Modelos

Modelos de probabilidad
Modelos de probabilidad
Proceso de Bernoulli
Objetivos del tema:
Distribución de Bernoulli
Distribución Binomial
Distribución Geométrica
Al final del tema el alumno será capaz de:
Proceso de Poisson
Distribución de Poisson
Distribución Exponencial
Comprender las hipótesis de las distintas distribuciones presentadas
Distribución Normal
La Normal como aproximación de otras distribuciones
Seleccionar la distribución discreta o continua correcta en aplicaciones
específicas
Distribuciones relacionadas con la Normal
Distribución χ2 de Pearson
Distribución t de Student
Distribución F de Fisher
Calcular probabilidades, determinar medias y varianzas para las
distribuciones más comunes
1
Estadística, Profesora. María Durbán
2
Estadística, Profesora. María Durbán
Modelos de probabilidad
Proceso de Bernoulli
Proceso de Bernoulli
Distribución de Bernoulli
Distribución Binomial
Distribución Geométrica
Cuando un experimento tiene las siguientes características:
Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A)
Defectuoso (D)
Proceso de Poisson
Distribución de Poisson
Distribución Exponencial
La proporción de A y D es constante en la población
y no se modifica cualquiera que sea la cantidad
observada
Distribución Normal
La Normal como aproximación de otras distribuciones
Pr( D) = p
Pr( A) = q = 1 − p
Distribuciones relacionadas con la Normal
Distribución χ2 de Pearson
Distribución t de Student
Distribución F de Fisher
Las observaciones son independientes
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3
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4
Proceso de Bernoulli
Proceso de Bernoulli
Cuando un experimento tiene las siguientes características:
Ejemplos
Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A)
Defectuoso (D)
Observar el resultado al lanzar una moneda
La proporción de A y D es constante en la población
y no se modifica cualquiera que sea la cantidad
observada
Si una pieza es defectuosa o no en un proceso de fabricación
Observar el sexo de un recién nacido
Pr( D) = p
Pr( A) = q = 1 − p
Si se transmite correctamente un bit a través de un canal digital
Las observaciones son independientes
5
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6
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Proceso de Bernoulli
Proceso de Bernoulli
Distribución de Bernoulli
Distribución Binomial
0 si el suceso no ocurre A → q = 1 − p = Pr( X = 0)
X =
si el suceso ocurre A
→ p = Pr( X = 1)
1
Si se repite un número fijo de veces, n, un experimento de Bernoulli con
parámetro p, el número de éxitos sigue una distribución Binomial de
parámetros (n,p).
X = Número de veces que ocurre un suceso en las n pruebas
La función de probabilidad es:
p ( x) = p x (1 − p )1− x
X ~ B ( n, p )
x = 0,1
X toma valores 0,1,2,…,n
µ = E [ X ] = 0 × (1 − p ) + 1× p = p
σ = Var [ X ] = (0 − p) 2 (1 − p) + (1 − p) 2 p = p(1 − p)
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7
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8
Proceso de Bernoulli
Proceso de Bernoulli
n=5
La función de probabilidad es:
n
P( X = r ) =   p r (1 − p) n − r , r = 0,1,K , n
r
n=25
E [ X ] = np
p=0.75
p=0.5
p=0.2
Var [ X ] = np (1 − p )
9
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10
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Proceso de Bernoulli
Proceso de Bernoulli
Ejemplo
Ejemplo
Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de
que un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes.
El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso.
Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de
que un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes.
El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso.
¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione?
¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione?
X = Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato
X = Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato
Pr( X = 0)
Experimento: Observar si un circuito es defectuoso o no. Se repite 40 veces
Son independientes
La probabilidad de ser defectuoso es constante, 0.01
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11
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12
Proceso de Bernoulli
Proceso de Bernoulli
Ejemplo
Distribución Geométrica
Cuando un experimento tiene las siguientes características:
Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de
que un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes.
El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso.
