CALIFICACIÓN: ___________________ Consejería de Educación, Ciencia y Cultura PRUEBAS DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR DE FORMACIÓN PROFESIONAL SEPTIEMBRE 2011 Resolución de 9 de marzo de 2011 (DOCM de 5 de abril) Apellidos_____________________________________________Nombre________________ DNI / NIE ____________________ Centro de examen___________________________________________________________ PARTE COMÚN MATERIA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS Instrucciones Generales - Duración del ejercicio: 2 horas Mantenga su DNI en lugar visible durante la realización de la prueba. Realice el ejercicio en las hojas de respuestas entregadas al final de este documento y entregue este cuadernillo completo al finalizar la prueba. Lea detenidamente los textos, cuestiones o enunciados. Cuide la presentación y, una vez terminada la prueba, revísela antes de entregarla. Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora científica no programable. Se pueden utilizar instrumentos de dibujo para las representaciones si lo considera oportuno. Criterios de calificación - - El aspirante debe realizar cuatro ejercicios, eligiendo 2 ejercicios de cada opción. Si un aspirante realiza más de 2 ejercicios de la misma opción, sólo se calificarán los dos primeros realizados. Esta prueba se calificará numéricamente entre 0 y 10, en función de los siguientes criterios: Todos los ejercicios tienen una puntuación de 2´5 puntos. Se valorará el orden, la limpieza y la claridad en la presentación. Se valorará el orden y el rigor en el planteamiento y el uso correcto del lenguaje matemático. Se valorará la discusión de las soluciones si fuera preciso. Se valorarán negativamente los errores conceptuales. La nota de la parte común será la media aritmética de las calificaciones obtenidas en cada una de las materias de las que consta. Esta nota media de la parte común deberá ser igual o superior a cuatro puntos para que haga media con la parte específica. Dirección General de Formación Profesional Consejería de Educación, Ciencia y Cultura Apellidos_____________________________________________Nombre________________ DNI / NIE _____________________ EJERCICIOS Opción A (elegir 2 ejercicios) Ejercicio 1 Dados dos puntos A(2, – 1) y B(1, 2), hallar: a) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B. b) Pendiente de dicha recta. c) Puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas. d) Distancia entre los puntos A y B. Ejercicio 2 Observa la siguiente gráfica en la que el eje de abcisas representa los 12 meses del año y el eje de ordenadas las ganancias mensuales, en miles de euros, de una pequeña empresa textil. Responde, de manera razonada, a las siguientes cuestiones: a) ¿Qué ganancias logró en mayo?¿En qué mes consiguió unos beneficios de 2.300 €? b) ¿Durante qué meses obtuvo pérdidas la empresa y cuándo comenzó a tener beneficios? c) ¿Cuáles fueron los mayores beneficios conseguidos y en qué mes se alcanzaron? d) ¿En qué período del año experimentó un descenso en los beneficios? e) Estima, de manera aproximada, los beneficios obtenidos durante el año. Dirección General de Formación Profesional 2 Consejería de Educación, Ciencia y Cultura Apellidos_____________________________________________Nombre________________ DNI / NIE _____________________ Ejercicio 3 Una empresa ha gastado 1.500 € en comprar un móvil a cada uno de sus 25 empleados. Su compañía telefónica ofertó dos modelos diferentes, uno a 75 € y otro a 50 €. ¿Cuántos móviles de cada modelo compró? Ejercicio 4 Una urna contiene 4 bolas negras, 3 bolas blancas y 2 bolas rojas. Hacemos dos extracciones: a) Calcula la probabilidad de obtener dos bolas blancas, si las extracciones se hacen CON REEMPLAZAMIENTO. b) Calcula la probabilidad de obtener una bola blanca y otra negra, si las extracciones se hacen SIN REEMPLAZAMIENTO. Opción B (elegir 2 ejercicios) Ejercicio 5 El crecimiento de una colonia de abejas está determinado