Ecuación de Bernoulli

J.A Monroy
Tema 1) Ecuaciones fundamentales de la hidráulica
1.1) Ecuación de continuidad y definición del gasto
Esta ecuación tiene por objetivo determinar en el tiempo el volumen de agua que hay
en un depósito, en una red de tuberías a presión, en una red de canales, de arroyos
conectados a un rio, en pozos y otros recipientes.
Problema 1.1) De un deposito
(1) se saca agua a través de
una bomba centrifuga para
alimentar a un silo (2) que a
través de la tubería de
descarga alimenta a una red
de agua potable (3).
A las 9:00 el nivel del agua se
encuentra a 7.0m de altura y a
las 9:15 la altura en el silo será
de 9.0m, si el gasto Q2 que
entra por (2) es el doble del
que sale por (3) determine el
valor de Q2 y Q3.
Además, determine la velocidad con la que aumenta el
nivel del agua en el silo (Va).
Resolución: el volumen de agua en el silo (que es un cilindro) es: Vol = Área·altura por
lo tanto:
Vol(9:00) = 1.0m2·7.0m = 7.0m3 y el Vol(9:15) = 1.0m2·7.0m = 9.0m3
Este incremento (Δ) del volumen se obtiene como:
Vol(9:15) = Vol(9:00) + Q2·15minutos – Q3·15minutos
Como 15 minutos = 900s el gasto Q2 y Q3 se obtienen de la siguiente forma:
Q2 – Q3 = [Vol(9:15) - Vol(9:00)]/900s = [9.0 – 7.0m3]/900s = 0.00222m3/s
Como, Q3 = ½·Q2: Q2 – Q3 = Q2 – ½·Q2 = ½·Q2 = 0.00222m3/s y por lo tanto:
Q2 = 0.00444 m3/s y Q3 = 0.00222m3/s
El gasto neto que entra en el silo se calculó como
Q2 – Q3 = QNETO = ΔVol(en 15 minutos)/900 s
y como el área del silo es constante Área = A = 1m2 el incremento del volumen es ΔVol
= Área·(9 – 7m) y entonces
QNETO 
Area  9.0  7.0m 
m
 A  0.00222  A  Va
900s
s
Sobre la base de este ejemplo numérico las formulas generales para cualquier tiempo
Δt y cualquier forma geométrica (no es necesario que sea un cilindro) son las
siguientes:
La ecuación de continuidad o de la conservación de la masa/1
Vol(t + Δt) = Vol(t) + Qentra·Δt – Qsale·Δt
(1.1)
El caso más común de la ecuación (1) es en su aplicación en tuberías a presión o en
canales donde se considera que el tubo siempre tiene la misma cantidad de agua esto
es: Vol(t + Δt) = Vol(t) y por lo tanto se obtiene;
La ecuación de continuidad para un flujo permanente
Qentra = Qsale
(1.2)
La definición del gasto (2 definiciones)
Q
ΔVol(Δt)
Δt
Q = V·A
(1.3)
(1.4)
Problema 1.2) Agua fluye por una tubería de
8 pulgadas que siempre está llena (flujo permanente) a una velocidad de 1.5m/s y al final
se coloca una boquilla de 2 pulgadas, con
estos datos determine cuál es la velocidad
del chorro a la salida de la boquilla (sección
2).
Resolución: como el flujo es permanente (la tubería siempre está llena) el gasto que
entra (Q1) es igual al gasto que sale (Q2) y como Q = V·A se tiene:
Q1 = Q2 = V1·A1 = V2·A2
/1
Para calcular la masa de agua que entra al silo es necesario multiplicar por la ec. (1) por la
densidad del agua que es: ρ = γ/g = (1000 Kg/m3) / (9.81 m/s2 ).
Despejando V2;
V2  V1
A1
A2
(1.5)
Como las áreas son la de un circulo, A = π·D2/4, al eliminar π y 4 se obtiene;
V2 = V1·(D12/D22) = 1.5m/s(8/2)2 = 1.5·16 = 24 m/s
El objetivo de este problema es mostrar la obtención de la ec. (1.5) que es muy
común en los cálculos de los problemas de hidráulica.
Problema 1.3) Tres tuberías (T1, T2 y T3) se unen a través de
una conexión en T, por la tubería 1 fluye un gasto de 10 lts/s
y 6 lts/s se van por la tubería T2, determine cuál es el gasto
en la tubería T3.
El objetivo de este problema es mostrar que la aplicación
de la ecuación de gasto y de continuidad es muy sencilla
en la mayoría de los problemas de hidráulica aplicada.
Tema 1.2) Ecuación de Bernoulli o de la Energía obtenida a través de la
2ª Ley de Newton aplicada al movimiento de un bloque de agua en un
canal de sección rectangular.
Figura 1.1) Corte longitudinal del canal. Bloque de agua entre las
secciones 1 y 2 resbalando por el fondo del canal inclinado un
ángulo θ, impulsado por la diferencia de fuerzas de presión
hidrostática F1 – F2 , la componente del peso del bloque de agua
W·sin(θ) y la Fuerza de fricción Ff que es contraria a la velocidad
del bloque V1 y V2.
Figura 2.2) Corte de la
sección transversal del
canal, con un área de
conducción: A = b·y
La ecuación de Bernoulli es resultado de un análisis de las fuerzas que intervienen en el
movimiento de un bloque de agua a través de un canal/2 como el que se indica en la
Figura 1.1. De acuerdo a la 2ª Ley de Newton la sumatoria de fuerzas en el eje x es la
siguiente:
 Fx   F 1  F 2   Wsen    Ff  m·a  W / g ·a
(1.6)
Si la ec. (1.6) se multiplica por Δx la ecuación de FUERZA se convierte en una ecuación
de TRABAJO (Fuerza x distancia = Newton-metro) y se divide entre el peso del agua W
se obtiene una ecuación de TRABAJO/W por cada Newton de agua cuyas unidades son
Newton-metro/Newton = metros, con esto la ecuación (1.6) resulta;
 F1  F2  Δx
W  Δx  sen  θ   FfΔx W   a g  Δx
donde: a = aceleración = ΔV/Δt = V·ΔV/Δx, V = (V2 + V1)/2, ΔV = V2 – V1, W =
Volumen·γ, Vol = A·Δx = (b·y)Δx, γ = peso especifico del agua = 9,810Nw/m3 =
1000Kg/m3, m = masa = W/g, F la fuerza de presión F = ∫p·dA, p = presión
hidrostática del agua = γ·y y el sen(θ) = (z1 – z2)/Δx, sustituyendo estas
definiciones en la ecuación anterior;
 F1  F2  Δx  Δx  z1  z2  FfΔx   V2  V1 V2  V1  Δx



W
Δx
W

2
 g
Omitiendo el cálculo de la fuerzas de presión (F1 – F2) que es complicado ya que se
requiere de una integración y agrupando las variables con subíndice 1 a la izquierda y
con 2 a la derecha de la igualdad se obtiene la ecuación de Bernoulli o de la Energía;
V12 p2
V22 Ff x
p1
 z1 
  z2 

γ
2g γ
2g
W
Tipo de Fuerza en la 2ª Ley de
Newton y su símbolo en la
Figura 2.1. Unidades Newton
Fuerza
De presión
Peso del agua
De fricción
De inercia
formula
F1 – F2
W·sin(θ),
Ff
m·a
(1.7)
Tipo de energía en la Ecuación de
Bernoulli y su símbolo. Unidades
Nwt-mt/Nwt = metros.
Energía
De Flujo
Potencial
Trabajo negativo
Cinética
formula
(p1 – p2)/γ
z1 – z2
Ff·Δx/W = h12
(V22 – V12)/2g
Figura 1.2) Tabla de equivalencias entre la ecuación de la 2ª Ley de Newton (1.6) multiplicada
por Δx/W y la ecuación de Bernoulli o de la Energía.
/2
Una demostración más general se obtiene del análisis de un bloque de tamaño diferencial moviéndose a través de una línea de corriente, sin embargo, este análisis tiene la desventaja de ser un tanto
abstracto (el bloque diferencial es una figura abstracta) por esto es preferible referirse a una figura real
como la propuesta en la figura 1.2.
En Hidráulica de canales y sus estructuras la ecuación de Bernoulli (1.7) aplicada a
problemas reales, esto es, las velocidades V1 y V2 son > 0 m/s se expresa de la
siguiente manera:
p1
Q
1 p2
Q
1 Ff x
 z1   
  z2   

γ
W
 A1  2g γ
 A2  2g
2
2
(1.7-1)
El motivo de esto es simplificar la solución del problema que se plante:
Problema 1.4) El Tubo de Pitot. Instrumento usados en los canales de los campos
agrícolas para medir la velocidad del flujo en los canales. Académicamente permite
observar que la V12/2g se transforma en una altura hv.
Agua fluye por un canal con una velocidad V1, al Figura 2.3
entrar al tubo de Pitot por en el punto 2, el agua
asciende por el tubo arriba de la superficie una
altura hv (altura de velocidad).
En el punto 2 se forma una zona de estancamiento (V2 = 0) y en el punto 3 el agua se bambolea
con una V3 promedio = 0.
Planteando una ecuación entre 1 y 3 y suponiendo que las pérdidas de energía h13 = 0 obtenga la
velocidad en el punto 1.
Resolución: Utilizando la ecuación de Bernoulli (1.7) en términos de la presión (p/γ)
V2
p1
V2 p
+ z1 + 1 = 3 + z3 + 3 + h13
γ
2g γ
2g
La interpretación de las variables de la ec. anterior es la siguiente: a) la presión en el
punto 1 es p1/γ = h, b) como el punto 1 está situado sobre el nivel de referencia NR,
entonces, z1 = 0, c) en el punto 3 el agua está en contacto con el aire de la atmósfera
por lo tanto p3 = 0, d) la cota z3 = h + hv, e) la columna de agua (h + hv) se encuentra
estática por lo tanto V3 = 0, f) el problema indica que h13 = 0. Al sustituir estos valores
razonados en el ec. de Bernoulli se obtiene;
h + 0+
V12
2g
= 0 +  h + hv  + 0 + 0,
Al despejar V1 se obtiene V1=
V12
2g
= hv
2g  hv
El resultado anterior indica que la energía cinética V12/2g en el punto 1 se transforma
en energía potencial hv en el punto 3.
El objetivo del problema del tubo de Pitot es mostrar que la energía cinética V 2/2g es
una altura hv y también la presión p/γ también es una altura h, o sea, en la ecuación
de Bernoulli todo es altura. La Hidráulica tiene una gran relación con la topografía
en particular la Hidráulica de Canales y sus estructuras de control.
Tema 1.3) La ecuación de impulso y cantidad de movimiento.
La 2ª Ley de Newton se conoce como F = m·a sin embargo la definición correcta es F =
d(m·V)/dt donde d(m·V) = cantidad movimiento si el diferencial de tiempo pasa al lado
izquierdo se tiene que F·dt = impulso y F·dt = d(m·V), de forma más simple se puede
expresar como:

FΔt  m  ΔV  m  Vfinal  Vinicial

Para el caso de agua en movimiento la cantidad de masa que fluye por un canal o
tubería se obtiene de la ecuación: m = ρ·Q·Δt, al sustituir esta ecuación de la masa y
eliminando Δt se obtiene:

F  ρQ  Vfinal  Vinicial

(1.8)
Si los valores iniciales = 1 se agrupan al lado izquierdo y los finales = 2 se agrupan a la
izquierda y derecha de la igualdad y se considera que el movimiento es en un solo eje
(no es necesario el vector) la ecuación (1.8) queda de la siguiente forma:
γ
γ
γ Q2
γ Q2
F1  V12A1  F2  V12A2, o bien, F1 
 F2 
g
g
g A1
g A2
(1.8-1 y 2)
Esta ecuación es conocida como de Momentum = F + M, donde, F = impulso y M = la
cantidad de movimiento (γ/g·V2·A). Y tiene como objetivo simplificar la solución de los
problemas.
Con esto se obtienen la tres ecuaciones fundamentales de la hidráulica: Gasto y
Continuidad (conservación de la masa), Conservación de la Energía (Bernoulli) y la
Conservación del Impulso y Cantidad de Movimiento o del Momentum.
Problema 1.5) Un chorro de agua
sale de un depósito a través de
un tubo de Borda impulsado por
la fuerza de presión en el punto 2
(F2). Se observa que el área del
chorro (Ac) disminuye, o sea, es
menor que el área del tubo.
A través de la ec. de Bernoulli (de
1 a 3) determine cuál es la
velocidad V3 y con la ecuación de
Momentum de (2 a 3) determine
cuál es el área del chorro Ac.
Resolución: la ec. de Bernoulli de 1 a 3 es:
V32
p1
V12 p3
 z1 

