GUÍA : Nociones de Relatividad general.

Relatividad general
Algunas partes de este artículo pueden resultar complicadas, en ese caso se
recomienda Introducción a la relatividad general.
Representación artística de la explosión de la supernova SN 2006gy, situada a 238 millones de años luz.
De ser válido el principio de acción a distancia, las perturbaciones de origen gravitatorio de este estallido
nos afectarían inmediatamente, más tarde nos llegarían las de origen electromagnético, que se transmiten
a la velocidad.
La teoría general de la relatividad o relatividad general es una teoría del campo gravitatorio y
de los sistemas de referencia generales, publicada por Albert Einstein en 1915 y 1916.
El nombre de la teoría se debe a que generaliza la llamada teoría especial de la relatividad. Los
principios fundamentales introducidos en esta generalización son el principio de equivalencia,
que describe la aceleración y la gravedad como aspectos distintos de la misma realidad, la
noción de la curvatura del espacio-tiempo y el principio de covariancia generalizado.
La intuición básica de Einstein fue postular que en un punto concreto no se puede distinguir
experimentalmente entre un cuerpo acelerado uniformemente y un campo gravitatorio uniforme.
La teoría general de la relatividad permitió también reformular el campo de la cosmología.
Historia
Poco después de la formulación de la teoría de la relatividad especial en 1905, Albert Einstein
comenzó a elucubrar cómo describir los fenómenos gravitatorios con ayuda de la nueva
mecánica. En 1907 se embarcó en la búsqueda de una nueva teoría relativista de la gravedad
que duraría ocho años. Después de numerosos desvíos y falsos comienzos, su trabajo culminó
en noviembre de 1915 con la presentación a la Academia Prusiana de las Ciencias de su
artículo, que contenía las que hoy son conocidas como "Ecuaciones de Campo de Einstein".
Estas ecuaciones forman el núcleo de la teoría y especifican cómo la densidad local de materia
y energía determina la geometría del espacio-tiempo.
Las ecuaciones de campo de Einstein son no lineales y muy difíciles de resolver. Einstein utilizó
los métodos de aproximación en la elaboración de las predicciones iniciales de la teoría. Pero
ya en 1916, el astrofísico Karl Schwarzschild encontró la primera solución exacta no trivial de
las Ecuaciones de Campo de Einstein, la llamada Métrica de Schwarzschild. Esta solución sentó
las bases para la descripción de las etapas finales de un colapso gravitacional, y los objetos que
hoy conocemos como agujeros negros. En el mismo año, se iniciaron los primeros pasos hacia
la generalización de la solución de Schwarzschild a los objetos con carga, obteniéndose así la
solución de Reissner-Nordström, ahora asociada con la carga eléctrica de los agujeros negros.
En 1917, Einstein aplicó su teoría al universo en su conjunto, iniciando el campo de la
cosmología relativista. En línea con el pensamiento contemporáneo, en el que se suponía que
el universo era estático, agregó a sus ecuaciones una constante cosmológica para reproducir
esa "observación". En 1929, sin embargo, el trabajo de Hubble y otros demostraron que nuestro
universo se está expandiendo. Esto es fácilmente descrito por las soluciones encontradas
por Friedman en 1922 para la expansión cosmológica, que no requieren de una constante
cosmológica. Lemaître utilizó estas soluciones para formular la primera versión de los modelos
del Big Bang, en la que nuestro universo ha evolucionado desde un estado anterior
extremadamente caliente y denso. Einstein declaró más tarde que agregar esa constante
cosmológica a sus ecuaciones fue el mayor error de su vida.
Durante ese período, la relatividad general se mantuvo como una especie de curiosidad entre
las teorías físicas. Fue claramente superior a la gravedad newtoniana, siendo consistente con
la relatividad especial y contestaba varios efectos no explicados por la teoría newtoniana. El
mismo Einstein había demostrado en 1915 cómo su teoría lograba explicar el avance
del perihelio anómalo del planeta Mercurio sin ningún parámetro arbitrario. Del mismo modo, en
una expedición de 1919 liderada por Eddington confirmaron la predicción de la relatividad
general para la desviación de la luz estelar por el Sol durante el eclipse total de Sol del 29 de
mayo de 1919, haciendo famoso a Einstein instantáneamente. Sin embargo, esta teoría ha
entrado en la corriente de la física teórica y la astrofísica desarrolladas aproximadamente entre
1960 y 1975, ahora conocido como la edad de oro de la relatividad general. Los físicos
empezaron a comprender el concepto de agujero negro, y a identificar la manifestación de
objetos astrofísicos como los cuásares. Cada vez más precisas, las pruebas del solar
confirmaron el poder predictivo de la teoría, y la cosmología relativista, también se volvió
susceptible a encaminar pruebas observacionales.
¿Por qué es necesaria la teoría de relatividad general?
Los éxitos explicativos de la teoría de la relatividad especial condujeron a la aceptación de la
teoría prácticamente por la totalidad de los físicos. Eso llevó a que antes de la formulación de
la relatividad general existieran dos teorías físicas incompatibles:

La teoría especial de la relatividad, covariante en el sentido de Lorentz, que integraba
adecuadamente el electromagnetismo, y que descarta explícitamente las acciones.

La teoría de la gravitación de Newton, explícitamente no-covariante, que explicaba de
manera adecuada la gravedad mediante acciones instantáneas a distancia (concepto de
fuerza a distancia).
La necesidad de buscar una teoría que integrase, como casos límites particulares, las dos
anteriores requería la búsqueda de una teoría de la gravedad que fuese compatible con los
nuevos principios relativistas introducidos por Einstein. Además de incluir la gravitación en una
teoría de formulación covariante, hubo otra razón adicional. Einstein había concebido la teoría
especial de la relatividad como una teoría aplicable sólo a sistemas de referencia inerciales,
aunque realmente puede generalizarse a sistemas acelerados sin necesidad de introducir todo
el aparato de la relatividad general. La insatisfacción de Einstein con su creencia de que la teoría
era aplicable sólo a sistemas inerciales le llevó a buscar una teoría que proporcionara
descripciones físicas adecuadas para un sistema de referencia totalmente general.
Esta búsqueda era necesaria, ya que según la relatividad especial ninguna información puede
viajar a mayor velocidad que la luz, y por lo tanto no puede existir relación de causalidad entre
dos eventos unidos por un intervalo espacial. Sin embargo, uno de los pilares fundamentales
de la gravedad newtoniana, el principio de acción a distancia, supone que las alteraciones
producidas en el campo gravitatorio se transmiten instantáneamente a través del espacio. La
contradicción entre ambas teorías es evidente, puesto que asumir las tesis de Newton llevaría
implícita la posibilidad de que un observador fuera afectado por las perturbaciones gravitatorias
producidas fuera de su cono de luz.
Einstein resolvió este problema interpretando los fenómenos gravitatorios como simples
alteraciones de la curvatura del espacio-tiempo producidas por la presencia de masas. De ello
se deduce que el campo gravitatorio, al igual que el campo electromagnético, tiene una entidad
física independiente y sus variaciones se transmiten a una velocidad finita en forma de ondas
gravitacionales. La presencia de masa, energía o momentum en una determinada región de la
variedad tetradimensional, provoca la alteración de los coeficientes de la métrica, en una forma
cuyos detalles pormenorizados analizaremos en las secciones siguientes.
En esta visión, la gravitación sólo sería una pseudo-fuerza (equivalente a la fuerza de Coriolis,
o a la fuerza centrífuga) efecto de haber escogido un sistema de referencia no-inercial.
Principios generales
Las características esenciales de la teoría de la relatividad general son las siguientes:

El principio general de covariancia: las leyes de la Física deben tomar la misma forma
matemática en todos los sistemas de coordenadas.

El principio de equivalencia o de invariancia local de Lorentz: las leyes de la relatividad
especial
(espacio
plano
de
Minkowsky)
se
aplican
localmente
para
todos
los observadores inerciales.

La curvatura del espacio-tiempo es lo que observamos como un campo gravitatorio, en
presencia de materia la geometría del espacio-tiempo no es plana sino curva, una partícula
en movimiento libre inercial en el seno de un campo gravitatorio sigue una
trayectoria geodésica.

Principio de covariancia: El principio de covariancia es la generalización de la teoría de
la relatividad especial, donde se busca que las leyes físicas tengan la misma forma en todos los
sistemas. Esto último equivale a que todos los sistemas de referencia sean indistinguibles, y
desde el punto de vista físico equivalentes. En otras palabras, que cualquiera que sea el
movimiento de los observadores, las ecuaciones tendrán la
misma forma matemática y contendrán los mismos términos.
Ésta fue la principal motivación de Einstein para que estudiara y
postulara la relatividad general.
El principio de covariancia sugería que las leyes debían
escribirse en términos de tensores, cuyas leyes de
transformación covariante y contravariantes podían proporcionar
la "invariancia" de forma buscada, satisfaciéndose el principio
físico de covariancia.
El principio de equivalencia
Los dos astronautas de la imagen se encuentran en una nave en caída libre. Por ello no experimentan
gravedad alguna (su estado se describe coloquialmente como de "gravedad cero"). Se dice por ello que
son observadores inerciales.
Un hito fundamental en el desarrollo de la teoría de la relatividad general lo constituye el principio
de equivalencia, enunciado por Albert Einstein en el año 1912 y al que su autor calificó como
«la idea más feliz de mi vida». Dicho principio supone que un sistema que se encuentra en caída
libre y otro que se mueve en una región del espacio-tiempo sin gravedad se encuentran en un
estado físico similar: en ambos casos se trata de sistemas inerciales.
Galileo distinguía entre cuerpos de movimiento inercial (en reposo o moviéndose a velocidad
constante) y cuerpos de movimiento no inercial (sometidos a un movimiento acelerado). En
virtud de la segunda ley de Newton (que se remonta a los trabajos del dominico
español Domingo de Soto), toda aceleración estaba causada por la aplicación de una fuerza
exterior. La relación entre fuerza y aceleración se expresaba mediante esta fórmula:
donde a es la aceleración, F la fuerza y m la masa. La fuerza podía ser de origen mecánico,
electromagnético o, cómo no, gravitatorio. Según los cálculos de Galileo, la aceleración
gravitatoria de los cuerpos era constante y equivalía a 9,8 m/s2 sobre la superficie terrestre. La
fuerza con la que un cuerpo era atraído hacia el centro de la Tierra se denominaba peso.
Evidentemente, según los principios de la mecánica clásica un cuerpo en caída libre no es un
sistema inercial, puesto que se mueve aceleradamente dentro del campo gravitatorio en que se
encuentra.
Sin embargo, la teoría de la relatividad considera que los efectos gravitatorios no son creados
por fuerza alguna, sino que encuentran su causa en la curvatura del espacio-tiempo generada
por la presencia de materia. Por ello, un cuerpo en caída libre es un sistema (localmente)
inercial, ya que no está sometido a ninguna fuerza (porque la gravedad tiene este carácter en
relatividad general). Un observador situado en un sistema inercial (como una nave en órbita) no
experimenta ninguna aceleración y es incapaz de discernir si está atravesando o no, un campo
gravitatorio. Como consecuencia de ello, las leyes de la física se comportan como si no existiera
curvatura gravitatoria alguna. De ahí que el principio de equivalencia también reciba el nombre
de Invariancia Local de Lorenz: En los sistemas inerciales rigen los principios y axiomas de la
relatividad especial.
El principio de equivalencia implica asimismo que los observadores situados en reposo sobre la
superficie de la tierra no son sistemas inerciales (experimentan una aceleración de origen
gravitatorio de unos 9,8 metros por segundo al cuadrado, es decir, "sienten su peso").
Ejemplos de sistemas inerciales según el Principio de Equivalencia
Sistema
¿Es
(Principio
Equivalencia)
Cuerpo en caída libre
Sí
No
Cuerpo en reposo sobre la superficie terrestre
No
Sí
Planeta orbitando alrededor del sol
Sí
No
Nave precipitándose hacia la tierra
Sí
No
Cohete despegando desde una base de
No
lanzamiento
inercial? ¿Es
inercial?
de (Mecánica
newtoniana)
No
Aunque la mecánica clásica tiene en cuenta la aceleración medida por un observador en reposo
respecto al campo gravitatorio (p.e. un astrónomo); el Principio de Equivalencia, contrariamente,
toma en consideración la aceleración experimentada por un observador situado en el sistema
en cuestión: cualquier cuerpo que se mueva sin restricciones por un campo gravitatorio puede
ser considerado como un sistema inercial. Es el caso de los planetas que orbitan en torno del
Sol y de los satélites que orbitan alrededor de los primeros: los habitantes de la Tierra no llegan
a percibir si nos estamos acercando o alejando del Sol, ni si nos encontramos en el afelio o en
el perihelio, a pesar de las enormes diferencias de la gravedad solar.
La gravedad se convierte, en virtud del Principio de Equivalencia, en una fuerza aparente,
como la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis: en estos dos últimos supuestos su aparición
es debida a la elección de un marco de referencia acelerado (un observador situado en la
superficie de una esfera en rotación). En el caso de la gravedad, únicamente percibimos
la fuerza aparente gravitatoria cuando escogemos un sistema de referencia no inercial (en
reposo sobre la superficie terrestre), pero no cuando nos situamos en otro que sí lo es (un
cuerpo en caída libre).
Aunque el principio de equivalencia fue históricamente importante en el desarrollo de la
teoría, no es un ingrediente necesario de una teoría de la gravedad, como prueba el hecho
de que otras teorías métricas de la gravedad, como la teoría relativista de la
gravitación prescindan del principio de equivalencia. Además conviene señalar que el principio
de equivalencia no se cumple en presencia de campos electromagnéticos, por ejemplo una
partícula cargada moviéndose a lo largo de una geodésica de un espacio-tiempo cualquiera en
general emitirá radiación, a diferencia de una partícula cargada moviéndose a lo largo de una
geodésica del espacio de Minkowsky. Ese y otros hechos sugieren que el principio de
equivalencia a pesar de su equivalencia histórica no es parte esencial de una teoría relativista
de la gravitación.
La curvatura del espacio-tiempo
La aceptación del principio de equivalencia por Albert Einstein le
llevó a un descubrimiento ulterior: la contracción o curvatura
del tiempo como consecuencia de la presencia de un campo
gravitatorio, que quedó expresado en su artículo de
1911 "Sobre la influencia de la gravedad en la propagación de la
luz".1
Supongamos que un fotón emitido por una estrella cercana se
aproxima a la Tierra. En virtud de la ley de conservación del
tetramomentum la energía conservada del fotón permanece
invariante. Por otro lado, el principio de equivalencia implica que
un observador situado en el fotón (que es un sistema inercial, es
decir, se halla en caída libre) no experimenta ninguno de los
efectos originados por el campo gravitatorio terrestre. De ello se deduce que la energía
conservada del fotón no se altera como consecuencia de la acción de la gravedad, y tampoco
lo hace la frecuencia de la luz, ya que, según la conocida fórmula de la física cuántica, la energía
de un fotón es igual a su frecuencia v multiplicada por la constante de Planck h: E = hν.
En la imagen se reproduce el corrimiento gravitacional hacia el rojo de un fotón que escapa del campo
gravitatorio solar y se dirige hacia la Tierra. En este caso, la onda electromagnética pierde
progresivamente energía y su frecuencia disminuye conforme aumenta la distancia al Sol.
Ahora bien, si las observaciones las realizara un astrónomo situado en la superficie de la Tierra,
esto es, en reposo respecto su campo gravitatorio, los resultados serían muy diferentes: el
astrónomo podría comprobar cómo el fotón, por efecto de su caída hacia la Tierra, va
absorbiendo progresivamente energía potencial gravitatoria y, como consecuencia de esto
último, su frecuencia se corre hacia el azul.2 Los fenómenos de absorción de energía por los
fotones en caída libre y corrimiento hacia el azul se expresan matemáticamente mediante las
siguientes ecuaciones:
donde
es la energía medida por un observador en reposo respecto al campo gravitatorio
(en este caso un astrónomo),
el potencial gravitatorio de la región donde se encuentra
éste,
la energía conservada del fotón,
la frecuencia de emisión,
es la frecuencia
percibida por el observador (y corrida hacia el azul) y la constante de Planck.
Ahora bien, en el párrafo anterior hemos demostrado que la energía conservada del fotón
permanece invariante. Por tanto, ¿cómo es posible que exista esta divergencia entre los
resultados de la medición de la energía obtenidos por el astrónomo (
) y la energía
conservada del fotón (
)? La única manera de resolver esta contradicción es considerando
que el tiempo se ralentiza como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio. De
este modo, la citada ecuación:
puede escribirse de este modo:
Es decir, la frecuencia es igual al número de ciclos que tienen lugar en un determinado período
(generalmente, un segundo). Donde
es el tiempo medido por un observador situado a
una distancia infinita del cuerpo masivo (y por lo tanto no experimenta la atracción gravitatoria
de éste), mientras que
es el tiempo medido por un observador bajo la influencia del
campo gravitatorio y en reposo respecto a este (como, por ejemplo, una persona situada sobre
la superficie terrestre). De ahí se deduce que cerca de un cuerpo masivo el tiempo se ralentiza,
siguiendo estas reglas matemáticas:
En una singularidad espacio-temporal (como las que existen en
el interior de los agujeros negros), la densidad de masa-materia
y el campo gravitatorio tienden al infinito, lo que provoca la
congelación del tiempo y por lo tanto la eliminación de todo tipo
de procesos dinámicos:
En la imagen, dos partículas en reposo relativo, en un espaciotiempo llano.
Se representan en este esquema dos partículas que se acercan entre
sí siguiendo un movimiento acelerado. La interpretación newtoniana supone que el espacio-tiempo es
llano y que lo que provoca la curvatura de las líneas de universo es la
fuerza de interacción gravitatoria entre ambas partículas. Por el
contrario, la interpretación einsteiniana supone que las líneas de
universo de estas partículas son geodésicas ("rectas"), y que es la
propia curvatura del espacio tiempo lo que provoca su aproximación
progresiva.
La contracción del tiempo debido a la presencia de un campo
gravitatorio fue confirmada experimentalmente en el año 1959
por el experimento Pound-Rebka-Snider, llevado a cabo en la
universidad de Harvard. Se colocaron detectores
electromagnéticos a una cierta altura y se procedió a emitir
radiación desde el suelo. Todas las mediciones que se
realizaron confirmaron que los fotones habían experimentado un corrimiento hacia el rojo
durante su ascenso a través del campo gravitatorio terrestre.
Hoy en día, el fenómeno de la contracción del tiempo tiene cierta importancia en el marco del
servicio localizador GPS, cuyas exigencias de exactitud requieren de una precisión extrema:
Basta con que se produzca un retraso de 0.04 microsegundos en la señal para que se produzca
un error de posicionamiento de unos 10 metros. De ahí que las ecuaciones de Einstein hayan
de ser tenidas en cuenta al calcular la situación exacta de un determinado objeto sobre la
superficie terrestre.
Desde un punto de vista teórico, el artículo de Einstein de 1911 tuvo una importancia aún mayor.
Pues, la contracción del tiempo conllevaba también, en virtud de los principios de la relatividad
especial, la contracción del espacio. De ahí que fuera inevitable a partir de este momento
descartar la existencia de un espacio-tiempo llano, y fuera necesario asumir la curvatura de la
variedad espacio-temporal como consecuencia de la presencia de masas.
En la relatividad general, fenómenos que la mecánica clásica atribuye a la acción de la fuerza
de gravedad, tales como una caída libre, la órbita de un planeta o la trayectoria de una nave
espacial, son interpretados como efectos geométricos del movimiento en un espacio-tiempo
curvado. De hecho una partícula libre en un campo gravitatorio sigue líneas de curvatura mínima
a través de este espacio tiempo-curvado.
Finalmente, podemos hacer referencia a la desviación de los rayos de la luz como consecuencia
de la presencia de un cuerpo masivo, fenómeno que da lugar a efectos ópticos como las lentes
gravitacionales o los anillos de Einstein.
Frente de onda desviado. Lente gravitacional. Experimento de Eddington.
Formulación matemática y consideraciones generales
No te preocupes por tus problemas con las matemáticas; te aseguro que los míos son mucho mayores.
A. Einstein, en una carta a una niña de nueve años.
Matemáticamente, Einstein conjeturó que la geometría del universo deja de ser euclidiana por
la presencia de masas. Einstein modelizó que el universo era un tipo de espacio-tiempo
curvo mediante una variedad pseudoriemanniana y sus ecuaciones de campo establecen que
la curvatura seccional de esta variedad en un punto está relacionada directamente con el tensor
de energía-momento en dicho punto.
Dicho tensor es una medida de la densidad de materia y energía. La curvatura "le dice a la
materia como moverse", y de forma recíproca la "materia le dice al espacio como curvarse". En
términos más precisos las trayectorias de las partículas se ven afectadas por la curvatura, y la
presencia de muchas partículas en una región altera notoriamente la curvatura. La relatividad
general se distingue de otras teorías alternativas de la gravedad por la simplicidad de
acoplamiento entre materia y curvatura.
Aunque todavía no existe una teoría cuántica de la gravedad que incorpore tanto a la mecánica
cuántica como a la teoría de la relatividad general y que proponga una ecuación de campo
gravitatorio que sustituya a la de Einstein, pocos físicos dudan que una teoría cuántica de la
gravedad pondrá a la relatividad general en el límite apropiado, así como la relatividad general
predice la ley de la gravedad en el límite no relativista.
Los diferentes tensores y escalares de la relatividad general
La derivada covariante
Los cuerpos en caída libre (como las naves en órbita) son sistemas
inerciales en los que la derivada covariante de su velocidad es nula (
). Por ello, no experimentan ningún tipo de aceleración
inercial provocada por la "fuerza gravitatoria". Sin embargo, un observador
externo, como un astrónomo situado en la Tierra, puede observar cómo
dicho cuerpo en caída libre se aproxima a la Tierra con una aceleración
creciente (de ahí que la derivada ordinaria de la velocidad en este caso sea
diferente a cero -
-)
Dice la leyenda apócrifa que fue la manzana de un árbol la que provocó que Newton se diera cuenta que
los objetos caen y por lo tanto aceleran como consecuencia de la gravitación universal. Y es que los
objetos en reposo sobre la superficie terrestre experimentan, como consecuencia de la fuerza aparente
gravitatoria, una aceleración inercial de
(y por lo tanto la derivada covariante de su
3
velocidad también tiene ese valor
). Sin embargo, dichos objetos, puesto que están en
reposo, tienen una aceleración relativa nula respecto a un observador terrestre (es decir, la derivada
ordinaria de su velocidades cero (
)
Uno de los conceptos esenciales sobre el que gira toda la teoría de la relatividad general es el
de derivada covariante (a veces impropiamente llamada conexión afín), que fue definida por
primera vez por el matemático italiano Tullio Levi-Civita y que puede ser considerada tanto
desde una perspectiva física como desde otra matemática. Desde un punto de vista físico, la
derivada ordinaria de la velocidad es la aceleración de un cuerpo medida por un observador
externo en reposo respecto a un campo gravitatorio (por ejemplo, un astrónomo situado sobre
la superficie terrestre). En este caso el observador se mantiene a una distancia r constante del
centro de masas, pero no así el objeto observado, que progresivamente se va aproximando al
origen del campo gravitatorio.
4 es la aceleración
Por el contrario, la derivada covariante de la velocidad
ó
medida por un observador comóvil, es decir, que está en reposo respecto al cuerpo en caída
libre (por ejemplo, el piloto de un avión en caída libre o los tripulantes de una nave espacial con
sus motores apagados).
En resumidas cuentas, la derivada ordinaria se utiliza para computar la aceleración
ordinaria de un cuerpo, mientras quela derivada covariante es empleada para calcular su
aceleración inercial. Según la mecánica galileana y newtoniana estos dos tipos de aceleración
son idénticos, y en base a este axioma se desarrollaron nuevos principios mecánicos como el
Principio de d'Alembert. Sin embargo, del principio de equivalencia de Einstein se deduce que
cuando un cuerpo está sometido a un campo gravitatorio, su aceleración ordinaria cambia, pero
no su aceleración inercial. De ahí que para Einstein fuera absolutamente necesario introducir
en su teoría el concepto de derivada covariante.
Desde un punto de vista estrictamente matemático, el cálculo de la derivada covariante tiene
lugar a través de un sencillo procedimiento. Se procede en primer lugar al cómputo de la
derivada parcial covariante y luego se generaliza ésta.
La derivada ordinaria se aplica exclusivamente sobre los componentes de un vector, mientras
que la derivada covariante se aplica también sobre las bases del espacio vectorial:
Sobre esta ecuación procedemos a aplicar la regla del producto (o de Leibniz),
Llegados a este punto introducimos una nueva notación, los símbolos de Christoffel, que
pueden ser definidos como el componente
:
de la derivada parcial de
respecto a
. De este modo:
Realizamos un intercambio de índices (
la ecuación:
por
) en el último término del segundo miembro de
Y obtenemos con ello los componentes de la derivada parcial covariante de la velocidad, que
equivalen a la expresión entre paréntesis:
Generalizamos dichos componentes multiplicándolos por el componente
(
de la tetravelocidad
) y obtenemos con ello la derivada covariante de la velocidad:
Puesto que para un observador inercial (p.e. un cuerpo en caída libre)
ecuación toma la siguiente forma:
, esta última
Estas fórmulas reciben el nombre de ecuación de las líneas geodésicas, y se utilizan para
calcular la aceleración gravitatoria de cualquier cuerpo.
Con ayuda de la ecuación de las líneas geodésicas podemos determinar la aceleración radial y angular
de la Tierra respecto al Sol. Puesto que la curvatura gravitatoria los valores de los símbolos de Christoffel
aumentan conforme nos acercamos al Sol, de ello se deduce que la aceleración de la Tierra es máxima
en las proximidades del perihelio, exactamente tal y como predicen las
leyes de Newton5 y Kepler.6
A los lectores principiantes puede chocarles la propia definición de
los símbolos de Christoffel. A fin de cuentas, en el espacio
euclideo, la derivada de una base (por ejemplo ) respecto a otra
coordenada (pongamos ) es siempre cero, por la simple razón de
que las bases de ambas coordenadas son ortogonales. Sin
embargo, esto no sucede así en las variedades curvas, como por
ejemplo las superficies de un cilindro o de una esfera: En tales
casos, los símbolos de Christoffel no son iguales a cero, sino que
son funciones de las derivadas del tensor métrico. La relación
matemática entre estas dos magnitudes matemáticas se expresa mediante la siguiente
ecuación:
Los símbolos de Christoffel constituyen el parámetro principal que determina cuán grande es el
grado de curvatura existente en una región determinada y con su ayuda podemos conocer cuál
va a ser la trayectoria de una geodésica en un espacio curvo. En el caso de la variedad espaciotemporal, la Teoría de la Relatividad afirma que la curvatura viene originada por la presencia de
tetramomentum y por ello, cuanta mayor sea la densidad de materia existente en una
determinada región, mayores serán los valores de los símbolos de Christoffel.
Los principios de general covariancia y de acoplamiento mínimo
En un espacio-tiempo curvo, las leyes de la física se modifican mediante el Principio de
acoplamiento mínimo, que supone que las ecuaciones matemáticas en cuya virtud se expresan
aquellas experimentan las siguientes modificaciones:
La derivada ordinaria es sustituida por la derivada covariante.
La métrica de Minkowsky es sustituida por una formulación general del tensor métrico.
De este modo, la ecuación galileana de los sistemas inerciales se transforma en virtud de dicho
principio en la ecuación relativista de las líneas geodésicas:
Ley de conservación de la energía:
Sin embargo, en virtud del principio de simetría de los símbolos de Christoffel, las leyes
electromagnéticas en general no experimentan modificaciones debidas a la curvatura
gravitatoria:
Derivada covariante
Alteración de
las
leyes
físicas
producida por
la curvatura
Espacio-tiempo llano
Objeto o ley
físicomatemática
Espacio-tiempo curvo
¿Se
produce
alteració
n
por
la
curvatur
a?
Ley
de
conservación
de la energía
Sí
Tensor
electromagnéti
co
No
Ecuaciones de
Maxwell
No
Velocidad
la luz
No
de
Ecuación de un
sistema
inercial
Sí
Aceleración
Sí
Volumen
Sí
Agujero negro de Schwarzschild
Geometría aparente del plano de la eclíptica en un sistema cuyo astro central es un agujero negro de
Schwarzschild.
Un agujero negro de Schwarzschild o agujero negro estático es aquel que se define por un
solo parámetro, la masa M, más concretamente el agujero negro de Schwarzschild es una
región del espacio-tiempo que queda delimitada por una superficie imaginaria llamada horizonte
de sucesos. Esta frontera describe un espacio del cual ni siquiera la luz puede escapar, de ahí
el nombre de agujero negro. Dicho espacio forma una esfera perfecta en cuyo centro se halla
la singularidad; su radio recibe el nombre de radio de Schwarzschild. La fórmula de dicho radio
como se ha dicho depende únicamente de la masa del agujero:
Donde G es la constante gravitatoria, M es la masa del agujero y c la velocidad de la luz. Cuanto
mayor es la masa del agujero negro, la cual determina el grado de curvatura espacio-temporal,
mayor es el radio de Schwarzschild. La geometría del espacio-tiempo alrededor de un agujero
u hoyo de Schwarzschild viene dada por la métrica de Schwarzschild:
Esta fue una de las primeras soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein de
la relatividad general debida al físico alemán Karl Schwarzschild. Además las peculiaridades de
la métrica para r < 2GM/c2 dieron lugar al concepto de agujero negro mismo.
Descripción fenomenológica[editar]
La teoría de la relatividad predice que, dentro de un agujero negro de Schwarzschild, aparecerá
una hipersuperficie límite teórica, tal que al acercarnos a ella el tensor de curvatura crece y
crece sin límite. Ese tipo de objeto geométrico se conoce como singularidad espaciotemporal, y
puede entenderse como un límite a partir del cual el espacio-tiempo no puede ser modelizado
dentro de la teoría (se supone que cerca de la singularidad los efectos cuánticos son
importantes).
Además el espacio-tiempo dentro de la región de agujero de Schwarzschild
es geodésicamente incompleto para cualquier geodésica temporal dentro del agujero, lo cual
significa que una partícula en caída libre dentro del agujero pasado un tiempo finito alcanzará
la singularidad indefectiblemente. Actualmente no disponemos de ninguna teoría que nos diga
qué pasa exactamente cuando una partícula alcanza la singularidad.
En el caso de Schwarzschild esta singularidad es de tipo temporal, si resultara que el hecho de
llegar a una distancia suficientemente pequeña de la singularidad supusiera la destrucción de
la partícula misma, como se supone a veces, entonces las partículas que se mueven a mayor
velocidad dentro del agujero desaparecerían "volatizadas" más tarde y las más lentas antes.
Ese hecho encaja con el carácter temporal de la singularidad, a diferencia de una singularidad
espacial que puede entenderse más bien como un lugar geométrico.
Otros tipos de agujero negro
Sin embargo, existen otros modelos más complicados de agujeros negros:

El agujero negro de Kerr es un agujero negro en rotación definido no sólo por su masa sino
también por su momento angular. Dicho agujero tiene una dirección privilegiada en el
espacio y, por tanto, deja de ser isótropo. Este es el modelo que más se ajusta al tipo de
agujeros negros que se pueden observar fruto del colapso de estrellas supermasivas.

El agujero negro de Reissner-Nordström es un agujero con carga eléctrica estático y posee
unas propiedades especiales ya que no solo se forma una singularidad gravitatoria sino
también una singularidad en el campo eléctrico generado por el agujero. Dicho agujero está
sujeto también a dos parámetros. Esta vez masa y carga. La existencia de tales agujeros
no ha sido observada pero se podría concebir la posibilidad de crearlos en condiciones
controladas tales como aceleradores de partículas.

Finalmente está el agujero negro de Kerr-Newman. Este tercer tipo de agujeros son el
resultado de la combinación de los dos anteriores. Se trataría de los agujeros negros con
carga y en rotación. Estos agujeros dependerían de los tres parámetros, masa, momento
angular y carga. Además, al rotar se provocaría un movimiento de cargas en su seno lo que
conllevaría también a la generación de un campo magnético.
Métrica de Schwarzschild
Una representación del paraboloide de Flamm, cuya curvatura geométrica coincide con la del plano de la
eclíptica o ecuatorial de una estrella esféricamente simétrica.
La métrica de Schwarzschild es una solución exacta de las ecuaciones de Einstein del campo
gravitatorio que describe el campo generado por una estrella o una masa esférica. Este tipo de
solución puede considerarse una descripción relativista aproximada del campo gravitatorio
del sistema solar (Región I). Y bajo ciertas condiciones también describe un tipo de agujero
negro (Región II).
Matemáticamente, la métrica de Schwarzschild normalmente representa sólo una parte del
espacio-tiempo más grande posible con simetría esférica, la variedad diferencia maximal que
amplía la métrica de Schwarzschild se conoce como métrica de Kruskal-Schwarzschild o
solución de Kruskal. Sin embargo, esta solución representa un espacio totalmente vacío
(además de algunos rasgos "exóticos"), por lo que no es físicamente relevante para describir un
cuerpo o un agujero negro físico.
La solución de Schwarzschild se llama así en honor al físico alemán Karl Schwarzschild (1873
– 1916), que encontró la solución exacta en 1916,1 un poco más de un mes después de la
publicación de la teoría de la relatividad general de Einstein. Fue la primera solución exacta de
las ecuaciones de campo de Einstein que no sean la solución trivial espacio plano.
Schwarzschild murió poco después de que se publicase su trabajo, como consecuencia de una
enfermedad que contrajo durante su servicio en el ejército alemán durante la Primera Guerra
Mundial.2
Johannes Droste en 1916,3 de manera independiente, llegó a la misma solución que
Schwarzschild, aunque usando una derivación más simple y directa.4
En los primeros años de la relatividad general había una gran confusión acerca de la naturaleza
de las singularidades que se encuentran en las soluciones de Schwarzschild y en otras
soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein. En el artículo original de Schwarzschild,
puso lo que ahora se conoce como el horizonte de sucesos en el origen de su sistema de
coordenadas.5
Introducción
El Sol y otras estrellas con una velocidad de giro relativamente pequeña tienen un campo
gravitatorio que puede ser descrito razonablemente bien por la teoría de gravitación de Newton.
En el que la fuerza gravitatoria que experimenta un planeta de masa m a una distancia r del sol,
ignorando la presencia de los otros planetas o astros menores también presentes en el sistema
solar, por:
Sin embargo, en ciertos cálculos la precisión obtenida mediante la fórmula anterior no es buena:

Por ejemplo para los planetas interiores, especialmente para mercurio, se detectó
un avance del perihelio, es decir, que el punto más próximo al sol de este planeta en cada
vuelta alrededor del sol estaba sistemáticamente avanzado respecto a la vuelta anterior.

Para estrellas con radios sólo ligeramente superiores al radio de Schwarzschild la geometría
del plano de la eclíptica se aleja considerablemente de la forma plana.
Además de las discrepancias anteriores se encontraron otros efectos relativistas que no podían
ser explicados mediante la teoría de Newton. La formulación de la teoría de la Relatividad
General por parte de Einstein, y su aplicación al caso de un astro esférico proporcionó una
nueva descripción del campo gravitatorio, aplicable al sistema solar que resultó encajar con las
mediciones experimentales. De acuerdo a esta descripción los planetas siguen las líneas de
mínima curvatura o líneas geodésicas de un espacio-tiempo curvo, por lo que la gravedad dejó
de ser considerada una fuerza y pasó a interpretarse como un efecto de la curvatura del espaciotiempo.
Las siguientes secciones describen como es la geometría curvada asociada al campo
gravitatorio de un astro simétrico. Salvo por la influencia local de la gravedad de los planetas la
métrica de Schwarzschild describe de manera razonablemente aproximada el campo
gravitatorio del sistema solar, con un grado de precisión más alto que la teoría de Newton, dando
cuenta de hechos experimentales no explicables mediante la teoría de Newton (Véase más
adelante Comparación con la teoría newtoniana).
Condiciones matemáticas
Las condiciones de las que partió Schwarzschild para solucionar las ecuaciones de Einstein son
las siguientes:
1. Estática: existe al menos un sistema de coordenadas donde la métrica no depende de
la coordenada temporal (y donde los términos
donde
de la métrica son nulos,
es cualquier coordenada espacial).
2. Esféricamente
simétrica:
forma:
será
Las
secciones
espaciales
.
De
(
este
constante)
modo,
la
tienen la
simetría
.
3. Para grandes distancia a la fuente de gravedad, la solución debe ser la métrica de
Minkowsky.
Forma de la métrica
En coordenadas casi-esféricas o coordenadas de Schwarzschild la métrica tiene la forma:
(1)
Donde
es la constante de gravitación universal y
se interpreta como la masa aparente
del objeto, planeta o estrella que crea el campo. El sistema de coordenadas anterior está
definido sólo para una región abierta definida del espacio-tiempo: aquella en la que pueden
existir observadores estáticos (también llamada región I del espacio-tiempo de Kruskal). Si
realizamos un cambio de coordenadas dado por las relaciones implícitas:
Entonces la solución de Schwarzschild puede escribirse en estas nuevas coordenadas en la
forma llamada métrica de Kruskal:
(2)
Los valores de la métrica están definidos ahora para cualquier valor de las coordenadas tales
que

