Diapositiva 1

Principio de incertidumbre de Heisenberg
En un átomo de hidrógeno, nos se pueden medir simultáneamente la cantidad de
movimiento mv y la posición x de su electrón.
La cantidad de movimiento de una partícula se denomina momento, o momento lineal
de la partícula;
p=mv
Las dos medidas son independientes una de otra.
El principio de incertidumbre de Heisemberg establece que la indeterminación, ΔX
y ΔY con que se pueden medir simultáneamente dos magnitudes complementarias
a X y Y es:
h
Δ X ⋅ ΔY ≥
4π
h es la constante de Planck, h=6.6261x10-34 Js
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h
ΔE ⋅ Δt ≥
4π
Δ
p
x
⋅ Δx ≥
h
4π
Cuanto mayor sea la precisión de la medición de una de éstas variables, -cuanto menor
sea la indeterminación de su medida-, mayor será la indeterminación de la otra variable.
Dualidad de onda - partícula
Un rayo de luz puede en determinadas circunstancias, comportarse como un chorro de
partículas (fotones) con una cantidad de movimiento bien definida. Así, al incidir un
rayo de luz sobre la superficie lisa de un metal se desprenden electrones de éste
(efecto fotoeléctrico). La energía de los electrones arrancados al metal depende de la
frecuencia de la luz incidente y de la propia naturaleza del metal.
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La hipótesis de De Broglie, dice que cada partícula en movimiento lleva
asociada una onda, de manera que la dualidad onda-partícula puede
enunciarse de la siguiente forma: una partícula de masa m que se mueva
a una velocidad v puede, en condiciones experimentales adecuadas,
presentarse y comportarse como una onda, de longitud de onda, λ. La
relación entre estas magnitudes fue establecida por el físico francés Louis
de Broglie.
mv = p =
h
λ
cuanto mayor sea la cantidad de movimiento (mv) de la partícula menor
será la longitud de onda (λ), y mayor la frecuencia (ν) de la onda asociada.
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Problema.
Calcular la longitud de onda asociada a un electrón que se mueve a una velocidad
de 1x106 m/s; y a un coche de 1300 Kg de masa que se desplaza a una velocidad
de 105 Km/ h. La masa del electrón es 0.91096x10-30 Kg.
a) para el electrón:
p = m · v = 0.91096 · 10-30 · 1 x106 = 0.91 · 1024 Kg · m/s
b) para el coche
p= m · v = 1300 Kg · 105 Km/h · 1000/3600 = 37916.66667 Kg · m/s
A partir del resultado, observarse que la menor cantidad de movimiento del
electrón, comparada con la del coche, a pesar de su mayor velocidad, pero
cuya masa es muchísimo más pequeña. En consecuencia, la longitud de onda
asociada al coche es mucho más pequeña que la correspondiente al electrón.
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Problema. Una bola de billar de 200 g de masa se mueve en forma rectilínea a lo largo
de la mesa de billar. Si mediante fotografías es posible medir su posición con una
precisión del orden de la longitud de onda de la luz (5000 Angstroms), calcular la indeterminación de la medida simultánea de su velocidad.
h
ΔX ⋅ Δ (mv) ≥
4π
h
Δ (mv ) ≥
Δx 4π
=6.6262 x 10-34/4(3.1416)(5.0 x 10-7)
= 1.054 x 10-28 kg m/s
Δ (mv)
Δv ≥
m
=1.054 x 10-28/0.2
= 5.27 m/s
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Comportamiento determinista
Mecánica Cuántica
Mecánica Clásica
El mundo macroscópico se explica muy bien
con layes de la mecánica clásica, con una
serie de hipótesis y principios fundamentales;
F= m a
Para el mundo microscópico, -la naturaleza
de los átomos y moléculas- se necesita el
uso de la mecánica cuántica. La MC se rige
por una serie de postulados fundamentales.
FUNCION DE ONDA: Es una función analítica que describe el estado mecano
Cuántico de un sistema de n-partículas, la cual es una función de 3n variables
Espaciales, n variables de espín y del tiempo τ.
