) − a12 (a2 1 . a33 − a23 . a31) + a13 (a21 . a32 − a22 . a31 )
o bien:
a11
a 21
a12 a13
a 22 a 23
a 31
a 32 a 33
= a11
a 22 a 23
a 32 a 33
a 21 a 23
a 31 a 33
− a12
+ a13
a 21 a 22
a 31 a 32
que resulta ser el desarrollo de un determinante de orden tres por los elementos de la
fila 1. Este desarrollo se obtiene dando signo positivo o negativo a los términos del segundo
miembro según que la suma de los subíndices del factor del correspondiente determinante de
orden 2 sea respectivamente par o impar y multiplicando cada uno de estos factores por el
subdeterminante que se obtiene al eliminar en el determinante de orden tres la fila y la
columna que corresponden al elemento considerado. Estos subdeterminantes reciben el
nombre de Menor Complementario del factor correspondiente.
Ejemplos de menor complementario:
a
Menor complementario del elemento a11 → α11 = 22
a32
a23
a33
a
a
Menor complementario del elemento a23 → α 23 = 11 12
a31 a32
ADJUNTO O COFACTOR del elemento de un determinante:
Es el menor complementario, precedido de signo más o de signo menos,
según que la suma de los subíndices del elemento considerado resulte par o impar.
Ejemplos de adjunto o cofactor:
a
Adjunto o cofactor del elemento a11 → A11 = α11 = 22
a32
a23
a33
a
a12
Adjunto o cofactor del elemento a23 → A23 = − α 23 = − 11
a31 a32
Generalizando: Aij = −1(i + j ) α ij
Si la suma i+j es par el resultado de –1(i+j) es positivo (menor
complementario y adjunto coinciden), mientras que si i+j es impar, el menor complementario y
el adjunto son de distinto signo.
11
De acuerdo con las definiciones de menor complementario y de adjunto
o cofactor, el desarrollo de un determinante por los elementos de una linea:
a11
a12
A = a 21
a 31
a 22
a 32
a13
a 22 a 23
a 21 a 23
a 23 = a11
− a12
+ a13
a 32 a 33
a 31 a 33
a 33
a 21 a 22
a 31 a 32
puede expresarse:
A = a11 ⋅ α11 − a12 ⋅ α12 + a13 ⋅ α13 (desarrollo por menores complementarios)
o bien: A = a11 ⋅ A11 + a12 ⋅ A12 + a13 ⋅ A13 (desarrollo por adjuntos) que puede expresarse: el
desarrollo de un determinante por los elementos de una línea es igual a la suma de los
productos de los elementos de dicha línea por sus respectivos adjuntos.
Ejemplo de resolución de un determinante de orden tres:
2 −1
1
1
1 -2 = 2
3
2
-1
1 −2
1 −2
1 1
− ( −1)
+ 1
=
2 −1
3 −1
3 2
= 2 ( −1 + 4) + 1 ( −1 + 6) + 1 (2 − 3) =
= 6 + 5 − 1 = 10
Otro método para resolver un determinante de 3 por 3 (el método solo
vale para determinantes de ese orden) consiste en utilizar la denominada Regla de SARRUS.
Para ello repetimos debajo del determinante sus dos primeras filas y el resultado lo
obtenemos como la suma de los productos de los elementos de la diagonal principal y los
productos de los elementos de las diagonales paralelas a la diagonal principal, menos la suma
de los productos de los elementos de la contra diagonal y los productos de los elementos de
las diagonales paralelas a dicha contra diagonal, es decir:
a11 a12 a13
a11 . a 22 . a 33 + a 21 . a32 . a13 + a 31 . a12 . a 23
a 21 a22 a 23 =
−a13 . a 22 . a 31 − a 23 . a 32 . a11 − a 33 . a12 . a 21
a 31 a32 a 33
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
12
Ejemplo:
2 −1 1
1 1 −2 =
3
2 −1
2 . 1 .( −1) + 1 . 2 .1 + 3 .( −1) . ( −2 ) −
−1 . 1 . 3 − ( −2 ) . 2 . 2 − ( −1) . ( −1) . 1 =
= −2 + 2 + 6 − 3 + 8 − 1 = 10
Actividad: Calcular el valor de los siguientes determinantes:
a)
3 2
5 1
= ;
b)
6
-3
1/3 1/4
= ; c)
a b
c d
=
para {a = 1 ; b = 0 , c = 8 ; d = 5
}
d) Para los siguientes determinantes, resolver en todos los casos desarrollando por los
elementos de una línea y verificando el resultado por la Regla de Sarrus.
3 2 0
a b c
4 1 2 = ; 5 3 2 = para {a = 2; b = 1, c = 2}
1 5 0
14 2
0 3 x
1 2 y = para {x = 1 ; y = 2 , z = 3}
3 4 z
2 1 3
Hallar el valor de x en : 0 1 2 = 0
2 1 x
PROPIEDADES DE LOS DETERMIATES.
1) Si se intercambian filas por columnas, ordenadamente, el valor del determinante no se
modifica. Ejemplo:
4 2 4 1
=
= 10
1 3 2 3
13
2) Si se intercambia la posición de dos líneas (filas o columnas) paralelas, cambia el
signo del resultado del determinante
4 2
1 3
= 10 ;
= −10
1 3
4 2
3) Si un determinante tiene dos líneas paralelas iguales, su valor es nulo.
4 2
= 8−8 = 0
4 2
4) Si se multiplican todos los elementos de una línea por una constante, el determinante
queda multiplicado por esa constante.
4 2
3⋅ 4 3⋅ 2
4 2
= 10 ;
= 3⋅
= 3 ⋅ 10 = 30
1 3
1
3
1 3
5) Si un determinante tiene dos líneas paralelas proporcionales, su valor es nulo.
8 4
= 16 − 16 = 0
4 2
6) La suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos de una línea
paralela da resultado nulo.
a11 a12 a13
Si: a21 a22
a23 ;
a21 ⋅ A11 + a22 ⋅ A12 + a23 ⋅ A13 = 0 (la suma de los productos de
a31 a32 a33
los elementos de la fila 2 por los adjuntos de la fila 1 vele cero; en efecto; como puede
comprobarse el desarrollo de esta expresión se corresponde con:
a21 a22 a23
a21 a22 a23
a31 a32 a33
que resulta ser un determinante con dos líneas paralelas iguales y, por tal razón, nulo.
7) Un determinante cualquiera puede desdoblarse en la suma de dos determinantes que
tienen todas sus líneas menos una iguales y las restantes tales que sumados sus
elementos correspondientes se obtiene la otra fila del determinante desdoblado.
a11
a12
a21 a22
a31 a32
a13
b11
b12
a23 + a21 a22
a33 a31 a32
b13
a23 =
a33
a11 + b11 a12 + b12
a21
a31
a22
a32
a13 + b13
a23
a33
8) Si a los elementos de una línea de un determinante se le suman los elementos
correspondientes de una línea paralela multiplicados por una constante, el valor del
determinante no se modifica.
14
a11 a12 a13 a11 + λ ⋅ a21 a12 + λ ⋅ a22
a21 a22 a23 =
a31 a32 a33
a21
a31
a11
a13 + λ ⋅ a23
a22
a32
a12
a23
a33
λ ⋅ a21 λ ⋅ a22 λ ⋅ a23
a13
a11 a12 a13
= a21 a22
a23 + a21
a22
a23 =
a21 a22 a23
ya que el
a31 a32 a33
a31
a32
a33
a31 a32 a33
segundo término del primer miembro de la igualdad anterior es nulo por tener el determinante
dos líneas paralelas proporcionales.
Cálculo de un determiante mediante la reducción de su orden:
Las transformaciones que hemos detallado adquieren particular
importancia cuando se trata de resolver determinantes de orden superior a tres. Si esto
sucede se realizan transformaciones en las filas o columnas del determinante teniendo en
cuenta que, cuando a los elementos de una línea se le suman los elementos correspondientes
de una línea paralela multiplicados por una constante, el valor del determinante no se modifica
y que, si multiplicamos todos los elementos de una línea por una misma constante, el
determinante queda multiplicado por esa constante.
Vamos a ejemplificar mediante la reducción del orden de un
determinante de orden cuatro, sin que el método a utilizar pierda rigor para órdenes mayores.
1 2 3 4
Sea
2 5 2 3
3 3 2 1
; escribiremos a la izquierda de cada determinante las
4 4 3 2
transformaciones a realizar (por ej. F2 - 2F1 indica que a los elementos de la fila 2 se le
restarán los elementos correspondientes de la Fila 1 multiplicados por 2.
1 2 3 4
F1
1
2
3
4
2 5 2 3
F2 − 2 F1
0
1
−4
−5
3 3 2 1
4 4 3 2
=
F3 − 3F1
F4 − 4 F1
=
0 − 3 − 7 − 11
0 − 4 − 9 − 14
1 −4 −5
F1
1 −4 −5
=3
7
11 = F2 − 3F1 = 0
4
9
14
F3 − 4 F1
0
19
26 =
25
34
19 26
25 34
= −4
15
METODO PIVOTAL O DE CHIO
Fundamentación del método:
Tiene el mismo fundamento que el cálculo desarrollado en el ejercicio
anterior; si bien brinda la posibilidad de agilitar el cálculo, como contrapartida termina siendo
una regla memorística que hace perder la noción de lo que el que calcula está realizando
Se basa en elegir un elemento como pivote, alrededor del cual en cada
etapa gira todo el cálculo; puede elegirse un elemento cualquiera, pero por comodidad suele
tomarse como tal el elemento ubicado en el ángulo superior izquierdo, es decir, el que está en
la posición a11.
Resulta conveniente que este elemento sea igual a la unidad, en caso de
que no lo sea, se lo transforma dividiendo toda la fila del pivote por el valor del mismo y
multiplicando todo el determinante por dicho valor..
a11 a12 a13
a11 a12 a13
a11 a11 a11
er
1 Paso: formación del pivote: a21 a22 a23 = a11 ⋅ a21 a22 a23
a31 a32
a33
a31
a32
a33
2do Paso: transformamos en ceros los elementos de la columna del pivote; para ello tomamos
los elementos de la fila 2 y les restamos los elementos correspondientes de la fila 1
multiplicados por a21; similar razonamiento seguimos para transformar los elementos de la fila
3.
a11
a12
a13
a12
a13
1
a11
a11
a11
a11
a11
′
a′
a23
a11
a12
a13
a12
a
a11 ⋅ a21 − a21 ⋅
a22 − a21 ⋅
a23 − a21 ⋅
= a11 ⋅ 0 a22 − a21 ⋅
a23 − a21 ⋅ 13 = a11 22
′
′
a32
a22
a11
a11
a11
a11
a11
a
a
a
a
a
a31 − a31 ⋅ 11 a32 − a31 ⋅ 12 a33 − a31 ⋅ 13
0 a32 − a31 ⋅ 12 a33 − a31 ⋅ 13
a11
a11
a11
a11
a11
3er Paso: Se resuelve el determinante de orden dos.
Regla práctica:
1er Paso: elegimos un elemento como pivote; si el ubicado en la posición a11 es igual a 1 se lo
elige, en caso contrario:
1a) en el caso len que todos los elementos de la primera fila sean múltiplos de a11 se divide
toda la primera fila por el valor de a11.
16
1b) si no se verifica 1a) y existe un elemento cualquiera igual a 1 se lo lleva mediante
permutaciones de fila y/o de columna a la posición a11 (tener en cuenta el cambio de
signo que debe realizarse en cada permutación)
1c) si no podemos utilizar los criterios anteriores, dividimos toda la fila 1 por a11 (en este
caso tendremos que soportar operaciones con números fraccionarios).
2de Paso: hacemos ceros todos los elementos de la columna del pivote.
3er Paso: como hemos visto en el desarrollo precedente, el transformado del elemento a22
a
′ = a22 − a21 ⋅ 12 ; siendo a11 = 1 podemos escribir a22
′ = a22 ⋅ a11 − a21 ⋅ a12 ;
es a22
a11
(se forma un cuadrado cuyos vértices son: el pivote y el elemento a transformar que se
multiplican y a este producto se le resta el producto de los elementos que pertenecen a las
filas y a las columnas del pivote y del elemento a transformar.
Ejemplo:
1 2 3 4
1
2
3
4
2 5 2 3
0
1
−4
−5
3 3 2 1
4 4 3 2
=
0 − 3 − 7 − 11
0 − 4 − 9 − 14
1 −4 −5
1 −4 −5
=3
7
11 = 0
19
26 =
4
9
14
25
34
0
19 26
25 34
= −4
MATRIZ DE LOS ADJUTOS.
Recibe este nombre aquella matriz que se obtiene a partir de una matriz
cuadrada dada, reemplazando cada elemento por su adjunto.
a11 a12
Ejemplo: Si A = a21 a22
a
31 a32
a13
a23 ;
a33
Adj =
A11
A12
A21
A31
A22
A32
A13
A23
A33
17
MATRIZ INVERSA: La inversa de una matriz respecto del producto tiene una gran
importancia en el álgebra matricial. La resolución de sistemas de ecuaciones lineales, incluso
los sistemas incompatibles que requieren solución aproximada, está estrechamente ligada a la
inversión de matrices, como veremos mas adelante.
Definiciones:
a) para las matrices rectangulares:
Dada una matriz A(mxn ) con m>n, si existe una matriz L(nxm ) (L del inglés
left = izquierda) tal que:
L(nxm ) ٠ A(mxn ) = I (nxn )
se dice que L(nxm ) es una inversa por la izquierda de A(mxn ) .
