ángulos - Universidad de Cuenca

UNIVERSIDAD DE CUENCA
RESUMEN DE LA TESIS
Esta tesis se basa en la presentación de un libro
electrónico de geometría para Octavo año de
básica, la misma que incorpora conceptos básicos
y elementales de la geometría como conceptos
básicos de: puntos y líneas; ángulos: clasificación;
triángulos: clasificación propiedades, igualdad,
semejanza y perímetro; con gráficos de mucho
colorido.
Contiene sonidos, gifs animados y fotos de alta
resolución.
En ángulos y triángulos se desarrollan algunas
actividades adecuadas, de fácil acceso para los
profesores y estudiantes.
Se acompaña de una evaluación, la misma que se
recomienda aplicar luego de haber revisado la
página Web.
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INDICE
AGRADECIMIENTO………………………………………1
DEDICATORIA ............................................................. 5
GEOMETRÍA ................................................................ 8
SINTESIS HISTORICA DEL DESARROLLO DE LA
GEOMETRÍA ................................................................ 9
CONCEPTOS BÁSICOS............................................ 12
PUNTO, RECTA Y PLANO ........................................ 12
PUNTO ....................................................................... 12
RECTA........................................................................ 13
PLANO ....................................................................... 14
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS .......................... 16
RECTAS COPLANARES ........................................... 17
POSICIONES DE UNA RECTA CON RESPECTO A
OTRA.......................................................................... 17
ÁNGULOS .................................................................. 19
NOTACIÓN................................................................. 19
REGIONES DEL ÁNGULO ........................................ 20
MEDIDAS ANGULARES............................................ 21
ÁNGULOS CONGRUENTES ..................................... 24
CLASIFICACIÓN DE LOS ANGULOS ...................... 25
ANGULO NULO ......................................................... 26
ANGULO RECTO....................................................... 26
ANGULO LLANO ....................................................... 27
ANGULO COMPLETO ............................................... 27
POSICIONES RELATIVAS DE DOS ÁNGULOS ...... 28
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y
SUPLEMENTARIOS .................................................. 30
ACTIVIDAD 1 ............................................................. 31
TRIÁNGULO............................................................... 38
CONSTRUCCION DEL TRIANGULO ........................ 39
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ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES DE UN
TRIANGULO............................................................... 44
DEMOSTRACIÓN: ..................................................... 44
ÁNGULOS EXTERIORES DE UN TRIANGULO ....... 46
DEMOSTRACIÓN: ..................................................... 46
PROPIEDADES UNIVERSALES DE LOS
TRIÁNGULOS ............................................................ 47
ACTIVIDAD 2 ............................................................. 49
CLASIFICACIÓN DE.................................................. 55
LOS TRIÁNGULOS.................................................... 55
CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS LADOS. ................... 55
CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOS
INTERIORES .............................................................. 56
LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIANGULO 65
LA ALTURA ............................................................... 65
MEDIANA ................................................................... 66
BISECTRIZ ................................................................. 67
MEDIATRIZ ................................................................ 67
RECTA DE EULER .................................................... 71
IGUALDAD O CONGRUENCIA DE TRIANGULOS .. 72
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS ............................... 80
CONCLUSIONES ....................................................... 99
RECOMENDACIONES............................................. 101
BIBLIOGRAFÍA ........................................................ 102
ÍNDICE……………………………...………………… 75
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FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y
CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
DEPARTAMENTO ESPECIALIZADO
“LIBRO ELECTRÓNICO DEL TRIÁNGULO PARA
OCTAVOS DE EDUCACIÓN BÁSICA”
Trabajo
académico
integrador previo a la
obtención del Título de
Licenciada en Ciencias de
la Educación en la
Especialidad
de
Matemáticas y Física.
DIRECTORA: Ing. Lourdes Illescas.
AUTORA: María Magdalena Inga G.
Cuenca – Ecuador
2006
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AGRADECIMIENTO
La gratitud es uno de los sentimientos más nobles que
puede nacer de un ser humano. De ahí que va mi
agradecimiento a Dios por haberme dado el donde la
vida, el aliento, y la energía necesaria, para no
claudicar en la consecución de mis objetivos.
Y a mis padres quienes me han dado la mejor herencia
que un ser humano puede tener, la educación.
A mis compañeros de curso y de la institución en
donde laboro quienes me brindaron su apoyo
desinteresadamente en el desarrollo del trabajo. Y a
todas aquellas personas de una u otra manera han sido
un apoyo moral para no desmayar y culminar mi
carrera profesional.
Mi sincero agradecimiento a la Facultad de Filosofía
Letras y Ciencias de la Educación y a todos los
profesores del Departamento Especializado por luchar
diariamente con nosotros durante nuestra vida
estudiantil y permitirnos una de las metas trazadas en
la vida. Y a la ing., Lourdes Illescas quien con su
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asesoramiento nos a guiado adecuadamente en la
tarea emprendida.
DEDICATORIA
El presente trabajo esta dedicado de
manera especial a:
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Con mucho amor y gratitud a mi esposo
Ramón y a mis hijas Priscila y
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Marylin quienes son mis mas grande
tesoro.
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INTRODUCCIÓN
Con este Libro electrónico deseo que la geometría para
Octavo de Básica sea fácil motivadora y accesible
para los estudiantes.
La serie de animaciones muchas de ellas originales, se
propone potenciar y fortalecer los conocimientos,
despertando el interés y fortaleciendo el deseo de
estudiar.
Son características de este Libro electrónico:
™ La claridad en su forma, reducida a la expresión
más sencilla y motivadora, acompañada de
animaciones con propiedad del lenguaje y de
precisión científica.
™ Al poner en relieve las propiedades de las figuras
geométricas, las hace más expresivas, facilitando
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la inmediata comprensión de los principios,
enunciados y teoremas.
