Introducción a los sistemas dinámicos Actividad 5 Juan Pablo Navarrete Carrillo DINÁMICA SIMBÓLICA El espacio de sucesiones de 0’s y 1’s se denota por Σ2 . Si s = (s0 s1 s2 . . .) y t = (t1 t2 t3 . . .) son elementos de Σ2 , definimos la distancia entre ellos mediante la fórmula: ∞ ∑ |si − ti | d[s, t] := 2i i=0 Proposición. 0.1. La función d es una métrica en Σ2 Proposición. 0.2. Sean s, t ∈ Σ2 y suponga que si = ti para i = 0, 1, . . . , n, entonces d[s, t] ≤ 1/2n . Recı́procamente, si d[s, t] < 1/2n , entonces si = ti para i ≤ n. Definición. 1. La función “shift” σ : Σ2 → Σ2 está dada por σ(s0 s1 s2 . . .) = (s1 s2 s3 . . .) Proposición. 0.3. La función shift σ : Σ2 → Σ2 es continua. Proposición. 0.4. Se tiene lo siguiente: 1. La cardinalidad de P ern (σ) es 2n . 2. P er(σ) es denso en Σ2 . 3. Existe una órbita densa para σ en Σ2 . Ejercicios 1. Sean s = (001001001 . . .) t = (010101 . . .) r = (101010 . . .). Calcule: a) d[s, t], b) d[t, r], c) d[s, r]. 2. Identifique todas las sucesiones en Σ2 que son puntos periódicos de perı́odo 3 para σ. ¿Qué sucesiones están en la misma órbita bajo σ? 3. Sea Σ′ el subconjunto de Σ2 que consiste de todas las sucesiones que satisfacen: si sj = 0 entonces sj+1 = 1. En otras palabras, Σ′ consta de las sucesiones en Σ2 que no tienen dos ceros consecutivos. a) Muestre que σ preserva Σ′ y que Σ′ es un subconjunto cerrado de Σ. b) Muestre que los puntos periódicos de σ son densos en Σ′ . c) Muestre que hay una órbita densa en Σ′ . d ) ¿Cuántos puntos fijos hay para σ, σ 2 , σ 3 en Σ′ ? e) Encuentre una fórmula recursiva para el número de puntos fijos de σ n en términos del número de puntos fijos de σ n−1 y σ n−2 . 4. Sea s ∈ Σ2 . Defina el conjunto estable de s, W s (s), como el conjunto de t ∈ Σ2 tales que d[σ i (s), σ i (t)] → 0 cuando i → ∞. Identifique todas las sucesiones en W s (s).