Colegio Antil Mawida Departamento de Matemática Profesora: Nathalie Sepúlveda Matemática DOCUMENTO N° 2 Guía de matemática Segundo año medio Refuerzo Contenido y Aprendizaje N° Fecha Tiempo 2 Horas Nombre: Unidad Nº Curso: Cero Núcleos temáticos de la Guía Objetivos de la Guía Números Conocer, comprender y aplicar conceptos relacionados a la operatoria combinada números racionales. Aprendizaje Esperado Conocen, comprenden y aplican conceptos relacionados a la operatoria combinada en números racionales. Instrucciones 1. Revisión de conceptos asociados a la operatoria combinada en números racionales. 2. Desarrollo de ejemplos en forma individual. 3. Desarrollo individual de los ejercicios propuestos. 4. Tiempo 50 minutos para resolución. 5. Entrega de alternativas. 6. Revisión de dudas o ejercicios más complejos. NÚMEROS RACIONALES Los números racionales son todos aquellos números de la forma a con a y b b números enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra Q. IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Si a c Q, entonces: , b d OBSERVACIONES 1. El inverso aditivo (u opuesto) de como a o b a a es - , el cual se puede escribir también b b a b 2. El número mixto A b se transforma a fracción con la siguiente fórmula: c MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Si a c Q, entonces: , b d MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN OBSERVACIÓN El inverso multiplicativo (o recíproco) de a a es b b 1 b , c on a 0 a OBSERVACIONES 1. Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes procedimientos: a. igualar numeradores. b. igualar denominadores. c. convertir a número decimal. 2. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales. NÚMEROS DECIMALES Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico. a. Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras decimales. Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales b. Desarrollo decimal infinito periódico: Son aquellos que están formados por la parte entera y el período. Ejemplo: 0,444.... = 0, 4 c. Desarrollo decimal infinito semiperiódico: Son aquellos que están formados por la parte entera, un anteperíodo y el período. Ejemplo: 24,42323 ... = 24,4 2 3 OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES 1. Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva. Así por ejemplo: 0,19 3,81 + 22,2 26,20 2. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en conjunto. Así por ejemplo: 3,21 ⋅ 2,3 963 642 7,383 3. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10. Así por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100 224: 120 y se dividen como números enteros TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN 1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales tenga dicho número. Por ejemplo: 3,24 = 324 100 2. Decimal infinito periódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período. Por ejemplo: 2, 1 5= 2 1 5 2 99 3. Decimal infinito semiperiódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. Por ejemplo: 5,3 4 = 534 53 90 EJEMPLOS 0,0 5 0,5 1) 5 A) 0,5 B) 0,05 C) 0,005 D) 50 E) 500 2) El orden de los números a = A) a < b < c B) b < c < a C) b < a < c D) c < a < b E) c < b < a 3) 1 1 3 3 0,7 5 0,2 5 8 8 2 5 3 ,b= y c = de menor a mayor es 3 6 8 15 3 16 B) 3 16 C) 3 D) 4 A) E) 8 3 EJERCICIOS 1) Si t = 0,9 y r = 0,01, entonces t r = r A) 80,89 B) 80,9 C) 88,9 D) 89 E) Ninguno de los valores anteriores 2) En la igualdad 1 1 1 , si P y R se reducen a la mitad, entonces para que se P Q R mantenga el equilibrio, el valor de Q se debe A) duplicar. B) reducir a la mitad. C) mantener igual. D) cuadruplicar. E) reducir a la cuarta parte. 