"UNA ADECUACIÓN CURRICULAR PARA LAS FUNCIONES GENERALIZADAS" UNIVERSIDAD PEDAGOGICA NACIONAL FRANCISCO MORAZAN VICE RECTORÍA DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO DIRECCION DE POSTGRADO MAESTRÍA EN MATEMÁTICA EDUCATIVA TESIS DE MAESTRIA "UNA ADECUACIÓN CURRICULAR PARA LAS FUNCIONES GENERALIZADAS" TESISTA MARIO ANTÚNEZ MURILLO ASESOR DE TESIS MSc. OSCAR MONTES ROSALES TEGUCIGALPA HONDURAS NOVIEMBRE 2009 RECTORA M.Sc. Lea Azucena Cruz VICE-RECTOR ACADÉMICO M.Sc. Luis Orlando Marín VICE-RECTOR DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO Dr. Truman Bitelio Membreño VICE-RECTOR DE EDUCACIÓN A DISTANCIA M.Sc. Gustavo Cerrato VICE-RECTOR ADMINISTRATIVO M.Sc. Hermes Alduvin Díaz Luna SECRETARIA GENERAL M.Sc. Iris Milagro Erazo DIRECTORA DE POSTGRADO Dra. Jenny Margota Zelaya Tegucigalpa M.D.C. 2009 Este trabajo esta dedicado a la memoria de mi abuela y de mi madre que descansen en paz por todo el amor y sacrificio que hicieron por que llegara a ser alguien en la vida. A mi esposa e hijas que día a día me dan un motivo para seguir adelante. ÍNDICE Introducción 7 Justificación 10 Formulación del problema 17 Objetivo general 17 Objetivos específicos 18 Preguntas científicas 18 Delimitación 19 Marco teórico 20 Marco metodológico 28 Recopilación de datos 20 Encuesta 30 Análisis de datos 32 La propuesta 34 Capítulo I Historia de la Delta de Dirac 40 Capítulo II La Delta de Dirac 53 Aplicaciones introductorias 58 La delta de Dirac como límite 63 Capítulo III Soporte compacto 70 Funciones de prueba 71 Suma 72 Multiplicación por una función 73 Derivación 75 Integración 76 Cambio de escala 78 Traslación 79 Convergencia en K Página 5 Funcional 83 Funcional lineal 84 Funcional continúo 85 Función Generalizada 86 Distribuciones singulares 80 Operaciones 90 Propiedades en K’ 92 La delta de Dirac como distribución 94 Propiedades 95 Valor Principal de Cauchy 102 Capítulo IV Derivada generalizada 107 Función de Heaviside 107 Reglas de derivación 110 Función signo 116 Sucesión de distribuciones 127 Aplicación en Estadística 131 Método de los elementos finitos 135 Consideraciones finales 139 Bibliografía 140 Página 6 INTRODUCCIÓN El proceso de introducir objetos nuevos es familiar en matemáticas. Nos extendimos de números naturales a enteros, de enteros a racionales, de racionales a números reales, de reales a complejos. En cada extensión, se introdujeron objetos nuevos en el sistema del número mientras la mayoría de las propiedades del viejo se mantienen. En cada extensión teníamos que pensar en el sistema del nuevo número en una manera diferente del sistema viejo. El nuevo sistema numérico (racionales) incluye el viejo sistema numérico (los enteros). Así mismo buscamos extender del concepto de función, el espacio extendido de funciones es el que llamaremos distribuciones o funciones generalizadas. Las funciones asignan a cada punto del espacio sobre el que están definidas un número (real o complejo), las distribuciones actúan sobre un espacio de funciones (con ciertas condiciones de regularidad o "suavidad") asignando a cada una de ellas un número. Lo que define a una distribución es su manera de (inter)actuar sobre las funciones. Además, las funciones (de cierto tipo) pueden identificarse con distribuciones, de forma que cada una de estas funciones sería una distribución, aunque muchas distribuciones no son funciones. Las distribuciones generalizan el concepto de función. Algunas de las características que presenta esta extensión son las siguientes: 1. Toda función continua es una distribución 2. Toda distribución tiene derivadas parciales que son distribuciones 3. Para funciones diferenciales en sentido ordinario la nueva derivada coincide con la ordinaria 4. Las reglas del cálculo siguen siendo válidas En el presente trabajo de tesis se pretende “una adecuación curricular para las funciones generalizadas”. La investigación realizada es de tipo bibliográfico y en la misma se busca determinar diferentes propuestas y enfoques para la más famosa de las funciones generalizadas, la delta de Dirac, describir algunos factores Página 7 importantes que deben considerarse y algunas de sus aplicaciones básicas. Este trabajo se ha estructurado de la siguiente forma: Primeramente se brinda una justificación en la cual se expone la necesidad del estudio de las funciones generalizadas, algunas de las aplicaciones que encuentra el estudiante del área físico matemático de la delta de Dirac. Seguidamente tenemos el planteamiento del problema a investigar, con el fin de hacer explícito aquello que nos propusimos realizar, surgiendo de aquí los objetivos generales y específicos internos y externos de la investigación, y de acorde a dichos objetivos las preguntas de investigación. Tenemos luego el marco teórico en este caso histórico y referencial a las diversas posturas que respecto del currículo se han asumido a través de los tiempos, con la finalidad de hacernos de una definición que nos oriente firmemente en el desarrollo de la investigación. En el Marco Metodológico aparecen los Instrumentos y Procedimientos utilizados en la investigación. En el capitulo I se esboza un poco de historia de la delta de Dirac, problemas que originaron su surgimiento y las diferentes concepciones a través del tiempo con que ha sido vista en el campo científico. En el capitulo II tenemos la forma intuitiva como suele ser introducida la delta de Dirac en clases de física y matemática, algunas aplicaciones en las cuales modela algún fenómeno físico, y la forma como la delta de Dirac puede ser vista como el límite de una sucesión de funciones. En el capitulo III se brindan algunas definiciones preliminares, como ser las funciones de soporte compacto, las funciones de prueba y funcionales, conceptos necesarios para la definición de las funciones generalizadas o distribuciones. Página 8 Posteriormente vemos la delta de Dirac como una distribución, sus propiedades básicas con el rigor matemático adecuado, finalmente se tiene el valor principal de Cauchy para una función, elemento muy útil en el campo científico. En el capitulo IV se tiene una de las aplicaciones mas importantes de la delta de Dirac, la derivada generalizada, la cual nos permite obtener derivadas de funciones singulares. Se muestra además una aplicación en estadística, que unifica el concepto para la función de densidad de probabilidad para variables aleatorias discretas y continuas. Finalmente tenemos una aplicación de las funciones de soporte compacto al campo de los elementos finitos, muy en boga en nuestro tiempo. Página 9 JUSTIFICACIÓN En función de las necesidades que plantea el tratamiento de algunos conceptos de las nuevas tecnologías, así como de los problemas integradores presentes en diversas modalidades, el campo conceptual debe contribuir con las temáticas que se aborden permitiendo así integrar los conocimientos adquiridos con otras áreas. Un espacio curricular en general, implica una continuación de conocimientos articulados entre si, y en el caso particular de la Matemática propone trabajar contenidos que se focalicen fuertemente en objetos y herramientas matemáticas referidos muy especialmente a las áreas del Análisis Matemático, la Estadística y las Probabilidades y los Grafos, sosteniéndose en otros como ser el Álgebra, las Funciones y la Geometría Analítica que permitirán “expresar” y “mirar y ver” fenómenos del mundo natural mediante ciertos modelos que permitirán comprender, representar y actuar sobre situaciones de la vida real. En algunos cursos de matemáticas que generalmente se imparte a los estudiantes de las carreras de física, ingeniería y otras disciplinas se contemplan una gran variedad de herramientas que en un principio son de ayuda para el estudiante y posteriormente al profesional en su desempeño laboral. Es común en dichos cursos el estudio de las propiedades del tema tratado y posteriormente una serie de aplicaciones básicas para una mejor comprensión y ver la utilidad del objeto estudiado, así tenemos: En el estudio de la geometría se escudriñan las propiedades de triángulos, se clasificación, se establecen condiciones para la semejanza de triángulos, congruencia de triángulos, un caso particular de los triángulos rectos como ser “el teorema de Pitágoras” propiedades de cuadriláteros y polígonos en general, las propiedades de los sólidos y posteriormente aplicaciones del contenido estudiado. Página 10 Asimismo al estudiar las razones y funciones trigonométricas se ven inicialmente sus propiedades, se definen y estudian la ley de senos y cósenos y su uso para resolver triángulos. Luego se ven algunas aplicaciones en la que su modelación implica la resolución de triángulos y que abarcan procesos dinámicos como el movimiento armónico, el estudio de ondas sonoras, descripción de fenómenos periódicos, además de ciertas aplicaciones estáticas como la medición de distancias, fuerza, velocidad, aplicaciones que comprenden longitudes y direcciones entre otras. Al estudiar las ecuaciones y sistemas de ecuaciones se analizan diversos problemas prácticos aplicables a la vida real. Los conceptos y procesos asociados a derivadas se refuerzan al ver la derivada como “razón de cambio” y “rapidez de cambio” lo que permite modelar y estudiar un sinfín de casos en diferentes contextos de las ciencias (“La velocidad, la densidad, la corriente, la potencia y el gradiente de temperatura en física; la rapidez de reacción y la compresibilidad en química; la rapidez de crecimiento y el gradiente de velocidad de la sangre en biología; el costo y la utilidad marginal en la economía; la rapidez del paso de calor en geología; la rapidez de mejoramiento de la eficiencia en psicología, y la rapidez de dispersión de un rumor en sociología, todos son casos especiales de un concepto matemático único: La Derivada Asimismo, la aplicación al cálculo del concepto de integral permite a los estudiantes, el cálculo de trabajo, variaciones de energía libre y entropía, o biomasa; además, y ya “dentro del ámbito de la Matemática”, se facilita la comprensión de áreas entre curvas, calculo de volúmenes mediante sólidos de revolución, longitud de arco, etcétera. Página 11 Las aplicaciones mencionadas previamente son comunes en cursos propios de matemáticas y mediante ellos se busca cimentar los conocimientos, y resolver problemas de interés en diversos ámbitos de las ciencias como ser física, química, biología etcétera. En el caso particular de la física, en los diversos cursos de esta área, se asume en la mayoría de los casos que el estudiante posee una base sólida de matemática y en los problemas estudiados el objeto matemático aplicado se supone conocido. Debido a lo anterior es común estudiar en forma rigurosa en aquellos cursos de matemáticas previos a la física, diversas funciones muy particulares que sirven para modelar comportamientos físicos, pero algunas funciones son tratadas en forma superficial sin profundizar en su origen, evolución y propiedades, entre estas tenemos la función gamma, función beta, funciones de Bessel, los polinomios de Legendre, la función de Heaviside, la delta de Dirac, entre otras. En el caso particular las funciones de Heaviside y la delta de Dirac, funciones que modelan matemáticamente un interruptor y un impulso unitario respectivamente, a pesar de su importancia en el campo científico no se les dedica el tiempo necesario para una comprensión adecuada, y muchas veces sólo son mencionadas. Dichas funciones tienen su origen en el ámbito de la Ingeniería y la Física. A continuación ilustramos algunos fenómenos que se estudian en diversas clases que forman parte del currículo de física e ingeniería En el campo de la física el golpe de un martillo En sistemas mecánicos que están sometidos a una fuerza exterior En el caso de circuitos eléctricos a una tensión o fuerza electromotriz, alguna descarga eléctrica Página 12 Una pelota de golf inicialmente en reposo es enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia por un palo de golf. La fuerza aplicada en un punto de una viga la descarga ocasionada por un rayo en una línea de alta tensión. La presión ejercida en un punto. El objeto matemático que sirve para modelar los fenómenos anteriormente descritos es la delta de Dirac. En la solución de ecuaciones diferenciales parciales, en el uso de técnicas de análisis de Fourier de tiempo continuo ampliamente útiles para analizar y conocer las propiedades de las señales y sistemas de tiempo continuo, en la teoría de filtrado y modulación base fundamentales de la teoría de comunicaciones se hace necesario un manejo adecuado de la delta de Dirac. En dichos curso se suele describir la delta de Dirac como 0 ( x a) xa x a con las propiedades ( x a) 1 f ( x ) ( x a)dx f (a) Del álgebra de funciones sabemos que f ( x ) kf ( x ) si k 0,1 Pero esta función parece contradecir lo anterior ya que para todo k 0 0 k ( x a) xa x a Por lo que aparentemente ( x a ) k ( x a) para valores de positivos de k Página 13 De forma similar del cálculo integral a a ( x a)dx ( x a )dx ( x a)dx ( x a )dx 0 a a Que de nuevo parece contradecir la propiedad de esta función Uno de los principales problemas con la Delta de Dirac, es que no existe una clase en la cual se estudien a fondo sus propiedades, y aclarar el porque de las aparentes contradicciones anteriormente mencionadas. La delta hace su aparición en un curso de matemática en la Universidad Nacional Autónoma de Honduras hasta la clase de MM-411 Ecuaciones Diferenciales, pero no se estudian sus propiedades sino que se ve su aplicación en la transformada de Laplace en la resolución de ecuaciones diferenciales. Es de hacer notar que el tiempo empleado en su estudio gira alrededor de una o dos horas clases máximo. Contrario a lo que suele suceder con el desarrollo de un tema donde se escudriñan las propiedades del objeto de estudio y posteriormente se ven aplicaciones con el fin de afianzar los nuevos conocimientos, con la delta de Dirac el estudiante suele ver primero aplicaciones sin haberla estudiado previamente. El estudiantado de ingeniería, física y matemática hacen uso de la delta de Dirac como una herramienta en diferentes cálculos operacionales para resolver diversos tipos de ecuaciones funcionales que conducen a resultados satisfactorios. Pero estos cálculos, muchas veces parecen entrar en contradicción con otros temas tratados, provocando duda entre el estudiantado. Esto no es nuevo en matemática, sino veamos algunos ejemplos. En el estudio de los números naturales al momento de estudiar sus operaciones nos encontramos que 3 5 y 3 * 5 tienen sentido y existen pero 3 5 y 3 5 no existen. Página 14 Al ampliar los naturales y tratar los números enteros 3 5 ya tiene sentido y existe pero 3 5 no existe. Al seguir ampliando el conjunto de los numero ahora a los racionales la operación 3 5 ya tiene sentido y existe. Otro ejemplo es el siguiente En el estudio de los números reales y tratar los radicales (raíz cuadrada) se nos dice que a existe si a 0 , pero no existe si a 0 , pero mas adelante al estudiar los números complejos a existe independientemente del valor de a El hecho que 3 5 y 3 5 no existen y luego existe así como que 4 primero no existe y luego si existe forman estela de duda e inseguridad en el estudiante. Algo similar se presenta ya a nivel superior en varios casos, y la delta de Dirac es uno de esos casos. La delta de Dirac es un caso especial de lo que llamaremos funciones generalizadas. Las funciones generalizadas con muchas aplicaciones en el campo científico y en particular la función impulso o delta de Dirac, son frecuentes en cursos que forman parte del currículo de Ingeniería, Física y Matemática de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras como ser física, ecuaciones diferenciales, teoría de la probabilidad, métodos matemáticos en ingeniería, teoría de la estabilidad, mecánica estadística, estructuras, resistencia de materiales, teoría de circuitos eléctricos, electromagnetismo, comunicaciones entre otras. Con el fin de complementar los conocimientos que manifiestan los estudiantes de ingeniería y matemática de la delta de Dirac en particular y de las funciones generalizadas en general, se espera que el presente trabajo contribuya a lograr una comprensión adecuada de la delta de Dirac, su origen, propiedades y otras funciones generalizadas atípicas. A pesar de ser las funciones generalizadas una herramienta de múltiples usos en el campo científico, en nuestro país en ninguna Página 15 institución educativa existe una clase en la cual se le de la importancia debida, y no es tratada con la seriedad y rigurosidad que amerita y en muchos casos aparenta ser una función sacada de la manga de la camisa. Página 16 FORMULACION DEL PROBLEMA La matemática es hoy en día una de las ciencias más activa y dinámica, a partir de problemas que surgen en otras disciplinas, también aparecen nuevas formas de ver y atacar viejos problemas, desarrollándose así nuevas teorías para encontrarles solución a estos problemas. Una de las características importantes de la matemática en la actualidad es su uso prácticamente en todas las áreas del quehacer humano, desde las actividades cotidianas hasta la investigación científica, la producción y la prestación de servicios. Como consecuencia el ser humano se encuentra con la necesidad constante de fortalecer sus conocimientos. La investigación el análisis e implementación de nuevas técnicas y propuestas pueden ser de mucha utilidad para enriquecer la gama de conocimientos necesarios en la resolución de diversos problemas del ámbito científico. Tomando en cuenta lo anterior y considerando que la delta de Dirac juega un papel crucial teniendo múltiples aplicaciones en problemas prácticos relacionados con el entorno profesional y científico, de allí la necesidad de un estudio sobre las funciones generalizadas. Así, planteamos en la presente investigación como problema científico: Un Desarrollo alternativo para el estudio de La Delta de Dirac y las funciones generalizadas y adecuarlos en un currículo para lograr una mejor compresión sobre las mismas. OBJETIVO GENERAL Para dar respuesta al problema, delimitamos como objeto de la investigación el proceso de enseñanza de las Matemáticas a nivel universitario; formulándose como objetivo general de investigación: Página 17 La realización de una propuesta curricular que sirva como instrumento pedagógico para la Delta de Dirac y las funciones generalizadas. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Para lograr lo anterior consideramos como objetivos específicos Determinar el criterio de docentes y estudiantes de ingeniería, matemática y física sobre la necesidad o no del estudio de las funciones generalizadas. Determinar con los docentes y estudiantes, la profundidad con que es estudiada la delta de Dirac y las funciones generalizadas. Determinar el grado de conocimiento que tienen los estudiantes de las propiedades de las funciones generalizadas. Enumerar y describir el contenido curricular que se debe incorporar en las carreras física matemática. Elaborar una propuesta de un contenido programático ilustrándolo con ejercicios y problemas PREGUNTAS CIENTÍFICAS Surgen como preguntas científicas: ¿Para efectos de una mayor comprensión y aplicación de las funciones generalizadas, consideraran los docentes y los alumnos de la carrera de ingeniería, matemática y física necesario su estudio? ¿A criterio de los estudiantes de ingeniería, física y matemática, el tiempo y la profundidad con que se desarrolla el tema de las funciones generalizadas es suficiente para la comprensión y su aplicación? ¿Qué tanto conocimiento dominan los estudiantes de las propiedades de las funciones generalizadas? ¿Existen suficientes contenidos en la bibliografía matemática, que amplían el tratamiento de las funciones generalizadas? Página 18 DELIMITACION En correspondencia con el problema científico y teniendo en cuenta tanto el objeto como el objetivo de la investigación, se considera como campo de acción el proceso de enseñanza-aprendizaje de los estudiantes la Universidad Nacional Autónoma de Honduras delimitando al campo de la ingeniaría. Página 19 MARCO TEORICO Uno de los términos mas discutido en el ámbito de la educación es el referente al de currículo, a través de la historia han sido diversas las definiciones que se han dado al respecto. En la antigua Roma se utilizaba ya el vocablo “cursus honorum", el curso, carrera o camino "de los honores", el que seguía el ciudadano que iba ocupando, por sucesivos comicios, las magistraturas republicanas, desde edil hasta cónsul. El concepto currículum, en su uso académico aparece con el surgimiento de las universidades en Europa en la edad media (siglos XII y XIII) y se utilizó para designar "el tiempo señalado cada año para asistir a las lecciones" y, en sus vicisitudes fue convirtiéndose en cursus, “curso”. En la Edad Media el currículum estaba integrado por el "trivium" (tres vías, caminos, cursos), el “cuadrivium" (cuatro vías), estudios previos (Facultad de Artes) a las cuatro facultades mayores: Derecho, Cánones, Medicina y Teología. El trivium abarcaba los tres temas enseñados primero, antes del quadrivium. La palabra es latina, significando "las tres maneras" o "los tres caminos", el principio de los artes liberales. En muchas universidades medievales, éste era el curso principal del estudiante. En teoría educativa, el trivium consistió en la gramática , la retórica , y la lógica (o la dialéctica - la lógica y la dialéctica eran sinónimas en ese entonces). (como el latín era una segunda lengua y la lengua internacional de la beca y del pensamiento, tuvo que ser aprendido intencionalmente y a fondo.) La gramática es los mecánicos de una lengua; la lógica es los "mecánicos" del pensamiento y del análisis; el retórico es el uso de la lengua de mandar y de persuadir. Éstos eran considerados los campos preparatorios para el quadrivium. El quadrivium abarcaba los cuatro temas enseñados en universidades medievales después del trivium. La palabra de origen latino, significaba "las cuatro Página 20 maneras" o "los cuatro caminos": la terminación de los artes liberales, y consistia en aritmética , geometría , música , y astronomía. Alternadamente, el quadrivium era considerado trabajo preparatorio para el estudio serio de la filosofía y de la teología. El quadrivium se podía considerar como el estudio del número : la aritmética era número puro, geometría era número en espacio, número de la música en tiempo, y número de la astronomía en espacio y tiempo. Esta estructura se mantuvo en las universidades europeas hasta el siglo XVIII, En dicha época en Inglaterra, siempre tan conservadora en las formas, el término currículum era empleado para designar el conjunto de materias que se enseñan y aprenden en las escuelas. Los países de habla inglesa, en especial los Estados Unidos de América conservaron la tradición escolar inglesa. Sobre este fondo surgieron los primeros trabajos con relación al currículo entre los que destacan “El currículo” (1918) y “Como hacer un Currículo” (1924) de Franklin Bobbit, En 1949 Ralph Winfred Tyler en su libro “Principios básicos del Currículo” señala cuatro cuestiones fundamentales a considerar al momento de desarrollar cualquier plan de enseñaza: ¿Qué objetivos educativos trata de desarrollar la escuela? ¿Qué experiencias educativas aptas para lograr esos objetivos pueden ser proporcionadas? ¿Cómo pueden organizarse efectivamente estas experiencias educativas? ¿Cómo podemos determinar si se alcanzan lo objetivos? Con lo anterior Tyler le da una significación que supera el modo habitual de entenderlo el conjunto de las materias integrantes de los cursos que componen un nivel educativo y que se consagra en la consecución de títulos académicos. Página 21 En “Elaboración del Currículo” Hilda Taba establece la consideración de los siguientes aspectos Diagnóstico de necesidades. Formulación de objetivos. Selección de contenidos. Organización de contenidos. Selección de actividades. Organización de actividades. Determinación de los que se va a evaluar y maneras y medios para hacerlo. Taba establece que la elaboración de un currículum debe seguir un esquema racional para el planeamiento de sus diferentes aspectos y demandar de una metodología particular para su desarrollo y para relacionar los componentes entre sí. Esta metodología incluye los modos de decidir quienes desempeñarán las diferentes funciones en la confección del currículum, y como éstas decisiones podrían ser coordinadas y articuladas. La concepción del currículo ha evolucionado, en ese proceso las definiciones planteadas se enmarcaran dentro de ciertas concepciones: Centrado en la experiencia, como un sistema y como una disciplina aplicada, en un currículo se concentran teorías y principios diversos que traducen la orientación general del sistema educativo, de aquí que existan varias definiciones y modalidades de currículos como enfoques teóricos existan, a continuación tenemos algunas y sus elementos básicos según diversos autores: (Franklin Bobbit, 1918). “Currículo es aquella serie de cosas que los niños y los jóvenes deben hacer y experimentar, a fin de desarrollar habilidades que los capaciten para decidir asuntos de la vida adulta” (UNESCO, 1948). “Currículo son todas las experiencias, actividades, materiales, métodos de enseñanza y otros medios empleados por el profesor o tenidos en cuenta por el sentido de alcanzar los fines de la educación” Página 22 (Janold Zacharias y Sthephen White, s. f.). “Currículo es el proceso de determinar los límites precisos de la unidad de enseñanza; el proceso de identificar el contenido de la materia que será tratada en la unidad; la determinación del contenido de la materia en términos de implementación, cómo hacer textos, material de laboratorio y otros auxilios didácticos.” (Johnson, 1967). “Currículo no se refiere a lo que el estudiante hará en una situación de aprendizaje, a lo que el será capaz de hacer como consecuencia de lo que aprendió. Currículo se relaciona con resultados y no con episodios de aprendizaje.” (L. D. Hainaut, 1980) “Un currículo es un proyecto educacional que define: a) los fines, las metas y los objetivos de una acción educacional; b) las formas, los medios y los instrumentos para evaluar en qué medida la acción ha producido fruto.” (Luis Javier, 1987): Es un proceso de enseñanza que forma a los estudiantes mediante la transmision de valores conocimientos y habilidades. Identifica los siguientes elementos. a) Personas - Alumnos - Profesores b) Tareas - Oportunidades de aprendizaje - Materias - Proyectos c) Administración - Planeación - Organización - Dirección y control del personal Para Forquin (1987): Es un recorrido de experiencias de aprendizaje en una institución formal, sus elementos fundamentales son: a) Experiencias de aprendizaje b) Institución educativa Página 23 Stenhouse (1987): Un intento de comunicar un propósito educativo, abierto a discusión y que puede trasladarse a la práctica. Se pueden identificar como componentes principales: a) Propósito educativo b) Discusión crítica c) Práctica Arnaz(1990), define el currículo como un plan que norma y conduce un proceso concreto y determinante de enseñanza aprendizaje. El autor señala 4 elementos: a) Objetivos curriculares b) Plan de estudios c) Cartas descriptivas d) Sistema de evaluación Para Glazman y de Ibarrola el currículo es una reunión de aspectos socialmente valiosos de una profesión que se enseñan, como componentes tenemos a) Fines de la enseñanza b) Aspectos de la profesión Selección - Selección - Organización - Ordenamiento Fatima Addine (1995): Es un proyecto integral con carácter de proceso que se rediseña en función del desarrollo social. Se pueden distinguir los siguientes elementos; a) Proyecto educativo b) Desarrollo social del ciudadano c) La ciencia Se puede ver que el currículo es considerado por varios de estos autores como un proceso en el cual hay un propósito de enseñanza, atiende a la naturaleza social de lo educativo, por considerar que es necesario, primero, reconocer las características de la realidad en la que se pretende operar para poder decidir entonces qué tipo de diseño permite o acepta esa realidad y, segundo, entender Página 24 cómo y en qué sentido y medida puede preverse, diseñarse o programarse, se concentran teorías y principios diversos que traducen la orientación general del sistema educativo, de aquí que, como se señaló al principio, existan tantas definiciones y modalidades de currículos como enfoques teóricos existan. Lo anterior ha llevado, a la formulación de un conjunto de fundamentos, también llamados elementos básicos o fuentes del currículum, que constituyen posiciones de índole sociocultural, epistemológica-profesional, y psicopedagógica, a través de las cuales se pretende derivar principios que orienten tanto la elaboración o diseño curricular, como su desarrollo y evaluación. Dichas posiciones, derivadas de la particular visión de dichos fundamentos que tienen los diseñadores se pueden resumir de acuerdo al modelo de Tyler en las siguientes cuatro preguntas: ¿Qué enseñar? ¿Cuándo enseñar? ¿Cómo enseñar? ¿Qué, cómo y cuándo evaluar? Las respuestas a estas preguntas nos deben proporcionar información acerca de los objetivos y de los contenidos de la enseñanza que se pretende desarrollar lo largo del proceso educativo. Asimismo nos proporcionan los criterios para ordenar, secuenciar y distribuir dichos objetivos y los contenidos, a lo largo de las correspondientes unidades de tiempo escolar y en función de lo que el alumno es capaz de hacer y aprender en un momento dado. También nos va a permitir decidir acerca de la planificación de las actividades y recursos necesarios del proceso enseñanza-aprendizaje que mejor contribuyan al logro de los objetivos y los contenidos. Para saber si se han alcanzado los objetivos planteados es fundamental realizar la correspondiente evaluación de todo el proceso, determinar si se han logrado las intenciones educativas concretadas en el qué enseñar. Página 25 El avance vertiginoso de la ciencia hace necesario día a día la adquisición de nuevos conocimientos. Muchas veces estos nuevos conocimientos requieren su adecuación a un currículo ya existente, por lo que el currículo debe ser abierto flexible, abierto y tener un carácter dinámico y de desarrollo. Al momento de incorporar estos nuevos conocimientos al currículo se deben tener en cuenta los fundamentos mencionados anteriormente. Los componentes del currículo pueden organizarse de diversas maneras, entre la que se tienen: Centrados en la materia o tema Estos diseños son los de más amplio uso, debido a la aceptación de conocimiento y contenido como partes integrales del currículo. Centrados en el estudiante Se establece que el estudiante es el centro del enfoque en todo programa, y en torno a ellos, y para ellos, deben establecerse los currículos. Centrados en el problema Enfoca los problemas de la vida; en las realidades percibidas de la vida institucional y grupal, tanto para el individuo, como para la sociedad, en general. Con la finalidad de poder abarcar todas aquellas actividades que surgen en el proceso educativo y que no sólo son para transmitir conocimientos, sino actitudes y habilidades a los estudiantes que les permitan desenvolverse adecuadamente en un mundo de cambios vertiginosos, el currículo ha sido dividido para su estudio entre: El currículo formal, que son los documentos guía (el plan de estudio y los programas de las materias) que prescriben las finalidades, contenidos y acciones que es necesario llevar a cabo, por parte del maestro y los alumnos, para practicar y desarrollar el currículo. El currículo real, que es el proceso de la puesta en práctica del currículo formal, proceso en el cual confluyen tanto el capital cultural de maestros y alumnos como los requerimientos del currículo formal y los factores presentes en el contexto institucional. Página 26 El currículo oculto, es un currículo no académico proveedor de enseñanzas encubiertas, latentes, no explícitas, que corresponden al plano del desarrollo ideológico y moral e incluyen funciones de inculcación de valores y socialización que en su conjunto vinculan la institución escolar con el sistema social que lo rodea. El currículo atiende a la naturaleza social de lo educativo, por considerar que es necesario, primero, reconocer las características de la realidad en la que se pretende operar para poder decidir entonces qué tipo de diseño permite o acepta esa realidad y, segundo, entender cómo y en qué sentido y medida puede preverse, diseñarse o programarse. Son muchas las herramientas matemáticas en el campo científico con múltiples usos las cuales debido a su importancia requieren un estudio amplio. Tomando en cuenta lo anterior y viendo la importancia de los temas en la elaboración, implementación y evaluación de un currículo, y considerando el caso particular que La Delta de Dirac juega un papel crucial teniendo múltiples aplicaciones en problemas prácticos relacionados con el entorno profesional y científico, de allí la necesidad de un currículo sobre las funciones generalizadas ya que en ninguna institución educativa del país se estudian a fondo. De allí la intención en nuestro propósito de situar teóricamente nuestro trabajo dentro del marco curricular Página 27 MARCO METODOLOGICO La investigación es de corte evaluativo y es aplicada, pues intenta responder a un problema identificado en la formación de los estudiantes de las diferentes carreras del área físico matemático, y consecuentemente a plantear una adecuación curricular, para ajustarla a la demanda de acciones que involucran a las funciones generalizadas en el desempeño profesional. Para el logro del estudio fue necesario desarrollar una serie de acciones que implicarán la elaboración de instrumentos para la recogida de información en los casos que se requiera. Así como el estudio de obras relacionadas con las funciones generalizadas donde se aborde no solo lo conceptual, sino también la resolución de problemas matemáticos, lo cual nos aporta contenido curricular que pueda incorporarse a nuestra propuesta, para ello se tomo en cuenta el método teórico de investigación que comprendió: Método de análisis y síntesis: Se realizó un análisis de la bibliografía relacionada con el objetivo de separar las partes integradas del objeto seleccionado y determinar el sistema de conceptos básicos de las funciones generalizadas. Método histórico lógico: Para analizar el comportamiento del problema de la investigación en las diferentes posiciones estudiadas y la evolución de las situaciones propuestas. Método de enfoque sistémico: Para argumentar la estructura del proceso en la formación curricular como se incorporan los nuevos conocimientos. Página 28 Además del proceso de análisis que se realizó, donde se obtuvieron conceptos y operaciones matemáticas como contenido curricular, se llevó a juicio de expertos a través de la técnica de los grupos de discusión, el contenido propuesto, para que este sea validado por docentes expertos. Es importante agregar, que se recogió información a través de cuestionarios y entrevistas, a estudiantes y a docentes que estén involucrados en el tema, el propósito es el diagnóstico del contenido curricular actual y de sondear la necesidad de que el contenido de las funciones generalizadas debe de ser ampliado. En el presente trabajo se trata de dar respuesta a algunas preguntas formuladas anteriormente, en el caso de la delta de Dirac y las funciones generalizadas, ¿Por qué y para qué?, ¿Qué enseñar? ¿Cuándo enseñar? ¿Cómo enseñar?, dejando abierta ¿Qué, cuándo y cómo evaluar? RECOPILACIÓN DE DATOS Tomando en cuenta que la pregunta constituye una estrategia natural para averiguar si los alumnos tienen o no un marco conceptual de una situación determinada. Se procedió a realizar un cuestionario diagnostico para determinar el conocimiento que de la delta de Dirac manejan los estudiantes. El grupo seleccionado para realizar dicha encuesta fueron las secciones de MM-411 Ecuaciones Diferenciales secciones 13-01 y 17-01 del curso vacacional 2003 – 2004 de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras (UNAH). La elección de este grupo de debe que en dicha clase se menciona por primera vez la delta de Dirac en un curso de Matemática a estudiantes de Ingeniería de la UNAH. A continuaron se muestra el cuestionario de diagnostico sobre el conocimiento de la delta de Dirac, este instrumento fue aplicado a los alumnos de la clase MM411 Ecuaciones Diferenciales secciones 13-01 y 17-01 el día Jueves 15 de Enero de 2004 Página 29 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS CENTRO UNIVERSITARIO DE ESTUDIOS GENERALES CUESTIONARIO DE DIAGOSTICO ACERCA DEL CONOCIMIENTO DE PARTE DEL ESTUDIANTE DE LA DELTA DE DIRAC 1. Carrera de Estudio 2. Lleva la presente clase por primera vez 3. Puede distinguir que expresiones representan o no una función 4. Considera necesario conocer aplicaciones de un tema para una mejor comprensión del mismo 5. Considera usted la delta de Dirac una función normal 6. Cual fue el tiempo dedicado al estudio de la delta de Dirac 7. Sabe lo que es una función generalizada 8. En sus estudios previos ha visto anteriormente la delta de Dirac, donde 9. Conoce usted otras propiedades de la delta de Dirac 10. Considera necesario un estudio mas profundo la delta de Dirac 11. Sabe bajo que condiciones la delta modela un fenómeno físico 12. ¿A su criterio el tiempo y la profundidad con que se desarrolla el tema de la delta de Dirac es suficiente para la comprensión y su aplicación? 13. La forma y tiempo como es tratada el tema deja dudas al respecto 14. Ha consultado bibliografía referente a la delta de Dirac El formato empleado fue el de pregunta directa con el fin de obtener respuestas cortas y especificas fácil de calificar y analizar. UNIDAD DE TRABAJO Estudiantes de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras UNIDAD DE ANÁLISIS Estudiantes de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras, Facultad de Ingeniería, materia MM-411 Ecuaciones Diferenciales secciones 13-01 y 17-01 curso vacacional 2003-2004, alumnos encuestados ciento doce (112). Página 30 RESULTADOS DE LA INFORMACION Los resultados obtenidos de la anterior encuesta se detallan a continuación: 1. Carrera de Estudio a. Ingeniería Civil 28 b. Ingeniería Eléctrica 31 c. Ingeniería Industrial 17 d. Ingeniería Mecánica 24 e. Ingeniería Química 12 2. Lleva la presente clase por primera vez a. No 63 b. Si 49 3. Puede distinguir que expresiones representan o no una función a. Puede distinguir 95 b. No puede distinguir 17 4. Considera necesario conocer aplicaciones de un tema para una mejor comprensión del mismo a. Necesario 98 b. No necesario 14 5. Considera usted la delta de Dirac una función normal a. Es una función normal 8 b. No es función normal 104 6. Cual fue el tiempo dedicado al estudio de la delta de Dirac a. Una hora clase 68 b. Dos horas clase 44 7. Sabe lo que es una función generalizada a. Si 5 b. No 107 8. En sus estudios previos ha visto anteriormente la delta de Dirac, donde a. Si 84 FS-100 Física I y MM-411 Ecuaciones diferenciales b. No 28 Página 31 9. Conoce usted otras propiedades de la delta de Dirac a. Si 4 b. No 108 10. Considera necesario un estudio mas profundo la delta de Dirac a. Si 83 b. No 11 c. No sabe 18 11. Sabe bajo que condiciones la delta modela un fenómeno físico a. Si 15 b. No 97 12. ¿A su criterio el tiempo y la profundidad con que se desarrolla el tema de la delta de Dirac es suficiente para la comprensión y su aplicación? a. Si 11 b. No 101 13. La forma y tiempo como es tratada el tema deja dudas al respecto a. Si 103 b. No 9 14. Ha consultado bibliografía referente a la delta de Dirac a. Si 0 b. No 112 ANÁLISIS DE RESULTADOS Amparado en una base preliminar analizando los resultados de la información diagnóstica obtenida a través de los estudiantes de carreras del área físico matemático, sobre el tema de las funciones generalizadas y la necesidad de la ampliación del contenido curricular actual y de acuerdo a las repuestas obtenidas en la encuesta en el Cuestionario de diagnostico para determinar sobre el conocimiento de la delta de Dirac se pueden establecer las siguientes observaciones. Página 32 1. El total de la encuestada es estudiante de Ingeniería 2. Según el 90.18 % encuestado el tiempo dedicado al estudio de la delta de Dirac es insuficiente 1.5 horas clase en promedio 3. el 87.5 % considera la modelación matemática necesaria para poder comprender mejor un tema 4. el 13.39 % no sabe bajo que condiciones la delta de Dirac modela un fenómeno físico 5. El 95.53 % desconoce lo que es una función generalizada o distribución 6. El 7.14 % considera la delta de Dirac una función normal 7. Del 100% que había visto previamente la delta de Dirac el 66.67 % la estudio por primera vez en una clase de Física en tanto el 33.33 % en una clase de Ecuaciones Diferenciales 8. Ningún estudiante ha consultado bibliografía alguna sobre la delta de Dirac. Esta primera aproximación fue complementada, con la búsqueda de contenido curricular en fuentes bibliográficas donde se aborda el tema de las funciones generalizadas. El tratamiento la información obtenida mediante la consulta a fuentes bibliográficas, exigió del agrupamiento de contenidos curriculares que se presentarán de manera secuencial, sobre todo porque apunta a una propuesta de enmienda curricular a validar por un grupo de expertos docentes en la materia. El análisis de bibliografía que contiene aspectos relacionados con las funciones generalizadas, exigirán de la selección de contenidos curriculares pertinentes y necesarios para el desempeño profesional desde la óptica del investigador y de sus criterios, su pertinencia y la necesaria incorporación al currículo será objeto de validación por aquellos que conocen este tema en campo de las matemáticas. Así el establecimientos de criterios para su valoración y orientados por una guía objetiva de discusión, los llevará a dictaminar si la propuesta de adecuación es valida. Página 33 LA PROPUESTA ¿Como se pueden introducir las funciones generalizadas? Como muchas grandes ideas en matemática y ciencia, el tema tiene una larga historia. Synowiec (Synowiec, John: Distributions: The Evolution of a Mathematical Theory. Historia Mathematica, vol. 10, 1983, pp. 149(183.) ha establecido que la evolución de los conceptos de la teoría de distribuciones siguió un patrón familiar en matemática “múltiples descubrimientos simultáneos” porque las ideas apropiadas estaban en el aire. Varios métodos pueden ser usados en matemática para introducir y desarrollar sistemáticamente La Teoría de las Funciones generalizadas, entre las que se tienen: 1. Mediante funcionales. Por medio de este método las funciones generalizadas son definidas como funcionales lineales continuas. Las operaciones con funciones ordinarias como ser la diferenciación y transformadas de Fourier son una extensión al escribir primeramente estas operaciones en el lenguaje de funcionales para funciones ordinarias, después haciendo uso de ellas para definir todas las funciones generalizadas. Después que las reglas de estas operaciones se han obtenido, la notación usual de las funciones ordinarias pueden ser empleadas por todas las funciones generalizadas. Para este método de introducir las funciones generalizadas se requiere un conocimiento previo de análisis funcional y es fácil de desarrollar con esta notación, sin confusión. 2. Mediante sucesiones. Este está esencialmente basado en la idea original de Dirac, mediante la cual define una función delta como el límite de una sucesión de funciones ordinarias. Este método fue propuesto por Mikusinski mediante un teorema en la teoría de distribuciones en el cual el es espacio de las funciones generalizadas es completo. Por lo que funciones generalizadas singulares como la delta de Dirac puede ser definida como el límite de una sucesión de funciones ordinarias o regulares, así como se definen números irracionales como el límite de un sucesión de Cauchy. Para definir una función generalizada mediante este método se requiere del análisis matemático para Página 34 construir y trabajar con una sucesión de funciones infinitamente diferenciables. Además se requiere del cálculo avanzado ya las manipulaciones algebraicas son laboriosas. 3. Método de Bremermann. En el método de acercamiento de Bremermann, las funciones generalizadas son vistas como los valores límites de funciones analíticas sobre el eje real. Este método se basa en los primeros trabajos de la Transformada de Fourier en el plano complejo para definir la transformada de Fourier de polinomios, usando algunos resultados de la teoría analítica de funciones y es empleado particularmente en el análisis de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales. Para el desarrollo del presente metodo se requiere conocimientos básicos de análisis funcional, de espacios vectoriales topológicos así como de variable compleja y de la transformada de Fourier 4. Cálculo Operacional de Mikusinki El cálculo operacional desarrollado por Jan Mikusinski es importante para la solución de ecuaciones diferenciales. Su funcionamiento se basa en el cálculo de una álgebra para la convolución de funciones con respecto a la transformada de Fourier. A partir de la convolución producto que en otros se definen otros contextos se denominan el campo de fracciones o de un cociente campo. Estos pares ordenados de las llamadas funciones Mikusinski operadores. El conjunto de funciones y la operación de convolución definen un anillo conmutativo. Cualquier anillo sin divisores de cero se puede extender a un cociente campo o ámbito de la fracción de tal manera que b / a = d / c, si y sólo si b = a * c * d a = (a * k) / k para k no igual a cero del anillo. El cociente de convolución con una función propia, es decir, f / f; corresponde a la función delta de Dirac, δ (t), la unidad elemento del conjunto de funciones generalizadas. Página 35 Este método proporciona una explicación rigurosa del cálculo operacional de Heaviside y resuelve problemas como ser la solución de relaciones recurrentes. 5. Otros métodos Se tienen otros métodos para introducirlas funciones generalizadas en matemática. Uno de eso métodos se basa en el análisis no estándar de Robinson, el análisis no estándar usa la teoría lógica formal para extender la recta real mediante la rigurosa inclusión de los infinitesimales de Leibniz, con aplicaciones en los sistemas dinámicos. Otra aproximación a las funciones generalizadas es mediante el uso del algebra avanzada y conceptos topológicos para desarrollar una teoría de funciones generalizadas en la cual la multiplicación de funciones arbitrarias es fundamental, con aplicaciones en la solución de ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Para el presente trabajo se recabo información a través de cuestionarios y entrevistas, a estudiantes de las carreras de ingeniería y a docentes del Departamento de matemática, Departamento de Física así mismo de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras acerca del conocimiento y aplicaciones de la delta de Dirac, el propósito es el diagnóstico del contenido curricular actual y de sondear la necesidad de que el contenido de las funciones generalizadas debe de ser ampliado. A partir del diagnostico realizado se detectó un amplio desconocimiento de parte del estudiantado de las propiedades de la delta de Dirac y sus aplicaciones mostrando además un desconocimiento casi total del porque de su uso en la modelación matemática de ciertos fenómenos físicos. Lo anterior nos dio la pauta de la necesidad de diseñar el programa sinóptico y analítico para las funciones generalizadas y la delta de Dirac en particular. En el diseño de la presente propuesta para las funciones generalizadas se identificaron los conocimientos preliminares necesarios que se requiere para el Página 36 estudio de las funciones generalizadas, conceptos que son tratados en las asignaturas de Matemática I MM-110, Geometría y trigonometría MM-111, Cálculo I MM-201, Cálculo II MM-202, Vectores y Matrices MM-211, clases que forman parte del currículo de carreras de ingeniería, matemática y física de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras, entre los que tenemos Función Límite de una función Continuidad de una función Derivada de una función Función suave o lisa Antiderivada Integración definida Producto interno de funciones Propiedades del producto escalar. Espacios vectoriales Transformaciones lineales Sucesión de números Convergencia de sucesiones Sucesión de funciones Convergencia absoluta y condicional Se revisaron las aplicaciones con las cuales se introduce la delta de Dirac y tomando como guía la siguiente pregunta: ¿Qué debe saber un estudiante del área físico matemático de La Universidad Nacional Autónoma de Honduras referente a la delta de Dirac?, a partir de ahí se buscó bibliografía acerca de contenidos matemáticos que dieran respuesta a esta pregunta. Los nuevos conocimientos matemáticos se organizaron de acuerdo al método sistémico estructurando organizando y redactándolos con el matemático. Página 37 formalismo Previo a ello en el capítulo I se da un bosquejo de aquellos acontecimientos relevantes en la historia de la delta de Dirac En el capítulo II se presenta La delta como límite, para ello se da una idea intuitiva de la delta de Dirac tanto física como matemáticamente, se parte de definir la función 0 x 1/ n n fn ( x ) lo cual se puede introducir en MM-110 0 otro valor de x Posteriormente se considera el límite cuando n (n tiende a infinito positivo) x 0 lim fn ( x ) lo cual se puede introducir en MM-201 cálculo I n 0 x0 Asimismo se consideran otro tipo de funciones fn ( x ) que en el límite n tienen el mismo comportamiento que la función anterior. Hasta aquí solo se tiene una idea intuitiva de la delta de Dirac. En el capítulo III se pretende formalizar matemáticamente la delta de Dirac y las funciones generalizadas, para ello se presentan las primeras definiciones o nuevos conocimientos matemáticos organizándolos de acuerdo al método sistémico estructurando organizando y redactándolos con el formalismo matemático. Tema nuevo Soporte compacto Funciones de prueba Propiedades Operaciones Conocimiento previo Intervalos acotados Derivada de funciones en una variable Soporte Compacto Sucesión de funciones convergencia uniforme Funcional Función Generalizada Sucesiones Convergencia de series numéricas Transformaciones lineales Espacios vectoriales Funciones de prueba Funcionales lineales Página 38 Clase en la cual se puede introducir MM-110 Matemática I MM-201 Cálculo I MM-202 Cálculo II MM-211 Vectores y Matrices MM 411 Ecuaciones Diferenciales Teniendo ya una definición matemáticamente formal de las funciones generalizadas y de la delta de Dirac en particular se procede a demostrar las propiedades de la Delta empleadas en sus muchas aplicaciones. En el capitulo IV se desarrollan algunas de las aplicaciones más comunes de la delta de Dirac. A partir del proceso de Investigación realizado para la elaboración de la presente propuesta se espera dar respuesta a las preguntas planteadas en este trabajo y alcanzar los objetivos propuestos. Página 39 Capítulo I HISTORIA DE LA DELTA DE DIRAC Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. La Teoría de Distribuciones cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar un espacio alrededor de dos siglos. Una larga lista de personas trabajaron en diferentes tipos de problemas y plantearon soluciones poco creíbles o mal argumentados para muchos. Hubo que esperar hasta a mediados del siglo XX para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el la Teoría de las Distribuciones que conocemos en nuestros días. Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna. Página 40 Así como en los orígenes del cálculo en sus comienzos fue desarrollado para estudiar entre otros cuatro problemas científicos y matemáticos: Encontrar la tangente a una curva en un punto. Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad. Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido. Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Muchas de las teorías conocidas en nuestros días han surgido por la necesidad de de resolver problemas del ámbito científico, son famosos los 23 problemas matemáticos para ser resueltos en el siglo XX planteados por David Hilbert en su conferencia pronunciada el 8 de agosto de 1900 durante el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París, tenemos también lo llamados los siete problemas del milenio. El matemático inglés Brook Taylor (1685-1731) famoso por su serie de Taylor que aproxima funciones a polinomios propuso en 1715 en su “Methodus incrementorum directa et inversa” una serie de 25 problemas entre los que figuraban los dos siguientes: 17. Determinar el movimiento de una cuerda tensa. 18. Dada la longitud y el peso de la cuerda, así como la fuerza que la tensa, encontrar el tiempo de vibración. El estudio matemático iniciado por Taylor de la cuerda vibrante dio lugar a una de las controversias más encendidas y más fructíferas en la historia de las matemáticas. Se puede afirmar que el desarrollo del análisis matemático del siglo XIX tiene como hilo conductor el deseo de proporcionar respuestas satisfactorias a las muchas preguntas originadas en el estudio de la cuerda vibrante. Página 41 Jean D’Alambert (1717-1783), matemático francés en 1747 encontró que pequeñas deflexiones de una cuerda vibrante unidimensional esta gobernada por lo que llamo la ecuación de la onda: 2 2z 2 zF c t 2 x 2 donde c2 T , T tensión de la cuerda kg m seg 2 , densidad lineal kg m 1 F fuerza por unidad de longitud kg seg 2 D’Alembert fue el primero en resolver dicha ecuación para F 0 y c constante en su trabajo “Recherches sur la courbe que forme una corde tendue en vibration” , introduciendo nuevas coordenadas: u x ct v x ct Si z tiene derivadas parciales continuas y al aplicar la regla de la cadena entonces: z z u z v t u t v t z z c u v de forma similar z z u z v x u x v x z z u v de donde de obtiene 2 2z 2z 2z 2 z c 2 2 uv v 2 t 2 u 2z 2z 2z 2z 2 uv v 2 x 2 u 2 sustituyendo en la ecuación de la onda Página 42 2z 2 z 2 z 2 2z 2z 2z c2 2 2 2 c 2 2 0 uv v uv v 2 u u de donde 2z 0 uv la ecuación anterior se puede resolver directamente integrando primeramente con respecto a u para obtener z (v ) v donde es una función arbitraria de v, integrando de nuevo con respecto a v z (v )dv f (u ) haciendo g(v) (v)dv z f (u ) g (v ) donde f y g son funciones arbitrarias. Al sustituir las variables originales x y t z f ( x tc ) g ( x ct ) gráficamente z f ( x tc ) g ( x tc ) De acuerdo a la ecuación diferencial la solución planteada por D’Alembert requiere que las funciones f y g sean funciones continuas y doblemente diferenciables. Por otra parte no quedaba bien claro cómo se determinaban las funciones f y g ante un problema que claramente debía tener una respuesta bien determinada. Página 43 Leonhard Euler (1707 – 1783) matemático suizo, en 1748 con su trabajo “Sur la vibrations des corde”, trató de aclarar estas cuestiones. Presentó otra demostración y determinó f y g supuestas conocidas las condiciones iniciales, posición y velocidad, de la cuerda. Para Euler esta posición y velocidad venían dadas por curvas mecánicas arbitrarias, por ejemplo, la curva inicial podía ser, al pisarla en su punto medio, una línea quebrada. De acuerdo a Euler f y g podían ser funciones continuas pero no necesariamente funciones doblemente diferenciables. El argumento de Euler se basó en el hecho que la cuerda en su punto inicial puede tener la forma que se ilustra a continuación, la función no es diferenciable en el punto x a z f ( x tc ) g ( x tc ) x a A raíz de lo anterior se origino un nuevo problema: ¿Cómo se pueden derivar las funciones discontinuas? En el siglo XIX el énfasis era principalmente darle rigor al análisis y la pregunta de diferenciar una función no diferenciable se consideró sin sentido. Encontramos en textos del cálculo que “las funciones discontinuas no son diferenciables en su punto de discontinuidad”. (Louis Leithold, El cálculo con geometría analítica Pág. 118 4ta. Edición) Página 44 En este siglo (XIX) otro componente extraño hizo su aparición, lo que se conoce actualmente como “la delta de Dirac”. La historia de la función delta de Dirac se remonta a los inicios de los años de 1820, Joseph Bautiste Fourier (1700 -1800) matemático y físico francés en su trabajo en la teoría de conducción del calor “Theorie analitique de la Chaluer” 1822, en conexión con la serie de Fourier para funciones periódicas y de expansión en serie sus trabajos determino que (x) 1 1 cos nx 2 n 1 (x) x 1 sen nx lim n x x R De una manera intuitiva la función delta es introducida en la teoría física en 1828 por el físico inglés George Green (1793 – 1841), quien propuso que la solución de la ecuación de Poisson del 2 ( x ) ( x ) para describir el potencial electrostático ( x ) generado por una distribución de carga ( x ) , se puede obtener por la superposición de los potenciales generados por un grupo de cargas puntuales, es decir que se puede reducir el problema general al problema especial: 2 ( x; a ) ( x a) donde la función delta representa la unidad de carga puntual ubicada en el punto x a naciendo así el teorema de Green para las funciones. Se utiliza aquí la representación actual de la delta de Dirac Página 45 Gustav Robert Kirchhoff (1824 -1887) físico alemán, el fundador de la teoría del circuito eléctrico, introdujo una función en sus conferencias en óptica en los años 1880, para representar el espectro de frecuencias de la radiación del cuerpo negro (un término que introdujo en 1862), sobre el principio de Huygens para la ecuación de ondas esto en el desarrollo de teoría del quantum, introdujo una función auxiliar F tal que F ( x )dx 1 I Llamó a dicha función zeta y propuso como ejemplo F ( x ) lim a 1 F(x) a a2 x 2 e cos( xt )dt 0 notemos que la función que cumpliese dicha condición no era única. En trabajos sobre teoría eléctrica a finales del siglo XIX era frecuente problemas como el siguiente R V A cos( t ) C i (t ) L la ecuación que moldea la corriente i (t ) en el circuito al cerrarse el interruptor en el tiempo t 0 es: Ri (t ) 1 di (t ) i (t )dx L A cos(t ) C dx una ecuación integro-diferencial, para poder resolverla por los métodos de la época se hacía necesario derivarla, pero ocurría un problema, al considerar el voltaje de entrada Página 46 0 V (t ) A cos( t ) t 0 t 0 Como V(t) no es una función es continua, de nuevo surgía el problema de la derivación de funciones discontinuas. Para resolver problemas como el anterior Oliver Heaviside desarrolló, a finales del siglo XIX, un cálculo operacional de difícil justificación matemática, basado en razonamientos experimentales y que alcanzó una gran difusión en el primer tercio del siglo XX. Heaviside definió lo que llamó función escalón unitario a 0 H (t ) 1/ 2 1 t 0 t 0 t 0 función que modelaba el funcionamiento de fenómenos físicos que comienzan en un tiempo t 0 , así mismo en este calculo, la función delta (t ) aparece como función impulso unidad, derivada de la función H (t ) . Lo que propugnaba Heaviside es la validez del teorema fundamental del cálculo x f (x) f '( x )dx , en el caso de H ( x ) , es decir, x H '( x )dx H ( x ) en el caso que x 0 x H '( x )dx 1 de donde H '( x )dx 1 Página 47 Para lo anterior Oliver Heaviside (en 1893) aproximo la función: 0 H ( x ) 1/ 2 1 0x x 0 x 0 mediante diferente funciones diferenciales, una de ellas 1 0 1 1 H(x ) x 2 2 1 x x x Derivando dicha función obtuvo 0 1 H '( x ) 2 0 x x x en el límite cuando 0 0 H '( x ) x 0 x 0 expresión que definió como función impulso unitario x 0 Página 48 Como explica Heaviside: ... Como H ( x ) es 0 antes de x 0 y constante después, H '( x ) es cero, excepto en x 0 , donde es infinita. Pero su suma total es H ( x ) . Esto es, H '( x ) es una función de x enteramente concentrada en x 0 , de suma total 1 ... Otra aproximación a la función de Heaviside que conduce al mismo resultado es H(x ) 1 1 tan1( x ) 2 con 0 En el cálculo de Heaviside la H '( x ) aparecía como un término intermedio en las operaciones, y desaparecía en los resultados finales. Estas fórmulas que carecen de sentido desde el punto de vista del análisis clásico, idealizan la siguiente función para n n yn (x) 0 1 n otro lugar 0x A inicios del siglo XX el Cálculo Operacional de Heaviside fue muy popular en el ámbito físico e ingeniería, y la delta de Dirac muy empleada en especial con la transformada de Laplace, así en 1928 Balthasar van der Pol matemático e ingeniero eléctrico holandés publicó “Symbolic Calculus" tratando de justificar el calculo operacional de Heaviside, y entre otras cosa la de delta de Dirac. Durante mucho tiempo a operaciones que involucraban la delta de Dirac y el cálculo de Heaviside se le conoció como simbólico. Fue Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) físico ingles quien en su trabajo de 1930 "The Principles of Quantum Mechanics", adoptando la definición de Heaviside le dio el nombre de delta por analogía con la delta de Kronecker Página 49 0 ij 1 i j i j ai ij a j i 1 La delta de Kronecker extrae un simple elemento de una suma infinita, la delta de Dirac toma el valor de una función en un punto de una integral. La delta de Kronecker es cero en casi todo valor excepto para un valor donde la delta de Kronecker es 1. La función delta de Dirac es cero en casi todo punto excepto en un punto donde su valor es infinito. Dirac descubrió algunas propiedades de este extraño componente. ( x )dx 1 (x) 0 (1) x0 f ( x ) ( x )dx f (0) (2) ( x ) ( x ) (3) x ( x ) 0 (4) (ax ) (x) dH dx (x) a (5) a0 0 donde H ( x ) 1 0x x 0 (6) Dirac sabía que su función no cumplía con las propiedades básicas de las funciones, y que ninguna función ordinaria puede tener la propiedad de muestreo integral (2). No obstante, pensó en ( x ) como un objeto matemático útil en manipulaciones algebraicas que se puede ver como el límite de una sucesión de funciones ordinarias en acuerdo a la forma como o había visualizado Heaviside. La delta de Dirac es un caso particular en la teoría de distribuciones. Página 50 La delta de Dirac brindaba excelentes resultados para los físicos, la venían utilizando en determinados ámbitos - mecánica cuántica especialmente -, estas ciertas "funciones" que funcionaban muy bien y daban buenos resultados, les eran muy útiles también en teoría de la probabilidad y otras ramas de la matemática y de la física, pero esas "funciones" tenían un pequeño problema: no existían, pues su definición y "comportamiento" era incompatible con las propiedades de las funciones, por lo que era motivo de burla para los matemáticos ya que no existía un soporte teórico que lo sustentara. Sergei Levovich Sobolev (1908–1989) matemático Soviético en 1936 publico su trabajo “Mèthode nouvelle è rèsoudre le problème de Cauchy pour les èquation hyperboliques normales”, trabajo en el cual propone un nuevo método para la resolución del problema de Cauchy para ecuaciones hiperbólicas normales (ecuaciones en derivadas parciales con valor inicial, entre las cuales esta la ecuación de la onda). En dicha publicación Sobolev define lo que se conoce actualmente como los espacios de Sobolev e introduce entre otros los términos funciones de prueba, funcionales lineales, funciones generalizadas, derivada generalizada, solución débil que resultan ser fundamentales en el análisis funcional y de manera especial en la teoría de las distribuciones. Después de varios intentos de diversos matemáticos Laurent Schwartz en 1948 estableció en forma rigurosa las propiedades en su teoría de distribuciones. Laurent Schwartz introduce una ruptura conceptual: La "función" Delta sería un nuevo tipo de objeto, una distribución, es decir, un funcional que asigna a cada función (de determinado tipo) un número real o complejo, con ciertas condiciones de continuidad. Asimismo la teoría de distribuciones resolvía el problema de como derivar funciones discontinuas. Página 51 En el estudio de las ecuaciones diferenciales al momento de tratar la transformada de Laplace surge una función “La delta de Dirac”, que no cumple con las propiedades propias de las funciones y en los libros de texto se aclara “en realidad la delta de Dirac no es una función ordinaria sino una función generalizada o distribución” sin explicar lo que es una función generalizada. “ Dennis Zill, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones pag. 305”. Página 52 Capítulo II LA DELTA DE DIRAC Consideremos una fuerza f ( x ) que actúa solo durante un intervalo de tiempo muy pequeño 0 x a con f ( x ) 0 para todo valor de x fuera del intervalo f (x) a 0 Un ejemplo típico sería la fuerza impulsiva de un bate que golpea una pelota (el impacto es casi instantáneo, en tal situación, a menudo ocurre que el principal efecto de la fuerza depende sólo del valor de la integral a1 I f ( x )dx 0 y no es influenciado por la forma precisa en que varía f ( x ) , el resultado I de la ecuación anterior se define en física como el impulso de la fuerza f ( x ) sobre el intervalo 0 x a . Página 53 En el caso de una fuerza f ( x ) que actúa sobre una partícula que se mueve linealmente, de la segunda ley de Newton (Fuerza=masa*aceleración), y recordando que la aceleración es la razón de cambio de la velocidad v respecto al dv tiempo x f ( x ) m tenemos dx a a I f ( x )dx m 0 0 dv dx mv (a ) dx Vemos que el impulso de la fuerza es igual a la variación del momentum de la partícula. Por eso, si el cambio en el momentum es el único efecto que no interesa, sólo necesitamos conocer el impulso de la fuerza; no necesitamos conocer ni la función precisa f ( x ) ni el lapso exacto durante el cual actúa la fuerza. Esto resulta muy afortunado, dado que en una situación como la correspondiente en poco probable que obtengamos información detallada sobre la fuerza impulsiva que actúa sobre ella. La estrategia para manejar tal situación consiste en formular un modelo matemático razonable donde la fuerza desconocida f ( x ) se sustituya por una fuerza simple y explícita que produzca el mismo impulso. Supóngase, que f ( x ) produce un impulso unitario ( I 1 ) al actuar durante un pequeño intervalo de tiempo comenzando en x 0 , podemos seleccionar un número fijo 0 que se aproxime a la duración de ese lapso y reemplazar a f ( x ) mediante la función específica 1 f ( x) 0 0 x en otro caso En esta función podemos advertir que el impulso de dicha fuerza sobre el intervalo 0 x es 1 I dx 1 0 Página 54 Vemos que la fuerza tiene impulso unitario, cualquiera que sea el valor numérico de 0 . Del cálculo en esencia la función satisface f ( x )dx 1 Y dado que el lapso preciso durante el cual actúa la fuerza f ( x ) no parece ser importante, resulta tentador pensar en un impulso instantáneo que ocurre precisamente en el instante x 0 , podríamos intentar la formulación de un modelo de tal impulso unitario tomando el límite cuando con lo cual definiríamos ( x ) lim f ( x ) 0 x 0 x0 Y en el límite tendríamos ( x )dx 1 Gráficamente 1 Área 1 x Es claro que ninguna función puede satisfacer simultáneamente las ecuaciones anteriores. A pesar de ello el símbolo ( x ) es muy útil, dicha “función” se le denomina función impulso unitario o delta de Dirac. Una forma diferente de ilustrar la delta de Dirac es la siguiente Página 55 Consideremos la función 0 x 1 1 f1( x ) 0 otro valor de x notemos que dicha función satisface 0 1 f1( x )dx (0)dx (1)dx (0)dx 1 0 1 1 x 1 Consideremos la función 2 0 x 1/ 2 f2 ( x ) 0 otro valor de x Al igual que la función anterior notemos que dicha función satisface 0 1/ 2 f2 ( x )dx (0)dx (2)dx (0)dx 1 0 1/ 2 2 1/2 Página 56 x 0 x 1/ 3 3 Consideremos la función f3 ( x ) 0 otro valor de x 3 x 1/3 notemos que dicha función satisface 0 f3 ( x )dx 1/ 3 (0)dx (3)dx 0 (0)dx 1 1/ 3 Consideremos la función 0 x 1/ n n fn ( x ) 0 otro valor de x notemos que dicha función satisface 0 f1( x )dx 1/ n (0)dx (n )dx 0 (0)dx 1 1/ n En el caso particular cuando n (n tiende a infinito positivo) tendríamos que x 0 lim fn ( x ) n 0 x0 La función satisface 0 0 fn ( x )dx (0)dx ( )dx (0)dx 1 0 Página 57 0 n x 1/n Lo anterior parece ser una aberración matemáticamente hablando ya que de 0 acuerdo al cálculo integral ()dx carece de sentido bajo cualquier punto de 0 vista. La expresión lim fn ( x ) es la llamada delta de Dirac ya que satisface n x 0 (x) 0 x0 ( x )dx 1 la delta presenta aparentes inconsistencias desde el punto matemático formalmente hablando. Aplicaciones Introductorias Notemos que la delta toma valores sumamente grandes ( ) en un intervalo sumamente pequeño (un punto). Página 58 En el campo de la física e ingeniería esta propiedad permite modelar diferentes fenómenos de forma satisfactoria entre los que se tienen: La presión en un punto; la presión sobre una región se define como la fuerza F F sobre el área A P , en el caso especial que la región se hace cada vez A menor esta se reduce a un punto y su área de la región se acerca a cero, la presión es P F sí: 0 en el punto en que es aplicada la fuerza P 0 otro punto Considerando la fuerza aplicada en un punto de una viga tendríamos F x x0 x x0 P ( x x0 ) 0 xx 0 La delta de Dirac nos modela la presión originada al aplicar una fuerza sobre un punto Cuando una fuerza F (t ) 0 es aplicada durante un intervalo de tiempo “ t ” el t impulso I es I F (t )dt , (desde un punto de vista matemático el área bajo la 0 fuerza F (t ) 0 con respecto al tiempo t . Página 59 Si el intervalo sobre el cual es aplicada dicha fuerza es muy pequeño tendríamos 0 que I F (t )dt 0 lo que ser parece contradictorio. La fuerza F (t ) 0 toma 0 valores sumamente grandes en comparación al intervalo sobre el cual es aplicado y normalizando el impulso I 1 ,parece razonable considerar el t I F (t )dt 0 (t )dt 1 F (t ) t Ejemplos típicos son el golpe de un martillo, una pelota de golf inicialmente en reposo es enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia por un palo de golf, en cada caso la fuerza aplicada es sumamente alta en comparación en tiempo de contacto t 0 por lo que la delta de Dirac nos puede modelar en forma satisfactoria el impulso. Generalmente el voltaje de una línea de alta tensión se asume constante, si esta recibe la descarga de un rayo en el instante de dicha descarga (típicamente milisegundos) el voltaje de la línea se incrementa notablemente Página 60 V (t ) V t t0 Ya que la descarga ocurre en un lapso corto de tiempo y el voltaje de la descarga del rayo es sumamente alto la ecuación que puede modelar dicha descarga es en el momento de la descarga V (t ) V otro punto Es decir t t0 V (t ) V t t 0 Si hacemos uso de la delta de Dirac V (t ) V (t t0 ) Los anteriores solo son algunos casos en los cuales la delta de Dirac nos modela algún fenómeno físico. En la solución de ecuaciones diferenciales parciales, en el uso de técnicas de análisis de Fourier de tiempo continuo ampliamente útiles para analizar y conocer las propiedades de la señales y sistemas de tiempo continuo, en la teoría de filtrado y modulación base fundamentales de la teoría de comunicaciones se hace necesario un manejo adecuado de la delta de Dirac en particular y las funciones generalizadas en general. Página 61 La delta de Dirac ( x a ) aparece y se define en cursos de física e ingeniería como "un impulso concentrado en x a ", la definición informal que aparece en algunos textos es la siguiente: 0 ( x a) x0 x 0 ( x a)dx 1 Bajo la definición anterior tendríamos que 0 5 ( x a ) x0 x 0 De donde aparentemente 5 ( x a ) ( x a ) lo cual no es cierto desde el punto de vista físico ya que no es igual un impulso de cinco unidades a un impulso de una unidad. La definición anterior es inconsistente con la teoría de integración, ya que si una función se anula en todo R a excepción de un punto, su integral vale cero. Por lo que si ( x a ) fuera una función en el sentido usual, de las propiedades del cálculo la propiedad ( x a ) 0 x a xa implicaría que ( x a)dx 0 en vez de ( x a)dx 1. Vemos de lo anterior que la delta de Dirac no se comporta como una función ordinaria de una variable real x . En la resolución de problemas concretos de física e ingeniería, la delta de Dirac aparece en expresiones como Página 62 f ( x ) ( x a)dx f (a ) llamándola propiedad de muestreo integral o de cribado. ¿Porqué la inconsistencia de la delta de Dirac con las funciones ordinarias?. El punto a adoptar en la integral anterior es de una notación para expresar el hecho de que la delta de Dirac opera o actúa sobre f ( x ) . A través del símbolo de integración la función generalizada delta de Dirac ( x a ) asocia a cada función f ( x ) , continua en algún intervalo que contiene al punto a, el valor numérico de f (a ) , por lo que debemos tener presente que ( x a ) no se puede evaluar en puntos x R sino en funciones f ( x ) . La delta de Dirac como límite Se puede reconocer que una función ordinaria no puede tener la propiedad de muestreo integral, sin embargo podemos pensar en la delta como una herramienta matemática útil con manipulaciones algebraicas que se podía ser vista como una el límite de una sucesión de funciones ordinarias. Teorema. Sea el punto a I , con I un intervalo abierto sobre la recta real y C(I ) el espacio de las funciones continuas sobre I, la sucesión de funciones positivas fn ( x ) tales que fn ( x )dx 1 para todo n, converge si para cualquier C(I ) se tiene que lim n fn ( x ) ( x )dx (a) Página 63 Demostración: Como la función es continua en a, sabemos que para todo 0 existe un N 0 tal que si n N y x (a 1/ n, a 1/ n ) entonces (a ) ( x ) (a ) . Cuando n N tenemos que: (a ) ( x ) (a ) fn ( x ) (a ) fn ( x ) ( x ) fn ( x ) (a ) (a ) fn ( x )dx fn ( x ) ( x )dx (a ) fn ( x )dx (a ) fn ( x ) ( x )dx (a) fn ( x ) ( x )dx (a) así fn ( x ) ( x )dx (a) encontramos que lim n fn ( x ) ( x )dx (a) Que es la propiedad de muestreo integral. Como lo anterior se cumple para toda función C(I ) , podemos decir que la sucesión de funciones fn ( x ) es convergente. La función a la a cual converge esta sucesión se dice que es la delta de Dirac, y se denota lim fn ( x ) ( x a ) n Una de las más comunes y que nos permite tener una idea de la delta de Dirac es la siguiente sucesión de funciones 0 fn ( x ) n / 2 x 1/ n x 1/ n Página 64 Gráficamente Las funciones de la sucesión son positivas, además 1/ n n dx 1 para todo n N , 2 1/ n fn ( x )dx de acuerdo al teorema anterior la sucesión es convergente a la delta de Dirac, es decir lim fn ( x ) ( x ) n Otra forma de ilustrar la delta de Dirac mediante límite de sucesión de funciones es la siguiente. Teorema Sea la función f : R R con f ( x ) acotada e integrable suave a trozos y f ( x )dx 1. Sea ( x ) una función continua y acotada definida en R. Entonces: lim n nf (nx ) ( x )dx (0) Página 65 Demostración: Haciendo el cambio de variable u nx , du ndx obtenemos nf (nx ) ( x )dx f (u ) (u / n )du como es continua, tenemos que para u fijo: lim f (u ) (u / n ) f (u ) (0) n Por otro lado es acotada, esto es, x R, ( x ) k entonces f (u ) (u / n ) k f (u ) aplicando el teorema de convergencia tenemos que; lim n nf (nx ) ( x )dx lim n f (u ) (u / n)du f (u ) (u / n )du nlim f (u ) (0)du (0) f (u )du (0) Que es la propiedad de muestreo integral o cribado en el punto x 0 . El teorema anterior nos proporciona la condición que deben cumplir aquellas sucesiones de funciones que convergen a la delta de Dirac. Ilustración: Consideremos la función f ( x ) 1 esta función cumple con (1 x 2 ) f ( x )dx dx (1 x 2 ) 1 Página 66 el teorema anterior nos garantiza que la sucesión de funciones fn ( x ) nf (nx ) n (1 n 2 x 2 ) converge a la delta de Dirac. Si pensamos en estas funciones actuando sobre el espacio de funciones ( x ) continuas, acotadas y definidas en R, la expresión n (x) n (1 n 2 x 2 ) lim en realidad dice que: lim n ( x )dx (0) ( x ) ( x )dx n (1 n 2 x 2 ) para el espacio de las funciones : R R Gráficamente la sucesión es de la forma Página 67 De todo lo anterior expuesto podemos extraer que existen sucesiones de funciones muy distintas que aproximan, en el límite, a la misma función delta de Dirac, los pulsos rectangulares y las funciones n /( (1 n 2 x 2 )) no se parecen mucho, pero sin embargo, ambas sucesiones se aproximan a la delta cuando n . Otros límites de funciones de dominio real que convergen a la delta de Dirac son; 2 0 ( x 2 ) lim x lim 1 0 x2 n n x e n 2 lim 1 lim e 4 0 2 Página 68 sin((n 1/ 2)x ) n 2 sin( x / 2) sin(nx ) n x lim lim n n 2cosh2 ( nx ) lim lim log( coth(nx ) ) n Página 69 Capítulo III SOPORTE COMPACTO Sea : R R e I el conjunto de puntos en R para los cuales es distinta de cero. A la clausura de I, esto es el conjunto cerrado más pequeño que contiene a I, lo llamaremos el soporte de , y escribimos sop( ) I , Si I está contenido en un intervalo de longitud finita se dice que I es acotado y en este caso que el soporte de es compacto (por ser acotado y cerrado). El soporte compacto de una función es un intervalo cerrado a, b , tal que fuera de el la función se desvanece es decir ( x ) 0 para x a y x b . Toda función con soporte compacto satisface ( ) ( ) 0 El espacio de las funciones continuas con soporte compacto lo representaremos por C0 . Un ejemplo clásico y muy ilustrativo es el siguiente: Página 70 0 ( x ) exp 1 1 x 2 x 1 x 1 cuya gráfica se muestra a continuación la función se anula para x 1, por lo que el soporte compacto de esta función es el intervalo acotado 1 x 1 . Las siguientes funciones no tienen soporte compacto ( x ) e x 2 ( x ) e x pesar que cumplen ( ) ( ) 0 FUNCIONES DE PRUEBA Diremos que una función real ( x ) : R R es una función de prueba si: Es continua e infinitamente derivable Tiene soporte compacto Página 71 a La función considerada previamente es derivable para x 1 puesto que es idénticamente nula Para x 1 al ser la función exponencial la función es infinitamente derivable. 1 Para x 1 la derivada existe gracias al decaimiento exponencial de exp 1 x2 que converge más rápido a cero que cualquier polinomio. Operaciones de las funciones de prueba 1. Suma Si ( x ) y ( x ) son funciones de prueba entonces ( x ) ( x ) es una función de prueba. Demostración: Si ( x ) y ( x ) son funciones de prueba, ambas funciones son infinitamente diferenciables, de acuerdo a las propiedades del cálculo diferencial, la derivada de la suma de dos funciones es la suma de sus derivadas si estas existen, la suma ( x ) ( x ) será infinitamente diferenciable. Así mismo al ser ( x ) y ( x ) funciones de prueba, ambas funciones tienen soporte compacto, es decir se desvanecen fuera de algún intervalo cerrado. Sea la función ( x ) con soporte compacto A (se desvanece fuera de A) ( x ) 0 ( x ) 0 ( x ) 0 AC A AC Así mismo consideremos a ( x ) con soporte compacto B. (x) 0 (x) 0 (x) 0 BC B BC Página 72 Consideremos los diferentes casos que se nos pueden presentar Sea el punto ( x ) 0 x y ( x ) 0 , en este caso tenemos ( x ) ( x ) ( x ) , función que se desvanece fuera de A, así sop( ) A . Sea el punto x tal que ( x ) 0 y ( x ) 0 , en este caso tenemos ( x ) ( x ) ( x ) que se desvanece fuera de B, así sop( ) B . Finalmente consideremos el caso en que para el punto x (x) 0 es decir x AC y ( x ) 0 x BC , es claro que ( x ) ( x ) 0 y para C x AC BC A B , por lo que la suma de las funciones se desvanece fuera de la unión de sus soportes compactos, sop( ) ( A B ) . Vemos que independientemente del caso que se nos presente la suma siempre tiene soporte compacto, tomando en cuenta la teoría de conjuntos que nos dice que A ( A B ) y B ( A B ) escribimos sop( ) sop( ) sop( ) 2. Multiplicación por una función infinitamente diferenciable Sea ( x ) una función de prueba con sop( ) A , si h( x ) es infinitamente diferenciable en A, entonces h( x ) ( x ) es una función de prueba. Demostración: El producto de funciones h( x ) ( x ) debe ser infinitamente diferenciable, recurriendo de nuevo a las propiedades del cálculo diferencial, la formula de la ene-sima derivada de un producto de funciones de Leibniz nos dice que: Página 73 (n ) h( x ) ( x ) n n h( n k ) ( x ) ( k ) ( x ) k 1 k n n! donde si estas derivadas existen k (n k )! k ! En nuestro caso estas derivadas existen ya que por hipótesis h( x ) es infinitamente diferenciable en A y ( x ) al ser función de prueba es también infinitamente diferenciable. Verificaremos ahora que h( x ) ( x ) tiene soporte compacto Consideremos el punto x AC , aquí tenemos que ( x ) 0 de donde h( x ) ( x ) 0 , Vemos que el producto se desvanece en AC , podemos entonces escribir sop(h ) A o bien sop(h ) sop( ) ( x) 0 h( x ) ( x ) 0 AC ( x ) 0 A ( x) 0 h( x ) ( x ) 0 AC Consideremos el caso especial en que h( x ) con R , que es infinitamente diferenciable h( n ) 0 , el producto ( x ) es una función de prueba. Teorema El conjunto de las funciones de prueba es un espacio vectorial, a dicho espacio le llamaremos espacio K y escribimos K C0 Página 74 Demostración De las propiedades anteriores podemos ver que la suma de funciones de prueba es una función de prueba, además el producto de una función de prueba por una constante sigue siendo función de prueba, de allí que cualquier combinación lineal de funciones de prueba sea una función de prueba entonces ( x ) ( x ) es una función de prueba. Se cumplen en general ( x) (x ) ( x ) (x ) ( x ), ( x ) K ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) 0 K (x ) K 1 ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) 0 ( x ) (x ) 0 ( x ), ( x ), ( x ) K (x) K ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) 0 (x) K (x) K , R R (x) K ( x ), ( x ) K , R ( x ) K Derivación Sea ( x ) K una función de prueba, su derivada ' x también es función de prueba. Demostración: Al ser ( x ) función de prueba, ( x ) es infinitamente diferenciable y con soporte compacto, es decir se desvanece fuera de algún intervalo cerrado. Sea la función ( x ) '( x ) la derivada de orden n de ( x ) será igual a la derivada de orden (n-1) de ( x ) , es decir ( n 1) ( x ) ( n ) ( x ) por lo que al ser ( x ) infinitamente diferenciable la también lo será ( x ) . Página 75 Para verificar que ( x ) tiene soporte compacto, recordemos que la derivada en un punto a esta dada por ( x ) (a ) x a x a ( x ) '( x ) lim Al ser ( x ) función de prueba tiene soporte compacto, sea sop( ) A es decir ( x ) 0 para todo x AC , consideremos el punto a AC , entonces, (a) 0 , así 00 0 x a x a ( x ) '( x ) lim por lo que ( x ) se desvanece fuera de A, entonces sop( ) A intuitivamente ( x) 0 '( x ) 0 AC ( x ) 0 ( x) 0 '( x ) 0 A AC Integración Sea '( x ) ( x ) con ( x ) K , demuestre que ( x ) es función de prueba si ( x )dx 0 Demostración Si '( x ) ( x ) , del calculo integral tendríamos que x ( x ) (t )dt ( ) (t )dt '(t )dt 0 Página 76 x Notemos que la función ( x ) (t )dt es infinitamente derivable ya que '( x ) ( x ) ''( x ) '( x ) ( n 1) ( x ) ( n ) ( x ) Verifiquemos ahora que ( x ) tiene soporte compacto Sabemos que ( x ) es de soporte compacto si existe un intervalo cerrado a, b tal que ( x ) 0 para todo x , recordemos además que ( x ) debe satisfacer (t )dt 0 (x) 0 (x) 0 a (x) 0 b x Es claro que si ( x) x a (t )dt 0 a x b (t )dt (t )dt (t )dt (t )dt (t )dt 0 de Si a x b a x donde x b (t )dt (t )dt 0 a x b (t )dt 0 notemos que si x b a Si xb a b (t )dt (t )dt (t )dt (t )dt 0 a Página 77 b b resumiendo (x) 0 (x) 0 (x) 0 x x x (t )dt 0 (t )dt 0 (t )dt 0 a b x ( x ) (t )dt tiene soporte compacto x Por lo que la función ( x ) (t )dt es función de prueba si (t )dt 0 Mencionáremos algunos métodos por medio del cual podemos obtener funciones de prueba, si conocemos una de ellas. Cambio de escala: x Si ( x ) es una función de prueba y a R entonces es función de prueba. a Demostración: De las propiedades del cálculo diferencial aplicando la regla de la cadena haciendo u x x , tenemos (u ) a a de donde x d ( n ) n (n) a d (u ) . du dx n du n dx 1 d ( n ) (u ) an du n x de donde es infinitamente diferenciable a Página 78 Para verificar que tiene soporte compacto, consideremos que la función ( x ) tiene soporte compacto el intervalo A c, d , la función se desvanece fuera de un intervalo cerrado: ( x ) 0 para xc ó x d gráficamente para a 0 ( x ) 0 AC ( x ) 0 A c ( x ) 0 AC d de donde x 0 para a x 0 a BC x c a x 0 a ac B x d a ó x 0 a ad BC x existe un intervalo B fuera del cual se desvanece, por lo que es de soporte a compacto. x Para a 0 el soporte de es el intervalo ad , ac a Traslación Si ( x ) es una función de prueba y a R x a es función de prueba Demostración: Similar al caso anterior, del cálculo diferencial aplicando la regla de la cadena haciendo u x a de donde Página 79 d ( n ) x a dx n n d ( n ) (u ) du d ( n ) (u ) . du n dx du n de donde x a es infinitamente diferenciable Para verificar que tiene soporte compacto, consideremos que la función ( x ) tiene soporte compacto el intervalo A c, d , la función se desvanece fuera de un intervalo cerrado: ( x ) 0 para x a 0 para xc x a c ó x d ó x a d gráficamente ( x ) 0 ( x ) 0 ( x ) 0 AC A AC c d x a 0 x a 0 x a 0 DC c+a D DC d+a existe un intervalo D fuera del cual x a se desvanece, por lo que es de soporte compacto. El soporte de la función x a es el intervalo c a, d a Ejemplos de funciones de prueba ( x) e ( x ) e ( x) e a2 a x 2 1 ( x a )2 2 para x a, a 0, ( x ) 0 para x a e 1 1 x b e a x 1 ( x b )2 para a x b, ( x ) 0 para x (a, b ) para a x b, ( x ) 0 para x ( a, b) Página 80 Convergencia en K Sea n ( x ) una sucesión de funciones de prueba en K, y ( x ) K , diremos que tal sucesión converge en K si: Existe un intervalo finito A a, b fuera del cual se anulan idénticamente todas las funciones n ( x ) , existe un conjunto compacto A tal que sop n ( x ) A para todo n. Para todo k entero, la sucesión de derivadas de orden k, converge uniformemente en K a la derivada de ( k ) ( x ) del límite lo que nos dice la definición anterior es 1( x ) 0 1( x ) 0 1( x ) 0 2 ( x ) 0 n ( x ) 0 2 ( x ) 0 n ( x ) 0 2 ( x ) 0 n ( x ) 0 ( x ) 0 ¿ ( x ) 0 ? ( x ) 0 a b Si la sucesión n ( x ) converge a ( x ) entonces La sucesión 'n ( x ) debe converger uniformemente a '( x ) La sucesión ''n ( x ) debe converger uniformemente a ''( x ) La sucesión debe converger uniformemente a (q ) n ( x) (q ) (x) Ilustración 1: Si consideramos la función n ( x ) e a2 a2 x 2 n para x a, a 0 Página 81 (k ) n ( x) Toda función de la sucesión es infinitamente diferenciable y tiene soporte a, a Cuando n tenemos que lim e a2 a x 2 2 n n =0 , la sucesión converge a 0 en K Ilustración 2: Consideremos la sucesión n ( x ) e n2 n2 x2 para x n Cada función de la sucesión es infinitamente diferenciable y tiene soporte n, n pero cuando n el soporte no es finito, por tanto la sucesión no converge en K Ilustración 3: Demuestre que K es completo bajo la convergencia definida en el espacio, Ser completo aquí significa lo siguiente: Si 1, 2 ,..., n ,... es una sucesión de funciones de prueba comprendidas en un mismo intervalo a, b y la sucesión de las derivadas n( q ) ( x ) convergen uniformemente al limite para q (x) cada q 0,1,2,... entonces lim n ( x ) 0 ( x ) es una función de prueba, q ( x ) 0(q ) ( x ) y la sucesión n n ( x ) converge a 0 ( x ) en K. Solución: Por hipótesis tenemos las siguientes sucesiones de funciones de prueba i( q ) ( x ) tal que sop i( q ) ( x ) A , con A a, b conjunto compacto, con sus respectivas convergencias de la forma: en el caso en que q 0 1( x ), 2 ( x ),..., n ( x ),... 0 ( x ) '1( x ), '2 ( x ),..., 'n ( x ),... 1( x ) '0 cuando q 1 ''1( x ), ''2 ( x ),..., ''n ( x ),... '1( x ) ''0 cuando q 2 ( q )1( x ), (q )2 ( x ),..., (q )n ( x ),... ( q )1( x ) ( q )0 Página 82 para q en general Comprobemos ahora que 0 ( x ) lim v ( x ) es una función de prueba. v Notemos que 0 ( x ) es infinitamente derivable Tenemos que si la sucesión sop n ( x ) A su ( x ) n tiene soporte compacto convergencia 0(x) satisface sop 0 ( x ) sop n ( x ) , de donde vemos que sop 0 ( x ) A Por lo que podemos concluir que 0 ( x ) lim n ( x ) es una función de prueba. n FUNCIONAL Sea el espacio vectorial X , a todo mapeo o transformación de X en R lo llamaremos funcional, y escribimos F : X R . Ilustraciones: Sea el espacio vectorial X R3 , el producto interior entre dos vectores u (u x , uy ,uz ) v (v x ,v y ,v z ) u.v u,v u xv x u y v y uzv z El producto interior es un funcional ya que su dominio es un espacio vectorial, en este caso R 3 , y los elemento del rango los números reales. F : R3 R Sea X el espacio vectorial de las funciones reales diferenciables en R sea F g ( x ) g '(a ) para a R La expresión anterior es un funcional Sea X C 0,1 el espacio vectorial de las funciones reales continuas sobre el 1 intervalo 0,1 y sea F g ( x ) g ( x )dx en este caso 0 1 1 F x x n dx n 1 0 n 1 F sen x sen xdx 1 cos1 0 Página 83 Observemos que una funcional no puede ser definido para toda las funciones, por ejemplo el funcional anterior puede ser aplicado únicamente a funciones g ( x ) que sean integrables en el intervalo 0,1 . Junto con el funcional se debe de especificar siempre el espacio de funciones para que el funcional este bien definido, funciones de este espacio son conocidas como “funciones base” para un funcional dado. Es conveniente escoger el espacio de funciones base adecuadamente de forma tal que todas las funcionales con que se trabaja estén bien definidas. Funcional lineal Sea el espacio vectorial X tal que u,v X , y a, b R , si el funcional de X en R ( F : X R ) satisface F (au bv ) aF (u ) bF (v ) diremos entonces que F es lineal. Ilustraciones: Consideremos el espacio vectorial X R3 , sea u un vector fijo en X definamos el funcional F : X R F (v ) u.v (producto interno de u y v ) para v ,w X y a, b R tenemos que F (av bw ) u.(av bw ) au.v bu.w aF (v ) bF (w ) por lo que el funcional es lineal. Sea X C (I ) el espacio vectorial de funciones f ( x ) continuas sobre un intervalo I , sea c I definamos el funcional F : X R F f ( x ) f (c ) El valor del funcional F sobre una función f ( x ) X es f (c ) Página 84 Sean las funciones h( x ), g ( x ) X , y a, b R tenemos que F ah( x ) bg ( x ) ah(c ) bg (c ) aF h( x ) bF g ( x ) por lo que el funcional es lineal. Sea X C (I ) el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo 0,1 , definamos el funcional F : X R 1 F f ( x ) f 2 ( x )dx 0 Sean las funciones h( x ), g ( x ) X , y a, b R tenemos que 1 2 F ah( x ) bg ( x ) ah( x ) bg ( x ) dx 0 1 a 2 h 1 2 ( x )dx 2ab h( x )g ( x )dx b 0 0 1 2 g 2 ( x )dx 0 aF h( x ) bF g ( x ) El funcional no es lineal. Funcional continuo Un funcional F : X R funciones fn ( x )nN se dice que es continuo si existe una sucesión de en X tal que fn ( x ) f ( x ) en X cuando n tenemos F fn ( x ) F f ( x ) en R. Muchas veces se usa el criterio de decir que F es continua en X, si para toda fn ( x )nN convergente a 0 en X y la correspondiente sucesión F fn ( x ) nN números reales converge a 0. Página 85 de FUNCIÓN GENERALIZADA Sea K el espacio de funciones de prueba ( x ) con soporte compacto el intervalo I a, b , a todo funcional lineal y continuo F : K R F ( x ) le llamaremos función generalizada o distribución. Distribución regular Observemos que si f ( x ) es una función de dominio real localmente integrable en un intervalo finito I genera una función generalizada, diremos en este caso que la a dicha función generalizada o distribución regular al funcional F : K R b F ( x ) f ( x ) ( x )dx f ( x ) ( x )dx a Notemos que la integral por medio de la cual se define el funcional es la definición usual del producto interior de las funciones f ( x ) y ( x ) en el intervalo I a, b , en vista a lo anterior es común hacer uso de la notación F ( x ) f ( x ), ( x ) para representar una distribución. Teorema Toda distribución regular es un funcional lineal y continuo. Demostración: Sean las funciones de prueba ( x ), ( x ) K y lo números a, b R F a ( x ) b ( x ) f ( x ) a ( x ) b ( x ) dx a f ( x ) ( x ) b f ( x ) ( x )dx aF ( x ) bF ( x ) El funcional es lineal Página 86 Verificando la continuidad, Sea la sucesión de funciones de prueba n ( x ) convergente uniformemente a ( x ) es decir n ( x ) ( x ) independientemente del valor de x, para que el funcional sea continuo en K, es necesario que cuando n F n ( x ) F ( x ) en R F n ( x ) F ( x ) f ( x ) n ( x ) f ( x ) ( x ) dx f ( x ) n ( x ) ( x ) dx f ( x ) dx 0 ya que por hipótesis f ( x ) es localmente integrable, la integral f ( x ) dx es finita así el último término converge a cero por lo que el funcional es continuo. Dos distribuciones regulares F ( x ) y G ( x ) diremos que son: Iguales si los valores de los funcionales correspondientes coinciden para toda función de prueba ( x ) K f ( x ), ( x ) g ( x ), ( x ) Distintas si los valores de los funcionales correspondientes son diferentes para al menos una función de prueba ( x ) K f ( x ), ( x ) g ( x ), ( x ) Página 87 Teorema Sean las funciones f ( x ) y g ( x ) localmente integrables y f ( x ) ( x )dx f ( x ), ( x ) g ( x ), ( x ) g( x ) ( x )dx para toda función de prueba ( x ) K , entonces f ( x ) g ( x ) Demostración: Sea h( x ) f ( x ) g ( x ) , calculando el funcional asociado a la función h( x ), ( x ) h( x ) ( x )dx f ( x ) g ( x ) ( x )dx 0 de donde h( x ) 0 , si f ( x ) g ( x ) x consideremos ahora si sop ( x ) a, b y sea H ( x ) h(t )dt b h( x ), ( x ) h( x ) ( x )dx a u (x) integrando por partes haciendo: dv h( x )dx x du '( x )dx tenemos que v H(x) h(t )dt b así h( x ), ( x ) H (b ) '(b ) H (a ) '(a) H ( x ) '( x )dx a pero '(b ) '(a ) 0 y h( x ), ( x ) 0 por tanto H ( x ) '( x )dx 0 además de donde H ( x ) 0 y así h( x ) 0 Página 88 Un tipo de funciones especiales son aquellas que cambian bruscamente su valor, o el de su derivada, este tipo de funciones son muy importantes en el mundo de la física, ingeniería y matemática recibiendo el nombre de funciones singulares, las matemáticas para estas funciones son especiales, de ahí su nombre. Una función singular no necesariamente es una función discontinua, puede ser continua, con discontinuidad en su derivada, entre este tipo de funciones tenemos 1 f (x) n x n N f (x) x f ( x) x 2/ 3 f ( x ) sen x Las funciones singulares no son simples creaciones matemáticas, entes abstractos que sólo existen en el papel, sino que algunas resultan de manera natural en la realidad, en el devenir del mundo científico y su utilización es necesaria para explicar múltiples fenómenos. A menudo nos encontramos en nuestra vida cotidiana con casos y efectos físicos que pueden ser representados muy adecuadamente por estas funciones. Distribuciones Singulares Distribuciones generadas por f ( x ) , con f ( x ) una función singular las llamaremos distribuciones singulares, este tipo de función generalizada no la podemos representar por como F ( x ) f ( x ) ( x )dx Un ejemplo es F ( x ) 1 ( x )dx n x Página 89 Operaciones con funciones generalizadas 1. Suma Sean las distribuciones F : K R y G : K R tales que F ( x ) f ( x ), ( x ) G ( x ) g ( x ), ( x ) entonces su suma es una distribución F G ( x ) F ( x ) G ( x ) Demostración: De acuerdo con la propiedades del producto interior de funciones F G ( x ) f ( x ) g ( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) g ( x ), ( x ) F ( x ) G ( x ) escribimos f ( x ) g ( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) g ( x ), ( x ) 2. Producto por una función infinitamente diferenciable Sea la distribución F ( x ) para ( x ) K y la función g ( x ) infinitamente diferenciable entonces g ( x )F ( x ) F g ( x ) ( x ) Demostración: De Nuevo, haciendo uso de las propiedades del producto interno de funciones Tenemos que F ( x ) f ( x ), ( x ) Así g ( x )F ( x ) g ( x ) f ( x ), ( x ) g ( x )f ( x ), ( x ) f ( x ), g ( x ) ( x ) F g ( x ) ( x ) ya que g ( x ) ( x ) es función de prueba y escribimos f ( x )g ( x ), ( x ) f ( x ), g ( x ) ( x ) Página 90 Recordemos que K es un espacio vectorial determinado por todas las funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto en un intervalo cerrado I a, b (nos referimos al espacio de las funciones de prueba). Definición Al espacio K ' F : (F : K R es un funcional lineal y continuo) se dice que es el espacio dual de K, y lo llamaremos el espacio de Distribuciones. Teorema K ' es Espacio vectorial Demostración: Haciendo uso de las propiedades del producto interno de funciones tenemos 1. f ( x ) g ( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) g ( x ), ( x ) 2. f ( x ) g ( x ) h( x ), ( x ) f ( x ) g ( x ), ( x ) h( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) g ( x ), ( x ) h( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) g ( x ) h( x ), ( x ) f ( x ) g ( x ) h( x ), ( x ) 3. 0, ( x ) 0 f ( x ), ( x ) 0 f ( x ), ( x ) 0 0 K ' 0 f ( x ), ( x ) 0, ( x ) f ( x ), ( x ) 0 f ( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) 4. f ( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) K ' f ( x ) f ( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) 0 Página 91 5. 1 f ( x ), ( x ) 1 f ( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) 6. f ( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) 7. f ( x ) g ( x ), ( x ) f ( x ) g ( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) g ( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) g ( x ), ( x ) 8. f ( x ), ( x ) f ( x ) f ( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) f ( x ), ( x ) por lo que K ' es espacio vectorial Propiedades en K ' 1. Traslación Suponga que f ( x ), ( x ) es una distribución, entonces f ( x a ), ( x ) es también una distribución. Demostración. Sea f ( x ) es una función que genera una distribución de la forma f ( x ), ( x ) para toda función de prueba ( x ) K , deseamos verificar que f ( x a ) genera una distribución, usando de nuevo las propiedades del producto interno de funciones y considerando el funcional f ( x a ), ( x ) haciendo u x a f ( x a ), ( x ) f (u ), (u a ) f ( x ), ( x a ) ya que si ( x ) es función de prueba ( x a) también lo es y escribimos f ( x a ), ( x ) f ( x ), ( x a ) Página 92 2. Rotación o cambio de escala Suponga que f ( x ), ( x ) es una distribución, entonces el funcional definido por f (ax ), ( x ) es también una distribución. Demostración. Sea f ( x ) es una función, deseamos verificar que f (ax ) genera una distribución. x recordando el hecho que si ( x ) es función de prueba con a 0 también lo a es, haciendo u ax f (ax ), ( x ) f (ax ) ( x )dx a 1 u f (u ) du a a a Los límites de la última integral dependen del signo de a: si a 0 1 1 u x f (u ) du f ( x ) dx a a a a 1 x f ( x ), a a en tanto si a 0 lo limites de la integral son 1 1 u u f (u ) du f (u ) du a a a a 1 x f ( x ) dx a a 1 x f ( x ), a a Resumiendo los resultados anteriores para todo valor de a diferente de cero f (ax ), x 1 x f ( x ), a a En este caso haremos uso de la definición debido al cambio de límite que ocurre en la integral para cuando a < 0 Página 93 en el caso especial de a 1 tenemos f ( x ), x f ( x ), x que recibe el nombre de reflexión. La delta de Dirac como una distribución Retomemos la función delta de Dirac definida mediante la relación 0 (x) x 0 x 0 con las propiedades ( x )dx 1 ( x )f ( x )dx f (0) La función delta de Dirac se dice que es una función simbólica ya que puede definir solamente por las propiedades de sus integrales. Si ( x ) es una función de prueba, es decir continúa, infinitamente diferenciable y se anula fuera de algún intervalo finito por definición ( x ) ( x )dx (0) Teorema La delta de Dirac es una distribución o función generalizada singular. Demostración: Recordemos que para que sea distribución debe ser un funcional lineal y continuo: i. Sean , R ( x ), ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) dx ( x ) ( x )dx ( x ) ( x )dx ( x ), ( x ) ( x ), ( x ) por lo que el funcional es lineal. Página 94 ii. Consideremos la sucesión de funciones de prueba n ( x ) convergente a ( x ) en K entonces la sucesión n ( x ) ( x ) converge a 0 en K ( x ),n ( x ) ( x ) ( x ),n ( x ) ( x ), ( x ) n (0) (0) 0 El funcional es continuo, por lo que concluimos que la delta de Dirac es una distribución o función generalizada. Es singular ya que no la genera una función localmente integrable Podemos ver la delta de Dirac como una máquina que opera sobre funciones de prueba para producir el número (0) como resultado. (x ) K ( x ) ( x )dx (0) (x) Muchas veces escribimos ( x ) ( x )dx ( x ), ( x ) (0) Propiedades de la delta de Dirac 1. f ( x ) ( x a)dx f (a) Comprobar Demostración: Partiendo de la definición de la delta de Dirac, Haciendo u x a tenemos du dx así f ( x ) ( x a)dx f (u a) (u )du (u )f (u a)du Página 95 sabemos que ( x )f ( x )dx f (0) por lo que ( x )f ( x a)dx f ( x a) x 0 f (a) Una forma mas elegante y simplificada es hacer uso de las propiedades de las distribuciones (en este caso de la traslación), así tendríamos: ( x a ), ( x ) ( x ), ( x a ) (a ) Escribimos entonces ( x a ), ( x ) (a ) Gráficamente ( x a) f (x) f ( x ) ( x a) f (a ) La delta de Dirac toma el valor de una función en un punto de una integral. De acuerdo a la propiedad anterior tendríamos: 3 x ( x 2)dx 2 3 8 cos( x ) ( x 2 )dx cos(2 ) 1 Página 96 x e ( x 1)dx e 1 e sx ( x )dx e0 1 2. Verificar f ( x ) (ax )dx 1 f (0) a Demostración: Haciendo u ax tenemos du adx o bien 1 du dx a Sí a 0 1 1 1 u x f ( x ) (ax )dx a f a (u )du a f a ( x )dx a f (0) Sí a 0 1 1 1 1 u x f ( x ) (ax )dx a f a (u )du a f a ( x )dx a f (0) a f (0) en general f ( x ) (ax )dx 1 f (0) a Al igual que en el caso anterior podemos hacer uso de las propiedades de las distribuciones para demostrar dicha propiedad (en este caso haremos uso del cambio de escala) f (ax ), x 1 x f ( x ), a a (ax ), ( x ) tendríamos: 1 x ( x ), a a 1 (0) a Ilustrando la propiedad anterior: Página 97 (3x 2 1) (2 x )dx 1 1 3(0)2 1 2 2 1 cos( x ) ( x )dx cos(0) x e ( 4 x )dx 1 1 0 1 e 4 4 3. Si una función g ( x ) es continua en el punto x x0 si a b entonces b a x0 b x0 a ó x0 b g ( x0 ) 0 ( x x0 )g( x )dx a Demostración: Definiendo la función f ( x ) mediante la condición g ( x ) f (x) 0 axb x a ó x b por consiguiente b ( x x0 )g( x )dx a ( x x0 )f ( x )dx f ( x0 ) de esta forma b a x0 b x0 a ó x0 b g ( x0 ) 0 ( x x0 )g( x )dx a b 1 4. Si a b entonces ( x x0 )dx 0 a a x0 b x0 a ó x0 b Demostración: Definamos la función f ( x ) como 1 f (x) 0 b entonces ax b x a ó x b ( x x0 )dx ( x x0 )f ( x )dx f ( x0 ) 1 a Página 98 5. Si una función f ( x ) es continua en x a entonces f ( x ) ( x a) f (a ) ( x a ) , Demostración Como f ( x ) es continua tenemos f ( x ) ( x a)( x )dx ( x a) f ( x ) ( x ) dx f (a ) (a ) f (a ) ( x a ) ( x )dx = f (a) ( x a) ( x )dx puesto que ( x ) es una función de prueba arbitraria, así f ( x ) ( x a) f (a ) ( x a ) De nuevo haciendo uso de las propiedades de las distribuciones, (en este caso de la traslación), así tendríamos: f ( x ) ( x a ), ( x ) f ( x a ) ( x ), ( x a ) ( x ), f ( x a ) ( x a) f (a ) (a ) f (a ) ( x a ), ( x ) f (a ) ( x a ), ( x ) De donde f ( x ) ( x a) f (a ) ( x a ) Si consideramos a 0 entonces f ( x ) ( x ) f (0) ( x ) Ilustrando lo anterior, si f ( x ) x n x n ( x ) 0 6. Comprobar que (ax ) 1 (x) a Demostración De acuerdo a la propiedad del cambio de escala tenemos: Página 99 (ax ), ( x ) de donde (ax ) 1 x ( x ), a a 1 (0) a 1 ( x ), x a (x) , x a 1 (x) a 7. Compruebe que ( x ) ( x ) Demostración Haciendo a 1 en el inciso anterior ( x ) 1 (x) (x) 1 La propiedad anterior nos dice que la delta de Dirac es par 8. Para a, b R entonces ( x b) ( x a)dx (a b) (b a) Demostración: De la propiedad de número 1, con f ( x ) ( x b ) tenemos que ( x b) ( x a)dx (a b) y de la propiedad anterior (a b ) ( b a ) Página 100 De acuerdo a la Serie de Fourier, una función periódica f ( x ) en un intervalo x puede ser expresada como; f (x) a0 (an cos nx bn sen nx ) 2 n 1 donde a0 1 f ( x )dx an 1 f ( x )cos nxdx bn 1 f ( x )sen nxdx con cambio de escala la serie de Fourier se puede definir para cualquier función periódica de periodo 2T en el intervalo T x T mediante f (x) a0 n x n x (an cos bn sen ) 2 n 1 T T donde T T 1 1 n x a0 f ( x )dx an f ( x )cos dx T T T T T T 1 n x bn f ( x ) sen dx T T T Ilustración: Demuestre que para todo valor numérico de a tal que a se tiene que ( x a) 1 1 cos n( x a ) 2 n 1 Solución a0 1 1 ( x a )dx 1 1 an ( x a)cos nxdx cos na 1 1 bn f ( x ) sen nxdx sen na así Página 101 1 1 ( x a) (cos na cos nx sennasennx ) 2 n 1 1 1 cos n( x a ) 2 n 1 en el caso particular que a 0 tenemos que (x) Consideremos la función f ( x ) 1 1 cos nx 2 n 1 1 cuya gráfica es de la forma x 1 Una integral como f ( x )dx no esta bien definida ya que la función tiene una 1 singularidad en x 0 , sin embargo, debería ser nula simplemente por paridad. Para conciliar este hecho podemos entender este tipo de integrales en intervalos simétricos en torno a la singularidad ( x 0 en este caso) de la siguiente manera Valor principal de Cauchy Si la función f ( x ) tiene una singularidad en el punto x a , la integral Página 102 f ( x )dx x a existe para todo 0 , y si el límite lim 0 f ( x )dx x a existe, llamaremos Valor Principal de Cauchy o Valor Principal de la Integral a dicho límite y escribimos vp f ( x ) lim 0 Consideremos la función f ( x ) f ( x )dx x a 1 , obteniendo su valor principal en 1,1 : x 1 dx 1 dx dx lim 0 0 x x x 1 1 vp dx dx dx En general tenemos que vp lim 0 x 0 x x La función f ( x ) 1 no define una distribución regular pues no es localmente x integrable alrededor del punto x 0 , considerando su valor principal y una función de prueba ( x ) tendríamos 1 ( x ) vp , ( x ) vp dx x x ( x ) ( x ) lim dx dx 0 x x Teorema El valor principal de Cauchy vp 1 es una distribución x Página 103 Demostración: Sea la función de prueba ( x ) diferenciable en x 0 con soporte compacto a, a , escribiendo ( x ) (0) ( x ) (0) 1 ( x ) vp , ( x ) vp dx x x a vp (x ) dx x a a a (0) ( x ) (0) vp dx vp dx x x a a a (0) vp a dx ( x ) (0) dx x vp x a a a La primera integral es nula ya que vp En la segunda integral tenemos dx 0 x a ( x ) (0) '(0) por lo que el término x ( x ) (0) es integrable alrededor de dicho punto y podemos suprimir el valor x principal, así a 1 ( x ) (0) vp , ( x ) dx x x a Una propiedad importante del valor principal es la siguiente: Ilustración: Compruebe que x vp 1 1 x Demostración Sea ( x ) una función de prueba, entonces: Página 104 1 1 x vp , ( x ) vp , x ( x ) x x ( x )dx 1, ( x ) de donde vemos que x vp 1 1 x Página 105 Capítulo IV Consideremos ahora la derivada de una distribución, si un funcional la definimos F : K R sobre K, definida mediante la función f ( x ) diferenciable (en el sentido corriente) por F ( x ) f ( x ), ( x ) f ( x ) ( x )dx parece natural definir su derivada por dF ( x ) dx F ' ( x ) f '( x ), ( x ) f '( x ) ( x )dx Si la función f ( x ) es diferenciable su haciendo uso de la integración primera derivada f '( x ) es continua, por partes en F ' ( x ) dv f '( x )dx F ' ( x ) f '( x ) ( x )dx f ( x ) ( x ) f ( x ) '( x )dx Página 106 con u ( x ) f ( x ) '( x )dx F '( x ) ya que si ( x ) es una función de prueba, tiene soporte compacto y se desvanece fuera de un intervalo finito, es decir ( ) 0 , por lo cual el primer término de la ecuación se anula, obteniendo una expresión en la que no figura la derivada de f ( x ) , y escribimos f '( x ), ( x ) f ( x ), '( x ) Esta nueva funcional es lineal y continua sobre K, ya que si ( x ) es función de prueba, su derivada '( x ) también lo es. Lo anterior sugiere la siguiente definición Derivada Generalizada Llamaremos derivada definida mediante dF de la función generalizada F ( x ) a la funcional dx dF F ' ( x ) F '( x ) dx Función de Heaviside La función escalón unitario o función de Heaviside se define mediante 1 H(x ) 0 x0 x0 Página 107 La función modela idealmente el funcionamiento de un interruptor el cual se cierra en x 0 . Una propiedad importante de la función de Heaviside es con relación a su derivada. Apliquemos la definición para encontrar derivada de H ( x ) : H '( x ), ( x ) H ( x ), '( x ) H ( x ) '( x )dx '( x )dx 0 ( ) (0) (0) utilizando la definición de la delta de Dirac como una distribución H '( x ) ( x )dx (0) ( x ) ( x )dx por lo que la derivada de la función de Heaviside resulta ser: H '( x ) dH ( x ) (x) dx Notemos el hecho que la función de Heaviside es discontinua en x 0 , y en el sentido de las distribuciones la función es diferenciable en dicho punto, este tipo de derivada es la que conoceremos como derivada generalizada y en este caso su derivada es la delta de Dirac, escribimos ( x ) H 'gen ( x ) 0 x 0 x0 Si bien la delta de Dirac ( x ) nos indica la existencia de discontinuidad, puede servirnos también para indicarnos que tan precipitado es el cambio de la función Página 108 en dicho punto, independientemente si la función es continua o no, esto va ser indicado por el orden de la derivada en la cual ( x ) aparezca por primera vez. Consideremos las siguientes funciones: 1 f (x) 0 x 0 x 0 x g( x ) 0 x 0 x 0 x 2 h( x ) 0 x0 x0 Vemos que en la función f ( x ) , la discontinuidad se presenta en el punto x 0 , por lo que la ( x ) aparece en su primera derivada. A diferencia de f ( x ) la función g ( x ) es continua en todos sus puntos, incluido x 0 pero no es diferenciable en éste, por lo cual la ( x ) aparece en su segunda derivada, en tanto h( x ) es continua y diferenciable en todos sus puntos incluso x 0 , y la ( x ) aparece por primera vez en la tercera derivada. Al igual que la delta de Dirac la función de Heaviside se puede definir mediante las propiedades de sus integrales, si ( x ) es una función de prueba entonces H ( x ) ( x )dx ( x )dx 0 La función H ( x a ) nos representa una función de escalonamiento desplazada a la derecha en una cantidad a, y tenemos que H 'gen ( x a ) dH ( x a ) ( x a) dx En general la derivada de una función generalizada se define como otra función generalizada por lo generalmente escribimos F 'gen : K R tal que Página 109 F 'gen ( x ) F '( x ) (x ) K y las derivadas de orden superior F ( n )gen ( x ) (1)n F ( n ) ( x ) ( x ) K Reglas de derivación Teorema Sean las F ( x ),G ( x ) K' y , R , entonces F ( x ) G ( x ) ' F 'gen ( x ) G 'gen ( x ) Demostración Sean los distribuciones F ( x ) f ( x ), ( x ) y G ( x ) g ( x ), ( x ) tenemos que F G ( x ) F ( x ) G ( x ) f ( x ) g ( x ), ( x ) aplicando la formula de la derivada de distribuciones f ( x ) g ( x ) ',( x ) f ( x ) g ( x ), '( x ) f ( x ), '( x ) g ( x ), '( x ) f ( x ), '( x ) g ( x ), '( x ) f 'gen ( x ), ( x ) g 'gen ( x ), ( x ) de donde F ( x ) G ( x ) ' F 'gen ( x ) G 'gen ( x ) Teorema Sea la distribución F ( x ) K' y la función g ( x ) infinitamente diferenciable, entonces g( x )F ( x ) 'gen g ( x )F 'gen ( x ) g '( x )F ( x ) Demostración Sea F ( x ) f ( x ), ( x ) y g ( x ) infinitamente diferenciable recordemos además que Página 110 g ( x )F ( x ) F g ( x ) ( x ) F ' ( x ) F '( x ) aplicando la formula de la derivada de distribuciones g( x )F ( x ) 'gen g( x )F '( x ) f ( x ), g ( x ) '( x ) f ( x ), g ( x ) ( x ) ' g '( x ) ( x ) f ( x ), g ( x ) ( x ) ' f ( x ), g '( x ) ( x ) F g ( x ) '( x ) f 'gen ( x ), g ( x ) ( x ) g '( x )f ( x ), ( x ) g ( x )f 'gen ( x ), ( x ) g '( x )f ( x ), ( x ) g ( x )F 'gen ( x ) g '( x )F ( x ) g ( x )f 'gen ( x ) g '( x )f ( x ), ( x ) Vemos que la fórmula de Leibniz para n 1 sigue siendo válida. Algunas consideraciones importantes de las derivadas generalizadas es el hecho que extensión son las siguientes: 1. Toda distribución tiene derivadas de cualquier orden que son distribuciones 2. Para funciones diferenciales en sentido ordinario la derivada generalizada coincide con la ordinaria 3. Las reglas del cálculo siguen siendo válidas La derivada generalizada de la función de Heaviside nos permite además verificar propiedades importantes de la delta de Dirac al considerar su derivada, consideremos: Página 111 1. Compruebe que ( x 2 a 2 ) ( x a) ( x a) 2a 2a Demostración: De acuerdo a la definición de la función de Heaviside tendríamos 1 H(x a ) 0 2 2 x 2 a2 0 x 2 a2 0 o bien 1 H ( x 2 a2 ) 0 1 0 Si a 0 1 H ( x a ) 0 1 2 2 x 2 a2 x 2 a2 x a x a x a a x a xa Gráficamente a -a H( x 2 a2 ) Vemos que la función es discontinua en los puntos x a y x a , asimismo la podemos expresar como H ( x 2 a2 ) 1 H ( x a) H ( x a) derivando el término anterior y aplicando la regla de la cadena obtenemos 2xH 'gen ( x 2 a 2 ) H 'gen ( x a ) H 'gen ( x a) 2x ( x 2 a2 ) ( x a ) ( x a) Página 112 ( x 2 a2 ) ( x a) ( x a) 2x 2x pero ( x a) ( x a) 2x 2a ( x a) ( x a) 2x 2a por lo que si a 0 ( x 2 a2 ) ( x a) ( x a) 2a 2a consideremos el caso de 1 H (a x ) 0 2 2 a2 x 2 0 a2 x 2 0 1 0 x a x a con a 0 gráficamente tenemos a -a H (a 2 x 2 ) Expresando la función como H (a 2 x 2 ) H ( x a) H ( x a ) y derivando ( 2 x )H 'gen (a2 x 2 ) H 'gen ( x a ) H 'gen ( x a ) 2 x (a 2 x 2 ) ( x a ) ( x a ) (a 2 x 2 ) ( x a) ( x a) 2x 2x Página 113 como antes ( x a) ( x a) 2x 2a ( x a) ( x a) 2x 2a (a 2 x 2 ) ( x a) ( x a) 2a 2a recordando que la delta de Dirac es par (a 2 x 2 ) ( x 2 a 2 ) ( x a ) ( x a) 2a 2a El procedimiento empleado anteriormente se puede extender para cualquier función f ( x ) diferenciable en R, definiendo H f ( x ) y H f ( x ) , sus derivadas nos permitirá encontrar una expresión para f ( x ) . Representación de H f ( x ) es un caso típico 1 H f ( x ) 0 f (x) 0 f (x) 0 Sea f ( x ) a( x r1 )( x r2 )...( x rn ) donde ri san raíces de f ( x ) con r1 r2 ... rn Entonces H f ( x ) toma una de las formas posibles Página 114 H ( x r1 ) H ( x r2 ) ... (1)n H ( x rn ) H f ( x ) n 1 H ( x r1 ) H ( x r2 ) ... (1) H ( x rn ) derivando H f ( x ) obtenemos f '( x )H 'gen f ( x ) H 'gen ( x r1 ) H 'gen ( x r2 ) ... ( 1)n H 'gen ( x rn ) f '( x ) f ( x ) ( x r1 ) ( x r2 ) ... ( 1)n ( x rn ) f ( x ) o bien ( x r1 ) ( x r2 ) ... ( 1)n ( x rn ) f '( x ) n ( x ri ) i 1 f '( ri ) ya que ( x ri ) ( x ri ) f '( x ) f '(ri ) En general f ( x ) ( x xi ) f ( xi ) 0 f '( x i ) Ilustración: Encontremos ( x 3 3 x 2 6 x 8) En este caso f (x ) x3 3x 2 6x 8 con raíces r 2,1,4 f '( x ) 3 x 2 6 x 6 f '( 2) 18 f '(1) 9 f '(4) 18 por lo que ( x 3 3 x 2 6 x 8) 1 1 1 ( x 2) ( x 1) ( x 4) 18 9 18 Página 115 Función signo Una función de mucha aplicación en diferentes áreas de la matemática, física e ingeniería la constituye la llamada función signo definida mediante 1 sgn( x ) 0 1 x0 x 0 x0 Notemos que la función signo podemos expresarla en términos de la función de Heaviside sgn( x ) H ( x ) H ( x ) 2H ( x ) 1 , Notemos que para el punto x 0 la definición y su representación no coinciden, pero para una distribución no se ve afectada. Aplicando las reglas de la derivación , obtenemos sgn'( x ), ( x ) sgn( x ), '( x ) 2H ( x ) 1, '( x ) 2 H ( x ), '( x ) 1, '( x ) 2 H 'gen ( x ), ( x ) 2 ( x ), ( x ) de donde sgn'gen ( x ) 2 ( x ) lo anterior debido a que 1, '( x ) '( x )dx ( ) ( ) 0 Página 116 Consideremos la función f ( x ) x , x R , aplicando la derivada f '( x ), ( x ) f ( x ), '( x ) x '( x )dx 0 x '( x )dx x '( x )dx 0 0 0 x ( x ) ( x )dx x ( x ) ( x )dx 0 0 0 ( x )dx ( x )dx 0 H ( x ), ( x ) H ( x ), ( x ) sgn( x ), ( x ) escribimos entonces x 'gen sgn( x ) Derivando de nuevo y de acuerdo a la derivada de la función signo tendríamos x "gen 2 ( x ) Hasta el momento hemos visto que al derivar funciones que son discontinuas en un punto de acuerdo a las distribuciones en el punto de dicha discontinuidad nos aparece la delta de Dirac. Consideremos la función seccionada (suave a trozos) definida por g ( x ) f (x) h( x ) g( x ) S h( x ) Página 117 x 0 x 0 calculemos su derivada f 'gen ( x ), ( x ) f ( x ), '( x ) 0 h( x ) '( x )dx g ( x ) '( x )dx 0 encontrando la integrales por separado mediante integración por partes 0 0 0 h( x ) '( x )dx h( x )( x ) h '( x ) ( x )dx 0 h(0 ) (0 ) h '( x ) ( x )dx ya que ( ) 0 , así mismo g ( x ) '( x )dx g '( x )( x ) 0 g '( x ) ( x )dx 0 0 g (0 ) (0 ) g '( x ) ( x )dx 0 debido a que ( ) 0 así 0 f '( x ), ( x ) h(0 ) (0 ) h '( x ) ( x )dx g(0 ) (0 ) g '( x ) ( x )dx 0 como ( x ) es continua en todo punto tenemos que (0 ) (0 ) (0) Agrupando tenemos f 'gen ( x ), ( x ) 0 g '( x ) ( x )dx h '( x ) ( x )dx g (0 0 recordando que (0) ( x ) ) h(0 ) (0) y llamando S g (0 ) h(0 ) tenemos que g '( x ) f 'gen ( x ) S ( x ) h '( x ) Página 118 x 0 x 0 x 0 Otra forma de encontrar la derivada generalizada de f ( x ) es haciendo uso de la función de Heaviside, expresando f ( x ) como f ( x ) h( x ) 1 H ( x ) g ( x )H ( x ) derivando de acuerdo a fórmula del producto f 'gen ( x ) h '( x ) 1 H ( x ) h( x )H 'gen ( x ) g '( x )H ( x ) g ( x )H ' gen ( x ) h '( x )1 H ( x ) h( x ) ( x ) g '( x )H ( x ) g ( x ) ( x ) h '( x )1 H ( x ) h(0 ) ( x ) g '( x )H ( x ) g (0 ) ( x ) h '( x )1 H ( x ) g '( x )H ( x ) g (0 ) h(0 ) ( x ) h '( x )1 H ( x ) g '( x )H ( x ) S ( x ) resultado que coincide con el anterior. Ilustración: cos x Consideremos la función f ( x ) 0 x /2 x /2 y calculemos f ''gen ( x ) Como f ( x ) es continua entonces f 'gen ( x ) f ( x ) sen( x ) Tenemos en este caso que f 'gen ( x ) 0 x /2 x /2 Ahora bien la f 'gen ( x ) es discontinua en los puntos x cos x 0 f ''gen ( x ) ( x / 2) ( x / 2) y x así 2 2 x /2 x /2 x / 2 x /2 otro forma es considerar f ( x ) cos( x ) H ( x / 2) H ( x / 2) f 'gen ( x ) sen( x ) H ( x / 2) H ( x / 2) cos( x ) H 'gen ( x / 2) H 'gen ( x / 2) sen( x ) H ( x / 2) H ( x / 2) cos( x ) ( x / 2) ( x / 2) Página 119 sen( x ) H ( x / 2) H ( x / 2) cos( x ) ( x / 2) cos( x ) ( x / 2) sen( x ) H ( x / 2) H ( x / 2) ya que cos( x ) ( x / 2) cos( / 2) ( x / 2) 0 cos( x ) ( x / 2) cos( / 2) ( x / 2) 0 Derivando de nuevo f ''gen ( x ) cos( x ) H ( x / 2) H ( x / 2) sen( x ) H 'gen ( x / 2) H 'gen ( x / 2) cos( x ) H ( x / 2) H ( x / 2) sen( x ) ( x / 2) ( x / 2) cos( x ) H ( x / 2) H ( x / 2) sen( x ) ( x / 2) sen( x ) ( x / 2) cos( x ) H ( x / 2) H ( x / 2) ( x / 2) ( x / 2) ya que sen( x ) ( x / 2) sen( / 2) ( x / 2) ( x / 2) sen( x ) ( x / 2) sen( / 2) ( x / 2) ( x / 2) resultados que coinciden con el anterior Ilustración 2: 0 sea g ( x ) x 3 0 x 1 1 x 3 x 3 0 ( x 1) entonces g 'gen ( x ) 3x2 27 ( x 3) 0 x 1 x 1 1 x 3 x3 x3 Notemos que g ( x ) es diferenciable en el sentido de las distribuciones en todo punto a pesar de ser una función discontinua. Lo anterior lo podemos generalizar para una función con cualquier cantidad de discontinuidades. Página 120 Teorema Sea f ( x ) una función suave a trozos, continua excepto en los puntos n ' a1 a2 ... an , la derivada generalizada de f es fgen ( x ) f '( x ) Sk ( x ak ) k 1 donde f '( x ) sólo se define para R a1, a1,..., an y Sk f (ak ) f (ak ) Demostración a2 a1 an Para demostrar lo anterior apliquemos la función f ( x ) sobre una función de prueba ( x) e integramos por partes en cada intervalo , a1 , a1 , a2 ,..., an , a1 f 'gen ( x ) ( x )dx a2 f ' gen ( x ) ( x )dx a1 f ' gen ( x ) ( x )dx ... f ' gen ( x) ( x)dx an pero cada integral es igual a b b f 'gen ( x ) ( x )dx f ( x) '( x)dx a a f ( x ) ( x ) b xa b f '( x ) ( x )dx a b f (b) (b) f (a ) (a) f '( x ) ( x ) dx a de donde f ' gen ( x) f (a) ( x a ) f (b) ( x b) f '( x ) evaluando cada integral recordando que () 0 y haciendo S k f (ak ) f (ak ) n obtenemos f 'gen ( x) f '( x) S k ( x ak ) k 1 Página 121 Analicemos un caso distinto: Consideremos la función f ( x ) ln x , que no es localmente integrable sobre un intervalo que contenga a x 0 , sabemos además que la derivada ordinaria de esta función es d ln x dx 1 x que no es localmente integrable en x 0 Para una función de prueba ( x ) definamos la distribución singular ln x , ( x ) ln x ( x )dx aplicando la derivada tenemos ln'gen x , ( x ) ln x , '( x ) ln x '( x )dx x lim ln x '( x )dx ln x '( x )dx 0 integrando por partes ( x ) (x ) lim ln x ( x ) ln x ( x ) dx dx 0 x x ( x ) (x ) lim dx dx 0 x x 1 vp , ( x ) x ya que lim ln ( ) ln ( ) lim ln ( ) ( ) 0 0 0 por lo que tenemos que ln'gen x vp Página 122 1 x Otra aplicación de la derivadas generalizada es que nos permite encontrar una expresión para '( x ) '( x ), ( x ) ( x ), '( x ) '(0) La derivada de la delta de Dirac es conocida como Dipolo y tiene diversas aplicaciones en electromagnetismo, en el área de antenas y comunicaciones También nos permite comprobar propiedades adicionales de la delta de Dirac. 1. Comprobar que '( x ) '( x ) Demostración: Sea la función de prueba ( x ) , definiendo ( x ) ( x ) tenemos '( x ) '( x ) '(0) '(0) así '( x ), ( x ) ( x ), '( x ) ( x ), '( x ) ( x ), '( x ) '(0) '( x ), ( x ) o bien '( x ) '( x ) Otra forma de comprobar lo anterior es la siguiente, recordemos que ( x ) ( x ) derivando de donde '( x ) '( x ) '( x ) '( x ) La derivada de la delta de Dirac es impar, una idea de su gráfica es la siguiente. Página 123 2. Verificar que x '( x ) ( x ) Demostración: Sea la función de prueba ( x ) , entonces x '( x ), ( x ) '( x ), x ( x ) ( x ), x ( x ) ' ( x ), ( x ) ( x ), x '( x ) ( x ), ( x ) ( x ), ( x ) ya que ( x ), x '( x ) 0 '(0) 0 de donde x '( x ) ( x ) La propiedad anterior es mas comúnmente escrita como '( x ) 3. Comprobar '( x ) dx Demostración: Del resultado anterior '( x ) dx (x) dx x (x) dx x 1 0 Página 124 (x) x 4. Verificar que x 2 '( x ) 0 Demostración: Procediendo de forma similar al ejemplo 2 x 2 '( x ), ( x ) '( x ), x 2 ( x ) ( x ), x 2 ( x ) ' ( x ),2 x ( x ) x 2 '( x ) ( x ),2 x ( x ) ( x ), x 2 '( x ) 0 lo anterior debido a que ( x ),2 x ( x ) 2(0) (0) 0 ( x ), x 2 '( x ) 02 '(0) 0 Al ser el vp 1 una distribución, esta tendrá derivadas generalizadas, calculando su x derivada: 1 1 vp'gen , ( x ) vp , '( x ) x x lim 0 '( x ) dx x x '( x ) '( x ) lim dx dx 0 x x integrando por partes haciendo u 1 dv '( x )dx tenemos x ( ) ( x ) ( ) (x ) 1 2 dx 2 dx vp'gen , ( x ) lim 0 x x x ( x ) (x ) 2 (0) lim 2 dx 2 dx 0 x x Página 125 considerando que lim ( ) lim ( ) (0) ya que ( x ) es continua en todo 0 0 punto. El límite se conoce como parte finita de la integral, y es la distribución generada por f ( x ) 1 , así de donde x2 1 1 vp'gen pf 2 x x De manera similar a como se a definido la derivada de una distribución se definen las derivada de orden superior F ( n ) ( x ) f ( n ) ( x ), ( x ) f (n) ( x ) ( x )dx Integrando por pares n veces obtendríamos F ( n ) ( x ) (1)n F ( n ) ( x ) Al ser la función de prueba ( x ) infinitamente derivable, podemos entonces encontrar la derivada de cualquier orden de la delta de Dirac. ( n ) ( x ), ( x ) (1)n ( x ), ( n ) ( x ) ( 1)n ( n ) (0) Ilustración Demostrar que x n ( n ) ( x ) n ! ( x ) Solución: Para una función de prueba ( x ) x n ( n ) ( x ), ( x ) ( n ) ( x ), x n ( x ) ( x ), x n ( x ) (n ) aplicando la ene-sima derivada de un producto de funciones de acuerdo a Leibniz, tenemos que x n ( x ) pero xn (k ) (n ) n n k x n k 0 (k ) k (k 1)(k 2)...(2)(1)x n k k ! x n k Página 126 ( n k ) ( x ) x n ( x ) (n ) n n! k !(n k )! k !x nk ( nk ) ( x ) k 0 n n! x n k ( n k ) ( x ) k 0 ( n k )! x n ( n ) ( x ) nx n 1 ( n 1) ( x ) n(n 1)x n 2 ( n 2) ( x ) ... n ! x '( x ) n ! ( x ) así x n ( n ) ( x ), ( x ) ( n ) ( x ), x n ( x ) ( x ), x n ( x ) (n ) ( x ), x n ( n ) ( x ) nx n 1 ( n 1) ( x ) ... n ! x '( x ) n ! ( x ) n ! (0) n ! ( x ), ( x ) n ! ( x ), ( x ) de donde x n ( n ) ( x ) n ! ( x ) Sucesión de distribuciones Sea la sucesión de funciones fn ( x ) y ( x ) una función de prueba, llamaremos sucesión de distribuciones a la sucesión de los respectivos funcionales asociados Fn : K R Fn ( x ) fn ( x )( x )dx Convergencia de una sucesión de distribuciones Sea la sucesión de funciones fn ( x ) convergente uniformemente a la función f ( x ) , la sucesión de distribuciones asociada Fn ( x ) converge a una distribución F ( x ) si y solo si para toda función ( x ) K tenemos que Página 127 lim n fn ( x ) ( x )dx fn ( x )( x )dx nlim f ( x ) ( x )dx Ilustración: Consideremos la sucesión de funciones n n 2 x fn ( x ) 0 x 1/ n x 1/ n cuya gráfica se muestra a continuación n -1/n 1/n La sucesión de funciones fn ( x ) converge a la delta de Dirac. Los funcionales asociados a una función de prueba ( x ) son: Fn ( x ) fn ( x ), ( x ) fn ( x ) ( x )dx n n Así; lim Fn ( x ) lim n n fn ( x ) ( x )dx ( x ) ( x )dx (0) Página 128 2 x ( x )dx Teorema Si la sucesión de distribuciones Fn ( x ) converge a una distribución F ( x ) cuando n , entonces la sucesión de derivadas F 'n ( x ) converge a la distribución F ' ( x ) es decir lim F 'n ( x ) lim Fn ( x ) ' F ' ( x ) n n Demostración: De la definición de derivada lim F 'n ( x ) lim f 'n ( x ), ( x ) n n lim fn ( x ), '( x ) n lim fn ( x ), '( x ) n f ( x ), '( x ) f '( x ), ( x ) F ' ( x ) Ilustración: Del ejemplo anterior fn ( x ) converge a la delta de Dirac, su derivada n 2 g n ( x ) fn '( x ) n 2 0 n2 1/ n 1/ n n 2 Página 129 1/ n x 0 0 x 1/ n x 1/ n Calculando el límite de la sucesión de las derivadas de la distribución lim F 'n ( x ) lim Fn '( x ) n n lim n fn ( x ) '( x )dx lim n fn ( x ) '( x )dx nlim ( x ) '( x )dx '(0) el límite será de acuerdo al resultado anterior lim F 'n ( x ) '( x ) n Página 130 APLICACIÓN EN ESTADÍSTICA Una variable aleatoria es una función de valor real es un espacio muestral, las variables aleatorias se representan mediante mayúsculas y el valor que toman por minúsculas. Se puede hablar de “la probabilidad de X tome el valor x” y representarla por P ( X x ) . La variable puede ser discreta o continua, se dice que la variable aleatoria es discreta si puede tomar un número finito o contable de valores. Definición Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores x1, x2 ,..., x j ,..., xn con probabilidades P ( X x1 ), P ( X x2 ),..., P ( X x j ),..., P ( X xn ) respectivamente, la función de densidad de probabilidad p( x ) f X ( x ) es n p( x ) f X ( x ) P ( X xi ) ( x xi ) i 1 Ilustración Seis lotes de componentes están listos para ser enviados a cierto proveedor. El número de componentes defectuosos de cada lote es Lote 1 2 3 4 5 6 Número de componentes 0 2 0 1 2 0 defectuosos Uno de estos componentes es seleccionado aleatoriamente para ser enviado a un cliente. Sea X el numero de componentes defectuosos del lote seleccionado. Los valores posibles de X son 0, 1, y 2. P ( X 0) P (se envía el lote 1,3 o 6) P ( X 1) P (se envía el lote 4) P ( X 2) P (se envía el lote 2 o 5) 3 1 6 2 1 6 2 1 6 3 Utilizando la definición anterior, la función de densidad de X es f X ( x ) P ( X 0) ( x ) P ( X 1) ( x 1) P ( X 2) ( x 2) Página 131 1 1 1 ( x ) ( x 1) ( x 2) 2 6 3 Gráficamente fX ( x ) 1/2 1/3 1/6 X 0 1 2 Ilustración 2: La variable aleatoria X de Bernoulli toma los valores 0 y 1 con probabilidades p y q respectivamente con 0 p 1 y p q 1, Determinar su promedio x y la desviación estándar La función de densidad de probabilidad de X es f X ( x ) P ( X 0) ( x ) P ( X 1) ( x 1) p ( x ) q ( x 1) El promedio x de una variable aleatoria esta dado por x xfX ( x )dx Así x xf X ( x )dx x p ( x ) q ( x 1) dx p x ( x )dx q x ( x 1)dx las integrales anteriores son de la forma f ( x ) ( x a)dx , las cuales se pueden calcular utilizando las propiedades de la función delta de Dirac x ( x )dx 0 x ( x 1)dx 1 con lo finalmente Página 132 x p(0) q(1) q Análogamente el segundo momento es E X 2 x 2 f X ( x )dx 2 x p ( x ) q ( x 1) dx 2 p x ( x )dx q 2 x ( x 1)dx p(0)2 q(1)2 q Definición La función de distribución acumulativa o función de distribución de probabilidad FX ( x ) de una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad f X ( x ) esta dada por x FX ( x ) fX (t )dt n En el caso discreto f X ( x ) P ( X xi ) ( x xi ) , por lo que i 1 x FX ( x ) n P ( X xi ) ( x xi )dx i 1 n x P ( X xi ) ( x xi )dx i 1 x sabemos que ( x xi )dx H ( x xi ) la función de Heaviside o escalón unitario en xi n FX ( x ) P ( X xi )H ( x xi ) i 1 Página 133 Gráficamente FX ( x ) tiene un trazado en forma de escalera, las discontinuidades se presentan en los lugares donde la variable tiene probabilidad diferente de cero, la magnitud de dichas discontinuidades es igual a la probabilidad en dicho punto Ilustración Con el ejemplo de la ilustración 1 en la cual f X ( x ) 1 1 1 ( x ) ( x 1) ( x 2) 2 6 3 tenemos que la distribución de probabilidad FX ( x ) sería x FX ( x ) 1 1 1 2 (t ) 6 (t 1) 3 (t 2) dt 1 1 1 H ( x ) H ( x 1) H ( x 2) 2 6 3 0 1/ 6 1/ 2 1 0x 0 x 1 1 x 2 2x Gráficamente FX ( x ) 1 1/2 1/6 X 0 1 Página 134 2 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Consideremos la ecuación diferencial: y '( x ) f ( x ) si f ( x ) es continua en un intervalo cerrado I a, b , decimos que y ( x ) es solución en el sentido clásico si tiene derivada y satisface la ecuación diferencial. Para toda función de prueba ( x ) con soporte compacto el intervalo cerrado I a, b a partir de la ecuación diferencial tenemos: y '( x ) ( x ) f ( x ) ( x ) integrando sobre el intervalo I a, b b b y '( x ) ( x )dx f ( x ) ( x )dx a a al ser función de prueba ( x ) y de acuerdo a la teoría de distribuciones sabemos que b b y ( x ) ( x )dx y ( x ) '( x )dx a a de donde b b b y '( x ) ( x )dx y ( x ) '( x )dx f ( x ) ( x )dx a a a de aquí observamos que no es necesario que y ( x ) sea continuamente diferenciable, solo se necesita que sea integrable. Definición Sea la función f ( x ) localmente integrable, entonces la función localmente integrable y ( x ) es solución débil de y '( x ) f ( x ) en I : a, b si para toda función de prueba ( x ) con sop( ( x )) I se cumple que b b y ( x ) '( x )dx f ( x ) ( x )dx a a Página 135 Ilustración Obtener una solución aproximada del problema de frontera, por el método de elementos finitos y ''( x ) y ( x ) x 0 x 1 y (0) y (1) 0 considerando 5 funciones base necesarias Solución Sea ( x ) una función de prueba con soporte compacto 0 x 1 tal que (0) (1) 0 multiplicando la ecuación diferencial por ( x ) tenemos y ''( x ) ( x ) y ( x ) ( x ) x ( x ) integrando en el soporte compacto (de 0 a 1) tenemos 1 1 1 y ''( x ) ( x )dx y ( x ) ( x )dx x ( x )dx 0 0 0 al ser ( x ) función de prueba y de la teoría de distribuciones y ''( x ), ( x ) y '( x ), '( x ) 1 así la formulación débil del problema sería 1 1 y '( x ) '( x )dx y ( x ) ( x )dx x ( x )dx 0 0 0 donde y ( x ) debe ser tener primera derivada localmente integrable ( x ) una función de prueba con soporte compacto 0 x 1 considerando interpolantes lineales de Lagrange en el intervalo tenemos para aproximar las funciones involucradas, gráficamente tenemos 1 0 1( x ) 2 ( x ) 0.2 0.4 3 ( x ) 0.6 (no a escala) Página 136 4 ( x ) 0.8 1 en x 0 (0) 0 en x 0.2 5x 1( x ) 5 x 2 0 0 x 0 .2 0.2 x 0.4 otro caso 5x 1 2 ( x ) 5 x 3 0 en x 0.4 0.2 x 0.4 0.4 x 0.6 otro caso 5x 2 3 ( x ) 5 x 4 0 en x 0.6 0.4 x 0.6 0.6 x 0.8 otro caso 5x 3 4 ( x ) 5 x 5 0 en x 0.8 0.6 x 0.8 0.8 x 1 otro caso (1) 0 en x 1 4 4 y ( x ) i i ( x ) Asumiendo ( x ) j j ( x ) con i 0 y j 0 y j 1 i 1 Derivando 4 4 y '( x ) i i '( x ) '( x ) j ' j ( x ) i 1 i 1 Sustituyendo en la integral tenemos 1 4 1 4 4 4 4 ' ( x ) ' ( x ) ( x ) ( x ) dx x j j ii j j j j ( x )dx i i j 1 i 1 j 1 0 i 1 0 j 1 que la podemos expresar como 1 4 1 ' ( x ) ' ( x ) ( x ) ( x ) dx x ( x ) dx j 0 i j i j i j j 1 i 1 0 0 4 1 1 haciendo K ij 'i ( x ) ' j ( x ) i ( x ) j ( x ) dx y Fj x j ( x )dx tenemos 0 0 4 4 Kij i Fj j 0 j 1 i 1 Página 137 como j 0 , obtenemos el sistema matricial K ij i F j Encontrando los K ij y Fj obtenemos 0 0 10.1333 4.9667 4.9667 10.1333 4.9667 0 K 0 4.9667 10.1333 4.9667 0 0 4.9667 10.1333 0.04 0.08 F 0.12 0.16 0.0288 0.0506 resolviendo el sistema 0.0584 0.0444 por lo que la solución aproximada es 4 y ( x ) i i ( x ) 11( x ) 22 ( x ) 33 ( x ) 44 ( x ) i 1 0.144 x 0.109 x 0.007 0.039 x 0.035 y ( x) 0.07 x 0.1004 0.222 x 0.222 0 0 x 0 .2 0.2 x 0.4 0.4 x 0.6 0.6 x 0.8 0.8 x 1 otro caso La solución exacta de la ecuación diferencial es y ( x ) x e e x e x e 1 2 Cotejando con la solución exacta tenemos x y ( x ) exacta y ( x ) aproximada 0 0 0 0.2 0.0287 0.0288 0.4 0.0505 0.0506 0.6 0.0583 0.0584 0.8 0.0443 0.0444 1 0 0 Página 138 CONSIDERACIONES FINALES En la tecnología y la ciencia los cambios que ocurren son vertiginosos surgiendo a diario nuevas aplicaciones y conocimientos que requieren una adecuación a lo establecido previamente, de esto no se abstrae la educación. Una adaptación curricular, consiste en, como su propio nombre indica, adaptar los objetivos, contenidos, metodología, y criterios de evaluación descritos para el nivel (curso) en el que el alumno se encuentre, la matemática es hoy en día una de las ciencias más activa y dinámica, a partir de problemas que surgen en otras disciplinas, también aparecen nuevas formas de ver y atacar viejos problemas, desarrollándose así nuevas teorías para encontrarles solución a estos problemas, como consecuencia el ser humano se encuentra con la necesidad constante de fortalecer sus conocimientos. La investigación el análisis e implementación de nuevas técnicas y propuestas pueden ser de mucha utilidad para enriquecer la gama de conocimientos necesarios en la resolución de diversos problemas del ámbito científico. Pero muchas veces a nivel educativo este cambio necesario no se presenta, manteniendo los currículos en ciertas maneras obsoletas y fuera de la realidad, haciendo necesaria una revisión continua y permanente de estos. Esperando que el presente trabajo sea un punto de partida para dicha revisión en forma general y en matemática en particular. Página 139 BIBLIOGRAFIA Abrazom Mónica (2002) Cambio Curricular www.fmv-uba.org.ar/proaps/6.pdf Alexander, Ursula (2001) Adaptación Curricular http://www.pasoapaso.com.ve Andre, T. (1986) Problem solving and education Bombal Fernando Laurent Schwartz, el matemático que quería cambiar el mundo Barrull E. 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