Física Básica III

FísicaPrimera
Básica
III
Edición
Prof. Nestor Avilés R.†
Carrera de Física - Departamento de Física
Facultad de Ciencias y Tecnología
Universidad Mayor de San Simón
Transcripción y revisión
Freddy Flores F.
Auxiliar de Investigación y Laboratorios
Carrera de Física - Departamento de Física
Facultad de Ciencias y Tecnología
Universidad Mayor de San Simón
c copyright Cochabamba Febrero 2006
Índice general
Prefacio
1
1. Electrostática
1.1. Propiedades eléctricas de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. La carga fundamental, distribuciones continuas de carga, materiales
no conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Interacción Electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. El Campo Eléctrico E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Propiedades físico-matemáticas del campo eléctrico. . . . . . . . .
1.3. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Resumen de las ecuaciones integro-diferenciales del campo electrostático .
1.5. Campos y Potenciales electrostáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Carga puntual q
Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Distribuciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Energía Electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1. Evaluación de la energía eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Ecuación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Ecuación de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9. Polarización Eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1. Dipolo Eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10. Efecto de un campo eléctrico sobre un dipolo . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11. Teoria macroscópica de la polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13. Densidad de energía eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13.1. Método del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13.2. Método del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.14. Capacitores, Capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.14.1. Capacitor Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.14.2. Capacitor Cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.14.3. Capacitor Esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15. Energía eléctrica de un capacitor cargado . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15.1. Capacitor Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15.2. Capacitor Cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15.3. Capacitor Esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.16. Red de capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
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ÍNDICE GENERAL
II
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2. Magnetostática
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. La ley de Ampere-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. La ley de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Torque Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Ecuaciones Integro-Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Potencial vectorial Magnético . . . . . . . . . . . . .
2.5.2. Primera ecuación: Divergente Del Campo Magnético .
2.5.3. Segunda Ecuación: Rotacional Del Campo Magnético
2.6. Campos Magnéticos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Magnetización De La Materia . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1. Ecuaciones Macroscópicas . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2. Condiciones De Contorno . . . . . . . . . . . . . . .
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1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
1.16.1. Capacitor equivalente para la conexión en serie . .
1.16.2. Capacitor equivalente para la conexión en paralelo
Fuerzas internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Corriente eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.18.1. Intensidad de corriente . . . . . . . . . . . . . . .
1.18.2. Densidad de corriente . . . . . . . . . . . . . . .
1.18.3. Ecuación de la continuidad . . . . . . . . . . . . .
Circuitos de corriente directa . . . . . . . . . . . . . . . .
1.19.1. Modelo clásico de los metales . . . . . . . . . . .
1.19.2. Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.19.3. Enfoque energético de un circuito resistivo . . . .
1.19.4. Red de resistencias . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.19.5. Distribución del potencial en una resitencia . . . .
1.19.6. Equilibrio eléctrico de un conductor cargado . . .
Redes de corriente directa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.20.1. Ley de nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.20.2. Ley de mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.20.3. Método de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.21.1. Proceso de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.21.2. Proceso de descarga . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Campos Electromagnéticos
Variables En El Tiempo
3.1. Inducción Electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Ley de Henry-Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Formulación Analítica De La Inducción . . . . . . . . . . . . .
3.1.3. Inducción por deformación o movimiento del circuito inducido.
3.1.4. Coeficiente de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5. Inducción Mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Energía asociada al campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. TEORIA DE MAXWELL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Corriente de desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Generalización de la ley de Ampere . . . . . . . . . . . . . . .
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ÍNDICE GENERAL
III
3.3.3. Ecuaciones del campo electromagnético: E(r, t), B(r, t)
3.3.4. Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA DE LA LUZ . . . . . . . .
3.4.1. Expresiones Cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2. Densidad de energía electromagnética . . . . . . . . . .
3.5. Estados de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bibliografía
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A. Definiciones, Identidades y Teoremas Vectoriales
A.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1. Coordenadas Rectangulares (x, y, z) .
A.1.2. Coordenadas Cilíndricas (ρ, φ, z) . .
A.1.3. Coordenadas Esféricas (r, θ, φ) . . .
A.2. Identidades Notables . . . . . . . . . . . . .
A.3. Teoremas de Integración . . . . . . . . . . .
169
169
169
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170
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170
B. Constantes Físicas
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C. Tabla de derivadas e integrales
173
C.1. Propiedades especiales de las derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
C.2. Derivada para diversas funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
C.3. Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
IV
ÍNDICE GENERAL
Prefacio
Este libro – que hoy se publica1 – es el resultado de la fructífera y larga experiencia que como docente de
la materia de Física Básica III realizó el profesor Nestor Avilés Ríos cuando se desempeñaba como docente
a dedicación exclusiva en los años 1993-1994. Se pretende lograr que este trabajo sea un texto de apoyo para
los estudiantes de Ingeniería y de las licenciaturas en Física, Matemáticas y Química que cursan la materia
de Física Básica III. Los temas de electrostática y magnetostática están desarrollados con los ejemplos más
clásicos, de una manera amplia, completa y detallada; tal el caso de los materiales dieléctricos, en el que se
hace un estudio profundo de la teoría macroscópica de la polarización de dichos materiales. Se presentan las
ecuaciones de La Place y Poisson, con sus respectivas condiciones de contorno, como una manera alternativa
de resolución de problemas. Además, se hace una introducción a la teoría ondulatoria de la luz presentando
las ecuaciones de Maxwell para diferentes condiciones y distintos medios; por último, se presentan las
distintas formas de polarización de la luz. Se ha empleado la resaltación en negrillas para denotar un vector.
En el apéndice A se presentan las identidades más notables del cálculo vectorial, los tres teoremas de
integración y las expresiones de los operadores (Divergencia, Nabla, Rotor) en los tres sistemas de coordenadas más usadas(Cartesianas, Cilíndricas y Esféricas). En el apéndice B se muestra una tabla de las
constantes físicas más empleadas; por último, en el apéndice C, se presenta una tabla de las derivadas e
integrales más utilizadas.
Cabe resaltar que estos capítulos sólo son una parte de los textos normales de electromagnetismo, que
se cursa adicionalmente en dos semestres normales en las carreras de Física de la FCyT.
El profesor Físico-Matemático Nestor Avilés ejerció la docencia durante varios años en la Facultad
de Ciencias y Tecnología de la UMSS, en diversas carreras de Ingeniería y licenciaturas que ofrece esta
Facultad, en particular, en las Carreras de Física. Agradecer a Dios por las oportunidades que nos brinda
mientras nos permita seguir viviendo y a todos los que contribuyeron en la elaboración, de manera directa o
indirecta, para la edición de este texto; en especial al licenciado Remberto Portugal, Director de las Carreras
de Física, por su apoyo para la publicación de este trabajo.
Freddy Flores F.
1
Transcrito por iniciativa del estudiante Freddy Flores Flores de la Carrera de Licenciatura en Física, utilizando el editor de
textos científicos LATEXy los gráficos con software libre como el Gnuplot y Xfig en la plataforma Linux.
1
2
ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1
Electrostática
1.1. Propiedades eléctricas de la materia
1.1.1. La carga fundamental, distribuciones continuas de carga, materiales conductores y
no conductores
El término genérico de electricidad es una traducción del vocablo elecktron, con el cual los griegos se
referian al ámbar(resina fósil de color amarillo, origen vegetal, dura, quebradiza y aromática) que al ser
frotada adquiere la propiedad de atraer objetos ligeros. Este proceso sencillo, y sin el cual no hay manifestación alguna, permitió descubrir la interacción eléctrica a comienzos del siglo XVIII. Hoy, gracias a la
formulación y desarrollo de la teoria de la mecanica cuantica más las verificaciones experimentales, se sabe
que:
a) Las propiedades eléctricas de la materia están ligadas a su naturaleza atómica.
b) La estabilidad dinámica del átomo es de carácter eléctrico.
c) Tres partículas son constituyentes fundamentales del átomo, tales partículas son:
Tabla 1.1: Partículas que constituyen el átomo
Nombre
Electrón
Protón
Neutrón
Simbolo
e
p
n
Masa[Kgr]
9,11 × 10−31
1,67 × 10−27
1,67 × 10−27
Carga[C]
−1,6 × 10−19
+1,61 × 10−19
0
d) En estado natural, el número de electrones de un átomo es igual al número de sus protones, lo que justifica
su neutralidad eléctrica.
e) Todo átomo tiene un número finito de electrones(protones) al cual se hace referencia en su número
atómico, que permite una clasificación sistemática de los elementos químicos(tabla periódica). Dicha
clasificación empieza en el átomo más sencillo, el del hidrogeno con un solo electrón y aumenta progresivamente hasta el átomo de radio con 88 electrones, excluyendo los elementos lantánidos(tierras raras)
y los actinidos(activamente radiactivos).
3
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
4
f) Un átomo que perdie o gana electrones quedará con una carga residual positiva o negativa, en cualquier
caso su carga final Q será necesariamente un múltiplo entero de la carga fundamental e, esto es:
Q = ±ne, n = 1, 2, 3 . . .
(1.1)
y que simboliza una de las primeras leyes cuánticas en la naturaleza.
g) La materia, a escala macroscópica, está costituida por un elevadísimo número de átomos(o moléculas
en su caso); tan grande que no tendria sentido contar el numero contenido en un mol de materia. Qué
sentido tendría, por ejemplo contar el número de gránulos contenidos en una tonelada de azucar?
h) Al igual que un átomo, un sistema material se carga por déficit o exceso de electrones, sin embargo
la carga Q de un sistema material, he aqui la diferencia puede tomar cualquier valor en el intervalo
[−∞, +∞]. Evidencias teorico-experimentales confirman la presencia de dos tipos de materiales, eléctricamente diferentes: Los conductores y los no conductores ó dieléctricos. Los primeros son utilizados
para transportar ó almacenar energía eléctrica gracias a que intimamente disponen de electrones libres,
Los mismos que se desplazan caóticamente cuando la temperatura del conductor supera el cero absoluto.
Estos electrones, denominados periféricos o de valencia, alcanzan una concentración del orden de 10 28
por métro cúbico en los metales, los dieléctricos, al no poseer electrones libres, sirven como protectores
o aislantes para evitar la fuga de energía eléctrica en los procesos de conducción o en otras situaciones
para aumentar la capacidad de su almacenamiento.
La carga excedentaria de un conductor se distribuye superficialmente una vez logrado el equilibrio electrostático, mientras en un dieléctrico se distribuye de una manera no predeterminable. desde el punto
de vista teórico se hace necesario definir una ley de distribucuión mediante funciones escalares del tipo
dQ
, donde r define la posición del volúmen dV con carga dQ. Explicitar una ley de distribución
ρr =
dV
es uno de los problemas fundamentales de la teoría electrostática.
1.2. Interacción Electrostática
La transferencia electrónica de la superficie de un conductor a la de otro define básicamente su proceso de carga. Debido a sus portadores libres, un conductor es un excelente donador o aceptor de carga
eléctrica. Se han analizado y puesto en práctica dos métodos muy eficaces para extraer electrones de una
placa conductora: La termoemisión, donde los electrones son liberados por absorción de energía térmica;
la fotoemisión que usa la energía electromagnética de un fotón ultravioleta.
Finalmente todos estos procesos de transferencia nos permiten intuir que la carga total de un sistema aislado debe conservarse. En realidad este es el contenido fáctico del denominado Principio de conservación
de carga eléctrica, en el sentido que ella no se crea ni destruye.
Dos esferitas cargadas(cargas puntuales)se atraen o repelan. La interacción entre cargas de igual signo genera
una fuerza repulsiva, la de signos contrarios una fuerza atractiva. Este comportamiento cualitativo es de fácil
prueba experimental.
1.2.1. Ley de Coulomb
En 1785 el físico frances Carlos Agustin Coulomb sintetizo el trabajo de muchos investigadores contemporaneos uniendo un modelo matemático para el cálculo de fuerza electrostática, dicho modelo esta
sintetizado en los siguentes postulados.
1.2. INTERACCIÓN ELECTROSTÁTICA
5
1. La fueza electrostática es central, es decir tiene dirección de la recta que une las cargas interactuantes.
PSfrag replacements
2. La magnitud de dicha fuerza es proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia que los separa.
La transcripción vectorial de ambos postulados y en acuerdo a la configuración que se detalla en el
figura 1.1 debe ser:
m0
q0
r
F
m
q
0
−r
r0
q0
F0
r
r0
q
−r
r
r0
0
0
Figura 1.1: Postulado de acción y reacción
Fe = K e
F0 e = K e
como:
r0 − r = -(r − r0 )
y
resulta de las ecuaciones 1.2 y 1.3
qq 0
kr
− r 0 k3
(r − r0 )
qq 0
(r0 − r)
kr0 − rk3
(1.2)
(1.3)
kr − r0 k3 = kr0 − rk3
Fe + F0e = 0
(1.4)
Lo que implica el postulado de acción y reacción y consiguientemente la ecuación:
Fe = ma
(1.5)
como fundamental en la electrodinámica.
