Quehacer Científico en Chiapas 2006, 1,41-49 Estabilidadde Lyapunovde una v¡ga de Euler-Navier-Bernoulli Lyapunov stability of a Euler-Navtér-Bernoulli beam Armando Mendoza Pérezl EIí Santos Rodríguez 2 RESUMEN La viga es uno de los elementosfundamentalesen la ingenieríade estructuras.Fenómenosinteresantesocurren en la estructurabajo la presenciade fuerzas,vibracionesmodales,etc. Estudiaremos la estabilidadde una viga de Euler-NavierBernoullisujetaa una fuerzaaxial,vistacomo un problemade valoresa la frontera,usandoel métodode Lyapunov. También estudiamosuna viga sujetaa una fuerzade control.Probamosque bajo ciertascondiciones físicas,el sistemaes estable. Palabras clave: Estabilidad,punto de equilibrio,funcionalde Lyapunov. physicat phenomena The beamis one of the fundamentat occurin the elements Interesting "r..ttnt"Tffntlru.arr.. structure withthe presence of forces,resonances, modalvibrations, etc.Westudythe stabilityof an Euler-Navier-Bernoulli beamsubjected Wealsostudy to an axialforce,as an initialboundary DirectMethod, valueproblem, usingthe Lyapunov's the stabilityof a beamundera controlforce.Weprovethat undercertainphysical stabilityis assured. condition, pointof balance, Keywords:Stability, Lyapunov functional. Enparticular nosinteresa modelan al fenómeno. y/o necesarias suficientes condiciones establecer y el controlaeroelástico (y/o la inestabilidad) La estabilidad parala estabilidad del de determinadas estructuras relacionánde la ingeniería de laestructura, civil, estadodeequilibrio comolospuentes físicos suspendidos/ vigas,pasarelas/ dolasconvalores críticos delosparámetros etc,,hansidoobjetode estudios, deestabilitantoexperi- delfenómeno. Lanociónmatemática mentales comonuméricos. Laecuac¡ón delestadode equilideEuler- dado estabilidad asintótica por permiteencontrar Navier-Bernoulli en primerainstancia el esfuerzo o brio se caracterizará torcaen vigasdelgadas. delsistema: Se ha desarrollado comportamiento un reflejar el siguiente que ha permitido aparatoteórico-matemático precisarla nociónde estabilidadnumerosos ' Elequilibrio i,e.,todas esatractivo/ delsistema fenómenos dondeintervienen lasestructuras haciael equilibrio lastrayectorias convergen son m o d e l a d opso r u n a e c u a c i ó n en derivadas del sistema(comoocurrecon una viga o parciales, puentesujetoa unapefturbación la cualtomaen cuentalas diversas externa,la (conservación características Una del problema en la estructura. cualinducevibraciones de la energía,cant¡dadde movimiento, un o aplicado interacción vez pasadala perturbación que fluido-estructura, etc.).Enotrasocasiones esperamos buscacontrolsobrela estructura, mosactuarsobreestosfenómenos (porejemplo, éstaretornea su estadode equilibrio). ' El equilibrio aplicando unafuerza)conla finalidad de queel es estable,i.e.,lastrayectorias (durante sistemanosproporcione una respuesta no sealejandemasiado controdelsistema lada(estossistemasse dicencontrolados) y en delestadodeequilibrio el periodo transitorio) estecasola ecuacióndiferencial (en el casodel ejemplode arriba,se desea deoenderá de unparámetro quelaestructura llamado control. Encualquier responda detal maneraque caso, predecirel comportamiento deseamos de estas no la alejendel estadode susoscilaciones y porelcontrario estructuras a paftirdelestudiocualitativo seacerque a este de las equilibrio, soluciones de las ecuaciones diferenciales oue estadolo másrápidoposible). INTRODUCCIÓN Facultadde Ingeniería,Unjversidad Autónomade Chiapas.Blvd.BelisarioDomínguezkm 