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Unidad I
Razonamiento Lógico Matemático
UTILIZANDO LA LÓGICA
SIMBÓLICA EN SITUACIONES DE
NUESTRO CONTEXTO
El hombre que hace algo
puede equivocarse pero
aquel que no hace nada ya
está equivocado.
E. Rótterdam
Figura 1
Fuente: http://www.colegiomovil.com/web/images/Biblioteca/areas/matema2.jpg
Capacidades
-
Identifica y elabora proposiciones lógicas relacionadas a su entorno.
Formaliza proposiciones moleculares y determina su valor de
verdad.
Demuestra la validez de una inferencia empleando leyes de
equivalencia o tablas de verdad.
Utiliza las leyes de inferencias lógicas para determinar conclusiones
a partir de un conjunto de premisas.
Simboliza y diseña circuitos lógico.
101
Razonamiento Lógico Matemático
102
Razonamiento Lógico Matemático
Tema: 1
PROPOSICIONES Y CONECTIVOS LÓGICO,
SIMBOLIZACIÓN Y VALORACIÓN DE PROPOSICIONES
El estudio de la lógica es fundamental en la
vida del ser humano, ya que mediante ella es
posible disciplinar y ordenar el conocimiento.
Sólo mediante el conocimiento, el hombre es
capaz de realizar su propia esencia,
perfeccionando su vida: cuando la razón es el
faro que guía las acciones del hombre, éste
tiene que llegar necesariamente a la verdad
Daniel Márquez Muro.
Figura 2
Fuente:http://xtianlb.blogspot.com/2009/03/adivinanzaalemana.html
1.
1.1
Reseña histórica de la lógica
La lógica se inicia con Aristóteles (384-322 A.C.) quien fue el primero en desarrollar el
análisis formal de los razonamientos. Los escritos lógicos de Aristóteles están reunidos
en un libro llamado “Organon” (significa “instrumento”, “propedéutica”, “metodología”)
que contiene cinco tratados como son: Las categorías, Sobre las proposiciones, Los
analíticos (primeros y segundos), Los tópicos y Las refutaciones sofísticas. De estos
cinco tratados “Los analíticos” es el documento que contiene la naturaleza de la lógica y
el silogismo.
Posteriormente se inicia la lógica moderna con Leibniz (1646-1716) quien desarrolló el
cálculo de la lógica proposicional (“Mathesis universalis”); Euler (1707-1783), introdujo
los diagramas que lleven su nombre para ilustrar geométricamente los silogismos. En
1854, el matemático inglés George Boole publicó su obra “An investigation of the laws
of thought” (una investigación de las leyes del pensamiento) dando origen a la lógica
103
Razonamiento Lógico Matemático
matemática, interpretando de esta manera la afinidad de la lógica de clases y la lógica
proposicional.
Russell (1848-1925) junto con Whitehead (1861-1947) escribe “Principia matemática”,
obra que generó investigaciones sobre la inferencia y sus aplicaciones.Actualmente la
lógica moderna tiene múltiples aplicaciones en todos los campos.
No olvides que: Francisco Miró Quesada Cantuarias, fue quien introduce y desarrolla
la lógica matemática en Latinoamérica.
1.2
Lógica
Es la ciencia que estudia los métodos o procedimientos formales para aplicar las leyes o
reglas lógicas en el análisis de validez de las inferencias. Esta Disciplina tiene aplicación
en todos los campos del saber; en la filosofía para determinar si un razonamiento es
válido o no. Los matemáticos usan la lógica para demostrar teoremas e inferir resultados.
En computación, para revisar programas y crear algoritmos. Existen circuitos integrados
que realizan operaciones lógicas como los bits, gracias a ello se ha logrado el desarrollo
de la tecnología.
1.3
1.3.1
Definiciones básicas de lógica
Lógica Proposicional
Es una parte de la lógica que estudia las proposiciones y su relación entre ellas, así
como las funciones que tienen las variables proposicionales y los conectivos lógicos.
1.3.2
Enunciado
Es toda frase u oración que señala alguna idea. Algunos enunciados son mandatos,
interrogaciones o expresiones de emoción; otros en cambio son afirmaciones o
negaciones que tienen la característica de ser verdaderos o falsos.
Ejemplos:
¿Cómo estás?
Esas flores son hermosas.
El cuadrado y el círculo son
polígonos.
Mañana será viernes.
( a + b)2 = 625
Jorge es profesor de la USS.
104
X + 3 < 14
5 es divisor de 140.
Chiclayo es la ciudad de la
amistad
Messi y Guerrero juegan muy
bien.
¡Eres un campeón!
Razonamiento Lógico Matemático
1.3.3
Enunciado Abierto
Llamada también función proposicional, es un enunciado en el que intervienen una o
más variables, que admiten la posibilidad de convertirse en una proposición lógica
cuando la variable asume un valor determinado.
Ejemplos:
Él es un escritor peruano.
x 6x 36
2
m+n3
Ella es una psicóloga.
Los enunciados abiertos usan las palabras
“el”, “ella” y los símbolos x, y, z, etc. No
son proposiciones pero cuando se
reemplazan estas palabras o símbolos por
un determinado objeto o valor resultan ser
proposiciones.
N es un número impar.
1.3.4
Proposición
Llamado también enunciado cerrado, es toda expresión coherente que se caracteriza
por poseer un valor de verdad (V) o falsedad (F) sin ambigüedad, en un determinado
contexto. Por lo general se denotan con letras minúsculas como: p, q, r, s, etc., las
cuales son llamadas variables proposicionales y se analizan en una tabla de verdad.
Tabla
de
verdad
p
V
Valores veritativos
F
Ejemplos:
La luna es un satélite.
(V)
132 es un número divisible por 2 y por 3.
(V)
Ciro Alegría no fue literato.
(F)
La velocidad es una magnitud vectorial.
(V)
( a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(V)
Los Moches se caracterizaron por sus huacos retrato.
(V)
16 es múltiplo de 7.
(F)
(F)
1250 20*102 + 5.
105
Razonamiento Lógico Matemático
1.3.5
Proposiciones Simples y Compuestas
PROPOSICIÓN SIMPLE
Llamada
elemental,
Llamada también molecular o coligativa, esta
monádicas o monarias. Expresa una sola
formadas por dos o más proposiciones simples
idea y se representa por una sola variable
unidas
(tienen un solo sujeto y un solo predicado),
(conectivos) o afectados por el adverbio de
no
negación NO.
atómica
conjunciones
o
gramaticales
ni
por
conjunciones
gramaticales
adverbio de negación.
Ejemplos:
Ejemplos:
15 es divisible por 3 y múltiplo de 5.
El bosque de Pomac se encuentra en
Arequipa no es llamada la ciudad blanca.
Ayacucho.
Si mañana sale el sol entonces iremos de
1771 es un número capicúa.
El Señor de Sipán fue encontrado en el
Luís es abogado o ingeniero.
departamento de Lambayeque.
O Jorge esta en Chiclayo o en Trujillo.
3 es un número par.
2 + 3 + 5 + 1 >11 y 2 + 3 > 5 + 1
1.3.6
tienen
también
PROPOSICIÓN COMPUESTA
paseo.
Conectivos Lógicos
Los conectivos lógicos son palabras que sirven para enlazar proposiciones o cambiar el
valor veritativo de una proposición. Sean las proposiciones “p” y “q”. Tenemos:
SÍMBOLO
OPERACIÓN ASOCIADA
ESQUEMA
SIGNIFICADO O
INTERPRETACIÓN
Negación simple, interna o ligada.
p
No, no es cierto que
Conjunción producto lógico
pq
Disyunción inclusiva o Incluyente
Disyunción Débil suma lógica
pq
pq
tanto; de ahí que; de modo que;
en
consecuencia;
Si y solo si; siempre y solo
pq
cuando; solamente si; entonces y
solo
entonces
es
idéntico;
cuando y solo cuando, etc.
Diferencia simétrica O Disyunción
Exclusiva Excluyente Disyunción
fuerte
106
por
consiguiente, etc.
Doble implicación Bicondicional,
equivalencia, etc.
O, salvo, a menos que, excepto
luego;
material
obstante, aunque, etc.
Si …entonces…; implica; por lo
Implicación Condicional,
condicional simple implicación
Y ,pero, sin embargo , no
pq
O … O …; A no ser que
Razonamiento Lógico Matemático
1.3.7
Operaciones con Proposiciones
De la misma forma como en la aritmética y en el algebra se estudian operaciones entre
números, en lógica se estudian operaciones entre proposiciones donde se determina su
valor de verdad de la proposición resultante.
Una tabla de verdad de una proposición da los
valores verdaderos (que pueden ser V o F) de
la proposición para todas las asignaciones
posibles.
El número de valores que se asigna a cada
variable proposicional está dada por la fórmula:
2n Donde: n es el número de proposiciones
simples.
A) Negación:
Es una proposición cuyo valor es opuesto al de la proposición original.
Ejemplo: Sea:
p: Augustus de Morgan fue matemático.
p: Augustus de Morgan no fue matemático.
Su tabla de verdad es:
p
p
V
F
F
V
Las palabras: no, no es cierto que, no es verdad que,
es falso que, no ocurre que, no es el caso que, etc.
Equivale al conectivo
B) La Conjunción:
Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico “y”.
Ejemplo:
Su tabla de verdad es la
siguiente
p
q
p q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
La conjunción es verdadera únicamente
cuando las dos proposiciones
componentes son verdaderas. En todo
otro caso, es falsa.
107
Razonamiento Lógico Matemático
Nota: Las palabras “pero”; “sin embargo”; “además”;
“aunque”; “no
obstante”, equivalen al conectivo de la conjunción.
C) Disyunción inclusiva o incluyente o disyunción débil:
Vincula dos proposiciones mediante el conectivo “O”.
Ejemplo:
Su tabla de verdad es la siguiente:
p
q
p q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
La disyunción sólo es falsa cuando
sus componentes son falsas en otros
casos es verdadera.
D) Implicación o condicional
Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjunción
condicional: “Si…entonces…” o sus equivalentes. La proposición condicional
consta de 2 elementos, el antecedente y el consecuente.
Ejemplo:
Su tabla de verdad es:
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
La condicional tiene un valor falso
cuando su antecedente p es
verdadero y su consecuente q es
falsa, en los demás casos será
verdadero.
Nota: Algunas formas gramaticales de la condicional son: p de ahí que q; p
implica q; p de modo que q; p por lo tanto q; p deviene q; p conclusión q; dado p
108
Razonamiento Lógico Matemático
por eso q; p luego q; cuando p así pues q; p por consiguiente q; de p derivamos
q; p cada vez que q, etc.
E) Bicondicional o doble implicación
Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico: “….si y sólo si… ”.
Ejemplo:
La tabla de valores de verdad es:
p
q
p q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
La doble implicación o bicondicional
sólo es verdadera si ambas
proposiciones tienen el mismo valor
de verdad, en caso contrario es falso.
Algunas de sus formas gramaticales son: solamente si; cuando y sólo cuando;
entonces y sólo entonces; es idéntico; cada vez que y sólo si; p es condición
necesaria y suficiente para q; etc.
F) Diferencia simétrica o disyunción exclusiva
Cuando sólo uno de sus miembros puede ser aceptado, el otro queda inválido.
Sus formas gramaticales son: “o…o…”; “o” (en sentido excluyente).
Ejemplo:
La tabla de valores de verdad es la siguiente:
P
q
pΔq
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
La disyunción exclusiva es verdadera
sólo si sus componentes tienen
valores diferentes; caso contrario será
falso.
109
Razonamiento Lógico Matemático
ACTIVIDAD Nº 1
Orientaciones:
1. A continuación se le presenta una lista de ejercicios, en las que vamos a diferenciar: enunciados,
proposiciones y no proposiciones, así mismo su validez.
01. Los
siguientes
enunciados
son
proposiciones lógicas
1. Si ingreso a la USS, seré muy feliz
2. Keops fue un inca egipcio
3. Los nacidos bajo el signo de Aries son
efusivos y aguerridos
4. En el monte Sinaí, Moisés habló
directamente con Dios
5. 4y + 5y = 9, donde y = 1
Son correctas :
a) 1, 2, 3
b) 2, 4
c) 2, 5
d) 1, 2, 5
e) 1, 2
05. Son proposiciones moleculares:
1) 6 no es un número primo.
2) José y María fueron padres de Jesús.
3) La Tierra se encuentra entre Venus y
Marte.
4) Chiclayo está al norte de Trujillo, está más
cerca a Ecuador.
5) La USS es una universidad privada con
más de 10 años de vida institucional.
No son correctas, excepto:
a) 1, 2, 3
b) 2, 3, 4
c) 1, 4, 5
d) 1, 3, 4
e) 2, 4, 5
02. Son proposiciones simples:
1. Si llegas temprano, te premiaremos.
2. Estudias o juegas.
3. O sientes frío o sientes calor.
4. La USS es una institución pública.
5. Jorge y Carmen son colegas.
Son incorrectas:
a) 1, 2, 3
b) 2, 3, 4
c) 3, 4, 5
d) 1, 3, 5
e) 1, 4, 5
06. Son proposiciones conjuntivas.
1) Los alumnos de CEPRE son estudiosos
y responsables.
2) Rómulo y Remo fueron hermanos según
la leyenda
3) La tierra es un planeta tanto como el sol
es una estrella
4) Ni Perú ni Venezuela ganaron la Copa
América 2011
5) Perú y Chile forman parte de la ONU.
Son ciertas:
a) 1, 3 y 5 b) sólo 1 y 3
c) 3, 4 y 5
d) 1, 2 y 3 e) todas
03.
Son proposiciones los siguientes
enunciados:
1) Tres es un número compuesto.
2) ¡Perú Campeón!
3) Ojala consiga trabajo
4) Ollanta es presidente del Perú.
5) 5 + 6 = 12
Son correctas:
a) 1, 2, 3
b) 2, 3, 4
c) 3, 4, 5
d) 1, 3, 4
e) 1, 4, 5
04. Son proposiciones atómicas:
1) Bolívar tal como Sánchez Carrión fueron
amigos.
2) La lógica es una ciencia que obviamente
estudia las formas del pensamiento
3) Es concebible que Júpiter sea el planeta
más grande de la vía Láctea
4) Es imposible que el conjunto nulo tenga
existencia real
5) El virus es el tránsito entre la vida y la
muerte
Son certeramente ciertas:
a) 1, 5, 4
b) 4, 5
c) 1, 2, 3
d) 3, 2, 5
e) Todas menos 4
110
07. De las siguientes proposiciones son
compuestas:
1. La matemática es una ciencia formal a
menos que sea fáctica.
2. Los protones forman el núcleo atómico
junto con los neutrones.
3. Júpiter orbita alrededor del sol siendo el
planeta más grande del sistema solar.
4. Carlos se casó ayer en Ferreñafe.
5. Huáscar y Atahualpa fueron los últimos
incas.
Son innegablemente inciertas:
a) 1, 2,4
b) 2,5
c) 2, 3,5
d) Ninguna
e) Todas
08. Son proposiciones disyuntivas:
1. A menos que Calígula fue cómico, fue
bufón.
2. Las matemáticas son deductivas a no ser
que también sean inductivas.
3. Los silogismos son validos al igual que
no válidos.
4. Más vale pájaro en mano o también
ciento volando.
Razonamiento Lógico Matemático
5. No solo postularé a Ingeniería sino
también a Contabilidad.
5. Las personas más inteligentes son
generosas.
Son lógicamente no falsas:
a) 2, 4
b) 1, 2, 4
c) 3, 5
d) 1 y 2
e) 1,4 ,5
a) 2, 5
d) 2
09. Son proposiciones implicativas:
1. Las ballenas viven en el mar, respiran
por branquias.
2. Chiclayo es la capital de Lambayeque,
siendo Trujillo capital de La Libertad.
3. Juan viajó a Lima porque firmó contrato
de trabajo.
4. 7 es un número par, si 6 es impar.
5. No es cierto que, 10 es un múltiplo de 2
entonces es un múltiplo de 4.
No son ciertas:
a) 2, 3 y 5
b) 2 y 5
d) 1, 3 y 4
e) 2
c) 1, 2 y 3
10. De los enunciados siguientes:
1. ¡Vamos a campeonar!
2. La suma de tres números enteros
consecutivos es múltiplo de 3.
2
2
2
2
3. 3x 3x 24
x
x
4. Pedro y Pablo fueron los primeros papas
de la iglesia católica.
5. El 28 de julio es feriado a nivel nacional.
Se puede afirmar:
a) Tres son proposiciones.
b) Sólo dos son proposiciones.
c) Dos son enunciados.
d) Todas son proposiciones.
e) Ninguna es proposición.
11. ¿Cuáles son enunciados abiertos?
1. El producto de dos números enteros es un
número par.
2. 2x + 3 = 5x – 9
3. x > 4 3x – 1 > 11
4. A =
5. A – B =
Son ciertas
a) 2, 5
b) 2, 4
c) 2, 3, 4
d) 1, 4, 5 e) Todos.
12. ¿Cuáles son proposiciones?
1. ¿César Vallejo nació en Perú?
2. La luna es un planeta.
3. 3 + 2(x + 1/3) 1 – 3(5 – 2x/3)
4. Batman vive en ciudad Gótica.
b) 2, 3
e) Todos.
c) 2, 4
13. De
las
siguientes
oraciones
son
proposiciones lógicas:
1. El fin del mundo será el 2012.
2. El sol era el dios principal de los incas.
3. Entre dos números racionales siempre
hay otro número racional.
4. ¡Esperemos que ya pare de llover!
5. Un polígono es regular si es equilátero y
equiángulo.
Son ciertas:
a) 2, 3, 5
b) 1, 2, 4
d) 3, 5
e) Todas.
c) 2, 4
14. Cuantas son proposiciones atómicas:
1. La ciudad de barro más grande del mundo
se encuentra en el Perú.
2. 6 y 25 son números primos entre sí.
3. Tanto Sócrates como Platón fueron
filósofos de la antigüedad.
4. La masa es una magnitud escalar así
como fundamental.
5. Ricardo y Carlos son socios.
a) 1
d) 3
b) 4
e) 5
c) 2
15. Son proposiciones negativas:
1. Ni Chiclayo ni Piura son ciudades de la
selva peruana.
2. La química no es una ciencia formal.
3. No se cumple que los números primos
sean todos impares.
4. El cero no es un número par.
5. Los números son positivos o negativos.
Son ciertas:
a) Solo dos b) Solo tres c) Solo una
d) Solo cuatro e) Todas
16. ¿Cuántas proposiciones son conjuntivas?
1. El cinco es impar, también el siete es
impar.
2. Viajamos temprano pero llegamos tarde.
3. El mercurio es un metal líquido a
temperatura ambiente.
4. El 33 es un número primo, tiene sólo dos
divisores.
5. El Perú limita por el norte con Ecuador así
como con Colombia.
a) 3
d) 1
b) 2
e) Todas
c) 4
111
Razonamiento Lógico Matemático
17. “Viajaremos
a
Lima,
siempre
que
terminemos el trabajo”, es una proposición:
a) Disyuntiva débil.
b) Implicativa.
c) Disyuntiva fuerte.
d) Conjuntiva.
e) Negativa.
18. Cuántas
de
proposiciones:
las
expresiones
son
1. El Perú es un lugar maravilloso.
2. Los números primos son impares
3. ¿Chiclayo está al sur de Lima?
4. Árbol que crece torcido ya no se endereza
5. (x + 3)2 > x(x + 6) + 7
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
19. Indique cuántas de las proposiciones son
bicondicionales:
1. Ser un número negativo equivale a ser
menor que cero.
2. Dos triángulos son semejantes siempre y
cuando tienen dos pares de ángulos
correspondientes con medidas iguales
3. Un triángulo es isósceles sí y solo sí
tienen dos lados de medidas iguales
4. n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)
5. Zeus vivió en el monte Olimpo sí y solo
sí Poseidón vivió en el mar
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
20. Indica el valor de verdad de cada una de las
proposiciones compuestas:
1. Un cuadrado es un rombo o es un
rectángulo
2. 3x–7 = 9–x, entonces (x–1)2 + x2 = (x+1)2
3. 259 es un número primo y 289 es un
cuadrado perfecto
4. No es cierto que,
2
36 = -6 porque (-6) =
36)
a) VVVV
d) VVFF
112
b) VVVF
e) VFVF
c) VVFV
Razonamiento Lógico Matemático
Tema N° 2 :
ESQUEMAS MOLECULARES
Figura 3
Fuente: http://neofronteras.com/wp-content/photos/esquema_molecular.jpg
2.1.
Formalización de Proposiciones
Es la representación de las proposiciones simples mediante variables proposicionales (p;
q, r;..) y de los conectivos lógicos por sus respectivos símbolos.
Ejemplo:
Si encuentro trabajo y ahorro, viajaré a Miami.
p: Encuentro trabajo
q: ahorro
Formalización:
p q r
r: viajaré a Miami
2.1.1. Jerarquía de Conectores y de Signos De Puntuación
JERARQUÍA DE CONECTORES
1. Bicondicional……………….↔
2. Disyunción fuerte……………Δ
3. Condicional………………....
4. Conjunción y disyunción…..,
5. Negación……………………..~
JERARQUÍA SIGNOS DE PUNTUACIÓN
1. Dos signos
2. Punto y seguido
3. Punto y coma
4. Coma
5. Ningún signo
____. Pero,____
____. Pero ____
____; pero ____
____, pero ____
____ pero ____
113
Razonamiento Lógico Matemático
Signos de Agrupación
Son los símbolos auxiliares Que
permiten establecer la jerarquía
de los conectivos lógicos y así
evitar ambigüedades.
Paréntesis ( )
Llaves { }
Corchetes [ ]
Barras |
El conectivo lógico de mayor jerarquía es
aquel que no está afectado por ningún signo
de colección.
p q r
p q r s
p q r s p t
Conectivos
de mayor
jerarquía
2.1.2. Reglas de formalización de Esquemas moleculares
Para formalizar un enunciado, se siguen las siguientes reglas:
1.
Se adjudica una variable proposicional a cada proposición simple. Si la
proposición se presenta más de una vez en el mismo enunciado, se vuelve a
emplear la misma variable.
2.
Cada contenido proposicional debe ser reemplazado por su respectivo conectivo
lógico.
3.
Cada contenido lógico debe tener un alcance, dominio o jerarquía específico.
Ejemplo:
Roxana viajó a España, pero regresó pronto o no viajó a tal lugar.
Solución:
Adjudicamos una variable a cada proposición:
p: Roxana viajó a España
q: regresó pronto
p: viajó a tal lugar
Reemplazamos el contenido proposicional por su conectivo lógico:
Pero….
O……..
no …… ~
Teniendo en cuenta la jerarquía, su esquema sería:
p (q ~ p)
Conectivo de
mayor jerarquía
114
Razonamiento Lógico Matemático
2.2.
Esquema molecular
Es la combinación de variables y conectivos lógicos debidamente jerarquizados, se
simbolizan mediante meta variables que son las letras mayúsculas a partir de A, B, C,…
Ejemplos:
A = p (q r)
B = (p q) [ r ↔(q s)]
C = ~(p ~ q) [ (p r) ↔(q s)]
2.2.1. Evaluación de los esquemas moleculares por la tabla de verdad
Ejemplo:
Evalúa [~ (p q) p] (p ↔ q)
Consiste en obtener los valores del
operador principal a partir de los
valores de cada una de las variables
proposicionales y se realiza mediante
las denominadas “Tablas de verdad”
creadas por Wittgenstein.
Los valores obtenidos se denominan
Matriz principal y corresponden al
conectivo de mayor jerarquía.
[ ~(p q) p] (p ↔ q)
F
V
VV
V
V
V
F
VV
F
F
V
F
VF
F
F
V
F
FF
V
V
pq
VV
VF
FV
FF
Matriz principal
2.3. Tipos de esquemas moleculares
2.3.1. Tautología. Una proposición es una tautología si y sólo si es verdadera para
todas las asignaciones posibles.
Ejemplo: Consideremos la proposición compuesta: [(pq) p] q
p
q
[( p q)
p]
q
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
Desarrollando su tabla tenemos que la proposición compuesta resulta todas
verdadera, entonces decimos que la proposición es una tautología o una ley lógica.
Ejemplo: Si analizamos la proposición t: (pq) (~ p q) realizando su tabla de
verdad:
p
q
(p q)
( ~p q)
V
V
V
V
F
V V
V
F
F
V
F
F F
F
V
V
V
V
V F
F
F
V
V
V
V F
115
Razonamiento Lógico Matemático
2.3.2. Contradicción. Una proposición es una contradicción si y sólo si es falsa para
todas las asignaciones posibles.
Ejemplo: Consideremos la proposición compuesta: ~ [(p q) (q p)]
p
q
~
[( p q)
(q p)]
V
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
V
Desarrollando su tabla tenemos: que la proposición compuesta resulta toda falsa
entonces decimos que la proposición expresa una contradicción.
2.3.3. Contingencia.- Una proposición que no sea una ni una tautología ni una
contradicción se denomina contingencia (casualidad, eventualidad).
Ejemplo: Sea el enunciado: p ~ q
p
q
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
p
~q
Es importante tener en cuenta que:
Un esquema tautológico se representa por
Un esquema contradictorio se representa por
Un esquema consistente se representa por
T
Q
2.4. Valor de verdad por el método directo
Parte de las tablas de verdad se puede utilizar el método de directo para encontrar el
valor de verdad de una fórmula lógica o esquema molecular.
Ejemplos:
1. Dadas las proposiciones: p: 11 es un número primo.
q: 19 es un número par.
r: es un cuadrado perfecto.
Hallar el valor de verdad de:
p q r qr p
Solución
Definimos el valor de verdad real de las proposiciones. Entonces: p V; q F; r V
Reemplazamos dichos valores en la fórmula dada y aplicamos la regla de los
conectores según la jerarquía. Así:
116
Razonamiento Lógico Matemático
p q r qr p
V
F
F V
F
V
V
V
V
La fórmula lógica es: V
(Tautología)
V
V
2. Si la proposición:
p q ~ r s es falsa. Hallar el valor de verdad de p, q, r y s.
Solución
p q ~
V
V
r s
V
V
F
p V; q V; r F, s F
F
F
117
Razonamiento Lógico Matemático
ACTIVIDAD Nº 2
Orientaciones:
Formaliza correctamente las proposiciones.
Demuestra que en cada una de los casos siguientes los esquemas moleculares son tautológicos,
contradictorios o contingentes.
Resuelve esquemas moleculares por medio del método directo.
01.
La formalización correcta de la proposición:
“No es verdad que sea falso que, Newton
fue un físico”. Es:
a) – p
d) – p & – p
02.
c) – – (p)
La formalización correcta de la proposición:
“O los mamíferos son vertebrados o
invertebrados. Pero, es absurdo que los
voladores sean bípedos”. Se formaliza
correctamente:
a) (p v – p) & q
c) (p v – p) p
e) (p v q) & - r
03.
b) p v – p
e) – (p)
05.
b) p v q v r
c) -p v – q v – r
d) (p q) v - r
“Jamás en invierno hace calor, aún cuando
en verano llueve al igual que hay eclipse
asimismo hay evaporación de agua tal
como no hay granizo”, se simboliza:
a) - p - q - r - s - t
b) -p q r -s -t
c) -p q r -s
d) -p q r s -t
e) -p q r s t
“Puesto que hay globalización se deduce
que, tanto hay países que altamente
tecnologizados cuanto países bastantes
atrasados en ciencia” Se formaliza:
a) p (q r)
b) p (q r)
c) p (q r)
d) p (q r)
118
En la tabla de verdad se obtiene:
(p q) (p q)
a) VFVF b) VVVV
c) FFFF
d) VFFV e) FFFV
b) I y IV
e) Sólo II
b) FFF
e) FVF
b) 1
e) 4
c) 2
[( r p) q] [ p (q r)]
En el resultado de la tabla de verdad
cuántas verdaderas se obtienen:
a) 3
d) 6
12.
b) Contradictorio
d) Contingente
[p (q p)] [(p q) v q]
Indica cuántas falsas se obtienen en la
tabla de verdad:
a) 0
d) 3
11.
c) VVF
(p r) (q p)
Halla si el resultado o matriz es:
a) Tautológico
c) Consistente
e) c y d
10.
c) III
Si: (p q) r es falsa,
Determina el valor de p, q y r
a) VVV
d) VFF
La proposición: “Los cuadernos, lápices y/o
borradores son útiles escolares”, se
formaliza:
e) p (q r)
06.
08.
09.
a) -p -q -r
La proposición: p (q r) es falsa, la
proposición “s” es verdadera ¿Cuáles de las
proposiciones son verdaderas?
I) p q
II) s (p r)
III) (p q) r
IV) (p q) r
a) I y II
d) Sólo I
b) (A v – A) q
d) (p v – p) & - q
e) p v q r
04.
07.
b) 4
e) 7
c) 5
La fórmula: [-(q v -p) -(-q -p)]; es:
a) Tautológica
b) contingente
c) contradictoria
d) imprecisa
e) No se puede determinar
13.
Si la estructura lógica:
[(p - q)] (- r - s) es falsa.
Los valores de verdad de p, q, r y s;
Son respectivamente:
a) 1101
d) 1111
b) 1010
e) 1000
c) 1100
Razonamiento Lógico Matemático
14.
¿Cuáles de los siguientes
moleculares son tautológicos?
I) p (q q) p
II) (p q) q) p
III) (p q) p) q
a) Solo I
d) I y III
15.
b) I y II
e) Todos
III. ~ p q p q
esquemas
18.
Se tiene el siguiente esquema:
p ~ q ~ p q , se afirma que:
I. p q ~ ~ q p
II. p q p p
a) Solo I, IV y V
b) Solo I y II
c) Solo I, II y III d) Solo III, IV y V
e) Solo III y V
17.
¿Cuál de las siguientes proposiciones son
contradicciones?
I. q ~ p p ~ p
II.
negación
la
del
p q s r
a) VV
d) FV
¿Cuáles de las siguientes proposiciones
son tautológicas?
p q p q p
IV. ~ p q ~ ~ p q
V. ~ p q ~ p q
Si
c) I y III
esquema
II. p q q p q
19.
III.
b) Solo I y II
e) Todas
es verdadera: halla el
valor de verdad de los siguientes esquemas
moleculares.
I. r q q p r s
c) II y III
a) Es contingencia
b) Es tautología
c) Es contradicción
d) No se puede afirmar nada
e) No es un esquema molecular
16.
a) Solo I
d) II y III
Si: p q r q p q q p es
verdadera. Halla el valor de verdad de p, q
y r, respectivamente.
a) VVV
d) VFV
20.
b) FF
c) VF
e) Falta información
b) FFF
e) FVF
c) FFV
La proposición molecular dada es falsa:
p q r s ,
halla el valor de
verdad de los siguientes esquemas
moleculares:
A q s p
B r s p q
C p q s r
a) VVV
d) VFV
b) FFF
e) FVF
c) FFV
~ q p ~ q q ~ r r
119
Razonamiento Lógico Matemático
120
Razonamiento Lógico Matemático
Tema: 3
IMPLICACIONES Y EQUIVALENCIAS LÓGICAS
Existen varias equivalencias de la lógica
proposicional, las cuales se conocen
como leyes de equivalencia o leyes
lógicas que son formas proposicionales
tautológicas con carácter general que
permiten transformar y simplificar
fórmulas lógicas.
Figura 4
Fuente:http://a7.idata.over-blog.com/2/63/94/20/Balanza2-1-.gif
Sean
los
esquemas
moleculares
o
fórmulas
proposicionales
(o
simplemente
proposiciones compuestas)
A pr
B p q r
C p q r
Debemos distinguir los conceptos de
implicación y
equivalencia de los conceptos
condicional y bicondicional respectivamente. La implicación y la equivalencia son
relaciones entre fórmulas proposicionales, mientras que la condicional y la
bicondicional son relaciones entre proposiciones.
Así tendremos las siguientes
definiciones:
3. G
3.1. Implicación lógica.
Una fórmula A implica a B, cuando unidos por el condicional “ ”, siendo A antecedente
y B consecuente, el resultado es una Tautología.
121
Razonamiento Lógico Matemático
3.2. Equivalencia lógica
Dos fórmulas B y C son equivalentes cuando unidos por el bicondicional “ ” el
resultado es una Tautología.
3.3. Equivalencias notables.
Existen varias equivalencias de la lógica proposicional, las cuales se conocen como leyes
de equivalencia o leyes lógicas que son formas proposicionales tautológicas con carácter
general que permiten transformar y simplificar fórmulas lógicas.
Dos formulas F1 y F2 son equivalentes si: F1 F2 resulta ser una tautología. Y se
denota F1 F2
Un ejemplo de equivalencia es:
pq
pq . Basta revisar las tablas de verdad
La siguiente tabla muestra estas leyes.
Ley de
equivalencia
Conmutación
Asociación
Idempotencia
Involución
Fórmula
pq q p
p q qp
pqqp
(p q) r p(q r)
(p q) r p (q r)
(p q)r p (qr)
p p p
pp p
Ley de
equivalencia
Distribución
Complemento
Identidad
( p) p
Absorción
Implicación
122
p q p q p q
p q
pq
p (q r) (p q) (p r)
p(q r) (p q) ( p r)
p p F
p p V
(p) p
V F
FV
pFp
p V p
pVV
p F F
p(p q) p
p (pq) p
p( pq) pq
p p q p q
p q p q
pq (p q) (q p)
Doble
Implicación
Fórmula
De Morgan
( p q) p q
(p q) p q
Razonamiento Lógico Matemático
Las leyes lógicas nos ayudan a simplificar expresiones simbólicas, las cuales representan
enunciados. También nos sirve para demostrar la equivalencia entre esquemas
moleculares.
Ejemplos:
a) Se tiene el siguiente esquema:
~ p q r ~ s ~ q , simplificar utilizando
las
leyes lógicas.
Solución:
~ p q r ~ s ~ q
~ ~ p q r ~ s ~ q ……………..condicional
p ~ q r ~ s ~ q ……………..…De Morgan
r ~ s p ~ q ~ q ………………conmutativa
r ~ s p ~ q ~ q ………………Asociativa
~ q ~ q r s p ………………..conmutativa
~ q
………………..absorción
b) Simplifica {[(p q) p] p}
Solución:
{[(p q) p] p} {[ p (p q)] p} ley conmutativa
c) Demostrar que:
Solución:
{[ p(p q)] p}
ley implicación
{[ p (p q)] p}
ley absorción
{( p) p}
ley absorción
(V)
F
ley complementación
~ ~ p q ~ q p p q
~ ~ p q ~ q p
p q ~ q p
~ p q q p
~ p ~ q q p
q ~ q ~ p p
q ~ p p
p ~ p q
~
pq
Condicional
De Morgan
Conmutativa
Absorción
Conmutativa
Absorción
123
Razonamiento Lógico Matemático
ACTIVIDAD Nº 3
Orientaciones:
Simplifica cada una de las proposiciones propuestas que se te presentan, utilizando
las leyes de equivalencia.
01.
02.
03.
La proposición: “Voy al cine pero no veo la
película”, equivale a:
a) No voy al cine porque no me gusta la
película.
b) Si voy al cine entonces no veo la
película.
c) No es cierto que, si voy al cine en
consecuencia veo la película.
d) Ni voy al cine, ni veo la película.
e) es falso que, vaya al cine a ver la
película.
La proposición: “Los países pobres no son
desarrollados a menos que no sean
subdesarrollados”, equivale a:
a) No es verdad que, los países pobres
sean desarrollados o subdesarrollados.
b) Es mentira que, los países pobres sean
desarrollados también subdesarrollados.
c) De repente los países pobres son y no
son desarrollados y subdesarrollados.
d) los países pobres son y no son
subdesarrollados.
e) Sí, los países pobres son desarrollados
entonces son subdesarrollados.
~ ~ p ~ q p q
b) ~ p q
e) p ~ q
b) ~ p
e) q
10.
La fórmula proposicional: (p q)
1) (p q)
3) p q
Son ciertas:
2) p q
4) p q 5) p q
p) q”.
a) p
b) q
d) q
e) 1
c) p
La fórmula: (p F) (p F) equivale a:
a) p
b) V
d) p
e) p p
c) F
La fórmula proposicional: p q
a) (p q)
b) p q
c) p q
d) (p q)
La proposición: “Es absurdo que, la Tierra
sea una estrella así como el sol es un
planeta”, equivale a:
a) La Tierra no es una estrella y el sol no es
un planeta.
b) Si la tierra no es una estrella entonces el
sol no es un planeta.
c) La Tierra no es una estrella o el sol es
planeta.
d) La Tierra es mentira que sea una estrella
excepto que el sol no sea un planeta.
e) es falso que, la tierra es estrellada o el
sol no es un planeta.
se obtiene:
c) q
La fórmula: “((p q)
e) (p q)
c) p q
b) p
e) ~p ~ q
e) p q
Equivale a:
c) p q
Equivale a:
124
09.
Simplifica a su mínima expresión:
a) p q
d) p q
c) 3, 4 y 5
Equivale a:
11.
~ p q ~ p ~ r p
a) ~ q
d) p
06.
08.
b) 2, 3 y 4
e) 1, 4 y 5
La proposición: “Jugar equivale a recrear,
salvo que, recrear no sea lo mismo que
jugar”. Equivale formalmente a:
a) 0
b) 1
c) p
d) p
Después de simplificar la proposición,
lógica:
05.
07.
Simplifica la siguiente proposición:
a) p ~ q
d) p q
04.
a) 1, 2 y 3
d) 1, 2 y 5
12.
La proposición: “No es falso que no mienta
que, el perro es un vertebrado”, equivale a:
1) El perro es vertebrado y no vertebrado.
2) Es falso que el perro sea vertebrado.
3) Es inconcebible que el perro no sea
vertebrado.
4) El perro es un vertebrado.
5) El perro no es un vertebrado.
Razonamiento Lógico Matemático
c) Voy a la sierra además es falso que me
resfríe.
De las anteriores son ciertas:
a) 1, 2, 3
b) 2, 3, 4
c) 3, 4, 5
d) 3 y 4
e) 3, 5
13.
d) Iré a la sierra sin embargo no es verdad
que me resfriaré.
e) No voy a la sierra y me resfrió
Simplifica:
(A B) [ B ( A A) ]
14.
a) A
b) B
d) C
e) B A
¿Cuál de las siguientes relaciones es
correcta?
a) A es equivalente a B
b) C es equivalente a B
c) A es equivalente a B
d) A es equivalente a C
e) B es equivalente a C
se
19.
d) p
16.
17.
Bpr
c) p
C (q r )
e) p q
La proposición: “Maradona juega y no está
lesionado, a menos que, no juega pero está
lesionado”, equivale a:
a) Si Maradona no juega es porque está
lesionado.
b) Maradona no juega pero está lesionado.
c)
Es falso que, Maradona juega o no
está lesionado.
d) Es absurdo que, Maradona no juega si
y sólo si está lesionado.
e) No es mentira que sea falso que,
Maradona juega siempre que y sólo
cuando está lesionado.
La proposición: “No es verdad pensar que,
si voy a la Sierra inmediatamente me
resfrío”, no equivale a:
a) Voy a la sierra y no me resfrío.
b) Iré a la sierra pero de ninguna manera
me resfriaré.
Dados los esquemas moleculares:
Apq
tiene:
b) q
A p q p q
C p q
e) Ninguna
Al simplificar: (p q) (p q)
a) q
Dados los esquemas moleculares:
B p q
¿Cuáles de los siguientes enunciados son
proposiciones equivalentes?
a). Si tengo ahorros entonces me voy de
viaje.
b). Si no tengo ahorros entonces no voy de
viaje.
c). No tengo ahorros o voy de viaje.
a) I y II
b) I y III
c) II y III
d) I, II y III
15.
18.
c) B A
Indica lo correcto:
a) A implica a B
b) (A C) implican a B
c) [(A C) B] equivale a (A B)
d) B equivale a C
e) A equivale a B
20.
Dados
los
moleculares:
siguientes
esquemas
A p q q
B qp
Se cumple que:
a) A implica en B.
b) A es equivalente a B.
c) A equivale a (p q)
d) B equivale a (p q)
e) A es equivalente a B
125
Razonamiento Lógico Matemático
126
Razonamiento Lógico Matemático
Tema: 4
INFERENCIAS LÓGICAS Y CIRCUITOS LÓGICOS
“Mientras
existan
los
pensamientos existirán las
palabras, mientras existan las
palabras
existirán
los
hechos y mientras existan
los
hechos existirán
las
reflexiones”.
Kung FuTse, Confucio
Figura 5
Fuente:http://4.bp.blogspot.com/_5R-pOXY8b6c/TEPjq_ljrI/AAAAAAAAADs/3N94wiEZkdA/s400/cuadro.jpg
4.1.
Inferencias lógicas.
Es el conjunto de proposiciones en donde a partir de una o más proposiciones
llamadas premisas extraemos otra conocida como conclusión.
Ejemplo:
P1: Todos los peruanos son americanos.
Entonces:
C: Juan es americano.
P1: Juan es peruano
4.1.1. Métodos de demostración
Las inferencias se denotan de dos formas, así:
a) Forma vertical: La conjunción de
premisas que implican a la conclusión se
escriben verticalmente uno después del
otro y al término de la última premisa se
escribe una raya y tres puntos para
luego escribir la conclusión.
b) Forma Horizontal: Cuando la
conjunción de premisas que
implican a la conclusión se
escribe horizontalmente en forma
explícita usando los conectores
,
P1 P2 P3 …. Pn C
Premisas
Conclusión
P1
P2
P3
.
.
.
Pn
C
Premisas
Conclusión
127
Razonamiento Lógico Matemático
4.1.2. Reglas de inferencia
Las reglas de inferencia son tautologias que modelan razonamientos universalmente
correctos. Para determinar su validez se analiza la forma de las proposiciones
involucradas y no de los valores especificos de cada variable. Estas reglas se
relacionan para precisar una demostracion.
Ejemplo:
¿Es válido el siguiente argumento?
Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se hará rico.
Si se hace usted rico, entonces será feliz.
________________________________________________
Si usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz.
Sea:
p: Usted invierte en el mercado de valores.
q: Se hará rico.
r: Será feliz
De tal manera que el enunciado anterior se puede representar
con notación lógica de la siguiente manera:
p→q
q→r
______
p→r
Ejemplo:
¿Es válido el siguiente argumento?
Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso
El ingreso se eleva.
_________________________________________
Los impuestos bajan
Solución:
Sea:
p: Los impuestos bajan.
Tenemos:
p→q
q
_____
p
128
q: El ingreso se eleva.
Razonamiento Lógico Matemático
Las reglas de inferencia al relacionarse entre las proposiciones que participan en un
proceso de razonamiento permiten determinar otras nuevas líneas validas y para esto
se debe tener especial cuidado al aplicar la regla correcta. Existen varias reglas de
inferencia que se pueden aplicadar en una demostracion entre ellas tenemos:
1. Adición
p
_______
p q
4. Conjunción
p
q
_________
p q
2. Simplificación
p q
_________
p
5. Modus ponens
p
p→q
_________
q
3.
6. Modus tollens
p→q
~q
___________
~p
Silogismo disyuntivo
p q
~p
_________
q
7.- Silogismo hipotético
p→q
q→r
________
p→r
4.1.3. Validez de una inferencia
La validez es una cualidad de las inferencias, solamente las inferencias pueden ser
válidas (correctas) o inválidas (incorrectas). Una inferencia es válida cuando la
conclusión se ha derivado lógica y necesariamente de las premisas.
En la validez no interesa el contenido de las proposiciones (sean verdaderas
o falsas) que integran la inferencia, sino que la estructura que tenga cumpla
con las reglas, métodos y procedimientos de la lógica. Ejemplo:
Todo universitario es estudiante (V)
Algún tacneño es universitario (V)
Algún tacneño es estudiante
Inferencia válida
(V)
129
Razonamiento Lógico Matemático
4.1.4. Método para determinar la validez de una inferencia
Existen diversos métodos, entre los más utilizados tenemos:
Método de las tablas de verdad.
Método de las leyes lógicas.
Método de las inferencias notables.
Aquí solo veremos los métodos de tablas de verdad y el método abreviado.
4.1.5. Prueba de la validez por tablas de verdad
Como una inferencia es válida si y sólo si
(P1 P2 P3 …. Pn) Q, es una
tautología. Entonces debemos analizar la tabla de verdad de toda la inferencia.
Ejemplo:
Se tiene el siguiente razonamiento: “Manuel es contador o administrador, pero Manuel
es administrador por tanto Manuel no es contador”.
Determinar si es válido o no.
“Manuel es contador o administrador, pero Manuel es administrador
Manuel no es contador”
( P1
P2
)
Q
por tanto
Además P1: Manuel es contador o administrador: (p q)
p
q
P2: Manuel es administrador: q
Q: Manuel no es contador: p
Luego la inferencia se simboliza de la siguiente forma:
(p q) q p
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
(pq)
V
V
V
F
. Analizamos la tabla de verdad:
V
F
V
F
q
V
F
V
F
F
V
V
V
p
F
V
F
V
En conclusión el razonamiento no es válido, puesto que debe ser una
tautología.
4.1.6. Prueba de la validez por método abreviado
Este procedimiento evita la tarea de construir tablas, es conveniente sobre todo cuanto
se trabaja con más de dos proposiciones simples.
Consiste en suponer la conjunción de premisas Verdadera y la conclusión Falsa, como
única posibilidad que invalida la implicación (inferencia):
(P1 P2 P3 …. Pn) Q
( V V V …. V ) F
V
130
Razonamiento Lógico Matemático
Ejemplo:
Si el clima está seco entonces el enfermo se mejora
Si el enfermo se mejora, la familia gasta menos dinero
Luego, si el clima es seco, la familia gasta menos dinero.
Solución:
p: “El clima es seco”
q: “El enfermo se mejora”
r: “La familia gasta menos dinero”
pq
Forma lógica será:
qr
p r
La
inferencia
se
simboliza
de
la
siguiente
manera:
p q q r p r
Utilizando el método abreviado tenemos:
p q q r p r
V
V
F
Se tiene:
(i)
prF
V
(ii)
F
pV
y
r F
(p q) (q r) V
(V q) (q F)
V
V
Donde:
VqV
y
q FV
Se observa que: “q” puede tomar el valor de verdad (V o F) y así se llega
a una
contradicción al reemplazar el valor de verdad en el esquema
molecular.
La argumentación es correcta
131
Razonamiento Lógico Matemático
4.2.
Circuitos.
Vamos
a
ejemplificar
la
materialización
del
cálculo
proposicional, empleando el más
antiguo de los dispositivos que ya
fue utilizado para fines lógicos por
nuestro sabio ingeniero Leonardo
Torres Quevedo, a finales del siglo
XIX, al construir sus máquinas
aritméticas y su jugador de ajedrez.
Figura 6
Fuente:http://2.bp.blogspot.com/_BuaRahAIcHM/SlkzyNviLI/AAAAAAAAAL0/l2ZzdSfPTgg/s320/circuitoelemental.gif
4.2.1. Circuitos conmutadores
Un circuito conmutador es un circuito eléctrico que contiene interruptores para el paso
o interrupción de la corriente.
Para el diseño de estos circuitos designemos por “p” y “q” dos interruptores eléctricos
que dejan pasar corriente y por “~p” y “~q” los que no dejan pasar corriente estos se
pueden conectar por un alambre en serie o en paralelo.
Gráficamente tenemos:
Figura (1)
Figura (2)
En la figura (1) se tiene un circuito en serie y se representa por:
En la figura (2) se tiene un circuito en paralelo y se representa por:
Observación: Su evaluación en tablas de verdad es:
p
q
p
1
1
1
q
p
q
p
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
Donde: 1 = verdadero (V)
132
q
0 = falso (F)
Razonamiento Lógico Matemático
Ejemplo1:
Describe
p
siguiente
p
simbólicamente
el
circuito:
q
q
r
r
p
q
Solución: Observemos que el circuito esta en serie y en paralelo, tenemos:
p y q están en paralelo es decir: p v q
p, (p v q) y q están en serie, es decir: p
r y q están en paralelo es decir: r v q
r , (r v q) y p están n serie, es decir: r
(p v q)
(r v q)
q
p
Luego: la representación de todo el circuito es:
[p
(p v q)
q] v [r
(r v q)
p]
4.2.2. Simplificación de circuitos
Para la simplificación de circuitos se debe tener en consideración las leyes de
equivalencia.
Ejemplo 2: Del ejemplo anterior se tiene que el circuito queda simplificado de la
siguiente manera:
[p
(p v q)
q] v [r
(r v q)
p]
Ξ {[p
(p v q)]
q} v {[r
Ξ (p
q) v (r
p)
Ξ [(p
q) v r]
[(p
Ξ [(p
q) v r]
p
Ξ [(p v r)
(q v r)]
Ξ [(p v r)
p]
Ξ
p
(r v q)]
p}
q) v p]
p
(q v r)
(q v r)
Luego: se obtiene el circuito:
p
q
r
133
Razonamiento Lógico Matemático
Ejemplo 3:
Simplificar el
siguiente
circuito
p
p
q
q
q
p
q
q
p
p
p
Solución: Tenemos:
{[p
(p v q)
(q v p) p]}
Ξ {(p
q)
v
[(q p) p]}
Ξ {(p
q)
v
[(q (p
Ξ {(p
q)
v
(q
Ξ {(p
q) v
F}
Ξ {(p
q)}
( p
(q
Ξ
F
F
F
q)
q)
p
(p v q)
( p
p)]}
F)}
( p
Ξ (p p)
Ξ
134
q] v [q
( p
q)
( p
q)
q)
q)
Razonamiento Lógico Matemático
ACTIVIDAD Nº4
Orientaciones:
1. Aplicando las leyes de la implicación determinar la conclusión de las afirmaciones
propuestas.
2. Demostrar cada uno de los argumentos anteriores si son válidos o no.
3. Simplifica y representa los circuitos propuestos.
Se tiene los siguientes argumentos:
01. Si terminamos la obra, entonces tomaremos el
nuevo contrato; terminamos la obra. Por tanto
a) No tomaremos el nuevo contrato
b) Tendremos unos días libres
c) Tal vez tomemos es nuevo contrato
d) Tomaremos el nuevo contrato
e) Tenemos tiempo para el nuevo contrato
07. Es jueves a menos que vaya a la universidad;
no he ido a la universidad. En consecuencia
a) He tenido algunos contratiempos
b) Es jueves o estoy trabajando
c) Hoy no me toca clases
d) Es jueves entonces estoy trabajando
e) No es jueves
02. Si ha estudiado, entonces aprobará el curso;
ha estudiado. En consecuencia
a) Desaprobará el curso
b) No es cierto que no apruebe el curso
c) No dará examen de recuperación
d) Puede irse de vacaciones
e) Ya sabe los temas del curso
08. Ha vendido o ha comprado, no ha comprado.
Entonces
a) No ha vendido
b) No ha comprado
c) Ha vendido y tiene dinero
d) No ha vendido o tiene dinero
e) Si no ha vendido entonces tiene dinero
03. Si tiene dinero, entonces postulará a la
universidad; Es innegable que tiene dinero. En
conclusión
a) Tiene la intención de postular a la U
b) Estudiará una carrera en la universidad
c) Está mejorando el negocio
d) Tiene la posibilidad de postular a la U
e) Postulará a la universidad
09. “Si Miguel es deportista, entrena. Al entrenar
es obvio que siempre está preparado para
competir”. En consecuencia
1. En el caso que Miguel sea deportista
estará preparado para competir.
2. Miguel es deportista además está
preparado para competir.
3. No es deportista salvo que esté preparado
para competir Miguel.
4. Es falso que, si Miguel no es deportista por
ello esté preparado para competir.
5. Es imposible que, Miguel sea deportista
mas no esté preparado para competir.
Son ciertas:
a) 1, 2,3
b) 1, 3,5
c) 3, 4,5
d) 2, 4,5
e) 2 y 4
04. Si hacemos ejercicios todos los días, entonces
tendremos buena salud; no tiene buena salud.
Por tanto
a) A veces entrena
b) No hace ejercicios
c) Hay que entrenar
d) Hace ejercicios
e) No hace ejercicios todos los días
05. Si Vallejo es peruano, entonces Borges es
argentino. Borges no es argentino. Luego:
a) Vallejo nació en el Perú
b) No se sabe donde nació Vallejo
c) Vallejo no es peruano
d) Borges es argentino
e) No es cierto que Vallejo no sea peruano
06. Trabajo o viajo; no viajo. Por tanto:
a) Puede que trabaje
b) Me quedaré
c) No trabajo
d) Trabajo
e) Perderé las vacaciones
10. “Ya que existió el Racionalismo por ende
surgió el Empirismo. Sin embargo, es
innegable que el culto a la razón tuvo gran
vigencia en la Filosofía”. Por ello:
1. No tuvo vigencia el culto a la experiencia.
2. También tuvo vigencia el Empirismo.
3. Apareció el Eclecticismo.
4. Es indefectible que el culto a la experiencia
tuvo vigencia.
5. Existió el Racionalismo.
Son anti incorrectas:
a) Sólo 5
b) 1 y 5
c) 2 y 4
d) 2, 5 y 4
e) 1, 3 y 5
135
Razonamiento Lógico Matemático
11. “Salvo que no trabaje, tengo dinero. Más si
fuese el caso que no tengo dinero”,
concluiríamos en:
1. Trabajo.
2. Dejé de trabajar.
3. No tengo trabajo.
4. No me dedico al trabajo.
5. A veces trabajo y a veces no trabajo.
Son correctas:
a) 1, 3,5
b) 1, 3
c) 2, 4,3
d) 3, 5
e) 1, 2, 4
12. No hay democracia a menos que a la vez
haya participación popular. Empero no hay
participación popular excepto que incluso haya
crisis”, por tanto:
1. Si hay democracia, hay instrucción.
2. Al no haber crisis tampoco hay democracia
3. Jamás hay democracia salvo que a la vez
haya crisis.
4. Es mentira que, hay democracia sin
embargo no hay crisis.
5. Hay crisis salvo que también no haya
democracia.
Son ciertas:
a) 1, 2,3
b) 2, 3,4
c) 3, 4,5
d) Todas
e) 1, 3,5
13. “No hay artistas a menos que haya
creatividad. Si hay creatividad por ende
existen pintores”, en consecuencia:
1.
Dado que hay pintores se deduce que
hay artistas.
2.
Hay pintores salvo que no existan
artistas
3.
Puesto que no hay artistas se infiere que
no existen pintores.
4. Es objetable que, existan artistas sin
embargo no existan pintores.
5. Jamás habrá pintores salvo que hayan
artistas.
Son falsas:
a) 1, 3, 5
b) 2, 4,5
c) 2 y 4
d) 1 y 3
e) 1, 5
14. Determina el circuito equivalente al circuito
dado:
p
q
p
p
c)
136
p
b)
q
p
q
p
a) 30 soles
d) 45 soles
b) 40 soles
e) 15 soles
16. Simplifica y da la proposición
corresponde al circuito:
q
p
q
e) n.a.
que
q
A
a) p
d) p q
q
p
B
p
c) q
b) q
e) q
17. Reduce el siguiente circuito:
a) – p –
d) – p – q –
c) – p –
b) – q –
e) – q –
18. La proposición: p { q v [ p ( p r) ] }
equivale al circuito:
a) – p – q –
b) – q – r –
e) – p –
19. Señale el circuito equivalente:
[ (p q) p ] [ p (p q) ]
a) – p –
b) – q –
c) – p – q –
d) p –
e)
20. Simplifica el circuito siguiente:
s
s
t
s
p
q
c) 60 soles
s
r
p
d)
q
p
t
q
q
a)
p
15. Si el costo de cada llave en la instalación del
circuito es de S./15 ¿Cuánto se pagaría si
reemplazamos la instalación su equivalente
más simple:
t
s
t
Señale el esquema correspondiente:
a) s
b) t
c) s
d) t
e) s v t
Unidad II
Razonamiento Lógico Matemático
TEORÍA DE CONJUNTOS,
ECUACIONES E INECUACIONES
Se alcanza el éxito
convirtiendo cada
paso una meta y
cada meta en un
paso.
C. Cortez
Figura 7
Fuente:
http://edu.jccm.es/ies/labesana/index.php?option=com_content&ta
sk=view&id=218&Itemid=0
Capacidades
-
Aplica operaciones con conjuntos en la solución de
problemas.
Resuelve problemas de ecuaciones lineales y cuadráticas
relacionados con su entorno.
Matematiza situaciones de diferentes contextos al resolver
problemas con sistema de ecuaciones relacionados con su
entorno.
Aplica algoritmos para la resolución de ejercicios y
problemas con inecuaciones lineales y cuadráticas.
137
Razonamiento Lógico Matemático
138
Razonamiento Lógico Matemático
Tema: 5
DEFINICIONES BÁSICAS Y OPERACIONES CON
CONJUNTOS
La teoría de conjuntos es una
división de las matemáticas que
estudia los conjuntos. El primer
estudio formal sobre el tema fue
realizado por el matemático
alemán Georg Cantor en el Siglo
XIX y más tarde reformulada por
Zermelo.
Figura 8
Fuente:http://www.ehu.es/ehusfera/mathvideos/files/2010/05/conjuntos.gif
5.1
Noción de conjunto
El concepto de conjunto es fundamental en todas las ramas de la matemática.
Intuitivamente un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos,
objetos que como se verá en los ejemplos, pueden ser cualquiera: números, personas,
letras, ríos, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. Si bien los
conjuntos se estudian como entidades abstractas, veamos ejemplos particulares de
conjuntos.
Ejemplos:
1) Los números 2,4, 6 y 8. Es decir: A = {2, 4, 6, 8}
2) Las soluciones de la ecuación y2 - 3y – 2 = 0.
3) Las vocales del alfabeto: a, e, i, u, o. Es decir: B = {a, e, i, u, o}
4) Las personas que habitan la tierra.
5) Los estudiantes: Fernando, Carlos y Erick. C = {Fernando, Carlos, Erick}
6) Los países: Alemania, Francia, Finlandia. Es decir: D = {Alemania, Francia, Finlandia}
7) Las ciudades capitales de Europa.
8) Los números: 2, 4, 6, 8,… Es decir: E = {2, 4, 6, 8,….}
9) Los ríos de Perú.
139
Razonamiento Lógico Matemático
5.2
Notación
Es usual denotar los conjuntos con las letras mayúsculas: A, B, X, Y,…Los elementos de
los conjuntos se representan por letras minúsculas a, b, c, x, y, al definir un conjunto con
la efectiva enumeración de sus elementos, por ejemplo, al A que consiste en los números
2, 4, 6 y 8, se escribe A = {2, 4, 6, 8}. Separando a los elementos por comas y
encerrándolos entre llaves { }. Esto es la llamada “forma tabular de un conjunto”. Pero si
se define un conjunto; enunciando propiedades que deben tener sus elementos, como,
por ejemplo, el H, conjunto de todos los números pares, entonces se emplea una letra por
lo general x, para representar un elemento cualquiera y se escribe H = {x|x es par} lo que
se lee “H es el conjunto de los números x tal que x es par”. Se dice que esta es la forma
de definición por comprensión o constructiva de un conjunto. Téngase en cuenta que la
barra vertical “|” se lee “tales que”.
Para aclarar el empleo de la anterior notación, se escriben de nuevo los conjuntos de los
ejemplos anteriores, designando los conjuntos respectivamente.
Ejemplos:
1)
A = {2,4,6,8}
2)
F={y | y2 - 3y – 2 = 0}
3)
B={a, e, i, o, u}
4)
G={x|x es una persona que habita la tierra}
5)
C={Fernando, Carlos, Erick}
6)
D={Alemania, Francia, Finlandia}
7)
I={x|x es una ciudad capital y x está en Europa}
8)
E= {2, 4, 6, 8,…}
9)
J={x|x es un río y x esta en Perú
Si un objeto x es elemento de un conjunto A, es decir, si A contiene a x como uno
de sus elementos se escribe xA, que se puede leer x pertenece a A ó x está en A. Si
por el contrario x no es un elemento de un conjunto A, es decir, si A no contiene a x entre
sus elementos, se escribe xA, que se lee “x no está en A” o “x no pertenece a A”
Es costumbre en los escritos matemáticos poner una línea vertical “|” u oblicua “/”
tachando un símbolo para indicar lo opuesto o la negación del significado del símbolo,
ejemplo:
B = {a, e, i, o, u}, aB; bB; eB; f B.
G= {x|x es par}, 3G; 2G; 11G; 12G.
140
Razonamiento Lógico Matemático
5.3
Cardinal de un conjunto
Es la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Se denota mediante la letra "n" así:
n(A): se lee “El cardinal del conjunto A” o
“la cantidad de elementos que tiene el conjunto A”
Ejemplo:
Dado el conjunto A = {0; 2; 4; 6; 8; 10} n(A) = 6
5.4
Relación de pertenencia
Un elemento pertenece () a un conjunto si forma parte o es agregado de dicho conjunto.
Un elemento no pertenece () a un conjunto si no cumple con la condición anterior. Esta
relación vincula un elemento con un conjunto, más no vincula elementos o conjuntos
entre sí. Es decir el símbolo representa la relación que existe entre un elemento y un
conjunto, cualquier elemento "x" pertenece o es elemento del conjunto A (x A) o no es
elemento del conjunto A ( x A)
Ejemplo 1:
Dado el conjunto:
A = {14; 23; 17; 29}
Entonces:
14 A (14 pertenece a A)
29 A (29 pertenece a A)
15 A (15 no pertenece a A)
Ejemplo 2:
Dados los conjuntos:
A = {0; 2; 4; 6; 8; 10} y
B = {a, e, o}
Se tiene que:
8 A
0 B
11 A
g B
{0; 2} A
Nota en esta última expresión {0; 2} A que para usar la relación de pertenencia se
relaciona un solo elemento con el respectivo conjunto.
141
Razonamiento Lógico Matemático
5.5
Determinación de un conjunto
5.5.1 Por Comprensión o de forma constructiva:
Es cuando se define al conjunto se enuncia una propiedad común que caracterizan a
todos los elementos de dicho conjunto.
Ejemplo:
A = {x / x es un número natural par menor que 15}
B = {x / x es una vocal abierta}
C = x/x N 4 x 7
5.5.2 Por extensión o de forma tabular:
Es cuando se nombran explícitamente a todos los elementos del conjunto.
Ejemplo: Desarrollando los conjuntos que están escritos arriba por comprensión serán
escritos por extensión así:
A = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14}
B = {a, e, o}
C = 5, 6, 7
Ejemplo:
Denotar por comprensión el siguiente conjunto: B = {99; 999; 9999; 99999}
Solución:
99
= 100 – 1
= 102 – 1
999
= 1000 – 1
= 103 – 1
9999
= 10000 – 1
= 104 – 1
99999 = 100000 – 1 = 105 – 1
Luego entonces, si llamamos “x” al exponente de 10 podremos decir que este x
N, donde 2 x < 6
Así, el conjunto denotado por comprensión sería:
B = {10x – 1 / 2 x < 6; x N}
5.6
Clases de conjunto
5.6.1 Por el número de elementos:
A) Vacío o Nulo: Es aquel conjunto que carece de elementos.
Se denota así:
ó
Ejemplo 1:
A = x N/ 5 x 6
Desarrollando por extensión será:
A =
142
o
A=
Razonamiento Lógico Matemático
Ejemplo 2:
B = x R/ x ≠ x
Desarrollando por extensión será:
B=
B =
o
B) Unitario o Singletón: Es aquel conjunto que tiene un solo elemento; es decir
su cardinal es 1:
Ejemplo:
G = x Z / -4 x -2
Desarrollando por extensión será:
G = -3
n(G) = 1
C) Universal: (U): Es un conjunto de referencia para el marco de una situación
particular, es posible elegirlo de acuerdo a lo que se trate.
También se puede definir como
un conjunto referencial que se tiene
convenientemente para el estudio de otros conjuntos incluidos en el.
Ejemplo:
D
o
n
d
e
:
U
= -7; -3 ; 3 ; 1 ; 1; 2 ;
7
5 ; 3,25 (Conjunto Universal)
2
N = 1; 2
Z = -7; -3; 1; 2
Q = -7; -3; 3 ; 1 ; 1; 2
7
2
Q* = 5
D) Finito: Aquel que tiene un limitado número de elementos. Su cardinal se
puede determinar:
143
Razonamiento Lógico Matemático
Ejemplo:
M = x/x es una ciudad del Perú
E) Infinito: Aquel que posee una cantidad ilimitada de elementos:
Ejemplo:
K = x/x es un número natural
5.6.2 Por la relación entre los conjuntos
A) Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningún elemento
común. Su gráfica es:
A
B
AB=
Ejemplo 1: Consideremos los siguientes conjuntos:
A = 1; 2; 4; 6
B = 5; 8; 16; 3
AB=
Entonces:
Ejemplo 2: Consideremos los siguientes conjuntos:
A = x, g, t, d
B = m, n, u, r
AB=
Entonces:
B) Diferentes: Aquellos que, teniendo distintos elementos tienen por lo menos un
elemento común (pero no todos). Su gráfica es:
A
B
Ejemplo 1: Sean los conjuntos:
A = 1; 2; 5; 4; 6
B = 5; 8; 16; 3
Entonces: A B = 5
Ejemplo 2: Sean los conjuntos:
A = x, g, t, d
B = m, n, x, u, r
Entonces:
A B = x
144
AB
Razonamiento Lógico Matemático
C) Comparables: Dos conjuntos A y B son comparables si y solo si A B ó B
A. Su gráfica es:
Ejemplo 1: Sean los conjuntos:
Ejemplo 2: Sean los conjuntos:
A = 1; 2; 3
A = x, g, t, d
B = 1; 2; 3; 5; 8
B = x, g
Entonces:
AB
D) Equipotentes
o
Entonces: B A
Equivalentes:
Cuando
entre
sus
elementos
puede
establecerse una correspondencia biunívoca. (tienen el mismo número de
elementos)
Ejemplo: Sean los conjuntos:
A = 1, 2, 3, 4
B = a, b, c, d
Se tiene: n(A) = n(B) = 4
Luego: Se dice que: A y B son Conjuntos equivalentes
5.6.3 Conjunto especiales:
A) Conjunto de Conjuntos: También se le denomina "Familia de Conjuntos" y es
aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos:
Ejemplo: Así tenemos:
A = 3, 1, 4, 6, 7
B) Conjunto Potencia: Se llama conjunto potencia de A (o conjunto de partes de
A) al conjunto formado por todos los subconjuntos de A.
Se le denota por: P(A)
El número de elementos de P(A) está dado por 2n, donde "n" representa el
número de elementos del conjunto A.
Es decir:
nP(A) = 2n(A)
Ejemplo: Si: A = 1, 3 y n(A) = 2 elementos
145
Razonamiento Lógico Matemático
Entonces:
n P(A) = 2n(A) = 22 = 4
P(A) = , 1, 3, 1, 3
Luego:
5.7
Relaciones entre conjunto
5.7.1 Relación de inclusión
Es la relación que existe entre dos conjuntos: Se dice que "El conjunto A está incluido
en el conjunto B (Se denota A B), cuando todo elemento que pertenece al conjunto
A también pertenece al conjunto B.
A B x, xA xB
Es decir:
El número de subconjuntos de A: nP(A) = 2n(A)
Ejemplo: Si: A = 1; 2; 3 y n(A) = 3 elementos
Entonces: El número de subconjuntos de A: n P(A) = 2n(A) = 23 = 8
Es decir:
P(A) = , 1,2, 3, 1, 3 1,2, 2, 31, 2, 3
Observación: Se dice que A es subconjunto propio de B si y solo si A B y A B.
Y el número de subconjuntos propios de A, esta dado por: 2n(A) – 1
5.7.2 Relación de igualdad
Intuitivamente dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos.
Es decir: A = B A B
BA
Ejemplo: Sean los conjuntos: A = 1; 2; 3 y B = x/x N 0 x 3.
Tenemos: Desarrollando por extensión al conjunto B se tiene:
B = 1; 2; 3
5.8
Luego: A = B
Operaciones con conjuntos
Entre las operaciones de conjuntos tenemos:
5.8.1
Unión o reunión (AB): Es aquel conjunto que tiene como elementos a aquellos
que pertenecen al conjunto A y/o a B. Es decir:
A B x/x A ó x B
A
B
B
A
146
A
B
Razonamiento Lógico Matemático
Ejemplo: Consideremos los conjuntos:
A = 1; 2; 3
B = 3; 4; 5
Luego: A B = A = 1; 2; 3; 4; 5
Propiedades.
AB = BA
AA = A
A(AB)
A = A
B (AB)
AU = U
U = Conjunto Universal
5.8.2
Intersección (AB): Es aquel conjunto que tiene como elementos a aquellos que
pertenecen al conjunto A y B (son elementos comunes o ambos). Es decir :
AB = x/x Ax B
A
A
B
B
A B=
B
A
Ejemplo:
Sean:
A = 1; 2; 3
B = 3; 4; 5
Luego: A B = 3
5.8.3
Diferencia (A-B): Es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen a "A" pero no al
conjunto "B". Es decir :
A - B = x/x A x B
Ejemplo: Considere los conjuntos:
A = 1; 2; 3
Se tiene:
B = 3; 4; 5
A - B = 1; 2
Propiedades:
A-B B-A
A-A =
147
Razonamiento Lógico Matemático
(A-B) A
A-=A
(B-A) B
-A=
(A-B) (AB) = A
A-B==B-AA=B
Gráficamente tenemos:
A
A–B
5.8.4
A
B
B–A
B
A–B
B-A
Diferencia simétrica (AB): La diferencia simétrica de A y B es el conjunto de
elementos que pertenecen a A ó B pero no a ambos conjuntos. Es decir:
A B = x/xA ó xB; x(AB)
AB = (A-B) (B-A)
También:
AB = (AB) - (AB)
A
B
A
B
B
A
Ejemplo: Sean los conjuntos:
A = 1; 2; 3
B = 3; 4; 5
Entonces: A B = 1; 2; 4; 5
Propiedades:
148
AA=
A=A
AB=BA
Si: A y B son conjuntos disjuntos, entonces A B = A B
Si: B está incluida en A, entonces: A B = A – B
Razonamiento Lógico Matemático
5.8.5
Complemento (A') (Aº): Es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen al
universo pero no al conjunto A. Es decir:
A' = x/x U xA
Gráficamente se tiene:
Ejemplo: Considere los conjuntos:
A = 1; 2; 3
U = 1; 2; 3; 4; 5
Se tiene: A' = 4; 5
Propiedades:
AA' = U
AA =
(A')' = A
' = U
Leyes de Morgan:
(AB)' = A' B'
(AB)' = A' B'
Leyes y propiedades del algebra de conjuntos
1. Reflexivas
1A.
1B.
1C.
4. Distributivas
AA=A
AA=A
AA=A
4A. A (B C) =
4B. A (B C) =
4C. (A B) C =
4D. (A B) C =
(A B) (A C)
(A B) (A C)
(A C) (B C)
(A C) (B C)
2. Conmutativas
5. De la inclusión
2A. A B = B A
2B. A B = B A
2C. A B = B A
A B B
A B A
Si: A B
A - B
A B B - A
3. Asociativas
3A.
3B.
3C.
A (B C) =
A (B C) =
A (B C) =
(A B) C
(A B) C
(A B) C
6. De la exclusión
Si A y B son disjuntos:
A B
A - B A
A B A B
149
Razonamiento Lógico Matemático
7. Elemento neutro
7A.
7B.
7C.
7D.
A=A
A=
AU=U
AU=A
8. Del complemento
8A.
8B.
8C.
8D.
8E.
150
(A')' = A
A A' = U
A A' =
' = U
U' =
9. De la diferencia
9A.
9B.
A - B = A B'
A - B = B' - A'
10. Leyes de Morgan
10A.
10B.
(A B)' = A' B'
(A B)' = A' B'
11. De absorción
12A. A (A B) = A
12B. A (A B) = A
12C. A (A' B) = A B
12D.
A (A' B) = A B
Razonamiento Lógico Matemático
ACTIVIDAD Nº5
Orientaciones:
1. Se te presentan una lista de ejercicios, en las que deberás aplicar las definiciones, clases y
propiedades de conjuntos.
2. Se te presenta una lista de problemas de dos conjuntos a más, que deberás desarrollar
tomando los criterios básicos de los conjuntos
IV.
{ { 2 } , 1 } P ( A )
V.
{1}P(A)
VI.
{1,2}A
VII.
{1,2,3} A
¿Cuántas expresiones son falsas?
01. Dado el conjunto:
A={1,2, {2},{2,3},{1,2,3} }
I.
{1,2,3} A
II.
2 A
III.
{1 , 2 } A
a)2 b)3 c)4
d) 5 e ) 6
I
02. De las siguientes expresiones :
II.