™ Facilitar la intuición,
mediante ejemplos traídos
del mundo físico, la utilización de este libro
permitirá
una
motivación
en
el
estudiante
saliéndose del habitual texto no motivador,
fortaleciendo aún más los conocimientos del
alumno.
™ De
este
construirán
modo
los
cimientos
alumnos
sobre
los
adquirirán
y
cuales
se
levantaran en los cursos superiores.
™ Al final de este libro electrónico se presentara una
serie de ejercicios cuidadosamente elegidos de
modo que los profesores puedan aplicar con
facilidad de ellos.
™ Se encontrará también algunos datos históricos
sobre los grandes matemáticos de siglos pasados
esto tratará de despertar en los estudiantes
estimación y curiosidad por los que aportaron
grandes cosas por la ciencia.
GEOMETRÍA
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La geometría como una de las ramas de las
matemáticas
se
originó
en
el
estudio
de
las
propiedades y relaciones de las figuras en el espacio.
Etimológicamente geometría proviene de las voces
griegas GEO (tierra) METREIN (medir), que significa
medida de la tierra.
SÍNTESIS HISTÓRICA DEL DESARROLLO DE LA
GEOMETRÍA
Herodoto, historiador griego refiere que los inicios de
esta ciencia aparecieron en Egipto hace 2300 años
aproximadamente, ante la necesidad práctica de la
medición de los terrenos, ya que luego de las
inundaciones
periódicas
del
río
Nilo
debía
restablecerse los linderos de las diferentes parcelas.
Además de la agrimensura los egipcios utilizaban los
conocimientos geométricos en la construcción de
edificios, templos, puentes, monumentos, pirámides,
etc.
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A Thales de Mileto se le atribuye la introducción en
Grecia del estudio de la geometría, allá por el siglo VI
a.c.
Los
conocimientos
empíricos
se
fueron
perfeccionando y ampliándose hasta alcanzar un alto
grado de sistematización y hacia el año 300 a.c.,
aparecen
los
“ELEMENTOS”
de
Euclides
que
constituyen la culminación de un proceso de evolución
de ideas, transformando un conjunto de reglas
prácticas y empíricas, en una sólida estructura racional
deductiva.
Los ELEMENTOS de Euclides han mantenido su
vigencia durante 23 siglos y sus axiomas y postulados
han sido considerados como uno de los logros de
mayor significación de la mente humana.
En la edad medía se produjo un estancamiento para la
ciencia en general y luego en el Renacimiento se
reaviva el desarrollo del conocimiento de manera
especial la matemática y la geometría. Posteriormente
en el siglo XVII los Franceses Rene Descartes y Pierre
Fermat, dedujeron que era posible tratar a la geometría
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con enfoque algebraico. Luego aparecen desarrollos
modernos en el campo de la geometría e incluyen
ideas más imaginativas, dando lugar a las “Geometrías
Modernas o Geometrías no Euclidianas. Merecen
destacarse en estas innovaciones el ruso Nikolái
Lobachevsky (1793-1856), al húngaro János Bolyai
(1802-1860) y al alemán C.F. Gauss (1777-1855),
quienes
establecieron
concluyentemente
que
el
postulado de euclides referente a las paralelas puede
demostrarse independientemente de los otros cuatro
postulados.
También Riemann (1826-1866) efectuó investigaciones
sobre las geometrías no euclidianas, llegando a
plantear su postulado de que “no existen rectas
paralelas”.
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CONCEPTOS BÁSICOS
PUNTO, RECTA Y PLANO
Para tratar el desarrollo de la geometría determinemos
que los elementos básicos punto, recta y plano, son
entes fundamentales de dicha ciencia y se los acepta
intuitivamente, esto es, sin definición previa.
PUNTO
El punto geométrico es un concepto abstracto que
sugiere la idea de posición en el espacio. Como carece
de
dimensiones
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físicas
en
la
práctica
suele
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representárselo como la marca que deja en el papel un
lápiz afilado y se le designa con letras mayúsculas.
Ejemplo: sean los punto A, B y C.
RECTA
Una recta podría intuirse como un conjunto infinito de
puntos y gráficamente se la representa con flechas en
los dos
extremos, simbolizando que se extiende
indefinidamente en los dos sentidos.
La recta puede identificarse mencionado dos de sus
puntos
sin
importar
el
orden.
Así:
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También
la
representamos
mediante
una
letra
minúscula:
Denominaremos al ESPACIO como el conjunto de
todos los puntos:
PLANO
Es un concepto primitivo que no se puede definir,
imaginémonos una superficie infinitamente grande que
no presenta ondulaciones. Intuitivamente el plano se
visualiza como una superficie
lisa, plana, que se
extiende sin límite en cualquier dirección. Como por
ejemplo podemos imaginar como porciones de plano a
la superficie del piso del aula, de una pared, de la parte
superior de una mesa, de una hoja de papel, etc.
Gráficamente, al plano se le representa con una
porción de mismo y convencionalmente se le designa
con una letra del alfabeto griego.
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SEMIPLANO
Si una recta llamada arista divide a un plano en dos
porciones, cada una de estas se llama semiplano. El
semiplano no contiene a la recta que ha dividido el
plano.
Semiplano L1
Semiplano L2
Arista
m
SEMIRRECTA
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Es cada uno de los subconjuntos de puntos que se
encuentran a un lado y otro, de un punto cualquiera
situado sobre una recta. Tienen principio pero no tienen
fin.
Al punto A se llama origen de las semirrectas.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Se llama distancia entre dos puntos a la longitud del
segmento recto que los une.
Distancia entre A y B es la longitud de
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RECTAS COPLANARES
Son rectas, aquellas que están incluidas en un mismo
plano.
