Matemática: Es el estudio de patrones en las estructuras de... entre ellas. Algunos matemáticos se refieren a ella como la...

Matemática: Es el estudio de patrones en las estructuras de entes abstractos y en las relaciones
entre ellas. Algunos matemáticos se refieren a ella como la «Reina de las Ciencias».
Según los Sabios, se dice que la matemática abarca tres ámbitos:

Aritmética.

Geometría, incluyendo la Trigonometría y las Secciones cónicas.

Ánálisis matemático, en el cual se hace uso de letras y símbolos, y que incluye el álgebra,
la geometría analítica y el cálculo.
Aritmética
Aritmética es la parte de las matemáticas que estudia los números y las operaciones hechas con
ellos.
Las cuatro operaciones básicas de la Aritmética son:

Suma

Resta

Multiplicación

División
• Operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división
Todas estas operaciones se verifican a través de su operación inversa: la suma con la resta, la
multiplicación con la division
Suma
Se utiliza para juntar, agregar, unir, etc, 2 o mas cantidades contables de la misma magnitud
(categoría)
La suma o adición es una operación aritmética definida sobre conjuntos de números (naturales,
enteros, racionales, reales y complejos) y también sobre estructuras asociadas a ellos, como
espacios vectoriales con vectores cuyas componentes sean estos números o funciones que tengan
su imagen en ellos.
En el álgebra moderna se utiliza el nombre suma y su símbolo "+" para representar la operación
formal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo abeliano, o la operación de un módulo
que dota al módulo de estructura de grupo abeliano. También se utiliza a veces en teoría de
grupos para representar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. En estos
casos se trata de una denominación puramente simbólica, sin que necesariamente coincida esta
operación con la suma habitual en números, funciones, vectores...
Propiedades de la suma

Propiedad conmutativa: si se altera el orden de los sumandos no cambia el resultado, de
esta forma, a+b=b+a.

Propiedad asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c

Elemento neutro: 0. Para cualquier número a, a + 0 = 0 + a = a.