Con similar razonamiento, si A(mxn ) es una matriz con m<n y existe una
matriz R nxm (R: del inglés right = derecha) tal que:
R nxm = I (mxm )
es una inversa por la derecha de A.
A(mxn )
se dice que R nxm
٠
NOTA 1: Suele designarse la inversa de las matrices rectangulares, con el nombre de
Matriz Pseudoinversa y, en general se simboliza con A+ .
b) para las matrices cuadradas:
En el caso particular de las matrices cuadradas, es decir, con igual
número de filas y de columnas resulta posible en algunos casos, que exista una misma
matriz inversa por la izquierda y por la derecha: la simbolizamos A-1 verificándose:
A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I
Si la doble igualdad anterior se cumple, la matriz A será regular (su
determinante asociado será distinto de cero) en caso contrario A será una matriz
singular y no existirá la matriz inversa.
NOTA 2: Como la técnica para obtener la matriz pseudoinversa se basa en el
conocimiento de la inversa de las matrices cuadradas, comenzaremos ejemplificando
el:
18
Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada y regular.
3 2
3 2
con su determinante asociado A =
Ejemplo: Si A =
= 3 ⋅ 4 − 2 ⋅ 1 = 10 ≠ 0
1
4
1
4
x x3
si se verifica: A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I .
A−1 = 1
x
x
4
2
3 2 x1 x3 1 0
⋅
=
y desarrollando el producto entre las
Reemplazando valores:
1 4 x2 x4 0 1
matrices del primer miembro e igualando componentes, se obtiene:
llamamos
matriz
inversa
3 x1 + 2 x2 = 1
3 x3 + 2 x4 = 0
1x1 + 4 x2 = 0
1x3 + 4 x4 = 1
(1)
(2)
(3)
(4)
con las cuatro ecuaciones escritas podemos formar dos sistemas de dos ecuaciones
lineales; (1) con (3) y (2) con (4) según se detalla:
3 x1 + 2 x2 = 1
1x1 + 4 x2 = 0
(1)
(3)
y
3x3 + 2x4 = 0
1x3 + 4x4 = 1
(2)
(4)
sistemas que resueltos, permiten encontrar los elementos de la matriz inversa. Una vez
obtenidos los mismos, resta verificar que la matriz encontrada es la inversa de la dada,
para lo cual basta con aplicar la definición, realizando el producto entre la matriz dada y
la hallada, que deberá arrojar como resultado la matriz identidad.
Actividad: Completar de acuerdo con lo indicado, el cálculo de la matriz inversa.
NOTA 3: la obtención de la matriz inversa por aplicación del producto de matrices
puede realizarse con relativa facilidad hasta matrices de orden tres, para las cuales es
necesario escribir nueve ecuaciones que conforman tres sistemas de tres ecuaciones
lineales con tres incógnitas. Para órdenes mayores, utilizaremos otros métodos que
desarrollaremos en esta unidad.
19
Propiedades de la inversión de matrices:
En las matrices regulares se verifican las siguientes propiedades de la
inversión:
I1) A−1 es única por izquierda o por derecha.
I2)
(A )
−1 −1
I3) (λ ⋅ A)
I4)
=A
−1
= λ−1 ⋅ A−1
( A ⋅ B )−1 = B −1 ⋅ A−1
−1
Demostración: ( A ⋅ B ) ⋅ ( A ⋅ B ) = I
( A ⋅ B )−1 ⋅ ( A ⋅ B ) ⋅ B −1 = B −1
( A ⋅ B )−1 ⋅ A = B −1
( A ⋅ B )−1 ⋅ A ⋅ A−1 = B −1 ⋅ A−1
Obtención de la matriz pseudoinversa.
a) Matriz pseudoinversa por la izquierda:(para matrices de mayor número de filas
que de columnas)
Recordamos: L(nxm ) ٠ A(mxn )
I (nxn )
La matriz L(nxm ) puede calcularse construyendo la matriz (nxn)
At ⋅ A = M
Si el determinante de . ( M ) ≠ 0 , existe M −1 y puede escribirse:
M −1 ⋅ At ⋅ A = M −1 ⋅ M
o lo que es igual:
M −1 ⋅ At ⋅ A = I = L ⋅ A
de donde:
=
L = M −1 ⋅ At
b) Matriz pseudoinversa por la derecha:
Recordando que: A(mxn )
٠
R nxm =
I (mxm )
para m<n , la matriz R nxm se calcula
construyendo A ⋅ At = M ; si det. ( M ) ≠ 0, existe M −1 y puede escribirse:
A٠At٠T-1 = I = A٠R
de donde:
A ⋅ At ⋅ M −1 = I = A ⋅ R
R = At ⋅ M −1
20
1 1
Ejemplo 1: Calcular la matriz pseudoinversa de A = 1 − 1
1 1
1 1
3 1
1 1 1
⋅ 1 − 1 =
M =
1
1
1
−
1
3
1 1
1 3 − 1
(verificar aplicando la
como det. ( M ) = 8, existe la matriz inversa M −1 =
8 − 1 3
definición de matriz inversa), y entonces:
1 1 1 2
4 2
L = M −1 ⋅ At = 1 3 − 1 ⋅ 1
=
8 − 1 3 1 − 1 1 8 2 − 4 2
Comprobación:
1 1
1 8 0 1 0
4 2
12
⋅ 1 − 1 =
=
L ⋅ A = I =
8 2 − 4 2
8 0 8 0 1
1 1
1 1
Si pretendemos ahora calcular para la misma matriz A = 1 − 1
1 1
1
1'
2 0 2
1 1 1
= 0 2 0 ;
la matriz inversa por la derecha, hacemos M = 1 − 1 ⋅
1 1 1 − 1 1 2 0 2
2 0 2
como Det (M ) = 0 2 0 = 0 , resulta que la matriz inversa por la derecha no existe
2 0 2
cuando m>n.
0
Ejemplo 2: Calcular la matriz pseudoinversa por la derecha de: A =
1
0 1
1 0
0 1 0
1 2
⋅ 1 0 =
; siendo Det ( M ) = 2 → M −1 =
calculamos M =
2 0
1 0 1 0 1 0 2
y R = A ⋅M
t
−1
0 1
2 0
1
=
= 1 0 ⋅
0
11
2
0 1
0 1
1
2 0
2
0 1
1 0
;
0 1
0
1
21
Comprobación:
0 1
1 2 0 1 0
1 0 1 0
⋅ 2 0 =
=
=I
A ⋅ R =
20 1 0 1
2 0 2 0 1
0 1
0 1 0
no tiene matriz pseudoinversa por la
queremos verificar ahora que A =
1 0 1
izquierda; para ello hacemos
0 1
2 0 2
0 1 0
= 0 2 0 ; siendo Det (M ) = 0 , no existe la matriz
M = A ⋅ A = 1 0 ⋅
0 1 1 0 1 2 0 2
pseudoinversa por la izquierda.
t
CÁLCULO DE LA LMATRIZ IVERSA UTILIZADO LA MATRIZ DE LOS ADJUTOS.
a11 a12
Sean A = a21 a22
a
31 a32
a13
a23
a33
y
Adj =
A11
A12
A21
A31
A22
A32
A13
A23 ; multiplicando A ⋅ Adj t
A33
22
a11
a 21
a
31
a12
a 22
a32
a11 ⋅
= a 21 ⋅
a ⋅
31
a13
a 23 ⋅
a33
A11
A12
A13
A21
A22
A23
A31
A3 2
A33
A11 + a12 ⋅ A12 + a13 ⋅ A13
A11 + a 22 ⋅ A12 + a 23 ⋅ A13
A11 + a32 ⋅ A12 + a33 ⋅ A13
=
a11 ⋅
a 21 ⋅
a31 ⋅
A21 + a12 ⋅ A22 + a13 ⋅ A23
A21 + a 22 ⋅ A22 + a 23 ⋅ A23
A21 + a32 ⋅ A22 + a33 ⋅ A23
a11 ⋅ A31 + a12 ⋅ A332 + a13 ⋅ A33
a 21 ⋅ A31 + a 22 ⋅ A32 + a 23 ⋅ A33
a31 ⋅ A31 + a32 ⋅ A32 + a33 ⋅ A33
En la matriz resultante del producto puede observarse:
a) los elementos de la diagonal principal son respectivamente la suma de los elementos de
las filas 1, 2 y 3 de la matriz A multiplicados por sus respectivos adjuntos que, como
sabemos corresponde al desarrollo del determinante asociado a la matriz A.
b) los elementos ubicados fuera de la diagonal principal corresponden a la suma de los
productos de los elementos de una línea multiplicados por los adjuntos de una línea
paralela que, de acuerdo a la propiedad 6 de los determinantes, da resultado nulo.
De las observaciones realizadas en a) y b) se deduce:
A 0 0
1 0 0
t
A ⋅ Adj = 0 A 0 = A ⋅ 0 1 0 = A ⋅ I
0 0 A
0 0 1
A⋅
Adj t
=I
A
23
resultando de acuerdo con la definición de matriz inversa, que la misma puede ser obtenida
Adj t
. Para obtener la matriz inversa, debe calcularse la matriz
A
de los adjuntos traspuesta y dividir sus elementos por el valor del determinante asociado a la
matriz cuya inversa se calcula.
mediante la expresión: A−1 =
Debe tenerse especial cuidado en calcular primero el determinante
asociado a la matriz ya que, de ser éste nulo, no existirá la matriz inversa.
Adj t
puede utilizarse para calcular, si existe, la matriz inversa
A
de una matriz cuadrada. No resulta válida como definición de matriz inversa.
1 4 2
Ejemplo: Calcular la matriz inversa de A = 2 3 2
4 3 2
Importante: la expresión A−1 =
Cálculo del determinante asociado:
1 4 2
A = 2 3 2 = 1(3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3) − 4(2 ⋅ 2 − 2 ⋅ 4) + 2(2 ⋅ 3 − 3 ⋅ 4) = 0 + 16 − 12 = 4 ≠ 0 ;
4 3 2
lo que significa que la matriz admite matriz inversa.
Cálculo de la matriz de los adjuntos:
3
3
4
Aaj = −
3
4
3
2
2
2
2
2
2
−
2 2
4 2
1 2
4 2
1 2
−
2 2
0 −2 2
Adj = 4 − 6 2
− 6 13 − 5
t
Verificación:
2 3
4 3
4 − 6
0
1 4
= − 2 − 6 13
−
4 3
2
2 − 5
1 4
2 3
−2 2
0
0
4
4
t
Adj
4 −6 2
;
= A−1 =
= 1
4
4
4
A
− 6 13 − 5 − 3
4
4 2
4
−1
2
−3
2
13
4
1
2
1
2
−5
4
24
0
1 4 2
2 3 2 1
4 3 2
−3
2
−1
2
−3
2
13
4
1
2 1 0 0
1
= 0 1 0
2
− 5 0 0 1
4
25
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Ecuaciones.
Resulta frecuente que, al finalizar el ciclo secundario, no se hayan
diferenciado suficientemente los conceptos de función y de ecuación.
Mediante algunos ejemplos, en lo que sigue, trataremos de
conceptualizar esa diferencia. Como sabemos, una función del tipo:
f : R→
→R / f(x) = an.xn + an-1.xn-1 +...+ a1.x + a0.
es una función polinómica en una variable.
la igualdad f(x) = 0 o lo que es igual an.xn + an-1.xn-1 +...+ a1.x + a0= 0 se denomina
ecuación entera en una variable o incógnita asociada a f(x).
Ejemplo 1:
Sea la función polinómica: f : R → R / f(x) = 2 x – 1; el cero o la raíz de
esta función es el número real cuya imagen es nula; o sea el número real que satisface la
igualdad: 2 x - 1 = 0
La igualdad precedente es la ecuación asociada a la función f(x).
Ejemplo 2:
Sea la función polinómica: f : R → R / f(x) = x2 + x – 2; la ecuación
asociada a f(x) será en este caso x2 + x - 2 = 0
Ejemplo 3:
Sea la función polinómica: f : R→
→R / f(x) = x2 + 1 la ecuación asociada a
f(x) será ahora: x + 1 = 0
2
Raices de una ecuación entera en una variable.
De acuerdo con lo visto, la ecuación del ejemplo 1: 2 x - 1= 0
1
2. − 1 = 1 − 1 = 0
se satisface para x =1/2; en efecto:
2
26
Decimos en estas condiciones, que ½ es raíz o solución de la ecuación,
siendo raíz o cero de la función polinómica que le dio origen.
Con similar razonamiento, la ecuación: x2 + x - 2 = 0
del ejemplo 2
se satisface para x = 1 y x = -2 ya que:
12 + 1 - 2 = 0
(-2)2 + (-2) - 2 = 0
por lo cual 1 y -2 son raíces o solución de la ecuación y ademá s raíces o ceros de la
función polinómica que le dio origen.
Por último la ecuación del ejemplo 3: x2 + 1 = 0 no se satisface para
número real alguno; esto significa que así como la ecuación no tiene raíces o solución real
la función que le dio origen no posee raíces o ceros reales.Generalizando los ejemplos
podemos afirmar que el número real a será raíz o solución de f(x) = 0 si y solo si f(a) = 0
Dicho de otra forma a ∈ R es una raíz de la ecuación si en la función la
imagen de a resulta ser el número cero.
Grado de una ecuación.
