magnetostática 1

MAGNETOSTÁTICA
Estudia los campos magnéticos producidos por imanes y por corrientes
eléctricas.
OBSERVACIONES EXPERIMENTALES.
S
N
Un imán con sus dos polos magnéticos
designados como norte N y sur S.
Desde la antigüedad (varios siglos A.C.) los griegos habían observado que
algunos minerales de hierro, como la magnetita, podían atraer pequeños
trozos de hierro. Esta propiedad de poder ser atraídos la tiene además del
hierro, otros materiales como el manganesio, el cobalto, etc. y muchos
compuestos de estos metales.
Debido a que aparentemente esta propiedad física no parecía estar
relacionada con la electricidad, se le dio el nombre de magnetismo que
deriva de una ciudad del Asia menor, llamada Magnesia que según la
tradición es donde se observó por primera vez el fenómeno.
Los polos magnéticos
Un cuerpo magnetizado se conoce como imán, y en él, el magnetismo
parece estar concentrado en pequeñas regiones del cuerpo llamadas polos
magnéticos. Una varilla magnetizada que pueda girar libremente (como la
aguja de una brújula) se orienta de manera que el mismo extremo apunta
siempre hacia el Polo Norte geográfico. Este hecho sugiere que existen dos
polos magnéticos que se suelen representar con las letras N y S. La
experiencia con una barra magnetizada muestra que tiene polos opuestos
en sus extremos. Si colocamos dos barras magnetizadas como se indica en
la fig.7.1 y fig.7.2, se comprueba que los polos magnéticos opuestos se
atraen y los polos magnéticos iguales se repelen.
En 1269 Pierre de Maricourt, usando un imán natural esférico y una aguja,
elaboró un mapa de las direcciones que tomaba la aguja al colocarla en
diferentes puntos de la superficie de la esfera. Encontró que las direcciones
formaban líneas que rodeaban la esfera pasando a través de puntos
diametralmente opuestos, a los cuales llamó polos del imán. En 1600,
William Gilbert extendió estos experimentos a otros materiales, y usando el
hecho de que una aguja magnética (brújula) se orientaba en direcciones
preferidas, sugiere que la Tierra se comporta igual que un gran imán
permanente, fig.7.3.
En 1750, John Michel usó la balanza de torsión para calcular las fuerzas de
atracción que se ejercían dos polos opuestos, y encontró que dicha fuerza
variaba con el inverso del cuadrado de la distancia de separación entre los
polos.
No existen polos magnéticos aislados
Se podría al menos en principio, medir la intensidad de un polo magnético,
considerando una hipotética masa o carga magnética y ver la dependencia
de la interacción con la distancia entre los polos. Sin embargo, hay una
dificultad fundamental cuando se intentan hacer tales mediciones, no ha
sido posible aislar un polo magnético e identificar una partícula que tenga un
solo tipo de magnetismo (N o S).
Se recordará, que experimentalmente se han encontrado aisladas las
cargas eléctricas positivas y negativas, y se ha podido asociar una cantidad
definida de carga a las partículas fundamentales que constituyen la materia.
r
F
r
F
Fig.1. Entre polos magnéticos de
distinto nombre se ejerce una fuerza
atractiva.
r
F
r
F
Fig.2. Entre polos magnéticos de igual
nombre se ejerce una fuerza repulsiva.
En cambio, no sucede lo mismo con los polos magnéticos allí donde hay un
polo N, también se encuentra un polo S. Como veremos más adelante, los
conceptos de masa magnética o polo magnético, no son necesarios para
describir el magnetismo, porque es una propiedad de las cargas eléctricas
en movimiento.
La interacción eléctrica y la magnética están relacionadas
Resulta que la interacción eléctrica y magnética están íntimamente
relacionadas y en realidad son dos aspectos de una misma y única
propiedad de la materia, la carga eléctrica. La experiencia nos ha
demostrado que la interacción electrostática es una propiedad debida a
las cargas eléctricas en reposo, mientras que el magnetismo es una
manifestación de las cargas eléctricas en movimiento, respecto del
observador.
La relación entre el magnetismo y la electricidad fue descubierta en 1819
por el científico danés Hans Oersted fig.7.4, al encontrar que la corriente
eléctrica circulando por un hilo conductor es capaz de desviar la aguja de
una brújula cercana, fig.7.5. Al no pasar corriente por el hilo la brújula está
orientada en la dirección del campo magnético terrestre. Si se hace pasar
corriente por el mismo fig.7.6 la brújula se desvía 90º hasta situarse
perpendicular al conductor.
Fig.7.5. Brújula orientada en el campo magnéticco terrestre. El hilo conductor
por el que aún no hacemos pasar corriente, se ha situado paralelo a la brújula.
Fig.7.4- Hans Christian Oersted,
físico y químico holandés (17771851), que descubrió que una
corriente eléctrica podría hacer girar
a una aguja magnética o brújula.
Fig.7.7. André-Marie Ampere, físico
francés (1755-1836) de quien viene el
nombre de la unidad de intensidad de
corriente. Formuló la ley que lleva su
nombre, que relaciona la circulación del
campo magnético con las corrientes
eléctricas.
Fig.7.6. Al cerrar el circuito conectando la pila, la corriente eléctrica pasa por el
hilo y crea un campo magnético que hace girar a la brújula 90º.
Al poco tiempo, André Ampere (1775-1836), fig.7.7; descubrió las leyes
cuantitativas que describen la interacción magnética entre conductores y
sugirió también que en el interior de la materia deberían existir unas
corrientes eléctricas moleculares, que se conocen como corrientes
amperianas, fig.7.8 que son las responsables de todos los fenómenos
magnéticos en la materia.
Fig.7.8. Las corrientes amperianas son
supuestas corrientes moleculares cerradas,
que se encontrarían en el interior de la
materia, a las que Ampere consideró la
causa del magnetismo.
En la década de 1820, Faraday en Inglaterra y Joseph Henry (1797-1878)
en América, descubrieron de forma independiente varias conexiones entre
la electricidad y el magnetismo. Comprobaron que un imán moviéndose
próximo a un circuito generaba en éste una corriente. Sin embargo, hasta
1873 no se tuvo una visión completa y unificada de los fenómenos
electromagnéticos, hasta la publicación de los trabajos teóricos del escocés
James Clark Maxwell (1831-1879) en su Tratado sobre electricidad y
magnetismo).
q
r
B
r
v
Fig-7.9. La carga se mueve en la dirección
r
del campo magnético B , entonces no
sufre desviación alguna continuando con
su trayectoria rectilínea.
LEY DE LORENTZ. CAMPO MAGNÉTICO
Puesto que se observan interacciones entre cuerpos magnetizados incluso
cuando están separados una cierta distancia, en analogía con la interacción
eléctrica o gravitatoria, es necesario poder describir la interacción magnética
por medio de un campo vectorial, conocido como vector campo magnético 0
r
también inducción magnética, B .
Es un hecho experimental que cuando una carga eléctrica en movimiento
penetra en un campo magnético, sufre la acción de una fuerza. Al medir en
r
un mismo punto del campo magnético B , la fuerza que experimentan
r
diferentes cargas en movimiento con velocidad v , podemos obtener una
r
r
r
relación entre la fuerza FM , el campo B , la carga q y su velocidad v .
Se observa en primer lugar, que la fuerza ejercida por el campo magnético
es nula, cuando la carga se esta moviendo en la misma dirección que el
r
r
campo magnético y entonces los vectores v y B son paralelos, fig. 7.9. Sin
r
embargo, al ir variando el ángulo que forman la velocidad v con el campo
r
r
B , la fuerza alcanza su valor máximo cuando la velocidad v de la carga, y
r
el campo B son perpendiculares, fig.7.10.
En general, de estas y otras observaciones experimentales se deduce: Que
el módulo de la fuerza ejercida por un campo magnético sobre una carga en
movimiento, es igual al producto de la carga, por la componente de su
velocidad v p en la dirección perpendicular al campo magnético y por el
Trayectoria
r
FM
+q
r
v
r
v
r
B
r
r
B es distinto de 0º, la fuerza magnética
Fig.7.10. Cuando el ángulo que forman v y
r
FM desvía
la trayectoria de la carga y
cambia la dirección de su vector velocidad
que es tangente a la misma. Cuando el ángulo
r
r
que forman v y B es de 90º, la fuerza es
máxima.
valor del módulo del campo magnético, fig 7.11.
r
FM
r
B
θ
+q
r
v
vp
Fig.7.11. Fuerza sobre una carga móvil en un campo magnético.
r
v
-q
r
FM
r
B
Trayectoria
Observaciones que recogidas en una ecuación dan para el módulo de la
fuerza:
r
r
r
r
r
Fm = q v p B = q ( v senθ ) B = q v B senθ
Recordando que corresponde con la definición del módulo del producto
vectorial, la fuerza magnética se puede describir vectorialmente del
siguiente modo:
r
r r
Fm = q v × B ,
(7,1)
Es decir, la fuerza magnética sobre una carga en movimiento es igual
al producto de la carga, por el vector que resulta de multiplicar
r
r
vectorialmente la velocidad de la carga v y el campo magnético B .
Fig.7.10bis. Si la carga es negativa, la
fuerza
magnética
vale:
r
r r
FM = − q v x B que es de sentido
contrario a la fuerza sobre una carga
positiva. Recuérdense las reglas del
producto vectorial y compárese con la
fig.7.10.
Fuerza de Lorentz Si en la región del espacio en la que existe el campo
r
r
magnético B existiera además un campo eléctrico E , entonces la carga se
encontraría sometida a la acción de dos fuerzas distintas una la debida al
r
campo magnético FM y otra debida al campo eléctrico
sobre la carga, es la suma vectorial de las dos fuerzas:
(
r
r
r r
r r
F = q E + qv xB = q E + v xB
)
r
E . La fuerza total
(7.2)
ecuación que se conoce como Fuerza de Lorentz.
En el S.I. de unidades el campo magnético se mide en tesla (T), cuando la
-1
carga se mide en culombio, la velocidad en m.s y la fuerza en newton. De
ecuación (7.1) se comprende que:
T=
El teslámetro es un aparato de medida que
permite determinar en teslas, o en
submúltiplos de esta unidad, el módulo del
N
N
N
=
=
C ·m s m · C s m · A
r
Con frecuencia se utiliza para el campo magnético, la unidad llamada gauss
(G), que no pertenece al S. I. pero que está relacionado con el tesla.
4
1 T = 10 G
Valores típicos del campo magnético pueden ser de 25000 G o 2,5 T, para
los campos magnéticos de imanes convencionales de laboratorio, aunque
existen imanes superconductores que pueden producir campos de 25 T. El
campo magnético terrestre próximo a la superficie es de unos 0,5 T.
vector campo magnético B . Lleva una
sonda que se introduce dentro del campo
magnético, en la figura está situada entre los
polos del imán.
¿Cuáles son las consecuencias de la fuerza que ejerce el campo
magnético sobre una carga móvil?
Una consecuencia inmediata resulta de la ecuación (7.1) y es que la fuerza
que el campo magnético hace sobre una carga eléctrica móvil, no realiza
ningún trabajo sobre la misma. En efecto, multiplicando escalarmente esta
r
fuerza por un desplazamiento elemental dr a lo largo de la trayectoria,
fig.7.13.
r
FM
r
B
v
B
+q
r
dr
r
v
r
FM
r
v
r
r
Fig.7.13. El desplazamiento dr sobre la trayectoria, tiene la dirección de v
Resulta que el trabajo elemental realizado por la fuerza vale:
r
r r r
dW = Fm · dr = Fm · v dt = 0
r
r
Por ser Fm perpendicular a v el producto escalar vale cero.
De aquí se puede deducir también (usando el teorema del trabajo y la
energía), que la energía cinética de una partícula cargada, sometida
solamente a la acción de una campo magnético, se mantiene constante
1
2
Trabajo = ∆( mv ) = 0 ,
2
EM = Cte
Por lo tanto, cuando una carga se mueve bajo la acción de un campo
magnético, éste sólo puede cambiar la dirección del vector velocidad,
pero no su módulo: la aceleración de la carga es toda centrípeta.
Obsérvese en la fotografía, la trayectoria real
de los electrones (-e) al describir una
circunferencia cuando entran perpendicular-
r
mente en un campo magnético B normal al
plano del papel y saliente (representado por
puntos negros en la figura). Es una
consecuencia de que la fuerza magnética
actúa como fuerza centrípeta, siendo en todo
momento perpendicular al vector velocidad
de la cargas. Fotos tomadas en nuestro
laboratorio de Física.
EJERCICIO RESUELTO
10-19
Un protón q=+1,6.
C, se mueve con una velocidad de 5.106 m/s a lo largo del eje X
cuando penetra en una región donde existe un campo de 1,5 T que forma un ángulo de 600
con el eje X, y está situado en el plano OXY. Determina la fuerza magnética y la
aceleración centrípeta inicial del protón. Véase la figura de la derecha
y
r
r
v = 5.10 6 i
r
r r
Fm = q v × B
r
Fm = q v B sen θ = 1,6.10 −19 · 5.10 6 ·1,5 sen 60 =·10 −12 N
r
r Fm 1,04.10 −12
a =
=
= 6 ,2.10 14 m.s − 2
m 1,67.10 −27
r
Para resolver el problema usando vectores completamente, expresaremos B en función de
sus dos componentes cartesianas.
r
r
r
B = 1,5 cos 60 i + 1,5 sen 60 j
r
r
r
i
j
k
r
r
r r
Fm = q v x B = 1,6.10 −19 5 ,10 6
0
0 = 1,04.10 −12 k N
1,5 cos 60 1,5 sen60 0
r
r
r Fm 1,04.10 −12 r N
14
;
a=
=
k
=
6
,
2
.
10
k
m.s −2
− 27
m 1,67.10
kg
Trayectoria de una partícula cargada en un campo magnético uniforme.
O
r
B
r
v
60º
+q
x
r
F
z
La partícula cargada +q
cuya
trayectoria antes de entrar en el campo
magnético, era rectilínea según el eje X,
experimenta una fuerza perpendicular
dirigida en O, según el eje +Z, que la
obliga a cambiar de dirección, de modo
que ahora se moverá en el plano ZX.
r
v
r
Fm
O
r
Fm
r
v
Vamos a convenir que cuando el campo magnético es perpendicular al
papel y saliente se representa mediante circulitos, mientras que si es
perpendicular al papel y entrante, se simboliza con cruces x.
Estudiemos el caso en el que una carga eléctrica positiva, es lanzada con
r
una velocidad v en dirección perpendicular a un campo magnético uniforme
r
B , perpendicular al papel y entrante fig.7.14 y saliente al mismo fig.7.15.
Como la fuerza magnética
Fig.7.14 Trayectoria de una carga eléctrica
positiva que entre perpendicular a una
región en la que hay un campo magnético
uniforme, perpendicular al papel y saliente.
r
r r
Fm = q v x B ; es perpendicular a los vectores
velocidad y campo magnético, y apuntará siempre hacia un punto O,
actuando como una fuerza centrípeta y la partícula describirá una
r
Fm a la expresión mecánica de
circunferencia. Igualando el módulo de
una fuerza centrípeta
mv
2
R
resulta:
q v B sen 90º = m
v2
R
De donde se obtiene para el radio de la trayectoria circular que describe la
partícula:
R=
mv
qB
En algunos experimentos se puede medir directamente el radio R de la
trayectoria descrita por la partícula, y si se conoce su velocidad v y el valor
del campo magnético B, la anterior ecuación permite determinar el cociente
entre la carga q y la masa m de la partícula, conocida como relación q/m.
q
v
=
m RB
O
r
Fm
r
v
Fig.7.15 Trayectoria de una carga eléctrica
positiva que entre perpendicular a una
región en la que hay un campo magnético
uniforme, perpendicular al papel y
entrante.
El periodo o tiempo que tarda en dar una vuelta T, vale:
T=
2πR 2π m v / qB
m
=
= 2π
v
v
qB
Y la frecuencia ciclotrónica ω.
ω=
2π qB
=
T
m
Cuando el vector velocidad, no es perpendicular al campo magnético
r
r
Si el vector velocidad v de la carga, forma con B un ángulo θ distinto de 0º
ó de 90º, entonces la velocidad se puede descomponer en una componente
r
en la dirección del campo B que no es afectada por el campo y otra
componente perpendicular que experimenta la fuerza magnética. La
partícula describe en el campo una hélice, cuyo eje está en la dirección del
r
B
r
B , fig.7.16. En efecto:
r
r
v
r r
r
r
r
r r
r r
Fm = q v × B = q(v II + v⊥ )× B = q v II × B + q v⊥ × B = q v⊥ × B
r
B
campo magnético
r
r
B
r
θ
Al ser v II y B vectores de la misma dirección, su producto vectorial es nulo.
La carga avanza según el campo magnético con una velocidad que vale:
Fm
r
r
v II = v cos θ
v//
r
v
v⊥
El radio de la hélice se determina considerando que la fuerza magnética
solo afecta a la componente perpendicular al campo magnético, del vector
r
velocidad v ⊥ . Operando:
qv⊥ B sen 90º = m
El periodo T será:
T=
v⊥2
;
R
R=
m v⊥
qB
mv⊥ / qB
2π R
m
= 2π
= 2π
v⊥
v⊥
qB
Y la distancia que recorre la carga en la dirección del campo
periodo, llamada paso de hélice h, vale:
h = v II ·T = (v cos θ )· 2π
Fig.7.16
v
B durante un
m
m
= 2π
v cos θ
qB
qB
r
velocidad de 3.106 m/s, en una dirección que forma 30º con el campo B .
Determina: a) Fuerza que actúa sobre el ión. b) Radio de la órbita que describe.
c) Frecuencia ciclotrónica. Masa del ión = 6,64.10-26kg; 1e = 1,6.10 −16 C
r
m
F = qvB sen 30 = 2 ·1,6 ,10 −19 C · 3.10 6 1,5 T sen 30 = 7 ,2.10 −11 N
s
m
6 m
b) v⊥ = v · senθ = 3.10
· sen 30 = 1,5.10 6
s
s
−26
6
m v⊥ 6 ,64.10 kg ·1,5 10 m s
R=
=
= 0 ,21 m
qB
2 ·1,6.10 −19 C ·1,5 T
c)
ω=
2π qB 2 · 1,6.10 −19 C ·1,5 T
rad
=
=
= 7 ,2.10 6
− 26
T
m
6 ,64 ,10 kg
s
componente perpendicular al campo
magnético v ⊥ se ve afectada por la fuerza
r
magnética Fm .
Debido a que la velocidad tiene además la
componente v II ; la partícula también
avanza según la dirección del campo
r
EJERCICIO RESUELTO
Un ión de Ca2+ penetra en un campo magnético uniforme de 1,5 T, con una
a)
Cuando el vector velocidad
r
r
v forma con el campo magnético B un
ángulo θ distinto de 90º, solamente la
magnético B , y entonces en lugar de una
circunferencia, describe una hélice cuyo
eje está en la dirección del campo
magnético.
Compruebe que el periodo vale:
T = 8 ,7.10 −7 s
Verifique que el paso de hélice es:
h = 2 ,26 m
Fuerza sobre una corriente eléctrica en un campo magnético
r
Consideremos un hilo conductor alojado en un campo magnético B y que
r
B
lleva una corriente de intensidad I.
La corriente I es debida a varios factores ajenos al campo magnético, a
saber:
• La corriente es consecuencia del movimiento de cargas eléctrica en
v
el hilo con una velocidad media v .
•
•
r
Las cargas experimentan un desplazamiento dl en un tiempo dt que
r r
vale: dl = v dt
r
Un elemento de hilo de longitud dl contiene en todo momento una
carga dq = I dt .
r
v
I
r
v
q
q
r
dl
r
B
r
v
r
v
q
q
Así pues, al calcular la fuerza elemental que ejerce el campo magnético
sobre las dq cargas, contenidas en el elemento de longitud
r
r r
r
r r
dl r
dF = dq v × B = I dt × B = I dl × B
dt
r
dl , fig.7.17.
r
v
q
r
B
Ahora bien, la fuerza total sobre todo el conductor será la suma de las
fuerzas que ejerce el campo magnético sobre cada uno de sus elementos.
Esta suma hay que efectuarla mediante una integración.
Fig.-7.17 Conductor recorrido por una
corriente de intensidad I situado
dentro de un campo magnético.
r r
r
F = I ∫ dl × B
r
Deberemos considerar que dl es un elemento de longitud con carácter
vectorial. Se le atribuye una dirección y sentido, de acuerdo con el de la
corriente I que circula.
En particular, cuando el campo magnético
r
r
B es uniforme en todo el conductor y
r
B
el hilo es rectilíneo y de longitud l , y tomamos su dirección y sentido de
acuerdo con el de la corriente I, la anterior ecuación se puede expresar.
r r
r
F = Il ×B
I
(7.3)
La fuerza sobre las cargas se transmite al propio hilo conductor por medio de
sus interacciones con los átomos que forman el propio conductor. Por otra parte,
se ha despreciado el campo magnético producido por la propia corriente, es
decir, se considera que el hilo no produce fuerza sobre si mismo.
Y
r
B
EJERCICIO RESUELTO
Un conductor rectilíneo de 2 m de longitud está recorrido por una intensidad de
corriente de 3 A. El conductor se encuentra en un campo magnético uniforme de
0,5 T, que forma con el conductor un ángulo de 45º. Determina la fuerza que
actúa sobre el conductor en módulo, dirección y sentido.
r
Tomaremos por ejemplo, al conductor sobre el eje X y al vector B en el plano XY,
r
fig.7.18. Las componentes de B son: Bx=Bcos45=0,35T ; By=Bsen45=0,35 T.
r r
r
r
r
B = 0 ,35 i + 0 ,35 j ; l = 2 i m
r
r
r
i
j
k
r
r r
r
F = Il ×B =3 2
0
0 = 2 ,1 k N
0 ,35 0 ,35
0
r
F
r
l
45º
X
Z
Fig.7.18. En la imagen superior se muestra el
conductor dentro del campo magnético
indicándose el sentido de la corriente.
r
En la inferior, se ha tomado el vector l en el
sentido de la corriente y representado los
r
r
vectores B y F , dibujándose este último de
acuerdo con las reglas del producto vectorial
al aplicar la ecuación (7.3) .
CAMPO MAGNÉTICO DE UNA CARGA EN MOVIMIENTO.
Experimentalmente se encuentra que el campo magnético creado a una
r
distancia r de una carga, que se mueve con velocidad v (pequeña
comparada con la velocidad de la luz), viene dado por la ecuación:
r r
r r
r µ q v × ur
µo qv ∧ r
B= 0
=
(7,4)
2
4π
r
4π r 3
r
r
Donde ur es un vector unitario en la dirección de r , fig.7.19. La constante
µ 0 se llama permeabilidad magnética del vacío, cuyo valor en el S.I. es
µ 0 = 4π .10 −7 N . A −2 .
r
B
Se verá más adelante que la velocidad de la luz en el vacío c está
relacionada con la permeabilidad magnética µ0 por medio de la ecuación:
µ0 =
1
ε0 c
(7,5)
2
De forma que de la medida de c obtenida en el laboratorio, se deduce con la
ecuación anterior, el valor de la permitividad dieléctrica del vacío ε 0 .
r
v
r
r
q
r
B
Cuando el medio no es el vacío, se define la permeabilidad magnética
absoluta µ, como el producto de la permeabilidad magnética del vacío µ0 por
la permeabilidad magnética relativa del medio µr que es un número sin
dimensiones.
µ = µ r · µ0
(7,6)
r
En realidad, para que la ecuación (7,4) del campo magnético B sea válida,
hace falta también que la distancia r no sea demasiado grande, por
ejemplo debe ser tal que permita a un fotón que saliera de la carga,
alcanzar el punto de observación en un tiempo mucho menor que el tiempo
característico de variación de la velocidad. Es decir, la ecuación (7,4) dejará
de ser válida cuanto más lejos estemos de la carga y a la vez más
rápidamente esté cambiando su velocidad (mayor es su aceleración).
Dentro del mismo orden de aproximación, queremos recordar que una carga
r
r
q ur
en reposo crea un campo eléctrico que viene dado por E =
2
4πε 0 r
Relación entre los campos eléctrico y magnético, producidos por una
carga en movimiento
r
Si una carga q se mueve con velocidad v respecto de un observador, a una
r
r
distancia r de la misma según (7,4), el campo magnético B toma un cierto
r
valor, que vamos a intentar relacionar con el valor del campo eléctrico E en
el mismo punto. En efecto, sustituyendo (7,5).
r
r
r r
r µ 0 qvrxurr
1 1 v x q ur
1 r  q r  v xE
B=
=
= 2 v x 
u = 2
2 r 
4π r 2
ε 0 c 2 4π r 2
c
c
 4πε 0 r

r r
r
v×E
B=
2
c
(7.7)
Que relaciona a los campos eléctrico y magnético, producidos por una carga
r
eléctrica cuando se mueve a una velocidad v respecto de un observador.
Deduzca el lector que ambos campos son perpendiculares entre sí.
r
B
Fig.7.19. Líneas de fuerza o de
inducción, del campo magnético
creado por una carga en
movimiento. Son circunferencias
con centro en la carga y el vector
r
B es tangente en cada punto a la
línea de inducción que pasa por
ese punto,
EJERCICIO RESUELTO
Compara la magnitud de fuerza magnética respecto de la eléctrica, para dos
cargas iguales y del mismo signo, moviéndose con la misma velocidad de 5.106 m/s
y paralelas, , sabiendo que en un instante, sus velocidades son perpendiculares a
la recta que une las cargas, fig.7.19.
Ya que
r
r r r
v , B , ur , y E
FE = q . E
son perpendiculares tendremos
r
v
q
r
FM
q
r
FE
r
v
FM =q v B sen 90 = q. v · v E / c2 = q v2 E/c2
;
FM / FE = v2 / c2 ≈ (5.106/3.108)2 ≈ 2,78.10-4 << 1.
La fuerza debida a la interacción magnética, es mucho menor que la debida a la
interacción electrostática, Fig.7.20.
Principio de superposición
r
El campo B que se determina a partir de la ecuación (7,4) cumple también
r
el principio de superposición, es decir: el campo magnético total B creado
por un conjunto de cargas en movimiento, es igual a la suma vectorial de
todos los campos creados por cada una de las cargas de modo
independiente.
Fig.7.20.
Fuerzas
eléctricas
y
magnéticas que aparecen entre dos
cargas iguales, que en un instante
determinado se mueven paralelamente
a igual velocidad.
LEY DE BIOT- SAVART
Al poco tiempo de descubrir Oersted en 1819 la desviación que sufría la
aguja de una brújula por la presencia de un conductor portador de cargas,
Jean Baptiste Biot y Félix Savart descubrieron que también un conductor
por el cual pasa una corriente ejerce una fuerza sobre un imán. A partir de
sus resultados experimentales Biot y Savart obtuvieron una expresión que
da el campo magnético producido por un conductor por el que circula una
intensidad I . Históricamente fue a partir de este hecho de donde se dedujo
la expresión del campo magnético creado por una carga en movimiento, sin
embargo vamos a proceder en orden inverso, deduciendo la Ley de Biotr
Savart a partir de la expresión del campo B de una carga móvil.
Tomemos un elemento de volumen de hilo conductor de sección S y
r
longitud dl en el sentido de la intensidad de corriente fig.7.21 y calculemos
r
aplicando el principio de superposición el campo dB creado por las cargas
que hay en él, pero considerando ahora elementos de carga diferenciales.
r
De acuerdo con (7.4) el campo magnético elemental a una distancia r del
elemento de corriente será.
r
r µ 0 dq vr x urr µ0 I dt vrx urr µ0 I dl x urr
dB =
=
=
( 7.8)
4π
4π
4π
r2
r2
r2
r
r
dl
I
r
r
r
dB
r
Donde dt v = dl es el desplazamiento efectuado por las cargas en el
tiempo dt
r
Sumando todas las contribuciones de los trozos pequeños dl en que
podemos descomponer el hilo conductor, es decir, integrando a lo largo del
mismo fig.7.21 se obtiene:
r r
r µ
dl x u r
B= 0 I
(7,9)
4π
r2
∫
Fig.7.21. Situación de los vectores para
calcular el campo magnético debido a un
elemento de corriente y deducir la ley de
Biot-Savart,
r
r
en donde r = r
es la distancia del elemento del hilo dl al punto de
r
r
observación, y ur un vector unitario en la dirección y sentido de r .
A pesar de que la interacción magnética "carga a carga ", es mucho más
débil que la correspondiente interacción electrostática, en el caso de un
cable conductor con una intensidad de corriente, la interacción magnética
es la más importante. Esto es debido a que el cable es eléctricamente
neutro, y el campo eléctrico creado por los portadores de carga (en nuestro
caso electrones) es cancelado casi exactamente por el campo eléctrico de
las cargas de signo opuesto (iones positivos) que permanecen inmóviles en
el interior del cable conductor.
APLICACIÓN A UNA CORRIENTE RECTILÍNEA INDEFINIDA
Consideremos una corriente I que circula por un conductor rectilíneo de
r
longitud infinita y queremos determinar el valor del campo magnético B en
un punto P situado a una distancia R del conductor. Tomaremos un
r
elemento de longitud dl del mismo recorrido por la corriente y aplicaremos
O
la ley de Biot-Savart.
β
r
r µ 0 I dl x ur r
dB =
4π
r2
r
El vector campo magnético dB en P, resulta perpendicular al plano que
r r
forman dl y u r ; verifique el lector que tiene la dirección y el sentido de la
dB =
µ 0 I dl sen α
4π
r2
NL = r · dβ
dB =
⇒
r
ur
⇒
µ I dβ
µ 0 I r dβ
== 0
2
4π r
4π r
dB =
r=
R
cos β
N
r
dl
L
α
I
dl · sen α = r · dβ
En la fig.7.22. observamos que en el triángulo NOP se verifica.
OP = R = r · cos β
r
r
r + dl
M
Ahora bien, en la fig.7.22 observamos que el segmento NL toma los dos
valores siguientes.
NL = dl · sen α ;
P
dβ
r
r
r
Fig.7.22. Aunque en la figura se ha representado a dl por un vector
.relativamente largo para visualizarlo mejor, en realidad, se trata de un
elemento de pequeña longitud por lo que también podemos considerar
r r
como ángulo α, al formado por dl y u r . De la definición del producto
r
vectorial, el módulo de dB vale:
r
dB
R
Sustituyendo en la anterior
µ 0 I dβ µ 0 I
=
cos β dβ
4π R
4π R
cos β
Lo cierto es que queremos calcular el campo magnético que produce el
conductor en el punto P, de modo que deberemos sumar todas las
r
contribuciones de todos los elementos dl en que podemos descomponer el
conductor, cuya longitud consideramos infinita, y esto lo resuelve una
integración. Como hemos expresado dB en función de la variable β,
Fig.7.22.