Elemento opuesto. Para cualquier número entero, racional, real o complejo a, existe un
número −a tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. Este número −a se denomina elemento opuesto,
y es único para cada a. No existe en algunos conjuntos, como el de los números naturales.
Estas propiedades pueden no cumplirse en casos de sumas infinitas.
Notación
Si todos los términos se escriben individualmente, se utiliza el símbolo "+" (leído más). Con esto, la
suma de los números 1, 2 y 4 es 1 + 2 + 4 = 7.
También se puede emplear el símbolo "+" cuando, a pesar de no escribirse individualmente los
términos, se indican los números omitidos mediante puntos suspensivos y es sencillo reconocer los
números omitidos. Por ejemplo:
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 es la suma de los cien primeros números naturales.
2 + 4 + 8 + ... + 512 + 1024 es la suma de las diez primeras potencias de 2.
En sumas largas e incluso sumas infinitas se emplea un nuevo símbolo, que se llama sumatorio y
se representa con la letra griega Sigma mayúscula (Σ). Por ejemplo:
es la suma de los cien primeros números naturales.
es la suma de las diez primeras potencias de 2.
Suma de fracciones
Hay dos casos:
Fracciones que tienen el mismo denominador; Fracciones que tienen el distinto denominador
Primer caso: la suma de dos ó más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla,
sólo hay que sumar los numeradores y se deja el denominador común.
Segundo caso: la suma de dos o más fracciones con distinto denominador es un poco menos
sencilla.
Pasos
1º. Se haya el mínimo común múltiplo de los dos denominadores
2º Se calcula el numerador con la fórmula: numerador antiguo x denominador común y dividido por
denominador antiguo
3º Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen el mimos denominador)
Resta
Se utiliza para restar, descontar, disminuir, etc., 2 o mas cantidades contables de la misma
magnitud (categoría)
La resta o substracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética, y se trata
básicamente de la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si a+b=c, entonces c-b=a.
En la resta, el primer número se denomina minuendo y el segundo es el sustraendo. El resultado
de la resta se denomina diferencia.
En el conjunto de los números naturales, N, sólo se pueden restar dos números si el minuendo es
mayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sería un número negativo, que por definición
estaría excluido del conjunto. Esto es así para otros conjuntos con ciertas restricciones, como los
números reales positivos.
En matemáticas avanzadas no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras palabras,
no se tiene a - b sino a + (-b), donde -b es el elemento opuesto de b respecto de la suma
Resta de fracciones
Resta de fracciones que tienen el mismo denominador
Para restar dos ó más fracciones que tienen el mismo denominador, sólo hay que restar los
numeradores y se deja el denominador común. Ejemplo:
Resta de fracciones con distinto denominador
1. Se haya el mínimo común múltiplo de los dos denominadores:
(mínimo común múltiplo de 4 y 2)
2. Se calculan los numeradores con la fórmula: numerador antiguo (6) x denominador común (4) y
dividido por denominador antiguo (4)
( 6*4/4=6 )
Numerador antiguo (1) x denominador común (4) y dividido por denominador antiguo (2)
( 1*4/2= 2 )
3. Se procede como en la resta de fracciones de igual denominador (dado que las fracciones
tienen el mismo denominador)
Multiplicación
Se utiliza para resolver problemas donde se suman “n” veces las mismas cantidades.
El producto o la multiplicación es una operación aritmética que se puede explicar como una
manera de sumar números idénticos.
El resultado de la multiplicación de números se llama producto. Los números que se multiplican se
llaman factores o coeficientes, e individualmente como multiplicando (número a sumar) y
multiplicador (veces que se suma el multiplicando).
La multiplicación se suele indicar con el aspa × o el punto centrado ·. En ausencia de estos
caracteres se suele emplear el asterisco *, sobre todo en computación
Definición
La multiplicación de dos números enteros n y m se define como:
Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión "sumar m a sí mismo n veces". Puede
facilitar la comprensión el expandir la expresión anterior:
m×n = m + m + m +...+ m
tal que hay n sumandos. Así que, por ejemplo:
5×2 = 5 + 5 = 10
2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
4×3 = 4 + 4 + 4 = 12
m×6 = m + m + m + m + m + m
Utilizando esta definición, es fácil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicación.
Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos números es
irrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dos
números cualesquiera x e y:
x·y = y·x
La multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres números
cualesquiera x, y y z, se cumple:
(x·y)z = x(y·z)
En la notación algebraica, los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben
ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación.
La multiplicación también tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque:
x(y + z) = xy + xz
Asimismo:
(x + t)(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz
También es de interés que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo:
1·x = x
es decir, la multiplicación tiene un elemento identidad que es el 1.
¿Qué ocurre con el cero? La definición inicial no ayuda mucho porque 1 es mayor que 0. De
hecho, es más fácil definir el producto por cero utilizando la segunda definición:
m·0 = m + m + m +...+ m
donde hay cero sumandos. La suma de cero veces m es cero, así que
m·0 = 0
sin importar lo que valga m, siempre que sea finito.
El producto de números negativos también requiere reflexionar un poco. Primero, considérese el
número -1. Para cualquier entero positivo m:
(-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m
Éste es un resultado interesante que muestra que cualquier número negativo no es más que un
número positivo multiplicado por -1. Así que la multiplicación de enteros cualesquiera se puede
representar por la multiplicación de enteros positivos y factores -1. Lo único que queda por definir
es el producto de (-1)(-1):
(-1)(-1) = -(-1) = 1
De esta forma, se define la multiplicación de dos enteros. Las definiciones pueden extenderse a
conjuntos cada vez mayores de números: primero el conjunto de las fracciones o números
racionales, después a todos los números reales y finalmente a los números complejos y otras
extensiones de los números reales.
el producto vacío, es decir, multiplicar cero factores, vale 1.
Una definición recursiva de la multiplicación puede darse según estas reglas:
x·0 = 0
x·y = x + x·(y-1)
donde x es una cantidad arbitraria e y es un número natural. Una vez el producto está definido para
los números naturales, se puede extender a conjuntos más grandes, como ya se ha indicado
anteriormente.
Division
Se utiliza para determinar “n” partes iguales de una cantidad determinada, dividir una magnitud en
partes iguales.
En matemáticas, especificamente en aritmética elemental, la división es una operación aritmética
que es la inversa de la multiplicación y a veces puede interpretarse como una resta repetida.
En otras palabras, consiste en averiguar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en
otro número (el dividendo). En la división de números enteros además del dividendo y el divisor
intervienen otros números. Así al resultado entero de la división se le denomina cociente y si la
división no es exacta, es decir, el divisor no está contenido un número exacto de veces en el
dividendo, la operación tendrá un resto, donde:
resto = dividendo - cociente × divisor
Orden de Operaciones
Reglas Importantes para Resolver Operaciones Aritméticas:
1. Primero resolver todo lo que esté dentro de simbolos de agrupación.
2. Evaluar las expresiones exponenciales.
3. Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha.
4. Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha.
Ejemplo:
Propiedades de los Números Reales:

Conmutativa de adición:
La conmutatividad implica que no importa el orden de operación, el resultado
siempre es el mismo.
Por ejemplo:
4+2=2+4

Conmutativa de multiplicación:
Por ejemplo:
4.2=2.4

Asociativa de adición:
La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el resultado es el mismo.
Por ejemplo:
(4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)

Asociativa de multiplicación:
Por ejemplo:
4 . (2 . 9) = (4 . 2) . 9

Distributiva de multiplicación sobre adición:
Por ejemplo:
4 . (2 + 9) = 4 . 2 + 4 . 9
Reglas de los Signos:
1. En suma de números con signos iguales, se suman los números y el resultado lleva el
mismo signo. Si los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo
del mayor.
Ejemplo:
5 + 8 = 13
5 + -8 = -3
2. En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se restan signos
diferentes, se suman los números y el resultado lleva el signo del mayor.
Ejemplo:
5 - 8 = -3
5 - (-8) = 13
3. En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo. Si los
números son signos opuestos, el resultado es negativo.
Ejemplo:
5 x 8 = 40
5 x -8 = -40
• Cálculo de porcentajes, regla de tres, potencias y raíces
Porcentaje
Un porcentaje es una forma de expresar una proporción o fracción como una fracción de
denominador 100, es decir, como una cantidad de centésimas. Es decir, una expresión como
"45%" ("45 por ciento") es lo mismo que la fracción 45/100.
"El 45% de la población humana..." es equivalente a: "45 de cada 100 personas..."
Un porcentaje puede ser un número mayor que 100. Por ejemplo, el 200% de un número es el
doble de dicho número, o un incremento del 100%. Un incremento del 200% daría como resultado
el triple de la cantidad inicial. De esta forma, se puede apreciar la relación que existe entre el
aumento porcentual y el producto.
Confusión en el uso de los porcentajes
Surgen muchas confusiones en el uso de los porcentajes debido a un uso inconsistente o a un mal
entendimiento de la aritmética elemental.
Cambios
Debido a un uso inconsistente, no siempre está claro por el contexto con qué se compara un
porcentaje. Cuando se habla de una subida o caída del 10% de una cantidad, la interpretación
usual es que este cambio es relativo al valor inicial de la cantidad: por ejemplo, una subida del 10%
sobre un producto que cuesta 100$ es una subida de 10$, con lo que el nuevo precio pasa a ser
110$. Para muchos, cualquier otra interpretación es incorrecta.
En el caso de los tipos de interés, sin embargo, es práctica común utilizar los porcentajes de otra
manera: supongamos que el tipo de interés inicial es del 10%, y que en un momento dado sube al
20%. Esto se puede expresar como una subida del 100% si se calcula el aumento con respecto del
valor inicial del tipo de interés. Sin embargo, mucha gente dice en la práctica que "los tipos de
interés han subido un 10%", refiriéndose a que ha subido en un 10% sobre el 100% adicional al
10% inicial (20% en total), aunque en la expresión usual de los porcentajes debería querer decir
una subida del 10% sobre el 10% inicial (es decir, un total del 11%).
Para evitar esta confusión, se suele emplear la expresión "punto porcentual". Así, en el ejemplo
anterior, "los tipos de interés han subido en 10 puntos porcentuales" no daría lugar a confusión,
sino que todos entenderían que los tipos están actualmente en el 20%. También se emplea la
expresión "punto base", que significa la centésima parte de un punto porcentual (es decir, una
parte entre diez mil). Así, los tipos de interés han subido en 1000 puntos base.
Cancelaciones
Un error común en el uso de porcentajes es imaginar que una subida de un determinado
porcentaje se cancela con una caída del mismo porcentaje. Una subida del 50% sobre 100 es 100
+ 50, o 150, pero una reducción del 50% sobre 150 es 150 - 75, o 75. En general, el efecto final de
un aumento seguido de una reducción proporcionalmente igual es:
(1 + x)(1 - x) = 1 - x²
es decir, una reducción proporcional al cuadrado del cambio porcentual.
Los que tenían acciones punto como en el momento de la crisis acabaron comprendiendo que,
aunque una acción haya caído un 99%, puede volver a caer otro 99%. Además, si sube por un
porcentaje muy grande, seguirá perdiéndolo todo si un día la acción reduce su valor en un 100%,
porque entonces no valdrá nada.
Regla de tres
La regla de tres es una relación que se establece entre tres (o más) valores conocidos y una
incógnita. Normalmente se usa cuando se puede establecer una relación de linealidad
(proporcionalidad) entre todos los valores involucrados (análogo para proporcionalidad inversa).
Normalmente se representa de la siguiente forma:
A-B
X-C
Siendo A, B y C valores conocidos y X la incógnita cuyo valor queremos averiguar. Esto se lee de
la siguiente manera: A es a B como X es a C. La posición de la incógnita puede variar, por
supuesto.
Así por ejemplo para pasar 60 grados a radianes podríamos establecer la siguiente regla de tres:
360º - 2 × π
60º - X
potencia y raiz
Notación Exponencial
La notación exponencial se usa para repetir multiplicaciones de un mismo número. Es la
elevación a la enésima potencia (n) de una base (X).
Ejemplos:
Raíz cuadrada
En matemáticas, la raíz cuadrada de un número real no negativo x es el número real no negativo
que, multiplicado con sí mismo, da x. La raíz cuadrada de x se denota por √x. Por ejemplo, √16 = 4,
ya que 4 × 4 = 16, y √2 = 1,41421... . Las raíces cuadradas son importantes en la resolución de
ecuaciones cuadráticas.
La generalización de la función raíz cuadrada a los números negativos da lugar a los números
imaginarios y al campo de los números complejos.
El símbolo de la raíz cuadrada se empleó por primera vez en el siglo XVI. Se ha especulado con
que tuvo su origen en una forma alterada de la letra r minúscula, que representaría la palabra latina
"radix", que significa "raíz".
Propiedades
Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los números positivos x, y:
para todo número real x (véase valor absoluto)
La función raíz cuadrada, en general, transforma números racionales en números algebraicos; √x
es racional si y sólo si x es un número racional que puede escribirse como fracción de dos
cuadrados perfectos. Si el denominador es 1² = 1, entonces se trata de un número natural. Sin
embargo, √2 es irracional.
La función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado.
• Propiedades de los números
Un número es un símbolo que representa una cantidad. Los números son ampliamente utilizados
en matemáticas, pero también en muchas otras disciplinas y actividades, así como de forma más
elemental en la vida diaria.
El número es también una entidad abstracta con la que se describe una cantidad. Los números
más conocidos son los números naturales 0, 1, 2, ..., que se usan para contar. Si añadimos los
números negativos obtenemos los enteros. Cocientes de enteros generan los números racionales.
Si incluimos todos los números que son expresables con decimales pero no con fracciones de
enteros, obtenemos los números reales; si a éstos les añadimos los números complejos,
tendremos todos los números necesarios para resolver cualquier ecuación algebraica. Podemos
ampliar aún más los números, si añadimos los infinitos y los transfinitos. Entre los reales, existen
números que no son soluciones de una ecuación polinomial o algebraica. Reciben el nombre de
transcendentales. El ejemplo más famoso de estos números es π (Pi), otro ejemplo fundamental e
igual de importante es e, base de los logaritmos naturales. Estos dos números están relacionados
entre si por la identidad de Euler, también llamada la fórmula más importante del mundo.
Existe toda una teoría de los números. Se distinguen distintos tipos de números:

Números naturales . conjunto de numeros que utilizamos para contar cantidades enteras
positivas
o
Tiene como primer elemento el cero
o
Cualquier numero puede ser escrito con los numero del sistema decimal
o
Es un conjunto infinito
o
Todos los numeros tienen su siguente
o
No existen numeros intermedios entre un numero y sus siguiente
o
Todos los numeros naturales cumplen con las relaciones de orden y comparación.

Número primo

Números compuestos

Números perfectos

Números enteros

Números pares

Números impares

Números racionales

Números reales

Números irracionales

Números algebraicos

Números trascendentes

Números complejos

Cuaterniones

Números infinitos

Números transfinitos

Números fundamentales: π y e
El estudio de ciertas propiedades que cumplen los números ha producido una enorme cantidad de
tipos de números, la mayoría sin un interés matemático específico. A continuación se indican
algunos:
Narcisista: Número de n dígitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus
dígitos. Ejemplo: 153 = 1³ + 5³ + 3³.
Omirp: Número primo que al invertir sus dígitos da otro número primo. Ejemplo : 1597 y 7951 son
primos.
Vampiro: Número que se obtiene a partir del producto de dos números obtenidos a partir de sus
dígitos. Ejemplo: 2187 = 27 x 81.
Una vez entendido el problema de la naturaleza y la clasificación de los números, surge otro, más
práctico, pero que condiciona todo lo que se va a hacer con ellos: la manera de escribirlos. El
sistema que se ha impuesto universalmente es la numeración de posición gracias al invento del
cero, con una base constante.
Álgebra
El Álgebra es la rama de las matemáticas que tiene por objeto de estudio la generalización del
cálculo aritmético mediante expresiones compuestas de constantes (números) y variables (letras).
Etimológicamente, proviene del árabe (también nombrado por los árabes Amucabala)‫( ربج‬yebr)
(al-dejaber), con el significado de reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos
luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).
El álgebra lineal tiene sus orígenes en el estudio de los vectores en el plano y en el espacio
tridimensional cartesiano. Aquí, un vector es un segmento, caracterizado por su longitud (o
magnitud) y dirección. Los vectores pueden entonces utilizarse para representar ciertas
magnitudes físicas, como las fuerzas, pueden sumarse y ser multiplicados por escalares, formando
entonces el primer ejemplo de espacio vectorial real.
Hoy día, el álgebra lineal se ha extendido para considerar espacios de dimensión arbitraria o
incluso de dimensión infinita. Un espacio vectorial de dimensión n se dice que es n-dimensional. La
mayoría de los resultados encontrados en 2 y 3 dimensiones pueden extenderse al caso ndimensional. A mucha gente le resulta imposible la visualización mental de los vectores de más de
tres dimensiones (o incluso los tridimensionales). Pero los vectores de un espacio n-dimensional
pueden ser útiles para representar información: considerados como n-tuplas, es decir, listas
ordenadas de n componentes, pueden utilizarse para resumir y manipular información
eficientemente. Por ejemplo, en economía, se pueden crear y usar vectores octo-dimensionales u
8-tuplas para representar el Producto Interno Bruto de 8 países diferentes. Se puede simplemente
mostrar el PIB en un año en particular, en donde se especifica el orden que se desea, por ejemplo,
(Estados Unidos, Reino Unido, Francia, Alemania, España, India, Japón, Australia), utilizando un
vector (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) en donde el PIB de cada país está en su respectiva posición.
Un espacio vectorial (o espacio lineal), como concepto puramente abstracto en el que podemos
probar teoremas, es parte del álgebra abstracta, y está bien integrado en ella. Por ejemplo, con la
operación de composición, el conjunto de aplicaciones lineales de un espacio vectorial en sí mismo
(endomorfismos) tiene estructura de anillo, y el subconjunto de las aplicaciones lineales que son
invertibles (los automorfismos) tiene estructura de grupo. El Álgebra Lineal también tiene un papel
importante en el cálculo, sobre todo en la descripción de derivadas de orden superior en el análisis
vectorial y en el estudio del producto tensorial (en física, buscar momentos de torsión) y de las
aplicaciones antisimétricas.
Un espacio vectorial se define sobre un cuerpo, tal como el de los números reales o en el de los
números complejos. Una aplicación (u operador) lineal hace corresponder los vectores de un
espacio vectorial con los de otro (o de él mismo), de forma compatible con la suma o adición y la
multiplicación por un escalar definidos en ellos. Elegida una base de un espacio vectorial, cada
aplicación lineal puede ser representada por una tabla de números llamada matriz. El estudio
detallado de las propiedades de las matrices y los algoritmos aplicados a las mismas, incluyendo
los determinantes y autovectores, se consideran parte del álgebra lineal.
En matemáticas los problemas lineales, aquellos que exhiben linealidad en su comportamiento, por
lo general pueden resolverse. Por ejemplo, en el cálculo diferencial se trabaja con una
aproximación lineal a funciones. La distinción entre problemas lineales y no lineales es muy
importante en la práctica.
Algunos Teoremas Útiles
Todo espacio lineal tiene una base (Esta afirmación es lógicamente equivalente al Axioma de
elección)
Una matriz A no nula con n filas y n columnas es no singular (inversible) si existe una matriz B que
satisface AB = BA = I donde I es la matriz identidad.
Una matriz es inversible si y solo si su determinante es distinto de cero.
Una matriz es inversible si y solo si la transformación lineal representada por la matriz es un
isomorfismo (vea también matriz inversible para otras afirmaciones equivalentes)
Una matriz es positiva semidefinida si y solo si cada uno de sus eigenvalores son mayores o
iguales a cero
Una matriz es positiva definida si y solo si cada uno de sus eigenvalores son mayores a cero.
• Literales y exponentes
Una literal es una representación general de una cierta magnitud.
Por ejempo: el area de un rectangualo es igual a : A= bh donde A, b y H son literales.
Expresiones Algebraicas
Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos.
monomio = un solo término.
Por ejemplo:
binomio = suma o resta de dos monomios.
Por ejemplo:
trinomio = suma o resta de tres monomios.
Por ejemplo:
polinomio = suma o resta de cualquier número de monomios.
Reglas de los Exponentes:

Para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base y los exponentes
son enteros positivos diferentes.
Ejemplo:

Para multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes iguales, el exponente se queda
igual.
Ejemplo:

En división, si tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes, se restan los
exponentes. Las variables m y n son enteros positivos , m > n.
Ejemplo:

En suma y resta, solo se procede si son términos similares, en otras palabras lo que difiere es su
coeficiente numérico.
• Productos notables y factorización
Productos Notables
Cuadrado de la suma de dos cantidades
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el
doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el
doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad menos el cuadrado de la segunda
Cubo de un binomio
El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad mas el triple del
cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera mas
el segundo al cubo.
El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triple
del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera
menos el segundo al cubo.
Cocientes Notables
Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las
cantidades
La diferencia de los cuadrados de dos cantidades divididas entre la suma de las cantidades es
igual a la diferencia de las cantidades.
La diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades es igual a la
suma de las cantidades.
Factorización de Polinomios
Factorizar un polinomio es el primer método para obtener las raíces o ceros de la expresión. Para
factorizar se comienza con una regla que te permite desarrollar la destreza, para aplicarla a
ejercicios de mayor dificultad. Se buscan dos factores o números cuyo producto sea el último
término y a la vez sumados o restados den como resultado el coeficiente del término del medio.
Esta regla aplica solo a ecuaciones cuadráticas cuyo coeficiente de la variable elevado al cuadrado
es 1. Si el coeficiente de la variable elevada al cuadrado no fuese 1, la manera de factorizar sería
tanteando hasta poder lograr la factorización. Muchas veces la factorización es simplemente
reconocer factores comunes.
Se puede utilizar también la inversa de las fórmulas de productos especiales. O sea, expresamos
el polinomio como una multiplicación o un producto, usando las fórmulas a la inversa.
Completando el Cuadrado
Completando el cuadrado es el segundo método para obtener las raíces o ceros de un polinomio.
El proceso es el siguiente:
1. Primero mueves el tercer término con signo opuesto al lado contrario de la
igualdad.
2. Luego, vas a calcular el término que te permite crear tu cuadrado de la siguiente
forma: selecciona el coeficiente de la variable que está elevada a la 1, se divide
entre dos y elevarlo al cuadrado.
3. Este resultado lo sumarás a ambos lados de la expresión.
4. Después, la raíz cuadrada del primer término, el operador (signo) del medio y la
raíz cuadrada del último termino, todo elevado al cuadrado es igual a la suma de la
derecha.
5. Luego, sacas raíz cuadrada a ambos lados, observando que hay dos posibles
soluciones, el caso positivo y el caso negativo.
6. Por último despejas por la variable y esas son las raíces o ceros del polinomio.
Como ejemplo vamos a utilizar el ejercicio
.
Casos de factorización
Caso 1 - Factor común
Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término
común, entonces se puede sacar este término como factor común.
Caso 2 - Factor por agrupación de términos
En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es posible asociar por medio
de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al número de
términos de la expresión original. Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos,
o tres o mas términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que queda en los
paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de todos los paréntesis sea el
mismo y este será el factor común.
Caso 3 - Trinomio cuadrado perfecto
Una expresión se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de tres términos donde el
primero y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el
segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas raíces por el signo del
segundo término. El binomio así formado se eleva al cuadrado.
Caso 4 - Diferencia de cuadrados perfectos
Dos cuadrados que se están restando es una diferencia de cuadrados. Para factorizar esta
expresión se extrae la raíz cuadrada de los dos términos y se multiplica la resta de los dos términos
por la suma de los dos.
Caso especial: Se puede presentar que uno o los dos términos de la diferencia contenga mas de
un término.
Caso especial: Se puede dar una expresión de cuatro términos donde tres de ellos formen un
trinomio cuadrado perfecto que al ser factorizado y combinado con el cuarto término se convierta
en una diferencia de cuadrados, o pueden ser seis términos que formen dos trinomios cuadrados
perfectos y al ser factorizados formen una diferencia de cuadrados.
Caso 5 - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y
tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el término de la mitad no es el doble producto de
las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para
cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma
se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia
de cuadrados.
Caso especial: factorar una suma de cuadrados, se suma el término que hace falta para formar un
trinomio cuadrado perfecto y al mismo tiempo se resta esta misma cantidad, así tendremos un
trinomio cuadrado perfecto enseguida una diferencia de cuadrados.
Caso 6 - Trinomio de la forma
x2+bx+c
Esta clase de trinomio se caracteriza por lo siguiente:
El primer término tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado.
El segundo término tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la misma variable.
El tercer término es independiente (no contiene la variable).
Para factorar este trinomio se deben abrir dos factores que sean binomios, y donde el primer
término de cada binomio es la variable y el segundo término en cada uno de los factores
(paréntesis), son dos números , uno en cada paréntesis de tal forma que la suma de los dos del
coeficiente del segundo término del trinomio y la multiplicación de los dos del tercer término del
trinomio, el signo del segundo término de cada factor depende de lo siguiente:

° Si el signo del tercer término es negativo, entonces uno será positivo y el otro negativo, el
mayor de los dos números llevara el signo del segundo término del trinomio y el otro
número llevara el signo contrario.
° Si el signo del tercer término es positivo, entonces los dos signos serán iguales (positivos
o negativos), serán el signo del segundo término del trinomio.
Caso 7 - Trinomio de la forma
Este trinomio se diferencia del trinomio cuadrado perfecto en que el primer término puede tener
coeficiente diferente de 1.
Se procede de la siguiente forma:
Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, de esta forma se convierte en un
trinomio de la forma:
y se divide por el mismo coeficiente. Se factoriza el trinomio en la parte superior del fraccionario y
se simplifica con el número que esta como denominador.
Caso 8 - Cubo perfecto de binomios
Podemos asegurar que una expresión algebraica es un cubo perfecto si cumple las siguientes
condiciones:

Posee cuatro términos
° El primer y cuarto término son cubos perfectos (tienen raíces cúbicas exactas).
° El segundo termino sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado
por la raíz cúbica del último término.
° El tercer termino sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del último término -multiplicado
por la raíz cúbica del primer término.
° Los signos son todos mas o también podría ser positivo el primero y el tercero y negativo el
segundo y el cuarto.
Para factorizar un cubo perfecto se forma un binomio y se eleva al cubo, el primer término del
binomio es la raíz cúbica del primer término y el segundo término es la raíz cúbica del último
término. El signo del segundo término es mas si todos los signos del cubo son mas y es menos si
los signos del segundo y cuarto término del cubo son menos.
Caso 9 - Suma o diferencia de cubos perfectos
Su nombre lo indica, se reconoce por ser la suma o la resta de dos cubos. Su solución será dos
factores, el primero de ellos es un binomio formado por las dos raíces cúbicas de los términos
dados, el segundo factor esta formado por tres términos así: la priemra raíz al cuadrado, la primera
raíz por la segunda y la segunda raíz al cuadrado. Los signos pueden ser de dos formas acuerdo a
lo siguiente:
Caso 10 - Suma o diferencia de dos potencias iguales
Resumamos en la siguiente tabla las posibilidades:
Para an-bn con n = par o impar la factorización será:
Para an-bn con n = par la factorización será:
Para an+bn con n = impar la factorización será:
• Ecuaciones de primer y segundo grados
Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados
mediante operaciones matemáticas.
Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1
Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sóla letra (incógnita, normalmente la x).
Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4
Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por tanto
a 1).
Ejemplos :
3x + 1 = x - 2
1 - 3x = 2x - 9.
x - 3 = 2 + x.
x/2 = 1 - x + 3x/2
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
Las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas son aquellas en las que la variable está elevada al
cuadrado, el siguiente es un ejemplo de una ecuación cuadrática:
La ecuación solo tiene una incógnita, y ésta se encuentra elevada a la 1 y al cuadrado, además
hay términos independientes (números). Las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones
o ninguna. Este es un ejemplo de una ecuación cuadrática completa, ya que posee coeficientes
distintos de cero en los términos cuadráticos (x^2), lineales (x^1) e independientes (x^0).
Veamos entonces algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas incompletas:
Esta ecuación es muy fácil de resolver, ya que no se encuentra presente el término lineal:
Pero las ecuaciones cuadráticas tienen siempre dos soluciones, o bien ninguna, así que en este
caso una raíz cuadrada genera dos soluciones, una con signo positivo y otra negativo:
Y esto es cierto ya que tanto 2 como -2 elevados al cuadrado dan 4, así que siempre que
calculemos la solución de una raíz cuadrada se debe tener en cuenta que ésta genera dos signos.
Esto suele expresarse de la siguiente manera:
Esto es un poco confuso pero en realidad nos dice que hay dos soluciones, vemos que ambas
soluciones verifican la ecuación inicial. Veamos ahora otro caso, si la ecuación tiene términos
cuadráticos y lineales, pero no tiene términos independientes:
En este caso sacamos factor común X y razonamos de la siguiente forma:
Para que el primer miembro se haga 0 solo hay 2 alternativas: x es igual a 0 o (x+4) es igual a 0.
De aquí se obtienen las dos soluciones (que llamamos X1 y X2):
Vemos que las soluciones verifican. Finalmente vamos al caso más complejo que es el que
teníamos inicialmente:
Es muy difícil despejar x de esta ecuación (pero no imposible como veremos más adelante). Para
resolverla se utiliza una fórmula muy famosa, la fórmula de las soluciones de la ecuación de
segundo grado, la cual es atribuída a un indú de apellido Baskara, en primer lugar hay que pasar
todos los términos a un lado de la expresión de manera que quede igualada a cero. En segundo
lugar se identifican tres coeficientes llamados a, b y c (a=coeficiente cuadrático, b=coeficiente
linearl, c=término independiente).
La ecuación debe expresarse de la forma:
Por lo tanto operamos con la ecuación hasta llevarla a este formato (a, b y c son números en
definitiva).
Comparando encontramos que:
La fórmula que da las soluciones es la siguiente:
Fórmula de Baskara
Así que reemplazando los valores a, b y c:
Con lo cual obtenemos 2 soluciones, (ambas verifican la ecuación), una con el signo + y otra con el
-
Puede darse el caso que la ecuación no tenga solución (cuando queda una raíz negativa).
El tema es: de dónde sacó Baskara esta fórmula?, bueno, en realidad es sencillo, él encontró la
forma de construir un trinomio cuadrado perfecto (tercer caso de factoreo), aplicando algunos
"truquillos".
Fórmula de Baskara - Demostración
Ahora viene la parte divertida, la demostración. En primer lugar hay que llevar la ecuación a la
forma:
Luego se multiplica todo por 4a (la igualdad se mantiene desde luego):
Ahora sumamos y restamos b^2, de esta manera no cambia nada tampoco:
Ahora observemos los primeros 3 términos, se trata de un trinomio cuadrado perfecto, así que
factoreando se obtiene:
Y ahora es fácil despejar X:
Pero como vimos antes una raíz arroja 2 resultados, uno positivo y uno negativo así que queda:
Esta última es la famosa fórmula que nos da las soluciones para X.
• Proporciones y desigualdades
Desigualdades algebraicas
Definiciones:
Ley de la tricotomía:
"Para cada par de números reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las proposiciones:
Propiedades de las desigualdades
Teorema1-Propiedad transitiva:
Ejemplo ilustrativo:
Teorema2-Suma:
Ejemplo ilustrativo:
Teorema3-Multiplicación por un número positivo:
Ejemplo ilustrativo:
Teorema4:
Ejemplo ilustrativo:
Los Teoremas 1 a 4 también son válidos si se cambia ">" por "<"
Teorema5:
Teorema6:
"Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad, se cambia el sentido de la
desigualdad".
Teorema7:
Teorema8:
Teorema9:
Teorema10:
Teorema11: