UNIDAD III MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ISC. Claudia García Pérez

UNIDAD III
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
ISC. Claudia García Pérez
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PRESENTACIÓN
La representación gráfica de los datos permite realizar una descripción visual de
manera general de los datos obtenidos pero no para el tratamiento matemático
para llevar a cabo un análisis estadístico. Por esta razón los especialistas o
expertos en estadística utilizan las medidas de tendencia central a partir de los
datos muestrales para hacer una imagen mental de los datos y las inferencias
acerca de las características de la población.
Existen diversas medidas descriptivas numéricas que permiten realizar un análisis
y descripción de un conjunto de datos que fue obtenido y organizado previamente.
Una de dichas medidas es la medida de tendencia central, en donde los datos se
condensan en un solo valor central alrededor del cual todos los datos muestrales
se distribuyen.
Existen diferentes tipos de medidas de tendencia central las cuales son: media
aritmética, mediana, moda, entre otras.
A continuación se verá más a detalle cada una de ellas en datos agrupados y con
datos no agrupados, así como los percentiles, cuartiles y deciles.
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DESARROLLO
DEFINICIÓN DE MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL
Según (Chao, 1997), los datos obtenidos pueden condensarse en un solo valor
central alrededor del cual todos los datos muestrales se distribuyen.
Según (Spiegel, 1991), es un valor típico o representativo de un conjunto de datos
que suele situarse hacia el centro del conjunto de datos ordenados por magnitud.
TIPOS DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Los tipos más comunes son:

Media aritmética o media

Mediana

Moda

Media geométrica

Media armónica
MEDIA ARITMETICA
Es una medida de localización central.
Datos no agrupados
Es la suma de los valores de todas las observaciones divididas entre el número de
observaciones realizadas. Su fórmula es:
3
𝑥=
∑𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖
𝑛
Fórmula 1. Media aritmética. Datos No Agrupados
Donde:
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 = sumatoria del valor x1, x2, x3,…, xi
n = número de observaciones
Datos agrupados
Los datos obtenidos normalmente se organizan en distribución de frecuencias. Es
el producto de cada valor diferente por el número de veces que ha ocurrido y
sumando después los productos así obtenidos. Su fórmula es:
𝑋=
∑𝑚
𝑗=1 𝑥𝑗 𝐹𝑅(𝑥𝑗 )
𝑛
Fórmula 2. Media aritmética. Datos Agrupados
Donde:
∑𝑚
𝑗=1 𝑥𝑗 = sumatoria del valor x1, x2, x3,…, xj. (x se emplea para designar a los
distintos valores).
FR(x )
j
= número de veces que cada x ha ocurrido o frecuencia de x
n = número de observaciones
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Tanto el subíndice j como i, indica un número de conteo para identificar cada valor
distinto o punto medio de clase y m designa al número total de distintos valores o
clases.
Cuando se utilizan datos agrupados para calcular la media, los puntos medios de
las diferentes clases se consideran como los distintos valores denotados mediante
x.
Propiedades de la media
1. La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de números
respecto de su media aritmética es cero.
Ejemplo: las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12 y 10 respecto de su
media aritmética 7.6 son 8 – 7.6, 3 – 7.6, 5 – 7.6, 12 – 7.6 y 10 – 7.6, o sea
0.4, -4.6, -2.6, 4.4 y 2.4, con suma algebraica 0.4 - 4.6 – 2.6 + 4.4 +2.4 = 0.
2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de números
xj respecto de un cierto número a es mínima si y sólo si a = X.
3. Si f1 números tienen media m1, f2 números tiene media m2, …, fk números
tienen media mk, entonces la media de todos los números es
𝑥=
𝑓1 𝑚1 +𝑓2 𝑚2 +⋯+𝑓𝑘 𝑚𝑘
𝑓1 +𝑓2 +⋯+𝑓𝑘
Fórmula 3. Propiedades de la media. Propiedad 3
es decir, una media aritmética ponderada de todas las medias.
4. Si A es una media aritmética supuesta o conjeturada (que puede ser
cualquier número) y si dj = xj – A son las desviaciones de xj respecto de A,
tenemos:
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𝑥 =𝐴+
∑𝑛
𝑗=1 𝑑𝑗
𝑛
Fórmula 4.Propiedades de la media. Propiedad 4
𝑥=
∑𝑘
𝑗=1 𝑓𝑗 𝑑𝑗
∑𝑘
𝑗=1 𝑓𝑗
Fórmula 5. Propiedades de la media. Propiedad 4
MEDIANA
Es el valor que queda en la parte central de un grupo de observaciones arregladas
en orden de magnitud.
Datos no agrupados
Es el valor intermedio cuando los valores de los datos se ordenan en forma
ascendente. La definición queda así:
Ordene los datos en orden ascendente (de menor a mayor)
a) Para un número impar de observaciones, la mediana es el valor intermedio.
b) Para un número par de observaciones, la mediana es el promedio de los
dos valores intermedios.
Datos agrupados
Cuando los datos se han organizado en una distribución de frecuencias, la
mediana (MD) es el conjunto de n observaciones que se determina mediante la
fórmula:
6
𝑛
− 𝐶𝐹(𝑥𝑚−1 )
𝑀𝐷 = 𝐿𝑚 + 2
(𝑤)
𝐹𝑅(𝑥𝑚 )
Fórmula 6. Mediana. Datos Agrupados
Donde:
𝐶𝐹(𝑥𝑚−1 ) = frecuencia acumulada antes del límite inferior de la clase mediana. (La
clase mediana es la clase que contiene a la mediana)
𝐹𝑅(𝑥𝑚 ) = frecuencia de la clase mediana
𝐿𝑚 = límite inferior de la clase mediana
𝑤 = ancho del intervalo de la clase
n = número de datos (frecuencia total)
MODA
Valor o clase que tiene la mayor frecuencia en un conjunto de observaciones. La
moda puede no existir o no ser única en caso de que exista.
Una distribución con moda única se dice unimodal. Si los datos tienen
exactamente dos modas, se dice que son datos bimodales; si tienen más de dos
modas, son multimodales.
Datos no agrupados
Valor que ocurre con mayor frecuencia en un conjunto de datos.
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Datos agrupados
La moda puede deducirse de una distribución de frecuencias o de un histograma a
partir de la siguiente fórmula:
∆1
𝑀𝑜𝑑𝑎 = 𝐿1 + (
)𝑐
∆1 + ∆2
Fórmula 7. Moda. Datos Agrupados
Donde:
𝐿1 = límite inferior de la clase modal (clase que contiene a la moda)
∆1 = exceso de la frecuencia modal sobre la de la clase inferior inmediata
∆2 = exceso de la frecuencia modal sobre la clase superior inmediata
𝑐 = ancho del intervalo de clase modal
RELACIÓN EMPÍRICA ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODA
Para curvas de frecuencia unimodales que sean poco asimétricas se tiene la
siguiente relación empírica:
Media – Moda = 3(media – mediana)
Fórmula 8. Relación empírica entre media, mediana y moda
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Las siguientes figuras indican las posiciones relativas de la media, la mediana y la
moda
para
curvas
de
frecuencia
asimétricas
a
derecha
e
izquierda,
respectivamente. Para curvas simétricas, los tres valores coinciden.
MEDIA GEOMETRICA
Es la raíz n-ésima del producto de un conjunto de n números positivos x1, x2, x3,…,
xn.
𝐺 = 𝑛√𝑥1 𝑥2 𝑥3 … 𝑥𝑛
Fórmula 9. Media Geométrica
9
MEDIA ARMONICA
Es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de un conjunto de
números x1, x2, x3,…, xn.
𝐻=
𝑛
1
∑
𝑥
Fórmula 10. Media Armónica
CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES
Si un conjunto de datos está ordenado por magnitud, el valor central (o la media
de los dos centrales) que divide al conjunto en dos mitades, es la mediana.
Aquellos valores que dividen al conjunto en cuatro partes iguales denotados como
Q1, Q2, Q3 se llaman primer, segundo y tercer cuartiles, respectivamente. El Q2
coincide con la mediana.
Los valores que dividen a los datos en 10 partes iguales se llaman deciles y se
denotan como D1, D2, …, D9.
Los valores que dividen a los datos en 100 partes iguales se llaman percentiles y
se denotan por P1, P2, …, P99.
El 5º decil y el 50º percentil coinciden con la mediana. Los 25º y 75º percentiles
coinciden con el primer y tercer cuartiles.
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Para calcular el p-ésimo percentil se aplica el siguiente método:
Paso 1
Ordene los datos de manera ascendente
Paso 2
Calcule un índice i
𝑝
)𝑛
100
𝑖= (
Donde:
p = es el percentil de interés
n = es la cantidad de observaciones
Paso 3
a) Si i no es entero, se redondea. El valor entero inmediato mayor
que i indica la posición del p-ésimo percentil.
b) Si i sí es entero, el p-ésimo percentil es el promedio de los
valores de los datos ubicados en los lugares i e i+1
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RESUMEN
Una medida de tendencia central es el valor típico o representativo de un conjunto
de datos que suele situarse hacia el centro del conjunto de datos ordenados por
magnitud. Este valor puede obtenerse para datos agrupados (distribuciones de
frecuencias) o no agrupados (que están ordenados de acuerdo a su magnitud).
Las diferentes medidas de tendencia central que se utilizan son: media aritmética
o media, mediana, moda, media geométrica, media armónica, y unas medidas
afines a la mediana son los percentiles, cuartiles y deciles.
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REFERENCIAS
Chao, L. L. (1997). Introducción a la Estadística. D. F, México: Compañia Editorial
Continental, 1985
Spiegel, M. R. (1991). Estadistica (2da ed.). D. F, México: McGraw Hill.
Stevenson, W. J. (1981). Estadística para administración y economía. D. F,
México: Harla.
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