E nte ndiendo la a utoinducta ncia J.L.Jim ¶ e ne z1 ,N .A q uino 2 e I.C a m p os3 De p to.de F¶ ³sica,Faculta dde C ienciasUN A M,e n a n~ o sa b¶ a tico de UA M-I, 2 3 De p to.de F¶ ³sica ,UA M-I, De p to.de F¶ ³sica ,Fa cultadde C ienciasUN A M 1 R e ci bi d o : 13 de e ne r o de 2 006 . A ce p ta d o : 2 7 de a br ilde 2 006 . do a lg¶ u n \tr uco " adhoc p a r a e ste p r oblem a ,p e r o no discute n e lo r ige n delp r o blem a m ism o,lo cua l e n ge ne r a lco nfunde a le studiante .N ue str o p r o p ¶ o sito e n e ste tr a ba jo e sdiscutir uno de dicho se je m p lo s: e lc¶ a lculo de la a utoinducta ncia de un ca ble co a xial,y m ostr a r q ue se p ue den e vita r confusione ssi se ge ne r a liza cor r e cta m e nte e lconce p to de e slabona m iento de °ujo y p or lo ta nto e lde co e ¯ciente de a uto inducci¶ o n. R e sum e n E lcono cim iento cient¶ ³¯co se ca r a cte r iza p o r su e str uctur a ci¶ o n conce p tua l,q ue p o dr¶ ³a m os visua liza r com o una r e dq ue r e laciona losconce p tose ntre s¶ ³a tr av¶ e sde leye s.E n e lectr o m a gne tism o te ne m oslos conce p tosde inducta ncia m utua y a uto inducta ncia, q ue se r e laciona n co n losconce p tosde e ne r g¶ ³a y densidadde e ne r g¶ ³a ,a s¶ ³co m o con lo sconce p to sde °ujo m a gn¶ e tico y e slabona m iento de °ujo (°ux linkage ).E n e lp r e se nte tra ba jo se a na liza la a uto inducta ncia p o r unida dde longitudde un ca ble co a xial, q ue a lse r ca lcula da m e diante e lconce p to de densidadde e ne r g¶ ³a da un r e sulta do y a lse r ca lculada m e diante e lco nce p to de e sla bona m iento de °ujo da un r e sulta do dife r e nte ,si¶ e ste se a p lica e n fo r m a ina p r op iada. La i nd ucta nci a y l a a uto i nd ucta nci a Usua lm e nte se intr o duce e lconce p to de inducta ncia com o e lco e ¯ciente q ue r e la ciona a la cor r iente co n e l°ujo delca m p o m a gn¶ e tico.Sise tiene n doscircuito sC 1 y C 2 (¯gur a 1)y r e p r e se nta m o sp or S 1 y S 2 lassup e r ¯ciesq ue e ncier r a n dicho scircuitos,e nto nce s,sie n e lcircuito C 1 hay una co r r iente I 1,e ste circuito p r o duce un ca m p o m a gn¶ e tico B~1,p a r te delcua la tr aviesa e lcircuito C 2 ,e sta bleciendo e l°ujo m a gn¶ e tico Sin e m ba r go,a ltom a r e n cue nta q ue un ca ble de r a dio ¯nito debe se r co nsider a do co m o un n¶ u m e r o in¯nito de ca bles ¯lifor m e s,r e q uiriendo a s¶ ³la ge ne r a liza ci¶ o n delconce p to de e slabona m iento de °ujo , se e ncue ntr a q ue e lr e sulta do co incide con e lo bte nido m e diante la densidadde e ne r g¶ ³a . ©12 = Z S2 B~1 ¢dS~2 (1) De la ley de B iot{Sava r tse tiene q ue e lca m p o B~1 e sdire cta m e nte p r o p o r ciona la I 1,p o r lo q ue Intro d ucci on ¶ Losconce p tosde inducta ncia m utua y a uto inducta ncia [1-3]so n funda m e nta lese n la p r e p a r a ci¶ o n de f¶ ³sicose inge nier o sq ue r e q uier a n delco no cim iento de la te or¶ ³a e lectr om a gn¶ e tica .E sosco nce p to sse intr oduce n desde loscur sosb¶ a sicosde e lectr o m a gne tism o y a p a r e ce n e n to doslo ste xto sdelte m a ,desde inte r m e diosha sta ava nza dos.La se xp r e sione sinvo lucr a dase n la sde¯nicione sso n e xa cta m e nte la sm ism a s; sin e m ba r go ,una de la se xp r e sione sco n la q ue se de¯ne la a uto inducta ncia no siem p r e e s a p lica ble dire cta m e nte .E sta de¯nici¶ o n e sla q ue invo lucr a e lconce p to de e slabo na m iento de °ujo (°ux linkage ).E n a lgunosde lose sca soste xto se n lo sq ue se ilustr a a lg¶ u n e je m p lo de e ste tip o ,lo sa utor e sse dedica n p or lo r e gula r a r e so lve r e lp r o blem a e m p lea n- ©12 = L 0 12 I 1 (2 ) La \0" indica q ue e lcircuito consta de una so la vue lta de cor r iente ¯lifor m e .Sie lcircuito C 2 tiene N vue lta se sla bo na da sp o r e lm ism o °ujo m a gn¶ e tico ,e ntonce se sconve niente intr o ducir ¤12 ,e le sla bona m iento o e nlace de °ujo ¤12 = N ©12 (3) E n e ste ca so se de¯ne la inducta ncia m utua com o L 12 = 59 ¤12 I1 (4) 60 C o nta cto S 6 4 ,59 {6 3 (2 007 ) La a uto inducta ncia delcircuito C 1 se de¯ne com o e le sla bona m iento o e nla ce de °ujo p or unidadde cor r iente sobr e e lm ism o circuito ,e sto e s L 11 = ¤11 I1 ¹0rI ^ Á; 0 ·r·a; 2 ¼a2 ¹0I ^ Á; a·r·b; 2 ¼r B~ 1 = B~ = 2 (5) (10) do nde Á^ e se lve cto r unita r io a so ciado a la co o r dena da p ola r Á do nde ¤11 = N 1©11 = N 1 Z S1 B~¢dS~1 (6 ) A diciona lm e nte se intro duce e lconce p to de e ne r g¶ ³a m a gn¶ e tica y se dem ue str a q ue p a r a N circuito s N UB = N 1X X L ijI iI j 2 i=1 j=1 (7 ) E n p a r ticular ,p a r a un solo circuito , UB = M¶ e to d o I (e r r ¶ o ne o ) Inge nua y e r r ¶ o ne a m e nte ,lo p r im e r o q ue se o cur r e e s ca lcular dire cta m e nte e l°ujo © y lue go dividir e ntr e la co r r iente p a r a obte ne r L ,co m o cua ndo hay un solo ca ble involucr a do.V e a m osa d¶ o nde no sco nduce e sto .E l°ujo p or unidadde lo ngitude st¶ a dado p or 1 2 LI 2 (8) ©= 2UB I2 a 0 B~ d~ r+ 1¢ Z b a B~ d~ r 2 ¢ (11) do nde d~ r e sla dife r e ncialde sup e r ¯cie p o r unida d de longitud, d~ r = dS~su p =` Usa ndo (10)e n (11)da com o r e sulta do do nde he m o se lim ina do lossub¶ ³ndice s.E nto nce sr e sulta e vidente q ue L = Z © = (9 ) Po r otr a p a r te ,se intr o duce e lco nce p to de densida d de e ne r g¶ ³a m a gn¶ e tica ,u B = B 2 =2 ¹0,p a r a e lva c¶ ³o o m e diosno m a gn¶ e ticos,de m a ne r a q ue la e ne r g¶ ³a m a gn¶ e tica e sla inte gr a lde vo lum e n de la densida d de e ne r g¶ ³a . C om o ve r e m os a co ntinua ci¶ o n la a p lica ci¶ o n dire cta de la se cua cione s(5)y (9 )p ue de conducir a situa cione sq ue confunden a le studiante y p o r e llo consider a m osconve niente discutirla s. A uto i nd ucci o n e n un ca bl ¶ e co a xi al C onsider e m os una l ¶ ³ne a de tr a nsm isi¶ o n co a xial; e l conductor inte r no tiene r a dio a,m ientr a sq ue e le xte r no e sm uy delga do y tiene r a dio b.E lca ble lleva una co r r iente I >C u¶ a nto va le la a uto inducta ncia p o r unida dde longitud? A nte to do,p a r a e ncontr a r lo s°ujo s,ha ce fa lta cono ce r losca m p osm a gn¶ e ticosdentr o delca ble.E sto sso n f¶ a cilesde ca lcula r m e diante la ley de A m p ¶ e re , r e sulta ndo = Z a Z b ¹0I ¹0I 1 r dr+ dr 2 2 ¼a 0 2¼ a r ¹0I ¹0I b + ln 4¼ 2¼ a (12 ) co n la de¯nici¶ o n de L da da p o r la e cua ci¶ o n (5)se o btiene de inm e diato L = ¹0 ¹0 b + ln 4¼ 2 ¼ a (13) E ste r e sulta do p a r e ce convince nte ,p e r o conviene r e solve r e lp r o blem a usa ndo o tro m ¶ e to do. M¶ e to d o II (co r r e cto ) Pa r a p o der usa r la e cua ci¶ o n (9 )debe m o sca lcula r la e ne r g¶ ³a m a gn¶ e tica p o r unidadde longitude n e lca ble co a xial,da da p or la e cua ci¶ on UB = 1 2 ¹0 Z B 2 dV (14) V Usa ndo las e cua cione s (10) o bte ne m o s la e ne r g¶ ³a m a gn¶ e tica p o r unida dde lo ngitud, E nte ndiendo la a uto inducta ncia. J.L.Jim ¶ e ne z,N .A quino e I.C am po s. 61 ¶2 # Z a" µ Z 2¼ 1 ¹ I 0 0 2 d' + UB = r rdr 2 ¹0 0 2 ¼a2 0 # Z a" µ ¶2 Z 2¼ 1 1 ¹0I rdr d' = 2 ¹0 0 2¼ r2 0 ¹0I 2 ¹0I 2 b + ln 16 ¼ 4¼ a (15) De la e cua ci¶ o n (9 )se obtiene de inm e diato L = ¹0 ¹0 b + ln 8¼ 2 ¼ a C om o p ue de ve r se di¯e r e de (13)p o r un fa ctor e lp r im e r m iem br o della do der e cho . (16 ) Fi gur a 1.Do se sp i r a sco n a co p lam i e nto m a gn¶ e ti co . 1 2 en Di scusi o n. ¶ E lq ue haya do sr e sulta do sm ue str a clar a m e nte q ue uno de e llo se sinco r r e cto; e sne ce sa r io e nto nce sdete r m ina r cu¶ a lde e llo slo e s.N osinte r e sa e lp r im e r t¶ e r m ino dellado der e cho de la s e cua cione s (13) y (16 ),e lq ue se r e ¯e r e a la a uto inducta ncia delca ble inte r ior ,q ue e sdo nde a p a r e ce la dife r e ncia.Sise r e visa cuida dosa m e nte la fo r m a e n q ue se ca lcul¶ o la a uto inducta ncia delca ble inte r ior se no ta q ue e le slabona m iento de °ujo no se ha consider a do cor r e cta m e nte e n e lp r im e r m ¶ e to do,ya q ue im p l ¶ ³cita m e nte se ha to m a do N = 1.E sto e scier to s¶ o lo p a r a r> a,p ue sto q ue la sim e tr¶ ³a cil ¶ ³ndrica delp r o blem a p e r m ite co nsider a r to da la co r r iente I co m o una cor r iente ¯lifo r m e e n e lce ntr o delcilindro.Sin e m ba r go e lca ble inte r ior debe co nsider a r se for m a do p o r m uchosca bles ¯lifo r m e sq ue tr a nsp or ta n una fr a cci¶ o n de la co r r iente I ,debi ¶ e ndose e nto nce stom a r e n cue nta e le slabona m iento de °ujo co r r e sp ondiente ,ta lco m o se m ue str a e n la ¯gur a 2 (p ¶ a g.6 2 ). E sp r e cisa m e nte e n e lco nce p to de e slabona m iento de °ujo donde ya ce la di¯culta dco nce p tua l,p ue se s ne ce sa r io ge ne r a liza r de un n¶ u m e r o N e nte r o y ¯nito de circuitos¯lifo r m e se slabona do so a tr ave sa dos,p or e lm ism o °ujo m agn¶ e tico,a una ca ntidadcontinua . E ste p r o blem a se tra ta e n e llibr o de C he ng [1] ,q ue p a r a e vita r inte r p r e ta cione se r r ¶ o ne a str a nscr ibim os a continua ci¶ o n. Di scusi on d ¶ e C he ng. R em ¶ ³ta se a la ¯gur a 5-16 .Sup o nga q ue una co r r i e nte I °uye p o r e lco nducto r i nte r no y r e gr e sa e n la di r e cci o n co ntra r i ¶ a p o r e lco nducto r e xte r no .B so lo ti ene co m p o ne nte e n © debi do a la si m e tr¶ ³a ci l ¶ ³ndri ca .Sup o nga ta m bi ¶ e n q ue la co r r i e nte I se di stri buye de m a ne - r a uni fo r m e p o r la se cci o n tra nsve r sa ldelco nducto r i ¶ nte r no .Pr i m e r o ha llam o slosva lor e sde B . a )E n e lco nducto r i nte r no 0 ·r·a. A p a r ti r de la e cua ci o n (5-11), ¶ B 1 = a © B ©1 = a © ¹0rI : 2 ¼a2 (5:86 ) b)E ntre losco nducto r e si nte r no y e xte r no a·r·b. A p a r ti r de la e cua ci o n (5-12 ), ¶ B 2 = a © B ©2 = a © ¹0I : 2 ¼r (5:87 ) C o nsi der e a ho r a una r e gi o n a nular e n e lco nducto r i ¶ nte r no ,co n r a di o sr y r+ dr.La co r r i e nte e n una uni dadde longi tudde e sta r e gi o n a nular e st¶ ¶ a li ga da a l°ujo q ue p ue de o bte ne r se a li nte gr a r lase cua ci o ne s(5.86 ) y (5.87 ).Te ne m o s d©0= Z a B Á1dr+ r = = ¹0I 2 ¼a2 Z Z b B Á2 dr a a rdr+ r ¹0I 2¼ Z b a dr r (5:88) ¹0I ¹0I b (a2 ¡r2 )+ ln : 4¼a2 2¼ a Pe r o la co r r i e nte e n la r e gi o n a nular e ss¶ ¶ o lo una fr a cci on ¶ (2 ¼rdr=¼a2 = 2 rdr=a2 )de la co r r i e nte to ta lI .Po r e llo, e l°ujo li ga do a e sta r e gi o n a nular e s ¶ d¤0= 2 rdr 0 d© : a2 E l°ujo to ta lli ga do p o r uni dadde longi tude s (5:89 ) 62 C o nta cto S 6 4 ,59 {6 3 (2 007 ) do nde ¤0 = = + = Z r=a d¤0 ©(r)= r=0 ¹0I ¼a2 ³ · Z 1 2a ´Z b ln a ¹0I 2¼ ³ a 2 0 a Z (a ¡r )rdr r Po r lo ta nto , ¸ rdr 0 d¤ = ´ 1 b + ln : 4 a ¤0 ¹0 ¹0 b = + ln (H =m): I 8¼ 2¼ a ¤ = (5:9 0) E lp e q ue n~ o p ¶ a r r a fo q ue sigue a la e cua ci¶ o n (5.88)de C he ng e se lp unto cr ucialde su a r gum e nta ci¶ o n a s¶ ³com o de¯nir dÁ com o una inte gr a l,lo cua la um e nta la co nfusi¶ o n,a h¶ ³se debe r¶ ³a discutir la ge ne r a liza ci¶ o n delconce p to de e slabona m iento ,p e r o e n luga r de e llo nose nco ntr a m osco n una sim p le a ¯r m a ci¶ o n,p o co usua le n e ste e xce lente te xto .A q u¶ ³se e sta blece la fr a cci¶ o n de la cor r iente I e n la r e gi¶ o n a nular e ntr e ry r+ dry de a h¶ ³sa lta a l°ujo liga do .>Pe r o d¶ o nde e st¶ a e ln¶ u m e r o de circuito s e sla bo na dos, e s decir,a trave sa do s,p o r e lm ism o °ujo m a gn¶ e tico? E lca ble inte r no e sa ho r a un n¶ u m e r o in¯nito de ca bles¯lifor m e sq ue e sne ce sa r io \conta r ",p a r a ge ne r a liza r la e xp r e si¶ o n de la e cua ci¶ o n (3). E n la ¯gur a 1(p ¶ a g.6 1)se m ue str a la fr a cci¶ o n de circuito se sla bo na dosp o r e l°ujo m a gn¶ e tico e ntr e r y a,q ue e s la p a r te p r o blem ¶ a tica delp r oblem a ba jo la m ism a sup o sici¶ o n de una co r r iente unifo r m e m e nte distr ibuida so br e la se cci¶ o n tr a nsve r sa l.Dicha fr a cci¶ o n e sp r e cisa m e nte 2 rdr=a2 .Po r lo ta nto p o dem o sp la nte a r q ue la ge ne r a liza ci¶ o n de la e cua ci¶ o n (3)e s 2 rdr ©(r) a2 ¹0I ` 2 (ar¡r3 )dr 2 ¼a4 E ntonce se ltota lde e sla bona m iento sse r ¶ a E lp r i m e r t¶ e rm i no ,¹0=8¼,p r ovi e ne del°ujo li ga do a l co nducto r i nte r no s¶ o li do; se co no ce co m o i nd ucta nci a i nte r na p o r uni dadde longi tuddelco nducto r i nte r no .E l se gundo t¶ e rm i no p r ovi e ne del°ujo li ga do q ue e xi ste e ntre e lco nducto r i nte r no y e le xte r no ; e ste t¶ e rm i no de co no ce co m o i nd ucta nci a e xte r na p o r uni dadde longi tudde la l ¶ ³ne a co a xi a l.E lt¶ e rm i no ¹0=8¼ no e xi sti r¶ ³a si e lco nducto r i nte r no fue r a un tubo hue co delga do; u¶ni ca m e nte ha br¶ ³a co nducta nci a e xte r na (¯n de la di scusi o n de C he ng). ¶ d¤ = ¹0I r ¹0I ` 2 ¢`dr= (a ¡r2 ) 2 ¼a2 4¼a2 2 La i nducta nci a p o r uni dadde longi tudde la l ¶ ³ne a de tra nsm i si o n co a xi ¶ a le se nto nce s L 0= a = ¹0I ` 2 ¼a4 ¹0I ` 8¼ Z a (a2 r¡r3 )dr= 0 µ ¶ ¹0I ` a4 a4 ¡ 2 ¼a4 2 4 co n lo q ue o bte ne m o se lr e sulta do co r r e cto,co nsiste nte con la e cua ci¶ o n (16 ),q ue da e lm ¶ e to do de la e ne r g¶ ³a . Fi gur a 2 .Un ca ble de longi tud¯ni ta ,e n donde se m ue stra n losci r cui to sde co r r i e nte ¯lam e nta r e s. C o ncl usi o ne s La sleye sde la f¶ ³sica y lo sco nce p to sq ue ¶ e sta sr e la ciona n e ntr e s¶ ³im p lica n co ndicione sm uy e sp e c¶ ³¯ca sp a r a su a p lica bilida d.Por e je m p lo,e n m e c¶ a nica cl¶ a sica te ne m o se lconce p to de p a r t¶ ³cula,q ue e sla idea liza ci¶ o n de un cue r p o f¶ ³sico visto desde una dista ncia m uy gr a nde,e n e sta m a ne r a se co nsider a a un p la ne ta e n su m ovim iento de tr a slaci¶ o n a lre dedo r delSo l.E n e le lectr o m a gne tism o ta m bi ¶ e n te ne m o se lco nce p to a n¶ a logo,la ca r ga p untua ly la cor r iente ¯lifo r m e . E nte ndiendo la a uto inducta ncia. J.L.Jim ¶ e ne z,N .A quino e I.C am po s. E n e lp r o blem a q ue he m osa na liza do e n e ste tr a ba jo ,la soluci¶ o n cor r e cta se o btiene a ltom a r e n cue nta q ue dentr o delca ble la co r r iente debe de se r consider a da com o un n¶ u m e r o in¯nito de cor r iente s¯lifo r m e s.E n la m e c¶ a nica te ne m ossitua cione se n la sq ue loscue r p o sya no p ue den consider a r se co m o p a r t¶ ³culas,sino co m o distr ibucione sco ntinua sde p a r t¶ ³culas.Por lo ta nto e s la ge ne r a liza ci¶ o n delco nce p to de e slabona m iento de °ujo a distr ibucione s in¯nita sde cor r iente s¯lifo r m e slo q ue p e r m ite ca lcula r sin a m bigÄ u e da d. R e fe r e nci as 1. R .R e snick,D.Ha lliday y K .S.K r a ne ,F¶ ³sica vo l.2 ,C E C SA ,M¶ e xico 19 9 9 . 63 2 . A .F.K ip ,Fundam e ntosde E lectr icida dy Ma gne tism o ,Mc Gr aw -Hill,M¶ e xico 19 7 2 . 3. R .A .Se r w ay y R .J.B e ichne r ,F¶ ³sica p a r a la cienciasy la inge nier¶ ³a ,Mc Gr aw -Hill,M¶ e xico 2 002 4. J.R .R e itzy F.J.Milfo r d,Funda m e ntosde la te o r¶ ³a e lectr om a gn¶ e tica ,p a r te II,UT E A ,M¶ e xico 19 7 2 5. DavidK .C he ng,Fundam e nto sde e lectr om a gne tism o p a r a inge nier¶ ³a ,A ddiso n-W e sley Ibe r oa m e r ica na ,E .U.A 19 9 7 ,p ¶ a gina 2 05 cs