Formulario – igualadores – detector ML Luca Mar3no Francisco J. Rodríguez Ruiz Apuntes-­‐Laboratorio no revisados (cuidado!!!) Detección cuando hay ISI • Cuando tenemos ISI (interferencias entre símbolos) tenemos 3 alterna3vas: Óp3ma: (Decisor óp3mo en presencia de ISI) detección de la secuencia de máxima verosimilitud (con el algoritmo de Viterbi lo hacemos de forma eficiente). Subóp3mas: uso de igualadores de canal y luego un decisor símbolo a símbolo (sin memoria). La peor en términos de prestaciones: también podríamos u3lizar directamente un decisor símbolo a símbolo (sin memoria), si es el caso retardando la decisión, pero claramente nos da peores prestaciones aunque menor complejidad. € Criterio MMSE Criterio “Zero forcing” 1 jω − jωd W (e ) = e P(e jω ) € Ignorando el ruido W (e jω ) = P * (e jω ) jω 2 P(e ) + σ z2 Es e− jωd Sin restricciones => Filtro IIR (todo polos -­‐ AR) € Sin restricciones => Filtro IIR (ARMA) −1 H H w = (P P) P c Con restricciones=> Filtro FIR Ignorando el ruido € σ z2 H w = P P + Es I ( Con restricciones=> Filtro FIR ) −1 P c H Construcción matriz de “convolución de canal” P K = memoria p[n] (longitud canal -1) K W +1 = coeficientes filtro igualador w[n] ⎡ p[0] 0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ p[1] p[0] 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ... p[1] p[0] 0 ⎥ ⎢ ⎥ ... p[1] p[0] ⎥ P = ⎢ p[K ] ⎢ 0 p[K ] ... p[1] ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 p[K ] ... ⎢ ⎥ € ⎢⎣ 0 0 0 p[K ]⎥⎦ K W +1 Siempre más líneas, que columnas (matriz rectangular) € K + K W +1 Calculo del coeficientes del filtro w[n] d = retardo decisión € ⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢...⎥ ⎢ ⎥ c[d] c = ⎢ 1 ⎥ K + K W +1 ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ € 0 ⎢ ⎥ € ⎢⎣ 0 ⎥⎦ € € € € −1 H H w = (P P) P c σ z2 H w = P P + Es I ( ) −1 Vector columna de dimensión K W +1 P c H Prestaciones – Prob. de Error Probabilidad de error de los igualadores SIN restricción de coeficientes Distancia mínima entre símbolos de la constelación Numero máximo de símbolos a distancia dmin en la constelación 1 σ =σ 2π 2 ed € 2 z ∫ +π −π €1 P(e jω ) 2 ⎛ d min ⎜ Pe ≈ kQ ⎜ 2 σ 2 ed ⎝ dω ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ σ e2d = σ z2 € 1 2π ∫ 1 +π −π jω 2 P(e ) + σ z2 Es dω Probabilidad de error de los igualadores con restricciones de coeficientes Solución óp3ma c = Pw Distancia mínima entre símbolos de la constelación Numero máximo de símbolos a distancia dmin en la constelación σ =σ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Potencia del ruido filtrado Kw 2 z' c = [c[0], c[1],..., c[K + K w ]] ⎛ d min c[d] ⎜ Pe ≈ kQ⎜ 2 € 2 2 σ ⎝ € z ' + σ ISI € 2 z ∑ w[k] k =0 Potencia ISI residual K +K w 2 con el criterio mínimos cuadrados 2 σ ISI = Es ∑ c[k] k=0 k≠d 2 Probabilidad de una secuencia errónea ⎛ ⎞ D Pe ≈ κ 0Q⎜⎜ min2 ⎟⎟ ⎝ 2 σ z ⎠ Dmin = € Probabilidad de error de un detector ML de secuencias (probabilidad de error con u3lizando el algoritmo de Viterbi) representa la distancia Euclídea mínima entre dos secuencias sin ruido. κ 0 = representa el máximo número de secuencias recibidas € € que se hallan a una distancia Dmin de una posible secuencia recibida. Resumen sobre probabilidades de error ⎛ ⎞ D Pe ≈ κ 0Q⎜⎜ min2 ⎟⎟ ⎝ 2 σ z ⎠ Detector ML (con alg. Viterbi) € ⎛ d min ⎜ Pe ≈ kQ ⎜ 2 σ 2 ed ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ d min c[d] ⎜ Pe ≈ kQ⎜ 2 2 2 σ + σ ⎝ z' ISI Igualadores sin restricciones € ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Igualadores con restricciones €