Ejercicios Aritmética - Álgebra Elementos de Aritmética Operaciones aritméticas con números racionales

Ejercicios Aritmética - Álgebra
Elementos de Aritmética
Operaciones aritméticas con números racionales
1. Simplifica las siguientes fracciones:
1.440
a) 4.200
3.003
b) 264
c)
128
1.024
2. Escriba como decimal finito ó infinito periódico:
a)
1
3
b)
9
10
c)
10
9
d)
35
8
3. Escriba como fracción:
a) 0,7777...  0.7
d) 1,4142
c) 0,125634634
...  0,125634
f)  14,05
b) 0,1232323...  0.123
e) 423,0121212...  423,012
h) 0,003
g) 3,175
i) 2,03333...  2.03
4. Efectúe la operación y escriba su resultado en forma simplificada:
a) 2 
c)
1  1  1 1 
 1    
1 1 3 3  2  2 3 
3  
2 2 4
2
5 6 1
. .
2 7 5
2
5
6
3
e) 4
4
1
5
 5

g) 3  4  2(8  10) 

 7
b)
3 3 4 7
  
2 4 5 3
d)
2
4 2
 3.    16
7
5 9
f)

5
9
 3    3  
3
2

3
5  2 7
h)  4   4      
2
3  3 9 
i)
54 1 2 7
4     
23 7 3 8
2
k) 7
4
5
1 2 4
1 3
m)  :  2.  
5 5 7
6 4
3 
3
1
o)
 2    4(3  )
2 
2
2
j)

1 
1 1
2
1 
2
4 
*
1 1
4 3

 1 2 *   
 2 3 
2
l)

11  1 1  3
*   
13  4 2  26
3 
3  7 2
 2 4      
2 
5  2 9
2
13
p)
3
1
- 1+
2
3
n) 
Razones y proporciones
5. Resolver el problema:
a) 50 hombres tienen provisiones de víveres para 20 días a razón de 3 raciones diarias. Si las
raciones se disminuyen en 1/3. ¿Cuántos días durarán los víveres si se aumentan 10
hombres?.
b) Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m 3 de capacidad.
¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?
c) 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6
días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300
m de largo por 56 m de ancho en cinco días?
d) 5 máquinas embotelladoras envasan 7200 litros de aceite en una hora. ¿Cuántos litros
envasarán 3 máquinas en dos horas y media?
e) 12 obreros trabajando 8 horas diarias terminan un trabajo en 25 días. ¿Cuánto tardarán en
hacer ese mismo trabajo 5 obreros trabajando 10 horas diarias?
f) Se han pagado $144000 a 24 obreros que han trabajado 8 días de 8 horas diarias. ¿cuánto
se abonará en las mismas condiciones, a 15 obreros que deben trabajar 12 días a razón de 9
horas por día?
g) Un ciclista marchando a 12 km por hora recorre en varias etapas un camino empleando 9
días a razón de 7 horas por día. ¿a qué velocidad tendrá que ir si desea emplear sólo 6 días
a razón de 9 horas diarias?
h) Una pileta se llenó en 3 días dejando abiertas 2 canillas que arrojan 20 litros por hora,
durante 6 horas diarias. ¿cuántos días se precisarán para llenar la misma pileta si se dejan
abiertas, durante 5 horas diarias, 4 canillas que arrojan 18 litros por hora?
i) Si 24 obreros pueden finalizar un trabajo en 46 días trabajando 7 horas diarias. ¿cuántos días
emplearán si se aumenta en un 75% el número de obreros y trabajan 8 horas diarias?
j) Cuatro máquinas que fabrican latas para envase, trabajando 6 horas diarias, han hecho
43200 envases en 5 días. Se detiene una de las máquinas, cuando faltan hacer 21600
envases, que deben ser entregados a los 2 días. ¿cuántas horas diarias deben trabajar las
máquinas que quedan para cumplir el pedido?
k) Trabajando 8 horas diarias 6 hombres han hecho 40 metros de un muro en 12 días ¿cuantos
días necesitan 4 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la misma obra?
6. Porcentajes
a) En un salón de clases el número de hombres equivale al 80%del total, si se retiran el 20% de
los hombres, ¿Qué porcentaje del resto son mujeres?
b) Para fijar el precio de un artículo se aumentó su costo en 50% del 40% de dicho precio. Si al
venderse se hizo una rebaja del 10% de este precio fijado, ¿qué tanto por ciento del costo se
ganó?
c) El número de artículos que se pueden comprar con una suma de dinero aumentaría en 5, si
se variase en 20% el precio de compra de cada artículo. ¿Cuál es dicho número de artículos?
d) Una persona gasta el 20% del que tiene, luego el 30% de lo que le queda y por último gasta el
40% del nuevo resto, quedándose con tan sólo $33600 ¿Cuánto tenía al principio?
e) Un trabajador observa que su salario ha sido descontado en un 20%. ¿Cuál debe ser el
porcentaje de aumento para que reciba su salario original?
f) Un comerciante compra un artículo de $8000. ¿Cuál debe ser el precio a que debe fijarlo para
que rebajando el 20% de este precio aún gane el 30% del precio de costo?
g) Un novato comerciante quiere vender un objeto aumentando su precio en un 20%, pero luego
de unos días rebaja este precio en un 10% y a la semana nuevamente aumenta el precio
recién fijado en un 40%, decidiendo al día siguiente rebajar un 20% de este último precio.
¿este comerciante está ganando o perdiendo? ¿ qué porcentaje?
h) Una fábrica aumenta en un 20% el precio de venta de sus artículos debido al costo de vida
¿en qué porcentaje disminuyen sus ventas si su ingresos se incrementaron en un 8%?
i) Una persona pagó dos facturas; por la 1era. Pagó $845000, luego de que le hicieran el 35%
de descuento, por la 2da. pagó $1400000 en la cual le recargaron el 12%. ¿Cuánto ahorró o
pagó de recargo en total?
j) Un rectángulo tiene una base de 12 cm y altura de 3cm. Si la base disminuye en un 4% y su
altura aumenta en un 5%, ¿en qué porcentaje varía su área?
k) En un encuentro deportivo que reúne a 750 atletas, el 30% de los participantes son
americanos, el 18%asiáticos, el 16%africanos, y el resto europeos. ¿Cuántos atletas europeos
participan en el encuentro?
l) El promedio de las edades del 40% de los asistentes a una reunión es 40 años, el promedio
del 25% del resto es de 28 años, ¿cuál debe ser el promedio del resto de personas, si todos
los asistentes en promedio tienen 31 años?
Potenciación, radicación y racionalización
7. Efectúa las operaciones indicadas y escribe las respuestas en la forma más simple posible:
a)
1__ - __1__  2x2 - x - 1
1 - x-1 1 + x-1
2x
1/n
b)
c)
9(𝑛+1)/4 . √3. 3𝑛
3 .√3−𝑛
3n+4 - 6. 3n +1
7 . 3n+2
.
d)
3 . 2n - 4. 2n -2
2n- 2n -1
e)
16n+1 + 22n +3 + 8√2
24n+1 + 4n + √2
f)
2 . 9n+1/2 + 32n +1 - 9
(3n + 1) (9n/2 - 1)
-1
g)
2𝑛+1
(2𝑛 )n-1
÷
4𝑛+1 ____
(2𝑛−1 )n+1
h)
(𝑚 + 𝑛)−1 - (𝑚 − 𝑛)−1
(𝑚 + 𝑛)−1 + (𝑚 − 𝑛)−1
_1_
2m -1
i)
xm_
x2m-1
j)
n
k)
l)
m)
n)
o)