POSICIONES DE UNA RECTA CON RESPECTO A
OTRA
1) Rectas intersecantes
Dos rectas son intersecantes si se cortan en un
punto común.
2) Rectas paralelas
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Dos rectas son paralelas, si y sólo si, son coplanares
y no son intersecantes entre sí.
3) Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares u ortogonales si al
intersecarse forman ángulos rectos.
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ÁNGULOS
Es la porción del plano comprendida entre dos
semirrectas de origen común
B es el vértice del ángulo.
NOTACIÓN
Un ángulo puede designarse mencionando tres letras
mayúsculas que representan tres puntos del ángulo,
una de las cuales corresponde al vértice y va situada
en el medio de las otras dos.
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<ABC
También un ángulo se le designa con letra mayúscula
del vértice o mediante una letra griega, así:
<B
REGIONES DEL ÁNGULO
En un ángulo se forman tres conjuntos de puntos: a) El
ángulo mismo;
b) la región interior y
c) la región
exterior.
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MEDIDAS ANGULARES
Para la medición angular se utiliza el sistema
sexagesimal, en el cual el ángulo básico o ángulo
unidad esta contenido 180 veces en un ángulo llano.
Medida del ángulo unidad BOC = 1º
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Abreviando: m < BOC = 1º
Los submúltiplos del grado sexagesimal son el minuto y
el segundo sexagesimales:
1º = 60 minutos = 60´
1minuto = 60 segundos = 60”
La medición de los ángulos se efectúa mediante el
transportador o graduador, que es una plantilla
semicircular graduada de 0° a 180°, generalmente de
material plástico.
Para medir un ángulo con el transportador, se siguen
los pasos siguientes:
1. Se coloca el transportador de forma que coincida el
punto de su base, su centro, con el vértice del ángulo, y
que uno de los lados del ángulo pase por 0°, es decir,
por la base del transportador.
2. Se lee sobre la semicircunferencia del transportador
la medida por la que pasa el otro lado del ángulo.
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Si en vez de medir queremos dibujar un ángulo, se
procede al revés.
Ejemplo: Para dibujar un ángulo de 70º se siguen
estos pasos:
1. Con una regla se traza un lado del ángulo.
2. Se coloca la base del transportador sobre ese lado, y
con su centro sobre el que será el vértice del ángulo.
3. Se marca con ayuda de la escala graduada el punto
correspondiente a los grados del ángulo que queremos
representar, en nuestro caso 70°.
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4. Con ayuda de la regla, se une el vértice con dicho
punto.
ÁNGULOS CONGRUENTES
Dos ángulos son congruentes si tienen la misma
medida.
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<ABC
≅
< MNR
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
De acuerdo a su medida los ángulos se clasifican en:
Angulo Agudo
Angulo Recto
Angulo Obtuso
Cuando
su Si su amplitud Cuando
amplitud
es es igual a 90º
menor que 90º
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su
amplitud es mayor
que 90º
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Ahora vamos a definir ángulo nulo, ángulo recto, ángulo
llano y ángulo completo, y para representarlos nos
valemos de un paipai o abanico chino, que se puede
abrir por completo, y formar todos los ángulos posibles
entre 0° y 360°.
ANGULO NULO
Es el que tiene una amplitud de 0° en el que sus dos
lados coinciden.
ANGULO RECTO
Un ángulo recto (90° de
amplitud) tiene sus dos
lados perpendiculares.
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ANGULO LLANO
El que tiene una amplitud de
180º
ANGULO COMPLETO
El que tiene una amplitud
de 360º
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POSICIONES RELATIVAS DE DOS ÁNGULOS
Según las posiciones que presenten dos ángulos entre
sí, éstos pueden ser:
1. Ángulos externos: si no tienen nada en común.
Y
son ángulos externos.
2. Ángulos consecutivos: si tienen en común un lado
y el vértice
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Y
son ángulos consecutivos.
3. Ángulos adyacentes:
si
además
de
ser
consecutivos, tienen el lado no común sobre la misma
recta.
Y
son ángulos adyacentes.
4. Ángulos opuestos por el vértice: si tienen el
vértice común, y los lados de uno son prolongación de
los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice
tienen la misma amplitud, son iguales.
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Y
son ángulos opuestos por el vértice.
ÁNGULOS
COMPLEMENTARIOS
Y
SUPLEMENTARIOS
Dos ángulos son complementarios si su suma es igual
a 90°:
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Y
son complementarios: + = 90°.
Dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a
180°:
Y
son suplementarios: + = 180°.
ACTIVIDAD 1
1. Responde
verdadero
o
falso
según
corresponda. justifica tu respuesta.
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•
Un ángulo es la unión de dos semirrectas de
rigen común.
•
A un ángulo se puede representarse solo con
la letra del vértice.
•
•
Al interceptarse dos rectas oblicuas en el
plano se obtiene cuatro ángulos.
•
Si la amplitud de un ángulo es mayor que
110º, entonces el ángulo es obtuso.
•
Si un ángulo es obtuso, entonces su amplitud
es mayor que 110º.
•
El doble de un ángulo agudo es siempre
obtuso.
•
El ángulo cuya amplitud es igual a 80º es
agudo.
•
Un ángulo llano es la suma de dos ángulos
rectos.
2. En la figura se ha representado el ángulo AOB,
el cual tiene una amplitud de 70º.
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•
Sitúa un punto
Q
que
pertenezca al
<AOB.
•
Señala
el
<BOA
mediante
un
arco.
•
Construye un
ángulo
que
tenga
una
amplitud
de
110º.
•
¿Puedes
construir
un
ángulo
de
20º?
Explica
como
lo
harías.
3. A continuación se ofrece la amplitud de
algunos
ángulos.
Clasifícalos
según
su
medida.
•
34º
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•
104º
•
305º
•
180º
•
23º
4. ¿Cuanto miden dos ángulos iguales si se sabe
que su suma es igual a un ángulo recto?
