Problemas_propuestos_cinematica

PROBLEMAS PROPUESTOS DE CINEMÁTICA
1. Suponga que una partícula que se mueve en tres dimensiones tiene un vector de posición
dado por 𝑟𝑟⃗ = (4 + 2𝑡𝑡)𝚤𝚤⃗ + (3 + 5𝑡𝑡 + 4𝑡𝑡 2 )𝚥𝚥⃗ + (2 − 2𝑡𝑡 − 3𝑡𝑡 2 )𝑘𝑘�⃗, donde la distancia se mide en
metros y el tiempo en segundos. (a) Encuentre el vector velocidad instantánea. (b) Encuentre
el vector aceleración instantánea. ¿Cuáles son el módulo y la dirección de la aceleración?
Solución: (a) 2𝚤𝚤⃗ + (5 + 8𝑡𝑡)𝚥𝚥⃗ − (2 + 6𝑡𝑡)𝑘𝑘�⃗; (b) 8𝚥𝚥⃗ − 6𝑘𝑘�⃗; módulo = 10 m/s2; dirección: 37º abajo
del eje y, en el plano x-z.
2. En el caso de veredicto más cerrado para una carrera de esquí de fondo, el ganador de la
carrera llegó a la línea de meta una centésima de segundo por delante de su competidor más
cercano. Si ambos se estaban moviendo a una rapidez de 6 m/s, ¿Cuál fue la distancia entre
ellos al final? Solución: 0,06 m.
3. El animal terrestre más veloz es el guepardo, que corre con una rapidez de hasta 101 km/h.
El segundo animal más rápido es el antílope, que alcanza una rapidez de hasta 88 km/h. (a) Si
el guepardo comienza a perseguir al antílope con una desventaja de 50 m, ¿Cuánto tardará en
alcanzarlo? ¿Qué distancia habrá recorrido el guepardo en este momento? (b) El guepardo
puede mantener su velocidad máxima sólo durante unos 20 s (y luego tiene que descansar),
mientras que el antílope puede seguir a rapidez máxima durante mucho más tiempo. ¿Cuál es
la máxima ventaja de salida que el guepardo puede conceder al antílope? Solución: (a) 14 s,
380 m; (b) 72 m.
4. La posición de un corredor en función del tiempo es x=4,0 t - 0,50 t2, donde x está en metros
y t en segundos. ¿Cuál es la rapidez promedio entre t=0 y t=8,0 s? (Sugerencia: Encuentre el
valor máximo de x para determinar cada una de las distancias hacia delante y hacia atrás).
Solución: 2 m/s.
5. Una mensajera lleva un paquete 12 cuadras hacia el norte en 14 min 5 s. Ahí recibe un
segundo paquete, que lleva seis cuadras al sur en 6 min 28 s. Finalmente, recibe un tercer
paquete que lleva tres cuadras al norte en 3 min 40 s. Si cada cuadra mide 81 m, ¿cuál es su
rapidez promedio? ¿Cuál es su velocidad promedio? Solución: 1,2 m/s; 0,5 m/s.
6. La aceleración de una partícula que se mueve en una dimensión durante el intervalo de
tiempo comprendido entre 0,0 s y 10,0 s viene dada por a = (0,2 m/s3) t. La dirección +x es
hacia la derecha. Inicialmente, la partícula tiene una velocidad de 9,5 m/s hacia la derecha y se
encuentra a 5,0 m a la izquierda del origen. Determinar la velocidad media en el intervalo de
tiempo considerado y compararla con el valor medio de las velocidades instantáneas al inicio y
al final. ¿Son las dos medias iguales? Explicar. Solución: 13 m/s y 15 m/s. La diferencia se debe
a que la aceleración no es constante.