por la siguiente ecuación: 230 P(t ) 1 56,5 e 0,37t ¿Cuántas abejas había inicialmente? ¿Cuánto tiempo le tomará a las abejas tener una población igual a 180? ¿Cuál será la población de las abejas cuando pase mucho tiempo ( t ∞ )? Ejercicio 6 Midiendo el tiempo (en minutos) que han tardado los participantes de una carrera en llegar a la meta, hemos obtenido los siguientes resultados. TIEMPO Nº CORREDORES [20, 23] 1 [23, 26) 5 [26, 29) 29 [29, 32) 9 [32, 35) 6 a) Calcula el tiempo medio empleado por los corredores y la desviación típica. b) ¿Se trata de un grupo de corredores homogéneo o heterogéneo? Dirección General de Formación Profesional 3 Consejería de Educación, Ciencia y Cultura Apellidos_____________________________________________Nombre________________ DNI / NIE _____________________ Ejercicio 7 Se desea saber la altura de un árbol situado en la orilla opuesta de un río. La visual del extremo superior del árbol desde un cierto punto forma un ángulo de elevación de 17º. Aproximándose 25,9 metros hacia la orilla en la dirección del árbol, el ángulo es de 31º. Calcula la altura del árbol. Ejercicio 8 El censo de población en edad laboral en un pueblo es de 1.000 habitantes. El 60 % de los habitantes son mujeres y el resto de los hombres. De las mujeres el 50 % están en paro y de los hombres el 10 %. a) Completa la siguiente tabla Hombres Mujeres Total Parados Trabajado Total b) ¿Cuántos habitantes están parados? Si se elige una persona del censo cuál es la probabilidad de que sea un parado. c) ¿Cuántas mujeres están trabajando? Si se elige una persona del censo ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y trabaje? d) Si se elige un individuo al azar que resulta estar trabajando ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer? Dirección General de Formación Profesional 4 Consejería de Educación, Ciencia y Cultura Apellidos_____________________________________________Nombre________________ DNI / NIE _____________________ SOLUCIONES Opción A (elegir 2 ejercicios) Ejercicio 1 Dados dos puntos A(2, – 1) y B(1, 2), hallar: a) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B. b) Pendiente de dicha recta. c) Puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas. d) Distancia entre los puntos A y B. Solución. a) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B. La ecuación de la recta es de la forma y = mx + n. En ese caso, hacemos pasar a recta por los puntos A y B. x 2 1 y = mx + n – 1 = m∙(2) + n → 2m + n = – 1 + 2 = m∙1 + n → m + n = 2 Resolvemos el sistema calculando primeramente por reducción la pendiente m: 2m n 1 2m n 1 ( 1) m n 2 x m n 2 m 3 Y para calcular n: m + n = 2 → – 3 + n = 2 → n = 2 + 3 = 5. Solución: La ecuación de la recta es y = – 3x + 5 b) Pendiente de dicha recta. Por lo visto en el apartado anterior, la pendiente es m = – 3. Dirección General de Formación Profesional 5 Consejería de Educación, Ciencia y Cultura Apellidos_____________________________________________Nombre________________ DNI / NIE _____________________ c) Puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas. Dada la ecuación de la recta y = – 3x + 5 entonces los puntos de corte vienen determinados por: Con el eje OX hacemos y = 0. En ese caso, 0 3x 5 3x 5 x 5 3 5 3 Por lo tanto, hay corte en el eje de abcisas en el punto , 0 Con el eje OY hacemos x = 0. En ese caso, y=–3∙0+5=5 Por lo tanto, hay corte en el eje de ordenadas en el punto (0, 5) d) Distancia entre los puntos A y B. La distancia entre los dos puntos viene determinada por el módulo del vector AB . Calculamos dicho módulo: d ( A, B) AB (1) 2 32 1 9 10 unidades Por lo tanto, la distancia entre los dos puntos A y B es Dirección General de Formación Profesional 6 10 unidades. Consejería de Educación, Ciencia y Cultura Apellidos_____________________________________________Nombre________________ DNI / NIE _____________________ Ejercicio 2 Observa la siguiente gráfica en la que el eje de abcisas representa los 12 meses del año y el eje de ordenadas las ganancias mensuales, en miles de euros, de una pequeña empresa textil. Responde, de manera razonada, a las siguientes cuestiones: a) ¿Qué ganancias logró en mayo?