1081,TuxtlaGutiérrez,Chiapas.Méxco. Licenciaturaen Físicay Matemáticas,Facultadde Ingeniería,Un¡versidadAutónomade Chiapas.4a. Oriente entre 13a. y 14a. Norte, Col. Los Almendros,Tuxtla GutiérrezCh¡apas,N4éxico. Departamentode Física,Univers¡dadAutónoma ¡4etropolitana-Iztapa¡apa. 4L Enel presente a la formarectade la artículo expondremos lanoción solucióncorrespondiente puntode equilibrio barra,conloqueEulerintrodujo tempranamente matemática de estabilidaddel en la teoríade de una ecuacióndiferencial. En un artículo un problemade eigenvalores posterior ordinarias. nosocuparemos diferenciales delcasocuandoexiste ecuaciones loscuales lospuntoscríticos, un controlsobreel sistema(Briffau,1999).Se Enla ingeniería, con ciertosestadosde daránejemplos de cómose aplicaesteaparato están relacionados teóricoparaestudiar laestabilidad deestructuras e q u i l i b r i os, o n a s o c i a d ocso n p é r d i d ad e experimentalde la ingeniería civil,en particular estolo confirmamos el elemento estabilidad: lacargaporencima constitutivo de numerosas multiestructuras incrementamos flexi- mentecuando que y observamos blescomosonlasvigasdeEuler-Navier-Bernoulli. delvalorcríticodelaestructura primer hasta forma, de El ejemplo seenmarcará enuncasoestá- éstacambiacualitativamente tico.Elsegundo ejemplo a la ruptura.El métodode consistirá en un proble- llegarposiblemente pertenece En madínámico a la estática. en el queactúaun controlsobrela linealización de Euler, estructura. l o q u e s i g u ec o n s i d e r a r e m loasn o c i ó nd e desdeunpuntodevistadinámico. estabilidad de estabilidad MATERIALY MÉTODOS Laformafinalde la definición porel matemático ruso fuedesarrollada dinámica (1857-1918) la relacionando Teoría matemáticade la estabilidad A. M. Lyapunov del iniciales con las condiciones estabilidad consismecánico simple movimiento. Unsistema Antecedentes te en un puntode masamt ligadoa un resode, de rigidezt, Y gue el cualtieneun coeficiente La nociónde estabilidad tienesu fuenteen la mecánica clásica, Fuea partirde estasnociones oscilabajounafuerzaarmónica At. F = I COS es q u e p e r m i t i e r oe n s t a b l e c eur n a d e f i n i c i ó n Laecuación del movimiento rigurosade esteconcepto. paraentender Losprimeros avances la noción m x(t) + lü(t) - f cos(Dot de estabilidad de las estructuras elásticas fue hechapor Euler(L707-t783)en su trabajo Si f =0, se tieneun movimientooscilatorio llamadoElástica, el cualtratabasobrelasfuerzas a,:l|. Cuando armónico simpleconfrecuencia de compresión axialen barras,considerando el pequeña a)* as, alsistema fproporcionará una casocuandola compresión de un extremode la pequeñas perturbaciones Cuando el en amplitud. y es medidorespecto barrase incrementa, a un parámetro. Paraun valorcrÍticoalcanzado del valor de a¡ estámuy próximoa alo, estas y cuando perturbaciones a crecer, comenzarán parámetro--<onocidocomoel ualorcríttcode contendru án término Euler- la barratiendea Dermanecer recta.Más ú ) : a o l a s o l u c i ó n a / cos@rt. Estetérminocrecerá allá de estevalo4la barrapuedetomarotras proporcional conforme el tiempotranscurra. dosformassimétricas enequilibrio, detal manera indefinidamente delasestructuras queen el valorcríticose observan tres oosibles Lomismoocurreconladinámica resonantes en las frecuencias existen elásticas: soluciones; másaún,ladependencia respecto al externa arbitrariamente una fuerza parámetrode cargaresultacontinua.Táles cuales puededarlugara oscilaciones crecientes. puntosse denominanpuntos de ramifrcación. pequeña podemos términos explicar en lo Este fenómeno Mientras máscercano estéel parámetro decarga que en el sistema se acumula la energía de al valorcríticode Eulenla combade la barra Raramente observamos ciclo. durante cada tenderáa permanecer en formarectilínea. Euler cuyaamplitudcreceinfinitamente, queestevalorcríticorepresenta supuso lamínima oscilaciones que puesto real,la fricción sistema en cualquier compresión axialen la queporencimade é1,la y parte la asílasfuerzas de energía, absorberá formarectade la barradevieneinestable. Seve resonantes, las fuerzas a de fricción amortiguarán también unadependencia continua de latensión que y por estudiarla nos interesa razón es esta y el desplazamiento de la barrarespecto al La desdeun puntodevistadinámico. estabilidad ---estocercanoal puntocrítico-, lo parámetro (también Lyapunov de noción de estabilidad quenosobliga a usarlasherramientas delcálculo. llamadométododirectode Lyapunot)es la llave Unaaproximación en esesentidose basaen la paraentender laestabilidad enunagranvariedad l i n e a l i z a c i ódne l p r o b l e m aa l r e d e d odr e l a 42 I y secaracteriza portomar desistemas dinámicos encuentalaenergía delsistema. Enparticular, la estabilidad de Lyapunov seutilizaconéxitoen las estructuras elásticas sobrelas cualesactúan fuerzasy cargasde diversos tipos. Método directo de Lyapunov, Nociones fundamentales lr=49=s Y Ir={' fat=o \e=o (s) PÉNDuLo (ordinaria Todaecuación diferencial o enderivadas parciales), de cualquier orden,se puede expresar de la forma: -dÍ= p ( i , t ) , dt (1) r (i,t)es unafunción Donde suavede* Vde la variablet, * estaráen el espaciofasede la ecuación diferencial. Decimosque un punto,to es un punto de equilibrio de la ecuación diferencial 1, si F (*o,t) -0, (2) Figura 1. En los trabajos pioneros de Ch. Huygens y R. Hooke sobre la oscilación del péndulo, el último objetivo era la medición del t¡empo' enfocándose principalmente al estudio de la establlidad y el control del movimiento, con la finalidad de construir dispositivos que sirviesen a la navegación y al posicionamiento de los navíos, En lo que sigue,trabajaremos ecuaciones diferenciales autónomas, es decir,cuandoF no dependeexplícitamente de f. En estecasoF definiráun campovectorialen el espacio fasede la ecuación diferencial. Comose ha dichoantes,un númeroimporParaejemplifical consideremos la ecuación y físicos delsiglo matemáticos quegobierna elmovimiento deunpéndulo simple tantedeeminentes de de estudiarlos problemas XIXse ocuparon confricción: Lagrange, entreellossobresalen estabilidad, y Poincaré. Perofue Kelvin,Routh,Shukovskii d0 ruso Alexander el matemático hasta1893cuando -=(t) (3) con introduce unadefinición Lyapunov, Mijailovich dt muchomás generalque el rigor matemático conceptoque se entendíaen la mecánica. de estabilidad introduce losconceptos Lyapunov d a (Lyapuno4 s ^ k y 1949). asintótica estabilidad --:-=-=Sen A--ú) (4) de aparecenlos conceptos Posteriormente dtlm global, uniforme, uniforme, asintótica estabilidad y un largoetcétera,los cualesse exponencial, t-*4, Poniendot =(e.,¡yr ¡e-ilr¡=r1x¡-[,o.