. En esta forma las coordenadas cubren tres regiones:
Región I o región exterior de la solución de Schwarzschild, caracterizada por
,
que a grandes distancias se parece al campo gravitatorio creado por un astro de simetría
esférica.

Región II o región de agujero negro de la solución de Schwarzschild, caracterizada
por

Región III o región de agujero blanco de la solución de Schwarzschild, caracterizada
por

.
.
Región IV o región exterior paralela, caracterizada por
. Esta región es idéntica
a la región I, pero no entran en contacto causal.
Propiedades del espacio-tiempo de Schwarzschild
Contenido material
El contenido material de un espacio-tiempo viene dado por su tensor de energía-impulso, para
el caso de la métrica de Schwarzschild para la región con r > Max (2GM/c2,Re) resulta estar
completamente vacía, ya que el tensor de Ricci asociado a la métrica se anula en esa región.
Por tanto, la métrica de Schwarzschild representa una solución de vacío, para la región exterior
al cuerpo esférico que produce el campo gravitatorio.
Geodésicas
Si
es la expresión de una curva en términos de un
parámetro afín (como por ejemplo el tiempo propio), entonces esa curva será geodésica si se
cumple que:
Grupo de isometría
La solución de Schwarzschild presenta simetría respecto a traslaciones temporales t → t + h y
además presenta simetría esférica. Por tanto su grupo de isometría máxima resulta ser isomorfo
a
Tensor de curvatura
El tensor de curvatura en esta métrica en las coordenadas anteriores tiene las siguientes
componentes no nulas:
Además de las correspondientes permutaciones.
Regiones del espacio-tiempo de Schwarzschild
Región I: Comparación con la teoría newtoniana
La solución de Schwarzschild para la región exterior o región I, describe un espacio-tiempo en
que las geodésicas o trayectorias seguidas por los planetas y cuerpos moviéndose en el campo
gravitatorio como satélites artificiales. Las trayectorias predichas son similares a las trayectorias
predichas por la teoría newtoniana de la gravitación a grandes distancias. Sin embargo, a
distancias cercanas al centro que crea el campo gravitatorio asociado a la métrica de
Schwarzschild predice nuevos efectos y correcciones que se desvían ligeramente de la
predicción de la teoría newtoniana:

El avance del perihelio de los planetas más cercanos al sol

La curvatura o deflexión de los rayos de luz

El desplazamiento hacia el rojo de la longitud de onda

El retraso de una onda electromagnética que atraviesa el campo.
La siguiente tabla comparativamente las predicciones cuantitativas de ambas teorías para estos
fenómenos:
Comparación de las predicciones de la teoría newtoniana y relativista de la gravitación
Teoría
newtoniana
Solución de Schwarzschild
Aceleración aparente respecto a un
observador estático
Radio de una órbita circular
Factor de desplazamiento al rojo
gravitacional
Ángulo de deflexión de la luz6
Ritmo de precesión del perihelio
Tiempo de retardo
Donde L, momento angular.
Región II: Agujero negro de Schwarzschild
Una de las características interesantes de un universo definido por la métrica de Schwarzschild
es la posible ocurrencia de agujeros negros. De hecho fueron las propiedades encontradas en
la solución de Schwarzschild, las que llevaron al desarrollo del concepto de agujero negro.
La solución de Schwarzschild contempla el hecho de cuando la masa que genera el campo se
halla confinada dentro del radio de Schwarzschild, aparece una región de espacio-tiempo cuyo
interior es invisible desde el exterior y dentro de la cual no es posible permanecer en reposo, es
decir, donde no es posible encontrar observadores materiales estáticos. Eso es lo que se
conoce como un agujero negro.
Un espacio-tiempo definido por la Schwarzschild presentará región II de agujero negro sólo
cuando toda la materia esté confinada dentro del horizonte de eventos. En un espacio tiempo
que presente región II de agujero negro, resulta que cualquier observador que se mueva a lo
largo de una geodésica presente en esta región, habrá llegado proveniente de la región I. Ya
que toda geodésica temporal que pasa por la región II, se extiende en el pasado hacia la región
I. Una vez dentro de la región II un observador no puede salir nunca de ella ya que
cualquier línea de universo o trayectoria posible para dicho observador acaba inexorablemente
cruzándose con la singularidad de tipo espacial.
Región III: Agujero blanco de Schwarzschild
Artículo principal: Agujero blanco
Esta región es el como el reverso temporal de la región II. Cualquier observador material
presente en ella, sólo puede proceder de la "singularidad"
y no puede
permanecer estático en la región II, sino que necesariamente cualquier geodésica temporal que
pasa por los puntos de la región III acaba saliendo hacia la región I.
Región IV: Región exterior paralela
Esta región es totalmente idéntica a la Región I: una zona exterior al agujero negro
asintóticamente plana. Sin embargo, no tiene contacto causal con esta salvo a través de los
agujeros: observadores de las regiones I y IV pueden haber estado en contacto dentro del
agujero blanco, o podrán establecerlo dentro del agujero negro.
La solución de Schwarzschild completa puede visualizarse como dos universos
paralelos asintóticamente planos, conectados por una garganta o agujero de gusano, que se
abre y vuelve a cerrar en un tiempo finito.
La relevancia física de las regiones III y IV es dudosa, ya que modelando el colapso gravitatorio
de un cuerpo realista no produce tales regiones.
LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD A LAS ECUACIONES DE EINSTEIN: PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA, VELOCIDAD DE ESCAPE, RADIO DE SCHWARZSCHILD, HORIZONTE DE SUCESOS,
AGUJEROS NEGROS, MÉTRICA Y LAGRANGIANA DE SCHWARZSCHILD.
En la entrada anterior obtuvimos la expresión de la lagrangiana relativista e hicimos un pequeño análisis
cualitativo de la misma, del cual concluimos, entre otras cosas, que no había ninguna forma intuitiva de
introducir en ella los posibles campos en los que se estuviese moviendo la partícula, ya que la energía potencial
tal y como la definimos siempre no era una magnitud tetradimensional, sino una función de estado en el espacio.
Así pues, ahora nuestro objetivo será adaptar la lagrangiana a la presencia de fuerzas sobre la partícula relativista,
en concreto a la fuerza gravitatoria.
Sistemas en Reposo:
Nuestra lagrangiana relativista se definía a través de la métrica y la cuadrivelocidad como:
, y por tanto Einstein se encontró ante el problema de cómo podría él introducir los campos
que pudiesen alterar la trayectoria en esta ecuación.
Si nuestra partícula se moviese en torno a un cuerpo de masa “M”, se vería atraída hacia él según la ley de
gravitación universal:
, donde “G” sería la constante de gravitación universal, “m” la masa del cuerpo en
movimiento y “r” la distancia relativa entre ellos, según el sistema de coordenadas polares.
¿A qué se debía esto? Para Einstein, decir que los cuerpos se atraen entre ellos instantáneamente por el simple
hecho de coexistir en el espacio era un argumento feo y poco elegante, que no merecía ser considerado como una
ley de la física.
Además, el concepto de cuerpo en reposo, bajo su punto de vista, era caótico. Usualmente se decía (y se dice) que
un cuerpo apoyado en el suelo se encuentra en reposo si no se mueve con respecto a este. Sin embargo, en cuanto
intentamos alzarlo, vuelve a caer al suelo debido a la “gravedad”. ¿Podemos realmente considerar entonces que
nuestro sistema está en reposo si está sometido a una fuerza que impide que los cuerpos se muevan libremente
en él? Para Einstein, la respuesta era un rotundo no. Un sistema en reposo debía de ser aquel en el que las fuerzas
externas fuesen inapreciables en el movimiento.
Principio de Equivalencia:
El experimento mental del ascensor de Einstein ya fue comentado en los orígenes de este blog, pero no estará de
más que vuelva a aparecer por aquí.
Supongamos que nos encontramos en el centro de un ascensor enorme sobre la superficie de la tierra, cuyo
tamaño es mucho menor que el radio de la misma. Supongamos además que el ascensor cuelga de un cable y que
desde dentro no se puede ver nada del exterior. Debido a que la distancia que recorre el ascensor es mucho menor
que el radio de la tierra, la atracción gravitatoria no variará mucho de un punto a otro y podremos suponerla
constante. A esta constante la denominaremos “g” y es por todos sabido que vale 9,8 metros por segundo
cuadrado (la aceleración con la que cae un cuerpo sin rozamiento).
La tensión “T” de la cuerda será la fuerza que en todo momento se oponga al peso “P” en su caída, de modo que
la aceleración del ascensor (con signo positivo hacia arriba) vendrá dada por:
, siendo “m” la masa del ascensor, y en donde denominamos a la aceleración del ascensor “a0″ por ser un sistema
de referencia móvil en base a la teoría de sistemas de referencia de Galileo. Esto implica que si dentro del
ascensor, desde la tierra vemos que un cuerpo obtiene una aceleración vertical “a”, tanto hacia arriba como hacia
abajo, desde dentro del ascensor observarán una aceleración distinta:
Analicemos entonces los distintos casos.
.-Si la tensión es igual al peso, y dentro del ascensor una persona cae en caída libre, desde dentro del ascensor se
le verá llevar una aceleración:
, que es la misma que se observa desde fuera debido a que el ascensor está en reposo con respecto a la superficie
de la tierra. En esta situación, las leyes de la física son exactamente las mismas que en la superficie del planeta
para las personas dentro de él: si alguien salta se cae con aceleración “g”.
.-Si la tensión es, pongamos por caso, 2 veces superior al peso, el ascensor ascenderá, y una persona que con
respecto a la tierra esté quieta se verá comprimida hacia el suelo del ascensor:
Una persona quieta en un ascensor que asciende con una tensión de dos veces
el peso del mismo experimenta la misma atracción hacia el suelo que otra persona que salta en el ascensor cuando
este está quieto. Si mientras el ascensor asciende en estas circunstancias a otra persona le diese por saltar, se
vería atraída hacia el suelo con una aceleración doble y el impacto sería más grande:
En conclusión, la “gravedad” que medirán las personas dentro del
ascensor aumenta con la tensión.
.-Si la tensión es ahora exactamente nula (hemos cortado el cable), es ascensor caerá en caída libre, y cara al
exterior las personas que van en su interior también lo harán. En cambio, vemos que en una caída libre del
ascensor, las personas en su interior no experimentan ningún tipo de gravedad:
En esta situación, si una persona que cae se impulsa hacia arriba, no notará
“nada” que tire de ella hacia el suelo del ascensor, beneficiándose de lo que se denomina la “gravedad 0″. Por
supuesto, esta sensación sólo se da dentro del ascensor, pues desde fuera la gente puede ver que se están cayendo.
Así pues, hemos obtenido el sistema en reposo que Einstein consideraba idóneo. En un sistema de referencia que
“cae” por un campo gravitatorio no hay ningún tipo de fuerza que restrinja los movimientos. Un sistema de
referencia acelerado por la gravedad no transmite efectos gravitatorios a las cosas que contiene.
¿Cuál es la conclusión? Einstein, partiendo de que todos los cuerpos tienden a estar en reposo, supuso que este
estado se daba cuando se dejaban llevar por las fuerzas inerciales, en este caso la gravedad. Una partícula en
reposo es la que está “cayendo” hacia la tierra, no la que ha chocado con ella.
Ahora bien, ¿por qué la partícula en reposo sigue esa trayectoria y no otra?
Supongamos una esfera sobre cuya superficie existe un mundo de dos dimensiones de seres planos. Estos seres
nunca podrán salirse de la superficie de la esfera ni ser conscientes de la 3ª dimensión, pues su punto de vista
está limitado.
Si uno de ellos obtuviese una velocidad “v” sobre en su mundo y no se viese afectado por ninguna fuerza, según
las leyes de Newton permanecería en reposo. En cambio, su trayectoria no sería recta, sino que se iría curvando
para adaptarse a la superficie de la esfera. Como su dirección cambia constantemente, este ser tendría que decir
que existe una fuerza inercial que le empuja hacia la esfera cuando intenta escaparse de ella. Sin embargo, para
nosotros, que lo vemos desde fuera, todo se resume a un problema geométrico: como se tiene que mover sobre
la esfera, su trayectoria se curva por la geometría de la misma.
Einstein decidió que merecía la pena pensar que lo mismo sucedía con nuestro espacio. La geometría espaciotemporal de la relatividad especial de 4 dimensiones podría estar curvada sobre sí misma, alterando las rutas de
los cuerpos al moverse. La caída de los cuerpos hacia la tierra podría deberse a que esta curva el cuadriespacio
hacia su interior, mientras que ellos simplemente se mueven en su reposo. Las geodésicas de las partículas las
guían hacia pozos de energía potencial.
Así pues, la aparición de energía potencial en el espacio contorsiona las fibras del espacio y el tiempo,
revolviéndolas entre ellas y alterando el concepto de “rectitud” que podríamos presuponer en el espacio.
Debido a esta falta de homogeneidad, el concepto de métrica en el espacio-tiempo debía de verse alterado punto
a punto, y matemáticamente Einstein decidió buscarle una analogía con el tensor de curvatura que Riemann
descubrió unas décadas antes, obteniendo buenos resultados. Todo este formalismo matemático en estos
momentos me excede, por lo que no haré comentarios sobre él. Lo importante es que cuando Einstein escribió
sus nuevas ecuaciones para una teoría general de la relatividad (con aceleraciones), Schwarzschild las resolvió
llegando a conclusiones muy interesantes para los fanáticos de la ciencia ficción como yo. En esta entrada,
llegaremos a los resultados de Schwarzschild de un modo menos serio que con las ecuaciones de Einstein.
Velocidad de Escape:
Como vimos en la teoría clásica de órbitas, cuando dos cuerpos interaccionan gravitatoriamente, si
consideramos que uno de ellos está quieto, podemos definir la geometría de la órbita según la energía mecánica
del otro. Si la energía era negativa (la potencial ganaba a la cinética), la órbita se cerraba en una elipse. Si la
energía era positiva (la cinética ganaba a la potencial), la órbita era completamente abierta en una hipérbola.
El punto clave lo encontrábamos en la energía nula, que marcaba el punto en el que una órbita cerrada pasaba a
ser abierta y el cuerpo en movimiento podía escapar del que estaba en reposo. A esta velocidad se la denominó
velocidad de escape por motivos más que evidentes, y su expresión se obtiene de igualar la suma de ambas
energías a 0:
Una propiedad interesante es que la velocidad de escape depende de la
distancia “r” entre los dos cuerpos, y a medida que la distancia es mayor se va reduciendo a 0 rápidamente,
mientras que cuanto más próximos están tiende hacia el infinito. Además, es útil darse cuenta de que existe una
operación invariante entre la velocidad de escape y la distancia “r”:
, para cualquier valor de “r”.
Radio de Schwarzschild:
Dado que la velocidad de escape puede tomar cualquier valor real positivo, para toda masa atractora “M” existe
un determinado radio en el que la velocidad de escape es igual a la velocidad de la luz. Este radio, denominado
radio de Schwarzschild “rs”, se puede definir fácilmente imponiendo su definición a la ecuación anterior:
, siendo “c” la velocidad de la luz. Este radio, dado que está dividido por el cuadrado de la
velocidad de la luz, siempre será muy pequeño, salvo casos en los que el cuerpo atrayente tenga una gran masa
“M”.
Horizonte de sucesos:
Dado que en el radio de Schwarzschild la velocidad de escape es idéntica a la de la luz, tan sólo ella podrá escapar
de una órbita a esa distancia del cuerpo atrayente. Asimismo, a distancias inferiores al radio de Schwarzschild
las velocidades de escape serán aún superiores y, en teoría, inalcanzables.
La conclusión es que nada debería poder escapar del campo gravitatorio una vez que se ha entrado dentro de
dicho radio, pues la velocidad de escape excede el límite permitido por la relatividad especial. De este modo,
dividimos el espacio perturbado por una masa en tres secciones bien definidas.
Más allá del radio de Schwarzschild los cuerpos se mueven a velocidades inferiores a la de la luz siguiendo
trayectorias tipo tiempo. Aquí las leyes de la relatividad especial dominan todas las transformaciones de
coordenadas sin ningún tipo de problema. El tiempo se dilata cuanto más próximo a la perturbación, y a su vez
el espacio se comprime.
En el radio de Schwarzschild, la luz orbita en torno a perturbación sin poder escapar, con un tiempo infinito y
una distancia recorrida nula cara a un observador externo. Denominamos a esta región el horizonte de sucesos,
pues lo que suceda dentro de ella, en principio, nunca lo podremos saber.
Dentro del radio de Schwarzschild, y esta es la parte interesante, las matemáticas nos dicen que el tiempo debería
ir hacia atrás y las distancias recorridas ser negativas. ¿Podría ser posible viajar al pasado al entrar en un
horizonte de sucesos, en el hipotético caso de que hubiese un modo de salir de él? Más importantes aún son las
matemáticas en el centro de la perturbación, pues el tiempo es nulo y la longitud recorrida es infinita cara a un
observador externo.
Los extraños resultados de lo que sucede con el tiempo bajo el horizonte de sucesos han sido debatidos durante
los últimos 50 años por prestigiosos físicos de la talla de Stephen Hawking, quien está firmemente convencido
de que el viaje en el tiempo es imposible.*
*Hace ya 2 años escribí una entrada sobre los multiversos y próximamente escribiré algo parecido sobre el viaje
en el tiempo, también en tono divulgativo.
Agujeros Negros:
El radio de Schwarzschild sólo depende de la masa de los cuerpos que perturban el espacio, como se puede
fácilmente deducir de su fórmula. Por ejemplo, el radio de Schwarzschild del Sol es de unos 3 quilómetros, lo que
implica que se encuentra muy próximo a su núcleo. El radio de Schwarzschild de la tierra es de unos 9 milímetros,
lo que lo hace absolutamente despreciable a efectos prácticos. El radio de Schwarzschild de una persona de unos
100 kg es más pequeño que una quintillonésima parte de milímetro, lo que no sólo lo hace despreciable a efectos
numéricos sino también como teoría, pues a esas escalas predomina la mecánica cuántica.
En todos estos casos, hemos analizado cuerpos cuyo radio de Schwarzschild es mucho más pequeño que ellos,
pero qué sucedería si el radio de Schwarzschild fuese más grande que el propio cuerpo debido al exceso de
densidad. Nos encontraríamos, lógicamente, ante un agujero negro.
El agujero negro es el conjunto de masa comprimida tal que está encerrada dentro de su horizonte de sucesos, y
de la cual por lo tanto no podemos ver nada, pues está más allá de nuestro alcance.
Métrica y Lagrangiana de Schwarzschild:
Si le buscamos a todo esto un formalismo matemático, como ya cité antes, tendríamos que resolver
matemáticamente las ecuaciones de Einstein, pero aquí vamos a llegar a los resultados de Schwarzschild
intuitivamente.
La métrica de Schwarzschild deberá depender de la distancia “r” entre el cuerpo y la perturbación, al menos en
sus coordenadas radial y temporal. Si recordamos, el tensor métrico se definía como la matriz NxN de productos
escalares entre los vectores base del espacio en cuestión. Nosotros, al trabajar con órbitas planas, consideraremos
un espacio de 3 dimensiones, que serán el tiempo “t”, la distancia “r” y el ángulo de giro “σ”. En la anterior entrada
vimos que esto nos llevaba, con la métrica de Minkowsky, a la lagrangiana:
En este caso, necesitaremos que el tiempo sea infinito en el radio de
Schwarzschild. Esto implicará que la base con la que lo medimos (la base temporal) deberá anularse a dicha
distancia. Asimismo, esta base tendrá que valer 1 en el infinito, donde no se ve afectada por ninguna
perturbación. De aquí podemos concluir que el factor “R” de alteración de la base temporal es un “1” al que se le
resta una cantidad que aumenta cuanto más pequeño es “r”, y que lo anula en el radio de Schwarzschild, a saber:
, y el espacio se trasformará de un modo inverso, con lo que la métrica de Schwarzschild en
coordenadas polares incluye un factor “R” para el tiempo y un factor “1 / R” para el espacio, y la lagrangiana nos
resultará:
Gráficamente, con esto conseguimos que la distorsión de la
base temporal con “r” sea de la forma:
, donde el punto en el que se anula es justo el radio de
Schwarzschild. Para el espacio, la gráfica de distorsión de su base será opuesta a esta gráfica:
, donde la recta vertical en la que ambas ramas de la hipérbola se van al infinito
es el radio de Schwarzschild.
Todo este montaje matemático que hemos desarrollado en base a unas afirmaciones de dudosa fiabilidad se debe,
como repito por tercera vez, a que no hemos seguido el camino correcto. En la próxima entrada utilizaremos esta
lagrangiana para obtener la desviación de Mercurio. Este resultado es clásico porque fue el que Einstein usó para
demostrar que su teoría era cierta, ya que obtuvo exactamente la desviación medida por otros científicos de dicho
planeta