Solucionario Guía Números imaginarios y complejos

SOLUCIONARIO
SGUICES025MT21-A16V1
Números imaginarios y
complejos
1
TABLA DE CORRECCIÓN
GUÍA PRÁCTICA
NÚMEROS IMAGINARIOS Y COMPLEJOS
Ítem Alternativa
Habilidad
1
E
ASE
2
D
ASE
3
B
Comprensión
4
C
Aplicación
5
B
Aplicación
6
A
Aplicación
7
B
Aplicación
8
D
Aplicación
9
A
Aplicación
10
D
Aplicación
11
B
Aplicación
12
D
Aplicación
13
D
Aplicación
14
B
Aplicación
15
D
Comprensión
16
B
Aplicación
17
A
Aplicación
18
D
ASE
19
D
Aplicación
20
A
Aplicación
21
C
Aplicación
22
B
Aplicación
23
A
Aplicación
24
A
ASE
25
A
ASE
2
1. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
ASE
Se resuelve el binomio
m  2i 2  m2  2mi  4i 2  m2  4mi  4 .
Para que sea un
imaginario puro, su parte real debe ser cero, es decir, m  4  0 . Luego:
2
I)
No es correcta, ya que 3² – 4 = 9 – 4 = 5
II) Es correcta, ya que 2² – 4 = 4 – 4 = 0
III) Es correcta, ya que (– 2)² – 4 = 4 – 4 = 0
Por lo tanto, solo con II y III la expresión (m – 2i)² es un número imaginario.
2. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
ASE
Desarrollando el binomio se tiene
(16 − 𝑚𝑖)2 = 256 − 32𝑚𝑖 + 𝑚2 𝑖 2 = (256 − 𝑚2 ) − 32𝑚𝑖
Para que esta expresión sea un número imaginario puro su parte real debe ser 0, es decir,
256 – 𝑚2 = 0 . Dicha igualdad se cumple para – 16 y para 16.
3. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Comprensión
Como i4 = 1 e i² = – 1, entonces:
I)
Falsa, ya que 𝑖 5 ∙ 𝑖 6 = 𝑖 11 = 𝑖 4 ∙ 𝑖 4 ∙ 𝑖 2 · 𝑖 = 1 ∙ 1 ∙ −1 · 𝑖 = −𝑖
II) Verdadera, ya que i² (i² – i³) = i4 – i5 = 1 – i4·i = 1 – i
III) Falsa, ya que
𝑖3∙ 𝑖4∙ 𝑖2
𝑖 5 ∙ 𝑖 −2
𝑖9
= 𝑖 3 = 𝑖 6 = 𝑖 4 ∙ 𝑖 2 = 1 · −1 = −1
Por lo tanto, solo la igualdad II es verdadera.
3
4. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
1 − 4𝑖 + 6 − 𝑏𝑖 = 7 − 4𝑖 − 𝑏𝑖 = 7 – (4 + b)i
Para que sea un número real, la parte imaginaria debe ser cero, entonces 4 + b = 0 b = – 4
5. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
(3 + 𝑚𝑖) − (2𝑛 − 3𝑖) = 5 − 4𝑖  3 + 𝑚𝑖 − 2𝑛 + 3𝑖 = 5 − 4𝑖
Para el valor de n se igualan las partes reales de la igualdad, es decir:
3 − 2𝑛 = 5 −2𝑛 = 2  𝑛 = −1
Para el valor de m, se igualan las partes imaginarias de la igualdad, es decir:
𝑚 + 3 = −4  𝑚 = −7
Por lo tanto, el valor de m es – 7 y el de n es – 1.
6. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
(𝑖 12 − 𝑖 8 ) + (𝑖 3 − 𝑖)2 = (𝑖 4 )3 − (𝑖 4 )2 + (𝑖 2 · 𝑖 − 𝑖)2 . Como i4 = 1 e i² = – 1, resulta:
1³ – 1² + (– 1 · i – i)² = 1 – 1 + (– 2i)² = (– 2)²·i² = 4 · – 1 = – 4
Por lo tanto, el resultado de la expresión es – 4.
4
7. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Multiplicando ambos lados por i resulta z = 8i – 6i². Como i² = – 1, entonces:
z = 8i – 6 · – 1 = 8i + 6 = 6 + 8i
Por lo tanto, el valor de z es 6 + 8i.
8. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Si bien, es posible representar las coordenadas en el plano como un número complejo de la
forma z  a  bi , es más práctico trabajar mediante la suma vectorial.
2(− 4, 2) − 3(− 1, 3) + (− 2, − 5) = (− 8, 4) − (− 3,9) + (− 2, − 5)
= (− 8 + 3 − 2 , 4 − 9 − 5) = (− 7, − 10)
Por lo que el par que representa la expresión en el plano complejo es (– 7, – 10).
9. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Restando (3, – 5) a ambos lados, resulta:
z = (− 7, − 9) – (3, − 5) = (− 10, − 4) = − 10 – 4i
Por lo tanto, el valor de z es – 10 – 4i.
5
10. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Como hay raíces presentes en el denominador, entonces la expresión se debe racionalizar,
entonces:
4
∙
√2 + √2𝑖
√2 − √2𝑖 √2 + √2𝑖
=
4√2 + 4√2𝑖 4√2 + 4√2𝑖
=
= √2 + √2𝑖
2 − 2𝑖 2
4
Por lo tanto, la expresión equivalente a
4
2  2
es
2  2i .
11. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Desarrollando la expresión, resulta:
z – 2 = (1 – 2i) · (2 + i) = 2 + i – 4i – 2i² = 2 – 3i + 2 = 4 – 3i
Sumando 2 a ambos lados, resulta:
z = 4 – 3i + 2 = 6 – 3i
Por lo tanto, el valor de z es 6 – 3i.
12. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
(𝑚−3𝑖)
Se resuelve el cuociente planteado (𝑚+3𝑖) ∙
(𝑚−3𝑖)
=
(𝑚−3𝑖)
𝑚2 −6𝑚𝑖−9
𝑚2 +9
Para que el número sea un imaginario puro, su parte real debe ser cero, es decir
𝑚2 − 9 = 0  𝑚2 = 9 . Como m es un número positivo, el único valor posible es 3.
6
13. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Planteando la igualdad:
k i
 3i
2i
(Multiplicando por (2 – i))
k  i  3  i 2  i 
(Resolviendo)
k  i  6  3i  2i  i 2
k  6  3i  2i  1  i
k 7
Por lo tanto, el valor de k debe ser 7.
14. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Resolviendo
20+30𝑖
(3−𝑖)(3+𝑖)
=
20+30𝑖
9−𝑖 2
=
20+30𝑖
10
20
= 10 +
30𝑖
10
= 2 + 3𝑖
Por lo tanto, el valor de la expresión es 2 + 3i.
15. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
I)
Números complejos
Comprensión
Verdadera, ya que
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖 = (𝑎 + 𝑐) − (𝑏 + 𝑑)𝑖
(𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Por otro lado, ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑎 + 𝑏𝑖 + ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑏𝑖 + 𝑐 − 𝑑𝑖 = (𝑎 + 𝑐) − (𝑏 + 𝑑)𝑖
7
II) Falsa, ya que
(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖
𝑧1
(𝑎 + 𝑏𝑖) (𝑐 − 𝑑𝑖)
𝑎𝑐 − 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑
=
∙
=
=
2
2
𝑧2
(𝑐 + 𝑑𝑖) (𝑐 − 𝑑𝑖)
𝑐 +𝑑
𝑐 2 + 𝑑2
Pero este resultado es distinto de 𝑎 − 𝑏𝑖.
III) Verdadera, ya que
̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑎 + 𝑏𝑖 − ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑏𝑖 − (𝑐 − 𝑑𝑖) = 𝑎 − 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = (𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑑)𝑖
Por otro lado
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(𝑎 + 𝑏𝑖) − (𝑐 + 𝑑𝑖) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)𝑖 = (𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑑)𝑖
𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 − 𝑑𝑖 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.
16. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Resolviendo la potencia, producto y cuociente planteado
(−3𝑖)2 · (1 − 2𝑖) 9𝑖 2 · (1 − 2𝑖) −9 + 18𝑖
=
=
2 + 2𝑖
2 + 2𝑖
2 + 2𝑖
(−9 + 18𝑖) (2 − 2𝑖) −18 + 18𝑖 + 36𝑖 − 36𝑖 2 18 + 54𝑖 9 27𝑖
∙
=
=
= +
(2 + 2𝑖) (2 − 2𝑖)
4 − 4𝑖 2
8
4
4
Por lo tanto, la expresión es igual a
9 27

i.
4 4
8
17. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Resolviendo el cuadrado resulta (a² + 2ai + i²) = (2 + bi)  (a² + 2ai – 1) = (2 + bi)
Igualando la parte real, resulta a² – 1 = 2  a² = 2 + 1  a² = 3  a =  3
Como se busca el valor positivo de a, entonces a =
3
Igualando la parte imaginaria, resulta 2a = b  b = 2 3
Por lo tanto, los valores son a = 3 y b = 2 3 .
18. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
ASE
Al realizar el producto resulta:
(m + 4 + im)(5 – 2i) = 5m + 20 + 5im – 2im – 8i – 2mi² = 5m + 20 + 3im – 8i + 2m
(m + 4 + im)(5 – 2i) = 7m + 20 + 3im – 8i
Para que el resultado sea un número real, la parte imaginaria debe ser cero. Luego:
8
3m – 8 = 0  3m = 8  m =
3
8
Por lo tanto, para que la expresión sea un número real, m debe valer .
3
9
19. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Se tiene que i20 = 1, i3 = – i, i5 = i e i6 = – 1. Reemplazando en la expresión
4i 20  3i 3 4  3i

2i 5  3i 6 3  2i
(Factorizando)
4i 20  3i 3 4  3i  3  2i  12  8i  9i  6i 2 6  17i




2i 5  3i 6 3  2i  3  2i 
32  4i 2
13
Por lo tanto, el cuociente de la expresión es igual a
6 17
 i.
13 13
20. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Transformando el exponente negativo y aplicando las potencias de i resulta:
3 2 1
(3i 4  2i 3  i 2 ) 1   4  3  2 
i
i 
i
1
1 
3 2
 


 1  i 1
1
 2

    4
 i

1
  2  4i 


i


Aplicando exponente negativo y realizando la división:
1
i
 2  4i  2i  4i 2 4  2i 4  2i 4
2
1 1
  2  4i 





 i  i

 
2
i
 2  4i  2  4i
4  16i
4  16
20
20 20
5 10


Por lo tanto, el valor de la expresión es
1 1
 i.
5 10
10
1
21. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
4i 8  5i 4  5i
Aplicando las potencias de i resulta

4i
4  i5
Aplicando la división,
4  5i 4  i 16  4i  20i  5i 2 16  4i  20i  5 21  16i




4i 4i
16  i 2
16  1
17
Por lo tanto, el valor de la expresión es
21  16i
.
17
22. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Calculando cada inverso multiplicativo:
1
1
4  3i
4  3i
4  3i 4  3i





2
z 4  3i 4  3i 16  9i
16  9
25
1
1
2i 2i 2i 2i
w 1  




w  2  i  2  i 4  i2
4 1
5
z 1 
Luego, ( z 1  w1 ) 
4  3i  2  i 4  3i 5  (2  i) 4  3i  10  5i  6  2i





25
5
25
25
25
25
Por lo tanto, el valor de la expresión es
 6  2i
.
25
11
23. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Reemplazando y reduciendo:
( w  v)  z (1  3i  (6  8i))  (4  i) (1  3i  6  8i)  (4  i) (5  5i)  (4  i)



w
1  3i
1  3i
1  3i
Realizando el producto:
(5  5i)  (4  i) 5  (1  i)  (4  i) 5  (4  4i  i  i 2 ) 5  (3  5i)



1  3i
1  3i
1  3i
1  3i
Realizando la división:
5  (3  5i) 1  3i 5  (3  5i  9i  15i 2 ) 5  (18  4i)  18  4i




 9  2i
1  3i
1  3i
1  9i 2
10
2
Por lo tanto, la expresión es igual a  9  2i .
24. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
ASE
(1) z tiene módulo igual a 1. Con esta información, se puede determinar que z 
zz  z  z 
2
z
2
z
. Luego, si |z| = 1, entonces z 
z
z
2

12 1
 .
z z
(2) z es un número real. Con esta información, no se puede determinar que z 
dicha condición no se cumple para todos los reales.
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.
12
1
, ya que
z
1
, ya que
z
25. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
ASE
(1) El producto entre z1 y z2 es (24 – 18i). Con esta información, es posible determinar el
valor de b, ya que
z1  z 2  3  6i 4  b  12  3bi  24i  6b  (12  6b)  3b  24i
Igualando
(12  6b)  3b  24i  24  18i
Luego
Parte real: 12  6b  24  6b  12  b  2
Parte imaginaria: 3b  24  18  3b  6  b  2
(2) El módulo de z2 es 20 . Con esta información, no es posible determinar el valor de b,
ya que tiene dos posibles valores, – 2 y 2.
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.
13