5. Construye un ángulo cuya medida sea:
•
25º
•
95º
•
173º
6. En el plano se han dado los puntos O, P, Q y R
•
Traza y señala
el <ROP
•
Traza y señala
el <PQO
•
Traza y señala
el <PRQ
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EVALUACIÓN 1
INSTRUCCIONES:
En cada uno de los ítems planteados marca con una X
la respuesta correcta o realiza lo solicitado.
1.- Un ángulo es:
(
(
) La unión de dos semirrectas de origen común.
)
La porción del plano comprendida entre dos
semirrectas de origen común.
2.- Al trazar dos rectas oblicuas en el plano se obtiene:
(
) Tres ángulos
(
) Dos ángulos
(
) Cuatro ángulos
3.- El dibujo de un ángulo recto es:
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(
(
)
(
)
)
4.- Un ángulo completo es:
(
) El que tiene 90º
(
) El que tiene 360º
(
) El que tiene 270º
5.- Con la ayuda de la regla y el compás traza ángulos
de 75º; 220º y 320º.
6.- Una con una línea la respuesta correcta:
Ángulo
agudo
mayor 90º
Ángulo llano
Ángulo
90º
completo
360º
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Ángulo
recto
180º
Ángulo
obtuso
menor 90º
7.- Grafique un ángulo
Agudo
adyacente
Recto
obtuso
Opuesto por el vértice
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TRIÁNGULO
Etimológicamente la palabra triangulo significa tres
ángulos
Concepto: Es la posición del plano limitado por tres
rectas que se cortan dos a dos cuyos puntos de
intersección se laman Vértices.
ELEMENTOS: Los elementos que forman son:
Tres lados, tres ángulos y tres vértices.
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Un ángulo se nombra con tres letras MAYÚSCULAS
colocadas en los vértices. En la figura
se tiene el
triangulo A B C cuyos vértices son los puntos A B C.
Los lados de un triángulo se pueden nombrar de dos
maneras:
1) Con letra correspondientes a los vértices.
2) Con una letra MINÚSCULA, según la letra de su
vértice opuesto.
Vértice A lado opuesto a.
Vértice B lado opuesto b.
Vértice C lado opuesto c.
CONSTRUCCIÓN DEL TRIANGULO
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Un triángulo se puede construir de dos maneras:
CON TRES PUNTOS
• Ubicando en el plano tres puntos no alineados,
y unirlos mediante segmentos.
CON REGLA Y COMPÁS
• Utilizando determinas longitudes de sus lados
con la ayuda del compás y la regla.
Se empieza por trazar con la regla la longitud del
lado mayor, luego con el compás se mide en la
regla la longitud del segundo lado, y haciendo
centro en uno de los extremos se traza un arco,
finalmente con la medida en el compás de la
longitud, se hace centro en el otro extremo y se
corta el arco, se une este punto con los extremos
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del primer lado y se tiene el triangulo con las
medidas deseadas.
EJEMLO: Si queremos dibujar un triángulo cuyos lados
midan, por ejemplo, 6 cm, 5 cm y 4 cm, hemos de
seguir
estos
pasos:
1. Escogemos el lado mayor de los tres, el de 6 cm, y
trazamos con la regla un segmento de esa longitud. En
sus extremos rotulamos los puntos A y B:
2. Ayudándonos de la regla, abrimos el compás de
forma que entre una punta y la otra haya 5 cm. Sin
cambiarlo de abertura, pinchamos sobre el extremo
izquierdo del segmento y trazamos un arco de
circunferencia:
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3. Usando de nuevo la regla, abrimos el compás de
forma que entre una punta y la otra haya 4 cm. Sin
cambiarlo de abertura, pinchamos sobre el otro
extremo, el derecho del segmento, y trazamos otro arco
de circunferencia que cortará al anterior en un punto,
que rotulamos como C:
4. Unimos los dos extremos del segmento con el punto
de corte, C, y el triángulo queda dibujado:
Si intentas construir un triángulo cuyos lados midan 6
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cm, 3 cm y 2 cm comprobarás que los arcos trazados
desde los dos extremos del segmento no se cortan: es
imposible situar el punto C y por tanto no se puede
dibujar el triángulo.
En cualquier triángulo debe cumplirse que cualquiera
de sus lados ha de ser menor que la suma de los otros
dos. En este último caso, 6 cm. no es menor que 3 + 2
= 5 cm. y, por tanto, el triángulo no se puede construir.
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ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES DE UN
TRIANGULO
Ángulos interiores: son aquellos que se encuentran
dentro del triangulo.
TEOREMA: La suma de las amplitudes de los ángulos
interiores de un triangulo cualesquiera es igual a 180º.
DEMOSTRACIÓN:
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Partimos de un triangulo y aplicamos lo que conocemos
de los ángulos entre paralelas.
• Sea ABC un triángulo cualesquiera.
• Trazamos una paralela a uno de sus lados,
que pase por el vértice opuesto.
Hipótesis: < m + < n + <o = 180º
<1 = <m
(1)
Alternos
internos entre paralelas
<2 = <n
<1 + <o + <2 = 180º
(2)
(3)
ángulo
llano
Reemplazando en (3) la igualdad (1) y (2), tenemos:
<m + <o + <n = 180º
Ordenando
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<m + <n + <o = 180º l.q.q.d.
ÁNGULOS EXTERIORES DE UN TRIANGULO
Son aquellos que están formados por el un lado del
triángulo y la prolongación del otro.
TEOREMA: En todo triangulo la amplitud de un
ángulo exterior es igual a la suma de las amplitudes
de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.
DEMOSTRACIÓN:
• Sea ABC un triángulo cualesquiera.
• Trazamos una paralela a uno de sus lados,
que pase por el vértice opuesto.
