Funciones con DOMINIO restringido Preparado por: Prof. Evelyn Dávila En esta sección trabajarás con funciones que por su naturaleza no pueden tener como su DOMINIO al conjunto de los números reales. De hecho, en estos casos tenemos que determinar cuál es el conjunto que representa a su DOMINIO y éste será un subconjunto de los números reales. Es importante que se tenga conocimiento de los siguientes temas previo a estudiar esta sección: Radicales Expresiones racionales Inecuaciones lineales Dos tipos de funciones que como regla general tendrán DOMINIO restringido son: las funciones con radicales y las funciones racionales. I FUNCIONES QUE ENVUELVEN RAÍCES CUADRADAS Llena la tabla de valores indicada. Utiliza la siguiente función x 8 3 0 -1 -5 y f ( x) x 1 Indica los pares ordenados que has encontrado. ¿Puedes marcar los 5 pares ordenados en el PLANO CARTESIANO xy ? OBSERVA f (5) 5 1 4 2i 2i es un número imaginario por tanto no puede ser elemento del RECORRIDO de f(x). Esto implica que -5 no puede ser elemento del DOMINIO de f(x) . Una función con DOMINIO restringido es aquella en la que su regla no permite operar en el conjunto de los números reales para algunos valores particulares. Es decir, existen valores reales que si los utilizas para evaluar la función el resultado que obtendrás no está definido en los números reales. En la función f ( x) x 1 , no es posible sustituir valores menores que –1 ya que obtendrás valores negativos y no cumple con la definición de raíz cuadrada. El DOMINIO de f(x) es específicamente definida. x 1 , ya que en estos valores la función está REPASO SOBRE RADICALES DEFINICION Sea n un entero y a,b representan números reales , entonces n a b bn a Cuando el índice, n , es par tenemos los siguientes casos: Si a 0 entonces Si a < 0 entonces n a es b y b es positiva n a no está definida en los números reales Procedimiento para determinar el Dominio de una función con raíz cuadrada. A la expresión del radicando se le aplica la propiedad de radicales correspondiente y se despeja para la variable. El resultado de esta inecuación es el Dominio de la función. EJEMPLO 1 Procedimiento EJEMPLO 2 Determina el DOMINIO de f ( x) x 1 x 1 0 x 1 El Dominio de la función f es dado por x 1 . Determina el DOMINIO de g( x) 2x 1 Ya que tenemos una raíz cuadrada entonces 2x+1 debe ser mayor o igual a cero, por lo tanto escribes la desigualdad que establece esa condición y resuelves para x. Procedimiento g ( x) 2 x 1 2 x 1 0 resuelve esta desigualda d 2x 0 1 1 x 2 El DOMINIO de f es x 1 . 2 Ejemplo 3 𝒉(𝒙) = √𝒙𝟐 − 𝟒 Repasar Inecuaciones cuadráticas Ejemplo 4 𝒈(𝒙) = √𝒙𝟐 + 𝟏 II FUNCIONES RACIONALES Una función racional consiste en una expresión racional. Es fundamental repasar la definición de números racionales. DEFINICION Un número racional es un número que se puede representar a , donde en la forma b b 0 y a, b son enteros . Para determinar el DOMINIO de una función racional debemos identificar los valores de x que hacen al denominador cero y excluirlos del Dominio de la función. Procedimiento: 1. Halla las raíces del denominador, es decir, igualas la expresión del denominador a cero y resuelves. 2. Los valores encontrados los excluyes del DOMINIO EJEMPLO 1 Indica el Dominio de la función f (x) 2 3x 1 2 3x 1 3x 1 0 Igualas el deno min ador a cero y despejas. f ( x) Procedimiento x 1 3 El DOMINIO de f(x) es x y x 1 3 Si sustituyes este valor en la función el denominador será cero y la variable y no estará definida. Debes excluir este valor del dominio. EJEMPLO 2 Indica el Dominio de la función h( x ) 2x 1 4x 3 2x 1 4x 3 4x 3 0 Igualas el deno min ador a cero y despejas. 4 x 3 h( x ) x 3 4 Este valor se excluye del DOMINIO por lo tanto el DOMINIO de h(x) es x y x EJEMPLO 3 Indica el Dominio de la función g( x ) 3x 2x 5 x 3 2 Esta función requiere que el estudiante factorice un polinomio de grado dos. 3x g( x ) 2 2x 5 x 3 Iguala el denomi nador a cero y resuelve la ecuación cuadrática 2x 2 5 x 3 0 ( x 3) (2x 1) 0 x 3 0 x3 2x 1 0 ó x 1 2 En este caso excluimos del DOMINIO a los dos valores. El DOMINIO de g(x) es 1 x R y x , 3 2 3 4 III EJEMPLOS COMBINANDO LOS DOS TIPOS DE FUNCIONES Ejemplo 1 f ( x) OBSERVA QUE EN ESTE EJEMPLO LA EXPRESION QUE ESTA EN EL DENOMINADOR OPERA UN RADICAL POR LO TANTO EL DENOMINADOR TIENE DOS CONDICIONES: NO PUEDE SER CERO Y EL RADICANDO TIENE QUE SER MAYOR O IGUAL A CERO. x4 x 1 x 1 0 x 1 SI COMBINAMOS AMBAS CONDICIONES ENTONCES TIENES QUE EL RADICANDO DEBE SER MAYOR QUE CERO PARA QUE LA FUNCION F(X) ESTE DEFINIDA El DOMINIO de f(x) es Ejemplo 2 Ejemplo 3 x 1 𝒉(𝒙) = g ( x) √𝒙+𝟑 𝒙−𝟒 x 1 x2 4 resuelve la siguientedesigualda d x2 4 0 ( x 2)( x 2) 0 solución x 2 x 2 El Dominio de g(x) es x 2 x 2 Práctica Determina el DOMINIO de cada función 1. ℎ(𝑥) = √5𝑥 − 3 2. 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥 3. 𝑔(𝑥) = √𝑥2 − 9 4. f ( x) x2 x 4x 5 2 5. h( x) x2 1 x 1 6. g ( x) 2x 4 x 16 7. f ( x) 8. f ( x) x 1 x3 x 1 x2 9 Respuestas 1) 𝟑 𝑫𝒉 = {𝒙 ≥ } 𝟓 4) 𝑫𝒇 = {𝒙𝝐𝑹 𝒚 𝒙 ≠ −𝟏, 𝟓} 7) 𝑫𝒇 = {𝒙 > 𝟑} Práctica del libro 2) 𝑫𝒇 = {𝒙 ≤ 𝟒}} 3) 𝑫𝒈 = (−∞, −𝟑]𝑼[𝟑, ∞) 5) 𝑫𝒉 = {𝒙𝝐𝑹 𝒚 𝒙 ≠ −𝟏, 𝟏} 6) 𝑫𝒈 = {𝒙 ≥ −𝟒} 8) 𝑫𝒇 = {𝒙𝝐𝑹}