-s*" adecuanal fenómenoparticularque se esté la ecuación d e l p é n d u l o3 s e p u e d ep o n e r estudiando. d e l a f o r m a1 . L o sp u n t o sd e e q u i l i b r isoo n quex, es un punto Supongamos Definición. e n e s t e c a s o l o s p a r e s( e , r ) , t a l e s q u e deequilibrio (1).Decimos diferencial delaecuación r (a,o)=la-f sae- L a).i0,0)' región queesunpuntodeequilibrio establesitoda para Lúegoexistén dospuntosdeequilibrio tendráuna fasequelocontenga, Uenel espacio a, de tal elpéndulo: U, la cualtambiéncontiene subregión 43 formaquetodasolución de(1)dondelacondición inicialpertenezca a U' entoncesla solución pertenecerá a U>0. Elsignificado físicode laestabilidad esobvio: unobjetofísico(comounaestructura, un puente, unamáquina, etc.),cuyaleyde movimiento está por unaecuación expresada diferencial, sólo se puedehallaren la posición deequilibrio X^ si es estable; encasocontrario, unadesviación in"significanterespectoa estaposición de equilibriolo alejarásensiblemente de estaposición. I Xo x(ül U Figura 3. Xo es un punto de equilibrio asintóticamenteestable que la matrizjacobianade F en Supongamos propios(eigen-valores) Í *lJñ,i,)1, tieneualores paftes realesseanmenores de tal formaquesean gue-c, paraun c > 0. Entonces: 1, El punto de eguilibrio*o es asintóticamente estable, xirj x,ll< t,*lilo;-4ll vr>o 2.dist(*Q),x,¡=lI.lt¡Figura 2. X o es un punto de equilibrio estable Teoretqa 2. (SegundoTeoremade Estabilipuntode equil¡briodela ecuactón dad),Seaf, n - un diferencial )v (7) Si ademásse tieneque dt\/ yn-rX(t) = Xo /-+€ Supongamosque existeuna funcionalsuave V : D -+ R defrnidaenunentornoD dert ny bma valoresen los númerosreales. Asumimosque Vsatisface: - entonces sedicequeel puntodeequilibrio in "t asin6 ticamente estab/e. a)Existea>0 tatque v(x)>dllxll' y i eD Teoremas de Estabilidad Dinámica b)Existe|>)talque rtv,- -¡2 \ x ) < p l l x l vl x e D A travésde la definición v t , donde de cieñasfuncionales c¡ * (t) essolución ¡\x[l)<o asociadas (funcionales a la ecuación diferencial problemas deLyapunov), algunos relacionados con de(s). Entonces elpuntodeequilibrio Í nesestab/e. y con la estabilidad la acotación puedenser Además, sívale: tratadosde manerasistemática. Damosdos teoremasfundamentales en el estudiodel concepto de estabilidad, tal y como se ha definido arriba(Hahn,1963). Teorema7, (PrimerTeorema deEstabilidad.) Sea un punto de equilibrio de la ecuación dtferencia/ 4=r8). clt 4 (6) Figura 4: Viga de Euler-Navier-Bernoulli ,'lv, - . v r , d o n d e* ¡ ) e s 0;?(,0<-qv(x?\) soluciónde(5). Entoncesel punto de equilibrioes asintóticamente estable. Unafuncionalt/ que satisface las hipótesis a), b) y c) del Teoremaprecedente se llama funcionalde Lyapunovasociadaa la ecuación diferencial(6). es Lavelocidad transversal v(x,t) =Y' dt' (10)equivale, entonces Elsistema - ^. lav v t:-ldt 1^ CompoÉamientoestablede una ecuación de una viga de Euler-Navier-Bernoulli ld, _ d-y ^. ,d'y (13) Lt-- a---t a*' p o n i e n d o i = 1 y . , y F ( x )= t , . - { l - t } , , Consideremos unavigaencastrada en susdos extremos, sobrela cualactúauna presiónde de Ia viga de equilibrio vemosque la posición compresión axialde magnitudconstante E La corresponde delaecuación al puntodeequilibrio quemodelaestefenómeno diferencial ecuación diferencial (10).Dehecho,noteque vienedadaporBartuccelli&Gentile, 2003,y Plaut, dx =F(x\:-AX, 1967: G4) d t \ / - . a 4 Y ^ a 2 Y+ v 4. a 2 Y_ o --I _ + F - ' E (B) ''ax4 ax2 aT' D o n d eA : D ( A ) c H + H 3 e s u n o p e r a d or no acotadode dominio denso potencial Laenergía totalde la vigaes D (A) : al fo'tlll/¿ [0,1]^sobreel espacio de Hilbert H = tl\, llxf [0, 1]: ^.t/^.--\ rL.()v\2 -+I[#] * n=+ 2 dll[{+tdx 2 d\dxl a x ,) (e) dondeX es la coordenada xial, Y el desplazamiento transversal, T el tiempo,F/el coeficiente de rigidez,A el áreade sección transversal de nuestravigay Jzsu densidad de m a s aA . q u í0 3 7 V 0 < X < 2 , d o n d eL e s l a longitudde la viga.Haciendo los cambiosde variables vfm ' ñ X FI: ,=l,t=o l u ' -\yt^' L' (10) (7) setransforma la ecuación en dov ;--;--r- dx- ^d'v ,f :--;T:--; dx' d'v dt' = w (1 1 ) dondelas nuevasvariables resultan adimens i o n a l e s< ,0 tyQ < y 1l,f >0. La energíapotencial totalde la vigaes, con estasvariables adimensionales: n = n(t)= d.-t'!(*)'* i¡W)' (0-1.] [#.r#') (1s) ,4,el Resulta fundamental definirel operador con dominio cualseráun operadordisipativo densosobreun espaciode Hilbertinfinitoy unicidadde las La existencia dimensional. parciales enderivadas deunaecuación soluciones relacionada a las propieestarádirectamente dadesdel operador.4,a travésde un teorema Aquí se trata con del tipo de Hille-Yosida. generalizadas, lo queobliganecesasoluciones de Sobolev los espacios riamentea introducir =10,llY H¿= [0, 1]' H'zo U = (h fi en D (A)es Lanormade cualquier =i[,,.[#)'.[31 r,r' )'.,'J,' (16) Además, todot/ : (y,v) e D(A) satisface y ( o ) : - v ( 1 )= o (r7) (12) 45 t dv.^ dv, ;'(U) =i(l)=U ox ox (18) D'y ^. d'v.-. :-;(o)=:-;(l)=0 ( 1e) dx- dx' El dominioD (A) expresalas condiciones iniciales delsistema, (16) esdecirlascondiciones por unaparte,que la viga a la (18)establecen porsusextremos. estáencastrada (16) significa que la vigano La condición presentadesplazamiento en los extremos.Las r e l a c i o n e(s1 6 ) , ( 1 7 ) y ( 1 8 ) i m p l i c a nl a s desigualdades (Bartuccelli integrales siguientes and Gentile,2003). (20) \r I zr el valorde , = +f Sustituyendo sesigue r',r' -r' ' , ( 1, .1"^,!- ) ld1* v | fgl' - ' "' - ¿' ¡?v1'l a' | 2 z ' ] [a * ' I [ 4 , ] \ d * r | + l l ¿ ¡ r l J[ (2s) De la desigualdad(I9) se tiene '( ¡)(!)' ,r>'lV- {)t "'4 I J( a )\dx) T y,dr>( l-,f )'¡y,a, \2n )l (26) '{(*)'*>o"!t"d' | /t2 í'(u)>'o f["'.t'-'t[#)' *('o'-t)(*)'] dxQ4) \2 * er) ll{+lo*.+o'll?l d\4"/ d(d"'/ Lasúltimas dosdesigualdades nospermitirán quelafuncional por demostrar definida =[,, .(#)' -,(*)')* v(u) Q2) satisface lashipótesis deunafuncional deLyapunov. Lema 1. S¡f 1 ft', entoncesexisteuna constante6¿>Q talque -o = Í , _ L 2i ,, de (24) Finalmente, basta tomar y (25), teniendo en mente que qe (o,t) y 1t,_ f se sigue inmediatamente gue 4 - t (*)' 0,.o|u|' v(u)=i[",. [#)' ) lo quepruebaellema 1. comolo prueba V(l) esacotada Lafuncional el siguiente: Lema 2. Existep > Otalque vtu)<Bllull' (27) Dem,BastadefinirF: máx{1,f}. Lema 3.,1,rtfi> = 0 v Í: 0, v¡ solución de la ecuacióndiferencial(12). Dem. Usandola regla de Leibnitzy nuestras definiciones V\u\ =2|l,+.**-¡P*)¿, v(x) = 4L df +n' fum. hnsideremos unaconsbntec = .f t 2fi' claramente -.)(#l ,*r,=,{,-,(, ..[#J' -,(*)')- de la desigualdad(20) ffi d\ d1 dx- dx- dx dx ) (28) Integrandopor partes, la ecuación(27) se expresa -#"-'#.)l: #=;f*.#.rp),*.'[## (2s) Tomando en cuenta las condiciones de frontera(16), (17) y (IB), ademásde que la velocidad trans versaI cIaramente satisface v (0, 0 = v(I, A = 0, observamosgue el segundo sumando de (28) es nulo. Por otro lado, el integrando resulta ser exactamente el lado izquierdode la ecuacióndiferencial(L0), Porlo tantola integralnecesariamente se anula,lo que pruebael lema3. que l/definido por LoslemasI,2y 3 prueban (21),esunafuncional de Lyapunov asociada a la (7) -la cual modelael ecuación diferencial movimiento transversal de unavigasujetaa una presión axialF.Másprecisamente enunciamos el siguiente teorema: Teorema. Bajolas notacionesy definiciones anteriores,si una vigade Euler-Navier-Bernoulli sobrela que actúauna fuerzaaxial constantefi satisfacela hipótesisdel lema 1, es deci6, f<n' queIaenergía