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Hipótesis: <r = <y + <z
<z = <a
(1)
Por
alternos
internos entre paralelas
<r = <a + <y
(2)
Reemplazando en (2) la igualdad (1), tenemos:
<r = <z + <y
PROPIEDADES
l.q.q.d.
UNIVERSALES
DE
LOS
TRIÁNGULOS
1) El camino más corto entre dos puntos diferentes,
es el segmento de recta que los une.
2) La suma de dos lados cualesquiera de un
triangulo es siempre mayor que el tercero. De lo
cual podemos inferir que: “En todo triángulo, al
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mayor de los lados se opone el mayor de los
ángulos y viceversa”.
c<a<b
y
<m
<
<r
<
<n
3) En todo triangulo al mayor de los lados se opone
el mayor de los ángulos y viceversa.
Puesto que m > n > p se tendrá que: <PMN
<MNP
>
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>
<NPM.
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ACTIVIDAD 2
1. Responde
verdadero
o
falso
según
corresponda. justifica las que consideres
falsas.
• Tres puntos diferentes del plano siempre
determinan un triángulo.
• En un triángulo cualquiera, todo ángulo
interior tiene un único lado opuesto.
2. Complete:
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• Triángulo
es…………………………………………………
……
………………………………………………………
………………………………………………………
……………………………………..
• Los elementos de un triángulo son:
………………………………………………………
……………………….………………………………
……………………………………
• La suma de las amplitudes de los ángulos
interiores de un triángulo cualesquiera es
igual………………..
• En todo triangulo la amplitud de un ángulo
exterior es igual…………
………………………………………………………
………………………...
3. Dibuje un triángulo con tres puntos y nombre
de las dos maneras.
4. Dibuje los triángulos con regla y compás con
las siguientes medidas.
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• 5cm; 4cm y 7cm
• 3,6cm; 7,5cm y 6,3cm
• 10cm; 6cm y 13cm
5. Dibuja un triángulo ABC de forma tal que el
ángulo con vértice en B sea obtuso.
• ¿Cual es el mayor de los ángulos interiores
del triángulo que dibujaste?
• ¿Cuál es el mayor de los lados del triángulo
ABC?
6. Determina el tercer ángulo de un triángulo si
se conoce que los otros dos miden:
• 30º y 71º
• 17º y 34º
• 84º y 21º
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EVALUACIÓN 2
1.- Complete la siguiente definición:
Triángulo
es
la
porción
del_______________
delimitada por _____ rectas que se cortan dos a
___________, cuyos puntos de intersección se llaman
vértices.
2.- En el siguiente triángulo ponga sus elementos.
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3.- Construya un triángulo con las siguientes medidas.
5cm., 4cm. Y 7cm.
………………………………………………………………
…
4.- Complete las siguientes propiedades:
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es
igual a _____________
En un triángulo cualquiera, a mayor lado se opone
____________ ____________
5.- Encuentre el valor de los ángulos, en los siguientes
triángulos, aplicando su propiedad si los ángulos
miden:
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<R y <P = 50º; <N y <M = 60º; <Z = 130º y <X = 20º
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CLASIFICACIÓN DE
LOS TRIÁNGULOS
Los triángulos toman formas muy diferentes, es por
eso que debemos clasificarlos.
Para esto existen dos maneras:
• por sus lados
• por sus ángulos interiores.
CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS LADOS.
Triangulo
Isósceles: Es el que
tiene
dos
lados
iguales
o
congruentes.
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Triangulo
Equilátero:
Es el que tiene sus tres
lados
iguales
o
congruentes.
Triangulo
Escaleno:
Es el que tiene sus tres
lados desiguales y no
congruentes.
CLASIFICACIÓN
SEGÚN
SUS
ÁNGULOS
INTERIORES
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Triangulo
Acutángulo:
Cuando sus tres ángulos
interiores son agudos es
decir menores que 90º.
Triangulo
Rectángulo:
Cuando tiene un ángulo
interior recto es decir igual
a 90º.
Triangulo Obtusángulo:
Cuando tiene un ángulo
interior obtuso es decir un
ángulo mayor que 90º.
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ACTIVIDAD 3
1. Responde
verdadero
o
falso
según
corresponda. justifica las que consideres
falsas.
a. Un triángulo puede ser isósceles y rectángulo al
mismo tiempo.
b. Un triángulo puede ser obtusángulo y rectángulo a
la vez.
c. Un triángulo se llama isósceles si tiene dos lados
iguales y uno desigual.
d. Si un triángulo es acutángulo, entonces tiene que
ser escaleno.
2. En el siguiente cuadro aparecen algunos
triángulos en los cuales se han consignado
determinados datos. Clasifícalos, siempre que
sea posible según sus lados y sus ángulos
interiores.
1…………………..
2…………………
3………….………
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4………………………….
5………………………
6………………...
3. Construye un triangulo isósceles, anota la
simbología respectiva y luego mide en cm.
cada uno de sus lados.
4. Construye un triangulo escaleno, anota la
simbología respectiva y luego mide en cm.
cada uno de sus lados.
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5. Construye un triangulo equilátero, anota la
simbología respectiva y luego mide en cm.
cada uno de sus lados.
6. Representa en el sistema cartesiano a los
puntos A(3,2), B(-3,2) y C(0, -5). Luego, une
cada uno de los puntos y forma un triangulo.
Finalmente, determina en cm. el perímetro de
dicho triangulo.
7. Elabora
un
mapa
conceptual
con
la
clasificación de los triángulos según sus
lados.
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8. Construye un triangulo rectángulo y anota la
simbología respectiva. Luego mide cada uno
de los ángulos y comprueba el teorema de la
suma de los ángulos interiores
9. Construye un triangulo acutángulo y anota la
simbología respectiva. Luego mide cada uno
de los ángulos y comprueba el teorema de la
suma de los ángulos interiores.
10.
Construye un triangulo obtusángulo
y
anota la simbología respectiva. Luego mide
cada uno de los ángulos y comprueba el
teorema de la suma de los ángulos interiores.
11.
Grafica en el sistema cartesiano los
puntos P(-4,4), Q(4,-2). Luego, une los puntos,
forma un triángulo, mide los ángulos interiores
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comprobando que su suma es 180o Finalmente,
anota que tipo de triángulo es.
12.
Elabora un mapa conceptual con la
clasificación de los triángulos según sus
lados.
EVALUACIÓN 3
1.- Complete con los nombres de los de los triángulos
que están en la parte inferior, según el concepto dado.
El
que
tiene
un
ángulo
recto
____________________________________
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El
que
tiene
un
ángulo
recto
____________________________________
El
que
tiene
un
ángulo
obtuso
___________________________________
El que tiene 3 lados desiguales o no congruentes
____________________
Triángulo obtusángulo, triangulo rectángulo, triángulo
escaleno, triángulo equilátero.
2.- El dibujo de un triángulo obtusángulo es:
3.- En la figura se señala 2 triángulos, clasifica según
su amplitud y justifica ¿porque?
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1.- ----------------------------
2.- ----------------------------
3.- ----------------------------
4.- Grafique los siguientes triángulos y pon sus
elementos.
Triángulo rectángulo
Triángulo escaleno
Triángulo acutángulo
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LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIANGULO
Son líneas y puntos que en el triangulo cumplen
propiedades especificas y son la altura, la mediana, la
bisectriz y la mediatriz.
LA ALTURA
Es la recta perpendicular
bajada desde el vértice
opuesto
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o
a
su
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prolongación formando
dos ángulos adyacentes
e iguales.
En todo triangulo se pueden trazar tres alturas. El punto
donde se cortan estas se llama ORTOCENTRO.
El trazado fácil, rápido y preciso se hace con escuadra.
MEDIANA
Es la recta que sale del
vértice a la mitad del
lado opuesto.
En todo triangulo se puede trazar tres medianas. El
punto donde se intersecan se llama BARICENTRO
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El baricentro viene a ser el punto de equilibrio o centro
de gravedad del triangulo, y se encuentra a
2
3
del
vértice.
Para trazar una mediana, basta medir el lado con una
regla y señalar el punto medio, luego unir con el vértice
opuesto.
BISECTRIZ
Es la recta sale del
vértice
dividiendo
en
dos partes iguales o
congruentes.
En todo triangulo se puede trazar tres bisectrices. El
punto donde se intersecan toma el nombre de
INCENTRO.
MEDIATRIZ
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Es la recta perpendicular
que se levanta sobre la
mitad de un lado.
En todo triángulo se puede trazar tres mediatrices, el
punto donde se encuentran se denomina
CIRCUNCENTRO.
Este viene a ser el centro de la circunferencia que pasa
por los vértices del triángulo.
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Leonhard
Euler
Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en
Basilea, Suiza. Murió el 18 de septiembre de 1783 en
San Petersburgo, Rusia. Vivió en Rusia la mayor parte
de su vida. Probablemente uno de los más grandes
matemáticos de la historia, comparable a Gauss,
Newton o Arquímedes.
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Fue
discípulo
de
Jean
Bernoulli,
pero
supero
rápidamente el notable talento matemático de su
maestro. Su carrera profesional se circunscribió a las
Academias de Ciencias de Berlín y San Petersburgo, la
mayor parte de su trabajo se publicó en los anales de
ciencias de estas instituciones. Fue protegido de
Federico el Grande, en cuya corte protagonizó agrias
discusiones metafísicas con Voltaire, de las que solía
retirarse enfurecido por su incapacidad en la Retórica y
la metafísica.
Perdió la vista de un ojo durante un experimento en
óptica (según otras fuentes, mientras hacía un mapa
topográfico de Rusia), y en 1766 la vista del otro, ya de
mayor. Pasó los últimos años de su vida ciego, pero
siguió publicando trabajos.
Posiblemente es el matemático con más trabajos
publicados de la historia. La mayor parte de ellos se los
dictó a su hijo mayor cuando ya estaba ciego. A pesar
de que su actividad de publicación era incesante, un
promedio de 800 páginas de artículos al día en su
época de mayor producción, entre 1727 y 1783, la
mayor parte de su obra completa está sin publicar. La
labor de recopilación y publicación completa de sus
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trabajos comenzó en 1911 y no hay indicios de que se
complete. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre
887 títulos en 72 volúmenes, a día de hoy se supone
que alcanzará los 200 con facilidad. Se le considera el
ser humano con mayor número de trabajos y artículos
en cualquier campo del saber, solo equiparable a
Gauss.
RECTA DE EULER
Cuando en un mismo triángulo se trazan todas las
líneas notables y con precisión, los cuatro puntos son
colineales (están en línea recta). Uniendo estos puntos
se tiene la Recta de Euler
La recta de Euler es una recta que pasa por el
ortocentro, el circuncentro , el incentro y el baricentro
de un triángulo.
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La recta que los contiene se llama recta de Euler (en
rojo en la figura).
IGUALDAD O CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
FIGURAS GEOMÉTRICAS CONGRUENTES
Concepto.- dos figuras son congruentes, cuando tienen
la misma forma y el mismo tamaño.
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CUADRADOS
EXÁGONOS
REGULARES
El símbolo para denotar la congruencia es
. Este
símbolo es la combinación de dos símbolos: =
que
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significa tener el mismo tamaño (medida) y
que
significa tener la misma forma.
IGUALDAD Y CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Los triángulos son congruentes cuando tienen la misma
forma y el mismo tamaño.
La igualdad o congruencia de triángulos se determina
de tres formas, las mismas que enunciamos como
axiomas.
1. “Dos triángulos son iguales o congruentes
cuando un ángulo del uno es igual al ángulo
del otro y los lados que lo forman son
iguales”.
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2. “Dos triángulos son iguales o congruentes cuando
los dos ángulos del uno son iguales con los dos
ángulos del otro e igual al lado adyacente a dichos
ángulos”.
3. “Dos triángulos son iguales y congruentes
cuando
los
tres
lados
del
uno
son
respectivamente iguales o congruentes a los
tres lados del otro”.
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TEOREMA DE THALES
Entre los aportes más significativos que nos dejó
Thales de Mileto, tenemos un teorema que es
fundamental en el estudio de la geometría.
Concepto:
Las paralelas que cortan a otras rectas, determinan en
dichas
rectas,
segmentos
correspondientes
proporcionales.
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Las rectas a, b, c y d son paralelas.
Las rectas r y s son transversales.
Para entender este teorema, debemos medir los
segmentos:
misma
AB, BC , AC , AD, BD y CD
unidad
correspondientes:
de
. Luego, medimos con la
medida
los
segmentos
A ' B ', B ' C ', A ' C ', A ' D ', B ' D ' y C ' D ' .
Al hallar la razón de los segmentos correspondientes
es decir, al dividir las medidas de los primeros
segmentos
entre
(para)
las
medidas
de
sus
correspondientes, se obtiene una constante y se dice
que los segmentos son proporcionales.
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77
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Simbólicamente lo representamos de la siguiente
manera:
AB
BC AC
AD
BD
CD
= k (constante).
A' B ' B 'C ' A'C ' A' D ' B ' D ' C ' D '
PROPIEDADES DEL TEOREMA DE THALES
Del teorema de Thales estudio, podemos observar
algunas propiedades al interior de un triángulo.
1ra Propiedad:
Concepto
Toda recta paralela al lado de un triángulo, divide a los
otros dos lados en partes proporcionales.
AP
BQ
PC AP BQ
QC PC
PQ ⊥ AB
“La recta
PQ
es
QC
paralela al lado
AB ”
2da Propiedad:
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Concepto:
Una recta paralela a un triángulo, determinada con los
otros dos lados, un nuevo triángulo cuyos tres lados
son proporcionales al primero.
PQ
AB
PC CQ
PQ ⊥ AB
“La recta
PQ
es
AC CB
paralela al lado
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AB ”
79
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SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
En general dos figuras geométricas son semejantes si
tienen la misma forma, pero diferente medida o
extensión; y los lados paralelos u homólogos
proporcionales.
La determinación de semejanza de dos triángulos es
análoga a la de igualdad.
1) TEOREMA
2) TEOREMA
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3) TEOREMA
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PERÍMETRO DEL TRIÁNGULO
El perímetro de cualesquier figura plana es el contorno de la misma
.
En el triángulo MNO su
contorno seria todo las
rectas que lo forman: recta
MO, recta ON y recta NM.
El cálculo del perímetro de un triángulo en realidad no necesita fórm
El perímetro de una figura plana cualquiera se determina suman
Ejemplo 1
Si en el triángulo ABC la longitud de los lados fueran a = 5cm, b = 6c
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P = lado BA + lado AC + lado CB
Reemplazando los valores tenemos:
P = 5cm + 6cm + 10cm
P = 21cm
Ejemplo 2
Se desea saber cuanto de alambre se necesita para poner una cerc
6,5m; 7,8m y 9,4m.
1.
Graficamos la figura del triangulo con las respec
2.
Para calcular el perímetro sumamos sus tres lado
P = lado YZ + lado ZX + lado XY
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P = 6,5m + 7,8m + 9,4m
3.
P = 23,7m
Para saber cuanto de alambre necesito, tengo qu
Total de alambre = perímetro por 4
T.A. = 23,7m x 4
T.A. = 94,8m
Se necesita 94,8m de alambre
ACTIVIDAD 4
1. Traza un triángulo obtusángulo construye las
tres alturas y determina el ortocentro.
2. Traza un triángulo acutángulo, construye las
tres medianas y determina el baricentro.
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3. Elabora un mapa conceptual para cada uno de
los conceptos de altura y mediana.
4. En los triángulos propuestos halla el incentro.
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5. En
el
triángulo
obtusángulo
propuesto,
determina el circuncentro.
6. Construye un
mapa conceptual con el
concepto de ortocentro.
7. Traza tres bisectrices y halla el incentro en:
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a. Un triángulo rectángulo
b. Un triángulo acutángulo
c. Un triángulo obtusángulo
8. Traza las tres medianas y halla el circuncentro
en:
a. Un triángulo rectángulo
b. Un triángulo acutángulo
c. Un triángulo acutángulo.
9. Escribe las condiciones para que las figuras
propuestas sean congruentes.
a. Dos segmentos:
Explicación:……………………………………………
……………………
…………………………………………………………
……………………
…………………………………………………………
……………………
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b. Dos ángulos:
Explicación:……………………………………………
……………………
…………………………………………………………
………………….
…………………………………………………………
………………….
10.
Determina si los triángulos propuestos
son congruentes. Mide los lados y el ángulo
indicado.
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Conclusión:……………………………………………
……………………
…………………………………………………………
……………………
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11.
Determina
si
los
triángulos
son
congruentes. Mide los lados y los ángulos,
según sea el caso.
a. Aplica el primer caso.
Explicación……………………………………………
……………………
…………………………………………………………
……………………
b. Aplica el tercer caso.
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Explicación……………………………………………
……………………
…………………………………………………………
……………………
12.
Escribe un caso de la vida real en donde
se observe la congruencia de triángulos.
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
......................................
13.
Realiza una síntesis de la congruencia de
triángulos.
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…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………
14.
Determina si los triángulos propuestos
son
semejantes.
Aplica
el
primer caso.
15.
Determina si los triángulos propuestos
son
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semejantes.
Aplica
el
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segundo caso.
16.
se
Escribe 2 casos de la vida real en donde
observe
la
semejanza
de
triángulos.
a. ………………………………………………………
………………………...……………………………
…………………………………………………...…
………………………………………………………
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b. ………………………………………………………
………………………...……………………………
…………………………………………………...…
……………………………………………………….
17.
Realiza una síntesis de la semejanza de
triángulos
…………………………………………………………
……………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………
18.
Traza un triangulo isósceles, un triangulo
equilátero y un triangulo escaleno. Escribe su
simbología, mide sus lados y calcula el
perímetro de cada uno de ellos.
19.
Traza
un
triángulo
rectángulo
y
un
triángulo obtusángulo. Escribe su simbología
y comprueba en cada caso que la suma de los
ángulos interiores es 180o
Finalmente, mide
en cm. sus lados y calcula el perímetro.
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94
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EVALUACIÓN 4
1.- Ponga V si es verdadero y F si es falso en las
siguientes definiciones.
(
) Mediana es la recta que sale del vértice a la mitad
de la opuesto.
(
) Altura es la recta perpendicular que se levanta
sobre la mitad de 1 lado.
(
) Bisectriz es la recta que sale del vértice dividiendo
al ángulo en 2 partes iguales.
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2.- Dibuja un triángulo acutángulo y traza las medianas
y las alturas.
3.- Dos segmentos son congruente si
(
)
tienen la misma longitud
(
)
Son la parte de una misma recta
(
)
Su intersección contiene un solo punto
4.- Ponga una V si es verdadero y F si es falso en las
siguientes figuras.
Triángulos congruentes son:
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5.- El teorema de Thales se refiere a paralelas y a
(
)
las clases de triángulos
(
)
las clases de ángulos
(
)
Segmentos proporcionales
6.- Las paralelas que cortan a otras rectas, determinan
en dichas rectas, segmentos
(
)
Correspondientes proporcionales
(
)
Congruentes y semejantes
(
)
Semejantes y no congruentes
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7.- Según el
paralela
ha
( )
AB AC
=
PQ BC
( )
AB AC
=
PQ PC
( )
AB AC
=
PQ BQ
gráfico
AB ,
se
propuesto, en donde
tiene,
señale
lo
PQ
es
correcto.
8.- Dos triángulos son congruentes cuando tienen:
(
)
El mismo tamaño.
(
)
La misma forma
(
)
La misma forma y el mismo tamaño.
9.- Dos triángulos son congruentes cuando:
(
)
Tienen los ángulos congruentes
(
)
Tienen los ángulos semejantes
(
)
Los tres lados son
respectivamente
congruentes
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UNIVERSIDAD DE CUENCA
CONCLUSIONES
Este trabajo académico realizado y la información
recogida me permite llegar a las siguientes
conclusiones:
¾ Al
realizar
este
trabajo
integrador
he
desarrollado atravez de los programas de
computación una secuencia de eventos de
geometría en los cuales se ha desarrolado la
teoría dentro de una forma práctica ya que los
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estudiantes tiene posibilidad de manipular las
diferentes relaciones entre figuras geometricas
y formulas.
¾ Este
trabajo
me
permitio
también
desarrollarme he investigar otros programas
más
abanzados
para
dinamisar
más
y
encontrar una manera más apropiada y directa
de
ingresar
la
información
hacia
los
estudiantes, esta puede ser através de juegos
o sistemas de videos más dinámicos.
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10
0
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RECOMENDACIONES
El presente trabajo concluyo haciendo las
siguientes
recomendaciones:
La utilización de este libro electrónico en el
Octavo año de Básica en los diferentes
planteles, fiscales, particulares, religiosos
de la ciudad de Cuenca; porque:
Su
presentación
es
una
manera
completamente nueva de aprender la
geometría, saliéndose del tradicional
libro.
Ofrece
al
alumno
integrarse
conjuntamente con el estudio de la
geometría a la tecnología moderna
esto
es
en
el
mundo
de
la
computación.
Se
encuentra
sonidos
Prof. María Inga
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gifs
animado
mediante
y
de
fotos
alta
10
1
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resolución,
despertando
de
esta
forma el interés de los estudiantes
por
aprehender
y
manejar
la
geometría.
Posibilitará a los maestros cambiar
su
rol
de
constructor
del
conocimiento, a facilitador.
BIBLIOGRAFÍA
Profesores de MATEMÁTICAS DEL COLEGIO DON
BOSCO, “Geometría”, Editorial Don Bosco, QuitoEcuador, Marzo 1.966.
BALDOR, “Geometría Plana y del Espacio”, Cultura
Centroamericana, Madrid, 1.983.
ESPINOZA, Alfredo, “Taller de Matemáticas Básicas
para 8º, 9º y 10º años”, Guayaquil-Ecuador, Agosto
1999.
Prof. María Inga
Enero del 2006
10
2
UNIVERSIDAD DE CUENCA
SANCHEZ, José, “Matemáticas Básicas para 8º, 9º y
décimo años”, Nueva Edición, Loja-Ecuador, 2.003.
OLIVEROS, Eladio, “Geometría Básica”, Tomo 1-2,
Primera Edición, Ecuador 2.002.
ESPINOZA, Alfredo
EQUIPO
DE
REDACTORES,
“Matemática
para
Educación Básica”, EDI.TEX.PA Sociedad Anónima,
Cuenca –Ecuador, 1999.
“PAGINAS EN INTERNET”
www.softoni.com.
www.escalar.com/geometri/05
www.españolsoftpicks.net/software/las
www.educarchile.cl/ntg
www.acarioja.com
www.matematicas.net
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