1 SIMULACION - Instituto Wiener

1
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
NORBERT WIENER
Manual del Alumno
ASIGNATURA: Simulación y Modelado
PROGRAMA: S3C
LIMA-PERU
Curso: Simulacion y Modelamiento
2
Indice general
SIMULACION
3
1 INTRODUCCION
3
1.1
INCONVENIENCIA DE LOS MODELOS ANALITICOS
3
1.2
¿QUÉ ES SIMULACIÓN?
3
2 SITUACIONES EN QUE LA SIMULACION ES ADECUADA
5
3 LAS VARIABLES ALEATORIAS
6
3.1
LA VARIABLE ALEATORIA
6
3.2
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
7
3.3
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
8
3.4
GENERADOR DE NÚMEROS ALEATORIOS
9
4 ETAPAS DE LA SIMULACION
10
4.1
10
MÉTODO CIENTÍFICO SEGÚN CHURCHMAN, ACKOFF, ARNOFF
5 SIMULACIÓN TIPO MONTECARLO
15
5.1
EL MÉTODO DE MONTECARLO
15
5.2
SIMULACIÓN DE EVENTOS DISCRETOS
15
5.3
MODELOS DE LINEAS DE ESPERA
15
6 TEORÍA DE COLAS.
17
6.1
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA.
17
6.2
PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE.
17
7 ETIQUETACION DE MODELOS DE LE _ / _ / _
21
Curso: Simulacion y Modelamiento
3
7.1
NOTACION DE KENDALL:
21
8 MODELOS DE LINEAS DE ESPERA
23
8.1
MODELO M/M/1
23
8.2
MODELO M/M/1/K
25
8.3
MODELO M/M/S
27
8.4
MODELO M/M/S/K:
28
8.5
MODELO DE UNA LINEA DE ESPERA CON N PROCESOS
30
9 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA DE SISTEMAS
31
9.1
ETAPAS EN LA CONSTRUCCIÓN DE MODELOS
31
9.2
DIAGRAMAS CAUSALES
31
9.3
DIAGRAMAS DE NIVELES – FLUJOS
34
9.4
LA ESTRUCTURA MATEMÁTICA
36
10 PLICACIÓN DE LA DINÁMICA DE SISTEMAS A LA PLANIFICACIÓN
URBANÍSTICA EN UNA MUNICIPALIDAD
38
10.1
38
INTRODUCCION Y OBJETIVOS.
10.2
CONCEPTUALIZACIÓN Y FORMALIZACIÓN DE LOS DIFERENTES
SUBMODELOS
38
10.3
SUBMODELO DE CONSTRUCCION.
39
10.4
SUBMODELO DE ACTIVIDAD ECONOMICA.
41
10.5
ANALISIS DE LOS BUCLES DE REALIMENTACIÓN
42
10.6
ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DEL MODELO BAJO DIFERENTES
HIPÓTESIS.
44
10.7
46
CONCLUSIONES
1
Curso: Simulacion y Modelamiento
4
SIMULACION
1
INTRODUCCION
Simulación es un área de estudio que forma parte de la Investigación de Operaciones
(IDO), La cual es usada prácticamente en todas las áreas de estudio conocidas.
Simulación permite estudiar un sistema sin tener que realizar experimentación sobre el
sistema real. Esto presenta muchas ventajas que discutiremos más adelante aquí. Sin
embargo, esta no es la única forma de estudiar un sistema; otra posibilidad es construir un
modelo análitico conformado por un conjunto de ecuaciones (generalmente diferenciales)
que representan al sistema para luego resolverlo para diferentes situaciones, o bien
plantear un modelo de optimización que pretende proporcionar la mejor estrategia que el
sistema debe adoptar para funcionar mejor de acuerdo con alguna medida de rendimiento
establecida en la "función objetivo" y satisfaciendo las diversas condiciones del problema,
establecidas en "las restricciones". Los modelos que se obtienen como un conjunto de
ecuaciones se denominan con frecuencia modelos analíticos, es decir modelos de
ecuaciones diferenciales o de optimización.
1
INCONVENIENCIA DE LOS MODELOS ANALITICOS
La construcción de un modelo analítico tiene con frecuencia serios inconvenientes, entre
los que podemos citar:
1) La dificultad de encontrar el modelo de ecuaciones que representen al sistema real y
2) La dificultad para resolver el modelo.
Por otro lado, con frecuencia se requiere que los individuos que participan en el equipo
deben tener una gran capacitación y destreza. De modo que estos equipos de trabajo
suelen ser costosos. En contraparte, para obtener modelos de simulación, los equipos de
trabajo pueden estar conformados por personas con menor calificación, de modo que la
coordinación de estos equipos es en general mas simple y casi siempre más económico.
Con esto no se pretende decir que los modelos analíticos sean inútiles, ya que existen
cierto tipo de problemas, para los cuales se conoce la forma de obtención del modelo así
como la manera de construir un algoritmo eficiente para resolverlo.
2
¿QUÉ ES SIMULACIÓN?
Simulación es una palabra que es familiar a los profesionales de todas las disciplinas e
incluso para aquéllos que no han estudiado una carrera profesional. De esta manera el
significado de la palabra Simulación se explica casi por sí misma. Entre los significados
que podemos obtener de la gente común y corriente para la palabra "Simular", se
encuentran los siguientes: "Imitar la realidad", "emular un sistema", "dar la apariencia o
efecto de un sistema o situación real". Hay muchas definiciones propuestas sobre lo que
significa Simulación, he aquí algunas definiciones:
Curso: Simulacion y Modelamiento
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"Una simulación es una imitación de la operación de un proceso del mundo real sobre
determinado tiempo"
"El comportamiento de un sistema durante determinado tiempo puede ser estudiado por
medio de un modelo de simulación. Este modelo usualmente toma su forma a partir de un
conjunto de postulados sobre la operación del sistema real".
En la primera definición, está implícito un sistema, mismo que contiene un proceso
(posiblemente formado por subprocesos). De esta manera se trata de un sistema el cual
cambia con el tiempo. Nótese que en esta definición no se señala si las relaciones de las
variables del sistema son discretas o continuas, esto depende del modelo que
representará al sistema real. Esta división no existe siempre en la realidad, hemos sido
los seres humanos quienes lo hemos dividido (para facilitar su estudio) en discreto y
continuo. Esto pasa con todas las cosas de la naturaleza; está es única, sin embargo, el
hombre se ha encargado en dividirla en física, biología, matemáticas, etc. No importa
como dividamos a la naturaleza esta seguirá siendo única y probablemente indivisible.
Un modelo es una representación de un objeto de interés. No obstante que el objeto
sea único, el número de representaciones es por lo general muy grande, de modo que el
número de modelos de un sistema del mundo real lo es también. Puesto que para un
sistema del mundo real habrá tantas representaciones como concepciones de la realidad
se tengan, el número de modelos es por lo general infinito. El hecho de que se tenga más
de un modelo de simulación para un sistema real, no nos debe preocupar demasiado,
encontrar un modelo de simulación casi siempre es fácil, mientras que encontrar un
modelo analítico con frecuencia es una tarea ardua, independientemente que, para
muchos problemas, un modelo analítico, simplemente no existe.
Obsérvese que en la segunda definición también se hace incapié de un modelo, dejando
entrever la posibilidad de diferentes modelos, lo cual resulta totalmente natural, dada la
multiplicidad de modelos para un mismo objeto del mundo real. Nótese también que se
propone un objetivo de la simulación: "estudiar sistemas reales a través de modelo".
Podríamos agregar aun más que el propósito de estudiar a los sistemas reales es
comprender la interacción de los procesos que intervienen en el, con el propósito de
modificarlos para obtener un beneficio determinado. En esta definición está implícito que:
1) Un modelo de simulación representa un conjunto de suposiciones (o postulados)
sobre la operación de un sistema real.
2) Los postulados de un modelo de simulación se pueden expresar como relaciones
entre entidades u objetos de interés del sistema en forma de expresiones matemáticas, lo
que llevaría a un modelo analítico.
Afortunadamente, es posible reemplazar esas expresiones matemáticas y el cálculo de
los valores de las variables de interés, a través de funciones de distribución de
probabilidad. Para los problemas de líneas de espera, existen modelos analíticos que
pretenden representar los resultados promedio de la utilización de dichas funciones de
distribución de probabilidad. Los Modelos de Markov también apuntan en esa dirección.
Los Modelos de simulación de eventos discretos (o simulación tipo MonteCarlo), por
Curso: Simulacion y Modelamiento
6
el contrario, utilizan estas funciones de distribución con el propósito de realizar una
experimentación cuyos resultados llevarán, después de un número conveniente de
ensayos a lo que se obtendría en el sistema real. Estos modelos de simulación tienen la
ventaja que se pueden para muchos tipos de problemas y no sólo para aquéllos de líneas
de espera. Existen además modelos del área de teoría de Control que incorporan
funciones de distribución de probabilidad y lo que se conoce como estabilidad de
sistemas, referidos recientemente como Teoría de Caos que se pueden también usar para
una gran variedad de problemas. Los modelos de estabilidad empleados asi son por lo
regular difíciles de construir y validar. Por otra parte también existen modelos de
optimización que utilizan funciones de distribución y permiten estudiar sistemas del mundo
real de alguna manera; ejemplos de ellos son los modelos de redes neuronales y
algoritmos genéticos. Otros técnicas empleadas son Redes de petri y Modelos de
Regresión.
En este curso solamente estudiaremos modelos de líneas de espera y de Markov y,
modelos de Simulación de eventos discretos tipo Montecarlo. En lo que sigue usaremos
el término "Simulación", para referirnos a "Simulación de Eventos Discretos". En este
curso usaremos el Término "Simulación", para referirnos a la Simulación de Eventos
Discretos tipo MonteCarlo.
2
SITUACIONES EN QUE LA SIMULACION ES ADECUADA
La Simulación permite el estudio de, y la experimentación con, las interacciones internas
de un sistema real o, entre un subsistema con uno o más sistemas donde las relaciones
son de naturaleza estocástica.
La simulación es conveniente cuando:
* Se requiere analizar diferentes cambios en la información y su efecto.
* Se desea experimentar con diferentes diseños o políticas.
* Se desea verificar soluciones analíticas.
* Un modelo analítico es imposible o difícil de construir.
* Se desea estudiar un sistema real y resulta peligroso o costoso hacerlo en el propio
sistema real; la posibilidad de hacerlo mediante un modelo analítico resulta imposible ó
inconveniente.
Además, puede resultar conveniente:
Usar la simulación como un instrumento pedagógico para reforzar metodologías
analíticas.
Determinar cuales son las variables más importantes del modelo de un sistema, mediante
el uso de simulación. De esta manera se podrá construir un modelo refinado del sistema
real. Esto puede ser útil para la construcción de modelos diferentes a los de simulación.
Curso: Simulacion y Modelamiento
7
Algunas aplicaciones de Simulación que podemos citar son los siguientes:
Operaciones de mantenimiento
* Simulación del Tráfico de un sistema (Teleproceso, Tráfico aéreo y terrestre,
telecomunicaciones, telefonía,...).
* Cambios en la configuración de un sistema.
* Simulación económica.
* Estrategias militares.
* Control de inventarios.
* Líneas de producción,
1
1
LAS VARIABLES ALEATORIAS
La variable aleatoria
Se denomina variable aleatoria, a una variable X que puede tomar un conjunto de valores
{x0, x1, x2, ... xn-1}, con probabilidades {p0, p1, p2, ... pn-1}. Por ejemplo, en la
experiencia de lanzar monedas, los posibles resultados son {cara, cruz}, y sus
probabilidades son {1/2, 1/2}. En la experiencia de lanzar dados, los resultados posibles
son {1, 2, 3, 4, 5, 6} y sus probabilidades respectivas son {1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6}.
Realicemos ahora la experiencia de hacer girar una ruleta y apuntar el número del sector
que coincide con la flecha. En la ruleta de la izquierda de la figura los resultados posibles
son {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, y la probabilidad de cada resultado es 1/8. En la ruleta de la
derecha de la figura los posibles resultados son {0, 1, 2, 3}, y las probabilidades
respectivas {1/4, 1/2, 1/8, 1/8}, proporcionales al ángulo del sector.
En los tres primeros ejemplos, la variable aleatoria X se dice que está uniformemente
distribuida, ya que todos los resultados tienen la misma probabilidad. Sin embargo, en el
último ejemplo, la variable aleatoria X, no está uniformemente distribuida.
El problema crucial de la aplicación de los métodos de Montecarlo es hallar los valores de
una variable aleatoria (discreta o continua) con una distribución de probabilidad dada por
la función p(x) a partir de los valores de una variable aleatoria uniformemente distribuida
en el intervalo [0, 1), proporcionada por el ordenador o por una rutina incorporada al
programa.
Para simular un proceso físico, o hallar la solución de un problema matemático es
necesario usar gran cantidad de números aleatorios. El método mecánico de la ruleta
sería muy lento, además cualquier aparato físico real genera variables aleatorias cuyas
distribuciones difieren, al menos ligeramente de la distribución uniforme ideal. También,
se puede hacer uso de tablas de cifras aleatorias uniformemente distribuidas,
comprobadas minuciosamente en base a pruebas estadísticas especiales. Se emplean
solamente cuando los cálculos correspondientes a la aplicación del método de Montecarlo
se realiza a mano, lo que en estos tiempos resulta inimaginable. En la práctica, resulta
más conveniente emplear los denominados números pseudoaleatorios, se trata de
Curso: Simulacion y Modelamiento
8
números que se obtienen a partir de un número denominado semilla, y la aplicación
reiterada de una fórmula, obteniéndose una secuencia {x0, x1, x2, ... xn} de números que
imitan los valores de una variable uniformemente distribuida en el intervalo [0, 1).
2
Variable aleatoria discreta
Para simular la ruleta situada a la derecha de la figura, se procede del siguiente modo: se
hallan las probabilidades de cada resultado, proporcionales al ángulo de cada sector y se
apuntan en la segunda columna, la suma total debe de dar la unidad. En la tercera
columna, se escriben las probabilidades acumuladas.
Resultado
Probabilidad
P. acumulada
0
0.25
0.25
1
0.5
0.75
2
0.125
0.875
3
0.125
1
Se sortea un número aleatorio ? uniformemente distribuido en el intervalo [0, 1), el
resultado del sorteo se muestra en la figura. En el eje X se sitúan los distintos resultados
que hemos nombrado x0, x1, x2, x3 . En el eje vertical las probabilidades en forma de
segmentos verticales de longitud igual a la probabilidad pi de cada uno de los resultados,
dichos segmentos se ponen unos a continuación de los otros, encima su respectivo
resultado xi. Se obtiene así una función escalonada. Cuando se sortea una variable
aleatoria ?, se traza una recta horizontal cuya ordenada sea ?. Se busca el resultado cuya
abscisa sea la intersección de dicha recta horizontal y del segmento vertical, tal como se
señala con flechas en la figura. Si el número aleatorio ? está comprendido entre 0.25 y
0.75 se obtiene el resultado denominado x1.
La tabla describe el sorteo de una variable discreta, siendo?? una variable aleatoria
uniformemente distribuida en el intervalo [0,1).
Curso: Simulacion y Modelamiento
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Condición
Resultado
0<=?<0.25
0
0.25<=?<0.75
1
0.75<=?<0.875
2
0.875<=?<1
3
Una vez visto un caso particular, el problema general puede formularse del siguiente
modo:
Si X es una variable aleatoria discreta cuyos posible resultados son {x0, x1, x2 , ... xn-1} y
sean {p0, p1, p2, ... pn} sus respectivas probabilidades. Al sortear un número aleatorio ?,
uniformemente distribuido en el intervalo [0, 1), se obtiene el resultado xi, si se verifica la
siguiente condición:
(1)
3
Variable aleatoria continua
Comprendido el concepto de transformación de una variable discreta, y el procedimiento
para obtener un resultado cuando se efectúa el sorteo de una variable aleatoria
uniformemente distribuida, no reviste dificultad el estudio de la variable continua. Si X es
una variable aleatoria continua, y p(x) es la probabilidad de cada resultado x, construimos
la función que se representa en la figura.
(2)
El resultado del sorteo de una variable ? uniformemente distribuida en el intervalo [0 ,1) se
obtiene a partir de la ecuación.
(3)
Curso: Simulacion y Modelamiento
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Gráficamente, se obtiene trazando una recta horizontal de ordenada ?. La abscisa x del
punto de corte con la función es el resultado obtenido. En la figura se señala mediante
flechas.
Un ejemplo sencillo es la transformación de una variable aleatoria que está
uniformemente distribuida en el intervalo [a, b) si
Integrando (2) obtenemos la función
que es una línea recta, que vale cero cuando x=a, y uno cuando x=b, tal como puede
verse en la figura inferior. Utilizando la fórmula (3) de la transformación de la variable
aleatoria continua y despejando x, se obtiene
4
Generador de números aleatorios
Existen varias fórmulas para obtener una secuencia de números aleatorios, una de las
más sencillas es la denominada fórmula de congruencia: se trata de una fórmula iterativa,
en la que el resultado de una iteración se utiliza en la siguiente.
x=(a*x+c)%m;
donde a, c, m, son constantes cuyos valores elige el creador de la rutina, así por ejemplo
tenemos
a=24298 c=99491 m=199017
a=899 c=0
m=32768
Basta introducir el valor inicial de x, para obtener una secuencia de números
pseudoaleatorios. Dejaremos al lector interesado la codificación de esta rutina.
Curso: Simulacion y Modelamiento
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2
1
ETAPAS DE LA SIMULACION
Método Científico Según Churchman, Ackoff, Arnoff
I. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA.
En esta fase se define el problema a resolver y los objetivos que se pretenden alcanzar,
mostrando las herramientas para hacer uso y mejoramiento de los esfuerzos de los
investigadores, divididos en dos aspectos:
A) PERÍODO DE ORIENTACIÓN.
Denominado también como el primer período de la investigación.
El equipo de Investigación de Operaciones ajeno a la empresa tiene la oportunidad de
valorar al problema y a la organización. Los promotores que son los críticos científicos y
los que ayudan a la organización económicamente (fundaciones, gobierno,...) tienen
también una oportunidad similar de tener un acercamiento a la empresa.
Así, al final del período de orientación puede especificarse bajo que condiciones se realiza
la investigación y puedan tomarse las medidas necesarias que satisfagan tales
condiciones.
B) LOS COMPONENTES DEL PROBLEMA.
Para llegar a la formulación del problema debemos plantear, ¿en que consiste el
problema?, o ¿cuáles son sus componentes?. Para lo cual tomaremos en cuenta lo
siguiente:
1. La evidencia de que alguien o algún grupo tiene un problema.
Este "alguien o grupo" es también llamado CENTRO DE DECISIÓN.
Cuando el centro de decisión no está satisfecho con algún aspecto de las actividades
tienen la autoridad para implementar, modificar y concluir las políticas vigentes en la
organización y del sistema en estudio.
Las cuestiones siguientes pueden servir de guía en la adopción de decisiones.
i.) ¿Quién es el responsable de emitir las recomendaciones que están en relación a las
modificaciones de las políticas?.
ii.) ¿De quién depende la aprobación y como es expresada la misma?
iii.) ¿Cómo se realiza la aprobación final? P. ej. Por voto mayoritario en deliberación
conjunta, por una autoridad final.
iv.) ¿Alguien tiene poder de veto absoluto?
v.) ¿Quién es el responsable de aplicar las recomendaciones aprobadas?
vi.) ¿Quién valorará la acción tomada?
2. Los objetivos que persigue quien toma las decisiones.
Curso: Simulacion y Modelamiento
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El ejecutivo de la organización puede desear mantener y obtener algunos objetivos
diferentes, tales como: disminuir costos de producción, aumentar su volumen de ventas,
mejorar el servicio a clientes, ...,
3. El sistema o ambiente.
Que es el escenario de los recursos restringidos o inexistentes en relación con quien toma
decisiones.
El sistema está formado por un conjunto de componentes interrelacionados que buscan
un objetivo común, p. ej.: El consejo administrativo, el personal de la empresa, la
maquinaria y equipo, los materiales empleados para obtener el producto final, el volumen
de ventas, la competencia, ...,
4. Los cursos de acción alternativos.
Es al menos dos alternativas o políticas planteadas para que el que toma la decisión
tenga la opción a elegir.
Para obtener una lista de alternativas, se deben de formular y contestar las siguientes
preguntas para cada parte del sistema.
¿En que medida afectan la eficacia del sistema hacer ciertos cambios, en el personal,
equipo, operaciones, máquinas, materiales, ..., en relación con los objetivos señalados?
Una vez especificados las acciones y reacciones posibles, está concluída la Identificación
de los Componentes del Sistema, y se pasará a la Transformación del Problema de la
Toma de Decisiones, a un Problema de Investigación de Operaciones, que según
Churchman, Ackoff, Arnoff, implica las siguientes etapas:
La selección de la lista de objetivos obtenidos en la formulación del problema.
b) La selección de la lista de posibles cursos de acción alternativos.
c) La definición de la medida de rendimiento que va a utilizarse.
II. CONSTRUCCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO QUE REPRESENTA AL SISTEMA
EN ESTUDIO.
La representación de algún objeto que está sujeto a estudio (acontecimientos, procesos,
sistemas) es llamado Modelo Científico, que tiende a ser de carácter explicativo y es
utilizado con fines de predicción y control.
La primera fase de la construcción del modelo donde son expuestas las medidas
alternativas a evaluar y la definición de la medida de rendimiento, luego entonces el
rendimiento del sistema estará en función de los valores de las variables.
Estas variables pueden cambiarse por las decisiones de los directivos; pero otras no. O
sea, las primeras serán variables controlables y la siguientes, no controlables.
Los valores de las variables controlables se utilizan para definir los cursos de acción
posible
.
Por los directivos de la organización,
son los aspectos incontrolables del sistema, p.
ej.: la demanda del consumidor ambas están en función (f) y (E) es la medida de
rendimiento utilizada.
Curso: Simulacion y Modelamiento
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En la construcción del modelo, se estructuran una o más ecuaciones de la forma:
En el sistema, hallar la solución, consiste en encontrar los valores de las variables
controlables , que harán un máximo de rendimiento del mismo.
En algunos casos se utilizará la medida de falta de rendimiento (p. ej.: costos esperados),
entonces la solución radica en hacer mínima la medida de eficiencia.
Componentes del Sistema.
Se empieza por enumerar a todos los componentes del sistema que contribuye al
rendimiento o no rendimiento de su funcionamiento.
Datos de entrada
Resultado
Importancia de los componentes.
Ya teniendo la lista que completan los componentes del sistema, lo siguiente es identificar
cuales de ellos deben tomarse en cuenta, y ver si hay alguno en relación a otro ( o en
función de otro) o si el curso de acción es totalmente independiente.
Se tendrá que averiguar por que el sistema funciona en la forma en la que lo hace, ¿qué
factores producen los efectos que han sido observados?, ¿de qué manera se pueden
manipular para que se produzcan los efectos deseados?
Combinaciòn y divisiòn de los componentes.
Para su buen manejo resulta conveniente agrupar ciertos componentes del sistema . La
combinación de éstos pueden dar origen a otro diferente.
Sìmbolos de sustituciòn.
Curso: Simulacion y Modelamiento
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En la lista modificada será necesario determinar si el componente tiene un valor fijo o
variable, se deberá buscar los aspectos del sistema que están afectando al componente
variable. Se asignarán a los componentes variables un símbolo para cada
subcomponente.
Construcción del modelo matemático.
Dependiendo de la definición del problema el equipo de Investigación de Operaciones de
O decidirá sobre el modelo más adecuado que representará al sistema, el cual
especificará las expresiones cuantitativas para el objetivo y sus restricciones, todo en
función de las variables de decisión.
DERIVACIÓN DE LA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO MATEMÁTICO.
Según Prawda, resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables
dependientes y las no dependientes, asociadas a los componentes controlables del
sistema con el fin de optimizar, si no es posible, mejorar la eficiencia del sistema dentro
del marco de referencia que fijan los objetivos establecidos por el grupo de toma de
decisiones.
Los métodos de solución son:
1. Método Analítico.
2. Método Numérico.
3. Método de Simulación.
1.- EL MÉTODO ANALÍTICO, hace el análisis matemático clásico, es utilizado para
obtener soluciones en forma deductiva, (llamadas también soluciones analíticas), o sea,
que parte de lo general a lo particular.
2.- EL MÉTODO NUMÉRICO, se aplica cuando la solución no es posible obtenerla de
manera deductiva, se utilizará, el análisis numérico, (Iterativo) o solución numérica en
forma inductiva, que va de lo particular a lo general. La solución de tipo iterativo se
aproxima a la solución óptima con un margen de error permitido, basado en una serie de
pruebas sobre la misma lógica de solución, en relación a resultados de una prueba
anterior.
3.- Existen los MÉTODOS DE SIMULACIÓN, que son los que imitan al sistema real, es
muy útil en la solución de problemas complejos, de riesgo y bajo incertidumbre.
La Técnica de Montecarlo, es un método de solución que utiliza los problemas
probabilísticos de simulación. Esta técnica es utilizada donde no se puede hacer uso de
Curso: Simulacion y Modelamiento
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los métodos de solución numérica o de solución analítica, ya que se generan números
aleatorios para obtener valores muéstrales en base a una distribución de probabilidad.
La Teoría de Juegos, es un sistema donde existen varios grupos de decisión que
reaccionan entre sí.
Existen Lenguajes de Programación para la Simulación, como: DYNAMO, FORTRAN,
GPSS, SIMSCRIPT, etc.
IV. COMPROBACIÓN DEL MODELO Y DE LA SOLUCIÓN.
El modelo debe probar su validez, antes de ser implantado, observando si los resultados
predicen o no, con cierta aproximación o exactitud, los efectos en relación a las diferentes
alternativas de solución.
Si los resultados del modelo, se alejan bastante de los resultados reales del sistema, se
debe tomar en cuenta lo siguiente:
Determinar si el modelo señala el rendimiento del sistema según una o más
variables que afectan a dicho rendimiento.
Corroborar si el modelo no ha omitido alguna variable que tenga efecto importante
en el rendimiento del sistema.
Comprobar si el modelo expresa realmente la relación real existente entre la
medida de rendimiento y la variables
- Verificar si los parámetros incluídos en el modelo no estén siendo evaluados
adecuadamente.
Para comprobar la solución del modelo, deberá recopilarse la información, con el fin de
hacer las pruebas necesarias y hacer la verificación según los siguientes pasos:
a) Definir científicamente (incluyendo la medida de rendimiento)
b) Llevar a cabo el muestreo (incluyendo el diseño de experimentos)
c) Reducir el número de datos.
d) Utilizar los datos en la prueba de hipótesis
e) Evaluar los resultados.
Si estos pasos son llevados a cabo recurrentemente cada vez que obtienen resultados del
modelo y les son presentados al grupo de toma de decisiones, se empieza a ejecutar un
procedimiento sistemático de control que depura y ajusta al mismo, con la realidad.
V. ESTABLECIMIENTO DE LOS CONTROLES Y APLICACIÓN DE LA SOLUCIÓN.
Los sistemas no suelen ser estables y su estructura está sujeta a cambios, que pueden
ser cambios entre las variables que definen al propio sistema , o pueden ser cambios
entre los valores de las variables del sistema.
El objetivo del establecimiento de controles, es para que no se pierda la efectividad del
modelo matemático debido a cambios en los parámetros y la eficacia de la solución puede
verse disminuída en consecuencia a:
Curso: Simulacion y Modelamiento
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- cambio de los valores
- cambio de la relación entre ellos
- cambio en ambos factores.
En consecuencia, un parámetro que no era significativo puede llegar a serlo o puede dejar
de serlo, o tal vez, cambiar su grado de importancia.
El diseño de un sistema de control deberá tomar en cuenta lo siguiente:
1. Enumeración de las variables y la relación entre ellas, y la manera en que afecta a la
solución el cambio de los valores.
2. Elaboración de un procedimiento para detectar los cambios importantes entre los
parámetros (variables) y las relaciones,
3. Especificación de la acción que deberá tomarse o los ajustes que deben llevarse a
cabo en el momento de ocurrir un cambio importante.
Los parámetros enumerados pueden ser clasificados como:
a)Valores que se conocen de antemano durante el período correspondiente a una
decisión.
Como por ejemplo: número de días de trabajo, precio de ventas de un artículo,...
b)Medidas cuyos valores no se conocen de antemano.
P. ejemplo:La cantidad de producto defectuosa, la utilidad anual de la empresa, ...
La participación entre los investigadores de operaciones y el personal de operación, cuyo
trabajo en conjunto, permitirá desarrollar exitosamente el plan de implantación.
Ya que ninguna consideración práctica se dejará de analizar, y de esta manera podrán
verificarse las modificaciones o ajustes posibles al sistema
Curso: Simulacion y Modelamiento
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3
1
SIMULACIÓN TIPO MONTECARLO
EL MÉTODO DE MONTECARLO
4
El método de Montecarlo consiste en tomar una solución válida, provocar una pequeña
variación aleatoria y, si la nueva configuración es mejor que la anterior y cumple las
restricciones, nos quedamos con la nueva; si no, nos quedamos con la antigua. Este
metodo planteado de esta forma no convege -aunque llege a un mínimo, sigue operando-.
Para que converja, se va haciendo cada vez más pequeña la variación aleatoria. El
metodo de Montecarlo puede ni converger en un mínimo, pero el coste es razonable y
puede ser aceptado para problemas de mucha complejidad. Otra optimización tradicional
es provocar la variación aleatoria de forma que la nueva configuración ya sea válida, mas
esto no siempre es posible.
1
SIMULACIÓN DE EVENTOS DISCRETOS
También llamada simulación de Montecarlo proporciona una visión general teórica
y práctica de los conceptos de simulación mediante un estudio avanzado de los
aspectos más importantes de sistemas de eventos discretos. El enfoque principal
es lograr aplicar la simulación en sistemas de eventos discretos del mundo real
usando diferentes lenguajes de simulación. Las bases matemáticas para la
simulación de sistemas de eventos discretos son Teoría de probabilidad y Teoría
de Líneas de espera. Estas teorías son ampliamente usadas en el campo de
investigación de operaciones, manufactura e ingeniería industrial.
2
MODELOS DE LINEAS DE ESPERA
Los modelos de líneas de espera (LE) son importantes en la simulación y modulación de
sistemas computacionales debido a:
Pueden ser usados para entender aspectos estocásticos de las redes de
comunicación y redes de cómputo.
Pueden ser usados para simular servidores de sistemas diversos tales como:
bancarios, sistemas de producción, simulación de vuelos, etc.
Curso: Simulacion y Modelamiento
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Los profesionales que típicamente enfrentan estos problemas son, los ingenieros de
sistemas, industriales, de sistemas computacionales y de informática; sin embargo, estos
son problemas afectan todos los sectores productivos, de manera que las LE's tienen un
gran potencial de aplicación.
Existen básicamente dos maneras de abordar un problema de LE:
Usando modelos matemáticos obtenidos ex profeso para ciertos tipos de LE´s que se
presentan con frecuencia y
Usando un modelo de simulación de eventos discretos.
El primer caso consiste básicamente de un conjunto de fórmulas que se aplican para
ciertas características de un sistema de espera particular. Cuando se utiliza el término
"modelo de líneas de espera", con frecuencia se entiende (correcta o incorrectamente)
que se trata de este primer caso. Los modelos de líneas de espera tienen las siguientes
características que los hacen atractivos:
Son más rápidos, que los modelos de simulación.
Son fáciles de utilizar no requiriéndose grandes esfuerzos de programación.
Son más baratos que los modelos de simulación
Pueden ser usados para validar sistemas de simulación MonteCarlo, mediante
condiciones que las LE's consideran.
Pueden ser usados para validar sistemas de simulación MonteCarlo, mediante
condiciones que las LE's consideran.
Aquí presentaremos los modelos de LE más comunes. Para su presentación,
mostraremos la forma como se deriva solo para un caso, con lo que pretendemos ilustrar
de que manera se obtienen. Esto se hace con el objeto de presentar el grado de
complejidad que representa obtener un modelo de Líneas de Espera. Para ello nos
basaremos en los modelos de Nacimiento y Muerte, los cuales, suponemos que el alumno
conoce al menos de manera superficial.
Curso: Simulacion y Modelamiento
19
1
1
TEORÍA DE COLAS.
Definición del problema.
El problema a modelar consiste en el comportamiento dinámico de algunas
variables de interés de un sistema de servicio de clientes. Las cantidades de interés que
se consideran en el modelo son:
S : número de servidores.
n : número de clientes en el sistema.
N : número máximo de clientes en el sistema.
L : número promedio de clientes en el sistema.
LQ
: número promedio de clientes esperando en la cola.
W : tiempo promedio de un cliente en el sistema.
WQ
: tiempo promedio de un cliente esperando en el sistema.
Además se puede definir la razón promedio de llegada de clientes
a
lim
t
N( t )
t
Entonces se pueden plantear las fórmulas Littles:
L
LQ
2
aW
a WQ
PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE.
Curso: Simulacion y Modelamiento
a
por:
20
Los modelos de Líneas de Espera (LE), se derivan generalmente a partir de los procesos
de Nacimiento y Muerte, los cuales son procesos de Markov con "Entradas Poisson y
Tiempos de Servicio Exponencial". Esto significa que la situación de espera en la cual el
número de llegadas y salidas del sistema, durante un intervalo de tiempo, esta controlado
por las siguientes condiciones:
La Probabilidad de que un evento (es decir llegada o salida) ocurra entre los instantes
de tiempo t y t+h, depende únicamente de la longitud del intervalo de tiempo entre
esos dos instantes, esto es depende solamente de h. Esto quiere decir que la
probabilidad de ocurrencia de un evento durante el intervalo t y t+h no depende del
número de eventos ocurridos antes de t ni tampoco del valor de t.
Si h es intervalo de tiempo muy pequeño, la probabilidad de que ocurra un evento
durante ese intervalo nunca es mayor que la unidad y siempre es positiva.
Durante el intervalo h solo puede ocurrir un evento, es decir lo que puede variar es la
probabilidad de que ocurra un evento durante ese intervalo.
Para determinar si se tiene un proceso tipo Poisson, se pueden realizar pruebas
estadísticas, tales como la prueba Xi Cuadrada, sin embargo, una manera más sencilla y
utilizada con frecuencia en la práctica es observar el proceso durante un cierto tiempo y
registrar el número de eventos que ocurren cada h unidades de tiempo; acto seguido se
calcula la media y la desviación estándar, sí estas son aproximadamente iguales,
entonces se dice que el número de ocurrencias sigue una distribución de Poisson. Si un
proceso es Poisson, entonces las probabilidad del tiempo entre ocurrencias de eventos es
exponencial.
Un sistema de nacimiento y muerte, se puede representar como sigue:
1
2
3
Curso: Simulacion y Modelamiento
21
n-2
n-1
n
n+1
Sea: 0, 1,… n, la media de llegadas cuando hay 0.1,…n clientes en el sistema y 1,
2,…, n, n+1, la tasa media de servicio cuando hay 1,2,…n, n+1 clientes en el sistema.
Sean Po, P1, …Pn, las probabilidades de estado estable. Entonces usamos las
ecuaciones de balance de flujos:
Suma de flujos de entrada = Suma de flujos de salida
Para determinar cada Pi mediante este método, escribimos las ecuaciones para cada
nodo:
Estado
Ecuación
Despejes de Pi en términos de P0
0
1 P1 = 0 P0
P1= ( 0/ 1)P0
1
0 P0 + 2 P2 = ( 1+ 1)P1
P2= ( 1 0/ 2 1)P0
2
1 P1 + 3P3 = ( 1+ 1)P1
Curso: Simulacion y Modelamiento
P3= ( 2 1 0/ 3 2 1)P0
22
.
..
n-1
Pn=( n-1 n-2.. 0/ n n-1.. 1)P0
Utilizamos ahora:
Cn = ( n-1
n-2 …. 0) / { n n-1…. 1}
..(1)
Escribimos ahora la ecuación del renglón n-1 usando Cn:
Pn = Cn P0 ……(2)
Podemos generar un sistema de ecuaciones para determinar P0,P1,…Pn; sin embargo,
recuerda que una de las ecuaciones (2) es redundante y debe se reemplazada por:
Pn
=1
0
o bien
P0 +
Pn = 1
….(3)
1
Esto se consigue haciendo variar n desde 1 hasta infinito. Significa que la ecuación (2)
con la (3) formará un sistema consistente.
Curso: Simulacion y Modelamiento
23
Sustituyendo (2) en (3)
P0 +
CnP0
=1
1
Entonces P0 es igual a:
1
P0 = ---------------------
1+
(4)
Cn
1
La ecuación (4) converge si Cn < 1, esto es un resultado que resulta del área de Series y
Sucesiones, y que se estudia normalmente en los cursos elementales de Cálculo
Diferencial e Integral, Álgebra o Matemáticas Discretas.
Note que se puede calcular P0 de la ecuación (4) ya que las tasas de llegadas y de
servicios son por lo regular conocidas. Nótese también que con la ecuación (2) podemos
calcular todas las Pi's, puesto que P0 es ahora conocida.
Recordamos el concepto de valor esperado de una variable aleatoria xi, que se define
como:
Xi Pi
0
Curso: Simulacion y Modelamiento
24
Entonces el número esperado de clientes en el sistema L y el número esperado de
clientes en la línea de espera Lq es:
Ahora vamos a definir los siguientes valores esperados:
L=
n Pn
0
Lq =
(n-s) Pn
n=s
Donde s es el número de servidores en el sistema.
Primera Practica Calificada
Curso: Simulacion y Modelamiento
25
1
ETIQUETACION DE MODELOS DE LE _ / _ / _
Estos modelos se etiquetan como sigue:
_________/____________________/_________________
Distribución
Distribución
Del tiempo
Del tiempo
Entre
de
Llegadas
servicio
Número de servidores
Con frecuencia se usan las letras:
M = Distribución exponencial (Markoviana)
D = Distribución degenerada (tiempos
constantes)
Ek = Distribución Erlang
G = Distribución General
1
NOTACION DE KENDALL:
Se utilizan dos notaciones de Kendall:
a) A/B/S/K/m/Z
b) A/B/S/Z/m/K
Curso: Simulacion y Modelamiento
26
Es una notación extendida de la anterior (es decir el caso anterior es un caso particular)
donde:
A= Distribución del tiempo entre llegadas
B= Distribución del tiempo de servicio
S= Número de servidores
K=Número de clientes potenciales en el sistema o tamaño de la fuente
(Capacidad del sistema)
m= Número de clientes en el sistema
Z= Disciplina de atención de la línea de espera
A y B pueden ser:
GI = Distribución general independiente
G = Distribución general
Ek =Distribución Erlang
M = Distribución Exponencial (Markoviana)
D = Distribución degenerada o determinística (tiempos constantes)
Hk = Distribución Hiperexponencial con k etapas
Los otros índices de la notación de Kendall pueden ser:
K: Puede ser Finita ó infinita
m: Puede ser Finito ó infinito
Z: Puede ser FIFO, LIFO, etc.
Es común usar la notación de Kendall simplificada A/B/S, cuando:
Curso: Simulacion y Modelamiento
27
La LE es infinita
La fuente es infinita
La disciplina es FIFO
Curso: Simulacion y Modelamiento
28
1
1
MODELOS DE LINEAS DE ESPERA
MODELO M/M/1
Una cola un servidor
En este modelo se considera que las tasas medias de llegadas y de servicio no cambian
con el número de clientes en el sistema, es decir:
........(1)........ Coeficiente de atención
=
W=
1
......(2)...... Tiempo total de atención del cliente
-
L=
(3)
1-
Ademas:
Curso: Simulacion y Modelamiento
Longitud promedio de la cola del sistema
29
Probabilidad en ser atendido en "t" unidades de tiempo
W(t) = e-t/w
Probabilidad de estar "t" unidades de tiempo en la cola
Wq(t) = e-t/w
Pn = n(1 - )
´ = (1 - Pn) ........................promedio de clientes no llegados
Lq = L - ´ /
Wq = Lq / ´
Ejemplo:
Un vigilante atiende a los visitantes, los cuales van llegando a razón de 16 por
hora, el vigilante atiende a razón de 20 clientes por hora, se pide:
a) Longitud promedio de la cola del sistema.
b) El tiempo total que demora cada cliente desde que llega hasta que salede la cola.
c) El tiempo que demora en la cola.
Solución
Datos:
= 16 clientes/hora
Curso: Simulacion y Modelamiento
30
= 20 clientes/hora
Aplicando (1)
=
16 =
4
20
5
a) Aplicando (3)
L=
= 4 clientes
4/5
1 - 4/5
a) Aplicando (2)
W=
1
=
1/4 hora o 15 minutos
20 - 16
a) Si se atienden 20 clientes en una hora entonces se puede deducir que un cliente es
atendido en 3 minutos por cliente.
El tiempo que demora en la cola = L - 3 minutos por cliente = 15 - 3 = 12 minutos
Curso: Simulacion y Modelamiento
31
2
MODELO M/M/1/K
Similar a la anterior pero con una longitud limite "K" para la cola
=
Para n = 0, 1, 2,..........K-1
0
Pn
Para n = K, K+1, .........
Probabilidad de que exista "n" elementos en la cola:
Pn =
n(1 - )
1)
.......1a
( = 1)
........1b
(
1 - K+1
K
2
L
Longitud de la cola:
L=
-
1K
2
Curso: Simulacion y Modelamiento
(K+1) k+
1
1)
..........2a
( = 1)
..........2b
(
1 - K+1
32
Ejemplo:
En una estación de servicio se cuenta con solo un grifo para la atención. Los clientes
llegan en un proceso de poisson a razón de 10 vehículos por hora mientras que son
atendidos bajo un proceso exponencial con una media de 3 minutos, además se sabe que
la venta promedio es de 18 dollares. Debido a que la estación es pequeña, solo puede
mantener 4 autos en espera, si llegan mas cuando esta llena debe buscar otro grifo.
Determinar:
a) El numero promedio de vehículos en la cola.
b) El tiempo que los clientes deben esperar para esperar la atencion.
c) Las perdidas por la no atención de clientes.
Solución:
Datos:
= 10 clientes/hora
= 3 minutos o 20 clientes/hora
k=4
=
a)
10 =
1
20
2
Se utilizara 2a para el calculo de "L":
L=
1/2
-
1 - 1/2
L=
Curso: Simulacion y Modelamiento
1
(4+1)(1/2)
4+1
1 - (1/2) 4+1
-
(5)(1/2) 5
33
1 - (1/2) 5
L=
1
-
(5)(1/2) 5
1 - (1/2) 5
L=
1
-
5/32
=
0.16 autos
31/32
b)
Pk=
(1/2)4(1-1/3)
=
0.0322
1 - (1/2)5
¨ = (1-Pk)
¨ = 10 (1-0.0322) = 9.678
L=
(1/2)
1 - (1/2)
Lq = 0.839 -9.678/20 = 0.3551
Wq = 0.3551/9.678 = 0.0367
c) Vehículos que no son atendidos:
Curso: Simulacion y Modelamiento
-
(4+1)(1/2)4+1 =
1-(1/2)4+1
0.839
34
- ¨= 10 - 9.678 = 0.322
Perdidas por hora = 0.322*18 = $ 5.796
Curso: Simulacion y Modelamiento
35
Examen Parcial
3
MODELO M/M/S
Una cola Varios servidores
En este modelo se considera que:
n=
n=
Po=
n=s1
Curso: Simulacion y Modelamiento
n
n
0
n
n
0
s
n
s
+
s
-1
36
n!
s!(1 - /s)
n=0
Pn=
nPo
=
( n/n!)Po
,,,,,,,n
s
=
( n/s!ssns)Po
......n
s
n! n
n
s!sn-s
Lq=
s+1
Po
(s+1)!(s- )2
Wq = Lq/
W = Wq + 1/
Ejemplo:
En una empresa se tiene 2 vendedores de mostrador los cuales atienden a razón de 15
clientes por hora. Los vendedores atienden es de 3 minutos por cliente. Se pide calcular la
probabilidad de que haya 3 clientes en espera de ser atendidos.
Solución:
S=2
Curso: Simulacion y Modelamiento
37
n=3
=
= 3 minutos o 20 clientes por hora
= 3/4
Po =
(3/4)0/0! + (3/4)2 /(2!(1-(3/4)/2)) + (3/4)1 / 1! + (3/4)2/(2!(1-(3/4)/2) -1
Po = (53/20) -1
Po = 20/53
P3 = ((3/4)3/2!*23-2)*(20/53) = 0.397
1
4
MODELO M/M/S/K:
En los modelos de LE infinita, no se permite que el número de clientes en el sistema
exceda un número especificado por "K". A cualquier cliente que llegue cuando la LE este
llena se le niega la entrada y este cliente lo deja para siempre. Entonces:
n = 0,1,2,3, ........k-1
n=
0
n=
n = k, k+1, k+2, ....
n
n = 0,1,2,3, ........k-1
s
n =s+1, s+2, s+3, ..
= /s
Curso: Simulacion y Modelamiento
38
Po =
ss s+1
(1- k-s)
+
s
(s )n -1
1
n!
s!(1- )
n=0
ss s+1
(1- k-s)
+
s
(s )n -1
n!
s!(1- )
n=0
Pn =
(s )n
Po
n=1, 2, 3, ,,,,,s
n!
(1- k-s)
s!(1- )
Curso: Simulacion y Modelamiento
+
n=s+1, s+2, s+3, ...k
=1
39
0
Lq=
n=k+1, k+2, k+3, ...
ss s+1
(1- k+s-(1- )(k-s)
k+s)Po
s!(1- )2
Wq = Lq/
Problema:
En un taller de mecanica existen 4 mecanicos que atienden a los los clientes. El taller
solo cuenta con espacio para 3 automoviles en espera. Los clientes llegan en promedio
de 15 por hora bajo una tendencia de poison y son atendidos con una media de 12
minutos por auto bajo una tendencia exponencial, se pide:
a)
Promedio de clientes en cualquier momento.
a)
Promedio de autos que se retiran si no hallan espacio
Solucion:
S=4
K=7
= 15 autos hora
= 60/12 = 5 autos por hora
= 15/4*5 = 3/4
Curso: Simulacion y Modelamiento
40
Po = 44(3/4)4+1(1-(3/4)7-4)/4!(13/4)+1/0!+(4(3/4))1/(2!)+(4(3/4))2/(2!)+(4(3/4))3/(3!)+(4(3/4))4/(4!)) -1
Po = 0.04498
P7 = 44(3/4)7(0.04498)/4! = 0.06404
´=
(1-P7) = 15(1 - 0.06404) = 14.0394
Lq = 44(3/4)5*(1-(3/4))7-4-(1-3/4)(7-4)(3/4)7-4)(0.04498)/(4!(1-(3/4))2)
Lq =0.4767
Wq = 0.4767/14.0394 = 0.03395
W =Wq+1/ =0.03395+1/5 = 0.2339
L = ´*W = 14.0394*0.2339 = 3.2846
b)
5
- ´= 15 -14.0394 = 0.9606 autos.
MODELO DE UNA LINEA DE ESPERA CON N PROCESOS
Cola 1
Curso: Simulacion y Modelamiento
Cola 2
Cola 3
41
Practica calificada
1
INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA DE SISTEMAS
Esta breve introducción sobre construcción de modelos a través de la Dinámica de
Sistemas incluye primero algunas consideraciones sobre los pasos para construir un
modelo. El primer paso es la Determinación de las Variables. A este le puede seguir la
construcción de diagramas causales, es decir la búsqueda de las relaciones entre las
variables generadas en el primer paso. El diagrama causal de un modelo puede ser
trasformado fácilmente en un diagrama del tipo niveles - flujos. La obtención del sistema
de ecuaciones es un proceso automático, usando normalmente el diagrama niveles - flujo,
si se usa un software de la dinámica de sistemas. Los últimos pasos son la Validación y
Experimentación.
1
Etapas en la Construcción de Modelos
En la construcción de un modelos de simulación usando la dinámica de sistemas se
pueden identificar las siguientes etapas:
1. Determinación de las variables a usar en el modelo y de las relaciones entre las
variables.
2. Construcción de diagramas (causales y/o de flujo-tasa).
3. Determinación de la estructura matemática del modelo (ecuaciones).
4. Validación y Experimentación (que no se discutirá aquí).
El primer paso (y parte del segundo) se puede realizar sin la necesidad de construir la
estructura matemática del modelo. La determinación de variables se puede hacer usando
técnicas de generación de ideas y/o recurriendo a los conocimientos de expertos sobre el
problema en estudio. En el caso del modelo de Caparo se hizo un estudio exhaustivo de
los trabajos que se publicaron en el pasado sobre el tema y se pudo contar con
sugerencia y consejos de expertos. De esas lecturas y discusiones se obtuvieron
alrededor de unas 50 variables. El proceso puede continuar con la determinación de una
manera cualitativa de las posibles relaciones entre las variables. En otras palabras,
determinar si existen o no relaciones entre pares de variables. Esto se puede hacer
usando matrices de interacciones, de alcanzabilidad, etc. o usando grafos como los de los
diagramas causales. A veces el proceso puede terminar con un análisis de la estructura
cualitativa conseguida en esta primera etapa sin la necesidad de pasar a la determinación
de la estructura matemática. Para estos análisis, durante las décadas de los setenta y
ochenta, se elaboraron muchas técnicas, conocidas con el nombre general de modelado
estructural (Tonella, 1984). Una vez obtenida la estructura cualitativa se puede pasar a la
determinación de la estructura matemática. En el caso de la Dinámica de Sistemas este
paso es facilitado por el uso de los Diagramas Causales y de los Diagramas de Niveles Flujos.
Curso: Simulacion y Modelamiento
42
2
Diagramas Causales
Existe una discusión abierta si en la dinámica de sistemas es mejor iniciar la construcción
de un modelo con diagramas causales o directamente con diagramas de niveles - flujo. El
modelo del presente estudio fue elaborado casi totalmente usando diagramas causales,
por varias razones que no se indicarán aquí. Los diagramas causales sirven para hacer
un bosquejo de todos los elementos de una problemática sin entrar en los detalles
matemáticos del posible modelo. Para obtener un diagrama causal de un problema hay
que considerar los siguientes aspectos:
1. Pensar en términos de relaciones causa – efecto.
Si se tienen dos variables A, B y si A es capaz de influenciar a B,
se representa la relación de la siguiente manera:
Para denotar si la influencia causa variación en el mismo sentido
(es decir, si a un aumento de A se genera un aumento de B, y si a
una disminución de A se genera un riducción de B) se coloca el
signo + sobre la flecha:
Por otro lado, si a un aumento / disminución de A se corresponde
una disminución / aumento de B, entonces se denota:
2. Centrarse en las relaciones de retroalimentación entre los
componentes del sistema.
Curso: Simulacion y Modelamiento
43
Si se agrega una nueva variable C al sistema anterior, la cual esté
influenciada por B en el mismo sentido, y que sea capaz de
influenciar a A de manera positiva, se denotará:
Si A aumenta, inmediatamente B aumentará, ocasionándose
entonces un incremento en C, lo cual aumentará nuevamente a A, y
así sucesivamente. En este caso, la variación de un elemento se
propaga a lo largo del bucle de manera que se refuerza la variación
inicial. Este efecto se conoce como lazo de retroalimentación
positiva; se presenta cuando todas las relaciones son positivas
(como en el ejemplo anterior) o cuando existe un número par de
relaciones negativas. Por ejemplo, supóngase que un aumento de A
genera una disminución en B,
y que una disminución en B causa un aumento en C,
Curso: Simulacion y Modelamiento
44
todo el sistema se representará:
Resumiendo, si A aumenta, se produce una disminución en B que
genera un incremento en C, lo que causa un nuevo incremento en
A.
Si el número de relaciones negativas fuese impar, se tienen bucles
de retroalimentación negativa, los cuales tienden a
autorregularse: si la variable C afecta a la variable A negativamente,
a un aumento de A se corresponde una disminución en B que
genera un aumento en C, causando una disminución en A.
3. Determinar los límites apropiados para decidir los elementos a
incluir en el estudio.
El establecimiento de la relación causa – efecto entre 2 variables se
obtiene del conocimiento de expertos en el área, de estudios
realizados o de datos históricos sobre el comportamiento del
sistema. De toda manera durante este proceso puede ser que
algunas de las variables que se seleccionaron al inicio son
eliminadas y otras nuevas son introducidas. El proceso a pesar que
se presenta de una manera lineal es un proceso iterativo, ya que
continuamente se pasa de la primera a la segunda fase del proceso,
hasta conseguir la lista definitiva de las variables y las ideas básicas
sobre sus interrelaciones, que se pueden presentar a través de los
ciclos causales.
3
Diagramas de Niveles – Flujos
La realización de estos diagramas se puede hacer sin pasar por los diagramas causales.
Se analizan las variables en términos de acumuladores y de tasas de variación de los
acumuladores.
Curso: Simulacion y Modelamiento
45
Por ejemplo, supóngase que en una ciudad existen 3000 habitantes que la tasa anual de
natalidad es del 10% de la población y la mortalidad del 2% anual. Si se quiere
representar lo que ocurriría en la ciudad al cabo de diez años, es necesaria una variable
que refleje los cambios en el transcurso del tiempo: un acumulador denominado
"Población". La tasa de natalidad incrementa anualmente el nivel "Población", es decir,
incrementa el material contenido en el acumulador (en este caso personas); por ello se
debe reflejar un flujo de personas que entra al nivel:
A su vez, la tasa de mortalidad, disminuye la totalidad de personas en la ciudad; por tanto,
se debe representar un flujo de salida del acumulador:
Resumiendo, las variables que acumulan (que se llaman niveles o "stocks") representan
la acumulación de distintas entidades del sistema, tales como cantidad de empleados,
kilogramos de trigo, pedidos no cubiertos, artículos en inventario, etc. Mientras que las
tasas son las variables que determinan las variaciones en los niveles del sistema.
Además de los dos símbolos vistos arriba para las tasas (símbolo de una válvola) y los
niveles (símbolos de un rectángulo), en la dinámica de sistemas se usan también los
siguientes símbolos:
La nube que puede representar una fuente o un pozo; puede
interpretarse como un nivel que es prácticamente inagotable o
que no es de interés del científico. Por ejemplo, cuando se
representó la tasa de natalidad de la población, se debió haber
colocado:
ya que no interesa representar de dónde provienen los niños.
Las variables auxiliares se utilizan para efectuar cálculos
intermedios entre variables.
Curso: Simulacion y Modelamiento
46
Las constantes son un elemento del modelo que no cambiará
de valor durante la simulación.
El canal de material indica que hay traspaso de material entre
las variables conectadas mediante este canal; mientras que el
canal de información indica que sólo se está traspasando
información.
Los retardos, que se pueden usar sobre lazos de materiales o
de información.
4
La Estructura Matemática
La estructura matemática de un modelo de dinámica de sistemas es un sistema de
ecuaciones diferenciales (o en diferencia). Pero en lugar de escribir directamente las
ecuaciones diferenciales, se escriben ecuaciones para cada uno de los símbolos vistos
anteriormente, es decir para los niveles, para las tasas, para las variables auxiliares, etc.
Esto se puede entender mejor con las siguientes explicaciones:
Una variable de estado (o nivel), es decir una variable que acumula sus valores (que
matemáticamente se representa con un integrador) es cambiada por variables que se
representas por flujos de material (tasas). Por ejemplo si N es el Nivel, FE y FS los flujos
de entrada y de salida, se puede escribir la siguiente ecuación:
donde N(t) es el valor del nivel en el instante de tiempo t y N(o) es el valor inicial del nivel.
Se puede ver facilmente que esta ecuación es una ecuación diferencial (derivada de N es
igual a las diferencias de las tasas).
Esa ecuación se puede escribir, de forma aproximada, empleando el método de Euler de
integración numérica:
Curso: Simulacion y Modelamiento
47
Esta última forma es la que se emplea comúnmente en Dinámica de Sistemas para definir
cualquier nivel en términos de sus flujos.
Una forma muy frecuente de escribir una ecuación de flujo es la siguiente:
en donde TN es el flujo normal y M es lo que se denomina multiplicador de flujo normal. Si
M(t) = 1 se tiene una situación neutral en la que F(t) = TN * N(t), es decir, el flujo es una
fracción constante del nivel.
Considerando el ejemplo de la población indicado arriba se podría tener por ejemplo que:
Tasa (flujo)de Natalidad = 0.1 * Población, donde TN = 0.1.
El multiplicador M(t) refleja el efecto de otros factores sobre la variable de nivel en
cuestión: M(t) = M1 [ V1 (t) ] * M2 [ V2 (t) ] * ... * MK [ VK (t) ] , en donde cada factor Mi [ Vi
(t) ] es una función no lineal de una variable Vi, la cual puede ser un nivel o una variable
auxiliar.
Curso: Simulacion y Modelamiento
48
11 PLICACIÓN DE LA DINÁMICA DE SISTEMAS A LA PLANIFICACIÓN
URBANÍSTICA EN UNA MUNICIPALIDAD
1
INTRODUCCION Y OBJETIVOS.
La mejora en la planificación urbanística de una municipalidad debe constituir uno de los
pilares más importantes de su política municipal. En dicha planificación influyen variables
de diversa naturaleza, demográficas, económicas, de construcción, etc., muchas de las
cuales están interrelacionadas con bucles de realimentación. En general, el sistema
urbano posee mucha inercia y los tiempos de respuesta a las medidas urbanísticas son
lentos. De ahí, que resultaría interesante para los responsables de la planificación
urbanística en una municipalidad, disponer de una herramienta que les permitiera simular
y obtener "grosso modo" cual sería el comportamiento de las variables de su sistema
urbano, ante diferentes hipótesis y escenarios de previsión. De esa forma, podrían
tomarse decisiones más consistentes, con menor riesgo y con suficiente adelanto, sobre
la respuesta del municipio ante las necesidades futuras que pudieran ocasionar
crecimientos de la población del mismo, por ejemplo, en materia de viviendas, suministro
de agua, saneamiento, infraestructura, etc.
En este contexto, el objetivo que se pretende es el de diseñar y construir, empleando
Dinámica de Sistemas, un modelo matemático representativo de la Dinámica Urbana de la
población en una municipalidad genérico. Una vez dise ado, para validar su
funcionamiento correcto, se aplicará a Lepe y Cartaya, dos de los municipios más
importantes de la costa oriental de Huelva. En el modelo se abordan, entre otros, los
problemas derivados de la variación de la población y de la evolución del número de
viviendas, en función de la superficie disponible y de la capacidad económica del
municipio. Este problema, ya clásico en la literatura sobre Dinámica de Sistemas, ha sido
estudiado anteriormente con diferentes perspectivas por varios autores (Forrester, 1969;
Aracil y Bueno, 1976; Alfeld y Graham, 1976; Aracil, 1986; Aracil y Toro, 1993).
Para su descripción, se ha dividido al modelo en tres partes: población, construcción y
actividad económica. Inicialmente, se describirán las relaciones de influencia del
submodelo de población, por ser el que sirve de base para las decisiones de planificación
urbana. Partiendo de éste, se abordará la parte del modelo dedicada a la construcción de
viviendas, es decir, a la evolución del número de viviendas en función de la población
demandante de viviendas, de su renta y de la superficie urbanizable disponible.
Asímismo, se expondrá el submodelo de actividad económica en el municipio, que influye
y es influido por el resto del sistema. Seguidamente, se analizarán los principales bucles
de realimentación del sistema y se presentarán algunas simulaciones del modelo para
comprobar su correcto funcionamiento bajo distintas hipótesis. Finalmente, se muestran el
diagrama de Forrester del modelo completo, las referencias bibliograficas, y las fuentes y
centros de información utilizados.
Curso: Simulacion y Modelamiento
49
2
CONCEPTUALIZACIÓN Y FORMALIZACIÓN DE LOS DIFERENTES
SUBMODELOS
Submodelo de Población.
En él (figura 1) se aborda la variación de la población en función del numero de
nacimientos, muertes, emigraciones e inmigraciones; partiendo de un valor inicial de
población correspondiente al número de habitantes existentes al final del año anterior al
de inicio del periodo en estudio. Obviamente, en cada intervalo de simulación, la
población del municipio aumentará con los Nacimientos y las Inmigraciones y disminuirá
con las Muertes y las Emigraciones. En cuanto al número de emigraciones, se ha
supuesto que puede tener dos orígenes: por un lado, un porcentaje (Tasa emig por efec
paro) de los habitantes del municipio que se encuentren en situación de desempleo
(representados por la variable Nº de parados) y que se ven obligados a emigrar; por otro,
la emigración de empadronados en el municipio (Pob sin efecto de paro), debida a
cualquier otra causa distinta del desempleo (Tasa emig sin efec p).
3
Submodelo de Construccion.
En este submodelo se aborda la evolución del número de viviendas (Nº VIVIENDAS) en la
municipalidad objeto del estudio (figura 2). Esta variable ha de ser de nivel y aumentará
con las viviendas que se construyan (Constr de viv), y disminuirá con los
derrumbamientos y demoliciones de viviendas que se produzcan en cada intervalo de
simulación (Derrumb de viv), ambas de flujo. Se ha supuesto que la construcción de
viviendas (Constr de viv), es decir, el total de viviendas construidas en un año, depende
de la cantidad de viviendas demandadas por la población (Demanda de viv), más un
pequeñísimo porcentaje adicional estimado por los propios constructores (Plus viv cons),
que permita satisfacer un inesperado aumento de la demanda de viviendas.
Continuando con la descripción del modelo, la variable de flujo Demanda de viv depende
de la población que demande vivienda (Pob dem viv), del precio medio de la vivienda
(Precio med viv), de las disponibilidades económicas de las familias que demanden
vivienda (Renta familiar media) y del tipo de interés de los prestamos hipotecarios a
particulares (Int1), suponiendo que éstos deban hipotecarse para adquirir la misma.
Pasemos a analizar cada uno de estos cuatro términos.
La población demandante de vivienda (Pob dem de viv) puede tener dos orígenes. La
mayor parte provendrá de las parejas del municipio que desean formar una familia y
contraen matrimonio civil o religioso (Nº matrimonios dem viv), pero también existirá otra
fracción mucho menor (Tasa mej) procedente de la población del municipio que no
contrae matrimonio (Población menos número de matrimonios), pero que también
demanda viviendas por haber aumentado el número de sus miembros o bien por mejorar
su situación económica particular y que denominamos (Dif pob matr). El precio medio de
la vivienda (Precio med viv), se ha supuesto que depende de la superficie media de la
Curso: Simulacion y Modelamiento
50
vivienda (Sup med viv), y del precio del metro cuadrado construido (Prec m 2 viv). La
Renta familiar media se obtiene multiplicando el número medio de personas que trabajan
por familia (Nº med pers trab por famil) por el nivel salarial mensual medio (Nivel salar
men) de los adquirentes de vivienda. El tipo de interés de los prestamos hipotecarios a
particulares (Int1), se ha considerado como variable exógena al sistema.
La variable Plus viv cons se ha hecho depender de la superficie disponible para construir
(Sup urbanizable), de la superficie la vivienda media en el municipio (Sup med viv) y de
un factor de inversión (F inver emp constr), integrante del submodelo de Actividad
Económica, estimado por los constructores, para determinar el número de viviendas a
construir. A su vez, dicho factor dependerá del tipo de interés establecido para préstamos
a constructores (Int2), de las viviendas construidas en años anteriores al año en estudio y
que aún no se han vendido (Viv c n vend), de la demanda de vivendas (Demanda viv) y
del precio medio del m2 de terreno (Precio m2 terreno).
Pasando a describir la problemática de la gestión del suelo, el suelo residencial (S
residen) comprende la superficie ocupada por las viviendas existentes, las zonas verdes
(parques, jardines y áreas de juego) y los centros públicos (de enseñanza, de salud,
deportivos, comerciales y asistenciales). En las normas urbanísticas, las proporciones de
zonas verdes (P zv) y de zonas para uso público (P cp) suelen venir expresadas como
porcentajes de la superficie construida. El suelo urbano (S urb) comprende
fundamentalmente además del suelo residencial (S residencial), el suelo dedicado a
construcciones para la actividad industrial (S ind). El suelo urbanizable (S urbanizable)
es la parte de suelo que por sus características se considera apto para ser urbanizado. La
cantidad de suelo residencial (S residencial), se ha hecho depender del
número de viviendas del municipio (Nº de viv), de la superficie media de las viviendas
(Sup med viv), del porcentaje de zonas verdes (P zv) y del suelo que deba destinarse a
uso público (P cp). La suma del suelo residencial y del suelo industrial da el suelo urbano.
Por último, la disponibilidad de suelo urbanizable se obtiene como diferencia entre la
superficie total (Sup total) y la suma de suelo urbano (S urb) y no urbano (S no urb) del
municipio. La mayoría de las variables Aux i en las ecuaciones surgen como
consecuencia de incongruencia en las unidades al realizar las simulaciones.
4
Submodelo de Actividad Economica.
En este apartado, se aborda la influencia que la actividad económica en el municipio,
puede tener sobre la dinámica urbanística del mismo, es decir, sobre la variación en el
número de sus habitantes, y especialmente sobre el sector de la construcción, principal
objeto del modelo. Como se muestra en la figura 3, primero se ha definido una variable
que mida esa actividad económica (Inv total), que dependerá principalmente de la
inversión efectuada por los propios empadronados en el municipio (Inv propia), más la
inversión procedente de otras personas físicas o jurídicas de otros municipios (Inv
externa). La primera de ellas se ha supuesto que es función de la renta familiar media
Curso: Simulacion y Modelamiento
51
(Renta fam med), del número de familias (a su vez dependiente de la variable
POBLACION) y de la tasa de inversión (Tasa inv), es decir, del porcentaje del ahorro que
se emplea en la instalación o ampliación de instalaciones industriales, comerciales o
agrícolas que generan más riqueza para el municipio y más impuestos para la
municipalidad.
A mayor Inv total en el municipio, más ampliaciones, reformas o nuevas construcciones
de establecimientos comerciales, industriales, agrícolas o ganaderos se producirán (Amp
y refor inst comer), y por consiguiente, más volumen de trabajo se generará en el sector
de la construcción (Trab en constr), a añadir al ya procedente de la construcción de
nuevas viviendas y al derrumbamiento de antiguas descrito en el submodelo de
construcción.
A más volumen de trabajo en construcción, aumentará la población activa ocupada en
construcción (Pob act ocup en constr), en función de un parámetro del modelo al que se
ha denominado "capacidad media de los trabajadores" (Cap med de trab), que
representa el número de trabajadores que en promedio se necesita para realizar una
vivienda al año. Este valor, tras diversas entrevistas con gerentes y propietarios de
pequeñas y medianas constructoras de Lepe y Cartaya ha sido establecido en 4/7, lo cual
significa que por cada 7 trabajadores se realiza una media de 4 viviendas en un año.
Continuando con el razonamiento, a más población activa ocupada en construcción,
menor número de parados en el municipio, lo cual disminuirá las emigraciones (y en su
caso aumentará las inmigraciones), provocándose con ello un mantenimiento o aumento
del número de habitantes del municipio.
5
ANALISIS DE LOS BUCLES DE REALIMENTACIÓN
La figura 4 muestra una vista general del modelo, donde se puede observar de forma
simplificada (siguiendo los signos), algunas de las relaciones más significativas del
comportamiento del sistema urbano. Así, en torno a la variable de población existen tres
bucles: el mayor de ellos es explosivo, indicando que un crecimiento de la población,
traerá consigo un mayor número de matrimonios, una mayor demanda de viviendas, una
mayor construcción de éstas, una mayor población ocupada en la construcción, un menor
número de parados, un menor número de emigraciones por esta causa, y por tanto un
menor decremento, o en su caso aumento, de la población empadronada en el municipio.
Ese crecimiento explosivo de la población, se ve frenado por la actuación de un bucle
negativo, debido al fallecimiento por edad, enfermedad o accidente de la misma y
aumentado por la velocidad de nacimiento de nuevos habitantes.
Curso: Simulacion y Modelamiento
52
Análogamente, en torno a la variable número de viviendas, existen otros tres bucles,
todos ellos negativos, que actúan en sentido contrario al bucle positivo anterior. En primer
lugar, una mayor construcción de viviendas traerá como consecuencia un mayor número
de viviendas y unas mayores necesidades de suelo urbano y urbanizable que pueden
llegar a agotar la superficie disponible y por tanto frenar su crecimiento. Por otro lado, el
derrumbamiento de viviendas disminuirá el número de viviendas en el municipio pero
liberará suelo para edificar, mientras que un exceso en el número de viviendas provocará
un stock de viviendas compradas y no vendidas, lo cual frenará la inversión de las
empresas constructoras, bajando la construcción. En definitiva, las variables de estado del
sistema, evolucionarán en un sentido u otro según la mayor preponderancia de unos u
otros bucles.
6
ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DEL MODELO BAJO DIFERENTES
HIPÓTESIS.
Construido el modelo, ha de realizarse una evaluación del mismo mediante simulaciones,
comprobando la consistencia de las hipótesis en las que se ha basado su construcción,
realizando su "análisis de sensibilidad" y estudiando su comportamiento ante distintas
políticas alternativas (Aracil, 1986).
Se trata de determinar si los resultados obtenidos mediante simulaciones se
corresponden, con suficiente aproximación, con los datos reales del sistema modelado.
Realmente, dadas las simplificaciones introducidas en el modelo, no es posible reproducir
con exactitud milimétrica su comportamiento (sería preciso diseñar un modelo mucho más
complejo que el expuesto). Además, aunque la mayoría de los parámetros del modelo son
datos reales contrastables obtenidos de organismos de estadística públicos, existen unos
pocos parámetros que han sido estimados basándose en la opinión de constructores y
funcionarios de las municipalidadess estudiados. Un análisis detallado de un gran
número de simulaciones, demuestra que los resultados obtenidos se aproximan bastante
a los datos reales del modelo, lo cual confirma la validez del mismo. Dentro de los muchos
escenarios que se pudieran plantear, por razones de espacio, hemos seleccionado tan
sólo uno, para ilustrar brevemente algunas de las posibilidades del modelo.
Escenario 1, municipio de Lepe, período 1992 a 1998 (Inicial): Los valores de partida de
esta simulación se han tomado de los datos reales de Lepe para 1992. Así, se parte de
una población inicial de 16784 habitantes y de 9342 viviendas correspondientes al 31 de
Diciembre del 1991 y de una superficie total de 13402.5 hectáreas. Los parámetros
iniciales tienen los siguientes valores: tasa de nacimientos 0.0122, tasa de muertes
0.0069, tasa de emigración sin efecto del paro 0.00607, tasa de inmigración 0.0098, tasa
de matrimonios 0.006, tasa de derrumbamiento 0.0004, etc. Se trata de estimar cual sería
la población para 1998, en la hipótesis de haberse mantenido constantes tales parámetros
durante los cinco años.
En tales circunstancias, la figura 6 muestra la evolución de la población, de los
nacimientos y de las muertes para dicho periodo. El crecimiento de la población se explica
Curso: Simulacion y Modelamiento
53
porque la diferencia entre las tasas de nacimiento y de muerte es superior a la existente
entre emigraciones e inmigraciones. Análogamente, en la figura 7 se aprecia como
también el número de viviendas de Lepe crece paralelamente a su población, con un flujo
de construcciones superior al de derrumbamientos como se puede apreciar en los datos
numéricos del eje de ordenadas.
Hipótesis 1ª: Partiendo del escenario inicial anterior, se formula la hipótesis de que
aumente la esperanza de vida de los "leperos", haciendo que su tasa de muertes
disminuya un 15% y que su tasa de nacimientos crezca un 30%, mientras que el resto de
los parámetros permanecen constantes.
Hipótesis 2ª: Partiendo del mismo escenario inicial, supongamos una mejora general de la
economía que afecte a los sectores más importantes del municipio (agricultura y turismo),
ocasionando un aumento relativo en el nivel salarial mensual medio de los habitantes de
Lepe en un 4% y que aumente también la tasa de matrimonios un 20%; mientras que el
resto de los parámetros permanecen constantes.
Curso: Simulacion y Modelamiento
54
7
CONCLUSIONES
Aunque el modelo expuesto adolezca de ciertas simplificaciones, lo cierto es que describe
los aspectos más importantes, así como las relaciones entre las principales variables
integrantes del sistema urbano en un municipio cualquiera. Debido a ello, permitiría
obtener de forma bastante aproximada la evolución de las variables de estado del sistema
ante diferentes hipótesis y escenarios de previsión alternativos. De esa forma, permitiría a
lo responsables de la planificación urbanística de una municipalidad tomar decisiones más
consistentes, con menor riesgo y con suficiente adelanto, sobre la respuesta del municipio
ante las necesidades futuras que pudieran ocasionar crecimientos de la población del
mismo, por ejemplo, en materia de viviendas, suministro de agua, saneamiento,
infraestructura, etc.
Curso: Simulacion y Modelamiento