esunade las viga,lo quesignifica c a r a c t e r í s t i c adse l s i s t e m aq u e i n f l u i r á desuestado enelcomportamiento decididamente deequilibrio. Estabilidadde unaecuaciónno disipativade una viga controladalinealmente deuna laestabilidad estudiaremos Enestasección por enunaextremidad linealmente vigacontrolada velocidad en funciónde la unafuerzadecontrol, La libre, se halla esteextremo.El otro extremo junto que las con respuesta modela esta ecuación iniciales son condiciones d='! *20,r:r, dt' dx* o<x<r, 20,1¡=p1o,r¡, ' dt' dx' t)0, -o \!(r,t) dx' :-r!p,t¡ *(0,,) dx' dt' entonceselequilibrio de la vigaes estable. Dem.Loslemas1, 2 y 3 nosdicenque la (30) funcionall/ es de Lyapunov, asociadaa la ecuación diferencial de la viga,Porel segundo conk> 0. teorema de estabilidad sesiguequeel equilibrio se se pruebaquela solución Enestasección de la vigaes estable, q donde hacia axt+ bx+ asintóticamente compofta 6. Sin pérdidade a, b y c son constantes Obseruaciones quea = b= c= 0t podemos generalidad suponer ( b a s t ae s t a b l e c eer l c a m b í od e f u n c i o n e s La hipótesis del lema1 tieneun importante y(x,t) = y(x,t)-axt-bx-cy así bastaprobar significado físico.El teoremanosdiceque una quecualquier a asintóticamente converge solución paraque nuestravigasea condición suficiente probar puede se de funciones 0).Conestecambio establees que modelael fenómenosigue que la ecuación (29). laecuación siendo ft2f ) " Fr para Deflnimos cadau = (b v), con, =!-, "EIFE dt funcionalT: lasiguiente ,, -- n'EI donde'" L' es la presión de Eulerde una viga simplemente soportada. Así,el teorema que la presiónde EulerFF es una establece presióncríticade tal formaque parapresiones axialesF < FE,la vigapermanece estable.De hechovaleel resultado recíproco: Sila cargaaxial que soporta una viga es F > FE, entoncesel equilibriode la vigaes inestable(Plaut,1967). Otro hechoimportantede observares la relación estrecha entrela funcional de Lyapunov (2L)V la energíapotencial total(11)de nuestra v(u)=i[",* (#)')* (31) definida esni másni Enestecaso,lafuncional menosque la energíanaturaldel sistemaen que esta cualquierinstantet. Se demostrará asociada deLyapunov energía defineunafuncional (29). diferencial a laecuación N o t e l a s e m e j a n zcao n l a f u n c i o n adl e (21).Deigual Lyapunov delejemploprecedente anteriolse maneraa comose hizoen la sección 47 puedeprobarque VUl rz)satisface losincisosa) defuncional (Ver deLyapunov. V b)deladefinición Ioslemas1 y 2 precedentes). quese Probemos satisface el incisoc)dedichadefinición: Lema4.V (X)=0 V x =(y.v) solución de la ecuacióndiferehcial(29). Dem. Usandopor segundaocasiónla regla de Leibnitzy nuestrasdefiniciones 6'r(o) (36) n1,; <ce llro,o,!a,'ll. esta desigualdadimplica que cuando t -+ q: (o,o) 4,*Q,r))-+ [r(", (37) ,(*):#=,[,#. Esdecir(A0 esasintóticay exponencialmente ##)d,Gz)estable en cierto espacionormadode funciones Integrandopor partes, la ecuación(31) se expresa ,6)=#=,J[#.#) .*.,(#*#"), 33) Elintegrandocorespondeal ladoderecho de la primerarelaciónde (29) el cual es igual a 0. Usandolos valoresde fronteraconsignados en (29), se tiene H. CONCLUSIONES R e g r e s a n dcoo n e l c a m b i od e f u n c i o n e s iG, t\ = y(x, r\ - axt - bx - ¿, se sigue i¡uela'soluóión converge a axt asintóticamente +bx+c !:gY(*,t) = axt + bx + c (38) dondea, by cdependen físicos delosparámetros y de lascondiciones delsistema iniciales, Elcontrol deunavigadeEuler-Navier-Bernoulli a travésde una fuerzade controlen un extremo,proporcional a la velocidad transversal en dichoextremo,proporciona una respuesta (34) estable(exponencialmente estable)porpartede y el estadodel sistemaconverge la estructura, conlo que el lemaquedademostrado. asintóticamente a un polinomio de gradodosen Sedesprende de estelemaque la funcional lasvariables y tiempo). xy f (posición longitudinal definida en (30)es unafuncional de Lyapunov. (30) Nuevamente, la funcional de Lyapunov Sesigueinmediatamente del segundo teorema estáíntimamente relacionada con la energíadel de estabilidad de Lyapunov el siguiente:. potencial. sistema, sobretodoconlaenergía Ensu Teorema.Elpuntodeequilibnou [ ;,,ff J=to,ot y Dirichlet queel momento, Lagrange demostraron de la ecuacióndiferencial(29), es estableen el estadodeequilibrio de unamasapuntualsujetoa sentidodeLyapunov. una fuerzaconservativa, en el cual la energía De hechovaleel siguiente quees resultado potencial totaltomasu valormínimo,lastrayecmásgeneral(Cherkoui, 2002): pequetoriasquecomienzan enalguna vecindad Teorema. Paratodo C > ! existeun ti > 0 ña del puntode equilibrio, en todo momento tal que para cadasoluciónde la ecuación(29) pertenecerán pequeña a unavecindad de dicho vale punto.Elmétododirectode Lyapunov generaliza -basadoen el el criteriode Lagrange-Dirichlet v(t) <ce-5'v70¡ (3s) teorema paraun de laconservación de laenergía puntuales, sistema de masas Lasfuncionales de y (21) (30) Lyapunov son un tipo especial de De aquíy del hecho de que Vseauna funcional quejueganel papeldeenergía funcionales enlos de Lyapuno4 se sigue que dosproblemas estudiados arriba.Identificando a r,(!)'=o, # =#,o,t¡!p,t¡'J- ¿18 V (fl dadoen (30) con la energíanaturaldel sistemaen cadainstantede tiempof, la relación (34)establece quelaenergía mecánica delsistema sufreundecaimiento exponencial, fundamento del compodamiento exponencialmente estable dela viga. E n l a s d e m o s t r a c i o na en s t e r i o r e sp, a r a simplificar el método,hemosomitidolosespacios (normados) y lascorresfuncionales asociados, pondientes normas, objetosformales delAnálisis que nosproporcionan Funcional el marcode la teoría,desdeel concepto de vecindad del punto deequilibrio, hastalaconvergencia asintótica de la solución respecto a unanormay la existencia y unicidad de lassoluciones de lasecuaciones parciales. en derivadas y los puntosde equilibrio Lassoluciones "viven"en estosespaciosnormadosinfinitodimensionales, su comportamiento asintótico se da entérminosde lasnormasde estosespacios. De allí su importancia. Tambiénnos revelala necesidad creciente de introducir en la ingeniería teoríasmatemáticas másabstractas. En la práctica en ingeniería, vemosque los valorescríticosmedidospuedendiferirde los valorescríticospredichos, Estoocurreen parte debidoa queel modelo notomaencuentatodas las características del fenómeno, es decirlos modelosson limitados.Puedenofrecerbuenas y pobres descripciones enalgunas circunstancias, paralosdosproblemas en otras,Sinembargo, tratadosen el artículo,los modelosaplicados de la estabilidad ofrecenunabuenadescripción delsistema. AGRADECIMIENTOS y CosmoAgradecemos al grupode Gravitación de Físicade la Universilogíadel Depaftamento y al dad AutónomaMetropolitana-Iztapalapa por Nucleares de la UNAM, Institutode Ciencias trabajo. al presente suscomentarios REFERENCIAS Bartuccelli M.,& Gentile, G. (2003).Ona classof integrable dynamicalsystems.PhysicsLettersA, time-dependent 307 (5-6), 274-280. Paris:Masson Brézis,H. (1983).AnalyseFonctionnelle. Editeur. 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