Dibujo
para
la
determinación del campo magnético
elemental, creado por el elemento de
r
corriente dl en un punto P.
notemos que si hacemos variar este ángulo, desde −
π
π
hasta +
ya
2
2
cogemos toda la longitud del conductor que va desde −∞ hasta +∞ . El
campo magnético en P, será de acuerdo con lo explicado:
B=
µ0 I
4π R
π
r
B
π
∫π
cos β dβ =
2
−
I
2
µ0 I
[sen β ] 2π = µ 0 I sen π − sen  − π  = µ 0 I
4π R
4π R 
2
−
 2  2π R
2
RESUMIENDO: El campo magnético creado por una corriente rectilínea
indefinida en un punto situado a una distancia R del conductor, es un vector
r
B cuya dirección es tangente a una circunferencia de radio R cuyo centro
está en el conductor, punto O y cuyo sentido sería el señalado por una
r
brújula, conviniendo que el sentido de B va desde el Sur al Norte de la
r
B se llama línea de fuerza del campo
misma, ver fig.7.23. Finalmente su módulo vale:
B=
µ0 I
2π R
Fig.7.23. La línea que es tangente en
cada punto al vector campo magnético
(7.10)
Existe una sencilla regla nemotécnica para saber el sentido de las líneas de
fuerza del campo magnético. Se abraza el conductor con la mano derecha,
señalando con el pulgar el sentido de la corriente eléctrica, el resto de los
dedos indican el sentido de circulación de las líneas de fuerza del campo
magnético, ver fig. 7.24. En el caso que estudiamos las líneas son
circunferencias con centro en el conductor y en ellas señalaremos el sentido
indicado por los dedos, al aplicar la regla de la mano derecha.
magnético o línea de inducción, y son
siempre líneas cerradas a diferencia de
las líneas del campo eléctrico que eran
abiertas (recuérdese que nacían en las
cargas positivas y acababan en las
cargas negativas.
I
Para expresar como vector el campo magnético, bastará con multiplicar por
r
un vector unitario tangente τ , a la línea del campo magnético.
r µ I r
B= 0 τ
2π R
(7.11)
r
B
LEY DE AMPERE
Consideremos algunas propiedades de
estacionarios o independientes del tiempo.
los
campos
magnéticos
r
B
Consideremos una corriente rectilínea e indefinida y vamos a calcular la
r
circulación del vector campo magnético B a lo largo de una línea cerrada
(en este caso circunferencia) que rodea al conductor. Tendremos en cuenta
la definición de circulación de un vector que estudiamos en el primer tema
r
del curso y considerando un vector elemental ds a lo largo de la línea.
r
r
µ0 I r
r
µo I
∫ B · ds = ∫ 2πR τ · ds τ = 2πR ∫
2πR
0
ds =
µ0 I
2πR = µ 0 I
2πR
La circulación del vector campo solo depende de la intensidad de la
corriente enlazada I, de modo que si hubiésemos tomado otra circunferencia
de radio mayor o menor, valdría lo mismo. Inclusive, si el camino cerrado
hubiera sido otro cualquiera
como el señalado en la fig.7.25 con
segmentos.
Si el camino cerrado rodea a varias corrientes I1 ; I2 ; I3 entonces la ley de
Ampere considera a la corriente total enlazada y habrá que señalar con
signo positivo a las corrientes que van con igual sentido y con signo
negativo a las que van en sentido opuesto fig.7.26.La ley de Ampere queda.
∫
r r
B · ds = µ 0 · ( I 1 + I 2 + I 3 ) = µ 0 · I Total
Fig.7.24. Aplicación de la regla de la
mano derecha.
(7.12)
I
R
r
ds
r
B
r
Fig.7.25. Elemento de camino ds a
lo largo de la línea de circulación.
En cada punto tienen la misma
r
dirección y sentido que B .
Comparación entre los campos electrostático y magnético
El campo electrostático tiene como fuentes a las cargas negativas o a las
positivas y ambas pueden existir aisladas y el campo nace en las positivas y
termina en las negativas o en el infinito. Sus líneas de fuerza son abiertas.
-I1
I2
I3
El campo magnético tiene como fuentes a las cargas eléctricas en
movimiento o a los imanes, sin embargo, no existen polos magnéticos
aislados, donde hay un norte N también hay un S. Las líneas de fuerza del
campo magnético son cerradas
r
La circulación del campo eléctrico E entre dos puntos A y B, se conoce
como diferencia de potencial electrostático, definida como.
Br r
E · ds = V A − V B
∫
A
Cuando se calcula a lo largo de una línea cerrada podemos salir de A y
regresar hasta A, con lo que la diferencia de potencial será nula, resultando.
r r
E · ds = 0
Fig.7.26. Para aplicar la ley de Ampere,
las corrientes se consideran positivas o
negativas según su sentido de
circulación.
∫
r
dA
Sí la circulación de un vector campo a lo largo de una línea cerrada es nula,
ese campo es conservativo. En conclusión, el campo electrostático es
conservativo.
r
B
Si se calcula la circulación del vector campo magnético a lo largo de una
línea cerrada, la ley de Ampere asegura que vale.
r r
B · ds = µ 0 · I Total
∫
Resultando que es distinta de cero y en consecuencia el campo magnético
es un campo no conservativo y no se puede relacionar con un potencial
magnético escalar.
El flujo del campo electrostático a través de una superficie cerrada que
contiene cargas en su interior, seguía a la ley de Gauss.
r r q
Φ E = E · dA = int erior
∫
ε0
S
r
El flujo elemental del campo magnético B a través de un elemento de
r
superficie dA se define como el producto escalar del vector campo por el
r r
vector superficie, dΦ M = B · dA . El flujo a través de una superficie finita,
fig.7.27 es igual a la suma de todos los flujos elementales que se obtienen
mediante una integral extendida a toda la superficie considerada.
r r
Φ M = B · dA
(7.13)
Fig.7.27. Las líneas del campo
magnético cortan a la superficie y
producen el flujo magnético.
r
B
∫
S
Su unidad en el S. I. es el Weber (Wb):
1 Wb = 1 T · 1 m
2
Si calculamos ahora el flujo del campo magnético a través de una superficie
cerrada, fig.7.28. resulta que de acuerdo con (7.13) el flujo saliente es
r
r
positivo, mientras que el entrante es negativo, al ir los vectores B y dA en
sentido contrario. En consecuencia, el flujo del campo magnético a través
de una superficie cerrada siempre es nulo.
r r
Φ M = B · dA = 0
∫
S
Lo que determina una diferencia importante con el campo electrostático. Es
r
r
consecuencia de que las líneas de E son abiertas y las de B cerradas.
r
B
Fig.7.28. A través de la superficie
cerrada (de puntos en la figura) sale el
mismo flujo magnético por la parte
superior, que se considera positivo,
que entra por la parte inferior, que se
considera negativo. En consecuencia
el flujo total o suma, es nulo.
Z
EJERCICIO RESUELTO
I
•
Una corriente de 2 A, circula por un conductor rectilíneo de gran
longitud situado sobre el eje Z, en sentido positivo. Determina el valor del campo
magnético en un punto P del eje Y, situado a 30 cm del hilo.
Dato:
−7
−2
µ 0 = 4π .10 N . A .
En la fig.7.29. se encuentra representado el conductor. Aplicando la ecuación
(7.10) resulta.
B=
r
B
P
Y
µ 0 I 4π .10 −7 N · A −2 · 2 A
N·
=
= 13,3 .10 −7
13,3.10 −7 T
2π R
2π · 0 ,3 m
A·m
X
De la observación de la fig.7.27 deducimos en este caso, que el campo magnético
en el punto P(0, 0.3, 0) vale.
r
r
r
B = 13,3.10 −7 7 ( −i )T = − 13,3.10 −7 i T
•
Una corriente de 2 A circula en sentido positivo, por un conductor
rectilíneo de gran longitud situado sobre el eje Z. Otra corriente de 4 A circula por
un conductor paralelo al anterior en el mismo sentido, pero pasando el conductor
por el punto M(0, 2,0). Determina el campo magnético en el punto P(0, 0.75, 0).
Fig.7.29. Con la regla de la mano
derecha hallamos el sentido de las
r
líneas del campo magnético y B es
tangente a la línea, en el punto P
considerado
.
Z
En la Fig.7.30 se observan los conductores y los vectores campo magnético que
produce cada uno en P. Después se aplicará el principio de superposición.
r
B1
r r
r
r µ I r µ
µ I
B = B1 + B2 = 0 1 − i + 0 2 i = 0
2π R1
2π R2
2π
( )
r
 I2
I r

− 1 i = 1,1.10 −7 i T
 R2 R1 
v
r
Verifique, que cuando I2 circule en sentido contrario. B = −1,17 .10 −6 i T
Una espira de corriente es un circuito plano, también llamado vórtice u hoja
magnética, recorrido por una corriente de intensidad I. Presenta dos caras,
una norte N por donde salen las líneas del campo magnético y otra sur S por
donde entran en el plano de la espira, fig.7.31. Para averiguar rápidamente
cual es la cara que se mira, se sitúa frente al plano de la espira, si se ve
circular la corriente en el sentido de las agujas del reloj, la cara es la Sur, S y
viceversa.
Consideremos una espira de radio R y vamos a calcular el campo magnético
r
r
B , en un punto del eje X de la espira, fig.7.32. Tomamos un elemento dl en
el sentido de la corriente I y aplicamos la ecuación (7.8).
r
ur
P
M
Y
r
B2
X
Fig.7.30.
Para
determinar
vectorialmente los campos hay que
aplicar la regla de la mano derecha.
CAMPO MAGNÉTICO DE UNA ESPIRA
r
dl
I2
I1
I
N
r
dB
r
r
R
dBY
α
θ
P
dB X
S
X
I
I
a
I
Fig.7.32. Cálculo del campo magnético en un punto P del eje de la espira.
Fig.7.31. La corriente I circula en
sentido contrario a las agujas del
r
reloj. Las líneas de B salen por la
cara posterior, es la Norte y regresan
por al anterior, es la Sur.
r
r µ 0 I dl x ur r
La ley de Biot-Savart dB =
, permite determinar el campo
4π
r2
r
elemental en el punto P del eje de la espira. Se trata de un vector dB que
cumple las reglas del producto vectorial, ver fig.7.32, que descomponemos
en dos componentes una en la dirección del eje dB X y la otra en dirección
perpendicular dBY .
dB X = dB cos θ ;
dBY = dB sen θ ;
r
r
r
Siendo el módulo del vector dB puesto que dl y u r son perpendiculares.
dB =
µ 0 I dl
4π r 2
De la fig.7.32, se deduce que: r = a 2 + R 2 ; sen α =
R
r
y cos θ = sen α
Cuando se sumen todas las contribuciones al campo magnético de cada
r
uno de los elementos dl que todos sumados forman la espira, entonces las
componentes perpendiculares al eje X, designadas como dBY se anulan dos
a dos, por lo que todo el campo resultante estará según el eje X.
∫
∫
∫
B P = dB x = dB cos θ = dB sen α =
BP =
∫
2πR
0
µ 0 I dl R
=
4π r 2 r
∫



0
I
Fig.7.32 Más aplicaciones de
la regla de la mano derecha. Si
tenemos una espira y hacemos
coincidir los dedos con el
sentido de la corriente I, el
pulgar nos da la dirección y
sentido
del campo magnético
r
B y la determinación de sus
caras Norte y Sur.
µ0 R I
dl
4π r 3
µ0 I R 2
(

r
B
2πR
2πR
µ0
µ
IR
IR
dl = 0
· 2πR =
3
3
0
4π  2
4π  2
2 
2 
2· a2 + R2
 a +R 
 a +R 
∫
I
r
B
)
3
2
Que depende del radio de la espira R de la intensidad de la corriente I y de
la distancia a del punto P del eje al centro de la espira.
r
B
Es particularmente importante conocer el valor del campo magnético en el
centro de la espira, para ello basta con hacer a = 0 en la ecuación anterior.
BP =
µ0 I R 2
2 R3·
=
I
N
µ0 I
(7.14)
2R
I
S
EJERCICIO RESUELTO
r
B
• Dos espiras circulares iguales de radio 10 cm, paralelas y que distan 30 cm
llevan cada una de ellas una corriente de 2,5 A, circulando en el mismo sentido.
Calcular el campo magnético en un punto P del eje de simetría, que está
equidistante de las dos espiras.
Aplicando la regla de la mano derecha para el caso de una espira, véase la fig.7.
r
32, las caras superiores por donde salen las líneas de B son las Norte. Las caras
situadas debajo serán necesariamente las caras Sur. Por lo tanto en el punto P
equidistantes de ambas, los campos magnéticos producidos por cada una tienen la
misma dirección, sentido y módulo, ver la fig.7.30, así que basta aplicar el principio
de superposición para calcular el campo magnético resultante.
µ0 I R 2
µ0 I R 2
4π .10 −7 2 ,5 · 0 ,12
BP = B + B = 2
=
=
= 5 ,4.10 −6 T
3
3
3
(
2· a2 + R2
) (a
2
2
+ R2
)
2
(0 ,15
2
+ 0 ,12
)
2
.
En el caso de corrientes de sentidos contrarios, verifica mediante un dibujo que los
campos tienen sentidos opuestos y en el punto equidistante el campo total será nulo.
r
B
P
r
B
I
N
S
I
Fig.7.33. Campo magnético en el
punto P equidistante de las dos
espiras.
Z
•
Dos espiras iguales de radios 20 y 10 cm están situadas horizontales y
concéntricas sobre el plano XY, estando recorridas por corrientes de 5 A en
sentidos contrarios. Determinar el campo magnético en el centro de las dos
espiras.
r
B2
I1
En la fig.7.34. se dibujan las corrientes y los campos magnéticos producidos por
éstas. Para dibujar cada campo magnético se ha tenido en cuenta la regla de la
mano derecha aplicado al caso de corrientes que circulan por espiras. Del
principio de superposición deducimos.
−7
r
B1
−7
r
r r
r
µ I r µ I r
4π .10 5 r 4π .10 5 r
B = B1 + B2 = − 0 1 k + 0 2 k = −
k+
k = 1,6.10 −5 k T
2 R1
2 R2
2 ·0 ,2
2 · 0 ,1
Verificar, que si las corrientes van en el mismo sentido el valor del campo en el
r
v
centro vale B = 4 ,7.10 −5 k T
X
Fig.7.34. Determinación del campo
magnético en el centro de dos espiras
concéntricas, recorridas por corrientes
de sentidos contrarios.
•
Un conductor rectilíneo indefinido está situado en el eje Z, estando
recorrido por una corriente I1 = 4 A en sentido negativo del eje. Otro conductor
rectilíneo e indefinido, está situado paralelamente al eje X, pasando por el punto
M(0,5,0) y lleva una corriente I2 = 9 A en sentido negativo del eje. Determina el
valor del campo magnético en el punto P(0,2,0). Utilizar unidades S. I.
r
r
µ I r 4π .10 −7 N .A −2 · 9 A r
N r
B2 = 0 2 k =
k = 6.10 −7
k = 6 .10 −7 k T
2π R2
2π · 3 m
A· m
Aplicando el principio de superposición:
(
)
r
r r
r
r
B = B1 + B2 = 4.10 −7 i + 6.10 −7 k T
r
El módulo del campo: B =
(4.10 ) + (6.10 )
−7 2
−7 2
= 7 ,2.10 −7 T
I2
r
B
P
O
Y
M
r
B1
−2
r
r
µ I r 4π .10 N .A · 4 A r
N r
B1 = 0 1 i =
i = 4.10 −7
i = 4 .10 −7 i T
2π R1
2π · 2 m
A· m
r
B2
Z
En la Fig.7.35 se han dibujado los conductores y las líneas de fuerza del campo
r
magnético, así como los vectores campo magnético B tangentes a éstas en el punto
r
P. Después, escribiremos cada valor de B vectorialmente y finalmente se aplicará
el principio de superposición de campos. Aplicando la ecuación (7.11) y observando
la fig.7.35 se deduce:
−7
Y
I2
I1
X
Fig.7.35. Determinación del campo
magnético en el punto P, producido por
dos corrientes rectilíneas e indefinidas.
Con la regla de la mano derecha se
determina el sentido de las líneas del
campo magnético y después se trazan los
vectores campo magnético tangentes a
ellas en el punto P considerado.
Eje
CAMPO MAGNÉTICO DE UN SOLENOIDE
Un solenoide, es un conductor enrollado en forma de hélice con N espiras
por el que pasa una corriente eléctrica. Se caracteriza por su radio R,
longitud l y el número de espiras por unidad de longitud, n =N/l , fig.7.36.
Cuando el solenoide es de gran longitud comparada con el radio, el campo
magnético en su interior es casi uniforme, excepto en los extremos, y cerca
de estos, alejados suficientemente de los extremos, el campo magnético es
despreciable. En muchas aplicaciones y cálculos la aproximación de
solenoide infinito (de gran longitud) es razonable y permite calcular el
r
campo magnético B mediante la ley de Ampere.
Consideremos una sección diametral del solenoide y comprobemos en
primer lugar que el campo debe ser paralelo al eje del solenoide. Tomando
R
N
l
Fig.7.36. Solenoide y sus magnitudes
características: longitud l, número de
espiras N y radio R.
r
una espira (A) y en ella un elemento de corriente dl A y otra espira (C) y otro
r
elemento de corriente dl C ; en un punto P equidistante de ambos, se deduce
de la construcción de la fig.7.37 que la contribución al campo magnético
perpendicular al eje, de la parte de arriba dB A⊥ , se cancela con la
Eje
I
(A)
contribución perpendicular de la parte de abajo dBC ⊥ y las únicas
componentes que permanecen son las que tienen la dirección del eje del
solenoide.
En un solenoide típico el campo magnético está concentrado principalmente
en el interior del solenoide, fuera de él, las líneas del campo magnético se
abren mucho fig.7.38 y la intensidad del campo magnético como
consecuencia, se reduce rápidamente.
r
B
r
dB A
dBA ⊥
r
dlC
r
B
N
r
ds
r
ds
S
h
N
M
r r
B · ds +
Q
M
∫
P
N
r r
B · ds +
∫
Q
P
r r
B · ds +
I
r
B
r
ds
La aplicación de la ley de Ampere (7.12) proporciona:
r
I
P
r N
B
r
r
Ur
I
espira, la intensidad total enlaza por el rectángulo es I T = n · h ·I
∫ B · ds = ∫
r
Ur
dBC ⊥
P
(C)
Escojamos un circuito cerrado en forma de rectángulo de altura h, fig.7.39. El
número de espiras que atraviesa el rectángulo es n · h y si es I la intensidad en cada
Fig.7.39. El rectángulo
NPOM (de puntos en la
figura) tiene de lado h y
rodea n·h espiras.
r
dBC
Fig.7.37. El campo magnético dentro
del solenoide tiene la dirección del eje.
Determinación del campo magnético en el interior
r
ds
r
dl A
∫
M
Q
Fig.7.38. Fuera de la bobina el
campo magnético se dispersa.
r
Observe como las líneas de B son
cerradas, saliendo al exterior del
solenoide por la cara N y regresando
por la cara S. Por el interior van al
revés hasta cerrarse.
r r
B · ds = µ0 I T
De las integrales que aparecen en la suma: la segunda, la tercera y la
r
cuarta son nulas, bien por que el campo magnético B es perpendicular al
r
vector ds , o por ser nulo el campo magnético fuera del solenoide, fig.7.39.
Al considerar dos espiras consecutivas y representar las líneas cerradas del
campo magnético, se ve que dentro de la bobina, irán en el mismo sentido y
el campo se refuerza, mientras que en los laterales van en sentido contrario
y el campo magnético tiende a anularse.
I
r
Bd
I
r
Bf
r
Bd
I
Fig.7.39. El campo en las paredes
laterales del solenoide tiende a
anularse.
r
Bf
∫
r r
B · ds =
∫
N
M
r r
B · ds =
∫
h
0
r r
B · ds = µ 0 · I T = µ 0 n · h · I
B · h = µ0 n · h · I , ⇒
B = µ0 n· I
(7,15)
En el interior del solenoide el campo magnético es uniforme y además es
proporcional a la intensidad de la corriente I y al número de espiras por
unidad de longitud n.
Si en el interior del solenoide existiese un núcleo de hierro, constituiría un
electroimán y es necesario conocer la permeabilidad magnética relativa µr
del material, para determinar el campo magnético en su interior. En este
caso la ecuación que proporciona el valor del campo magnético vale.
B = µ0 · µ r · n · I
(7.16)
EJERCICIO RESUELTO
•
Una bobina de 5 cm de longitud tiene 500 espiras. Determina el campo
magnético en el interior cuando es recorrida por una corriente de 1 A.
La bobina con un núcleo de hierro
en su interior, constituye un
electroimán. Cuando pasa corriente,
el campo magnético del electroimán
es mucho más intenso que el
producido por la bobina sin núcleo.
Ver los problemas.
Aplicando la ecuación (7.15) resulta:
B = µ0 · n · I = µ0 ·
N
N 500
N
I = 4π .10 −7 2
1 A = 12 ,6.10 −3
= 12 ,6.10 −3 T
l
0
,
05
m
A
·
m
A
•
Se introduce en la bobina anterior un núcleo de hierro de permeabilidad
magnética relativa µ r = 200 . Determinar el nuevo valor del campo magnético.
Aplicando la ecuación (7.15) tenemos:
B ′ = µ 0 · µ r · n · I = µ r · B = 200 · 12 ,6.10 −3 T = 2 ,52 T
Introduciendo un núcleo de hierro en el interior del solenoide el campo
magnético se hace mucho mayor.
FUERZA MAGNÉTICA ENTRE CORRIENTES
PARALELAS. DEFINICIÓN DEL AMPERIO.
Supongamos dos conductores paralelos rectilíneos e indefinidos separados
una distancia d y de sección despreciable, llevando cada uno de ellos una
corriente de intensidad I1 e I 2 respectivamente en sentidos contrarios. El
r
conductor 1 crea en los puntos ocupados por el conductor 2 un campo B12
que es perpendicular a éste y de módulo.
B12 =
µ 0 I1
2π
⋅
d
Al estar el conductor 2 recorrido por la corriente I2 actúa sobre él una fuerza,
fig. 7.40, que es perpendicular al conductor 2 y está contenida en el plano
r
r
que forman los dos hilos. La fuerza F12 que el campo B12 ejerce sobre un
r
r
r r
tramo de éste de longitud L2 , es F12 = I 2 L2 xB12 y su módulo:
I2
I1
r
B12
r
B21
r
F21
r
F12
Fig.7.40. La fuerza entre corrientes
paralelas de distinto sentido es
repulsiva.
F12 = B12 · L2 · I 2 =
µ0 I 1 · I 2
2π
·
d
· L2
(7.17)
De la misma manera, fig.7.40, el campo magnético que crea el conductor 2
r
en los puntos del conductor 1, B21 es perpendicular a él y de módulo.
B21 =
µ0
2π
⋅
I2
r
r
La fuerza F21 que el campo B21 ejerce sobre un tramo del conductor 1 de
r
r
r r
longitud L1 , es F21 = I 1 L1 xB21 y es también perpendicular al conductor,
estando contenida en el plano que forman ambos conductores. Su módulo:
F21 = B21 · L1 · I 1 =
µ0 I 1 · I 2
·
· L1
2π
d
I2
I1
d
(7.18)
r
r
Estas fuerzas F12 y F21 son de atracción cuando las dos intensidades
tienen el mismo sentido fig.7.40 y de repulsión, fig.7.41, si tienen sentidos
contrarios.
Cuando las longitudes consideradas de los dos conductores sean las
mismas L1 = L2 = L , entonces las fuerzas sobre los dos conductores (7.17) y
(7.18) son iguales y contrarias; y verifican la tercera ley de Newton:
r
r
r
F21
r
B21
r
B12
r
F12
Fig.7.41. La fuerza entre corrientes
paralelas del mismo sentido es
atractiva.
