Curso 2009/10 FÍSICA CURSO PAU25 UNIDAD TEMÁTICA V. GRAVITACIÓN 1.- ÍNDICE. 1.1.- Concepto de campo gravitatorio. 1.2.- Ley de la gravitación universal. 1.2.1.- La constante de la gravitación universal, “G”. 1.3.- Potencial gravitatorio. 1.4.- Energía potencial gravitatoria. 1.5.- Aplicaciones al estudio del movimiento de planetas y satélites. 1.5.1.- Ley del Inverso del cuadrado. 1.5.2.-Velocidad de escape 2.- INTRODUCCION GENERAL A LA UNIDAD Y ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO. En este tema introduciremos el concepto de interacción gravitatoria, expondremos la Ley de la gravitación de Newton, que nos permitirá estudiar el universo como un todo. Introduciremos de modo superficial el concepto de campo, para que podamos entender la idea de acción a distancia entre cuerpos. Además recomienda el de leer tranquilamente los puntos desarrollados, se ir tomando nota de las fórmulas, ya que están interrelacionadas unas con otras. Los ejercicios desarrollados y el Tema 5 UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ Pág. 1 Prof. Guillermo de Scals Martín Curso 2009/10 FÍSICA CURSO PAU25 formulario escrito por cada uno, serán las herramientas necesarias para hacer los ejercicios de autocomprobación. 3.- OBJETIVOS ESPECÍFICOS. Saber calcular problemas con la ley de la gravitación de Newton. Conocer la constante de gravitación Universal “G”, y saber que es “g”. Conocer el concepto de velocidad de escape. Ir comprendiendo el concepto de campo 4.- DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS. 4.1.- Concepto de campo gravitatorio. Todo el mundo sabe que los objetos caen debido a la gravedad, Newton no descubrió la gravedad, lo que descubrió fue que la gravedad era universal, es decir que todos los objetos del universo se atraen. Así que la misma fuerza que hace caer una manzana madura, mantiene a la luna en su órbita, y que, la luna y la tierra giren alrededor del sol es debido a la gravedad. Al jugar con limaduras de hierro y un imán, se produce un campo magnético, que es un campo de fuerza que rodea al imán. Pues la clase de campo de fuerza que rodea a los objetos masivos: es el campo gravitacional. Tema 5 UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ Pág. 2 Prof. Guillermo de Scals Martín Curso 2009/10 FÍSICA CURSO PAU25 El campo gravitacional de la tierra se puede representar por medio de líneas de campo imaginarias. Como en el caso de las limaduras de hierro alrededor del imán, las líneas están más juntas donde el campo gravitacional es más intenso. Las flechas muestran la dirección del campo. La intensidad del campo gravitacional de la tierra es la fuerza por unidad de masa que ejerce sobre cualquier objeto. El campo gravitacional está definido por: g F m Usamos el mismo símbolo que el de la aceleración debida a la gravedad porque el campo gravitacional es igual a la aceleración que experimenta un objeto en caída libre, cuando sobre él sólo se ejerce la fuerza de la gravedad. Cerca de la superficie de la tierra la intensidad del campo gravitatorio es: g F 9,8 N m 9,8 2 m kg s Por tanto en la superficie de la tierra, la fuerza gravitacional que se ejerce sobre un objeto es su peso, es decir, la atracción gravitacional entre la masa “m” del objeto y la masa de la tierra, “M”, la distancia entre los centros de masa es el radio “R” de la tierra. Sustituyendo estos valores (m1=m, m2=M, d=R) en la ley de la gravitación universal y dividiendo entre m tenemos: Tema 5 UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ Pág. 3 Prof. Guillermo de Scals Martín Curso 2009/10 FÍSICA CURSO PAU25 mH G GM F R2 1 g : , resolviendo queda la expresión: g 2 m R m m Veamos un ejemplo: ¿Cuál es la aceleración en caída libre de un objeto a la altura de la órbita del transbordador espacial, a 400 km por encima de la superficie terrestre? Como nosotros sabemos la aceleración a F y F viene dada por la ley de la m gravitación de Newton: a F m MT ) r 2 GM T m r2 Gm( La distancia r está relacionada con el radio de la tierra RT y la altura h: r RT h 6370km 400km 6770km Por tanto la aceleración buscada será: a GM T r2 Nm 2 )(5,98 10 24 kg ) 2 m kg 8,70 2 2 (6770km) s (6,67 10 11 Podemos ver que el valor numérico de “g” en la superficie de la tierra depende de la masa de ésta y de su radio. Si la masa ó el radio de la tierra fuesen distintos, “g” tendría un valor diferente sobre la superficie. Conociendo la masa y el radio de un planeta cualquiera puedes calcular el valor de “g” correspondiente. Tema 5 UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ Pág. 4 Prof. Guillermo de Scals Martín Curso 2009/10 FÍSICA CURSO PAU25 Ejercicio de aplicación directa: Calcula la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de Júpiter. La masa de Júpiter es 1,9 · 1027Kg y su radio 6,98·107m. ¿Qué relación tiene con la de la tierra? g G M 6,67·10 11 ·1,9·10 27 N 26,01 ; g 26,01 ; 3veces 2 7 2 R (6,98·10 ) Kg 9,81 4.2.- Ley de la gravitación universal. “Todos los cuerpos se atraen entre si con una fuerza directamente proporcional al cuadrado de la distancia que existe entre ellos”. Cuando decimos que es directamente proporcional al producto de sus masas, significa que cuantos mayores sean las masas mayor será la fuerza de atracción que ejercen una sobre otra. Y al decir que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que existe entre ellos, queremos decir que cuanto más alejados estén los objetos, menor será la fuerza de atracción que ejercen uno sobre el otro. Expresando esta ley en símbolos: F m1 m2 siendo: d2 m1=masa de un objeto m2=masa del otro objeto d= distancia que separa sus centros de masa. Tema 5 UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ Pág. 5 Prof. Guillermo de Scals Martín Curso 2009/10 FÍSICA CURSO PAU25 4.2.1.- La constante de la gravitación universal, “G”. Podemos expresar la proporcionalidad de la ley de la gravitación universal como una ecuación exacta introduciendo la constante de la gravitación universal “G”, quedando entonces la ecuación: F G m1 m2 d2 Así la fuerza de gravedad que se ejerce entre dos objetos se encuentra multiplicando sus masas, dividiendo el producto entre el cuadrado de la distancia que separa sus centros y luego multiplicando el resultado por la constante “G”. La magnitud de “G” está dada por la magnitud de la fuerza entre las masas de 1 kg separadas por una distancia de 1m: G=6,67 ·10-11 (N·m2)/kg2 Esta constante fue medida por un físico ingles Henry Cavendish, mucho tiempo después de Newton, utilizando una balanza de torsión. Ejemplo de aplicación: Sabiendo que R=6,37·106m y que G =6,67·1011Nm2/kg2, calcular la masa de la tierra. F G m1 m2 M m2 M m2 ; F G ;ma G 2 2 R R2 d M g R2 5,96 10 24 kg G 4.3.- Potencial gravitatorio. Es la cantidad de energía que posee un objeto elevado siendo igual al trabajo realizado contra la gravedad para llevarlo a esa posición. Tema 5 UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ Pág. 6 Prof. Guillermo de Scals Martín Curso 2009/10 FÍSICA CURSO PAU25 4.4.- Energía potencial gravitatoria. Para elevar objetos contra la gravedad terrestre se requiere trabajo. Es la energía potencial debida a que un objeto se encuentra en una posición elevada. El trabajo realizado es igual a la fuerza necesaria para moverlo hacia arriba por la distancia vertical que recorre. (W=F·d). La fuerza necesaria (si el objeto se mueve con velocidad constante) es igual al peso del objeto mg, por lo tanto el trabajo realizado al levantar un objeto hasta una altura h está dado por el producto mgh: Energía potencial gravitatoria = peso x altura Energía potencial Ep= mgh Podemos deducir 3 cosas: 1.- El trabajo sólo depende de las posiciones inicial y final que tenga el objeto a desplazar: Así pues: W mgh2 mgh1 Siendo h1= posición inicial Siendo h2= posición final 2.- La energía potencial de un cuerpo en la superficie de la tierra es nula. 3.- Afirmamos que cuando un cuerpo se encuentra a cierta altura sobre la superficie de la tierra posee energía potencial, cuyo valor es: Ep mgh Por lo que la altura h, es la distancia recorrida hacia arriba desde cierto nivel de referencia, como la superficie de la tierra. La energía potencial mgh es relativa a dicho nivel e inicialmente depende de mg y de la altura h, no dependiendo de la trayectoria seguida para elevar el objeto hasta una posición elegida. Tema 5 UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ Pág. 7 Prof. Guillermo de Scals Martín Curso 2009/10 FÍSICA CURSO PAU25 4.5.