Formulario - Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS REGULARES:
NOTACIÓN Y FORMULARIO
F. Navarrina, L. Ramírez & GMNI
GMNI — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación
Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos
Universidad de A Coruña, España
e-mail: fermin.navarrina@udc.es
página web: http://caminos.udc.es/gmni
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
ÍNDICE
I Representación de una curva en paramétricas
I Longitud de arco y vector tangente
I Triedro de Frenet
I Cálculo de la curvatura y la torsión
I Contacto
I Ecuaciones intrínsecas
I Integral a lo largo de una curva
I Algunos problemas clásicos
I Estudio particular de curvas planas
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Representación de una curva en paramétricas (I)
REPRESENTACIÓN DE UNA CURVA EN PARAMÉTRICAS (IRn )
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Representación de una curva en paramétricas (II)
EXPRESIÓN GENERAL:


1

e i

.
con ~
ei = ēi =
.

en 

i
~r = α
~ (t) = ~ei αi(t)
m

~r = α
~ (t) = E ᾱ(t)
e
1
1
e

con E =  ..
e
e n1
1
···
...
e
···
e nn
n

.. 
,


1

 α (t) 

..
ᾱ(t) =

 α n(t) 

U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Representación de una curva en paramétricas (III)
EXPRESIÓN GENERAL EN LA BASE CANÓNICA (ORTONORMAL):
r̄ = ᾱ(t)
con


1

 α (t) 

..
ᾱ(t) =

 α n(t) 

(*) Por tanto, ~
r = r̄ , y α
~ (t) = ᾱ(t).
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
(*)
Longitud de arco y vector tangente (I)
DIFERENCIAL DE ARCO
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Longitud de arco y vector tangente (II)
LONGITUD DE ARCO:
Z
tF
s=
|ᾱ 0(t)| dt
tI
⇓
s0(t) = |ᾱ 0(t)|
Z
⇐⇒
t
s(t) =
|ᾱ 0(t)| dt
(*)
tI
(*) Se supone s(tI) = 0
=⇒
r̄ = ᾱ(tI) es el origen a efectos de la longitud de arco.
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Longitud de arco y vector tangente (III)
DIFERENCIAL DE ARCO:
dr̄ = ᾱ 0(t) dt
⇓
ds = | dr̄ | = |ᾱ 0(t)| dt
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Longitud de arco y vector tangente (IV)
VECTOR TANGENTE:
dr̄
0
ᾱ
(t)
dt
t̄ = = 0
dr̄ |ᾱ (t)|
dt =⇒
| t̄ | = 1
m
dr̄
t̄ =
ds
=⇒
| t̄ | = 1
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Longitud de arco y vector tangente (V)
REPARAMETRIZACIÓN EN FUNCIÓN DEL ARCO:
r̄ =


ᾱ(t)








 β̄(s)
con
ᾱ(t) = β̄(s)
s=s(t)
(*)
con
β̄(s) = ᾱ(t)
t=t(s)
(*) Donde t(s) es la función inversa de s(t).
La parametrización en función del arco se denomina PARAMETRIZACIÓN NATURAL
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Longitud de arco y vector tangente (VI)
NOTACIÓN ESPECIAL:
dr̄
d
r̄0 =
=
ᾱ(t)
dt dt
⇐⇒
dr̄
d r̄˙ =
=
β̄(s)
ds ds
⇓

0
0
˙

t̄
=
r̄
=
r̄
/
|r̄
|



dr̄ = r̄0 dt = r̄˙ ds


√
√

 ds = |r̄0| dt = r̄0 · r̄0 dt = dr̄ · dr̄
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Longitud de arco y vector tangente (VII)
RELACIÓN ENTRE DERIVADAS:
 0
0
˙
r̄
=
r̄
s



