LIBRO RECOPILACIÓN PSU EJERCICIOS DEMRE
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LIBRO RECOPILACIÓN PSU
EJERCICIOS DEMRE
2012
CONTENIDOS
EJERCICIOS PSU
RESPUESTAS
RECOPILACIONES
ENSAYOS
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1
INDICE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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39
40
41
42
43
44
45
46
Contenido
Números Enteros, operatoria, propiedades
Números racionales, operatoria, propiedades
Potencias, propiedades, aplicaciones
Operatoria algebraica
Simbología
Razones y proporciones. propiedades
Tanto por ciento, propiedad, aplicaciones
Raíces, propiedades, aplicaciones
Ecuaciones de primer grado, lineales, sistemas de ecuaciones
Desigualdades, intervalos, inecuaciones
Ecuación de segundo grado, propiedades, aplicaciones
Logaritmos, propiedades, aplicaciones
Funciones, operatoria, tipos de funciones, propiedades, aplicaciones
Ángulos y Triángulos, propiedades, Teorema de Pitágoras, teorema de Euclides
Congruencia de triángulos, criterios, aplicaciones
Semejanza de triángulos, criterios, aplicaciones
Cuadriláteros, propiedades, aplicaciones
Polígonos, propiedades
Ángulos en la circunferencia, propiedades, aplicaciones
Relaciones métricas en la circunferencia, círculo, aplicaciones
Poliedros, volumen, aplicaciones
División interior y exterior
Trigonometría, razones, aplicaciones
Probabilidad, propiedades, aplicaciones
Estadística, gráficos, aplicaciones
Transformaciones isométricas, propiedades, aplicaciones
Teorema de Tales, propiedad, aplicación
Evaluación de suficiencia de datos
Respuestas
Recopilación 1
Recopilación 2
Recopilación 3
Recopilación 4
Recopilación 5
Recopilación 6
Recopilación 7
Ensayo 1
Ensayo 2
Ensayo 3
Ensayo 4
Ensayo 5
Ensayo 6
Ensayo Admisión 2011
Ensayo 8
Ensayo 9
Ensayo 10
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Página
3
14
30
38
56
61
71
84
94
112
119
122
125
150
172
176
187
202
204
216
221
230
233
244
267
283
301
309
334
340
350
364
377
388
410
436
459
481
505
531
552
577
601
628
653
676
2
RESUMEN PSU MATEMATICA
I. NÚMEROS NATURALES Y CARDINALES (IN, IN0)
Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3,…} se denominan “números
naturales”. Si a este conjunto le unimos el conjunto formado por el cero,
obtenemos lN0 = {0, 1, 2,…} llamado “conjunto de los números cardinales”.
NÚMEROS ENTEROS (Z)
Los elementos del conjunto Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2,…} se denominan
“números enteros”
Algunos subconjuntos de Z son:
Z+ = {1, 2, 3,…} enteros positivos
Z 0 = {0, 1, 2,…} enteros no negativos
Z- = {-1, -2, -3,…} enteros negativos
Z 0 = {0, -1, -2, -3,…} enteros no positivos
1. Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121,
144, 169, 196, 225, 256, …
2. Son cubos perfectos los enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000,
… y también: -1, -8, -27, -64, -125, -216, -343, …
MÚLTIPLO Y DIVISOR
En la expresión a = b ⋅ c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b
y de c o bien b y c son divisores o factores de a.
REGLAS DE DIVISIBILIDAD
Un número entero es divisible:
Por
Cuando
2
Termina en cifra par.
3
La suma de sus cifras es múltiplo de tres.
4
Las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro o
bien son Ceros.
5
La última cifra es cero o cinco.
6
Es divisible por dos y por tres a la vez.
7
La diferencia entre el doble de la última cifra y el número que
forman las Cifras restantes es múltiplo de siete.
8
Las tres últimas cifras forman un número múltiplo de ocho o
bien son Ceros.
9
La suma de sus cifras es múltiplo de nueve.
10
Termina en cero.
11
La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares
pares y Las que ocupan los lugares impares es múltiplo de once.
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3
NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES
Números primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores
distintos. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,
37, …
Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no
son primos. Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16,
18, 20, 21, …
TEOREMA FUNDAMENTAL
Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de
aquellos números que cumplen con la propiedad de ser factores de números
primos
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)
Es el menor múltiplo común positivo de dos o más enteros.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)
Es el mayor divisor común entre dos o más enteros.
CÁLCULO DEL m.c.m. y M.C.D MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES
PRIMOS
Se descomponen los números en factores primos:
1. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de
existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.
2. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes
considerando aquel que posea el exponente menor.
OPERATORIA EN Z
ADICIÓN
i. Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos
conservando el signo común.
ii. Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta
el de menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor
absoluto.
MULTIPLICACIÓN
i. Si se multiplican dos números de igual signo al resultado es siempre positivo.
ii. Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre
negativo.
OBSERVACIÓN: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación.
VALOR ABSOLUTO
Es la distancia que existe entre un número y el 0
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4
n, si n 0
DEFINICIÓN: n
n si n 0
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
Si D: d = c, entonces D = d • c + r
r //
D = dividendo
d = divisor
c = cuociente o cociente
r = resto
OBSERVACIONES:
1. 0 ≤ r < d
2. La división por cero no está definida.
PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES
Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:
1. Resolver los paréntesis.
2. Realizar las potencias.
3. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.
4. Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha.
RELACIÓN DE ORDEN EN Z
Si a y b son números enteros, entonces diremos que:
i. a > b si y sólo si (a - b) es un entero positivo.
ii. a < b si y sólo si (a - b) es un entero negativo.
iii. a ≥ b si y sólo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez).
iv. a ≤ b si y sólo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez).
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5
EJEMPLO PSU-1: Si al entero (– 1) le restamos el entero (– 3), resulta
A) – 2
B) 2
C) 4
D) – 4
E) ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-2: Si a es un número de dos dígitos, en que el dígito de
las decenas es m y el de las unidades es n, entonces a + 1 =
A) m + n + 1
B) 10m + n + 1
C) 100m + n + 1
D) 100m + 10n + 1
E) 10(m + 1) + n
EJEMPLO PSU-3: Si n = 2 y m = -3, ¿cuál es el valor de
–nm –(n + m)?
A) -11
B) -5
C) 5
D) 7
E) -7
EJEMPLO PSU-4: En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para
repartir entre 31 niños invitados. ¿Cuál es el número mínimo de
golosinas que se necesita agregar para que cada niño invitado reciba la
misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna?
A) 11
B) 20
C) 21
D) 0
E) 7
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6
EJEMPLO PSU-5: Claudia tenía en el banco $ 4p. Retiró la mitad y
horas más tarde depositó el triple de lo que tenía al comienzo. ¿Cuánto
dinero tiene ahora Claudia en el banco?
A) $ 8p
B) $ 10p
C) $ 12p
D) $ 16p
E) $ 14p
EJEMPLO PSU-6: Para completar la tabla adjunta se debe seguir la
siguiente regla: el último número de cada fila es la suma de los tres
números anteriores y el último número de cada columna es la suma de
los tres números anteriores. ¿Cuál es el valor de x?
A) 5
B) 7
C) 8
D) 9
E) 16
x
4
8
24
4
9
16
20
13
55
EJEMPLO PSU-7: Con los círculos se ha armado la siguiente secuencia
de figuras:
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La décima figura de la secuencia está formada por 21 círculos
II) De acuerdo a la formación de la secuencia cualquier figura tendrá
un número impar de círculos
III) La diferencia positiva en cuanto a la cantidad de círculos entre dos
figuras consecutivas es 2
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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7
EJEMPLO PSU-8: En un monedero hay doce monedas de $5 y nueve de
$10. Estas 21 monedas representan un cuarto del total de dinero que
hay en su interior. Si en el resto de dinero se tiene igual cantidad de
monedas de $50 y de $100, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I) En total hay 27 monedas
II) Hay 4 monedas de $50 en el monedero
III) En el monedero hay $600
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-9: Se define a b ab b y a # b = 2a - 4b, para a y b
números enteros, el valor de (2 5) # (-2) es:
A) 82
B) 66
C) 60
D) 38
E) 22
EJEMPLO PSU-10: Al sumar el cuarto y el quinto término de la
secuencia: x - 5, 2(2x + 7), 3(3x - 9), 4(4x + 11),. . ., resulta
A) 41x - 2
B) 61x + 25
C) 41x - 109
D) 41x + 109
E) 41x - 21
EJEMPLO PSU-11: ¿De cuántas formas distintas se puede pagar, en
forma exacta, una cuenta de $ 12.000 usando billetes de $ 10.000 o
$ 5.000 o $ 1.000 o combinaciones de ellos?
A) De 1 forma
B) De 2 formas
C) De 4 formas
D) De 3 formas
E) De 6 formas
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8
EJEMPLO PSU-12: Si hoy es miércoles, ¿qué día de la semana será en
100 días más, a partir de hoy?
A) Viernes
B) Sábado
C) Lunes
D) Miércoles
E) Jueves
EJEMPLO PSU-13: Si tuviera $80 más de los que tengo podría comprar
exactamente 4 pasteles de $ 240 cada uno, ¿cuánto dinero me falta si
quiero comprar 6 chocolates de $ 180 cada uno?
A) $280
B) $200
C) $120
D) $100
E) $ 40
EJEMPLO PSU-14: El precio de los artículos M, N y T son $(n-1),
$(n-2) y $(n -3), respectivamente. ¿Cuántos pesos se deben pagar por
un artículo M, dos artículos N y tres artículos T?
A) 6n - 14
B) 6n – 6
C) 5n – 14
D) 3n – 14
E) 3n - 6
EJEMPLO PSU-15: En las siguientes igualdades los números n. p, q y r
son enteros positivos. ¿Cuál de las opciones expresa la afirmación p es
divisible por q?
A) p = nq + r
B) q = np + r
C) q = np
D) p = nq
p
1
E)
1
q
q
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9
EJEMPLO PSU-16: Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje
corregido se calcula de la siguiente manera: “Cada 3 malas se
descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”. ¿Cuál es el puntaje
corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas?
A) 8
B) 6
C) 9
D) 10
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-17: Si 16(n + 8) = 16, entonces n - 5 es igual a
A) -12
B) -7
C) -2
D) 4
E) 12
EJEMPLO PSU-18: M, N y P son números enteros mayores que 1. Si
ninguno de ellos tiene factores en común, salvo el 1, cuando M = 9 y
N = 8, ¿cuál es el menor valor posible de P?
A) 7
B) 5
C) 4
D) 3
E) 1
EJEMPLO PSU-19: En un triángulo equilátero de lado 1.000 se unen los
puntos medios de cada lado y se obtiene un nuevo triángulo equilátero,
como se muestra en la figura. Si repetimos el proceso 6 veces, el lado
del triángulo que se obtiene es:
1.000
A)
12
1.000
B) 6
2
1.000
26
1.000
D)
6
1.000
E)
25
C)
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10
EJEMPLO PSU-20: La suma de tres números impares consecutivos es
siempre:
I) divisible por 3
II) divisible por 6
III) divisible por 9
Es(son) verdadera(s):
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-21: La suma de tres números enteros consecutivos es
0. Con respecto a estos números, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
I) La suma del menor y el mayor es 0
II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor
III) El mayor menos el menor es 0
EJEMPLO PSU-22. Un grupo de amigos tiene dinero para comprar 20
bebidas de $ 200 cada una. Si el precio sube a $ 250 cada una,
¿cuántas bebidas pueden comprar con el mismo dinero?
A)
B)
C)
D)
E)
1
8
16
26
80
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11
EJEMPLO PSU-23. Encuentre el valor de (A + B + C), sabiendo que en
el cuadrante sólo pueden colocarse los números 1, 2, 3 y 4 de manera
tal que en cada fila y columna pueden ir sólo una vez cada número
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-24. La distancia en la recta numérica entre a y b es c.
esto se expresa como:
A) a b c
B) a b c
C) a b c
D) b a c
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-25. Cinco personas P, Q, R, S y T juegan sacando un
cartón de una caja en que aparece una operación, en el cual tienen que
reemplazar la letra X por el número que les dictan (para todos el
mismo). La persona que tiene el cartón con el menor resultado gana. Si
se sacan los siguientes cartones:
P
Q
X-1
R
X+1
1-X
S
1 – (-X)
T
-X
¿Quién gana cuando dictan – 3?
A) Q
B) P
C) R
D) S
E) T
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12
EJEMPLO PSU-26. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?
A) Un número entero es divisible por 6 si es par y la suma de sus dígitos
es divisible por 3.
B) Si la suma de dos números es par, entonces ambos son pares o
ambos son impares.
C) La suma de todo número divisible por 3 con todo número divisible
por 6, es divisible por 3.
D) El cuadrado de todo número divisible por 3 es divisible por 6.
E) El producto de todo número divisible por 4 con todo número divisible
por 6, es divisible por 12.
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13
II. NÚMEROS RACIONALES
Los números racionales son todos aquellos números de la forma
a
con a y b
b
números enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se
representa por la letra Q.
a
Q / a, b Z y b 0
b
2. IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Si
a
c
Q, entonces:
,
b
d
a c ad bc
b d
bd
a c ad bc
b d
bd
OBSERVACIONES
1. El inverso aditivo (u opuesto) de
como
a
o
b
a
a
es - , el cual se puede escribir también
b
b
a
b
2. El número mixto A
b
se transforma a fracción con la siguiente fórmula:
c
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Si
a
c
Q, entonces:
,
b
d
MULTIPLICACIÓN
DIVISIÓN
OBSERVACIÓN
El inverso multiplicativo (o recíproco) de
a
a
es
b
b
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1
b
, con a 0
a
14
RELACIÓN DE ORDEN EN Q
OBSERVACIONES
1. Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes
procedimientos:
a. igualar numeradores.
b. igualar denominadores.
c. convertir a número decimal.
2. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.
NÚMEROS DECIMALES
Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se
obtiene un desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito
semiperiódico.
a. Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de
cifras decimales.
Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales
b. Desarrollo decimal infinito periódico: Son aquellos que están formados por
la parte entera y el período.
Ejemplo: 0,444.... = 0, 4
c. Desarrollo decimal infinito semiperiódico: Son aquellos que están formados
por la parte entera, un anteperíodo y el período.
Ejemplo: 24,42323... = 24,4 23
OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES
1. Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números
decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las
comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria
respectiva.
Así por ejemplo: 0,19
3,81
+ 22,2
26,20
2. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números
decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el
resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales
tengan los números en conjunto.
Así por ejemplo: 3,21 ⋅ 2,3
963
642
7,383
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15
3. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede
transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una
potencia en base 10.
Así por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100
224: 120 y se dividen como números enteros
TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN
1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el
número decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como
cifras decimales tenga dicho número.
Por ejemplo: 3,24 =
324
100
2. Decimal infinito periódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el
número decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas
las cifras que anteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras
tenga el período.
Por ejemplo: 2, 15 =
215 2
99
3. Decimal infinito semiperiódico: Se escribe en el numerador la diferencia
entre el número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas
las cifras que anteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueves
como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el
anteperíodo.
534 53
Por ejemplo: 5,3 4 =
90
APROXIMACIONES
Frecuentemente conviene redondear o truncar un número, dejando una
aproximación con menos cifras significativas, de las que tiene originalmente.
REDONDEO
Para redondear un número decimal finito o infinito se agrega 1 al último dígito
que se conserva (redondeo por exceso), si el primero de los dígitos eliminados es
mayor o igual a 5; si la primera cifra a eliminar es menor que 5, el último dígito
que se conserva se mantiene (redondeo por defecto). Por lo tanto, como
ejemplos, BAJO ESTA REGLA, al redondear a la centésima los números 4,748 y
9,5237 se obtiene 4,75 y 9,52, respectivamente.
TRUNCAMIENTO
Para truncar un número decimal, se consideran como ceros las cifras ubicadas a
la derecha dela última cifra a considerar.
De esta manera, como ejemplo, si se trunca a las centésimas el número 2,5698
resulta 2,56.
ESTIMACIONES
Realizar un cálculo estimativo, consiste en efectuarlo con cantidades aproximadas
por redondeo a las dadas, reemplazando dígitos distintos de ceros por ceros,
dejando la cantidad de cifras significativas que se indique (lo que habitualmente es
una cifra).
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16
0,05
EJEMPLO PSU-1: 5
0,5
A) 0,5
B) 0,05
C) 0,005
D) 50
E) 500
EJEMPLO PSU-2: El orden de los números a =
menor a mayor es
5
3
2
, b =
y c =
de
3
6
8
A) a < b < c
B) b < c < a
C) b < a < c
D) c < a < b
E) c < b < a
EJEMPLO PSU-3: 40 - 20 2,5 + 10 =
A) 0
B) -20
C) 60
D) 75
E) 250
EJEMPLO PSU-4:
A) 0,15
B) 0,5
C) 0,52
D) 0,525
E) 2
9 3
8 5
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17
EJEMPLO PSU-5: Si a
A)
5
1
se le resta resulta:
3
6
1
2
1
2
2
C)
3
4
D)
3
2
E)
9
B)
EJEMPLO PSU-6:
1
3
0,75
8
1
3
0,25
8
15
3
16
B)
3
16
C)
3
D) 4
A)
E)
8
3
EJEMPLO PSU-7: Si t = 0,9 y r = 0,01, entonces
A) 80,89
B) 80,9
C) 88,9
D) 89
E) Ninguno de los valores anteriores
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t r
=
r
18
1 1 1
, si P y R se reducen a la
P Q R
mitad, entonces para que se mantenga el equilibrio, el valor de Q se
debe
EJEMPLO PSU-8: En la igualdad
A) duplicar.
B) reducir a la mitad.
C) mantener igual.
D) cuadruplicar.
E) reducir a la cuarta parte.
EJEMPLO PSU-9: Juan dispone de $ 6.000 para gastar en entretención.
Si se sabe que cobran $1.000 por jugar media hora de pool y $600 por
media hora en Internet, entonces ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Juan puede jugar a lo más 3 horas de pool
II) Juan puede conectarse a lo más 5 horas en Internet
III) Juan puede jugar 1,5 horas de pool y conectarse 2,5 horas a
internet
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-10:
1 1 1
x x x
A) 3
1
x3
3
C)
x
1
D)
3x
3
E) 3
x
B)
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19
EJEMPLO PSU-11: Si P
A)
B)
C)
D)
E)
2P
R
R
2P
2P
R
2R
P
R
2P
EJEMPLO PSU-12:
A)
B)
C)
D)
E)
1
RH , entonces H-1 es igual a:
2
1 1 1
3 6 2
5
12
2
15
1
9
2
3
1
4
EJEMPLO PSU-13:
A)
2,6 2 3,8
2,6 6 3,8
1
3
5
19,4
5
C)
19,4
2,28
D)
19,4
7,6
E)
9,8
B)
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20
EJEMPLO PSU-14:
3
2
1
B)
3
11
C)
6
D) 1
1
3
2
1
1
4
A)
E) 3
50
0,5
100
EJEMPLO PSU-15:
(0,5) 2
A) 10
B) 1
C) 0,1
D) 0,25
E) 0,75
EJEMPLO PSU-16: Una persona debe recorrer 12,3 kilómetros y ha
caminado 7.850 metros. ¿Cuánto le falta por recorrer?
A) 4,45 km
B) 4,55 km
C) 5,55 km
D) 5,45 km
E) 6,62 km
EJEMPLO PSU-17: Si a es un número natural mayor que 1, ¿cuál es la
3
3
3
t
r
relación correcta entre las fracciones: p
a1
a1
a
A) p <t < r
B) r < p < t
C) t < r < p
D) r < t < p
E) p < r < t
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21
EJEMPLO PSU-18: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un
licor Q. Si 6 litros del licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b,
¿cuál es el precio de los 5 litros de mezcla?
ab
3
ab
B) $
5
C) $(2a 3b)
A) $
3a 2b
18
5 (3a 2b)
E) $
18
D) $
EJEMPLO PSU-19: Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad,
1
llenado hasta los 2 litros. ¿Cuántos litros le faltan para llenarlo?
3
1
3
2
B) 2
3
3
C) 2
2
1
D) 3
3
2
E) 1
3
A) 2
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22
EJEMPLO PSU-20:
A)
B)
C)
D)
E)
1 1 2
3 4 3
1
2
1
4
1
5
1
12
4
21
EJEMPLO PSU-21: Se define a b =
a:
A)
B)
C)
D)
E)
1
, entonces a (b c) es igual
ab
1
abc
a
bc
bc
a
ab
c
c
ab
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23
EJEMPLO PSU-22: Sean a, b, c y d números enteros distintos entre sí
a
a
y distintos de cero. Si P = + d y Q = + d, ¿cuál(es) de las siguientes
b
c
igualdades es (son) siempre verdadera(s)?
I) P - Q 0
P
c
II)
Q b
a2
III) P · Q =
d2
bc
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas.
1
EJEMPLO PSU-23:
1
1
5
2
2
B)
5
C) 1
1
1
11
A)
3
5
1
E)
2
D)
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24
EJEMPLO PSU-24: tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javier
cronometró 11,3 segundos, Arturo 11,02 segundo y Marcelo 11,2
segundos.
¿Cuál(es)
de
las
siguientes
afirmaciones
es(son)
verdadera(s)?
I) Javier llegó después de Marcelo
II) Entre Arturo y Marcelo hay 18 centésimas de segundo de
diferencia al llegar a la meta
III) Arturo llegó primero
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-25: En una receta de un postre para 6 personas se
necesitan 200 gramos de azúcar. Si se desea preparar dicho postre para
n personas, ¿por cuál número se debe multiplicar n para obtener
cuántos gramos de azúcar se necesitan?
A) 33, 3
B) 200
C) 1.200
D) 6
E) 0,03
EJEMPLO PSU-26: Sean a, b y d números enteros positivos. Si
a a
S , entonces S 1 es:
b d
A)
B)
C)
D)
E)
bd
2a
ad ab
bd
bd
a
bd
2a
bd
a(b d)
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25
EJEMPLO PSU-27: (0,2)2 =
A) 5
B) 10
C) 25
1
D)
25
1
E)
5
3 2
EJEMPLO PSU-28. 3
7 3
58
21
68
B)
21
5
C)
21
5
D)
21
E) Ninguna de las anteriores
A)
EJEMPLO PSU-29. Se tienen dos cajas: una con seis botellas de
3
de
4
1
de litro, todas llenas
4
también. ¿Cuál es el número de botellas de medio litro con las que se
puede envasar todo el líquido?
litro, todas llenas y otra con cuatro botellas de 1
A) 5
B) 9
C) 10
D) 19
E) 20
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26
EJEMPLO PSU-30. Sea n un número entero, ¿cuál de las afirmaciones
siguientes es (son) siempre verdadera(s)?
n3
I)
es racional
n2
n3
II)
es una fracción impropia
n2
n3
1
III)
n2
2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y II
E) Ninguna de las anteriores.
EJEMPLO PSU-31. Se define la operación [m, n, r]
2m 8n
, ¿cuál es
2r
1 3 5
el valor de , , ?
2 4 3
3
A)
2
2
B)
3
24
C)
5
6
D)
5
E) 1
EJEMPLO PSU-32.
n (n (n))
?
n
A) – 2n
B) – n
C) n
D) 1
E) – 1
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27
EJEMPLO PSU-33. ¿Cuántos séptimos son equivalentes a 2
A) 19
B) 17
C) 14
D) 10
E) 5
EJEMPLO PSU-34. El número racional
A) 10 0,7
B) 0,10 0,7
7 3
C)
3 4
3
D) 7
7
1 1
E) :
7 10
5
?
7
10
es igual a:
7
EJEMPLO PSU-35. Juan tiene a dulces y su hermano tiene la mitad de
esta cantidad más un dulce. Si al hermano de Juan le regalan 3 dulces y
éste, a su vez, regala 2 dulces, ¿con cuántos dulces queda el hermano
de Juan?
a
1
2
B) Con a 2
a
C) Con 3
2
a
D) Con 4
2
a
E) Con 2
2
A) Con
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28
mt
, con m > 0 y t > 0.
mn
afirmaciones es (son) siempre
EJEMPLO PSU-36. Dada la fracción
¿Cuál(es) de
verdadera(s)?
las
siguientes
I) Si a m y a t se le agrega 1, entonces la fracción aumenta en 2.
II) Si el numerador de la fracción se duplica y su denominador se
divide por 2, entonces la fracción queda igual.
III) Si el denominador de la fracción se divide por 3, entonces la
fracción se triplica.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-37. Se define la operación a#b a b en los números
reales. ¿En cuál(es) de las siguientes operaciones el resultado es igual a
8?
I) 4 # 2
II) 16 #
III) 8 # 0
A) Solo en III
B) Solo en I y en II
C) Solo en I y en III
D) Solo en II y en III
E) En I, en II y en III
1
2
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29
III. POTENCIAS EN Z
DEFINICIÓN
PROPIEDADES
1. 0n = 0, si n Z+
2. 1n = 1
3. Si n es par, (1) n = 1
4. Si n es impar, (1) n = -1
Positivo si a 0 y n es par
Signos de una potencia: a n =
Negativo si a 0 y n es impar
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS
Sean a y b Z, m y n Z+
1.- Multiplicación de potencias de igual base
2.- División de potencias de igual base
3.- Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente
4.- División de potencias de distinta base e igual exponente
DEFINICIÓN
OBSERVACIÓN:
0 0 no está definido
POTENCIA DE UNA POTENCIA
POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
30
POTENCIAS DE BASE 10
10 0 = 1
10 1 = 10
10 2 = 100
1
=0,1
10
1
=0,01
10 2 =
100
1
=0,001
10 3 =
1000
10 1 =
10 3 = 1000
Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un número de las siguientes
formas:
1. Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k ⋅
10 n , en que 1 ≤ k < 10 y n Z.
2. Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p ⋅ 10n,
en que p es el menor entero y n Z.
3. Un número está inscrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa
como la suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho
número por la potencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena,
unidad, décima, centésima...) abcde = a ⋅ 10 2 + b ⋅ 10 1 + c ⋅ 100 + d ⋅ 10 1 + e ⋅
10 2
EJEMPLO PSU-1:
A)
B)
C)
D)
E)
3 1 4 1
5 1
12
35
35
12
7
5
5
7
5
12
EJEMPLO PSU-2:
0,0009 0,0000002
6 0,0003
A) 10-15
B) 10-12
C) 10-7
D) 10-6
E) Ninguno de los valores anteriores
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
31
EJEMPLO PSU-3: El orden de los números: M
N = 45,1 10 5 y P = 451 107 , de menor a mayor, es
=
4,5110 6 ;
A) M, N, P
B) P, M, N
C) N, M, P
D) P, N, M
E) M, P, N
1
EJEMPLO PSU-4: a2
2
6
A) 8a
3
B) 8a 5
1
C) a 5
2
1
D) a 6
8
1
E) a6
2
EJEMPLO PSU-5: Si 22x = 8, ¿cuántas veces x es igual a 9?
A) 6
9
B)
2
C) 3
3
D)
2
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-6: 4 2 2 3 2 4
1
8
1
B)
4
1
C)
6
D) 8
A)
E) 6
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
32
EJEMPLO PSU-7: (2a)3 (3a)2 =
A) 72a2
B) 72a5
C) 6a5
D) 36a6
E) 36a5
EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál es la mitad de 26 ?
A) 25
B) 23
C) 16
1
D)
2
1
E)
2
3
6
EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son)
siempre verdadera(s)?
I) an an a2n
II) a2n an an
III) (2an )2 2a2n
A) Solo I
B) Sólo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-10: ¿Cuáles de las siguientes operaciones dan como
resultado 41?
I) 2 4 52
II) 6 7 6 0 7 0
III) 7 2 2 3
A) Solo I y II
B) Solo I y III
C) Solo II y III
D) I, II, III
E) Ninguna de ellas
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
33
EJEMPLO PSU-11: El valor de la expresión
3 1
4 18n
es
6 2n1 2 n
A) 2n
B) 4 2n
C) 2
D) 6
E) 36
EJEMPLO PSU-12:
3,6 106 0,00006
20.000.000
A) 1,08 104
B) 1,08 105
C) 1,08 106
D) 1,08 107
E) 1,08 1015
EJEMPLO PSU-13: En la igualdad 4n 4n 4n 4n 244 , el valor de n
es:
11
2
B) 11
A)
C) 21
D) 22
E) ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-14: (0,2)
–2
=
A) 5
B) 10
C) 25
1
D)
25
E) 5
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Prof. Matemática y Física
34
EJEMPLO PSU-15:
9
7
8 10
B) a b
a6b 15
a 2b 5
A)
C) a4b 20
D) a 3b 3
E) 9
EJEMPLO PSU-16: Si 9 9 3x . Entonces x=
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 27
EJEMPLO PSU-17: Si una colonia de bacterias se triplica cada 20
minutos e inicialmente hay 5.000 de ellas, el número de bacterias que
hay al término de 3 horas es:
A) 5.000 33 bacterias
B) 5.000 34 bacterias
C) 5.000 39 bacterias
D) 5.000 360 bacterias
E) 5.000 3180 bacterias
EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes igualdades es (son) correcta
(s) cuando x=-3?
1
I) 4 x
64
x
II) 4 4 3 1
III) (4 1 ) x 64
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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Prof. Matemática y Física
35
EJEMPLO PSU-19: Si p 5,2 103 y q = 2 103 , ¿cuál(es) de las
siguientes igualdades se cumple(n)?
I) p q 7,2 10 3
II) p q 1,04 10 5
III) p q 3,2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
EJEMPLO PSU-20: Si 3x 3x P , entonces 9 x 9 x es igual a:
A) P2
B) P2 + 2
C) P2 – 2
D) P2 – 1
E) 3P
EJEMPLO PSU-21. Ordenados de mayor a menor los números:
P 2444 ; Q 3333 : R 5222 son:
A) Q, R, P
B) Q, P, R
C) P, R, Q
D) R, P, Q
E) P, Q, R
EJEMPLO PSU-22. ¿Cuál es el valor de la expresión 15 22 70 ?
A) 5
B) 6
C) 10
D) 12
E) 16
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Prof. Matemática y Física
36
EJEMPLO PSU-23. (2t 3s3 )2 =
A) 36ts3
B) 36t 2 s 6
C) 6ts5
D) 6t 2 s 6
E) 24t 2 s 6
EJEMPLO PSU-24. ¿Por qué factor hay que multiplicar x 2 para obtener
x2 ?
A) Por x 4
B) Por 1
C) Por x 1
D) Por x4
E) Por ninguno de los factores anteriores
EJEMPLO PSU-25. ¿Qué valor tiene x en la ecuación 25
A)
B)
C)
D)
E)
x 3
3
5?
17
2
15
2
9
2
8
7
2
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37
IV. ALGEBRA y FUNCIONES
EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores
numéricos dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va
siempre entre paréntesis.
TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras,
y los mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos
y mantener su factor literal.
USO DE PARÉNTESIS
En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones.
Los paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:
Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los
signos de los términos que están dentro del paréntesis.
Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando
los signos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis.
Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su
vez se encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones
que anteceden a los paréntesis desde adentro hacia fuera.
OPERATORIA ALGEBRAICA
ADICIÓN DE POLINOMIOS
Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de
términos semejantes y uso de paréntesis.
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
MONOMIO POR MONOMIO:
Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí,
usando propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un
producto de monomios se multiplica sólo por uno de ellos. Es decir,
a (b c) = (a b) c
MONOMIO POR POLINOMIO:
Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.
Es decir, a (b + c + d) = ab + ac + ad
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38
POLINOMIO POR POLINOMIO:
Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo
polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay.
PRODUCTOS NOTABLES:
∗ Cuadrado de binomio:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
∗ Suma por su diferencia: (a + b) (a – b) = a2 – b2
∗Producto de binomios:
∗ Cubo de binomio:
(x + a) (x + b) = x2
3
3
+
2
(a + b) x
+ ab
2
(a + b) = a + 3a b + 3ab + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
∗ Cuadrado de trinomio: (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
(a – b – c) 2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc - 2ac
∗ Suma de cubos:
(a + b) (a2 – ab + b2) =
a3 + b 3
∗ Diferencia de cubos:
(a – b) (a2 + ab + b2) =
a3 – b 3
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39
EJEMPLO PSU-1:
La expresión a4 b 4 se puede escribir como
A) (a b)4
B) (a b)2 (a b)2
C) (a3 b3 )(a b)
D) (a2 b2 )(a2 b2 )
E) (a b)(a3 b3 )
EJEMPLO PSU-2: Si n = (a + b)2 y p = (a − b)2, entonces a ⋅ b =
A)
B)
C)
D)
E)
np
2
4
n p4
4
2
n p2
4
np
4
4(n p)
EJEMPLO PSU-3: La expresión
xy x ay a
:
es igual a:
y
y2
A) 0
a
B)
xy
C)
ax
y
D)
xa(y 1)2
y3
E)
xy
a
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40
EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones al ser
simplificada(s) resulta(n) 1?
2a 3
I)
3 2a
a2 b 2
II)
(a b)2
III)
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
(b a)2
a2 b 2 2ab
EJEMPLO PSU-5: El doble de (a (b))
A) 2a + 2b
B) a - b + 2
C) a + b + 2
D) a + b
E) -2a - 2b
EJEMPLO PSU-6: El largo de un rectángulo mide 3x + 2y. Si su
perímetro mide 10x + 6y, ¿cuánto mide el ancho del rectángulo?
A) 2x + y
B) 4x + 2y
C) 7x + 4y
D) x + 2y
E) x + 2y
EJEMPLO PSU-7: El área de un rectángulo es 2x 2 + 2x - 24. Si uno de
sus lados mide (x - 3), el otro lado mide
A) (x + 8)
B) 2(x + 8)
C) 2(x - 4)
D) 2(x - 3)
E) 2(x + 4)
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41
EJEMPLO PSU-8: Si a
1
9 y
b
a2b 2 1
36,
b2
entonces a
1
b
A) -9
B) 6
C) 4
D) 3
E) 1
EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son)
divisor(es) de la expresión algebraica 2x 2 − 6x − 20 ?
I) 2
II) (x − 5)
III) (x + 2)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-10: Si la base de un triángulo mide z y su altura mide
z
, entonces ¿cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene igual área
2
que el triángulo?
z
4
z
2
B)
2
C) z
z
D)
2
z2
E)
4
A)
EJEMPLO PSU-11: Si x = −3, entonces (x − 2)( 2x 2 − 3) =
A) − 45
B) − 75
C) 15
D) 75
E) 105
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42
EJEMPLO PSU-12: Si x e y son números enteros diferentes de 0,
x y
entonces
y x
A)
x2 y2
xy
xy
xy
C) 1
B)
2x 2y
xy
E) 2
D)
EJEMPLO PSU-13: (3w 2)2 2(2w 3)(2w 3)
A)
B)
C)
D)
E)
w2 – 12w - 14
w2 – 12w + 22
w2 – 12w -5
w2 – 12w + 13
w2 – 12w + 14
EJEMPLO PSU-14: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es:
A) 9
B) 16
C) 18
27
D)
10
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál de las siguientes expresiones es un factor de
k2 + k – 6?
A) k + 1
B) k + 2
C) k – 6
D) k – 3
E) k – 2
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43
EJEMPLO PSU-16: En la figura, ¿cuál(es) de
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El área de ABCD es a2 + 2ab + b2
II) El área de la región achurada es (a + b)2
III) El área de AEFD es b2 + ab
las
siguientes
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-17: Si x es un número entero mayor que 1 y el área de
un rectángulo se expresa como (x2 + 5x – 6), ¿cuál de las siguientes
opciones puede representar a sus lados?
A) (x – 1) y (x – 5)
B) (x + 2) y (x – 3)
C) (x – 1) y (x + 6)
D) (x + 1) y (x – 6)
E) (x – 2) y (x – 3)
EJEMPLO PSU-18: Dada la expresión x 2 y 2 x 2 y xy x , ¿cuál(es) de
las siguientes expresiones es (son) factor(es) de ella?
I) xy + 1
II) x + 1
III) y + 1
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
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44
EJEMPLO PSU-19: Si n es un número natural, una expresión
equivalente a 3n 3 3n 2
2
es:
A) 2 32(n3)
B) 2 3(n3)
C) 4 32(n3)
D) 16 32(n3)
E) 8 32(n3)
EJEMPLO PSU-20: a [a a (a a) a a] : a
A) –a2
B) –a
C) a
D) 2a
E) a - 2
EJEMPLO PSU-21:
5a 4 2a 6
3a 6 2a 4
2a 13
3(a 2)
2a 5
B)
3(a 2)
A)
C)
2a 5
3(a 2)
D)
2a 3
3(a 2)
E)
3a 2
a 10
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45
EJEMPLO PSU-22: Si mx2 – mp2 = 1 y x – p = m, entonces (x + p)2=
A) 1
1
m
1
C) 2
m
1
D) 3
m
1
E) 4
m
B)
EJEMPLO PSU-23: a – a(1 –a)
A) 1 - a
B) a
C) 0
D) –a2
E) a2
EJEMPLO PSU-24: Si a b 10 y a2 b2 29 , entonces el valor de
(a – b)2 es:
A) 9
B) 19
C) 29
D) 49
E) No se puede determinar el valor
EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a
(m n)2 – 4mn?
A) (m – n)2
B) m2 – 2 + n2
C) m2 – 4mn + n2
D) 2m – 4mn + 2n
E) 2m – 2mn + 2n
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46
EJEMPLO PSU-26:
m mr
resulta:
2m
Sea
m
0,
al
simplificar
la
expresión
A) 0
r
2
1r
C)
2
mr
D)
2
1 mr
E)
2
B)
EJEMPLO PSU-27: Al sumar
es el valor de de m?
x
x
con m se obtiene
, entonces ¿cuál
t2
t
A) 0
B)
2x
t(t 2)
x
t2
2x
D)
t(t 2)
C)
E)
2
t(t 2)
2
EJEMPLO PSU-28: (30 + 5) – (30 + 5)(30 – 5) =
A) 0
B) 50
C) 300
D) 350
E) 450
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47
EJEMPLO PSU-29: Jorge compró tres artículos distintos en $(4a + b).
El primero le costo $a y el segundo $(2a – b). ¿Cuánto le costó el
tercero?
A) $ a
B) $ 7a
C) $ (3a – b)
D) $ (3a + 2b)
E) $ (a + 2b)
EJEMPLO PSU-30: El promedio de un número entero positivo y su
antecesor es 6,5 entonces, el sucesor de ese número entero es:
A) 6
B) 7
C) 8
D) 14
E) Ninguno de los anteriores
EJEMPLO PSU-31: Si el ancho de un rectángulo es
doble del ancho. ¿Cuánto mide su perímetro?
3x
y el largo es el
2
9x 2
A)
2
B) 3x
9x
2
D) 9x
C)
E) 6x
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48
EJEMPLO PSU-32: Si a
x – (a + b + c) equivale a:
A)
B)
C)
D)
E)
1
1
1
,b
y c
, entonces la expresión
2x
4x
6x
12x 2 11
12x
2
x 7
12x
11x
12
11
12x
7
12x
EJEMPLO PSU-33: Dada la siguiente figura:
Se sabe que a y b son positivos y a > b. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. El área del cuadrado de lado (a + b) es igual al área achurada.
II. (a + b)(a - b) es igual a la diferencia de las áreas del cuadrado de
lado a y el lado de b.
2
2
III. a(a + b) > a + b
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-34: El cuadrado ABCD, de lado 8, tiene en sus esquinas
cuatro cuadrados de lado x cada uno. ¿Cuál es el área sombreada?
A) 8 – x
B) 64 – 4x2
C) 64 – x2
D) 8 – x2
E) 64 – x4
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49
EJEMPLO PSU-35: Si ab (a b)2 y a# b (a2 b2 ) , ¿a cuánto
equivale la expresión 3(mp) 5(m# p) ?
A) -2m2 + 8p2
B) -2m2 + 6mp + 8p2
C) 8m2 + 6mp – 2p2
D) -2m2 + 3mp + 8p2
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-36: Si m = 2 y b = 5, entonces {m - (m - b)}2 es igual
a:
A) -10
B) 10
C) 13
D) -25
E) 25
EJEMPLO PSU-37: Si se desea construir un cilindro M que sea cuatro
veces el volumen de otro cilindro P, entonces
I) la altura del cilindro M debe ser cuatro veces la altura del
cilindro P y los radios deben ser iguales.
II) el radio de la base del cilindro M debe ser el doble del radio del
cilindro P y las alturas deben ser iguales.
III) el radio de la base del cilindro M debe ser cuatro veces el radio
del cilindro P y las alturas deben ser iguales.
Es (son) verdadera(s)
A) sólo I.
B) sólo II.
C) sólo III.
D) sólo I y II.
E) sólo I y III
EJEMPLO PSU-38: Si n = 3, entonces n2
n
3n es igual a:
3
A) 6
B) 9
C) 14
D) 17
E) 18
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50
2
2
EJEMPLO PSU-39: x y x y
3
3
4
A) x 2 y 2
3
4
B) x 2 y 2
9
2
C) x 2 y 2
9
4
D) x 2 y 2
6
E) Ninguna de las expresiones anteriores
EJEMPLO PSU-40: En la figura, si ABCD es un rectángulo, entonces el
área de la región achurada se expresa como:
A) x(z y)
B) x(y z)
C) xz
xy
D)
2
x(z y)
E)
3
xy
xy
sea positiva, se
EJEMPLO PSU-41: para que la expresión
xy
1
xy
debe cumplir necesariamente que:
1
A) xy < 0
B) x < 0
C) xy > 0
D) y < 0
E) x > y
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51
EJEMPLO PSU-42: Si x = -1, ¿cuál es el valor de la expresión
x2 x3 x4 ?
A) -9
B) -3
C) -1
D) 1
E) 3
2
EJEMPLO PSU-43: ¿Cuál es el valor de x – 2xy, si x = 2 e y = – 1?
A) 8
B) 6
C) 4
D) 2
E) 0
EJEMPLO PSU-44: a – [–a – (–a + b – c)] =
A) –a + b – c
B) a + b – c
C) –a – b + c
D) a – b – c
E) a + b + c
2
EJEMPLO PSU-45: (3m – 5p) =
2
2
2
2
A) 6m – 10p
B) 9m – 25p
2
2
2
2
2
2
C) 9m – 15mp + 25p
D) 9m – 30mp – 25p
E) 9m – 30mp + 25p
EJEMPLO PSU-46. Si p = -2 y q = - 3 entonces p2 q2
A) – 13
B) 25
C) 1
D) 5
E) -5
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52
EJEMPLO PSU-47. p = q + 1, entonces p qes :
A) qq1
B) p p 1
C) (q 1)q
D) (p 1)p
E)
pp
p
EJEMPLO PSU-48. ¿En cuál de las siguientes alternativas, - 24 mn es
un término al desarrollar el cuadrado de un binomio?
A) (3m 8n)2
B) (12n 2m)2
C) (m 12n)2
D) (12m n)2
E) (m 24)2
EJEMPLO PSU-49. En el rectángulo de la figura AD x a , DF x y
FC a . Además EF // AD . ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones
equivale(n) al área del rectángulo ABCD?
I) x(x a) a2
II) x 2 a2
III) (x a)(x a)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
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53
EJEMPLO PSU-50.
A)
m2 6
(m 3)(m 2)
B)
m2 6m 6
(m 3)(m 2)
C)
m2 6
(m 3)(m 2)
m
2
m3 m2
m2 4m 6
D)
(m 3)(m 2)
E) m2 4m 6
EJEMPLO PSU-51. Si k es un número entero positivo, entonces k + 1
es factor de:
A) 5k 2 2k
B) k 2 k
C) k 2 k
D) k 2
E) k 3 1
EJEMPLO PSU-52. [(m t) (m t)]1
1
2m
1
B)
2t
1
C)
2t
D) 2t
A)
E) 0
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54
EJEMPLO PSU-53. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a
4x2 49 :
A) (2x 7)2
B) 4(x 7)2
C) (2x 7)(2x 7)
D) 4(x 7)(x 7)
E) (4x 7)(x 7)
EJEMPLO PSU-54. Si t 1 , entonces la expresión
t2
1
es igual a
t 1 t 1
A) t 2 1
B) t 1
C) t
t2 1
2t 2
E) t 1
D)
EJEMPLO PSU-55. Si en un rectángulo de largo 2a y de ancho a + 2,
se aumenta el largo al doble y el ancho en 3a + 6, entonces el área del
nuevo rectángulo, con respecto al original, aumenta
A) 8 veces.
B) 6 veces.
C) en 16 unidades.
D) en 8 unidades.
E) 16 veces.
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55
V. SIMBOLOGÍA:
∗ Números natural cualquiera = n
∗ El antecesor de un número = n – 1
∗ El sucesor de un número = n + 1
∗ Número natural par = 2n
∗ Número natural impar = 2n – 1
∗ El cuadrado del sucesor de un número = (n + 1) 2
∗ El sucesor del cuadrado de un número = n2 + 1
∗ El cuadrado del sucesor del antecesor de un número = n2
∗ Dos números naturales impares consecutivos = 2n – 1, 2n +1
∗ El inverso aditivo u opuesto de un número =
–n
∗ El inverso multiplicativo o recíproco de un número =
1
n
∗ El triple de un número = 3n
∗ Un número de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y
la cifra de las decenas es d = 10d + u
∗ Un número de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u,
la cifra de las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 100c + 10d + u
∗ La razón o cociente entre p y q =
p
q
∗ El valor absoluto de un número =
|n|
p
∗ p es directamente proporcional a q =
k(constan te)
q
∗ p es inversamente proporcional a q = pq = k (constante)
EJEMPLO PSU-1: El doble del cuadrado de (x – 3) se expresa por:
A) [2(x-3)]2
B) 2(x2 – 32)
C) (2x – 6)2
D) 2(x – 3)2
E) (x2 – 32)2
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56
EJEMPLO PSU-2: ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite resolver
el siguiente problema: “Si te regalo la quinta parte de mis camisetas y a
Carmen le regalo 5 más que a ti, me quedo con 4”?
A)
B)
C)
D)
E)
2x
5 4
5
2x
5 x
5
x
9 x
5
2x
9 x
5
x
5 4
5
EJEMPLO PSU-3: El enunciado: “A un número d se le suma su doble, y
este resultado se multiplica por el cuadrado del triple de d”, se escribe
A) d 2d 3d2
B) d 2d (3d)2
C) (d 2d) (3d)2
D) (d 2d) 3d2
E) (d 2) (3d)2
EJEMPLO PSU-4: Un número real n, distinto de cero, sumado con su
recíproco, y todo al cuadrado, se expresa como
1
A) n
n
2
1
B) n2
n
2
2
1
C) n
n
D) n (n)2
E) n2 (n)2
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57
EJEMPLO PSU-5: Si el radio r de un círculo aumenta en ε unidades,
entonces el área del nuevo círculo se expresa, en unidades cuadradas,
como
A) r 2
B) r 2 2
C) (r 2 2 )
D) (r 2 )
E) (r )2
EJEMPLO PSU-6: “Un quinto de m sumado con el cuadrado de m, todo
dividido por t”, se escribe
A)
B)
C)
D)
E)
5m m2
t
m
m2
5
t
m2
5m
t
m m2
5
t
m
2m
5
t
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58
EJEMPLO PSU-7: María (M) tiene dos años menos que el 25% de la
edad de Juan (J). Si hace dos años Juan tenía 10 años, ¿en cuál de las
siguientes opciones se plantean correctamente las ecuaciones que
permiten calcular las edades de María y Juan?
J
y J 2 10
4
J
B) M 2
y J 2 10
4
J
C) M 2
y J 2 10
4
J
D) M 2
y J 10
4
J
E) M 2
y J 2 10
4
A) M 2
EJEMPLO PSU-8: hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años.
¿Cuál será la suma de sus edades en a años más?
A) (11 + 3a) años
B) (11 + 2a) años
C) (11 + a) años
D) (8 + 3a) años
E) (5 + 3a) años
EJEMPLO PSU-9: La expresión: “El doble del cuadrado de (3 + b) es
igual al cuadrado del doble de (3 – b)” se representa como:
A) 2(3 b 2(3 b)2
2
B) 4(3 b)2 4(3 b)2
C) 2(3 b 2(3 b)(3 b)
2
D) 2(3 b)2 2(3 b)2
E) 2(3 b)2 2(3 b)
2
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59
EJEMPLO PSU-10: El largo de un rectángulo es 8 metros mayor que su
ancho. Si el ancho del rectángulo es x metros, la expresión algebraica
que representa su perímetro es:
A) (4x + 16) metros
B) (2x + 8) metros
C) (2x + 16) metros
D) (4x + 8) metros
E) (4x + 32) metros
EJEMPLO PSU-11: La suma de los cuadrados de tres enteros
consecutivos es igual a 291. ¿Cuál de las siguientes expresiones
representa al planteamiento algebraico de este problema?
A) [x + (x + 1) + (x + 2)]2 = 291
B) x2 + (x2 + 1) + (x2 + 2) = 291
C) (x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 291
D) (x – 1)2 x2 (x + 1)2 = 291
E) x2(x2 + 1)(x2 + 2) = 291
EJEMPLO PSU-12: La expresión: “para que el doble de (a + c) sea
igual a 18, le faltan 4 unidades”, se expresa como
A) 2a + c + 4 = 18
B) 2(a + c) – 4 = 18
C) 2(a + c) + 4 = 18
D) 4 – 2(a + c) = 18
E) 2a + c – 4 = 18
EJEMPLO PSU-13: Compré x kg de café en $ 36.000 y compré 40 kg
más de té que de café en $ 48.000. ¿Cómo se expresa el valor de 1 kg
de café más 1 kg de té, en función de x?
A)
B)
C)
D)
E)
36.000 48.000
x
x 40
36.000 48.000
x
x 40
x
x 40
36.000 48.000
x
x 40
36.000 48.000
36.000 48.000
x
40
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60
VI. RAZONES y PROPORCIONES
RAZÓN es el cociente entre dos cantidades. Se escribe
a
o a: b.
b
Y se lee “a es a b”; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente.
PROPORCIÓN es la igualdad de dos razones. Se escribe
y
x
ó x: a = y: b
a b
Y se lee “x es a a como y es a b”; x y b se denominan extremos; a e y se
denominan medios.
TEOREMA FUNDAMENTAL
En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los
medios.
(x : a = y : b) (x · b = y · a)
OBSERVACIÓN: Si x: a = y : b, entonces existe una constante k, denominada
constante de proporcionalidad, tal que: x = ka , y = kb ; k ≠ 0
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre
sus valores correspondientes es constante.
OBSERVACIONES:
En una proporción directa, si una cantidad
aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta
(disminuye) el mismo número de veces.
El gráfico de una proporcionalidad directa
corresponde a una línea recta que pasa por
el origen
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus
valores correspondientes es constante
x1 · y1 = x2 · y2 = x3 · y3 = ..........= xn · yn = k
k : constante
OBSERVACIONES:
En una proporcionalidad inversa, si una
cantidad aumenta (o disminuye) n veces,
la otra disminuye (o aumenta) el mismo
número de veces.
El gráfico de una proporcionalidad inversa
corresponde a una hipérbola equilátera
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61
EJEMPLO PSU-1: Dada la siguiente tabla:
A
B
10
3
15
x
20
1,5
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?:
I. A y B son directamente proporcionales.
II. El valor de x es 2.
III. La constante de proporcionalidad inversa es 30.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-2: 2 electricistas hacen un trabajo en 6 días, trabajando
8 horas diarias. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I.
4 electricistas harán el trabajo en 3 días,
trabajando 8 horas diarias.
II. Los electricistas y las horas son directamente
proporcionales.
III. La constante de proporcionalidad es 3.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-3: En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos
que suman en total 300 árboles. Si hay 120 naranjos y la razón entre
los duraznos y manzanos es 7: 3, entonces ¿cuántos duraznos hay en la
quinta?
A) 54
B) 77
C) 84
D) 126
E) 210
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62
EJEMPLO PSU-4: y es inversamente proporcional al cuadrado de x,
cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces y =
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
1
4
2
4
9
EJEMPLO PSU-5: Se desea cortar un alambre de 720 mm en tres
trozos de modo que la razón de sus longitudes sea 8: 6: 4. ¿Cuánto
mide cada trozo de alambre, de acuerdo al orden de las razones dadas?
A) 180 mm
B) 420 mm
C) 320 mm
D) 510 mm
E) Ninguna de
120 mm 90 mm
180 mm 120 mm
240 mm 160 mm
120 mm
90 mm
las medidas anteriores
EJEMPLO PSU-6: Se sabe que a es directamente proporcional al
1
número
y cuando a toma el valor 15, el valor de b es 4. Si a toma el
b
valor 6, entonces el valor de b es:
A) 10
8
B)
5
5
C)
8
1
D)
10
15
E)
4
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63
EJEMPLO PSU-7: En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en él
corresponden a 25 km en la realidad. Si la distancia en el mapa entre
dos ciudades es 5,4 cm, entonces la distancia real es
A) 50 km
B) 65 km
C) 67,5 km
D) 62,5 km
E) ninguno de los valores anteriores.
EJEMPLO PSU-8: Dos variables N y M son inversamente proporcionales
entre sí. Para mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si
M aumenta al doble, entonces N
A) aumenta al doble.
B) disminuye a la mitad.
C) aumenta en dos unidades.
D) disminuye en dos unidades.
E) se mantiene constante.
EJEMPLO PSU-9: En la tabla adjunta z es directamente proporcional a
1
a
, según los datos registrados, el valor de
, es:
c
y
A) 256
B) 16
1
C)
16
D) 64
1
E)
64
z
8
a
1
1
4
y
2
4
16
b
EJEMPLO-10: La escala de un mapa es 1: 500.000. Si en el mapa la
distancia entre dos ciudades es 3,5 cm, ¿cuál es la distancia real entre
ellas?
A 1,75 km
B 17,5 km
C 175 km
D 1.750 km
E 17.500 km
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64
EJEMPLO PSU-11: Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la
razón entre los pesos de M y S es 3: 4, entonces S: K =
A) 4: 7
B) 4: 3
C) 7: 4
D) 3: 7
E) 3: 4
EJEMPLO PSU-12: La ley combinada que rige el comportamiento ideal
PV
de un gas es
= constante, donde P es la presión del gas, V su
T
volumen y T su temperatura absoluta. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I)
A volumen constante la presión es directamente
proporcional a la temperatura
II)
A temperatura constante la presión es inversamente
proporcional al volumen
III) A presión constante el volumen es inversamente
proporcional a la temperatura
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-13: Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta
de modo que sus volúmenes están en la razón 1: 2:3. Si el volumen del
segundo tipo es de 4 litros, ¿cuántos litros tiene la mezcla total?
A 6 litros
B 10 litros
C 12 litros
D 14 litros
E 16 litros
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
65
EJEMPLO PSU-14: En un curso de 40 estudiantes, la razón entre
mujeres y hombres es m: h. ¿Cuál es la expresión que representa el
número de mujeres?
A)
B)
C)
D)
E)
40m
mh
40(m h)
m
40(m h)
h
40h
mh
40m
h
EJEMPLO PSU-15: El gráfico de la figura, representa a una
proporcionalidad inversa entre las magnitudes m y t. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La constante de proporcionalidad es 36
II) El valor de t1 es 9
III) El valor de m1 es 36
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas
EJEMPLO PSU-16: A un evento asistieron 56 personas. Si había
4 mujeres por cada 3 hombres, ¿cuántas mujeres asistieron al evento?
A) 8
B) 21
C) 24
D) 28
E) 32
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66
EJEMPLO PSU-17: Si h hombres pueden fabricar 50 artículos en un
día, ¿cuántos hombres se necesitan para fabricar x artículos en un día?
hx
50
50x
B)
h
x
C)
50h
h
D)
50x
E) Ninguno de los valores anteriores
A)
EJEMPLO PSU-18: En un balneario, hay 2.500 residentes
permanentes. En el mes de febrero, de cada seis personas solo una es
residente permanente, ¿cuántas personas hay en febrero?
A) 416
B) 4.000
C) 12.500
D) 15.000
E) 17.500
EJEMPLO PSU-19: Las variables x, w, u, v son tales que: x es
directamente proporcional a u, con constante de proporcionalidad 2, y
w es inversamente proporcional a v, con constante de proporcionalidad
8. ¿Cuáles de las siguientes relaciones entre dichas variables
representan este hecho?
x
2 yw v=8
u
B) x – u = 2 y w + v = 8
w
8
C) x u = 2 y
v
D) x + u = 2 y w – v = 8
E) x + w = 10
A)
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67
EJEMPLO PSU-20: Un trabajador X, trabajando solo se demora t días
en hacer un jardín, otro trabajador Y se demora t + 15 días en hacer el
mismo jardín, y si ambos trabajan juntos se demoran 10 días. ¿Cuántos
días se demorará Y trabajando solo?
A) 30
B) 28
C) 25
D) 20
E) 15
EJEMPLO PSU-21: Si el índice de crecimiento C de una población es
inversamente proporcional al índice D de desempleo y en un instante en
que C = 0,5 se tiene que D = 0,25, entonces entre ambos índices se
cumple:
A) D = 0,5C
B) D = C2
0,5
C) D =
C
D) D = 0,125C
0,125
E) D =
C
EJEMPLO PSU- 22: Para hacer arreglos en un edificio se contratará un
cierto número de electricistas. Si se contratara 2 electricistas, ellos se
demorarían 6 días, trabajando 8 horas diarias, ¿cuál(es) de las
siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?
I) Si se contrataran 4 electricistas, se demorarían 3 días,
trabajando 8 horas diarias
II) El número de electricistas y el número de días son variables
directamente proporcionales
III) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
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Prof. Matemática y Física
68
EJEMPLO PSU-23. Un trabajador hace un trabajo en 60 días, mientras
que cinco trabajadores hacen el mismo trabajo en 12 días. ¿Cuál de los
siguientes gráficos representa mejor la relación trabajadores - días
EJEMPLO PSU-24. n y m son directamente proporcionales y su
constante de proporcionalidad es 3. ¿Cuál de las siguientes tablas
representa dicha relación?
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69
EJEMPLO PSU-25. Según el grafico obreros versus el tiempo que
demoran en construir una casa del tipo M se puede afirmar
correctamente que:
A) Dos trabajadores construyen
una casa del tipo M en un año
B) Tres trabajadores construyen
una casa del tipo M en cinco
meses
C) b trabajadores construyen
más casas del tipo M que c
trabajadores en un año
D) (c – b)
trabajadores
construyen una casa del tipo M
en ocho meses
E) d trabajadores construyen dos casas del tipo M en un año
EJEMPLO PSU-26. La mitad de una parcela de 10.000 m2, está dividida
en dos partes que están en la razón 1: 4. La parte menor será utilizada
para cultivo, ¿cuántos metros cuadrados serán usados para este fin?
A) 625
B) 2.000
C) 400
D) 1.250
E) 1.000
EJEMPLO PSU-27. Entre tres hermanos compran un número de rifa
que cuesta $ 1.000. Juan aporta con $ 240, Luis con $ 360 y Rosa
aporta el resto. El premio es de $ 60.000 Deciden, en caso de ganarlo
repartirlo en forma directamente proporcional al aporte de cada uno,
¿Qué cantidad de dinero le correspondería a Rosa?
A) $ 30.000
B) $ 18.000
C) $ 24.000
D) $ 20.000
E) $ 40.000
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70
TANTO POR CIENTO
El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de
los términos de la proporción es 100:
P: Es el tanto por ciento
C: Es la cantidad de referencia
Q: Es el porcentaje
El tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fracción es
P% de C =
P
C
100
OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOS
i) Dos o más tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar
a% de C b% de C = (a b)% de C
ii) El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de
los tantos por cientos
El a% del b% de C =
a
b
C
100 100
INTERÉS SIMPLE
Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n
unidades, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad
de tiempo es fijo. La cantidad final CF después de cumplido el periodo n está dada
por la fórmula:
i
CF C1 n
100
OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés simple cuando,
al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses son retirados. En este caso
el capital permanece inalterable.
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71
INTERÉS COMPUESTO
Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n
unidades, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada
unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una
nueva cantidad.
La fórmula para calcular la cantidad final CF después de cumplido el periodo n es:
i
C F C 1
100
n
OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés compuesto
cuando, al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses no se retiran y se
añaden al capital para producir nuevos intereses.
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72
EJEMPLO PSU-1: En un supermercado hay supervisores, cajeros y
reponedores. Si el 60% de los trabajadores son reponedores, 18 son
supervisores y éstos son un tercio de los cajeros, ¿cuál es el total de
trabajadores?
A) 108
B) 72
C) 180
D) 90
E) 54
EJEMPLO PSU-2: Una persona deposita $1.000 y en tres años gana
$157,5. Calcular el interés simple anual.
A) 5%
B) 5,25%
C) 5,5%
D) 5,75%
E) 15,75%
EJEMPLO PSU-3: Un par de zapatos más dos pantalones valen
$ 70.000 en una tienda. Se ofrece una oferta, al comprar dos o más
pares de zapatos del mismo precio se descuenta un 10% en cada par y
por tres o más pantalones del mismo precio un 15% en cada pantalón.
Juan paga por tres pantalones $ 38.250 y luego, compra dos pares de
zapatos. ¿Cuánto pagó Juan por los dos pares de zapatos?
A) $ 45.000
B) $ 50.000
C) $ 57.150
D) $ 72.000
E) $ 81.900
EJEMPLO PSU-4: Un vendedor recibe $ 215.000 de sueldo, al mes,
más un 8% de las ventas por comisión. ¿Cuánto debe vender para ganar
$ 317.000 en el mes?
A) $ 254.625
B) $ 532.000
C) $ 1.275.000
D) $ 1.812.500
E) $ 3.962.500
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73
EJEMPLO PSU-5: Con 5 vasos de 250 cc cada uno, se llena un jarro.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) Si la capacidad de cada vaso fuera de 125 cc, se necesitarían
10 vasos para llenar el jarro.
II) Si la capacidad de cada vaso aumentara en un 25%, se
necesitarían 4 vasos para llenar el jarro.
III) Con 2 vasos de 250 cc se llena el 40% de la capacidad del jarro.
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-6: El estadio A de una ciudad tiene capacidad para
40.000 personas sentadas y otro B para 18.000. Se hacen eventos
simultáneos; él A se ocupa hasta el 25% de su capacidad y el B llena
sólo el 50%. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s) ?
I) El estadio A registró mayor asistencia de público que el B.
II) Si se hubiese llevado a los asistentes de ambos estadios al A,
habría quedado en éste, menos del 50% de sus asientos vacíos.
III) Los espectadores que asistieron en conjunto a los dos estadios
superan en 1.000 a la capacidad de B.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III
EJEMPLO PSU-7: Un depósito contiene 20 litros que equivalen al 25%
de su capacidad, entonces para que llegue al 30% de su capacidad hay
que agregar
A) 4 litros.
B) 24 litros.
C) 40 litros.
D) 60 litros.
E) ninguno de los valores anteriores.
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74
EJEMPLO PSU-8: En una asignatura se toman tres pruebas con las
ponderaciones 30%, 30% y 40%, respectivamente. Un alumno obtiene
un 5,0 en la primera y un 4,0 en la segunda. ¿Qué nota debe obtener en
la tercera prueba para que su promedio final sea un 5,1?
A) 5,0
B) 5,1
C) 5,2
D) 6,0
E) 6,3
EJEMPLO PSU-9: Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo
isósceles aumenta su largo en un 20% y el otro disminuye en el mismo
porcentaje, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para el
área del triángulo rectángulo resultante, respecto del área original?
A) Se mantiene igual.
B) Aumenta en un 4%.
C) Disminuye en un 4%.
D) Aumenta al doble.
E) Disminuye a la mitad.
EJEMPLO PSU-10: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde
a calcular el 12,5% del precio de un artículo?
1
I) del precio del artículo
8
II) El precio del artículo multiplicado por 12,5
III) El precio del artículo dividido por 100 y multiplicado por 12,5
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
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Prof. Matemática y Física
75
EJEMPLO PSU-11: En un colegio se necesita colocar en la cocina 70 m2
de cerámica y 100 m2 de piso flotante para la sala de computación. Si el
metro cuadrado de cerámica cuesta $P y el metro cuadrado de piso
flotante es un 75% más caro que la cerámica, entonces el costo total es
de:
A)
B)
C)
D)
E)
$ 145P
$ 170P
$ 175P
$ 245P
$ 195P
EJEMPLO PSU-12: Si el 35% de a es 4 y el 12% de b es 6, entonces el
b
valor de es:
a
A)
B)
C)
D)
E)
400
7
35
8
18
35
35
18
8
35
EJEMPLO PSU-13: En un curso cada estudiante puede optar solamente
por una actividad extraprogramática: las tres cuartas partes de los
estudiantes elige deportes y una sexta parte del curso elige teatro.
¿Cuál de las siguientes es la mejor estimación del porcentaje de
estudiantes que participa en alguna de estas dos actividades?
A) Menos del 91%.
B) Entre el 91% y el 93%.
C) Entre el 93% y el 95%.
D) Entre el 95% y el 97%.
E) Más del 97%.
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76
EJEMPLO PSU-14: En una casa de dos pisos se necesita alfombrar 60
m2 en el primer piso y 40 m2 en el segundo. Si la alfombra que se debe
usar en el segundo piso cuesta $ p el metro cuadrado y la otra es un
60% más cara, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el costo
total C en alfombras?
A) C = 1,6 p 100 + p 100
B) C = 0,6 p 100 + p 100
C) C = 0,6 p 60 + p 40
D) C = p 60 + 0,6 p 40
E) C = 1,6 p 60 + p 40
EJEMPLO PSU-15: El día lunes, en un curso de 36 alumnos, faltaron a
clases 9 de ellos. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son)
verdadera(s)?
I) Faltó la cuarta parte del curso
II) Los alumnos ausentes representan la tercera parte de los
presentes
III) La diferencia entre alumnos presentes y ausentes representa
el 25% del curso
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-16: Un niño aumenta su peso de 15 kg a 18 kg. El
porcentaje de aumento es:
1
%
5
1
B)
%
6
C) 3%
A)
D) 20%
E) 30%
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77
EJEMPLO PSU-17: Un folleto consta de 40 páginas. De ellas el 20% es
geometría, el 10% es álgebra y el resto astronomía. Luego las páginas
dedicadas a la astronomía son:
A) 4
B) 8
C) 10
D) 12
E) 28
EJEMPLO PSU-18: En una casa comercial hacen un descuento de un
15% de la mitad del precio marcado de una mercadería. Si la
mercadería tiene un precio marcado de $ 600, ¿cuánto me descuentan?
A) $ 555
B) $ 510
C) $ 255
D) $ 45
E) $ 90
EJEMPLO PSU-19: En una vitrina de un negocio se observa lo
siguiente: “Antes $ 400, ahora $ 300”. Con respecto al precio original,
¿cuál es el porcentaje de rebaja?
4
%
3
B) 10%
C) 25%
D) 33, 3 %
E) 75%
A)
EJEMPLO PSU-20: En un curso hay 30 alumnos. La relación entre los
que practican teatro y los que no practican es 1: 5 respectivamente.
¿Qué porcentaje practica teatro en relación al total del curso?
A) 20%
B) 80%
C) 16,6…..%
D) 83,3…..%
E) No se puede determinar
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78
EJEMPLO PSU-21: Una tienda paga a sus dos empleados M y P de la
siguiente manera: M recibe el 8% de las ganancias de las ventas del
mes y P recibe un sueldo base de $ 100.000 más un 2% de las
ganancias de las ventas del mes. Si en total el negocio, en un mes,
vende $ 12.000.000 y sólo el 30% corresponde a ganancias, ¿cuánto
recibe como sueldo, ese mes, cada empleado?
M
P
A) $ 288.000
$ 72.000
B) $ 288.000
$ 172.000
C) $ 388.000
$ 172.000
D) $ 960.000
$ 240.000
E) $ 960.000
$ 340.000
EJEMPLO PSU-22: Un banco paga interés con una tasa anual del
100%. Si se abre una cuenta el 01 de enero con $ 1.000, entonces al 31
de diciembre de ese mismo año habrá en la cuenta, en pesos,
100
A) 1.000 + 1.000
12
12
100
B) 1.000 + 1.000
12
C) 2.000
100
D) 1.000
12
100
E) 1.000 1
12
12
EJEMPLO PSU-23: En un corral, p gallinas son blancas, las que
corresponden a la quinta parte del total T de gallinas. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
4
T
I) Las gallinas que no son blancas son
5
II) El 20% de las gallinas son blancas
III) El número total de gallinas que no son blancas es cuatro veces
el número de gallinas que son blancas
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
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79
EJEMPLO PSU-24: En una tienda se decide subir todos los precios en
un 15%. ¿Por cuál número se deben multiplicar los precios antiguos
para obtener el nuevo precio?
A) Por 15%
B) Por 0,15
C) Por 1,5
D) Por 1,15
E) depende del precio de cada artículo
EJEMPLO PSU-25: Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por
ciento de interés compuesto n veces al año, entonces la cantidad P en
nt
1
la cuenta al final de t años está dada por: P C1
.Al invertir
100n
$50.000 al 6% anual de interés compuesto trimestralmente, al término
de 1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de:
A) 50.000 (1,06) 4
B) 50.000 (1,06)3
C) 50.000 (1,18) 4
D) 50.000 (1,015)3
E) 50.000 (1,015) 4
EJEMPLO PSU-26: En una liquidación de invierno un abrigo vale
$ 16.500 el cual ya ha sido rebajado en un 70%. ¿Cuánto costaba el
abrigo antes de la liquidación?
A) $ 21.450
B) $ 23.571
C) $ 28.050
D) $ 55.000
E) $ 115.500
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80
EJEMPLO PSU-27: En un negocio un cliente recibe, por cada $ 5.000
de compra, una estampilla de descuento equivalente al 4% de esa
cantidad. Si el cliente compra un artículo en $ 19.800, ¿a cuánto
asciende el valor de las estampillas de descuento?
A) $ 600
B) $ 750
C) $ 792
D) $ 800
E) $ 19.200
EJEMPLO PSU-28: En un curso de 30 alumnos, la razón entre los
alumnos que practican teatro y los que no practican teatro, es de 1: 5.
¿Qué porcentaje de alumnos practica teatro con respecto al total de
alumnos del curso?
A) 83, 3 %
B) 80%
C) 20%
D) 16, 6 %
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-29: ¿A qué interés simple anual debe colocarse un
capital de $1.000, durante tres años, para obtener una ganancia de
$ 157,5?
A) 5,0%
B) 5,5%
C) 5,27%
D) 5,25%
E) 5,05%
EJEMPLO PSU-30. Si un número n se divide por 6 resulta 2, ¿cuál es
el 50% de n?
A) 18
B) 12
C) 6
D) 4
E) 2
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81
EJEMPLO PSU-31. ¿Qué capital hay que invertir al interés compuesto
del 2% trimestralmente para obtener al cabo de 1 año $ 1.300.000?
A) $ 1.300.000 (1,02)4
1.300.000
1,02
1.300.000
C) $
(1,02)3
B) $
D) $
1.300.000
(1,2)4
E) $
1.300.000
(1,02)4
EJEMPLO PSU-32. Si el caudal de un río es de P metros cúbicos por
segundo, si al recibir un afluente su caudal aumenta en un 15% ¿cuál es
su nuevo caudal en metros cúbicos por segundo? y aumenta en 15% su
nuevo caudal será.
A) P 15
P
B) P
15
15 P
C)
100
15 P
D) P
100
E) Ninguna de las expresiones anteriores
EJEMPLO PSU-33. M es el 8% de:
8M
100
100 M
B)
8
8 100
C)
M
108
D)
M
100
92
E)
M
100
A)
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82
EJEMPLO PSU-34. Viviana deposita en una financiera $ 100.000 al 2%
de interés compuesto mensual. ¿Cuál es el valor más cercano a lo que
ganara al cabo de tres meses, si no hace retiros ni depósitos en ese
período?
A) $ 106.000
B) $ 106.121
C) $ 6.000
D) $ 8.000
E) $ 6.121
EJEMPLO PSU-35. La tabla adjunta muestra los ahorros que posee
Alicia, después de gastar semanalmente la misma cantidad de dinero.
¿Cuál gráfico representa mejor esta situación?