Sólo hay dos resultados posibles
La probabilidad de éxito se mantiene
constante
¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione?
Las observaciones son independientes
X = Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato
Se repite el experimento hasta que ocurre el primer
éxito
X ~ B(40, 0.01)
X = Número de veces que hay que repetir el experimento hasta
conseguir el primer éxito
 40 
Pr( X = 0) =   0.010 (1 − 0.01) 40 = 0.669
0
X ~ Ge( p )
13
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Proceso de Bernoulli
Proceso de Bernoulli
Distribución Geométrica
Distribución Geométrica
X i i = 1,.....n son Bernoulli
X1
↓
1
0
X2
↓
0
1
X3
↓
0
0
X4 L
↓
0 L ⇒
0 L ⇒
0
0
0
0
1
0
0
1
L ⇒
L ⇒
X i i = 1,.....n son Bernoulli
X
↓
X = 1 Pr( X = 1) = p
X = 2 Pr( X = 2) = qp
X1
↓
1
0
X2
↓
0
1
X3
↓
0
0
X4 L
↓
0 L ⇒
0 L ⇒
X = 3 Pr( X = 3) = qqp
X = 4 Pr( X = 4) = qqqp
0
0
0
0
1
0
0
1
L ⇒
L ⇒
X
↓
X = 1 Pr( X = 1) = p
X = 2 Pr( X = 2) = qp
X = 3 Pr( X = 3) = qqp
X = 4 Pr( X = 4) = qqqp
E [ X ] = 1/ p
La función de probabilidad es:
P( X = r ) = (1 − p ) r −1 p, r = 1, 2, K
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Var [ X ] = (1 − p ) / p 2
15
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Proceso de Bernoulli
Proceso de Bernoulli
Distribución Geométrica
Ejemplo
p ( x ) = Pr ( X = x ) = (1 − p) x −1 p
La probabilidad de que un bit transmitido a través de un canal de
transmisión digital sea recibido como un error es 0.1. Si las transmisiones
son independientes,
¿Cuál es el número medio de transmisiones que hemos de
observar hasta que ocurre el primer error?
X = Número de transmisiones que hay que observar hasta encontrar
el primer error
E [ X ] = 1/ p = 1/ 0.1 = 10
17
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Modelos de probabilidad
Proceso de Poisson
Proceso de Bernoulli
Cuando un experimento tiene las siguientes características:
Distribución de Bernoulli
Distribución Binomial
Distribución Geométrica
Se observa la ocurrencia de sucesos en un intervalo
Proceso de Poisson
La probabilidad de que ocurra un suceso en un intervalo
Distribución de Poisson
Distribución Exponencial
Es la misma para los intervalos del mismo tamaño
Es proporcional a la longitud del intervalo
Distribución Normal
La Normal como aproximación de otras distribuciones
Los sucesos ocurren de forma independiente. El número de
sucesos que ocurren en un intervalo es independiente del
número de sucesos que ocurren en otro intervalo
Distribuciones relacionadas con la Normal
Distribución χ2 de Pearson
Distribución t de Student
Distribución F de Fisher
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18
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19
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20
Proceso de Poisson
Proceso de Poisson
Distribución de Poisson
Distribución de Poisson
La función de probabilidad es:
X = Número de sucesos en un intervalo de longitud fija
La distribución de Poisson se puede obtener como límite de una
Binomial cuando n → ∞ y p → 0
λ = np →
P( X = r ) =
∞
Número medio de sucesos en ese intervalo
e− λ λ r
, r = 0,1, K
r!
E[X ] = λ → E[X ] = ∑r
Var [ X ] = λ
0
∞
e−λ λ r
λ r −1
= λ e−λ ∑
=λ
r!
1 ( r − 1)!
X ~ P(λ1 ) Y ~ P(λ2 ) independientes X + Y ~ P(λ1 + λ2 )
21
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22
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Proceso de Poisson
Proceso de Poisson
Distribución de Poisson
Ejemplos
Número de defectos en un milímetro de cable.
Número de llamadas de teléfono que se reciben en una centralita
en una hora.
Número de erratas por página en un documento
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23
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24
Proceso de Poisson
Proceso de Poisson
Ejemplo
Ejemplo
El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce
de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente
cada minuto.
El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce
de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente
cada minuto.
¿Cuál es la probabilidad de que no lleguen clientes en 3 minutos?
Mantener el citado puesto de servicio abierto 8 horas al día cuesta
6000 euros diarios. ¿Cuál debe ser el precio mínimo que se cobre a
cada cliente para que sea rentable?
X = Número de clientes por minuto → X ~ P (λ = 1)
Y = Número de clientes en 8 horas → Y ~ P (λ = 60 × 8 = 480)
Y = Número de clientes en 3 minutos → Y ~ P (λ = 3)
Beneficio = Tarifa x Y -6000
Pr(Y = 0) =
−3 0
e 3
= e−3
0!
Beneficio Esperado = Tarifa × E [Y ] − 6000 > 0