__4𝑛 . 6____
4
+ 24𝑛+1
2𝑛+1
pq 

p  q 
pq 
pq 
𝑛
1−𝑥 𝑛
+
1
 p



p 2  q 2 

p

1
𝑛
1−𝑥 −𝑛
𝑥 4𝑚 - 𝑥 4𝑛
𝑥 2𝑚 + 𝑥 2𝑛
𝑛
𝑛
√𝑥 3𝑛+2  √𝑥 2𝑛+2
𝑛
4
2
𝑛
𝑛
1/n
+ 8
+ 4𝑛
p)
10𝑥+𝑦 . 10𝑦−𝑥 . 10𝑦+1
10𝑦+1 . 102𝑦
q)
(𝐴 − 𝐵)1/3 . √𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵2
3
√𝐴2 − 𝐵2 . (𝐴 + 𝐵)−2/3
r)
(𝑥 2𝑘 -𝑦 2𝑘 )𝑦𝑥 2𝑘+1 - 𝑥𝑦 2𝑘+1
𝑦𝑥 𝑘+1 +𝑥𝑦 𝑘+1
3
s)
Demuestre que:
2n+3 - 2n + 7 = 7
2n+1 - 2n + 1
8. Racionalice las fracciones siguientes:
a) √2 - √5 - √7
√2 + √5+√7
e) _______1______
3
3
√𝑥 2 + 3√𝑥𝑦 + √𝑦 2
i)
l)
b)
f) _
𝑥−8
√𝑥 − 2𝑥 − 16𝑥
c)
2
√2𝑥 2 √3- √5
___5___
(6 + √6 )
g)
4
𝟕_____
5√𝑥 - 2√𝑎
3
__2_
3
2 - √3
j) ___y___
√𝑦 + 1– 1
m) 4 − √𝑥
35 − 2√6
q)
n)
3
k)
4
__
√𝒙 + 2√2𝑥 − √𝑥
𝟑
o)√𝑥 + 2 − 5
2√2
3
√𝑥 2 + 3√𝑥𝑦 + √𝑦 2
2√𝑎 − √𝑏
9. Factorice completamente sobre ℂ los siguientes polinomios:
b) x2–6x+ y2 - 6y + 2xy + 9
c) x2 + 7x + y2 - 7y - 2xy - 8
d) 16 – 16x3 - n4 + n4x3
e)m3 - mn2 + m2n - n3+m2 - n2
f)y6 – 7y3 - 8
g) 4 – 2x + x2 - 8 - x3
h)a2 + 6bx – 9b2 x2 - 10ab + 25b2 - 1
i) 2x3 + 16 Rta: 2(x + 2) (x2 – 2x + 4)
j) x3 + 3x2 + 3x + 1 –a3
h) 2𝑎 − 3𝑏 − √𝑎𝑏
2√𝑎 − √𝑏
___1_
__
√8 + 𝑥 − √8
Polinomios, Productos notables y factorización
a) x2 - 6x - 7 - y2 - 8y
___2√𝑚_____
√𝑚 + 3 √𝑛
d)
p)
3
4 − √𝑥
3
+ 3√𝑥𝑦 + √𝑦 2
√𝑥 2
k) 4x2 -12xy + 9y2 +4x - 6y - 3
l)x2 + nx + 11n + 4x -2n2 - 5
m) a2x2 + 3ax2 + 2x2 + a2 - b2 + 2a2x + 3ax – bx
n) x2(n-1)- 5xn-1 + 6
o) x4n + 4
p) x4+ 2x2y2 +9y4
q) 49x2 - 77x +30
r) 125x3 - 225x2 + 135x – 27
s)2x3 - 5x2 + x + 2
t) -x4-y4-z4+ 2x2y2 + 2y2z2 + 2x2z2
u)x2 - 8xy– 2xz + 16y2 +8yz – 15z2
v) (m2 - 3m + 2)x2 + (2m2 – 4m + 1) x + m (m- 1)
w) x6- 64
x+2
El polinomio cuadrático
10. Dada la ecuación:
8x2 – ( k– 1 ) x + k – 7 = 0, qué valores se deben dar a k para que las raíces sean:
a) reales e iguales
b) recíprocas
c) una de ellas 0
11. Encuentra los valores de k en las ecuaciones para que se satisfaga la condición que se indica:
a) 2x2 – kx+ 8 = 0, tiene raíces complejas
b) 2x2 + ( 4 – k ) x– 17 = 0, tiene raíces iguales en valor absoluto
c) 4x2 – 3x+ k = 0, tiene raíces cuya diferencia es 3
d) kx2 + (3k – 4)x- 5 = 0, tiene una raíz = ½
e) kx2 + 6x + 32 = 0, tiene raíces cuya suma es -2
f) (k – 2) x2 – 5x+ 2k = 0, tiene raíces cuyo producto es 6
g) (k + 4) x2 – 1 = (2k + 2 ) x – k tiene raíces iguales.
h) 2x2 + 3kx- 9 = 0, tiene raíces reales
i) 4x2 - 3x+ k = 0, tiene raíces cuya diferencia es 3.
j) x 2 − kx + 36 = 0 tiene raíces iguales.
k) kx2–(1+k)x + 3k + 2 = 0, la suma de sus raíces sea igual al doble de su producto.
l) (x + k)2 = 2 – 3k, tiene raíces iguales
m) 2kx2 – 4kx + 5k = 3x2 + x – 8, el producto de sus raíces es igual al doble de su suma
n) k(x2 + 3x – 9) = x – x2, las raíces sean iguales y de signo contrario.
o) 4x2 – 8x + 2k – 1 = 0, una de las raíces sea igual al triple de la otra.
p) (2k + 1) x2 – 4kx = 1 – 3k, las raíces sean iguales.
12. Al multiplicar dos números enteros, uno de los cuales es 10 unidades mayor que el otro, un
estudiante cometió un error disminuyendo en 4 la cifra de las decenas en el producto. Al
dividir (para comprobar el resultado) el producto obtenido por el menor de los factores obtuvo
como cociente 39 y residuo 22. Encuentre los factores.
13. El producto de un número de dos dígitos y el número obtenido al intercambiar sus dígitos es
736. Si la diferencia de los dos números es 9, encuentra los números
14. Un hombre es 5 veces tan viejo como su hijo, y la suma de los cuadrados de sus edades es
2106. Encuentre sus edades.
15. Un avión despega de un portaviones y vuela hacia el occidente durante 2 horas a razón de