El grado de una ecuación coincide con el grado de la función polinómica
a la que se encuentra asociada. Respectivamente, las ecuaciones de los ejemplos son de
grado 1, 2 y 2. Efectuando la representación cartesiana de las funciones polinómicas de los
y
ejemplos 1, 2 y 3,
21-
y
4
1-
3
3
f(x)=2x -1
2
I
-1
-2 -1
I
1
I
2
I
3
I
I
I
-2 -1
x
-1
-2
43215
I
I
I
I
-2 -1
-1
-
y
f(x)= x2+ 1
I
1
I
2
I
3
I
x
-
f(x)= x2+ x - 2
I
1
I
2
I
3
x
27
observamos que las raíces reales o ceros de las ecuaciones coinciden con aquellos puntos en
que las curvas (representaciones cartesianas de las funciones asociadas) cortan al eje de
abscisas.
Conjunto solución.
Una ecuación puede tener ninguna, una o más raíces. El conjunto
cuyos elementos son las raíces de la ecuación se denomina conjunto solución.
Para el ejemplo 1
Para el ejemplo 2
Para el ejemplo 3
S={½}
S = { -2 , 1 }
S={}=φ
Resolver una ecuación es, por lo tanto, encontrar su conjunto solución.
Ecuaciones con una sola variable.
a) ecuaciones de primer grado.
Una ecuación de primer grado en una incógnita, tal como la que hemos visto en el ejemplo
1 puede expresarse de una manera general como:
a1 x + a0 = 0
con a1 ≠ 0
Un procedimiento sencillo (despejar la incógnita de la ecuación) permite obtener
rápidamente la raíz de una ecuación de este tipo, tanto si es racional como si es irracional,
es decir, cuando pertenece al conjunto de los números reales.
En efecto; volviendo al ejemplo 1
2x-1=0
2x=1
x = ½ es la raíz de la ecuación.
b) ecuaciones de segundo grado.
Son las asociadas a los polinomios que tienen el aspecto:
son del tipo:
P(x) = a2 x2 + a1 x + an
con a2 ≠ 0
a2 x2 + a1 x + an = 0
con a2 ≠ 0
y suelen escribirse generalmente:
a x2 + b x + c = 0
28
Para calcular las raíces de esta ecuación seguiremos el siguiente procedimiento:
1º Pasamos el término independiente c al 2º miembro.
a x2 + b x = -c
2º Sacamos factor común a en el primer miembro
b
a x 2 + x = −c
a
3º Dividimos ambos miembros por a
x2 +
b
c
x=−
a
a
4º Multiplicamos y dividimos el 2º término del primer miembro por 2
x2 + 2
b
c
x=−
2a
a
b2
(2a)2
5º Sumamos en ambos miembros
b
b2
c
b2
x + 2 x+
=− +
a
(2a)2
a (2a)2
2
6º Observamos que el primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto; el que corresponde
al desarrollo de:
b
x +
2a
por lo que escribimos:
2
2
b
c b2
x +
=− + 2
2a
a 4a
7º Obtenemos común denominador en el 2º miembro
2
b
b 2 − 4ac
x +
=
2a
4a 2
8º operando:
x+
x=
−b ±
b
= ±
2a
b2 − 4ac
4a2
b2 − 4ac
2a
expresión que debe permitirnos obtener (si existen) las dos raíces de la ecuación de segundo
grado.
29
La existencia de raíces reales en la ecuación de segundo grado puede
analizarse si se observa la cantidad subradical que se denomina DISCRIMINANTE, para el
cual pueden presentarse los siguientes casos:
a) Si b2 > 4 a c se obtienen x1 ≠ x2 (dos raíces reales y distintas).
b) Si b2 = 4 a c se obtienen x1 = x2
(dos raíces reales e iguales, o sea una
raíz doble).
c) Si b2 < 4 a c no existirán raíces reales, ya que la raíz cuadrada de un
número negativo no tiene solución en el campo real).
Con el objeto de ilustrar los tres casos que hemos descripto,
resolveremos un ejemplo de cada uno de ellos, efectuando las representaciones gráficas de
las funciones polinómicas a que cada una de las ecuaciones está asociada.
Ejemplo 1:
x2 - x - 2 = 0
Recordando el aspecto de la ecuación de 2º grado:
a x2 + b x + c = 0
resulta:
a = 1;
b = -1;
c = -2
y entonces:
+1± (-1)2 − 4(1).(-2)
x=
2.1
+1± 1+ 8
x=
2
+1 ± 9 1 ± 3
x=
=
2
2
obteniéndose:
1+ 3
x1 =
=2
2
1- 3
x2 =
= −1
2
La función polinómica a
que está asociada la ecuación resulta: f(x) = x2 - x 2
y
x f(x)
-3 10
-2
4
-1 0
0
-2
1
-2
2
0
3
4
214
3
I
I
-2 -1
-1
-2 -
f(x)= x2 - x - 2
I
1
I
2
I
3
x
Como puede observarse la representación cartesiana de la función corta
al eje de abscisas en los puntos de coordenadas (-1,0) y (2,0). En dichos puntos las imágenes
30
de la función son nulas; las primeras componentes de estos pares ordenados son las raíces
de la ecuación.
El conjunto solución es entonces:
S = { -1 , 2 }
Ejemplo 2:
x2 - 4 x + 4 = 0
4 ± (-4)2 − 4.1.4
x=
2.1
4 ± 16 - 16
x=
2
4± 0
x=
2
x1 = x2 = 2
resultando:
La función a la que está asociada la ecuación resuelta es:
f(x) = x2 - 4 x + 4
y
x
f(x)
0
4
1
1
2
0
3
1
3 2 14
I
-2
I
-1
f(x)= x2 - 4x + 4
I
1
I
2
I
3
x
Observamos en este caso que la gráfica “corta” al eje de abscisas solo
en el punto (2,0); la primer componente del par ordenado (x1 = 2) es la raíz doble de la
ecuación resuelta.
4
4
-1
-2
Ejemplo 3:
x2 - 2 x + 4 = 0
x=
x=
2±
4 − 4.1.4
2.1
2±
- 12
2
y la ecuación no tiene solución en el campo numérico real.
31
f(x) = x2 - 2 x + 4
La función
y
x f(x)
-1
7
0
4
1
3
2
4
3
7
3214
I
I
-2 -1
-2 -1
f(x)= x2 - 2x + 4
I
1
I
2
I
3
x
es tal que su gráfica no corta al eje de abscisas, lo que implica la inexistencia de raíces reales.
Ecuaciones con dos variables.
Con el mismo concepto desarrollado anteriormente, decimos que si f(x,y)
es una función polinómica en dos variables, f(x,y) = 0 , será una ecuación en dos variables.
a) ecuaciones de primer grado en dos variables.
Sea por ejemplo la función polinómica: f(x,y) = 3 x – y.
La igualdad 3
x - y = 0; se denomina: ecuación de primer grado en dos variables y se satisface, entre
otros, para los siguientes pares ordenados (x,y):
(0,0)
(1,3)
(2,6)
(-1,-3)
ya que
ya que
ya que
ya que
3. 0-0=0
3. 1-3=0
3. 2-6=0
3 . (-1)-(-3) = 0
....... ........... ....................
Todos aquellos pares ordenados que satisfacen la ecuación son sus
raíces. Como ya hemos visto, también en este caso las raíces de la ecuación son raíces o
ceros de la función polinómica a la que la ecuación se encuentra asociada.
Resulta evidente que, para cada valor arbitrariamente elegido de x
existirá un cierto valor de y que formará un par ordenado raíz de la ecuación.
Cada raíz
de la ecuación (par ordenado) es en este caso un punto perteneciente a la gráfica de la
función que dio origen a la ecuación considerada; en este caso podemos
decir que la gráfica y el conjunto solución coinciden.
32
Para nuestro ejemplo:
y
x
y
0
0
1
3
2
6
3214
I
I
-2 -1
I
1
-2 -1
I
2
I
3
x
b) ecuaciones de segundo grado con dos variables.
Sea la función polinómica de segundo grado en dos variables:
f(x,y) = x2 - x - y + 2
que tiene asociada la ecuación:
o lo que es igual:
x2 - x - y + 2 = 0
y = x2 - x + 2
Esta ecuación (no confundir con el polinomio f(x) = x2 - x + 2) tiene
infinitas raíces: los pares ordenados (x,y) que se obtienen dando valores arbitrarios a x en la
misma.
76543218
x f(x)
-2
8
-1 4
0
2
1
2
2
4
3
8
I
I
I
I
-4 -3 -2 -1
y
I
1
I
2
I
3
I
4
x
La parábola de la figura anterior es la representación gráfica de la
solución de la ecuación:
x2 - x - y + 2 = 0
33
Sistemas de ecuaciones lineales.
Las ecuaciones 3 x - y = 0 y 2 x - y = 1 de primer grado en dos
variables pueden tener una o más raíces comunes y para encontrarlas, conformamos lo que
se denomina un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, que se simboliza:
3x − y = 0
2x − y = 0
El conjunto de pares (x,y) que satisface simultáneamente las dos
ecuaciones se denomina conjunto solución del sistema. Cuando el conjunto solución es
vacío el sistema es incompatible. Si existe única solución (un solo par ordenado) el sistema
se dice compatible determinado y si, el conjunto solución está conformado por más de un
par ordenado, el sistema se denomina compatible indeterminado.
Generalizando, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas puede adoptar el aspecto:
A 1x + B1y + C1 = 0
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
(1)
(2)
Las ecuaciones (1) y (2), pueden expresarse en forma conjuntista:
S1 = {(x,y) / A1 x + B1 y + C1 = 0}
S2 = {(x,y) / A2 x + B2 y + C2 = 0}
En estas condiciones, resolver el sistema de ecuaciones consiste
en hallar S1 ∩ S2, intersección de los conjuntos solución de las ecuaciones (1) y (2); lo que
geométricamente es equivalente a encontrar (si existen), el punto o los puntos comunes a
ambas rectas.
Solucion grafica de un sistema de ecuaciones lineales.
Ejemplo 1:
Sea el sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
3x − y = 0
2x − y = − 1
de (1) 3 x - y = 0
de (2) 2 x - y = -1
y=3x
y=2x+1
(1)
(2)
34
cuya representación cartesiana es:
x f(x)
x f(x)
1
3
1
3
2
6
2
5
76543218
I
-1
S1 = { ( x,y ) / 3 x - y = 0 }
S2 = { ( x,y ) / 2 x - y = -1}
y
y = 3x
y = 2x + 1
I
1
I
2
I
3
I
4
x
S1 ∩ S2 = {(1,3)}
el conjunto solución del sistema (S1 ∩ S2) tiene un único par ordenado (las rectas se cortan en
un punto) y por lo tanto el sistema resulta ser compatible determinado.
Ejemplo 2:
Sea el sistema:
3x - y = 0
6x - 2y = 0
(1)
(2)
Si representamos gráficamente las rectas que corresponden a las ecuaciones (1) y (2).
7 6 5 43218
I
-1
y
I
1
I
2
I
3
I
4
x
observamos que los lugares geométricos coinciden, razón por la cual el conjunto solución del
sistema posee infinitos pares ordenados: los que corresponden a todos los puntos de cada
una de las rectas; el sistema se dice, compatible indeterminado.
35
Ejemplo 3:
Sea el sistema:
(1)
3x − y = 0
3x − y = 2
(2)
Representadas gráficamente las dos ecuaciones:
7 6 5 4321I
-1
-1
-2
-
y
y = 3x
y = 3x - 2
I
1
I
2
I
3
I
4
x
resultan rectas paralelas: no existe intersección, lo cual significa que el conjunto solución del
sistema es vacío; por esta razón el sistema se dice incompatible.
Resolución analítica de un sistema de ecuaciones lineales.
Para la resolución analítica de un sistema de dos ecuaciones lineales
pueden utilizarse distintos métodos, algunos de ellos desarrollados en el ciclo secundario,:
métodos de sustitución, igualación, sumas y restas, determinantes, razón por la cual solo
enunciamos cada uno de ellos, remitiendo al lector para su estudio a los textos de la escuela
media o bien al capítulo correspondiente a la recta en el temario de la asignatura Matemática..
Método de Eliminación Gaussiana.
Los métodos enunciados precedentemente resultan de sencilla
aplicación e interpretación cuando el sistema que se trata de resolver tiene un número
reducido de variables. Como regla general puede utilizarse con ventaja sobre ellos el llamado
método de eliminación Gaussiana o método de eliminación de Gauss; cuyo
fundamento y disposición práctica se basa en la demostración ya efectuada para justificar el
método de resolución por sumas y restas.
En efecto; retornando a las ecuaciones:
a 11 x 1 + a 12 x 2 = b1
a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2
(1)
(2)
multiplicando la ecuación (1) por a21 y la ecuación (2) por a11 obtenemos:
36
a21a11 x1 + a21 a12 x 2 = a21 b1
a21a11 x1 + a22 a11 x 2 = a11 b2
(3)
(4)
restando (3) de (4)
( a11 a22 - a12 a21 ) x2 = a11b2 - a21 b 1
(5)
El sistema
a11 x1 + a12 x 2 = b1
(a11 a22 - a12 a21 ) x 2 = a11b2 - a21 b1
(1)
(5)
es equivalente al (1) , (2) ya que, como puede verificarse, tiene el mismo conjunto solución.
Hemos transformado mediante esta operación nuestro sistema original
(1) , (2) constituido por dos ecuaciones con dos incógnitas en un nuevo sistema que le es
equivalente y en el cual la segunda ecuación (5) posee una sola incógnita, por lo que,
obtenida la misma, puede recurrirse a la ecuación (1) para calcular la restante.