= Tarifa × 480 − 6000 > 0
25
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Proceso de Poisson
Distribución de exponencial
Distribución de exponencial
X = Numero de sucesos en la unidad de tiempo X ~ P (λ )
Tiempo entre llamadas telefónicas
Tiempo entre llegadas a un puesto de servicio
Tiempo de vida de un componente eléctrico
T = Tiempo hasta que ocurre el primer suceso
M
Podemos calcular su función de distribución:
P (T > t0 ) = P(cero sucesos en (0,t 0 ))
Cuando el número de sucesos sigue una distribución de
Poisson, el tiempo entre sucesos sigue una distribución
exponencial
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26
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Proceso de Poisson
La distribución exponencial se puede utilizar para modelizar
Tarifa > 12.5
X= Número de sucesos en una unidad de tiempo X ~ P (λ )
Y = Número de sucesos en (0,t0) Y ~ P (λt0 )
27
P (T > t0 ) = Pr(Y = 0) = e − λt0
F (t0 ) = P (T ≤ t0 ) = 1 − e − λt0
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28
Proceso de Poisson
Proceso de Poisson
f ( x ) = λ e−λ x
Distribución de exponencial
X = Numero de sucesos en la unidad de tiempo X ~ P (λ )
T = Tiempo entre dos sucesos consecutivos
f ( x) = 2e −2 x
dF (t )
= λ e − λt , t ≥ 0
dt
f (t ) =
E [ X ] = 1/ λ
f ( x) = 0.5e −0.5 x
f ( x ) = 0.1e −0.1x
Si hay λ sucesos por término medio en un
intervalo de tiempo
Var [ X ] = 1/ λ 2
El tiempo medio entre dos sucesos es 1/λ
29
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30
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Proceso de Poisson
Proceso de Poisson
Ejemplo
Propiedad
El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce
de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente
cada minuto.
Pr(T > t1 +t 2 | T > t1 ) = Pr( T > t 2 )
¿Cuál es la probabilidad de que pasen más de 3 minutos entre la
llegada de dos clientes?
X = Número de clientes por minuto → X ~ P (λ = 1)
T = Tiempo entre dos clientes
Pr(T > t1 +t 2 I T > t1 )
Pr( T > t1 +t 2 ) e − λ (t1 +t 2 )
= − λ t1 = e − λt2
=
e
Pr( T > t1 )
Pr( T > t1 )
→ T ~ Exp (λ = 1)
Pr(T > 3) = 1 − Pr(T ≤ 3) = 1 − F (3) = 1 − (1 − e
−1×3
)=e
−3
Pr(Y > 7 | Y > 4) = Pr(Y > 3) = 1 − F (3) = e−3
= Pr(No haya clientes en 3 minutos)
Estadística, Profesora. María Durbán
Si no ha habido clientes en 4 minutos, ¿cuál es la probabilidad de
que no haya clientes en los próximos 3 minutos?
31
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32
Modelos de probabilidad
Distribución Normal
Proceso de Bernoulli
Distribución de Bernoulli
Distribución Binomial
Distribución Geométrica
La distribución Normal describe gran cantidad de procesos
aleatorios
Proceso de Poisson
Distribución de Poisson
Distribución Exponencial
Errores de medida
Ruido en una señal digital
Corriente eléctrica en un trozo de cable
…
Distribución Normal
La Normal como aproximación de otras distribuciones
Distribuciones relacionadas con la Normal
Distribución χ2 de Pearson
Distribución t de Student
Distribución F de Fisher
En muchas situaciones otras distribuciones se pueden
aproximar a una Normal
Es la base para la inferencia estadística
33
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34
Estadística, Profesora. María Durbán
Distribución Normal
Distribución Normal
Tiene forma de campana y es simétrica respecto de la media
Está caracterizada por dos parámetros: La media, µ, y la desviación
típica, σ. N ( µ , σ )
f ( x)
Toma valores en toda la recta real
La media, mediana y
moda coinciden
Su función de densidad es:
1
f ( x) =
e
2π σ
E[ X ] = µ
− ( x − µ )2
2σ 2
−∞ < x < ∞
µ
Var[ X ] = σ 2
0.5
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35
Estadística, Profesora. María Durbán
0.5
36
Distribución Normal
Distribución Normal
El efecto de µ y σ
¿Cómo afecta la deviación típica la forma de f(x)?
La probabilidad es el área
bajo la curva
Es un factor
de escala
σ= 2
Pr(c ≤ X ≤ d)
σ =3
σ =4
f(x)
No es posible calcular la probabilidad de
un intervalo simplemente usando la
integral de la función de densidad
¿Cómo afecta el valor esperado a la posición de f(x)?
µ = 10 µ = 11 µ = 12
Es un factor de
traslación
c
37
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X → Z =
X −µ
38
Distribución Normal
Densidad de (X-µ)/σ
σ
x
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Distribución Normal
Todas las distribuciones normales
se pueden transformar en N(0,1)
d
X ~ N (3, 2)
Densidad de X-µ
Densidad de X
3
6
Pr( X ≤ 6)
Z ~ N (0,1)
Mismoº
área
σ
1
µ
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0
39
1.5
6−3 0