F21 = − F12
Definición del amperio
La conferencia internacional de pesas y medidas decidió en 1960 tomar
como unidad fundamental de corriente eléctrica el amperio (A). Dando en el
SI la siguiente definición:
Un amperio es la intensidad de corriente que circulando por dos
conductores rectilíneos, paralelos de longitud infinita y de sección
despreciable, situados en el vacío a una distancia de un metro, da lugar a
.
-7
una fuerza de atracción o repulsión, de 2 10 N por metro de longitud.
Haciendo indistintamente en la ecuación (7.17) o (7.18): I1 = I 2 = 1 A ,
d = L = 1 m y tomando de la definición para los módulos de las fuerzas
F21 = F12 = 2.10 −7 N ; se obtiene para la permeabilidad magnética del vacío.
µ0 =
2π · 1 m · 2 .!0 −7 N
N
= 4π .10 −7 2
1 A·1 A·1 m,
m
Como consecuencia, la magnitud fundamental en el electromagnetismo es
la intensidad de corriente y su unidad es el amperio, A. Se debe considerar
a la unidad de carga eléctrica el culombio, C, no como una unidad
fundamental si no deducida de la intensidad mediante la relación.
r
dl
I
I
r
B
I
1 C = 1 A ·1 s
I
MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA
Muchos aparatos eléctricos de medida y los motores eléctricos están
r
basados en el efecto que un campo magnético B , fig.7.42, ejerce sobre una
espira que lleva una corriente de intensidad I. La expresión de la fuerza que
un campo magnético ejerce sobre una espira de corriente, al ser un circuito
cerrado se representa por un circulito en el símbolo de la integral:
Fig.7.42 Espira situada en un campo
r
magnético uniforme B . Sobre cada
lado aparece una fuerza al estar
recorrido por una corriente de
intensidad I.
r
∆S 1
r r
r
F = I dl x B
r
∫
∆S n
r
Donde el vector dl es un elemento de longitud sobre la espira en el sentido
r
de la intensidad que la recorre. Si el campo magnético B es uniforme en la
región donde está la espira, se puede sacar fuera de la integral, quedando
r
ésta extendida a los elementos dl .
r
F=I
(∫ dlr )× Br
(7,18)
Se puede determinar la integral a lo largo de la línea cerrada, como suma
r
de un número finito de desplazamientos ∆S 1 tomados sobre la espira,
fig.7.43.
r
r
dl =
∆S i
∑
∫
Recordando que para sumar geométricamente los vectores, se une el
origen del primero con el extremo del último, resulta que al coincidir el
r
r
origen del primer vector ∆s1 con el extremos del último ∆s n ; la suma es
nula:
r
∑ ∆s
i
r
∆S i
Fig.7.43. Al ser la espira una figura
geométrica cerrada, si la dividimos en
un número finito de desplazamientos
r
∆s i , al coincidir el origen del primer
r
vector desplazamiento ∆s1 , con el
r
extremo del último ∆s n , la suma de
todos estos vectores desplazamiento
es nula:
r
r
r
∆s1 + · · · + ∆s i + · · · + ∆s n = 0
=0
r
FAC
Sustituyendo en (7,22) la integral por el sumatorio se encuentra que la
fuerza resultante sobre toda la espira es nula
r
F=I
(∫ dlr )x Br ≈ I · (∑ ∆sr )× Br = 0
C
i
Para calcularlo supongamos una espira rectangular de lados AC; CD; DE y
r
r
EA, fig.7.44. Las fuerzas FCD y FEA ejercidas por el campo sobre los lados
de igual longitud CD y EA son iguales y contrarias, y además por estar
sobre la misma línea de acción se anulan por ser la espira un sólido rígido.
r
r
Sin embargo las fuerzas FAC y FDE sobre los lados AC y DE al no estar en
la misma línea de acción forman un par de fuerzas, cuyo momento es
(
) (
)
r
dl
r
dl
I
(7.19)
Momento dipolar magnético
r
Se define el momento dipolar magnético m de la espira, como un vector
igual al producto de la corriente por el vector superficie.
(7,20)
Su dirección es perpendicular al plano de la espira y su sentido viene
definido por la regla de la mano derecha, así, si la corriente circula como en
r
la fig.7.44 (con más detalle abajo a la derecha) el vector m es como está en
el dibujo.
r
FEA
r
B
r
FCD
D
r
r r
En donde CD x DE = S es un vector perpendicular a la superficie de la espira
de módulo igual al área de la misma y cuyo sentido viene determinado por
la regla de la mano derecha, fig.7.32.
r
r
m= IS
r
B
I
Si la resultante de las fuerzas que ejerce el campo magnético uniforme
sobre una espira es cero, este campo solo puede proporcionar un par de
fuerzas, cuyo momento vamos a determinar.
r r
r
r r
r
r r
r
r r
M = CD x FDE = CD x I DE x B = I · CD X DE x B = I · S x B
A
r
dl
r
B
r
S
CD
I
r
dl
r
FDE
E
r
B
I
v
m
r
S
Fig.7.44.Fuerzas sobre los lados de una
espira rectangular recorrida por una
r
intensidad I. El vector superficie S es
perpendicular a la espira y su sentido lo
determina el de la corriente I, aplicando
la ya conocida regla de la mano derecha.
r
El vector m tiene la misma dirección y
r
sentido del vector S
Sustituyendo (7,20) en (7,19) podemos expresar el momento del par de
fuerzas sobre una espira por medio de la ecuación.
r
r r
M = m× B ,
(7,25)
La cual, se puede demostrar, es totalmente general aunque la espira no sea
rectangular. En la fig.7.45 pueden verse todos los vectores.
Si en lugar de una espira se trata de N espiras paralelas, pero en un
número pequeño, entonces el momento que experimenta en N veces mayor
y la ecuación es.
r
r
M = N m× B
Una observación interesante que conviene hacer es que una espira con
r
momento magnético m , que pudiera girar libremente en el seno de un
campo magnético, tenderá a orientarse hasta que el par que le ejerce el
r
r
r
campo sea nulo, M = 0 , fig.7.45. En esta situación los vectores m y B
serán paralelos y de igual sentido, formando un ángulo α = 0º. Corresponde
con una posición de equilibrio estable.
Midiendo el par que actúa sobre una espira, podríamos determinar el campo
magnético si la intensidad que recorre la espira es conocida, o bien, deducir
el valor de la intensidad si el campo magnético es conocido. Un aparato de
mediad de cuadro móvil, fig.7.46, está constituido fundamentalmente por
una espira acoplada a un resorte. Cuando una intensidad recorre la espira
que se encuentra en un campo magnético prefijado (obsérvese el imán),
gira un ángulo que es proporcional a la intensidad que la recorre.
r
B
r
M
α
r
m
I
Fig.7.45. Representación de los
r
vectores campo magnético B ,
r
momento magnético m y el
r
momento mecánico M . Se trata
de un vector perpendicular al
r
r
plano de B y m , que hace girar a
la espira dentro del campo
magnético, siempre que el ángulo
α que forman estos vectores entre
sí, sea distinto de cero.
En un motor eléctrico fig.7.42 el par que ejerce el campo magnético sobre la
bobina la hace girar (en la figura el campo magnético lo produce un imán).
Para que la bobina gire siempre en el mismo sentido, la corriente ha de ser
alterna o disponer de un mecanismo como un contacto de escobillas que
cambie la polaridad de la corriente.
r
B
Bobinas
r
m
I
Fig.7.41 Un instrumento de cuadro
móvil que se utiliza para medir la
intensidad de una corriente.
Fig.7.42. El motor eléctrico se compone de
unas bobinas situadas en un eje que puede
girar, cuando están recorridas por una
intensidad y se encuentran en el interior de un
campo magnético, transformando energía
eléctrica en mecánica
Fig.7.46. Cuando el vector
r
r
m está sobre B de manera que
forman un ángulo α =0º
entonces la posición de
equilibrio es estable y la espira
permanece sin girar en el
campo magnético. Si el ángulo
formado fuera de 180º también
el momento es nulo, pero la
posición de equilibrio es
inestable, pues bastaría una
pequeña perturbación para que
diera un giro de 180º, hasta
situarse formando 0º ambos
vectores.