TR RAB BAJO O FIN NAL DE CARR C RER RA ULO DEL TFC: T Méto odos de ca racterización de mod duladores eelectroTÍTU ópticcos TITU ULACIÓN: Ingeniería a Técnica d de Telecom municación n, especiallidad Siste emas de Telecomuni T icación AUT TOR: Jaum me Díaz Alo onso DIRE ECTOR: María M Conc cepción Sa antos Blanc co FEC CHA: 30 de e Junio de 2011 Título: Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos Autor: Jaume Díaz Alonso Director: María Concepción Santos Blanco Fecha: 30 de Junio de 2011 Resumen El objetivo de este trabajo es el de estudiar y revisar los conceptos básicos en el campo de los moduladores electroópticos. Se han definido los principales parámetros que se utilizan en el estudio de los moduladores electro-ópticos además de hacer hincapié en los parámetros físicos que son susceptibles de medida de cara a su caracterización experimental. También se ha profundizado en el fenómeno del chirp, que se estudia en detalle llegando a varias expresiones analíticas y a aproximaciones de utilidad práctica. Por último se ha hecho una investigación sobre los diferentes métodos que las empresas del sector utilizan para caracterizar el chirp de modo experimental. Title: Characterization methods for electrooptical modulators Author: Jaume Díaz Alonso Director: María Concepción Santos Blanco Date: June 30, 2011 Overview The main goal for this study is to be useful as a reference for future works in the electrooptic modulators área of study. The main parameters used in the study of electrooptic modulators have been defined, with special emphasis on the physical parameters for experimental characterization. In addition, the frequency chirp phenomenon has been portrayed in greater depth, defining it and finding some analytical expressions and approximations with practical interest. Lastly, different methods used by commercial companies in this area to experimentally characterize the frequency chirp have been studied. ÍNDICE INTRODUCCIÓN ............................................................................................... 1 CAPÍTULO 1. CARACTERÍSTICAS BÁSICAS DEL MODULADOR MACHZEHNDER .......................................................................................................... 3 Conceptos y expresiones ........................................................................................... 3 1.1 1.1.1 El modulador Mach-Zehnder ................................................................................. 3 1.1.2 El Interferómetro Mach-Zehnder ........................................................................... 7 1.1.3 Heterodinaje óptico.............................................................................................. 10 1.2 Características físicas .............................................................................................. 11 1.2.1 El efecto Pockels ................................................................................................. 11 1.2.2 Estructura del corte: X-cut y Z-cut ....................................................................... 11 CAPÍTULO 2. ESTUDIO DEL CHIRP .............................................................. 15 Definición de chirp .................................................................................................... 15 2.1 2.2 Chirp eléctrico ........................................................................................................... 16 2.3 Chirp óptico ............................................................................................................... 18 2.4 Chirp total................................................................................................................... 19 2.4.1 Aproximaciones ................................................................................................... 21 2.4.2 Comparación de resultados ................................................................................ 24 2.4.3 Anulación del chirp .............................................................................................. 26 CAPÍTULO 3. CÁLCULO EXPERIMENTAL DE LOS PARÁMETROS EN LA EXPRESIÓN GENERAL DEL CHIRP .............................................................. 31 3.1 3.2 3.3 Parámetro γ ................................................................................................................ 31 Parámetro η................................................................................................................ 34 Parámetro φ ............................................................................................................... 35 CAPÍTULO 4. MÉTODOS COMERCIALES DE MEDIDA DEL CHIRP ........... 39 Método de la discriminación de frecuencias .......................................................... 39 4.1 4.1.1 Funcionamiento ................................................................................................... 39 4.2 Método de la discriminación de frecuencias mediante un filtro gaussiano ....... 45 4.2.1 Funcionamiento ................................................................................................... 45 4.3 Método de la medida del espectro........................................................................... 47 4.3.1 Funcionamiento ................................................................................................... 47 CONCLUSIONES ............................................................................................ 53 REFERENCIAS................................................................................................ 55 ANEXOS .......................................................................................................... 57 AGRADECIMIENTOS En primer lugar, es mi deseo agradecer a la directora de este proyecto, Mª Concepción Santos, por el planteamiento de este trabajo, además de agradecer a Mireia Liébana su participación durante las primeras fases del mismo. En segundo lugar agradecer a mis familiares y amigos, especialmente a Fran, Carlos y Marc, que me han empujado una y otra vez para llevar este proyecto a buen puerto. Por último, quisiera agradecer profundamente al Dr. Henri Porte, CEO de Photline, su ayuda en la última parte de este trabajo más allá de lo que cualquiera pudiera esperar y de modo totalmente desinteresado. Merci beaucoup. Introducción 1 INTRODUCCIÓN Hace más de 200 años, en 1792, el inventor francés Claude Chappe construyó el primer sistema de comunicaciones ópticas, un rudimentario sistema basado en torres y espejos, que conseguían enviar mensajes telegráficos entre Lille y París, separadas entre sí 220 Km, en un tiempo de 16 minutos. Hoy, ese primer sistema ha evolucionado en las actuales infraestructuras de comunicaciones ópticas, basadas en la fibra óptica, llegando a tener una red de más de 250000 Km de cables submarinos intercontinentales de fibra óptica con una capacidad de 2.55 Tb/s según datos de 2002 y convirtiéndose en el principal medio de transmisión en las telecomunicaciones. En la técnica hoy en día más común para la transmisión mediante fibra óptica, el sistema IM-DD (Intensity Modulator – Direct Detection), es la potencia la que es proporcional a la información y en tal sistema los moduladores electroópticos externos que son objeto principal de nuestro estudio son parte esencial. En trabajos previos con comunicaciones ópticas y moduladores electroópticos se llegó a la conclusión de que no había un claro acuerdo entre nomenclaturas y aproximaciones llevadas a cabo por los diferentes investigadores, especialmente en el campo del chirp, creando confusiones que pueden llevar inevitablemente a pérdidas en el rendimiento del trabajo. En un modulador externo, llamamos chirp a la modulación de fase residual que aparece acoplada a la modulación de amplitud que se pretende conseguir. Como objetivo principal de este Trabajo de Fin de Carrera se ha propuesto hacer una recapitulación de los estudios realizados hasta la fecha, revisándolos y estudiándolos en detalle para elaborar una especie de manual de referencia para futuras profundizaciones en el campo. Así, en el primer capítulo de este trabajo hemos realizado una aproximación a las principales características y parámetros que definen un modulador MachZehnder y que nos pueden ser de utilidad en el estudio del chirp. En el segundo capítulo, el objetivo es definir y estudiar el chirp en detalle, encontrando una definición que ponga en conjunto las dos variantes, óptica y eléctrica, que puede presentar este fenómeno, siendo expresada en función de parámetros que podamos caracterizar experimentalmente. 2 Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos Además, se han planteado algunas aproximaciones basadas en el Polinomio de Taylor para las diferentes expresiones encontradas, de cara a la facilitación de los cálculos que deban hacerse en las diferentes comprobaciones experimentales que deseen realizarse, estudiando asimismo el error que puedan aportar al valor real del chirp. En el tercer capítulo se han estudiado los diferentes parámetros presentes en nuestra definición del chirp total, encontrando de ese modo posibilidades para caracterizar de modo experimental sus valores pudiendo así gracias a las expresiones encontradas en el segundo capítulo encontrar experimentalmente un valor del parámetro del chirp. Por último, en el cuarto capítulo hemos querido conocer los diferentes métodos que las empresas comerciales del panorama de las comunicaciones ópticas utilizan para caracterizar el chirp, estudiándolos con detalle y conociendo tanto ventajas como desventajas de su utilización. Este trabajo forma parte de la línea de investigación del departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones (TSC) que se dedica a conocer las diferentes características de los sistemas de predistorsión, linealización y moduladores de los sistemas de transmisión ópticas. Finalmente, remarcar que el enfoque de este trabajo es puramente teórico aunque poniendo un especial acento en las posibles caracterizaciones experimentales de los parámetros, métodos y expresiones tanto detallados como desarrollados. Caracteerísticas básicas d del modulador Mach‐Zehnder 3 CAPÍTULO 1. CARAC CTERÍST TICAS BÁSICA B AS DEL OR MAC CH-ZEHN NDER MODULADO 1.1 Conce eptos y expresion e nes 1.1.1 El mod dulador Mach-Zehn M nder Aunq que la modulación m directa del láser es barata y recoomendable e en apliccaciones sencillas, s para funcciones má ás avanza adas se rrequiere de d la mod dulación exxterna. Un no de los modulado ores extern nos más ccomunes es e el dulador electroóptico Mach-Zeh hnder (o MZ Z). mod El m modulador MZ basa su s efecto en la varia ación de la a fase de la señal óptica ó provvocada porr un camp po eléctrico o aplicado o al cristal por el quue se prop paga. Este e fenómen no se cono oce con e el nombre e de efecto electroóóptico o efecto e Pockkels. Debido a que los receptores sólo ccaptarán la as variacio ones en la amplitud de la seña al, se requiere conve ertir la mod ulación de e fase en modulación m n de amplitud. Para a ello, generalmente se usa a una con nfiguración conocidaa como MachM Zehn nder, (MZ)). Podemo os observa ar un esquema de la a configuraación MZ en e la figurra 1.1: Figurra 1.1 Esqu uema de un modulad dor MZ Dond de Ve1 y Ve2 son la as tension es aplicad das a cada una de las ramas s del mod dulador, Vc1 y Vc2 es la sensibil idad de los electrodo os, esto ess, la tensió ón en la ra ama necesaria para conseguir c u un cambio o de fase en la señal de π radia anes, 4 Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos y Ein y Eout es el campo eléctrico de la onda eléctrica a la entrada y a la salida, respectivamente, del modulador. La expresión de Eout, es decir, el campo a la salida del modulador es: = + 2 ( . ) Considerando que usamos la configuración push-pull, Ve1=-Ve2, y asumiendo Vc1=Vc2=Vc, realizamos los cambios pertinentes en la expresión 1.1 y obtenemos: = · cos · ( . ) Elevando tal expresión al cuadrado, podemos obtener la potencia a la salida del modulador: = · · = 2 · 1 + cos 2 ( . ) Y de ahí podemos obtener la función de transferencia del modulador MZ que podemos ver en la figura 1.2: Caracteerísticas básicas d del modulador Mach‐Zehnder 5 Fig gura 1.2 Fu unción de ttransferenc cia de un modulador m r MZ En lla figura 1.2 1 observ vamos varrios parám metros que e nos seráán útiles en e el estudio de los moduladores. Uno de ellos es e la tensión de me edia onda o Vπ, que es la difeerencia enttre el mínimo y el máximo m de e la funció ón de tran nsferencia del moduulador. Ba ajo la conffiguración push-pull la tensión n de med dia onda y la sens ibilidad de e los electtrodos, sup puestamen nte igualess, se relacio onan del siguiente s m modo: = 2 ( . ) o parámetro o a consid derar es el punto de cuadratura a, QP (Qu adrature Point) P Otro en la a figura 1.2 2. El punto o de cuadra atura es el punto de trabajo deel modulado or en la zo ona lineal de la función de tra ransferenciia. Usualm mente, paraa modularr una seña al sobre una u portadora ópticca, añadirremos una a tensión de bias para situa arnos en essta zona lineal. Por último, obsservamos la ER o Exxtinction Ra atio, que se define coomo la rela ación entre e la potenccia máxima a y la poten ncia mínim ma de la se eñal modulaada, de modo que: 6 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos = ( . ) un caso ide eal como el e considerrado en la expresión 1.3 en quue en cada a una En u de la as ramas tengamos t exactame nte la mita ad de la se eñal, tendrríamos una a ER infinita. a realidad, cada ram ma no reci be exactamente la misma m canntidad de señal s En la sino un porcen ntaje al que e denomin aremos α. La situación es entoonces la qu ue se mue estra en la figura f 1.3: Figura a 1.3 Esque ema de la distribució ón real de cantidad c dee señal En e el caso pu ues en qu ue cada rrama recib ba diferentte cantidadd de seña al, la exprresión del campo c a la a salida de el modulador debe re eescribirse de la siguiente form ma: ( ) = + · ( ) ( . ) Dond de γ=(1-α)/α es la relación d de señal óptica ó en cada ram ma. Cuando se mod dula una señal s de RF R sobre una porta adora óptic ca tenemoos que la fase inducida por el modulado or en cada a rama del interferómetro es, poor otro lado o: = · = + ( ) (( . ) Caracteerísticas básicas d del modulador Mach‐Zehnder 7 Dond de Vbi ess la tensió ón de bia as o polarización y VRFi es la tensión n en radio ofrecuencia a en cada una de e las rama as i. Suponiendo qque Vc1=V Vc2, y conssiderando que a cad da electrod do puede llegar un nivel de sseñal diferente, tene emos que la a expresió ón de θe1 y θe2 puede e ser escrita a como: = = − + + · ( ) = ( ) =− ( ) ( . ) + + · ( )( . )) Sien ndo η la re elación en ntre las am mplitudes de señal en cada rrama. De este mod do, reescrib bimos de nuevo la e expresión 1.6 de ma anera quee llegamos a la érica de la a función de e transfere encia del modulador: m exprresión gené = · + · · ( . ) 1.1.2 2 El Interrferómetrro Mach-Z Zehnder Un M MZI es un dispositivo o que divid de la seña al óptica en dos parttes iguales s, las transsporta por dos brazo os de long itudes dife erentes y la as recombbina a la sa alida. Depe endiendo de como se s halle co onfigurado o, las dos partes p de la señal óptica ó pued den interfe erir entre ellas, reco ombinarse e como en n la entraada o anularse completamente e. Puede verse v un e esquema de d un interrferómetro Mach-Zeh hnder en la a figura 1.4 4: Figura 1.4 1 Configu uración de un interferómetro Mach-Zehndder (MZI) 8 Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos Normalmente el MZI presenta dos salidas a las que se conecta un fotodetector. Considerando que los retardos de fase de las líneas son, respectivamente 1=(2π/λ)·n1L1 y 2=(2π/λ)·n2L2 y la matriz de transferencia del MZI, consistente en dos acopladores y la matriz de la línea: = √1 − √ √ √1 − √1 − 0 0 √ √ √1 − ( . ) Utilizando ε=0.5, que es el valor más utilizado para obtener el máximo valor de ER y desarrollando la matriz obtenemos que para a2=0 (o lo que es lo mismo, teniendo el segundo puerto de entrada desconectado): = 1 2 = ( − + 2 ( . ) ( . ) ) Siendo la función de transferencia di/a1 y sustituyendo las fases por sus valores relacionados con los parámetros físicos de las líneas, tenemos que: = ·( − ) ( . ) = ·( − ) ( . ) Que son las funciones de transferencia de cada una de las dos salidas. Podemos observar gráficamente la función de transferencia de un MZI en la figura 1.5: Caracteerísticas básicas d del modulador Mach‐Zehnder 9 F Figura 1.5 5 Función de d transferrencia de un u interferó ómetro Macch-Zehnde er de la línea a continua a es la sal ida 1 y la discontinu ua la salidda 2. Pode emos Dond obse ervar que la forma de e una de la as salidas es e un cose eno cuadraado, similar a la funcción de tran nsferencia del modullador Mach h-Zehnderr con la dife ferencia de e que el eje de abcissas es aquí frecuenciia y no tensión. Esto es significcativo dado o que uno de los uso os posibles s del interfferómetro Mach-Zehnder es ell de modulador electtroóptico. No o obstante, usualmente u e se utiliza como filtro o óptico de e modo quee a cada salida s se a atenúan differentes grrupos de frrecuencias s, tal y com mo se puedde observa ar en la fig gura 1.6: erferómetro o Mach-Zehnder utiliz zado comoo filtro Figura 1.6 Inte o para la a caracteriización de el chirp de d la disccriminación n de En el método frecu uencias, de escrito en el apartado o 4.1, se utiliza u esa configurac c ción. 10 Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos 1.1.3 Heterodinaje óptico El heterodinaje es un sistema consistente en trasladar señales a otros rangos de frecuencia mediante la combinación con una frecuencia de referencia que a menudo es referida como oscilador local. En el caso de las comunicaciones ópticas, el heterodinaje de una señal óptica utilizando un láser actuando como oscilador local es especialmente útil puesto que traslada el espectro óptico a señales eléctricas y permite medir con precisión el espectro utilizando analizadores de espectros eléctricos, que tienen mucha mejor resolución que los analizadores de espectros ópticos. Es decir, partiendo de un campo eléctrico al que definiremos como: = + )( . cos( ) Donde es una frecuencia suficientemente alta como para no poder ser medida por un analizador de espectros eléctrico. Consideramos también una frecuencia modulada o en este caso simplemente un oscilador local: = )( . · cos( ) Si tenemos en cuenta que en recepción obtenemos el campo al cuadrado, elevamos la suma de ambas componentes al cuadrado obteniendo: =( + 2 cos(2 +2 )+ + 2 cos ( + 2 ) = + cos(2 − )+ ) + + cos ( ( . + ) + ) En la anterior expresión podemos ver que nos aparece una primera componente constante, un segundo grupo a alta frecuencia dependiente de la suma de frecuencias o de las frecuencias iniciales y otra componente dependiente de la diferencia de frecuencias. Tal salida se filtra de modo que solamente obtendremos el componente de la diferencia de frecuencias. Características básicas del modulador Mach‐Zehnder 11 Si la frecuencia del oscilador local se configura suficientemente alta, la frecuencia resultado de la diferencia de frecuencias estará en el rango medible por un analizador de espectros eléctrico. 1.2 Características físicas 1.2.1 El efecto Pockels El efecto electroóptico lineal o efecto Pockels, nombrado en honor al físico alemán que lo enunciara en 1893, es el efecto por el cual el índice de refracción de un medio es modificado según se aplique un campo eléctrico al mismo. El efecto electroóptico lineal se da en algunos materiales cristalinos utilizados en la fabricación de moduladores como pueden ser el niobato de litio (LiNbO3), el fosfato de potasio dideuterio (KDP) o el tantalato de litio (LiTaO3), así como en algunos semiconductores como el fosfuro de indio (InP). En el caso del LiNbO3, la intensidad del efecto electroóptico es máxima cuando tanto el campo óptico como el eléctrico están polarizados en la dirección del eje de simetría del cristal, conocido como eje óptico y que es la dirección en la cual el rayo no sufre doble refracción. Eso obliga a colocar los electrodos respecto de las guías de una determinada forma dependiendo del corte del cristal respecto del eje óptico. 1.2.2 Estructura del corte: X-cut y Z-cut El corte del cristal en un modulador afecta tanto a la eficiencia del propio modulador como al chirp, fenómeno que estudiaremos en detalle en el capítulo 2. El chirp se define como la fase residual que aparece al modular la amplitud. Los moduladores Mach-Zehnder se diseñan como X-cut o Z-cut, cuyos nombres responden a la dirección del corte respecto al eje óptico. En el caso de la estructura Z-cut, se coloca un electrodo encima de la guía de onda, concentrando así el campo. Podemos ver el esquema de un modulador con la estructura Z-cut en la figura 1.6: 12 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos Figura a 1.6 Seccción de un modulador Z-cut Por el contrariio, en el caso del m odulador con c estruc ctura X-cutt los electrrodos no e están sobre e las guías s de onda . Podemos s ver el es squema dee un modulador con la estructu ura X-cut en la figura 1.7: Figura a 1.7 Seccción de un modulador X-cut Las configuracciones com mentadas sse refieren n a los mod duladores más típico os en la prráctica que e son los moduladore m es single-d drive, es de ecir, con unn único ac cceso elécttrico que es común para cad da uno de los brazos del interrferómetro o que form ma el modu ulador. En los modula adores sing gle-drive, en e cada unna de las guías g ópticcas que forma el inte erferómetro o se tienen n campos eléctricos polarizado os en Caracteerísticas básicas d del modulador Mach‐Zehnder 13 la misma direccción y sen ntidos opue estos. El cambio c de fase en caada guía te endrá o valor y dis stinto signo o en cada guía (conffiguración ppush-pull).. puess el mismo Men nos frecuentes en la a práctica a son los modulado ores dual-ddrive, con dos acce esos eléctrricos con lo os que es posible co ontrolar de manera inndependien nte la fase de la seña al óptica en cada una a de las gu uías. entajas de el X-cut re especto de el Z-cut es que al tener un corte Una de las ve simé étrico, el chirp c provo ocado por el modula ador es prá ácticamen te cero. Por P el conttrario, en el caso del Z-cut e el valor de el parámetro α o paarámetro chirp añad dido es de d aproxim madamentte 0.7.De otro mod do, el Z--cut mejorra el solapamiento entre cam mpo eléctri co y óptic co respecto o al X-cutt en un 20 0% y pressenta un Vπ o tensión n de media a onda men nor. Así, si dispon nemos de dos modu uladores de d tipos diferentes een los que no sepa amos con certeza de d qué tip po es cada a uno, sim mplementee tenemos que enco ontrar el valor v de la tensión n de media onda mediante m su función n de transsferencia tal y como podemos o observar en e la figura a 1.8: Figura 1.8 Medidas s de la tenssión de me edia onda en e modulaadores con diferentess parámetrros físicos No o obstante, la diferenc cia entre lo os valores de esta te ensión es menor a bajas b frecu uencias ta al como estudiaron n Gorman n y Axha a en [2],, así que e es reco omendable realizar la a medida d del valor de e Vπ a frec cuencias aaltas para evitar e errorres de apre eciación. 14 Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos Además, este método es poco práctico realmente puesto que exige encontrarnos ante dos moduladores con parámetros físicos similares, tanto de longitud (L) como de altura o espesor de los electrodos (T), dado que con valores diferentes para esos casos las medidas pueden variar sensiblemente. De otro modo, podremos establecer qué estructura presenta un modulador Mach-Zehnder dado midiendo experimentalmente o conociendo previamente el valor de su parámetro chirp. Concretamente, si tenemos un valor cercano a 0.7, estaremos ante una estructura Z-cut y si tenemos un valor de 0 o cercano a 0 estaremos ante una estructura X-cut. Para ello, en los siguientes capítulos estudiaremos detalladamente qué es el fenómeno del chirp y cómo podemos medirlo. Estudio del chirp 15 CAPÍTULO 2. ESTUDIO DEL CHIRP 2.1 Definición de chirp De forma general, en modulaciones ópticas entendemos por chirp una fase residual y generalmente indeseable que aparece junto a la modulación de amplitud. En los moduladores MZ el chirp puede tener origen óptico o eléctrico, como se explica más adelante. El chirp, es decir, esta fase residual indeseada puede caracterizarse a partir del coeficiente α como: = · · 1 ( . ) 2 definido como tal por primera vez por Koyama e Iga en [1]. Podemos escribir esa función en función de α, que es una constante referente al porcentaje de modulación de intensidad. De este modo, la expresión anterior la redefinimos en función de α: =2 · / / ( . ) Nuestro objetivo pues, será conseguir eliminar el chirp de cara a poder evitar en caso necesario sus efectos indeseados. Para ello, estudiaremos las expresiones del chirp eléctrico y el chirp óptico e intentaremos contrarrestar la una con la otra. Inicialmente se creía que lo único que aparecía era chirp eléctrico. Concretamente, este fenómeno se debe a que no hay la misma cantidad de señal eléctrica para una rama del modulador que para otra, de modo que aún teniendo la misma amplitud, las dos ramas no tienen la misma fase. Tiempo después se observa que los resultados no son los que debieran y se intuye que existen más aportaciones al chirp además de la ya conocida: aparece el chirp no solamente a causa de la descompensación de la cantidad de RF que llega a cada brazo del modulador sino también al tener una ER finita, debido a la falta de simetría del modulador. A continuación buscaremos pues las expresiones matemáticas de ambos tipos de chirp de cara a poder encontrar una expresión genérica que los relacione. 16 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos 2.2 Chirp eléctrico o mos el ch hirp como o la suma a vectoria al de las dos señ ñales, Si cconsideram gráfiicamente observamo o os perfecttamente co omo a fas se no com mplementa aria y mism ma amplitu ud tendrem mos una fasse residual en la sum ma vectoriaal de ambo os en la fig gura 2.1: Fig gura 2.1 Fa ase residua al aparecid da al suma ar vectorialmente doss vectores con fase de amplitud a ig gual y fase no comple ementaria En la gráfica, observam mos que lo os dos vec ctores sum mandos tieenen la misma m amp plitud, pero fase no co omplemen ntaria. Al re ealizarse la a suma vecctorial, apa arece una fase residu ual ϕ en el vector ressultante. Ese es, pue es, el chirp eléctrico. Así pues, para a este cas so, el cam mpo eléctric co, a partir de la exxpresión 1.10 y dado o que para a este conc creto caso γ=1, es de efinido com mo: ( )= + · · ( . ) Con θb como la l fase de bias. En e este caso, se ha tom mado igual a 0 en un na de las rramas, sim mplemente e escogien ndo el origen de tiem mpos en eel momentto en que en una de d las ramas la fa ase sea ju ustamente 0, simpliificando así la exprresión. Cogiendo la anterior a ex xpresión exxpresada en e módulo o y fase e igualándo olo a , tenem mos: √ · Estudio del chirp 17 ( )=2· ( ) · · −1 · 2 · cos + 2 =√ · ( . ) Expresión a partir de la cual hallamos el valor de la fase y la intensidad: = +1 · 2 + −1 · 2 = 2 + ( . ) 2 ( . ) A partir de lo cual realizamos los cálculos necesarios para obtener el valor de α según la expresión 2.2, con lo que obtenemos: =− · sin(( · ) +1 ( . ) −1 · De esa fórmula podemos aislar el factor η de cara a expresar futuras ecuaciones solamente dependientes de α. Así, operando en la expresión anterior obtenemos: = · −1 · +1 ( . ) Lo usual es polarizar el modulador en su zona lineal, esto es, trabajar en el punto de cuadratura θb=π/2. Por tanto, la expresión anterior quedaría tal que: = −1 ( . ) +1 18 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos 2.3 Chirp óptico mpo despu ués se obs serva que los resulta ados no so on los quee debieran y se Tiem intuyye que exiisten más aportacion nes al chirp: aparec ce chirp all tener una a ER finita a, debido a la falta de simetrría del mo odulador. Efectivameente, pode emos comprobar grá áficamente como, al ttener dos señales co on la mism ma fase perro de signo o contrario o y diferentte amplitud d, aparece una fase residual ϕ en el resultado de la a suma vecctorial de ambos a en lla figura 2..2: Fig gura 2.2 Fa ase residua al aparecid da al suma ar vectorialmente doss vectores con d diferente amplitud a y misma fas se con diferrente signoo En e estas cond diciones, el campo e eléctrico a la salida del d modulaador con θRF=0 apliccado en la expresión 1.10 es: = + ( . ) Dond de θb1 y θb2 son la fase f a cad da rama de el modulad dor que enn nuestro caso partiicular están en contrrafase de fforma que cumple co on la confi guración pushp pull, y γ es la relación r de e señal ópt ica en cada una de las ramas. Si la a expresión n anterior, tal y com mo hemos realizado con el ch irp eléctric co, la igualamos a √ · , y aplicando a lla condició ón de mism ma fase y diferente signo s tal que θb1=-θb2 mos: b , obtenem Estudio del chirp 19 = 1+ 4 + 2 · · cos( 2 ) ( . ) Y la fase que será: (1 − ) sin = ( . (1 + ) cos ) De nuevo calculamos las derivadas y sustituimos en la fórmula de Koyama e Iga, de modo que obtenemos la expresión: = 1− 2 · · sin( ) ( . ) Dado que lo que queremos es expresar γ en función del parámetro α, finalmente obtenemos: = · ( )+1− )( . · sin( ) Y en cuadratura: = 2.4 +1− ( . ) Chirp total Normalmente encontraremos tanto chirp óptico como chirp eléctrico. Para conseguir la expresión del chirp total, deberemos rehacer los cálculos de los dos apartados anteriores para el caso en que tengamos ambos tipos de fase residual. Usando la definición genérica en 2.2 y operando, obtenemos la expresión del factor α para el chirp total: = + − sin( · +1 ) · ( − 1) ( . ) Tomando las expresiones calculadas en 2.8 y 2.14, podemos reescribir la expresión anterior en función de αo y αe: 20 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos = + + · (θ ) + · · sin(θ θ ) − (θ ) · ( · sin((θ ) + 1) + · · θ 2 ( . ) Evalluada en el e punto de cuadraturra tal que θb=π/2, obttenemos: = − ·( + 1 − 2)(( . ) Pode emos ver la gráfica de contorn no de la ex xpresión del d chirp tootal en el punto p de ccuadratura, 2.18, en un rango de valore es αo y αe suficientem mente gra andes para a observar la forma de la misma a, en la figura 2.3: gura 2.3 Gráfica de lo os niveles de la exprresión del chirp c total een función del Fig chirp ópticco y el chirrp eléctrico o Estudio del chirp 21 2.4.1 Aproximaciones s Com mo vemos, la expre esión gen nérica del chirp tota al, 2.17, es demas siado complicada pa ara trabajar con ella cómodamente. No obstante, o ppodemos hacer h una primera aproximac a ión media ante el cálculo del Polinomio de Taylo or en nuesstra expressión genérica del parrámetro α para p el chirp total. Realizando esa operació ón y simplifficando las s expresion nes, obteneemos que:: ≃ + ( . ) e se estudió ó por prime era vez po or Bravetti, Ghislotti y Balsamo en el Exprresión que artícculo [11]. En E ese artículo, se lllega a esta a conclusión a partirr de resulttados num méricos. En n este caso o, se ha lle egado med diante aproximación dde la expre esión gene eral. De nuevo, ob bservamos s la gráficca de con ntorno esta primeraa aproxima ación realizada en la a figura 2.4 4: F Figura 2.4 Gráfica de e los nivele es de la primera aproximación ccalculada en e fu unción del chirp óptic co y eléctric co 22 Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos Como vemos, esa gráfica se parece muy poco, a priori, a la gráfica de la expresión genérica, aunque más adelante veremos si esta aproximación es suficiente en entornos concretos de valores de chirp. Podemos ir más allá y buscar el Polinomio de Taylor para el siguiente orden. Calculamos las derivadas en αo y αe en la expresión 2.17, que son: = θ − 2 ( · · (sin(θ ) − · · sin(θ ) − ( . = θ + + 2 sin(θ ) · (θ ) · ( . ( ) ( ) ) · sin(θ ) + 1) + 1 ) (θ ) − · · · (θ ) · · sin(θ ) + 1) + 1 ) Con ellas, calculamos el polinomio de Taylor que, evaluando cada componente en 0 y simplificando nos da: ≃ + + · (θ ) + · · sin(θ ) − (θ ) · ( · sin(θ ) + 1) + · · θ 2 ( . ) Tal expresión, evaluada en el punto de cuadratura es igual a: ≃ − · + 1 − 2 ( . ) Que, curiosamente, ya son exactamente iguales a las expresiones originales, 2.17 y 2.18, lo cual también podríamos comprobar gráficamente. Además por simple inspección de la expresión 2.23 podemos observar que, cuando αo es pequeño, tal expresión es aproximadamente igual a nuestra aproximación en la expresión 2.19. El siguiente paso será encontrar un entorno en que nuestra aproximación funcione con un error suficientemente pequeño de cara a facilitarnos el cálculo. Observando la gráfica de nuestra aproximación y la función original, vemos que el entorno donde las pendientes de ambas funciones se parecen, esto es, Estudio del chirp 23 dond de la origin nal se pare ece lo máss posible a una recta de penddiente nega ativa, es en el entorn no de 0. Así, si vemos ambas a grá áficas en u n entorno suficientem mente cerccano a 0, como c hace emos en la as figuras 2.5 2 y 2.6: Figura 2.5 5 Gráfica de d contorno o de la función origin nal en el enntorno de 0 24 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos Figura 2..6 Gráfica de contorn no de la ap proximación en el enttorno de 0 2.4.2 2 Compa aración de resultados A simple vista a, observan ndo las fig guras 2.5 y 2.6, pod dríamos assegurar qu ue tal apro oximación es útil, aunque pueden comparars se ambass expresiones num méricamente. Para ello, simplem mente resta amos 2.18 y 2.19: = − · + 1( . ) Dond de e es ell error. Pod demos verr la gráfica a de conto orno de la expresión 2.24 en la a figura 2.7 7: Estudio del chirp 25 Fiigura 2.7 Gráfica G de la diferenccia de resu ultados enttre las figu ras 2.5 y 2.6 2 Com mo esperáb bamos, en la gráfica a vemos qu ue las diferencias soon reducidas (y más cuando nos n acerca amos a enttornos de 0) y que dicha d aprooximación sería más exacta en n tales ento ornos de 0 . Adem más, pode emos obse ervar que es menos sensible e a cambi os en el chirp ópticco que a ca ambios de e chirp elécctrico. Es decir, d que el e entorno de chirp óptico ó en e el que la ap proximación es válida a es mayorr. En e efecto, vem mos que si aumentam mos el rang go de valorres del chirrp eléctrico o y el chirp p óptico, en unos lím mites simila ares a los de la figurra 2.3, nueestra gráfic ca de la diferencia de res sultados e entre una a y otra a expres iones ca ambia conssiderablem mente, como podemo os observarr en la figura 2.8: 26 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos Fig gura 2.8 Gráfica G de la diferenccia de resultados en un u entornoo más gran nde 2.4.3 3 Anulac ción del chirp c Ahorra que hem mos conseguido exprresar el ch hirp total en n función dde tanto el chirp elécttrico como o el óptico,, en vez d e a partir de los parrámetros η y γ, pode emos estudiar en qué condiciones se anu ulará el chirp. o que sabe emos que el chirp elléctrico es el único que q podem mos modific car al Dado mod dificar η, pu uesto que el chirp óp ptico viene e dado porr diseño, loo que vam mos a hace er es inten ntar enconttrar una e xpresión del d chirp eléctrico e quue haga que la exprresión del chirp c total se iguale a cero. ociendo ell chirp óptico a parti r del cono ocimiento experiment e tal del valo or de Cono γ, ha allado a pa artir de la ER E medida a en la función de tra ansferenciaa tal y com mo se deta alla en el ca apítulo 3, encontraría e amos una expresión del chirp eeléctrico ta al que hicie era que el chirp c total fuese igua al a cero. Conocido C el e valor del chirp eléc ctrico, y conocida la ecuación e que q relacio ona η con αe, podrem mos enconttrar un valo or de η tall que, a ciierto valor de γ, anu ule el chirp p total. Parra ello, y ppartiendo de d la exprresión 2.22 2, que igua alamos a ce ero: Estudio del chirp 27 + + · (θ ) + · · sin(θ ) − (θ ) · ( + · sin(θ ) + 1) · θ 2 · = 0 (2.25) De la anterior expresión aislamos αe: =− · + ( ) + · ( ) ( )· ( · ) + 1 (2.26) De cara a poder representarlo gráficamente, repetimos cálculos para la expresión en el punto de cuadratura: − · + 1 − 2 = 0( . ) Operamos para aislar αe: = + 1 − 2 ( . ) Expresión que podemos ver gráficamente en la figura 2.9: 28 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos Figu ura 2.9 Va alores del chirp c eléctrrico dependiendo dell chirp ópti co para an nular e el chirp tota al De o otro modo,, podemos s calcular ccuándo el chirp valdrá 0 para ciertos va alores de η y γ, puesto que q estoss son valores v qu ue podem mos enco ontrar expe erimentalm mente. Parra ello, tom mamos inicialmente la expressión 2.14 y la igualamos a 0:: + − sin( · +1 ) · ( − 1) = 0( . ) Aisla amos η y buscamos b cuál c es su expresión n: =− 2 · sin( ) − · ( · sin n · − sin − · + 2 · · sin ) ( . ) Estudio del chirp 29 Por tanto, si η y γ se rela acionan en ntre sí com mo en la ex xpresión 2..30, el valo or del p total será á igual a cero c y de tal modo habremos s evitado laa presencia de chirp ese fenómeno indeseado o. Tal e expresión en e punto de d cuadratu ura es simplemente igual i a: =− 1 ( . ) Pode emos obse ervar tal ex xpresión grráficamentte en la figu ura 2.10: Figura 2.10 2 Gráfic ca de la exxpresión 2.31 como η dependieendo de γ uando γ vale Com mo vemos en la figura 2.10, cu v 1 y η es igual a -1, no ha abría ninguna aporta ación del chirp c tal qu e αtot=0. Así, si conoce emos expe erimentalm ente el va alor de γ, podemos p cconfigurar η de tal m modo que anulemos a el e efecto d el chirp en n el modula ador estudiiado. 30 Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos En el siguiente capítulo se analiza la obtención de los valores de los parámetros γ, η y φ utilizados en el análisis teórico de este capítulo a partir de medidas experimentales. Cálculo experimental de los parámetros en la expresión general del chirp 31 CAPÍTULO 3. CÁLCULO EXPERIMENTAL DE LOS PARÁMETROS EN LA EXPRESIÓN GENERAL DEL CHIRP En el anterior capítulo, en el que hemos estudiado el fenómeno del chirp, hemos usado con asiduidad los parámetros γ, η y φ. Aunque al escribir las respectivas formulaciones del campo Eout hemos explicado resumidamente qué eran tales parámetros, en este capítulo pasaremos a explicar cómo podemos obtenerlos de modo experimental. 3.1 Parámetro γ Partiendo de la expresión 1.10, pero de forma que tengamos en cuenta las posibles diferencias de fase eléctrica entre la señal de RF que llega a cada uno de los electrodos: · ( ) + · · · ( ) ( . ) Donde θRF = VRF·π/Vπ y φ es la diferencia de fase entre las señales que se aplican a cada electrodo. A partir de esa expresión, realizamos la expansión de Jacobi-Anger, que es un modo de expandir exponenciales de funciones trigonométricas cuya expresión general es: ( ) = ( )+2 ( ) cos( · )( . ) Donde Jn es la función de Bessel n-ésima. Realizando pues la expansión de Jacobi-Anger de la expresión 3.1, obtenemos: ( )+2 ( ) cos( )+ · ( ( · (3.3) )+2 · cos( + ) 32 Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos La parte CW (Continuous Wave) se puede reescribir del siguiente modo: ( )+ · ( ( · )( . ) A la hora de calcular experimentalmente el valor de γ consideraremos VRF=0 o lo que es lo mismo, no aplicaremos señal de RF al modulador sino solo de señal de bias. De este modo, sabiendo que la función de Bessel de grado 0 evaluada en 0 es igual a 1, tendremos que la expresión anterior es ahora igual a: 1+ ( . ) La intensidad que se mida a la salida del modulador será igual al módulo al cuadrado de la expresión anterior: 1 + γ · = 1 + γ + 2 · γ · cos(2 · )( . ) Cambiamos el bias para pasar de un máximo a un mínimo de intensidad, teniendo así un máximo en: 1 + γ + 2 · γ( . ) Y un mínimo en: 1 + γ − 2 · γ( . ) Si dividimos ambas expresiones, obtenemos que: = 1+γ +2·γ 1+ = 1+γ −2·γ 1− ( . ) Cálculo experimental de los parámetros en la expresión general del chirp 33 En definitiva, encontrar el valor del parámetro γ sería encontrar el valor de la ER o Extinction Ratio de nuestro modulador. Podemos reescribir la expresión de la ER con la expresión obtenida en 3.9, de modo que: = 20 log 1+ 1− ( . ) De ahí podemos aislar el parámetro γ de modo que: = 10 −1 10 +1 ( . ) En realidad, la solución de γ es doble, pero escogemos solo aquella que hace que γ esté entre 0 y 1. De este modo, conociendo el valor de la ER (un valor típico es 40 dB), podemos calcular el valor de nuestro parámetro γ. Por consiguiente, podríamos utilizar el valor del parámetro γ encontrado para calcular el valor de η para conseguir un sistema con un chirp total igual a 0, tal y como hemos hecho en el capítulo 2, utilizando, dependiendo del punto donde estudiemos nuestro sistema, las expresiones 2.26 o 2.27. Tal cálculo nos es realmente útil puesto que el parámetro γ es fijo y viene dado por las características físicas del modulador, mientras que el parámetro η podemos modificarlo variando la cantidad de señal eléctrica que introducimos en cada una de las ramas disponiendo de un modulador dual-drive (con un conector independiente para cada guía óptica) en el cual puede realizarse tal acción. Para ello necesitamos saber cómo calcular de modo experimental ese parámetro, cosa que resolveremos a continuación. 34 Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos 3.2 Parámetro η Recordemos que este parámetro relaciona las amplitudes de las tensiones aplicadas a cada una de las ramas del modulador MZ y que, por tanto, es el único parámetro que podemos modificar en caso de tener un modulador dualdrive, en contra del parámetro γ que nos viene dado físicamente por el propio modulador. Cabe decir que lo usual en la práctica es disponer de moduladores single-drive basados en línea coplanar como los descritos en el capítulo 1. No obstante, basados en estos resultados podrían plantearse configuraciones en las que fuese posible controlar un cierto desequilibrio entre las amplitudes de señal en cada electrodo al objeto de reducir e incluso anular el nivel del chirp del modulador. La idea para obtener η experimentalmente es medir la potencia de señal continua a la salida del modulador para diferentes valores de RF, es decir, ir variando el nivel de RF hasta que la señal de salida se cancela. Desde el punto de vista experimental, tal punto se puede determinar con precisión. Igualamos a cero la expresión 3.4, reescribiéndola tal que: ( )− ·( ( · )) = 0( . ) Para proceder, debemos observar la salida continua del modulador e ir modificando VRF hasta que encontremos el punto en el cual dicha tensión provoca que la continua sea igual a cero. Lo que queremos, pues, será encontrar el valor de VRF para el cual la componente continua de la salida del modulador sea exactamente igual a 0 y, a partir de ahí, podremos trabajar la expresión para encontrar el valor de η. Podemos reescribir 3.12 de modo que: ( ( · ) ) = ( . ) Cálculo experimental de los parámetros en la expresión general del chirp 35 Viendo así que nos hallamos ante un nuevo modo de caracterizar el parámetro γ en caso de que por alguna circunstancia conozcamos previamente el valor de η. Por tanto, conociendo los valores de RF y γ, procederemos a encontrar para qué valor la función de Bessel de orden cero cumple la siguiente igualdad: ( · ( )= ) ( . ) 3.3 Parámetro φ Este parámetro lo mediremos con la ayuda de un analizador de redes que sea capaz de heterodinar una señal mostrando las bandas positiva y negativa del espectro tal y como hemos explicado en el apartado 1.1.3. El analizador debe ser VNA dado que lo que vamos a observar es fase. Para proceder, deberemos tomar la parte de 3.3 dependiente de la frecuencia que anteriormente no tuvimos en cuenta puesto que aplicábamos señal de RF. Tenemos pues: 2 · ( )· ( ) + (2 · ( · ) · cos( + )) · · ( . ) Podemos reescribir tal expresión en modo exponencial, con lo que obtendríamos lo siguiente: 2 · ( )· ± + · ( · ( · ) ) · ± · ± ( . ) De nuevo reescribiremos la expresión de modo que trabajaremos solo con la parte entre paréntesis de 3.16: + · ( · ( ) ) · · ( ) ( . ) 36 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos Que es la banda positiva a del espe ectro. En efecto, e hete erodinandoo nuestra señal s bservar ta ambién la banda negativa, siguiendoo la siguiente podrremos ob exprresión: + · ( · ( ) ) · · ( ) ( . ) De e este modo o, realizand do cambio os en la te ensión de bias podeemos conseguir que se anule una u de las bandas (p positiva o negativa) n del d espectrro, en un modo m simillar al del anterior a ap partado y cconsiguiend do, de nue evo, una bbuena prec cisión de la a medida. ervando trras heterodinar tanto o la banda a positiva como la bbanda neg gativa Obse tend dremos algo similar a lo que pod demos obs servar en las figuras 3.1 y 3.2: Figu ura 3.1 Ba nda positiv va del espe ectro Cálculo experimental de los parámetros en la expre esión general de el chirp 37 Figu ura 3.2 Ban nda negativa del espectro Proccederemoss pues a encontrar para qué é valores de θb cadda una de e las band das tiene un u valor mínimo, enccontrando un valor pa ara la bandda positiva a y la band da negativa a y que co onoceremo os respectiv vamente como θb1 y θ b2. A partir de la as expres siones 3.1 7 y 3.18 podemos s observarr que parra la componente exponencia al relaciona ada con el parámetro o φ tendrem mos un míínimo cuan ndo tenga un valor igual a π, de modo que nos encontrareemos ante e dos exprresiones ta ales que: + = ( . ) − = ( . ) En la as que, tra as operar, podemos p l legar a la siguiente s expresión: e = − 2 ( . ) 38 Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos Con la que conseguimos caracterizar el parámetro φ cuándo son conocidos los valores de θb1 y θb2 que son los valores que permiten anular respectivamente las bandas positiva y negativa en el espectro de la señal óptica modulada. Métodos comerciales de medida del chirp 39 CAPÍTULO 4. MÉTODOS COMERCIALES DE MEDIDA DEL CHIRP Una vez estudiado el fenómeno del chirp, uno de los objetivos del presente trabajo ha sido investigar los diferentes métodos que las empresas que en la actualidad suministran productos relacionados con la fotónica utilizan para la caracterización y la medida del chirp en moduladores MZ. 4.1 Método de la discriminación de frecuencias En la empresa Photline Technologies, afincada en Besançon (Francia), el método utilizado principalmente para la medida del chirp en moduladores electroópticos es el de la discriminación de frecuencias. En este método, se utiliza un interferómetro Mach Zehnder (MZI) a la salida del modulador, componente que se ha explicado en el apartado 1.1.2. 4.1.1 Funcionamiento El dispositivo de medición se basa en la utilización de un analizador de redes vectorial o VNA (Vectorial Network Analyzer) de hasta 20 GHz. El puerto de salida se conecta a la entrada RF del modulador a testear mientras que a la fibra de entrada del modulador se conecta un emisor láser. La fibra de salida del modulador se conecta a un interferómetro Mach-Zehnder basado en fibra óptica monomodo y compuesto por dos ramas de una longitud ligeramente diferente de modo que el rango espectral libre del filtro óptico sea de aproximadamente 50 GHz. Una de las ramas se equipa de una cuña piezoeléctrica para aplicarle una señal de modo que se mantenga la FSR del interferómetro. Una de las salidas del interferómetro está conectada a un detector óptico o fotodetector para controlar el punto de funcionamiento a partir del nivel de potencia óptica medido. La otra salida se conecta a otro fotodetector a su vez conectado al puerto de entrada del VNA. El principio de medida consiste en la aplicación de una señal de modulación de frecuencia variable y amplitud fija como señal de calibración en el modulador. 40 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos Pode emos obse ervar un esquema e d del montaje e para la realizaciónn de la me edida med diante este método en n la figura 4.1: Figu ura 4.1 Esquema de medida de el chirp por el método de la disscriminació ón de ffrecuencias El sistema bassa su funcio onamiento o en el estu udio de la intensidad a la salida a del interrferómetro en pendie ente positivva y negativ va. Inicialm mente, partte de: ( )= ( )· ( ( )) ( . ) de P es la potencia óptica a. Para la a expresió ón de la salida en e el Dond interrferómetro Mach-Zeh hnder (MZI ) se usa típicamente la expresiión: ( ) = | ( ) + ( − )| ( . ) el que apa arece un re etraso tem poral τ de ebido a los s rayos qu e se comb binan En e de n nuevo. Pod demos verr un esque ema del dis scriminado or de frecuuencias ba asado en u un interferó ómetro Mac ch-Zehnde er en la figu ura 4.2: Método os comerciales de medida del chirp 41 Fig gura 4.2 Discriminad D dor de freccuencias a partir de un u interferóómetro Mac chZehnder ustituimos E(t) en la expresión n 4.2 por la a expresión n 4.1 tal y como exp plican Si su Hui y O’Sulliva an en [13] obtenemoss tras desa arrollar las expresionnes cuadrá áticas y considerando o que en cada c rama tendremos s un valor de potenciia diferente e: ( )= ( )+ ( ) ( − ) · coss(∆ + ( − )+2 )( . ) de ∆ , qu ue conoce eremos co omo fase de bias del d MZI y que no debe Dond conffundirse co on la fase de d bias dell modulado or, es defin nida por: ∆ ( )= ( ) − ( − )( . ) Pode emos conssiderar que e, bajo la condición de que el tiempo dee retardo entre e las d dos ramass del interfferómetro sea much ho más pequeño quee el tiemp po de cohe erencia de la fuente: ( )− ( − ) ≃ · = ∆ ( ) · ( . ) 42 Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos Donde ∆ω(t) es el valor del chirp, escrito así para mayor comodidad. Si ahora configuramos en 4.3 de modo el interferómetro trabaje en la otra pendiente, tenemos que puede ser reescrita del siguiente modo: ( )= ( )+ ( − )−2 ( ) ( − ) · sin(∆ ( ) · ) ( . ) Y si de ahí aislamos el valor del chip, obtenemos la siguiente expresión: ∆ ( )= 1 · ( )+ ( − )− ( ) ( ) ( − ) 2 ( . ) Así pues para obtener el valor del chirp necesitamos conocer P1, P2 e I(t). Para ello, primeramente deberá verse la función de transferencia en el dominio frecuencial del interferómetro, que será una sinusoide. Si medimos el período de la sinusoide, al que llamaremos , lo podremos relacionar con el valor , puesto que este valor se relaciona con la frecuencia anterior de modo que: = 1 ( . ) Seguidamente, bloquearemos la primera rama del interferómetro de modo que mediremos la forma de onda I2(t). I2(t) se relaciona con la potencia P2(t) mediante: ( )=ℜ ( )≃ ( )( . ) Donde ℜ es la responsividad del fotodiodo que consideramos aproximadamente 1, quedando de este modo la expresión 4.7 tal que: ∆ ( )= · ( )+ ( − )− ( ) 2 ( ) ( − ) ( . ) Métodos comerciales de medida del chirp 43 A continuación, repetiremos el anterior paso pero bloqueando esta vez la segunda rama del interferómetro de modo que midamos la forma de onda I1(t). Y desde ese momento podemos otorgar un valor al chirp conociendo I1(t), I2(t) e I(t) que no es más que la intensidad en la fase de bias del interferómetro que hayamos seleccionado para la medición. No obstante, el hecho de tener que bloquear una de las ramas del interferómetro para cada medida es en sí un método complicado y costoso, y Photline utiliza las pendientes positiva y negativa. Esto es, si la fase de bias del interferómetro ∆ se sitúa en el punto π/2+2kπ, la pendiente es positiva y por tanto reescribiremos 4.6 de modo que: = ( )+ ( − )+2 ( ) ( − ) · sin(∆ ( ) · ) ( . ) Por el contrario si nos encontramos en la pendiente negativa, es decir, con la fase de bias del interferómetro ∆ en 2kπ-π/2: = ( )+ ( − )−2 ( ) ( − ) · sin(∆ ( ) · ) ( . ) Podemos ver una gráfica de la variación de intensidad y los puntos utilizados para la medición en la figura 4.3: 44 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos Figura 4..3 Función de transfe erencia dell interferóm metro Machh-Zehnder A pa artir de 4.11 y 4.12 po odemos esscribir dos nuevos pa arámetros: ( )+ 2 = ( ) = ( ) ( . ( )+ ) Y: = ( )− 2 ( ) ( ) ( ) · sin(∆ ( ) · )( . =2 ) odemos co ombinar am mbas expre esiones para obtenerr: Y po ∆ ( )= · ( )+ 2 ( ) ( ) ( ) · ( ) ( . ( ) ) Si en n un caso ideal las fibras son d de 3dB, en ese caso P1(t)=P2(t)) y por tantto pode emos reescribir 4.15 de modo q que: Métodos comerciales de medida del chirp 45 ∆ ( )= ( )− ( )+ · ( ) ( . ( ) ) En caso de no idealidad de las fibras, consideramos P2(t)=ηP1(t) y por tanto la expresión 4.16 queda tal que: ∆ ( )= · 1+ 2 · ( )− ( )+ ( ) ( . ( ) ) Dado que η es un parámetro conocido de las fibras, que no debe confundirse con el parámetro anteriormente estudiado y expresado con la misma letra, el valor del chirp puede ser fácilmente definido. 4.2 Método de la discriminación de frecuencias mediante un filtro gaussiano Este método es también utilizado por la empresa francesa Photline Technologies y es similar al método de la discriminación de frecuencias. La diferencia principal estriba en que se utiliza un filtro gaussiano a la salida del modulador Mach-Zehnder a testear en lugar de un interferómetro. 4.2.1 Funcionamiento El montaje experimental para realizar la medición del chirp según este sistema es similar al anterior. Podemos ver un ejemplo de montaje en la figura 4.4: 46 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos Figura 4..4 Esquem ma de monttaje para el e método de d discrimi nación de frecu uencias me ediante un filtro gaussiano Phottline usa para p este montaje u n filtro gau ussiano sintonizablee. La pendiente máxxima del filttro es de va alor: = √2 ( . √ ·∆ ) endiente mínima m con n exactame ente el mismo valor que 4.18 pero nega ativo. Y pe La a anchura esspectral us sual en Ph hotline a 1//e es de ∆ =1.3 nm. Expresad do en frecu uencia, ussando la mitad de la anchura del espectro, la diferencia a de -1 frecu uencias ess 81 GHz lo cual da a una pend diente máx xima de (994 GHz) y un desp plazamientto lateral de ∆F/√2=5 57 GHz. Para a caracterrizar el chirp c se rrealizan dos d medic ciones succesivas de d la mod dulación de intensid dad, una en la pen ndiente ne egativa y la otra en e la pend diente positiva. Tales s medidass, realizables gracias s a la sintoonizabilidad d del filtro, cumplirá án la siguie ente expressión: Métodos comerciales de medida del chirp 47 ±( )= 1± √2 ∆ ( ) ∆ ( . ) Donde Io es la potencia óptica máxima de la señal sin filtro óptico o la máxima potencia en la función de transferencia del filtro gaussiano. A partir de la expresión anterior podemos deducir, pues, la excursión frecuencial que es lo que conocemos como chirp: ∆ ( )= − 2· · · ∆ √2 ( . ) Observamos que el caso es similar al de la discriminación de frecuencias mediante un interferómetro Mach-Zehnder, con la diferencia de que aunque el montaje y setup del método es más sencillo que en el caso anterior, la necesidad de utilizar un filtro sintonizable lo hace sustancialmente más caro. 4.3 Método de la medida del espectro El método de la medida del espectro de salida es utilizado por la empresa española con sede en Zaragoza Aragon Photonics aunque fue desarrollado inicialmente por la empresa francesa Photline Technologies en colaboración con la Université del Franché Comté, en Francia. Aragon Photonics ha perfeccionado el método con la introducción del analizador de espectros BOSA desarrollado por la propia empresa, del cual hablaremos más adelante. Según sus desarrolladores, este método permite medir el parámetro alfa relacionado con el chirp con una precisión del 5% independientemente del valor de la Extinction Ratio del modulador. 4.3.1 Funcionamiento El esquema de montaje de este método de medición del chirp es más simple que en los casos anteriores aunque precisa de más cálculos y mediciones a realizar. Para este caso, Aragon Photonics utiliza generalmente un diodo laser polarizado a 1.55μm que se conecta al modulador Mach-Zehnder a 48 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos cara acterizar, que q debe ser s dual-d rive. Adem más, se co onecta al m moduladorr una fuen nte de conttinua ajusta able para polarizarlo o con fases s diferentees entre las s dos rama as del Macch-Zehnder. Al m modulador se aplica una tensió ón sinusoid dal de form ma V(t)=Vo cos(Ωt) siendo Ω la a frecuenccia de mo odulación. A la salida del modulador m a un se coloca analizador de espectros e óptico. El ccampo ópttico a la sa alida se exppresa com mo: ( )= · ( · ) ( + ) ( . ) Dond de ωo y Eo son res spectivame ente la fre ecuencia y la amplittud de la onda ópticca, γ es el parámetro o estudiad do previam mente en es ste trabajoo en el cap pítulo 3, y por último o A1 y A2 indican la magnitud de la fase óptica indducida en cada rama a, que se relaciona con el antteriormente estudiad do parámeetro η de modo m que: = ( . ) de observvarse un esquema básico de el montaje e para esste método o de Pued med dida en la figura 4.5: Fiigura 4.5 Esquema E de d montaje e para el método m de la medida del especttro Métodos comerciales de medida del chirp 49 En este método, detallado por Courjal, Dudley y Porte [4], se recalcula la expresión del parámetro α según la expresión 2.2 a partir de la 4.21 de modo que la expresión de tal parámetro en el punto de cuadratura es igual a: = + · ·( − ) ( . ) El método propuesto consiste en la caracterización de A1, A2 y γ a partir de la densidad espectral y a partir de su conocimiento encontramos el parámetro α desde la anterior expresión 4.23. Si usamos la relación 4.22 en la expresión 4.23 llegaremos a: = 1+ · ( . · ( − 1) ) Que no es sino la expresión de la que partíamos en el capítulo 2 para conseguir expresar el chirp total en función de chirp óptico y chirp eléctrico, expresada en el punto de cuadratura π/2. A partir de la expresión 4.21 se puede efectivamente comprobar que la densidad espectral puede permitir el determinar A1, A2 y γ si se configura la bias correctamente. Efectivamente, si la bias se ajusta a 0 el espectro de salida en pequeña señal puede escribirse como: ( )= · (1 + ) · ( − )+ 4 ·( + ) · −( ± )( . ) ± )( . ) Mientras que si se ajusta a π, el espectro de salida pasa a ser: ( )= · (1 − ) · ( − )+ 4 ·( − ) · −( Para determinar los diferentes parámetros que definen el chirp se selecciona la fase de bias igual a 0 comprobando y monitorizando la fuente de potencia de modo que el pico central de la densidad espectral sea máximo. 50 Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos En ese momento se realizan las medidas del pico central, que se conocerá como Io(ωo), y el de la primera banda lateral que se conocerá como Io(ωo+Ω). Acto seguido deben repetirse las medidas para una bias de π, que se conocerán como Iπ(ωo) y Iπ(ωo+Ω) respectivamente. Operando a partir de 4.25 y 4.26, este método relaciona A1, A2, γ y α con la densidad espectral I del siguiente modo: = / / / ( / ( )· )· )− / ( ) / ( )+ / ( ) / ( =2· / ( ( =2· = / / / ( ( ( . ) + )+ / ( + ) ( )+ / ( ) + )− / ( + ) ( / ( ) ( )· )− / + )+ + )− / ( )· / / ( . ) ( . ) ( ( + ) ( . ) + ) Podemos ver un ejemplo de medida de la salida óptica del modulador para realizar este método de medición del chirp en la figura 4.6: Método os comerciales de medida del chirp 51 F Figura 4.6 6 Ejemplo de d medida del espec ctro óptico con c bias iggual a 0 y π Rela acionándolo con la as expres iones des sarrolladas s en el capítulo 2, y combinando 4.22 con 4.2 24 y 4.25 ttenemos que: = 2· / ( ( ( + )−2 )− ( / ( + ) )) · (4 · ( · / ( + )−4· )+ ( / ( + )) ) ( . ) De m modo que estamos ante a un mé étodo para a caracteriz zar el chirpp basado en la med dida experiimental de e los pará ámetros γ y η de un n modo siimilar a lo o que mos realizado en el capítulo c 3.. Es decir,, ambos métodos m tieenen el mismo m hem objetivo, caraccterizar los diferentess parámetrros del chirrp, pero see acercan hacia h tal ca aracterizacción de mo odos difere entes. En e este caso,, Photline no tiene en cuenta a el parám metro φ quue nosotro os sí tene emos cuen nta en nu uestro mé étodo de caracteriz zación expperimental del capíítulo 3, mie entras que e por otro lado no considera c el e valor dee VRF com mo un valor conocido (a parttir del va alor de Vπ encontrrado en la función n de transsferencia) y también n lo define experimentalmente.. En este ccaso, A1 no n es más que el vallor de VRF. Adem más, en esste método o no es ne cesario he eterodinar las señaless ópticas como c sí lo es en nue estro caso al aproveccharse de la alta resolución deel analizado or de espe ectros ópticco utilizado o. 52 Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos Por su parte, Aragon Photonics ha desarrollado un analizador de espectros óptico de alta resolución (conocidos por las siglas inglesas HROSA), al que ha bautizado como BOSA, capaz de realizar los anteriores cálculos automáticamente mediante la función implementada en el BOSA conocida como Macro Toolfunction. Dicha función permite crear al usuario sus propias “macros” (es decir, pequeños programas) para que el analizador realice cálculos automáticamente. La principal ventaja del BOSA no obstante radica en el aumento en la precisión a la hora de medir el parámetro α, debido a la alta resolución frecuencial que ofrece. Conclusiones 53 CONCLUSIONES En este trabajo de fin de carrera se ha efectuado una revisión de los conceptos básicos relativos a los moduladores electro-ópticos Mach-Zehnder. Se ha visto que los moduladores electro-ópticos Mach-Zehnder se fabrican a partir de cristales en los que tiene lugar el efecto Pockels o efecto electróptico, gracias al cual puede modularse la fase de una onda óptica que viaja por el cristal a partir de las variaciones temporales de una señal eléctrica aplicada a los electrodos conductores depositados sobre el cristal. La modulación de fase se transforma en una modulación de amplitud mediante una configuración interferométrica conocida con Mach-Zehnder, de ahí el nombre de este tipo de moduladores. A partir de su principio de funcionamiento básico se ha deducido la expresión matemática de la función de transferencia de los moduladores, y se han definido sus parámetros básicos. Adicionalmente se ha estudiado el efecto Pockels, en el que basan su funcionamiento los moduladores electro-ópticos, y se han estudiado las diferentes clasificaciones según el corte del cristal, proponiendo modos para diferenciarlos. Se ha estudiado detalladamente el fenómeno del chirp, que hemos definido como la fase residual que aparece junto a la modulación de amplitud, diferenciando claramente los diferentes orígenes que pueden provocarlo, tanto eléctrico como óptico. Junto con esto se han encontrado expresiones que definen el fenómeno del chirp, tanto en el punto trabajo más habitual, el punto de cuadratura, así como de un modo general, en función de parámetros que sean experimentalmente medibles. Igualmente se ha encontrado para facilitar los cálculos una aproximación funcional en entornos suficientemente cercanos a cero. Por otro lado y partiendo de las expresiones encontradas se ha establecido bajo qué condiciones se consigue anular el chirp. Adicionalmente, se han propuesto métodos para caracterizar experimentalmente los parámetros que definen tales condiciones. Esos métodos de medición son suficientemente precisos y sencillos en cuanto que no exigen la utilización de excesivos recursos. 54 Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos De la misma forma, se han descrito y analizado diferentes métodos de caracterización del chirp utilizados por empresas comerciales, encontrando ventajas y desventajas de los mismos además de definir cuáles son los componentes para su montaje experimental. Concretamente, se concluye que tales métodos requieren de componentes de precio elevado, como es el caso de un filtro sintonizable o un analizador de espectros óptico de alta resolución (HROSA). En cuanto a líneas futuras de investigación, se propone como tema de futuros trabajos la puesta en práctica de los métodos aquí planteados para la medida de los parámetros básicos de los moduladores y su contrastación con las expresiones analíticas aquí encontradas. Otra propuesta sería la de comprobar si el método para el cálculo del chirp y la anulación del mismo podría dar lugar a aplicaciones comercialmente rentables. Referencias 55 REFERENCIAS [1] Koyama, Fumio e Iga, Kenichi, “Frequency Chirping in External Modulators”, Journal of Lightwave Technology, Vol.6, nº 1, Págs 87-93, Enero 1988 [2] Gorman, T. y Haxha, S., “Full-wave Comparison of Z-Cut and X-Cut Lithium Niobate (LiNbO3) Electrooptic Modulators Using Finite Element Method”, Proceedings of the World Congress on Engineering, Vol.1, 2007 [3] Sorin, Wayne V.; Chang, Kok Wai; Conrad, Geraldine A. y Hernday, Paul R., “Frequency Domain Analysis of an Optical FM Discriminator”, Journal of Lightwave Technology, Vol.10, nº 6, Págs 787-793, Junio 1992 [4] Courjal, N; Dudley, J.M. y Porte, H, “Extinction-ratio-independent Method for Chirp Measurements in Mach-Zehnder Modulators”, Optics Express, Vol.12, nº 3, Págs 442-448, Febrero 2004 [5] Schiess, M., y Carldén, H., “Evaluation of the Chirp Parameter of a MachZehnder Intensity Modulator”, Electronic Letters, Vol.30, nº 18, Págs 15241525, Septiembre 1994 [6] Oikawa, Satoshi; Kawanishi, Tetsuya e Izutsu, Masayuki, “Measurement of Chirp Parameters and Halfwave Voltages of Mach-Zehnder – Type Optical Modulators Using a Small Signal Operation”, IEEE Photonics Technology Letters, Vol.15, nº 5, Págs 684-684, Mayo 2003 [7] Oikawa, Satoshi; Kawanishi, Tetsuya; Izutsu, Masayuki y Kogo, Kenji, “Direct Measurement of Chirp Parameters of High-Speed Mach-Zehnder-Type Optical Modulators”, Optics Communications, nº 195, Págs 399-404, 2001 [8] Devaux, F.; Sorel, Y. y Kerdiles, J.F., “Simple Measurement of Fiber Dispersion and of Chirp Parameter of Intensity Modulated Light Emitter”, Journal of Lightwave Technology, Vol.11, nº 12, Págs 1937-1940, Diciembre 1993 [9] Kim, Hoon y Gnauck, Alan H., “Chirp Characteristics of Dual-Drive MachZehnder Modulator With a Finite Extinction Ratio”, IEEE Photonics Technology Letters, Vol.14, nº 3, Págs 298-300, Marzo 2002 [10] Walklin, Sheldon y Conradi, Jan, “Effect of Mach-Zehnder Modulator DC Extinction Ratio on Residual Chirp-Induced Dispersion in 10-GB/s Binary and 56 Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos AM-PSK Duobinary Lightwave Systems”, IEEE Photonics Technology Letters, Vol.9, nº 10, Págs 1400-1402, Octubre 1997 [11] Bravetti, P.; Ghislotti, G. y Balsamo, S, “Chirp-Inducing Mechanisms in Mach-Zehnder Modulators and Their Effect on 10 Gb/s NRZ Transmission Studied Using Tunable-Chirp Single Drive Devices”, Journal of Lightwave Technology, Vol.22, nº 2, Págs 605-611, Febrero 2004 [12] Djupsjobacka, Anders, “Residual Chirp in Integrated Optic Modulators”, IEEE Photonics Technology Letters, Vol.4, nº 1, Págs 41-43, Enero (1992) [13] Hui, Rongqing y O’Sullivan, Maurice, Fiber Optic Measurement Techniques, Elsevier Academic Press, Londres, 2009 [14] Fernández, Lorena y Cardona, Josep, “Estudio de técnicas de modulación para enlaces ópticos”, TFC, Febrero 2009 [15] Liébana, Mireia y González, Jennifer, “Sistemas de predistorsiónlinealización para enlaces ópticos”, TFC, Junio 2010 Anexo 57 AN NEXO OS TÍTU ULO DEL TFC: T Méto odos de ca racterización de mod duladores eelectroópticcos TITU ULACIÓN: Ingeniería a Técnica d de Telecom municación n, especiallidad Siste emas de Telecomuni T icación AUT TOR: Jaum me Díaz Alonso A DIRE ECTOR: María M Conc cepción Sa antos Blanc co CHA: FEC 58 Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos Anexo 1: Programas utilizados en MATLAB Función para cálculos de las expresiones del capítulo 2: syms eta lambda phi xo xe chirptot=xe+1/((eta-1)*sin(phi))*(eta+1-(eta*lambda^2+1)/lambda); % esta es la %funcion completa del chirp total chirptotphi=(eta*lambda^2+1)/(lambda*(eta-1)); eta_ec=(tan(phi/2)*xe+1)/(tan(phi/2)*xe-1); % esto es n en funcion de xe lambda_ec=-sin(phi)*xo+sqrt(xo^2*(sin(phi))^2+1); % esto es l en funcion de xo ss=subs(chirptot,lambda,lambda_ec); chirptot_gener=simple(subs(ss,eta,eta_ec)); %funcion generica en funcion de n %y l diff_xe=diff(chirptot_gener,xe); diff_xo=diff(chirptot_gener,xo); diff_xe1=subs(diff_xe,xe,0); diff_xo1=subs(diff_xo,xo,0); generica_en_phi=simple(simple(subs(chirptot_gener,phi,pi/2))); chirp_aprox=simple(subs(chirptot_gener,xo,0)+subs(chirptot_gener,xe,0)); chirp_aprox_diff=simple(simple(diff_xo1*xo+diff_xe1*xe)); %aproximacion %primer orden aprox_diff_en_phi=simple(simple(subs(chirp_aprox_diff,phi,pi/2))); %aproximacion en punto de cuadratura aa=diff(diff_xe,xe); ab=diff(diff_xe,xo); ac=diff(diff_xo,xe); ad=diff(diff_xo,xo); segundader=simple(chirp_aprox_diff+1/2*(xe^2*(subs(aa,xe,0))+xo^2*(subs(ad, xo,0))+subs((subs(ac,xo,0)),xe,0)*xe*xo+subs((subs(ab,xo,0)),xe,0)*xe*xo)); %aproximacion segundo orden segundader_phi=simple(subs(segundader,phi,pi/2)); %aprox segundo orden en %cuadratura Anexos Función para gráficas de expresiones y errores: ae=[-0.3:0.001:0.3]'; ao=[-0.3:0.001:0.3]; mm=ones(size(ae))*ao;%matrix auxiliar mm3=ae*ones(size(ao));%matrix auxiliary res=mm-ae*((ao.^2+1).^1/2)+mm3.*2;%aprox_diff_en_phi reformulada para poder observarla en grafica res2=ae*ones(size(ao))+ones(size(ae))*ao;%chirp_aprox reformulada resgener=mm-ae*((ao.^2+1).^1/2)+mm3.*2;%generica_en_phi reformulada error=resgener-res2; figure(1) [c,h]=contour(ao,ae,res2);clabel(c,h); figure(2) [c,h]=contour(ao,ae,res);clabel(c,h); figure(3) [c,h]=contour(ao,ae,resgener);clabel(c,h); figure(4) [c,h]=contour(ao,ae,error);clabel(c,h); 59 60 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos Ane exo 2: Arrtículos de interé és Anexos 61 62 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos Anexos 63 64 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos Anexos 65 66 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos Anexos 67 68 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos Anexos 69 70 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos Anexos 71 72 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos Anexos 73 74 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos Anexos 75 76 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos Anexos 77 78 Método os de caracteriz zación de modulladores electro--ópticos