T.3. FUERZA GRAVITATORIA ÍNDICE 1. Los modelos del universo ....................................................2 1.1 Teoría geocéntrica: Modelo de Ptolomeo ...........................2 1.2 Teoría heliocéntrica: modelo de Copérnico ........................3 2. Leyes de Kepler ...................................................................4 3. La gran síntesis newtoniana ................................................5 3.1. Ley de gravitación universal .............................................6 3.2. Consecuencias de la ley de gravitación universal .............7 La fuerza peso .........................................................................7 El movimiento de los cuerpos celestes ....................................8 4. El universo actual ................................................................9 El nuevo sistema solar ...........................................................10 Los planetas extrasolares o exoplanetas ...............................10 La gran explosión o big-bang ................................................10 EJERCICIOS DE TEORÍA .........................................................12 PROBLEMAS ...........................................................................12 I.E.S. CAURA (Coria del Rio) Página 1 1. Los modelos del universo Desde la antigua Grecia se conocían siete astros que se movían en la esfera celeste sobre el fondo estrellado: Sol, Luna, Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno. Por lo tanto, no es extraño que los antiguos al tratar de explicar los movimientos de los cuerpos celestes consideraran la Tierra como el centro del universo. 1.1 Teoría geocéntrica: Modelo de Ptolomeo El sistema geocéntrico fue elaborado y defendido inicialmente por los filósofos griegos Plantón (427-347 a. C.) y Aristóteles (384-322 a.C.). La bóveda celeste se consideraba una gran esfera de cristal y los planetas se pensaban como adheridos a otras esferas cristalinas que formaban parte de complejos conjuntos, unidos a su vez a la gran bóveda celeste. En este modelo los planetas se mueven en sus propias esferas transparentes, describiendo aparentemente movimientos circulares. Con este modelo tan sencillo no se podía explicar: -Porque la distancia de los planetas a la Tierra cambiaba a lo largo del año. Los planetas se mostraban unas veces más próximos a la Tierra (y por lo tanto más brillantes) y otras veces más alejados. -El movimiento retrógrado que los planetas mostraban en el cielo (ver siguiente figura). I.E.S. CAURA (Coria del Rio) Página 2 Por este motivo, en el siglo II d. C. el astrónomo griego Claudio Ptolomeo elaboró un nuevo modelo geométrico que resolvía los problemas del modelo anterior: El modelo de Ptolomeo se caracterizaba por: - La Tierra se encuentra en el centro del universo. - El resto de los astros gira alrededor de la Tierra. La Luna y el Sol describen orbitas circulares mientras que los planetas describen órbitas más complejas. - Lo planetas se mueven describiendo pequeñas circunferencias (epicíclos) cuyo centro describe a su vez una circunferencia alrededor de la Tierra llamada epiciclo (ver la siguiente figura). Con estas modificaciones parecía resolver en principio los problemas que tenía el modelo geocéntrico a la hora de describir el movimiento de los astros en el cielo. 1.2 Teoría heliocéntrica: modelo de Copérnico Modelo de Aristarco de Samos En el siglo III a.C. Aristarco de Samos propuso un modelo en el que el Sol está en el centro del universo y la Tierra, la Luna y los otros cinco planetas giran en torno a él, con diferente velocidades y en orbitas de distintos radios. El conjunto estaba dentro de una esfera de estrellas. I.E.S. CAURA (Coria del Rio) Página 3 Modelo de Copérnico Mucho tiempo después en 1543 se publicó el modelo heliocéntrico de Copérnico. La diferencia fundamental con el modelo de Aristarco de Samos es que Copérnico consideró que la Luna giraba en torno a la Tierra. La revolución de Galileo Galileo Galilei (1564-1642) fue el primer científico que utilizó un telescopio para realizar observaciones astronómicas. Con sus observaciones obtuvo pruebas que apoyaron el modelo heliocéntrico: -Júpiter tiene varios satélites que giran a su alrededor. Esto demuestra que no todos los astros giran alrededor de la Tierra. -Venus muestra fases como la Luna. Esto solo se puede explicar si Venus y la Tierra giran alrededor del Sol. 2. Leyes de Kepler El astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630) llevo a cabo una serie de estudios que le permitieron conocer las leyes matemáticas que describen el movimiento de los planetas. Para ello, datos precisos de observaciones de las posiciones de Marte. Se dio cuenta de que las posiciones de la órbita de Marte cuadraban de una forma muy precisa si suponía su órbita era elíptica. De este modo Kepler enunció sus tres leyes del movimiento planetario: Primera ley de Kepler “Todos los planetas se mueven alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticas. El Sol está en uno de los focos de la elipse.” I.E.S. CAURA (Coria del Rio) Página 4 Segunda ley de Kepler “Los planetas se mueven con velocidad areolar constante. Es decir, la línea recta trazada desde el Sol hasta un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.” Tercera ley de Kepler “El cuadrado de los períodos de la órbita de los planetas es proporcional al cubo de la distancia promedio al Sol.” Matemáticamente esta ley se expresa: T2 = cte d3 donde d es la distancia media al Sol y T es el periodo de la órbita. 3. La gran síntesis newtoniana Las leyes de Kepler se limitan a describir el movimiento de los planetas alrededor del Sol pero ¿qué es lo que produce este movimiento? Dicha cuestión fue abordada y resuelta por uno de los científicos más importantes de la historia, Isaac Newton (1642-1727). Newton describió matemáticamente, por primera vez en la historia, una de las interacciones fundamentales de la naturaleza, la interacción gravitatoria y demostró que las leyes que rigen el movimiento de los astros en el cielo son exactamente las mismas que provocan los movimientos de caída libre de los objetos en las proximidades de la superficie terrestre: -El movimiento de los planetas alrededor del Sol está provocado por la fuerza de atracción gravitatoria que hace que los planetas giren en torno a él. -El movimiento de caída libre de los cuerpos en las proximidades de la superficie terrestre esta provocado por la atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre los cuerpos. Este descubrimiento fue totalmente revolucionario para la época ya que Newton logró romper la barrera que existía entre el cielo y la Tierra descubriendo que todos los objetos que tienen masa se atraen con una fuerza que tiene unas características determinadas. Por este motivo, a la ley que describe la fuerza descubierta por Newton se la conoce como ley de gravitación universal, ya que se aplica a todos los cuerpos con masa del universo ya estén en la Tierra o en el cielo. . Antes de su formulación se I.E.S. CAURA (Coria del Rio) Página 5 creía que la interacción entre cuerpos celestes era diferente de la interacción entre cuerpos terrestres. 3.1. Ley de gravitación universal La ley de gravitación universal se enuncia de la siguiente manera: “Todos los cuerpos del Universo se atraen mutuamente con una fuerza (F) que es directamente proporcional al producto de sus masas (m y m’) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (d) que separa sus centros.” Matemáticamente se expresa con la siguiente fórmula: Fg = G mm′ d2 donde G es la constante de gravitación universal y su valor en el sistema internacional es: ′ G = 6 67 × 10 −11 m2 N 2 kg La fuerza de atracción gravitatoria es una magnitud vectorial. Su módulo viene determinado por la fórmula anterior. Su punto de aplicación es el centro de gravedad del cuerpo. Su dirección coincide con la línea que une los dos cuerpos y su sentido es de uno hacia otro tal y como se muestra en la figura: Características de la fuerza gravitatoria 1. Es universal porque afecta a todos los cuerpos con masa. 2. Es siempre de naturaleza atractiva. Dos masas nunca se pueden repeler. 3. Su módulo es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa las masas (d2 ). A medida que separamos las dos masas la intensidad de la fuerza disminuye tal y como se muestra en la figura: I.E.S. CAURA (Coria del Rio) Página 6 4. Su módulo es directamente proporcional al producto de las masas. En la siguiente figura se muestra el aumento de la intensidad de la fuerza gravitatoria al variar una de las masas que interaccionan: 5. Su intensidad es independiente del medio en el que se encuentran las masas que se atraen. Esto quiere decir que la intensidad gravitatoria con la que se atraen dos partículas en el aire es la misma que en el vacío, el agua, etc. 6. De las cuatro interacciones fundamentales de la naturaleza, la fuerza gravitatoria es la más débil. Si se compara con la fuerza eléctrica, por ejemplo, esta es 1036 veces más intensa. 3.2. Consecuencias de la ley de gravitación universal La fuerza peso “El peso es la fuerza de atracción gravitatoria que la Tierra ejerce sobre los cuerpos que están en sus proximidades”. Por lo tanto, el peso es la fuerza gravitatoria en un caso específico: cuando un cuerpo se encuentra en las proximidades de la superficie de la Tierra. Ejemplo 1 Calcula el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra utilizando la segunda ley de Newton y la ley de gravitación universal. Para resolver el problema aplicamos la segunda ley de Newton a un cuerpo en caída libre: F = ma → P = mg Por otra parte aplicamos la ley de gravitación universal. En este caso interaccionan el cuerpo considerado (m) y la Tierra (M): Fg = G mM d2 Donde d representa la distancia del cuerpo al centro de la Tierra. Si el cuerpo se encuentra cerca de la superficie podemos suponer que su distancia al centro es la suma del radio de la Tierra (R) y la altura sobre su superficie (h): d =R+h I.E.S. CAURA (Coria del Rio) Página 7 El radio de la Tierra es mucho mayor que la altura sobre la superficie (R ≫ h). Por lo tanto, la altura respecto al suelo puede ser considerada despreciable frente al radio de la Tierra: d=R+h≈R Sustituyendo el valor de d en la ley de gravitación universal nos queda: Fg = G mM R2 Finalmente sabemos que el peso es igual a la fuerza gravitatoria en la superficie terrestre: P = Fg → mg = G Despejando la masa obtenemos: g=G mM R2 M R2 vemos que la aceleración de la gravedad nos queda en función de parámetros constantes como la masa y el radio de la Tierra. Sabiendo que M=5’98x1024 kg y R=6’37 x103 m y sustituyendo deducimos el valor de la aceleración de la gravedad: ′ g = 6 67 × 10 −11 m2 5′ 98 × 1024 kg N ′ N 2( ′ = 9 8 = 9′ 8 m/s 2 ) kg (6 37 × 103 m)2 kg Todos los cuerpos que se encuentran cerca de la superficie terrestre caen con la misma aceleración. Valor de la gravedad en la superficie de distintos astros: En el ejemplo anterior hemos deducido el valor de la gravedad en la superficie de la Tierra. Si sustituimos los valores de la masa y el radio de la Tierra por los valores de otros astros obtenemos distintas aceleraciones de la gravedad tal y como se muestra en la siguiente tabla: Planeta Marte Júpiter Venus Saturno Aceleración de la Gravedad (m/s2) 3’72 26’39 8’85 11’67 Valor relativo respecto a la Tierra 0’379 2’69 0’902 1’19 Ejemplo 2 Calcula el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Luna sabiendo que su radio es de 1740x103 m y su masa es de 7’2x1022 kg. Utilizando la fórmula de la aceleración de la gravedad en la superficie de un astro: M m2 7′ 2 × 1022 kg ′ −11 g = G 2 = 6 67 × 10 N 2 ( ) = 1′ 6 m/s 2 R kg (1740 × 103 m)2 La aceleración de la gravedad es seis veces menor que en la Tierra. El movimiento de los cuerpos celestes I.E.S. CAURA (Coria del Rio) Página 8 La ley de gravitación universal nos permite estudiar el movimiento de todos los cuerpos celestes. A modo de ejemplo vamos a estudiar el movimiento de la Luna alrededor de laTierra: Ejemplo 3 Deducir la velocidad y el periodo orbital de la Luna. Datos: Masa de la Tierra M=5’98x1024 kg; distancia de la Tierra a la Luna r= 3’84x105 km. Sabemos que la Luna gira alrededor de la Tierra describiendo un MCU. La fuerza que hace posible ese movimiento es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Luna sobre la Tierra. Esta fuerza modifica en cada instante la velocidad de la Luna haciendo que describa una trayectoria circular. Aplicamos la segunda ley de Newton a la Luna teniendo en cuenta que sobre la Luna solo actúa la fuerza gravitatoria: F = ma → Fg = ma Sustituimos la fuerza de la gravedad: G mM = ma r2 Sabemos que en un MCU la única aceleración que actúa es la centrípeta ya que el módulo de la velocidad es constante. Sustituyendo la expresión de la aceleración centrípeta: M 𝑣2 G 2= r r Despejando la velocidad obtenemos: GM 𝑣=√ = 1019 m/s r Hallamos el periodo de una forma muy sencilla. Sabemos que por definición la velocidad es: 𝑣= espacio tiempo Si aplicamos la definición anterior para una vuelta completa de la Luna alrededor de la Tierra tenemos que es el espacio recorrido es el perímetro de la circunferencia (2𝜋𝑟) y el tiempo es exactamente el periodo (T). Sustituyendo en la fórmula anterior: 𝑣= 2𝜋𝑟 T →T= 2𝜋𝑟 = 2′ 37 × 106 s = 27′ 4 días 𝑣 4. El universo actual I.E.S. CAURA (Coria del Rio) Página 9 El nuevo sistema solar Tras los descubrimientos de Galileo y Newton, y gracias a la aparición de nuevos instrumentos y técnicas de observación, los hallazgos en astronomía se sucedieron a un ritmo vertiginoso. En 1781, F. W. Herschel descubrió Urano. Después, en 1846, J. J. Leverrier descubrió Neptunoy, ya en el siglo XX (1930), C. Tombaugh descubrió Plutón. En 2006 empezaron a descubrirse más allá de la órbita de Plutón planetas enanos que tenían dimensiones parecidas a las de Plutón. Por este motivo, la Unión Astronómica Internacional acordó una nueva definición de planeta. Desde entonces, Plutón dejó de ser considerado un planeta y pasó a catalogarse como planeta enano. Desde esta perspectiva el sistema solar está formado por: el Sol, los planetas, planetas enanos y los cuerpos menores del sistema solar (asteroides, cometas, etc). Los planetas extrasolares o exoplanetas El primer planeta extrasolar se descubrió en 1989, debido al avance en las técnicas de observación hoy en día se conocen más 500 planetas extrasolares. Observar planetas extrasolares es extremadamente difícil ya que el brillo de su estrella los oculta. Por este motivo, los astrónomos solo pueden observarlos de forma indirecta. En la mayor parte de los casos, los detectan indirectamente midiendo los movimientos que la atracción gravitatoria del planeta provoca sobre la estrella. Para que un planeta provoque ‘vibraciones’ en el movimiento de su estrella tiene que ser muy masivo. Por este motivo, casi todos los planetas extrasolares que se han descubierto tienen características similares a Júpiter. La gran explosión o big-bang Según esta teoría toda la materia del universo estaba concentrada en un punto. Hace 13700 millones de años se produjo la gran explosión (big bang) y el universo comenzó a expandirse. Con el paso del tiempo se formaron los átomos. Más tarde la materia comenzó a concentrarse para formar estrellas, planetas y galaxias. Existen algunas evidencias observacionales que apoyan esta teoría: -La Ley de Hubble. Eddwin P. Hubble descubrió que el universo se encuentra en expansión. Analizando las velocidades de un número elevado de galaxias comprobó que la mayor parte de ellas se estaban alejando. Además la velocidad de alejamiento era mayor cuanto más lejos se encontraban. Si las galaxias del universo se están separando en algún momento del pasado toda la materia tenía que estar concentrada en un punto. -Radiación de fondo de microondas. Es una de las predicciones de la teoría del Big Bang. Esta radiación electromagnética se emitió cuando se formaron los átomos y fue detectada en 1965 por Arno Penzias y Robert Wilson. -La abundancia de elementos químicos ligeros. El helio constituye el 25 % de la materia del universo actual. Este helio se genero poco después de la gran explosión y la teoría de la gran explosión explica esta abundancia. I.E.S. CAURA (Coria del Rio) Página 10 I.E.S. CAURA (Coria del Rio) Página 11 EJERCICIOS DE TEORÍA Leyes de Kepler 1. Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: El planeta más cercano al Sol tiene el período de revolución más corto. 2. Indica razonadamente la veracidad de las siguientes leyes: a) La Tierra describe una órbita circular alrededor del Sol. b) Todos los planetas se mueven con la misma velocidad alrededor del Sol. c) El planeta Tierra se mueve con velocidad lineal constante sobre el Sol. d) El cociente entre el periodo de un planeta y su distancia al Sol es constante. 3. Corrige las incorrecciones de las leyes: a) Todos los planetas se mueven alrededor del Sol siguiendo órbitas circulares. El Sol está en el centro de la circunferencia. b) Los planetas se mueven con diferente velocidad areolar debido a que la línea que une en cada momento el planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos diferentes. c) Los planetas más alejados del Sol se mueven más deprisa y, por tanto, tardan menos tiempo en dar una vuelta completa. Peso 4. Indica que características corresponden al peso y cuales a la masa: a) Cantidad de materia que posee un cuerpo. b) No depende del lugar en el que está situado el cuerpo. c) Fuerza con la que la Tierra atrae a los cuerpos. d) Es una magnitud escalar. e) Se mide en kg m/s2. 5. ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra pesarías la mitad que en la superficie? ¿Habrá cambiado tu masa? Satélites 6. En una órbita circular, ¿qué relación hay entre la fuerza centrípeta y la fuerza de la gravedad? 7. ¿Qué le ocurriría a un satélite si desapareciera la fuerza de la gravedad que lo mantiene en órbita? Dibujar la trayectoria. I.E.S. CAURA (Coria del Rio) Página 12 PROBLEMAS Peso 1. Calcula la fuerza con que la Tierra atrae una manzana de 200 g situada en un árbol. a) ¿Con que fuerza atrae la manzana a la Tierra? b) ¿Con que aceleración caerá la manzana? ¿Y la Tierra? Datos: Masa de la Tierra=5’98x1024 kg; Radio de la Tierra=6400 km. 2. Calcula el peso de una persona de 60 kg en: a) La superficie de la Tierra. b) La cima del Everest. c) Un punto situado a una altura de 3000 km sobre la Tierra. d) La superficie de la Luna (gluna=gtierra/6) 3. Marte es el planeta elegido por los escritores de ciencia ficción como sitio más favorable del Sistema Solar para ser habitado por el ser humano. a) ¿Cuál será la aceleración de la gravedad en Marte? b) ¿Cómo te sentirás: más ligero o más pesado? c) ¿Cuál sería tu peso en Marte? Datos: Masa de Marte: =6’4x1023 kg; diámetro=6780 km. 4. Observa la tabla de datos. Planeta g(m/s2) Mercurio 2’65 Venus 8’50 Tierra 9’81 Marte 3’72 Júpiter 25’89 Saturno 11’48 Urano 9’03 a) Calcula tu peso en cada uno de los planetas. b) Calcula la velocidad con la llega un cuerpo que se deja caer desde una altura de 1 m a la superficie de cada planeta. 5. El peso de una persona en la Tierra es de 500 N, y en Júpiter, de 1321 N. a) ¿Cuál será su masa? b) ¿Cuál será la gravedad en Júpiter? c) ¿Qué masa tendría que tener en Júpiter para que pesase lo mismo que en la Tierra? Satélites 6. Un satélite artificial de media tonelada gira en órbita circular alrededor de la Tierra a 2630 km con una velocidad de 6500 m/s. Dibuja y calcula: a) La fuerza que lo mantiene en órbita. b) La aceleración centrípeta. Datos: G=6’67x10-11 N(m2/kg2); Masa de la Tierra=5’98x1024 kg; Radio de la Tierra=6370 km Sol: a) 2462’1 N; b) 4’7 m/s2. I.E.S. CAURA (Coria del Rio) Página 13 7. Calcula la aceleración centrípeta de la Luna si su periodo es de 27’3 días y la distancia que la separa de la Tierra es de 3’8x108 m. Sol: 6353’7 m/s2 8. Calcula la velocidad con la que gira un satélite artificial que describe una órbita circular alrededor de la Tierra y se encuentra a una distancia de 10000 km del centro terrestre. Sol: 4936 m/s 9. Calcula la velocidad de un satélite que da una vuelta a la Tierra cada 98 minutos a una altura de 500 km sobre la superficie terrestre. Sol: 7337 m/s I.E.S. CAURA (Coria del Rio) Página 14