 z3 
 h13
γ
2g γ
2g
V32
 0 ,por lo tanto, V3  2gh
2g
La ec. de Momentum (1.8-1) de 2 a 3
0
 h  0  0  0
γ
γ
F2  V22 A2  F3  V32 A3
g
g
como F2 = γhAt, V2 = 0, F3 = 0 y el A3 = Ac la ec. se reduce a:
γ
γh  At  V32 Ac , y al sustituir V3  2gh
g
2
γ
γh  At 
2gh Ac
g


Al despejar el área del chorro Ac tenemos: Achorro = ½ ·Atubo o sea que el área tiene
una contracción y esto afecta el cálculo del gasto Q que a final de cuentas es:
Q = ½·Atubo·V3, donde ½ es coeficiente de contracción = Cc.
Objetivos del problema:


En la resolución de problemas de Hidráulica sobre: Orificios, boquillas,
compuertas, vertedores el calculista deberá de tomar en cuenta que el agua se
contrae y los cálculos teóricos deben ser corregidos por un coeficiente de
Contracción Cc experimental o un coeficiente de Descarga Cd para obtener
resultados reales. Ver capítulos 6 y 7 del texto de Hidráulica General de Sotelo
Ávila G.
El 2º objetivo es plantear un problema donde se requirió de las 3 ecuaciones
fundamentales de la Hidráulica para resolverlo (no son muy comunes pero
existen). Más aún en Hidráulica hay problemas con más de 3 incógnitas y la
solución para la 4ª, 5ª …. incógnita se obtiene en forma experimental.
Problemas)
Problema 1.6) La energía Total en un
punto se define como:
ET 
p
V2
z
γ
2g
Para el depósito donde el agua se
encuentra estática (V = 0) determine
cuál es la energía total en los puntos
1, 2 y 3. Seleccione el nivel de
referencia (z = 0) en el fondo.
El objetivo del problema es mostrar que la energía total ET es la misma en todos los
puntos y por lo tanto cuando se tiene un depósito en un problema por lo general es
más fácil colocar el punto de análisis sobre la superficie libre ya que solo se requiere
conocer la altura z de esta superficie.
Problema 1.7) Un manómetro indica una
presión en el punto 1 de: p1 = 3 Kg/cm2, si no
hay contracciones ni perdidas de energía
determine cuál es gasto Q que sale por la
boquilla, la velocidad en el punto 3 y la
altura máxima (teórica) a la que asciende el
chorro de agua así como su área. El punto 2
y 3 se encuentran a la presión atmosférica
p2 = p3 = 0.
Respuestas: Q = 0.0506 m3/s, V3 = 24.57m/s,
altura máxima = 31.99m con respecto al
punto 1 y el área es infinita.
El objetivo del problema es mostrar que cuando el agua se mueve en contacto con la
atmosfera al cambiar la velocidad (se acelera o desacelera) cambia el área de
conducción lo cual se llama flujo gradualmente variado. Además, mostrar que un área
infinita en el punto más alto es imposible lo que indica la diferencia entre la física y la
matemática.
Problemas de compuertas:
Figura 1.2) Vista longitudinal de una compuerta
plana vertical con descarga libre donde se produce un salto hidráulico
(ys).
La contracción y2 se produce a una distancia a/Cc
siendo a la abertura de la
compuerta.
Número de Froude =
Fr 2 
Q2 T
g A3
Problema 1.8 selección adecuada de la ecuación de Bernoulli) En una compuerta por
lo común se plantean dos preguntas: ¿Cuál es el gasto Q? o ¿Cuál es la abertura de la
compuerta?, sobre esta base plantee la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2
más adecuada para dar respuesta a estas dos preguntas:
Resolución: como las preguntas son calcular Q o a entonces resulta más conveniente la
ecuación 1.7-1.
Como el área de conducción es A = b·y al sustituir tendremos
2
2
 Q  1 p2
 Q  1
p1
 z1  
  z2  
 h12


γ
 b·y1  2g γ
 b·y2  2g
Como en la superficie libre del agua la presión es cero (p1 = p2 = 0), z1 = y1, z2 = y2,
considerando temporalmente las pérdidas de energía h12 = 0 y definiendo Q/b = q que
se llama gasto unitario o gasto por metro de longitud la ecuación resultante para la
compuerta se reduce a lo siguiente:
y1 
1 q2
1 q2

y
2
2g y12
2g y 22
(1.9)
La ecuación anterior se puede resolver calculando y2 y posteriormente la abertura de
la compuerta se calcula con la formula experimental a = Cc·y2.
Problema 1.9 de revisión = calcular una estructura ya construida) Una compuerta
(como la indicada en la figura 1.2) descarga por un canal rectangular de 2 pies de
ancho (b = 0.61m), si la carga aguas arriba y1 = 2.0m y la abertura a es de 0.4m
determine: a) la velocidad en la sección o punto 2 (V2) y el punto 1 (V1), b) el valor del
gasto Q, c) el número de Froude en las secciones 1 y 2.
Nota: Plante una ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 asumiendo que las
pérdidas son cero (h12 = 0) y para medir las alturas tome como nivel de referencia el
fondo del canal (z = 0).
Problema 1.10 de diseño = calcular una estructura antes de construirse) Una
compuerta descarga por un canal rectangular de 3 pies de ancho (b = 0.92m), si la
carga aguas arriba y1 = 1.8m y el gasto es de 0.9m3/s determine: a) la altura y2; b) la
velocidad en el punto 2; c) la abertura a de la compuerta, d) El número de Froude en
las secciones 1 y 2.
Problema 1.11) Si el gasto unitario (por metro de ancho b del canal) es q = Q/b,
demuestre que la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 es:
y1 
q2
q2

y

2
2gy12
2gy22
Nota, considere que: p1 = p2 = 0, z1 = y1 y z2 = y2.
Además
1 1
q 2  2  2   2g  y1  y 2 
 y 2 y1 
despejando el gasto unitario q.
Problema 1.12, la fórmula para el gasto en una compuerta con descarga libre ya sea
plana vertical o inclinada o compuerta radial) A través de un problema de binomios
de la forma: [1 – x2 = (1 + x)·(1 – x)] demuestre que el gasto unitario q de la ultima
ecuación del problema 1.11 se obtiene de la siguiente forma:
q
y2
y2
1
y1
2g  y1 
Cc  a
Cc  a
1
y1
2g  y1  CD  a 2g  y1
(1.9)
Donde CD = coeficiente de descarga y se obtiene experimentalmente, este coeficiente
contiene las pérdidas de energía (h12) generadas por la turbulencia al pasar el agua a
través de la compuerta.
Problema 1.13 experimento para obtener CD) En
un canal de laboratorio de sección rectangular de
b = 0.076m de ancho y con un gasto Q = 0.0015
m3/s (q = Q/b = 0.01974 m3/s-m) se coloca una
compuerta plana vertical y para aberturas de a =
0.03 m a 0.017m se miden los diferentes valores
de y1. Sobre la base de la ecuación (1.11) se
obtienen los valores del coeficiente de descarga
de CD para diferentes relaciones de y1/a.
Para relaciones de mayores y1/a > 10.5 se
obtienen valores aproximados de CD = 0.6.
Al graficar (y1/a , CD ) se obtiene la Figura 1.3, la
cual incluye la ecuación de CD obtenida por el
método de mínimos cuadrados.
Problema 1.14, de investigación) Obtenga el numero de Froude en la sección 2 de la
Figura 1.2.
El número de Froude = Fr2 se define como la relación entre las Fuerzas de Inercia =
m·a entre el peso del agua = W = m·g y la aceleración se define como la normal a =
V2/y por lo tanto:
Fr 2 
Fuerza de inercia ma ma a V 2 y
V2


 
 Fr 2 
Peso
W mg g
g
gy
(1.12)
De la ecuación (1.9) la velocidad V2 se obtiene V2 = Q/(b·y2) = q/y2 =
2g  y1
q
V22
2
 V2 
, y el numero de Froude como Fr2 
y2
g  y2
y2
1
y1
por lo tanto;
2




2
2g  y1  1
V
2
Fr22  2  

g  y2 
y2  g  y 2  y2  y2
 1 
1  y1  y1
y1 



Nota: para que los valores de de CD obtenidos en el canal modelo del laboratorio sean
aplicables a los del prototipo (obra real) se requiere que el número de Froude sea el
mismo en el modelo que en el prototipo y esto se logra según la última ecuación si se
tiene la misma relación y2/y1 o a/y1 en modelo y prototipo por esto en la Figura 1.3 en
el eje horizontal se mide la relación a/y1.
Problema 1.15) Un canal trapecial tiene las características3 geométricas que se indican
en la figura. Demuestre que el ancho superficie T es igual a T = dA/dy.
Problema 1.16 sobre los vertedores) Por un vertedor de pared delgada (tiene un filo
en la cresta ver Figura 1.4) sale un chorro de agua, si en los puntos 1, 2, 3 y 4 la presión
es cero determine cuales son las velocidades en los puntos 4, 3 y 2. Sugerencia
plantee una ecuación de Bernoulli entre 1-4, 1-3 y 1-2 para obtener las velocidades.
Notas: 1) para simplificar la solución del problema se asume que la velocidad en el
punto 1 es cero (V1 = 0), 2) así como las pérdidas que también se consideran cero, 3) El
filo en la cresta del vertedor tiene el objetivo de garantizar que la presión sea cero en
toda la sección.
/3
Por facilidad en la Hidráulica de Canales la sección trapecial se calcula a partir de la pendiente del
talud m en vez de usar el ángulo φ o de reposo.
Problema 1.17) Para el vertedor
trapecial mostrado en la figura
determine el valor del gasto teórico Q
que se descarga si la velocidad varía
de acuerdo a la siguiente fórmula:
v  2 g  h0  y 
y = 0 en la cresta
y y = h0 en la superficie libre.
Resolucion: como la velocidad es variable el valor del gasto se debe de calcular a
través de la integral Q = ∫ dQ donde dQ = v·dA, en el problema 1.15 se demuestra que
una diferencial de área para un canal trapecial es, dA = T·dy y como el ancho
superficial T es: T = b + 2·m·y esta integral resulta ser:
Q
h0
0
vdA  
h0
0
2 g  h0  y   b  2m  y  dy  
2
 8

2 g  b  h3/ 2   
2 g  m  h5/ 2 
3
 15

↑
↑
Resultado de la integración en dos secciones o Sección rectángula- Sección triangular del trapecio.
lar del trapecio.
partes
Para que la formula anterior de resultados reales acerca del valor de Q debe de
multiplicarse por un coeficiente de descarga Cd, μ este ultimo usando la nomenclatura
del Texto de Hidráulica General de Sotelo (Capítulo VII/4).
Formula del vertedor de sección rectangular: (2/3·19.621/2 = 2.952 m1/2/s)
q = Q/b = 2.952·μ·h3/2
(1.13)
donde para un vertedor de pared delgada con (b/B > 1) o sin contracciones (b/B = 1),
Ce es el coeficiente universal de Kindsvater-Carter.
/4
Para información detallada de los vertedores se recomienda la lectura del Capítulo VII ya que estos
operan bajo variantes geométricas como son: de sección rectangular, triangular, trapecial, circulares,
proporcionales, si operan con contracciones laterales o no, si son de pared gruesa o de pared delgada, si
operan con descarga libre o descarga sumergida.
Coeficiente de Kindsvater-Carter
b/B
μ
1.0
0.602 + 0.0750·h/w
0.9
0.598 + 0.0640·h/w
0.8
0.596 + 0.0450·h/w
0.7
0.594 + 0.0300·h/w
0.6
0.593 + 0.0180·h/w
0.4
0.591 + 0.0058·h/w
0.2
0.588 - 0.0018·h/w
0.0
0.587 - 0.0023·h/w
Limite del coeficiente
h/w
h
w
b
= max. 2.5
= min 0.03 m
= min 0.10 m
= min 0.15 m
Nota:para b/B = 1 Henderson propone
μ = 0.611 + 0.08 h/w
Notas: A) Los coeficientes originales de Kindsvater-Carter incluyen pequeñas correcciones para
el ancho b del vertedor y la altura h. B) La forma algebraica de estos coeficientes es
consistente con la formula de Rehbock que es una línea recta en términos de h/w.
La inerpretacion fisica de los coeficientes de vertedor es la siguiente:
La contracción) El primer termino refleja la contracción vertical y horizontal del chorro
de agua al pasar por el vertedor lo cual se puede constatar en un laboratorio. Cuando
b/B = 1 solo hay contracción vertical si b/B >1 se presenta ademas una contracción
horizontal por esto, el coeficiente disminuye de 0.602 a 0.587.
La velocidad) Para obtener la ecuacion 1.13) por facilidad en el calculo se información
asumió que la velocidad de llegada de V1 es igual a cero los cual es solo cierto si w >>
h por esto la segunda parte del coeficiente es la corrección a este supuesto, como la
velocidad de arribo disminuye conforme B aumenta la segunda parte del coeficiente
disminuye de 0.75 a -0.0023 no quedando aclarado el porqué aparecen números
negativos.
Problema 1.18, expresiones adimensionales) Si la altura total y = w + h (ver Figura 4)
en el vertedor y el valor de q = Q/b son conocidos la solucion de h y w de la ecuación
1.13 requiere de un método numérico para su solución para superar esta dificultad en
la antigüedad se usaba expresar la ecuación en términos de números adimensionales
con el objetivo de obtener una solución universal que pudiera graficarse y con esto
eliminar el uso del método numérico demuestre que la ecuación 1.13 se puede
expresar en términos de y y w de la siguiente forma:
0.339·q
y3/2