3) 1 3 2 1 1 4 A) B) C) D) E) 3 2 1 3 11 6 1 3 1 4) 1 1 1 1 11 5 2 2 B) 5 C) 1 A) 3 5 1 E) 2 D) 5) tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javier cronometró 11,3 segundos, Arturo 11,02 segundo y Marcelo 11,2 segundos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Javier llegó después de Marcelo II) Entre Arturo y Marcelo hay 18 centésimas de segundo de diferencia al llegar a la meta III) Arturo llegó primero A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 6) Se tienen dos cajas: una con seis botellas de 3 de litro, todas llenas y otra 4 1 de litro, todas llenas también. ¿Cuál es el número de 4 botellas de medio litro con las que se puede envasar todo el líquido? con cuatro botellas de 1 A) 5 B) 9 C) 10 D) 19 E) 20 7) Se define la operación [m, n, r] 2m 8n 1 3 5 , ¿cuál es el valor de , , ? 2r 2 4 3 3 2 2 B) 3 24 C) 5 6 D) 5 E) 1 A) 8) ¿Cuántos séptimos son equivalentes a 2 A) 19 B) 17 C) 14 D) 10 E) 5 9) El número racional A ) 10 0 ,7 B ) 0 ,10 0 ,7 7 3 3 4 3 D) 7 7 1 1 E) : 7 10 C) 10 es igual a: 7 5 ? 7 10) Juan tiene a dulces y su hermano tiene la mitad de esta cantidad más un dulce. Si al hermano de Juan le regalan 3 dulces y éste, a su vez, regala 2 dulces, ¿con cuántos dulces queda el hermano de Juan? a 1 2 B ) Con a 2 A ) Con a 3 2 a D ) Con 4 2 a E ) Con 2 2 C ) Con ̅̅̅̅ + 0, 62 ̅̅̅̅ es 11) El valor de 0, 62 A) 0, ̅̅̅̅̅ 124 B) 112 C) 124 D) 124 E) 112 90 99 990 99 12) La quinta parte de la mitad de quince veces cuatro tercios es A) 50 B) 8 C) 2 D) 1,5 E) 1,125 13) ¿Cuál(es) de los siguientes números está(n) entre I) 0, 4̅ II) 0, 2̅ III) 13 27 1 3 1 y ? 2 A) B) C) D) E) Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo I II III I y III II y III 14) Al reducir D) 5 E) − 14 26 4 (7 + 1 ) es igual a 21 2 1 B) − 1 30 1 A) − C) 15 6 6 6 3 2 15) Si b es el triple de c, con b ≠ 0 y c ≠ 0, entonces es verdadero que A) B) C) D) E) 𝑏 es un número primo. 𝑐 𝑐 Є IN 𝑏 𝑐 ЄZ 𝑏 𝑏 no pertenece a Z 𝑐 𝑐 𝑏 =3 16) El valor de 0, 5̅ + 0,25̅ es ̅̅̅̅ A) 0, 30 B) 0,30 C) 3 10 D) 75 E) 73 99 90 17) El valor de 1 3 + 3 6 1 6 + 5 15 es A) B) 5 6 9 15 C) 25 D) 65 E) 18 54 80 63 18) Si p = 2 3 ;q= 1 9 ;r= 7 3 ; entonces el valor de la expresión (p + q) · 1 𝑟 es A) 3 B) 49 C) 1 27 3 1 D) − 3 E) − 49 27 19) El doble de la tercera parte del quíntuple de la mitad de 18 equivale a A) 1,2 B) 2,7 C) 7,5 D) 15 E) 30 𝑎 𝑏 𝑏 20) Para la expresión (𝑏 + 𝑐 ) ∶ (𝑎) , ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) Si b = -c, el resultado es indeterminado. II) Si a = 0 o b = 0 o c = 0, el resultado es indeterminado. III) Si a = 1, b = 1 y c = 1, el resultado no varía si a = 1, b = -1 y c = 1 A) B) C) D) Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III E) Sólo II y III 1 21) 2 + A) 5 2 + 1 5 + 4 = 2 26 5 B) 11 C) 11 40 10 D) 1 E) Ninguno de los valores anteriores. 22) Una fábrica de zapatos debe entregar un pedido de T pares de zapatos en tres días. Si el primer día entrega día 1 A) 1 B) C) D) E) 5 de él, el segundo día 1 3 de lo que resta y el tercer del resto, entonces lo que quedó sin entregar es 4 T 10 9 T 10 3 T 10 1 T 5 1 T 60 23) La expresión – b A) 2 1 2 es equivalente a − 𝑏−1 2 B) − 3 2 𝑏 C) 1 D) − 2𝑏−1 2 E) − 𝑏 2 1 2 𝑏 24) Sea X = 1 𝑝−𝑞 , con p y q reales distintos entre sí. El inverso aditivo de X y el inverso multiplicativo (o recíproco) de X son, respectivamente: A) p – q y 1 𝑞− 𝑝 B) C) 1 𝑞−𝑝 1 𝑞−𝑝 y q –p y p–q D) p – q y E) p – q y 1 𝑞−𝑝 1 𝑝 − 25) Si p # q = A) 1 B) 5 12 C) 2,4 D) − 5 3 E) − 3,3 1 𝑞 1 𝑝 1 1 4 − 𝑞, entonces, [(2 # 5] # 3 =