Como en realidad, la operatoria se efectúa sobre los coeficientes, puede
realizarse una disposición práctica para el cálculo:
1)
a11
a12
b1
(1)
2)
a21
a22
b2
(2)
3)
a11
a12
b1
(1)
4)
a11a22 - a12a21
a11b2 - a21b1
(5)
Se escriben los coeficientes de las ecuaciones (1) y (2) incluso los
términos independientes que se ubican a la derecha de una recta divisoria vertical; se traza
una recta horizontal y debajo de ella se escriben los coeficientes del sistema modificado:
la fila 3) debe leerse:
a11 x1 + a12 x2 = b1
(1)
la fila 4)
(a11 a22 - a12 a21) x2 = a11 b2 - a21 b1
Ejemplo 1: Sea el sistema:
3x - y = 0
2 x - y = -1
(1)
(2)
(5)
37
Escribimos:
3
-1
0
(1)
2
-1
-1
(2)
3
-1
0
(1)
0
-1
-3
(5)
Desarrollo de (5): el cero que está debajo del coeficiente 3 de la ecuación (1) corresponde a
que en la ecuación (5) no existe término en la incógnita x1; debajo del coeficiente -1 de la
incógnita x2 de (1) escribimos el transformado del coeficiente de x2 de la (2)
(a11. a22 - a12 . a21) = [ 3 (-1) – 2 (-1) ] = -1
y debajo del término independiente de (1) el transformado del término independiente de (2):
a11 . b2 - b1 . a21 = [ 3 (-1) - 0 . 2 ] = - 3
Prácticamente el cálculo es así: el transformado del coeficiente a22 de (2)
-1
3
2
-1
3
-1
-1
•
se obtiene resolviendo el:
3
2
-1
= -3 + 2 = -1
-1
y el transformado del término independiente de (2)
3
-1
0
2
-1
-1
se obtiene resolviendo el:
3
0
= -3
2
-1
El sistema equivalente resultante:
3 x1 - x2 = 0
x2 = -3
(1)
(5)
38
de donde:
x2 = 3
3 x1 - 3 = 0
x1 = 1
Como vemos existe única solución y el sistema es compatible
determinado (geométricamente las gráficas son rectas que se cortan en el punto)
(x1 , x2) = (1 , 3)
Ejemplo 2:
Sea el sistema:
3x- y=2
6 x - 2y = 4
3
-1
2
6
-2
4
3
-1
2
0
0
0
El sistema equivalente es:
3 x1 - x2 = 2
0.x2 = 0
La ecuación 0.x2 = 0 se satisface para cualquier número razón por la cual
el sistema tiene infinitas soluciones y se denomina compatible indeterminado.
Cada una las posibles soluciones se obtiene fijando un valor arbitrario para x2 y obteniendo
luego x1 de la otra ecuación. (Geométricamente las gráficas coinciden).
39
Ejemplo 3:
Sea el sistema:
3 x1 - x2 = 2
3 x1 - x2 = 4
Siendo el sistema equivalente:
3
-1
2
3
-1
4
3
-1
2
0
6
3 x1 - x2 = 2
0.x2 = 6
La segunda ecuación de este sistema no tiene solución, ya que no existe
número que multiplicado por cero de como resultado seis; el sistema es incompatible (en este
caso las rectas son paralelas).
Como hemos visto en los ejemplos anteriores el método de eliminación
Gaussiana no solo permite resolver con rapidez un sistema de ecuaciones sino además
permite obtener el tipo de solución para cada caso particular.
Resolución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Idéntico razonamiento al desarrollado para el método de eliminación
Gaussiana en dos variables se utiliza para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales
con tres incógnitas:
Sea el sistema :
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 (1)
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 (2)
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 (3)
En este caso el método consiste en tomar cualquiera de las ecuaciones (por ejemplo la (1)) y
eliminar la incógnita x1 primero con la ecuación (2) y luego, independientemente, con la
ecuación (3) transformando el sistema original en uno equivalente con una ecuación en tres
incógnitas y las otras con dos incógnitas.
De este nuevo sistema se toman las ecuaciones que tienen dos
incógnitas y se lo transforma siguiendo el procedimiento ya descripto en otro sistema
equivalente, con una ecuación en dos incógnitas y la otra solo en una.
40
Del resultado de esta última operación obtendremos un sistema
equivalente al original, con la primera ecuación en tres incógnitas, la segunda en dos y la
tercera en solo una, lo que nos permite obtener el conjunto solución.
Ejemplo 1:
Sea el sistema
2 x1 - x2 + x3 = 5
x1 + x2 - 2 x3 = -3
3 x1 + 2 x2 - x3 = 8
Adoptando la disposición práctica descripta:
2
-1
1
1
1
-2
3
2
-1
5
-3
8
repetimos la 1º ec.
2
0
0
-1
3
7
1
-5
-5
5
-11
1
repetimos la 1º
y la 2º ec. del paso
anterior.
2
0
0
-1
3
0
1
-5
20
5
-11
80
El sistema equivalente
2 x1 - x2 + x3 = 5
3 x2 - 5 x3 = -11
20 x3 = 80
se obtuvo resolviendo, por ejemplo, para el elemento -5 que es el transformado de -1 el
determinante:
2
1
= -2 -3 = -5
3
-1
De:
20 x3 = 80
x3 = 4
De:
3 x2 - 5 . 4 = -11
3 x2 = 20 - 11
x2 = 3
y por último de:
2 x1 - 3 + 4 = 5
2 x1 = 5 + 3 - 4
x1 = 2
41
Ejemplo 2:
3 x1 - 5 x2 + 11 x3 = 7
2 x1 + 3 x2 + 8 x3 = 4
x1 - x2 + 9 x3 = -3
El sistema equivalente es:
3
5
11
7
2
3
8
4
1
-1
9
-3
3
5
11
7
0
-1
2
-2
0
-8
16
-16
2
5
11
7
0
-1
2
-2
0
0
0
0
3 x1 + 5 x2 + 11 x3 = 7
x2 + 2 x3 = -2
0.x3 = 0
El sistema admite infinitas soluciones, que se obtienen dando valores arbitrarios a x3: por esa
razón es compatible indeterminado.
42
Ejemplo 3:
4 x1 + x2 - x3 = 6
2 x1 - 4 x2 + 6 x3 = 5
2 x1 + 4 x2 - 6 x3 = -2
4
1
-1
6
2
-4
6
5
2
4
-6
-2
4
1
-1
6
0
-14
22
32
0
14
-22
-20
4
1
-1
6
0
-14
0
0
El sistema equivalente es:
22
32
0
-168
4 x1 + 1 x2 - 1 x3 = 6
14 x2 + 22 x3 = 32
0 x3 = -168
El sistema no tiene solución (no la tiene 0 . x3 = -168) y por lo tanto se denomina
incompatible.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por inversión de matrices.
Sea el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 (1)
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 (2)
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 (3)
podemos escribirlo en forma matricial si hacemos el producto:
a11 a12
a21 a22
a
31 a32
a13 x1 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 b1
a23 ⋅ x2 = a21x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
a33 x3 a31x1 + a32 x2 + a33 x3 b3
del cual resulta la igualdad:
43
a11 a12
a21 a22
a
31 a32
a13 x1 b1
a23 ⋅ x2 = b2
a33 x3 b3
designando:
a11 a12
A = a21 a22
a
31 a32
a13
x1
b1
a23 ; X = x2 ; B = b2
x
b
a33
3
3
simbolizamos:
A⋅ X = B
Siendo A y B matrices conocidas, resolver el sistema consiste en
encontrar los elementos de la matriz X, lo que se consigue premultiplicando (multiplicando
desde la izquierda) ambos miembros de la igualdad por la matriz inversa de A, que
simbolizamos como la matriz A-1.
En efecto, de:
A−1 ⋅ A ⋅ X = A−1 ⋅ B
teniendo en cuenta de acuerdo con la definición de matriz inversa que A−1 ⋅ A = I y que I es
el elemento neutro en el producto de matrices, resulta:
X = A−1 ⋅ B
lo que significa que, para obtener la matriz de las incógnitas (matriz solución) basta con
premultiplicar la matriz de los términos independientes por la matriz inversa de la matriz de los
coeficientes de las incógnitas.
Adj t
−1
Si recordamos que A =
, sólo podremos resolver por inversión de matrices aquellos
A
sistemas en los cuales el determinante asociado a la matriz de los coeficientes
de las incógnitas sea distinto de cero, es decir solamente los sistemas que sean compatibles
determinados.
Ejemplo:
Hallar la solución del sistema de ecuaciones lineales:
2 x − y + z = 2
x + 2 y − z = 3
3 x + y + 2 z = −1
en forma matricial el sistema se escribe:
2 −1 1 x 2
1 2 − 1 ⋅ y = 3
3 1
2 z − 1
44
como sabemos, pueden efectuarse operaciones elementales sobre el sistema de ecuaciones
o sobre la matriz ampliada (ver método de eliminación gaussiana) o bien, si existe, calcular la
inversa de
2 −1 1
A = 1 2 − 1 y luego, premultiplicar la matriz de los términos independientes por
3 1
2
3 − 1 5
3 − 1
5
3 − 5 1
3
− 5 1
Adj t − 5 − 5 5 − 5 − 5 5
=
=
; o sea:
A−1 =
2 −1 1
A
10
1 2 −1
3
1
2
3 − 1 2
5
20 2
1
1
3 ⋅ 3 = − 10 = − 1 ;o sea; x = 2; y = -1; z = − 5 1
10
10 − 30 − 3
− 5 − 5 5 − 1
Teorema de Cramer.
Como hemos visto al resolver sistemas de ecuaciones lineales por el
método matricial, la matriz de las incógnitas se obtiene mediante la expresión: X = A−1 ⋅ B , la
Adj t
Adj t
que teniendo en cuenta A−1 =
puede escribirse: X =
⋅ B que se puede desarrollar
A
A
para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, sin que la demostración pierda validez
general de la siguiente manera:
A11 A21 A31
A12 A22 A32
x1
b
A13 A23 A33 1
⋅ b2
x2 =
a
a
a
11
12
13
x
b
3
3
a21 a22 a23
a31 a32 a33
expresión de la cual se obtienen la siguiente igualdad:
45
x1 =
b1
a12
a13
b2
a22
a23
A11 ⋅ b1 + A21 ⋅ b2 + A31 ⋅ b3
b a32 a33
= 3
a11 a12 a13
a11 a12 a13
a21 a22
a23
a21 a22
a23
a31
a33
a31
a33
a32
a32
que se lee: “la incógnita x1 se obtiene como el cociente entre dos determinantes: el del
denominador es el asociado a la matriz de los coeficientes de las incógnitas mientas que el
del numerador es el mismo determinante en el cual se ha reemplazado la columna de los
coeficientes de x1 por los términos independientes”
Con similar razonamiento:
a11 b1 a13
a21 b2
x2 =
a23
a
b a33
A12 ⋅ b1 + A22 ⋅ b2 + A32 ⋅ b3
= 31 3
a11 a12 a13
a11 a12 a13
a21 a22
a23
a21 a22
a23
a31
a33
a31
a32
a33
a11
a12
b1
a21 a22
b2
a32
y
x3 =
a
a
b
A13 ⋅ b1 + A23 ⋅ b2 + A33 ⋅ b3
= 31 32 3
a11 a12 a13
a11 a12 a13
a21 a22
a23
a21 a22
a23
a31
a33
a31
a33
a32
a32
lo expresado para la incógnita x1 puede generalizarse de la siguiente manera:”las incógnitas
de un sistema de ecuaciones lineales pueden obtenerse efectuando el cociente entre dos
determinantes: el del denominador es en todos los casos el asociado a la matriz de los
coeficientes de las incógnitas mientras que el del numerador es el mismo determinante en el
cual se ha reemplazado la columna de los coeficientes de la incógnita que se quiere calcular
por los términos independientes”.
Ejemplo:
Hallar la solución del sistema de ecuaciones lineales:
2 x − y + z = 2
x + 2 y − z = 3
3 x + y + 2 z = −1
46
x=
2
−1
1
2
2
1
2 −1
2
3
2
−1
1
3
−1
1
2
3
3
1 −1
= −3
10
−1 1
2 −1
2
=2 ;
1
1
2
−1
3
1
2
y=
3 −1
10
2
= −1 ; z =
Sstemas homogéneos.
Reciben este nombre los sistemas de ecuaciones lineales que tienen
todos los términos independientes nulos. Tienen el aspecto:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = 0 (1)
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = 0 (2)
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = 0 (3)
Hemos utilizado estos sistemas en el estudio de la dependencia e
independencia lineal al tratar los Espacios Vectoriales. Vimos entonces y, lo recordamos ahora
que estos sistemas siempre tienen solución (la llamada trivial con todos los valores de las
incógnitas iguales a cero)
Como ejemplos podemos citar para el espacio dos la intersección entre
dos rectas que pasan por el origen de coordenadas y para el espacio tridimensional, la
intersección de tres planos que pasan por el origen de coordenadas.
Se resuelven por cualquier método de los desarrollados; muchas veces
sólo se necesita saber si el sistema es compatible determinado o compatible indeterminado, lo
que se logra resolviendo el determinante asociado a la matriz de los coeficientes de las
incógnitas. Si dicho determinante es distinto de cero, las tres ecuaciones son independientes y
la solución es única (la trivial): si por el contrario el determinante resulta nulo, el sistema
resulta compatible indeterminado (soluciones múltiples)
47
Resolución Matricial de los sistemas de ecuaciones lineales incompatibles. (aplicación
del concepto de Matriz Pseudoinversa).
Sea el sistema de ecuaciones independientes (por lo tanto incompatible)
a1x1 + b1x2 = q1 (1)
a2 x1 + b2 x2 = q2 (2)
a x + b x = q (3)
3
3 1 3 2
que puede escribirse en notación matricial:
a1 b1
q
x1 1
a2 b 2 ⋅ = q2 (4)
a b x2 q
3 3
3
o simbólicamente
A⋅ x = q
Como la matriz A tiene mayor número de filas que de columnas sólo
resulta posible definir su matriz inversa (en este caso, pseudoinversa) por la izquierda.
Para despejar la matriz x se premultiplican ambos miembros de la
igualdad anterior por la matriz traspuesta de A :
At ⋅ A ⋅ x = At ⋅ q (5)
Nota:
“para el caso que nos ocupa At (2 x3) ⋅ A(3 x 2 ) = M (2 x 2 ) ”
“si hubiéramos hecho A(3 x 2 ) ⋅ At (2 x 3) = M (3 x3) resulta siempre singular (no admite matriz inversa)”
Como la matriz At ⋅ A es cuadrada, si su determinante asociado es
(
distinto de cero, admite matriz inversa At ⋅ A
miembros de (5):
(
−1
; premultiplicando por esta matriz ambos
(A ⋅ A ) ⋅ (A ⋅ A ) ⋅ x = (A ⋅ A )
t
siendo At ⋅ A
)
) ⋅ (A ⋅ A) = I resulta:
−1
−1
t
t
−1
⋅ At ⋅ q (6)
t
(
x = At ⋅ A
(
)
−1
)
−1
⋅ At ⋅ q
expresión en la cual At ⋅ A ⋅ At = L (matriz pseudoinversa por la izquierda: ver Matriz Inversa
en el capítulo sobre Matrices y Determinantes)
48
Ejemplo:
Sea el sistema de ecuaciones lineales:
x + x = 1
1 2
x1 − x2 = 3 2
x1 + x2 = 1 2
por el aspecto las primera y última ecuaciones con primeros miembros iguales y segundos
miembros distintos, el sistema es incompatible.
Actividad: Analizar la compatibilidad mediante el cálculo de los rangos de las matrices
1 1
1
1 1
A = 1 − 1 y A′ = 1 − 1 3
2
1 1
1
1 1
2
Escribimos el sistema del ejemplo en notación matricial:
1
1
1
x1
1 − 1 ⋅ = 3 2
1
x2 1
1
2
1 1 1
premultiplicamos ambos miembros por
1 − 1 1
1
1
1
1 1
1 1 3
x1 1
1
⋅ 1 − 1 ⋅ =
⋅
x2 1 − 1 1 2
1 − 1 1 1
1
1
2
que operando nos conduce a:
3 1 x1 3
⋅ =
1 3 x2 0
Obtenido este sistema de ecuaciones, que por tener iguel número de
ecuaciones e incógnitas, resulta compatible determinado , el cálculo puede continuarse de las
siguientes maneras;
49
a) resolver por inversión de matrices.
3 1 x1 3
⋅ = que obtuvimos después de
Retomemos la ecuación matricial
1 3 x2 0
premultiplicar ambos miembros de la ecuación matricial del sistema por la matriz
1 1 1
y operar. Premultiplicando ahora ambos miembros por la inversa de la matriz
1
−
1
1
de los coeficientes obtenemos:
−1
−1
3 1 3 1 x1 3 1 3
⋅
⋅ =
⋅
1 3 1 3 x2 1 3 0
−1
x 3 1 3
⋅
I ⋅ 1 =
x2 1 3 0
x1 1 3 − 1 3
=
⋅
x2 8 − 1 .3 0
x1 9 8
=
x2 − 3 8
resultando x1 = 9
8
y x2 = − 3
8
b) resolver por eliminación Gaussiana o por la Regla de Cramer. (realizar la
actividad)
Forma práctica del cálculo.
Consiste en premultiplicar la matriz ampliada del sistema original
incompatible por su matriz traspuesta. Si a la matriz resultante del producto le
eliminamos la última fila, resulta la matriz ampliada del sistema de ecuaciones
normales, que puede resolverse por los métodos expuestos precedentemente.
Consideremos la matriz ampliada que corresponde a un sistema de
ecuaciones lineales incompatible de cuatro ecuaciones con tres incógnitas:
a1 b1
a b
A´= 2 2
a b
3 3
a b
4 4
c1
c2
c3
c4
q1
q2
q3
q4
vamos a premultiplicar (multiplicar desde la izquierda) por su matriz traspuesta:
50
a1 a2
b1 b2
c c
1 2
q q
1 2
a3
b3
c3
q3
a4 a1
b4 a2
⋅
c4 a3
q4 a4
b1
b2
b3
b4
c1
c2
c3
c4
q1
q2
=
q3
q4
[aa ]
[ba ]
[ca ]
[qa ]
[ab]
[bb]
[cb]
[qb]
[ac ]
[bc ]
[cc]
[qc ]
[aq ]
[bq ]
[cq ]
[qq ]
eliminando la última fila de la matriz producto obtenemos:
[aa ]
[ba ]
[ca ]
[ab] [ac] [aq ]
[bb] [bc] [bq]
[cb] [cc] [cq]
Para el ejemplo que venimos desarrollando, la matriz ampliada es:
1
1
1
1 − 1 3 ; premultiplicando por su matriz traspuesta:
2
1
1 1
2
1
1
1 1
3
1
1 3 1
1 − 1
1 ⋅ 1 − 1 3 = 1 3
0
2
3
1 1
1 2 0 14
1
1
2
2
4
2
eliminando la última fila de la matriz producto obtenida llegamos a:
3 1 3
1 3 0
esta matriz, es la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones compatible; solo resta
encontrar la solución por cualquiera de los métodos desarrollados.
51
Introducción a la Teoría de Grafos.
La isla Kueiphof en Konigsberg (Pomerania) está rodeada por un río que
se divide en dos brazos. Sobre estos brazos estaban construidos siete puentes, siendo para
los habitantes un motivo de distracción descubrir un itinerario de modo tal que pudieran
regresar desde cualquier punto al mismo punto después de haber cruzado por los siete
puentes pasando solo una vez por cada uno de ellos.
C
B
A
(isla
D
En 1736, el matemático alemán Leonard Euler (1707-1782) visitó la
ciudad y, para estudiar el problema, representó las distintas zonas A (isla Kueiphof), B, C y D
mediante puntos, mientras que a los puentes los simbolizó mediante líneas que unen dichos
puntos. A la figura la llamó grafo, a los puntos vértices o nodos y a las líneas les dio el
nombre de aristas.
C•
A•
•B
D•
El problema inicial se corresponde con el del esquema y consiste en
verificar si partiendo de uno cualquiera de los cuatro puntos (A,B,C,D) puede seguirse un
camino que pase por todas las aristas de una sola vez. Dicho de otra forma el problema
consiste en estudiar si la figura se puede dibujar de un solo trazo, sin levantar el lápiz del
papel y sin pasar dos veces por el mismo sitio.
52
Para que ello sea posible, el número de líneas que concurren a un punto
podrá ser impar a lo sumo en dos puntos de concurrencia, debiendo en los demás puntos
concurrir un número par de caminos y en nuestro caso todos los puntos tienen un número
impar de líneas que concurren a ellos, lo que nos indica que el problema no tiene solución.
En efecto; a la isla A llegan cinco puentes; a la parte B llegan 3 puentes;
a la orilla C llegan tres puentes y a la orilla D llegan tres.
Otros ejemplos:
a) los siguientes dibujos pueden construirse de un solo trazo:
b) estos dibujos no pueden construirse de un solo trazo:
Este estudio de Euler dio origen a la Teoría de Grafos, que se
emplea entre otros problemas en el estudio de los circuitos eléctricos, en los problemas de
transporte, etc...
Un grafo es, por ejemplo, el mapa de las carreteras de la República
Argentina, en el cual las ciudades están representadas mediante puntos (nodos) y los
caminos que los unen mediante líneas (aristas).
Otros ejemplos de tipo similar son
•
•
•
•
•
•
Kirchoff, en 1847 utilizó esquemas de este tipo al trabajar sobre circuitos
eléctricos
53
•
•
•
•
•
•
•
Cayley en 1857 estudió la enumeración de los isótopos del compuesto
orgánico CnH2n+2 usando un esquema en el que cada punto estaba
unido con una o cuatro líneas de acuerdo a la valencia de enlace.
•
Jordan, en 1869 estudió estructuras de árbol en forma abstracta
En épocas más recientes se planteó el problema de colorear mapas de
manera tal que países con frontera común, tuviesen colores diferentes.
Lo común en todos los casos planteados, es poder simbolizar un
determinado problema mediante un esquema de las características de los que hemos
descrito, llamado grafo, formado por puntos y líneas que los unen y estudiar soluciones al
problema mediante reflexiones realizadas sobre el gráfico asociado.
Teniendo en cuenta que problemas distintos pueden tener como
representación el mismo gráfico, un estudio sobre estos esquemas permite resolver múltiples
problemas a la vez.
La conformación de un grafo se reduce generalmente a plantear el
problema que se estudia utilizando un esquema simple.
En el trazado que realizamos no tienen importancia ni la forma, ni la
longitud de las líneas que unen los puntos ni las ubicaciones relativas de los mismos; solo
interesa visualizar las conexiones establecidas entre los puntos (nodos).
La Teoría de Grafos ha dado resultados importantes en distintos campos
de la actividad del hombre y, aplicada a problemas diversos ha demostrado importantes
ventajas sobre algunos procedimientos analíticos.
siguiente manera:
La idea gestacional de la Teoría de Grafos puede explicarse de la
54
Para analizar un determinado problema podemos trazar:
Puntos: para representar los elementos del conjunto que se estudia.
Líneas: para representar las relaciones que vinculan los elementos.
Este simple razonamiento es, sin duda, la causa que dio origen, en
diferentes disciplinas a similares esquemas que reciben distintos nombres; organigramas,
circuitos eléctricos, árboles genealógicos, hojas de ruta, etc,...
Resulta frecuente en la vida cotidiana establecer relaciones entre los
elementos de dos o más conjuntos, o bien, entre los elementos de un mismo conjunto.
Dar una relación R es fijar una cierta ley que permita decidir para cada
par de elementos a y b si a está relacionado con b o no. Escribimos aRb para indicar que
(a,b) ∈ R. Si por ejemplo R es la relación “a es hermano de b”, Juan R José o bien el par
(Juan, José) significan que Juan es hermano de José.
Representación de relaciones.
Sean los conjuntos: A = {1,2,3} B = {a,b,c,d} ; una cierta relación del
conjunto A con el conjunto B puede expresarse mediante un diagrama de Venn,
A
B
1
*
2
*
3
*
* a
* b
* c
* d
por una tabla de simple entrada (horizontal o vertical),
A 1 2 2 3 B b c d - a
A
B
1
2
2
b
c
d
3
-
a
mediante una tabla a doble entrada o matriz,
B
A
1
2
3
a
b
c
d
55
a
1 0
que también puede representarse utilizando unos y ceros: 2 0
3 0
b c d
1 0 0
0 1 1
0 0 0
o por un conjunto de pares ordenados
G = { (1,b); (2,c); (2,d)}
llamado GRÁFICA de la relación; esta gráfica puede representarse en coordenadas
cartesianas ortogonales:
B
d
G
c
b
Ax B
a
1
2
3
A
De lo expuesto podemos dar la siguiente Definición:
Se llama relación R de A en B a toda terna compuesta por un conjunto
A llamado "conjunto de partida", un conjunto B denominado "conjunto de llegada" y el
conjunto G llamado "gráfica" cuyos elementos son pares ordenados tales que su primera
componente pertenece al conjunto A y la segunda a B.
R = (A , B, G )
De la observación de la representación cartesiana puede inferirse que el
llamado producto cartesiano A x B es una GRÁFICA; la que corresponde a la relación más
completa que pueda definirse entre dos conjuntos, ya que todo elemento de A está
relacionado con cada uno de los elementos de B.
Por ello, podemos afirmar que la gráfica de toda relación R = (A,B,G)
es un subconjunto del producto cartesiano.
R = (A, B, G): G ⊂
A x B.
56
Estudiaremos ahora, como caso particular, las relaciones definidas en un
mismo conjunto; para el caso que nos interesa en la Teoría de Grafos un conjunto de
elementos vi que llamamos vértices
Dado el conjunto V = {v1; v2} podemos formar los siguientes pares
ordenados (v1,v1) ; (v1,v2) ; (v2,v1) ; (v2,v2). Si el número de elementos de V es n, podemos
formar n2 pares ordenados. Como hemos visto el conjunto de todos los pares ordenados
posibles, recibe el nombre de Producto Cartesiano VxV y corresponde a la relación más
completa que se puede establecer con los elementos de un conjunto ya que vincula a cada
elemento de V consigo mismo y con todos los demás elementos de dicho conjunto.
Si solamente algunos de los pares ordenados de VxV cumplen con una
determinada propiedad, dicha propiedad particiona el conjunto VxV en dos subconjuntos: el
de los pares ordenados que verifican la relación y el de aquellos que no la verifican.
Estos dos conjuntos reciben el nombre de Grafos de V.