7. En una clase de laboratorio, con el objetivo de determinar la aceleración de caída libre de
los cuerpos, se monta un dispositivo experimental con dos células fotoeléctricas (Nota: Las
células fotoeléctricas nos han de resultar familiares, ya que están presentes en la vida
cotidiana como en las puertas de algunas tiendas o como sistema de vigilancia que accionan
un timbre cuando alguien cruza el haz de luz que las conecta). Una célula se coloca en el borde
de una mesa de 1,0 m de altura y la otra 0,50 m exactamente debajo. Se suelta una canica
desde el borde de la mesa de modo que, cuando pasa por la primera célula, pone en marcha
un reloj y, cuando pasa por la segunda, lo para. (a) Probar que el valor de la aceleración de
caída libre, g, se determina mediante la expresión gexp = (2Δy)/(Δt)2, donde Δy es la distancia
vertical entre las células fotoeléctricas y Δt es el tiempo medido por el cronómetro. (b) ¿Qué
valor de Δt se espera medir, suponiendo para gexp el valor estándar (9,81 m/s2)? (c) Durante el
experimento, un estudiante poco cuidadoso coloca la primera célula 0,50 cm por debajo de la
mesa, mientras la segunda fotocélula está bien situada a 0,5 m sobre el suelo. Sin embargo, la
canica se suelta a la misma altura en que se soltó cuando la célula estaba exactamente a 1,00
m del suelo. ¿Qué valor de gexp obtendrá? ¿Qué porcentaje de diferencia habrá entre el valor
obtenido y el valor obtenido y el valor común de esta magnitud? Solución: (b) 0,452 s; (c) 12,0
m/s2, 22,3%.
8. Un coche de policía pretende alcanzar a un coche que marcha a 125 k/m. La velocidad
máxima del coche policía es de 190 km/h y arranca desde el reposo con aceleración constante
de 8,0 km/h · s, hasta que su velocidad alcanza los 190 km/h y luego prosigue con velocidad
constante. (a) ¿Cuándo alcanzará al otro coche si se pone en marcha al pasar junto a él? (b)
¿Qué espacio habrán recorrido entonces ambos coches? (c) Hacer un gráfico de x(t) para cada
coche. Solución: (a) 35 s; (b) 1,2 km.
9. Una bola A se suelta desde lo más alto de un edificio de altura h en el mismo instante en que
otra bola B se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo. Cuando las bolas chocan, ambas
se mueven en el mismo sentido y la velocidad de A es 4 veces la velocidad de B. ¿En qué
fracción de la altura del edificio ocurre el encuentro? Solución: h/3.
10. Un tren sale de una estación con una aceleración de 0,40 m/s2. Una pasajera llega
corriendo al andén 6,0 s después de que el tren haya iniciado la marcha. ¿Cuál es la velocidad
constante mínima con que debe correr la pasajera para poder alcanzar al tren? Dibuje un
esquema de las curvas del movimiento del tren y de la pasajera en función del tiempo.
Solución: 4,8 m/s.
11. Algunos elatéridos (insectos coleópteros) pueden proyectarse verticalmente por sí mismos
con una aceleración de unos 400g (un orden de magnitud superior al que un ser humano
puede resistir). Los elatéridos saltan “desdoblando” sus patas, que tienen una longitud
aproximada de d= 0,6 cm. (a) ¿Hasta qué altura pueden saltar? (b) ¿Cuánto tiempo
permanecen en el aire? (Suponer la aceleración constante mientras está en contacto con el
suelo y despreciar la resistencia del aire). Solución: (a) 2,4 m; (b) 1,4 s.
12. En el instante t = 0 se deja caer una piedra desde un acantilado sobre un lago. En t = 1,6 s
otra piedra se lanza desde el mismo punto con una velocidad inicial de 32 m/s hacia abajo.
Sorprendentemente, ambas piedras chocan con el agua al mismo tiempo. Determinar la altura
del acantilado.
13. Al frenar en seco, un automóvil tiene una desaceleración máxima de unos 7 m/s2. El
tiempo de reacción típico para aplicar los frenos es de 0,5 s. Un cartel indica que la velocidad
límite en una zona escolar debe cumplir la condición de que todos los coches puedan
detenerse en una distancia de frenado de 4 m. (a) ¿Qué velocidad máxima puede alcanzar en
esa zona un automóvil? (b) ¿Qué fracción de los 4,0 m corresponde al tiempo de reacción?
Solución: (a) 19 km/h; (b) 0,6.
14. En un experimento en clase (experiencia de cátedra) un cuerpo se desliza a lo largo de una
pista de aire inclinada sin rozamiento con una aceleración constante a. Se le impulsa desde el
origen de la pista (x = 0) con una velocidad inicial v0. En el instante t = 8,0 s se encuentra en
x = 100 cm y se mueve a lo largo de la pista con una velocidad v = - 5 cm/s. Determinar la
velocidad inicial v0 y la aceleración a. Solución: 30 cm/s, - 4,4 cm/s2.
15. Se ha diseñado un cohete para tomar muestras de la polución de la atmósfera. El cohete se
lanza verticalmente hacia arriba con una aceleración de 20 m/s2. Al cabo de 25 s, el
combustible se agota y el cohete continúa como una partícula libre hasta que alcanza el suelo.
(La resistencia del aire es despreciable.) Se quiere obtener una muestra de aire a una altura de
20 km. (a) ¿Llegará el cohete a esa altura? (b) Determinar el tiempo total que el cohete está en
el aire. (c) Calcular la velocidad del cohete justo antes de chocar con el suelo. Solución: (a) No;
(b) 138 s; (c) 610 m/s.
16. Un tornillo se desprende del fondo exterior de un ascensor que se mueve hacia arriba a la
velocidad de 6,0 m/s. El tornillo alcanza el fondo del hueco del ascensor en 3,0 s. (a) ¿A qué
altura estaba el ascensor cuando se desprendió el tornillo? (b) ¿Qué velocidad tiene el tornillo
al chocar contra el fondo del hueco del ascensor. Solución: (a) 26 m; (b) 23 m/s.
17. En el interior de su coche en movimiento, un conductor lanza una naranja verticalmente
hacia arriba. El lanzamiento se inicia a la altura del pecho y la altura máxima que alcanza es
justamente la altura del techo, es decir, 65 cm por encima de la altura de lanzamiento. El
conductor atrapa la naranja a la misma altura que lo lanzó. Usted es un peatón que mide la
distancia entre los puntos de lanzamiento y captura, obteniendo 19 m. (a) ¿A qué velocidad se
mueve el coche? (b) Desde su sistema de referencia ¿Con qué ángulo respecto del eje
horizontal fue lanzada la naranja? (a) 26 m/s; (b) 7,8°.
18. Una pequeña bola de acero se lanza horizontalmente desde la parte superior de una
escalera de escalones rectangulares. La velocidad inicial de la bola es de 3 m/s. Cada escalón
tiene 0,18 m de altura y 0,3 m de ancho. ¿Con qué escalón chocará en primer lugar? Solución:
Con el cuarto.
19. Un avión A vuela hacia el Este con una velocidad de 400 km/h. Directamente por debajo, a
una distancia de 2 km, un avión B vuela hacia el Norte a 700 km/h. Calcular la velocidad
relativa del avión B respecto de A. Solución: 806 km/h; 60,3° Noroeste.
20. Imagine que para las pruebas de piloto es preciso resistir una aceleración de hasta cinco
veces la de la gravedad (es decir, debe estar consciente y alerta como para pilotar). Durante el
transcurso de unas maniobras, se solicita a un piloto que realice un círculo horizontal a una
velocidad de 3.000 km/h. (a) ¿Cuál es el radio más pequeño del círculo que puede describir de
forma segura? (b) ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer la mitad del círculo? Solución: 14 km; 53
s.
21. Si una bala que sale por la boca del arma a 250 m/s ha de chocar contra un blanco situado
a 100 m de distancia a la misma altura que el arma (1,7 m sobre el nivel del mar), ésta debe
apuntar a un punto por encima del blanco. (a) ¿Qué distancia debe haber entre el blanco y
este punto? (b) ¿A qué distancia por detrás del blanco caerá la bala al suelo? (Despreciar la
resistencia del aire). Solución: (a) 0,785 m; (b) 105 m.
22. Un pequeño avión sale del punto A y se dirige a un aeropuerto en el punto B, a 520 km en
dirección Norte. La velocidad del avión respecto al aire es de 240 km/h y existe un viento
uniforme de 50 km/h que sopla del Noroeste al Sureste. Determinar el rumbo que debe tomar
el avión y el tiempo de vuelo. 8,5° Noroeste; 2,57 h.