Pr  Z ≤
Pr(
1.5)
=
Z
≤

2 

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40
Distribución Normal
Distribución Normal
Ejemplo
La función de distribución de la Normal estándar tiene una notación
propia:
El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media
7000 horas y desviación típica 600 horas
F ( x) = Pr( X ≤ x) = φ ( x)
¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?
Q( x) = Pr( X > x) = 1 − φ ( x)
¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95.05% de los semiconductores?
Pr( X < 6000)
Q(− x) = 1 − Q( x)
Existen ciertas cotas para la función Q que se utilizan para calcular
cotas en error de probabilidad de varios sistemas de
comunicaciones
1 − x2
Pr( X > a ) = 0.9505
2
Q( x) ≤ e
2
x≥0
2
Q( x) <
x
−
1
e 2 x≥0
2π x
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41
42
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Distribución Normal
Distribución Normal
Ejemplo
Ejemplo
El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media
7000 horas y desviación típica 600 horas
El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media
7000 horas y desviación típica 600 horas
¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?
¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?
6000 − 7000 

Pr( X < 6000) = Pr  Z <
 = Pr( Z < −1.66)
600


6000 − 7000 

Pr( X < 6000) = Pr  Z <
 = Pr( Z < −1.66)
600


-1.66
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1.66
43
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44
Distribución Normal
Distribución Normal
Ejemplo
Ejemplo
¿Cuál es la probabilidad de
que el semiconductor falle
antes de 6000 horas?
El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media
7000 horas y desviación típica 600 horas
¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?
6000 − 7000 

Pr( X < 6000) = Pr  Z <
 = Pr( Z < −1.66)
600


= 1 − Pr( Z ≤ 1.66)
= 1 − Pr( Z < 1.66)
= 1 − 0.9515
= 0.0485
1.66
45
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Estadística, Profesora. María Durbán
Distribución Normal
46
Distribución Normal
Ejemplo
Ejemplo
El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media
7000 horas y desviación típica 600 horas
El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media
7000 horas y desviación típica 600 horas
¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95.05% de los semiconductores?
¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95.05% de los semiconductores?
a − 7000 

Pr( X > a ) = 0.9505 → Pr  Z >
 = 0.9505
600


a − 7000 

Pr( X > a ) = 0.9505 → Pr  Z >
 = 0.9505
600


-b
0.9505
0.9505
a
Estadística, Profesora. María Durbán
Valor negativo
-b
47
Estadística, Profesora. María Durbán
48
Distribución Normal
Distribución Normal
Ejemplo
Ejemplo
¿Qué tiempo de vida en horas es
excedido por el 95.05% de los
semiconductores?
El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media
7000 horas y desviación típica 600 horas
¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95.05% de los semiconductores?
−(a − 7000) 

Pr( X > a ) = 0.9505 → Pr  Z <
 = 0.9505
600


−(a − 7000) 

Pr( X > a) = Pr  Z <
 = 0.9505
600


−(a − 7000)
= 1.65
600
⇓
a = 6010
b
0.9505
El 95.05% de los semiconductores
duran más de 6010 horas
b
49
Estadística, Profesora. María Durbán
Estadística, Profesora. María Durbán
Distribución Normal
Estadística, Prof. Bernardo D'Auria
50
Distribución Normal
Más ejemplos de cálculo de probabilidades
Pr ( Z <-0.6) =
Pr ( Z >0.6 ) =
1 - Pr (Z < 0.6 ) =
1 – 0.7257 =
0.2743
Pr( -0.6 < Z < 1.83 )=
Pr( Z < 1.83 ) - Pr( Z ≤ -0.6 )
Pr( Z < 1.83 ) =
0.9664
= 0.7257 - 0.0336
= 0.6921
-0.6
Estadística, Profesora. María Durbán
La Normal es importante, no sólo porque muchas variables comunes
sigan esa distribución, sino porque aunque una v.a. no posea
distribución normal, ciertos estadísticos/estimadores calculados sobre
muestras elegidas al azar sí poseen una distribución Normal.
1.83
51
Estadística, Profesora. María Durbán
52
Distribución Normal
Distribución Normal
Muestra
Ilustración
1ª
50
60
Elegimos aleatoriamente grupos de 10
observaciones.
Para cada grupo de 10 obtenemos
entonces una nueva medida: la media
muestral.
Las medias de cada muestra están más
o menos cerca de la media de la
variable original.
0
El histograma no se parece a
una distribución normal con la
misma media y desviación típica
10
20
La muestra tiene media 59.9 y
desviación típica 4.57
2ª
3ª
59
63
59
60
60
69
66
58
60
54
53
65
51
51
69
54
59
54
51
53
59
63
62
65
66
57
56
70
69
55
30
40
Sea X una variable Uniforme en
el intervalo [50,70].
Tenemos una muestra de tamaño
2000.
50
55
xx
60
65
70
x
53
Estadística, Profesora. María Durbán
59.4
Estadística, Profesora. María Durbán
Distribución Normal
58.5
61.1
54
Distribución Normal
Supongamos que tenemos n variables aleatorias Xi
La distribución de las medias
muestrales tiene distribución
aproximadamente normal.
Las observaciones de la nueva variable
están menos dispersas. La desviación
típica es menor, en este caso 1.92
distribución cualquiera
30
Teorema Central del Límite
a
La media de esta nueva variable
es muy parecida a la de la variable
original.
independientes con medias (µι) y desviaciones típicas (σi) y
40
20
Cuando n crece,
10
Y = X1 + X 2 + K + X n
0
55.220755
57.099264
58.977773
62.734792
64.613301
xxx 60.856282
56.160009
58.038518
59.917028
61.795537
63.674046
la distribución de
Y − ∑ µi
≈ N (0,1)
∑ σ i2
aa$x
Estadística, Profesora. María Durbán
55
Estadística, Profesora. María Durbán
Y~N
(∑ µ ,
i
∑σ
2
i
)
56
Modelos de probabilidad
Distribución Normal
4.5 Proceso de Bernoulli
Distribución de Bernoulli
Distribución Binomial
Distribución Geométrica
Supongamos que tenemos n variables aleatorias Xi
independientes con medias (µι) y desviaciones típicas (σi) y
4.6 Proceso de Poisson
Distribución de Poisson
Distribución Exponencial
distribución cualquiera
Teorema Central del Límite
4.8 Distribución Normal
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal
Distribución χ2 de Pearson
Distribución t de Student
Distribución F de Fisher
Sea lo que sea lo que midamos, cuando se promedie sobre
una muestra grande, nos va a aparecer de manera natural
la distribución Normal
57
Estadística, Profesora. María Durbán
La Normal como aproximación de otras distribuciones
58
Estadística, Profesora. María Durbán
La Normal como aproximación de otras distribuciones
Binomial-Normal
Binomial-Normal
La variable Binomial es suma de variables de Bernoulli, que
toman el valor 0 ó 1.
E [ Xi ] = p
Y = X 1 + X 2 +K X n
(
n = 50 p = 0.3
0.08
npq = 10.5
Var[ X i ] = p (1 − p )
T.C.L.
Y ≈ N np, np (1 − p )
0.12
)
0.04
(
n > 30
N 15, 10.5
npq > 5
)
0.00
5.000
7.625
10.250 12.875 15.500 18.125 20.750 23.375 26.000
x
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59
Estadística, Profesora. María Durbán
60
La Normal como aproximación de otras distribuciones
La Normal como aproximación de otras distribuciones
Factor de corrección
Ejemplo
Un fabricante de semiconductores admite que produce un 2% de chips
defectuosos. Los chips se empaquetan en lotes de 2000 chips para su
venta.
Un comprador rechazará un lote si contiene 25 o más chips defectuosos
La distribución Normal es continua pero la Binomial es discreta.
Para mejorar la aproximación introducimos un factor de corrección que
consiste en añadir o substraer 0.5 al valor al que le queremos calcular la
probabilidad.
¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote?