Al igual que lo que sucede con las relaciones, un grafo puede
representarse mediante diagramas de Venn, diagramas cartesianos, utilizando tablas a simple
entrada, a doble entrada que llamamos matrices, pero la practicidad de la representación ha
hecho prevalente sobre estos grafismos la utilización del denominado diagrama sagital o
simplemente, grafo, que para nuestro ejemplo tiene el aspecto:
V1
V2
De una manera más simple y conceptual un grafo queda definido por un
conjunto de elementos vi pertenecientes a un conjunto V y una ley de correspondencia C entre
dichos elementos. En nuestro Grafo V = {v1,v2} y la ley de correspondencia C se expresa
C(v1) = (v1,v2)
C(v2) = (v1,v2)
Los grafos pueden ser orientados o no, según que lo sean o no sus
aristas; el grafo que hemos representado es orientado.
Veamos otro ejemplo:
V2
V5
V4
V1
V3
V7
V6
57
El conjunto de los vértices es V = {v1,v2, v3, v4, v5, v6, v7} y la ley de
correspondencia:
C(v1) = {v2, v3, v4}
C(v2) = {v4, v5}
C(v3) = {v4, v6}
C(v4) = {v5, v6, v7}
C(v5) = {v7}
C(v6) = {v7}
C(v7) = φ
Observemos que aunque existe conexión entre v4 y v3 estando el arco
orientado no se puede ir de v4 a v3. Del mismo modo, el nodo v7 está conectado con v4, v5 y v6
pero no se puede avanzar en contra de cada una de las flechas. Por esta razón a la ley de
correspondencia de v7 la designamos con φ (conjunto vacío).
Como puede entenderse con facilidad, resulta interesante dar vida real a
los nodos asociándolos con ciudades o establecimientos y a los arcos como símbolo de rutas
o carreteras.
Para un grafo orientado tal como el del ejemplo precedente resulta
interesante definir:
Camino: conjunto de dos o más arcos.
Circuito: camino cerrado.
Bucle: camino de un solo arco.
Longitud de un camino: es el número de arcos que lo componen.
Pueden ser simples, si no se repite ningún arco y compuestos cuando se
repite
algún arco. Se denominan elementales cuando no se repite ningún vértice y no
elementales, si se repite alguno.
V2
V1
V7
V6
V3
V4
V5
En el grafo de la figura anterior pueden verse:
Caminos (v1 – v4): Se dan a continuación algunos de los caminos posibles entre los nodos
v1 y v4.
V1 – v7 –v4
V1 – v2 – v3 – v4
V1 – v7 - v5 –v4
58
Actividad: escribir otros tres caminos entre los vértices v1 y v4.
Circuitos v1:
V1 – v7- v5 –v1
V1 – v6 – v5 –v1
Bucle v1: el bucle v1 – v1 es único.
Existen caminos y circuitos especiales, que por su interés, sobre todo en
los problemas de distribución mencionaremos:
Caminos hamiltonianos: son aquellos grafos al cual pertenecen todos los vértices del grafo,
una sola vez cada uno de ellos.
Circuitos hamiltonianos: son los caminos hamiltonianos cerrados.
Caminos eulerianos: son aquellos a los que pertenecen una sola vez todos los arcos del
grafo.
Circuitos eulerianos: son aquellos circuitos eulerianos que comienzan y terminan en el
mismo vértice.
En el grafo de la figura que sigue daremos algunos ejemplos sobre los
conceptos definidos:
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
V8
Camino simple elemental:
Camino simple no elemental:
v1 – v3 - v5 – v6 – v8 –v7
v1 – v3 - v6 – v4 – v3- v5 – v7
(no se repite ningún arco, pero se repite el vértice v3.)
Camino compuesto no elemental:
v1 – v3 – v5 – v6 – v4 – v3 – v5 – v7
(se repite el arco (v3 – v5) y los vértices v3 y v5.
Circuito simple elemental:
v2 – v4 – v3 – v2
59
Circuito simple no elementlal:
v1 –v3 – v5 – v6 – v4 – v3 – v2 – v1
(se repite el vértice v3 pero ningún arco)
Camino hamiltoniano:
v1 – v2 – v4 – v3 – v5 – v6 – v8 – v7
Ciruito hamiltoniano.
En este grafo no hay circuitos hamiltonianos.
Camino y Ciruito euleriano:
Este grafo no tiene ni caminos ni circuitos eulerianos.
Veamos ahora el grafo de la figura siguiente:
V1
V2
V3
V5
V4
V6
V7
V8
Circuito euleriano:
V1 – v3 – v4 – v5 – v7 – v8 – v6 – v3 – v2 – v1
Comprende todos los arcos del grafo una sola vez. Sin embargo no es
hamiltoniano porque se repite el vértice v4.
Subconjuntos de un grafo:
a) Subgrafo:
Si de todos los vértices de un grafo consideramos solamente algunos de
ellos con todos los arcos que le corresponden en el grafo original, definimos lo que se
denomina subgrafo. En otras palabras, un subgrafo tiene una parte de los vértices del grafo y
conserva todos los arcos que corresponden al grafo total.
Como ejemplo si el grafo total corresponde a la red carreteras de la
República Argentina, un subgrafo podría ser la red de carreteras de la Provincia de Buenos
Aires.
60
Para el grafo que corresponde a la siguiente figura (grafo total):
1
3
4
2
5
7
6
8
si queremos estudiar, por ejemplo una red de distribución de un producto entre los puntos 3,
4, 5, 6, 7 y 8, obtendremos el subgrafo de la figura siguiente:
7
3
5
4
6
8
b) Grafo parcial:
Cuando a partir de un grafo dado no varía el número de vértices, pero
acotamos la ley de correspondencia entre ellos, obtenemos un grafo parcial;
1
7
3
5
4
6
2
8
Si las
indican las carreteras provinciales y los
figura siguiente es un grafo parcial:
1
2
7
3
5
4
6
8
caminos municipales, la
61
Grado de un vértice:
Si se trata de un grafo no orientado, el grado de cada uno de sus
vértices es el número de arcos que llegan a él. En el grafo de la figura el grado de V1 es cuatro
y grado de v3 es tres. Se simboliza:
gv1) = 4
g(v3) = 3
V2
V1
V7
V6
V3
V4
V5
Si el grafo está orientado, deben definirse los conceptos de semigrado
interior y exterior.
Actividad: Obtener los grados de los vértices 1, 2, 3, 4, 5, y 6 del grafo de la figura anterior.
Semigraqdo interior es el número de arcos que inciden sobre un determinado vértice
Semigrado exterior es el número de arcos que salen de él.
V2
V1
V7
V6
V3
V4
V5
En este grafo el semigrado interior de v7 rd igual a uno y el semigrado
exterior del mismo vértice vale 3. Se simboliza:
gi(v7) = 1
ge(v7) = 3
Actividad: Obtener los semigrados interior y exterior de los restantes vértices del grafo de la
figura.
62
Número grado de un grafo:
Llamamos número grado de un grafo y lo simbolizamos g(G) el máximo
de los grados de sus vértices si el grafo es no orientado y la máxima suma de los semigrados
exterior e interior del mismo vértice, cuando está orientado; es decir: g(G) = max (ge(vi) +
gi(vi)).
Actividad: Obtener los números de grado de los vértices del grafo de la figura anterior.
Matrices de un grafo
a) Matriz booleana:
Es una matriz cuadrada cuyos elementos indican la existencia o no de
un arco al menos entre dos vértices cualesquiera de un grafo. Los elementos de la
matriz son ceros y unos. Un uno en la posición vij indica que existe conexión entre los
vértices i, j: Un cero en cualquier posición expresa la no existencia de conexión entre los
vértices correspondientes
Como el grafo de la figura anterior tiene siete vértices, se puede
construir la matriz booleana de orden 7:
V2
1
V1
V7
V6
V3
V4
V5
2
v1 0
v2 0
v3 0
v4 0
v5 1
v6 0
v7 0
3
4
5
6
7
1
0
0
0
0
0 0 0 1 0 0
0 1 1 1 0 0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
Las suma de los elementos de cada una de las filas y la suma de los
elementos de cada una de las columnas representan respectivamente los semigrados
exteriores e interiores de cada uno de los vértices.
63
1
2
3
4
5
6
7
1 0 0 0 1 1 2 g e (v1 )
0 1 0 0 0 0 1 g e (v2 )
g e (v3 )
0 0 1 0 0 0 1
g e (v4 )
0 0 0 0 0 0 0 = g (v )
e 5
0 0 1 0 0 0 2 g (v )
e 5
0 0 0 1 0 0 1 g (v )
e 6
0 1 1 1 0 0 3 g (v )
e 7
[1 1 2 3 2 1 1] = gi (vi )
v1 0
v2 0
v3 0
v4 0
v5 1
v6 0
v7 0
Si recordamos que el grado de un vértice es la suma de los semigrados
exterior e interior, podemos sumar el vector columna de los semigrados exteriores con el
vector traspuesto del vector fila de los semigrados interiores, resultando:
2 1 3 g (v1 )
1 1 2 g (v )
2
1 2 3 g (v3 )
0 + 3 = 3 = g (v4 )
2 2 4 g (v5 )
1 1 2 g (v6 )
3 1 4 g (v )
7
Sumando las componentes del vector de los semigrados exteriores o
bien del vector de los semigrados interiores computamos el número de arcos del grafo o, lo
que es aún más interesante, el número de caminos de longitud igual a la unidad:
2 + 1 + 2 + 0 + 2 + 1 + 3 = 11
1 + 1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 1 = 11
lo que significa que el grafo tiene 11 arcos o bien que los caminos de longitud uno son once.
Este sencillo cálculo sirve de comprobación de que la matriz booleana ha sido bien calculada.
64
Matriz asociada:
Tiene la misma estructura que la matriz booleana; la diferencia estriba
en que cada elemento de esta matriz indica el número de caminos existentes entre los
vértices vi y vj. En el caso del grafo que hemos analizado construyendo su matriz booleana, su
matriz asociada tiene exactamente el mismo aspecto.
Sean ahora nuestro grafo y su matriz asociada:
V1
V4
V3
V2
0
2
M = 0
0
0
1 0 1 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
1 0 1 1
V5
respecto de los semigrados exterior e interior de cada uno de los vértices, de los grados de los
vértices y de los caminos de longitud uno que se corresponden con el número de arcos,
escribimos:
g e (vi ) + gi (vi ) = g (vi )
2
2
4
3
2
5
1 + 1 = 2
1
4
5
3
1
4
∑ ge (vi ) + ∑ gi (vi ) = 10
es decir que el grafo tiene 10 arcos o, lo que es igual diez caminos de longitud uno.
Caminos de longitud dos o más:
Si queremos ahora encontrar el número de caminos formados por dos
arcos, es decir, el número de caminos de longitud dos, elevamos al cuadrado la matriz
asociada y realizar las mismas operaciones sumando los números de cada fila y de cada
columna.
65
0
2
2
M ⋅M = M = 0
0
0
0 0
0 2
0 ⋅ 0
0 0
1 0 1 1 0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0 2
0 0
0 = 0
0 0
1 0 1 1 2
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0 4
0 5
0 → 1
0 1
1 1 2 1 7
0
2
0
0
1
0
0
0
1
3
1
1
⊕↓
⊕↓
3 2 8 1] ⊕ [18]
Existen dieciocho caminos posibles de longitud dos en el grafo analizado.
[4
Si queremos obtener ahora el número de caminos de longitud igual a
y así sucesivamente para
tres, debemos efectuar la operación matricial M 3 = M 2 ⋅ M
caminos de orden de longitud mayor. (Volveremos sobre este tema con más detalles al
tratar las aplicaciones a la ciencia de la conducta).
Ordenamiento de un grafo:
Dejando para más adelante la justificación del ordenamiento de los
grafos en niveles, vamos a ejemplificar la operación utilizando dos metodos.
a) ordenamiento por el método de los semigrados exteriores:
Cuando hablamos de semigrados, estamos tratando implícitamente con grafos
ordenados. Estudiemos el siguiente grafo, del cual plantearemos su matriz booleana.
V2
V5
V4
V1
V6
V3
V8
V7
V9
66
v1
0
0
0
0
M = 0
0
0
0
0
v2
v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9
X0
1 1 0 0 0 0 0 0 2
0 0 1 1 0 0 0 0 2
0 0 1 0 0 1 0 1 3
0 0 0 0 0 1 0 0 1
0 0 1 0 1 0 0 0 = 2
0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 0 1
X1
X2
X3
X4
X5
2
2
2
0
2
1
X
0
1
2
1
1
X
1
0
X
X
0
2
1
0
X
0
X
X
X
X
1
0
X
X
X
X
X
X
X
0
X
X
X
X
X
X
X
X
Escrita la matriz booleana que corresponde al grafo calcularemos primero un vector columna
X 0 en el cual sus elementos son los semigrados exteriores de los vértices del grafo. Este
vector columna está escrito al lado de la matriz booleana M .Un cero ubicado en cualquier
posición de este vector columna nos está indicando que el vértice correspondiente tiene
semigrado exterior cero, o lo que es lo mismo hemos determinado que de ese vértice no sale
ningún arco., lo que significa que este vértice es el nudo final del arco.