¿En qué mes consiguió unos beneficios de 2.300 €? b) ¿Durante qué meses obtuvo pérdidas la empresa y cuándo comenzó a tener beneficios? c) ¿Cuáles fueron los mayores beneficios conseguidos y en qué mes se alcanzaron? d) ¿En qué período del año experimentó un descenso en los beneficios? e) Estima, de manera aproximada, los beneficios obtenidos durante el año. Solución a) ¿Qué ganancias logró en mayo?¿En qué mes consiguió unos beneficios de 2.300 €? En mayo ha tenido unos beneficios de 2.000 €. Los meses en que hay un beneficio de 2.300 € es durante mayo y en septiembre. b) ¿Durante qué meses obtuvo pérdidas la empresa y cuándo comenzó a tener beneficios? Los meses de perdidas fueron enero, febrero y beneficios. Dirección General de Formación Profesional 7 marzo. A partir de abril hay Consejería de Educación, Ciencia y Cultura Apellidos_____________________________________________Nombre________________ DNI / NIE _____________________ c) ¿Cuáles fueron los mayores beneficios conseguidos y en qué mes se alcanzaron? Los máximos beneficios se alcanzan en Julio y son de 3.000 €. d) ¿En qué período del año experimentó un descenso en los beneficios? En el segundo semestre del año se registran descensos de los beneficios. e) Estima, de manera aproximada, los beneficios obtenidos durante el año. Si entendemos la pregunta como beneficio total, se observa en la gráfica que los beneficios tienen a ser de 2.000 euros a 31 de diciembre. Ejercicio 3 Una empresa ha gastado 1.500 € en comprar un móvil a cada uno de sus 25 empleados. Su compañía telefónica ofertó dos modelos diferentes, uno a 75 € y otro a 50 €. ¿Cuántos móviles de cada modelo compró? Solución. Llamamos “x” al número de móviles cuyo precio es 75 € e “y” al número de móviles cuyo precio es 50 € En ese caso, podremos crear un sistema de ecuaciones según lo que se nos describe: Ha gastado 1.500 ofertando dos modelos diferentes, uno a 75 € y otro a 50 €. → 75x + 50y = 1.500 Compra un móvil a cada uno de sus 25 empleados → x + y = 25 Resolvemos el sistema por el método de reducción: : 25 75 x 50 y 1.500 3x 2 y 60 x ( 2 ) x y 25 2 x 2 y 50 x 10 Puesto que x = 10 y x + y = 25 entonces y = 25 – x = 25 10 = 15. Solución: Habrá 10 móviles que cuestan 75 € y 15 móviles que cuestan 50 €. Dirección General de Formación Profesional 8 Consejería de Educación, Ciencia y Cultura Apellidos_____________________________________________Nombre________________ DNI / NIE _____________________ Ejercicio 4 Una urna contiene 4 bolas negras, 3 bolas blancas y 2 bolas rojas. Hacemos dos extracciones: a) Calcula la probabilidad de obtener dos bolas blancas, si las extracciones se hacen CON REEMPLAZAMIENTO. b) Calcula la probabilidad de obtener una bola blanca y otra negra, si las extracciones se hacen SIN REEMPLAZAMIENTO. Solución. a) Calcula la probabilidad de obtener dos bolas blancas, si las extracciones se hacen CON REEMPLAZAMIENTO. Mediante el siguiente diagrama de árbol que ilustra el experimento de doble extracción: La probabilidad de obtener dos bolas blancas será: P( Dos bolas blancas ) Dirección General de Formación Profesional 9 3 3 9 1 0´ 1 9 9 81 9 Consejería de Educación, Ciencia y Cultura Apellidos_____________________________________________Nombre________________ DNI / NIE _____________________ b) Calcula la probabilidad de obtener una bola blanca y otra negra, si las extracciones se hacen SIN REEMPLAZAMIENTO. Mediante el siguiente diagrama de árbol que ilustra el experimento de doble extracción: La probabilidad de obtener una bola blanca y otra negra será: P( Una bola blanca y la otra negra ) 4 3 3 4 1 1 1 1 1 1 2 1 0 ´3 9 8 9 8 3 2 3 2 6 6 6 3 Dirección General de Formación Profesional 10 Consejería de Educación, Ciencia y Cultura Apellidos_____________________________________________Nombre________________ DNI / NIE _____________________ Opción B (elegir 2 ejercicios) Ejercicio 5 El crecimiento de una colonia de abejas está determinado por la siguiente ecuación: 230 P(t ) 1 56,5 e 0,37t ¿Cuántas abejas había inicialmente? ¿Cuánto tiempo le tomará a las abejas tener una población igual a 180? ¿Cuál será la población de las abejas cuando pase mucho tiempo ( t ∞ )? Solución. 