Semana
Ahorro
en $
A)
0
1
2
3
4
5
20.000 18.000 16.000 14.000 12.000 10.000
C ) Ahorro
B)
0
D)
5
Semana
E)
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83
VII. RAÍCES
Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces
n
a es el único
n
real b, no negativo, tal que b = a
n
a b bn a, b 0
Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces
n
a es el único
n
real b, tal que b =a
n
a b bn a, b R
OBSERVACIONES
1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces
REAL
n
2. La expresión
3. a
a NO ES
ak , con a real no negativo, se puede expresar como una
potencia de exponente fraccionario
2
n
n
k
a
k
an
a , para todo número real
PROPIEDADES
Si
n
n
a y
b están definidas en R, se cumplen las siguientes propiedades:
MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE
n
a nb n ab
DIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE
n
a
a
n , b0
n
b
b
POTENCIA DE UNA RAÍZ
n
am
a
n
m
, a0
RAÍZ DE UNA RAÍZ
nm
a
nm
a
AMPLIFICACIÓN y SIMPLIFICACIÓN DEL ORDEN DE UNA RAÍZ
n
a
mn
am m Z , a R
PRODUCTO DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE
n
a mb
mn
am bn , a, b R
FACTOR DE UNA RAÍZ COMO FACTOR SUBRADICAL
b
n
a n bn a, b R
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84
RACIONALIZACIÓN
Racionalizar el denominador de una fracción consiste en transformarla en una
fracción equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raíz
a
Fracciones de la forma
b c
a
Fracciones de la forma
p b q c
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Prof. Matemática y Física
85
EJEMPLO PSU-1: 5 12 2 27
A) 16 3
B) 4 3
C) 2 3
D) 3 3
E) No se puede det er min ar
6
EJEMPLO PSU-2:
A)
1
1
4
5
8
4
16
25
61
20
7
6 2
2
4
5
151
C)
20
B)
7
20
E) Ninguno de los valores anteriores
D)
6 5 8
EJEMPLO PSU-3:
3
a2x2
3
ax1
A) a3x 3
B)
6
a3x 3
C) a3x
D) ax 3
E) ax 1
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86
EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s) cuando la variable x toma los tres valores 0, 1, –1?
I)
x 2 x
II)
x2 x
III)
x2 x
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Ninguna de ellas.
EJEMPLO PSU-5: ( 2 2)3 ( 2 2)4 ( 2 2)4 ( 2 2)3 es un número:
A) Racional positivo
B) Racional negativo
C) Irracional positivo
D) Irracional negativo
E) No real
EJEMPLO PSU-6:
A)
3
4
B)
3
2
C)
6
8
D)
6
2
2
3
2
=
E) 1
EJEMPLO PSU-7: Si
2 a,
3 b y
5 c entonces ¿cuál(es) de
las expresiones siguientes es(son) equivalentes a
I) 2bc
II) 4 a4b2 c 2
III)
60
a2bc
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
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87
EJEMPLO PSU-8: Al simplificar la expresión
2 7 14
7
resulta
A) 2 3
B) 2 14
C) 2 2
D) 2 7 2
E) 4
EJEMPLO PSU-9:
A)
3 2
B)
15
C)
10 5
12 2 8 3
D) 20 5
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-10: ( 50 512 242) : 2
A) 10
B) 10 2
C) 8 5
D) 32
E) 40
EJEMPLO PSU-11:
55 55 55 55 55
3
55 55 55 55 55
A) 5
B) 5
5
6
C) 1
2
D) 5 3
3
E) 5 2
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88
EJEMPLO PSU-12: Si
es:
2 3 2 3 t , entonces el valor de t2 – 2
A) 2 3 2
B) 0
C) 2 3
D) 2
E) 2
EJEMPLO PSU-13:
1
A)
2
1
B)
2
(0,25)1a
a
1 a
1
C)
2
a
2
a
1 2
D)
2
1
E)
2
a
EJEMPLO PSU-14: ¿Cuál(es) de los siguientes pares ordenados es(son)
solución(es) de y
x2 5 x2
I) (2,5)
II) (2,-5)
III) (2,-1)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I, II y III
E) Ninguno de ellos
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89
EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son)
irracional(es)?
I) 2 8
II)
III)
3 3 3
6
24
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-16:
6
2 2
3
2 2
A) 0
B)
3
2 2
C) 6 9 2
D)
69 2
2
E)
63 2
2
EJEMPLO PSU-17: Si 0 < x < 1. ¿Cuál de las siguientes opciones es
verdadera?
A) x
x
1
x
x
1
C)
x
x
D) x 1
B)
E) x x
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90
EJEMPLO PSU-18:
3
27x 27 3
A) 27 x 27 9
B) 33x 3 9
C) 3 x 3
D) 9 x 3
E) 3 x 3
EJEMPLO PSU-19: Dados los números reales
1
11
, 7 , 2 3, 4
, al ordenarlos de menor a mayor, el
3 2,
3
3
término que queda en el centro es:
A) 2 3
B) 3 2
C) 7
11
3
1
E) 4
3
D)
EJEMPLO PSU-20: (5 2 3)( 3 5 2)
A) 25 5
B) 24 5
C) 7
D) 47
E) 0
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91
EJEMPLO PSU-21: El número
216 es igual a:
A) 2 4
B)
C)
32
2
4
D) 214
E) Ninguno de los números anteriores
2
5
3
EJEMPLO PSU-22. Si y
¿Cuál es el valor de 15y 1 ?
3
5
A) 65
B) 64
64
15
34
D)
15
4
E)
15
C)
EJEMPLO PSU-23. Si p 3 5 2 y q 5 3 , entonces p q =
A) 9 7 5
B) 8 5 1
C) 3 5 1
D) 7 5 9
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-24.
3
a6n6 =
A) a2n6
B) a2n2
C) a
D) a
1
2n2
1
2n6
E) a6n2
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92
EJEMPLO PSU-25. Para todo m > 0 la expresión
igual a
3
m4 3 m2 m es
A) m
B)
8
m7
m5
C)
D)
5
m7
E)
6
m7
EJEMPLO PSU-26. Si
p
0 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
q
es (son) verdadera(s)?
I)
p 2 q2 p q
II)
p 2 q2 p q
III)
p 2 q2 0
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
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93
VIII. ECUACIONES:
a. Una ecuación es una igualdad condicionada en la que aplicando operaciones
adecuadas se logra despejar (aislar) la incógnita.
b. Cuando una ecuación contiene fracciones, puede escribirse en una forma más
sencilla si se multiplican ambos miembros de la igualdad por el mínimo común
múltiplo de todos los denominadores de la ecuación. De esta forma se obtiene una
ecuación que no contenga fracciones.
c. Para resolver un problema debemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Leer con atención el problema.
Paso 2: Anotar los datos del problema.
Paso 3: Distinguir cuál es la pregunta del problema y representar ese dato
desconocido por un literal (letra).
Paso 4: Con los datos del problema escribir una ecuación.
Paso 5: Resolver la ecuación.
Paso 6: Comprobar si el resultado está de acuerdo con los datos.
PROBLEMAS CON FRACCIONES
Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción
de un número. La fracción
a
a
de un número x se calcula multiplicando
por x.
b
b
PROBLEMAS DE DÍGITOS
Para este tipo de problemas debemos recordar que en el sistema decimal un
número de la forma x y z queda representado por x ⋅ 102 + 101 + z ⋅ 100
PROBLEMAS DE EDADES
En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras
diferentes indicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas,
presentes o futuras, según corresponda:
Edad pasada
(hace b años)
x-b
y-b
Edad Actual
x
y
Edad futura
(dentro de c años)
x+c
y+c
B. ECUACIONES LINEALES:
La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos),
A(x1, y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresión:
dAB (x2 x1)2 (y2 y1)2
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94
Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del
segmento AB son
PENDIENTE DE UNA RECTA
Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta
con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)
RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA
RECTA
Sea el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces:
( = 0º) si y sólo si (m = 0)
(0º < < 90º) si y sólo si (m > 0)
L es paralela al eje x
( = 90º), si y sólo si (m no está definida)
L tiene pendiente positiva
(90º< < 180º) si y sólo si (m < 0)
L es paralela al eje y
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L tiene pendiente negativa
95
ECUACIÓN PUNTO Y PENDIENTE
La ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) y cuya pendiente es m es
CASO PARTICULAR: Si el punto dado está sobre el eje y, llamando n a su
ordenada, la ecuación anterior se escribe:
Ecuación principal de la recta, n: coeficiente de posición
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
La ecuación de la recta que pasa por dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Toda ecuación lineal de la forma donde Ax + By + C = 0 son constantes reales y
los números A y B no son ambos nulos, representa la ecuación general de la recta.
Si se despeja y en función de x se obtiene la ecuación principal:
y
A
C
x
B
B
donde m
A
B
y n
C
B
RECTAS PARALELAS
Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales.
Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 1). Entonces:
RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes
es -1.
Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 2). Entonces:
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96
SISTEMAS DE ECUACIONES
Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas,
constituyen un sistema de ecuaciones lineales.
La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es:
Ax + By = C
Dx + Ey = F
donde A, B, C, D, E y F son números reales.
Se denomina solución del sistema a todo par (x, y) que satisfaga
simultáneamente ambas ecuaciones.
OBSERVACIÓN: Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una
línea recta en un sistema de ejes coordenados.
MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES
CON DOS INCÓGNITAS
RESOLUCIÓN GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas, se representan ambas rectas en un sistema
de ejes coordenados, con lo cual surge una de las siguientes posibilidades.
i) Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución
del sistema (figura 1).
ii) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura 2).
iii) Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución
(figura 3).
L1 L2
(Vacío)
L1 L2 L1 L2
L1 L2 ∅
RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema de
ecuaciones lineales con dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo
dos de ellos: sustitución y reducción.
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se debe despejar una de las variables en una de
las ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una
ecuación con una incógnita.
MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar los coeficientes de una de las
incógnitas,
en
ambas
ecuaciones,
multiplicando
ambos
miembros
convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se
suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una incógnita.
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97
ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS
INCÓGNITAS
Sea el sistema:
a1 x b1 y c1
Entonces:
a2 x b 2 y c 2
a1
b
1
a2
b2
a
b
c
* El sistema tiene infinitas soluciones si 1 1 1
a2
b2
c2
a
b
c
* El sistema no tiene solución si 1 1 1
a2
b2
c2
* El sistema tiene solución única si
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98
EJEMPLO PSU-1: La ecuación de una recta es x – my – 2 = 0. Si el
punto (–2, 8) pertenece a esta recta, entonces el valor de m es
A) –2
B) –3
1
C) –
2
1
D)
2
E) 2
EJEMPLO PSU-2: Una recta que contiene al punto P1 de coordenadas
(1, 3) tiene pendiente 2, otra recta perpendicular con ella contiene al
punto P2 de coordenadas (8, 2). Ambas rectas se cortan en el punto P
cuya abscisa x vale
A) − 5
B) − 2
C) 2
D) 5
E) −
1
2
EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación
A) - 5
B) 5
C) – 25
D) 25
E) – 35
1x 2
?
15
5
EJEMPLO PSU-4: En un supermercado el precio de costo de un
kilogramo de pan es de $ 600 y lo venden en $ 820; las conservas de
mariscos tienen un costo de $ 800 y las vende en $ 1.060. Si la política
de asignación de precios del supermercado es lineal, ¿cuál es el precio
de venta de un kilogramo de arroz cuyo costo es de $ 400?
A) $ 600
B) $ 580
C) $ 547
D) $ 537
E) $ 530
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99
EJEMPLO PSU-5: En la figura las rectas L1 y L2 son perpendiculares,
entonces ¿cuál de las siguientes opciones representa a la ecuación de la
recta L1?
A)
B)
C)
D)
E)
5
x 2
4
5
y (x 2)
4
4
y (x 2)
5
4
y x 2
5
5
y (x 2)
4
y
EJEMPLO PSU-6: La relación entre las temperaturas Fahrenheit y
Celsius es lineal. Si se sabe que 32º F corresponde a 0º C y 212º F
corresponde a 100º C, entonces ¿cuál es la temperatura en grados
Celsius que corresponde a 55º F aproximadamente?
A) – 21º C
B) – 12,7º C
C) 12,7º C
D) 23º C
E) 25,9º C
EJEMPLO PSU-7: La ecuación (2 – k)x + 3y – 4 = 0 representa una
recta perpendicular a la recta cuya ecuación es – 6x + y – 9 = 0. ¿Cuál
es el valor de k?
A) 20
3
B)
2
C) 8
7
D)
2
13
E)
6
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100
EJEMPLO PSU-8: Si 1
3
9, entonces x
x
9
2
2
9
9
2
8
3
3
8
A)
B)
C)
D)
E)
EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál de las siguientes figuras representa la
intersección de 3x + y = 4 con y + x = 0?
A)
D)
C)
B)
E)
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101
3x my 9
EJEMPLO PSU-10: En el sistema,
nx 4y 11
¿Qué valores deben tener m y n para que la solución del sistema sea el
par (1, −3) ?
m
n
A) − 2
1
B) − 2
−1
C)
2
1
D)
4
−23
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-11: En la figura, la ecuación de L1 es y + x = 5,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I) L1 // L2
II) La ecuación de L2 es y = -x + 3
III) Ambas rectas tienen igual
inclinación respecto del eje x
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-12: La intersección de las rectas y = 5 – x e y = x – 1
es el punto:
A) (2,3)
B) (2,1)
C) (3,-2)
D) (0,2)
E) (3,2)
EJEMPLO PSU-13: Juan en 10 años más tendrá el doble de la edad que
tenía hace 5 años. ¿Qué edad tendrá Juan en un año más?
A) 21 años
B) 20 años
C) 16 años
D) 15 años
E) 11 años
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102
EJEMPLO PSU-14: Un grupo de amigos salen a almorzar a un
restaurante y desean repartir la cuenta en partes iguales. Si cada uno
pone $ 5.500 faltan $ 3.500 para pagar la cuenta y si cada uno pone
$ 6.500 sobran $ 500. ¿Cuál es el valor de la cuenta?
A) $ 20.000
B) $ 22.000
C) $ 25.500
D) $ 26.000
E) $ 29.500
EJEMPLO PSU-15: La señora Marta compró 3 kilogramos de azúcar y
2 kilogramos de harina y pagó $ s. Si el kilogramo de azúcar vale $ p,
¿cuánto cuesta el kilogramo de harina?
A) $(s 3p)
s 3p
B) $
2
s 3p
C) $
2
s p
D) $
2
E) $(s 3p)
EJEMPLO PSU-16: Si 3
2x 1
, entonces ¿cuánto vale x?
1 3x
2
7
4
B)
7
2
C)
5
D) 2
A)
E) 4
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103
EJEMPLO PSU-17: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es:
A) 9
B) 16
C) 18
D)
27
10
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes rectas del plano cartesiano
es representada por la ecuación x = a?
A) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (0, a).
B) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (a, 0).
C) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (0, a).
D) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (a, 0).
E) La recta que pasa por el origen y por el punto (a, a).
EJEMPLO PSU-19: Un padre reparte 12.000 hectáreas entre sus tres
hijos. Al menor le da x hectáreas, al del medio los
2
3
de las hectáreas
del menor y al mayor la mitad de las hectáreas de su segundo hijo. El
hijo mayor recibió
A) 2.000 hectáreas
B) 4.000 hectáreas
C) 5.333, 3 hectáreas
D) 6.000 hectáreas
E) 8.000 hectáreas
5x ky 2
EJEMPLO PSU-20: ¿Para qué valor de k el sistema
no tiene
3x 2y 3
solución?
A) 2
B) -2
10
C) 3
4
D) 3
E) -
3
2
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104
EJEMPLO PSU-21: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación
A) -9
B) -5
C) -1
1
D)
3
E) 1
EJEMPLO PSU-22: ¿Cuál de las siguientes
equivalente a la ecuación 0,03x = 5,2?
x2
1 ?
3
ecuaciones
NO
es
26
5
B) 3x 5,2 10 2
A) 0,03x
3
1
x5
100
5
3
D)
x 5,2
100
E) 3 10 2 x 5,2
C)
a b 6
EJEMPLO PSU-23: Si 1 1 2 , entonces a b =
a b 3
A) 3
B) 9
1
C)
3
2
D)
3
E) 1
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105
EJEMPLO PSU-24: Dada la recta de ecuación y = 2x y (2,1) es el
punto medio del segmento que corta a la recta en P y al eje x en Q. Las
coordenadas del punto P son:
1
A) ,1
2
1 3
B) ,
2 2
C) (4,2)
D) (2,4)
E) (1,2)
EJEMPLO PSU-25: En un local de flores se venden claveles por
unidades. Juan y Luis compran en el local 1 ramo de claveles cada uno.
El ramo de Juan tiene 12 claveles y le costo $ a. ¿Cuánto pagó Luis por
su ramo si tiene 4 claveles más que el de Juan?
A) 4a
B) 16a
a
C)
3
3a
D)
4
4a
E)
3
EJEMPLO PSU-26: La señora Pilar acostumbra a comprar todas las
semanas 3 kilogramos de plátanos y 2 kilogramos de manzanas. Cierta
semana gastó $1.850. Como en la semana siguiente los plátanos habían
subido $ 50 por kilogramo y las manzanas habían bajado $ 30 por
kilogramo, cambio su costumbre y compró
2 kilogramos de plátanos
y 3 kilogramos de manzanas y gastó $1.910. ¿Cuánto costaba el
kilogramo de manzanas esa cierta semana?
A) $450
B) $350
C) $400
D) $346
E) $292
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106
EJEMPLO PSU-27: Al ubicar los puntos A (-1,-2), B (5,-2) y C (5,3), en
el sistema de ejes coordenados, se puede afirmar que:
I) AB BC
II) AB es paralelo al eje X
III) (0,5) es un punto del trazo BC
Es(son) correcta(s):
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-28: Según el sistema
x y 7a 3b
x y 7a 3b
, ¿cuál es el
valor de y?
A) 6b
B) 3b
C) b
D) -b
E) -3b
EJEMPLO PSU-29: Dada la recta L, donde a y b son positivos, ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. La pendiente de la recta L es negativa.
II. El punto (a, b) pertenece a la recta.
III. La recta L es perpendicular a la recta y =
ax
.
b
A) Sólo II
B) Sólo I y II
C) Sólo II y III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
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107
EJEMPLO PSU-30: Tres números enteros
Entonces es verdadero que:
consecutivos suman cero.
I) El número mayor y el menor suman cero
II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor
III) La diferencia entre el mayor y el menor es cero
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-31: En la figura se muestra el gráfico de la recta de
ecuación y = px + q. ¿Cuál es el valor de q?
A) 1
B) 2
C) 0
D) -1
E) -2
EJEMPLO PSU-32: Si 3 2(2x 4) 24 , entonces x es igual a:
A) -4
B) 0
C) 3
D) 4
E) 36
EJEMPLO PSU-33: Si 6 – 2x = 14, entonces x – x2 es igual a:
A) -20
B) -10
C) -30
D) 10
E) 30
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108
EJEMPLO PSU-34: Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos
partes, de modo que una de ellas es 50 cm más larga que la otra.
¿Cuáles son las longitudes de cada parte?
A) 250 cm y 50 cm
B) 150 cm y 150 cm
C) 175 cm y 125 cm
D) 200 cm y 100 cm
E) Ninguna de las medidas anteriores
EJEMPLO PSU-35: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La pendiente de AD y de BC no es un número real
II) La pendiente de DC es cero
III) La pendiente de AB es positiva
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-36: Hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años.
¿Cuál será la suma de sus edades en a años más?
A) (11 + 3a) años
B) (11 + 2a) años
C) (11 + a) años
D) (8 + 3a) años
E) (5 + 3a) años
EJEMPLO PSU-37: Jorge compró tres artículos distintos en $ (4a + b).
El primero le costó $ a y el segundo $ (2a – b). ¿Cuánto le costó el
tercero?
A) $ a
B) $ 7a
C) $ (3a – b)
D) $ (3a + 2b)
E) $ (a + 2b)
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109
EJEMPLO PSU-38: El promedio de un número entero positivo y su
antecesor es 6,5 entonces, el sucesor de ese número entero es
A) 6
B) 7
C) 8
D) 14
E) ninguno de los anteriores.
EJEMPLO PSU-39: Si
A) 5
B) 3
2t 1
4 , entonces t =
2
3
2
9
D)
2
7
E)
2
C)
EJEMPLO PSU-40: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un
licor Q. Si 6 litros del licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b,
¿cuál es el precio de los 5 litros de mezcla?
ab
3
ab
B) $
5
C) $(2a 3b)
A) $
3a 2b
18
5 (3a 2b)
E) $
18
D) $
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110
EJEMPLO PSU-41. “La diferencia de un número con sus
5
, es igual a
12
3
partes disminuido en 10”. La expresión que resuelve el enunciado
4
anterior es:
sus
5
3
x 10
12
4
5
3
B) x
10
12 4
5
3
C) x
x 10
12 4
5
3
D) x
x x 10
12
4
5
3
E) x
x x 10
12
4
A) x
EJEMPLO PSU-42. Si la cuarta parte de la edad de una persona es 8,
entonces, la mitad de su edad más uno año es:
A) 2 años
B) 5 años
C) 16 años
D) 17 años
E) 33 años
EJEMPLO PSU-43. ¿Cuál debe ser el valor de x para que la expresión
9 3
sea igual al inverso aditivo de -3?
2 x
A) 2
6
B)
15
6
C)
15
D) 1
E)
18
25
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111
3x 2y 17
EJEMPLO PSU-44. Dado el sistema
, el valor de
3x 2y 1
igual a:
xy
es
y
1
4
10
B)
13
C) 3
A)
D)
E)
8
5
1
4
EJEMPLO PSU-45. En la recta de la figura, el valor de p es
A) 4
15
4
C) 7
B)
D) 5
E)
12
5
EJEMPLO PSU-46. ¿Cuál es el punto medio del trazo AB de la figura?
A) (2a,0)
a b
B) ,
2 2
C) (0, b)
D) (0, a)
E) (a,0)
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112
VII-2: DESIGUALDADES
Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a>b, a < b, a b ó a b. las
desigualdades cumplen con las siguientes propiedades:
Propiedad 1: Si a los dos miembros de una desigualdad se suma un mismo
número, el sentido de la desigualdad no cambia
Si a, b, c son números reales y a < b, entonces a + c < b + c
Propiedad 2: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un
mismo número positivo, el sentido de la desigualdad no cambia
Si a, b, c son números reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc
Propiedad 3: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un
mismo número negativo, el sentido de la desigualdad cambia.
Si a, b, c son números reales tales que a<b y c< 0, entonces ac > bc
INTERVALOS
Intervalo abierto: Se denomina así al conjunto de números reales comprendidos
entre a y b. se simboliza por a , b
Intervalo cerrado: es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b,
incluidos ambos. Se simboliza como [a,b]
Intervalo semiabierto por derecha: Se llama así al conjunto de números reales
comprendidos entre a y b, que incluye al extremo a pero excluye al extremo b. se
simboliza por: a, b
Intervalo semiabierto por izquierda: Se denomina así al conjunto de números
reales comprendidos entre a y b, que excluye al extremo a pero incluye al extremo
b. se simboliza por: a, b
a,b x R / a x b
En el gráfico, los puntos extremos se indican con circunferencias para dar la idea
(en este caso) de que dichos puntos no se consideran como parte del intervalo
a,b x R / a x b
En el gráfico, los puntos extremos se indican con círculos para señalar, en este
caso, que dichos puntos pertenecen al intervalo
a,b x R / a x b
Este intervalo también se denomina semicerrado por izquierda
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113
a,b x R / a x b
Este intervalo también se denomina semicerrado por derecha
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Son desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes:
ax + b 0, ax + b 0, ax + b > 0 ó ax + b < 0, y que son verdaderas para un
conjunto de valores de la incógnita x, el cual se llama conjunto solución de la
inecuación. Este conjunto se puede representar mediante la notación de conjunto,
intervalo o gráfica
SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA
Es un sistema formado por dos o más inecuaciones de primer grado con una
incógnita. El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos de
cada inecuación. Si S1, S2,….,Sn son los conjuntos solución de cada inecuación y S
es el conjunto solución del sistema, entonces: S S1 S2 S3.... Sn
PROBLEMAS DE INECUACIONES
En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos
<, >, ó , tales como: “a lo menos” (), “cuando mucho” (), “como mínimo” (),
“como máximo (), “sobrepasa” (>), “no alcanza” (<), etc. Una vez planteada la
inecuación o sistema de inecuaciones, se determina el conjunto solución, y al igual
que en los problemas de ecuaciones hay que fijarse en la pregunta del problema.
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114
EJEMPLO PSU-1 ¿Cuál es el conjunto solución para el sistema de
x 1 2
inecuaciones
?
x 1 2
A) 1,3
B) ,3 3,
C) ,1 3,
D) 1,3
E) 3,
EJEMPLO PSU-2: ¿Cuál es el conjunto solución de todos los números
que están a una distancia mayor que 6 de 0 y a una distancia menor
que 20 de 8?
A) 6,8
B) 6,28
C) .12,6 6,28
D) ,28
E) ,12 6,6 28,
EJEMPLO PSU-3: 3x – 8 < 5x + 5, ¿cuánto vale x?
A)
B)
C)
D)
E)
13
2
13
x
2
13
x
2
13
x
2
2
x
13
x
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115
EJEMPLO PSU-4: Según el siguiente sistema de inecuaciones
2x 4 6
, ¿cuál es el gráfico solución?
x 1 4
A)
B)
C)
D)
E)
EJEMPLO PSU-5: Si 7 veces un número se disminuye en 5 unidades
resulta un número menor que 47, entonces el número debe ser menor
que:
A) 42
B) 49
C) 52
82
D)
7
52
E)
7
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116
EJEMPLO PSU-6: El gráfico que representa al conjunto solución de la
inecuación –6 4x es
EJEMPLO PSU-7: El gráfico que representa al conjunto solución del
3x 6 3
sistema de inecuaciones
es
4 2x 6
EJEMPLO PSU-8.
¿Cuál es el conjunto de los números impares
naturales, tales que su triple aumentado en seis es menor que 57?
A) {1,3,5,7,9,11,13,15,17}
B) {1,3,5,7,9,10,13,15}
C) {1,3,5,7,9,11,13,15}
D) {1,3,5,7,9,11}
E) Ninguna de las anteriores
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117
EJEMPLO PSU-9. Si a + 15 = b, entonces se puede afirmar que:
A) La suma de a y b es 15
B) a es mayor que b
C) a es 15 veces b
D) a es menor que b
E) la diferencia entre a y b, en ese orden, es 15
EJEMPLO PSU-10.
tomar (a + b)?
Si 3 a 0 y 3 b 0 ¿qué valor(es) puede
A) Los valores entre – 3 y 3, ambos incluidos
B) Solo los valores entre – 3 y 0, ambos incluidos
C) Solo los valores entre 0 y 3, ambos incluidos
D) Solo el 0
E) Ninguno de los anteriores
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118
B. ECUACIONES CUADRATICAS:
∗ Ecuación cuadrática:
ax2 + bx + c = 0
∗ Fórmula cuadrática:
x
b b2 4 a c
2a
∗ Número de soluciones:
(∆: discriminante)
(∆: b2 – 4ac)
∆ > 0…. 2 raíces reales y distintas
∆ = 0…. 2 raíces reales e iguales
∆ < 0…. No tiene raíces reales
∗ Intersección en el eje x:
∆ > 0…. 2 intersecciones en el eje x
∆ = 0…. 1 intersección en el eje x
∆ < 0…. No hay intersección el eje x
∗ Propiedades de las raíces:
x1 x2
b
a
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x1 x2
c
a
119
EJEMPLO PSU-1: Según la ecuación y = x2 – 2x + a, es correcto
afirmar que:
I.
II.
III.
Si a > 1, existen dos intersecciones con el eje X.
Si a = 1, existe solo una intersección con el eje X.
Si a < 1, no hay intersección con el eje X.
A) Sólo I
B) I y II
C) II y III
D) Sólo II
E) Sólo I y III
EJEMPLO PSU-2: Un patio rectangular de 24 m2 de superficie, tiene 2
metros más de frente que de fondo. Si x es la medida del fondo, ¿cuál
de las siguientes ecuaciones permite calcular las dimensiones del patio?
A) x(x + 2) – 24 = 0
B) x(x – 2) – 24 = 0
C) x(x – 2) + 24 = 0
D) x2 - 22 = 0
E) 4x - 20 = 0
EJEMPLO PSU-3:
x(x − 1) = 20 son
Las
raíces
(o
soluciones)
de
la
ecuación
A) 1 y 20
B) 2 y 20
C) 4 y 5
D) 4 y − 5
E) −4 y 5
EJEMPLO PSU-4: Si x = 3 es una solución (raíz) de la ecuación
x2 + 5x + c = 0, entonces ¿cuál es el valor de c?
A) - 24
B) -8
C) -2
D) 2
5
E)
3
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120
EJEMPLO PSU-5: ¿Cuál es el menor valor para la expresión x 2
cuando x satisface la igualdad x
A) 4
B) 3
C) 1
D) 0
E) -1
2
x
15
16 ?
x
EJEMPLO PSU-6: El conjunto solución (o raíces) de la ecuación
x2 + 1 = x + 1 es:
A) {0}
B) {1}
C) {0,1}
D) {0,-1}
E) Ninguno de los conjuntos anteriores
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121
IX. LOGARITMOS:
(1) loga 1 0
(2) loga a 1
(3) loga(x y) loga x loga y
x
(4) loga loga x loga y
y
(5) loga xy y loga x
(6) loga n m
1
loga m
n
∗ Cambio de base: loga b
logb
log a
EJEMPLO PSU-1: log (a + b)2 – log (a + b) =
A) 2
B) a + b
C) log a + 3log b
D) log a + log b
E) log (a + b)
1
2 entonces x vale:
1 x
EJEMPLO PSU-2: Si log
99
100
99
99
100
101
100
19
20
A)
B)
C)
D)
E)
EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a log 12?
A) log 6 log 2
B) log 10 log 2
C) 2 log 6
D) log 2 log 2 log 3
E) log 6 log 2
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122
1
log2 8 log3
9
es
EJEMPLO PSU-4: El valor de la expresión
log4 16
5
A)
2
1
B)
2
C) 3
5
D)
4
7
E)
4
EJEMPLO PSU-5: log32 = a resulta
A) a3 = 2
B) a2 = 3
C) 23 = a
D) 32 = a
E) 3a = 2
EJEMPLO PSU-6: Si a > 1, entonces log2 (loga a2 ) =
A) 0
B) 1
C) 2
D) a
E) a2
EJEMPLO PSU-7: ¿Cuál de las siguientes
verdadera(s)?
I) log 1 log 20 log 20
1
II) log log 30 30
2
III) log 4 log 10 log 4
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
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expresiones
es(son)
123
EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
1
I) log3 2
9
II) Si log
3
x 2, entonces x 3
III) Si logx 49 2, entonces x
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
1
7
EJEMPLO PSU-9: log 2.0002 =
A) 4 log 1.000
B) 6 + 2 log 2
C) 2(6 + log 2)
D) 2(log 2)(log 1.000)
E) 3 + 2 log 2
EJEMPLO
PSU-10.
log2 8 log3 9 log10 ?
¿Cuál
es
el
valor
de
la
expresión
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
EJEMPLO PSU-11. Sean x e y números positivos, la expresión
log(x 3 y 2 ) es siempre igual a
A) 6 log(xy)
3
log(xy)
2
C) 3 log x 2 log y
B)
D)
3 log x
2 log y
E) (3 log x)( 2 log y)
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124
X. FUNCIONES:
DEFINICIÓN: función
Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna
a cada elemento x del conjunto A uno y sólo un elemento y del conjunto B.
Se expresa como:
y
y
x
f: A → B
x → f(x) = y Re corrido
x
Do min io
Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de
f(x) = y
∗ Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la
función y se denota Dom f.
∗ Recorrido: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente
(y), y se denota Rec f.
∗ Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente,
también aumenta la variable dependiente.
∗ Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la
variable dependiente disminuye.
∗ Función Constante: Es aquella que para todos los valores de la variable
independiente, la variable dependiente toma un único valor.
EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN
Para encontrar los valores de las imágenes de
una función definida, se reemplazará la variable
independiente por el número o expresión que
corresponda.
Ejemplo: Si f(x) = 3x – 1, la imagen de -1 sería
f(-1) = 3 · (-1) – 1 = - 4.
Si la imagen es 29 y la función es f(x) = 2x + 1,
la pre-imagen se obtendrá igualando
2x + 1 = 29 de aquí x = 14 pre-imagen.
∗ Función continua: Es aquella en la que su
gráfica se puede recorrer en forma
ininterrumpida en toda su extensión (figura 1).
∗ Función discontinua: Es aquella que no es
continua, es decir, presenta separaciones
y/o saltos en su gráfica (figura 2 y 3).
∗ Función periódica: Es aquella en la que parte de su gráfica se repite cada
cierto intervalo, llamado período (figura 4).
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125
A. FUNCION DE PRIMER GRADO:
y
∗ f(x) = ax + b
f (x)
f (x)
a>0
y
a<0
m negativa
m positiva
x
x
B. FUNCION LINEAL:
y
∗ Función de primer grado f (x) = ax + b, con b 0:
y a ≠ 0 es denominada función Afín. (a, b R)
f (x) = ax
∗ Si b = 0, La recta pasa por el origen y es llamada
función lineal
x
y
C. FUNCION IDENTIDAD:
Función lineal f(x) = ax, con a = 1: f(x) = x
f (x) = x
∗ La recta pasa por el origen.
∗ Existe una proporcionalidad directa entre x e y.
x
TRASLACIÓN DE FUNCIONES
Sea y = f(x) una función.
La función y = f(x) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y.
Si k > 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje y, y si k < 0 el
desplazamiento es en el sentido negativo (figura 1 y 2).
La función y = f(x – h) es la función f(x) trasladada h unidades en el eje x. Si h
> 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje x, y si h < 0 es en el
sentido negativo (figura 3 y 4).
La función y = f(x – h) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y, y
h unidades en el eje x.
Si f(x) = ax entonces:
f(x) = ax + k, k > 0 f(x) = ax + k, k < 0
f(x) = a(x – h), h < 0
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f(x) = a(x – h), h > 0
126
D. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real x, denotado por x , es siempre un número
real no negativo.
x Si x 0
f(x) = x
, x R
x, Si x 0
Representaciones gráficas
a indica el punto de traslación en el eje
eje de las ordenadas
b indica el punto de traslación en el
de las abscisas.
y
E. FUNCION CONSTANTE:
3
∗ Función de grado cero.
∗ Su gráfico es una recta horizontal.
x
f (x) = 3
y
F. FUNCION CUADRATICA:
∗ Función de segundo grado
f(x) = ax2 + bx + c
∗ Se grafica una curva llamada parábola.
f (x) = ax2 + bx + c
x
A la función de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c, siendo a, b, c lR y a ≠ 0 se
le denomina función cuadrática. La representación gráfica de una función
cuadrática es una parábola, simétrica con respecto a una recta paralela al eje de
las ordenadas. Dicha recta recibe el nombre de eje de simetría.
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127
Concavidad: Es la abertura que tiene la parábola
Si a > 0, la concavidad de la parábola está
la parábola Orientada hacia arriba
Si a < 0, la concavidad de
está orientada hacia abajo
INTERSECCIÓN CON EL EJE Y
La parábola asociada a la función y = ax2 + bx + c siempre intersecta al eje de las
ordenadas en y = c.
CEROS DE LA FUNCIÓN
Los ceros (o raíces) de la función cuadrática son los valores x1 y x2 para los que
y=0
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128
DISCRIMINANTE
La expresión b2 – 4ac se denomina discriminante, pues determina la naturaleza
de las raíces de la ecuación cuadrática asociada a la función y = ax2 + bx + c
EJE DE SIMETRÍA
El eje de simetría de una parábola es una recta que divide a esta curva en dos
“ramas” congruentes.
VÉRTICE DE LA PARÁBOLA
El vértice de la parábola es el punto de intersección de ésta con su eje de simetría.
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129
G. FUNCION RAIZ CUADRADA:
Si x es un número real no negativo, se define la función raíz cuadrada de x por
OBSERVACIONES:
i. La función es creciente.
ii. La función raíz cuadrada es considerada como un modelo de crecimiento lento.
∗ Su dominio son los IR+ U {0}.
H. FUNCION EXPONENCIAL:
La función f definida por
f(x) a x , con a R y a 1
se denomina función
exponencial.
GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
f( x) 2 x
1
f( x)
2
x
En las gráficas se puede observar que:
∗ La gráfica intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, 1).
∗ Si a > 1, entonces f(x) = a x es creciente.
∗ Si 0 < a < 1, entonces f(x) = a x es decreciente.
∗ La gráfica no corta al eje de las abscisas.
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130
I. FUNCION LOGARITMICA:
Una función f definida por
función logarítmica
f(x) loga x, con a R , a 1 y x 0 se denomina
f( x) log 2 x
f( x) log 1 x
2
f( x) log 2 x
f( x) log 1 x
2
En los gráficos se puede observar que:
∗ La gráfica intersecta al eje x en el punto (1,0)
∗ Si a > 1, entonces f(x) loga x es creciente
∗ Si 0 < a < 1, entonces f(x) loga x es decreciente
∗ La curva no intersecta al eje y
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131
J. FUNCIÓN PARTE ENTERA
Dado un número real x, la función parte entera f ( x) x con x R le asigna el
mayor entero que es menor o igual a x.
Dado que todo número real tiene una parte entera y una parte decimal, por
ejemplo el número 6,215, esta función persigue que al número real 6,215 se le
asocie el número real 6.
Su representación gráfica es
OBSERVACIÓN: A la gráfica de esta función se le llama “función escalonada”.
APLICACIONES LINEALES
En el quehacer cotidiano hay muchos problemas que se tratan con funciones, y por
ende, es necesario saber expresar una situación práctica en términos de una
relación funcional. La función que se obtiene produce un modelo matemático de
la situación.
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132
EJEMPLO PSU-1: Si f(x)
A) 4
17
B)
2
11
C)
2
11
D)
2
17
E)
2
2x 3
2
, entonces f(7) es igual a:
EJEMPLO PSU-2: En el gráfico de la figura, se muestran las tarifas de
un estacionamiento por horas. Un
automovilista estaciona durante 4 días:
el primer día 152 minutos, el segundo
día 180 minutos, el tercer día 90
minutos y el cuarto día 210 minutos.
¿Cuánto canceló en total por los días
que estacionó?
A) $ 1.900
B) $ 2.300
C) $ 2.400
D) $ 2.000
E) Ninguno de los valores anteriores.
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133
EJEMPLO PSU-3: ¿En cuál de las opciones siguientes se grafican las
funciones f(x) = 2x + 1 y g(x) = x2 + 1?
A)
C)
B)
D)
E)
EJEMPLO PSU-4: La trayectoria de un proyectil está dada por la
ecuación y(t) = 100t − 5t2, donde t se mide en segundos y la altura
y(t) se mide en metros, entonces ¿en cuál(es) de los siguientes valores
de t estará el proyectil a 420 m de altura sobre el nivel del suelo?
I) 6 segundos
II) 10 segundos
III) 14 segundos
A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en III
D) Sólo en I y en II
E) Sólo en I y en III
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134
EJEMPLO PSU-5: Considere la parábola y
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
1
(x 1)2 ¿Cuál(es) de las
2
I) La parábola se abre hacia arriba
II) Su vértice se encuentra en (1,0)
III) Su eje de simetría es x = 1
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-6: ¿Cuál es el dominio de la función f(x)
los números reales?
x 2 4 en
A) 2,
B) 2,
C) 0,
D) ,2 2,
E) 4,
EJEMPLO PSU-7: ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son)
verdadera(s) respecto del gráfico de la función f(x), en la figura?
I) f(– 2) > f(4)
II) f(– 1) + f(3) = f(– 3)
III) f(– 6) – f(8) = 2
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo II y III
EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál es la ecuación de la parábola de la figura?
A) y = (– x + 1)(x – 2)
B) y = (x + 1)(x – 2)
C) y = (– x + 1)(x + 2)
D) y = (– x – 1)(x – 2)
E) y = (x + 1)(– x – 2)
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135
EJEMPLO
PSU-9:
Sea
f(x)
una
función
2
f(x − 1) = x − (a + 1)x + 1, entonces el valor de f(a) es
tal
que:
A) 1
B) 1 − a
C) 2 − a
D) 1 + a
E) 3 − 2a
EJEMPLO PSU-10: Sea f una función en los números reales, definida
por f(x) = tx + 1 y f(-2) = 5 ¿Cuál es el valor de t?
A) -3
B) -2
C) 3
D) 2
3
E)
2
EJEMPLO PSU-11: Del gráfico de la función real f(x) 1 x , se puede
afirmar que:
I) tiene su vértice en el punto (0,0)
II) sus ramas se abren hacia abajo
III) corta al eje de las abscisas en x = 1 y en x = -1
Es(son) verdadera(s):
A) Solo II
B) Solo III
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-12: Si f(x) = 5x, entonces 5 f(5x) es igual a
A) 125x
B) 25x
C) 125x2
D) 25x2
E) ninguna de las expresiones anteriores.
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136
EJEMPLO PSU-13: Considere la función f(x) = 2x2 + 4x + 5, con x en
los números reales. El menor valor que alcanza la función es
A) 5
B) 3
C) 2
D) 0
E) –1
EJEMPLO PSU-14: Si f(x) = 4x2, g(x) = x3 y h(x) = x4, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) f(x) g(x), para todo número real x distinto de cero.
II) f(x) = h(x), para algún número real x distinto de cero.
III) f(x) < g(x) < h(x), para todo número real x distinto de
cero.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo II y III
EJEMPLO PSU-15: Si f(x) = x a + 1 y f(2) = 9, entonces a =
A) 9
B) 4
C) 3
D) 2
E) 8
EJEMPLO PSU-16: Sea f una función cuyo dominio es R – {-1} definida
1x
por f(x)
, entonces f(-2)
x 1
A) 1
B) -1
C) 3
D) -3
1
E) 3
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137
EJEMPLO PSU-17: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la
función real
y = [x +1]
EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a
la función real f(x) = -(x + 1)2 + 1?
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138
EJEMPLO PSU-19: Considere la función f(x) = x2 – 8x + 15, ¿cuál(es)
de las afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El gráfico de la función intersecta en dos puntos al eje x
II) Su valor mínimo es -1
III) f(-3) > 0
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-20: El nivel de agua en un estanque es de 12 m y baja
0,5 m cada semana. ¿Cuál de las siguientes funciones representa la
situación descrita relacionando el nivel de agua y con el número de
semana x?
A) y = -12 + 0,5x
B) y = - 0,5 + 12x
C) y = 12 + 0,5x
D) y = 12 – 3,5x
E) y = 12 – 0,5x
EJEMPLO PSU-21: De acuerdo al gráfico de la figura, ¿cuál(es) de las
siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?
I) f(-1) + f(1) = f(0)
II) 3f(-2) – f(0) = 2f(2)
III) f(-2) – f(1) = f(2) -1
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-22: Sea la función de números reales f(x) = x2 – 3,
¿cuál es el conjunto de los números reales t que satisfacen f(t) = 1?
A) {-2}
B) {-2,2}
C) {2}
D) {4}
E) No tiene solución en el conjunto de los números reales
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139
EJEMPLO PSU-23: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la
función f(x) = x2 – 5x + 6?
EJEMPLO PSU-24: La línea quebrada de la figura es el gráfico de la
función f(x) =
A) 2x
B) x x
C) x x
D) x x
E) 3 x x
EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor al
gráfico de la función f(x) = x2 – 1?
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140
EJEMPLO PSU-26: El servicio de agua potable de una localidad rural
tiene las siguientes tarifas según tramo de consumo:
Consumo en m3 Precio
0-9
$3.000
10 – 19
$ 8.000
20 o más
$11.000
Además, siempre se agrega un cargo fijo de $ 4.000. Si el consumo no
corresponde a un número entero, éste se aproxima al entero superior.
¿Cuál de los siguientes gráficos interpreta el sistema de cobros de la
empresa?
EJEMPLO PSU-27: En la figura ¿Cuál(es)
aseveraciones es(son) verdadera(s)?
I) La pendiente de la recta es igual a 5
II) El punto (1,15) pertenece a la recta
III) La ecuación de la recta es y = 5x - 10
de
las
siguientes
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
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141
EJEMPLO PSU-28: Dada la siguiente figura: ¿Cuál es la ecuación que
mejor representa al gráfico de la figura?
A)
B)
C)
D)
E)
y = x2
y = x3
y = 4x4
y = 4x
y = 4x2
EJEMPLO PSU-29: La relación entre el radio y el área de una
circunferencia es: A r 2 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I. π es variable.
II. r es variable y A sólo toma valores positivos.
III. A es función de r.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-30: Dada la función f(x)
x3 x
11
6
1
B)
2
1
C)
2
11
D)
6
E) Otro valor
2x
, entonces f(-4)=
A)
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142
EJEMPLO PSU-31: Un taxista tiene un cobro fijo de $ 150 y cobra,
además, $ 300 por cada Km. recorrido. Entonces la función que
relaciona el valor (y) y los kilómetros recorridos (x) es:
A) y 150 300 x
B) y 150 x 300
C) y 150 x 1 300
D) y 150 300 x 1
E) y 150 300 x 1
EJEMPLO PSU-32: Dada la función f(x) (x 2) , se puede afirmar
que:
I) La función está definida para los x mayores o iguales a 2
II) f(3) = 1
III) El punto (5,3) pertenece a la función
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-33: Si f(x) = mx + n, ¿qué valores deben tener m y n,
respectivamente, de modo que f(3) = 8 y f(2) = 6?
1
A)
y5
2
1
B) - 1 y
2
C) 2 y 2
13
1
D)
y
2
2
E) 2 y 10
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143
EJEMPLO PSU-34: Una compañía telefónica ofrece dos planes
alternativos de tarifas para sus clientes:
Plan P): $ 10.000 de cargo fijo mensual, más $ 20 por minuto en
llamadas de horario diurno y $ 5 por minuto en llamadas de horario
nocturno.
Plan Q): $ 14.000 de cargo fijo mensual con derecho a llamar hasta
500 minutos, en cualquier horario; una vez usados los 500 minutos, se
paga $ 20 por minuto, por llamadas en cualquier horario. ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a las
llamadas mensuales de los clientes?
I) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 200
minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan Q.
II) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 600
minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan P.
III) Si una persona llama 100 o más minutos en horario diurno y
400 minutos en horario nocturno, entonces gasta lo mismo no
importando el plan que contrate.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-35: Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de
producción de $ 1.000.000 mensuales y costos varios por lámpara de
$ 5.000. Si x representa el número de lámparas producidas en un mes,
¿cuál de las siguientes expresiones representa la función costo C(x)?
A) C(x) = x + 1.005.000
B) C(x) = 1.000.000x + 5.000
C) C(x) = 1.005.000x
D) C(x) = 5.000x + 1.000.000
E) C(x) = (x – 5.000) + 1.000.000
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144
EJEMPLO PSU-36: Dada la función f(x)= 21 x x , ¿cuál(es) de las
siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?
I) f(2) f(1)
1 1
II) f
2 2
III) f(2) 0
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-37: Si f(x) = log2x, entonces f(16) – f(8) es:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 7
EJEMPLO PSU-38: Si f(x) = x2 + 3x – 4, entonces f(x + 1) es igual a:
A) x2 + 3x - 2
B) x2 + 5x – 3
C) x2 + 5x – 2
D) x2 + 5x
E) x2 + 3x
EJEMPLO PSU-39: dada la parábola de ecuación y = x2 – 2x + a,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Si a > 1, la parábola intersecta en dos puntos al eje x
II) Si a = 1, la parábola intersecta en un solo punto al eje x
III) Si a < 1, la parábola no intersecta al eje x
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Solo II y III
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145
EJEMPLO PSU-40: Sea la función cuadrática f(x) ax2 bx c , ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Si a < 0, entonces la función tiene un máximo
II) Si c = 0, la gráfica de la función pasa por el origen
III) Si b = 0, a < 0 y c < 0, entonces la gráfica de la función intersecta
al eje x en dos puntos
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-41: ¿Cuál de las siguientes funciones está mejor
representada por el gráfico de la figura?
A) f(x) 8x
B) g(x) 2x 2
C) h(x) 4x 2
D) t(x) 2x 3
E) s(x) x 4
EJEMPLO PSU-42. La parábola de la figura intersecta al eje x en los
puntos (4, 0) y (- 2, 0) ¿Cuál es el conjunto de todos los valores de x
cuya imagen es mayor o igual a cero?
A) ,2 4,
B) ,2 4,
C) 2,4
D) 2,
E) ,2
y
2
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4
x
146
EJEMPLO PSU-43. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la
función y (x 5)2 4
EJEMPLO PSU-44. Si f(x) = x – 2 es afín con g(x) dado por la siguiente
tabla. ¿En qué punto se intersectan las gráficas de estas funciones?
5 7
A) ,
6 6
5 17
B) ,
6 6
x
-1
-2
g(x)
-2
3
5 17
C) ,
6
6
3 17
D) ,
7
7
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU 45. En la función f(x) 3 x , ¿Cuál(es) de las
siguientes alternativas es (son) verdadera(s)?
I) 7 no tiene imagen
II) 3 no tiene imagen
III) f(- 6) = 3
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
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147
EJEMPLO PSU-46. f(x) x 2 kx , entonces el valor de f(- 3) es:
A) – 9 + 3k
B) – 9 + 3k
C) 9 + 3k
D) 9 – 3k
E) – 3 + 3k
EJEMPLO PSU-47. Una empresa paga a sus vendedores un sueldo base
mensual de $180.000 más $5.000 por artículo vendido. Si un vendedor
vende x artículos en un mes, ¿cuál de las siguientes funciones
representa el sueldo S(x), que le paga la empresa, en pesos?
A) S(x) $ 180.000x $ 5.000
B) S(x) $ 5.000x $ 180.000
C) S(x) $ 185.000 x
D) S(x) $ 185.000 x
E) S(x) $ 5.000 x 180.000
EJEMPLO PSU-48.
f(x) x 1 x 2 x 2
Si
entonces para
1 x 2 la función f(x) es igual a
A) 3x – 1
B) 3x + 5
C) x + 3
D) x + 1
E) x - 1
EJEMPLO PSU-49. Sea la función f(x) = x 2 3x 4 y g(x)= x 4
I)
II)
III)
f(0) g(0)= 0
f(x) = g(x) (x+1)
g(3) + g(1) = - 7
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
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148
EJEMPLO PSU-50. ¿Cuál de las siguientes funciones representa mejor
a la parábola de la figura
y
2
A) f(x) = (x 2)2
B) g(x) = x 2 4
C) h(x) (x 2)2
D) m(x) (2 x)2
E) n(x) (x 2)2
x
4
EJEMPLO PSU-51.
Dadas las funciones
f(x) x2 ,
g(x)
1 2
x
3
y
h(x) 3x 2 . ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta?
1
1
1
A) f g h
3
3
3
1
1
1
B) g f h
3
3
3
1
1
1
C) f h g
3
3
3
1
1
1
D) g h f
3
3
3
1
1
1
E) f g h
3
3
3
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149
XI. ANGULOS:
Clasificación de ángulos
Según su medida, un ángulo puede ser:
DEFINICIÓN
Ángulo Agudo: su medida es menor
que 90°
AOB α 90º
DEFINICIÓN
Ángulo Recto: su medida es 90°, es decir,
mide la cuarta parte del ángulo completo.
Se
dice
que
sus
lados
son
“perpendiculares” ()
BOC 90
DEFINICIÓN
Ángulo Obtuso: Su medida es mayor que
90° y menor que 180°
90 AOB 180
DEFINICIÓN
Ángulo Extendido: Su medida es 180°
BAC 180
Ángulos en el plano
DEFINICIÓN
Ángulos adyacentes: dos ángulos son
adyacentes si y solo si tienen en común el
vértice y un lado, y sus interiores no se
intersectan.
Ángulo BAC adyacente al ángulo CAD
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150
DEFINICIÓN
Ángulos complementarios: dos ángulos
son complementarios si la suma de sus
medidas es 90°.”Complemento” de un
ángulo es la medida del ángulo que le falta
para completar
1
de giro (90°).
4
α β 90 , complemento de α 90 α
DEFINICIÓN
Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son
suplementarios si la suma de sus medidas
es 180°. “suplemento” de un ángulo es la
medida del ángulo que le falta para
completar
1
de giro. (180°)
2
α β 180
Suplemento de α 180 α
Así entonces, podemos tener:
a) ángulos adyacentes complementarios
α β 90
b) ángulos adyacentes suplementarios:
α β 180
DEFINICIÓN
Ángulos opuestos por el vértice: son dos
ángulos cuyos lados forman dos pares de
rayos opuestos.
Propiedad: ángulos opuestos por el vértice
tienen igual medida ( son congruentes)
αβ
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y
γδ
151
Ángulos entre paralelas y una transversal
Si dos rectas paralelas se cortan por otra recta
transversal, se determinan 8 ángulos; entre los cuales
hay parejas que cumplen propiedades importantes
Opuestos por el vértice .Son congruentes.
1 3
2 4
6 8
5 7
Ángulos Correspondientes.
Al trasladar L1 paralelamente hasta hacerla coincidir con
L2, se superponen ciertos ángulos, éstos reciben el
nombre de correspondientes, y obviamente son
congruentes.
1 5
2 6
3 7
4 8
Ángulos alternos internos.
Son los que están entre las paralelas y a distinto lado de
la transversal. Los ángulos alternos internos son
congruentes.
∡3 ∡5
∡ 4 ∡ 6
Ángulos alternos externos
Son los que están en el exterior de las paralelas y a
distinto lado de la transversal. Los ángulos alternos
externos son congruentes.
1 7
2 8
Observación: los recíprocos de las propiedades anteriores también se cumplen.
Observación: Sea L1 // L2, entonces:
(1) α β si :
(2) 180
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152
Observación: T1 y T2 transversales, entonces se cumple: ε α β
Observaciones:
(a) Bisectriz de un ángulo: Es el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igual
medida (congruentes)
α β
(b) Rectas Perpendiculares: Son dos rectas que al cortarse forman un ángulo cuya medida
es de 90º
L1 L 2
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153
TRIÁNGULO
DEFINICIÓN
Un
triángulo
lo
podemos
entender como la unión de tres
segmentos determinados por tres
puntos no colineales. Estos tres
puntos se denominan vértices, y
los
segmentos,
lados
del
triángulo; además, se determinan
tres ángulos, cuyos lados son los
lados del triángulo, y se
denominan ángulos interiores
del triángulo
Se
acostumbra
usar letras
minúsculas para los lados, de
acuerdo al vértice al que se
Teorema fundamental: “En todo triángulo, la suma
oponen.
de las medidas de los ángulos interiores es 180°”
α β γ 180
DEFINICIÓN
Ángulo Exterior
Se llama ángulo exterior de un
triángulo, al ángulo formado por
un lado del triángulo y la
prolongación de otro.
α' ; β' ; γ' ángulos exteriores
Propiedades
(1) La medida de un ángulo
exterior es igual a la suma de las
medidas de los ángulos interiores
no adyacentes
α' β γ
β' α γ
γ' α β
(2) La suma de las medidas de los
ángulos exteriores de un triángulo
es 360°
α'β' γ' 360
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154
Clasificación de los triángulos
Los triángulos los podemos clasificar según la medida de sus lados y de sus
ángulos
Según la medida de sus ángulos
Acutángulo: es aquel que tiene sus tres
ángulos interiores agudos
Rectángulo: es aquel que tiene un ángulo
recto. Los otros dos ángulos interiores son
agudos y complementarios.
Los lados que forman el ángulo recto se
denominan “catetos” y el lado opuesto al
ángulo recto “hipotenusa”
Obtusángulo: es aquel que tiene un ángulo
interior obtuso
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155
Según la medida de sus lados
Equilátero:
tiene
sus
tres
lados
congruentes; por lo tanto, sus tres ángulos
interiores también lo son, y como la suma
de sus medidas es 180°, cada uno mide 60°
Isósceles: es aquel que tiene dos lados
congruentes, llamados “lados”, y el tercero
se llama “base”
Se puede demostrar que los ángulos
opuestos a los “lados” son también
congruentes. A estos ángulos se les llama
“ángulos basales”
Escaleno: es aquel cuyos tres lados tienen
distinta medida, y por ende, sus ángulos
también
ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO
Se denominan “Elementos Primarios” del triángulo a sus lados y ángulos.
Los “Elementos secundarios” del triángulo son los llamados “Puntos Notables”
y “Rectas notables”
Rectas Notables: Se llaman así a las transversales de gravedad, alturas,
bisectrices, simetrales y medianas.
Puntos notables: Son los puntos que surgen de la intersección de un mismo
tipo de rectas notables, ellos son: el centro de gravedad (Baricentro), el
ortocentro, el incentro y el circuncentro.
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156
DEFINICIÓN
1. Transversal de gravedad.Es la recta que une un vértice, con el punto
medio del lado opuesto. Se denominan ta, tb,
tc, donde el subíndice indica el vértice por el
cual pasa. Las tres
transversales de
gravedad se intersectan en un mismo punto
llamado Centro de Gravedad ( o baricentro)
D,E, F : Puntos m edios de los
lados
AD t a ; BE t b ; CF t c
t a t b t c {G}
G : Centro de Gravedad ( o
Baricentro)
AG BG CG 2
GD GE GF 1
Propiedad: El baricentro divide a cada
transversal de gravedad en dos segmentos
que están en la razón 2: 1. El segmento que
va desde el vértice al Baricentro mide el
doble que el segmento que va del Baricentro
al lado
DEFINICIÓN
2.- Altura.
Es la perpendicular bajada desde un vértice
al lado opuesto. Se denominan ha , hb , hc ;
donde el subíndice indica el vértice por el
cual pasa. Las tres alturas se intersectan en
un mismo punto llamado Ortocentro.
AE BC ; BF AC ; CD AB
AE h a ; BF h b ; CD h c
h a h b h c H
H : Ortocentro
Propiedad: Las alturas de un triángulo son
inversamente proporcionales a los lados
a ha b hb c hc k
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157
Observaciones:
∗ En un triángulo obtusángulo el ortocentro queda en el exterior del triángulo
∗ En un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto,
puesto que los catetos se confunden con las alturas.
DEFINICIÓN
3.- Bisectriz.Es la recta que pasa por un vértice y divide
al ángulo en dos ángulos congruentes. Se
denominan: b α ; b β ; b γ ; donde el subíndice
indica el ángulo que dimidia. Las tres
bisectrices se intersectan en un mismo
punto
llamado
Incentro,
el
cual
corresponde al centro de la circunferencia
inscrita al triángulo, es decir, el incentro
equidista de los lados del triángulo. El
radio de esta circunferencia se designa por
la letra griega “ ”.
AF bα ; BG bβ ; CE bγ
b α bβ b γ I
I:Ince ntro
P, Q, R :Puntos de tange ncia
AE
AC
;
EB
CB
FB
AB
;
FC
AC
CG BC
GA
BA
Propiedad: Las bisectrices dividen al lado
opuesto en la razón de las medidas de los
lados que forman el ángulo
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158
Observaciones:
∗ En general, los puntos de tangencia de los lados con la circunferencia inscrita al
triángulo no coinciden con los pies de las bisectrices
∗ Si se dibujan las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo, se
determinan tres puntos que equidistan de los lados del triángulo. Dichos puntos
son los “Excentros” o centros de las circunferencias exinscritas al triángulo.
DEFINICIÓN
4.- Simetral
Es la recta perpendicular a un lado del
triángulo, en su punto medio. Las
simetrales se designan por: Sa , Sb , Sc ,
donde el subíndice indica el lado al cual es
perpendicular.
El punto de intersección de las simetrales se
denomina Circuncentro y corresponde al
centro de la circunferencia circunscrita al
triángulo, es decir, el circuncentro es un
punto que equidista de los tres vértices del
triángulo. Su radio se designa por “r”
O D Sa
; O F Sb ; O E Sc
Sa Sb Sc O
O:Circuncentro
Observación: En general, las simetrales no
pasan por los vértices del triángulo.
DEFINICIÓN
5.- Mediana
Es el segmento de recta que une los
puntos medios de dos lados del
triángulo
P, Q, R : Puntos medios de los lados
PQ,
QR , RP
: Medianas
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159
Propiedades:
La mediana es paralela al tercer lado:
RP //AB ; QR //AC ; PQ //BC
La mediana mide la mitad del lado al cual es paralela:
AB 2PR ; BC 2PQ;
AC 2QR
Cuando se dibujan las tres medianas de un triángulo, se forman cuatro triángulos
congruentes
Nota: En general, las cuatro primeras rectas notables no coinciden, excepto en los
triángulos equiláteros e isósceles.
Observación: TRIÁNGULO EQUILÁTERO
PROPIEDADES
(1) AB BC CA a
( 2 ) ángulos iguales a 60 cada uno ,
α 60
(3) Las transversales de gravedad, alturas
y bisectrices son una misma recta
ta tb tc ha hb hc bα bβ bγ
( 4 ) AM MB M ; punto medio
lado 3 a
3
2
2
(lado) 2 3 a 2
(6 ) Área
3
4
4
(7 ) Radio de la circunfere ncia inscrita
( 5) Altura
lado 3 a 3
6
6
(8) Radio de la circunfere ncia circunscrita
lado 3 a 3
3
3
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160
TRIÁNGULO ISÓSCELES
PROPIEDADES
(1) AC BC ; AB base
( 2 ) α 1 α 2 ángulos basales
( 3) β ángulo del vértice
(4) La altura, bisectriz, simetral y
transversal trazadas desde el vértice del
ángulo distinto o trazadas a la base son
una misma recta. Para los otros vértices
y lados no ocurre lo Mismo hc = tc =
b= CM
La bisectriz de un ángulo interior del triángulo divide interiormente el lado
opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados
del correspondiente ángulo del triángulo
u a
v b
o bien
v b
u a
La bisectriz de un ángulo exterior divide exteriormente el lado opuesto en dos
segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados del
correspondiente ángulo interior del triángulo.
EA
EB
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b
a
161
TEOREMA DE PITÁGORAS
“El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa
de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las
áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos”
“En todo triángulo ABC rectángulo en C se cumple que
el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos, es decir a2 b2 c 2 ”
RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
“Sea un triángulo ABC cualquiera, con lados menores a y b y lado mayor c, tales
que c2 = a2 + b2, entonces el triángulo ABC es un triángulo rectángulo”
· Tríos pitagóricos: (a – b – c)
a
3
5
8
7
20
12
b
4
12
15
24
21
35
c
5
13
17
25
29
37
TEOREMAS RELATIVOS AL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Teorema:
“Si uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 30º, entonces el lado
opuesto a dicho ángulo es igual a la mitad de la medida de la hipotenusa”
Tesis: BC
AB
2
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162
Teorema:
“En un triángulo rectángulo la medida de la transversal de gravedad
correspondiente a la hipotenusa, es igual a la mitad de la medida de dicha
hipotenusa”
Tesis: BM
AC
2
Corolario:
“En un triángulo rectángulo, el circuncentro coincide con el punto medio de la
hipotenusa”
Nota: Un triángulo rectángulo queda determinado por solo dos datos: la medida
de un lado y la de uno de sus ángulos agudos o la medida de dos lados. El otro
dato es propio de su condición de triángulo rectángulo (ángulo de 90º)
CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA A UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Sabemos que la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la
mitad del arco que abarcan sus lados. Por esta razón, si el triángulo es rectángulo,
el arco que abarcan los dos catetos es de 180º
Por tanto, se cumplirá:
a. La hipotenusa es el diámetro de la circunferencia.
b. El triángulo rectángulo de mayor área cuya hipotenusa mide c es el isósceles de
base c.
c. La mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa.
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163
TEOREMAS DE EUCLIDES
El triángulo de la figura es rectángulo en C
y CD es altura.
a y b: catetos
c: hipotenusa
p y q: proyecciones de los catetos a y b,
respectivamente.
Los triángulos ACB, ADC y CDB son
semejantes.
Referente a la altura: En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a
la hipotenusa es media proporcional geométrica entre las proyecciones de los
catetos sobre la hipotenusa.
h 2c p q
Referente a los catetos: En todo triángulo rectángulo cada cateto es media
proporcional
Geométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la
hipotenusa.
a2 p c
b2 q c
hc
ab
c
Clasificación angular de un triángulo conocidas las medidas de sus lados
ACUTÁNGULO
RECTÁNGULO
c2 a2 b2
OBTUSÁNGULO
c2 a2 b2
c2 a2 b2
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164
OBSERVACIÓN:
“En todo triángulo rectángulo, el radio de la circunferencia inscrita en él, es igual al
cociente entre el producto de los catetos y el perímetro del triángulo”
ρ
s
ab
abc
abc
; s : semiperímetro
2
PROPIEDAD DE LA ALTURA CORRESPONDIENTE A LA HIPOTENUSA
En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa
determina dos triángulos semejantes entre sí y semejantes al triángulo inicial
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165
EJEMPLO PSU-1: En el triángulo ABC rectángulo en C, BC = 5 cm y
BD = 4 cm. La medida del segmento AD es:
3
2
9
B)
4
3
C)
4
D) 4
A)
cm
cm
cm
cm
E) 9 cm
EJEMPLO PSU-2: En la figura, si ABC y BDF son triángulos equiláteros
y BFEC es un rombo, entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes
es(son) verdadera(s) ?
I) x = z
II) x + y = EBD
III) x + y – z = 60°
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-3: Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus
alturas, entonces se forman dos triángulos
A) isósceles rectángulos congruentes.
B) acutángulos escalenos congruentes.
C) acutángulos congruentes.
D) escalenos rectángulos congruentes.
E) equiláteros congruentes.
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166
EJEMPLO PSU-4: Si sobre el tercio central de uno de los lados del
triángulo equilátero ABC se construye otro triángulo equilátero, como se
muestra en la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) El área del Δ DEF es la sexta parte del área del Δ ABC.
II) El lado FE es paralelo al lado AB .
III) El lado FE es perpendicular al lado AC .
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
EJEMPLO PSU-5: En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18 cm
de perímetro y DBEC es un rectángulo. El área de la región achurada es:
A) 9 cm2
B) 9 3 cm2
C) 9 5 cm2
9
5 cm2
2
9
E)
3 cm2
2
D)
EJEMPLO PSU-6: En la figura, si el Δ ABC es rectángulo en C y
AC BC = 2 6 , entonces CD es
A) 2
3
B) 2 6
C) 3
D) 6
E) 12
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167
EJEMPLO PSU-7: Si en el triángulo ABC de la figura, CE = 3 cm y
BE = 12 cm, entonces la medida de CD es:
A) 6 cm
B) 3 5 cm
C) 3 2 cm
D) 9 cm
E) Indeterminable con los datos dados
EJEMPLO PSU-8: ¿Qué pasa con el área de un triángulo si su altura se
divide por dos y se mantiene su base?
A) Se reduce en media unidad cuadrada
B) Se reduce a la mitad
C) Se reduce a la cuarta parte
D) Se reduce en un cuarto de unidad cuadrada
E) Falta información para decir que ocurre con el
EJEMPLO PSU-9: En la figura, el D ABC es rectángulo en C. D y E son
puntos que dividen a BC en tres segmentos iguales. Si B' C'//BC ,
área AB' D'
AC = 12, AC' = 4 y B' C' = 3, entonces
áreaACE
A)
B)
C)
D)
E)
1
18
1
3
1
4
1
6
1
9
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168
EJEMPLO PSU-10: En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C. Si
p 4
y p + q = 10, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
q 1
es(son) verdadera(s)
I) a + b = 6 5
II) h = 4
III) El área del triángulo ABC = 20
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-11: Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo
isósceles aumenta su largo en un 20% y el otro disminuye en el mismo
porcentaje, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para el
área del triángulo rectángulo resultante, respecto del área original?
A) Se mantiene igual
B) Aumenta en un 4%
C) Disminuye en un 4%
D) Aumenta al doble
E) Disminuye a la mitad
EJEMPLO PSU-12: El perímetro del triángulo isósceles de la figura es
2s. Si uno de sus lados iguales mide a, entonces la base c mide:
sa
2
2s a
B)
2
C) s a
A)
D) 2s a
E) 2(s a)
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169
EJEMPLO PSU-13: ¿Cuánto mide el ángulo x en el triángulo ABC de la
figura?
A) 32º
B) 39º
C) 45º
D) 52º
E) No se puede determinar, faltan datos
EJEMPLO PSU-14: El triángulo ABC es rectángulo en C. CD es
perpendicular a AB . AD = 9 y DB = 4 ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) CD 6
II) AC 117
III) BC 52
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-15: Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 0,25
1
cm y
cm, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
3
verdadera(s)?
5
I) Su hipotenusa es igual a del cateto menor.
3
5
II) El área del triángulo es
cm2
12
III) Su perímetro es igual a 1 cm.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
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170
c
EJEMPLO PSU-16: En la figura, el ABC es rectángulo en C y hc = .
2
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) (p + q)2 = 4pq
p
q
ó p
II) q
2
2
III) El ABC es isósceles.
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-17. En un triángulo rectángulo de catetos 3 y 6 cm,
¿Cuál es la razón entre las longitudes de las proyecciones de las alturas
correspondientes de los catetos?
A) 1 : 2
B) 1 : 4
C) 3 : 45
D) 1 : 6
E) No se puede det er min ar
EJEMPLO PSU-18. Las medidas de los lados de un triángulo son a, b y
c, donde c es el lado mayor. Para que el triángulo sea rectángulo debe
ocurrir que
A) a b y c 2a
B) c a b
C) a c2 b2
D) (a b)2 c2
E) c a b
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171
XIII. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS:
DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus
vértices, de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean
congruentes.
AB PQ
AC PR
C B R Q
ΔABC ΔPQ R
A P
B Q
C R
POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y
los dos ángulos adyacentes a ese lado.
LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo
comprendido entre ellos respectivamente iguales.
LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente
iguales.
LLA >: Dos triángulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ángulo opuesto
al mayor de esos lados respectivamente iguales.
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172
EJEMPLO PSU-1: En la figura, PQRS es un paralelogramo y las
diagonales SQ y PR se intersectan en T. ¿Cuál(es) de las siguientes
congruencias es(son) siempre verdadera(s)?
I) PTS STR
II) PTS RTQ
III) PSR RQP
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-2: En la figura, Δ PTR y Δ SVQ son congruentes.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre
verdadera(s)?
I) TR // VQ
II) PT // SV
III) RQV RPT
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-3: El triángulo ABC de la figura es isósceles de base AB .
Si P, Q y R son puntos medios de sus lados respectivos, entonces
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Los triángulos AQP y PRC son congruentes
II) Los triángulos QBP y RPB son congruentes
III) El área del triángulo QBP es la cuarta parte del área del
triángulo ABC
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
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173
EJEMPLO PSU-4: El triángulo ABC es isósceles de base AB . La
circunferencia de centro C y radio r interfecta a los lados del triángulo
en D y E. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es(son)
verdadera(s)?
I) Δ ABE Δ ABE
II) Δ BEC Δ ADC
III) Δ ABD Δ ADC
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-5: En la figura ABC BAD
I) AEC ADB
II) AEC BED
III) AC DB
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-6: En la figura, los triángulos ABC y DAE son isósceles
congruentes de bases BC y AE , respectivamente. Si ∡BAC = 36º,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) ∡ DAC ∡ CAB
II) ABC ACD
III) AEP DCP
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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174
EJEMPLO PSU-7: Si el triángulo ABC de la figura es equilátero de lado
2 y AD DB , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) ADC BDC
II) ∡ ACD = 30º
3
III) CD
2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos con
congruentes
II) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son
congruentes
III) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus catetos
homólogos son congruentes
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-9. En la figura el ABC ABD . ¿Cuál de las siguientes
aseveraciones es (son) verdadera(s):
I) Es posible inscribir el cuadrilátero ADBC en una circunferencia
II) ∡ CAB = ∡ DBA
III) ∡ CBD = 90º
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) II y III
E) I, II y III
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175
EJEMPLO PSU-10.