Para el grafo que estamos estudiando se anula la séptima componente
de X 0 . Tenemos entonces que v7 es el nudo final del grafo y por sí solo constituye un nivel
que llamaremos nivel 0
El siguiente paso del ordenamiento consiste en formar otro vector X 1
que se obtiene restando al vector X 0 el o los vectores que pertenecen al nivel 0, en nuestro
ejemplo X 1 = X 0 − v7
2 0 2
2 0 2
3 1 2
1 1 0
X 1 = 2 − 0 = 2
1 0 1
0 0 X
1 1 0
1 9 1
Los vértices que estarán en el nivel 1 serán los correspondientes a las
posiciones nulas de X 1 : los vértices v4 y v8
67
Para el siguiente nivel haremos la operación: X 2 = X 1 − v4 − v8
2 0 0 2
2 1 0 1
2 1 0 1
X 0 0 X
X z = 2 − 1 − 0 = 1
1 1 0 0
X 0 0 X
X 0 0 X
1 0 1 0
del último cálculo deducimos que los vértices que conforman el nivel 2 son v6 y v9
Actividad: con razonamiento análogo,, demostrar que se verifica:
1 2 3 4 5
V4 V6 V3
VÉRTICES v7
V2 V1
v8 V9 V5
NIVEL
0
La ordenación en niveles del grafo estudiado es la siguiente:
v5
v1
v6
v4
v2
v7
v
v3
v9
v8
68
Algunas aplicaciones importantes de Matrices y Grafos:
Como hemos visto hasta ahora, hemos concebido un grafo como un
conjunto de vértices y una ley de correspondencia para cada uno de ellos que indica como
está relacionado cada elemento del conjunto que se estudia con cada uno de los restantes
elementos.
Podemos agregar, a los efectos de estudiar diversos problemas otra
información sobre los arcos; dicha información está directamente relacionada con el “valor”
que podemos asignar a cada uno de los mismos.
Supongamos que dos ciudades cualesquira A y B están relacionadas
entre sí mediante tres rutas:
50
A
40
B
60
Si asignamos un valor a cada uno de los arcos, podemos decir, por
ejemplo que los caminos que unen las ciudades A y B tienen 50, 40 y 60 Kilómetros
respectivamente. En este supuesto el valor de cada uno de los arcos indica el valor de la
variable distancia. Pero podrían interesarnos otras variables distintas, como ser el tiempo que
se tarda en recorrer cada camino o el costo del peaje de cada una de las carreteras.
Cuando se trata de la variable tiempo, debe tenerse en cuenta que dicha
variable no es necesariamente proporcional a la longitud del camino ya que depende, entre
otros parámetros del tipo y estado de cada una de las rutas. Estas consideraciones deberán
tenerse en cuenta al momento de elegir las variables que intervienen en el grafo; de este
modo, a partir de las variables que se elijan deberemos optimizar unas u otras.
Habrá ocasiones, como veremos, en las que lo que más interesa es el
costo del transporte, expresándose el costo en unidades monetarias (u.m) por kilómetro
recorrido.
Supongamos ahora que una fábrica elabora productos para lo cual
deben efectuarse un cierto número de operaciones; cada operación necesita emplear un
cierto tiempo y algunas operaciones deben ser terminadas antes de comenzar otras. El
problema consiste en elaborar un plan de trabajo que permita elaborar el producto en el
menor tiempo posible. Una manera de resolver este problema consiste en construir un grafo
en el cual cada una de las operaciones estará representada por un punto y en cada punto un
número que indicará el tiempo que demanda la operación. Las secuencias en que se
realizarán las operaciones deberán indicarse mediante flechas.
Para determinar un plan óptimo deberá explorarse metodológicamente el
grafo construido con el objeto de determinar un camino crítico que ejecute todo el proceso
en el menor tiempo posible.
69
Todo esto conduce al tratamiento de las componentes del grafo de una
forma u otra según sean las variables a optimizar; la solución se obtiene en cada uno de los
casos mediante distintos modelos de gestión que adquieren denominaciones típicas.
Veamos algunos modelos:
Aplicación a Problemas de la Ciencia de la Conducta:
Las matrices que tienen como elementos solamente ceros y unos
resultan de suma utilidad en el análisis de gráficas y de redes.
Una red de comunicación consiste en un conjunto de personas A1, A2,
A3, etc... tales que entre algunos pares de esas personas existe posibilidad de comunicación.
La comunicación entre dos elementos cualesquiera del conjunto puede
establecerse en un sentido o en ambos. Por ej. la comunicación en dos sentidos podría
efectivizarse mediante el uso de teléfono o radio, mientras que una comunicación
en un sentido es, por ejemplo, la que utiliza una señal luminosa, una paloma mensajera, una
señal de humo o acústica.
Utilizaremos el símbolo >> para indicar una conexión; Ai>>Aj significa
que el individuo Ai puede comunicarse con Aj (en ese sentido). El único requisito que debe
establecerse es: “Es falso que Ai >> Ai para todo i, esto es, un individuo no puede (o no
necesita) comunicarse consigo mismo.
Una determinada red de comunicación queda expresada mediante un
grafo (también denominado diagrama sagital), en el cual los individuos están representados
por puntos A1, A2, etc... y las vinculaciones mediante segmentos dirigidos (el sentido de la
dirección está representado mediante flechas); por ejemplo:
A3
A2
A1
A4
El diagrama precedente puede representarse de manera práctica mediante una matriz
cuadrada cuyos elementos son ceros y unos:
70
0
1
D=
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
en esta matriz los elementos de la fila 1 representan respectivamente las comunicaciones
entre A1 y todos los individuos que intervienen en la red de comunicación; el 1 de la primera
fila ubicado en la posición d12 nos indica que
A1>>A2 (A1 se comunica con A2)
La condición “Es falso que Ai >> Ai se manifiesta en la matriz por el
hecho de que los elementos de la diagonal principal (que tienen subíndices iguales) son
todos nulos.
Otro ejemplo es el que corresponde a una relación de dominancia: es
ésta una clase especial de relación de comunicación en el cual además de la propiedad ya
vista:
1) Es falso Ai >> Ai, (es falso que Ai se domine a sí mismo), vale:
2) Para cada par i,j con i ≠ j, Ai >> Aj ó Aj >> Ai , pero no ambas a la vez; dicho en
palabras: para cada par de individuos existe exactamente uno que es
dominante.
3) Si Ai >> Aj y Aj >> Ak no vale necesariamente Ai >> Ak (no se verifica la
propiedad transitiva de las relaciones).
Este tipo de relación se verifica en la competencia por equipos en el
caso en que no se admitan empates.
Las relaciones de dominancia suelen describirse utilizando grafos
dirigidos (con flechas) o bien mediante matrices. Por ejemplo:
A3
A1
A3
A2
A1
A2
⇓
⇓
A1 >> A2
A2 >> A3
A3 >> A1
A1 >> A2
A1 >> A3
A2>> A3
71
0 1 0
D = 0 0 1
1 0 0
0 1 1
D = 0 0 1
0 0 0
Puesto que tanto la matriz de comunicación como la de dominancia son cuadradas, podemos
computar sus potencias C2, C3, etc...
Haciendo CxC = C2 = E = (eij)
c11 c12
c21 c22
...
...
ci1 ci 2
...
...
cn1 cn 2
... c1 j
... c2 j
... ...
...
cij
...
...
... cnj
... c1n c11 c12
... c2 n c21 c22
... ... ...
...
⋅
... cin ci1 ci 2
... ... ...
...
... cnn cn1 cn 2
... c1 j
... c2 j
... ...
...
cij
...
...
... cnj
... c1n
... c2 n
... ...
... cin
... ...
... cnn
el elemento genérico del producto eij se obtiene multiplicando la fila i por la columna j ,
resultando :
eij = ci1 c1j + ci2 c2j + ...........+cik ckj....................+ cin cnj
Un término del segundo miembro de la expresión anterior (por ejemplo el
genérico de la forma cik ckj) puede ser no nulo sólo si ambos factores son no nulos, o lo que es
lo mismo si ambos factores son iguales a uno.
Cuando se da esta situación, por ejemplo:
Cik = 1 ⇒ Ai >> Ak y Ckj = 1 ⇒ Ak >> Aj
como se dan simultáneamente ambas situaciones:
Ai >> Ak >> Aj
que implica una dominancia establecida en dos etapas entre Ai y Aj
Ejemplo:
Sea una relación de dominancia establecida entre cuatro individuos,
expresada mediante la matriz
0 1 1 1
0 0 1 1
C=
0 0 0 1
0 0 0 0
72
0
0
2
hacemos C = .
0
0
1 1 1 0
0 1 1 0
⋅
0 0 1 0
0 0 0 0
1 1 1
0 0
0 1 1
0 0
=
E
=
0 0
0 0 1
0 0
0 0 0
1 2
0 1
0 0
0 0
Obtenida la matriz producto analizamos el 2 situado en el ángulo
superior derecho (elemento e14)
2 = e14 = c11 c14 + c12 c24 + c13 c34 + c14 c44
e14 = 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0
⇓
⇓
A1>>A2>>A4 ∧ A1>>A3>>A4
En el grafo que corresponde al caso estudiado, pueden visualizarse las
relaciones de segundo orden
A4
A1
A3
A2
se leen en el grafo las siguientes relaciones de primer orden :
A1 >> A2; A1 >> A3; A1 >> A4; A2 >> A3; A2 >> A4; A3 >> A4
y las que se detallan de segundo orden:
A1 >> A2 >> A3 ; A1 >> A2 >> A4 ; A1 >> A3 >> A4 ; A2 >>A3 >> A4
Sean ahora los siguientes diagramas sagitales y sus correspondientes
matrices:
A1 0
A2 1
C3 =
A3 0
A4 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
A3
A1
A2
A4
73
A1 A2 A3 A4
A1 0 1 0 0
A2 1 0 0 0
C4 =
A3 0 1 0 0
A4 0 1 0 0
A3
A1
A2
A4
En estos casos particulares, donde existe comunicación recíproca entre
individuos (A1 >>A2 y A2 >> A1) no se cumple la condición que aij = 1 aji = 0 como se puede
ver, con los elementos recíprocos.
a12 = 1 y a21 = 1
Siendo las matrices de comunicación cuadradas, podemos calcular efectuando el producto de
las mismas, las potencias sucesivas, es decir C2, C3, etc.
Por ejemplo, si efectuamos el producto de C3 por si misma, resulta:
A1 A2 A3 A4
A1 0 1 0 0
A2 1 0 1 0
A3 0 0 0 1
A4 0 1 0 0
A1 A2 A3 A4
A1 0 1 0 0
A2 1 0 1 0
=
A3 0 0 0 1
A4 0 1 0 0
x
1
0
2
C3 = E =
0
1
siendo eij =
0 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 0
4
∑ aik ⋅ akj
k =1
e11 = c11c11 + c12c21 + c13c31 + c14c41
teniendo en cuenta la definición del producto de matrices.
Un término de la forma cik⋅ckj solamente puede ser distinto de cero, como
ya hemos expresado, si ambos factores son distintos de ceros, es decir, si ambos factores son
iguales a la unidad.
74
Si resulta que cik = 1 esto significa que Ai tiene comunicación con Ak es
decir (Ai >> Ak). Si además ckj = 1 significa que Ak tiene comunicación con Aj, es decir, (Ak >>
Aj); resultando en consecuencia Ai >> Ak >> Aj, relación de COMUNICACIÓN que se
denomina:
RELACIÓN DE COMUNICACIÓN EN DOS ETAPAS O DE SEGUNDO ORDEN.
El número resultante del cálculo de eij expresa el número de relaciones
de COMUNICACIÓN EN DOS ETAPAS O DE SEGUNDO ORDEN, lo cual significa que el
individuo Ai se comunica con el individuo Aj de una o más maneras distintas.
En el ejemplo dado, por ser c11 = 1 indica que A1 puede comunicarse consigo mismo en dos
etapas, que se identifican:
A1 >> A2 >>A1
Por ser c13 = 1 indica que A1 se comunica con A3 en dos etapas: esta relación se escribe:
A1 >> A2 >> A3
De la misma manera por ser c22 = 1 nos indica que A2 tiene una relación de comunicación
consigo mismo, de segundo orden, es decir:
A2 >> A1 >> A2
Para
c32 = 1
resulta:
A3 >> A4 >> A2
Para
c41 = 1
resulta:
A4 >> A2 >> A1
Para
c43 = 1
resulta:
A4 >> A2 >> A3
De esta manera, todas las relaciones de comunicación de segundo
orden, puede explicitarse desarrollando el correspondiente elemento de la matriz C32 = E o
bien observando grafo o diagrama sagital correspondiente.
El cubo de la matriz C33 = C32 x C13 nos puede suministrar la información
de tercer orden o tercer grado, de una manera completamente análoga a lo que nos
suministra C32 en las comunicaciones de segundo orden.
Así siguiendo, podríamos calcular las potencias C34, C35, ... etc. de una
matriz, para obtener información sobre comunicaciones indirectas entre los individuos de los
grupos que se estudian.
Si en lugar de utilizar la relación “SE COMUNICA CON” entre los
individuos, ponemos como relación la expresión “ELIGE” la matriz obtenida se llamará
MATRIZ DE ELECCIÓN, mientras que si utilizamos la relación “DOMINA” obtendríamos un
estudio de MATRICES DE DOMINANCIA, etc.
75
Ejemplo: Efectuar el siguiente análisis en el diagrama de flechas y hallar las comunicaciones
de segundo orden.
A4
A1 A2 A3 A4
A1 0 1 1 1
A2 1 0 1 1
A=
A1
A3
A3 1 1 0 1
A4 0 1 0 0
A2
0 1 1 1 0 1 1 1
2 2 1 2
1 3 1 2
2 1 0 1 1 1 0 1 1
AxA = A =
⋅
=C =
1 1 0 1 1 1 0 1
1 2 2 2
0 1 0 0 0 1 0 0
1 0 1 1
c11 dos comunicaciones de segundo orden:
A1 >> A2 >> A1
A1 >> A3 >> A1
c12 dos comunicaciones de segundo orden:
A1 >> A3 >> A2
A1 >> A4 >> A2
c13 una comunicación de segundo orden: A1 >> A2 >> A3
c14 una comunicación de segundo orden: A1 >> A2 >> A4
c21 una comunicación de segundo orden: A2 >> A3 >> A1
c22 tres comunicaciones : A2 >> A1 >> A2
A3 >> A2 >> A1
A2 >> A4 >> A2
c23 una comunicación:
A2 >> A1 >> A3
c24 dos comunicaciones: A2>> A1 >> A4
Actividad: escribir las restantes comunicaciones de segundo orden
76
Ejercicio : Dados los siguientes grafos, armar las matrices correspondientes y estudiar las
comunicaciones de 1ro y 2do orden.
A2
A3
A1
A
A1
A2
A3
A4
EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE
Recibe este nombre debido a que muchas de sus aplicaciones se
refieren a la manera óptima de transportar bienes.
Sin embargo, algunas de sus aplicaciones importantes como la
programación de la producción, de hecho nada tiene que ver con el transporte.
Las aplicaciones del problema del transporte requieren, como veremos,
un número muy grande de restricciones y variables, de manera tal que una aplicación en
computadora de los métodos tradicionales de la llamada programación lineal (particularmente
el Método Simplex) puede conducir a un esfuerzo computacional muy grande.
Como resultado de este problema se han desarrollado otros algoritmos
con gran ahorro de tiempo en la resolución.
Importantes ahorros en costos se han logrado a través de una adecuada
elección de la ruta de envío de mercaderías desde los puntos de existencia de la misma hasta
los puntos de demanda.
Meta y restricciones de un modelo de transporte.
La meta de un modelo de transporte es minimizar el costo total de envío
de un producto (o productos) desde los puntos de oferta (orígenes) hasta los puntos de
demanda (destinos) bajo las siguientes restricciones:
1. Cada punto de demanda recibe su requerimiento
2. Las salidas desde un origen no exceden su capacidad disponible.
77
Formulación de un modelo de transporte.
Consideremos una red de distribución de un producto con dos puntos de
suministro (orígenes) y tres puntos de demanda (destinos)
D1
$2
O1
(10)
(10)
$4
D2
$6
(5)
$3
$6
O2
(15)
D3
$9
(10)
Como el total de las disponibilidades
10 +15 = 25 es igual a la suma
de las demandas 10 + 15 + 10 = 25 decimos que el problema de transporte que hemos
planteado está equilibrado o balanceado.
En cada una de las ramas (flechas) está indicado el costo unitario de
envío del producto; para enviar una unidad desde O1 hasta D1 se requieren $ 2. La
información puede resumirse en la siguiente tabla que tiene las características de una matriz:
O1
O2
Requerimientos
D1
2
3
10
D2
4
6
5
D3
6
9
10
Disponibilidad
10
15
Total = 25
Para indicar el número de unidades a transportar del origen i al destino j
escribimos xij.
El objetivo es minimizar el costo total de envío sujeto a las restricciones
de disponibilidad y de requerimientos, o sea:
Minimizar:
sujeta a:
Z = 2x11 + 4x12 + 6x13 + 3x21 + 6x22 + 9x23
x11 + x12 + x13
x11
x12
x13
con xij ≥ 0
x21 + x22 + x23
+ x21
+ x22
+ x23
(I = 1,2,3)
= 10
= 15
= 10
= 5
= 10
(0)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
78
Las restricciones (1) y (2) son de disponibilidad, mientras que (3), (4) y
(5) son restricciones de requerimiento o de demanda.
Consideremos ahora el caso en que la oferta es superior a la demanda
para los mismos orígenes y destinos con idénticos costos unitarios y con la siguiente tabla:
O1
O2
Requerimientos
D1
2
3
10
D2
4
6
5
D3
6
9
10
Disponibilidad
15
15
25
30
Para construir un modelo equilibrado (oferta = demanda) creamos un
punto de demanda ficticio, con una cantidad requerida igual a la diferencia entre la oferta y la
demanda (en nuestro caso, 5 unidades)
O1
O2
Requerimientos
D1
2
3
10
D2
4
6
5
D3
6
9
10
Df
0
0
5
Disponibilidad
15
15
30
Los costos asociados a la columna ficticia Df son nulos y su tratamiento
resulta igual que si fuera un punto de demanda más. Veremos más adelante otra manera de
estimar los costos para la demanda ficticia.
Las variables que corresponden a las celdas de la demanda ficticia (en
nuestro caso x14 y x24) son variables ficticias y representan la cantidad de producto en los
puntos de suministro O1 y O2 que no es enviada, es decir la cantidad de producto que estará
almacenada en O1 y O2.
Cuando la demanda excede al suministro
O1
O2
Requerimientos
D1
2
3
10
D2
4
6
10
D3
6
9
10
Disponibilidad
10
15
30
25
creamos un origen ficticio Of , resultando el modelo equilibrado de la siguiente tabla
79
O1
O2
Of
Requerimientos
D1
2
3
0
10
D2
4
6
0
10
D3
6
9
0
10
Disponibilidad
10
15
5
Total: 30
aparecerán ahora las variables ficticias xf1; xf2 y xf3 que representan la cantidad de
requerimientos en los puntos de demanda que no es satisfecha.
Una suposición básica para la resolución del problema del transporte es
que el costo de distribución del origen i al destino j es directamente proporcional al número de
unidades distribuidas.
Si Z es el costo total de distribución y xij (i=1,2,3,.....m y j = 1,2,3...n) es
el número de unidades que se transportarán desde el origen i al destino j, la formulación de
programación lineal para el problema general es:
Minimizar
m n
Z = ∑ ∑ cij ⋅ xij
i =1 j =1
Sujeta a:
n
∑ xij ≤ Oi
i =1, 2,3,......m
j =1
m
∑ xij ≥ di
j =1,2,3....n
i =1
xij ≥ 0
∀i ; ∀j
El primer conjunto de restricciones nos dice que la suma de los envíos
desde un origen no puede ser mayor que su oferta; el segundo conjunto de restricciones
requiere que la suma de los envíos a un destino satisfaga al menos su demanda.
El modelo que hemos descrito en el ejemplo precedente es un caso
particular en el cual la oferta es igual a la demanda; por dicha razón en el desarrollo del
mismo en lugar de inecuaciones se ha planteado el sistema de las restricciones como un
conjunto de ecuaciones. La solución puede obtenerse en este caso, incluyendo variables
artificiales, mientras que en los problemas no equilibrados deberán introducirse previamente
variables ficticias que funcionan del mismo modo que las variables de holgura.
80
En los casos que deben resolverse para el mundo real, no siempre es
cierto que la oferta sea igual a la demanda. Sin embargo, como hemos visto, un modelo de
transporte siempre puede equilibrarse
Ejemplos:
a) Modelo de transporte Standard:
Una fábrica de automóviles tiene plantas productoras en tres ciudades
(orígenes O1, O2 y O3) y centros de distribución ubicados en los que llamamos puestos de
demanda (D1 y D2).
Las capacidades mensuales de las tres plantas son 1000, 1500 y 1200
automóviles, mientas que las demandas son respectivamente 2300 y 1400 unidades.
El costo del transporte de un automóvil por tren es de 8 centavos por
kilómetro. El diagrama de la distancia recorrida entre las plantas y los centros de distribución
es el siguiente:
D1
D2
O1
1000
2690
O2
1250
1350
O3
1275
850
que se traduce en el siguiente cuadro de costos:
D1
D2
O1
80
215
O2
100
108
O3
102
68
Siendo que la oferta iguala a la demanda, nuestro problema está
equilibrado, resultando la matriz que representa el problema:
D1
O1
O2
O3
Requerim.
D2
80
x11
x21
x31
2300
100
102
x12
x22
x32
1400
Disponibilidd
215
1000
108
1500
68
1200
3700
81
y el problema puede expresarse mediante restricciones de igualdad y consiste en:
Minimizar:
Z = 80x11 + 215x12 + 100x21 + 108x22 + 102x31 +168x32
(0)
sujeta a:
x11 + x12
x11
x21 + x22
+ x21
x12
+ x22
= 1000
= 1500
x31 + x32 = 1200
+ x31
= 2300
+x32 = 1200
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
con xij ≥ 0
Ejercicio: Supongamos que no queremos enviar ningún automóvil de O2 a D1. Cómo se
puede incorporar esa condición?
Respuesta: asignar un costo de transporte muy elevado, M, a la ruta. Consiste en una
penalización.
Supongamos ahora que la capacidad de producción de O2 es de 1300
automóviles en lugar de 1500. La situación se ha desequilibrado debido a que la oferta (3500)
no es igual a la demanda (3700). Resulta entonces que no será posible cubrir toda la
demanda. Nuestro objetivo es ahora reformular el problema restituyendo el equilibrio perdido.
Como la demanda es mayor que la oferta, agregamos un origen ficticio que designamos Of
con una "capacidad de producción" de 200 autos.
Físicamente, la cantidad enviada a un destino desde un origen ficticio,
representaría la cantidad faltante en dicho destino.
Para completar el modelo tenemos en cuenta que, como el origen ficticio
no existe, no habrá ningún envío físico y el costo unitario correspondiente será cero. Sin
embargo, podemos enfocar la situación desde otro punto de vista diciendo que se incurre en
un costo de penalización por cada unidad de demanda insatisfecha. En este caso los costos
de transporte unitarios serán iguales a los costos de penalización unitarios en los diversos
destinos.
82
El modelo resulta:
D1
D2
80
O1
x11
O2
x21
O3
x31
Of
Requerim.
100
102
x12
x22
x32
0
2300
Disponibilidd
215
1000
108
1300
68
1200
0
200
1400
3700
De similar manera, si la oferta es mayor que la demanda, podemos agregar un destino ficticio
Df que absorberá la diferencia. Si por ejemplo, D1 disminuye su demanda a 1900 vehículos
D1
O1
O2
O3
Requerim.
D2
80
x11
215
x12
100
x21
x31
1900
Df
102
108
x22
x32
1400
68
Disponibilidd
0
x1f
x2f
x3f
400
1000
0
1500
0
1200
3700
"cualquier auto enviado a Df representa una cantidad excedente en la planta y en ese caso, el
costo de transporte unitario será igual al de almacenamiento unitario.
Ejercicio:
1) Será necesario agregar un origen ficticio y un destino ficticio para producir un modelo de
transporte equilibrado? Rta: NO.
2) Supongamos que los costos de penalización por cada automóvil no recibido en D1 y D2
son $ 200 y $ 260. Cambiar el modelo de modo que incluya esta información.
Rta: el costo unitario deberá ser $ 200 y $ 260 respectivamente en lugar de cero.
3) Interpretar la solución en el modelo con Of si el número de automóviles enviados de Of a
D1 y D2 son 150 y 50 respectivamente. Rta: órdenes faltantes en D1 y D2 son 150 y 50
respectivamente.
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4) Supongamos que en el modelo con Df la planta O2 debe enviar toda su producción (1500
autos) ¿cómo podemos implantar esta restricción? Rta: asignar un valor muy elevado (M)
a la ruta O2Df.
5) En el caso siguiente indicar si se debe agregar Of o Df
O1 = 10 ; O2 = 5 ; O3 = 4 ; O4 = 6
D1 = 10 ; D2 = 5 ; D3 = 7 ; D4 = 9
La aplicación del modelo de transporte no se limita al "problema del
transporte de mercaderías" entre orígenes y destinos. Como hemos dicho al principio de estas
notas, una aplicación importante es la programación de la producción, que veremos a
continuación.
1) Dibujar un grafo que corresponda a la siguiente matriz de comunicación:
0 0 1 0
1 0 0 1
C =
0 1 0 1
1 1 1 0
2) Si queremos conectar seis barrios con el menor número de caminos posibles, ¿cuántos
hacen falta?. ¿Y si queremos conectarlos en forma máxima?.
3) Escribir la matriz de comunicación para el siguiente grafo y estudiar las comunicaciones
de segundo y de tercer orden.
A
B
C
5
8
7
3
E
7
4
F
D
Aplicación al Urbanismo: ubicación óptima de un Centro de Salud.
4) El grafo del problema anterior representa la ubicación de seis barrios de una ciudad
entre los cuales se pretende ubicar la posición de un Centro de Salud de manera
óptima. Los números que se han colocado sobre los arcos indican la longitud de cada
camino. Un primer estudio técnico ha decidido que el Centro de Salud se ubicará en
aquel barrio que verifique la condición de que la máxima distancia recorrida por uno de
sus vecinos para llegar a los otros barrios sea la mínima posible.
4.a) Escribir la matriz que simbolice las distancias mínimas para ir de un barrio a otro y
decidir por su observación el barrio en que se instalará el Centro de Salud.
4.b) Cuales son los barrios que están mejor comunicados?
4.c) Si se deseara que todos los barrios estén conectados directamente mediante
caminos, cuántos caminos nuevos deberán construirse?
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4,d) Si se espera que, en promedio, una ambulancia del Centro de Salud debería
realizar dos auxilios diarios a cada barrio, cuántos litros de combustible habrá que
comprar para los próximos treinta días si el consumo es de un litro cada 12
kilómetros?.
![[b]COMUNICACION A 4458 22/12/2005](http://s2.studylib.es/store/data/002780163_1-5ae174279cd785ca2d9644a7d1334a68-300x300.png)
![[b]COMUNICACION A 4445. 23/11/2005](http://s2.studylib.es/store/data/002386278_1-932efd3b73c8fa4c283214c63cd11a22-300x300.png)