1) ¿Cuántas abejas había inicialmente? Para calcular las abejas que hay inicialmente hacemos P(0): P(0) 230 230 230 4 abejas. 0, 37 0 1 56,5 57,5 1 56,5 e 2) ¿Cuánto tiempo le tomará a las abejas tener una población igual a 180? Igualamos la expresión funcional a 180, multiplicamos en cruz y deshacemos el paréntesis, 230 180 230 180 (1 56,5 e 0,37 t ) 230 180 10.170 e 0,37 t 0, 37 t 1 56,5 e 230 180 10.170 e 0,37 t 50 10.170 e 0,37 t 1 203´4 e 0,37 t Despejamos t tomando logaritmos neperianos. Ln(1) Ln(203´4 e 0,37 t ) 0 Ln(203´4) Ln(e 0,37 t ) 0 Ln(203´4) 0´37t Ln(e) 0 Ln(203´4) 0´37t Ln(203´4) t t 14´36 minutos 0´37 Por tanto, tardarán 14´36 años. Dirección General de Formación Profesional 11 Consejería de Educación, Ciencia y Cultura Apellidos_____________________________________________Nombre________________ DNI / NIE _____________________ 3) ¿Cuál será la población de las abejas cuando pase mucho tiempo ( t ∞ )? Para calcular la población de las abejas cuando pase mucho tiempo hacemos el límite cuando el tiempo tiende a infinito de la expresión funcional. lim P(t ) lim t t 230 230 230 230 230 abejas 0, 37t 1 56,5 0 1 1 56,5 e 1 56,5 e Por lo tanto, cuando pase mucho tiempo la población se estabilizará en 230 abejas. Ejercicio 6 Midiendo el tiempo (en minutos) que han tardado los participantes de una carrera en llegar a la meta, hemos obtenido los siguientes resultados. TIEMPO Nº CORREDORES [20, 23] 1 [23, 26) 5 [26, 29) 29 [29, 32) 9 [32, 35) 6 a) Calcula el tiempo medio empleado por los corredores y la desviación típica. b) ¿Se trata de un grupo de corredores homogéneo o heterogéneo? Solución. a) Calcular e tiempo medio empleado por los corredores y la desviación típica. Procedemos en los intervalos determinados a calcular las marcas de clase y los valores que nos son necesarios: Intervalo [20, 23) [23, 26) [26, 29) [29, 32) [32, 35) Totales Marca de clase (xj) 21´5 24´5 27´5 30´5 33´5 fi xjfi 1 21´5 x 1 = 21´5 5 24´5 x 5 = 122´5 29 27´5 x 29= 797´5 9 30´5 x 9 = 274´5 6 33´5 x 6 = 201 f j = 50 n j x j = 1417 Por lo tanto, la media aritmética es: X f x f j j j 1417 28´34 minutos 50 Dirección General de Formación Profesional 12 xj2fi 21´52 x 1 = 462´25 24´52 x 5 = 3.001´25 27´52 x 29= 21.931´25 30´52 x 9 = 8.372´25 33´52 x 6 = 6.733´5 n j x 2j = 40.500´5 Consejería de Educación, Ciencia y Cultura Apellidos_____________________________________________Nombre________________ DNI / NIE _____________________ Utilizando la fórmula de la varianza muestral: s 2 ( X ) M ( X 2 ) [M ( X )]2 donde: M (X 2 ) X x j fj n , M (X 2 ) x 2 j fj n Por lo tanto, la varianza es: s 2 ( X ) M ( X 2 ) [ M ( X )]2 40.500´5 28´34 2 6´8544 minutos2 50 y la desviación típica será su raíz cuadrada: s s 2 6´8544 2´62 minutos b) ¿Se trata de un grupo de corredores homogéneo o heterogéneo? Se trata de un grupo muy homogéneo por cuanto la desviación típica es muy pequeña. Dirección General de Formación Profesional 13 Consejería de Educación, Ciencia y Cultura Apellidos_____________________________________________Nombre________________ DNI / NIE _____________________ Ejercicio 7 Se desea saber la altura de un árbol situado en la orilla opuesta de un río. La visual del extremo superior del árbol desde un cierto punto forma un ángulo de elevación de 17º. Aproximándose 25,9 metros hacia la orilla en la dirección del árbol, el ángulo es de 31º. Calcula la altura del árbol. Solución. Llamamos x a la distancia entre el punto de segunda medición y la base del árbol. Por otra parte, llamamos h a la altura del árbol. La representación adjunta ilustra la situación planteada: Aplicando la razón tangente sobre cada ángulo, tendremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resolvemos por el método de igualación: h h x tg 31º x x tg 31º ( x 25´9) tg 17º h h ( x 25´9) tg 17º tg 17º x 25´9 tg 31º x tg 31º x tg 17º 25´9 tg 17º x tg 31º x tg 17º 25´9 tg 17º x (tg 31º tg 17º ) 25´9 tg 17º x 25´9 tg 17º 26´83 m tg 31º tg 17º Por lo tanto, el punto donde se toma la segunda observación está situado a 26´83 m del árbol. La altura del árbol será: h = x ∙ tg 31º = 26´83 ∙ tg 31º = 16´12 m Dirección General de Formación Profesional 14 Consejería de Educación, Ciencia y Cultura Apellidos_____________________________________________Nombre________________ DNI / NIE _____________________ Ejercicio 8 El censo de población en edad laboral en un pueblo es de 1.000 habitantes. El 60 % de los habitantes son mujeres y el resto de los hombres. De las mujeres el 50 % están en paro y de los hombres el 10 %. a) Completa la siguiente tabla Hombres Mujeres Total Parados Trabajado Total b) ¿Cuántos habitantes están parados? Si se elige una persona del censo cuál es la probabilidad de que sea un parado. c) ¿Cuántas mujeres están trabajando? Si se elige una persona del censo ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y trabaje? d) Si se elige un individuo al azar que resulta estar trabajando ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer? Solución. a) Completa la siguiente tabla Hacemos el 60 % del total de 1.000 personas para saber cuántas mujeres hay: 60 % de 1000 60 60000 1000 600 100 100 Por lo tanto, hay 600 mujeres y los 400 restantes serán hombres. De las 600 mujeres, hacemos el 50 % para saber cuántas están paradas: 50 % de 600 50 30000 600 300 100 100 Por lo tanto, 300 mujeres están en el paro y las otras 300 trabajando. Dirección General de Formación Profesional 15 Consejería de Educación, Ciencia y Cultura Apellidos_____________________________________________Nombre________________ DNI / NIE _____________________ De los 400 hombres, hacemos el 10 % para saber cuántos están parados: 10 % de 400 10 4000 400 40 100 100 Por lo tanto, 40 hombres están parados y los otros 360 trabajando. Así, la tabla queda del siguiente modo: Hombres Mujeres Total Parados 40 300 340 Trabajado 360 300 660 Total 400 600 1.000 b) ¿Cuántos habitantes están parados? Si se elige una persona del censo cuál es la probabilidad de que sea un parado. Según la tabla anterior, hay un total de 40 + 300 = 340 parados. La probabilidad de escoger una persona al azar y que sea un parado es, según la regla de Laplace: P( parado) 340 34 0´34 1.000 100 Por lo tanto, podemos decir que hay un porcentaje de probabilidad del 34 % de que escogida una persona al azar, esté en el paro. c) ¿Cuántas mujeres están trabajando? Si se elige una persona del censo ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y trabaje? Según la tabla del apartado a), hay un total de 300 mujeres trabajando. La probabilidad de escoger una persona al azar y que sea una mujer que trabaje es: P(mujer y trabaja ) 300 30 0´3 1.000 100 Por lo tanto, podemos decir que hay un porcentaje de probabilidad del 30 % de que escogida una persona al azar, sea mujer y esté trabajando. Dirección General de Formación Profesional 16 Consejería de Educación, Ciencia y Cultura Apellidos_____________________________________________Nombre________________ DNI / NIE _____________________ d) Si se elige un individuo al azar que resulta estar trabajando ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer? Según la tabla del apartado a), el total de personas trabajando es de 360 + 300 = 660. La probabilidad de escoger una persona al azar entre los que trabajan y que sea una mujer es: P(mujer / trabaja ) 300 5 0´45 660 11 Por lo tanto, podemos decir que hay un porcentaje de probabilidad del 45´46 % de que escogida una persona al azar de entre las que trabajan, sea mujer. Dirección General de Formación Profesional 17