 0.611  0.08

3/2
1 w y 
 1  w y 
wy 
donde 0.339 = (1/2.952 m1/2/s)
Sugerencia: en la ecuación 1.13 h se sustituye por h = y – w = y(1 – w/y).
En el Anexo 1 se obtiene la grafica para valores h/w = 3 (o w/y = 0.25) que es un vertedor bajo
hasta h/w = 0.1 (o w/y = 0.91) que es un vertedor alto. Los coeficientes de Kindsvater-Carter
solo son validos para relaciones h/w ≤ 2.5.
Anexo 1
Figura A1) Grafica de la ecuación;
0.339·q
y
3/2

 0.611  0.08

3/2
1 w y 
 1  w y 
wy 
Dado que y > w la relación w/y toma valores de
(0,1) y para efectos prácticos w/y se ubica en el
rango de [0.25, 0.91] por lo tanto, sustituyendo
estos valores en el lado derecho de la ecuación
se obtiene: 0.339·q/y1.5 que es una relación
adimensional que es válida para cualquier
combinación de q = Q/b y de y.
Si en el eje horizontal se grafica 0.339·q/y1.5 y
en el vertical w/y se obtiene la grafica A2.
La curva de los valores w/y obtenida por
mínimos cuadrados se presenta en la Figura
A2 como y’ = w/y, esta solo tiene errores de
±1.5%.
el calculu
0.0516

 y1 
, y1/a  10
0.5316  
CD  
a
0.6
, y1/a  10

CD y1/a
Figura 1.3
Coeficiente de descarga para una compuerta plana vertical
Nota, considere que: p1 = p2 = 0, z1 = y1 y z2 = y2.
el valor del gasto Q. Plante una ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 y para
medir las alturas tome como nivel de referencia el fondo del canal (z = 0).
Cc = 0.62
y2 = Cc·a
manómetro
manometro
Problemas de la Ecuación de Impulso y cantidad de movimiento:
Un salto hidráulico se produce entre las secciones 1 y 2 de un canal rectangular de
ancho b, si las fuerzas hidrostáticas de presión F = γ·b·y2/2 y expresando a Q/b = q,
usando la ecuación de impulso y cantidad de movimiento obtenga que la ecuación
resultante es:
y12
q2
y2
q2
y además;, sugerencia multiplique la primera ecuación por

 2
2 g  y1 2 g  y2
2·y1·y2 y factorize el binomio al cubo que resulta por (y1 – y2).
A partir de la ultima ecuaciones demuestre que
2q 2
 y1  y2    y1  y2   y2y12  y22 y1
g
Tema 2) Ecuación de Chezy el flujo uniforme en canales.
Anexo 1)