La representaremos con:
Ψ
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Requisitos para una función de onda
•La función debe ser continua
•La función debe ser monovalorada, es decir para cada valor del argumento la
función debe adquirir un solo valor
•La función debe ser cuadráticamente integrable, es decir:
∫τ Ψ dτ = ∞
2
∫
Ψ
τ
La integral corre sobre todo el espacio
Función de estado
Elemento de volumen
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Densidad de probabilidad
Ψ
2
Es el valor absoluto de la función de onda elevado al cuadrado, que en forma explícita
tiene la siguiente expresión:
Ψ = Ψ ( x, y, x,τ ) Ψ ( x, y, z,τ )
2
Ψ
∗
∗
La estrella nos indica el complejo conjugado de la función. En particular esta
función describe un sistema de una partícula en el espacio tridimensional.
NOTA: Por la teoría de complejo conjugado tenemos,
z=a + i b
i=(-1)1/2
a y b pertenecen a los números reales R
Por reglas matemáticas
a*= a
z*=(a + i b)*= a* + (i b)*
z*= a + i* b*= a + i* b
Por lo tanto
z*= a – i b
i*= - i
a* = a; b* = b siempre y cuando, a y b
pertenezcan a los números reales
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Definición de:
Ψ
Esto nos representa la probabilidad de encontrar a la partícula en la región,
x y x + dx.
Esta función depende exclusivamente de la variable x y del tiempo.
2
dx
La densidad de probabilidad nos determina la posible existencia de una partícula en
algún punto del eje x.
2
Ψ( x,τ ) = Ψ ( x,τ ) Ψ ( x,τ )
*
Definición de:
∫τ Ψ
2
dτ
Es la suma de las probabilidades de encontrar a la partícula en el
espacio. Cuando la integral es igual a 1, se dice que la función de
onda está normalizada.
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Es decir:
∫τ Ψ
2
dτ = 1
Condición de normalización
Esta integral nos representa la certeza de encontrar a la partícula del elemento
extendido sobre todo el espacio.
dτ
Definición de un operador:
Es un símbolo que contiene un conjunto de reglas matemáticas bien definidas que
actúan sobre una función situada a su derecha. Frecuentemente dicha función se
omite, no olvidar que la función está implícita.
Ejemplos:
4= 4 =2
2
2
d x2 d e x
x
=
= 2x e
e
dx
dx
1
1
∫ dx x = ∫ x dx = ln x + C
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∧
≡A
∧
d
≡B
dx
∧
∫ dx ≡ C
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Donde
∧
∧
∧
A, B y C
∧
son operadores
Es un circumplejo
∧
Qué nos indica
x?
Nos indica que hay que multiplicar por X a lo que se encuentra a la derecha.
∧
x = x⋅
∧
y = y⋅
∧
z = z⋅
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La teoría de la mecánica cuántica no relativista postula que la energía de un sistema,
se puede obtener a partir de la función de onda asociada al sistema,
E
Ψ por medio de
la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.
H Ψ =E Ψ
donde H es un operador diferencial de segundo orden que actúa sobre la función onda y E es la energía
total del sistema, (Energía cinética + Energía potencial)
Una vez resuelta la ecuación de Schrödinger y conociendo las funciones de onda, que
son su solución, se pueden obtener, la cantidad de movimiento, la energía, cualquier
magnitud física.
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PARTÍCULA EN UNA CAJA
Y
V =∞
V =∞
V =0
L
x
La ecuación de onda para una partícula en una caja unidimensional es:
h dΨ
8π m d x
2
−
2
2
2
=E
Ψ
donde H es el operador Hamiltoniano que actúa sobre la función de onda.
H = − 8 h m dd Ψ
π
x
2
2
2
2
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La resolución de esta ecuación diferencial de valores propios y de segundo orden
genera los valores de las energías permitidas para la partícula contenida en la caja,
valores propios de la ecuación y las funciones de onda correspondientes (funciones
propias de la ecuación).
Entonces, la energía es;
2
E (n) =
2
nh
8m L
2
y la función de onda es:
Ψ (n) =
nπ
2
sen
x
L
L
En las expresiones anteriores aparece n, que es un numero cuántico y puede tener
cualquier valor entero positivo, mayor que cero, pero jamás cero.
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Una partícula de masa m se mueve a lo largo de una caja unidimensional de longitud L
está asociada a una onda de longitud (dualidad).
La relación p = mv y
es:
λ
λ
p=
h
λ
Y
L
x
La partícula esta confinada de 0 a 1L, la onda asociada debe anularse en los extremos de la trayectoria. L debe ser igual a un numero entero positivo.
