UNIDAD 5: CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL: COLISIONES

PROBLEMAS EXAMEN FINAL SEM 01-2013
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UNIDAD 5: CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL: COLISIONES
CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE
MOVIMIENTO LINEAL
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PROBLEMA 5.2: COLISIÓN INELÁSTICA
Dos vagones idénticos A de y B del
metro de masa 10.000 kg colisionan
como se muestra en la figura. Si los
vagones quedan acoplados como
resultado de la colisión, calcule su
velocidad después de dicha colisión.
SOLUCIÓN
Los dos vagones constituyen un sistema aislado y, por tanto, se cumple el principio de
conservación del momentum lineal.
⃗
⃗
,
Los vagones A y B se mueven juntos hacia la derecha, con una rapidez de:
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PROBLEMA 5.3 VELOCIDAD DE RETROCESO
Calcule la velocidad de retroceso de un rifle de
0.5 kg que dispara una bala de 0.020 kg a una
velocidad de 620 m/s. (Vea la figura).
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SOLUCIÓN
Sean:
Aplicando el principio de la conservación de la cantidad de movimiento lineal, obtenemos:
TEOREMA DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Forma general de la segunda ley de Newton:
⃗
⃗
∫
⃗
∫ ∑⃗
⃗
∑⃗
.
⃗
⃗
∑⃗
∫ ∑⃗
⃗
La cantidad:
partícula.
⃗
∫ ∑⃗
se denomina el impulso de la fuerza neta que actúa sobre la
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COLISIONES
En esta secci n se usa la ley de conservaci n de cantidad de movimiento lineal para describir lo que
ocurre cuando chocan dos part culas. El termino colisión representa un evento durante el que dos
part culas se acercan una a la otra e interact an mediante fuerzas. Se supone que las fuerzas de
interacci n son mucho mayores que otras fuerzas externas cualesquiera, asi que se puede usar la
aproximaci n del impulso.
Una colisi n puede involucrar contacto f sico entre dos objetos macrosc picos, como se describe en la
figura (a), pero la noci n de lo que significa una colisi n se debe ampliar porque “contacto f sico” en una
escala sub-microsc pica est mal definido y por lo tanto no
COLISIÓN ELÁSTICA
Es aquella en la cual se conserva, además de la cantidad de movimiento, la energía cinética del
sistema. Cuando la colisión sea inelástica –como en el caso de los vagones del metro- entonces, la
energías cinética del sistema no se conserva.
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El teorema del impulso y la cantidad de movimiento establece que: El cambio en la cantidad de
movimiento que experimenta una partícula sobre la actúa una fuerza neta, es igual al impulso que
dicha fuerza produce sobre dicha partícula.
⃗
PROBLEMA 5.4
Estime el impulso y la fuerza promedio debidos
a un golpe de karate que rompo unas tablas de
unos pocos cms. de espesor. Asuma que la
mano de la karateca se desplaza 1 cm
aproximadamente a
. justo antes de
golpear las tablas. La masa de la mano es
aproximadamente
4
SOLUCIÓN
La magnitud del impulso es:
| ⃗|
| ⃗|
(
)(
La fuerza promedio se obtiene de la ecuación:
)
¿Quién es
?...
̅
La velocidad media es:
̅
Por lo tanto,
̅
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PROBLEMA
Una bola de masa m está amarrada al
extremo del asta de una bandera que
está conectada al lado de un alto
edificio en el punto P, que se muestra
en la figura de la derecha. La longitud
del asta es y forma un ángulo
u
con el eje x. La bola se suelta y
comienza a caer con aceleración
⃗
(a)
Determine
la
cantidad
de
movimiento angular de la bola con
respecto al punto P como una función
del tiempo. (b) ¿Por qué razón física
cambia la cantidad de movimiento
angular? (c) ¿Cuál es la razón de
cambio?
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(a) El momentum angular de la bola con respecto al punto P es:
⃗⃗
⃗
(
Donde, el vector de posición es: ⃗
⃗
( )̂
⃗
La velocidad de la bola en caída libre es: ⃗
⃗.
( ) ̂)
̂
̂
Y, el momentum lineal buscado es:
⃗⃗
[
( )̂
(
( )
) ̂]
[
̂]
(b) ¿Cuál es la razón para que cambie el momentum angular?
Por qué la tierra ejerce un torque sobre la bola. ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
.
(c) ¿Cuál es la razón de cambio del momentum angular de la bola?
( ).
PROBLEMA
(a) Modele la Tierra como una
esfera uniforme. Calcule la cantidad
de movimiento angular de la Tierra
debida a su movimiento de giro en
torno a su eje. (b) Calcule la
cantidad de movimiento angular de
( )̂
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la Tierra debida a su movimiento
orbital en torno al Sol. (c) ¿Los dos
resultados en la cantidad de
movimiento angular son casi iguales
o muy diferentes? ¿Cuál es mayor
en magnitud? ¿En qué factor?
(a) El momento de inercia de la Tierra considerada como una esfera perfecta es:
( ⁄ )
)(
( ⁄ )(
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)
Su velocidad angular de rotación es:
(
)
(
)
Su momentum angular debido al movimiento de rotación alrededor de su propio eje es:
(
)(
)
La tierra gira en dirección Oeste-Este y en sentido anti-horario, dando una vuelta completa
cada 23 h – 56 min. Este movimiento de rotación propio de la Tierra nos da la impresión de
que es el cielo el que gira alrededor de ella.
(b) El momentum angular de la Tierra con respecto al Sol es:
(
)
(
)
(
)
(
)(
) (
)
Por el movimiento de traslación la Tierra se mueve alrededor del Sol, impulsada por la
gravitación, en 365 días, 5 horas y 57 minutos, equivalente a 365,2422 días, que es la duración
del año. Nuestro planeta describe una trayectoria elíptica de 930 millones de kilómetros, a una
distancia media del Sol de 150 millones de kilómetros. El Sol se encuentra en uno de los focos
de la elipse. La distancia media Sol-Tierra es 1 U.A. (Unidad Astronómica), que equivale a
149.675.000 km.
(c) ¿Cuál es mayor en magnitud?
Como la Tierra está tan lejos del Sol su momentum angular orbital es mucho mayor.
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PROBLEMA
Un estudiante se sienta sobre un
banco rotatorio sosteniendo dos
pesas, cada una de 3.00 kg de
masa (vea la figura de la derecha).
Cuando el estudiante extiende los
brazos horizontalmente como en la
figura (a), las pesas están a 1.00 m
del eje de rotación y el estudiante
da vueltas con una rapidez angular
de 0.750 rad/s. El momento de
inercia del estudiante más el del
banco es de 3 kg*
y, se supone
constante. El estudiante trae las
pesas
horizontalmente
hacia
adentro, a una nueva posición 0.3
m del eje de rotación figura (b).
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(a) Encuentre la nueva rapidez
angular del estudiante.
(b) Encuentre la energía cinética
del sistema rotatorio antes y
después de jalar las pesas
hacia adentro.
SOLUCIÓN
Como el sistema se encuentra aislado, el momentum angular se conserva, es decir:
⃗⃗
Como:
⃗⃗
, la ecuación anterior se puede expresar de la siguiente forma:
En esta ecuación tenemos:
(
)
(
(
)(
)
)
.
Luego,
(
)(
)
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(c) La energía cinética antes y después:
,
.
PROBLEMA
Una soga ligera pasa sobre una
polea ligera sin fricción. Un extremo
está unido a un racimo de plátanos
de masa M y un mono de masa M
escala por el otro extremo. El mono
escala la cuerda con la intención de
llegar a los plátanos. (a) Al tratar el
sistema que consiste de mono,
plátanos, soga y polea, evalúe el
momento de torsión neto en torno
al eje de la polea. (b) Use los
resultados de (a) y determine la
cantidad de movimiento angular
total en torno al eje de la polea y
describa el movimiento del sistema.
¿El mono alcanzará los plátanos?
(a) Al analizar los torques con respecto al centro de la polea vemos que:
∑
(b) Además: ∑
Como el momento cinético del sistema es constante, el mono y los plátanos se mueven ambos
hacia arriba con la misma rapidez por lo cual el mono no alcanzará las bananas. Las alcanzará
sólo cuando estas se enreden en la polea.
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