2
r̄00 = r̄¨ (s0) + r̄˙ s00


3
 r̄000 = ...
r̄ (s0) + 3 r̄¨ s0 s00 + r̄˙ s000
m

0
˙

r̄
=
r̄
ṫ


2
r̄¨ = r̄00 (ṫ) + r̄0 ẗ


3
 ...
000
00
0 ...
r̄ = r̄ (ṫ) + 3 r̄ ṫ ẗ + r̄ t
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Triedro de Frenet (I)
TRIEDRO DE FRENET
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Triedro de Frenet (II)
VECTOR TANGENTE:
dr̄
t̄ =
ds
=⇒
con
dt̄ k = ds | t̄ | = 1
VECTOR NORMAL:
1 dt̄
n̄ =
k ds
=⇒
| n̄ | = 1 (*)
VECTOR BINORMAL:
b̄ = t̄ ∧ n̄
=⇒
| b̄ | = 1
(*) Donde k ≥ 0 es la CURVATURA, y R = 1/k es el RADIO DE CURVATURA.
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Triedro de Frenet (III)
DERIVADAS DE LOS VECTORES TANGENTE, NORMAL Y BINORMAL:

d h
t̄
ds
n̄
i
h
b̄ = t̄
n̄
b̄
i
0
 k
0
−k
0
τ

0
−τ 
0
(*)
(*) Donde τ es la TORSIÓN, y T = 1/τ es el RADIO DE TORSIÓN.
Esta expresión indica que al avanzar ds, el triedro experimenta los siguientes giros:
(
dφ = τ ds en torno a la tangente ⇐⇒ ds = T dφ
dθ = k ds
en torno a la binormal
⇐⇒
ds = R dθ
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Triedro de Frenet (IV)
OBTENCIÓN DEL TRIEDRO:
Procedimiento directo [t̄ → n̄ → b̄]



r̄ = β̄(s) ⇒ t̄ = r̄˙




→ k n̄ = r̄¨







1 
0
0
0
00
0
0 2 00


r̄ = ᾱ(t) ⇒ |r̄ | t̄ = r̄ → k n̄ =
−(r̄ · r̄ ) r̄ + |r̄ | r̄

4

0

|r̄ |






→ b̄ = t̄ ∧ n̄
Procedimiento alternativo [t̄ → b̄ → n̄] (*)
r̄ = ᾱ(t) =⇒
0
|r̄ | t̄ = r̄
0
−→
0 3
0
|r̄ | k b̄ = r̄ ∧ r̄
00
−→
n̄ = b̄ ∧ t̄
(*) En el caso general (cuando el parámetro no es el arco) estos cálculos son potencialmente más sencillos.
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Cálculo de la curvatura y la torsión
CURVATURA:



r̄ = β̄(s)






r̄ = ᾱ(t)




TORSIÓN:






r̄ = β̄(s)









r̄ = ᾱ(t)




=⇒
k = r̄¨ = r̄˙ ∧ r̄¨ → k≥0
=⇒
0
r̄ ∧ r̄00 k = 3
r̄0 → k≥0
=⇒
τ=
=⇒
τ=
... ... ˙r̄ , r̄¨ , r̄
˙r̄ , r̄¨ , r̄
=
r̄˙ ∧ r̄¨ 2
k2
0
00
000
r̄ , r̄ , r̄
2 =
r̄0 ∧ r̄00 0
00
000
r̄ , r̄ , r̄
6
2
k r̄0 U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Contacto (I)
RECTA TANGENTE:
(*)
r̄ = r̄o + λ t̄o
PLANO NORMAL:
(*)
r̄ = r̄o + λ n̄o + µ b̄o
⇐⇒
(r̄ − r̄o) · t̄o = 0
(*) s = so → r̄ = r̄o, t̄ = t̄o, n̄ = n̄o, b̄ = b̄o
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Contacto (II)
PLANO OSCULADOR:
(*)
r̄ = r̄o + λ t̄o + µ n̄o
PLANO RECTIFICANTE:
⇐⇒
(r̄ − r̄o) · b̄o = 0
⇐⇒
(r̄ − r̄o) · n̄o = 0
(*)
r̄ = r̄o + λ t̄o + µ b̄o
(*) s = so → r̄ = r̄o, t̄ = t̄o, n̄ = n̄o, b̄ = b̄o
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Contacto (III)
CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ:
2
r̄ − r̄c · r̄ − r̄c = Rc ,
ESFERA OSCULATRIZ:
2
r̄ − r̄e · r̄ − r̄e = Re ,
(*)



r̄ − r̄o · b̄o = 0




r̄c = r̄o + Rc n̄o
con



1


 Rc =
ko
(situada en el plano osculador)
(centro)
(radio)
(*)

!

1
−k̇o


r̄e = r̄o +
n̄o +
b̄o


2 τ

k
k
o
o

o
v
con
!2
u 2


u

−k̇o
1

t

+

 Re =
ko
ko2 τo
(*) s = so → r̄ = r̄o, t̄ = t̄o, n̄ = n̄o, b̄ = b̄o, k = ko, k̇ = k̇o, τ = τo,
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
(centro)
(radio)
Ecuaciones intrínsecas
ECUACIONES INTRÍNSECAS:
Las funciones
k(s) > 0,
τ (s)

β̄(so) = r̄o






 t̄(so) = t̄o








con las condiciones iniciales


n̄(s
)
=
n̄
,
n̄
⊥
t̄


o
o
o
o










b̄(so) = t̄o ∧ n̄o
(
determinan totalmente la curva
r̄ = β̄(s)
su curvatura es
k(s)
su torsión es
τ (s)
tal que
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Integral a lo largo de una curva
Dada la curva C ≡
r̄ = ᾱ(t), t ∈ [tI, tF] → sI = s(tI), sF = s(tF),
(*)
CAMPO ESCALAR f (r̄):
Z
Z
sF
f ds =
C
f (r̄)
sI
Z
tF
ds =
r̄=β̄(s)
f (r̄)
tI
r̄=ᾱ(t)
0 ᾱ (t) dt
CAMPO VECTORIAL f¯(r̄):
Z
C
f¯ · dr̄ =
Z
sF
sI
f¯(r̄)
Z
tF
· t̄ ds =
r̄=β̄(s)
tI
f¯(r̄)
· ᾱ0(t) dt
r̄=ᾱ(t)
I
(*) Si la curva es cerrada se utiliza el símbolo
=⇒
INTEGRAL CIRCULAR
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Algunos problemas clásicos
Involuta o Evolvente: (anti-evoluta)
r̄ = β̄(s) −→ r̄ = β̄(s) + (c − s) t̄(s) (*)
Evoluta: (anti-involuta)
1
1
r̄ = β̄(s) −→ r̄ = β̄(s) +
n̄(s) +
cot
k(s)
k(s)
Z
τ (s)ds + constante
Envolvente: (de una familia de curvas planas)




 F (x, y, λ) = 0 −→ F (x, y, λ) = 0,



 r̄ = ᾱ(t, λ)
−→
∂
ᾱ(t, λ)
∂λ
k
∂
F (x, y, λ) = 0
∂λ
∂
ᾱ(t, λ)
∂t
(*) Para cada valor del parámetro c se obtiene una involuta diferente.
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
b̄(s)
Estudio particular de curvas planas (I)
CURVA PLANA:
(
r̄ = ᾱ(t) con
r̄ − r̄a · p̄ = 0,
donde
r̄a ≡ un punto del plano
p̄ ≡ vector normal al plano
m
τ (t) = 0 ∀t
REPRESENTACIÓN EN EXPLÍCITAS:
y = f (x)
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Estudio particular de curvas planas (II)
PARAMETRIZACIÓN TRIVIAL:
(
y = f (x) ⇐⇒
r̄ = ᾱ(x) con ᾱ(x) =
x
f (x)
0
)
DIFERENCIAL DE ARCO:
r
ds =
2
0
1 + f (x)
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA
Estudio particular de curvas planas (III)
VECTOR TANGENTE:
t̄ = r
1
2
1 + f 0(x)
(
1
0
f (x)
0
)
CURVATURA Y VECTOR NORMAL:
k= 00
f (x) 23/2
1 + f 0(x)
,
(
)
00
−f 0(x)
sgn f (x)
n̄ = r
1
2
0
1 + f 0(x)
U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA