claseALGEBRALINEAL20120919

2.3 Clasificación de las matrices.
Atendiendo a su tipo de forma es como se puede clasificar una matriz. Se sugiere
ingresar a internet y seguir la siguiente liga:
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Calculo_matricial_d3/de
fmat.htm
Es una página que le ayudará a entender lo que es una matriz. (proyecto
Descartes, entre la UNAM y una universidad de España).
Investigar la definición de matriz:
a) Cuadrada.
b) Triangular superior.
c) Triangular inferior.
d) Diagonal.
e) Escalar.
f) Identidad.
g) Potencia.
h) Periódica.
i) Nilpotente.
j) Idempotente.
k) Involutiva.
l) Simétrica.
m) Antisimétrica.
n) Compleja.
o) Conjugada.
p) Hermitiana.
q) Antihermitiana.
r) Ortogonal.
Nota: en lugar de una definición formal, es preferible una paráfrasis.
2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de
una matriz. Rango de una matriz.
Transformaciones elementales por renglón.
Una matriz es un arreglo rectangular de números. Estos números pueden ser los
coeficientes de las variables de un sistema de ecuaciones, con lo que la matriz se
llamará matriz de coeficientes del sistema. Una matriz con m renglones y n
columnas se llama una matriz de m x n. Si en una matriz se vacía, además de los
coeficientes de las ecuaciones, el lado derecho de éstas, entonces la matriz se
denomina matriz aumentada. Esto se verá con más detalle en la siguiente
unidad.
Operaciones elementales con renglones.
1. Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de cero.
2. Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón, .
3. Intercambiar renglones.
Con estas operaciones se obtiene un nuevo renglón que resulta ser una
combinación lineal del primero o bien, lo que se traduciría en una nueva ecuación
equivalente.
Escalonamiento de una matriz.
Una matriz se encuentra en la forma escalonada por renglones si se cumplen las
siguientes condiciones:
1. Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen
en la parte inferior de la matriz.
2. En el primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en
cualquier renglón cuyos elementos no todos son cero es 1.
3. Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el
primer 1 en el renglón de abajo está más hacia la derecha que el primer 1
en el renglón de arriba.
Ejemplos de matrices en la forma escalonada por renglones.
1 2
a) [0 1
0 0
3
5]
1
1 −1 6
b) [0 1 2
0 0 0
c) [
1 0 2
0 0 1
d) [
1 2
]
0 1
1 3
e) [0 1
0 0
4
−8]
1
5
]
2
2 5
3 6]
0 0
Por lo general, la forma escalonada por renglones de una matriz no es única. Es
decir, una matriz puede ser equivalente, en sus renglones, a más de una matriz en
forma escalonada por renglones. Por ejemplo
1 2 −1 −1
1 3 2 5
𝐴 = [0 1 3 6] 𝑟𝑒𝑛𝑔𝑙ó𝑛1 − 𝑟𝑒𝑛𝑔𝑙ó𝑛2 = 𝐵 = [0 1 3
6]
0 0 0
1
0 0 0 1
Al realizar la operación indicada, restar el renglón 1 del renglón 2, se obtiene la
matriz B. (1-0=1, 3-1=2, 2-3=-1, 5-6=-1). Ambas matrices se encuentran en la
forma escalonada por renglones y son equivalentes por renglones. Así, cualquier
matriz para la que A es una forma escalonada por renglones. También acepta a B
como forma escalonada por renglones.
Existe también la forma escalonada reducida por renglones, en la cual los
números arriba y abajo del primer 1 de un renglón son cero, como se observa en
1 0 0 4
la siguiente matriz: 𝐶 = [0 1 0 −2]
0 0 1 3
Siempre se puede reducir una matriz a la forma escalonada reducida por
renglones o a la forma escalonada por renglones realizando operaciones
elementales con renglones.
Rango de una matriz.
Es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente
independientes (esto se verá con amplitud en la unidad IV). Si el rango fila y la
columna son iguales, éste número es llamado simplemente rango de A.
El número de columnas independientes de una matriz A de m x n es igual a la
dimensión del espacio columna de dicha matriz A. también la dimensión del
espacio fila determina el rango. El rango de A será, por tanto, mayor o igual que
uno o menor o igual que el mínimo entre m y n.
Ejemplo.
1 −2 3 11
Dada la matriz 𝐴 = [4 1 −1 4 ], realice lo que se le pide:
2 −1 3 10
a) Multiplique por 4 el renglón 1 y réstele el renglón 2.
b) Multiplique por 2 el renglón 1 y réstele el renglón 3.
c) Divida el renglón 2 entre (-9).
d) Multiplique el renglón 2 por 3 y súmele el renglón 3.
e) Multiplique el renglón 3 por (-3) y divídalo entre 4.
f) ¿Alcanzó ya la forma escalonada?
1 1 −1 7
Ejemplo 2. Dada la matriz 𝐵 = [4 −1 5 4], realice las operaciones de
2 2 −3 0
renglón necesarias para convertirla en su forma escalonada.