P ( A ) y n ( P( ) 2
IV . Si A B A B
c) 18
III.
Son verdaderas:
a) I, II y III
b) I , III y IV
c) II , III y IV
d) I , II y IV
x/ x x
A B A
e) I y II
A B . Luego la proposición falsa es :
a) A B '
b) B ' A '
c) A B B
d) A B A
e) B A B
equivale a :
a) x A
x A (B A ' )
c)
05. Si
x A
b)
x A B '
d)
x U
e)
A 3n 8 , 44
a)
Además
Calcule
a) 9
c) 36
c)
d)
4, 3, 2, 1,1,2
4, 3, 2, 1,4 ,5
4, 3, 2 , 1,3 ,5
4, 3, 2, 1, 4
4, 3, 2, 1,2 ,5
09. Dados los conjuntos
U 1,1, 3 ,7, 8 ,9
xB '
A x U / x 7 x 7
B x U / x 1 x 3
y
Halla
A B y B A
A'
B '
1, 3 , 7 b) 1,1, 3
c) 1,1, 7
d) 1,1
e) 1,1, 3 , 7
e) 32
06. Sean A={ x / x es país sudamericano } ,
B={ x / x es país americano } y
H P P P P ( A B )
a)
nm
b) 16
d) 64
b)
e)
,
B 10 , mn 20
e) 22
08. Dados los conjuntos
A = {x R/1 – x (-4,6]} [-4,8]
B = {x R – [0,4)}
Luego A B Z es:
03. Si
04. La expresión
d) 20
Luego el número de elementos de H es:
a) 1
b) 2
c) 8 d) 16 e) 32
07. Dados los conjuntos
M p, r , e, c,, i, o
N e, m, p, r , e, s, a
si
h
es el número de subconjuntos
propios de M que son disjuntos con N.
k es el número de subconjuntos no vacíos
de N que son disjuntos con M. Halla h + k
a) 14
b) 15
10. De 342 estudiantes que han rendido
dos
exámenes se sabe que: 180 aprueban el
primero, 130 aprueban el segundo y 140 no
aprueba ninguno de
estos exámenes.
¿Cuántos aprobaron los dos exámenes?
a) 80
b) 90
c) 100
d) 108
e) 180
11. Si A = {3, {4}, {2, 9}}. Identifica la afirmación
verdadera:
a) {3, 4, 2, 9} A
b) 4 A c) {2, 9} A
d) 3 A
e) {{2, 9}} A
151
Razonamiento Lógico Matemático
12. Sean A, B y C conjuntos tales que: A C ;
C B; n(A B) = 30; n(A B) = 90 ; n(A) =
n(B) + 30 ; n(C) = 120.
Determine: n [(C – A) (B – A)]
a) 55
b) 50
c) 45
d) 40
e) 60
13. ¿La parte sombreada de la figura que
operación representa?
A
B
C
a) (A – B) [(B – C) – A]
b) [C – (A B)] [(B C) – (A B)]
c) [(A B) – C] [(B C) – (A B)]
d) [(A C) (B C)] – (A B)
e) B – [C (B – A)´]
14. Si para los conjuntos A, B, C se tiene: A B y
C A = Simplifica la expresión:
{[A (B-C)] [B (C-A)]} {(A-B C}
a) A (B-C) b) B C
c) A
d) B
e)
15. De 32 personas se conoce:
4 mujeres tiene 16 años
12 mujeres no tienen 17 años
14 mujeres no tienen 16 años
9 varones no tienen 16 ni 17 años
¿Cuántos varones tienen 16 a 17 años?
a) 5
d)4
b) 6
e) 8
c)7
16. En un conjunto que forman 40 personas hay
algunas que estudian e trabajan y otros que
estudian ni trabajan, si hay; 15 personas que
no estudian ni trabajan, 10 personas que
estudian, 3 personas que estudian y trabajan.
¿Cuántas personas solo estudian?
a) 18
b) 15
c) 7
d) 2
e) 33
17. 100 personas respondieron a un cuestionario
firmado por 3 preguntas, cada pregunta debía
contestarse por sí o por no y una sola de estas
respuestas es correcta. Si sabemos que:
8 personas contestaron bien las 3
preguntas.
152
9 personas contestaron bien solo la 1ra y
la 2da.
11 personas contestaron bien solo la 1ra
y la 3ra.
6 personas contestaron bien solo la 2da y
la 3ra.
55 personas contestaron bien la 1ra
pregunta por lo menos.
32 contestaron a la 2da por lo menos.
49 respondieron a la 3ra por lo menos.
¿Cuántas personas no contestaron bien
ninguna pregunta?
a) 18
b) 15
d) 22
e) 33
c) 7
18. Dado el conjunto A = { 1 , 2 , { 2 } , { 2 , 3 } ,
{1,2,3} }
I.
{1,2,3} A
II.
2 A
III.
{1 , 2 } A
IV.
{ { 2 } , 1 } P ( A )
V.
{1}P(A)
VI.
{1,2}A
VII.
{1,2,3} A
¿Cuántas expresiones son falsas?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
19. Una agencia automotriz
vendió 47
automóviles en Marzo del 2011 ; 23 de ellos
tenían dirección Hidráulica, 27 eran
de
cambio automático y 20 tenían radio ; 3
tenían
dirección
hidráulica,
cambios
automáticos, pero no tenían radio; dos tenían
cambios
automáticos y radio , pero no
tenían dirección hidráulica y 4 radio, pero no
tenían cambios
automáticos aunque tenían
dirección
hidráulica. ¿Cuántos autos se
vendieron con solamente uno de estos
accesorios?
a) 36
b) 31
c) 25
d) 20
e) 16
20. En un aula de 50 alumnos, aprueban
matemática 30 de ellos ; física 30 ;
castellano 35;
matemática y física 18;
física y castellano 19,
matemática y
castellano 20 y 10 alumnos aprueban los 3
cursos ; se deduce que:
a) 2 alumnos no aprueban ninguno de los
tres cursos
b) 8 alumnos aprueban matemática y
castellano, pero no física
c) 6 aprueban matemática y física; pero no
castellano
d) 2
aprueban matemática, pero no
aprueban matemática y física
e) faltan datos
Razonamiento Lógico Matemático
Tema: 6
ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
Último
Figura 9. Perez Reverte A.El último teorema de Fermat.
Fuente: http://3.bp.blogspot.com/
Teorema
de
Fermat:
las
ecuaciones
del
Si n es un número entero mayor que 2 (o sea, n > 2), entonces no
existen números enteros a, b y c distintos de 0, tales que cumplan la
igualdad:
a^n + b^n = c^n. Fermat supuestamente escribió en los márgenes de
un libro que había descubierto una maravillosa demostración de este
teorema, pero que no le cabía en ese espacio. Falleció sin haber
hecho pública nunca la solución. El 23 de junio de 1993, Andrew
Wiles, presentó una demostración de este teorema, sin embargo, Nick
Katz encontró en septiembre de ese año, que el trabajo de Wiles
presentaba un error que invalidaba la demostración. Tras un año de
esfuerzo, Wiles, el 25 de octubre de 1994, presentó en dos
manuscritos - unas 130 páginas en total - la demostración de dicho
teorema.
_____________________________________
Fuente: www.cidse.itcr.ac.cr/factorizacion/pag1
6 .1. Conceptos previos
En este capítulo encontrarás información relacionada con igualdades, ecuaciones,
teoremas para resolver una ecuación, ya sea lineal o cuadrática.
¿Qué es una igualdad?
IGUALDAD
es
Aquella relación que existe entre dos cantidades y que nos indica que tienen el
mismo valor
se clasifican en
Igualdades absolutas o
IDENTIDADES
Igualdades relativas o
ECUACIONES
son
son
Aquellas que se verifican para
cualquier sistema de valores a
tribuido a sus variables
Igualdades condicionales que se
verifican para valores particulares
asignados a sus incógnitas
ejemplo
ejemplo
1.
2.
3.
2
2
(x+y)(x-y) = x – y
3x – y = - (y-3x)
(x+y)2 – (x-y)2 = 4xy
tipo:
1. 3x+1 = 2x+2 es una igualdad que
se
cumple para x = 1.
2. x2+2x-15=0 es una igualdad que se
cumple para x = 3 y x = -5.
153
Razonamiento Lógico Matemático
¿Qué es la solución de una ecuación?
La solución o conjunto solución de una ecuación es el VALOR o VALORES que
asume la o las incógnitas, con la característica de verificar la ecuación.
Si una ecuación está escrita en función de una variable o incógnita, a su solución también
se le podrá llamar RAÍZ.
Ejemplo:
Las raíces de x2 – 2x 3 = 0
son x1 = 3
x 2 = -1
6.2. Clasificación de las ecuaciones.
Las clasificaremos según:
6.2.1. Según la posibilidad de solución. Las ecuaciones pueden ser:
A) Ecuación compatible: aquella que admite solución, a su vez puede ser:
Determinada: si presenta un número limitado de soluciones.
Ejemplo: x2 – 11 + 28 = 0, solución = C.S.{4;7}
Observamos que esta ecuación admite dos soluciones.
Indeterminada: si presenta un número ilimitado de soluciones.
Ejemplo:
(x+5)2 = 20x + (x-5)2 cualquier valor que reemplacemos en esta expresión la
igualdad se mantiene.
B) Ecuación incompatible: aquella que no admite solución, frecuentemente se le
dá el nombre de ecuación absurda o inconsistente.
Ejemplo:
x2 + 2x + 1 = x2 + 2x-8; observa que C.S. = Ø
6.2.2. Según la naturaleza de los exponentes que intervienen en la igualdad: Pueden
ser:
A) Ecuación algebraica: Si ambos miembros de la igualdad solo intervienen
expresiones algebraicas, a su vez puede ser:
154
Razonamiento Lógico Matemático
B) Ecuación algebraica racional: Es aquella en donde la incógnita puede tener
como exponentes a números enteros. Una ecuación algebraica puede ser entera o
fraccionaria.
Ecuación algebraica racional entera: si los exponentes de la variable son
enteros positivos (la variable debe estar en le numerador).
Ejemplo:
x 10 x
3
2
→ C.S. = {20}
Ecuación algebraica racional fraccionaria: si al menos uno de los exponentes
de la variable (estando esta en el numerador).
1
5x 1
1
5
x
10 → C.S. = { 5 ; 10}
Ejemplo:
C) Ecuación algebraica irracional: si al menor un exponente es una fracción o la
incógnita o alguna expresión está afectada por un radical.
Ejemplo:
3x 8 - x = - 4
→ C.S. = {8}
D) Ecuación trascendente: es aquella en la que al menos uno de los términos en la
igualdad es una expresión trascendente.
Ejemplo:
x2 + lnx2 = log 55
6.2.3. Según el número de incógnitas: pueden ser de una, dos, tres, o más incógnitas.
Ejemplos:
x2 – x – 2 = 0
… ecuaciones con 1 sola incógnita.
2x + y = 5
… ecuaciones con 2 incógnitas.
x + y –z = 10
… ecuaciones con 3 incógnitas, etc.
6.2.4. Según el grado absoluto: podrán ser lineales (de primer grado), cuadráticas (de
segundo grado), cúbicas (de tercer grado), cuártica (de cuarto grado) … etc.
Ejemplos:
155
Razonamiento Lógico Matemático
2x + y = 5
… ecuaciones de primer grado con dos variables o incógnitas.
x + y – z = 10
… ecuación de primer grado con tres variables o incógnitas.
x2 – 25 = 0
…ecuación de segundo grado con una incógnita.
A) Ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita.
Forma general: ax + b = 0; a 0
SOLUCIÓN:
-
b
x=
a
-
b
ó C.S. = {
a
}
Ejemplo:
Halla la raíz de la siguiente ecuación:
3
5
-
1
x -2
+
2
5
= 0
SOLUCIÓN.
x–2 0→x 2
Tenemos en cuenta lo siguiente:
Afirmamos que: x = 2 no puede se elemento del conjunto solución.
Sumamos las fracciones homogéneas, el resultado lo pasamos al segundo
miembro de la igualdad y multiplicamos a ambos miembros de dicha igualdad por 1:
1
x - 2
= 1
Multiplicando medios y extremos:
x-2 = 1
x=3
Luego el conjunto solución C.S. = {3}
B) Ecuaciones de 2º grado con una incógnita:
Se llama ecuación de segundo grado con una incógnita a cada ecuación que se
puede reducir a la forma:
ax2 + bx + c = 0
donde {a, b, c} R; a 0… (*)
A esta ecuación se le denomina ecuación cuadrática y se caracteriza por presentar
2 soluciones que pueden ser: dos valores reales diferentes o dos valores reales
iguales o dos valores complejos.
156
Razonamiento Lógico Matemático
Análisis de una ecuación de 2º grado:
Llamamos discriminante a la siguiente igualdad.
= b2 – 4ac
Análisis de una ecuación de 2º grado, mediante el discriminante:
Si > 0, la ecuación de (*) tiene 2 soluciones reales y diferentes.
Si = 0, la ecuación de (*) tiene 2 soluciones reales iguales.
Si < 0, la ecuación de (*) no tiene solución en los números reales, sino
más
bien sus raíces serán complejas y conjugadas. En este caso el C.S de esta
ecuación en R es el conjunto vacío.
Propiedades de las Raíces:
ax2 + bx + c = 0
Adición de las Raíces:
x1 + x2 = -b/a
El producto de las Raíces
x1 . x2 = c/a
Fórmula de Sadi Carnot (fórmula cuadrática).
Mediante el método de completar cuadrados se deduce de la ecuación de (*) la
fórmula cuadrática, así:
ax2 + bx + c = 0 , con a 0
Despejamos “x”:
x =
Además:
-b ±
x =
2
-b ± b - 4ac
2a
Δ
2a
157
Razonamiento Lógico Matemático
ACTIVIDAD Nº6
01. Si xo es solución de la ecuación 2x + 3 = 5,
halle el valor de :
a)7/8
b) 8/7
d) 4/3
e) 5/3
2 x0 6
2 x 0 5
08. Resuelve la ecuación y da como respuesta la
mayor raíz.
1
1
c) 3/5
02. Resolver la siguiente ecuación
(x + 1)2 + x (x + 4) = x (x + 1) + ( x + 2) ( x + 3)
a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
e) Incompatible
1
1
x
1
2
1
x
a) -3/2
b) 3/2
d) 1
e) -1
c) 0
09. Resuelve la ecuación y da como respuesta
“2x”
x3 x6
03. Resuelve la siguiente ecuación y da como
respuesta la suma de sus raíces.
x
2
2
x 2 x 1
a)5
b) -1
d) -5
e) 1
c) 0
04. Halla el conjunto solución de:
6 x 1 2 3
a) 35
b) 36
d) 38
e) 40
d) 7
e) -5
c) 5
b) 0
d) 2
e) -13/4
e) 8
158
( x 1) 2 3 4 x 5 4 x
e
2
4
4
producto de sus raíces.
a)3
b) -3
c) 4
2( m n )
mn
indica
el
c) 1
e) 2
12. Resuelve la siguiente ecuación
da como
respuesta la mayor de sus raíces.
a) 1
b) 3
c) 2/3
d) 1/2
e) 2
sea igual a la
07. Si m y n son las raíces de la ecuación:
d) 7
e) -8,2
4a 3 a 2 3a 5 y
unidad
a) -4
b) 5
10. Resuelve la ecuación: x2 + 6xp – 2k = 0, si la
ecuación 3x2 + (k + a) x + 5 – k = 0 tiene
raíces recíprocas y la ecuación 6x2 + (2p –
1)x + 8 = 0 tiene raíces simétricas.
a) 4,-1
b) -4,1
c) 3,-3
d) 0
mx 2 2mx m 2 13 0
a)4
e) 5
c) 2
11. Resuelve la siguiente ecuación
06. Halla el menor valor de “m” para que la
diferencia de las raíces de la ecuación
x2 – 3x + 2 = 0. Hallar:
d) -2
x3
c) 37
x 1 x 1 2x 9
x 1 x 1
x3
b) 3
b) -4
d) 2,4
05. Resuelve la siguiente ecuación e indica uno de
sus valores.
a)1
a)4
3
2
13. Determinar la ecuación cuadrática cuyo
término independiente es -63 y una de sus
raíces es -9
a) x2 + 2x + 63
b) x2 – 2x – 63
c) x2 + 2x – 63
e) x2 + x + 6
c) 6
d) x2 – 2x + 63
Razonamiento Lógico Matemático
14. La suma de las raíces de la ecuación:
4x2 – 8x + 5 = 0 es igual a :
a)1
b) 2
c) -2
d) -1
e) 0
15. Calcula el valor de “k” para que el producto de
las raíces de la ecuación: (k -2) x2 – 5x + 2k
= 0, sea 6
a)1
b) 2
c) 3
d) 4
e)5
16. Resolver la ecuación
x 2 6 x 25 x 2 x 1
e indica la
x 1 x 2
x2 x 2
mayor de sus raíces.
a)-10
b) 2
d) 10
c)- 2
e) 4
17. Calcula el valor que debe tener “k”, de modo
que la ecuación: 2x2 + 11x + k = 0 tiene una raíz
igual a -4
a)10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
18. Resolver la siguiente ecuación
1
1
3
2
2
x 3 x 28 x 12 x 35 x x 20
2
a) –2
b) –3
d) –6
e) N.A
c) –4
19. Resuelve
4 x 2 x 9 x 2 5x x 2 7 1 2 x
a)6
b) 9
d) 3
e) 5
c) 2
20. Halla El coeficiente de “x” de La ecuación de
segundo grado, cuyas raíces son la suma y el
producto de lãs raíces de La ecuación
x 2 7 x 13 0
a)25
d)20
b) -91
e) 91
c) -20
159
Razonamiento Lógico Matemático
160
Razonamiento Lógico Matemático
Tema 7
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS Y TRES VARIABLES
Figura 10. El Equilibrio equitativo
Fuente: http:// www.eyeintheskygroup.com
La idea de que debe existir un equilibrio equitativo entre las
energías o fuerzas del universo es la imagen sobre la realidad
más vieja que ha prevalecido en todas las civilizaciones. Para
los egipcios existía el mundo solar de la vida dominado por el
dios Horus y también existía el mundo de la oscuridad de los
muertos dominado por el dios Anubis, y cuando alguien moría
simplemente su alma sufría una transición entre ambos
mundos como se muestra en la imagen superior en que el dios
Horus acompaña el alma de un faraón para entregársela al
dios Anubis. Existía un perfecto equilibrio entre el mundo de la
vida y el mundo de la muerte. Existía un equilibrio o balance
perfecto entre lo que ocurría en los cielos y lo que ocurría en
la Tierra. El dios Anubis también tenía una «balanza» para
sopesar los actos malos y los actos buenos de las almas que
llegaban a su reino para establecer si había existido el
equilibrio o el desequilibrio en sus vidas terrenales.
___________________________________
Fuente:htpp//www.eyeintheskygroup.com
7.1. Conceptos previos
¿ Qué es un sistema de ecuaciones?.
Veamos el siguiente caso
Existen dos datos que no conocemos, los puntos que
vale una bola roja, y los que vale una bola amarilla.
A estos datos que no conocemos los llamamos
incógnitas, x e y.
x = Puntos bola roja
y = Puntos bola amarilla
Ya que 2 bolas rojas (2x) y una bola amarilla (y) son 5
puntos, se debe cumplir que:
2x + y = 5
Ecuación (I)
Por otro lado, 3 bolas rojas (3x) y cuatro bolas
amarillas (4y) son 10 puntos, así que:
3x + 4y = 10 Ecuación II
161
Razonamiento Lógico Matemático
¿Cuántos puntos vale cada bola?
Por tanto, se cumplen dos ecuaciones de primer grado. Juntando ambas ecuaciones:
2 x y 5
3 x 4 y 10
El conjunto de estas dos ecuaciones se llama sistema de ecuaciones con dos
variables.
¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales con dos variables?
Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son dos ecuaciones en las
que las incógnitas deben tomar el mismo valor en ambas. Se escribe así:
ax by c
mx ny p
En esta expresión, x e y son las incógnitas; a, b, m , n son los coeficientes de las
incógnitas; c , p son los términos independientes.
7.2. Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.
De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos
Compatible
Determinado
Sea el sistema de ecuaciones
ax by c
mx ny p
Compatible
Con a,b,m,n X R- {0}
a b
m n
Compatible
Indeterminad
o
c, p X R
a b c
m n p
Incompatible
162
a b c
m n p
C.S= {(x,y)}
Gráficamente: Dos rectas en el
plano que se intersecan en un
punto
C.S= {(x,y),(x1,y1),(x2,y2),..(xn,yn), …)}
Gráficamente: Dos rectas en el plano
coincidentes:(infinitos puntos en el
plano correspondiente a las rectas)
C.S: =
Gráficamente: Dos rectas
paralelas en el plano
Razonamiento Lógico Matemático
Sistema compatible
o
Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
Ejemplo: Clasificar y graficar el siguiente sistema:
x y 6
x y 2
El sistema es compatible determinado porque:
1 1
1 1
Graficamente:
C.S= {(4,2)}
o
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito
de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:
3 x 6 y 12
El sistema es compatible indeterminado porque:
x 2 y 4
3 6 12
1 2 4
C.S = { (0,2) ;(1;2,5); (2; 3); (-1; 1,5);……..}
163
Razonamiento Lógico Matemático
Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:
x y 5
x y 1
El sistema es incompatible porque:
1 1 5
1 1 1
C.S =
7.3. Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.
7.3.1. El método de sustitución: Consiste en despejar en una de las ecuaciones
cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a
continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por
su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En
ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el
inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente.
Ejemplo.
3 x y 22...............(I )
4 x 3 y 1.............(II )
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita “ y” por ser la de menor coeficiente y
que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la
siguiente ecuación.
y 22 3x
164
Razonamiento Lógico Matemático
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita “y” en la otra ecuación,
para así obtener una ecuación donde la únic a incógnita sea la “x”.
4x 3(22 3x) 1 4x 66 9x 1 13x 66 1 13x 65
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado
x=5 , y si ahora sustituimos esta
incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y=7 con lo
que el sistema queda ya resuelto.
C.S = {(5,7)}
7.3.2. El método de igualación: Se puede entender como un caso particular del método
de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a
continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si
despejamos la incógnita “y” en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:
y 22 3 x
4x 1
y
3
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por
lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
22 3 x
4x 1
3( 22 3 x) 4 x 1
3
65 13 x x 5
Una vez obtenido el valor de la incógnita “x” se substituye su valor en una de las
ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la”y” . En este caso lo sustituimos en la
ecuación ( I )
3x y 22 3(5) y 22
y7
C.S={(5,7)}
7.3.3. El método de reducción: Este método suele emplearse mayoritariamente en los
sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no
lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas,
consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos ), de
manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con
el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones
produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una
ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema:
2 x 3 y 5...............(I )
5 x 6 y 4.............(II )
165
Razonamiento Lógico Matemático
no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por (-2 ) para poder cancelar la
incógnita”y” . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:
2(2x 3 y 5)
4x 6 y 10
Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva
ecuación donde la incógnita (y) ha sido reducida y que, en este caso, nos da
directamente el valor de la incógnita (x) :
4 x 6 y 10
5x 6 y
4
x 6
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita “x” en
cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el
valor de “y”es igual a: y= 17/3
C.S={(-6;17/3)}
7.3.4. El método de Cramer.
Sea el sistema siguiente:
ax by c
mx ny p
X
c
Hallamos el determinante de:
b
p n
Y
= cn-bn;
a
c
m
p
= ap-cm;
D
a
b
m n
= an-bm
Luego:
x
X
cn bn
D an bm
Y
ap cm
D an bm
y
Por lo tanto el C.S ={(x,y)}
Ejemplo:
2 x 3 y 5.
5 x 6 y 4
Hallamos el determinante de:
X
5 3
4 6
= 5x6-3x4= 18
Y
2 5
5 4
= 2x4 -5x5 =-17
Luego:
x
166
X
18
6
D 3
y
Y
17 17
D
3
3
D
2 3
5 6
= 2x6-3x5=-3
Razonamiento Lógico Matemático
C.S ={(-6;17/3)}
7.4. Método de solución a sistemas de ecuaciones lineales con tres variables.
La Regla de Cramer aplicada a determinantes de matrices 3 x 3 es uno de los métodos
más usados.
Observa un sistema de ecuaciones lineales que consta de tres ecuaciones lineales y las
variables x, y, z.
2 x y z 3
x 2 y 4 z 3
x 2 y 3z 4
1.- Primero hallamos el determinante de los coeficientes de las variables, que es
2
1
1
1
2
4
1
2 3
Una forma de hallar este determinante se presenta a continuación:
D =(2)(2x-3- ( -2x4))-1(-1x-3-(1x4))+1(-1x-2-(1x2))
D= 2(-6+8)-(3-4)+(2-2)
D = 2(2)+1+0
D=5
Sigues un procedimiento parecido para hallar el determinante en x, y, z. Recuerda que
cada vez que vas a hallar un determinante, sustituyes la columna de coeficientes de la
variable bajo estudio por las constantes. Estudia ahora este proceso aplicado para hallar
el determinante en x.
3
1
3
2
4
1 3
4 3
2 3 4
1
2
2
Dx = [(3)(2)(−3) + (1)(4)(4) + (−1)(−3)(−2)] - [(4)(2)(−1) + (−2)(4)(3) + (−3)(−3)(1)]
Dx= [−18 +16 −6] – [−8 - 24 + 9]
Dx= −8 - (−23)
Dx = 15
167
Razonamiento Lógico Matemático
Hallamos la determinante en y.
1 3
3
1 2
4 1 3
1
3 1
2
3
4
4
Dy = [(2)(−3)(−3) + (3)(4)(1) +(−1)(−1)(4)] – [(1)(−3)(−1)+(4)(4)(2)+(−3)(−1)(3)]
Dy = [18 +12 + 4] - [3 + 32 + 9]
Dy= 34 - 44
Dy = −10
Hallamos la determinante en z.
2
1
1
2
1
2
3
2
1
3 1 2
4 1 2
Dz = [(2)(2)(4) + (1)(−3)(1) + (3)(−1)(−2)] - [(1)(2)(3) + (−2)(−3)(2) + (4)(−1)(1)]
Dz = [16 −3 +6] - [6 + 12 - 4]
Dz = 19 - 14
Dz = 5
En resumen: D = 5 , Dx = 15, Dy = −10, Dz = 5.
Para determinar los valores de las variables llevas a cabo el proceso siguiente:
x
Dx
;
D
x
15
;
5
x = 3,
y
y
Dy
D
z
Dz
D
10
5
z
5
5
y = −2,
z=1
La solución de este sistema es : {(3, −2,
1)}. Lo cual significa que las tres rectas
representadas por las ecuaciones del sistema se intersecan en este punto.
168
Razonamiento Lógico Matemático
ACTIVIDAD Nº 7
Resuelve los siguientes sistemas por el método que creas más adecuado:
01.-
x y 1
x y 2
a) (3/2; -1/2)
07.-
b)(-1/2; 3/2 )
5 X 3Y Z 1
X 4Y 6Z 1
2 X 3Y 4Z 9
c) (1; 2)
d) ( -3/2; ½)
a)(1,1,1)
02.-
2 x y 3
3 x 4 y 5
a) ( 7/11;11)
d)(4/3; -1/2)
b) ( 17/11; 1/11)
c)(2/3;5/23;-11)
08.c)(17;1)
y 3
03.- x
2y
1
2 5
a) (1/2; 2/5)
d)(- 22/5 ; 3)
04.-
05.-
09.
b) (-22;3 )
c)(-5; 2)
d)(21/23;-1;21/23)
2 X Y 2 Z 6
3 X 2Y Z 4
4 X 3Y 3Z 1
a)(-1; 2; 3)
d)( 1,4,-3)
Escribe
b)(-1;-4; 3)
un
sistema
c)(1; 2; 3)
lineal
de
dos
ecuaciones y dos incógnitas que tenga
como soluciones x = 5; y = -2.
x 2 y 5
2 x y 7
a) (-6; 7)
d) (8/3 ; 22/3 )
b)(21/23;-35/23;-1)
10. En una tienda de anticuario hay 12
candelabros de 2 y 3 brazos. Si para
b) (-22/5; 3)
c) ( 3,1)
utilizarlos se necesitan 31 velas, ¿cuántos
candelabros hay de cada tipo?
x 3
5
y
x y 9
a) (5,7)
a) (8/3; 3)
b) (9/2; 3/2 )
c) (2/6; 6/2)
d) (12;3)
b) (10,2)
c)(3,9)
d( 4,8)
11. Un padre quiere repartir el dinero que lleva
en el bolsillo entre sus hijos. Si a cada hijo
le da
700 soles le sobran 200 soles ,
pero si le da a cada uno 800 soles le
06.-
3 X 2Y Z 1
5 X 3Y 4Z 2
X Y Z 1
a)(-4 ; 6 ; 1)
d)(-3,-4,2)
b) (-4;3,2)
faltan 200 soles. ¿Cuánto dinero lleva en
el bolsillo y cuántos hijos tiene?
a) (300 soles y 10 hijos)
c)(1,6,-4)
b)(3000 soles y 4 hijos)
c)( 6000 soles y 2 hijos)
d) ( 3000 soles y 6 hijos)
169
Razonamiento Lógico Matemático
12. Hoy la edad de un hijo es 1 año menos que
18. Un comerciante compró dos relojes distintos
1/3 de la de su madre. Si dentro de 5
por 3 000 nuevos soles y los vendió por 3 225
años, la edad de la madre será 10 años
nuevos soles . ¿Cuánto pagó por cada reloj si
mayor que el doble de la de su hijo, ¿qué
en la venta del primero ganó un 20% y en la del
edad tienen?
segundo perdió un 5 %?
a) (39 ;12)
b) (46, 15)
c) (37; 12)
a)(1500;1500)
b)(1600;1400)
c)(1000;2000)
d)(800; 2200)
d) ( 30; 9)
19. Se tienen dos soluciones de la ecuación ax +
13. Calcula gráficamente el valor de una cinta de
by = 15. La primera x = 2 : y = -1 y la segunda
vídeo y un CD si 1 cinta de vídeo y 2 CD valen
solución x = -2 , y = -29. Calcula a y b.
7 euros y 4 cintas de vídeo y 2 CD valen 10
a) (8,2)
euros.
d)((7; -1)
b)( -8,3)
c)(10;6)
14. Dos números suman 51. Si el primero lo
20. Un barco que lleva pasajeros por un río, los
dividimos entre 3 y el segundo entre 6, los
traslada de A a B distantes 75 km., en 3 horas.
cocientes se diferencian en 1. Halla los
Y de B a A en 5 horas. Halla la velocidad del
números.
barco y de la corriente.
a) ( 29; 22)
d)(19;32)
b) (11,40)
c)(-11; 62)
c) ( 20km/h; 5km/h)
15. Un ejercicio realizado en clase consta de 16
preguntas. El profesor suma 5 puntos por cada
respuesta correcta y resta 3 puntos por cada
cuestión no contestada o mal contestada. Si un
Carlos ha obtenido 32 puntos en el ejercicio,
¿cuántas
preguntas
ha
contestado
correctamente Carlos?
a) (8,8)
b) (9,7)
c)(6,10)
d) (11,5)
16. El perímetro de un rectángulo tiene 28 cm.
Calcula el área de este rectángulo sabiendo
que uno de sus lados tiene cuatro centímetros
más que el otro.
a) 56 cm2
b) 28 cm2
c) 45cm2
d) 56 cm2
17. La razón entre dos números es 2/3. Si se
añaden 20 unidades al más pequeño y 5 al
más
grande la razón se invierte. ¿De qué
números se trata?
a)( 10;15)
d) (8,12)
170
a) (20km/h; 10 km/h) b)(35km/h;5km/h)
b) (14,21 )
c) (20;30)
d)(
15km/h;
15km/h)
Razonamiento Lógico Matemático
Tema 8:
INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
De igual forma que las identidades y las
ecuaciones están asociadas al signo de
igualdad, las inecuaciones se asocian a los
signos de desigualdad que conocemos como
mayor que o menor que. Las desigualdades y
las inecuaciones reflejan situaciones en las
que se sobrepasa o no se llega a un cierto
valor conocido.
Las desigualdades desempeñan un
importante papel en diversos problemas que
se presentan en matemática, entre ellos en
matemática aplicada, tales como la búsqueda
de máximos o mínimos (problemas de
optimización).
Estos
conducen
a
desigualdades, lo cual expresa
el hecho que la variable que se considera es
menor (o mayor) o a lo sumo igual al valor
máximo (o mínimo) que proporciona la
solución.
Asimismo, las inecuaciones son el
fundamento de un aspecto de las
Matemáticas denominado programación
lineal.
________________
Huertas Christiam R.
Fuente: www.xhuertas.blogspot.com
Figura 11. Escobar Caceres C..Resolver el Sistema Inecuaciones
Lineales con 2 variables.
Fuente : diccio-mates.blogspot.com/2009/09/sistema-de-...
8.1. Definición:
Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas
(incógnita) y que solo se verifica para determinados valores de la incógnita o incógnitas.
Ejemplo:
La desigualdad:
2x + 1 > x + 5 es una inecuación porque tiene una incógnita “x” que
se verifica para valores mayores que 4.
8.1.1 Intervalos: Los intervalos son sub-conjuntos de los números reales que sirven para
expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos se representa gráficamente en
la recta numérica real.
Consideremos los siguientes tipos de intervalos:
171
Razonamiento Lógico Matemático
8.1.2. Conjunto solución de una inecuación: Se llama conjunto solución de una
inecuación a todos los números reales que la verifiquen, es decir que, dichos números
reales dan la desigualdad en el sentido prefijado.
8.1.3. Resolución de una inecuación: El resolver una inecuación consiste en hallar un
conjunto solución; es decir, encontrar el intervalo donde están los valores que puede
tomar la incógnita para que verifique la inecuación.
8.2. Inecuaciones lineales o de primer grado en una incógnita.
REPRESENINTERVALO
TACIÓN
SIMBÓLICA
Intervalo cerrado
Intervalo abierto
Intervalo cerrado
en a y abierto en b
[a,b]
<a,b>
REPRESENTACIÓN
REPRESENTACIÓN
CONJUNTISTA
GRÁFICA
{x ∈ R / a < x < b}
{x ∈ R / a < x < b}
<a,b]
{x ∈ R / a < x < b}
[a,b>
{x ∈ R / a < x < b}
[a, + >
{x ∈ R / x > a}
<a, + >
{x ∈ R / x > a}
<-, b]
{x ∈ R / x < b}
Intervalo abierto
en a y cerrado en
b
Intervalos
infinitos.
<-, b>
<-, + >
{x ∈ R / x < b}
{x/x ∈ R}
Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, son de la forma:
ax + b > 0
172
Razonamiento Lógico Matemático
Para resolver estas inecuaciones de debe considerar a > 0, es decir, sí a > 0, entonces:
x
b
a
x
ó
b
a
Su representación gráfica es:
b
a
Luego la solución es dado en la forma: x , ó x ,
b
a
Ejemplo. Resolver la siguiente inecuación.
3x – 4 < x + 6
Solución:
Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, se resuelve, expresando la
inecuación en la forma:
En un solo miembro se pone la incógnita, en el otro miembro los números, es decir:
3x – x < 6 + 4, simplificando se tiene: x < 5, es decir: x <- ,5>
La solución es:
x <- ,5>
8.3. Inecuaciones cuadrática ó de segundo grado en una incógnita.
Las inecuaciones de segundo grado en una incógnita son de la forma:
2
ax + bx + c > 0
con
a>0
Donde a, b, c ε R, siendo a ≠0, la solución de estas inecuaciones, se obtiene mediante las
propiedades de los números reales ó también por medio de la naturaleza de las raíces del
trinomio ax2+bx + c = 0
8.3.1. Carácter de las raíces del trinomio de segundo grado.
Consideremos el trinomio de segundo grado T(x):
T(x) = ax
2
+ bx + c = 0 ; con
a > 0
…(1)
Al analizar T(x) mediante el discriminante = b2 – 4ac (conforme se explica en el
173
Razonamiento Lógico Matemático
resumen de la clase anterior) se presentan tres casos:
1º Caso. Si = b2 – 4ac > 0, entonces hay dos valores reales diferentes r1 < r2 que
anulan al trinomio ax2 + bx + c .
Es decir:T(x) = (x – r1) (x – r2) = 0
2º Caso. Si = b2 – 4ac = 0, entonces hay un solo valor real, r1 = r2, que anulan el
trinomio ax2 + bx + c.
Luego: T(x)= (x - r)2 = 0
3º Caso. Si = b2 – 4ac < 0, entonces se tiene dos valores no reales
r1 =
+ i
y
r2 = - i que anulan el trinomio ax2 + bx + c.
Es decir:T(x) = (x –( + i )) (x –( - i )) = 0
NOTA. Sí ax2 + bx + c = 0 entonces x =
b b 2 4ac
2a
8.3.2. Resolución de una inecuación de segundo grado.
Para resolver una inecuación cuadrática se tiene varios métodos, como el método de
la factorización, método de completar cuadrados y el método de los puntos críticos. En
éste capítulo aplicaremos el método de los puntos críticos para las inecuaciones de las
formas ax2 – bx + c > 0 ó ax2 + bx + c < 0, donde a, b, c R, a 0, por medio de la
naturaleza de las raíces primero se resuelve la ecuación ax2 + bx + c = 0, y de acuerdo a
la naturaleza de las raíces se presenta tres casos:
1º Caso. Si la ecuación ax2 + bx + c = 0, tiene dos raíces reales diferentes r1 < r2.
- Si la inecuación es de la forma ax2 + bx + c = 0, con a > 0, la solución es todos los
valores de x que pertenecen al intervalo
<- , r1> U <r2, + >.
- Si la inecuación es de la forma ax2 + bx + c < 0, con a > 0, la solución es todos los
valores de x que pertenecen al intervalo <r1, r2>.
2º Caso. Si la ecuación ax2 + bx + c = 0, tiene una raíz única r1= r2.
174
Razonamiento Lógico Matemático
- Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c > 0, con a > 0. La solución es todos
los valores de xr,es decir: x∈<- , r> U <r,+ >.
- Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c < 0, con a > 0. No se verifica para
ningún
valor real de x; la solución es el Ø.
3º Caso. Si la ecuación ax2 + bx + c = 0, tiene dos raíces no reales.
- Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c > 0, con a > 0.
La solución es todos los valores reales de x.
- Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c < 0, con a > 0.
No se verifica para ningún valor real de x; la solución es el Ø.
8.3.3. Métodos de los Puntos Críticos.
Ejemplo:
x2 – 7 > 1 – 2x
Solución:
1º. Se ordena la inecuación: x2 + 2x - 8 > 0
2º. Se factoriza, obtenemos: (x + 4) (x - 2) > 0
3º. Se anula los factores para establecer los puntos críticos:
x=-4;x=2
4º. Se lleva a una recta numérica o real:
-4
2
5º. Se establece una ley de signos de derecha a izquierda empezando con el signo
positivo en forma alternada.
-4
+
-
2
+
6º. Para sombrear las regiones o zonas se establece según el cuadro:
0
0
⊝
0
0
7º. Como la inecuación >0 entonces se sombrea las regiones positivas.
+
-4
-
2
+
8º La respuesta es: x ∈ < - ; -4 > <2 ; >
175
Razonamiento Lógico Matemático
ACTIVIDAD Nº 8
01. Para los pares de intervalos mostrados,
09. Resolver en “x”.
a2
b2 b2
a2
x
x
b2
a2 a2
b2
graficar y dar el intervalo solución de:
AU B, A∩ B, A – B,
A = ] -7, 0]
A = ] – 8, -2[
A = ] -∞, 6]
02.
Cuántos
números
B–A
B = ] 0, 4]
B = [ - 1, 6]
B = [ -3, ∞[
enteros
y
Si a < b ∧ a, b
a) X > 1
d) X < 0
10. Indicar la suma de los valore enteros y
positivos que verifican la inecuación:
1 > (x + 5)(x – 2) – (x – 1)(x + 3)
a) 5
b) 6
c) 8
x 1 x 1 x 1
8
2
4
8
e) 2
03. Sea A = { x Є R/ 3x - 2 ≥ 0}
B = {x Є R / - 5x + 2 ≥ 17}
Determine el complemento de A U B
a) < -3, 2/3>
b) < 3, 2/3 >
c) [3 , 2/3]
d) < 3, 2/3]
c) X < 1
positivos
satisfacen la siguiente inecuación:
d) 10
b) X > 2
e) X > a + b
a) 28
b) 36
d) 66
e) 21
c) 49
11. Si el intervalo solución de:
5( x 1) 2 3( x 1) 2 12 x 8
; a b; Hallar “a – b”
e) [ - 3, 2/3>
es
04. Resuelve la inecuación
5 x 1 3 2 3x 1 2
0e
6
2
el mayor valor entero de “x”
a) 0
b) -1
d) -2
indica
c) 1
e) 3
05. Resolver:
x
x
4 1 3 2 20 x
4
3
a) x 10
b) x 10
c) x 10
d) x 10
a) x > -4
b) x < 4
d) x > - 8
e) x < -8
d) -2
e) N.A.
c) -4
12. Resuelve la siguiente inecuación:
(x + 1)(x + 2)( x + 3) ≥ x3 + 6x2 + 10x + 12
a) x ≥ 10
b) x ≥ 4
d) x≤ 6
e) x Є Ф
c) x ≥ 6
13. Encuentre el mayor valor entero que satisface
la inecuación: (2x + 3) ( x + 1) ≥ 4x2 – 22
c) x < – 7
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
14. La edad de Pablito es tal que el doble de ella
disminuida en 6 es menor que 8, y el triple de
su edad aumentada en 6, es mayor que 21.
Calcular la edad de Pablito.
a) 5
b) 6
07. Resolver:
a) < -; -1 >
2 x 98
3
b) < -; 1 >
c) < -; -1 ]
d) [1; + >
e) < 1; + >
x 8
d) < -; -3 >
d) 8
2
08. Hallar el C.S. de:
(x + 1)(x + 2) – (x - 3)(x – 5) > x + 17
a) < 3; + > b) [3; + > c) < -; 3]
176
b) 12
e) N.A.
06. Encontrar el conjunto de valores de “x”, que
satisfacen a la siguiente desigualdad:
5x – 1 < 6x + 7
x 82
a) -5
e) < -; 3 >
15.
c) 7
e) 9
Resuelve
la
siguiente
inecuación:
x 4 11 x 0
a)
d)
[4,11]
[2,15/2]
b) [15/2,11]
e)
c) [4,15/2]
Razonamiento Lógico Matemático
16. Relaciona cada inecuación (x Є Z), con el
menor valor que la verifica:
a) -4(x2 + 5) < -4x2 + 3x -17
b) 4x – 7 > x + 2
c) 4x2 + 20x > (2x +4)2
d)
5 x 17
x4
1
18
12
. -2
. 5
. 0
. 4
17. ¿Qué valor puede tomar x para que la
expresión:
2
sea
x 10 x 25
2
un número
positivo?
a) 5
b) R
d) 0
e) -5
c) R – {5}
18. Resuelve la siguiente inecuación:
a
b
b a
x x
b
a
a b
a) x ≥ 5
b) x > 5
d) x ≥ 2
e) x ≤ 2
c) x ≤ 1
19. La inecuación:
x2
1
3
3 presenta
x x 1 x 1 x 1
2
conjunto solución al intervalo
, a b ,
Halle el valor de “a + b”
a)-1
b) 1
d) 2
como
c) 0
e)-2
20. Resuelve la siguiente inecuación:
x 1 2 x 2 3x 3
a) < 3, 1/5>
d) x ≥ 2
b) < -3, 1/5>
c)[3, 1/5]
e) x ≤ 2
177
Razonamiento Lógico Matemático
178
Razonamiento Lógico Matemático
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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