23. La Tierra gira respecto de su propio eje cada 24 horas, de modo que los cuerpos que se
hallan en su superficie describen un movimiento circular uniforme respecto de su eje con un
periodo de 24 horas. Considere únicamente el efecto de esta rotación sobre una persona en la
superficie (Ignorar el movimiento orbital de la Tierra alrededor del Sol). (a) ¿Cuáles son el
módulo de la velocidad y el módulo de la aceleración de una persona que se encuentra en el
ecuador? (Expresar el resultado en función de g). (b) ¿Cuál es la dirección del vector
aceleración? (c) ¿Y si la persona se halla a 35º de latitud Norte? (d) ¿Cuál es el ángulo que
forman los vectores aceleración de la persona en los apartados (b) y (c)? Solución: (a) 463 m/s;
0,343% de g; (b) Desde la persona al centro de la Tierra; (c) 380 m/s; 2,76x10-2 m/s2; (c) cero.
24. (a) ¿Cuánto valen el periodo y el módulo de la velocidad de una persona en un carrusel si el
módulo de su aceleración es de 0,8 m/s2 cuando se encuentra a una distancia de 4 m del eje?
(b) Si la persona se sitúa a 2 m del eje y el carrusel sigue girando con el mismo periodo,
¿Cuánto valen los módulos de la velocidad y de la aceleración? Solución: (a) 14 s; 1,8 m/s (b)
0,89 m/s; 0,40 m/s2.
25. En t = 0, una pequeña partícula parte del origen con componentes de rapidez inicial v0x = 10 m/s y v0y = 25 m/s. En todo su movimiento, la partícula experimenta una aceleración dada
por 𝑎𝑎⃗ = (2𝚤𝚤⃗ − 4,5𝚥𝚥⃗) m/s. Encuentre la velocidad y el vector posición de la partícula en t = 3 s.
Solución: 12 m/s; 𝑟𝑟⃗ = (−21𝚤𝚤⃗ + 55𝚥𝚥⃗) m.
26. La Tierra se mueve alrededor del Sol en una trayectoria circular de 1,5x1011 m de radio, con
rapidez uniforme. ¿Cuál es el módulo de la aceleración centrípeta de la Tierra hacia el Sol?
Solución: 5,9x10-13 m/s2.
27. Una ultracentrífuga hace girar un pequeño tubo de ensayo en un círculo de 10 cm de radio
a 1.000 revoluciones por segundo. ¿Cuál es la aceleración centrípeta del tubo de ensayo? ¿A
cuántas g estándar equivale esto? Solución: 3,95 m/s2; 4x105 g.
28. Un acorazado que navega a 13 m/s hacia la costa hace un disparo hacia adelante. El ángulo
de elevación del cañón es de 20º y la rapidez inicial del disparo es de 660 m7s. ¿Cuál es el
vector velocidad del disparo en relación con la costa? Solución: (633𝚤𝚤⃗ + 226𝚥𝚥⃗) m/s.
29. Mientras un tren avanza a 5,00 m/s, usted ve un gato sobre uno de los vagones de la
plataforma. El animal camina hacia la parte trasera del tren con una rapidez de 0,50 m/s
relativa al vagón. Hay una pulga sobre el gato que se mueve del cuello a la cola del gato con
una rapidez constante de 0,10 m/s relativa al gato. ¿Cuál es la rapidez de la pulga en relación
con usted? Solución: 4,60 m/s.
30. La posición de un móvil en función del tiempo está dada por x = 3 sen t; y = 3 cos t; z = kt.
Hallar: (a) Módulo, dirección y sentido de la velocidad y la aceleración para t = π/2; (b) La
aceleración normal del móvil en ese mismo instante; (c) ¿Qué distancia habrá recorrido
durante ese tiempo? Solución: (a) v = (0, - 3, k); a = (- 3, 0, 0); (b) (- 3, 0, 0); (c) (π/2) (9 + k2)1/2.