- Aplicaciones al estudio del movimiento de planetas y satélites. Para entender que la gravedad se reduce con la distancia imaginamos que tenemos en nuestro poder una pistola de mantequilla y que queremos untar tostadas, a una determinada distancia. Si la abertura del cañón de la pistola es cuadrada, suponemos que se deposita una capa uniforme de mantequilla de 1mm de espesor. Si colocamos las tostadas dos veces mas lejos de la pistola de mantequilla, al extenderse la mantequilla por una distancia dos veces mayor, cubrirá el doble de tostada en la dirección horizontal. Como la mantequilla se ha extendido para cubrir un área cuatro veces mayor (porque ha cubierto 4 tostadas), el espesor de mantequilla se reducirá en un cuarto del anterior es decir 0’25mm. Cuando se aleja 3 veces más, se extiende para cubrir 3 x 3, o sea, así el espesor de la mantequilla será de 1/9 del espesor original. Tema 5 UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ Pág. 8 Prof. Guillermo de Scals Martín Curso 2009/10 FÍSICA CURSO PAU25 4.5.1.- Ley del Inverso del cuadrado. Esta ley nos habla sobre la disminución de la intensidad de la gravedad con la distancia. Como en el ejemplo de la mantequilla: Cuando una cantidad varía como el inverso del cuadrado de la distancia a su origen. Cuando mayor sea la distancia a la que una manzana por ejemplo se encuentra del centro de la tierra, su peso será menor. Pero por más que nos alejemos de la tierra, nuestra gravedad nunca se hace cero. Por más pequeño que sea un objeto y por más alejado que se encuentre, su influencia se ejerce por todo el espacio. La tierra es redonda debido a la gravitación. Puesto que todos los objetos se atraen mutuamente, cualquier “esquina” que pudiera tener han sido aplastadas, siendo una gigantesca esfera. Si todo objeto tira de todos los demás, entonces los planetas tiran unos de los otros. Un ejemplo. La fuerza total que determina el movimiento de Júpiter no proviene únicamente de su interacción con el sol, sino también de una interacción con los planetas. Cuando el planeta saturno se encuentra cerca de Júpiter, su atracción altera la trayectoria de este. Ambos planetas se desvían de sus órbitas normales. Esta desviación se conoce como perturbación. A mediados del siglo pasado el planeta Urano presentaba unas inexplicables perturbaciones que tenían desconcertados a los astrónomos, creían que la ley de la gravitación estaba fallando a esa enorme distancia del sol. Tema 5 UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ Pág. 9 Prof. Guillermo de Scals Martín Curso 2009/10 FÍSICA CURSO PAU25 La fuente de las perturbaciones de Urano fue descubierta en 1845 por dos astrónomos John Adams y Urbain Leverrier, llegando ambos a la misma conclusión: que un cuerpo que se encontraba más allá de la órbita de Urano estaba afectando su movimiento. Se pusieron en contacto con los observatorios de sus respectivas localidades para que escudriñaran cierta región del cielo. Al cabo de media hora se había descubierto el planeta Neptuno. Otras perturbaciones de Urano permitieron predecir la existencia del noveno planeta, Plutón, descubriéndose en 1930 en el observatorio Lowell de Arizona. Plutón tarda 248 años en dar una sola vuelta al sol, por lo que no lo veremos en la posición que fue descubierto hasta el año 2178. Las perturbaciones de las estrellas dobles y las formas de las galaxias remotas, demuestran que la ley de la gravitación es válida más allá del sistema solar. A distancias aún mayores, la gravitación determina el destino de todo el universo. La teoría de la gravedad de Newton ha afectado tanto a la ciencia como a la civilización muy profundamente. Las ideas de Newton dieron comienzo a la edad de la razón, o siglo de las luces. Newton demostró que era posible descubrir el funcionamiento del universo físico por medio de la observación y de la razón. Que profundo es que todos los planetas, lunas, estrellas y galaxias se rijan por una regla tan sencilla como F G m1 m2 d2 La condición de ingravidez no es la ausencia de gravedad, sino la ausencia de una fuerza de soporte. Los astronautas en órbita se encuentran sin fuerza Tema 5 UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ Pág.10 Prof. Guillermo de Scals Martín Curso 2009/10 FÍSICA CURSO PAU25 de soporte, por lo que están en estado de ingravidez prolongada. Esto les provoca mareos hasta que se acostumbran. Vamos a analizar brevemente el movimiento de los planetas en órbita desde el punto de vista de la energía. Tomemos un sistema formado por un planeta de masa “M” moviéndose alrededor del sol, un satélite en órbita terrestre o un cometa de masa “m” que pasa una vez cada cierto tiempo cerca del sol. Si tomamos a M y m como un sistema aislado, no influenciado por nada más, al suponer que M está en reposo en un sistema de referencia inercial (porque M es mayor que m), la energía mecánica total E del sistema formado por los 2 objetos es la suma de la energía cinética del objeto de masa m y la energía potencial gravitatoria del sistema: Em EC E pg Como la energía potencial gravitatoria Epg asociada a cualquier pareja de partículas de masas m1 y m2 que se encuentran separadas por una distancia r viene dada por la expresión: E pg Gm1m2 r Y como por definición Epg tiende a ser 0 cuando la distancia r tiende al infinito, así la energía mecánica del sistema formado por M y m es : E 1 2 GMm mv 2 r De la ecuación anterior deducimos lo siguiente: Que la energía E puede ser positiva, negativa o nula, dependiendo del valor que tenga v. La tierra permanecerá siempre cerca del sol y el satélite cerca de la tierra, son sistemas ligados. Tema 5 UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ Pág.11 Prof. Guillermo de Scals Martín Curso 2009/10 FÍSICA CURSO PAU25 El paso de un meteorito no perteneciente al sistema solar representa un sistema no ligado. El meteorito interacciona con el sol, pero no queda atrapado bajo su influencia. Para un sistema ligado, como el de la tierra y el sol, E tiene que ser menor que cero, porque hemos elegido el convenio que Epg tiende a cero cuando r tiende a infinito. Así aplicando la 2ª Ley de Newton tenemos: F ma GMm mv 2 r2 r Multiplicando los dos miembros de la ecuación por “r” y dividiendo por 2: 1 2 GMm mv 2 2r Sustituyendo en la ecuación: E GMm GMm GMm ; E 2r r 2r Demostramos pues que la energía mecánica total debe ser negativa en el caso de órbitas circulares. Demostramos que la energía cinética de un objeto que se mueve en una órbita circular es igual a un medio del valor absoluto de la energía potencial del sistema. 4.5.2.-Velocidad de escape Imagina que lanzamos una grapadora de masa “m” desde la superficie de la tierra con una velocidad inicial vi. En la superficie de la tierra ri=RT, cuando el objeto alcanza la altura máxima, vf=0 y rf= rmax. Como la energía total del sistema se conserva: 1 2 GM T m GM T m mvi 2 RT rmax Tema 5 UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ Pág.12 Prof. Guillermo de Scals Martín Curso 2009/10 FÍSICA CURSO PAU25 Despejando de la ecuación anterior vi2 2GM T ( 1 1 ) RT rmax Si conocemos la velocidad inicial, con esta expresión podemos calcular la altura máxima h, porque h=rmax-RT Definición: es la velocidad mínima que debe tener el objeto en la superficie de la tierra para poder seguir alejándose de ella indefinidamente: Vescape 2GM T RT Como vemos es independiente la masa del objeto lanzado desde la tierra. Un ejemplo lo podemos apreciar en que una nave espacial tiene la misma velocidad de escape que una grapadora, además el resultado es independiente de la dirección de la velocidad. 5.- RESUMEN. En este tema hemos abordado una serie de conceptos nuevos, tales como el concepto de campo. Con ello hemos podido explicar la interacción entre cuerpos separados por una determinada distancia. Posteriormente hemos trabajado con la ley de la gravitación universal de Newton, y la constante universal “G”. Hemos repasado el concepto de energía potencial gravitatoria y lo hemos desarrollado. A continuación y por último hemos explicado brevemente el la ley del concepto del inverso, ésta ley nos habla sobre la disminución de la intensidad de la gravedad con la distancia. En este punto hemos unido los conceptos de la gravitación universal y los conceptos de energía potencial y cinética. 6.- BIBLIOGRAFÍA Tema 5 UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ Pág.13 Prof. Guillermo de Scals Martín Curso 2009/10 FÍSICA CURSO PAU25 Burbano de Ercilla, S., Burbano, E., Gracia, C. “Física general”. Mira. Zaragoza. 1993. Texto que presenta un esquema de la materia muy clásico. Es un libro muy recomendado en el programa de Física de muchas escuelas universitarias debido principalmente a su nivel asequible y su amplia cobertura de los temas. Al final de cada capítulo se proponen una serie de problemas cuya solución viene expuesta en otro volumen. Cámara, J.M.; Ferrández, M.; Pastor, C. y Ruiz G. “Curso de Física”. Ediciones TC. Alicante. 1998. Es una obra formada por dos volúmenes, de los que sólo se encuentra publicado el primero. Desarrolla los contenidos de la asignatura de Fundamentos Físicos de la Ingeniería de este proyecto docente (mecánica, mecánica de fluidos, termodinámica y electricidad). Se trata de un texto dirigido a estudiantes de ingeniería, aunque se recomienda a estudiantes de ciencias, dado que combina el rigor del desarrollo matemático con la claridad de los conceptos expuestos. Catalá, J. “Física General”. Saber. Madrid. 1988. Libro clásico que trata un amplio abanico de temas dando una visión general de la Física, aunque sin demasiada profundidad. Este texto ha estado presente en el pasado en la formación de gran número de profesionales. Tipler, P. A. “Física para la Ciencia y la Tecnología” 4ª Edición.Reverté. Barcelona. 1999 Es un libro que consta de dos tomos y que imparte las materias en el siguiente Orden: mecánica, ondas mecánicas y sonido, termodinámica, electricidad y magnetismo y Física moderna. Al principio de cada capítulo presenta los objetivos perseguidos con el fin de que los alumnos sepan la información que contiene y conozcan el nivel de compresión que se les exigirá. En muchos casos las deducciones se presentan sin demostración, y ésta se expone en un párrafo opcional, al final de cada sección o capítulo. La colección de cuestiones y problemas es extensa y de calidad docente. Contiene muchos problemas resueltos y temas monográficos de actualidad. En general, se adapta bien al programa propuesto. Tema 5 UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ Pág.14 Prof. Guillermo de Scals Martín Curso 2009/10 FÍSICA CURSO PAU25 7.- ACTIVIDADES. 7.1.- Siendo la ley de la gravitación de Newton universal, ¿por qué no vemos a los cuerpos precipitarse unos contra otros?. 7.2.- ¿Cómo se mantienen juntas las estrellas de una galaxia?. 7.3.- ¿Dónde pesaría más un cuerpo: en la Tierra, en la Luna o en el Sol?. 8.- GLOSARIO Ley de la gravitación universal Constante gravitacional Velocidad de escape Campo gravitacional Energía mecánica Energía cinética Energía potencial 9.- EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN. 9.1.- ¿Cuánto pesaría un hombre de 70 kg en un planeta de masa 10 veces menor y radio 10 veces mayor que la masa y radio de la Tierra.? ¿Y en otro planeta de radio 10 veces menor y masa 100 veces mayor que los de la Tierra? 9.2.-¿A que altura sobre el nivel del mar habría que subir un cuerpo para que su peso fuera la mitad que a ese nivel?. (R0=6370 km) Tema 5 UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ Pág.15 Prof. Guillermo de Scals Martín Curso 2009/10 FÍSICA CURSO PAU25 9.3.- La masa del Sol es 324440 veces mayor que la de la Tierra y su radio 108 veces mayor que el terrestre. ¿Cuál será la altura alcanzada por un proyectil que se lanzase verticalmente hacia arriba desde la superficie solar, a una velocidad de 720 km/h?. 9.4.- Calcular la fuerza atractiva que ejerce el Sol sobre la Tierra (masas de ambos astros: ms=1,987·1030 kg; mT=5,975 · 1024 kg; distancia media r=1,495·1011m). 9.5.- Un hombre que en la Tierra es capaz de dar un salto de 1,5m de altura ¿A qué altura podrá saltar en la Luna?. Dato: gravedad en la superficie lunar: 0,166 m/s2. 10.- SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN. Tema 5 UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ Pág.16 Prof. Guillermo de Scals Martín