x + 0.5 − np 
Pr( X ≤ x) = Pr( X ≤ x + 0.5) ≅ Pr  Z ≤


np (1 − p ) 

 x − 0.5 − np

Pr( x ≤ X ) = Pr( x − 0.5 ≤ X ) ≅ Pr 
≤Z
 np (1 − p )



n > 30
np = 40
np (1 − p) = 39.2
61
Estadística, Profesora. María Durbán
Pr ( X ≥ 25 )
X ~ B(2000, 0.02)
La Normal como aproximación de otras distribuciones
X ≈ N (40, 6.26)
↓
25 − 0.5 − 40 

Pr  Z ≥
=
6.26


Pr (Z ≥ −2.47 ) =
Pr (Z ≤ 2.47 ) = 0.9932
Estadística, Profesora. María Durbán
62
La Normal como aproximación de otras distribuciones
Poisson-Normal
Poisson-Normal
La distribución de Poisson surge como límite de la Binomial cuando
el número de experimentos tiende a infinito.
Aproximamos a una Normal cuando λ grande (λ > 5)
X ~ P (λ )
(
X ≈ N λ, λ
Estadística, Profesora. María Durbán
)
63
Estadística, Profesora. María Durbán
64
Modelos de probabilidad
La Normal como aproximación de otras distribuciones
Proceso de Bernoulli
Ejemplo
Distribución de Bernoulli
Distribución Binomial
Distribución Geométrica
El número de defectos en la superficie de un material por metro cuadrado
sigue una distribución de Poisson con media 100.
Proceso de Poisson
Si se analiza un metro cuadrado de dicho material, ¿Cuál es la probabilidad
de encontrar 95 defectos o más?
Distribución de Poisson
Distribución Exponencial
Distribución Normal
La Normal como aproximación de otras distribuciones
Pr ( X ≥ 95 )
Distribuciones relacionadas con la Normal
Distribución χ2 de Pearson
Distribución t de Student
Distribución F de Fisher
↓
95 − 100 − 0.5 

Pr  Z ≥
 = Pr (Z ≥ −0.55 ) =
10


Pr (Z ≤ 0.55 ) = 0.7088
65
Estadística, Profesora. María Durbán
Distribuciones relacionadas con la Normal
66
Estadística, Profesora. María Durbán
Distribuciones relacionadas con la Normal
χ g2
χ g2
Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.
La función de densidad es asimétrica. Sólo toma valores positivos.
La función de densidad es asimétrica positiva. Sólo toma valores positivos.
La función de densidad se hace más simétrica cuando aumenta el número
de grados de libertad.
La función de densidad se hace más simétrica cuando aumenta el número
de grados de libertad.
g  X −µ 
2
Y = ∑ i =1  i
 ~ χg
 σ 
2
E [Y ] = g
0.4
0.3
Var [Y ] = 2 g
0.0
0.1
independientes
σ
2 grados de libertad
3 grados de libertad
4 grados de libertad
5 grados de libertad
f(x)
X i ~ N (µ ,σ )
 Xi − µ 
2

 ~ χ1
 σ 
2
~ N (0,1)
0.2
Xi − µ
0.5
Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.
0
Estadística, Profesora. María Durbán
67
Estadística, Profesora. María Durbán
5
10
15
x
20
25
68
Distribuciones relacionadas con la Normal
Distribuciones relacionadas con la Normal
t de Student
t de Student
Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.
La función de densidad es simétrica positiva respecto al 0. Toma valores en toda la
recta real.
La función de densidad se aproxima a una N(0,1) cuando aumenta el número
de grados de libertad.
0.4
Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.
La función de densidad es simétrica respecto al 0. Toma valores en toda la
recta real.
La función de densidad se aproxima a una N(0,1) cuando aumenta el número
de grados de libertad.
5 grados de libertad
20 grados de libertad
100 grados de libertad
Z ~ N (0,1) Y ~ χ g2
f(x)
Z
Y/g
0.0
0.1
tg =
0.2
0.3
Se obtiene como el cociente entre dos variables:
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Estadística, Profesora. María Durbán
Distribuciones relacionadas con la Normal
F de Fisher
Tiene un dos parámetros denominados grados de libertad.
La función de densidad es asimétrica. Sólo toma valores positivos.
Se obtiene como el cociente entre dos variables:
Fg1 , g2 =
Estadística, Profesora. María Durbán
X / g1
Y / g2
X ~ χ g21 Y ~ χ g22
71
Estadística, Profesora. María Durbán
-10
-5
0
x
5
70