PROYECTO 2 - Hypatia CUCEI

SEMINARIO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS II 1
PROYECTO 2
PROYECTO 2
PROBLEMA 4
Tema: Derivadas parciales, diferencial total
I. La fórmula de Dubois relaciona el área corporal de una persona, 𝑠, en 𝑚2 , con el peso,
𝑤, en 𝑘𝑔 y la altura, ℎ, en 𝑐𝑚, mediante
𝑠 = 𝑓(𝑤, ℎ) = 0.01𝑤 0.25 ℎ0.75
1. Encuentre
a) 𝑓(65,160)
b) 𝑓𝑤 (65,160)
c) 𝑓ℎ (65,160)
2. Interprete sus respuestas en términos del área corporal, la altura y el peso.
II. Demuestre que las funciones dadas satisfacen la ecuación de calor (donde 𝑐 > 0)
𝜕𝑧
𝜕 2𝑧
= 𝑐2 2
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝑥
a) 𝑧 = 𝑒 −𝑡 sin ( 𝑐 )
𝑥
b) 𝑧 = 𝑒 −𝑡 cos (𝑐 )
III. ¿Existe alguna función 𝑓 que tenga las siguientes derivadas parciales? Si es así, ¿cuál
es? ¿Hay algunas otras?
𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 4𝑥 3 𝑦 2 − 3𝑦 4
𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 2𝑥 4 𝑦 − 12𝑥𝑦 3
IV. La potencia eléctrica viene dada por 𝑃 =
𝐸2
𝑅
, donde 𝐸 es el voltaje y 𝑅 la resistencia.
Aproximar el máximo porcentaje de error posible al calcular la potencia para un voltaje de
200 voltios y una resistencia de 4000 ohmnios, si los posibles errores en las medidas de 𝐸
y 𝑅 son 2 por 100 y 3 por 100, respectivamente.
SEMINARIO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS II 2
PROYECTO 2
PROBLEMA 5
Tema: Regla de la cadena, derivada direccional y vector gradiente
I. Dadas las siguientes ecuaciones paramétricas de las trayectorias de dos proyectiles, ¿a
qué velocidad o ritmo cambia la distancia entre los dos objetos en el valor de 𝑡 = 1?
Primer objeto
𝑥1 = 48√2𝑡
𝑦1 = 48√2𝑡 − 16𝑡 2
Segundo objeto
𝑥2 = 48√3𝑡
𝑦2 = 48𝑡 − 16𝑡 2
II. La temperatura en un punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) está dada por
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 200𝑒 −𝑥
2 −3𝑦 2 −9𝑧 2
donde 𝑇 se mide en °𝐶 y 𝑥, 𝑦, 𝑧 en metros.
a) Determine la razón de cambio de la temperatura en el punto 𝑃(2, −1,2) en la
dirección hacia el punto (3, −3,3).
b) ¿En qué dirección la temperatura se incrementa más rápido en 𝑃?
c) Encuentre la razón máxima de incremento en 𝑃.
PROBLEMA 6
Tema: Valores máximos y mínimos, y multiplicadores de Lagrange
I. Determine las dimensiones de la caja rectangular con el mayor volumen si el área
superficial total es de 64 𝑐𝑚2 .
II. Suponga que la temperatura 𝑇 en la placa circular {(𝑥, 𝑦): 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1} está dada por
𝑇 = 2𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑦. Determine los puntos más caliente y más frío en la placa.
III. Determine los volúmenes máximo y mínimo de una caja rectangular cuya área
superficial es de 1500 𝑐𝑚2 y cuyo largo total es de 200 𝑐𝑚.