600km/h. Después regresa a 500km/h. Mientras tanto, el barco ha viajado hacia el occidente
a 30km/h. ¿A las cuántas horas se encontrarán?.
16. Una lancha tarda 1 hora más en viajar 24 km contra la corriente de un río que en el viaje de
regreso.
Si la lancha tiene una velocidad de 10km/h en aguas tranquilas, ¿Cuál es la
velocidad de la corriente?
17. El largo de un terreno rectangular es el doble que el ancho. Si el largo se aumenta en 40m y el
al ancho en 6m, el área se duplica. Encuentra las dimensiones del rectángulo.
18. Un prado rectangular de 50m de largo y 34m de ancho, tiene a su alrededor un camino
(exterior) de ancho uniforme; si el área del camino es 864m2, encuentra el ancho del camino.
19. Hallar un número de dos cifras que suman 6 y el producto del invertido con el número es 1008.
20. La diferencia de los cubos de dos números enteros pares consecutivos es 488. Calcularlos.
21. Un rectángulo tiene un lado doble que el otro. Si al mayor se le aumenta en dos unidades y el
menor se disminuye en 2 unidades el rectángulo así obtenido tiene 4 m2 de área más que la mitad
del primer rectángulo. Calcular las dimensiones.
22. Si a los dos términos de 2/3 se les suma cierto número, y a la fracción obtenida se le resta el
mismo número sumado a los términos de la fracción anterior, resulta 2/3. ¿De qué número se
trata?.
Polinomios de grado superior
23. Utiliza la división sintética y el teorema del residuo en cada uno de los problemas:
a) Encuentra p(3) si p(x) = x5 - 4x4 + 9x2 - 8
b) Encuentra p(0) si p(x) = x2 - 1
c) Encuentra p(-1/2) si p(x) = 4x3 - 8x2 - 3x + 3
24. Encuentra los ceros de los siguientes polinomios e indica su multiplicidad:
a) P(x)= (x – 1)2 (x + 2)
b) P(x)= (x – 1)2 (x - 2)4 (x – 1)
c) P(x)= (x2 – 4x + 4) (x2 + 3x – 10)
d) P(x)= (2x – 1)3 (x2 – 6x + 9)2
25. Utiliza el teorema del factor y prueba:
a) x – 6 es factor de x3 - 6x2 + x – 6
b) x – 3 es factor de 8x3 - 25x2 + 12 x – 27
c) x + 2 es factor de x4 + 2x3 - x – 2
d) x + 1 es factor de x25 + 1
26. Encuentra las ecuaciones polinómicas de grado mínimo que tienen como raíces:
a)3, -2
b) ½, -1, 2
c)√3, 1, i
d)2-√3, √2
27. Encuentra todas las raíces, racionales, de cada una de las ecuaciones siguientes:
a)x3+ 3x2 -6x - 8 = 0b)x3-3x2 +6 = 0c) 2x3+ x2 -4x - 3 = 0
d)12x3-16x2 - 5x + 3 = 0
e)2x5- 3x4- 2x + 3 = 0f)x4- 2x2 - 16x - 15 = 0
g)x4 + 4x3- x2- 20x -20 = 0 h)2x3 + 3x2 + 7 = 0
28. Factoriza sobre ℂlos siguientes polinomios:
a)p(x) = x5 - 2x4 + 5x3 - 10x2 - 36x + 72, sabiendo que 2 es una raíz doble y -2 es una raíz
simple de p(x) = 0.
b)p(x) = x3- 4x2- 3x + 18, si 3 es una raíz doble
c)p(x) = x4 + 2x2 + 1, si-i es una raíz doble
d)p(x) = 2x3- 3x2 - 18x - 8, si -1/2 es una raíz simple.
29. Resuelve para x las siguientes ecuaciones:
a) x5 - 8x4 + 15x3 + x2 - 8x + 15 = 0
b) 8x5 - 12x4 + 14x3 - 13x2 + 6x - 1 = 0
30. En los siguientes polinomios, muestre que existe al menos un cero real entre a y b:
a) P(x) = x2 - 3x – 2
a = 3,
b) P(x) = x2 - 3x + 5
a = -3,
c) P(x) = x3 - 3x2 - 3x + 9
b=4
b = -2
a = -2,
b = -1
31. Encuentra la menor cota positiva y la mayor cota negativa para los ceros reales de los
siguientes polinomios:
a) P(x) = x3-2x2+ 3
b)P(x) = x4- 2x3+ 4x + 3
32. Aplica la regla de Descartes y halla toda la información posible acerca de la naturaleza de las
raíces de:
a) 2x3 + 3x2 + 7 = 0
b)2x4 + x2 + 2x - 3 = 0c)x5+ 3x3+ 5x = 0d) 5x3-6x - 4 = 0
e)x3 - x2 - 6x + 6 = 0 f)x4 + 4x3- 2x2-12x- 3= 0g) x5- 3x3+ 2x - 5 = 0