En la figura, el triángulo ABC es equilátero y AD
es bisectriz del ángulo CAB. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
I) El ángulo CDA mide 90º
II) AD es eje de simetría del triángulo ABC
III) Los triángulos ADC y ADB son congruentes
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-11. Si en la figura, DA BA , CB AB y α β ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) CB DA
II) DB AC
III) OA OB
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
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176
XIV. SEMEJANZA DE TRIANGULOS:
DEFINICIÓN:
Dos polígonos de un mismo número de lados se dirán semejantes, cuando los
ángulos del uno sean respectivamente iguales con los ángulos del otro y cuando,
además, tengan sus lados homólogos proporcionales
∡A∡P
∡B∡Q
AB
∡ C ∡ R
PQ
∡D∡S
BC
QR
CD
RS
DE
ST
∡E∡T
Observación: Esta definición de semejanza encierra la idea de similitud de forma;
es decir, dos polígonos son semejantes, sí y solo si, tienen la “misma forma”. Así,
por ejemplo;
(1) todos los cuadrados son semejantes entre sí
(2) todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí
(3) todos los pentágonos regulares son semejantes entre sí
En general, todos los polígonos regulares de un mismo número de lados son
semejantes entre sí; e incluso podemos extender esta definición y decir también
que todas las circunferencias son semejantes entre si.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
El hecho que todo polígono, de más de tres lados, admita descomposición en
triángulos, motivó en los geómetras una especial atención por estas elementales
figuras
ΔABC ΔPQR si y solo si :
A P; B Q ; C R
y
AB
PQ
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BC
QR
CA
RP
177
EA
TP
TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Los geómetras griegos de la antigüedad, notaron que para establecer la semejanza
entre dos triángulos no era necesario verificar cada una de las seis condiciones
expuestas anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellas provocaba
necesariamente la ocurrencia de los otros restantes.
* TEOREMA FUNDAMENTAL
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que los
ángulos de uno sean iguales a los ángulos del otro
Corolario: Toda paralela a un lado de un triángulo,
determina un triángulo semejante al primero
Si DE // AB , entonces CDE ~ CAB
Los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos
son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las
condiciones que le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son
congruentes y los tres pares de lados homólogos proporcionales.
TEOREMA AA (O CRITERIO AA DE SEMEJANZA)
Dos triángulos
semejantes
que
tienen
Hipótesis: ∡ A ∡ D y
Tesis
ABC DEF
dos
ángulos
respectivamente
congruentes
son
∡C∡F
Nota: Ten presente que si un triángulo es semejante a otro y este último es
congruente con un tercero, el primero y el tercero son semejantes.
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178
TEOREMA LAL (O CRITERIO LAL DE SEMEJANZA)
Si en dos triángulos las medidas de dos pares de lados son proporcionales y los
ángulos comprendidos entre esos lados son congruentes, entonces los triángulos
son semejantes.
CA
CB
C C'
C' A' C' B'
∆ ABC ~ ∆ A’B’C’
TEOREMA LLL (o criterio LLL de semejanza)
Si las medidas de los tres pares de lados de dos triángulos son proporcionales,
entonces los triángulos son semejantes.
AB
BC
CA
A' B' B' C' C' A'
∆ ABC ~ ∆ A’B’C’
Nota: Como criterios de semejanza de
triángulos tenemos el teorema AA y los
teoremas LAL y LLL
Nota: los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos
triángulos son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas
las condiciones que le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son
congruentes y los tres pares de lados homólogos, proporcionales.
Nota: Se llaman figuras equivalentes a aquellas que poseen igual área
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Dos triángulos rectángulos siempre tienen un ángulo congruente entre ellos: el de
90°. Por lo tanto, se tiene dada, de antemano, una condición para que sean
semejantes. Entonces, a partir del teorema de semejanza AA (para cualquier
triángulo), se deduce:
a. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo
congruente.
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179
b. Dos triángulos rectángulos
respectivamente proporcionales
son
semejantes
si
tienen
los
catetos
c. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen las medidas de la
hipotenusa y de un cateto respectivamente proporcional.
RAZÓN ENTRE LAS ALTURAS DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Si dos triángulos son semejantes, entonces sus alturas correspondientes son
proporcionales a los lados respectivos.
Sea ABC A’B’C’. Por el postulado AA se tiene que ADC A’D’C’. De esa
CD
AC
semejanza se deduce que:
C 'D' A' C '
En general, esto se puede demostrar para todos los elementos secundarios
homólogos de dos triángulos semejantes.
h a t c bα
.................. λ
h'a t' c b'α
RAZÓN DE LOS PERÍMETROS DE DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Los perímetros de triángulos semejantes están en la misma razón que dos trazos
homólogos cualesquiera
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180
perímetro ΔABC
h
b
c a ....................................
perímetro ΔA' B' C' h c' b a'
RAZÓN DE LAS ÁREAS DE DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de
la razón en que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera
2
2
h
área ΔABC b a
c ..........................
área ΔA' B' C' b a'
h c'
Al comparar por cuociente las medidas de dos segmentos expresados en la
misma unidad, se establece una razón entre estas medidas.
Nota: MN es el segmento.
MN es la medida de MN
La razón entre dos segmentos, es decir, entre sus medidas, es un número real
positivo. Dicho número puede ser racional o irracional.
Si la razón entre dos segmentos es un número racional, diremos que lo
segmentos son conmensurables entre sí.
Si la razón entre dos segmentos es un número irracional, diremos que
esos segmentos son inconmensurables entre sí.
Nota: los lados de un polígono se dicen homólogos si están comprendidos entre
dos ángulos respectivamente congruentes.
Todos los polígonos regulares de igual número de lados son semejantes
(todos los triángulos equiláteros son semejantes)
Dados dos polígonos semejantes, aun cuando no sean regulares, se cumple
que sus perímetros están en la razón que hay entre cualquier par de lados
homólogos.
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181
Perímetro polígono ABCDE = P = a + b + c + d +e
Perímetro polígono A’B’C’D’E’ = a’ + b’ + c’ + d’ + e’
P a P b
P e
;
;.............;
P' a' P' b'
P' e'
EJEMPLO PSU-1: ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el triángulo P
es semejante con el triángulo Q?
A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en I y en II
D) Sólo en II y en III
E) En I, en II y en III
EJEMPLO PSU-2: Una torre de TV proyecta una sombra que mide 150
metros de longitud. A 148,8 metros del pie de la torre y en la misma
dirección que se proyecta la sombra, se encuentra un poste que mide
1,6 metros de altura. Sabiendo que los puntos extremos de la sombra
que proyectan la torre y el poste coinciden, ¿qué altura tiene la torre?
A) 200 metros
B) 198,4 metros
C) 113,2 metros
D) 112,5 metros
E) 110 metros
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182
EJEMPLO PSU-3: ¿Qué significa que dos triángulos sean semejantes?
A) Que tienen igual área
B) Que tienen igual perímetro
C) Que sus lados son proporcionales
D) Que sus tres lados respectivos coinciden
E) Que sus ángulos son proporcionales, en razón distinta de uno
EJEMPLO PSU-4: Según la figura, ¿Cuál(es) de los siguientes pares de
triángulos es(son) semejante(s)?
I) ACD y BCE
II) BEC y AEB
III) ACD y CAB
A) Sólo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-5: En la figura, ¿cuál(es) de los siguientes triángulos
es(son) semejantes
I) ABE AFD
II) FEC BDC
III) CFE ABE
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
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EJEMPLO PSU-6: ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes
entre sí?
A) Solo I y II
B) Solo I y III
C) Solo II y III
D) I, II y III
E) Ninguno de ellos son semejantes entre si
EJEMPLO PSU-7: En la figura se representa un poste y una niña. Si la
niña tiene una altura de 1 metro, y las sombras del poste y de la niña
miden 7 metros y 50 centímetros, respectivamente, ¿cuál es la altura
del poste?
A) 3,5 metros
B) 7,1 metros
C) 14 metros
D) 35 metros
E) No se puede determinar
EJEMPLO PSU-8: En la figura, el triángulo ABC es semejante con el
triángulo DEC. Si CM = 5, AB = 21 y CN = 15, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) CN : AB CM : ED
35
II) Área ΔEDC
2
III)
Área ΔEDC
Área ΔABC
1
9
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
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184
EJEMPLO PSU-9: En relación a la figura, la razón
A)
B)
C)
D)
E)
AN
NM
es equivalente a:
BC
AB
AB
BC
AC
BC
AN
NC
AM
AC
EJEMPLO PSU-10: Una torre de dos pisos proyecta una sombra de
20 m; si el primer piso tiene una altura de 15 m y el segundo piso una
altura de 10 m, ¿cuánto mide la sombra proyectada por el segundo
piso?
A) 8 m
B) 10 m
C) 15 m
40
D)
m
3
E) No se puede determinar
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185
EJEMPLO PSU-11. ¿Cuál de los siguientes triángulos son semejantes al
de la figura?
A) Solo I
B) Solo II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-12. ¿Cuál de las siguientes es FALSA?
A) Todos los triángulos equiláteros son semejantes
B) Todos los cuadrados son semejantes
C) Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes
D) Todos los círculos son semejantes
E) Todos los triángulos isósceles son semejantes
EJEMPLO PSU-13.
verdadera(s)?
¿Cuál(es)
de
estas
semejanzas
es
(son)
I) T1 T2
II) T1 T3
III) T2 T4
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
T4
T3
T1
T2
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186
XV. CUADRILATEROS:
Los ángulos interiores suman 360º
Los ángulos exteriores suman 360º
Clasificación según par de lados opuestos paralelos:
> Paralelogramos (2 pares)
> Trapecios (1 par)
> Trapezoides (ningún par)
A. PARALELOGRAMOS:
Tienen 2 pares de lados opuestos paralelos.
Cuadrado – Rectángulo – Rombo – Romboide
1. CUADRADO:
4 ángulos interiores rectos
4 lados iguales
Lados opuestos paralelos
Las diagonales son iguales y son perpendiculares
Las diagonales se dimidian (÷ en partes iguales)
Las diagonales bisectan los ángulos
Se puede inscribir una circunferencia
Se puede circunscribir una circunferencia
d= a 2
p = 4a
A = a2
C
D
d1
d2
A
B
a
C
D
2. RECTANGULO:
4 ángulos interiores rectos
Lados opuestos de igual medida
Lados opuestos paralelos
Las diagonales son iguales y se dimidian
Se puede circunscribir una circunferencia
p = 2a + 2b
A = ab
d1
b
d2
A
3. ROMBO:
4 lados iguales
Lados opuestos paralelos
Ángulos opuestos iguales
Ángulos contiguos suplementarios
Las diagonales son perpendiculares
Las diagonales se dimidian y bisectan los ángulos
Se puede inscribir una circunferencia
p = 4a
ef
A = a · h // A =
2
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Prof. Matemática y Física
B
a
C
D
d2
d1
h
e
A
f
a
B
187
4. ROMBOIDE:
Lados opuestos de igual medida
Lados opuestos paralelos
Ángulos opuestos iguales
Ángulos contiguos suplementarios
Las diagonales se dimidian
p = 2a + 2b
A=a·h
D
C
d1
h
b
d2
A
B
a
B. TRAPECIOS:
Tienen 1 par de lados opuestos paralelos llamados basales.
Trapecio Escaleno – Trapecio Isósceles – Trapecio Rectángulo
1. TRAPECIO ESCALENO:
Lados no paralelos no son
congruentes.
AB//CD
α + δ = 180º
β + γ = 180º
p=a+b+c+d
A = MN · h / A =
MN
b
D
c
γ
δ
C
M
d
N
h
α
β
A
B
a
(a b)
h
2
ab
2
2. TRAPECIO ISOSCELES:
Lados no paralelos son iguales ( AD BC )
AB//CD
Las diagonales son iguales
Ángulos contiguos suplementarios
α=β
γ=δ
p = a + b + 2c
D
b
δ
d1
γ
c
d
M
α
C
N
d2
h
A
β
a
(a b)
h
A = MN · h / A =
2
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188
B
3. TRAPECIO RECTANGULO:
Uno de sus lados no paralelos es
perpendicular a las bases.
AB es perpendicular a AD
DA es perpendicular a DC
AB//CD
c = h = altura
Ángulos en A y D son rectos
β + γ = 180º
p=a+b+c+d
A = MN · h / A =
b
D
γ
c
M
d
N
h
β
A
B
a
(a b)
h
2
4. MEDIANA DE UN TRAPECIO:
Segmento que une los puntos medios de los lados no
paralelos.
Es paralela a las bases.
MN
C
D
C
M
AB DC
2
N
A
B
D
C. TRAPEZOIDES:
No tienen lados opuestos paralelos.
δ
b
γ C
c
d
α
β
A
D. PROPIEDADES DE OTROS CUADRILATEROS:
D
En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los
ángulos opuestos son suplementarios.
(α + γ = β + δ = 180º)
δ
α
A
D
γ
β
C
B
c
C
d
b
A
B
a
a
En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las
sumas de cada par de lados opuestos son iguales entre sí.
(a + c = b + d)
B
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189
EJEMPLO PSU-1: En la figura, AD = 3, DC = 4 y CB = 1. El área del
cuadrilátero ABCD es:
A) 6 2 6
B) 6 6
C) 12 2 6
D) 12 6
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-2: En la figura, ABCD es un rectángulo y FCGI es un
cuadrado.
¿Cuál(es)
de
las
siguientes
afirmaciones
es(son)
verdadera(s)?
I) El área de FCGI es 12
II) El área de EBFI es 6
III) El área de AEIH es 3
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-3: Los vértices de una figura son: A(2, 0); B(0, 2);
C(−2, 0) y D(0, −2). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s) ?
I) El perímetro de la figura es 8 2 .
II) Cada diagonal mide 4.
III) El área de la figura es 4 2 .
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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190
EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál de las afirmaciones es correcta para todos los
paralelogramos?
A) Si sus ángulos son rectos es un cuadrado.
B) Los ángulos consecutivos son complementarios.
C) Las diagonales son bisectrices.
D) Los ángulos opuestos son congruentes.
E) Los ángulos opuestos son suplementarios.
EJEMPLO PSU-5: El cuadrado ABCD de lado a se ha dividido en 9
cuadrados congruentes entre sí, como se muestra en la figura. El área
del cuadrado PQRS es
A)
B)
C)
D)
E)
4a2
9
5a2
3
3a2
4
5a2
9
8a2
9
EJERCICIO PSU-6: En el plano de la figura, se muestra el polígono
ABCD, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) El perímetro del polígono es 8 2 .
II) Cada diagonal del polígono mide 4.
III) El área del polígono es 4 2 .
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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191
EJEMPLO PSU-7: En la figura, ABCD es un rectángulo que se ha
dividido en seis cuadrados congruentes. Si los arcos corresponden a
cuartos de círculo, entonces
¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?
I) La suma de las áreas sombreadas es igual al área de un círculo de
1
radio BC
2
II) La suma de los perímetros de las áreas sombreadas es igual al
1
perímetro de una circunferencia de radio
AB
3
III) La suma de los perímetros de las regiones sombreadas es mayor
que el perímetro de ABCD.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III
EJEMPLO PSU-8: Dado el cuadrado ABCD de lado k en la figura, donde
PC 3PB , QD 2QC y M es el punto de intersección de DP y AQ ,
entonces el área del ∆ DMQ es
A)
B)
C)
D)
E)
k2
9
k2
3
4k 2
9
2k 2
9
2
k
6
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192
EJEMPLO PSU-9: En la figura, dadas las dimensiones del rectángulo
ABCD, entonces la medida del lado BE en el rectángulo DBEF mide
A)
B)
C)
D)
5
2
1
5
2
5
3
2
5
E) 1
EJEMPLO PSU-10: En la figura, ABCD es un rectángulo en el cual
BC = 8 cm. Los triángulos son todos equiláteros y congruentes entre sí.
El perímetro de la región sombreada es
A) 42 cm
B) 46 cm
C) 48 cm
D) 50 cm
E) 56 cm
EJEMPLO PSU-11: El largo de una piscina rectangular es el doble de su
ancho. Se construyó una cerca, rodeándola, separada un metro de sus
bordes. Si el área cercada es de 40 m2, ¿cuál es el largo de la piscina de
la figura?
A) 3 m
B) 6 m
C) 12 m
D) 80 m
3 165
m
E)
2
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193
EJEMPLO PSU-12: En el triángulo ABC de la figura, ADEF es un rombo,
AF FC y mide 60º, entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes
es(son) verdadera(s)?
I) FE FC
AB
2
III) AB BC
II) FE
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-13: La figura está formada por 6 cuadrados congruentes
de 30 cm de lado cada uno. El área de la región achurada mide
A) 50 cm2
B) 75 cm2
C) 100 cm2
D) 112,5 cm2
E) 125 cm2
EJEMPLO PSU-14: ¿Cuánto mide el perímetro del polígono de la figura
con p > q?
A) 4p + 3q
B) 4p + 4q
C) 3p + 3q
D) 3p + 2q
E) No se puede determinar
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194
EJEMPLO PSU-15: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado a, M y N
son puntos medios de los lados AD y AB , respectivamente. ¿Cuál es el
área del triángulo MAN?
a2
2
a2
B)
4
a2
C)
8
a
D)
4
a
E)
8
A)
EJEMPLO PSU-16: ABCD es un rectángulo tal que AB = 5 y BC = 4. Si
se ha dividido en cuadrados congruentes como se muestra en la figura,
¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?
I) Área de la región sombreada es 13
II) Perímetro de la región sombreada es igual al perímetro de
ABCD
III) Suma de los perímetros de las áreas no sombreadas es
mayor que el perímetro del rectángulo ABCD
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II, III
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195
EJEMPLO PSU-17: En el cuadrado ABCD de la figura T, M, L y P son
puntos medios de los lados respectivos. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) TLP TMB
II) PML LTM
III) DTA CBL
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál es la conclusión más precisa respecto al
perímetro y al área de un cuadrado cuando su lado se duplica?
A) El perímetro se duplica y el área se cuadruplica
B) El perímetro se cuadruplica y el área se duplica
C) El perímetro se duplica y el área aumenta en mayor proporción que el
perímetro
D) El perímetro se cuadruplica y el área aumenta en menor proporción
que el perímetro
E) El perímetro aumenta en mayor proporción que el área
EJEMPLO PSU-19: En la figura AQ = 1 y QC = 2, entonces ¿cuál es el
área del rectángulo ABCD?
A) 2
B) 6
C) 2 3
D) 3 3
E) 3 2
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196
EJEMPLO PSU-20: En la figura ABCD es un cuadrado. El área del
triángulo AMN es:
9
8
B) 1
C) 2
A)
D)
E)
2 3
3
3 1
EJEMPLO PSU-21: En la figura ABCD es un cuadrado de lado 3 cm y
CQ = 3 3 cm. Si P, B y Q son puntos colineales, entonces el área de la
región NO sombreada mide:
A) 6 3 cm2
B) 9 3 cm2
C) 12 3 cm2
D) 9 cm2
E) 18 cm2
EJEMPLO PSU-22: En la figura, el cuadrado se ha dividido en 5
rectángulos congruentes entre sí, y cada rectángulo tiene un perímetro
de 30 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?
A) 50 cm
B) 48 cm
C) 60 cm
D) 150 cm
E) Ninguno de los valores anteriores
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197
EJEMPLO PSU-23: Con un cordel de largo d se forma un cuadrado.
¿Cuánto mide el área del cuadrado?
a) d2
d2
2
d2
C)
4
d2
D)
8
d2
E)
16
B)
EJEMPLO PSU-24: EFGH es un rectángulo. Si AHD CFB y
DGC BEA entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) siempre verdadera(s)?
I) DCB DAB
II) DC AB
III) DCG ADG
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál es el perímetro de la figura plana formada por
4 rombos congruentes cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm?
A) 60 cm
B) 70 cm
C) 80 cm
D) 84 cm
E) 120 cm
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198
EJEMPLO PSU-26: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 10, en el
cual se ha inscrito el trapecio isósceles EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El área de EFGH es 48
II) AEH CFG
III) HJ EF
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-27: En el rectángulo ABCD de la figura, EF // AB ,
EG = 4 cm y BG = 10 cm. ¿Cuál es el perímetro del
DG = 5 cm,
trapecio ABGE?
A) 28 cm
B) 34 cm
C) 32 cm
D) 35 cm
E) 42 cm
EJEMPLO PSU-28: para cercar un terreno rectangular se necesitan 100
metros de malla. ¿Cuál es el área del terreno si el largo mide 30
metros?
A) 600 m2
B) 1.050 m2
C) 1.200 m2
D) 2.100 m2
E) 2.400 m2
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199
EJEMPLO PSU-29: Si dos circunferencias son congruentes, ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s) ?
I) Sus perímetros son iguales.
II) Sus radios son de igual longitud.
III) Sus centros son coincidentes.
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-30. Si a un rectángulo se le duplica el ancho y se le
reduce a la mitad el largo, se cumple que:
A) El área se cuadruplica
B) El área se mantiene igual
C) El área se duplica
D) El área es la mitad
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-31. ¿En cuál de estos cuadriláteros, al trazar una
diagonal, NO se forman dos triángulos congruentes?
A) Cuadrado
B) Rombo
C) Romboide
D) Rectángulo
E) Trapecio Isósceles
EJEMPLO PSU-32. La figura está formada por tres rectángulos
congruentes. ¿Cuánto mide el área de otra figura formada por 21 veces
la figura original?
A) 2055
B) 294
C) 6174
D) 2058
E) Ninguna de las anteriores
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200
EJEMPLO PSU-33. Si en la figura los triángulos ABC y EAD son
congruentes, entonces el perímetro del polígono ABCED es
A) 32 cm
B) 40 cm
C) 42 cm
D) 48 cm
E) 56 cm
EJEMPLO PSU-34. En la figura ABCD es un rectángulo. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)
I. ∆ AGD ∆ BFC
II. el área del ∆ EBF es el doble del área del ∆ AGD.
2
III. el área del trapecio ABFG corresponde a
del área del rectángulo
3
ABCD
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y II
E) I, II y III
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201
XVI. POLIGONOS:
∗ Figura plana limitada por lados rectos.
∗ De acuerdo al número de lados se clasifican en:
>
>
>
>
>
>
3
4
5
6
7
8
lados:
lados:
lados:
lados:
lados:
lados:
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono u Octógono
> 9 lados: Nonágono o Eneágono
> 10 lados: Decágono
> 11 lados: Undecágono o Endecágono
> 12 lados: Dodecágono
> 15 lados: Pentadecágono
> 20 lados: Icoságono
∗ La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: 180º(n 2)
(n = número de lados del polígono)
∗ La suma de los ángulos exteriores es 360º.
∗ Nº de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de n
lados: n-3
∗ Nº total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados:
D
n( n 3 )
2
A. POLIGONOS REGULARES:
∗ Tienen todos sus lados y sus ángulos internos iguales.
180º ( n 2 )
n
360º
ángulo exterior
n
∗ Cada ángulo interior de un polígono de n lados mide: ángulo int erior
∗ Cada ángulo exterior de un polígono de n lados mide:
∗ Se les puede inscribir y circunscribir una circunferencia.
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202
EJEMPLO
sus lados
lados son
siguientes
PSU-1: En la figura, se muestra un hexágono regular, sobre
se construyen exteriormente triángulos equiláteros, cuyos
de igual medida que el lado del hexágono. ¿Cuál(es) de las
afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) El área de la nueva figura duplica al área del hexágono.
II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del
hexágono.
III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del
hexágono.
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-2. La siguiente figura corresponde a un hexágono
regular de perímetro 36 cm. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
I) El área del hexágono es igual a 54 3 cm2
II) : 3 : 1
III) El complemento de β es 30º
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) I, II y III
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203
XVII. CIRCUNFERENCIA:
DEFINICION:
Una circunferencia, es el conjunto de todos los puntos del plano, tales que su
distancia a un punto fijo llamado centro es la misma para todos los puntos del
conjunto. Esta distancia, es a la que llamamos radio, y el segmento que une dos
puntos, pasando por el centro, se le denomina diámetro, el cual equivaldría a dos
veces el radio.
NOTA: No se debe confundir con el círculo, el cual, es la superficie compuesta por
los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ellos.
r AO (radio)
r BO (radio)
d AB (diámetro)
De lo anterior se deduce que :
AO BO 2 r
AB 2 r d
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
ANGULO CENTRAL: Su vértice se ubica en el Centro, y sus lados son dos radios
El ángulo del centro, tiene igual medida que el arco que subtiende, y viceversa.
Nota: El arco es BA, y no AB, puesto que los arcos se miden en sentido antihorario
ANGULO INSCRITO: Su vértice se ubica en la Circunferencia y sus lados son
cuerdas.
El ángulo Inscrito tiene por medida, la mitad del arco que subtiende.
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204
ANGULO INTERIOR: Es el ángulo formado por la intercepción de dos cuerdas
cualesquiera, su vértice se ubica en el interior de la circunferencia.
La medida del ángulo interior, es igual, a la semisuma de los arcos que intersecta
en la circunferencia
ANGULO EXTERIOR: Es el ángulo formado por secantes y/o tangentes, cuyo
vértice se ubica fuera de la circunferencia.
La medida del ángulo exterior, es igual, a la semidiferencia de los arcos que
intersecta en la circunferencia
ANGULO SEMINSCRITO: Su vértice se ubica en la circunferencia, pero sus lados
son una tangente y una cuerda
La medida del ángulo semi-inscrito, es congruente, a la medida del ángulo inscrito
que subtiende el mismo arco, por tanto seria la mitad del arco que subtiende
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205
Corolarios
1. Todos los Ángulos Inscritos que subtiendan un mismo arco, son congruentes.
2. Todo Angulo Inscrito en una semicircunferencia, es recto.
3. Los Ángulos Opuestos en un cuadrilátero
circunferencia, son suplementarios (suman 180°)
cualquiera,
inscrito
en
la
4. La recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia
T r
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206
5. El ángulo que forman dos rectas tangentes a una circunferencia es
suplementario con el arco menor que determinan las rectas en la circunferencia
x + = 180º
6. Dos líneas paralelas secantes a la circunferencia, la interceptan en dos arcos
congruentes
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207
EJEMPLO PSU-1: En la figura AB BC y O es centro de la
circunferencia. Si AB // DE , entonces el ángulo mide:
A) 10º
B) 40º
C) 20º
D) 70º
E) 80º
EJEMPLO PSU-2: En la figura, se tiene un semicírculo de centro O y
∡ BAC = 20°. El valor del ∡ x es
A) 20°
B) 35°
C) 40°
D) 55°
E) 70°
EJEMPLO PSU-3: En la figura, O y O1 son los centros de las
circunferencias. En el triángulo ABC, el ángulo CAB mide 22°, entonces
el valor del ángulo α es
A) 68°
B) 66°
C) 57°
D) 44°
E) ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-4: En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la
figura, la medida del ángulo x es
A) 32º
B) 26º
C) 38º
D) 52º
E) 64º
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208
EJEMPLO PSU-5: En la figura, CD es un diámetro de la circunferencia
de centro O. Si el ∡ BOD = 20° y arco AD es congruente con el arco DB,
entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I) ∡ CBO = 20°
II) ∡ CAO = ∡ AOD
III) ∡ AOD =∡ BOD
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-6: En la semicircunferencia de centro O de la figura, el
∡ BOC mide 100º. ¿Cuánto mide el ∡ AED en el triángulo isósceles AED?
A) 70º
B) 50º
C) 40º
D) 20º
E) Ninguno de los valores anteriores.
EJEMPLO PSU-7: En la figura, el ángulo del centro correspondiente al
arco PQ mide 110°. Si R es un punto cualquiera del arco PQ, el ∡ x mide
A 55°
B 70°
C 110°
D 125°
E 220°
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209
EJEMPLO PSU-8: En la circunferencia de centro O de la figura, AB es
diámetro, ∡ DOC = 60º y DB es bisectriz del ∡OBC. ¿Cuál(es) de las
siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?
I) OBC AOD
II) ACB BDA
III) AED BEC
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-9: En la figura, AB es el diámetro de la circunferencia de
centro O, ¿cuál es la medida del ángulo x?
A) 20º
B) 40º
C) 70º
D) 110º
E) 160º
EJEMPLO PSU-10: En la figura, ¿cuál es el radio de la circunferencia de
2
centro O, si la cuerda AC
y el ángulo ABC es inscrito de 45º?
2
2
A)
4
1
B)
3
1
C)
4
1
D)
2
E) 1
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210
EJEMPLO PSU-11: Si dos circunferencias son congruentes, ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) Sus perímetros son iguales
II) Sus radios son de igual longitud
III) Sus centros son coincidentes
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-12: Se tiene el triángulo ABC isósceles rectángulo en A.
Sus catetos miden 1. AD, DE y DF son radios de la semicircunferencia y
DF es perpendicular a
semicircunferencia inscrita?
A)
BC
.
¿Cuánto
vale
el
radio
de
la
2 1
B)
2
2
C)
2 1
D)
3 1
E) 2 2
EJEMPLO PSU-13: En la circunferencia de centro O de la figura, el
ángulo OCB mide 24°. ¿Cuál es la medida del ángulo AOC?
A) 12°
B) 24°
C) 48°
D) 132°
E) 156°
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211
EJEMPLO PSU-14: En la figura, PT es tangente en P a la circunferencia
circunscrita al triángulo PQR. La medida del ángulo es
A) 80º
B) 100º
C) 120º
D) 125º
E) 130º
EJEMPLO PSU-15: En la figura, los puntos A. B y C están sobre la
circunferencia de radio r y la medida del ángulo ACB es 30º. La longitud
del arco AB es:
1
r
3
1
B) r
6
2
C) r
3
1
D)
r
12
E) Ninguna de las anteriores
A)
EJEMPLO PSU-16: En la circunferencia de centro O de la figura, si
32º , entonces el valor del ángulo γ es:
A) 16º
B) 32º
C) 48º
D) 64º
E) Indeterminable
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212
EJEMPLO PSU-17: En la figura, la medida del ángulo inscrito α en la
circunferencia de centro O es:
A) 60º
B) 70º
C) 80º
D) 110º
E) 120º
EJEMPLO PSU 18: En la circunferencia de la figura. AB // DC , ¿Cuál(es)
de las siguientes relaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III) 180º
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-19: En la circunferencia de centro O, AD es diámetro y
∡ ABC =2∡DAB. La medida del ∡ ABC es:
A) 100º
B) 30º
C) 35º
D) 60º
E) 70º
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213
EJEMPLO PSU-20. Según la siguiente figura, en el triángulo ABC se
traza una semicircunferencia con diámetro AB . Entonces es verdadero
que:
A)
B)
C)
D)
E)
AR es perpendicular a BC
Δ ABC es isósceles
Δ ARC es isósceles
AR es simetral de BC
Δ ABR es equilátero
EJEMPLO PSU-21. ABC es un triángulo isósceles de base AB , si el
ángulo ACB = 52º entonces el ángulo x mide:
A) 64º
B) 104º
C) 128º
D) 138º
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-22. En la figura, BC y CA son rectas secantes a la
circunferencia C, pertenece a ella y L es una recta que contiene al
diámetro AB , ¿cuál de las siguientes relaciones es siempre verdadera?
A)
B)
C) ( ) 90º
D)
E)
2
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214
EJEMPLO PSU-23. En la figura EB y FC son diámetros de la
circunferencia de centro O y CF es bisectriz del ángulo ECA. La medida
del ∡ x es
A) 60º
B) 40º
C) 80º
D) 90º
E) 120º
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215
XVIII. CIRCULO:
A. SECTOR CIRCULAR:
Área del sector =
π r2 α
360º
B. SEGMENTO CIRCULAR:
Área segmento circular = Área sector circular AOB – Área triángulo AOB
π r2 α
Área triángulo AOB
360º
C. CORONA O ANILLO CIRCULAR:
Área del anillo = π · (R2 – r2)
R = radio círculo mayor /
r = radio círculo menor
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216
PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA
Teorema de las cuerdas
Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan en el
interior de ella, el producto de los segmentos
determinados en una de ellas es igual al producto de
segmentos determinados en la otra
AP PB CP PD
Teorema de las secantes
Si desde un punto exterior a una
circunferencia se trazan dos secantes,
el producto de una de ellas por su
segmento exterior es igual al producto
de la otra secante por su segmento
exterior
PA PC PB PD
Teorema de la tangente y la secante
Si desde un punto exterior a una
circunferencia se trazan una tangente y
una secante, la tangente es media
proporcional
geométrica
entre
la
secante y su segmento exterior
2
PT PA PB
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217
EJEMPLO PSU-1: Si en la circunferencia de diámetro 30 cm de la
figura, la distancia desde el centro O de ella, hasta la cuerda AB es de 9
cm, entonces la cuerda AB mide
A) 6 cm
B) 12 cm
C) 18 cm
D) 20 cm
E) 24 cm
EJEMPLO PSU-2: En la figura, PQ es un diámetro de la circunferencia
de centro O y radio r. PR es tangente en P y mide r. Si M es el punto
medio de QR , entonces la longitud de PM , en términos de r, es
A) r
B)
r 5
2
C)
r 3
2
r 2
2
4r
E)
3
D)
EJEMPLO PSU-3: En la figura, los puntos P, Q, R y S están sobre la
circunferencia de centro O. Si QT : TP 3 : 4 , QT = 6 y ST = 12,
entonces RT mide
A) 4
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10
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218
EJEMPLO PSU-4: En la figura, se tiene una circunferencia de centro O,
radio r y diámetro AB . Si por el punto medio M de OB , se traza la
cuerda CD perpendicular al diámetro, entonces la longitud de la cuerda
CD es
A) r 3
B) r 2
3
C)
r 3
2
2
D)
r 3
3
3
E)
r
2
EJEMPLO PSU-5: En una circunferencia de diámetro 20 cm la distancia
desde el centro hasta una cuerda AB es 6 cm. Entonces la cuerda AB
mide:
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 12 cm
D) 16 cm
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-6: En la circunferencia de centro O, AB
CD BD ; CD = 4; BD = 3. El radio es:
es diámetro,
A) 5
25
3
5
C)
3
25
D)
9
25
E)
6
B)
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219
EJEMPLO PSU-7: En la circunferencia de radio 6 y centro O de la
figura, MP OP ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) MQ = 6
II) PQ = 3 3
III) QN = 6 3
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-8. En la figura, el segmento BC mide 15 cm y es
tangente en C a la circunferencia de centro O. Si O está en el segmento
AB que mide 25 cm y A pertenece a la circunferencia, ¿cuántos
centímetros mide el diámetro?
A) 8
B) 16
C) 9
D) 16,6
E) 24,6
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220
XIX. CUERPOS POLIEDROS:
POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se
denomina cara, sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices.
PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos
polígonos congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma).
ÁNGULO DIEDRO: Es el ángulo formado por dos semiplanos, que tienen una arista
común y su medida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la
arista en un mismo punto.
A. POLIEDROS REGULARES:
Sus caras son polígonos regulares congruentes entre sí.
Son cinco:
b. Octaedro:
Tiene 8 caras (triángulos equiláteros), 6 vértices, 12
aristas. Son dos pirámides unidas por su base común.
a. Tetraedro:
Tiene 4 caras (triángulos
equiláteros), 4 vértices,
6 aristas.
c. Icosaedro:
Tiene 20 caras
(triángulos equiláteros),
12 vértices, 30 aristas.
e. Dodecaedro:
tiene 12 caras
(pentágonos
regulares), 20
vértices, 30 aristas.
d. Hexaedro o cubo:
Tiene 6 caras
(cuadrados), 8 vértices,
12 aristas, 4 diagonales
congruentes.
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221
Para calcular su área se debe multiplicar el área de una de sus caras por el número total
de caras del poliedro.
B. POLIEDROS IRREGULARES:
No tienen todas sus caras congruentes.
Se clasifican en:
> Prismas
> Pirámides
1. PRISMA:
Tiene dos polígonos iguales de base y
varios paralelogramos como caras laterales.
A = Área lateral · 2 Área basal
V = Área basal · h
2. PIRAMIDE:
Tiene una base que es un polígono y las caras laterales son
triángulos que tienen un vértice en común también llamado
cúspide.
ap
A = Área basal (nº de caras) Área lateral
2
h
V = Área basal · h
3
p
a
XX. CUERPOS REDONDOS:
Están limitados por superficies curvas o curvas y planas juntas.
Los principales son:
> Cilindro
> Cono
> Esfera
A. CILINDRO:
r
Se forma al hacer girar un rectángulo en torno a un eje que puede ser
cualquiera de sus lados.
A = 2 π r (h + r)
V = π r2 · h
h
B. CONO:
Se forma al hacer girar un triángulo rectángulo en torno a un eje
situado sobre uno de sus catetos.
A = π r (g + r)
π r 2h
V =
3
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h
g
r
222
C. ESFERA:
Se forma al hacer girar una semicircunferencia en torno a su
diámetro.
A = 4 π r2
V =
4
π r3
3
CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS
CUERPOS DE REVOLUCIÓN
Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un
eje
TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana:
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223
EJEMPLO PSU-1: En un motor la relación entre el volumen V del
cilindro, el diámetro D del pistón y la longitud L del desplazamiento de
ese pistón es: V 10,79 D2 L Si el diámetro es 10 cm y la longitud del
desplazamiento también es 10 cm, ¿cuál es el volumen del cilindro?
A) 7.900 cm3
B) 790 cm3
C)
79 cm3
D)
7,9 cm3
E)
0,79 cm3
EJEMPLO PSU-2: Un cuadrado de lado 2 metros, se traslada 2 metros,
apoyado sobre uno de sus lados en un plano perpendicular a él, como se
muestra en la figura. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado?
A) 4 m3
B) 6 m3
C) 8 m3
D) 16 m3
E) 24 m3
EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el volumen del cilindro que se genera al
rotar indefinidamente el rectángulo ABCD de la figura, en torno al lado
BC ?
A) 30 cm3
B) 45 cm3
C) 75 cm3
D) 180 cm3
E) 300 cm3
EJEMPLO PSU-4: La figura es un cubo. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Las rectas AD' y BC' son paralelas.
II) Las rectas A'B y DC' son paralelas.
III) Las rectas A'D y BC' no se intersectan.
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
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224
EJEMPLO PSU-5: En la figura se tiene un cuarto de círculo de centro O.
Se hace rotar la figura indefinidamente en torno al eje. Si = 3 cm,
entonces el volumen del cuerpo geométrico que se genera es
A) 9 cm3
B)
27
cm3
2
C) 36 cm3
D) 27 cm3
E) 18 cm3
EJEMPLO PSU-6: Se tiene un prisma cuya base es un hexágono
regular de lado 2 . La altura del prisma es 3 . ¿Cuál es el volumen del
prisma?
A) 9
B) 18
C) 9 2
3
D) 9 3
E) 9 6
2
EJEMPLO PSU-7: En una caja cilíndrica caben tres esferas, cada una de
radio r, una encima de otra. El volumen no ocupado por las esferas es:
A) r 3
B) 2 r 3
C) 3 r 3
D) 4 r 3
4
E) r 3
3
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225
EJEMPLO PSU-8: El triángulo ABC de la figura tiene sus vértices
ubicados en las coordenadas A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) y C = (0, 0, 1).
Su área y su perímetro miden, respectivamente,
1
2 y 3 2
2
1
B)
3 y 2
2
A)
C)
3 y 3 2
1
3 y 3 2
2
1
E)
2 y 2
2
D)
EJEMPLO PSU-9: Se desea forrar una caja cúbica de arista a. ¿Cuál de
las siguientes expresiones representa la superficie a cubrir?
2
A) 12a
B) 6a
2
2
C) a
D) 4a
E) 8a
2
2
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226
EJEMPLO PSU-10: Si el trapecio de la figura y su simétrico respecto al
eje x se giran en forma indefinida en torno al eje y, ¿cuál de las
siguientes opciones representa mejor el cuerpo generado?
EJEMPLO PSU-11: Se tiene un cubo de madera al cual se le hizo una
perforación cilíndrica en el centro, como se muestra en la figura. Si la
arista del cubo mide 8 cm y el radio del cilindro mide 2 cm, el volumen
del cubo perforado, en cm3, es
A) 512 - 32
B) 512 - 16
C) 512 - 128
D) 256 - 32
E) 480
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227
EJEMPLO PSU-12: En la figura se muestra el cubo de arista a. El
triángulo EBD es:
A) equilátero
B) isósceles no equilátero
C) isósceles rectángulo
D) rectángulo en D
E) rectángulo en B
EJEMPLO PSU-13: La pirámide de la figura, está compuesta de:
A) 7 caras, 12 aristas y 6 vértices
B) 6 caras, 12 aristas y 6 vértices
C) 7 caras, 7 aristas y 7 vértices
D) 6 caras, 7 aristas y 6 vértices
E) 7 caras, 12 aristas y 7 vértices
EJEMPLO PSU-14: En la figura, el prisma recto tiene una altura de
3 m y la base es un hexágono regular de lado 2 m. Su volumen es:
A) 3 m 3
B) 9 m3
C) 18 m3
D) 3 3 m
3m
3
E) 6 3 m3
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228
EJEMPLO PSU-15. La cara lateral de un paralelepípedo de base
cuadrada coincide completamente con la cara lateral de un prisma
regular de base pentagonal, como muestra la figura. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdaderas.
I) Las caras laterales de los prismas son paralelas
II) El área de cada cara lateral es igual en ambos prismas
III) a = 18º
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) II y III
E) I, II y III
2m
EJEMPLO PSU-16. La diagonal mayor de un rombo mide 2x y la menor
mide 2y. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado al rotar el rombo
sobre la diagonal mayor?
A) 8xy2 π
2
xy2 π
3
1
C) x 2 y 2 π
3
2
D) x 2 yπ
3
4
E) xyπ
3
B)
EJEMPLO PSU-17.
Un cuadrado de lado “a” se hace girar,
indefinidamente, en torno de uno de sus lados. El área de la superficie
lateral del cuerpo generado es
A ) 2a 2
B ) 2 πa 2
C ) 6a 2
D ) πa 2
E ) 4a 2
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229
XXI. DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA:
A. DIVISION INTERIOR:
DIVISIÓN INTERNA
Un punto P perteneciente a un trazo AB lo divide en la razón m: n,
si AP: PB = m: n
AP m
PB n
B. DIVISION EXTERIOR:
· Dividir exteriormente el segmento AB en la razón m: n, significa encontrar en el
exterior del trazo AB (en su prolongación), un punto Q
tal que:
AQ
QB
m
m
n
n
Q
m
A
B
A
n
B
Q
C. DIVISION ARMONICA:
Dividir armónicamente
el trazo AB en la razón
m: n, significa dividirlo
interiormente (punto
P) y exteriormente
(punto Q) en una
m
A
misma razón dada, tal que:
AP
PB
AQ
QB
P
B
n
Q
m
n
D. DIVISIÓN ÁUREA O DIVINA
Dividir un trazo en sección áurea o divina, consiste en dividirlo en dos segmentos,
de modo que la razón entre el trazo entero y el segmento mayor sea igual a la
razón entre el segmento mayor y el menor.
AB AP
(AP PB)
AP PB
OBSERVACIÓN: La razón
NÚMERO ÁUREO
AB
se denomina RAZÓN ÁUREA, y su valor es el
AP
AB
5 1
1,618034
2
AP
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230
EJEMPLO PSU-1: Un segmento está dividido interiormente en la razón
1: 3: 5 y la medida del segmento mayor es 75 cm. ¿Cuál es la longitud
del segmento del medio?
A) 45 cm
B) 15 cm
C) 60 cm
D) 25 cm
E) No se puede determinar.
EJEMPLO PSU-2: En la figura el punto Q divide al segmento PR en la
razón 2: 5. Si QR mide 20, entonces ¿cuánto mide PR ?
A) 28
B) 28
C) 50
D) 70
E) Ninguno de los valores anteriores.
EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál(es) de los siguientes segmentos AB está(n)
dividido(s) por el punto P en la razón 2:3?
A) Sólo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-4: En la figura, C es punto medio del segmento AD y el
segmento BC duplica al segmento AB. El segmento AB es al segmento
BD como
A) 1: 2
B) 1: 3
C) 1: 4
D) 1: 5
E) 1: 6
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231
EJEMPLO PSU-5. En la figura,
AB
BC
1
. ¿Cuánto mide el segmento
3
BC ?
A) 3
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10
EJEMPLO PSU-6. Se ubicará una estación de gasolina P entre las
ciudades M y N, que distan 60 km entre ellas, de modo que las
distancias de las ciudades a la gasolinera estén en la proporción
MP : PN = 2: 3. Si la estación de gasolina estará en línea recta con las
ciudades M y N, ¿a qué distancia de la ciudad M quedará ubicada la
estación de gasolina?
A) A 12 Km
B) A 24 Km
C) A 30 Km
D) A 36 Km
E) A 48 Km
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232
XXII. TRIGONOMETRIA:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
En cualquier triángulo ABC rectángulo en C, tenemos
AB : hipotenusa
AC y BC catetos
α y β : ángulos agudos
Si prolongamos los lados
AB y AC ,
y unimos algunos puntos de dichas
prolongaciones mediante segmentos paralelos a BC , obtenemos entonces otros
triángulos rectángulos semejantes al triángulo ABC
ABC ADE AFG AHJ
Luego podemos afirmar que se cumplen las siguientes igualdades de razones:
ABC
cateto BC
hipotenusaAB
ADE
AFG
DE
AD
FG
AF
AHJ
HJ
AH
K1
cateto AC
hipotenusaAB
AE
AD
AG
AF
AJ
AH
K2
cateto BC
cateto AC
DE
AE
FG
AG
HJ
AJ
K3
CONSTANTE
CONSTANTE
CONSTANTE
En triángulos rectángulos semejantes y respecto de un mismo ángulo agudo, la
razón entre un cateto y la hipotenusa o entre los dos catetos, es siempre un
valor constante
Respecto al ángulo agudo de un triángulo ABC rectángulo en C se tiene
que:
(A) A la razón constante K1 entre dos lados de este triángulo, se le denomina
seno de , y se abrevia sen
(B) A la razón constante K2 se le denomina coseno de , y se le abrevia cos
(C) A la razón constante K3 se la denomina tangente de , y se la abrevia tg
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233
Nota: El término tangente se abrevia como tg en castellano y tan en inglés.
Las calculadoras científicas usan esta última abreviatura
En general, dado un triángulo ABC, rectángulo en C, se tiene:
FUNCIÓN
DEFINICIÓN
RAZÓN ABREVIACIÓN
Seno
de α
cat. opuesto
hipotenusa
a
c
sen α
Coseno
de α
cat. adyacente
hipotenusa
b
c
cos α
Tangente
de α
cat. opuesto
cat. adyacnte
a
b
tg α
Cotangente
de α
cat. adyacente
cat. apuesto
b
a
cotg α
Secante
de α
hipotenusa
cat. adyacente
c
b
sec α
Cosecante
de α
hipotenusa
cat. opuesto
c
a
cosec α
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
senα cos(90º α )
cos ecα sec(90º α )
cos α sen(90º α )
sec α cos ec(90º α )
tgα cot g(90º α )
cot gα tg(90º α )
Ángulos de elevación y de Depresión. Son aquellos formados por la horizontal,
considerada a nivel del ojo del observador y la línea de mira, según que el objeto
observado esté por sobre o bajo esta última.
Con respecto a un observador, los ángulos de elevación y de depresión constituyen
ángulos alternos internos entre paralelas, por lo tanto, sus medidas son iguales.
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234
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30º, 45º y 60º
3
30º
1
2
45º
60º
2
2
cos α
3
2
2
2
3
2
1
2
tgα
3
3
senα
2
3
1
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES (α : 0º α 90º )
1.
senα cos ecα 1
4.
2.
cos α sec α 1
5.
3.
tgα cot gα 1
6.
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senα
cos α
cos α
cot gα
senα
2
sen α cos 2 α 1
tgα
235
EJEMPLO PSU-1: En el triángulo rectángulo de la figura, tg es igual a:
1 p2
p
p
A)
B)
1 p2
1 p2
p
p
C)
D)
E)
1 p2
1
1 p2
EJEMPLO PSU-2: En una hoja cuadriculada como se muestra en la
figura, se ha dibujado un triángulo ABC donde cada cuadrado tiene lado
1, entonces sen=
3
A)
34
5
4
3
C)
4
B)
5
D)
E)
34
3
5
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
236
EJEMPLO PSU-3: Dada la siguiente figura: Es verdadero que:
5
I) sen
29
2
II) cos
29
5
III) tan
2
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-4: Un ratón observa a un águila en la copa de un árbol
con un ángulo de elevación de 70°. Si la distancia del ratón al árbol es
12 m, determinar la distancia entre el águila y el ratón.
12
tan70º
12
B)
cos 70º
12
C)
sen70º
cos 70º
D)
12
sen70º
E)
12
A)
EJEMPLO PSU-5: La longitud de un cable que tiene sus extremos fijos
en un poste y en la tierra, es de 20 3 metros. El cable forma un ángulo
de 60° con la tierra. ¿A cuántos metros de la tierra está fijo el cable en
el poste?
A) A 10 3 metros
B) A 10 6 metros
C) A 30 metros
D) A 40 metros
E) A 60 metros
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
237
EJEMPLO PSU-6: Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de
elevación de 30º como se muestra en la figura. ¿A qué distancia (d) se
encuentra el avión desde el punto de despegue hasta que alcanza una
altura de 1.500 metros?
A) 750 metros
B) 3.000 metros
C) 1.000 3 metros
D) 750 3 metros
E) 1.500 3 metros
EJEMPLO PSU-7: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n)
el largo de la escalera de la figura?
1,2
I)
metros
sen20º
12
II)
metros
cos 70º
III) 1,2 cos 70º metros
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III
EJEMPLO PSU-8: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones
es(son) verdadera(s) ?
I) tg = 2
4 5
II) sen + cos =
5
III) tg + tg = 1
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
238
EJEMPLO PSU-9: En la figura, el triángulo MNP es rectángulo en P,
2
NP = 1 cm y su área es cm2, entonces tg=
3
A)
B)
C)
D)
E)
1
3
2
3
3
2
3
4
4
3
EJEMPLO PSU-10: Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 5
cm y 12 cm, entonces el coseno del ángulo menor es:
A)
B)
C)
D)
E)
5
13
12
13
5
12
12
5
13
12
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
239
EJEMPLO PSU-11: Si es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo
3
y sen , entonces tg cos =
5
1
20
3
B)
20
1
C)
20
11
D)
15
8
E)
15
A)
EJEMPLO PSU-12: Con los datos de la figura, la expresión sen – cos
es igual a:
ac
b
ca
B)
b
ab
C)
c
ba
D)
c
ac ab
E)
bc
A)
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Prof. Matemática y Física
240
EJEMPLO PSU-13: En la figura, una persona ubicada en lo alto del
edificio P de 12 m de altura, observa a otra persona, de igual tamaño,
en lo alto del edificio Q de 18 m de altura con un ángulo de elevación de
40°. ¿Cuál es la distancia (d) entre los dos edificios?
A) 6 tg40º
6
B)
tg40º
6
C)
sen40º
6
D)
cos 40º
E) 6 sen40º
EJEMPLO PSU-14: En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en A. Si
la hipotenusa es 1, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones
representa(n) el perímetro del triángulo?
I) sen + sen + 1
II) cos + cos + 1
III) sen + cos + 1
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-15: Con respecto al triángulo rectángulo ABC de la
figura, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?
b
c
c
cos
a
a
cos
c
b
sen
c
a
tg
b
A) sen
B)
C)
D)
E)
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Prof. Matemática y Física
241
EJEMPLO PSU-16. ¿Cuál de las siguientes igualdades se cumple en el
triángulo de la figura?
A) sen
b
a2 b 2
b
B) sen 2
a b2
a
C) cos 2
a b2
b
D) cos
a2 b 2
b
E) cos 2
a b2
EJEMPLO PSU-17. ¿A qué distancia de la torre de control aterrizará el
avión?
A) 2.000 tg15º
sen15º
2.000
cos15º
C)
2.000
D) 2.000 sen15º
B)
E) 2.000 cos15º
EJEMPLO PSU-18. El extremo superior de una escalera de 10 metros
de longitud coincide con el borde superior de un muro vertical, cuando
forma un ángulo de 60º con la horizontal. Si está escalera se apoyara en
el extremo superior de una ventana del mismo muro, formaría un
ángulo de 30º con la horizontal. ¿Cuál es la distancia entre el borde
superior del muro y la parte superior de la ventana?
A) 5( 3 1) metros
B) 5 metros
10 3
metros
3
D) 2 metros
C)
E) 5 3 metros
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
242
EJEMPLO PSU-19. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son)
verdadera(s)?
I) sen 45° = cos 45°
II) sen 30° = cos 60°
III) sen 45° = tg 45°
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
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Prof. Matemática y Física
243
XXIII. PROBABILIDAD:
∗ Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas
condiciones un número indefinido de veces.
∗ Experimento Aleatorio: Es aquel cuyo resultado no se puede predecir,
habiendo un conjunto de resultados posibles.
∗ Espacio Muestral: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento
aleatorio. Si se representa el espacio muestral por E, cada elemento de él es
llamado punto muestral.
∗ Evento o Suceso: Es un resultado particular de un experimento aleatorio. En
otras palabras, es un subconjunto del espacio muestral.
∗ Observación: En todos los experimentos que se realicen con monedas, dados,
cartas, bolitas, etc..., se supondrá que no están cargados o trucados, a no ser que
se indique otra cosa.
TIPOS DE EVENTOS
∗ Evento o suceso cierto: Es el propio Espacio Muestral.
∗ Evento o Suceso Imposible: Es aquel que no tiene elementos. Es decir, es el
subconjunto vacío (∅) del espacio muestral.
∗ Eventos Mutuamente: Son aquellos en los cuales la ocurrencia de uno de ellos
impide la ocurrencia de los otros (no pueden ocurrir simultáneamente). En otras
palabras, cuando dos o más eventos no tienen elementos comunes.
∗ Eventos Complementarios: Cuando los eventos no tienen puntos o elementos
comunes y la unión de ellos es el espacio muestral.
∗ PROBABILIDAD CLÁSICA
La probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos
favorables al evento A por el número total de casos posibles.
La probabilidad de A se denotará por P(A).
∗ Observación:
1) La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la probabilidad
de que no ocurra. P(A) = 1 – P(A’); A’ = A no ocurre
2) 0 ≤ P(A) ≤ 1 o bien 0% ≤ P(A) ≤ 100%
∗ PROBABILIDADES DE EVENTOS
∗ Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo
tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por:
∗ Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo
tiempo), la probabilidad de que ocurra A o B está dada por:
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
244
∗ Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no
ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia
del otro.
∗ Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad
condicional de A, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la
suposición de que el suceso B ha ocurrido.
∗ Probabilidad y triángulo de Pascal
Caras y sellos
El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y sellos te pueden
salir tirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier
combinación.
Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres
caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y un sello (CCS, CSC,
SCC), también tres de sacar una cara y dos sellos (CSS, SCS, CSS) y sólo una de
sacar tres sellos (SSS). Esta es la pauta "1, 3, 3, 1" en el triángulo de Pascal.
Tiradas
Resultados posibles (agrupados)
Triángulo de Pascal
1
C
S
1, 1
2
CC
CS SC
SS
1, 2, 1
3
CCC
CCS, CSC, SCC
CSS, SCS, SSC
SSS
1, 3, 3, 1
4
CCCC
CCCS, CCSC, CSCC, SCCC
CCSS, CSCS, CSSC, SCCS, SCSC, SSCC
CSSS, SCSS, SSCS, SSSC
SSSS
1, 4, 6, 4, 1
... etc ...
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
245
¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?
Hay 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 (o 4 × 4 =16) resultados posibles, y 6 de ellos dan
6
exactamente dos caras. Así que la probabilidad es
, o 37.5%
16
Triángulo de Pascal
DIAGRAMA DEL ARBOL:
· Representa de manera grafica todos los resultados posibles.
Ej: calcular la probabilidad de obtener dos veces cara y una vez sello al lanzar tres
veces seguidas una moneda.
Resultados favorables: 8
(CCC – CCS – CSC – CSS –
SCC – SCS – SSC – SSS)
C
C
S
Casos favorables: 3
(CCS – CSC – SCC)
Probabilidad =
3
8
C
S
S
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
C
CCS
S
CCS
C
CSC
S
CSS
C
SCC
S
SCS
C
SSC
S
SSS
246
La ley de los grandes números, también llamada ley del azar, afirma que al
repetir un experimento aleatorio un número de veces, la frecuencia relativa de
cada suceso elemental tiende a aproximarse a un número fijo, llamado
probabilidad de un suceso.
Observa la siguiente tabla, en la que se han anotado las frecuencias del suceso
"salir cara al lanzar una moneda".
Lanzamientos
fi
hi
100
56
0,56
150
68
0,45
200
108
0,54
300
132
0,44
400
208
0,52
500
255
0,51
Al aumentar los lanzamientos, las frecuencias relativas se aproximan a un valor
0,5. Ésa es la probabilidad del suceso salir cara al lanzar una moneda.
La probabilidad de un suceso es el número al que se aproxima su
frecuencia relativa cuando el experimento se repite un gran número de
veces.
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
247
EJEMPLO PSU-1: La probabilidad de extraer una bola roja de una caja
1
es
. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola que no sea roja?
3
1
3
B) 1
A)
2
3
1
D)
6
E) Falta Información
C)
EJEMPLO PSU-2: Se lanzan dos dados de distinto color. ¿Cuál es la
probabilidad de que sumen 3 ó 4?
A)
B)
C)
D)
E)
1
6
7
36
4
36
5
36
21
36
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
248
EJEMPLO PSU-3: Una rueda está dividida en 8 sectores iguales,
numeradas del 1 al 8. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número
impar y mayor que 3?
A)
B)
C)
D)
E)
7
8
1
4
1
2
3
8
5
8
EJEMPLO PSU-4: Se tienen 10 fichas con los números 44, 44, 45, 46,
46, 46, 47, 48, 48, 49. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha con
un número mayor que 46?
A) 0,4
B) 0,41
C) 0,42
D) 0,5
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-5: En una caja hay 50 fichas de igual peso y tamaño. 12
son rojas, 20 son cafés y 18 son amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de
sacar una roja, una café, una amarilla y nuevamente una roja, en ese
orden y sin reposición?
A)
B)
C)
D)
E)
12 20 18 11
50 50 50 50
12 20 18 11
50 49 48 47
12 20 18 12
50 50 50 50
12 20 18 12
50 49 48 47
12 20 18 11
50 49 48 47
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
249
EJEMPLO PSU-6: La tabla adjunta muestra el nivel educacional que
tienen los postulantes a un cargo administrativo
NIVEL EDUCACIONAL
Sexo
Universitaria Media Básica
Masculino 250
100
40
Femenino 225
110
25
Si de este grupo se elige una persona al azar, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
390
I) La probabilidad que sea varón es de
750
360
II) La probabilidad que sea mujer es de
390
475
III) La probabilidad que tenga estudios universitarios es de
750
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-7: Se depositan en una caja tarjetas del mismo tipo con
las letras de la palabra HERMANITOS, luego se saca de la caja una
tarjeta al azar, la probabilidad de que en ésta esté escrita una vocal es:
A)
B)
C)
D)
E)
1
10
2
5
1
5
1
4
2
3
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
250
EJEMPLO PSU-8: En la figura, se tiene una ruleta en que la flecha
puede indicar cualquiera de los 4 sectores y ella nunca cae en los límites
de dichos sectores. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son)
verdadera(s) ?
1
I) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 1 es de
2
1
II) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 es de
4
III) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 ó en el 3 es
2
de
3
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-9: En una urna hay 4 fichas de colores diferentes: roja,
azul, verde y amarilla. Una persona saca una a una las 4 fichas, ¿cuál es
la probabilidad de sacar la ficha verde antes de la roja?
A)
B)
C)
D)
E)
1
4
1
2
3
4
1
8
1
24
EJEMPLO PSU-10: En la caja de la figura hay fichas negras(N) y
blancas (B) de igual tamaño y peso. ¿Cuántas fichas hay que agregar
2
para que la probabilidad de extraer una ficha negra sea ?
3
A) 1N y 0B
B) 1N y 3B
C) 1N y 4B
D) 1N y 1B
E) 0N y 1B
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
251
EJEMPLO PSU-11: Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la
probabilidad de obtener un número par menor que 5?
1
6
2
B)
6
3
C)
6
4
D)
6
E) Ninguna de las anteriores
A)
EJEMPLO PSU-12: Si se elige al azar un número natural del 1 al 30,
¿cuál es la probabilidad de que ese número sea múltiplo de 4?
A)
B)
C)
D)
E)
3
30
23
30
7
30
8
30
6
30
EJEMPLO PSU-13: Alberto, Bastián y Carlos juegan a lanzar un dado 2
veces y gana el que obtiene una suma par. En el primer lanzamiento
Alberto obtiene un 2, Bastián un 3 y Carlos un 6. ¿Cuál de las
afirmaciones siguientes es verdadera?
1
de ganar.
2
1
B) Todos tienen probabilidad
de ganar.
3
A) Todos tienen probabilidad
C) El que tiene más probabilidad de ganar es Carlos.
D) Carlos tiene más probabilidad de ganar que Alberto.
E) Bastián tiene menos probabilidad de ganar que Alberto y Carlos.
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
252
EJEMPLO PSU-14: ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar 3 monedas,
simultáneamente, 2 sean caras y 1 sea sello?
A)
B)
C)
D)
E)
3
8
1
8
2
8
1
3
2
3
EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres números
unos al lanzar tres dados?
A)
B)
C)
D)
E)
3
216
1
216
3
8
1
18
Ninguno de los valores anteriores
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
253
EJEMPLO PSU-16: En una tómbola hay 11 pelotitas de igual tamaño y
peso numeradas del 1 al 11. Las primeras 5 son rojas y las otras
pelotitas restantes son negras. La probabilidad de que al sacar una
pelotita al azar, ésta sea roja y par es:
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
2
5
5
11
2
11
1
4
EJEMPLO PSU- 17: En un pueblo hay 1.200 habitantes. Si la
1
probabilidad de que un habitante sea una mujer es , ¿cuántas mujeres
3
hay en el pueblo?
A) 200
B) 300
C) 400
D) 600
E) 800
EJEMPLO PSU-18: Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de
0,45, ¿cuál es la probabilidad de que el suceso no ocurra?
A) 0,45
B) 0,55
C) 0,65
D) -0,45
E) -0,55
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
254
EJEMPLO PSU-19: Al lanzar un dado común de 6 caras, ¿cuál es la
probabilidad de obtener un número impar o un número menor que 4?
A)
B)
C)
D)
E)
1
6
2
6
4
6
3
6
6
6
EJEMPLO PSU-20: ¿En cuál de los siguientes eventos la probabilidad
de ocurrencia es igual a 1?
A) Nacer en un año bisiesto
B) Que al tirar una moneda salga cara
C) Que al sacar 10 cartas de un naipe, ninguna sea trébol
D) Que un mes tenga 30 días
E) Que al tirar un dado, el número obtenido sea igual o inferior a 6
EJEMPLO PSU-21: Un dado se lanza 100 veces y se obtienen los
siguientes resultados
Cara
1
2
3
4
5
6
Frecuencia 13 15 17 16 20 19
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I)
La probabilidad de obtener par es de un 50%
II)
La probabilidad de obtener las caras 1 ó 3 es de 30%
III) La probabilidad de obtener la cara 5 es de 20%
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
255
EJEMPLO PSU-22: Al lanzar un dado común, ¿cuál(es) de las
siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) ?
I) Que salga un 2 es más probable que salga un 6.
1
.
2
III) La probabilidad de obtener un número múltiplo de 3 es
1
.
6
II) La probabilidad de obtener un número impar es
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-23: En la lista de un curso de 40 alumnos hay 17 niñas.
Si se escoge un número al azar del 1 al 40, ¿cuál es la probabilidad de
que ese número corresponda al de una niña en la lista del curso?
A)
B)
C)
D)
E)
17
40
1
40
1
17
17
23
23
40
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
256
EJEMPLO PSU-24: Una caja tiene 12 esferas de igual tamaño y peso.
Cada una de ellas contiene una letra de la palabra DEPARTAMENTO.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
1
I) La probabilidad de sacar una M es
.
12
7
II) La probabilidad de no sacar una vocal es
.
12
III) La probabilidad de sacar una A es igual a la probabilidad
de sacar una T
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-25: En un liceo hay 180 estudiantes repartidos por nivel
de la siguiente forma:
PRIMERO SEGUNDO TERCERO CUARTO
NIÑOS 15
20
18
12
NIÑAS 30
25
27
33
Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
65
I) La probabilidad de que sea un niño es
.
180
II) La probabilidad de que sea un estudiante de tercero es
45
.
180
III) La probabilidad de que sea una niña y de segundo es
25
.
45
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
257
EJEMPLO PSU-26: Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la
probabilidad de que salga un número menor que 2 o mayor que 4?
A)
B)
C)
D)
E)
1
6
1
2
1
3
2
3
5
6
EJEMPLO PSU-27: Un competidor debe partir desde M, como se
muestra en la figura, y recorrer distintos caminos para llegar a P, Q, R,
S o T, sin retroceder. ¿A cuál(es) de los puntos tiene mayor probabilidad
de llegar el competidor?
A) P
B) Q
C) R
D) S
E) T
EJEMPLO PSU-28: En una caja hay 8 bolitas negras y 4 blancas, todas
del mismo tipo. ¿Cuál es la menor cantidad de bolitas de cada color que
se pueden eliminar de la caja, para que al sacar una bolita al azar la
3
probabilidad de que ésta sea negra, sea ?
4
A) 1 blanca y 0 negra
B) 0 blanca y 1 negra
C) 0 blanca y 5 negras
D) 3 blancas y 5 negras
E) 2 blancas y 2 negras
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Prof. Matemática y Física
258
EJEMPLO PSU-29: Se tienen nueve fichas del mismo tipo, numeradas
del 1 al 9. Si se eligen al azar dos fichas, ¿cuál es la probabilidad de que
la suma de los números de ellas sea diferente de 10?
A)
B)
C)
D)
E)
8
9
17
18
16
17
9
10
7
8
EJEMPLO PSU-30: Si se ha lanzado 3 veces un dado común y en las
tres ocasiones ha salido un 4, ¿cuál es la probabilidad de que en el
próximo lanzamiento salga un 4?
A)
B)
C)
D)
E)
1
3
1
6
1
4
3
6
4
6
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
259
EJEMPLO PSU-31: Una bolsa contiene un gran número de fichas de
colores, de las cuales algunas son rojas. Si la probabilidad de sacar una
1
ficha roja es , ¿cuál es la probabilidad de sacar una ficha de cualquier
3
otro color?
1
2
1
B)
3
2
C)
3
D) 1
E) No se puede determinar
A)
EJEMPLO PSU-32: Un club de golf tiene 1.000 socios, entre hombres y
mujeres, que participan en las categorías A (adultos) y B (juveniles). Se
sabe que 220 hombres juegan en B, 180 hombres en A y 250 mujeres
en B. Si se elige un socio del club, ¿cuál es la probabilidad de que sea
mujer y juegue en la categoría A?
7
1
13 350
1
B)
4
3
C)
5
7
D)
12
7
E)
20
A)
EJEMPLO PSU-33: Si Se lanzan dos dados comunes, ¿cuál es la suma
de puntos que tiene mayor probabilidad de salir en los dos dados?
A) 12
B) 10
C) 9
D) 7
E) 6
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
260
EJEMPLO PSU-34: Se tienen tres cajas, A, B y C. La caja A contiene 4
fichas blancas y 6 rojas, la caja B contiene 5 fichas blancas y 7 rojas y la
caja C contiene 9 fichas blancas y 6 rojas. Si se saca al azar una ficha
de cada caja, la probabilidad de que las tres fichas sean rojas es:
A)
B)
C)
D)
E)
7
50
1
8
1
252
19
12
19
37
EJEMPLO PSU-35: Se lanzan 5 monedas simultáneamente. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener al menos una cara?
A)
B)
C)
D)
E)
1
32
1
2
5
32
1
5
31
32
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
261
EJEMPLO PSU-36: En la figura, la ruleta se ha dividido en ocho partes
congruentes entre sí, donde la flecha no puede caer en los límites. La
probabilidad de que la flecha caiga en alguna de las regiones de
números impares y, al mismo tiempo, se obtenga un número mayor que
3 es de:
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
1
4
3
8
1
8
3
4
EJEMPLO PSU-37: Al lanzar dos dados comunes,
probabilidad de que la suma de los puntos sea 3 o 4?
A)
B)
C)
D)
E)
¿cuál es
la
5
36
7
36
5
12
7
12
1
2
EJEMPLO PSU-38. En un automóvil viajan 5 personas, dos adelante y
tres atrás. Si solo uno de ellos sabe manejar. ¿De cuántas formas se
pueden ordenar?
A) 5
B) 6
C) 10
D) 24
E) 120
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
262
EJEMPLO PSU-39. En un mazo de naipes de 52 cartas hay 4 reyes. Si
se extraen dos cartas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de sacar
dos reyes?
3
2
52 51
4
3
B)
52 51
3
1
C)
52 51
4
D)
52
3
E)
51
A)
EJEMPLO PSU-40. En una urna hay bolitas blancas y grises numeradas
del 1 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita gris con un
número par?
A)
B)
C)
D)
E)
4
9
2
9
3
9
1
9
5
9
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
263
EJEMPLO PSU-41. Al lanzar un dado dos veces. ¿Cuál es la
probabilidad de que salga un 5 en la primera y un 2 en la segunda?
A)
B)
C)
D)
E)
1
6
2
6
1
12
1
36
7
36
EJEMPLO PSU-42. En un juego de azar hay 30 resultados posibles y
equiprobables. José tiene 10 resultados probables, Paula tiene 8 y
Mauricio tiene el resto. De las afirmaciones siguientes. ¿Cuál(es) es(son)
verdadera(s)?
I) Mauricio tiene la mayor probabilidad de ganar
4
II) La probabilidad de que Paula No gane es
15
1
III) José tiene de probabilidad de ganar
3
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-43. ¿En cuál de los siguientes colegios existe mayor
probabilidad de que al elegir un alumno al azar este sea extranjero?
A) F
B) J
C) H
D) I
E) G
Colegio Total de Extranjeros
alumnos
F
380
20
G
580
29
H
600
30
I
450
25
J
400
20
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
264
EJEMPLO PSU-44. ¿En cuál(es) de las siguientes afirmaciones, la
probabilidad de ocurrencia el suceso mencionado, es siempre igual a la
probabilidad de no ocurrencia del mismo suceso?
I) Que salga sello en el lanzamiento de una moneda
II) Que salga un número impar, al lanzar un dado común
III) Que salga una ficha verde al extraerla al azar, desde una urna
que contiene solo fichas rojas y verdes, todas del mismo tipo
A) Solo en I
B) Solo en III
C) Solo en I y en II
D) Solo en I y en III
E) En I, en II y en III
EJEMPLO PSU-45. Del triángulo de Pascal de la figura se puede inferir
el número total de los posibles resultados que se obtienen al lanzar una
moneda hasta seis veces, en forma aleatoria. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)
I) De la fila 1 2 1 se deduce que, si la moneda se lanza dos veces,
teóricamente solo en dos de los posibles resultados se obtiene una cara
y un sello
II) De la fila 1 3 3 1 se deduce que, si la moneda se lanza tres veces,
teóricamente solo se pueden obtener ocho posibles resultados distintos
III) De la fila 1 6 15 20 15 6 1 se deduce que, si la moneda se lanza
seis veces, teóricamente, en quince de los resultados posibles se obtiene
cuatro caras y dos sellos
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
265
EJEMPLO PSU-46. Al lanzar cuatro dados comunes, ¿cuál es la
probabilidad de que en todos los dados salga un 4?
1
1.296
1
B)
6
4
C)
6
4
D)
1.296
E) Ninguno de los valores anteriores
A)
EJEMPLO PSU-47. Se tiene un dado común y dos monedas, una de
$ 100 y otra de $ 500. Si se lanza la moneda de $ 100, luego el dado,
¿cuál es la probabilidad de que salgan dos caras y un número menor
que 3?
A)
B)
C)
D)
E)
3
7
7
12
1
6
1
8
1
12
EJEMPLO PSU-48. Una urna contiene cinco fichas y tres negras, todas
del mismo tipo. Se extrae al azar una ficha, se anota su valor y se
devuelve a la urna. Este experimento se repite diez veces. Si la variable
aleatoria x asigna la cantidad de fichas rojas obtenidas, entonces los
valores que puede tener x son
A) 1, 2, 3, 4, y 5
B) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10
C) 0, 1, 2, 3, 4 y 5
D) Solo el 5
E) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
266
XXIV. ESTADÍSTICA
Estadística: Es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas
que se emplean en la recolección, ordenamiento, resumen, análisis, interpretación
y comunicación de conjuntos de datos
Población: Es un conjunto, cuyos elementos poseen alguna característica común
que se quiere estudiar, ya sea de individuos, de animales, de objetos, de métodos,
de medidas, de producciones, de acontecimientos o de sucesos. Las poblaciones
pueden ser finitas o infinitas
Muestra: es un subconjunto de la población, que debe ser representativa y
aleatoria.
Variable Cualitativa: Se refieren a un atributo (no son numéricas), por ejemplo:
sexo, nacionalidad, profesión, etc
Variable cuantitativa: Tienen un valor expresado por un número real, por
ejemplo: peso, temperatura, salario, etc
Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos:
Discretas: Toman solo valores enteros, por ejemplo: número de hijos, número de
departamentos en un edificio, etc
Continuas: Susceptibles de tomar cualquier valor, por ejemplo: el peso, la
estatura, etc
TABULACIÓN DE DATOS
Frecuencia (f): Número de veces que se repite un dato (también se le denomina
frecuencia absoluta)
Frecuencia relativa (fr): Es el cuociente entre la frecuencia absoluta de uno de
los valores de la variable y el total de datos
Frecuencia acumulada (fac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente las
frecuencias absolutas hasta la que ocupa la última posición
Frecuencia relativa acumulada (frac): Es la que se obtiene sumando
ordenadamente la frecuencia relativa hasta la que ocupa la última posición
Amplitud del intervalo: Es la diferencia entre los límites superior e inferior
Marca de Clase: Es el valor central (promedio aritmético) entre los límites
superior e inferior de cada intervalo
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Media aritmética (x) : Es el cuociente entre la suma de todos los datos y el
número de datos. x
x1 x 2 x 3 ...... x n
n
Media aritmética para datos organizados en una tabla de frecuencias
Si los datos son: x1, x2, x3,……..,xn y las frecuencias respectivas son f1, f2, f3,…..,fn
entonces la media aritmética es: x
x1 f1 x 2 f2 x 3 f3 ...... x n fn
f1 f2 f3 ........ fn
Moda (Mo): Es el dato que aparece con mayor frecuencia, es decir, el que más se
repite. Si no hay un dato que tenga mayor frecuencia que otro se dice que la
distribución de frecuencia es amodal
Mediana (Me): Es el dato que ocupa la posición central de la muestra cuando
estos se encuentran ordenados en forma creciente o decreciente. Si la muestra
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
267
tiene un número par de datos, la mediana es la media aritmética de los dos
términos centrales
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS
A) PICTOGRAMAS: Se aplican a las variables de tipo cualitativo y aquellas de tipo
cuantitativo que plantean comparaciones. Utilizan para su grafismo representaciones de
las variables, de tamaño proporcional a la frecuencia con que aparece cada uno
B) GRÁFICO DE SECTORES: La representación gráfica se hace por medio de un círculo,
dividido en sectores de áreas proporcionales a las frecuencias de la variable
Asignatura
Matemática
Lenguaje
Arte
Historia
Total
Estudiantes que
la prefieren
4
3
2
1
10
C) DIAGRAMAS DE BARRAS: Se utiliza para variables discretas. Los valores de la
variable aparecen, junto con su frecuencia, representados en forma de barras o segmentos,
de longitud proporcional a la dicha frecuencia
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
268
D) HISTOGRAMAS: mediante un histograma se representa gráficamente las
distribuciones de frecuencias de variables estadísticas continuas. Se construyen
rectángulos que tienen como bases cada intervalo de la variable y como alturas las
respectivas frecuencias de dichos intervalos
f
16
14
12
8
6
3
29,5 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5
Salarios en miles de $
E) POLÍGONOS DE FRECUENCIAS: Cada par; Variable/Frecuencia (xi,fi) da origen a un
punto del diagrama cartesiano. Al unir dichos puntos por medio de una línea poligonal, se
obtiene un polígono de frecuencias
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
269
EJEMPLO PSU-1: Si se suman las edades de 8 personas y ese
resultado se divide por 8, ¿qué se obtiene?
A) Mediana
B) Media Aritmética
C) Moda
D) Media geométrica
E) Desviación estándar
EJEMPLO PSU-2: El promedio del peso de 5 hombres es de 76 kg.
¿Cuánto pesa el quinto si la suma de los 4 primeros es 302?
A) 78
B) 68
C) 62
D) 58
E) 72
EJEMPLO PSU-3: La tabla adjunta muestra las edades de 220 alumnos
de un colegio.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) La moda es 17 años.
II) La mediana es mayor que la media (promedio).
III) La mitad de los alumnos del colegio tiene 17 o 18 años.
A) Sólo I
B) Sólo II
Edad
15 16 17 18 19
C) Sólo I y II
(en años)
D) Sólo II y III
Alumnos
50 40 60 50 20
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-4: Las fichas del peso de 10 niños, marcan en promedio
20 kg. En la oficina de control se pierde una ficha y se sabe que el
promedio del resto es 19 kg, ¿cuál es el peso del niño al que le
perdieron la ficha?
A) 39 kg
B) 29 kg
C) 21 kg
D) 20 kg
E) 19 kg
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
270
EJEMPLO PSU-5: El gráfico circular de la figura muestra las
preferencias de 30 alumnos en actividades deportivas. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) correcta(s) ?
I) La frecuencia relativa del grupo de fútbol es de 40%.
II) La frecuencia relativa del grupo de básquetbol es de 30%.
III) La mitad del grupo no prefirió fútbol ni tenis.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-6: El gráfico de la figura apareció en un periódico de
una ciudad. En él se indica la preferencia por el noticiero central de
cinco canales de televisión, según una muestra aleatoria, en un año
determinado. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) De acuerdo a la muestra el noticiero central con menor
probabilidad de ser visto es TV 5.
II) El gráfico muestra exactamente la realidad de las preferencias
de los noticieros centrales de esta ciudad.
III) Aproximadamente, un cuarto de la muestra no ve los noticieros
centrales de estos cinco canales.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
271
EJEMPLO PSU-7: Si se tabularan las frecuencias de las estaturas y
color de ojos de los alumnos de un curso, ¿cuál de las opciones
siguientes es siempre verdadera?
A) Con la moda de las estaturas se determina la estatura promedio del
curso.
B) Con la mediana del color de ojos se determina el color de ojos que
predomina.
C) Con el promedio de las estaturas se determina la estatura más
frecuente.
D) Con la mediana de las estaturas se determina la estatura más
frecuente.
E) Con la moda del color de ojos se determina el color de ojos que
predomina.
EJEMPLO PSU-8: Se pregunta a los alumnos de 4º Medio acerca de lo
que más les gusta hacer en vacaciones y sus respuestas están en el
gráfico de la figura. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es chatear.
II) A la mitad de los alumnos lo que más les gusta es ver TV o
jugar.
III) Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es leer o jugar.
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
272
EJEMPLO PSU-9: La tabla adjunta muestra la distribución de los
puntajes obtenidos por los alumnos de un curso en una prueba de
matemática. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) El total de alumnos que rindió la prueba es 40.
II) La mediana se encuentra en el intervalo 20 - 29.
III) El intervalo modal (o clase modal) es el intervalo 30 - 39.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
Intervalos de Frecuencia
puntaje
10 – 19
6
20 – 29
8
30 – 39
12
40 – 49
5
50 – 59
9
EJEMPLO PSU-10: El gráfico de la figura muestra la distribución de las
notas de matemática de un grupo de 46 estudiantes. ¿Cuál de las
siguientes opciones corresponde a los valores de la mediana y la moda,
respectivamente?
A) 4 y 5
B) 5 y 5
C) 4,1 y 4
D) 4,1 y 5
E) 4 y 4,5
EJEMPLO PSU-11: Tres cursos rindieron una misma prueba
obteniéndose los resultados que se indican en la tabla adjunta. ¿Cuál es
el promedio total de la prueba?
A) 4,25
B) 5,00
C) 5,16
D) 5,25
E) 5,50
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
273
EJEMPLO PSU-12: Los resultados obtenidos por un curso en una
prueba de Física fueron: 4; 5; 6; 6; 5; 3; 4; 7; 6; 5; 4; 5; 5; 6 y 4.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La mediana es 7
II) La moda es 5
III) La media aritmética (o promedio) es 5
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-13: La tabla adjunta muestra las frecuencias (f) de las
notas en la prueba de matemática, obtenidas por los alumnos de 4º
Medio de un liceo, ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son
verdaderas?
I) El 75% del curso obtuvo una nota igual o inferior a 5,5 Nota
f
II) La moda corresponde a la nota 5,0
3,0
3
III) El 15% del curso obtuvo la nota 4,5
3,5
5
IV) El 50% del curso obtuvo nota superior a 5.0
4,0
4
4,5
6
A) Sólo II y III
5,0
7
B) Sólo III y IV
5,5
5
C) Sólo I, II y III
6,0
4
D) Sólo I, II y IV
6,5
4
E) Sólo II, III y IV
7,0
2
Total
40
alumnos
EJEMPLO PSU-14: El cuadro siguiente muestra el número de artículos
vendidos en distintos días de la semana y uno de sus valores
acumulados ¿Cuántos artículos se han vendido en total hasta el término
del día miércoles?
Días
Nº
de Total
A) 24
artículos acumulado
B) 20
Lunes
C) 30
Martes
12
16
D) 8
Miércoles 8
E) Ninguna de las anteriores
Jueves
6
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
274
EJEMPLO PSU-15: Una misma prueba se aplica a dos cursos paralelos.
En uno de ellos, con 20 estudiantes, la nota promedio fue 6 y, en el
otro, con 30 estudiantes, la nota promedio fue 5. Entonces, la nota
promedio correspondiente al total de alumnos de ambos cursos es:
A) 5,7
B) 5,6
C) 5,5
D) 5,4
E) 5,3
EJEMPLO PSU-16: El gráfico de la figura representa la distribución de
las notas obtenidas por 15 niños en una prueba. ¿Cuál(es) de las
siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?
I) 9 niños obtuvieron notas mayores o iguales a 5.
II) La moda es la nota 5.
III) La quinta parte del curso obtuvo nota inferior a 4.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-17: Se compran 5 pantalones a $5.000, $8.000,
$10.000, $10.000 y $15.000. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I. La moda es $10.000.
II. La mediana es $10.000
III. El promedio es $9.600.
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
275
EJEMPLO PSU-18: En una muestra de alumnos de un colegio se tiene
la siguiente distribución de edades. La moda y la mediana de las edades
de ese grupo son:
moda
mediana
Edad Frecuencia
A) 16
17
13
5
B) 17
15
14
11
C) 15
17
15
1
D)
5
1
16
5
E) 17
16
17
13
EJEMPLO PSU-19: El promedio (media aritmética) de los números 3;
2; 5; 5 y 6 es
A) 4
B) 4,2
C) 5
D) 5,25
E) ninguno de los anteriores.
EJEMPLO PSU-20: La tabla adjunta muestra la distribución de sueldos
de 45 personas de una empresa. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
TRAMO
NÚMERO
DE SUELDO
EN
PESOS
PERSONAS
DESDE – HASTA
A
3
5.000.000 – 7.000.000
B
2
2.000.000 – 3.000.000
C
5
800.000 - 1.200.000
D
15
500.000 - 700.000
E
13
300.000 - 400.000
F
7
150.000 - 250.000
I) Hay exactamente 20 personas que ganan a lo menos $
400.000 de sueldo.
II) La mediana de la distribución se encuentra en el tramo D.
III) El total que se paga a las personas del tramo A es, a lo
más, $ 21.000.000.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
276
EJEMPLO PSU-21: Un estudiante obtiene las siguientes calificaciones:
4,8; 4,2; 4,3; 4,7; 5,0 y 4,0. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
I) Su media aritmética (o promedio) es 4,5.
II) Si elimina el 4,8 y el 4,2 su promedio no cambia.
III) Si elimina dos notas cualesquiera, su promedio no cambia.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-22: A dos cursos distintos se les aplicó la misma prueba
en iguales condiciones, obteniéndose las desviaciones estándares que se
muestran en la tabla adjunta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I) El curso Q es el más homogéneo.
II) El curso R es el más homogéneo.
III) El curso Q presenta mayor dispersión en las notas.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) Ninguna de ellas
CURSO PROMEDIO DESVIACIÓN
ESTÁNDAR
Q
4,6
1
R
5,2
0,8
EJEMPLO PSU-23: El gráfico de la figura, representa la distribución de
los puntajes obtenidos por un curso en una prueba. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El 40% de los alumnos obtuvo 30 puntos
II) 30 alumnos obtuvieron más de 20 puntos
1
III)
de los alumnos obtuvo 10 puntos
10
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
277
EJEMPLO PSU-24: La tabla adjunta muestra la frecuencia de las notas
de una asignatura de un curso de 38 alumnos, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La mediana de las notas es 4
II) La moda de las notas es 5
III) Más de un tercio del curso obtuvo nota menor que 4
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
Notas
1
Frecuencia 0
2
5
3
8
4
4
5
9
6
8
7
4
EJEMPLO PSU-25: Se ha lanzado un dado 100 veces y se obtuvo la
siguiente tabla:
Cara
1
2
3
4
5
6
Frecuencia 13 15 17 16 20 19
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El 50% de las veces se obtuvo un número par
II) El 30% de las veces resultó 1 o 3
III) El 20% de las veces salió el número 5
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-26: Si las edades de ocho personas se suman y se
dividen por ocho, ¿qué indicador estadístico se obtiene?
A) La moda
B) La media aritmética (o promedio)
C) La mediana
D) El rango
E) La desviación estándar
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
278
EJEMPLO PSU-27: En una muestra de alumnos de un colegio se tiene
la siguiente distribución de edades:
Edad Frecuencia
E1
N1
E2
N2
E3
N3
E4
N4
¿Cuál de las siguientes fórmulas permite calcular la edad promedio de
los alumnos de esta muestra?
E E2 E3 E 4
A) 1
4
E E2 E3 E 4
B) 1
N1 N2 N3 N4
C)
N1 E1 N2 E2 N3 E3 N4 E 4
N1 N2 N3 N4
N1 E1 N2 E2 N3 E3 N4 E 4
4
N N2 N3 N4
E) 1
4
D)
EJEMPLO PSU-28. El grafico siguiente muestra los precios de cierto
producto durante el primer semestre de este año. ¿Cuál(es) de las
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El precio más alto fue en Abril
II) El precio más bajo se registró en Junio
III) La mayor diferencia ocurrió en Mayo
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y II
E) Ninguna de las anteriores
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279
EJEMPLO PSU-29. ¿En qué empresa los sueldos de los empleados son
más homogéneos?
EJEMPLO PSU-30. Se realizó un estudio en una empresa acerca de los
años de estudio de sus obreros, obteniéndose los siguientes resultados.
¿Cuál o cuáles de las siguientes aseveraciones es (son) verdaderas?
I) Se encuestaron 24 obreros
II) 17 obreros tienen 10 o más años de estudio
III) 6 obreros tienen 8 ó 12 años de estudio
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) II y III
E) I, II y III
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280
EJEMPLO PSU-31. La información sobre las notas obtenidas por 15
alumnos de un curso está dada en la tabla adjunta. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)
I) Dos tercios de los alumnos obtuvieron notas 4 ó 5
II) 12 alumnos obtuvieron notas inferiores a 6
III) 9 alumnos obtuvieron notas iguales o superiores a 5
Notas Frecuencia
1
0
2
1
3
1
4
4
5
6
6
3
7
0
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-32. En la tabla adjunta, se muestran las respuestas a
una pregunta de una encuesta aplicada a un curso de 45 estudiantes, en
relación a la expresión “En la asignatura de matemática nos dan más
tareas que en las otras asignaturas”. El porcentaje de estudiantes que
está de acuerdo o totalmente de acuerdo con dicha expresión es,
aproximadamente, el
A) 42,2%
B) 26%
C) 26,7%
D) 57,8%
E) 19%
Respuestas
Totalmente de acuerdo
De acuerdo
Indiferente
En desacuerdo
Totalmente
en
desacuerdo
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f
7
12
5
16
5
281
EJEMPLO PSU-33. El gráfico circular de la figura muestra el resultado
de una investigación sobre el color del cabello de 1.200 personas.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) 360 personas tienen el cabello rubio
II) Más del 50% de las personas tienen el cabello rubio o negro
III) Hay tantas personas con el cabello rubio como personas con el
cabello castaño
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
Colorín
16%
30%
24%
EJEMPLO PSU-34. ¿Cuál es el promedio (o media aritmética) entre los
números 0,025; 0,035; 0,045 y 0,055?
A) 0,004
B) 0,08
C) 0,04
D) 0,4
E) 0,8
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282
XXV. TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
VECTORES
Un vector posee las siguientes características:
∗ Origen o también denominado punto de aplicación: corresponde al punto exacto
sobre el cual actúa el vector
∗ Dirección: está dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene
∗ Sentido: se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del
vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector
Dirección
Magnitud
Sentido
Origen
∗ Dos vectores son iguales al ser paralelos y tener la misma intensidad o
módulo
∗ Dos vectores son opuestos al tener igual intensidad y dirección, pero de
sentido opuesto
∗ Las coordenadas de un vector se denominan
componentes, además todo vector está definido por
dos puntos, y a su vez, cada punto tiene dos
componentes, una x y otra y, que corresponden a
las componentes cartesianas del vector
∗ Todo vector además posee módulo que
corresponde a la longitud o tamaño del vector, dado
por la expresión v x 2 y 2
∗ El vector o segmento orientado con origen en A y extremo en
B, se representa por el símbolo AB
Nota: v v
Adición de vectores.
Propiedades
∗ Conmutativa
abba
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283
∗ Asociativa
( a b) c a ( b c )
∗ Existencia elemento neutro a 0 0 a a, para todo vector a
∗ Existencia de elemento inverso a ( a) a a 0
Nota: El vector nulo 0 (cero) no puede representarse por una flecha: tiene módulo
nulo y carece de dirección y sentido
Adición de vectores
Se copia uno de los vectores, del extremo del primer vector se copia el segundo
vector y luego al unir los dos extremos se obtiene el vector resultante
La sustracción vectorial a b está definida por a ( b) , es decir, “el vector “
a ”más el opuesto del vector b ”
Al número real que pondera a un vector también se le llama escalar.
La ponderación cumple las siguientes propiedades.
a) k(a b) k a k b
b) (k n )a ka na
c) (kn )a k( na)
Nota. La ponderación permite expresar vectorialmente la
colinealidad de puntos. Si A, B y C son tres puntos
colineales, entonces existe algún número real k tal que:
AC kAB
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284
Definición: Se llaman transformaciones isométricas de una figura a las
transformaciones que no alteran la forma ni el tamaño de la figura sobre la que se
aplica; sólo pueden cambiarla de posición (la orientación o el sentido de ésta)
Entre las transformaciones isométricas están las traslaciones, las rotaciones (o
giros) y las reflexiones (o simetrías)
Una traslación es el movimiento que se hace al deslizar o mover una figura, en
línea recta, manteniendo su forma y su tamaño. En una traslación se distinguen
tres elementos:
Dirección: que puede ser horizontal, vertical u oblicua
Sentido: derecha, izquierda, arriba, abajo
Magnitud del desplazamiento: es la distancia que existe entre la posición inicial
y la posición final de cualquier punto de la figura que se desplaza. Al trasladar una
figura en un sistema de ejes coordenados es necesario señalar el vector de
traslación. Éste es un par ordenado de números (x,y) donde x representa el
desplazamiento horizontal e y representa el desplazamiento vertical
EJEMPLO PSU-1: Al punto (2, 3) del plano se le aplica una traslación,
obteniéndose el punto (5, 2). Si al punto (-2,-1) se le aplica la misma
traslación se obtiene el punto
A) (1, -2)
B) (-5, 0)
C) (3, -1)
D) (-5, 2)
E) (1, 0)
Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un
punto. Este movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura. En una
rotación se identifican tres elementos:
El punto de rotación (o centro de rotación) que es el punto en torno al cual se va a
efectuar la rotación: éste puede formar parte de la figura o puede ser un punto
exterior a ella.
Magnitud de rotación, que corresponde a la medida del ángulo determinado por un
punto cualquiera de la figura original, el centro de rotación, o vértice del ángulo, y
el punto correspondiente en la figura obtenida después de la rotación
El sentido de giro, que puede ser obtenido (en el sentido contrario al avance de los
punteros del reloj)
Nota: En una rotación se cumple siempre que la distancia entre un punto
cualquiera de la figura girada y el centro de rotación es la misma que la distancia
entre el punto correspondiente de la figura original y el centro de rotación.
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285
Rotación de 90º (x, y) ------- (-y, x)
Rotación de 180º (x, y) ------- (-x,-y)
EJEMPLO PSU-2: En la figura, al vértice C del cuadrado ABCD se le
aplica una rotación en180° en el sentido horario, con centro en A.
¿Cuáles son las coordenadas de C en su nueva posición?
A) En (2, 2)
B) En (2, 0)
C) En (4, 2)
D) En (0, 0)
E) En (0, 2)
Una reflexión de un figura geométrica respecto de un eje llamado eje de simetría es el
movimiento que transforma la figura de manera que cada punto P y su imagen P’
equidisten del eje de simetría y el segmento PP' sea perpendicular al eje de simetría
Nota:
(1) Una reflexión respecto de un eje es conocida como simetría axial
(2) Una reflexión respecto de un punto es conocida como simetría central
EJEMPLO PSU-3: En la figura, la imagen reflexiva del punto P, con
respecto al eje de simetría L, es el punto
A) Q
B) R
C) S
D) T
E) U
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286
Ejes de simetría: Si al aplicar una reflexión a una figura geométrica en torno a
un eje ésta se mantiene “invariante”, es decir, no cambia, diremos que ése es un
eje de simetría de la figura.
El cuadrado de la figura permanecerá igual si se refleja en torno a sus diagonales.
Ambas diagonales son ejes de simetría del cuadrado.
También permanecerá igual (o se superpondrá sobre sí mismo) si se refleja en
torno a los ejes determinados por los puntos medios de lados opuestos
Estos ejes también son ejes de simetría del cuadrado.
El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría
En el caso de los triángulos, tenemos:
Tipo
Ejes
Triángulo
equilátero
Tres ejes de simetría
Triángulo Isósceles Un eje de simetría
Triángulo Escaleno Ningún eje de simetría
En el caso de los cuadriláteros, tenemos:
Tipo
Ejes
Cuadrado
Cuatro ejes de simetría
Rectángulo
Dos ejes de simetría
Rombo
Dos ejes de simetría
Trapecio isósceles
Un eje de simetría
Trapezoide
Ningún eje de simetría
Nota: El círculo tiene infinitos ejes de simetría. Cada recta que pasa por el centro
es un eje de simetría del círculo.
Nota: En el caso de los polígonos regulares, estos tienen tantos ejes de simetría
como números de lados
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287
EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de los siguientes cuadriláteros tiene(n)
siempre ejes de simetría?
I) Cuadrado
II) Rombo
III) Trapecio
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
Teselar una superficie consiste en cubrirla completamente con “baldosas”, de
modo que éstas encajen perfectamente sin dejar espacios por cubrir
Con rectángulos, cuadrados y rombos es muy sencillo cubrir una superficie o
teselar. También es posible teselar con cualquier tipo de triángulos
Con polígonos regulares. La condición que debe cumplirse para recubrir una
superficie es que los ángulos que convergen en cada vértice sumen 360°.
Nota: Los únicos polígonos regulares que permiten teselar son los triángulos
equiláteros, los cuadrados y los hexágonos regulares. Todo cuadrilátero tesela el
plano
EJEMPLO PSU-5: El piso de un baño se puede teselar con 360
cerámicas cuadradas de 10 cm de lado cada una. Si se pudiera teselar
con cerámicas cuadradas de 30 cm de lado, entonces el número de
cerámicas que se ocuparían es
A) 120
B) 60
C) 40
D) 18
E) 12
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288
EJEMPLO PSU-6: Sea A un punto del primer cuadrante que no está en
los ejes, J es el reflejo de A respecto al eje x. Si H es el reflejo de J
respecto al eje y, entonces HJ es un segmento
A) paralelo al eje x.
B) paralelo al eje y.
C) de la bisectriz del segundo cuadrante.
D) de la bisectriz del primer cuadrante.
E) perpendicular al eje x.
EJEMPLO PSU-7: En la figura, Q es el punto medio de NP y S es el
punto medio de MQ . ¿Cuál es el punto de la figura que es su propia
imagen por la reflexión del eje MQ, como también por la reflexión del
eje NP ?
A) S
B) Q
C) P
D) N
E) M
EJEMPLO PSU-8: En la figura, se tiene un círculo de centro (−3, 2) y
radio 1, entonces la traslación de toda la figura al nuevo centro (2, 1)
sitúa al punto P en las coordenadas
A) (1, 2)
B) (2, 1)
C) (1, 1)
D) (2, 2)
E) (0, 2)
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289
EJEMPLO PSU-9: La figura se rota en el plano, en 180º en torno al
punto P. ¿Cuál de las opciones representa mejor la rotación de la figura?
A)
B)
C)
D)
E)
EJEMPLO PSU-10: En la figura, al punto B se le aplica una rotación en
90º con respecto al punto A, en el sentido horario. Las nuevas
coordenadas del punto B son:
A) (6,2)
B) (-3,6)
C) (6,-7)
D) (6,-3)
E) (6,-5)
EJEMPLO PSU-11: En la figura, ¿cuál es el punto simétrico del punto
A(-1,-2) con respecto a la recta y = 3?
A) (-1,8)
B) (1,8)
C) (-1,6)
D) (7,-2)
E) (-1,-4)
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290
EJEMPLO PSU-12: ¿Cuál(es) de los siguientes polígonos regulares
permite(n) teselar (o embaldosar) el plano?
I) Pentágonos.
II) Triángulos equiláteros.
III) Hexágonos.
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-13: ¿Cuál de los siguientes puntos es simétrico al punto
de coordenadas (8, - 3) con respecto al eje de las ordenadas?
A) (-8, -3)
B) (8, 3)
C) (-8, 3)
D) (-3, 8)
E) (3, 8)
EJEMPLO PSU-14: La en I) está formado por 5 cuadrados congruentes,
la figura en II) es un cuadrado y la figura en III) es un triángulo
equilátero. ¿Cuál(es) de ellas tiene(n) simetría central?
A) Sólo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) Un cuadrado tiene 4 ejes de simetría
II) Un rectángulo tiene 4 ejes de simetría
III) Un triángulo escaleno no tiene ejes de simetría
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
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291
EJEMPLO PSU-16: En la figura, ¿cuál es el punto simétrico al punto
P(2,3), con respecto a la recta L de ecuación y = x
A) (2,1)
B) (-2,3)
C) (-2,-3)
D) (2,-3)
E) (3,2)
EJEMPLO PSU-17: ¿Cuál de los siguientes puntos es simétrico al punto
de coordenadas (8, - 3) con respecto al eje de las ordenadas?
A) (-8, -3)
B) (8, 3)
C) (-8, 3)
D) (-3, 8)
E) (3, 8)
EJEMPLO PSU-18: En la figura, ABCD es un cuadrado simétrico con el
cuadrado A’B’C’D’ con respecto al eje y. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) D’ = (-5,6)
II) Ambos cuadrados tienen igual perímetro
III) Ambos cuadrados tienen igual área
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
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292
EJEMPLO PSU-19: En la figura, el triángulo MNS es simétrico (reflejo)
con el triángulo QPR respecto al eje T, entonces ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) RS T
II) QR // NS
III) PMR NQS
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-20: En la figura, el cuadrado dibujado con diagonal en
el eje y se traslada al cuadrado dibujado con línea punteada. ¿Cuáles
son los componentes del vector de la traslación?
A) (1,2)
B) (-2,1)
C) (-1,2)
D) (2,1)
E) (-2,-1)
EJEMPLO PSU-21: Se tiene un papel en forma de cuadrado, el cual
posee simetría central. ¿En cuál(es) de los siguientes casos se obtiene, a
partir de ese cuadrado, una nueva figura con simetría central?
I) Si se redondean todas las esquinas de la misma forma y
tamaño
II) Si se redondean sólo 2 esquinas adyacentes de la misma
forma y tamaño
III) Si se redondean sólo 2 esquinas opuestas de la misma forma y
tamaño
A) Sólo I
B) Solo III
C) Solo en I y en II
D) Solo en I y en III
E) En I, en II y en III
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293
EJEMPLO PSU-22: En la figura, ¿cuál
transformaciones rígidas permite obtener el
polígono P a partir del polígono Q?
de
las
siguientes
A) Simetría (reflexión) con respecto al eje y
B) rotación en 180º con respecto al origen
C) Simetría (reflexión) con respecto al eje y, y
una rotación en 180º con respecto al origen
D) simetría (reflexión) con respecto al eje x, y
una rotación en 180º con respecto al origen
E) Rotación de 90º con respecto al origen
EJEMPLO PSU-23: El triángulo ABC tiene coordenadas: A(2,3), B(-3,8)
y C(3,7). Si se aplica una traslación según el vector (5,-7), las nuevas
coordenadas del triángulo serán:
I) A’(7,-4)
II) B’(-8,1)
III) C’(8,0)
A) Sólo II
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-24: En la figura, el ABC se traslada según el vector
(4, 2). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) A se traslada al punto de coordenadas (6, 3).
II) La distancia entre A y su imagen según esta traslación es 2 5 .
III) El perímetro del triángulo que se obtiene por esta traslación, es
igual al perímetro del triángulo ABC.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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294
EJEMPLO PSU-25: En la figura, la circunferencia tiene radio 1 y la
1
semicircunferencia tiene radio
. Si se gira toda la figura en torno al
2
centro O en 180º, en el sentido de la flecha, el punto A, que está sobre
la semicircunferencia, queda en las coordenadas
1 1
A) ,
2 2
1
B) ,0
2
1 1
C) ,
2 2
1
D) 0,
2
1 1
E) ,
2 2
EJEMPLO PSU-26: Se tiene el triángulo cuyos vértices están ubicados
en los puntos A(1,2), B(3,2) y C(3,5). Si al triángulo ABC se le aplica
una traslación que sea paralela al eje x en una unidad a la izquierda, y
luego se le aplica otra traslación paralela al eje y en dos unidades hacia
arriba, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El nuevo vértice B queda ubicado en el punto (2,4)
II) El nuevo vértice C queda ubicado en el punto (2,7)
III) El nuevo vértice A queda ubicado en el punto (0,4)
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-27: El número de ejes de simetría que tiene un
triángulo con dos lados iguales y uno distinto es:
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
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295
EJEMPLO PSU-28: Dado el punto P de coordenadas (7,-9), ¿cuáles son
las coordenadas del punto simétrico de P con respecto al eje y?
A) (-7,-9)
B) (7,9)
C) (-7,9)
D) (-9,7)
E) (-9,-7)
EJEMPLO PSU-29: Si a un triángulo ABC de vértices A(1, 2), B(-2, 1) y
C(4, 0), se le aplica la traslación según el vector u (5,7) , ¿cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) A se transforma en A’(-4, 9)
II) B se transforma en B’(-3, 8)
III) C se transforma en C’(-1, 7)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Solo II y III
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296
EJEMPLO PSU-30: A la figura se aplica una simetría (reflexión) con
respecto al eje RS. ¿Cuál es la opción que muestra mejor la figura
resultante?
EJEMPLO PSU-31: Si el gráfico de la función f(x) se obtiene por
reflexión del gráfico de la función g(x) respecto de y = x. ¿Cuál de los
siguientes gráficos representa esta situación?
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297
EJEMPLO PSU-32: En la figura, las coordenadas del punto A son (–4, –
1), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s) ?
I) El punto simétrico de A con respecto
al eje y es el punto (4, – 1).
II) Al rotar el punto A en 90° en
sentido antihorario, en torno al
origen, se obtiene el punto (–1, 4).
III) Al trasladar el punto A dos
unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba, se
obtiene el punto (–2, 1).
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-33: ¿Cuál de las siguientes opciones representa una
simetría (reflexión) de la figura respecto a la recta L?
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298
EJMPLO PSU-34. En la figura el cuadrado A’B’C’D’ es la imagen del
cuadrado ABCD bajo una:
I) Rotación de 180º con centro en el origen
II) Simetría respecto al origen
III) Simetría respecto al eje x
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-35. La recta L es simetral del segmento AB . ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) AO OB
II) B es simétrico de A respecto a L
III) ARB es escaleno
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-36. El trazo AB , con A = (- 4, - 3) y B = (5, - 1), se
traslada 3 unidades a la izquierda en la abscisa y 5 unidades hacia
arriba en la ordenada. El nuevo trazo A' B' queda con coordenadas:
A) (-7, 2) y (2,4)
B) (-1, 2) y (8, 4)
C) (1, 0) y (10,0)
D) (-9, 0) y (0, 2)
E) (-7, 2) y (2, 6)
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299
EJEMPLO PSU-37. Todos los triángulos son congruentes. En qué
caso(s) son simétricos respecto de la recta L
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y III
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-38. La figura está formada por 4 triángulos equiláteros
congruentes entre sí ¿Cuál(es) de las figuras en I), en II) y en III) se
obtiene(n) por alguna rotación con respecto al centro de la figura 5?
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-39.
El dominó está formado por dos cuadrados
congruentes entre sí, como lo muestra la figura. Cada una de las figuras
presentadas en I), en II) y en III) están formadas por cuadrados
congruentes a los que forman el dominó. ¿Cuál(es) de ellas es (son)
posible(s) de embaldosar (teselar) completamente con el dominó?
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
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300
EJEMPLO PSU 40. Se desea teselar un baño cuadrado que mide 10 m
por lado. Se tienen tres tipos de baldosas: una cuadrada de lado 30 cm,
una rectangular de lados 30 y 10 cm y un triángulo rectángulo de
catetos 20 y 50 cm. ¿Con cuál de las baldosas se puede embaldosar el
baño completo?
A) Solo con los triángulos
B) Solo con los cuadrados
C) Con los cuadrados y rectángulos
D) Solo con los rectángulos
E) Con ninguna de las figuras
EJEMPLO PSU-41. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre
verdadera?
A) El triangulo tiene tres ejes de simetría
B) El rectángulo tiene cuatro ejes de simetría
C) La circunferencia tiene solo dos ejes de simetría
D) El trapecio isósceles tiene un eje de simetría
E) El cuadrado tiene solo dos ejes de simetría
EJEMPLO PSU-42. En el sistema de ejes coordenados de la figura se ha
ubicado el punto P(a, b) . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) siempre verdadera(s)?
I) El simétrico de P con respecto al eje x es P’(a, -b)
II) El simétrico de P con respecto al origen es P’(-a, -b)
III) El simétrico de P con respecto a un punto en el primer
cuadrante es otro punto que está en el primer cuadrante
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
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301
XXVI. TEOREMA GENERAL DE THALES
Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, entonces
ellas determinan segmentos proporcionales en dichas transversales.
L 1 // L 2 // L 3
Hipótesis:
M 1 y M 2 transversales
Tesis:
AB
BC
A' B'
B' C'
Nota: en una proporción es posible:
(a) alternar los términos medios
(b) alternar los términos extremos
(c) invertir las razones
(d) permutar las razones
(e) componer o descomponer la proporción respecto al antecedente o al
consecuente de cada razón
Teorema recíproco del teorema general de
Tales señala que:
“Si tres o más rectas son intersectadas por dos
transversales,
determinando
en
estas
segmentos proporcionales, entonces las rectas
son paralelas”
M1 y M2 transversales
AB A' B'
L1 //L 2 //L 3
BC B' C'
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302
EJEMPLO PSU-1: La figura muestra un rectángulo ABEF con
BC = 10, CF = 5 y CD = 4. ¿Cuánto mide el perímetro del trapecio ABCE?
A) 16
B) 22
C) 28
D) 32
E) 36
EJEMPLO PSU-2: En el triángulo ABC de la figura, se sabe que
AB = 48 cm, SP = 12 cm, y AP : PR : RB = 1: 2: 3, entonces el valor de
CB es:
A) 96 cm
B) 72 cm
C) 48 cm
D) 36 cm
E) 24 cm
EJEMPLO PSU-3: En la figura, el área del triángulo ABC es 90 cm2 y
AB // DE . ¿Cuál es el área del trapecio ADEB?
A) 36 cm2
B) 40 cm2
C) 50 cm2
D) 54 cm2
E) 60 cm2
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303
EJEMPLO PSU-4: En la figura, si L1//L2//L3, entonces ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
AG AB
I)
FE
CD
II)
III)
BG
CF
AG
AF
AG
GF
AB
AC
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-5: En la figura, AC // DE La medida de BC es
A) 25
B) 20
C) 9
D) 30
E) 14
EJEMPLO PSU-6: ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el valor de x es
12?
A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en III
D) Sólo en II y en III
E) En I, en II y en III
Álvaro M. Sánchez Vásquez
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304
EJEMPLO PSU-7: Una persona está situada en el punto A, y tiene al
frente dos postes ED y BC perpendiculares al plano, como se muestra en
la figura. Si la distancia entre el punto A y el poste BC es (4x + 5)
metros y la distancia entre los postes es (x + 5) metros, ¿cuántos
metros separan a la persona (punto A) del poste ED ?
A) 1 metro
B) 9 metros
C) 6 metros
D) 3 metros
E) 30 metros
EJEMPLO PSU-8: En la figura AB // CD . Si CD mide el doble de AB ,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) Los triángulos OAB y OCD son rectángulos
II) Los triángulos OAB y OCD son semejantes
III) AC 2 OA
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
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305
EJEMPLO PSU-9: En el triángulo ABC de la figura, PM // AB Si PM = 10,
AB = 15 y CT = 12, entonces ¿en cuál de las opciones se presenta la
proporción correcta para determinar el valor de x?
A)
B)
C)
D)
E)
10 12 x
15
12
10 12 x
15
x
10 x 12
15
12
10
12
15 12 x
10 12
15
x
EJEMPLO PSU-10: Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20
m; si el primer piso tiene una altura de 15 m y el segundo piso una
altura de 10 m, ¿cuánto mide la sombra proyectada por el segundo
piso?
A) 8 m
B) 10 m
C) 15 m
40
D)
m
3
E) No se puede determinar
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306
EJEMPLO PSU-11: En la figura, ED//BC . Si
AE
EC
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
AD 3
I)
DB 2
II)
III)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
EC
ED
AC
AE
3
, ¿cuál(es) de las
2
3
2
AB
AD
EJEMPLO PSU-12: Si en la figura L1//L2, entonces el valor de x es:
A) 2
B) 7
C) 12,5
D) 18
E) Ninguno de los valores anteriores
2
AD y FB 2CF , ¿Cuál de la(s) siguientes
3
aseveraciones es (son) verdadera(s)?
I) ED BF AE CF
EJEMPLO PSU-13. Si AE
II) AB//EF//DC
III) BC 3FC
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y III
E) I, II y III
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307
EJEMPLO PSU-14. Un agricultor tiene un terreno en forma de triángulo
rectángulo, como el triángulo ABC de la figura. Desea plantar hortalizas
y para ello divide el terreno en cinco sitios, con divisiones paralelas al
lado AC . Si en sector achurado plantará lechugas, ¿cuál es el área de
dicho sector?
A)
B)
C)
D)
E)
2
ab
5
6
ab
5
12ab
5
3ab
2
8ab
5
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308
EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS
INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS Nº 64 A LA Nº 70
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que
decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados
en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.
Usted deberá marcar la letra:
A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,
B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es,
C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son
suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las
afirmaciones por sí sola es suficiente,
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente
para responder a la pregunta,
E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son
insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información
adicional para llegar a la solución.
Ejemplo: P y Q en conjunto tienen un capital de $ 10.000.000, se puede
determinar el capital de Q si:
(1) Los capitales de P y Q están en razón de 3: 2
(2) P tiene $ 2.000.000 más que Q
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el
enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en
efecto:
P: Q = 3: 2, luego
(P + Q): Q = 5: 2, de donde
$ 10.000.000: Q = 5: 2
Q = $ 4.000.000
Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos
proporcionados en el enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2)
(P = Q + $ 2.000.000).
Por lo tanto, usted debe marcar la clave D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
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309
EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS
EJEMPLO PSU-1. Se puede determinar cuánto mide cada segmento de
una cuerda cortada en cuatro proporcionales si:
(1) La cuerda mide 72 cm
(2) La razón entre los segmentos es de 1: 2: 3: 6
A) (1) Por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-2. Si x e y son dos números distintos, se puede
x2 y2
determinar el valor de la expresión
si:
xy
(1)x + y = 8
(2)x – y = 2
A) (1) Por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-3. En la figura, O es el centro del círculo, la medida del
ángulo AOB se puede determinar si:
(1) El área del sector achurado representa el 40%
(2) la medida del ángulo ACB = 72º
A) (1) Por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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310
EJEMPLO PSU-4.
a
El valor numérico de log (ab) + log se puede
b
determinar si:
(1) a = 1.000
(2) b = 100
A) (1) Por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-5. En una frutería hay un cajón con manzanas, se puede
determinar el precio promedio de una manzana si:
(1) El cajón contiene 20 kilogramos de manzanas cuyo valor total
es $ 4.800
(2) El kilogramo de manzanas vale $ 240 y el cajón trae 100
manzanas
A) (1) Por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-6. m y n son números naturales, m + n + 1 es un
número impar si:
(1) m es un número impar
(2) m n es un número impar
A) (1) Por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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311
EJEMPLO PSU-7. En la figura, el triángulo FEC es semejante con el
triángulo BDE si:
(1) FCB CBD
(2) AC // BD
A) (1) Por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-8. ax + by es igual a bx + ay si:
(1) x = y
(2) a = b
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-9. En la figura, DE AB = 10. Se puede determinar la
magnitud AC si se sabe que:
(1) AD = 8
(2) BC = 5
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-10. En la figura, EB = 6. Se puede determinar el valor
de DB si:
(1) CE : EB = 3: 2
(2) AD = 5
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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312
EJEMPLO PSU-11. Se puede determinar el valor numérico de la
3
3
(x 3)2
9
z
expresión
y si:
(3 x)2
z
9
(1) z = 9
(2) y = 6
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-12. En una empresa, 20 trabajadores están enfermos.
Se puede saber el número total de trabajadores si:
(1) Enfermos: Sanos = 1: 3
(2) El 75% de los trabajadores están sanos
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Edad Frecuencia
5
2
6
X
7
10
8
6
EJEMPLO PSU-13. Juan compra caramelos tipo 1 que cuestan $7 c/u y
caramelos tipo 2 que cuestan $4 c/u. se puede determinar la cantidad
de caramelos de cada tipo que compró si:
(1) Gastó en total $ 170 y compró 9 caramelos más tipo 2 que
tipo 1
(2) Gastó en caramelos tipo 2 una cantidad que es múltiplo de 4
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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313
EJEMPLO PSU-14. En la siguiente tabla se muestra la edad de un
grupo de personas. Se puede determinar x si:
(1)
(2)
El promedio es 6
La mediana es 7
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-15. Se puede determinar el monto de una deuda si:
(1) La cuota mínima a pagar es el 5% de la deuda.
(2) La cuota mínima a pagar es de $ 12.000.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-16. Se puede determinar cuánto vale m si se sabe que:
(1) La tercera parte de m sumada con 2 resulta 7.
(2) Al restarle 1 al 20% de m resulta 2.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-17. Se pueden calcular las edades de Juanita y de su
madre si se sabe que:
(1) Actualmente la suma de sus edades es 44 años.
(2) Dentro de 11 años, la edad de Juanita será la mitad de la edad de
su madre.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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314
EJEMPLO PSU-18. Sea n = 7, se puede saber cuántas unidades es x
mayor que y si:
(1) x = n + y
x
(2) = y - 5
n
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-19. En la figura el trazo AC corresponde a la sombra de
la torre vertical AB, en un cierto momento. Es posible calcular la altura
de la torre si se sabe que, en ese mismo instante:
(1) Muy cerca de la torre, un poste vertical de 1 metro tiene
una sombra de 1 metro.
(2) Se conoce la medida del trazo AC .
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-20. En la figura, ABCD es un cuadrado, P es un punto
de la recta AB, M es la intersección de los segmentos PC y AD . Es
posible determinar el área del Δ PBC si:
(1) El lado del cuadrado mide 8 cm.
(2) Se sabe que M es punto medio de AD .
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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315
EJEMPLO PSU-21. Se tiene una bolsa con fichas verdes y rojas de igual
tamaño y peso. Se puede determinar la probabilidad de sacar una ficha
roja si:
(1) El número de fichas rojas es mayor que el número de
fichas verdes.
(2) El número total de fichas es 36.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-22. a2 + b2 = (a + b)2 si:
(1) a = 0
(2) b = 0
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-23. Si x es un entero comprendido entre 80 y 90, se
puede determinar el valor exacto de x si:
(1) x es múltiplo de 4
(2) x es múltiplo de 7
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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316
EJEMPLO PSU-24. Si x e y son enteros positivos, entonces se puede
x
saber el valor de si:
y
(1) y es el triple de x.
(2) La suma de x e y es 8.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-25. En el rectángulo ABCD de la figura, el perímetro
mide 28 cm. Se puede determinar el área achurada si
(1) AB : BC 4 : 3
(2) AC 10
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-26. En la figura, sen =
4
7
, se puede afirmar que
UT 7 si:
(1) US = 4
(2) L1 // L2
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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317
EJEMPLO PSU-27. Se puede determinar el valor de
(1) a: b = 5 : 2
(2) a + b = 21
2a b
si:
b
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
D) Ambas juntas, (1) y (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-28. Pedro e Iván estaban jugando con sus escuadras
haciéndolas girar sobre sus catetos. Se puede determinar la relación que
hay entre los volúmenes de los conos que se generan si se sabe que:
(1) Uno de los catetos de la escuadra de Iván, mide lo mismo que
un cateto de la de Pedro.
(2) El otro cateto de la escuadra de Iván, mide el doble de lo que
mide el otro cateto de la de Pedro.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-29. Se puede determinar la edad de Benjamín si:
(1) Benjamín es menor en 46 años que su padre que tiene el triple
de su edad.
(2) Al sumar la edad de Benjamín con 1950 se obtiene su año de
nacimiento que es 1973.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Álvaro M. Sánchez Vásquez
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318
EJEMPLO PSU-30. Un número entero se encuentra entre 50 y 90. Se
puede determinar el número exacto si:
(1) La suma de sus cifras es 9.
(2) El número es par.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-31. La figura, está formada por 3 triángulos rectángulos
congruentes. Se puede determinar el perímetro de la figura MNPQRM si
se sabe que:
(1) MQ = 12 cm
(2) PQ = 2 cm
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-32. Se puede determinar el porcentaje de mujeres que
son médicos en un país si se sabe que:
(1) El 52% de la población del país son mujeres.
(2) El 0,5% de la población son médicos.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-33. En un grupo de 40 mujeres donde sólo hay casadas
y viudas, se puede determinar el número de mujeres viudas si:
(1) La razón entre casadas y viudas es 5: 3.
(2) Las casadas son 25.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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319
EJEMPLO PSU-34. Cecilia tiene dos hijos. Ella es 25 años mayor que su
hijo menor. Se puede determinar la edad de Cecilia si:
(1) Entre sus dos hijos suman la edad de ella.
(2) La diferencia de edad de sus hijos es de 5 años.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-35. Se puede concluir que x es un número negativo si
se sabe que
(1) 4x es negativo.
(2) x – 3 es negativo.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-36. Sea b el doble de a y el a% del b% de H es 24. Se
puede determinar el valor de H si se sabe que:
(1) a = 10
(2) a + b = 30
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-37. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 8 cm, se
puede determinar el área del triángulo NME si:
(1) AE EC
; AM MD
(2) AN NM
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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320
EJEMPLO PSU-38. En la figura, CD // AB .Se puede determinar que el
triángulo ABC es congruente con el triángulo DCB si:
(1) = ε
(2) AC = AB CD
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-39. Un automóvil tiene un rendimiento promedio de 10
km por litro de bencina. Se puede determinar la velocidad promedio en
un viaje entre dos ciudades A y B, si se sabe que el automóvil:
(1) Gastó en el viaje 5 litros de bencina.
(2) Demoró en el viaje 30 minutos.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-40. Se puede determinar que existe semejanza entre
los triángulos ABC y DEC de la figura, si:
(1) DE es mediana.
(2)
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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321
EJEMPLO PSU-41. Sean n, m números enteros positivos y a = 2n 3m .
Se puede afirmar que el número
si se sabe que:
(1) n es impar.
(2) m es par.
a
es el cuadrado de un número entero,
2
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-42. Se puede determinar el precio de una lata de bebida
si:
(1) La lata de bebida vale $ 300 menos que el litro de leche
(2) El valor del litro de leche es múltiplo de $ 300
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-43. En la expresión 3a – 2b = 8 se puede determinar el
valor de a si:
(1) b es la mitad de a
(2) b + 2 = a
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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322
EJEMPLO PSU-44. En el triángulo ACD de la figura, BE//CD . Se puede
determinar la medida del segmento ED si:
(1) CD = 12
(2) = 3x
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-45. Si se tienen los valores 4, 6, 2, 9, 8, x, 5, 2, 7, 9, 6,
entonces se puede determinar el valor de x si:
(1) La moda es 6
(2) La mediana es 6
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-46. De acuerdo a los datos de la tabla adjunta, se
puede determinar el valor de a si:
(1) X e Y son inversamente proporcionales
(2) T e Y son directamente proporcionales
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
T
X
Y
C) Ambas juntas, (1) y (2)
5
354 432
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
10
a
b
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-47. La expresión
si:
ab 5
toma siempre un valor positivo
ab 8
(1) a es un número positivo
(2) a es un número par
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
323
EJEMPLO PSU-48. Sean m y p números enteros positivos, se puede
determinar exactamente el valor de ellos sí:
m 11
(1)
p 19
(2) (m p)2 22.500
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-49. La base de un triángulo es el doble de su altura, se
puede determinar siempre el valor numérico de la altura si:
(1) Se conoce el área del triángulo
(2) Se conoce el perímetro del triángulo
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-50. En la figura PT es tangente en T a la circunferencia
de centro O. PQ pasa por el centro de la circunferencia y la intersecta
en R y en Q, respectivamente. Se puede calcular el valor del radio si:
(1) Se conoce la medida de PT
(2) Se conoce la medida de RP
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
324
EJEMPLO PSU-51. Se tienen los números 3, 7, 9, 5 y x. Se puede
determinar el valor de x si:
(1) El promedio de los números es 8
(2) La mediana de los números es 7
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-52. Se puede determinar
x 2 y 2 2xy
, con x y , si se sabe que:
xy
(1) x + y = 5
(2) x – y = 3
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
el
valor
numérico
de
EJEMPLO PSU-53. En la figura, se puede determinar la medida de
AB si:
(1) AC BC 6 cm y AB BC
(2) AB : AC 2 : 3
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-54. Si c es un número entero positivo y G
entonces G es positivo si:
(1) a y b son positivos
(2) a y b son negativos
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
ab
,
c
325
EJEMPLO PSU-55. Las edades de dos personas están en la razón de
3: 4. Se puede determinar las edades si:
(1) La diferencia de edades es 5 años
(2) Las edades suman 35 años
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-56. Se puede conocer la edad de Paz si:
(1) La suma de las edades de su mamá y su hermana menor es
36 años
(2) La diferencia de edad entre Paz y su hermana menor es de 5
años
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-57. Se puede determinar el valor numérico de la
p
a
:
expresión
con m distinto de cero, si se conoce que:
m 3m
(1) p = 4
p
8
(2)
a
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
326
EJEMPLO PSU-58. En la circunferencia de centro O, PB y PD son
secantes, si PA = 6, entonces se puede determinar PC si:
(1) PA : AB =3: 2
(2) DC = 5
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-59. Se puede concluir que las expresiones (ax + by) y
(ay + bx) son iguales si se sabe que:
(1) a = b
(2) x = y
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-60. Juan compró caramelos de tipo I que cuestan $ 7
cada uno y caramelos de tipo II que cuestan $ 4 cada uno. Se puede
saber la cantidad comprada de cada tipo si:
I) Juan gastó $ 102 y compro 9 caramelos más del tipo II que del
tipo I
II) La cantidad pagada por los caramelos de tipo II es múltiplo de 4
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
327
EJEMPLO PSU-61. Una pieza rectangular de 10 metros por 20 metros
se puede embaldosar perfectamente (sin necesidad de recortar
baldosas) si:
(1) Se dispone de baldosas con forma de triángulos equiláteros de
lado 10 cm.
(2) Se dispone de baldosas con formas de triángulos rectángulos de
catetos 10 cm y 20 cm.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-62. Sea a: b = 2: 3. Se pueden determinar los valores
numéricos de a y b si:
(1) 2b: c = 6: 5 y c = 15
(2) a + b = 15
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-63. Si xn es un número entero, ¿qué se necesita para
que – x “sea positivo”
(1) n es impar
(2) x es un entero negativo
A) (1) por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
328
EJEMPLO PSU-64. En la figura se sabe que ED DC BC . Se puede
determinar x si:
(1) AB 4
(2) AC 6
A) (1) por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-65. ¿Qué se necesita saber para conocer los valores de
m, n y p si m + n + p = 24?
(1) m + n = p
(2) m = n =
p
2
A) (1) por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-66. Se puede determinar el valor numérico de la
expresión: 3m2 3n2 si:
(1) m – n = 2
(2) m + n = 10
A) (1) por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
329
EJEMPLO PSU-67. En una caja hay fichas verdes y amarillas. Se puede
determinar la cantidad total de fichas, si:
(1) La probabilidad de sacar una ficha verde es
2
6
(2) La probabilidad de sacar una ficha amarilla es
4
6
A) (1) por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-68. Un par de zapatos se vende con un 30% de
ganancia. Se puede conocer el precio de los zapatos si:
(1) La ganancia fue de $ 6.000
(2) Los zapatos se vendieron a $ 30.500
A) (1) por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-69. En la circunferencia se han trazado dos cuerdas.
¿Cuál es el valor de CD ?
(1) AB 11 y EC CD
(2) AC 7 y BC 4
A) (1) por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
330
EJEMPLO PSU-70. Para los números enteros m, n y t, la expresión
n
representa siempre un número entero si:
mt
(1) (m + t) es un divisor de n
(2) m y t son factores de n
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-71. Se tienen naranjas, tomates y papas que en
conjunto pesan 3 kg, se puede determinar el peso de las papas si se
sabe que:
(1) Las naranjas y las papas, juntas pesan 2 kg
(2) Los tomates y las papas, en conjunto pesan 1,750 kg
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-72. Un padre le dice a su hijo: “El dinero que tú tienes
es el 20% del dinero que yo tengo”. Se puede determinar el dinero que
tiene cada uno de ellos si se sabe que:
(1) Entre ambos tienen$36.000
(2) El padre tiene $24.000 más que el hijo.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
331
EJEMPLO PSU-73. Es posible afirmar que dos potencias de bases
positivas y exponentes enteros son siempre diferentes entre sí, al
cumplirse que:
(1) Las bases son diferentes
(2) Los exponentes son diferentes
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-74. En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C. es
posible determinar la medida del segmento AC si:
(1) El pie de la perpendicular CD está a 16 m de B
(2) El pie de la perpendicular CD está a 6 m de A
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJEMPLO PSU-75. En la figura, CE y DB son dos rectas que se
intersectan
perpendicularmente.
Se
puede
determinar
que
Δ ABC ∼ Δ ADE si se sabe que:
(1) CB // DE
(2) ∡ DEA = 75º
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
332
EJEMPLO PSU-76. Se tiene una caja con fichas del mismo tipo. Al
extraer al azar una ficha de la caja, se puede determinar la probabilidad
de que ésta sea roja, si se conoce:
(1) La cantidad total de fichas que hay en la caja
(2) La cantidad de colores de fichas que hay en la caja
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
333
RESPUESTAS
NÚMEROS ENTEROS
1
B
2
B
3
D
4
A
5
E
6
D
21
D
22
C
23
B
24
B
25
B
26
D
7
E
8
D
9
A
10
E
11
C
12
A
13
B
14
A
15
D
16
D
17
A
18
B
19
C
20
A
18
A
19
B
20
A
NÚMEROS RACIONALES
1
A
2
D
3
A
4
D
5
B
6
B
7
D
8
B
9
E
10
C
11
E
12
A
13
B
14
E
15
B
16
A
17
B
21
C
22
A
23
D
24
E
25
A
26
E
27
C
28
B
29
D
30
E
31
A
32
E
33
A
34
E
35
E
36
C
37
B
6
A
7
B
8
B
9
A
10
D
11
C
12
B
13
C
14
C
15
B
16
C
17
C
18
E
19
D
20
C
POTENCIAS EN Z
1
B
2
C
3
E
4
A
5
A
21
A
22
B
23
B
24
D
25
C
ÁLGEBRA y FUNCIONES
1
D
2
D
3
E
4
C
5
A
6
A
7
E
8
C
9
E
10
D
11
B
12
A
13
B
14
C
15
E
16
D
17
C
18
D
19
C
20
C
21
A
22
E
23
E
24
A
25
A
26
C
27
D
28
D
29
E
30
C
31
D
32
A
33
D
34
B
35
C
36
E
37
D
38
D
39
B
40
B
41
A
42
E
43
A
44
B
45
E
46
E
47
B
48
D
49
D
50
D
51
B
52
C
53
C
54
E
55
A
5
E
6
B
7
C
8
A
9
E
10
A
11
C
12
C
13
A
SIMBOLOGÍA
1
D
2
D
3
C
4
A
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
Página 334
RAZONES y PROPORCIONES
1
D
2
A
3
D
4
B
5
C
6
A
7
C
21
E
22
A
23
D
24
D
25
A
26
E
27
C
8
B
9
C
10
B
11
A
12
C
13
C
14
A
15
D
16
E
17
A
18
D
19
A
20
A
16
D
17
E
18
D
19
C
20
C
TANTO POR CIENTO
1
C
2
B
3
D
4
C
5
E
6
E
7
A
8
D
9
C
10
E
11
D
12
B
13
B
14
E
15
D
21
B
22
C
23
E
24
D
25
E
26
D
27
A
28
D
29
D
30
C
31
E
32
D
33
B
34
E
35
D
7
A
8
C
9
A
10
A
11
A
12
B
13
B
14
A
15
B
16
D
17
C
18
E
19
A
20
D
RAÍCES
1
B
2
A
3
E
4
B
5
D
6
B
21
E
22
A
23
A
24
B
25
C
26
D
ECUACIONES
1
C
2
C
3
A
4
B
5
B
6
C
7
B
8
E
9
D
10
C
11
E
12
E
13
A
14
C
15
B
16
A
17
C
18
D
19
A
20
C
21
B
22
B
23
B
24
A
25
E
26
C
27
B
28
B
29
D
30
C
31
B
32
B
33
A
34
C
35
D
36
A
37
E
38
C
39
D
40
A
41
D
42
D
43
A
44
A
45
B
46
E
7
E
8
C
9
D
10
A
DESIGUALDADES
1
A
2
C
3
D
4
A
5
E
6
D
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
Página 335
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
1
D
2
A
3
E
4
A
5
B
6
C
5
E
6
B
7
D
8
C
9
B
10
C
11
C
LOGARITMOS
1
E
2
C
3
E
4
A
FUNCIONES
1
C
2
B
3
B
4
E
5
E
6
D
7
D
8
D
9
A
10
B
11
D
12
A
13
B
14
D
15
C
16
D
17
C
18
D
19
E
20
E
21
E
22
B
23
A
24
B
25
A
26
A
27
D
28
E
29
D
30
A
31
A
32
C
33
C
34
E
35
D
36
E
37
A
38
D
39
B
40
C
41
C
42
A
43
D
44
C
45
D
46
C
47
B
48
C
49
D
50
A
51
B
10
E
11
C
12
E
13
D
14
D
15
D
16
D
17
B
18
C
12
E
13
A
EJE TEMÁTICO: GEOMETRÍA
UNIDAD: ÁNGULOS – TRIÁNGULOS
1
B
2
D
3
D
4
B
5
E
6
A
7
B
8
B
9
E
UNIDAD: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
1
D
2
D
3
E
4
B
5
D
6
E
7
C
8
C
UNIDAD: SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
1
E
2
A
3
C
4
E
5
E
6
A
7
C
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
8
E
9
B
10
A
11
C
Página 336
UNIDAD: CUADRILÁTEROS
1
B
2
B
3
C
4
D
5
D
6
C
7
E
8
A
9
D
10
B
11
B
12
E
13
B
14
B
15
C
16
E
17
D
18
A
19
E
20
B
21
A
22
A
23
E
24
C
25
A
26
E
27
C
28
A
29
B
30
B
31
E
32
C
33
A
34
E
13
C
14
B
15
A
16
B
17
A
18
B
19
E
20
A
UNIDAD: POLÍGONOS
1
E
2
D
UNIDAD: ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
1
B
2
B
3
C
21
C
22
A
23
A
4
B
5
C
6
C
7
D
8
E
9
C
10
D
11
B
12
C
UNIDAD: TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
1
A
2
D
3
B
4
C
5
C
6
A
7
B
8
C
9
C
10
D
11
A
12
D
13
A
14
D
15
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16
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17
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19
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20
B
21
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22
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23
C
24
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25
C
26
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27
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28
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29
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30
D
31
E
32
D
33
C
34
D
35
D
36
A
37
E
38
B
39
D
40
A
41
D
42
C
UNIDAD: RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
1
E
2
B
3
C
4
A
5
D
6
E
7
E
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
Página 337
UNIDAD: CUERPOS POLIEDROS – VOLUMEN
1
B
2
C
3
B
4
D
5
E
6
A
7
B
8
D
9
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10
C
11
A
12
A
13
E
14
B
15
D
16
B
17
B
UNIDAD: DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
1
A
2
B
3
B
4
D
5
D
6
B
UNIDAD: TRIGONOMETRÍA
1
A
2
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3
E
4
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5
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6
B
7
D
8
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9
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10
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11
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12
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13
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14
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15
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17
E
18
A
19
C
15
D
16
E
17
E
18
E
19
B
20
E
UNIDAD: TEOREMA DE THALES
1
D
2
B
3
C
4
C
5
A
6
D
7
D
8
B
9
A
10
A
11
D
12
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13
D
14
B
UNIDAD: ESTADÍSTICA
1
B
2
A
3
E
4
B
5
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6
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7
E
8
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9
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10
A
11
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12
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14
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21
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24
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26
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27
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28
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29
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30
D
31
E
32
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33
E
34
C
UNIDAD: PROBABILIDAD
1
C
2
D
3
B
4
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5
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6
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7
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8
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10
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11
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12
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13
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15
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16
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17
C
18
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19
C
20
E
21
E
22
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23
A
24
E
25
C
26
B
27
C
28
E
29
A
30
B
31
C
32
E
33
D
34
A
35
E
36
B
37
A
38
D
39
B
40
C
41
D
42
D
43
D
44
C
45
E
46
A
47
E
48
B
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
Página 338
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS
1
C
2
A
3
D
4
A
5
C
6
B
7
D
8
D
9
E
10
C
11
B
12
D
13
A
14
E
15
C
16
D
17
C
18
A
19
C
20
C
21
E
22
D
23
B
24
A
25
D
26
C
27
A
28
E
29
D
30
E
31
C
32
E
33
D
34
C
35
A
36
D
37
C
38
D
39
40
D
41
C
42
E
43
D
44
B
45
A
46
C
47
A
48
C
49
A
50
C
51
A
52
B
53
C
54
D
55
D
56
E
57
B
58
C
59
D
60
B
61
B
62
D
63
C
64
C
65
B
66
C
67
E
68
D
69
C
70
A
71
C
72
D
73
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74
C
75
D
76
E
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
Página 339
RECOPILACIÓN 1 DE EJERCICIOS PSU
CURSO: PRIMER AÑO MEDIO – CUARTO AÑO MEDIO
HABILIDADES: CONOCER – COMPRENDER – APLICAR – ANALIZAR –
SINTETIZAR – EVALUAR
1. (2)2 (3)2 (4)2 =
A) -25
B) -21
C) -3
D) 11
E) 29
2. Dada la siguiente sucesión de números decimales: 0,2, 2 10-3,
0,00002,.... ¿Cuál es el quinto término?
A) 2 • 10 5
B) 2 • 10 6
C) 2 • 10 7
D) 2 • 10 9
E) 2 • 10 11
3. A es inversamente proporcional al cuadrado de T. Cuando A es 2, el
valor de T es 3. Si T = 2, entonces el valor de A es:
A)
B)
C)
D)
E)
8
9
9
2
9
4
8
9
9
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
Página 340
4. ¿Cuál(es) de las siguientes opciones permite(n) calcular “un número
aumentado en su 25%”?
I) multiplicarlo por 5 y dividir el resultado por 4.
II) multiplicarlo por 1,25.
III) dividirlo por 0,8.
De las afirmaciones anteriores es(son) verdadera(s)
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.
5. ¿Qué porcentaje es 0,002 de 0,04?
A) 0,05%
B) 0,5%
C) 0,8%
D) 5%
E) 8%
6. Dada la siguiente secuencia de figuras: Cuál de las siguientes figuras
necesita 49 fósforos para ser construida?
A) la figura 23
B) la figura 24
C) la figura 25
D) la figura 99
E) la figura 100
7. Si el radio de una circunferencia es un número racional, ¿cuál(es) de
las siguientes magnitudes corresponde(n) a un número racional?
I. Su longitud o perímetro.
II. El lado del cuadrado circunscrito a la circunferencia.
III. El lado del cuadrado inscrito a la circunferencia.
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 341
8. Si 0,002 • 10 x = 2.000; entonces x =
A) -7
B) -6
C) 5
D) 6
E) 7
9.
2 8 210
10
A) 27
B) 5 18
C) 218 • 10-1
D) 236 • 10-1
E) 280 •10-1
10. Dada la sucesión: 2 • 21, 3 •22, 2 • 23, 3 • 24, 2 • 25,... ¿Cuál es el
cociente entre los términos que ocupan las posiciones 20 y 21, en ese
orden?
3
4
1
B)
4
4
C)
3
D) 3
E) 6
A)
11. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. (0,2) 2 = 25
II. (0, 1 ) 2 = 81
III. (0,1 6 ) 2 = 36
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 342
12. Los
4
de 0,008 escrito en notación científica es:
5
A) 64 • 10-4
B) 6,4 •10-3
C) 1 •10-2
D) 0,1 •10-1
E) 0,64 •10-2
13. Sebastián, Francisco y Leonardo compran queso para hacer una
pizza. Sebastián compró 260 gramos, Francisco
1
3
de kg y Leonardo
8
4
de kg. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. Sebastián compró menos que Francisco.
II. Leonardo compró más que Francisco.
III. Sebastián compró más que Leonardo.
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo III.
D) Sólo I y II.
E) Ninguna de ellas.
14. (a – 2b)2 – (b – 2a)2 =
A) 5a2 – 3b2
B) 5a2 + 3b2
C) -3a2 – 3b2
D) 5a2 – 8ab + 3b2
E) -3a2 + 3b2
15. El enunciado: “al doble de A le faltan B unidades para completar
quince”, se expresa mediante:
A) 2A – B = 15
B) 2A + 15 = B
C) 2A + B = 15
D) 2AB = 15
2A
E)
= 15
B
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 343
16. Si x2 – y
2
=2
y
x + y = 4, entonces 2x – 2y =
A) 0,25
B) 0,5
C) 1
D) 2
E) 4
4a2 b 2
17.
2b 4a
A) -a+b
B) -a-b
C) -4a-2b
2a b
D)
2
2a b
E)
2
18. Si los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 1:2:3,
entonces podemos afirmar que el triángulo es:
A) equilátero.
B) isósceles no rectángulo.
C) isósceles rectángulo.
D) escaleno rectángulo.
E) No se puede determinar
19. Si (a - b)2 = 25 y a2+b2 = 9, entonces ab =
A) -17
B) -8
C) 2
D) 8
E) 17
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 344
20. Se define a * b = a
A) 5
4
B)
7
7
C)
4
11
D)
4
5
E)
4
1
1
1
b
a + 1, entonces 2 * 3 =
21. Las edades de Enrique, Juan, Pedro y Eugenio suman 132 años. Si la
edad de Enrique es la mitad de la de Pedro, la de Juan es el triple de la
de Enrique y la de Eugenio es el doble de la de Juan, ¿cuál es la edad de
Enrique?
A) 11 años
B) 22 años
C) 33 años
D) 66 años
E) 77 años
22. ABCD es un cuadrado de lado “c” y PBRU es un rectángulo.
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde(n) al área de la
figura sombreada?
I. ab – c2
II. a(b – c) + (a – c)c
III. (a – c)b + c(b – c)
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo I y III.
E) I, II y III
23. 32x • 22x =
A) 52x
B) 64x
C) 12x
D) 24x
E) 36x
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 345
24. Según la información dada en la figura, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. El área de ABEF es a2 + 2ab + b2.
II. El área de la región achurada es (a + b)2 – ab.
III. El área de PQDF es 2a2 + ab
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.
25. Se define: a b =
ab
1
, entonces (3) =
ab
3
1
3
5
B)
4
4
C)
5
4
D)
5
5
E)
4
A)
26. Si a-1 + 1= 4 entonces
A) 2
B) 4
C) 6
4
D)
3
6
E)
5
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
a1
a
Página 346
27. En un rectángulo de 42 cm de perímetro, el largo mide tres
centímetros más que el doble del ancho. ¿Cuál es su área?
A) 36 cm2
B) 42 cm2
C) 54 cm2
D) 90 cm2
E) 270 cm2
28. El cuadrado ABCD de la figura se ha trasladado transformándose en
el cuadrado EFGH. ¿Cuál es la dirección de la traslación?
A) (1,2)
B) (1,-2)
C) (2,1)
D) (2,-1)
E) (-2,1)
29. Si el punto (-3,2) se gira en 90º en torno al origen, queda en el
punto:
A) (3,-2)
B) (2,-3)
C) (-2,-3)
D) (3,2)
E) (-2,3)
30. Con respecto a los triángulos de la figura, se puede afirmar que:
A) son congruentes por el criterio (L, L, L).
B) son congruentes por el criterio (L, A, L).
C) son congruentes por el criterio (A, L, A).
D) son congruentes por el criterio (L, L, A>).
E) no son congruentes necesariamente.
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 347
31. Si el punto (3,-2) se refleja en torno al eje Y queda en el punto
(a, b), entonces a + b =
A) -5
B) -1
C) 1
D) 2
E) 5
32. Según los datos de la figura, el valor de es:
A) 21º
B) 31,5º
C) 32º
D) 42º
E) Falta información.
33. Si el ABC de la figura, se traslada de modo que el vértice C queda
en el vértice A, entonces el punto B queda en el punto de coordenadas:
A) (3,1)
B) (-1,-3)
C) (-1,-2)
D) (0,-2)
E) (0,-3)
34. En la figura, EFRS es un cuadrado y C es su centro de gravedad. Si
el ABC es isósceles de base AB, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I. Δ CEA Δ CFB.
II. Δ SCE Δ RCF.
III. Δ CQE Δ CPF.
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.
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Página 348
35. Si los cuadraditos de cada figura son congruentes, entonces ¿con
cuál(es) de ellas se puede teselar (embaldosar) un plano?
A) sólo con I.
B) sólo con II.
C) sólo con III.
D) sólo con I y II.
E) sólo con I y III.
36. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras tienen Sólo dos ejes de simetría?
I. Cuadrado.
II. Rectángulo.
III. Rombo.
A) sólo I.
B) sólo II.
C) sólo I y II.
D) sólo II y III.
E) I, II y III.
37. La suma del lado de un cuadrado con su diagonal es 2 +
¿Cuál es el área del cuadrado?
2 cm.
A) 1 cm2
B) 2 cm2
C) 4 cm2
D) 8 cm2
E) 16 cm2
38. En la figura, AB BC y Δ ABC Δ ABE ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. CE AF
II. ∡ ACF ∡ AEF
III. ∡ CBE 2∡ CAE
A) sólo I.
B) sólo I y II.
C) sólo II y III.
D) sólo I y III.
E) I, II y III.
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PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
Página 349
39. ¿Con cuál(es) de las siguientes
(embaldosar) un plano?
I. Rombos.
II. Romboides.
III. Triángulos escalenos.
A) sólo I.
B) sólo I y II.
C) sólo I y III.
D) sólo II y III.
E) I, II y III.
figuras
se
puede
teselar
40. Si el punto A(-1,2) se refleja en torno a la recta x = 2, su imagen
queda en el punto:
A) (3,2)
B) (4,2)
C) (5,2)
D) (1,2)
E) (6,2)
RESPUESTAS
1
B
2
D
3
B
4
E
5
D
6
B
7
B
8
D
9
A
10
A
11
E
12
B
13
B
14
E
15
C
16
C
17
D
18
D
19
B
20
D
21
A
22
E
23
E
24
E
25
C
26
B
27
D
28
E
29
C
30
E
31
A
32
D
33
B
34
E
35
E
36
D
37
B
38
E
39
E
40
C
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
Página 350
RECOPILACIÓN 2.
1. Si f(x) = x2 – 3x, entonces f(-1) + f(2) =
A) -6
B) -2
C) 2
D) 4
E) 6
2. Si f(x) =
(a b)x
(a ≠ b), entonces f(a + b) =
a2 b 2
A) a + b
B) a - b
C) a2 – b2
D) a2 + b2
E) 1
3. Si x + y = 2, entonces x 1 y 1 =
A) 2
B)
1
2
C) 2xy
2
D)
xy
xy
E)
2
4. ¿Cuánto debe valer K para que las rectas de
L1: (1+k) x – y = 2; L2: (1-k) x + 2y = 3 sean paralelas?
ecuaciones:
A) -3
B) 3
C) 2
D) 2
E) No existe tal valor de “k”
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 351
5. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la de una recta que
es perpendicular a la recta de ecuación: y = punto (2,1)?
A) y - 1= 2(x - 1)
B) y - 1= -2(x - 2)
C) y - 2= 2(x - 1)
D) y - 1= 2(x - 2)
E) y - 1=
1
x + 3 y pasa por el
2
1
(x - 2)
2
6. ¿Cuál debe ser el valor de K para que el sistema de ecuaciones:
2x - ky = 3
4x + 2y = 5
NO tenga solución?
A) -4
B) -2
C) -1
D) 1
E) 2
7. Si 2x – y = 3 y | x | = 2, entonces el o los valores posibles de y
es(son):
I. 1
II. -7
III. 7
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo I y III.
E) Ninguno de ellos.
8. Si x e y son números reales distintos de cero tales que x 1 y 1 1 ,
entonces x + y =
A) 1
B) 2
C) x-y
D) xy
E)
1
xy
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Página 352
9. Las rectas de ecuaciones: L1: 2x-y-m = 0; L2: px+2y+m = 0 se
interceptan en el punto (2,-2). Entonces m + p =
A) -5
B) -1
C) 5
D) 6
E) 7
10. Si |x| corresponde al valor absoluto de x, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a la gráfica de la
función: y = -|x - 1|+1?
I. Pasa por el punto (-2,-2).
II. Intercepta al eje x en dos puntos.
III. Intercepta al eje y en el origen.
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.
11. Al simplificar la fracción algebraica:
2(a b) x(b a)
, resulta:
(a b)(2 x)
A) 1
B) -1
C)
1
2x
D)
1
ab
E) a – b
12. Si x = y, entonces
2y
2x
xy yx
A) -2
B) 0
C) 2
1
D)
xy
2(x y)
E)
xy
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 353
13. Con respecto a la recta de ecuación: x+2y - 3= 0, se afirma que:
I. Pasa por el punto (3,0)
II. Intercepta a la recta de ecuación 2x - y-1= 0 en el punto
(1,1).
III. Es perpendicular a la recta de ecuación 2x- y + 4= 0.
Es(son) verdadera(s):
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.
14. Con respecto a las rectas L1 y L2 de la figura: Se afirma que:
I. La ecuación de L1 es: y-1 =
II. La ecuación de L2 es: y =
2
(x-2)
3
3
x-2
2
III. Las rectas son perpendiculares.
Es (son) correctas:
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.
15. BCA es una semicircunferencia y ∡ ACO = 40º Entonces el ∡ABC
mide:
A) 20°
B) 40°
C) 50°
D) 70°
E) 80°
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 354
16. En la figura: L1 // L2 y L1 L3. Entonces x mide:
A) 1,5
B) 2, 6
C) 3
D) 3,3
E) 4
17. En la figura: PT es un segmento tangente a la circunferencia que
mide 6 cm. Si PA mide 4 cm, entonces AB mide:
A) 2 cm
B) 4 cm
C) 5 cm
D) 9 cm
E) 13 cm
18. Si EB y AD son perpendiculares a AC y CE respectivamente.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. ΔABF ~ ΔEDF.
II. ΔABF ~ ΔEBC.
III. ΔADC ~ ΔEBC.
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.
19. En la figura: L1//L2, entonces x =
A) 3
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
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Página 355
20. En la figura: O es el centro de la circunferencia, entonces ∡ x:
A) 20º
B) 100º
C) 120º
D) 140º
E) 160º
21. En la figura, los triángulos ABC y ADE son rectángulos en B y D
respectivamente. Según los datos dados, BC mide
A) 6 cm
B) 8 cm
C) 9 cm
D) 10 cm
E) 12 cm
22. En la figura: L1//L2//L3 Si AC = 12; DF = 15 y FE = 3, Entonces AB
mide:
A) 2,4
B) 4,8
C) 5,4
D) 6
E) 9,6
23. ABCD es un rectángulo y BE AC , entonces BE =
A) 3 cm
B) 4 cm
C) 4,8 cm
D) 2 2 cm
E) 2 5 cm
24. Según los datos dados en la figura, el ∡ x mide
A) 70°
B) 80°
C) 100°
D) 110°
E) 140°
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Página 356
25. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado “a”. Si M es el punto
medio del lado AD , entonces el área del Δ AEM es:
A)
B)
C)
D)
E)
a2
18
a2
12
a2
9
a2
6
a2
4
26. O: centro de la circunferencia. ¿Cuánto mide el ∡ x?
A) 40º
B) 70º
C) 100º
D) 120º
E) 140º
27. En la figura “B” es punto de tangencia, “O” centro de la
circunferencia. Entonces la medida del ángulo x es:
A) 120°
B) 90°
C) 60°
D) 45°
E) 30°
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Página 357
28. Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el número que
aparece sea un múltiplo de tres?
A)
B)
C)
D)
E)
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
29. Si se lanza la flecha de la ruleta de la figura, ¿cuál es la probabilidad
de que NO SALGA el color verde?
A)
B)
C)
D)
E)
1
3
5
12
7
12
2
3
3
4
30. Se tienen 10 fichas iguales numeradas del 0 al 9. Si se eligen 2 al
azar, reponiendo la primera, ¿cuál es la probabilidad de que sumen 5?
A) 0,04
B) 0,05
C) 0,06
D) 0,2
E) 0,4
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Página 358
31. Si se elige al azar un número entero par positivo entre los primeros
16 números naturales ¿Cuál es la probabilidad que el número sea divisor
de 36?
A)
B)
C)
D)
E)
7
16
3
8
1
2
1
4
9
16
32. En una caja hay 20 bolitas, 10 rojas y 10 verdes, cada color
numerado del 1 al 10. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita de
color rojo o mayor que 5?
A)
B)
C)
D)
E)
5
20
10
20
14
20
15
20
16
20
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Página 359
33. La ruleta de la figura se ha dividido en 4 sectores circulares
numerados del 1 al 4. Si L1 y L2 son líneas que pasan por el centro,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I. La probabilidad de que salga un número impar es igual a la
probabilidad de que salga par.
II. La probabilidad de que salga el “1” es igual a la probabilidad
de que salga un “4”.
III. La probabilidad de que salga un número mayor que “1” es 0,75.
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.
34. Si se lanza una moneda y un dado, ¿cuál es la probabilidad de que
salga sello y en el dado un número menor que 3?
A)
B)
C)
D)
E)
1
6
1
3
1
4
2
3
1
2
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Página 360
35. Una tómbola tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Al sacar una de las
bolas, la probabilidad de que el número grabado en ella sea divisor de 5
es:
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
1
5
2
5
3
5
1
4
36. Al lanzar la ruleta de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) SIEMPRE verdadera(s)?
I. La probabilidad de que salga un número par es
II. La probabilidad de que salga el “1” es
1
5
III. La probabilidad de que salga el “4” es
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo I y III.
E) I, II y III.
1
4
1
6
37. En una caja hay 18 bolitas entre verdes y rojas. Si la probabilidad
4
de sacar una bolita verde es , ¿cuántas bolitas rojas hay?
9
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 16
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Página 361
38. Se lanzan dos dados y se define la variable aleatoria: X = producto
de los puntajes. ¿Cuál es la probabilidad de que X > 20?
A)
B)
C)
D)
E)
4
36
5
36
6
36
7
36
8
36
39. En un colegio de Enseñanza Media, cada estudiante tiene derecho a
optar solo por una actividad extra programática. Si las tres cuartas
partes de los estudiantes eligen practicar deporte y una octava parte
elige artes, como muestra el gráfico. ¿Cuál es la probabilidad de que al
entrevistar a un estudiante del colegio, al azar, este responda que no
realiza actividades extra programáticas?
A)
B)
C)
D)
E)
1
8
1
4
5
8
7
8
3
8
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Página 362
40. De 25 televisores que se fabrican 1 sale defectuoso. ¿Cuál es la
probabilidad de escoger uno defectuoso en 100 televisores?
A)
B)
C)
D)
E)
1
25
1
50
1
100
1
20
2
25
RESPUESTAS
1
C
2
E
3
D
4
A
5
D
6
C
7
C
8
D
9
C
10
E
11
A
12
C
13
E
14
E
15
C
16
B
17
C
18
E
19
C
20
D
21
B
22
E
23
C
24
D
25
B
26
E
27
E
28
B
29
C
30
C
31
C
32
D
33
A
34
A
35
C
36
D
37
D
38
E
39
A
40
A
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Página 363
RECOPILACIÓN 3.
1.
50 18 32
A) 0
B) - 8
C)
8
D)
18
E)
72
2. ¿Cuál es el vértice de la parábola de ecuación y = x2 - 6x + 4?
A) (3, 31)
B) (-3, 31)
C) (6, 4)
D) (3, -5)
E) (-6, 76)
3. Con respecto a las soluciones de la ecuación x2 – 2ax – 3a2 = 0,
donde a ≠ 0, se afirma que:
I. Una es el triple de la otra.
II. Tienen signos distintos.
III. Su suma es un número positivo.
¿Cuál(es) de las afirmaciones anteriores es (son) siempre verdadera(s)?
A) Solo I.
B) Solo II.
C) Solo I y III.
D) Solo II y III.
E) I, II y III.
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Página 364
4. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a la gráfica de las
funciones: f(x)=x2+2 y g(x)=-x+1?
5. Si las soluciones de la ecuación x2 – px + 6 = 0 son 2 y 3,
entonces p =
A) -6
B) -5
C) 5
D) 6
E) Falta información.
6. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene como gráfica la siguiente?
A) y = -2x2 + 8x - 8
B) y = -x2 + 4x - 4
C) y = x2 - 4x + 4
D) y = -x2 - 4x + 4
E) y = -x2 - 4x - 4
7. Si a = 3 5 3 5 , entonces a2 =
A) 2
B) 4
C) 6
D) 10
E) 2 5
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Página 365
8.
2
2 1
2
2 1
A) -4
B) -2
C) 1
D) 2
E) 4
9. Si el vértice de la parábola de ecuación y = x2 – px + q es el punto
(2,3) entonces p + q =
A) -3
B) -2
C) 2
D) 5
E) 11
10. La solución del sistema de inecuaciones 2x – 3 < 5
-x + 4 < 2
A) [2, 4]
B)]2, 4[
C)]2, 4]
D) [2, 4[
E) Ø
es el intervalo
11. ¿Cuál es el conjunto solución del sistema de inecuaciones 3x – 1 > 2
-2x +1 >-1
A) IR
B) IR – {1}
C) Ø
D)]1, +∞]
E) [1, +∞[
12. A y B son dos eventos independientes. Si la probabilidad de que
ocurra A es p y de que ocurra B es q, ¿cuál es la probabilidad de que NO
ocurran ambos eventos?
A) (1 - p) q
B) p (1 - q)
C) (1 - p) (1 - q)
D) pq
E) 1 - pq
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Página 366
13. Si x ≠ 0, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son)
equivalentes al cociente
3
I)
x2
?
x
1
3
x
1
II) x 3
III)
x
A) Solo I.
B) Solo II.
C) Solo III.
D) Solo I y II.
E) Ninguna de ellas.
14. Con respecto a la función cuadrática y = -x2 + 4x, se afirma que:
I. Intercepta al eje x en dos puntos.
II. Intercepta al eje y en el origen.
III. Su vértice es el punto (2,4)
¿Cuál(es) de las afirmaciones anteriores es(son) verdadera(s)?
A) Solo I.
B) Solo II.
C) Solo I y II.
D) Solo I y III.
E) I, II y III.
15. Si sobre el blanco de la figura se lanza un dardo tres veces y nunca
cae fuera del disco, entonces ¿cuál es la probabilidad de que las tres
veces caiga sobre el sector marcado “rojo”?
8
27
B) 1
A)
1
27
1
D)
3
1
E)
6
C)
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Página 367
16. Si se lanza dos veces la flecha de la figura, ¿cuál es la probabilidad
de que en ambas oportunidades salga el color verde?
A)
B)
C)
D)
E)
1
3
1
6
1
9
1
12
1
144
17. Una persona contesta al azar 3 preguntas de verdadero o falso.
¿Cuál es la probabilidad de obtener sólo dos correctas?
A)
B)
C)
D)
E)
1
3
1
4
1
8
3
8
1
2
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Página 368
18. Si se lanza un dado tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que las
tres veces salga un número mayor que 4?
A)
B)
C)
D)
E)
1
8
1
9
2
9
2
3
1
27
19. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que el producto de
los puntos resultantes sea 4?
A)
B)
C)
D)
E)
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
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Página 369
20. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que el producto
de los puntos resultantes sea 6?
A)
B)
C)
D)
E)
4
36
5
36
6
36
7
36
12
36
21. Si se lanza un dado dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que la
primera vez salga un número mayor que 3 y la segunda vez salga un
múltiplo de 3?
A)
B)
C)
D)
E)
1
36
3
36
4
36
5
36
6
36
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Página 370
22. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de
los puntos obtenidos sea menor o igual que 3?
A)
B)
C)
D)
E)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
23. En una tómbola hay solamente bolitas verdes y blancas. Si el 75%
de las bolitas son verdes, ¿cuál es la probabilidad de sacar dos bolitas
blancas, reponiendo la primera?
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
1
8
1
16
1
25
16
49
24. Se tienen diez tarjetas iguales numeradas del 1 al 10. Si se eligen
tres tarjetas, reponiendo cada una de ellas luego de sacarla, ¿cuál es la
probabilidad de que las tarjetas sumen 5?
A) 0,002
B) 0,003
C) 0,004
D) 0,006
E) 0,2
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Página 371
25. Con respecto a la ruleta de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que
al lanzar la flecha dos veces, en ambas ocasiones salga el color verde?
A)
B)
C)
D)
E)
4
9
7
9
8
9
16
81
49
324
26. En el triángulo ABC de la figura, AE BC y EF AB . Si EC = 4 cm,
EB = 2 cm y BF = 1 cm, entonces ¿cuál es el área del ABC?
A) 3 2 cm2
B) 6 2 cm2
C) 3 3 cm2
D) 6 3 cm2
E) 12 3 cm2
27. Si es un ángulo agudo tal que sen = 0,6, entonces tg =
A) 0,75
B) 0,8
C) 1,25
D) 1,3
E) 1,6
28. En el ABC rectángulo en C de la figura, DB mide 5 cm más que AD
y la altura CD mide 6 cm, ¿cuál es el área del triángulo?
A) 6 cm2
B) 27 cm2
C) 39 cm2
D) 54 cm2
E) 78 cm2
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Página 372
29. Si tg = 0,75, entonces cos =
A) 0,4
B) 0,5
C) 0,6
D) 0,8
E) 4
30. En el ABC de la figura, ∡ CAD=45° y ∡ABC=30°. Si CD = a,
entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. AC = a 2
II. BC = 2a
III. DB = a 3
A) Solo I.
B) Solo II.
C) Solo I y II.
D) Solo II y III.
E) I, II y III.
31. En un colegio hay dos cuartos medios con 50 estudiantes en total.
En el 4º A hay 18 mujeres y en el 4º B hay 15 hombres. El total de
mujeres entre los dos cursos es 25. Si se eligen dos estudiantes al azar,
¿cuál es la probabilidad de que el primero sea un hombre del 4ºA y el
segundo sea una mujer del 4º B?
A)
B)
C)
D)
E)
1
35
12
35
17
50
5
44
7
250
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Página 373
32. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. sen 60° = cos 30°
II. sen 30° = sen2 45°
III. tg 30° > cos 60°
A) Solo I.
B) Solo II.
C) Solo I y II.
D) Solo II y III.
E) I, II y III.
33. Según los datos dados, x + y =
A) 4,5
B) 8
C) 9,5
D) 10
E) 10,5
34. El ACB es rectángulo en C y CHBE es un rectángulo. Si AC = 6 cm y
BC = 8 cm, ¿cuál es el perímetro del rectángulo?
A) 16 cm
B) 16,8 cm
C) 22,4 cm
D) 30,4 cm
E) 46,08 cm
35.
sen30º cos 60º
tg30º
A)
3
B)
3
2
3
3
D) 3
C)
E) 1
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Página 374
36. En un triángulo rectángulo, es uno de los ángulos agudos tal que
sen = 0,6. Si la hipotenusa mide 15 cm, ¿cuánto mide el cateto
mayor?
A) 9 cm
B) 11 cm
C) 12 cm
D) 13 cm
E) Falta información
37. Según los datos de la figura, x =
A) 2 2
B) 3 2
C) 2 6
D) 4 3
E) 18
38. En la figura, CD AB , ∡ CBA = 20º y ∡BAD = 70º. Si AE = 2 cm y
EB = 8 cm, entonces AD =
A) 4 cm
B) 6 cm
C) 8 cm
D) 2 5 cm
E) 10 2 cm
39. En una superficie sintética la probabilidad de que un deportista
resbale si la superficie esté mojada es 0,8. Si la probabilidad de que la
superficie esté mojada y que resbale el deportista es 0,02, ¿cuál es la
probabilidad de que la superficie esté mojada?
A) 0,025
B) 0,02
C) 0,25
D) 0,78
E) 0,8
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Página 375
40. En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C y EFGD es un
rectángulo. Si AE = 3 cm y ED = 4 cm, entonces BF =
A) 3 cm
B) 4 cm
C) 5 cm
16
D)
cm
3
9
E) cm
4
RESPUESTAS
1
B
2
D
3
B
4
A
5
C
6
B
7
A
8
E
9
E
10
B
11
C
12
C
13
D
14
E
15
C
16
E
17
D
18
E
19
B
20
B
21
E
22
C
23
C
24
D
25
D
26
D
27
A
28
C
29
D
30
E
31
A
32
E
33
E
34
C
35
A
36
C
37
C
38
D
39
A
40
D
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Página 376
RECOPILACIÓN 4.
1. log25 5 =
A) 0,1
B) 0,2
C) 0,3
D) 0,4
E) 0,5
2. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?
I. log4 2 = 0,5
II. log8 16 = 1,3
III. log 0,01 = -1
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.
3. (2 x 2 x )2 =
A) 4 x
B) 4 x 1
C) 2 x 1
D) 2 4x
E) 2 8x
4. log 8 + log 2 =
A) 0
B) 1
C) 4
D) 3 log 2
E) 4 log 2
5. Si 2 x = p, entonces 4 x =
A) 2p
B) p-2
C) 4p
D) p-4
E) p4
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Página 377
6. El conjunto de las soluciones de la ecuación (0,25)x 1
A) {-3}
B) {1}
C) {3}
D) {1,3}
E) {-3,1}
7. Si 3 x = 9 - y
1
21x
2
es:
; 2 x y = 0,125, entonces y – x =
A) 3-3
B) 3-2
C) 1
D) 3
E) 32
8. ¿Cuál es el conjunto de las soluciones de la ecuación logarítmica:
log x = log (x+18) – log (10 – x)?
A) {-6}
B) {-3}
C) {3}
D) {6}
E) {3,6}
9. Si 2x 2x = 0,25, entonces x =
A) -4
B) -3
C) -2
D) -1
E) 1
10. Si x3 = y2 (x > 0; y > 0), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I. x = 3 y 2
II. y = x x
III. 3 log x = 2 log y
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.
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Página 378
11. El conjunto de las
log (x+6) = 2 log x es:
soluciones
de
la
ecuación
logarítmica
A) {3}
B) {-2}
C) {2}
D) {3,-2}
E) Ø
12. La solución de la ecuación: 2 x 2 x 2 1 es x =
A) -4
B) -3
C) -2
D) -1
E) -
1
2
13. Sea la función f definida por f(x) = 3 x – 1. Si f(a) = 1, entonces a =
A) log2 3
B) log3 2
C) log 2 – log 3
D) log 3 – log 2
E) 0
14. Dos cilindros son tales que el primero tiene el doble de altura que el
segundo y su radio es la mitad del otro. ¿En qué razón están los
volúmenes de ambos cilindros?
A) 1: 1
B) 1: 2
C) 1: 3
D) 1: 4
E) 1: 6
15. La esfera de la figura está inscrita en el cilindro. Si el volumen de la
esfera es 36 π cm3, ¿cuál es el volumen del cilindro?
A) 9 π cm3
B) 18 π cm3
C) 27 π cm3
D) 54 π cm3
E) 432 π cm3
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Página 379
16. En el paralelepípedo recto de la figura, las coordenadas de los
vértices B y D son (3, 4,0) y (0, 4, 12) respectivamente. ¿Cuánto mide
la diagonal AD del paralelepípedo?
A) 5
B) 10
C) 12
D) 13
E) 17
17. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar la figura
en torno a la recta L?
A) 10 π cm3
B) 11 π cm3
C) 12 π cm3
D) 16 π cm3
E) 17 π cm3
18. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar el
triángulo de la figura en torno al cateto AB ?
A) 4,5 π 3 cm3
B) 9 π 3 cm3
C) 12 π 3 cm3
D) 18 π 3 cm3
E) 36 π 3 cm3
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Página 380
19. Un triángulo equilátero de lado “a” cm está ubicado en un plano
horizontal. Si este triángulo se traslada en dirección vertical “b” cm,
¿cuál es el volumen del cuerpo generado?
A)
a2b 3
cm3
2
B)
a2b 3
cm 3
4
C)
a2b 3
cm3
3
a2b 3
D)
cm 3
12
E)
a2b 3
cm3
6
20. ABCD es un rectángulo y AB es una semicircunferencia de radio
3
cm, tangente al lado C D. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera
al hacer girar la figura sombreada en torno al lado AB ?
A) 18 π
B) 24 π
C) 27 π
D) 36 π
E) 64 π
cm3
cm3
cm3
cm3
cm3
21. ABCD es un cuadrado y M es el punto medio del lado BC . ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. tg = 2.
II. tg β= 0,5.
III. γ= +β.
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.
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Página 381
22. ABCD es un cuadrado de lado 6 cm y DC es una semicircunferencia.
Si M y N son los puntos medios de los lados del cuadrado, ¿cuál es el
volumen del cuerpo que se genera al hacer girar la figura sombreada en
torno a la recta MN?
A) 6 π cm3
B) 9 π cm3
C) 12 π cm3
D) 24 π cm3
E) 36 π cm3
23. Según los datos dados, ¿cuál es el perímetro del trapecio de la
figura?
A) 13 3 cm
B) 18 3 cm
C) 11 + 2
3 cm
D) 16 + 2 3 cm
E) 22 + 2
3 cm
24. Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(4,0,0) ;
B(0,4,0) y C(0,0,4). ¿Cuál es su área?
A) 2 3
B) 4
3
C) 8
3
D) 12
E) 16
2
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25. La figura está formada por un rectángulo y una semicircunferencia.
¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al girar la figura
sombreada en torno al lado AD ?
A)
B)
C)
D)
E)
5
3
17
3
32
3
35
3
71
6
26. Las aristas del ortoedro miden 3, 2 y 1 tal como se indica en la
figura. ¿Cuáles son las coordenadas del punto A?
A) (1, 2, 3)
B) (2, 1,3)
C) (1, 3, 2)
D) (2, 3, 1)
E) (3, 2, 1)
27. Se ha efectuado un estudio de precios de un artículo. Para ello se ha
consultado en seis supermercados, obteniendo los siguientes valores:
$ 320; $ 350; $ 348; $ 332; $ 350; $ 327. ¿Cuál es la mediana de estos
datos?
A) $ 335
B) $ 338
C) $ 340
D) $ 349
E) $ 350
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Página 383
28. Un dado ha sido lanzado 19 veces obteniéndose los resultados que
se muestran en la siguiente tabla de frecuencias, ¿cuál es la mediana de
estos datos?
A) 2
B) 3
C) 3,5
D) 4
E) 5
Número Frecuencia
1
2
2
3
3
5
4
4
5
2
6
3
29. Las edades de 5 hermanos son 2, 12, 5, 9 y 12 años. ¿Cuál es de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. Su mediana es 5 años.
II. Su media es 8 años.
III. Su moda es 12 años.
A) Sólo I.
B) Sólo I y II.
C) Sólo II y III.
D) Sólo I y III.
E) I, II y III.
30. El gráfico adjunto muestra la distribución de notas de una prueba de
un curso electivo de Biología. ¿Cuál es la mediana de estas notas?
A) 5,0
B) 5,5
C) 6,0
D) 6,5
E) 7,0
31. Si la media entre a, b y c es p, ¿cuál es la media entre a-2, b-2 y
c-2?
A) p-6
B) p-3
C) p-2
D) p
E) p+2
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Página 384
32. El menor de 5 números consecutivos es “a”, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. La media es a+2.
II. La mediana es igual a la media.
III. La moda es 1.
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo I y III.
E) I, II y III.
33. Un curso tiene 40 alumnos y la distribución por edad y sexo se
muestra en la siguiente tabla: Si se elige un(a) alumno(a) al azar de
este curso, se puede afirmar que:
18
.
40
22
II. La probabilidad de que sea de sexo masculino es
40
III. La probabilidad de que sea de sexo femenino o tenga más de
24
15 años es
40
Es(son) correcta(s):
Hombres Mujeres Total
16
15 años
A) Sólo I.
> 15 años
22
B) Sólo II.
18
C) Sólo I y II.
I. La probabilidad de que tenga a lo más 15 años es
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.
34. Las estaturas de 8 alumnos seleccionados para representar a un
Colegio en un interescolar son las siguientes: (en cm) 170; 172; 173;
171; 170; 172; 173; 170. ¿Cuál es la mediana de estas estaturas?
A) 170,5
B) 171
C) 171,5
D) 172
E) 175
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Página 385
35. En el gráfico se muestran las horas de estudio diario que dedica
Pedro durante una semana. ¿Cuántas horas debe estudiar el viernes
para que la media de estudio diario durante esa semana sea de dos
horas?
A) 0
B) 0,5
C) 1
D) 1,5
E) 2
36. En un estacionamiento se toma una muestra de 34 vehículos para
realizar un estudio acerca del tiempo en el cual permanecen
estacionados. Los resultados se ilustran en la siguiente tabla:
¿En qué intervalo se encuentra la mediana de estos datos?
A) [0, 1)
B) [1, 2)
C) [2, 3)
D) [3, 4)
E) [4, 5)
Tiempo
(en
horas)
[0,1)
[1,2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
Frecuencia
14
10
6
3
1
37. Para vender sus naranjas un agricultor las envasa en bolsas de 2
Kg. Elige 30 bolsas al azar y en cada una de ellas cuenta la cantidad de
naranjas que contiene, obteniendo lo siguiente:
¿Cuál es la media de unidades por bolsa de esta muestra?
A) 10,87
B) 11
C) 11,2
D) 11,5
E) 12
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Unds.
9
10
11
12
13
Frecuencia
4
6
6
8
6
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38. El gráfico adjunto muestra la distribución por sexo de los tres
cuartos medios de un establecimiento educacional. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. Más de un 53% de los estudiantes son de sexo
masculino.
II. Menos de un 28% de los estudiantes son del 4º B.
III. La media de alumnos(as) por curso es 30.
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y III.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.
39. La media de las edades de tres hermanos es 10 años y la moda es 8
años, ¿cuál es la mediana?
A) 6 años
B) 8 años
C) 10 años
D) 14 años
E) Falta información
40. El precio del dólar vendedor durante el primer día del mes en seis
meses seguidos en una casa de cambio fue el siguiente: $510; $515;
$512; $508; $508; $519.
¿Cuál es respectivamente la mediana y la moda de estos datos?
A) $512 y $508.
B) $511 y $508
C) $511 y $519
D) $512 y $519
E) $512 y $508
RESPUESTAS
1
E
2
C
3
B
4
E
5
B
6
E
7
E
8
E
9
B
10
E
11
A
12
C
13
B
14
B
15
D
16
D
17
B
18
B
19
B
20
A
21
C
22
E
23
D
24
C
25
E
26
D
27
C
28
B
29
C
30
C
31
C
32
C
33
E
34
C
35
C
36
B
37
C
38
C
39
B
40
B
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Página 387
RECOPILACIÓN 5
1.
102 112 122 132 142
?
365
A) 10
B) 5
C) 2
D) 1
E) 3
2. (0,4)2 ?
5
A)
4
25
B)
4
4
C)
25
4
D)
5
4
E) 5
3. Si a cuatro docenas se le restan dos unidades, ¿cuántas unidades
quedan?
A) 48
B) 46
C) 40
D) 38
E) 36
4. Un supermercado promociona: “Lleve 5 paquetes y pague sólo 4”.
Entonces la rebaja es de un:
A) 1%
B) 5%
C) 20%
D) 25%
E) 80%
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5. En una cafetería se recarga en un 5% las cuentas canceladas después
de las 0 horas. Si a las 01 horas se canceló una cuenta de $ 2.100,
¿cuánto se habría cancelado antes de las 0 horas?
A) $ 1.890
B) $ 1.995
C) $ 2.000
D) $ 2.095
E) $ 2.205
6. Un labrador tiene pienso para alimentar a una vaca durante 18 días y
si fuera una oveja tendría para 36 días. ¿Para cuánto tiempo tendría
pienso si tuviera 2 vacas y una oveja?
A) 18 días
B) 12,5 días
C) 9,4 días
D) 7,2 días
E) 5 días
7. La tabla adjunta muestra la cantidad de combustible que tiene el
estanque de un vehículo mientras recorre una distancia por la carretera.
Si el vehículo inicia su recorrido en el kilómetro 0, entonces ¿cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
Distancia
recorrida 0
(Km)
Cantidad
de 30
combustible (lts)
50
100
150
200
250
25
20
15
10
30
I) E n el kilómetro 150, el estanque se encuentra en la mitad de su
capacidad.
II) Desde el inicio del recorrido y hasta el kilómetro 200, el consumo
de combustible es a razón de 10 Km/lt.
III) Después de recorrer 200 Km, el vehículo cargó combustible.
A) Sólo I
B) I y II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III
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8. En la sucesión: 10, 20, 40, x, 160, y; ¿cuáles son los valores de x e y
respectivamente?
A) 60 y 240
B) 80 y 240
C) 60 y 320
D) 80 y 320
E) 60 y 260
9. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)?
I)
3 27
II) 2 8
III)
8
2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y III
E) I, II y III
10.
−p − (q − p − (−q − p + r)) =?
A) −p − 2q + r
B) −p − 2q − r
C) 2p − 2q + r
D) 2p − r
E) −p − r
11. (x + y)2 − (x − y)2 =?
A) 0
B) 2y2
C) 2x2 + 2y2
D) 4xy
E) 4xy + 2y2
12. ¿Cuál de las siguientes alternativas es mayor si x = −2?
A) x2
B) −x3
C) x−1
D) −x−2
E) x
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13. Piense en un número. Multiplíquelo por 2, réstele 4, súmele 5, divida
el subtotal por 2, reste al cociente el número que pensó y este resultado
elévelo al cuadrado. ¿Qué número obtuvo?
A) 0
B) 1
1
4
1
D)
2
C)
E) Otro valor
14. ¿Cuál es el valor de m si
A)
1 3m
2m ?
3
1
3
B) 1
C) -
1
3
D) -1
E) -2
15. Un lápiz cuesta $ x, una regla cuesta $ 2x y un sacapuntas cuesta
$ x + 2. ¿Cuántos pesos hay que pagar al comprar 2 lápices, una regla y
2 sacapuntas?
A) 4x + 2
B) 5x + 2
C) 5x + 4
D) 6x + 2
E) 6x + 4
16. Al preguntarle a Jorge por la edad de su hijo, contestó: “Si al doble
de los años que tiene le quitan el triple de los que tenía hace 6 años se
tendrá su edad actual”. ¿Cómo se expresa algebraicamente este
enunciado?
A) 2x − 3x − 6 = x
B) 2x − 3(x + 6) = x
C) 2x − 3(x − 6) = x
D) x − 3(x − 6) = x
E) 3x − 2(x − 6) = x
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Página 391
17. Sea la expresión p = x2 − 2. Si x aumenta en 2, entonces p
experimenta un aumento de:
A) 4x + 4
B) x2 + 4x + 4
C) 2x2 − 4
D) x2 + 4x +2
E) x2
18. El promedio entre dos números enteros consecutivos es 4,5. ¿Cuál
es el antecesor del menor de dichos números?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 8
E) 9
19.
p 2 q5
?
(pq)3
A) p−5q8
B) p−2q8
C) p−2q2
D) p−5q2
E) p q2
20. El producto entre el 15% de m y el 20% de p, dividido por el 300%
de q, da como resultado:
mp
q
mp
%
B)
q
mp
C)
10q
D) mpq
E) Otra expresión
A)
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Página 392
21. Un chocolate se vende en barras de dos tipos A y B. si 6 barras A
cuestan $c y 9 barras B cuestan $d, ¿cuánto hay que pagar al comprar 2
barras A y 3 barras B?
A) $(6c + 9d)
B) $(3c + 3d)
C) $(12c + 3d)
cd
D) $
6
cd
E) $
3
22. Con una cuerda de largo t se construye un triángulo equilátero.
¿Cuánto mide el perímetro del triángulo?
A) t
B) 3t
t
C)
3
t2 3
D)
36
E) Faltan datos
23. El largo de un rectángulo mide 2x + 1 y su ancho mide x − 1.
¿Cuánto mide su perímetro si cada lado se aumenta en x unidades?
A) 3x
B) 5x
C) 10x
D) 3x 2
E) 6x 2
24. Un padre preocupado, para motivar a su hija en el estudio de la
matemática, se compromete a darle $ 1.000 por cada problema que
resuelva en forma correcta y, si está incorrecto, la hija le devolverá
$ 500 de su mesada. Después de resolver 50 problemas, la hija ganó
$ 35.000. ¿Cuántos problemas resolvió correctamente?
A) 35
B) 40
C) 45
D) 50
E) 60
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Página 393
25. La figura muestra la variación del IPC durante el los doce meses del
año 2.000. De acuerdo al gráfico podemos afirmar que:
I) La mayor variación se produjo en Marzo.
II) La mayor parte del año, la variación del IPC fue inferior al
0,5%.
III) Entre Septiembre y Octubre no hubo variación del IPC.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) I, II y III
26. La solución del sistema
7
xy 3 105
x
103
y
es:
1
A) x 10 2 ; y 10 2
B) x = 10;
y = 100
C) x = 0,1;
y = 102
D) x = 103 ; y = 1
E) x = 102 ; y = 10
27. Sea P un punto de la curva f (x) = 5x − 3. Si la ordenada de P es el
doble de su abscisa, entonces la distancia de este punto al origen del
sistema de coordenadas es:
A) 3
B) 3
C) 5
D) 5
E) Otro valor
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Página 394
28. Dada f (x) = x 2 - x + 2, el valor de f (−1) + f (0) + f (1) es:
A) 0
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
29. Si m es un número natural mayor que 2, ¿cuál es la relación
2
2
2
, b
y c
correcta entre las fracciones a
?
m
2m
m2
A) a > b > c
B) a > c > b
C) b > a > c
D) b > c > a
E) c > b > a
30.
A)
1
2
1
12 2
2
12 2
B)
2
5
C)
2 2
5
3 2
1
2
5 2
E)
6
D)
31.
log 3 4 log 272
log 3
A) 2
B) -2
C) 0
D) 3
E) Ninguna de las anteriores
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Página 395
32. La expresión que corresponde al gráfico de la figura es:
A) (x −1)(x + 3) = y
B) (x + 1)(x − 3) = 0
C) (x + 1)(x − 3) = y
D) (x − 1)(x + 4) = y
E) (x − 1)(x + 3) = 0
y
1
3
x
33. La ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenadas (1, 2)
y es paralela a la recta de ecuación 2x + y − 5 = 0 es:
A) 2x + y + 4 = 0
B) –2x + y + 4 = 0
C) –2x + y − 4 = 0
D) 2x + y − 4 = 0
E) –x + y + 4 = 0
34. ¿Cuál es el menor valor de x que satisface la ecuación x
A) -3
B) -4
C) 2
D) 3
E) 4
12
7?
x
35. Un ahorro de $5.000 se duplica cada 4 meses. ¿Cuánto dinero se
tiene en total al cabo de 3 años?
A) 5.000 9
B) 5.000 23
C) 5.000 2 4
D) 5.000 28
E) 5.000 29
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Página 396
36. La figura representa un hexagono regular y DF , DA y DB son tres
de sus diagonales. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son)
verdadera(s)?
I) ΔFED ΔBCD
II) ∡EDC ∡ FAB
III) DF DA
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y III
E) II y III
37. Si dos circunferencias son concéntricas, entonces ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) Sus radios son de igual longitud
II) Sus perímetros son iguales
III) Sus centros son coincidentes
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) I, II y III
38. En el Δ ABC de la figura, ¿cuánto mide el ∡ x?
A) 30º
B) 40º
D) 50º
D) 70º
E) Faltan datos
39.7 triángulos equiláteros de lado igual a P cm se ubican
sucesivamente a 3 cm uno del otro, como lo indica la figura. ¿Cuánto
mide el trazo AB ?
A) (P + 18) cm
B) (P + 21) cm
C) (7P + 3) cm
D) (7P + 18) cm
E) (7P + 21) cm
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Página 397
40. ¿Cuál de las siguientes transformaciones permite obtener el polígono
Q a partir del polígono P de la figura?
A) Rotación en 90º con respecto al origen
B) Rotación en 90º con respecto al punto (0, 1)
C) Simetría con respecto al eje Y
D) Simetría con respecto al eje Y y rotación en 90º
con respecto al punto (−1, 1)
E) Rotación en 180º con respecto al punto (0, 1)
41. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a una simetría de la
figura con respecto al eje L?
A)
B)
C)
D)
E)
42. ¿En cuál de los siguientes gráficos la función f(x) es la reflexión de la
función g(x) con respecto al eje Y?
A)
D)
B)
C)
E)
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Página 398
43. En la figura, las coordenadas del punto P son (−2, 1). ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La reflexión de P con respecto al eje X tiene coordenadas
(−2, −1).
II) La traslación de P según el vector (1, 1) da como resultado el
punto (−3, 2).
III) Al rotar P en −90º en torno al origen se obtiene el punto de
coordenadas (1, 2).
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y III
E) I, II y III
44. En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son)
verdadera(s)?
I) Δ ADE ~ Δ BDG
II) Δ AFC ~ Δ EFG
III) Δ ADE ~ Δ BAC
A) Sólo III
B) I y II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III
45. En la figura, AD//BE//CF , BE 2AD y CF 3AD . ¿Cuál(es) de las
siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?
I) Los triángulos OAD, OBE y OCF son semejantes.
II) OA 2AB
III) OF 3OD
A) Sólo I
B) I y II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III
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Página 399
46. ¿Cuál(es) de los siguientes segmentos AB está(n) dividido(s) por el
punto C en razón de 4: 3?
I)
II)
III)
A) Sólo II
B) Sólo III
C) I y II
D) I y III
E) I, II y III
47. Sandra mide 1,5 m y proyecta una sombra de 90 cm. ¿Cuál es la
estatura de Luisa si proyecta una sombra de 60 cm?
A) 1 m
B) 1,2 m
C) 1,5 m
D) 3,6 m
E) 10 m
48. Si AB//CD , Entonces x =?
A) 6
3
B)
2
2
C)
3
32
D)
3
E) Ninguna de las anteriores
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Página 400
49. Los vértices del Δ ABC de la figura
están ubicados en las
coordenadas (1, 0, 0), (1, 1, 0) y (0, 0, 1), respectivamente. ¿Cuál es
su superficie?
A)
3
B)
2
2
C)
2
3
D)
2
1
E)
2
50. En la circunferencia de centro O de la figura, el ∡ OAB mide 50º.
¿Cuánto mide el ∡ ACB?
A) 80º
B) 65º
C) 50º
D) 40º
E) Faltan datos
51. En la circunferencia de centro O de la figura, AB = 16. Si AD OD ,
entonces
¿cuál(es)
de
las
siguientes
proposiciones
es(son)
verdadera(s)?
I) CD 4 3
II) CO 8
III) CB 8 3
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y III
E) I, II y III
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Página 401
52. En el triángulo rectángulo de la figura, sen =?
A)
B)
p
2
p q2
q
p 2 q2
p
q
q
D)
p
E) Faltan datos
C)
53. Una paloma posada en la punta de un árbol de 15 m de altura,
observa una fuente de agua con un ángulo de depresión de 50a. ¿A
cuántos metros de distancia del árbol se encuentra la fuente?
15
tg40º
15
B)
tg50º
15
C)
sen50º
D) 15tg50º
E) 15cotg40º
A)
54. Se desea pintar un balón esférico de 0,4 m de diámetro. ¿Cuál es el
valor de la superficie a pintar?
A) 0,16 m2
B) 0,64 m2
C)
0,032
m2
3
0,256
m2
3
0,16
E)
m2
3
D)
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Página 402
55. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una letra de la palabra
“UNIVERSIDAD” ésta sea una vocal?
A)
B)
C)
D)
E)
4
10
5
10
1
11
4
11
5
11
56. Una urna contiene 3 bolas rojas, 5 verdes y 2 amarillas. Al extraer
una bola de la urna, ¿cuál(es) de las siguientes opciones es(son)
verdadera(s)?
I) Es más probable extraer una bola roja que una bola
amarilla.
II) La probabilidad de extraer una bola amarilla es
1
5
.
III) La probabilidad de extraer una bola roja o amarilla es
igual a la probabilidad de extraer una bola verde.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y III
E) I, II y III
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Página 403
57. Una biblioteca cuenta con 100 libros distribuidos de la siguiente
manera:
Literatura Historia Matemática Biología Filosofía
Español
35
20
15
6
5
Inglés
10
5
2
2
0
Al escoger un libro al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I) La probabilidad de que sea un libro en español es de un 81%.
II) La probabilidad de que sea un libro de Historia es de un 25%.
III) La probabilidad de que sea un libro de Biología en Inglés es
de un 25%.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) I y II
D) II y III
E) I, II y III
58. El curso de Jorge hace una rifa con 50 números del 1 al 50 y un solo
premio. Si Jorge compra todos los números cuyas cifras suman 7, ¿qué
probabilidad tiene de ganarse la rifa?
1
10
1
B)
50
4
C)
50
7
D)
50
E) No se puede determinar
A)
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Página 404
59. Una bolsa contiene fichas numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es la
probabilidad de que al escoger una ficha, ésta sea menor que 3 o mayor
que 6?
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
3
5
4
5
2
5
7
10
60. La media aritmética de los números 2,1; 2,3; 2,4; 2,1 y 2,6 es:
A) 2,1
B) 2,2
C) 2,3
D) 2,35
E) 2,4
61. La tabla adjunta muestra la distribución de edades de un grupo de
personas. De acuerdo a la tabla, la moda y la mediana de las edades del
grupo son:
Edad Frecuencia
18
11
19
13
20
5
21
6
22
1
A)
B)
C)
D)
E)
Moda
5
19
19
13
5
mediana
5
19
20
5
13
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Página 405
62. El gráfico de la figura representa la opinión de 300 personas
encuestadas sobre la margarina X.
Con la información contenida en el diagrama se puede concluir que:
I) La mitad de los encuestados ha probado la margarina X.
II) 20 encuestados prefieren la margarina X.
III) El 50% de la población no consume margarina.
¿Cuál(es) de estas afirmaciones es(son) verdadera(s)?
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) II y III
63. Al lanzar un dado 30 veces, se obtuvieron los datos registrados en la
tabla adjunta. Si el promedio aritmético de los datos es 3,6 3 , ¿cuál es el
valor de x e y, respectivamente?
A) 3 y 9
B) 5 y 7
C) 6 y 6
D) 7 y 5
E) Ninguna de las anteriores
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n
1
2
3
4
5
6
f
x
4
3
5
6
y
Página 406
64. Cinco personas compraron un computador en $ 300.000.
¿Qué cantidad de dinero aportó cada uno?
(1) Dos personas pagaron la mitad del valor total.
(2) La persona que más aportó puso $ 100.000.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
65. Andrés es alumno de 4º año y es candidato a la presidencia de su
curso. ¿Qué probabilidad tiene de salir elegido?
(1) El curso de Andrés está formado por 32 alumnos.
(2) Los candidatos son 5.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
66. Dos personas parten de un punto A. Una camina con pasos de largo
a hacia un punto B; y la otra, con pasos de largo b hacia un punto C.
¿Cuál es la distancia entre B y C?
(1) a = 70 cm y b = 50 cm
(2) ∡ CAB = 90º
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.
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Página 407
67. ¿Cuánto mide la superficie sombreada de la figura?
(1) ABCD cuadrado de lado 6 cm.
(2) Δ DCE rectángulo en E, isósceles.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
68.
x es un número entero si:
(1) x es un múltiplo de 4
(2) x es un múltiplo de 100
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
69. Se puede saber el volumen de un baúl de base rectangular si:
(1) Sus dimensiones están en la razón de 4: 3: 1
(2) La suma de todas sus aristas es 1.600 cm
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
70. ¿Cuál es la pendiente de la recta L1?
(1) L1 pasa por los puntos (1, 1) y (3, 2)
(2) L1 es perpendicular a la recta y = 1 – 2x
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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Página 408
RESPUESTAS
1
C
2
B
3
B
4
C
5
C
6
D
7
D
8
D
9
B
10
A
11
D
12
B
13
C
14
A
15
E
16
C
17
A
18
A
19
D
20
B
21
E
22
A
23
C
24
B
25
D
26
A
27
C
28
D
29
B
30
D
31
B
32
C
33
D
34
D
35
E
36
C
37
C
38
A
39
D
40
A
41
C
42
B
43
D
44
E
45
C
46
E
47
A
48
B
49
C
50
D
51
E
52
B
53
B
54
A
55
E
56
E
57
C
58
A
59
B
60
C
61
B
62
A
63
C
64
E
65
B
66
E
67
C
68
E
69
C
70
D
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Página 409
RECOPILACIÓN 6
1. ( 3 2)2 ( 3 2)( 3 2)
A) 4 3 8
B) 6 4 3
C) 4 3 2
D) 8
E) 0
2. (0,5)3
1
8
1
B)
2
C) 2
D) 6
E) 8
A)
3. Un tren viaja hacia un lugar distante a 101 km, con una velocidad de
20
km
¿Cuánto le falta por recorrer después de una hora y media de
h
viaje?
A) 61 km
B) 71 km
C) 91 km
D) 30 km
E) Ninguno de los valores anteriores
4. Se ha estimado en un estudio que el crecimiento anual de una
población es de un 10% de su tercera parte. Si la población actual tiene
3.000.000 de habitantes, entonces el número de habitantes estimado de
crecimiento para el próximo año es de:
A) 100.000 habitantes
B) 200.000 habitantes
C) 300.000 habitantes
D) 2.900.000 habitantes
E) 3.100.000 habitantes
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Página 410
5. Un químico dispone de dos soluciones de ácido sulfúrico, de
concentraciones 80% y 30%, respectivamente. ¿Cuántos litros de la
segunda solución debe mezclar para obtener 100 litros con una
concentración del 36%?
A)
B)
C)
D)
E)
88
34
36
24
12
6. En un balneario hay un total de 4.800 camas para alojar turistas. En
marzo, por cada 8 camas solo hay una ocupada. ¿Cuántos turistas más
podrían alojar en marzo?
A) 600
B) 3.800
C) 4.000
D) 4.200
E) 4.400
7. La siguiente tabla de valores representa la relación entre a altura x
(en metros) y la presión atmosférica P (en centímetros de mercurio) que
ejerce sobre un globo
Altura (x)
0
Presión
80
atmosférica
500 1.000 1.500 2.000 2.500
75
70
65
60
55
Entonces,
¿cuál(es)
de
las
siguientes
afirmaciones
es(son)
verdadera(s)?
I) Si el globo alcanzara una altura de 3.000 m, su presión
atmosférica sería 50 cm de mercurio
II) Para x = 2.000, la presión atmosférica baja 15 cm de
mercurio respecto a la altura cero.
III) La presión de la tabla está dada por P(x) = 80 – 0,01x
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
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Página 411
8. En la secuencia:
3 9 27 81
, ,
,
,........, el término n-ésimo es:
2 2 2
2
3n1
2
n
3
B)
2
3n1
C)
2
A)
3
D)
2
3
E)
2
n
n1
9. x [x (x y z)]
A) x y z
B) x y z
C) 2x y z
D) 3x y z
E) x y z
10. (2a x)2
A) 4a2 x 2
B) 2a2 4ax x 2
C) x 2 2ax 4a2
D) x 2 4ax 4a2
E) x 2 4ax 4a2
11. Si a = -2 y b = -1, entonces a3b2 ab
A) – 10
B) – 8
C) 4
D) 6
E) 10
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Página 412
12. El recíproco de la suma de un número real m, distinto de cero, con
el doble de su opuesto, se expresa como:
A) (m 2m) 1
B) m 1 2m
C) m 1 2m
D) (m 2m) 1
E) Ninguna de las expresiones anteriores
13. Si
2
3
B) 11
3x 6
4 , entonces x =
2
A)
14
3
8
D)
3
E) 17
C)
14. Una costurera compró 5 metros de cinta roja en $a y 8 metros de
cinta blanca en $ 1.000 más de lo que le costó la cinta roja. ¿Cómo se
expresa el valor, en pesos, de un metro de cinta roja más un metro de
cinta blanca, en función de a?
a 1.000 a
5
8
a 1.000 a
B)
5
8
a a
C) 1.000
5 8
5
8
D)
a 1.000 a
5 8
E) 1.000
a a
A)
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Página 413
15. Siendo x un número real mayor que 3, ¿cuál es la relación correcta
1
1
1
entre las fracciones a
, b
yc
2x
3x
1x
A) a b c
B) a c b
C) b c a
D) b a c
E) c a b
16. dentro de 4 años Anita tendrá 12 años y Benito 3x años. ¿Cuál era
la suma de sus edades hace x años atrás?
A) (12 – x) años
B) (4 – x) años
C) (x – 4) años
D) (x + 4) años
E) (2x – 4) años
17. Rodrigo compró 3 camisas distintas en $ 9m. Si la primera le costó
$(m + n) y la segunda $ 6m, entonces ¿cuánto le costó la tercera
camisa?
A) $(2m + n)
B) $ (2m – n)
C) $ (7m + n)
D) $ (7m – n)
E) $ (m – 2n)
18.
x12 y 6 z 4
x 4 z 2 y 3
A) 12
B) x 8 y 3 z 6
C) x 16 y 9 z 2
D) x 3 y 2 z 2
E) x 8 y 8 z 1
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Página 414
19. El promedio de un número par positivo y su sucesor par es igual al
exceso del doble del número sobre 1. Entonces, el número par es:
A) no existe ese número
B) 0
C) 2
D) 4
E) 6
20. En una chocolatería se venden chocolates por unidad. Alicia y Teresa
compraron los mismos tipos de chocolates. El paquete de Alicia contenía
una docena y media de chocolates y le costo
$ (x + 2). ¿Cuánto pagó
Teresa por su paquete si este contenía solo una docena de chocolates?
A) $ 3(x 2)
3x 6
2
x2
C) $
3
D) $ 2(x 2)
B) $
E) $
2x 4
3
21. En un local de frutas y verduras se venden naranjas y manzanas por
unidades. Si se compran 10 naranjas en $ (p + q) y 20 manzanas en
$ (2p – q), entonces ¿cuál es el valor, en pesos, de una manzana más
una naranja?
q
20
p
q
B)
5 20
p
C)
5
p
D)
4
E) 3p
A) 4p
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Página 415
22. Con un alambre de longitud x se forma un triángulo equilátero, ¿cuál
es la medida de su área?
x2 3
A)
2
B)
x2 3
4
C)
x2 3
6
D)
x2 3
12
E)
x2 3
36
23. Si la base de un triángulo es
¿cuánto mide su área?
5x
y su altura es el doble de la base,
4
15x
2
50x 2
B)
16
25x 2
C)
16
25x 2
D)
32
A)
5x
E)
8
2
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Página 416
24. Si r es un número racional, ¿cuál(es) de los siguientes números
es(son) siempre racional(es)?
I) ( 2 r)2
II) ( 2 r)( 2 r)
III)
2 r
2 r
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I, II y III
E) Ninguno de ellos
25.
A)
4
3 3
2
3 3
1
( 3 18)
3
B)
3 9
3
C)
3 3
D) 2(9 3)
E)
9 3
3
26. la figura muestra el consumo de agua de una familia, en todos los
meses del año pasado. De acuerdo al gráfico se puede afirmar que:
I) La mayor variación en el consumo se produjo entre marzo y
mayo
II) Solo entre los meses de enero y marzo no hubo variaciones
de consumo
III) El menor consumo se produjo en mayo
Es (son) verdadera(s):
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Ninguna de ellas
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Página 417
27. Juan compró 5 plátanos, 8 manzanas, 6 naranjas y 10 ciruelas; lo
plátanos cuestan $ 120 cada uno, cada manzana cuesta la tercera parte
de un plátano, cada una de las naranjas cuesta el doble del precio de
cada ciruela y esta última cuesta la décima parte de un plátano. ¿Cuánto
gastó Juan en toda su compra?
A) $ 1.112
B) $ 1.204
C) $ 1.184
D) $ 1.024
E) $ 1.256
28. En el sistema de ejes coordenados se ubican los puntos A(3,1),
B(0,4), C(-2,4) y D(1,1). Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) ABCD es un paralelogramo
II) El trazo BD es paralelo al eje y
III) (1,2) es un punto del trazo AD
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II, III
29. Si 4 (0,5)x 0,125 , entonces x =
A) -5
3
B) 2
C) -1
3
D)
2
E) 5
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Página 418
30. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?
1
I) log5
3
125
II) Si 2 log3 x 3, entonces x
III) Si logx 8 3, entonces x
1
27
1
2
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Todas ellas
E) Ninguna de ellas
31. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función
f(x) (x 1)2 2 ?
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Página 419
32. se crea una nueva flota de buses al sur de Chile. Desde la capital le
proponen las siguientes tarifas según la distancia recorrida:
Distancia (km) Precio ($)
0 – 100
2.000
101 – 300
3.600
301 – 600
4.800
Además, se agrega un valor fijo de $ 1.000 y si el kilometraje no
corresponde a un número entero, éste se aproxima al entero superior.
¿Qué gráfica representa la forma de cobro que tendrá esta nueva flota
de buses?
A)
C)
B)
D)
E)
33. En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son)
verdadera(s)?
I) La pendiente de la recta L es igual a 1
II) El punto (3,-3) pertenece a la recta L
III) La ecuación de la recta L es y + x = -3
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
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Página 420
34. El tercer término del trinomio cuadrado perfecto 9x 2 3 es:
A) x 2
B) 2x
1
C)
2x
1
D)
2x 2
1
E)
4x 2
35. Si el número de bacterias en un litro de leche se duplica en 4 horas
y suponiendo que la tasa de multiplicación es constante, entonces ¿en
cuánto tiempo se hará 32 veces mayor?
A) En 12 horas
B) En 16 horas
C) En 20 horas
D) En 24 horas
E) En 32 horas
36. En la figura, AE BE, AF BG y AB // CD . ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El CDE es isósceles
II) ADG BCF
III) El cuadrilátero FGDC es un trapecio isósceles
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) Todas ellas
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Página 421
37. Si dos cuadrados son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) Sus lados son de igual longitud
II) Sus áreas tienen igual medida
III) Los puntos de intersección de sus diagonales son
coincidentes
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II, III
38. En el triángulo ACD de la figura, BD DC . Entonces, el ∡ ADB en
función de α es:
A) 55º
B) 55º
C) 70º
D) 150º
E) 125º
39. En la figura, ¿cuál es el perímetro de la figura plana formada por 4
triángulos equiláteros congruentes cuyas alturas miden 3 cm?
A) 16 cm
B) 16 3 cm
C) 24 cm
D) 24 3 cm
E) 36 cm
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Página 422
40. En la figura, ¿cuál de las siguientes transformaciones permite
obtener el polígono P a partir del polígono Q?
A) Rotación en 180º con respecto al origen
B) Simetría con respecto al eje y
C) Simetría con respecto al eje y, y una rotación en 180º con respecto
al origen
D) Simetría con respecto al eje x, y una traslación
E) Ninguna de las anteriores
41. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría (reflexión)
de la figura respecto a la recta L?
A)
C)
B)
D)
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E)
Página 423
42. El gráfico g(x) se obtiene por reflexión del gráfico de función f(x)
respecto del origen. ¿Cuál de las siguientes opciones representa esta
situación?
A
C
B
D
E
43. En la figura, las coordenadas de P son (3,1), ¿cuáles de las
siguientes afirmaciones son verdaderas?
I) Al rotar P en torno al origen en 90º, y en sentido antihorario, se
obtiene el punto (-1,3)
II) El simétrico de P respecto al origen es el punto (-3, -1)
III) Al trasladar P dos unidades hacia abajo y luego se busca su
simétrico respecto al eje x se obtiene el mismo punto P.
A) Solo I y II
B) Solo I y III
C) Solo II y III
D) I, II, III
E) Ninguna de ellas
44. En la figura, el triángulo ABC es isósceles de base AB . ¿cuál(es) de
las siguientes semejanzas es(son) verdadera(s)?
I) ADB ∼ BEA
II) ADC ∼ BEC
III) AFE ∼ BFD
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II, III
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Página 424
45. En la figura AB // CD . Si CD mide el doble de AB , ¿cuál(es) de las
siguientes
afirmaciones
es(son)
siempre
verdadera(s)
Área OAB 1
I)
Área OCD 4
II) Los triángulos OAB y OCD son semejantes
III)
OD
BD
OA
OC
1
2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
46. En una población la razón entre el número de mujeres (M) y
hombres (H) es 2: 1 y entre mujeres y niños (N) es 2: 3,
respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) H: M: N = 1: 2: 3
II) H: N = 2: 6
III) H + M = N
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
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Página 425
47.
En
el
triángulo
ABC
de
la
figura,
DE // AB. Si DA 7, AC 15 y AB 7 , entonces ¿en cuál de las
opciones se presenta la proporción correcta para determinar el valor de
x?
7
x
15 8
8
B)
x
15
15 x
C)
7
8
7
x
D)
8 15
E) Ninguna de las anteriores
A)
48. Dos edificios en un momento proyectan una sombra, como se
muestra en la figura. Un edificio mide 72 m de alto y el otro 24 m y
ambos tienen 20 m de ancho. Si están separados por una distancia de
40 m, ¿cuánto mide la sombra formada por x + y?
A) 10 m
B) 20 m
C) 30 m
D) 40 m
E) 50 m
x
y
49. En la figura, los vértices ubicados en las coordenadas A(4,0,0),
B(4,4,0), C(0,4,0) y D(0,0,0) corresponden a un cuadrado. Si ubicamos
el punto E(2,2,4) y lo unimos a los vértices del cuadrado, se forma una
pirámide de base cuadrada, su área total y su volumen miden:
A) (16 5 16) y 64
64
B) (16 5 16) y
3
64
C) (8 5 16) y
3
D) (8 5 16) y 64
64
E) 16 5 y
3
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z
y
x
Página 426
50. En la circunferencia de centro O, de la figura, ∡ CBA = 36º. ¿Cuál
es la medida del ángulo CAB
A) 144º
B) 108º
C) 72º
D) 54º
E) 36º
51. En la circunferencia de centro O de la figura, AB es diámetro. Si
AM MO ON NB 2 cm , ¿cuál(es) de las siguientes igualdades
es(son) verdadera(s)?
I) CO 4 cm
II) CM 2 5 cm
III) CB 4 2 cm
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
52. Con los datos de la figura, la expresión sen cos
A)
B)
C)
m1
1 m2
2m
1 m2
2m
1 m2
D) m
E)
2m
1m
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Página 427
53. En la figura se muestran las torres P y Q separadas a una distancia
de 60 metros. Si se observan desde las bases contrarias, sus puntos
más altos con ángulos de elevación de 45º y 30º, la diferencia entre sus
alturas es:
A) 40 m
B) 40 3 m
C) 20(3 3) m
D) 60( 3 1) m
E) 60( 3 1) m
54. La figura está formada por el rectángulo ABCE y el triángulo
rectángulo ECD. Si BC 4AB 2CD 12 cm , entonces ¿cuál es el
volumen que se genera al hacer girar el cuadrilátero ABDE sobre un eje
que pasa por BD
A) 54 cm 3
B) 90 cm 3
C) (117 9 3) cm 3
D) 126 cm 3
E) 162 cm 3
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Página 428
55. Se tienen 3 dados distintos de aristas de igual longitud, uno de 6
caras, otro de 8 caras y otro de 12 caras (sus respectivos nombres son:
cubo, octaedro y dodecaedro). Sus caras están numeradas
correlativamente en cada uno de ellos. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La probabilidad de obtener un número par al lanzar un
octaedro y un dodecaedro es la misma en ambos dados
II) La probabilidad de obtener un número primo en un dodecaedro
es igual a la del cubo.
III) Obtener un divisor de seis al lanzar un cubo es igualmente
probable que obtener un divisor de ocho al lanzar un octaedro
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D)Solo I y II
E) Solo II y III
56. En un colegio, de los 120 alumnos de los tres primeros medios,
1
1
1
habla inglés,
alemán y
ambos idiomas, con excepción del
3
6
12
castellano que lo hablan todos. Entonces ¿cuál es la probabilidad de que
un alumno elegido al azar hable solo un idioma, además del castellano?
A)
B)
C)
D)
E)
1
12
1
3
1
4
5
12
7
12
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Página 429
57. La multicancha de un colegio se usa después de las 1900 hrs, solo
para apoderados repartidos por deporte de la siguiente forma:
Baby
Básquetbol Voleibol Tenis
fútbol
Nº de hombres
24
20
18
14
Nº de mujeres
12
26
18
22
Al elegir un apoderado al azar y sabiendo que cada uno de ellos
participa en un solo deporte, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
76
I) la probabilidad de que sea hombre es
154
36
II) La probabilidad de que juegue Básquetbol es
154
22
III) la probabilidad de que sea mujer y juegue tenis es
36
A)Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
58. Una caja contiene 9 fichas idénticas. Cada una de ellas contiene una
letra de la palabra SERPIENTE. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)
1
I) La probabilidad de sacar una E es
3
4
II) La probabilidad de no sacar una consonante es
9
20
III) La probabilidad de sacar una vocal o una consonante es
81
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II, III
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Página 430
59. Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea el
numero 5 ó un número impar?
A)
B)
C)
D)
E)
1
6
1
4
1
3
1
2
2
3
60. la tabla adjunta corresponde a las frecuencias de las notas de
matemática de un curso de 45 alumnos. Entonces, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) La mediana es 5
II) La moda es 6
III) La media aritmética es menor que la mediana
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
Notas Frecuencia
1
1
2
4
3
5
4
6
5
9
6
12
7
8
61. Se tienen los números 3, 5, 8, 10 y x, cuyo promedio es 15. De
acuerdo a esta información, ¿cuál es el valor de x?
A) 49
B) 30
C) 26
D) 19
E) 10
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Página 431
62. En los gráficos estadísticos se pueden inferir variables cualitativas.
En éste se representan los resultados de una prueba de matemática de
un curso de 30 alumnos. ¿Cuál(es) de estas variables podría representar
este gráfico?
I) la prueba demostró que los alumnos habían aprendido todos los
objetivos propuestos
II) Se propuso que el 80% de los alumnos conocieran a lo menos el
75% de los objetivos. Esto se cumplió
III) Este un curso de buena disposición para la asignatura
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo II y III
63. La siguiente tabla muestra el número de medallas ganadas por un
grupo de 100 deportistas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) FALSA(S)?
I) Hay 20 deportistas que ganaron lo más dos medallas
II) La mediana es 3,5
III) El 35% de los deportistas obtuvieron no menos de 5
medallas.
A) Solo I
B)Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
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Número
medallas
0
1
2
3
4
5
6
de Frecuencia
8
12
9
21
15
18
17
Página 432
64. En una parcela hay 480 árboles. Se puede determinar qué
porcentaje de estos árboles son duraznos si:
(1) El 20% de estos árboles son damascos
(2) El 55% de los árboles son frutales
A) (1) por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
65. Se puede determinar la razón entre los números positivos x y z si se
sabe que:
(1) x = 3m + z
(2) m = z
A) (1) por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
66. El perímetro de un rectángulo es de 80 cm. Se puede determinar el
ancho del rectángulo si:
(1) El largo es de 30 cm
(2) La razón entre el largo y ancho, respectivamente, es de 3: 1
A) (1) por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
67. Se puede determinar que a es un número negativo si se sabe que:
(1) a0 es 1
a
(2)
no es positivo
2
A) (1) por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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Página 433
68. Se puede determinar qué edad tendrá Luis cuando su hermano Juan
cumpla 16 años si se sabe que:
(1) En tres años más Juan cumplirá 18 años
(2) Hace siete años Luis tenía 6 años
A) (1) por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
69. Se puede saber qué porcentaje es la región achurada del cuadrado
ABCD de la figura si:
(1) E es punto medio de DB y FG // AD
(2) FC GB
A) (1) por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
70. En el triángulo ABC de la figura, AD DB . Se puede afirmar que el
triángulo ADC es congruente al triángulo BDC si:
(1) AC BC
(2) ∡ ADC = 90º
A) (1) por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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Página 434
RESPUESTAS
1
A
2
E
3
B
4
A
5
A
6
D
7
C
8
B
9
A
10
D
11
A
12
D
13
C
14
B
15
D
16
D
17
B
18
B
19
C
20
E
21
B
22
E
23
C
24
B
25
E
26
A
27
C
28
A
29
E
30
D
31
E
32
B
33
C
34
E
35
C
36
E
37
B
38
E
39
B
40
A
41
B
42
D
43
D
44
E
45
C
46
E
47
A
48
C
49
B
50
D
51
E
52
B
53
C
54
D
55
A
56
B
57
A
58
C
59
D
60
E
61
A
62
C
63
A
64
E
65
C
66
D
67
C
68
C
69
A
70
D
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Página 435
RECOPILACIÓN 7
3
1
0,8
2 es:
1. El valor numérico de la expresión 4
1
10
2
A)
7
200
B)
7
C) 3,5
D) 0,2
E) 0,035
2. Si n + 2 representa el mayor de una secuencia de tres números
naturales consecutivos mayores que cero, entonces, el cuadrado de la
suma de los dos menores es:
A) (n + 2)2
B) (n + 1)2 + 1
C) n2 + n
D) 2n2 + 2n + 1
E) 4n2 + 4n + 1
2,5 102 5 103
3. El valor numérico de la expresión
es:
5 102
2
A)
5
4
B)
5
C) 5 104
D) 4 102
E) 2,5 103
4. El gráfico de la figura muestra la recta de variación de x e y. Con los
valores dados, para que y = 24, el valor de x debe ser:
A) 128
B) 80
C) 20,8
D) 7,5
E) 0,13
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Página 436
5. Si x es un número real, entonces la expresión 5 x 2 es un número
real:
A) Para todo valor de x que pertenezca a los Reales
B) Para todo x real menor o igual a 5
C) Sólo para valores reales de x menores que 5
D) Para todo x real distinto de 5
E) Sólo para valores de x reales mayores que 5
6. La expresión:
0,8 0, 8 5,4
tiene un valor numérico de:
7
0,5
2
A) 1, 3
B) 1,17
13
C) 10
3
D)
4
E) 0
4,5
7
, y =
y z = 1,32, entonces, al ordenarlos en forma
2,5
4
creciente quedan:
7. Si x =
A) z, x, y
B) z, y, x
C) x, y, z
D) x, z, y
E) y, x, z
8. Una microempresa fabrica cierto tipo de embutido, con carne de
vacuno, cerdo, grasa y aliños en la razón 5: 4: 2: 1. Si se ha de fabricar
una partida de 114 Kg de embutido, necesitarán de carne de cerdo:
A) 9,5 Kg
B) 19 Kg
C) 28,5 Kg
D) 38 Kg
E) 48 Kg
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Página 437
9. Si un número x es aumentado en un 8% resulta 810. ¿Cuál será el
valor de ese número, disminuido en un 8%?
A) 596
B) 686
C) 810
D) 750
E) 690
10. Se sabe que Q crece en forma directamente proporcional al
cuadrado de R, e inversamente proporcional a x, con constante de
proporcionalidad 0,8. Cuando R = 15 ¿Cuál debe ser el valor de x para
que Q = 5?
A) 0,028
B) 36
C) 7,2
D) 5,76
E) 900
11. La tía Anita le compró a uno de sus nietos un triciclo que le costó
$30.464, incluyendo un 19% de impuesto. ¿Cuál es el monto del
impuesto pagado por ella en esta compra?
A) $2.560
B) $5.788
C) $5.184
D) $4.864
E) $1.603
12. ¿Cuál de los siguientes valores se acerca más a y = 3x2 – 3,5x – 1
2
cuando x = - ?
3
9
5
B) 2,5
13
C)
5
D) 3
E) –2
A) –
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Página 438
1,5 m
, con m y t
t2
mayores que cero. Si t aumenta al doble, entonces el valor de V:
13. Cierta magnitud V varía según la relación: V =
A) Se hace 4 veces mayor
B) Se duplica
C) Queda igual
D) Disminuye en un 50%
E) Disminuye al 25%
14. La expresión: p2 + p – 20 es divisible por:
A) p – 4
B) p + 4
C) p – 5
D) 5 – p
E) -4 – p
15. Un notario público debe repartir una herencia de 4k2 + 17k – 15
hectáreas de terreno entre
k + 5 herederos. Cada uno recibe, en
hectáreas de terreno:
A) k – 3
B) 4k – 3
C) k + 3
D) 4k + 3
E) (2k – 4)2
16.
x 2 5x 66
x 2 22x 121
x6
x 11
x6
B)
x 11
x6
C)
x 11
D) x + 6
E) 17x + 55
A)
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Página 439
17. La diagonal de un cuadrado de lado (t – 1) es:
A) (t – 1)(t + 1)
B) t 2 1
C) t 2
D) t 2 1
E) t 2 2
1
2
18. Si u = -4, entonces u2 10 u 1 =
2
A) 7
B) -1
C) -5
D) -11
E) -15
19. En la figura, las coordenadas del punto P son:
A) (-4, 5)
B) (-4, -5)
C) (4, 5)
D) (5, 4)
E) No se puede determinar
1
x y
20. Si x = -2 e y = 3, entonces: =
y x
6
A) 13
6
B)
5
C) – 6
1
D)
2
5
E) 6
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Página 440
21. Un rectángulo tiene (xy – 2x + y – 2) cm2 de área. Si uno de sus
lados mide (x + 1) cm, entonces el otro lado mide:
A) y + 1
B) y – 1
C) y + 2
D) y – 2
E) 2y – 1
1
22. Si u = 0,8 y v = 0,02, entonces:
v
u
A) 505
B) 500,8
40
C)
D)
5
2.500
2
1 5
E)
50
23. ( + 5) ( - 5) – ( - 3)2 =
A) 2(2 + 3 - 17)
B) 2(2 + 3 - 8)
C) 2(3 - 17)
D) 2(3 - 8)
E) –16
24. Si p 0, entonces:
1
q2
p
4
p
(p 2q)(p 2q)
4p
(p 2q)(p 2q)
B)
p
A)
p 2 4q2
4
(p 2q)2
D)
4p
C)
E) p 2
4q2
p
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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25. Si y = 20 (1 – 2-x), el valor de y cuando x = 3 es:
A) –140
B) 17,5
C) 24,5
D) 180
E)
100
6
26. La concentración de CO2 en la atmósfera a partir del año 1960
puede ser modelada por la función C = 315 + 0,8t + 0,02t2, en donde C
es la concentración de CO2 en ppm (partes por millón) y t son los años
transcurridos a partir de 1960 (año cero). Sobre la base de esta
propuesta, podemos afirmar que entre 1970 y 1980 la concentración de
CO2 en la atmósfera:
A) Disminuyó a 325 ppm
B) Aumentó en más de 300 ppm
C) Aumento en 14 ppm
D) Aumentó en 10 ppm
E) Aumentó en menos de 5 ppm
27. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es una recta perpendicular a la
recta
y + 4x = 5?
A) y = 4x – 5
1
x+2
5
1
C) y =
– 4x
5
1
D) y = - x + 2
4
1
E) y = x
4
B) y = -
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28. Ciertos biólogos marinos han propuesto que el peso P, en gramos,
de una variedad de pez es función lineal de su longitud L, en
centímetros. De acuerdo a los datos del esquema gráfico de la figura, la
función es:
A) P = 20 L + 400
B) P = 25 L + 12,5
C) P = 12,5 L + 25
D) P = 12,5 L + 40
E) P = 12,5 L – 25
29. Cierta variable N es función de x, de modo que: log N = 1 +
¿Cuál es el valor de x para N = 1.000?
1
.
1 2 x
A) –2
1
B) –
2
C) 2
1
D)
2
E) 1
30. Considere en la figura, la gráfica de una función f(x). De acuerdo a
esta:
I) f(x) es decreciente en todo el dominio de la función.
II) Si 0 < x < r ⇒ f(x + 1) > f(x)
III) f(r) – f(0) = b
Es (son) correcta(s):
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
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Página 443
31. En la función f(x) = x2 – 5, el valor de f(x + 1) – f(-5) es:
A) x2 + 2x – 24
B) x2 + 2x + 16
C) x2 + 2x + 6
D) x2 + 12x + 31
E) x2 + 1
32. El valor numérico de la expresión:
A)
7
26
B)
6
27
3
4
es igual a:
8
1
1 6
C)
2
5
D) 2 2
E) 2 1
33. El cociente:
A)
B)
C)
D)
E)
4 x 81 x
=
1
2
25 x
4x 5
43 x
22x 1 24 3x
22x 223x
34. Si P, Q y R son todas cantidades positivas, entonces, cuando P =
P R
es:
2 , Q2 3 y R = 8 , el valor de
Q
A)
10
3
B) 3 3
C) 3 6
1
D)
6
3
E) 6
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Página 444
35. El valor de x en la ecuación 62x
A) {2, -2}
B) 7, 7
C) 3 2,3 2
2
8
1
1
1
D)
2,
2
2
2
3
3
E)
2,
2
2
2
36. En la ecuación 1 – 2 log P = 2, el valor de P es:
A)
1
100
B) -2
C) - 10
1
D) 10 2
E) 10
37. En un cuadrado mágico, la suma de columna, de filas y de
diagonales es una constante. En el cuadrado mágico de la figura, el
valor de x + y es:
A) 12
B) 9
C) 7
D) 6
E) 5
38. Considerando que 41u 32 , el valor de 2u es:
A) 8
1
8
1
C)
64
D) 4 2
B)
E)
1
8
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Página 445
39. Una mamá desea construir una pequeña mesa para que su hijo
pueda hacer sus tareas escolares, para lo cual requiere sólo madera y
clavos. Ella estima que gastará, en total, más de $3.000 y que en clavos
gastará menos de $500.
Si x = gasto en madera e y = gasto en clavos, entonces:
I) x + y > 3.000
II) x – y < 0
III) y < 500
Es (son) correcta(s):
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo II y III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
40. Si
5
3
1
, entonces el valor de
es:
x
x 1 x
5
8
2
B)
5
2
C) 5
D) 2,5
E) -0,625
A)
41. En la figura, el conjunto representado en la recta sombreada es:
A) –2 ≤ x < 3
B) –2 < x < 4
C) 3 > x < -2
D) 3 < x ≥ -2
E) –2 < x ≤ 3
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Página 446
42. Una fábrica de muebles produjo esta semana 40 sillas más que la
semana pasada. Entre ambas semanas la cantidad producida es 232
2
sillas más que los
producidas la semana pasada. ¿Cuántas sillas
5
produjo esta semana?
A) 120
B) 115
C) 170
D) 280
E) 160
43. En la figura, ABCD: rombo. E, F, G, y H: puntos medios de los
respectivos lados: Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones
es(son) verdadera(s)?
I: ∡HGC = ∡AEF
II: ∡DHE + ∡CHG=90°
III: ∡BFG =
1
∡DAB
2
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
44. Si los vértices de la figura 8 tienen coordenadas A(2, 3); B(5, 6) y
C(3, 7), para que las coordenadas del punto B sean (-1, 6) se debe
aplicar:
I) Una rotación de 270°, en sentido horario con centro en A.
II) Una reflexión con respecto al eje X = 2.
III) Una traslación de vector (-6, 6).
Es(son) verdadera(s):
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
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45. En la figura, AEFG: Trapecio isósceles el triángulo CDH es equilátero,
los triángulos ACG y DEF son isósceles congruentes además AB BC y
AC 2C D. Si GB =16 cm y GF = 36 cm ¿cuál es el perímetro de la figura
achurada?
A) 196 cm
B) 90 cm
C) 212 cm
D) 98 cm
E) 160 cm
46.
La
figura,
muestra
una
circunferencia de centro
3
diámetro = 20 cm. Si OB AC , OD OB , entonces AC =
5
O
y
A) 8 cm
B) 16 cm
C) 32 cm
D) 10 cm
E) 12 cm
47. En la circunferencia de centro O, de la figura, DC : tangente a la
circunferencia en D. Si ∡ACD = 34° y ∡OAB = 20°, entonces el valor del
∡ADC =
A) 90°
B) 108°
C) 110°
D) 112°
E) 146°
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Página 448
48. En la figura, las circunferencias de centros O y O' son tangentes en
el punto Q, con O perteneciente a la circunferencia menor. Si el
∡PQR = 60° y el radio de la circunferencia mayor es de 12, ¿Cuál es el
área de la figura achurada?
A) 24
B) 12 − 6 3
C) 3 (6 − 9 3 )
D) 6 − 9 3
E) 18
49. En la figura, ABCD: trapecio, EF: mediana. Si el área del triángulo
CHB = 12 cm2, HB = 3 cm, DC =
5
HC y EF = 24 cm ¿cuál es el área del
2
triángulo AGD?
A) 10 cm2
B) 18 cm2
C) 12 cm2
D) 20 cm2
E) 11,25 cm2
50. En la figura, la imagen reflexiva del punto C, con respecto al eje de
simetría
y = 3, es el punto:
A) (2, 2)
B) (5, 4)
C) (4, 5)
D) (1, 2)
E) (2, 1)
51. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de la estrella de la figura, si
al realizar una traslación de vector (-2, 3), el centro de la estrella queda
en el punto (3, 2)?
A) (5, -1)
B) (-1, 5)
C) (1, 5)
D) (5, 5)
E) (1, -5)
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Página 449
52. La figura, muestra el hexágono regular ABCDEF, en donde AC , FB y
FC son diagonales. Entonces el ∡x =?
A) 30°
B) 60°
C) 45°
D) 120°
E) 90°
53. En la figura, AB//GC//FD, GB//FC , FD = 8 y AB = 18. Entonces GC =
A) 13
B) 10
C) 11
D) 12
E) 15
54. En el triángulo rectángulo de la figura, ¿Cuál(es) de las siguientes
relaciones entre lados es(son) falsa(s)?
I) sen
II) tgβ
III)
d
a
b
d
c
e
b a
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
55. En el triángulo rectángulo de la figura,
sen
1
3
,
y tg
2
3
entonces senβ
A) 2 3
B)
C)
1
3
2
3
D)
3
E)
3
2
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56. Un topógrafo con su instrumento visa la cima de una antena de 25
m de alto, con un ángulo de inclinación de 45°, siendo la altura del
instrumento de 1,5 m (ver figura). ¿A qué distancia se ubica el
topógrafo de la antena?
A) 23,5 m
B) 14 m
C) 30m
D) 25 m
E) 26,5 m
57. ¿Qué altura debe alcanzar un globo para poder ser divisado a 120 m
de distancia, si el coseno del ángulo de declinación es de 0,8?
A) 120 m
B) 96 m
C) 900 m
D) 130 m
E) 90 m
58. En una obra de construcción, los maestros y ayudantes están en la
razón 2: 3. Los maestros ganan $4.000 por hora de trabajo y los
ayudantes $1.500 por hora. El valor promedio de hora de trabajo entre
maestros y ayudantes es, en esta obra:
A) $2.750
B) $3.000
C) $2.500
D) $2.250
E) $2.650
59. Según el pronóstico del tiempo dado por la TV, para mañana hay
una probabilidad del 30% de que llueva y una probabilidad del 45% de
que haga frío. Si ambos fenómenos son independientes, ¿cuál es la
probabilidad de que mañana llueva, pero que no haga frío?
A) 85%
B) 55%
C) 16,5%
D) 15%
E) 13,5%
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Página 451
60. El gráfico de la figura muestra el número de hijos por familia en la
IX región. Según esta gráfica, en esta población:
I) El 80% de las familias tiene hijos.
II) El promedio de hijos por familia es 3.
III) Entre las familias con hijos, más del 60% tiene 1 ó 2 hijos.
Es(son) correctamente inferible(s) de la información gráfica:
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo II y III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
61. Un niño tiene una alcancía sólo con monedas de $10, de $50 y de
7
$100. La probabilidad de extraer una moneda de $10 es
, mientras
20
que la de extraer una de $100 es
2
. ¿Cuál es la probabilidad de extraer
5
una moneda de $50?
A)
B)
C)
D)
E)
7
50
16
25
3
5
1
4
1
5
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 452
62. En una crianza de cerdos, de un total de n cerditos recién nacidos m
son machos. Entonces, la probabilidad de nacimiento de una hembra en
esta crianza es:
m
n
1m
B)
n
nm
C)
n
nm
D)
nm
n
E) 1
m
A) 1
63. En cierta ciudad se ha verificado lo siguiente:
• Llueve 1 de cada 5 días,
• Cuando llueve, 7 de cada 10 personas llevan paraguas,
• Cuando no llueve, 1 de cada 8 personas llevan paraguas.
Si esto es así, ¿Cuál es la probabilidad de que en esta ciudad una
persona ande sin paraguas?
A)
B)
C)
D)
E)
19
25
3
50
17
20
7
10
5
9
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 453
64. Un comerciante compró para vender, sandías y melones, vendiendo
toda la partida a $400 cada melón y $860 cada sandía.
¿Cuánto obtuvo de utilidad en este negocio?
(1) Compró un total de 120 unidades, entre sandías y melones.
(2) El número de sandías representa el 50% respecto de la
cantidad de melones.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
65. Se puede determinar el valor numérico de a + b si:
(1) a : b = 0,75
(2) b – a = 8
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
66. Es posible conocer el valor de
si:
(1) La suma de + β = 63
(2) representa el 80% respecto de β
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
67. La figura muestra el cuadrado ABCD, si AP PQ QC , se puede
determinar el área del cuadrado si:
(1) PC = 6 2
(2) BQ = 6
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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Página 454
68. La figura, muestra una circunferencia
Si ∡PTQ = 55°, se puede determinar el ∡ROS si:
(1) ∡POQ = 50°
(2) ∡PTS = 125°
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
con
centro
en
O.
69. ¿Cuál es el volumen generado por la rotación de un rectángulo
cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados?
(1) El rectángulo rota 180º.
(2) Las medidas del rectángulo son 10 x 3 cm.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
70. En una tómbola hay sólo bolas rojas y blancas, indistinguibles entre
sí, salvo por el color. Es posible determinar la cantidad de bolas blancas
si:
(1) La probabilidad de extraer al azar una bola roja en una
primera extracción es
2
.
5
(2) En la tómbola hay un total de 15 bolas.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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Página 455
RESPUESTAS
1
C
2
E
3
A
4
D
5
B
6
A
7
A
8
D
9
E
10
B
11
D
12
C
13
E
14
A
15
B
16
B
17
E
18
D
19
C
20
B
21
D
22
D
23
C
24
A
25
B
26
C
27
E
28
C
29
E
30
B
31
A
32
B
33
D
34
E
35
A
36
D
37
B
38
E
39
D
40
C
41
A
42
C
43
E
44
C
45
A
46
B
47
B
48
C
49
D
50
E
51
A
52
B
53
D
54
B
55
E
56
A
57
E
58
C
59
C
60
D
61
D
62
A
63
A
64
E
65
C
66
B
67
D
68
A
69
E
70
C
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Página 456
FACSIMIL 1
TIEMPO: 2HORAS 25 MINUTOS
I. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD
0,002 0,05
0,018 0,002
3
A)
16
B) 0,3
1.
C) 3
30
16
E) Otro Valor
D)
2. Dados los decimales 0,15; 0,149; 0,2; 0,1437; 0,07; al sumar el
menor con el mayor se obtiene:
A) 0,2137
B) 0,27
C) 0,2927
D) 0,299
E) 0,7127
3.
Si los 5 primeros términos de una secuencia son:
3 4 5 6 7
, , , ,
,........ ¿cuál es el término que ocupa la posición
2 4 6 8 10
n-esima?
A)
B)
C)
D)
E)
3n
n2
n1
n2
n
2n
2n
n2
n2
2n
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4. La distancia de la Tierra a la Luna es de 386.000 Km. Ésta es,
aproximadamente, cinco milésimas de la distancia de la Tierra a Marte.
¿Cuál es la distancia aproximada de la Tierra a Marte?
A) 1, 93 x 102 Km
B) 1, 93 x 105 Km
C) 772.000 Km
D) 77,2 · 10−2 Km
E) 77,2 · 106 Km
5. El valor de (0,25−2 − 5)2 es:
A) 9
B) 22
C) 50
D) 81
E) 121
6. Para un trabajo que se hace en tres etapas se dispone de 60
hombres. En la primera etapa se ocupa la cuarta parte de los hombres y
2
en la segunda los
del resto. ¿Cuántos hombres trabajan en la tercera
3
etapa?
A) La mitad de los que trabajaron en la segunda etapa.
B) Un tercio de los que trabajaron en la segunda etapa.
C) La mitad de los que trabajaron en la primera etapa.
D) Un tercio del total.
E) La mitad del total.
7. Los
9
1
de 33 es igual a
de:
11
10
A) 0,27
B) 2,7
C) 27
D) 270
E) Ninguna de las anteriores
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Página 458
8. Si a y b son dos números reales de distinto signo, entonces siempre
es posible afirmar que:
I) a2 + b2 es un número real positivo
II) (a + b)2 es un número real positivo
III) (a + b)(a − b) es un número real positivo
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) I y III
9. María es dos años mayor que Raúl y la edad de éste es 6 veces la
edad de Marcela. El promedio de sus edades es 9 años y 4 meses. ¿Qué
edad tiene Raúl?
A) 36 años
B) 24 años
C) 18 años
D) 12 años
E) 9 años
10. Julia, al comparar las mercancías A y B observa que B cuesta
$ 30.000 más que A. Además, verifica que si a B se le descuenta el
10%, ambas quedarán con el mismo valor. ¿Cuál será el valor de la
mercancía B?
A) $ 300.000
B) $ 270.000
C) $ 99.000
D) $ 33.333
E) $ 30.000
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Página 459
11. En un cierto colegio, la razón entre profesores y alumnos es 1: 9. Si
2
3
de los alumnos son mujeres y
de los profesores son hombres, ¿qué
3
4
fracción del alumnado y profesores son mujeres?
A)
B)
C)
D)
11
12
11
24
5
8
25
56
E) No se puede determinar
II. ÁLGEBRA Y FUNCIONES
12. Si 89xy – 99 = 98xy, entonces xy =?
A) –11
B) –9
C) 9
D) 11
E) 89
13. El costo total del paseo de curso es de $ a. Esta cantidad se asume
en partes iguales por el total de los b alumnos del curso, pero a última
hora desistieron del viaje c alumnos. ¿Cuál es el valor de la nueva cuota
que deben cancelar los que realizan el viaje?
A) a
B) a (b − c)
a
C)
bc
a
D)
bc
a
c
E)
b
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Página 460
14. Con el 70% del perímetro de un cuadrado se construye un triángulo
equilátero de 14 cm de lado. ¿Cuál es el área del cuadrado?
A) 25 cm2
B) 100 cm2
C) 225 cm2
D) 360 cm2
E) 400 cm2
15. En la expresión: xk − 2 = 3x, ¿para qué valor de k ocurre que no
existe el valor de x?
A) 2
B) −2
C) −3
D) 3
E) 0
16. Si a + b + c = 90 y
A) 72
B) 36
C) 18
D) 12
E) 9
a b
c , entonces el valor de c es:
2 2
17. La expresión: “La mitad del cuadrado de 3a es equivalente al
cuadrado de la mitad de a”. Corresponde a:
3a2
a
A)
2
2
2
2
a2
3a
B)
2
2
2
(3a)2
a
2
2
2
2
3a
a
D)
2
2
E) Otra expresión
C)
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Página 461
18. Las edades de Marta, Andrea y Sonia suman (3a + 2b) años. Marta
tiene b años y Sonia tiene (a − b) años. ¿Cuántos años tiene Andrea?
A) 2a
B) 2b
C) a + 2b
D) 2a + b
E) 2a + 2b
19. Si al cuadrado de (x − 3) le restamos el triple de (3 − x) resulta:
A) x2 + 3x
B) x2 + 9x
C) x2 - 9x
D) x2 - 3x + 18
E) x2 - 3x
20. Si 2a − 3b = 8 y 3m + 2n = 18, entonces 2(a + 2n) + 3 (2m − b) =
A) 26
B) 34
C) 36
D) 44
E) Ninguna de las anteriores
21. Si
x - 1 = 3 entonces x2 − 3 = ?
A) 1
B) 19
C) 16
D) 253
E) 256
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Página 462
a
1
. ¿Cuál de las siguientes expresiones es(son) siempre
x
b
y
verdadera(s)?
I) b = ay − bx
a1
II) x
by
a
1
III)
b
x
y
A) Sólo I
B) I y II
C) Sólo III
D) II y III
E) Ninguna
22. Sea
23. Si a + b = 25
ab = -150
; entonces a2 + b2 =?
A) 1.225
B) 925
C) 625
D) 325
E) Ninguna de las anteriores
24. Si f (3x − 1) = x2 − 10, entonces f (5) =?
A) −1
B) −6
C) 15
D) 26
E) No se puede determinar
25. Si f (x) = 3x y g (x) = 5, entonces f (1) + g (1) =?
A) 8
B) 4
C) 3
D) 2
E) Ninguna de las anteriores
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Página 463
26. Si el punto P (4, 3) pertenece a la recta de ecuación x - 2py - 5 = 3
y además satisface la ecuación de la recta qx + 1 - 2y = 3, entonces los
valores de p y q son, respectivamente:
A)
B)
C)
D)
E)
2
y 2
3
2
2 y
3
2
y 2
3
2
2 y
3
2
y 2
3
27. ¿Cuál de las siguientes expresiones es la que corresponde con la
función graficada en la figura?
A) y x 1
B) y x 1
C) y x 2
D) y x 1 1
E) y
x 1 1
28. ¿Cuál de las siguientes opciones representa al conjunto solución de
la inecuación
3 < x − 1 5?
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Página 464
29.
5n8 5n9
?
5n9 5n10
A) 5
B) 1
1
C)
5
D) 0
E) Ninguna de las anteriores
30.
2
2 1
1
2 1
?
A) 2
B) 2
C) 2 - 1
D) 2 - 2
E) 2 - 3
31. Si 540 = 2a •3b • 5c, entonces
A) 1
B) 2
C) 0
1
D)
2
E) 4
abc
=?
2
32. Si log x = a y log y = b, entonces log
3
xy =?
A) 3a + 3b
B) 3ab
a b
C)
3 3
1
D) ab
3
E) 3 3 a b
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Página 465
33. Un elemento radiactivo se desintegra de acuerdo a la relación
t
1 50
M = M0 • , donde M0 es la cantidad inicial del elemento y M es la
5
cantidad que queda de él después de transcurridos los t años. ¿Cuántos
años deberán transcurrir para que una muestra de 400 gr de este
elemento se reduzca en un 80%?
A)
50 log 5 log 4
log 5
B) 50 log
1
5
C) 50
50(log 4 log 5)
log 5
E) Ninguna de las Anteriores
D)
34. Sea px2 + qx + r = 0. Si la suma de las raíces de esta ecuación es
igual al semiproducto de ellas, entonces:
A) r - p = 0
B) p = r
C) r + 2q = 0
D) r - 2q = 0
E) - 2q = pr
35. La gráfica de la figura, corresponde a la función cuadrática
f (x) = a (x − h)2+ k. Entonces, los valores de a, h y k son,
respectivamente:
A) 1; -8; 15
B) 1; 8; 15
C) 1; 4; -1
D) -1; 4; -1
E) -1; -4; -1
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36. Una ameba, en condiciones de laboratorio, se duplica cada 3
minutos. Al cabo de 30 minutos de transcurrido un experimento se
cuentan 210 amebas. ¿Con cuántos ejemplares se inició éste?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 8
E) 12
37.
log 3 4 log 272
log 3
A) 3
B) 2
C) 1
D) 0
E) -2
38. Sean f(x) = 3mx + 5 y g(x) = (x + 1)2 funciones. Si f(1) = g(2),
entonces m =?
3
4
4
B)
3
C) 3
D) 2
E) Ninguna de las anteriores
A)
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Página 467
III. GEOMETRÍA
39. A la circunferencia de la figura con centro en (1, 1) y radio 1, se le
aplica una reflexión con respecto al eje Y, y posteriormente una
reflexión con respecto a la recta y = x. ¿Cuáles son las coordenadas del
centro de la circunferencia resultante?
A) (1, −1)
B) (1, 1)
C) (−1, 1)
D) (−1, −1)
E) (0, −1)
40. Al Δ ABC de coordenadas A (0, 2), B (1, 0) y C (0, 0), se le aplica
una rotación en 90º con respecto al origen del sistema cartesiano.
¿Cuáles son las coordenadas de A’ y B’,
imágenes de A y B respectivamente?
A) (−2, 0) y (1, 0)
B) (0, −2) y (0, 1)
C) (−2, 0) y (0, 1)
D) (0, −2) y (1, 0)
E) (−2, 0) y (1, 1)
41. En un sistema cartesiano se tiene un punto P (3, 2). ¿Cuáles son las
coordenadas de P al rotarlo con respecto al origen en 90º, 180º y 270º
en sentido horario (figura)?
A) (2, −3); (3, −2); (−2, 3)
B) (2, −3); (−3, −2); (−2, 3)
C) (2, −3); (−2, −3); (−2, 3)
D) (3, −2); (−3, −2); (−3, 2)
E) (−2, 3); (−2, −3); (3, −2)
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42. En la figura, ABCD es un paralelogramo. ¿Cuál(es) de la(s)
afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?
I) ∡1 + ∡2 +∡ 4 = 180º
II) ∡1 + ∡2 = ∡3
III) ∡1 + ∡2 = ∡3 + ∡5
A) Sólo I
B) I y II
C) I y III
D) Sólo III
E) Todas
43. ¿Cuál es el perímetro de la figura plana (figura) formada por 3
rombos congruentes cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm?
A) 20 cm
B) 40 cm
C) 60 cm
D) 80 cm
E) 100 cm
44. La superficie de una región cuadrada es a2. Entonces, la superficie
de la región circular que tiene por radio la diagonal del cuadrado es:
a2
2
B) a2
A)
3 a2
2
D) 2 a2
C)
E) 4 a2
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45. ¿Qué parte del área del trapecio ABCD de la figura es el área del
triángulo CDE?
1
6
1
B)
3
1
C)
4
2
D)
3
E) Ninguna de las anteriores
A)
46. En la figura se tiene el cuadrado ABCD y el triángulo equilátero EFG
FG = 12 cm, entonces el perímetro del sector
Si AD = 4 cm y
sombreado es:
A) 52 cm
8
B) 52
3 cm
3
16
C) 52
3 cm
3
3
D) 13
cm
3
E) Ninguna de las anteriores
47. En la circunferencia de centro O de la figura, AB es diámetro, los
arcos AD y DC son congruentes y Arco DA = 2 Arco BC. ¿Cuál es el valor
del ∡ DEC?
A) 36º
B) 54º
C) 72º
D) 108º
E) 120º
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Página 470
48. En la figura, ABC equilátero, CE EB y CD : DA = 2: 1. ¿En qué
razón están las áreas del cuadrilátero ABED y el triángulo ABC?
A) 3: 4
B) 2: 3
C) 3: 5
D) 4: 5
E) Ninguna de las anteriores.
49. Dos triángulos son semejantes si tienen:
I) dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos
congruente.
II) los tres lados homólogos proporcionales.
III) sus tres ángulos congruentes.
De las afirmaciones anteriores, es (son) siempre verdadera(s):
A) Sólo I
B) I y III
C) I y II
D) II y III
E) I, II, III
50. En la figura, PR = 5 cm y RQ = 12 cm. El Δ PQR es rectángulo en R
y RS PQ . Entonces, PS : SQ =?
5
12
12
B)
5
25
C)
144
144
D)
25
E) Otro Valor
A)
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51. En el ABC de la figura, se tiene que AC = t, DE = u, AD = p,
y CE = s. Entonces, ¿Cuál(es) de las siguientes
DB = q, BE = r
afirmaciones es(son) correcta(s)?
I) AB = p + q
II) CE = p + q - r
tq
III) CB =
u
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) I y III
52. En la figura, O es el centro de la circunferencia, PQ 2RQ y Arco RS
≅ Arco SQ. Entonces, el ∡ SOR mide:
A) 75º
B) 60º
C) 45º
D) 30º
E) 15º
53. Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una
tangente a ella y una secante que pase por su centro, entonces ¿cuál es
el radio de la circunferencia si el segmento exterior de la secante mide 8
cm y la tangente mide 12 cm?
A) 18 cm
B) 10 cm
C) 9 cm
D) 5 cm
E) No se puede determinar
54. De acuerdo a los datos de la figura, la longitud de BC es:
A) 5 cm
B) 6 cm
C) 9 cm
D) 5 3 cm
E) 3
5 cm
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55. En la figura, el Δ ABC es rectángulo en C, CD AB y BC =
3
Si tg
, entonces AD =?
5
17 cm.
25
2 cm
6
25
B)
cm
6
25
C)
3 cm
6
25
D)
3 cm
3
E) Ninguna de las anteriores
A)
56. Con los datos de la figura, ¿cuál es el valor de sen2+ cos2?
A)
2m2
p2
m2 n2
B)
p2
C)
(m n)2
p2
m2 n2
2p 2
E) 1
D)
57. Javier quería construir un pequeño estanque cúbico de agua de
1.000 litros de capacidad. Para ello determinó que la arista debía medir
un metro de longitud. Cuando terminó la construcción, notó que las
aristas medían cada una 102 cm. ¿Cuál es la diferencia, en cc, de la
capacidad del estanque que construyó?
A) 8
B) 404
C) 800
D) 61.208
E) Otro Valor
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Página 473
58. Sobre los lados de un cuadrado, se construyen triángulos equiláteros
cuyos lados son de igual medida que los lados del cuadrado. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del cuadrado.
II) La suma de los perímetros de los triángulos es el triple del perímetro
del cuadrado.
III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del
cuadrado.
A) Sólo III
B) I y II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III
IV. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD.
59. Una caja contiene 10 fichas de igual peso y tamaño. Cada ficha tiene
grabada una letra de la palabra LITERATURA. Si se escoge una ficha al
azar, ¿cuál es la probabilidad de escoger una vocal?
A)
B)
C)
D)
E)
1
10
4
10
5
10
6
10
7
10
60. Si la probabilidad de un suceso es 0,001, entonces ¿cuál es la
afirmación más adecuada?
A) Este suceso jamás ocurre.
B) Ese suceso siempre ocurre.
C) El suceso ocurre con mucha frecuencia.
D) Ese evento ocurre rara vez.
E) El suceso es seguro.
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61. Un dado es lanzado tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de que en el
segundo lanzamiento se obtenga un número par?
1
2
B) 1
A)
1
12
1
D)
3
1
E)
6
C)
62. Al lanzar dos dados, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) Los sucesos posibles son 36.
II) La probabilidad de que la suma sea 1 es cero.
2
III) La probabilidad de que la suma sea un divisor de 6 es .
9
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo II y III
D) Todas son verdaderas
E) Ninguna es verdadera
63. Una urna contiene 10 bolitas iguales numeradas del 1 al 10. Si se
sacan 2 bolitas al azar y sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que
en ambas se obtenga un número par?
A)
B)
C)
D)
E)
1
5
1
4
2
9
1
10
1
2
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Página 475
64. Los puntajes obtenidos por un curso electivo en un ensayo de PSU
fueron los siguientes:
450 – 670 – 550 – 380 – 700 − 580 – 460 – 675
782 – 800 − 776 – 660 – 650 – 420 – 690
Entonces, la media aritmética del curso en este ensayo es:
A) 600,0
B) 612,8
C) 615,8
D) 616,2
E) 622,8
65. En la siguiente tabla se muestra la distribución de frecuencias para
la variable x. Entonces, al sumar la media con la moda de la distribución
se obtiene:
A) 3,1
B) 3,3
x
C) 5,12
f
D) 5,8
E) Ninguna de las anteriores
1
1
2
7
3
4
4
3
5
5
6
4
7
1
66. La tabla muestra las notas obtenidas por un curso en una prueba de
inglés. De acuerdo a la información entregada, ¿cuál es la nota
promedio del curso?
Nota Nº
alumnos
A) 5,0
2
5
B) 4,5
3
5
C) 4,0
4
5
D) 3,5
5
5
E) 3,0
67. De acuerdo a la información de la tabla anterior es correcto afirmar
que:
A) la moda es 5
B) la mediana es 5
C) el promedio y la mediana son iguales
D) el promedio es mayor que la mediana
E) el promedio es menor que la mediana
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68. Si el 25% del curso tiene promedio 5,9 y todo el curso tiene
promedio 5,0, entonces ¿cuál es el promedio del resto del curso?
A) 4,7
B) 4,8
C) 4,9
D) 5,0
E) Falta información
V. EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS
INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N° 69 A LA N° 75
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema,
sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del
problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes
para llegar a esa solución. Usted deberá marcar en la tarjeta de las
respuestas la letra:
A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta; pero la afirmación (2) por sí sola no lo es;
B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta; pero la afirmación (1) por sí sola no lo es;
C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son
suficientes para responder a la pregunta; pero ninguna de las
afirmaciones por sí sola es suficiente;
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente
para responder a la pregunta;
E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son
insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información
adicional para llegar a la solución.
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69. En un avión viajan 200 pasajeros de los cuales 80 son extranjeros y
el resto chilenos. ¿Cuántas mujeres chilenas viajan?
(1) El número de hombres chilenos es igual al doble del número
de mujeres.
3
(2) Del total de pasajeros, los son hombres.
4
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
70. ¿Cuál es el área de un terreno rectangular?
(1) El cerco que lo rodea mide 500 metros.
(2) Los lados están en razón 2: 3.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
71. En la figura, ∡ EOA = 135º ¿Cuánto mide el ∡ AOB?
(1) Arco AB: Arco BC: Arco CD: Arco DE = 1: 2: 4: 8
(2) EOB = 150º
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
72. Sean y β ángulos. ¿En qué razón están sus suplementos?
(1) + β= 90º
(2) : β = 1 : 2
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
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73. En el trapecio ABCD de la figura, ¿cuál es el valor de BC ?
(1) ABCD trapecio isósceles de base AB igual a 5 cm de longitud.
3
(2) DC AB
5
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
74. Si la figura está compuesta por cinco cuadrados congruentes, ¿cuál
será el área sombreada?
(1) El área total es 100 cm2.
(2) Cada cuadrado tiene 20 cm2 de superficie.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
75. ¿Cuál es el promedio de edad en un curso mixto?
(1) La edad promedio de las niñas es 17 años.
(2) La edad promedio de los varones es 18 años.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
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PAUTA FACSIMIL
1
C
2
B
3
E
4
E
5
E
6
A
7
D
8
A
9
D
10
A
11
C
12
A
13
C
14
C
15
D
16
C
17
C
18
E
19
E
20
D
21
D
22
E
23
B
24
B
25
A
26
E
27
D
28
D
29
C
30
E
31
B
32
C
33
C
34
C
35
C
36
A
37
E
38
B
39
A
40
C
41
B
42
C
43
C
44
D
45
C
46
B
47
A
48
B
49
E
50
C
51
E
52
D
53
D
54
E
55
A
56
A
57
D
58
D
59
C
60
D
61
A
62
D
63
C
64
D
65
D
66
D
67
C
68
A
69
C
70
C
71
D
72
C
73
E
74
D
75
E
TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE
PC
PS
-14
150
-13
164
-12
177
-11
191
-10
204
1
395
2
413
3
429
4
443
5
455
6
467
7
477
8
487
9
495
10
503
11
510
12
516
13
522
14
528
15
533
16
538
17
542
18
547
19
551
20
555
21
558
22
562
23
566
24
569
25
572
26
575
27
579
28
582
29
585
30
588
31
590
32
593
33
596
34
599
35
602
36
605
37
608
38
610
39
613
40
616
41
619
42
622
43
625
44
628
45
631
46
634
47
637
48
640
49
643
50
646
51
650
52
653
53
657
54
660
55
664
56
668
57
672
58
676
59
680
60
685
61
690
62
694
63
700
64
706
65
712
66
720
67
723
68
731
69
748
70
765
71
782
72
799
73
816
74
833
75
850
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
-9
218
-8
232
-7
245
-6
259
-5
272
-4
286
-3
312
-2
335
-1
359
0
376
Página 480
ENSAYO Nº 2
1.
12: 2(-5 + 8) – 7 =
A) -31
B) -17
C) -12
D) -5
E) 11
2.
Cuando un entero positivo n es dividido por 9 el resto es 7. ¿Cuál
es el resto cuando 5n es dividido por 9?
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
3.
Un número que es divisible por 4, 6 y 10, no es divisible por
A) 10
B) 12
C) 15
D) 20
E) 32
4.
Se tienen dos cajas A y B. la caja A contiene 4 fichas negras y 1
blanca; la caja B contiene 4 fichas negras y 3 blancas. ¿Cuál es el
mínimo número de fichas que deben ser removidas de la caja A a la caja
B para que la razón de fichas blancas y fichas negras sea la misma en
ambas cajas?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) Ninguno de los valores anteriores
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
Página 481
5.
2
3
Si x es el 66 % de y, entonces ¿qué porcentaje es y de x?
1
3
A) 33 %
B) 75%
1
3
C) 133 %
D) 150%
2
3
E) 166 %
6.
48 + 12 +
3
=
A) 63
B) 7 3
C) 20 3
D) 4 15 + 3
E) 30 + 3
7.
Los puntos P, R, S y T están sobre la recta numérica, tal como lo
muestra la figura. ¿Cuál de las siguientes opciones podría ser
verdadera?
A) R · S = P
B) P · R = T
C) R · S = T
D) R · T = P
E) P · T = S
P
-1
R
S
0
T
1
8.
En la siguiente secuencia de tríos pitagóricos: (3, 4, 5)
(5, 12, 13)(7, 24, 25)
(9, 40, 41)…, la suma de los números que
forman el séptimo trío es
A) 132
B) 182
C) 240
D) 306
E) 312
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 482
9.
Manejando a un promedio de 48
km
h
, Juan llega a su destino
exactamente en
2 horas 15 minutos. Manejando por la misma ruta,
demora exactamente 2 horas en regresar. ¿Cuál fue el promedio de su
regreso?
km
h
km
B) 54
h
km
C) 55
h
km
D) 60
h
km
E) 64
h
A) 50
10. Si 192 = (20 – a)2 = 202 – 2 · 20 · b + c2, ¿cuál de las siguientes
opciones es verdadera?
A) a > b > c
B) b > a > c
C) c > a > b
D) a = b > c
E) a = b = c
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 483
11. Carlos y Julio comienzan a ganar lo mismo, pero deben optar por
dos modalidades distintas de incentivos que les ofrecía la empresa
donde trabajaban. Carlos optó por la propuesta A, mientras que Julio se
decidió por la B. Para la propuesta A, se comienza con un incentivo de
$ 10.000 cancelados al final del primer mes y se incrementa
mensualmente en $ 1.000. Para la propuesta B, se inicia con un
incentivo de $ 1.000 pero en los meses siguientes el incentivo se duplica
con respecto al mes anterior. De acuerdo a estos antecedentes, ¿cuáles
de las afirmaciones siguientes son verdaderas?
I) Al finalizar el quinto mes, Carlos había recibido en total un
mayor incentivo que Julio.
II) Al finalizar el sexto mes, Julio había recibido en total $ 12.000
menos que Carlos.
III) A partir del quinto mes, Julio comienza a ganar,
mensualmente, más dinero que Carlos.
A) Sólo I y II
B) Sólo I y III
C) Sólo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas
12.
(-a + b)2 =
A) –(a – b)2
B) (a – b)2
C) (a + b)2
D) –(a + b)2
E) (-a – b)2
13.
Si x2 = 7, ¿cuál es el valor de (x + 1)(x – 1)?
A) 6
B) 8
C) 48
D) 50
E) No se puede determinar
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 484
14. Si los trinomios 9x2 + ax + 4 y x2 – 5x + b son cuadrados
perfectos, entonces el mayor valor de a + 4b es
A) 12
B) 13
C) 31
D) 37
E) 49
Si a – b = 4 y ab = 5, entonces a2 + b2 =
15.
A) 6
B) 9
C) 11
D) 20
E) 26
16. Sean a y b números enteros distintos de cero y a b.
Si ab = m[(a + b)2 – (a – b)2], entonces m =
A) -3ab
B) ab
C) 0
D)
1
4
E) 4
17.
2
-1
Si x 2x 7 = x + 2 –
, entonces A =
A
A
A) x + 4
B) x – 4
C) x + 3
D) x – 3
E) x + 2
18.
2
2
2
Si abc 0, entonces a bc + ab c + abc =
abc
A) a + b + c
B) a + b + abc2
C) a3b3c3
D) 3abc
E) 2abc
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 485
Si 2(2t – 2) = 1, entonces (t – 1)-1 es igual
19.
A) 4
B)
C)
D)
1
2
1
4
1
2
E) -4
20. Si la longitud de uno de los catetos de un triángulo rectángulo es
x + 2 y la longitud de la hipotenusa es x + 3 donde x > -2, ¿cuál es la
longitud del otro cateto?
A) x
B) x + 1
C) x + 5
D) x + 5
E) 2x + 5
21.
Un estudiante finaliza la primera mitad de su examen en
2
3
del
tiempo que tomará para finalizar la segunda mitad. Si el examen
completo lo rindió en 1 hora, ¿en cuántos minutos realizó la primera
mitad del examen?
A) 20
B) 24
C) 27
D) 36
E) 40
22. ¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene los puntos A(0,-2)
y B(3,-3)?
A) -1
B) -
1
3
C)
0
D)
1
3
E)
1
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 486
23. Si la recta de ecuación y = ax + b, pasa por los puntos (2, -1) y
(-4, 3), entonces a – b =
A) -1
B) C)
D)
1
3
1
3
2
3
E) 1
24.
x 5
Si f
= x – 1, entonces f(3) =
1 x
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
25.
Sea f(x) = 2x – 5. Si g(x – 2) = f(x + 2), entonces g(-2) =
A) -9
B) -2
C) -1
D) 0
E) 2
26.
Sea x y definida como x2 +
y
2
para todo x
e
y.
Si 3 4 = 5 m, ¿cuál es el valor de m?
A) -28
B) -7
C)
12
5
D) 6
E) 60
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 487
27.
Sea f(x) = 3x + 2. Si f(2m + 1) = f(m + 2) – 5, entonces m =
2
3
1
B)
3
1
C) 4
1
D) 3
2
E) 3
A)
28.
Si 3y = x + 1 y 4y + x = 13, ¿cuál es el valor de y?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
29. Al rotar en 90º la gráfica de f(x) = x + 2, en sentido horario y
con centro (0,0), se obtiene
A)
B)
y
C)
y
2
x
-2
2
2
-2
x
x
2
y
D)
y
E)
x
-2
-2
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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y
x
-2
-2
Página 488
30. Si la gráfica de f(x) = ax2, con a > 0, se traslada según el vector
(-3, -2), entonces el nuevo gráfico queda mejor representado por
y
A)
y
B)
y
C)
-3
-2
x
-3
-3
x
y
D)
-2
x
y
E)
9
9
x
-2
-2
x
31. Si la ecuación x2 – 4x + 1 = 0 se escribe de la forma (x + a)2 = b,
entonces ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?
A) a = 3, b = 2
B) a = 3, b = -2
C) a = 2, b = 3
D) a = -2, b = 3
E) a = b = 3
32.
Una solución o raíz de la ecuación
1
2
x
+1=
2
x
es
A) 1
B)
C)
1
2
1
2
D) -1
E) -2
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 489
33. ¿Cuál es el punto de intersección
y = -x2 + 2x – 3 y la recta x = -1?
entre
la
parábola
A) (1,-2)
B) (-1,-4)
C) (1,-6)
D) (-1,-6)
E) (-1,0)
Si 2x – 3 = 3y + 1 = 1, entonces (x + y)(x – y) =
34.
A) 0
B) 2
C) 4
D) 8
E) 16
3
2
=
6
6 2 6
=
35.
A)
B)
C)
3
6
3
2
6
2
3
2
3
3
D) 6 18
E) 6 24
36.
A) 2
B) 2 + 1
C) 2 – 1
D)1 – 2
E) 2
2
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 490
37. La gráfica
-5
-1
6
12
lR
se puede expresar como
A)]-5-1] [6,12[
B) [-5,-1[ [6,12]
C) [-5,-1[ ]6, 12]
D) [-5,-1 [ ]6, 12]
E) [-5,12]
38. El conjunto solución del sistema
x+5
x 3
3
2
5(x 1) 10
es
A)
B) [3, +[
C) [19, +[
D) [3, 19]
E) ]-, 19]
Si f(x + 1) = x2, entonces el valor de f(3) es
39.
A) 1
B) 4
C) 6
D) 9
E) 16
40. En la ecuación log2(x2 + 2) = log23x + log2(x - 1), el conjunto
solución es
A) {2}
B) {-2}
1
2
C) ,2
1
2
D) ,2
E) {2, -2}
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 491
41. En el ABC de la figura, si AE y CD son bisectrices de los ángulos
A y C, respectivamente, entonces ∡ CDB =
C
A) 90º
B) 85º
C) 80º
D) 75º
E) 70º
E
20º
50º
D
A
B
42. En la figura, la expresión que representa el área del EFD inscrito
en el rectángulo ABCD es
D
A) 21 + 6x
B) 21 + 18x
C) 123 + 6x
D) 123 + 18x
E) 21 – 6x
43.
6
F
x
A
En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 53
cuadrado de lado 46
1
2
1
2
C)
D)
E
5
B
cm y PBQR es un
cm. ¿Cuál es el área de la región achurada?
D
A) 7 cm2
B)
C
12
49
cm2
4
81
cm2
4
693
cm2
4
C
R
A
P
Q
B
E) 700 cm2
44. Las circunferencias de centros O y O’ de la figura, son tangentes
en B. Si AC = AB + BC , ¿cuál es la medida del ∡ ACD?
A) 20º
B) 30º
C) 45º
D) 50º
E) 70º
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
A
20º
O
B
O’
C
D
Página 492
45. En la figura, cada cuadrado tiene de lado la mitad de la medida del
lado del cuadrado anterior. ¿Cuál es el perímetro de la región achurada
del sexto cuadrado?
A) 1 + 2
B) 1 + 2 2
C) 2 + 2
D) 1 – 2
E) 1 – 2 2
32
46. En la circunferencia de la figura, Arco AB = Arco BC = 60º.
Entonces, ∡x +∡ y =
x
A) 120º
B) 100º
C) 90º
D) 80º
E) 60º
A
y
B
C
47. En la figura se muestra una sucesión de figuras. Entonces, la
quinta figura de la sucesión debería ser
A)
B)
C)
D)
E)
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
Página 493
48. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría de la
figura con respecto a la recta L?
L
A)
B)
D)
C)
E)
49. En un cuadrilátero, las medidas de sus cuatro ángulos interiores
están en la razón de 2: 3: 5: 6. ¿Cuál es la diferencia entre las medidas
del mayor y menor de los ángulos?
A) 112,5º
B) 90º
C) 67,5º
D) 45º
E) 13,5º
50. En el círculo de centro O de la figura, si el área del AOB es 25,
¿cuál es el área del círculo?
A)
B)
C)
D)
E)
25
25 2
50
50 3
625
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
A
O
B
Página 494
51. En la figura, AB = 4 cm, AC = 3 cm, DB = 5 cm y DE = 3 cm.
¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero ABDC?
D
A) (20 + 10 ) cm
B) (17 + 10 ) cm
C) (15 + 10 ) cm
D) (12 + 10 ) cm
E) (12 + 2 10 ) cm
C
E
A
B
52. ¿Cuál es el mayor número de rectángulos cuyos lados son
números enteros y de perímetro 10 que pueden ser cortados de un
pliego de papel de ancho 24 y largo 60?
A) 120
B) 144
C) 240
D) 360
E) 480
53. Un rectángulo es cortado por la mitad resultando dos cuadrados
de área 25 cada uno. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo original?
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 50
54. En la figura, ABCD es un cuadrado y el ABE es equilátero. ¿Qué
parte del área del cuadrado ABCD es el área de la región achurada?
A) 2 3
B) 6 3
C)
D)
E)
3
12
3 3
4
3
6
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
D
C
E
A
3
B
Página 495
55.
¿Cuál es el perímetro del trapecio isósceles ABCD de la figura, si
DE = 3, AB = 12 y CD = 6?
D
A) 21
B) 24
C) 18 + 4 2
D) 18 + 6 2
E) 24 + 6 2
A
E
C
B
56.
La longitud de uno de los lados de un triángulo es 1,2 veces la
longitud de
otro lado. Si las longitudes de los tres lados son números
enteros, ¿cuál es el mínimo perímetro posible del triángulo?
A) 25
B) 21
C) 13
D) 10
E) 5
57. En la figura, la región achurada es un cuadrado de área 3, y el
ABC es equilátero. ¿Cuál es el perímetro del ABC?
C
A) 3 3
B) 6 3
C) 2 + 3
D) 3 + 6 3
E) 6 + 3 3
58.
A
B
El área de un hexágono regular de lado a es igual a 18 cm2. ¿Cuál
es el área de otro hexágono regular de lado
a
3
?
A) 12 cm2
B) 6 cm2
C) 3 cm2
D) 2 cm2
E) 1 cm2
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 496
59. En la figura, ADC BDC. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes
proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) ∡ DCB = 2∡ABC
II) ∡ ADC = ∡ CDB
III) CD AB
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
C
A
30º
D
B
60. Al dividir cada lado del cuadrado en la razón 1: 2 : 1, se obtiene un
octógono regular como se muestra en la figura. Si el perímetro del
octógono regular es 32 cm, entonces el área del cuadrado es
A) 24 cm2
B) (24 + 16 2 ) cm2
C) 36 cm2
D) 48 cm2
E) (48 + 32 2 ) cm2
61. En una caja A hay 5 ampolletas de 75 w y 3 de 100 w; en otra
caja B hay 4 ampolletas de 100 w y 6 de 75 w. ¿Cuál es la probabilidad
de que al escoger una ampolleta al azar, de cada caja, ambas sean de
75 w?
1
8
3
B)
16
3
C)
8
1
D)
2
3
E)
4
A)
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 497
62. Si el promedio (media aritmética) de 27 – x, x – 8, 3x + 11 es 12,
¿cuál es la media aritmética de 2 y x?
A) 7
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
63. Una caja contiene 20 fichas numeradas del 1 al 20. Si se saca una
ficha al azar, ¿cuál es la probabilidad que sea impar y divisor de 18?
A)
B)
C)
D)
3
40
1
10
3
20
1
5
E) Ninguno de los valores anteriores
64. Si un matrimonio desea tener 3 hijos, ¿cuál es la probabilidad de
que salga, a lo menos, una mujer?
A)
B)
C)
D)
E)
3
8
1
4
7
8
1
2
5
8
65. Si el promedio (media aritmética) de 3 enteros positivos y
distintos es 4, ¿cuál es el mayor valor posible para uno de esos enteros?
A) 5
B) 6
C) 9
D) 11
E) 12
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 498
66. Si al siguiente conjunto de datos: 7 – 10 – 9 – 3 – 7, se le
agregan dos datos, su mediana sería 9 y su moda sería 10. ¿Cuál sería
su media?
A) 7
B) 8
C) 8,5
D) 9
E) 10
67. La tabla adjunta muestra la cantidad de horas a la semana que
“chatea” un grupo de 40 jóvenes. Luego, la moda es
A) 2
B) 3
C) 12,5
D) 15
E) 30
Nº de horas
frecuencia
0
1
2
3
4
5
1
6
15
10
5
3
68.
El gráfico de la figura, muestra el número de libros que leen
trimestralmente los alumnos de un curso. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) 9 alumnos es la moda.
II) La mediana es 2 libros.
III) La media aritmética es
9
libros.
4
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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Página 499
Evaluación de Suficiencia de Datos
Instrucciones Para las Preguntas N° 69 a la N° 75
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino
que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los
indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa
solución. Usted deberá marcar la letra:
A)
(1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.
B)
(2) por sí sola,
si la afirmación (2) por sí sola es suficiente
para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo
es.
C)
Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2)
juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de
las afirmaciones por sí sola es suficiente.
D)
Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es
suficiente para responder a la pregunta.
E)
Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones
juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere
información adicional para llegar a la solución.
Ejemplo:
P y Q en conjunto tiene un capital de $ 10.000.000, ¿cuál es el capital
de Q?
(1)
(2)
A)
B)
C)
D)
E)
Los capitales de P y Q están en razón de 3: 2.
P tiene $ 2.000.000 más que Q.
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el
enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución,
en efecto:
P: Q = 3: 2, luego
(P + Q): Q = 5: 2, de donde
$ 10.000.000: Q = 5: 2
Q = $ 4.000.000
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Página 500
Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos
proporcionados en el enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la
condición (2) (P = Q + $ 2.000.000).
Por lo tanto, usted debe marcar la clave
. Cada una por sí sola,
D
(1) ó (2).
69.
Se puede determinar el valor de A + B de la tabla de la figura, si:
(1) P y Q son inversamente proporcionales.
(2) A · B = 1
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
70.
El sistema de ecuaciones
3x + 2y = 5
5x 3ky = 6
P
4
0,5
B
Q
A
40
100
tiene solución única si:
(1) k -10
(2) k -
10
9
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
71. En la ecuación y = mx + 3, donde m es una constante, se puede
determinar que el par (x, y) = (2,7) es solución de la ecuación si:
(1) (1, 4) es solución de la ecuación y = mx + 2.
(2) (5, 3) es solución de la ecuación 3y = mx – 1.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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72. En el ABC de la figura, AB = 10. Se puede determinar que el
ABC es equilátero si:
C
(1) AC = 10
(2) h = 5 3
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
73.
h
A
B
Se puede determinar el área del cuadrado ABCD de la figura si:
(1) Las coordenadas del punto A son (0,4).
(2) Los puntos D y B tienen coordenadas (4,8) y (4,0),
Respectivamente.
D
y
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
N
A
C
B
74.
x
En la figura, L1 // L2. Se puede determinar el área del ADC si:
(1) AD = 9
(2) BE AC = 24
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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B
L1
L2
A
E
D
C
Página 502
75.
Se puede determinar el valor de x si:
(1) El promedio (media aritmética) de x2, 6x y 3 es -2.
(2) x4 = 9
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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RESPUESTAS
1
E
2
A
3
E
4
B
5
D
6
B
7
D
8
C
9
B
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
E C B A D E D B A A E
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B B A D C A E B A C D A D D E B C D B A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B A E A C C B D B C D D C E D C E D E E
61
A
62
E
63
A
64
C
65
B
66
A
67
A
68
A
69
A
70
B
71
D
72
E
73
B
74
B
-5
272
-4
286
-3
312
75
A
TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE
PC
PS
-14
150
-13
164
-12
177
-11
191
-10
204
-9
218
-8
232
-7
245
-6
259
-2
335
-1
359
0
376
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631
46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75
690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850
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ENSAYO Nº 3
2
1.
2
2
2
2
22
2
7
7
B)
2
1
C)
2
5
D)
7
3
E)
5
A)
2. Los hermanos Hugo, Francisco y Luis, salieron de su casa a la misma
hora para dirigirse a su colegio. Hugo demoró 7,3 minutos, Francisco
demoró 7,02 minutos y Luis 7,2 minutos. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Hugo llegó después que Luis.
II) Entre Luis y Francisco hay 18 centésimas de minuto de
Diferencia en llegar al colegio.
III) Francisco llegó primero.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Solo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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Página 505
3. Para construir una pared de 5 metros de largo en ocho horas se
necesitan dos hombres. ¿Cuántos hombres se necesitarán para construir
una pared similar a la anterior en m horas de trabajo?
A) 16m
m
B)
16
16
C)
m
D) 5m
E) 40m
4. El gráfico de la figura muestra el itinerario de un vehículo al ir y
volver, en línea recta, a un determinado lugar. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El vehículo recorrió en total 420 Km.
km
II) Al regreso viajó con una rapidez de 70
h
III) Entre t = 2 y t = 3 recorrió 120 Km.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
5. De un cargamento de porotos, k toneladas son de porotos negros, las
cuales corresponden a un tercio del total. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) falsa(s)?
2
I) Los porotos no negros son
del total.
3
2
II) El 66 % de los porotos no son negros.
3
III) El número de toneladas que no son porotos negros es dos
veces el número de toneladas de porotos que son negros.
A) Sólo II
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) I, II, y III
E) Ninguna de ellas
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Página 506
6. Si R = 4,3 · 10-5 y S = 2 · 10-5, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades
se cumple(n)?
I) R + S = 6, 3 · 10-5
II) R · S = 8, 6 · 10-6
III) R – S = 2, 3
A) Solo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III
7. Una orquesta sinfónica está compuesta por instrumentos de
percusión, bronces y cuerdas. Si el 20% corresponde a instrumentos de
percusión, los bronces son 12 y éstos son un cuarto de las cuerdas,
¿cuántos instrumentos tienen la orquesta?
A) 15
B) 48
C) 60
D) 63
E) 75
8. Una persona tuvo durante el año 2007 un sueldo de $ 600.000 y se lo
reajustaron de acuerdo al I.P.C., que ese año fue de 7,8%. Su sueldo
del año 2008 será
A) $ 7,8 • 600.000
B) $ 0,78 • 600.000
C) $ 1,78 • 600.000
D) $ 1,078 • 600.000
E) $ 0,078 • 600.000
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9. En un triángulo equilátero de lado 500 se unen los puntos medios de
cada lado y se obtiene un nuevo triángulo equilátero, como se muestra
en la figura. Si repetimos el proceso 10 veces, el lado del triángulo que
se obtiene es
A)
500
20
B) 10
500
2
1
500
10
1
D) 10 500
2
1
E) 9 500
2
C)
10. Si la tasa de natalidad T de cierto país es inversamente proporcional
a la densidad de población P y en un instante en que T= 0,1 se tiene
que P = 0,4, entonces se cumple que
0,04
P
B) T = 0,04 · P
P
C) T =
4
D) T = 4P
0,4
E) T =
P
A) T =
11. Se lanza 30 veces un dardo a un blanco como el de la figura 1. Se
asignan 3 puntos por cada lanzamiento que se acierte en el sector
achurado y 1 punto en cualquier otro caso. Si una persona obtuvo 74
puntos, ¿cuántas veces acertó en el sector achurado?
A) 8
B) 11
C) 19
D) 22
E) 24
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Página 508
12. Si t = 2, entonces t 2
t
2t es igual a:
2
A) 15
B) 9
C) 7
D) 6
E) 5
13. Si la expresión 5[3(4x – 1)] = 15, entonces 4x es igual a
A) -2
1
2
1
C)
2
B) -
D) 2
E) 4
14. ¿Cuál es el valor de (-x + 1)(x + 1) si 4 – 2x = 8?
A) -5
B) -3
C) 1
D) 3
E) 5
15. La suma de tres enteros positivos consecutivos es múltiplo de 12.
Entonces, siempre se cumple que:
I) Uno de ellos es divisible por 4.
II) El menor de los enteros es divisible por tres.
III) El término central es divisible por 2.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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3
3
16. a b a b
5
5
3
A) a2 b 2
5
9 2
B)
a b2
25
9 2 6
C)
a ab b 2
25
5
6
D)
a 2b
10
3
6
E) a2 ab b 2
5
5
17. Pedro y Pablo tienen $ 25.000 en monedas de $ 10. Si Pedro tiene
500 monedas más que Pablo, entonces el dinero que posee cada uno,
respectivamente, es
A) $ 1.500 y $ 3.000
B) $ 1.000 y $ 2.000
C) $ 1.500 y $ 1.000
D) $ 10.000 y $ 15.000
E) $ 12.750 y $ 12.250
18. El ancho de un rectángulo es 6 metros menor que su largo. Si el
largo del rectángulo es Y metros, la expresión algebraica que representa
su perímetro es
A) (4Y – 12) metros
B) (2Y – 6) metros
C) (2Y – 12) metros
D) (4Y – 6) metros
E) (4Y – 24) metros
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19. Si m =
1
1
1
,n=
yp=
, entonces x – (m + n + p) es:
3x
6x
9x
18x 11
18x
7
B)
18x
7x 11
C)
18x
18x 2 11
D)
18x
E) Ninguna de las exp resiones anteriores
A)
20.
3 3 2 3
2 3
A) 0
B) 15
C) 8 5
D) 9 5
E) 21
21. El número 324 es equivalente a
8
A) 3
B) 3
C) 38
D) 312
E) ninguna de las anteriores
22. Si 4-x + 4x = U, entonces 2x + 2-x es igual a
A) 2U
B) U2
C) U
D) 2 + U
E) U 2
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23. En la figura, ABCD es un trapecio de bases AB y CD . ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El perímetro del trapecio es 3x – y.
(y x)2 3
II) El área del trapecio es
.
4
III) El trapecio es isósceles.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
24. La suma de los cuadrados de tres enteros pares consecutivos es
igual a 200. Si y es un entero par, ¿cuál de las siguientes expresiones
representa la ecuación que soluciona el problema?
A) 200 = y2 + (y2 + 2) + (y2 + 4)
B) 200 = [y + (y + 2) + (y + 4)]2
C) 200 = (y – 2)2 + y2 + (y + 2)2
D) 200 = (y – 2)2 y2 (y + 2)2
E) 200 = y2(y + 2)2(y + 4)2
25. El intervalo que representa al conjunto solución del sistema de
inecuaciones
4(x + 3) < 4
15 - 2x ≥ 5
es
A)]-∞, -2]
B)]-∞, -2[
C)]-2, 5[
D)]2, 5[
E)[5, +∞[
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Página 512
A
26. Para que la expresión A
A
A
necesariamente que
B
1
B
B
1
B
sea negativa, se debe cumplir
A) A > 0
B) B < 0
C) AB > 0
D) A < 0
E) AB < 0
x y 5a 2b
27. Dado el sistema
x y 5a 2b
A) 0
B) 2b
C) 4b
D) 5a
E) 10a
, el valor de y es
28. El gas licuado de uso domiciliario tiene un costo de $ 1.980 el m 3 y
un cargo fijo de $ 1.100 mensual. Si x representa el número de m3
consumidos mensualmente, ¿cuál de las siguientes expresiones
representa la función costo mensual C(x)?
A) C(x) = (x – 1.980) + 1.100
B) C(x) = 1.980x + 1.100
C) C(x) = 3.080x
D) C(x) = 1.100x + 1.980
E) C(x) = x + 3.380
29. El conjunto solución (o raíces) de la ecuación y + 3 = y2 + 3 es
A) {0, 1}
B) {0, -1}
C) {0}
D) {1}
E) ninguno de los anteriores
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30. ¿En cuál de las siguientes expresiones el valor de x es - 4?
I) 1 = 3 x · 81
1
II) 3x 1 3 3
3
III) 3x
1
92
A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en I y en II
D) Sólo en II y en III
E) En I, en II y en III
31. Dada la función f(x)
1x
, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
2
es(son) verdadera(s)?
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
I) f(0) = f(1)
II) f(-2) = 3 f(0)
III) f(3) = f(-1)
32. Si f(x) = log3x, entonces f(27) – f(3) es
A) 2
B) 3
C) 4
D) 8
E) 9
33. Si f(x + 1) = x2 + 2x – 3, entonces f(x) es igual a
A) x2 + 2x – 2
B) x2 + 2x – 4
C) x2 – 2
D) x2 – 4
E) (x + 3)(x – 1)
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34. ¿Cuáles de los siguientes gráficos representa mejor a la función
f(x) = 2 x ?
35. Dada la parábola de ecuación y = ax2 + 4x – 3, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) Si a > 1, la parábola intersecta en dos puntos al eje x.
II) Si a = 1, la parábola intersecta en un solo punto al eje x.
III) Si a < 1 la parábola no intersecta al eje x.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
36. Se tiene un capital inicial CO, el cual es invertido a una tasa
semestral del i% de interés compuesto n veces al semestre,
obteniéndose un capital final CF al cabo de t semestres, el cual está
nt
1
dado por: CF C 0 1
Al invertir $ 25.000 al 6% semestral de
100 n
interés compuesto bimestral, al término de 1 año se tendrá
A) $ 25.000 (1,06)6
B) $ 25.000 (1,02)6
C) $ 25.000 (1,06)12
D) $ 25.000 (1,02)12
E) $ 25.000 (1,12)6
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37. Con respecto a la gráfica de la figura, ¿cuáles de las siguientes
afirmaciones son verdaderas?
I) La pendiente del segmento AB es creciente.
II) La pendiente del segmento BC se indetermina.
III) La pendiente del segmento CD es nula.
IV) La pendiente del segmento DE es decreciente.
A) Sólo I y III
B) Sólo II y III
C) Sólo I, II y IV
D) Sólo II, III y IV
E) I, II, III y IV
38. Respecto al polinomio P(x) = x3 – 1 – x (x - 1)2. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) P(x) es divisible por x – 1.
II) 2x + 1 es un factor de P(x).
III) La ecuación P(x) = 0, tiene tres raíces reales.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
39. la figura muestra el gráfico de una función h. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) h(-1) h(x), para todo x [-3,4]
II) El recorrido de h es [-2,4]
III) h(0) = 2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Todas ellas
E) Ninguna de ellas
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40. En la figura, el cuadrado ABCD tiene lado 2. Si F es el punto de
intersección de las diagonales del cuadrado OMCN y se gira toda la
figura en 180º en el sentido de la flecha y en torno al punto O, el punto
F queda en las coordenadas
1 1
A) ,
2 2
1
B) ,0
2
1
C) 0,
2
1 1
D) ,
2 2
1 1
E) ,
2 2
41. A un trapecio isósceles cuyos vértices son A(0,0), B(6,0), C(5,3) y
D(1,3) se le aplica una traslación paralela al eje x en dos unidades a la
derecha, y luego se le aplica otra traslación paralela al eje y en tres
unidades hacia abajo, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) El nuevo vértice B queda ubicado en el punto (8,-3).
II) El nuevo vértice C queda ubicado en el punto (7,0).
III) El nuevo vértice D queda ubicado en el punto (3,0).
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
42. El número de ejes de simetría que tiene un trapecio con tres lados
iguales es
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
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Página 517
43. Dado un punto Q de coordenadas (-5, 3) ¿cuáles son las
coordenadas del punto simétrico de Q con respecto al eje X?
A) (5, 3)
B) (3, 5)
C) (-3,5)
D) (3,-5)
E) (-5,-3)
44. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 10, en el cual se ha
dibujado el pentágono EFGHD. Si K es el punto de intersección de DB
con FG , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El área del pentágono es 64.
II) Δ AEF ≅ Δ CGH
III) BK KF
A) Sólo II
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
45. En la figura, el Δ ABC está inscrito en la circunferencia de centro O y
de radio 2 3 . Si los arcos AB, BC y CA son congruentes, ¿cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) ΔADC ≅ ΔBDC
II) AD = 3
III) ∡ DCB = 30º
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II, III
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Página 518
46. El Δ ABO es isósceles y rectángulo en O. La circunferencia de centro
O y radio r intersecta a los lados del triángulo en D, E y F como lo
muestra la figura. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) Δ ABD ≅ Δ ADO
II) Δ ABE ≅ Δ BAD
III) Δ ADO ≅ Δ BEO
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
47. En la figura, el rectángulo se ha dividido en 8 cuadrados
congruentes entre sí, y cada cuadrado tiene un perímetro de 8 cm.
¿Cuál es el perímetro del rectángulo mayor?
A) 12 cm
B) 18 cm
C) 24 cm
D) 48 cm
E) Ninguno de los anteriores
48. En la semicircunferencia de centro O de la figura, DB = 6 y DE = 8.
El diámetro de la circunferencia es
A) 8
50
B)
3
25
C)
3
19
D)
3
E) Faltan datos para determinarlo
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Página 519
49. En la figura, N es punto medio del segmento OP y el segmento MN
triplica al segmento MP. El segmento MN es al segmento OP como
A) 3: 8
B) 3: 7
C) 3: 6
D) 3: 5
E) 3: 4
50. En la figura, L1 // L2. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
x a
c b
x cb
II)
a
b
xa c
III)
a
b
I)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
51. ¿Cuáles de los siguientes triángulos rectángulos, son semejantes
entre sí?
A) Sólo I y II
B) Solo II y III
C) Sólo III y IV
D) Sólo I, II y IV
E) I, II, III y IV
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Página 520
52. La figura
representa un poste perpendicular a la tierra que
sobresale 2 metros y un edificio. Las sombras del poste y del edificio
miden 80 centímetros y 14 metros, respectivamente. ¿Cuál es la altura
del edificio?
A) 98 metros
B) 46 metros
C) 35 metros
D) 22,4 metros
E) 11,4 metros
53. En la circunferencia de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Δ AED ∼ Δ CEB
II) Δ AEC ∼ Δ DEB
III) Δ BCA ∼ Δ DAC
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
54. En la figura, los puntos P, Q y R están sobre la circunferencia de
radio r y ∡ PQR = 15º. La longitud del arco QP es
r
3
r
B)
6
r
C)
9
r
D)
12
r
E)
24
A)
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Página 521
55. En la circunferencia de la figura, ε = 60º. Si β – = 16º, entonces
el valor del ángulo es
A) 44º
B) 37º
C) 22º
D) 38º
E) Imposible de determinar
56. En la figura, se muestra un cubo de arista a. El Δ BEG es
A) Rectángulo en B
B) rectángulo en E
C) isósceles rectángulo
D) isósceles no equilátero
E) equilátero
57. Respecto del triángulo rectángulo ABC de la figura, ¿cuál de las
siguientes opciones es falsa?
A) sen = cos β
b
B) sen β =
c
b
C) tg β =
a
c c
a b
ab
E) sen + sen β =
c
D) tg + tg β =
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58. En un prisma de base cuadrada, caben exactamente dos pelotitas de
igual radio, una encima de la otra como se muestra en la figura. Si la
altura del prisma es h, entonces el volumen de una esfera es
h3
48
h3
B)
24
h3
C)
4
h3
D)
3
E) h3
A)
59. En la figura, ABCD es un rombo de perímetro 48 cm y las áreas del
ΔAED y del rombo ABCD están en la razón 1: 6. ¿Cuánto mide EB ?
A) 6 cm
B) 4 cm
C) 8 cm
D) 9 cm
E) 12 cm
60. Una ruleta con diez sectores iguales, se ha girado 6 veces y en las
seis ocasiones ha salido un 6. ¿Cuál es la probabilidad de que en el
siguiente giro, salga un 6?
A)
B)
C)
D)
E)
1
5
1
10
1
6
1
2
7
10
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Página 523
61. Una canasta contiene cuatro tipos de frutas: A, B, C y D. Si la
1
probabilidad de escoger una fruta del tipo A es
, ¿cuál es la
4
probabilidad de extraer una fruta que no sea del tipo A?
1
4
1
B)
2
3
C)
4
D) 1
E) No se puede determinar
A)
62. Un club de baile tiene 100 socios, entre hombres y mujeres, que
participan en las categorías A (Avanzados) y B (Novatos). Se sabe que
22 hombres bailan en B, 18 hombres en A y 25 mujeres en B. Si se elige
al azar un socio del club, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y
baile en la categoría A?
A)
B)
C)
D)
E)
1
4
3
5
7
12
7
20
7
1
13 35
63. Si se lanzan dos dados comunes, ¿cuál es la suma de puntos, en los
dos dados, que tiene menor probabilidad de salir?
A) Tanto el 2 como el 12
B) Sólo el 6
C) Solo el 2
D) Sólo el 12
E) Tanto el 1 como el 6
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64. Se tienen 3 estuches con sólo lápices. El primero contiene 3 negros
y 2 rojos, el segundo 4 negros y 8 rojos, y el tercero 6 negros y 12
rojos. Si se saca al azar un lápiz de cada estuche, la probabilidad de que
los tres lápices sean rojos es
A)
B)
C)
D)
E)
8
45
24
45
8
5
8
9
8
40
65. Las alturas registradas en una competencia, fueron, 10, 16, 20, 20 y
30 metros. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) La moda es 20.
II) La moda es igual a la mediana.
III) La media aritmética es menor que la mediana.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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Página 525
66. La tabla adjunta muestra la distribución del número de hijos que
tienen las familias de un condominio. La fórmula correcta que permite
determinar el número promedio de hijos por familia para este
condominio es
A)
B)
C)
D)
E)
xyz
4
xyz
abcd
bx cy dz
bcd
bx cy dz
abcd
abcd
xyz
Nº de hijos
0
x
y
z
Nº de familias
a
b
c
d
67. El gráfico de la figura, representa la distribución de tiempos
registrados en una carrera. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I) El 50% de los participantes marcaron 180 segundos.
II) 60 participantes registraron más de 120 segundos.
3
III)
de los participantes registraron 120 segundos.
10
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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Página 526
68. El gráfico de la figura, muestra el número de inasistencias a clases
de un alumno, durante los primeros cuatro meses de este año escolar.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), respecto
de este alumno?
I) Su mejor asistencia ocurrió en los meses de Marzo y Mayo.
II) Durante estos cuatro meses, faltó a clases en nueve ocasiones.
III) Su peor asistencia fue en el mes de Junio.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
69. En la figura, se puede determinar el valor del ∡ δ si se sabe que:
(1) ABCD es un cuadrado y = 70º.
(2) El Δ AEF es equilátero.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
70. Un maestro puede calcular cuanta pintura va a utilizar, para realizar
un trabajo, si:
(1) Un galón de pintura alcanza para 10 m2.
(2) Tres galones alcanzan para la mitad del trabajo.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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Página 527
71. José tiene cuatro veces los puntos que tiene Julia y Julia tiene la
cuarta parte de los puntos de Hernán. Se puede determinar el número
de puntos que tiene Hernán si:
(1) Se conoce el total de los puntos.
(2) José y Hernán tienen la misma cantidad de puntos.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere la información adicional.
72. La tabla adjunta representa las edades de niños de un jardín infantil.
Se puede determinar el valor de x si:
(1) La moda es 3 años.
edades
frecuencia
(2) El promedio es 4,3 años.
3
10
4
8
A) (1) por sí sola
5
x
B) (2) por sí sola
6
7
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola,(1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
73. Una terraza rectangular de 10 metros por 20 metros se puede
embaldosar perfectamente (sin necesidad de recortar baldosas) si:
(1) Se dispone de baldosas con forma rectángulos de lados
10 cm y 20 cm.
(2) Se dispone de baldosas con forma de hexágonos regulares.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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Página 528
74. Sea m: n = 3: 5. Se puede determinar los valores numéricos de m y
n si:
(1) 3m: p = 18: 7 y p = 21
(2) m + n = 16
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas junta, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
75. Para p ≠ 0, p ≠ 2 y r ≠ 0, el valor numérico de la expresión
p
(p 2) 1
q r se puede determinar si:
p2
p
r
(1) q = 8
(2) r = 2
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas junta, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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Página 529
RESPUESTAS
1
D
2
E
3
C
4
B
5
E
6
A
7
E
8
D
9
D
10
A
11
D
12
C
13
D
14
B
15
C
16
C
17
D
18
A
19
D
20
B
21
D
22
E
23
C
24
C
25
B
26
C
27
B
28
B
29
A
30
E
31
B
32
A
33
D
34
D
35
A
36
B
37
B
38
C
39
D
40
D
41
E
42
B
43
E
44
E
45
E
46
D
47
C
48
B
49
A
50
E
51
E
52
C
53
C
54
B
55
C
56
E
57
E
58
A
59
B
60
C
61
D
62
C
63
A
64
A
65
E
66
D
67
D
68
D
69
C
70
B
71
A
72
B
73
A
74
D
75
A
TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE
PC
PS
-14
150
-13
164
-12
177
-11
191
-10
204
1
395
2
413
3
429
4
443
5
455
6
467
7
477
8
487
9
495
10
503
11
510
12
516
13
522
14
528
15
533
16
538
17
542
18
547
19
551
20
555
21
558
22
562
23
566
24
569
25
572
26
575
27
579
28
582
29
585
30
588
31
590
32
593
33
596
34
599
35
602
36
605
37
608
38
610
39
613
40
616
41
619
42
622
43
625
44
628
45
631
46
634
47
637
48
640
49
643
50
646
51
650
52
653
53
657
54
660
55
664
56
668
57
672
58
676
59
680
60
685
61
690
62
694
63
700
64
706
65
712
66
720
67
723
68
731
69
748
70
765
71
782
72
799
73
816
74
833
75
850
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-9
218
-8
232
-7
245
-6
259
-5
272
-4
286
-3
312
-2
335
-1
359
0
376
Página 530
ENSAYO Nº 4
1. 30 –
5
· 10 + 16: (-0,5)-1 =
2
A) 117
B) 13
C) -3
D) -10,5
E) -18
2. El opuesto de -
1
es el recíproco de
α
A) 0
B) C)
1
α
1
α
D) -
E)
3. Una profesora desea repartir 485 globos entre sus 45 alumnos. ¿Cuál
sería el mínimo número de globos que faltarían para que todos sus
alumnos quedaran con igual número de globos?
A) 10
B) 15
C) 25
D) 35
E) 40
4. Al elevarse al cubo
2
se obtiene un número
A) entero
B) racional
C) irracional
D) no real
E) racional no entero
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Página 531
5. Si A =
3600 0 ,0051 10 3
, entonces A, escrito en notación científica,
0 ,18 10 2 1,7 10 1
es
A) 0,06
B) 0,6
C) 6 · 10
D) 60
E) 0,6 · 102
6. Una tabla se corta en tres pedazos en las razones 1: 3: 5. Si el
pedazo más largo mide 180 cm, ¿cuánto medía la tabla antes de ser
cortada?
A) 324 cm
B) 360 cm
C) 540 cm
D) 900 cm
E) No se puede determinar
7. Las indicaciones que tiene un tarro de leche en polvo son las
siguientes: “por cada
1
1
taza de leche agregar 4 tazas de agua”. Si se
2
2
siguen estas instrucciones, ¿cuántas tazas de agua se deben agregar a
3
taza de leche?
4
3
4
1
B) 6
2
1
C) 7
8
D) 6
A) 6
E) 7
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 532
8. Un grifo que arroja 0,6 litros de agua por segundo, llena un estanque
en 21 horas. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo otro grifo que arroja
0,9 litros por segundo?
A) 7 horas
B) 31,5 horas
C) 16 horas
D) 14 horas
E) 28 horas
9. Si el 15% de un número es 30, entonces el 30% del número es
A) 45
B) 60
C) 75
D) 100
E) 120
10. ¿Qué porcentaje de 4 es
A) 25%
B) 66
2
de 8?
3
2
%
3
C) 120%
1
3
D) 133 %
E) 150%
11. En una prueba PSU, Juan y Carlos contestaron todas las preguntas.
Si Juan contestó en forma correcta el 80% de las preguntas y Carlos
contestó en forma correcta el 15% del total de incorrectas contestadas
por Juan, ¿qué fracción de las preguntas de la prueba contestó en forma
correcta Carlos?
3
25
1
B)
20
3
C)
20
7
D)
20
3
E)
100
A)
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 533
12. Dada la siguiente tabla: Si x es inversamente proporcional a y2,
entonces
P·Q=
x
y
A) 576
4
2
B) 144
P
4
1
C) 48
8
4
D) 12
1
E) 4
Q
9
13. Miguel depositó $ 500.000 el año 2009, a una tasa de un 2% de
interés compuesto anual. ¿Qué gráfica representa mejor el crecimiento
de su capital?
14. A es inversamente proporcional al doble del cuadrado de B. Si A = 4
cuando B =
es:
A)
B)
C)
D)
E)
1
, entonces el correspondiente valor de A cuando B = 3,
2
1
6
1
9
1
18
2
3
4
9
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 534
15. ¿Cuánto se debe agregar al denominador de la fracción
la nueva fracción sea igual a 0,25?
2
para que
3
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 6
16. Valentina pagó (5x + y) por tres helados. El primero costó (x + y),
el segundo 3y. ¿Cuánto costó el tercero?
A) 3y – 4x
B) 4x – 3y
C) 5x – 3y
D) 6x – 4y
E) 6x – 3y
17. Si a = 0,4, b = 0,6 y c = 0,1, entonces
c a b
=
(a b)c
A) 9
B) 0,9
C) 0
D) -0,9
E) -9
18. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones indica correctamente la relación
para cada par de números (x, y) en la tabla adjunta?
A) y = x + 5
B) y = 2x + 3
C) y = 2x + 5
D) y = 3x – 1
E) y = 3x + 1
19. El producto de dos números pares positivos consecutivos es 8
unidades mayor que el cuádruplo del número menor. ¿Cuál es el
producto de estos números?
A) 24
B) 12
C) 8
D) 0
E) -8
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Página 535
20. Si x =
1
1 2
, entonces x + 1 es igual a
A) 2 + 1
B) 2 – 1
C) - 2
D) 0
E) 1
21. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s), con
respecto al gráfico de la figura?
I) L1 tiene pendiente nula.
II) L2 tiene pendiente positiva.
III) L3 carece de pendiente.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo II y III
22. Si A = 0 ,25 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) A2 > A
II) (-A)2 > -A
III) (-A)3 > -A
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
23. Al dividir
1
a2 b3
se obtiene
por
a2 b3
a 2 b 3
A) a2b3
B) a4b6
1
a b3
1
D) 4 6
a b
1
E) 6 9
a b
C)
2
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Página 536
24. En la figura, ¿a cuál de las siguientes rectas corresponde la ecuación
y = -2x + 1?
A) L1
B) L2
C) L3
D) L4
E) L5
25. Al despejar x en la ecuación
4x 2
= 3 se obtiene
a
A) x = 24a
3a 4
2
4a 3
C) x =
2
4
D) x =
3a 2
3a 2
E) x =
4
B) x =
26. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a
x44 x
x 2
si
x > 4?
A) x + x
B) x – 2
C) x + 2
D) 2 x
E) x
1
a
1
b
2
27. Si a – b = 4 y a · b = 2, entonces el valor de es
A) 2(a – b)
B) 2(b – a)
C) 2b – a
D) -4
E) 4
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Página 537
28. Si el coeficiente de posición de una recta es 3 y ésta pasa por el
punto A(-3, 0), entonces su ecuación general es
A) x – y – 3 = 0
B) x – y + 3 = 0
C) x + y – 3 = 0
D) x + y + 1 = 2
E) x + y + 3 = 0
29. El área de un círculo se duplica cuando su radio se aumenta en k.
¿Cuál de las siguientes expresiones es igual al radio del círculo?
A) k
B) k( 2 + 1)
C) k( 2 – 1)
D) k(2 – 2 )
E) 2k
30. Si A =
1 1
1
=
, entonces
m n
A
A) m + n
B) mn
mn
mn
mn
D)
mn
1
E)
mn
C)
31. El punto (p, 16) pertenece a la función f(x) = 2x, si p =
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
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Página 538
32. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 15 minutos. Si en estos
momentos marca las 5 con 2 minutos y se sabe que hace 4 horas que se
adelanta, entonces la hora que debería marcar correctamente es: las
cuatro con
A) 28 minutos
B) 30 minutos
C) 32 minutos
D) 48 minutos
E) 52 minutos
33. Sean las funciones f(x) = 2x y g(x) = x – 1 definidas en los reales.
¿Para qué valor de x se verifica que f(x) · g(x) = f(g(x))?
A) 1
B) -1
C) 0
D) 2
E) -2
34. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa mejor el gráfico de la
figura?
A) y = -x2
B) y = -x2 – 2
C) y = -2x2
D) y = 2 – 2x2
E) y = 2 – x2
35. En los números reales positivos, ¿cuál es el dominio de la función
f(x) =
1
x2 9
?
A) [3, +∞[
B) ]3, +∞[
C) ]-3, +∞[
D) [-3, 3]
E) ]-∞, 3[
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Página 539
36.
5n 4 5n 2
5n
=
A) 10
B) 25
C) 500
D) 600
E) 625
37. El valor de x en la igualdad 2x + 1 + 2x + 2 = 3 es
A) 2
B) 3
C) 4
D) -1
E) -2
38. log
3
0, 3
1
2
1
B)
3
A)
1
3
1
D) 2
C) -
E) -2
39. Si ab > 1, entonces
log ab 9
=
log ab 3
A) logab 3
B) logab6
C) 2
D) 3
E) Depende de los valores de a y b
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Página 540
40. La temperatura T, en grados Celsius, a la que hierve el agua está
relacionada con la altitud H, en metros sobre el nivel del mar, mediante
la fórmula:
H 1.000(100 T) 580(100 T)2
¿A qué temperatura hervirá el agua en la cima de un monte cuya altitud
es de 4.320 metros?
A) 97º
B) 98º
C) 99º
D) 100º
E) 103,7º
3x ay b
, de incógnitas x e y,
2ax by 3
41. En el sistema de ecuaciones
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) Si a = 3 y b = 6, el sistema no tiene solución
II) Si a = - 3 y b = - 6, el sistema tiene solución única
III) Si a = - 3 y b =
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
3
, el sistema tiene infinitas soluciones
2
42. En la figura, los puntos A, C y D son colineales y los ángulos α y β
son complementarios. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
siempre verdadera(s)?
I) El Δ ABC es rectángulo.
II) ∡ ABC = ∡ CBD
III) BC es bisectriz del ∡ ABD.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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Página 541
43. El cuadrado de la figura, está formado por 4 rectángulos
congruentes. Si el perímetro de uno de los rectángulos es igual a 20 cm,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El perímetro del cuadrado es igual a 32 cm.
II) La mitad del cuadrado tiene un perímetro de 16 cm.
III) El área de uno de los rectángulos es igual a 8 cm2.
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
44. El cuadrilátero de la figura es un rombo. ¿Cuáles de las siguientes
afirmaciones son verdaderas?
I) ∡ABD ≅ ∡CDB
II) AD DE BC CE
III) BE DE
A) Sólo I y II
B) Sólo I y III
C) Sólo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas
45. En la figura, los puntos A, B, C y D pertenecen a la circunferencia de
centro O. Si Arco AB = 50º, entonces (∡ x + ∡ y) es igual
A) 25º
B) 30º
C) 50º
D) 75º
E) 100º
46. En la figura, ABCD y DCEF son cuadrados de áreas 100 cm2 cada
uno. Si FD DA , entonces BF =
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 5 2 cm
D) 10 2 cm
E) 10 3 cm
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Página 542
47. ¿Cuál(es) de las figuras tiene(n) centro de simetría?
I) Rombo.
II) Triángulo equilátero.
III) Hexágono regular.
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
48. La recta de la figura, corta a los ejes en los puntos (4, 0) y (0, 3). Si
a la recta se le realiza una rotación de 180º en sentido antihorario con
respecto al origen (0, 0), ¿cuál de los siguientes puntos pertenece a la
recta que se obtuvo?
A) (0, -4)
B) (0, -3)
C) (-4, -3)
D) (-3, -4)
E) (-5, 0)
49. La figura, muestra un círculo inscrito en un hexágono regular. Si el
área del círculo es 100 π , ¿cuál es el área del hexágono?
A) 600
B) 300
C) 200 2
D) 200 3
E) 120 3
50. En el rectángulo ABCD, AE ED , AB = 6 cm y CE = 3 cm. ¿En qué
razón están las longitudes de EC y BC , respectivamente?
A) 1: 5
B) 1: 4
C) 2: 5
D) 1: 6
E) 1: 3
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Página 543
51. Con los datos de la figura, la expresión sen + cos es igual a
A)
B)
x1
y
xy
y
y
C)
x1
y
D)
x1
xy
E)
x
52. ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre sí?
A) Sólo I con II
B) Sólo I con III
C) Sólo II con III
D) Todos son semejantes entre sí
E) No son semejantes entre sí
53. El triángulo ABC de la figura, es rectángulo en C. ¿Cuál es la medida
de la altura h si a = 4 y b = 3?
9
5
12
B)
5
16
C)
5
D) 6
A)
E ) 12
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Página 544
54. En la figura, Arco BCA es una semicircunferencia de centro O. Si
CD AB , AD DO , ∡ AOC = 60º y CD 4 3 , ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) DB = 12
II) AD = 4
III) BC = 192
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
55. AB es diámetro de la circunferencia. Si AB CD , CE 6 y AE 2 , ¿cuál
es la longitud de la circunferencia?
A) 20 π
B) 18 π
C) 10 π
D) 9 π
E) 6 π
56. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s) con
respecto al triángulo rectángulo de la figura?
I) a2 + b2 = 2h2
II) a · b = h2
III)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
1
1
1
2 2
2
h
a
b
57. En el Δ ABC de lados 10, 12 y 20 de la figura, el segmento AD mide
A) 3
B) 5
C) 12
D) 15
E) 20
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Página 545
58. En la figura, OPQR y ORST son cuadrados de lado 4. ¿Cuánto mide
el trazo que une los centros de gravedad de ambos cuadrados?
A) 2
B) 2 5
C) 2 3
D) 2 2
E) 4
59. En un triángulo rectángulo, el punto de intersección de sus alturas
se ubica
A) dentro del triángulo.
B) dentro del triángulo, si éste es isósceles.
C) dentro del triángulo, si éste es escaleno.
D) en el vértice del ángulo recto.
E) fuera del triángulo.
60. La probabilidad de extraer de una caja con fichas, una blanca, es de
un 40%. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha que no sea blanca?
A) 60%
B) 50%
C) 40%
D) 30%
E) No se puede determinar
61. Dada la palabra GEOMETRÍA, ¿cuál es la probabilidad de sacar una
vocal?
2
3
5
B)
9
4
C)
9
1
D)
3
2
E)
9
A)
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62. En una pirinola de 8 caras, en cada una de ellas se puede leer una
de las siguientes frases:
− Toma uno.
− Toma dos.
− Toma tres.
− Toma todo.
− Pone uno.
− Pone dos.
− Pone tres.
− Todos ponen.
Si se lanza la pirinola, con respecto a la cara que muestre (cara
superior),
¿cuál(es)
de
las
siguientes
afirmaciones
es(son)
verdadera(s)?
I) La probabilidad que salga “Toma todo” es de un 12,5%.
II) Es igualmente probable “Tomar” que “Poner”.
III) La probabilidad de “Tomar más de uno” es de un 37,5%.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
63. Si en una caja hay 5 bolitas verdes y 3 blancas entonces, ¿en cuál
de las siguientes alternativas se indica una acción que una vez realizada
permita que al extraer una bolita al azar de la caja, la probabilidad de
que ésta sea blanca corresponda a un 50%?
A) Agregar a la caja una bolita verde
B) Sacar de la caja una bolita verde y una blanca
C) Agregar a la caja dos bolitas verdes y cuatro blancas
D) Sacar tres bolitas verdes y agregar una blanca
E) Agregar cinco bolitas verdes y tres blancas
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64. Se lanzan 4 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan a lo
menos 3 sellos?
1
16
1
B)
4
5
C)
16
5
D)
8
11
E)
16
A)
65. El gráfico de Barras de la figura, muestra las notas obtenidas por un
curso en la prueba de matemática. En relación a la distribución de las
notas, es verdadero que
A) 6 alumnos dieron la prueba.
B) hay más mujeres que hombres.
C) las mujeres sacaron mejores notas.
D) los que obtuvieron nota 2 son el doble de los que
obtuvieron nota 7.
E) el promedio del curso fue, aproximadamente, 4,2.
66. Se entrevistaron a 100 fumadores consultándoles por la cantidad de
cigarrillos que fuman diariamente. Sobre la base de la tabla siguiente
que resume esta información:
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La moda es 35.
II) La media aritmética es 19,6.
III) La mediana es 25.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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Página 548
67. El gráfico de la figura, muestra las notas correspondientes al
resultado de una prueba de biología. Al respecto, ¿cuál(es) de las
afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?
I) La moda es 5.
II) La mediana es menor que la moda.
III) El promedio es mayor que la mediana.
A) Sólo II
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
68. En un baúl hay 4 gorras blancas y 6 rojas. Si se sacan 2 gorras,
¿cuál es la probabilidad de que sean de distinto color?
A)
B)
C)
D)
E)
1
5
8
15
2
9
4
15
2
5
Evaluación de Suficiencia de Datos
69. Se tienen tres números: 2, 4 y x, siendo x un número entero
desconocido tal que 3 < x < 11. Se puede determinar el valor de x si se
sabe que:
(1) El MCD entre los tres es 1.
(2) x no es primo.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
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Página 549
70. Don Humberto depositó dinero en el Banco a un interés simple
mensual x. Se puede conocer el valor de x si:
(1) Don Humberto depositó $ 500.000.
(2) En un trimestre ganó $ 9.600.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
x y a 3 b
, se puede determinar el valor
3 x y a 5 b
71. En el siguiente sistema:
numérico de y si:
(1) a = 4 ; b = 1
(2) a + 3b = 7
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
72. En el triángulo ABC de la figura, se puede conocer el valor de sen
si:
(1) ∡ ABC = 90º
(2) AB = 3, BC = 4, AC = 5
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
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Página 550
73. La figura está formada por los cuadrados A, B y C. Se puede
determinar la medida del lado del cuadrado A si:
(1) Se conoce el perímetro del cuadrado C.
(2) Se conoce el área del cuadrado B.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
74. En la figura, BC es tangente en C a la circunferencia de centro O. Se
puede determinar la longitud del radio de la circunferencia si:
(1) Se conoce la medida de BD .
(2) Se conocen las medidas de BC y AB .
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
75. En un curso, la probabilidad de que salga sorteada una mujer es
0,6. Se puede determinar el número de varones que hay en el curso si:
(1) En el curso hay 40 alumnos.
(2) En el curso hay 24 mujeres.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2).
D) Cada una por sí sola (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
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Página 551
RESPUESTAS
1
C
2
E
3
A
4
C
5
C
6
A
7
A
8
D
9
B
10
D
11
E
12
D
13
E
14
B
15
D
16
B
17
A
18
E
19
A
20
C
21
B
22
D
23
E
24
B
25
E
26
B
27
E
28
B
29
B
30
C
31
A
32
B
33
A
34
C
35
B
36
D
37
D
38
E
39
C
40
B
41
C
42
A
43
A
44
B
45
C
46
E
47
D
48
B
49
D
50
A
51
A
52
D
53
B
54
E
55
A
56
C
57
D
58
D
59
D
60
A
61
B
62
E
63
C
64
C
65
E
66
C
67
E
68
B
69
C
70
C
71
A
72
B
73
C
74
B
75
D
TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE
PC
PS
-14
150
-13
164
-12
177
-11
191
-10
204
1
395
2
413
3
429
4
443
5
455
6
467
7
477
8
487
9
495
10
503
11
510
12
516
13
522
14
528
15
533
16
538
17
542
18
547
19
551
20
555
21
558
22
562
23
566
24
569
25
572
26
575
27
579
28
582
29
585
30
588
31
590
32
593
33
596
34
599
35
602
36
605
37
608
38
610
39
613
40
616
41
619
42
622
43
625
44
628
45
631
46
634
47
637
48
640
49
643
50
646
51
650
52
653
53
657
54
660
55
664
56
668
57
672
58
676
59
680
60
685
61
690
62
694
63
700
64
706
65
712
66
720
67
723
68
731
69
748
70
765
71
782
72
799
73
816
74
833
75
850
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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-9
218
-8
232
-7
245
-6
259
-5
272
-4
286
-3
312
-2
335
-1
359
0
376
Página 552
ENSAYO Nº 5
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS
1. Esta prueba consta de 70 preguntas. Usted dispone de dos horas y 15
minutos para responderla.
2. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente
dibujadas a escala.
3. Los gráficos que se presentan en esta prueba están dibujados en un
sistema de ejes perpendiculares.
1. Si m es un número positivo y el cuadrado de 2m es 16, entonces el
doble de 2m es
A) 2
B) 4
C) 8
D) 12
E) 16
2. ¿Cuál es el valor de 32 + 33?
A) 15
B) 18
C) 36
D) 243
E) 729
3. Si m es un número real negativo, ¿cuál(es) de las siguientes
expresiones es(son) número(s) real(es) positivo(s)?
I) m2
II) -m
III) m3
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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Página 553
4. Una persona está leyendo una novela de 366 páginas y va en la
primera página de la hoja 112 del libro. ¿Cuántas páginas le faltan para
completar la novela?
A) 61
B) 62
C) 142
D) 143
E) 224
5. La cifra de las unidades de 699 es
A) 3
B) 4
C) 6
D) 9
E) No se puede calcular
6. r es directamente proporcional a t y r = 54 cuando t = 9. ¿Cuál es el
valor de r si t = 6?
A) 20
B) 18
C) 15
D) 30
E) 36
7. Se compra un electrodoméstico al crédito pagándose por él, en total,
la suma de $ 187.000, incluido un interés del 10%. ¿Cuánto se habría
ahorrado al cancelar al contado?
A) $ 1.700
B) $ 1.870
C) $ 17.000
D) $ 18.700
E) $ 170.000
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8. Con cuatro fósforos se puede construir un cuadrado y con ocho
fósforos también. ¿Con cuál de las siguientes combinaciones se puede
construir un cuadrado?
A) 94 fósforos
B) 63 fósforos
C) 132 fósforos
D) 154 fósforos
E) 190 fósforos
9. En la expresión P · R = K · Q , donde K es una constante, ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) P es directamente proporcional con Q .
II) P y R son inversamente proporcionales.
III) R y Q son inversamente proporcionales.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
10. El 0,1% de 100x es igual a 0,1. Entonces, el valor de x es
A) 0,0001
B) 0,01
C) 1
D) 10
E) 100
11. 2x - [3x -(3x - 2) - (4 - 5x)] =
A) 2 - 3x
B) 6 - 3x
C) 7x - 6
D) 7x - 6
E) Ninguna de las anteriores
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12. (5a - 5b)2 =?
A) 25a - 25b
B) 10a - 10b
C) 25a - 25b - 10(a + b)
D) 25(a - b) – 2 5(a + b)
E) 25a + 25b – 2 5(a + b)
13. Jorge tenía (2a + 1) años hace (2a + 2) años. ¿Qué edad tendrá
dentro de (2a + 3) años?
A) 6a años
B) 2a + 6 años
C) 4a + 4 años
D) 6a + 6 años
E) 6a + 12 años
14. El valor de la expresión
x4
cuando y = 4 es:
xy
A) 1
5
4
x4
C)
4
x1
D)
x
x4
E)
4x
B)
15. Se definen las operaciones: a S b = a + b y a R b = a + (-b). ¿Cuál
es el resultado de (2 S 3) R (3 R 2)?
A) 0
B) 4
C) 5
D) 6
E) 10
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16. Rosa es 2 años menor que Daniela y Andrea es 1 año menor que
Rosa. Si Rosa y Daniela suman 16 años, entonces la edad de Andrea es
A) 6 años
B) 7 años
C) 8 años
D) 9 años
E) 10 años
17. En un canasto hay n naranjas, 12 plátanos y 8 manzanas. Si se
sacan 5 naranjas, p plátanos y se agregan m manzanas, ¿cuánta fruta
contiene el canasto?
A) n - p + m + 15
B) m - p + 15
C) n - p - m + 15
D) n - p + m + 25
E) n - p - m + 25
18. Un jarrón contiene (R - q) litros de agua, faltándole (p - R) litros
para llenarse. ¿Cuál es el doble de la capacidad del jarrón?
A) R - q
B) 2p - q
C) 2R + 2q
D) 2R - 2q
E) 2p - 2q
19. 3 cajas de fósforos cuestan $ 2a y 4 cajetillas de cigarrillos cuestan
$ 3b. ¿Cuánto cuestan 3 cajetillas de cigarrillos y 1 caja de fósforos?
A) 2a + 3b
B) 6a + 12b
C) 2a + 12b
8a 9b
12
8a 27b
E)
12
D)
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20. ( 2 x 2 1 ) 2 =?
A) 2 x 2 1
B) 3 x 2 4 x 2 1
C) 3 x 2 x 2 1
D) 4 x 2
E) 5 x 2
21. El contenido de una bebida cuesta $ 150 más que su envase. Si una
docena y media de bebidas con envase cuesta $ 3.600, entonces
¿cuánto cuestan 5 envases?
A) $ 75
B) $ 125
C) $ 150
D) $ 200
E) $ 250
22. Una persona asiste a un casino con $ p, apuesta $ r en la ruleta y
gana $ g. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre
verdadera(s)?
I) p = r - g
II) Después de ganar, tiene $ (p + r + g).
III) p ≥ r
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) II y III
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23. La figura muestra 2 cuadrados congruentes construidos con un
alambre de largo x. ¿Cuál es la superficie total de la figura?
A) x 2
x2
2
x2
C)
16
x2
D)
32
x2
E)
64
B)
24. El perímetro de un rectángulo es igual a q y la suma de los valores
recíprocos del ancho y del largo es igual a
A ) qr
1
El área del rectángulo es:
r
qr
2
q
C)
2r
2q
D)
r
q
E)
r
B)
25. La figura muestra el consumo diario de pan de una familia durante
una semana. De acuerdo al gráfico podemos afirmar que:
I) La mayor variación diaria en el consumo ocurrió entre viernes
y sábado.
II) Entre viernes y sábado se produjo una variación del 50%.
III) Entre lunes y martes la familia no consumió pan.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) I y II
D) II y III
E) I, II y III
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26. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde con el dominio de la
función f(x) = x 2 1 ?
A ) 1,
B) 1,
C ) ,1 1,
D ) ,1 1,
E) 1,1
27. Dadas las rectas L1: 2x - y - 3 = 0 y L2: -x - 2y + 10 = 0, entonces
se cumple una de las siguientes alternativas:
A) son perpendiculares
B) son paralelas
C) son coincidentes
D) se intersectan en (2,1)
E) el punto (2,4) pertenece a L1
28. ¿Cuál es la alternativa que corresponde con el gráfico de la función
f(x) = [x] + 1?
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29. ¿Cuál es la ecuación de la recta en la figura?
A) x + y + 1 = 0
B) x - y - 1 = 0
C) x + y - 1 = 0
D) -x + y + 1 = 0
E) Ninguna de las anteriores
30. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) 2 3 5
II) 2 7 es un número irracional
III) 2 18 es un número irracional
A) Sólo I
B) Sólo II
C) I y II
D) I y III
E) II y III
31. Si a = 1 2 y b =
2 1 entonces
ab
?
b
A) 1 2
B)
2 1
C)
2
3
D)
2
E ) 2( 2 1 )
32. Si x es un entero positivo, entonces la expresión (-1)x (-2)x
equivale a:
A) 22x
B) (-3)x
C) (-3)2x
D) 2-2x
E) 2x
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33. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) log 0,1100 = 3
II) log 10 = 2
III) Si log x 25 = -2, entonces x = 0,2
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
34. De la función de segundo grado representada en el gráfico de la
figura, podemos deducir que la ecuación de segundo grado asociada a
ella:
A) tiene una solución real.
B) tiene una solución imaginaria.
C) tiene dos soluciones imaginarias.
D) tiene dos soluciones reales.
E) una de las soluciones es x = 2.
35. ¿Cuál es el mayor valor de y x 1 si x es raíz de x 2 9x 8 0 ?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 8
E) 0
36. Un depósito de $ m se reajusta todos los meses en un p%. ¿Cuál es
el monto acumulado después de t meses?
p
A ) mt 1
100
p
B) m 1
100
pt
C) m
100
mpt
D)
100
mp t
E)
100
t
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37. Si x = 2y e y < 0, ¿cuál(es) de las siguientes desigualdades es(son)
verdadera(s)?
I) x + y < x – y
II) x + y < y – x
III) x – y < y – x
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
38. Dada la función f(x) = (0,04)-x. ¿Cuál es el valor de la función para
x = 1?
A) 0,02
B) 0,04
C) 15
D) 25
E) 5
39. Los triángulos de la figura son equiláteros. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) ∡ AED ≅ ∡ CDE
II) AD ≅ AC
III) AD ≅ CE
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
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40. ¿Cuál de los siguientes gráficos de funciones es simétrico respecto
del eje de las abscisas?
41. En la figura, el punto P tiene coordenadas (3, 1). ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La imagen de P respecto del origen del sistema tiene
Coordenadas (-3, 1).
II) Al trasladar P según el vector (-5, 2), la imagen queda
En el tercer cuadrante.
III) Al rotar P en 90º en torno al punto (1, 1) se obtiene el
Punto (1, 3).
A) Sólo I
B) Sólo III
C) I y III
D) II y III
E) I, II, III
42. Si se traslada el punto de coordenadas (m, n) de modo que sus
coordenadas cambian a (m + 3, n + 4), entonces ¿cuál es el vector
traslación aplicado?
A) (m, n)
B) (m + 3, n + 4)
C) (3, 4)
D) (-3,-4)
E) (4, 3)
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43. Si el perímetro de un cuadrado es 72 cm, ¿cuál(es) de las siguientes
conclusiones es(son) falsa(s)?
I) Su área es 324 cm2
II) Su lado mide 18 cm
III) El doble de su perímetro equivale a la mitad de su área.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo III
D) I, II y III
E) Ninguna
44. ∆ ACD isósceles con AC AD y K ∆ BDE rectángulo. El ∡ x mide
A) 10º
B) 15º
C) 25º
D) 30º
E) 50º
45. ¿Cuál es el perímetro de la figura formada por dos rombos
congruentes cuyas diagonales miden 6 cm y 8 cm?
A) 30 cm
B) 40 cm
C) 48 cm
D) 60 cm
E) 80 cm
46. En la figura, ABCD es un cuadrado y E es punto medio de AB . Si el
área achurada es t 2, el lado del cuadrado mide
A) t
B) 2t
C) t
D) 2 t
E) No se puede calcular
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47. En la figura, AB AC AD = 13 cm. Si CE = 1 cm, ¿cuánto mide BD ?
A) 5 cm
B) 10 cm
C) 10 3 cm
D) 11,5 cm
E) 12 cm
48. En la figura, ABCD y BEFG son cuadrados; BC = 4 cm; E es punto
medio de CD . ¿Cuánto mide la superficie achurada?
A) 16 cm2
B) 20 cm2
C) 28 cm2
D) 32 cm2
E) 36 cm2
49. En la circunferencia de centro O de la figura, ∡ AOB = 125º y
∡ COB = 100º. ¿Cuál es la medida del ∡ ABC?
A) 55º
B) 67,5º
C) 112,5º
D) 135º
E) 225º
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50. Un trazo AB queda dividido en sección áurea por un punto P si se
cumple que AB : AP AP : PB , con AP PB . ¿Cuál(es) de los siguientes
trazos está(n) divido(s) en sección áurea?
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) II y III
E) I, II y III
51. Si en la figura AB //CD , entonces x + y =
A ) 27 cm
1
B ) 27
cm
15
1
C ) 27
cm
14
1
D ) 27 cm
7
E) Ninguna de las anteriores
52. En la circunferencia de la figura, O es el centro, AD es diámetro
y DC es tangente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) ∆ ABD ~ ∆ DBC
II) ∆ ABD ~ ∆ ADC
III) ∆ DBC ~ ∆ ADC
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) II y III
E) I, II y III
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53. ¿Cuál(es) de las siguientes equivalencias se puede(n) deducir con
los datos de la figura?
I) a2 - p2 = b2 - q2
II) a2 + b2 = (p + q)2
III) h2 = (c - p)(c - q)
A) Sólo I y II
B) Sólo II y III
C) Sólo I y III
D) Todas
E) Ninguna
54. Si tgα
3
entonces senα cos α =?
4
A) 7
7
5
C) 1
B)
D ) 0 ,5
E) No se puede determinar
55. Una gata, parada a 4 metros de un poste, observa a una paloma
posada en el extremo superior de éste con un ángulo de elevación de
50º. ¿Qué distancia separa a la gata de la paloma?
A)
4
tg 50º
B ) 4 tg 50º
4
cos 50º
cos 50º
D)
4
E ) 4 cos 50º
C)
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56. Si asumimos que la Tierra es geométricamente esférica y de un
radio aproximado de 6.400 Km, ¿cuál es su superficie, expresada en
notación científica?
A) 1,1 × 1012 Km2
B) 2,6 × 108 Km2
C) 4,1 × 107 Km2
D) 5,1 × 108 Km2
E) 6,4 × 108 Km2
57. El rectángulo de la figura tiene por vértices los puntos A (2, 0, 0), B
(0, 1, 0), C (0,1, 1) y D (2, 0, 1). ¿Cuál es su perímetro?
A) 2 + 2 5
B) 4 5
C) 2 5
D) 12
E) 8
58. En el cubo de la figura, Q es el punto de intersección de las
diagonales de una de sus caras. Si la arista del cubo mide 4 cm,
entonces PQ es igual a
A) 48 cm
B) 32 cm
C) 24 cm
D) 20 cm
E) 16 cm
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59. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un número primo de
entre los primeros 25 números naturales, éste sea par?
1
25
12
B)
25
9
C)
25
1
D)
9
1
E)
12
A)
60. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que se obtengan
un 1 y un 2?
1
2
1
B)
3
1
C)
9
1
D)
18
1
E)
36
A)
61. Una urna contiene 20 bolitas entre rojas y azules. Si la probabilidad
de extraer una bolita azul es de 0,2, entonces ¿cuántas bolitas son
rojas?
A) 16
B) 12
C) 10
D) 8
E) 4
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62. En un curso de 42 personas, los morenos y los rubios están en razón
de 5: 2. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar un alumno al azar
éste sea rubio, considerando que sólo hay rubios y morenos en el curso?
2
5
1
B)
6
2
C)
7
1
D)
7
2
E)
3
A)
63. Se lanzan dos veces dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la
suma de las pintas sea 9 en el primer lanzamiento y 10 en el segundo?
1
81
1
B)
108
1
C)
9
2
D)
9
A)
E) Ninguna de las anteriores
64. Camila tiene en su clóset 3 poleras de color azul, 2 de color rojo, 5
de color blanco, 2 de color negro y 4 amarillas. ¿Cuál es la moda del
conjunto de poleras?
A) 2
B) 5
C) blanco
D) rojo y negro
E) amarillo
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65. La tabla muestra las estaturas de un grupo de 20 niños de un
colegio, agrupadas en intervalos, donde Xi es la marca de clase, fi es la
frecuencia y Fi es la frecuencia acumulada. ¿Cuál de las siguientes
alternativas representa los valores correctos de p y q, respectivamente?
Estatura [m] Xi fi Fi
A) 1,14 y 13
1,10 – 1,12
4
B) 1,15 y 13
1,12 – 1,14
6
C) 1,15 y 17
1,14 - 1,16
p
7 q
D) 1,16 y 13
1,16 – 1,18
3
E) 1,16 y 17
66. Un estudiante obtuvo 3 notas parciales; 6,5, 5,5 y 4,0, cuyo
promedio se pondera en un 60% para obtener la nota final. Si la nota
mínima de aprobación es 4,0, ¿qué nota deberá sacarse como mínimo
en la última evaluación, para aprobar el curso?
A) 5,0
B) 4,0
C) 3,5
D) 2,0
E) 1,0
67. En un curso de Matemática de 32 alumnos, se registró la siguiente
asistencia durante 2 meses: 24, 20, 25, 21, 23, 25, 28, 25, 30, 18, 15,
20, 18, 25, 23, 26. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son
verdadera(s)?
I) La moda es menor que la mediana y que la media
II) La media es menor que la moda y la mediana
III) La media es mayor que la mediana
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Ninguna de las anteriores
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68. La media de los pesos de 5 personas es 76 kg. Si los pesos de 4 de
ellas son: 72 kg, 74 kg, 75 kg y 81 kg, entonces el peso de la quinta
persona es
A) 80 kg
B) 78 kg
C) 76 kg
D) 74 kg
E) 70 kg
INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N° 69 A LA N° 75
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema,
sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del
problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes
para llegar a esa solución.
Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letra:
A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta; pero la afirmación (2) por sí sola no lo es;
B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta; pero la afirmación (1) por sí sola no lo es;
C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son
suficientes para responder a la pregunta; pero ninguna de las
afirmaciones por sí sola es suficiente;
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente
para responder a la pregunta;
E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son
insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información
adicional para llegar a la solución.
69. a y b son números enteros distintos de cero. ab es negativo si:
(1) a < 0
(2)
a
0
b
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
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Página 573
70. Si a es el 10% de b, entonces b =?
(1) a es el 50% de c; c = 18
(2) c = 2a: a + c = 27
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
71. x2 = x si:
(1) x = 0
(2) 2x = 2
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
72. En el rectángulo de la figura, el área del ∆ EBH equivale al área del
∆ DFG si:
(1) E y F son puntos medios
(2) DG GH HB
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
73. ¿Cuánto mide la superficie del cuadrado ABCD de la figura?
1
2
(1) AE AB; CF CG AE
(2) El área achurada mide 23 cm2.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
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Página 574
74. ¿Alcanza un pliego de papel de 70 cm × 120 cm para envolver una
caja de cartón?
(1) La caja mide 30 cm de ancho × 50 cm de largo
(2) El alto de la caja es la mitad del ancho
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
75. Se puede determinar la ecuación de una recta que pasa por el
origen si:
(1) su pendiente es 1,5.
(2) pasa por el punto (2; 3)
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
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HOJA DE RESPUESTAS
1
C
2
C
3
B
4
D
5
C
6
E
7
C
8
C
9
B
10
C
11
A
12
E
13
D
14
E
15
B
16
A
17
A
18
E
19
E
20
B
21
B
22
D
23
B
24
B
25
C
26
A
27
C
28
C
29
B
30
E
31
E
32
C
33
D
34
C
35
B
36
D
37
E
38
D
39
C
40
C
41
B
42
C
43
C
44
B
45
A
46
B
47
B
48
D
49
B
50
A
51
C
52
E
53
D
54
B
55
C
56
D
57
A
58
C
59
D
60
D
61
A
62
C
63
B
64
C
65
C
66
D
67
B
68
B
69
B
70
D
71
D
72
D
73
C
74
C
75
D
TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE
PC
PS
-14
150
-13
164
-12
177
-11
191
-10
204
1
395
2
413
3
429
4
443
5
455
6
467
7
477
8
487
9
495
10
503
11
510
12
516
13
522
14
528
15
533
16
538
17
542
18
547
19
551
20
555
21
558
22
562
23
566
24
569
25
572
26
575
27
579
28
582
29
585
30
588
31
590
32
593
33
596
34
599
35
602
36
605
37
608
38
610
39
613
40
616
41
619
42
622
43
625
44
628
45
631
46
634
47
637
48
640
49
643
50
646
51
650
52
653
53
657
54
660
55
664
56
668
57
672
58
676
59
680
60
685
61
690
62
694
63
700
64
706
65
712
66
720
67
723
68
731
69
748
70
765
71
782
72
799
73
816
74
833
75
850
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
-9
218
-8
232
-7
245
-6
259
-5
272
-4
286
-3
312
-2
335
-1
359
0
376
Página 576
ENSAYO Nº 6
I. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD.
1. En un curso de 28 alumnos, 21 asistieron a clases. ¿Qué porcentaje
faltó?
A) 75%
B) 25%
C) 7%
D) 0,75%
E) 0,25%
2.
23 6
?
2 1
A) 0
B) -1
C) -2
D) -6
E) 4
3. Tres niños, A, B y C, tienen sendas latas de bebida gaseosa de 350 cc
cada una. “A” bebe los
7
4
3
de su lata, “B” toma los y “C” toma los .
10
5
4
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) A bebió más que B.
II) C bebió más que B.
III) A bebió menos que C.
A) Sólo I
B) Sólo III
C) I y II
D) I y III
E) I, II y III
4. En un huerto hay 64 plantas. Si por cada 5 plantas de rosas hay 3 de
claveles, ¿cuántas plantas de claveles hay en el huerto?
A) 8
B) 16
C) 24
D) 32
E) 40
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 577
5. En la secuencia siguiente, con cuatro palitos se forma un rombo y al
agregar 3, se forma un nuevo rombo.
¿Cuántos rombos se pueden formar con 169 palitos?
A) 56
B) 57
C) 59
D) 60
E) 63
6. Un artículo de ferretería se vende en $ 16.000, luego de aplicarle un
20% de descuento. ¿Cuál era el precio del artículo antes de aplicarle el
descuento?
A) $ 12.800
B) $ 19.200
C) $ 20.000
D) $ 21.600
E) $ 28.000
7. d dulces cuestan $ p. ¿Cuántos dulces puedo comprar con $ x?
pd
x
x
B)
pd
xd
C)
p
xp
D)
d
p
E)
xd
A)
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 578
8. El gráfico de la figura muestra cómo varía la cantidad de agua que
hay en la caldera de una industria durante 5 horas de funcionamiento.
¿Cuál de las siguientes alternativas entrega la
mayor información correcta que se puede
obtener del gráfico?
Se agregó agua:
A) 4 veces en 5 horas.
B) cada 1 hora, 100 litros cada vez.
C) cada 1 hora, 200 litros cada vez.
D) 5 veces, 200 litros cada vez
E) cada vez que la caldera tenía menos de 250
litros.
9. En la liquidación efectuada en una tienda, una persona compró 8
poleras, 1 pantalón, 3 camisas y 12 pares de calcetines. El pantalón le
costó $ 10.000, cada polera $ 6.000 menos que el pantalón, cada par de
calcetines costó la quinta parte del pantalón y cada camisa $ 2.000
menos que el pantalón. Si pagó el 25% al contado y el resto en 5 cuotas
iguales sin intereses, ¿cuál es el valor de cada cuota?
A) $ 12.500
B) $ 13.500
C) $ 18.000
D) $ 21.500
E) $ 22.500
II. ÁLGEBRA Y FUNCIONES
10. x es el lado de un triángulo equilátero. Si el lado se aumenta en y
unidades, entonces el perímetro resultante es:
A) x + y
B) 3x + y
C) 3x + 3y
D)
E)
(x y) 2
2
xy
2
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 579
11. La solución de la ecuación: 2x - 4 = 6 es
A) -1
B) 1
C) 5
D) 7
E) 8
12. (-2m2)3 = ?
A) -6m6
B) -6m2
C) -8m6
D) -8m2
E) -2m6
a2
?
a .5
13.
A) a 7
B) a 3
C) a
D)
2
5
2
a5
E ) a 7
14. Si
x 2 , entonces x + x2 =?
A) 4
B) 6
C) 2 + 2
D) 12
E) 20
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 580
15. Al simplificar la expresión
3 6
3
resulta:
A) 6
B)
2
C) 1 2
D)
33 2
E)
3
16. Al simplificar la expresión
p1
con p 2, se obtiene:
p2
A) 2
1
2
C) 1
B)
D) 1
E) No se puede simplificar
17. Si se desarrolla la expresión (x - y)2 como x2 + y2 se está
cometiendo un error. El error consiste en
I) el exponente del primer término
II) el signo del segundo término
III) que falta el doble producto de x = (-y)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) II y III
18. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no es equivalente con la ecuación
0,01x = 3,14?
1
x 3 ,14
100
B ) 0 ,01x π
A)
C ) x 10 2 3 ,14
314
D ) 0 ,01x
100
2
E ) x 10 314 10 2
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Página 581
19. Si x = 3 es una solución de la ecuación 3x + 5 = x + k, entonces el
valor de k es:
A) 5
B) -5
C) 8
D) 11
E) 17
20. Pedro (P) tiene el doble de la edad de José (J) y hace 3 años era el
triple. ¿En cuál de las alternativas se plantea el sistema que permite
calcular las edades de Pedro y José?
21. (m + n)2 - 2n (m + n) =?
A) (m + n)(m - n)
B) m2 - 2n2
C) m2 - n2 - n
D) m2 - n2 - 2mn
E) (m - n)2
22. La rapidez v de un cuerpo lanzado verticalmente hacia abajo está
dada por la relación v2 = v 02 + 2gd donde v0 es la rapidez inicial, g es la
aceleración de gravedad y d es la distancia recorrida por el móvil. ¿Qué
rapidez lleva un cuerpo a los 15 metros de su caída si se lanza con v0 =
10 m/s y la aceleración de gravedad es de 10 m/s2?
A) 10 m/s
B) 20 m/s
C) 100 m/s
D) 200 m/s
E) 400 m/s
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Página 582
23. Si el perímetro de un rectángulo es 2(x + y) y el ancho es x - y,
¿cuál es el largo?
A) 2y
B) 2x
C) 0
D)
xy
xy
E) 2x - 2y
24. La diferencia entre
x
x
y t es
¿Cuál es el valor de t?
m
m1
1
m ( m 1)
B) 0
A)
xm
m ( m 1)
2m 1
D)
m ( m 1)
x
E)
m ( m 1)
C)
25. Con el 20% más del dinero que tengo, podría comprar un CD de $
5.400. ¿Cuánto dinero me sobraría si quiero comprar una revista que
cuesta $ 3.000?
A) $ 1.080
B) $ 1.320
C) $ 1.500
D) $ 2.400
E) $ 4.500
26. Rosa tiene el doble de dinero que Beatriz, pero si Rosa le regala $
400 a Beatriz, ambas quedarían con la misma cantidad de dinero.
¿Cuánto dinero tiene Rosa?
A) $ 400
B) $ 800
C) $ 1.200
D) $ 1.600
E) $ 1.800
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Página 583
27. Un refrigerador cuesta $ (x + 3). Una familia lo compra en 3 cuotas,
precio contado. ¿Cuánto vale cada cuota?
A) $ (x + 1)
B) $ x
( x 1)
3
( x 3)
D) $
3
x
E) $
3
C) $
28. Una persona tiene reunidos $ 50.000 y todos los meses ahorra $
10.000. ¿Cuál es la función que permite determinar el ahorro total y en
el mes x?
A) y = 50.000x + 10.000
B) y = 50.000x - 10.000
C) y = 10.000x + 50.000
D) y = 10.000x - 50.000
E) y = x + 10.000 + 50.000
29. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con
respecto a la recta de ecuación y - x + 2 = 0?
I) La recta intersecta al eje Y en el punto (0,-2).
II) La recta intersecta al eje X en el punto (2, 0).
III) La pendiente de la recta es -1.
A) Sólo I
B) I y II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III
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Página 584
30. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la recta de ecuación x y = 0?
31. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)
respecto de las soluciones de la ecuación x2 - 6x + 8 = 0?
I) Son reales.
II) Una es el doble de la otra.
III) Son negativas.
A) Sólo I
B) Sólo III
C) I y II
D) I y III
E) I, II y III
32. La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación
y(t) = 50t - t2, donde t se mide en segundos y la altura y(t) en metros.
¿Cuál(s) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)?
I) El proyectil alcanza una altura máxima de 625 metros.
II) El proyectil alcanza la altura máxima a los 25 segundos.
III) A los 10 segundos, el proyectil se encuentra a una altura de
400 metros.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) I, II y III
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 585
33. ¿Cuál de los
f(x) = 3 - 3x - x2?
siguientes
gráficos
representa
a
la
función
34. Una bacteria se reproduce por bipartición cada 20 minutos. ¿Cuál es
la fórmula que permite calcular el número de bacterias que tiene un
cultivo al cabo de t minutos si se inicia el proceso con una sola bacteria?
(NOTA: [x] = función parte entera de x)
A ) 20t
t
B)
20
C ) 2 20t
t
D) 2
20
E)
t
2 20
35. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)?
I) log 1 + log 2 = log 2
II) log 2 + log 3 = log 6
III) log 4 - log 2 = log 2
A) Sólo II
B) I y II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III
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Página 586
36. La figura representa a un rectángulo divido en 8 partes. ¿Cuál(es)
de las siguientes expresiones representa(n) el área de la región
achurada?
I)
bd
2
II)
b(d c)
2
III)
d( b a)
2
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y III
E) I, II y III
x y 2a
. ¿Cuál es el valor
x y 2b
37. Dado el siguiente sistema de ecuaciones
de y?
A) a + b
B) a – b
C) 2a + 2b
D) 2a – 2b
E) b - a
38. El gráfico de la figura, muestra lo que tiene que pagar una persona
al enviar una carta certificada según los gramos (gr) que pesa. Si la
persona envía 3 cartas certificadas cuyos pesos son: 150 gr la primera,
450 gr la segunda y 600 gr la tercera. Entonces, por las tres cartas debe
pagar
A) $ 1.200
B) $ 1.400
C) $ 2.200
D) $ 2.600
E) no se
determinar
puede
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Página 587
III. GEOMETRÍA
39. ¿En cuál(es) de los siguientes casos se puede afirmar que dos
triángulos son semejantes?
I) Cuando son triángulos rectángulos de distinto tamaño.
II) Cuando son triángulos isósceles de distinto tamaño.
III) Cuando son triángulos equiláteros de distinto tamaño.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) I y III
40. ¿En cuál de las siguientes figuras planas es posible determinar un
eje de simetría?
A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en III
D) En I y III
E) En I, II y III
41. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría de la figura
respecto del eje OP ?
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 588
42. ¿En cuál(es) opción(es) la figura inferior es generada por la rotación
de la figura superior en torno al eje AB ?
A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en III
D) En I y en III
E) En I, en II y en III
43. En la figura se tienen 5 cuadrados congruentes de 4 cm de lado.
¿Cuál es el perímetro total de la figura?
A) 32 cm
B) 40 cm
C) 80 cm
D) 200 cm
E) No se puede determinar
44. En la figura, el cuadrado ABCD se traslada según el vector de
componentes
(4, 2). ¿Cuáles son las coordenadas del vértice A
trasladado?
A) (4, 2)
B) (5, 2)
C) (5, 3)
D) (3, 5)
E) No se puede determinar
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Página 589
45. ¿Cuál de las siguientes traslaciones permite dejar íntegramente el
polígono de la figura en el primer cuadrante?
A) (4, 0)
B) (0, 4)
C) (2, 3)
D) (4, 2)
E) (3, 0)
46. En la figura, el DABC es simétrico con el DMNO respecto de la recta
L. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre
verdadera(s)?
I ) BC NO
II) CO //AM
III) BC // MO
A) Sólo I
B) Sólo II
C) I y II
D) I y III
E) II y III
47. Un rectángulo de dimensiones 3 m × 2 m, se traslada 4 metros,
apoyado sobre uno de sus lados en un plano perpendicular a él, como se
muestra en la figura. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado?
A) 6 m3
B) 8 m3
C) 9 m3
D) 20 m3
E) 24 m3
48. En la figura, el ∆ ABC es rectángulo en C, AC BC , CD AB , AD = 16
cm y BC = 6 cm. Entonces, el área del ∆ ABC es:
A) 36 2 cm²
B) 48 cm²
C) 32 2 cm²
D) 12 2 cm²
E) No se puede determinar
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Página 590
49. En la figura, el área del ∆ ABE es 60 cm2 y AB //DC . ¿Cuál es el área
del ∆ ABC?
A) 10 cm2
B) 20 cm2
C) 30 cm2
D) 40 cm2
E) 50 cm2
50. Según la figura, ¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos
es(son) semejante(s)?
I) ∆ DAB y ∆ BAC
II) ∆ EBD y ∆ DCB
III) ∆ BAC y ∆ DBC
A) Sólo I
B) Sólo II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III
51. En el triángulo ABC rectángulo de la figura, M y N son puntos
medios. ¿Cuál(es) de las siguientes
proposiciones es(son) verdadera(s)?
I) ∆ ABN ≅ ∆ CBM
II) Área ∆ ABN = Área ∆ CBM
III) Área ∆ ABN = Área ∆ ANC
A) Sólo II
B) Sólo III
C) I y II
D) I y III
E) II y III
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 591
52. Un edificio proyecta una sombra de 4 m y un árbol de 2
1
m, en ese
2
mismo lugar, proyecta una sombra de 1 m. ¿Cuál es la altura del
edificio?
A) 12 m
B) 10 m
C) 9 m
D) 8 m
E) 7 m
53. En la circunferencia de centro O, se trazan AB y DE diámetros y
CD cuerda, como se indica en la figura. Si AB //CD y ∡ AOE = 30°,
entonces el ∡ x mide
A) 15°
B) 20°
C) 25°
D) 30°
E) 45°
54. En la circunferencia de la figura, ∡ DAC=30º y ∡ BCA =40º. ¿Cuál es
la medida del
∡ x?
A) 30º
B) 35º
C) 40º
D) 45º
E) 70º
55. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalentes a cos
a?
I ) cot gα senα
II)
1
sec α
III)
1
tgα cos ecα
A) Sólo I
B) Sólo II
C) I y II
D) I y III
E) I, II y III
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Página 592
56. En el cuadriculado de la figura, cada cuadrado es de lado 1. ¿Cuál es
el valor de cos a?
A)
B)
4
41
5
41
4
5
5
D)
4
C)
E)
41
5
57. Un avión que se aproxima al aeropuerto vuela a 1.500 m de altura.
Si el piloto observa la torre de control con un ángulo de depresión de
30º, ¿a qué distancia d se encuentra el avión del aeropuerto?
A) 750 m
B) 750 3 m
C) 3.000 m
D) 3.000 3 m
E) 4.500 m
58. En la figura, ABCD es un rectángulo y AEFD es un cuadrado de lado
(2 + 2 ) cm. Si GC = 4 cm y FC = 2 cm, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El área del rectángulo ABCD es (8 + 6 2 ) cm2.
II) El área del cuadrado AEFD es (6 + 4 2 ) cm2.
III) El área del rectángulo HGBE es 2 cm2.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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Página 593
IV. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
59. En un estante hay 10 libros de Biología y 12 de Química. Si se sabe
que 5 libros de Biología y 6 de Química están en inglés y el resto en
español, entonces ¿cuál es la probabilidad de escoger un libro de
Química en español?
18
22
12
B)
22
6
C)
22
6
D)
12
6
E)
11
A)
60. La probabilidad de que ocurra un suceso A es de 10% y la
probabilidad de que ocurra un suceso B, independiente de A, es de 20%.
¿Cuál es la probabilidad de que ocurran los sucesos A y B
simultáneamente?
A) 2%
B) 15%
C) 30%
D) 50%
E) 200%
61. En una urna con 80 bolitas, la probabilidad de escoger una bolita
roja es de 0,25. ¿Cuántas bolitas rojas hay en la urna?
A) 0,25
B) 4
C) 8
D) 20
E) 25
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 594
62. ¿En cuál de los siguientes casos la probabilidad de ocurrencia del
suceso es 0,5?
A) Lanzar un dado y obtener un 5.
B) Lanzar una moneda y obtener cara o sello.
C) Ganarse el sorteo del Loto.
D) Entrar a una habitación y que esté encendida la luz.
E) Responder esta pregunta al azar y que esté buena.
63. Al lanzar un dado común, ¿cuál de los siguientes eventos tiene la
mayor probabilidad de ocurrencia?
A) Obtener 2 ó 4.
B) Obtener 4 ó 6.
C) Obtener un número par.
D) Obtener un número primo.
E) Obtener 2 ó más.
64. El gráfico de la figura muestra las notas obtenidas por los alumnos
de un curso en una prueba. ¿Cuál es la frecuencia absoluta
correspondiente a la nota 3?
A) 3
B) 4
C) 12
D) 17
E) 35
65. El gráfico de la figura muestra las ventas de una panadería entre
los meses de Enero y Junio. ¿Cuál es el promedio entre los 3 meses de
mayor venta?
A) 200
B) 250
C) 300
D) 350
E) 400
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66. La tabla muestra las frecuencias de las edades de los alumnos de
4º medio de un liceo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) La moda es 17 años.
Edad f
II) El 20% del curso tiene 18 años.
15
1
III) La mediana es 17 años.
16
5
17
20
A) Sólo I
18
7
B) Sólo III
19
1
C) I y II
20
1
D) I y III
E) I, II y III
67. Dados los pesos de 10 niños: 12 Kg, 18 Kg, 16 Kg, 10 Kg, 13 Kg, 18
Kg, 15 Kg, 13 Kg, 11 Kg y 13 Kg. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La moda es 13 Kg.
II) La mediana es 13 Kg.
III) La media es 13 Kg.
A) Sólo I
B) I y II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III
68. En una encuesta, se preguntó a 50 estudiantes sobre el número de
libros que leyeron durante el año 2007. Los resultados se muestran en
la tabla de frecuencias siguiente:
Nº libros
frecuencia
0
5
1
5
2
6
3 4
5
9 11 7
6
4
7
2
8
1
¿Cuál es la mediana de libros leídos por estudiante?
A) 3
B) 3,5
C) 4
D) 4,5
E) 5
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V. EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS
INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N° 69 A LA N° 75
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema,
sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del
problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes
para llegar a esa solución.
Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letra
A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta; pero la afirmación (2) por sí sola no lo es;
B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta; pero la afirmación (1) por sí sola no lo es;
C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son
suficientes para responder a la pregunta; pero ninguna de las
afirmaciones por sí sola es suficiente;
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente
para responder a la pregunta;
E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son
insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información
adicional para llegar a la solución.
69. ¿Cuánto dinero tiene Jaime?
(1) Si consigue $ 500, puede comprar 2 libros de $ 5.000 cada
uno y le sobra dinero.
(2) Si compra un CD de $ 9.000, le sobrarían más de $ 500.
A) 1) por sí sola.
B) 2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) e requiere información adicional.
70. ¿Cuál es el volumen de un baúl?
(1) La razón entre el largo, el ancho y el alto es 5: 3: 2.
(2) El área basal es 6.000 cm2.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
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71. La expresión a + b, con a y b números reales, es positiva si:
(1) a > b
(2) a - b > 0
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
72. ¿Cuál es el valor de la expresión x2 - y2?
(1) x + y = 5; x - y = 2
(2) x = 3; y = 2
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
73. En la figura, ∆ ABC rectángulo isósceles de 18 cm2 de superficie. C
es el centro del círculo. Se puede determinar el área de la región
achurada si:
(1) P es punto medio
(2) AB = 6 cm
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
74. Se puede saber qué parte del círculo de centro O, de la figura, es la
región achurada si:
(1) ∡ ACB = 45º
(2) el radio del círculo es 5 cm
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
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Página 598
75. En la figura, el ∆ AMN es congruente con ∆ CMN si:
(1) ABCD es un cuadrado
(2) BM MN ND
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
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RESPUESTAS CORRECTAS
1
B
2
E
3
B
4
C
5
A
6
C
7
C
8
B
9
B
10
C
11
C
12
C
13
A
14
E
15
C
16
E
17
C
18
B
19
D
20
C
21
A
22
B
23
A
24
E
25
C
26
D
27
D
28
C
29
B
30
C
31
C
32
E
33
B
34
E
35
E
36
A
37
B
38
D
39
C
40
D
41
C
42
E
43
B
44
C
45
D
46
C
47
E
48
A
49
A
50
E
51
E
52
B
53
D
54
E
55
E
56
B
57
C
58
B
59
C
60
A
61
D
62
D
63
E
64
C
65
C
66
E
67
B
68
B
69
E
70
C
71
E
72
D
73
A
74
A
75
A
TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE
PC
PS
-14
150
-13
164
-12
177
-11
191
-10
204
1
395
2
413
3
429
4
443
5
455
6
467
7
477
8
487
9
495
10
503
11
510
12
516
13
522
14
528
15
533
16
538
17
542
18
547
19
551
20
555
21
558
22
562
23
566
24
569
25
572
26
575
27
579
28
582
29
585
30
588
31
590
32
593
33
596
34
599
35
602
36
605
37
608
38
610
39
613
40
616
41
619
42
622
43
625
44
628
45
631
46
634
47
637
48
640
49
643
50
646
51
650
52
653
53
657
54
660
55
664
56
668
57
672
58
676
59
680
60
685
61
690
62
694
63
700
64
706
65
712
66
720
67
723
68
731
69
748
70
765
71
782
72
799
73
816
74
833
75
850
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-9
218
-8
232
-7
245
-6
259
-5
272
-4
286
-3
312
-2
335
-1
359
0
376
Página 600
ENSAYO ORIGINAL ADMISIÓN 2011
1 5 1 4
2 2 5 2
1.26
5
11
B)
40
11
C)
10
A)
D) 1
E) Ninguno de los valores anteriores
2.- Un agricultor planta lechugas en un sitio de 10 m de largo y 4 m de
ancho en 5 horas. ¿Cuánto tiempo le llevará plantar lechugas en un sitio
de 40 m de largo y 6 m de ancho, trabajando en las mismas
condiciones?
A) 20 horas
B) 30 horas
C) 27
1
horas
2
D) 6 horas
E) 13
1
horas
3
3.- 2 6 2 6 2 6 2 6 4 4
A) 416
B) 46
C) 42
D) 216
E) 0
4. ¿Cuál de los siguientes pares de variables son inversamente
proporcionales?
A) La longitud del radio de un círculo y el área de dicho círculo
B) El consumo de energía eléctrica mensual y el costo asociado, en
pesos
C) La cantidad comprada de un mismo artículo y el dinero gastado en la
compra
D) En un movimiento uniforme rectilíneo, la velocidad en recorrer una
distancia fija y el tiempo en recorrerla
E) El puntaje obtenido en una prueba y la nota asociada e ese puntaje
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Página 601
5.- En la tabla adjunta aparece la cantidad de calorías aportadas por el
consumo de una porción de 100 gramos de cada uno de los alimentos
indicados. Comer una porción de
PORCION
DE CALORIAS
ALIMENTO (100 gr)
Manzana
70
Pan
300
Arroz
200
Pechuga de pollo
150
Longaniza
400
Merluza
100
Yogurt
110
I) Arroz con una porción de pechuga de pollo una porción de
manzana aportan 420 calorías
II) Pan con una porción de longaniza, más dos porciones de
yogurt aportan 810 calorías
III) Merluza aporta el 25% de las calorías que proporciona una
porción de longanizas
Es(son) verdadera(s)
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
6.- Un jardinero planta n rosales. Si se seca el 100% de ellos, ¿Cuántos
rosales perdió?
A) n
B) 100n
n
100
100
D)
n
C)
E) n – 100
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Página 602
7.- Si la variable a es a la variable b como 7 es a 12, ¿Cuál de las
siguientes igualdades es siempre verdadera?
A) a + b = 19
B) a b = 84
C) b – a = 5
D) 12a – 7b = 0
E) 12a + 7b = 0
8.- Una fábrica de zapatos debe entregar un pedido de T pares de
zapatos en tres días. Si el primer día entrega
de lo que resta y el tercer día
entregar es:
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
de él, el segundo día
3
5
1
del resto, entonces lo que quedó sin
4
1
T
10
9
T
10
3
T
10
1
T
5
1
T
6
9.- La nota final en la asignatura de física, se obtiene de la suma del
75% del promedio de las notas de las pruebas parciales con el 25% de
la nota del examen. Si Daniela obtuvo un 2,0 en el examen y su
promedio de las notas de las pruebas parciales es 5,0, ¿Cuál de las
siguientes expresiones permite calcular cual fue la nota final de Daniela
en física?
A) 0,25 2,0 + 0,75 5,0
B) 0,75 2,0 + 0,25 5,0
C) 1,25 2,0 + 1,75 5,0
D) 1,25 5,0 + 1,75 2,0
E) 25 2,0 + 75 5,0
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Página 603
10.- ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con
respecto de las tablas M, P y T?
X
3
4
5
6
M
y
2
2
2
2
P
x
8
6
2
3
T
y
4
3
1
1,5
x
3
1
4
6
y
4
12
3
2
I) Las variables x e y de la tabla M están en proporcionalidad
directa y su constante de proporcionalidad es 2
II) Las variables x e y de la tabla P están en proporcionalidad
directa
III) Las variables x e y de la tabla T están en proporcionalidad
inversa y su constante de proporcionalidad es 12
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo II y III
E) Ninguna de ellas
11.- Si x = a2 y a = 2 2 , entonces x es igual a
A) 16
B) 8
C) 4
D) 2
E) 4 2
12.- La expresión – b b 1
2
3
B) b
2
1
C) b
2
2b 1
D)
2
1
E) – b
2
1
es equivalente a
2
A)
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Página 604
13.- Si al doble de 108 se le resta m se obtiene n y el triple de n es
123, ¿Cuál es el valor de m?
A) 93
B) 67
C)
175
2
D) -175
E) 175
14.- En la figura se muestran dos cuadrados, uno de lado a y otro de
lado b. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el área pintada?
A) a(a – b)
B) (a – b)2
C) (a – b) a – b2
D) (a – b)(a + b)
E) (a – b)2 – b2
15. Se repartió una herencia entre cinco hermanos, dos tíos y una
prima. Si cada hermano recibió la séptima parte de la herencia y cada
tío la mitad de lo que recibió cada uno de los hermanos, ¿qué parte de
la herencia recibió la prima?
A)
B)
C)
D)
E)
2
7
5
7
11
14
1
7
3
14
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Página 605
16.- Un numero entero P es divisible por 2 y es divisible por 6. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) P es divisible por 12
II) P es divisible por 3
III) P = 6
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
17.- ¿En cuál(es) de los siguientes casos, x # y = xy es número entero?
I) 4 #
1
2
II) 3 # -2
III) 1 #
7
3
A) Solo en I
B) Solo en II
C) Solo en I y en II
D) Solo en I y en III
E) En I, en II y en III
18.- Si al lado de un cuadrado de medida a unidades aumenta en t
unidades, entonces la diferencia entre el área del nuevo cuadrado y el
área del original, en unidades cuadradas, es
A) t2
B) t2 + ta
C) t2 + 2ta
D) t2 + ta – a2
E) t2 + 2ta – a2
19.- Si m + n = ax y m – n = ay, entonces m2 – n2 es
A) axy
B) ax + y
C) ax – y
D) a2y
E) a2xy
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Página 606
20.- Si m3 – n3 = a y m – n = b, entonces el valor de
a
es
b
A) m2 + mn + n2
B) m2 – n2
C) m2 – mn + n2
D) m2 + n2
E) m2 + 2mn + n2
21.- Sea x
1
, con p y q números reales distintos entre sí. El inverso
pq
aditivo de x y el inverso multiplicativo (o recíproco) de x son
respectivamente
A) p – q
y
1
qp
1
qp
1
C)
qp
y
q–p
y
p–q
D) q – p
y
E) p – q
y
1
qp
1 1
p q
B)
22.- Sea n un numero entero positivo, la expresión (-1)n + 1
numero entero positivo, si n es
n 1
es un
2
I) Impar
II) Múltiplo de 2
III) Múltiplo de 3
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas
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Página 607
23.- La expresión
A)
3
B)
1
a
3
a 2 : ( 3 a ) 1 es equivalente a
a
C) -1
D) - 3 a
E) a
24.- En los números reales el conjunto solución del sistema
7
3 6x 4
1 2x 0
1
A) ,
6 2
1 1
B) ,
6 2
C)
1
1
D) ,
2
E) ,
6
25.-
2 8
2
A) 1 + 8
B) 8
C) 5
D) 3
E) Ninguno de los valores anteriores
26.- ¿Cuál de los siguientes pares de ecuaciones se representan en el
gráfico de la figura?
A) 2y + x = 4; 2y – x = 4
B) 2y – x = 2; 2y + x = 2
C) -2y – x = 2; -2y + x = 2
D) 2y + x = 4; -2y + x = 4
E) y + 2x = 8; y – 2x = 8
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Página 608
27.- Se pone a hervir agua que inicialmente estaba a una temperatura
de 10 ºC. Si su temperatura sube uniformemente durante los primeros 7
minutos hasta alcanzar los 100 ºC, estabilizándose la temperatura
después de este tiempo, ¿Cuál de los siguientes gráficos representa
mejor este fenómeno?
A)
B)
C)
D)
E)
28.- El costo total para fabricar sopaipillas incluye un costo fijo de
$5.000 más un costo de $80 por cada unidad. ¿Cuál de las siguientes
funciones expresa el costo total (C), en pesos, para fabricar x
sopaipillas?
A) C = 5.000 80x
B) C = 5.000 + 80x
C) C = 5.000x + 80
D) C = (5.000 + x) 80
E) C = (5.000 + 80) 80
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Página 609
29.- La ecuación 3 2 x 4 tiene
A) Como única solución, x = 5
B) Como única solución, x = 9
C) Como única solución, x = -5
D) Dos soluciones, x = -5 y x = 9
E) Dos soluciones, x = 5 y x = 9
30.- Si P es el conjuntos de todos los puntos del plano de la forma (3, y)
y S es el conjunto de todos los puntos del plano de la forma (x, 2),
entonces el único punto común entre los conjuntos P y S es
A) (5, 1)
B) (3, 2)
C) (2, 3)
D) (1, -1)
E) (0, 0)
31.- Si f(x)
2x T
1
y f(2) , entonces el valor de T es
3x 4
2
A) -16
B) -10
C) -2
D) -1
E) 1
32.- ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s), con
respecto a la función f(x) = ax2 + bx + c?
I) Si a < 0, entonces la gráfica de la función es una parábola
que se abre hacia abajo
II) La gráfica de la función interfecta al eje de las ordenadas
en el punto (0, c)
III) Si a = 0, b 0 y c 0, entonces f es una función afín
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
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Página 610
33.- Juan tiene 11 cuadernos de los cuales unos son de tapa dura y los
otros son de tapa blanda, donde la cantidad de cuadernos de tapa dura
es mayor que la cantidad de cuadernos de tapa blanda. Si al multiplicar
la cantidad de cuadernos con tapa dura con la cantidad de cuadernos
con tapa blanda se obtiene 24, entonces una de las ecuaciones que
permite determinar la cantidad de cuadernos de tapa dura (x), es
A) 10x – 24 = 0
B) x2 – 11x + 24 = 0
C) x2 + 11x + 24 = 0
D) x2 + 13 = 0
E) 12x + 24 = 0
34.- Todos los números reales x para los cuales
real son aquellos que satisfacen que
9 x 2 es un número
A) x 9
B) x < 3
C) x -3
D) -3 x 3
E) x 3
35.- Un tipo de bacteria se reproduce diariamente transformándose en
3 bacterias del mismo tipo. Si en un experimento se aísla una bacteria y
se coloca a las 12:00 hrs. de un día en condiciones necesarias para que
se reproduzca, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) Al medio día del segundo día habrá 3 bacterias
II) Al medio día del cuarto día habrá 27 bacterias
III) Al medio día del sexto día habrá 729 bacterias
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Solo II y III
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36.- ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor el volumen y de
una esfera en términos de su radio x?
A)
B)
C)
D)
E)
37.- ¿Cuál de las siguientes igualdades es verdadera?
A) log 10 = 1
B) log1 5 = 5
C) log 1 64 = 6
2
D) log 0 = 0
E) log3 (-27) = -3
x y 1
, ¿cuál(es) de las siguientes
x ay b
38.- En el sistema de ecuaciones
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Si a = b = 1, entonces el sistema no tiene solución
II) Si a = -1 y b = 1, entonces el sistema posee infinitas soluciones
III) Si a = 1 y b = -1, entonces el sistema posee una única solución
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) I, II, III
E) Ninguna de ellas
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39.- En la figura, AT y AS son tangentes a la circunferencia de centro O
en T y en S, respectivamente. Si S es el punto medio del segmento OR,
¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?
I) ∡AOS = ∡ARS
II) ∡TAO = ∡OAS
III) ∡TAO = ∡SAR
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas
40.- ¿Cuál de las siguientes figuras geométricas tiene menos de dos ejes
de simetría?
A) Trapecio isósceles
B) Rectángulo
C) Cuadrado
D) Rombo
E) Circunferencia
41.- Se desea embaldosar (o teselar) un patio de 6 m de largo por 5 m
de ancho, como el que aparece en la cuadrícula de la figura. Para ello se
tienen prefabricadas piezas formadas por cuatro o dos cuadrados de 1 m
de lado cada uno, ¿Con cuál(es) de las combinaciones de las piezas que
aparecen en I, en II y en III es posible embaldosar completamente el
patio, sin que sobren piezas ni partes de ellas?
A) Solo con III
B) Solo con I y con II
C) Solo con I y con III
D) Solo con II y con III
E) Con I, con II y con III
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42.- En el rectángulo ABC de la figura, P y Q son los puntos medios de
los lados respectivos. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?
A) Si el triángulo ABC es equilátero, entonces QC PA
B) PQ es la mitad de AB
C) Los triángulos QPB y PQA son siempre
congruentes
D) Si R es el punto medio de AB , entonces PQC
PQR
E) Los triángulos PQC y ABC son semejantes
43.- En la figura, ABCDE es un pentágono regular, el valor del ∡DFC es
A) 108º
B) 90º
C) 100º
D) 72º
E) 120º
44.- El triángulo rectángulo de la figura, se rota en 60º en torno a su
vértice H, en sentido horario y luego en 120º en el sentido antihorario,
con respecto al mismo punto. Si H perteneces a la recta horizontal L,
¿Cuál de las siguientes opciones indica mejor el lugar donde queda
ubicado el triángulo después de estas rotaciones?
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45.- En la figura, el punto H se transforma en el punto P si se le aplica
una
A) Simetría axial con respecto al eje x
B) Simetría axial con respecto al eje y
C) Traslación según el vector (-2, 4)
D) Simetría puntual con respecto al origen
E) Traslación según el vector (2, -4)
46.- Un velero tiene dos mástiles verticales a la cubierta. El menor de
ellos mide 4 m y proyecta una sombra sobre la cubierta de 2,5 m y en
ese mismo instante, el mástil mayor proyecta una sombra de 7,5 m. La
altura del mástil mayor mide
A) 9 m
B) 4,6 m
C) 12 m
D) 8 m
E) Ninguno de los valores anteriores
47.- Sea un triángulo rectángulo M de catetos 4 cm y 6 cm. ¿Con
cuál(es) de las siguientes medidas de catetos se puede construir un
triángulo semejante a M?
I) 2 cm y 3 cm
II) 3 cm y 8 cm
III) 1 cm y
3
cm
2
A) Solo con I
B) Solo con II
C) Solo con I y con II
D) Solo con I y con III
E) Con I, con II y con III
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48.- En la figura, P es el punto medio del trazo Q S y PQ:PR = 5: 3.
Si PR = 12 cm, entonces la medida del segmento R S es
A) 4 cm
B) 2 cm
C) 12 cm
D) 10 cm
E) 8 cm
49.- En la figura, el triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de
radio r, AH es altura y AD es un diámetro de la circunferencia. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) ∡ABC ∡ADC
II) AHB ACD
III)
c h
2r b
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
50.- En la figura, las rectas AN y AM son tangentes a la circunferencia
de centro O en los puntos N y M, respectivamente y la recta AO
interfecta a la circunferencia en el punto P. ¿Cuál(es) de las siguientes
relaciones es(son) verdadera(s)?
I) AM AN
II) ON AN
III) AN2 = AO OP
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
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51.- En la figura, la secante PB interfecta a la circunferencia de centro O
en los puntos A y B, y la secante PD la interfecta en los puntos C y D.
Los segmentos AD y CB se intersectan en E, ∡AEC = 45º y ∡APC = 40º.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) ∡BOD = 85º
II) ∡ABC = 2,5º
III) ∡BCD = 42,5º
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
52.- Un farol está en un poste, a 5 metros del suelo. En la noche, una
persona de 1,5 metros de altura está a una distancia x de la base del
poste e y es la longitud de la sombra que la persona proyecta en el
suelo, si dicha situación se representa en la figura, entonces y en
términos de x es
1,5
x
3,5
1,5
y
x
5
x
y
3,5
5
y
x
1,5
5
y
1,5 x
A) y
B)
C)
D)
E)
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53.- De acuerdo con los datos de la figura, ¿Cuál(es) de las siguientes
expresiones indica(n) el valor de b?
I) c (sen )
II) a (tg )
III)
c 2 a2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) I, II y III
54.- Si el ABC de la figura es rectángulo en C, entonces la medida de
la altura CD es
A) 10 cm
B) 20 cm
C) 24 cm
D) 10 5 cm
E) Indeterminable con los datos dados
55.- ¿En cuál(es) de las siguientes figuras se cumple que c2 = a b?
A) Solo en I
B) Solo en II
C) Solo en I y en II
D) Solo en I y en III
E) En I, en II y en III
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56.- En el plano cartesiano de la figura, se ubican los vectores a y b .
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) 3 a = (12, 15)
II) a + b = (7, 1)
III) - b = (-3,-4)
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
57.- En las opciones, todos los triángulos achurados son rectángulos
isósceles congruentes entre sí y tienen a lo menos un lado sobre uno de
los ejes coordenados. Si al hacer girar cada uno de los triángulos
indefinidamente, en el sentido de la flecha y en torno a uno de los ejes
coordenados, se generan cuerpos geométricos, ¿En cuál de las opciones
el volumen del cuerpo generado es distinto al de los otros cuerpos?
A)
B)
C)
D)
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E)
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58. En la figura, las coordenadas de los puntos D y F son (0, 5, 2) y
(3, 0, 2), respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
I) El perímetro del rectángulo AOEF es 10 unidades
II) El área del rectángulo OCDE es 10 unidades cuadradas
III) El segmento AC mide 34 unidades
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
59.- Un curso se reunirá a celebrar los cumpleaños del semestre, sus
preferencias de comidas se muestran en la tabla adjunta. Si se elige una
persona al azar del curso, ¿Cuál es la probabilidad de que ésta sea
hombre y prefiera comer pasteles?
A)
B)
C)
D)
E)
1
3
1
6
2
5
2
15
1
4
Hombres Mujeres
Sándwiches 12
9
pasteles
6
18
60.- En una caja hay 7 fichas negras y 9 blancas, todas del mismo tipo.
Se saca una ficha al azar y ésta es de color negro y no se devuelve a la
caja. Si se saca otra ficha al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que ésta
sea blanca?
A)
B)
C)
D)
E)
9
15
15
16
9
16
1
15
1
9
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61.- Patricio y Felipe juegan en una máquina que tiene siete fichas del
mismo tipo, numeradas del 1 al 7. La máquina arroja solo una ficha al
azar; si sale par gana Patricio, si sale impar gana Felipe. ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) Patricio tiene, aproximadamente, un 43% de probabilidad
de ganar
II) Si se saca de la máquina una ficha al azar de las siete, y
se juega con las seis restantes, ambas personas tienen la
misma probabilidad de ganar
III) Si se agrega una ficha a la máquina con el número 8,
ambas personas tienen la misma probabilidad de ganar
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
62.- En una bolsa se tienen fichas del mismo tipo, de color blanco, verde
y rojo. Se sabe que la probabilidad de sacar, al azar, una ficha verde es
1
1
y de sacar al azar una ficha roja o verde . Si se saca una ficha al
5
2
azar, ¿Cuál es la probabilidad de que esta sea blanca o roja?
1
2
4
B)
5
3
C)
20
3
D)
10
A)
E) 1
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 621
63.- Al lanzar dos dados comunes
I) 6 veces, siempre una vez la suma será 4
II) 36 veces, siempre 3 veces la suma será 4
III) 36 mil millones de veces, teóricamente alrededor de 3 mil
millones de veces la suma será 4
Es(son) verdadera(s)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo II y III
E) Ninguna de ellas
64.- ¿Cuál de los siguientes experimentos es aleatorio?
A) Observar la reproducción al término de 2 horas de una cantidad
inicial P0 de bacterias, que se multiplican por bipartición
B) Lanzar una moneda y observar si cae o no cae
C) Invertir una cantidad de pesos a una tasa anual del 5% de interés
compuesto y anotar la cantidad de dinero que se tendrá después de 3
años
D) Comprimir un gas a temperatura constante y observar si la presión
sube o baja
E) Extraer, sin mirar, una pelotita roja de una bolsa que tiene pelotitas
rojas, negras y blancas, todas del mismo tipo
65.- ¿Para el cálculo de cual(es) de las siguientes medidas de tendencia
central es necesario ordenar los datos?
I) La moda
II) La mediana
III) La media aritmética
A) Solo para I
B) Solo para II
C) Solo para III
D) Solo para I y para III
E) Para I, para II y para III
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Página 622
66.- Los niños de un colegio deben elegir practicar solo un deporte. El
48% de ellos practica fútbol, el 25% básquetbol, el 2% atletismo y el
resto natación. Si MT y PQ son diámetros perpendiculares, ¿En cuál de
las opciones está mejor representada esta situación?
A)
B)
C)
D)
E)
E
67.- El gráfico de la figura, muestra los porcentajes de obesidad de las
mujeres con respecto al total de mujeres y de los hombres con respecto
al total de hombres, en algunos países de América. ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones NO se deduce de este gráfico?
A) En Uruguay el mayor
porcentaje de obesidad está
en las mujeres
B) En Costa Rica el menor
porcentaje de obesidad está
en los hombres
C) Las mujeres de los países
de América son más obesas
que los hombres
D) Chile supera a Brasil en
porcentaje de obesidad tanto
en hombres como en mujeres
E) Colombia tiene la mayor
diferencia porcentual de obesidad entre hombres y mujeres
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Página 623
68. En cierto pueblo se dieron a conocer los resultados de una encuesta
aplicada recientemente para sondear las preferencias de la población en
las próximas elecciones de alcalde. Dicha encuesta tiene un margen de
error del 3% y un alto nivel de confianza. Los resultados obtenidos
fueron: el 15% de los encuestados dice apoyar al candidato A, el 39%
dice que apoya al candidato B, el 41% apoya al candidato C y el 5% no
apoya a ninguno de los candidatos. Si la población votante del pueblo es
de 1.000 personas y las elecciones fueran hoy, es correcto afirmar con
una mayor probabilidad que:
A) el candidato A obtendría 150 votos
B) el candidato B obtendría entre 390 y 420 votos
C) el candidato C obtendría entre 380 y 410 votos
D) el candidato C ganaría la elección
E) entre 20 y 80 votantes no se inclinarán por ningún candidato
69.- Un curso está compuesto por x alumnos y se sabe que de ellos
(x – 3y) reprueban un examen. Se puede saber cuántos alumnos tiene
el curso, si se sabe que:
(1) El 25% del curso reprobó el examen
(2) y = 5
A) (1) por si sola
B) (2) por si sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
70.- Se puede determinar el precio de un saco de papas si se sabe que:
(1) El saco de papas contiene 80 kilogramos
(2) El kilogramo de papas vale el doble que el kilogramo de cebollas
A) (1) por si sola
B) (2) por si sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
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Página 624
71.- Se puede afirmar que a + c < b + c, si se sabe que:
(1) a < b
(2) c > 0
A) (1) por si sola
B) (2) por si sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
72.- En la figura, A, B y C son tres puntos de la circunferencia. Se puede
afirmar que el ∡ABC mide 90º, si se sabe que:
(1) El ∡ACB mide 45º
(2) El centro de la circunferencia está en el trazo AC
A) (1) por si sola
B) (2) por si sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
73.- Al punto A del malecón de un puerto se encuentra amarrada una
boya C con un cable de 15 m, como se representa en la figura. Se puede
determinar la distancia d, si se sabe que:
(1) ∡ACB = 30º
(2) AB =
15
m
2
A) (1) por si sola
B) (2) por si sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por si sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
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Página 625
74.- Se puede determinar la cantidad de años necesarios para que un
capital inicial se duplique, colocando a interés compuesto anual, sin
realizar depósitos ni retiros, si se conoce:
(1) El interés aplicado
(2) El monto del capital inicial
A) (1) por si sola
B) (2) por si sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
75.- Un velocista realiza varios entrenamientos en su especialidad que
es de doscientos metros vallas. Se puede determinar el promedio de los
tiempos de sus entrenamientos, si se conoce:
(1) El número de entrenamientos realizados
(2) El menor y el mayor tiempo
A) (1) por si sola
B) (2) por si sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
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Página 626
RESPUESTAS
1
A
2
B
3
E
4
D
5
C
6
A
7
D
8
C
9
A
10
D
11
B
12
D
13
E
14
D
15
D
16
B
17
D
18
C
19
B
20
A
21
C
22
A
23
E
24
C
25
D
26
A
27
E
28
B
29
D
30
B
31
D
32
E
33
B
34
D
35
C
36
B
37
A
38
E
39
D
40
A
41
E
42
C
43
A
44
C
45
D
46
C
47
D
48
E
49
E
50
B
51
E
52
A
53
E
54
B
55
C
56
B
57
D
58
E
59
D
60
A
61
C
62
B
63
C
64
E
65
B
66
E
67
C
68
E
69
C
70
E
71
A
72
B
73
D
74
A
75
E
TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE
PC
PS
-14
150
-13
164
-12
177
-11
191
-10
204
1
395
2
413
3
429
4
443
5
455
6
467
7
477
8
487
9
495
10
503
11
510
12
516
13
522
14
528
15
533
16
538
17
542
18
547
19
551
20
555
21
558
22
562
23
566
24
569
25
572
26
575
27
579
28
582
29
585
30
588
31
590
32
593
33
596
34
599
35
602
36
605
37
608
38
610
39
613
40
616
41
619
42
622
43
625
44
628
45
631
46
634
47
637
48
640
49
643
50
646
51
650
52
653
53
657
54
660
55
664
56
668
57
672
58
676
59
680
60
685
61
690
62
694
63
700
64
706
65
712
66
720
67
723
68
731
69
748
70
765
71
782
72
799
73
816
74
833
75
850
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
-9
218
-8
232
-7
245
-6
259
-5
272
-4
286
-3
312
-2
335
-1
359
0
376
Página 627
ENSAYO PSU 8
1. El 35% del 50% de 200 es:
A) 170
B) 75
C) 35
D) 70
E) 135
2. El valor de la expresión
A)
B)
C)
D)
E)
20 2 2
es:
2 2 2 1
7
4
3
4
1
2
1
4
3
2
3
12
3
3. Al ordenar de mayor a menor los números: a =- , b =
, c =
y
5
30
8
4
d =- , se obtiene:
5
A) c > b > a > d
B) b > c > a > d
C) a > b > d > c
D) c > a > b > d
E) b > d > c > a
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Página 628
4. El trazo AB de la figura se divide en tres partes p, q, r que se
encuentran en la razón 3: 2: 1. Si la medida de q es 12 cm, ¿cuál es la
medida de AB ?
A) 28 cm
B) 36 cm
C) 35 cm
D) 58 cm
E) 72 cm
5. El sexto término de la serie
A)
B)
C)
D)
E)
1 1 1 1
, , ,
,..... es:
1 3 7 15
1
63
1
31
1
27
1
35
1
18
6. Si se compra una prenda de vestir en cuotas, el precio aumenta en
un 20% de interés del valor al contado. ¿Cuál es el valor al contado de
una polera que se pagó en cuatro cuotas de $1.680 cada una?
A) $5.300
B) $5.676
C) $5.600
D) $5.376
E) $5.673
7. A es directamente proporcional a B e inversamente proporcional a C 3.
Cuando A = -1, B = 4 y C = -2. ¿Cuánto vale A cuando B vale 2 y
C vale – 1?
A) 2
B) 4
C) -4
D) -3
E) 3
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 629
8. En una receta de torta, la cantidad de harina varía directamente en
relación a la cantidad de azúcar. Por 2 tazas de harina se agregan 10
cucharadas de azúcar. Si en una taza caben 6 cucharadas, ¿cuántas
cucharadas de harina se necesitan si se ocupan 15 cucharadas de
azúcar?
A) 14
B) 12
C) 15
D) 20
E) 18
9. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones sobre el número 5 102 + 2550
es(son) verdadera(s)?
I) El número es divisible por 5
II) El número es divisible por 13
III) El número es divisible por 2
A) Solo I
B) Solo I y III
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
10. El profesor de educación física eligió, de entre los 95 alumnos de
tercero y cuarto medio, al 15% de los primeros y al 20% de los cuartos,
que sumaron los 16 estudiantes elegidos para formar la selección de
fútbol del colegio. El número de alumnos de cuarto que participan en la
selección es:
A) 12
B) 7
C) 5
D) 8
E) 9
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Página 630
11.
A)
B)
C)
D)
E)
66 66 66 66 66 66
33 33 33
23
63
2 63
2 4 62
2 4 63
12. De las rectas L1 : 2x 3y 12 0 y L 2 : 3x 2y 10 0 se puede
afirmar que:
A) forman un ángulo obtuso
B) forman un ángulo recto
C) no se cortan
D) forman un ángulo agudo
E) son coincidentes
2 x
1
4 siendo la base “a” un número
13. Al resolver la ecuación a
a
real positivo y distinto de uno, el valor de x es:
3x
1
9
1
B)
3
2
C)
3
3
D)
2
E) 1
A)
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Página 631
14. Si a 2 2 3 , entonces el recíproco de a es:
A) (3 2 2)
B) 3 2 2
2 2 3
C)
2
32 2
D)
2
2 2 3
E)
2
15. Al factorizar al máximo la expresión a3 a2 a 1 resulta:
A) (a 1)2
B) (a 1)(a 1)
C) (a 1)2 (a 1)
D) (a 1)2 (a 1)
E) (a 1)2
16. Al reducir
150 50 resulta:
A) 2 50
B) 3 50
C) 5( 3 1)
D) 5( 6 2)
E) 5( 2 6 )
2
1
1
17. Al desarrollar la expresión
, con x 1, resulta:
x 1 1 x
A) 1
B) 0
1
C)
x
1
D)
x 1
1
E)
1x
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Página 632
18. ¿Cuál de las siguientes funciones representa el gráfico de la figura
adjunta?
A) y = x2 – 1
B) y = x2 + 1
C) Y = x2 + 2x + 1
D) y = x2 + 2x – 1
E) y = x2 – 2x + 1
y
y
1
0
1
x
x
19. Al simplificar la expresión algebraica, con las correspondientes
x2 1
x 2 5x 6
restricciones del caso
el(los) resultados
x 2 2x 15
1 x2
correctos es(son):
x 1
x 1
x2
II)
x5
(x 2)
III)
x 5
I)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y II
E) I y III
20. Se tiene una recta AB, donde el punto A se encuentra en el primer
cuadrante y el punto B en el tercer cuadrante, entonces:
A) su pendiente pude ser cero
B) su pendiente puede ser negativa
C) su pendiente es 1
D) su pendiente es positiva
E) su pendiente es -1
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Página 633
21. Si el lado de un cuadrado se duplica y luego se le quitan 5 unidades,
se obtiene un cuadrado de área 121 cm2. ¿Cuál es el perímetro del
cuadrado original?
A) 44 cm
B) 32 cm
C) 42 cm
D) 36 cm
E) 34 cm
22. Al efectuar la siguiente expresión
obtiene:
a
a2 b2 a a2 b2
se
A) b 2
B) a2
C) b2
D) a2 b2
E) b2 a2
23. Si la suma de todas las aristas de un cubo es 12a – 6b, ¿cuál es su
volumen?
b
A) a
2
3
b
B) a
2
3
a
C) b
2
3
a
D) b
2
a b
E)
2
3
3
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Página 634
24. Si el doble del área de un rectángulo es (2a2 10a 28) cm2. Al
expresar su perímetro en términos de “a”, se obtiene:
A) (10a – 4) cm
B) (4a – 10) cm
C) (6a – 10) cm
D) (4a – 7) cm
E) (10a – 7) cm
25. Si m 5, al reducir a su mínima expresión
obtiene:
A)
B)
C)
D)
E)
m5
6
1
, se
m5
m5
m2
m5
6
m5
4
m5
4
m5
m4
m5
x 1
26. El valor en la ecuación log
log(x) 2 es:
x
A) 102
B) 100
C) 98
D) 101
E) 99
27. ¿Para qué valor de “m” la ecuación y = mx + 1 corresponde a la
recta de la figura adjunta?
A) – 1
1
B) 2
1
C)
2
D) 1
E) 2
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Página 635
28. Un poste proyecta una sombra de 5 m, y al mismo tiempo un tubo
proyecta una sombra de 3 m. Si el tubo mide 4 m, ¿cuál es la altura del
poste?
A) 6, 6 m
B) 7 m
C) 6,5 m
D) 5,5 m
E) 6,3 m
29. La suma de las áreas de 2 cuadrados es 74 y la suma de sus
diagonales es 12 2 . ¿Cuál es el perímetro de cada cuadrado?
A) 5 y 7
B) 20 y 7
C) 20 y 14
D) 28 y 20
E) 10 y 14
30. Una mezcla de ripio y arena pesa 450 kg. Si la arena pesa 120 kg
menos que el doble del peso del ripio, entonces el peso de la arena es:
A) 180 kg
B) 190 kg
C) 260 kg
D) 130 kg
E) Ninguna de las anteriores
31. La parábola cuya ecuación es f(x) 2x2 4x 3 tiene:
A) un punto máximo
B) un punto mínimo
C) corta al eje X en el punto (1,0)
D) no corta al eje X
E) el eje de simetría está en el primer y cuarto cuadrante
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Página 636
32. Con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas, el gráfico de
la función f(x) 2 es:
A) una recta paralela al eje X
B) una recta paralela al eje Y
C) una recta en el I y III cuadrante
D) una recta en el I y IV cuadrante
E) una recta en el II y IV cuadrante
33. El valor que debe tener k en la ecuación x2 kx 18 0 , para que
una de las raíces sea – 3, es:
A) 3
B) 0
C) -3
D) 6
E) -6
34. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa a la recta del gráfico
de la figura adjunta?
A) y = x + 3
B) y = 3
C) x = 3
D) y = x – 3
E) x = - 3
35. ¿Cuál debe ser el valor de “k” en la ecuación
su solución sea precisamente “k”?
2x 1 k para que
A) 0
1
B)
2
C) 1
D) 2
E) no existe ese valor para k
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Página 637
x
1
36. ¿Qué grafico corresponde a la función f(x) ?
2
B)
C)
A)
y
y
y
y
y
y
x
x
x
D)
x
x
x
E)
37. Si un número de dos dígitos es igual al doble del producto de sus
dígitos y estos suman 9, entonces la ecuación para determinar el dígito
x de las decenas es:
A) 10x + (9 + x) = 2x (9 + x)
B) x + (x + 9) = 2x(x – 9)
C) 10x + (x – 9) = 2x(x – 9)
D) x + (9 – x) = 2x (9 – x)
E) 10x + (9 – x) = 2x (9 – x)
38. El conjunto de todos los valores de x R para los cuales la
x2
expresión:
es un número real está en la opción:
x3
A) {x R /x -2 x > 3}
B) {x R / -2 x < 3}
C) {x R / x - 2}
D) {x R / x > 3}
E) R – {3}
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Página 638
39. El sistema de ecuaciones 10x 15y 12 no tiene solución si el valor
2x + ky = 9
de k es:
A) -5
B) -3
C) 0
D) 3
E) 5
40. El valor del número real x que satisface: 2 x 42x 83x
1
es:
167
7
9
B) – 4
7
C) 9
D) -2
E) -1
A)
41. O es el centro de las 2 circunferencias concéntricas. Si OB r y
OB 3OA , ¿cuál es el área achurada?
A)
r2
9
7 r 2
9
2 r 2
C)
3
D) 9 r 2
8 r 2
E)
9
B)
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42. Dos triángulos son semejantes si tienen:
I) dos lados iguales
II) los tres lados respectivamente proporcionales
III) dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo
Comprendido igual.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y II
E) II y III
43. Si y son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo de
3
hipotenusa igual a 20 cm y sen = , el valor de tg tg es:
5
5
A)
3
4
B)
5
C) 1
D) 0
1
E)
2
44. ¿Cuáles son las coordenadas del punto (5, 4) cuando se le aplica
una reflexión respecto de la recta y = 2?
A) (5, 0)
B) (0, 4)
C) (0, 5)
D) (4, 0)
E) (5, 2)
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Página 640
45. ¿Con cuál de estas afirmaciones se cumple que los triángulos ABC y
DEF son congruentes?
I) AB DE
∡ABC ∡DEF
BC EF
II) AB DE
∡ABC ∡DEF
AC DF
III) AB DE
∡BCA ∡EFD
BC EF
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y III
E) Todas
46. Si a un punto P del plano cartesiano, de coordenadas (-6, -1), se le
aplica una traslación según el vector (3, 4) y luego una rotación, con
centro en el origen, de -90º, el nuevo punto P queda ubicado en:
A) (3, 3)
B) (-3, -3)
C) (0, -6)
D) (-3, 0)
E) (-6, 0)
47. La figura ABCD es un cuadrado y E es punto medio del lado AB .
¿Cuál es el valor del perímetro de la figura achurada?
A)
2 2 5
B) 3 2 2 5
C) 6 2 2 5
D) 2(3 2 2 5)
E) 3 2 2 5
48. Si un triángulo ABCD es rectángulo en C y se dibuja la altura hc con
respecto a la hipotenusa, se forman siempre:
A) tres triángulos semejantes
B) dos triángulos congruentes
C) dos triángulos semejantes
D) tres triángulos equivalentes
E) dos triángulos equivalentes
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Página 641
49. Al rotar la banderilla de la figura, en torno al eje AB, se obtiene un
cuerpo geométrico cuyo volumen es el siguiente:
32
3
64
B)
3
16
C)
3
18
D)
3
E) Ninguna de las anteriores
A)
50. En la circunferencia de centro O de la figura adjunta, AM es
diámetro, al arco AB es congruente con el arco BC y el ∡APB = 20º.
¿Cuánto mide ∡MAC?
A) 20º
B) 40º
C) 45º
D) 50º
E) 60º
51. A la figura siguiente se le aplicó una transformación a los vértices A,
B y C para quedar en A’, B’ y C’ respectivamente. Se aplicó:
I) Rotación
II) Traslación
III) Reflexión respecto al eje y
A) Solo I
B) Solo II
C) I y II
D) Solo III
E) II y III
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Página 642
52. En el triángulo ABC rectángulo en A, de la figura adjunta; CD AD .
Entonces CD =
A) 25
B) 144
65
C)
12
25
D)
12
E) 60
53. Si al trazo AB se le aplica una simetría central con respecto al punto
P, resulta:
I)
II)
III)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) II y III
E) Ninguna de las anteriores.
54. Si el ángulo = 20º, arco AB = arco BC, arco AE = 70º y AD
diámetro, entonces, ¿cuánto mide el ángulo ?
A) 100º
B) 105º
C) 140º
D) 120º
E) 160º
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Página 643
55. ¿Cuál es el volumen de un cubo cuya diagonal de una de sus caras
es 4 2 cm?
A) 16 cm2
B) 16 2 cm2
C) 64 cm2
D) 32 cm2
E) 64 2 cm2
56. Desde un punto situado a 5 metros de la base de una torre se
observa que el ángulo de elevación hasta la parte superior de la torre es
de 30º. ¿Cuál es la altura de la torre?
A)
B)
C)
D)
E)
5
metros
2
5 2
metros
2
5
metros
3
5 3
metros
2
5 3
metros
3
57. Los lados homólogos de dos triángulos semejantes miden 3 cm y 4
cm respectivamente. Si el área del primer triángulo es 27 cm2, ¿cuál es
el área del segundo?
A) 24 cm2
B) 48 cm2
C) 36 cm2
D) 64 cm2
E) 60 cm2
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58. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 4 cm. el triángulo ABE es
equilátero con mediana MT . Además los ángulos MPC y MRC son rectos.
¿Cuánto mide el área achurada?
A) (6 2) cm2
B) (6 2) cm2
C) (12 4 3) cm2
D) (12 2 3) cm2
E) (12 5 3) cm2
59. Si un cuadrado aumenta su lado en un 30%, ¿en qué porcentaje
aumenta su área?
A) 30%
B) 63%
C) 39%
D) 90%
E) 69%
60. Si en un triángulo rectángulo la hipotenusa mide x2 + y2, y uno de
los catetos mide 2xy, ¿cuál es la medida del otro cateto?
A) x + y
B) x2 – y2
C) (x + y)2
D) x – y
E) 4x2y2
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Página 645
61. Se lanza un dado no cargado. Si se obtiene un número par,
entonces se lanza una moneda honesta. Si se obtiene un número impar,
1
entonces se lanza una moneda con probabilidad de cara igual a . ¿Cuál
3
es la probabilidad total de obtener sello?
A)
B)
C)
D)
E)
3
12
2
3
1
3
5
12
7
12
62. Se lanza una moneda 3 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga
al menos un sello?
A)
B)
C)
D)
E)
7
8
1
3
3
8
2
3
7
3
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Página 646
63. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un guante derecho rojo de un total
de 5 pares de guantes rojos y 5 pares de guantes negros?
A)
B)
C)
D)
E)
1
4
3
4
1
2
2
3
1
8
64. Si se lanzan dos monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de que
salga por lo menos una cara?
A)
B)
C)
D)
E)
1
4
3
4
1
2
2
3
1
8
65. ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?
I) La moda es el valor central de los datos
II) La media es siempre menor que la moda
III) Pueden haber más de una moda en un grupo de datos
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y II
E) Ninguna de las anteriores
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66. Si Pedro tiene un llavero con 4 llaves y solo una de ellas abre una
puerta, ¿cuál es la probabilidad de que si prueba las llaves, logre abrir la
puerta al tercer intento sin usar una llave más de una vez?
A)
B)
C)
D)
E)
1
4
3
4
9
4
3
16
9
16
67. Se lanza un dado cierta cantidad de veces y con los valores
obtenidos se construye una tabla de frecuencia. Si la media aritmética
de los valores es 3,8 el número total de lanzamientos es:
A) 3
B) 4
C) 19
D) 25
E) Ninguna de las anteriores
X
1
2
3
4
5
6
f
5
2
4
x
4
7
68. Se considera el siguiente conjunto: {2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11,
12, 18, 20}. La mediana y la moda respectivamente son:
A) 7 y 2
B) 9 y 9
C) 10 y 5
D) 9 y 12
E) 20 y 9
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Página 648
69. ¿Cuánto mide el segmento AD en la figura adjunta
(1) = 50º
(2) BD DC 6 cm
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
70. En la figura adjunta, ¿cuánto mide el ángulo a?
(1) a + b = c + d
(2) a = b; e = 90º
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
71. En una librería hay en total 500 libros entre Matemática, Física y
Química. ¿Cuántos libros son de Física?
(1) El número de libros de Matemática corresponde al doble
de los de Física.
(2) El 35% del total de libros corresponde a los de
Matemática y Química
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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72. Dadas las rectas de ecuaciones L1: ax + by + c = 0 y
L2: dx + ey + f = 0 ellas son perpendiculares si:
(1) c = f = 2
(2) a = e, b = -d
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.
73. Se tiene una caja con lápices azules y rojos, todos de igual peso y
tamaño. Se puede determinar la probabilidad de extraer un lápiz azul si:
(1) La probabilidad de extraer un lápiz rojo es
2
.
7
(2) El número total de lápices es 14.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
74. Se puede determinar el promedio (o media aritmética) de una
muestra de datos numéricos si:
(1) La suma de los datos es 549.
(2) El total de datos es 9.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
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Página 650
75. Si se tienen los valores 3, 5, 1, 8, 7, x, 4, 1, 6, 8, 5, entonces se
puede determinar el valor de x si:
(1) La moda es 5.
(2) La mediana es 5.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
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RESPUESTAS
1
C
2
B
3
B
4
B
5
A
6
C
7
C
8
E
9
E
10
B
11
E
12
B
13
B
14
A
15
D
16
D
17
B
18
E
19
C
20
D
21
B
22
A
23
A
24
B
25
C
26
D
27
B
28
A
29
D
30
C
31
B
32
A
33
C
34
C
35
C
36
A
37
E
38
A
39
B
40
D
41
E
42
E
43
C
44
A
45
A
46
A
47
D
48
A
49
B
50
D
51
D
52
D
53
A
54
B
55
C
56
E
57
B
58
C
59
E
60
B
61
E
62
A
63
A
64
B
65
C
66
A
67
A
68
B
69
E
70
C
71
B
72
B
73
A
74
C
75
A
TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE
PC
PS
-14
150
-13
164
-12
177
-11
191
-10
204
1
395
2
413
3
429
4
443
5
455
6
467
7
477
8
487
9
495
10
503
11
510
12
516
13
522
14
528
15
533
16
538
17
542
18
547
19
551
20
555
21
558
22
562
23
566
24
569
25
572
26
575
27
579
28
582
29
585
30
588
31
590
32
593
33
596
34
599
35
602
36
605
37
608
38
610
39
613
40
616
41
619
42
622
43
625
44
628
45
631
46
634
47
637
48
640
49
643
50
646
51
650
52
653
53
657
54
660
55
664
56
668
57
672
58
676
59
680
60
685
61
690
62
694
63
700
64
706
65
712
66
720
67
723
68
731
69
748
70
765
71
782
72
799
73
816
74
833
75
850
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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-9
218
-8
232
-7
245
-6
259
-5
272
-4
286
-3
312
-2
335
-1
359
0
376
Página 652
ENSAYO PSU 9
1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
173
990
II) 0,1 2 + 2,5 9 = 2,7 1
2
III)
= 0, 02
99
I) 0,1 74 =
A) Sólo II
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
2. Al dividir por cien la expresión (0,8: 0,2) resulta
A) 40
B) 4
C) 2,5
D) 0,4
E) 0,04
3. ¿Cuál es el sucesor del sucesor del entero -3?
A) -1
B) -2
C) -3
D) -4
E) -5
4. ¿A cuánto equivale la cuarta parte, del cuarto de
1
?
4
1
64
1
B)
16
1
C)
4
D) 4
E) 16
A)
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Página 653
5. Si n 0,
n
ab es igual a
A) a
B) ab
C) b
n
D) ab
E) a
b
n
6. Al reducir 132
A) 1
1
3 2
1
3
. Ésta es equivalente a:
1
3
B) 13
C) 13
D) 132
35
E) 13 6
7. Si F = -2, entonces (-F)5 + 4F =
A) –24
B) 2
C) 24
D) 32
E) 48
8. La expresión
2
3
4 equivale a:
8
A)
B)
6
D)
3
E)
12
4
C) 12 8
4
2
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 654
9. El gráfico de la figura representa la relación de variación entre las
magnitudes x e y. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) A mayor valor de x, mayor valor de y.
II) x e y son variables directamente proporcionales.
III) La expresión de la constante de proporcionalidad es x · y
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) I, II y III
10. ¿Cuál es el valor de 4x2 - 2x - x3 - x, si x toma el valor -2?
A) 40
B) 30
C) 28
D) 20
E) -30
2
11.
A) 1
B)
7
1
13
2 3
9
4
36
3
2
3
7 1
13
3
2
6
C) 2
D) 5
E) Ninguno de los valores anteriores
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Página 655
12. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalente(s) a
b + 1?
2b 1
I)
2
2
b 2b 1
II)
con b 1
b 1
b2 1
III)
con b 1
b 1
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
13. Si a – b = 4, ¿cuál (es) de las expresiones es(son) igual(es) a 8?
I) 2a b
II) 2a 2b
2(a2 2ab b 2 )
III)
ab
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
14. Con respecto al gráfico de la función f(x) = x , ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) El gráfico de la función g(x)= x 1 representa la traslación
de f(x) sobre el eje x, una unidad a la derecha.
II) El gráfico de la función h(x) =- x representa una simetría de
f(x) con respecto al eje x.
III) El gráfico de la función t(x)= x 1 representa una traslación
de f(x) paralela al eje y.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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Página 656
15. ¿Cuál (es) de las siguientes expresiones es(son) equivalente(s) a
(a - b)2 + 2ab?
I) a2 + 2ab + b2
II) a2 + b2
III) a(a) + b2
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
16. El valor de x en la ecuación
3
1
x x x 10 es:
2
2
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
x y 10
17. ¿Cuál es el valor de x en el siguiente sistema?
x y 2
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
18. Si Juan trabaja el doble que Marcela y Marcela trabaja la mitad que
Álvaro, entonces, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
FALSA(S)?
I) Juan trabaja lo mismo que Álvaro.
II) Juan trabaja el doble que Álvaro.
III) Marcela es la que más trabaja.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) Ninguna de ellas
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Página 657
19. La suma de 2 números es 22 y su diferencia positiva es 2. ¿Cuáles
son los números?
A) 13 y 9
B) 20 y 2
C) 11 y 11
D) 10 y 12
E) Ninguno de los valores anteriores
20. Un hombre llamado Leonardo, midió su cuerpo y lo dividió por la
distancia entre su ombligo y la planta de sus pies, obteniendo el número
1,618. Si la distancia entre su ombligo y la planta de sus pies es de 1,1
metros, ¿cuánto mide Leonardo?
A) 1,5 metros
B) 1,618 metros
C) 1,677 metros
D) 1,7 metros
E) 1,7798 metros
21. En una localidad de Chile entre cóndores y huemules hay 50
animales, y si contamos sus patas éstas suman 160. Según estos datos,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Hay 20 cóndores.
II) Hay 30 huemules.
III) 120 de las patas son de huemules.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
22. Un corsario inglés ha saqueado ciudades españolas, francesas y
holandesas, reuniendo un tesoro de 100.000 monedas de oro. Si al
repartir el botín, el corsario se queda con el 30% del botín y el resto lo
reparte en partes iguales entre los otros 140 tripulantes.
¿Cuántas monedas de oro recibe cada tripulante?
A) 500
B) 750
C) 1.250
D) 2.500
E) 5.000
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Página 658
23. Un alumno lleva dos libros en su mochila, el primero es un relato de
Edgar A. Poe de 300 páginas y el segundo (de más páginas que el
primero) es un libro del autor H. P. Lovecraft. Si la razón entre el
número de páginas es de 6:7, ¿cuántas páginas posee el libro de H. P.
Lovecraft?
A) 200
B) 300
C) 350
D) 400
E) 450
24. Si f(x) = x2 y g(x) = (x – 1)2, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades
es (son) verdadera(s)?
I) f(5) – g(6) = 0
II) g(6) – f(5) = 11
III) f(a) – f(a + 1) – g(a – 1) = a
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo II y III
25. Dada la parábola de ecuación y = ax2 + 4x – 3, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones
es(son) siempre verdadera(s)?
I) Si a > 1, la parábola intersecta en dos puntos al eje x.
II) Si a = 1, la parábola intersecta en un solo punto al eje x.
III) Si a < 1 la parábola no intersecta al eje x.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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Página 659
26. ¿En cuál(es) de las siguientes expresiones se obtiene el mismo
resultado que al calcular el 10% de 100?
I) El 50% de 20
II) El 20% de 50
III) El 5% de 200
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
27. El intervalo solución de la siguiente inecuación -3x + 2 < 10 es
8
, +[
3
B)]- , 8[
8
C)]- , [
3
8
D)]- , - [
3
8
8
E)] , [
3
3
A)] -
28. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) función(es) de A en
B? A = {1, 2, 3}; B = {5, 6, 7, 8}
I) R = {(1,5), (1,6), (1,8)}
II) R = {(1,5), (2,6), (3,7)}
III) R = {(1,5), (2,6), (3,8)}
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo II y III
29. Si f(x) = 2x + 5 y g(x) = x2 + 2, entonces g(3) – f(–3)=
A) 0
B) 9
C) 10
D) 12
E) Ninguno de los valores anteriores.
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30. Un láser experimental que funciona con energía solar, se vuelve más
poderoso entre más días se haya cargado con la luz solar, si se deja
cargando 10 días, tiene una potencia de 2 kilotones, y si se deja
cargando 90 días posee una potencia de 12 kilotones, entonces si la
potencia del láser se comporta linealmente, considerando los kilotones
como la variable dependiente (y), ¿cuál es la función lineal que permite
calcular la potencia en kilotones del láser en x días de carga?
A) f(x) = 90x
x 3
B) f(x) =
8 4
x
C) f(x) =
8
3
4
D) f(x) = 8x +
E) f(x) =
x
4
31. Sea f (x) = 3x2 + 6x + 7, con x en los números reales. El menor
valor que alcanza la función es
A) – 5
B) – 2
C) 4
D) 7
E) ninguno de los valores anteriores.
32. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) igual(es) a
x2 + 10x + 24?
I) (x + 24 )2
II) x(x + 10) + 24
III) (x +6)(x + 4)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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Página 661
33. Si 32a = 9, ¿cuál es el valor de a?
A) -1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
34. La ecuación de segundo grado cuyas soluciones son y 0 es
A) x2 - x = 0
B) x2 + βx + (β - ) = 0
C) x2 -βx + x = 0
D) x2 - x - (β + ) = 0
E) no existe esa ecuación.
35. Si x = b, entonces log x2 - log b2 + log 10 es igual a
A) x + b
B) 1
C) 0
D) - b
E) ninguna de ellas.
36. Una población de bacterias crece dada la función f(x) = k · 3x, donde
k es el número inicial de bacterias por colonia y x es el tiempo en
minutos. Si una colonia posee inicialmente 2 bacterias, ¿cuántas
bacterias habrá en el minuto 3?
A) 54
B) 64
C) 70
D) 108
E) 540
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Página 662
37. En la figura está representada la función f(x). ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) f (-3) = -f (3)
II) Para cualquier valor de x se
cumple que f(x + 1) = f(x) + 1.
III) Si -1 < x < 1, entonces f(x) 0.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y III
E) II y III
(5 px) 2 3x 4
, con p y q
pq
p pq p
distintos de cero, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son)
verdadera(s)?
I) Si p 3, tiene solución única
5
II) Si p = 3 y q =
, tiene infinitas soluciones
2
5
III) Si p = 3 y q , no tiene solución
2
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
38. Sobre la ecuación de incógnita x,
39. ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero cuyo lado es igual al lado
de un cuadrado de área 4 cm2?
3
cm2
4
3
B)
cm2
2
C) 3 cm2
A)
D) 3 3 cm2
E) 4 3 cm2
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40. Si x ≥ 0, ¿cuál de las siguientes alternativas es siempre verdadera?
A) x > 0
B) x2 = -x2
C) x3 > x2
D) (x – 2)2 ≥ 0
E) (1 – x)2 ≤ (1 – x)3
41. Si la altura de un triángulo equilátero mide 2 3 cm, ¿cuánto mide
su área?
A) 4
3 cm2
B) 6 3 cm2
C) 8 cm2
D) 8 3 cm2
E) 4 cm2
42. Si comparamos un cuadrado de lado “a” con un rombo de lado “a”
es siempre verdadero que
I) sus áreas son iguales.
II) sus perímetros son iguales.
III) sus áreas son distintas.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo II y III
43. En la circunferencia de centro O de la figura, 2 – β es igual a
A) 60
B) 30
C) 15
D) 0
E) – 30
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44. En el sistema solar de Alpha Centauro, su cuarto planeta recorre en
una vuelta completa a su sol 60.000.000 π kilómetros. Si su órbita es
circular, ¿a qué distancia se encuentra el planeta de su sol?
A) 10.000.000 kilómetros
B) 10.000.000 π kilómetros
C) 30.000.000 π kilómetros
D) 30.000.000 kilómetros
E) 60.000.000 kilómetros
45. Si y β son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
sen
I) tg =
cos
1
II) cotg =
sen
III) sen = cosecβ
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
46. Al mirar la cumbre de un cerro se observa que el ángulo de
580 3
elevación es de 30. Al acercarse horizontalmente
metros, el
3
ángulo es ahora 60, ¿cuál es la altura del cerro?
A) 290 metros
B) 580 metros
C) 580 3 metros
D) 1.160 metros
E) 1.160 3 metros
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47. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones nos permite(n) determinar
si dos triángulos son congruentes?
I) Poseen tres lados correspondientes congruentes.
II) Poseen dos lados congruentes y el ángulo comprendido
por ellos congruente.
III) Poseen los tres ángulos congruentes.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
48. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras podemos utilizar siempre el
teorema de Tales?
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
49. En la figura, ¿cuál es la medida de x?
A) 1 cm
B) 2 cm
C) 3 cm
D) 4 cm
E) 6 cm
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Página 666
50. Si ABC es un triángulo y CD es bisectriz del ∡ ACB, x es igual a
A) ac
ac
B)
2
ac
C)
b
ba
D)
c
a2b
E)
c
51. Si en la fi gura L1 // L2, AB = 8 cm, AC = 2 cm y DE = 24 cm,
¿cuánto mide CE ?
A) 18 cm
B) 12 cm
C) 10 cm
D) 6 cm
E) 4 cm
52. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, 4) y el
origen?
A) y + 2x = - 4
B) y = 2x
C) y - 2 = 1
D) 2y - x = 2
E) y + x = 4
53. Al rotar indefinidamente el rectángulo de la fi gura, en torno al lado
AB , se genera un cuerpo geométrico cuyo volumen mide
A) 676π cm3
B) 225π cm3
C) 208π cm3
D) 104π cm3
E) ninguna de las medidas anteriores.
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54. ¿Cuál es el volumen de un cubo, en el cual la diagonal de una de sus
caras mide 4 2 cm?
A) 4 cm3
B) 16 cm3
C) 48 cm3
D) 64 cm3
E) 128 cm3
55. Dada la recta S y el punto N de la figura, ¿qué transformación
isométrica se debe aplicar a la mitad derecha del dibujo para así obtener
la mitad izquierda?
A) Una traslación.
B) Una rotación de 360 con centro en N.
C) Una rotación de 180 con centro en N.
D) Una simetría (reflexión) con respecto a la recta S.
E) Una simetría (reflexión) con respecto al punto N.
N
S
56. Si se rota en 180 en el plano cartesiano con centro en el origen y
en sentido antihorario, el punto (3,-2), quedará ubicado en
A) (2, -3)
B) (2, 3)
C) (-3,2)
D) (3,2)
E) (-3,-2)
57. Si traslado el triángulo de vértices A(0,0), B(1,2) y C(5,0) con un
vector de traslación T(2,1), las coordenadas de los vértices una vez
trasladados serán
A) A’ (0,0), B’ (1,2) y C’ (5,0)
B) A’ (0,0), B’ (3,3) y C’ (7,1)
C) A’ (-2,-1), B’ (-1,1) y C’ (3,-1)
D) A’ (2,1), B’ (1,2) y C’ (5,0)
E) A’ (2,1), B’ (3,3) y C’ (7,1)
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Página 668
58. En la figura, ABCD es un cuadrado de perímetro 32 cm y los arcos
FE y CA son un cuarto de circunferencia. Si E y F son puntos medios,
¿cuál es el perímetro de la región achurada?
D
C
A) (24 + 20) cm
B) (24 + 6) cm
C) (64 – 6) cm
D) (32 – 20) cm
E) (32 – 6) cm
F
A
E
B
59. Si la probabilidad de que una persona gane en un juego de azar es
de 0,01, ¿cuál es la probabilidad de que NO gane?
A) 0,09
B) 0,99
C) 9,09
D) 9,99
E) 99,99
60. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que sus caras
superiores sumen 7?
A)
B)
C)
D)
E)
5
36
1
6
7
36
11
36
5
6
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Página 669
61. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2 monedas una después de
la otra salgan dos caras?
A)
B)
C)
D)
E)
1
8
1
4
1
2
3
4
2
2
62. Al lanzar tres monedas, ¿cuál es la probabilidad de que salga al
menos una cara?
A)
B)
C)
D)
E)
1
8
3
8
1
2
7
8
3
2
63. ¿Cuál de los siguientes eventos posee una probabilidad de
ocurrencia 1?
A) Que al lanzar dos monedas salgan dos caras.
B) Que un año posea 365 días.
C) Que al sacar al azar a una persona de Europa, ésta sea alemana.
D) Que al sacar 5 cartas de un mazo todas sean diamantes.
E) Que al lanzar una moneda salga cara o sello.
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Página 670
64. El promedio de las notas de 6 alumnos es 5,7. ¿Cuál es la nota del
sexto alumno si la suma de las 5 primeras notas es 29,7?
A) 4,2
B) 4,5
C) 4,7
D) 4,8
E) Faltan datos para determinarlo.
65. Dado el siguiente histograma, que representa las precipitaciones en
milímetros caídas en cierta localidad entre Mayo y Septiembre, ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) En Mayo y Julio llovió durante la misma cantidad de días.
II) El mes más lluvioso es Junio.
III) El promedio de agua caída en el periodo es de 260 mm.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
66. ¿Cuál es la frecuencia de la moda de la siguiente muestra:
1,1,1,2,2,3,3,3,3,3,4,4,5,6,7?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
67. El gráfico nos muestra el número de personas que hay en 4 casas.
De acuerdo con esta información, ¿cuántas personas hay en total en
todas las casas?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
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Página 671
68. Un experimento tiene 5 resultados posibles A, B, C, D y E,
excluyentes entre sí. El experimento se realiza 50 veces y se obtuvieron
los resultados que muestra la tabla. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El 10% de las veces se obtuvo el resultado A.
II) El 20% de las veces se obtuvo el resultado B o D.
III) La frecuencia relativa del resultado E es 0,3.
A) I y II
Resultado A B C D E
B) Sólo III
Frecuencia 10 10 5 10 15
C) I y III
D) I, II y III
E) Ninguna de las tres afirmaciones es verdadera
Instrucciones para las preguntas Nº 69 a la Nº 75
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema,
sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del
problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2), son
suficientes para llegar a esa solución.
Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letra:
A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es;
B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es;
C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son
suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las
afirmaciones por sí sola es suficiente;
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente
para responder a la pregunta;
E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son
insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información
adicional para llegar a la solución.
69. La cantidad de pisos de dos edificios están en la razón de 5: 9. Se
puede determinar la cantidad de pisos de cada uno si:
(1) La diferencia de los pisos de los edificios es de 12 pisos.
(2) Los pisos de ambos edificios suman 42.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
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Página 672
70. Se puede determinar las coordenadas del punto “D” si:
(1) Al aplicar el vector traslación (23,12) sus nuevas
Coordenadas son (32,41).
(2) Al aplicar una rotación en 180º con respecto al origen
Sus nuevas coordenadas son (-9,-29).
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
71. Se puede determinar el valor de la media aritmética (promedio) de
una muestra de datos no agrupados si:
(1) La suma de los datos es 2.000.
(2) La muestra tiene 400 datos.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
72. Se puede determinar el área de un triángulo rectángulo si:
(1) Un cateto mide 12 cm.
(2) La hipotenusa mide 13 cm.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
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Página 673
73. Se puede determinar cuánto demoran 5 hombres en construir una
piscina si:
(1) 2 hombres demoran 10 días en construir la misma piscina.
(2) Los 5 hombres se demoran el doble del tiempo que 10
Hombres en hacer el mismo trabajo.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
74. Se puede determinar el número de diagonales totales que se pueden
trazar en un polígono si:
(1) Se conoce el número de lados del polígono.
(2) Se conoce la suma de los ángulos interiores del polígono.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
75. Para la circunferencia de centro O de la fi gura, se puede determinar
la medida del ∡α si:
1
(1) Arco AB es
de la circunferencia.
3
(2) El radio es 4 cm. B
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
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Página 674
RESPUESTAS
1
C
2
E
3
A
4
A
5
E
6
C
7
C
8
D
9
C
10
B
11
C
12
D
13
D
14
C
15
D
16
D
17
E
18
D
19
D
20
E
21
E
22
A
23
C
24
D
25
C
26
E
27
A
28
E
29
D
30
B
31
C
32
D
33
C
34
A
35
B
36
A
37
E
38
E
39
C
40
A
41
A
42
E
43
D
44
D
45
C
46
A
47
C
48
D
49
E
50
C
51
D
52
B
53
C
54
D
55
D
56
C
57
E
58
B
59
B
60
B
61
B
62
D
63
E
64
B
65
D
66
E
67
E
68
B
69
D
70
D
71
C
72
C
73
A
74
D
75
A
TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE
PC
PS
-14
150
-13
164
-12
177
-11
191
-10
204
1
395
2
413
3
429
4
443
5
455
6
467
7
477
8
487
9
495
10
503
11
510
12
516
13
522
14
528
15
533
16
538
17
542
18
547
19
551
20
555
21
558
22
562
23
566
24
569
25
572
26
575
27
579
28
582
29
585
30
588
31
590
32
593
33
596
34
599
35
602
36
605
37
608
38
610
39
613
40
616
41
619
42
622
43
625
44
628
45
631
46
634
47
637
48
640
49
643
50
646
51
650
52
653
53
657
54
660
55
664
56
668
57
672
58
676
59
680
60
685
61
690
62
694
63
700
64
706
65
712
66
720
67
723
68
731
69
748
70
765
71
782
72
799
73
816
74
833
75
850
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-9
218
-8
232
-7
245
-6
259
-5
272
-4
286
-3
312
-2
335
-1
359
0
376
Página 675
ENSAYO PSU 10
1.
3 1 2 1
4 4 3 6
1
3
1
B)
2
3
C)
4
23
D)
24
1
E) 1
2
A)
2. de una bebida de 2 litros, Eva toma
1
1
de ella, Julia bebe
del resto
3
4
1
de litro. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones
4
es(son) correcta(s)?
I) Julia bebe el doble que Eva
II) Eva y Rosa juntas tomaron más bebida que Julia
III) Rosa se sirvió la mitad de lo que tomó Julia
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Solo II y III
y Rosa se sirve
3. 32 2 3
A) 0
1
8
1
C) 9
8
D) 12
E) 15
B) 6
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Página 676
4. Se tienen 3 máquinas A, B y C procesadoras de números. Si un
número pasa por A, aumenta al doble; si pasa por B se reduce a la
tercera parte y si pasa por C se le resta 0,25. ¿En cuál(es) de los
siguientes procesos se expresa el resultado correcto?
I) 3 A B C 1,75
II) 3 B A C 1,75
III) 3 C A B 1,75
A) Solo en I
B) En I y en II
C) Solo en II
D) En II y en III
E) Solo en III
5. Si la suma entre a y b es el 20% de 40 y su diferencia es el 10% de
20, entonces la razón (a + b): (a – b) es
A) 2: 1
B) 3: 1
C) 4: 1
D) 4: 3
E) 5: 3
6. Se desea repartir la suma de $ 52.000 entre tres personas de modo
que la razón entre las cantidades que reciba cada uno sea 6: 4: 3.
¿Cuánto recibe cada persona?
A) $ 60.000
B) $ 30.000
C) $ 25.000
D) $ 24.000
E) Ninguna de
$ 14.000 $ 30.000
$ 14.000 $ 12.000
$ 14.000 $ 13.000
$ 16.000 $ 12.000
las anteriores
8
9
y el resto lo reparte entre sus dos hijos en partes iguales. Después de 4
meses, cada hijo ha recibido
7. Un padre recibe mensualmente $ 450.000, de los cuales gasta los
A) $ 25.500
B) $ 50.000
C) $ 100.000
D) $ 200.000
E) $ 400.000
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Página 677
8. La figura muestra una calculadora aritmética común. ¿Cuál(es) de las
siguientes secuencias de teclas permite(n)
calcular el 25% de 12?
A) Solo II
B) I y II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III
9. la ley de Ohm para circuitos eléctricos se enuncia mediante la relación
V I R , donde V es el voltaje (o diferencia de potencial eléctrico)
aplicado, I es la intensidad de la corriente que circula por el circuito y R
es la resistencia eléctrica. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) correcta(s)?
I) Si R es constante, el voltaje es directamente proporcional a la
Intensidad de la corriente
II) Si V es constante, la intensidad de la corriente y la resistencia
Son inversamente proporcionales
III) Si I es constante, V y R son inversamente proporcionales
A) Solo I
B) Solo II
C) I y II
D) I y III
E) II y III
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Página 678
10. Si las cantidades a y b son inversamente proporcionales y la
constante de proporcionalidad es K, entonces ¿cuál es el valor de b
1
cuando a toma el valor de ?
2
1
A)
2
B) 2
C) k
D) 2k
K
E)
2
11. Si a = 3 y B = -5, entonces ¿cuál es el valor de –a – b – ab?
A) -23
B) 17
C) -17
D) -13
E) 13
12. 4(x 2)(x 1) 3(x 1)(x 1)
A) x 2 11
B) x 2 5
C) x 2 x 3
D) x 2 4x 11
E) x 2 4x 5
13. Si 3(x – 2) = 5x, entonces ¿cuál es el valor de 2x?
A) -6
B) 6
C) -3
D) -2
E) -1
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Página 679
14. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a un factor del
trinomio m2 3m 10 ?
A) m – 3
B) m + 3
C) m – 5
D) m + 5
E) m + 2
15. El enunciado: “Un número x se multiplica por sí mismo y al
resultado se le resta la suma de los cuadrados de a y b” se escribe:
A) x 2 (a2 b 2 )
B) x 2 a2 b 2
C) 2x (a b)2
D) 2x (a2 b 2 )
E) 2x a2 b 2
16. ¿Qué sucede con el área de un rombo si una de sus diagonales se
duplica y la otra se mantiene constante?
A) Se duplica
B) Se cuadruplica
C) Se mantiene igual
D) Se divide a la mitad
E) Aumenta en 2 unidades de superficie
17. Se define (a, b) * (c, d) = (ac + bd, bc – ad) con a, b, c y d
números enteros. Entonces, el resultado de (1,2) * (3,1) es:
A) (5, -5)
B) (-5, 5)
C) (5, 5)
D) (5, 3)
E) (-5, -5)
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18. En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) El área sombreada es 2ab – 2xy
II) El área sombreada es a(b x) x(a y) a(b y) y(a x)
III) El área sombreada es b(a y) b(a x) y(b x) x(b y)
A) Solo II
B) Solo III
C) II y III
D) I, II y III
E) Ninguna es verdadera
19. Un edificio de 8 pisos tiene 12 ventanales por piso, de los cuales 10
son ventanales simples y 2 son ventanales dobles. El costo por limpiar
un ventanal simple es $ P y por limpiar uno doble es un 25% más caro.
¿Cuál es el costo por limpiar los ventanales del edificio?
A) $ 100P
B) $ 84P
C) $ 48P
D) $ 12,5P
E) $ 10,5P
20. (a b)
b(3a b)
ab
A) a 3
B) a 2b
4a b
C)
ab
a b 3ab b 2
D)
ab
2
a 3ab
E)
ab
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Página 681
21. Si a es un
(2a1 2a1 )3 resulta
número
natural,
al
desarrollar
la
expresión
A) 27 2 a3
B) 27 2 3(a1)
C) 2 3(a1) 2 3(a1)
D) 2 3(a1)(a1)
E) 2 6
22. ( 50 2) : 32
3
2
A)
B) 4( 3 2 )
C)
2 5 2
4 2
D) 4
E) 1
23. Si el doble de un número x se aumenta en 4 unidades, resulta un
número mayor que 10, entonces el número debe ser mayor que:
A) 3
B) 4
C) 6
D) 7
E) 10
24. Si a 1 3 y b 1 3 , entonces el valor de a2 b2 es:
A) 0
B) 6
C) 8
D) 4 3
E) 8 4 3
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Página 682
25. Si x es un número real distinto de -2, de 2 y de todos los valores
comprendidos entre dichos números, entonces x pertenece al conjunto:
A) ,2
B) 2,2
C) 2,
D) ,2 2,
E) ,2 2,
26. Sea f una función en los números reales, definida por f(x) = a + bx.
¿Cuál es el valor de f(a – b)?
A) a2 b 2
B) a2 ab b 2
C) a2 ab b 2
D) a ab b 2
E) a ab b 2
27. En la figura, la ecuación de L1 es y = 3x + 3. Entonces, ¿cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) La pendiente de L2 es -3
II) L2 corta al eje x en (3, 0)
III) L1 y L2 se intersectan en el
3 6
5 5
punto de coordenadas ,
A) Solo I
B) I y II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III
28. Del grafico de la función f(x) 1 x , se puede afirmar que:
I) corta al eje de las ordenadas en y = 1
II) sus ramas se abren hacia arriba
III) su vértice está en el punto (0,1)
A) Solo I
B) Solo II
C) I y II
D) I y III
E) I, II y III
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Página 683
29. ¿Cuál es el grafico que representa a la función f(x) = x 1 ?
30. Si las rectas x = y; x = 5 se intersectan en el punto de coordenadas
(a, b), entonces el valor de a + b es:
A) 0
B) 5
C) 10
D) 25
E) Faltan datos
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Página 684
31. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la función
f(x) (x 1)(x 1)
32. dada la ecuación de la parábola y 3(2 x)2 , ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) intersecta al eje Y en (0,6)
II) sus ramas se dirigen hacia arriba
III) el vértice tiene coordenadas (2,0)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y III
E) II y III
33. ¿Cuál es el dominio de la función f(x)
x2 1 ?
A) ,1
B) ,1
C) ,1 1,
D) 1,
E) 1,
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Página 685
34. ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a log 5?
A) 5 log 1
B) log 3 log 2
C) log 3 log 2
D) log 10 log 2
log 15
E)
log 3
35. En una granja avícola, una población de aves se triplica al cabo de
6 meses. Si el período de crianza se inicia con 300 ejemplares, ¿cuántas
aves habrá al cabo de 2 años si no se pierde ningún ejemplar?
A) 900
B) 1.500
C) 3.600
D) 8.100
E) 24.300
36. Un capital de $ c se invierte al 10% de interés compuesto anual
durante dos años y el capital final se vuelve a invertir al 20% de interés
compuesto anual durante dos años más. ¿Cuál es el resultado de la
operación al cabo de los cuatro años?
A) c 1,322
B) c 1,32 4
C) c 1,32
D) c 1,3 4
E) c 2,3 4
37. ¿Cuál es el valor de k para que la recta 4x (7 k)y 1 0 sea
paralela a la recta 2x 8y 3 0 ?
A) 7
1
B)
4
C) 32
D) -28
E) 23
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Página 686
38. ¿Cuál es valor del producto x y en el sistema de ecuaciones
3x 2y 25
siguiente?
x 5y 3
A) 20
B) 14
C) 21
D) 12
E) 18
39. 2 3 27 4 16 3 8
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
40. En dos cilindros de igual altura se tiene que la razón de sus radios es
1: 2, entonces la razón entre el volumen del menor con el mayor es:
A) 1: 2
B) 1: 4
C) 2: 3
D) 2: 5
E) Ninguna de las anteriores
41. En la figura, ABCD es un rectángulo, AB 12 [cm] , BC 8 [cm] y
EF // GH // BC . Si EG GC 0,5DE y M, N son puntos medios de los
lados respectivos, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son)
verdadera(s) con respecto a las áreas sombreadas representadas por P,
Q, R y S?
I) P = Q + S
II) R = P + S
III) 2R = P + Q
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
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Página 687
42. En la figura, ABC PQR . Entonces, SIEMPRE se cumple que:
I) AB PQ
II) AB // PQ
III) ∡ ACB ∡ PQR
A) Solo I
B) Solo III
C) I y II
D) I y III
E) I, II, III
43. El cuadrado OABC de lado a de la figura, se ha dividido en 4
cuadraditos congruentes. La superficie del cuadrado OEFG es:
A)
B)
C)
D)
E)
3a2
2
3a2
4
5a2
2
5a2
4
a2
44. En la figura, sobre la recta AC se han dibujado el triángulo equilátero
y el cuadrado BCDE. El triángulo y el cuadrado son de lado 6 cm. La
superficie de la región sombreada es:
A) 9 cm2
B) 9 3 cm2
C) 9 5 cm 2
9
3 cm 2
2
9
E)
5 cm2
2
D)
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45. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras se puede trazar más de un
eje de simetría?
A) Solo en I
B) En I y en II
C) Solo en III
D) En I, II y IV
E) En todas
46. En la figura, al triángulo ABC se le aplica una rotación en 90º en el
sentido antihorario, con respecto al vértice A. ¿Cuáles son las nuevas
coordenadas del vértice C?
A) (-2, 3)
B) (0, 3)
C) (4, 3)
D) (6, -1)
E) (6, 3)
47. En la figura, ¿cuál es el punto simétrico del punto A(1,2) con
respecto a la recta de ecuación y = 4 – x?
A) (2, 1)
B) (2, 3)
C) (3, 2)
D) (3, 3)
E) (4, 3)
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48. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras corresponde(n) a una teselación
(embaldosamiento) del plano mediante un polígono regular?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) II y III
E) I, II y III
49.
En
la
figura,
DE // AB, AB 15 cm, AD 4 cm y
sombreada?
triángulo
ABC
equilátero,
PE 3 cm ¿Cuánto mide el área
A) 2 3 cm 2
B) 4 3 cm 2
C) 6 3 cm 2
D) 8 3 cm 2
E) 10 3 cm 2
50. En la figura, AB // DE . ¿En qué razón está dividido el segmento AC ?
A) 5 : 3
x
B) 5 : 2
C) 3 : 2
D) 3 : 1
E) 2 : 1
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D
6
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51. En la figura, triángulo ABC rectángulo en A, DE // AB y AF BC .
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) BAC ∼ EFP
II) ADP ∼ EFP
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) II y III
E) I, II y III
III) AFB ∼ PFE
52. En la circunferencia de centro O de la figura,
MN y PQ son
diámetros. Si 36º , entonces ∡ x =
A) 18º
B) 36º
C) 52º
D) 62º
E) 72º
53. En la figura, triángulo ABC equilátero de lado 1 y D es el centro de la
semicircunferencia inscrita de radio r. ¿Cuál es el valor de r?
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
1
3
2
1
3
4
1
5
4
3
16
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54. En la figura, O es el centro de la circunferencia de radio 4 y Q es el
centro de la semicircunferencia de radio 3. Si PM AB , entonces el
trazo PM mide:
A) 3
3
2
3
C)
4
3
D)
8
3
E)
8
B)
3
3
5
55
55. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras se puede afirmar que L 1 y L2
son paralelas?
A) Solo en I
B) Solo en III
C) En I y en II
D) En I y en III
E) En I, II y III
56. Si tg
A) 2
B) 3
C)
D)
2
entonces sen =
3
2
13
3
13
2
E)
13
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57. Una escalera de 2 m de largo está apoyada en una pared formando
un ángulo de 50º con el suelo. ¿A qué altura de la pared está apoyada la
escalera?
A) 2 tg50º m
B) 2 cos 50º m
C) 2 sen50º m
cos 50º
D)
m
2
sen50º
E)
m
2
58. Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC equilátero de la
figura son (2, 0, 0); (0, 2, 0) y (0, 0, 2). Si CD es altura, entonces
¿cuáles son las coordenadas del punto D?
A) (1,1,1)
B) (0,1,1)
C) (1,1,0)
D) ( 2, 2,0)
E) ( 2, 2,2)
59. Si se rota una escuadra triangular de lados 30 cm, 40 cm y 50 cm,
en 360º en torno a su cateto menor, entonces ¿cuál es el volumen del
cuerpo generado?
A) 0,012 m3
B) 0,016 m3
C) 0,036 m3
D) 0,042 m3
E) 0,064 m3
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60. Si se lanza un dado equilibrado, ¿cuál es la probabilidad de que no
salga 3 ni 5?
A)
B)
C)
D)
E)
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
61. De los 35 alumnos de 4º medio de un colegio mixto, 20 pertenecen
al área Humanista y el resto pertenece al área Científica. En el área
Humanista hay 12 hombres, mientras que en el área Científica hay 10
mujeres. Si se elige a un alumno al azar, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
17
I) La probabilidad de que sea hombre es
35
2
II) La probabilidad de que sea una mujer del área Humanista es
5
2
III) La probabilidad de que sea una mujer del área científica es
3
A) Solo I
B) Solo II
C) II y III
D) I, II y III
E) Ninguna de las tres es verdadera
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62. la siguiente tabla muestra la cantidad de poleras de Andrea
agrupadas por color. Si se escoge una polera al azar, es más probable
que sea de color
A) Blanco
B) Negro
C) Rojo
D) Blanco o negro
E) Negro o rojo
Color de Cantidad
la polera
Blanco
4
Negro
3
Rojo
2
63. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado un número mayor
o menor que 5?
A)
B)
C)
D)
E)
1
6
1
3
1
2
2
3
5
6
64. En una alcancía hay monedas de $ 100, $ 50 y $ 10 y están en
razón de 2: 3: 5, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una
moneda de $ 100 ó de $ 50?
1
5
3
B)
10
3
C)
5
1
D)
2
E) Falta inf ormación
A)
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65. El gráfico de la figura muestra el puntaje inicial y final de 5
estudiantes de un preuniversitario en el curso de Historia y Ciencias
Sociales del año 2011. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) El puntaje inicial promedio fue de 550 puntos
II) El puntaje final promedio fue de 710 puntos
III) la mayor diferencia de puntaje la obtuvo el alumno A3
A) I y II
B) I y III
C) Solo III
D) II y III
E) I, II y III
66. Las notas de Andrés en Física son: 5,6; 6,2; 6,5 y 5,4. ¿Cuál de las
siguientes notas puede obtener Andrés para que la mediana del
conjunto sea un 6,2?
A) 5,7
B) 5,8
C) 5,9
D) 6,1
E) 6,3
67. La siguiente serie de datos corresponde al número de revistas que
se vende en un kiosco durante 2 semanas: 11, 15, 13, 10, 12, 15,
7, 10, 12, 10, 10, 13, 12, 8. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La moda es menor que la mediana y que el promedio
II) La mediana es mayor que la moda y que el promedio
III) El promedio es mayor que la moda y la mediana
A) Solo I
B) I y II
C) Solo III
D) II y III
E) Solo III
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68. El gráfico de la figura muestra la preferencia manifestada por un
grupo de 1.800 personas respecto de cuatro marcas de dentífrico, A, B,
C y D. ¿Cuál es la frecuencia absoluta y relativa, en ese orden, de las
preferencias por el dentífrico D?
A) 432 y 27
B) 432 y 0,27
C) 120 y 0,27
D) 120 y 0, 1
E) 120 y 9
Evaluación de Suficiencia de Datos
69. Entre tres números enteros distintos, ¿cuánto vale el mayor?
(1) Uno es negativo, otro es mayor que 0 pero menor que 2 y el
Tercero es mayor que 10
(2) El producto de los dos mayores es 31
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
70. La expresión a(bn – 1), en que a, b y n son números enteros, es par
si:
(1) a es par
(2) b es par
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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71. Si a, b y c son números enteros, entonces se puede conocer el valor
de c si:
(1) abc 5 y b 2
1
(2) abc 5 y a
5b
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
72. ¿Se puede determinar la ecuación de la recta L?
(1) L intersecta al eje de las abscisas en el punto x = -2
(2) L intersecta al eje de las ordenadas en el punto y = 4
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
73. La figura muestra una circunferencia de centro C y un triángulo ABC
equilátero. Se puede calcular el perímetro del triángulo si:
(1) Se conoce el perímetro de la circunferencia
(2) Se conoce la superficie de la circunferencia
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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74. En la figura, AB es tangente en B a la circunferencia de centro O. Se
puede determinar la medida del ∡ BCD si:
(1) El ∡ OAB mide 30º
(2) El ∡ ODC mide 15º
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
75. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una persona de un grupo,
ésta sea mujer?
(1) El grupo está compuesto por 15 personas
(2) Hay 7 hombres en el grupo
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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RESPUESTAS
1
C
2
E
3
C
4
B
5
C
6
D
7
C
8
C
9
C
10
D
11
B
12
E
13
A
14
D
15
A
16
A
17
C
18
D
19
A
20
E
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B E
A D D D D C B C B E
C D E
A B D A C
41
C
42
D
43
D
44
B
45
D
46
A
47
B
48
A
49
D
50
C
51
E
52
A
53
C
54
E
55
C
61
A
62
D
63
E
64
D
65
A
66
E
67
B
68
D
69
C
70
A
71
B
72
C
73
E
74
A
75
C
56
C
57
C
58
C
59
B
60
D
TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE
PC
PS
-14
150
-13
164
-12
177
-11
191
-10
204
1
395
2
413
3
429
4
443
5
455
6
467
7
477
8
487
9
495
10
503
11
510
12
516
13
522
14
528
15
533
16
538
17
542
18
547
19
551
20
555
21
558
22
562
23
566
24
569
25
572
26
575
27
579
28
582
29
585
30
588
31
590
32
593
33
596
34
599
35
602
36
605
37
608
38
610
39
613
40
616
41
619
42
622
43
625
44
628
45
631
46
634
47
637
48
640
49
643
50
646
51
650
52
653
53
657
54
660
55
664
56
668
57
672
58
676
59
680
60
685
61
690
62
694
63
700
64
706
65
712
66
720
67
723
68
731
69
748
70
765
71
782
72
799
73
816
74
833
75
850
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PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
-9
218
-8
232
-7
245
-6
259
-5
272
-4
286
-3
312
-2
335
-1
359
0
376
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