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1λ 2
L
E == n m v
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Entonces:
L=n
λ
λ=
y
2
2L
n
La energía cinética se define como:
1
2
E = mv
2
E=
o como:
1
2m
p
2
Entonces sustituyuendo la expresiones anteriores en la ecuación de la energía cinética
de momento lineal, tenemos;
1 ⎛h
E=
⎜
2m ⎜ λ
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
2
1
=
2m
2
h
⎛ 2L ⎞
⎜ ⎟
⎝ n ⎠
2
2
1 h
=
2m 4 L 2
n
2
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Finalmente nos queda:
2
E (n) =
2
nh
8m L
2
donde n es un número positivo (mayor que cero), denominado numero cuántico.
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•Los valores de la energía representan los posibles niveles de energía del sistema.
•Los niveles de energía estan cuantizados y son discretos. Esta es una característica de los
sistemas confinados.
•El número n es llamado número cuántico
•La exclusión de E=0 es una consecuencia de la mecánica cuántica.
•La incertidumbre en la posición de la partícula dentro de la caja
implica que
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Hasta ahora, en el problema de la partícula en una caja hemos establecido que
la única energía que esta presenta es la energía cinética, porque la energía
potencial es nula.
Para determinar la velocidad permitida de una partícula en una caja,
E=
p
p
2m
2
2
2
y sustituyendo en:
2
2
= n h
2m 8m L
2
h
υ=n
2mL
E (n) =
2
nh
8m L
p = mv
Δυ n
n +1
2
(mv) = 2Em
2
h
=
2mL
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Problema. Calcular las diferencias entre las velocidades permitidas, en dos niveles energéticos
consecutivos, de un electrón confinado en una caja unidimensional de un radio de Bohr; y de una
bola de billar de 2 m de longitud perpendicularmente a las dos bandas opuestas mas alejadas.
Para el electrón:
Δυ n
n +1
h
=
2mL
= 6.6262 x 10-34/2(0.91096 x 10-30)(0.52917715 x 10-10)
= 6.8728 x 106
= 6.9 x 106 m/s
= 2.48 x 107 Km/h
Para la bola de billar:
= 6.6262 x 10-34/2(0.2)(2)
= 8.2828 x 10-34 m/s
= 8.3 x 10-34 m/s
= 2.99 x 10-33 km/h
= 3.0 x 10-33 km/h
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Transiciones de estado
La diferencia d energía entre dos niveles consecutivos:
ΔE
n +1
n
2
= E n +1 − E n = (2n + 1)
h
8m L
2
Δ E = hν
Solo una radiación electromagnética, cuyo fotón tenga energía hv, exactamente igual
a ΔE es capaz de interaccionar con la partícula y cederle su energía, desde un estado
inicial hasta un estado final.
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Problema. a) Calcular la diferencia de energía entre los dos primeros niveles
correspondientes a un electrón confinado en una caja unidimensional de un radio
de Bohr de longitud. b) Cuál será la frecuencia de la radiación capaz de excitar
al electrón desde el primer nivel al segundo.
a)
Aplicando la ecuación:
2
Δ E = E − E = (2n + 1) 8mh
L
n +1
n +1
n
ΔE
ΔE
2
1
n
2
2
2
1
= (2(1) + 1)
= (2(1) + 1)
ΔE
2
1
=3
h
8m L
2
(6.6262x10 )
8(0.91096 x10−30)(0.529 x10−10)
−34
2
2
(6.6262x10 )
8(0.91096−30)(2.7984 x10−21)
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−34
2
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ΔE
2
1
= 6.45 x10
b) Aplicando
ν
ν
=
−17
J
Δ E = hν
ΔE
h
−17
=
6.45x10
6.6262 x10
− 34
= 9.73x10
6
s
−1
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Partícula en un caja tridimensional
Para este caso la ecuación de Schrödinger es:
2
2
⎛ 2
⎜
− h2 ⎜ d Ψ2 + d Ψ2 + d Ψ
2
d
8π m ⎜ d x
d
y
z
⎝
2
⎞
⎟
⎟⎟ = E
⎠
Ψ
z
L
y las funciones de onda son:
Ψ ( x) =
Ψ( y) =
Ψ(z) =
π
2
sen n x x
L
L
y
nyπ
2
sen
y
L
L
π
2
sen n z z
L
L
x
y los niveles energéticos son:
E
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=
(n + n + n )8mh
2
2
2
x
y
z
2
L
2
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