La constante de proporcionalidad K e depende de las unidades de fuerza, carga y distancia. En el sistema
internacional dichas unidades son el Newton(N), el Coulomb(C) y el metro(m) respectivamente. En este
sistema
N · m2
Ke = 9 × 109
C2
Es pertinente recordar que en 1687, el físico ingles Newton propuso un modelo similar para el cálculo de la
fuerza atractiva gravitacional, tomando en cuenta la misma configuración anterior:
FG = −G
mm0
0
3 (r − r )
0
kr − r k
En el sistema internacional la constante de proporcionalidad G tiene el valor de:
2
−11 N · m
G = 6,67 × 10
Kgr 2
(1.6)
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
6
Si eventualmente fuesen: m = m0 = 1Kgr; q = q 0 = 1C y kr − r0 k = kr0 − rk = 1m; concluiríamos que
la fuerza eléctrica es 1020 veces mayor que la fuerza gravitacional. En general el efecto gravitacional es
despreciable en comparación al efecto eléctrico.
Ambos modelos de cálculo son proporcionales y en virtud de su verificación exerimental se toman como
leyes de la naturaleza.
Uno de los logros importantes del modelo gravitacional constituye en la desmostración analítica de las leyes
de Kepler referidas a la dinámica del sistema solar planetario; Mientras el modelo de Coulomb ha sido satisfactorio a escala atómica en la primera justificación de la estabilidad dinámica del átomo de hidrogeno.
1.2.2. El Campo Eléctrico E
El espacio físico modifica sus propiedades en presencia de un sistema con carga eléctrica, y de hecho
la ecuación de Coulomb cuantifica dicha alteración al introducirse la noción de campo eléctrico E, definido
por:
Fe N
E=
(1.7)
PSfrag replacements
q C
de modo que:
r−
q0
P
r0
r
r0
0
Figura 1.2: carga puntual q
1.
Para una carga puntual q:
E(r) = Ke
2.
Para un conjunto discreto qi0
E(r) = Ke
PSfrag replacements
q0
(r − r0 )
kr − r0 k3
N
X
i=1
qi0
kr −
r0i k3
qi0
(1.9)
p
0
r − ri
i
(r − r0i )
(1.8)
r
ri 0
0
Figura 1.3: conjunto discreto qi0
3.
Para una distribución continua
E(r) = Ke
Z
V
dq 0
0
3 (r − r )
0
kr − r k
(1.10)
1.2. INTERACCIÓN ELECTROSTÁTICA
PSfrag replacements
7
P
r0
dQ
V
r
0
r‘
O
Figura 1.4: Distribución continua q
Es necesario recordar que para sitemas continuos las diferentes distribuciones de carga son:
dq
dV
dq
0
σ(r ) =
dS
dq
0
λ(r ) =
dl
ρ(r 0 ) =
distribución de carga volumétrica
distribución de carga superficial
distribución de carga lineal
En general se advierte que E(r) es una función vectorial que debe cumplir con:
ı) Unicidad, esto es, r y E se corresponden biunivocamente.
ıı) Continua en el intervalo 0<r<∞, por lo tanto derivable.
1.2.3. Propiedades físico-matemáticas del campo eléctrico.
Si en la funcion vectorial:
E(r) = Ke
introducimos la identidad:
Z
V
ρ(r 0 )dV
0
3 (r − r )
0
kr − r k
∇kr − r0 k−1 = −
llegamos a:
E(r) = Ke
Z
V
(r − r0 )
kr − r0 k3
(1.12)
−∇kr − r0 k−1 ρ(r 0 )dV
que también se puede escribir de la forma siguente:
"
E(r) = −∇ Ke
Z
V
ρ(r 0 )dV
kr − r0 k
(1.11)
#
La función escalar que esta encerrada por los corchetes se denomina potencial electrostático.
Z
ρ(r 0 )dV
Φ(r) = Ke
0
V kr − r k
(1.13)
(1.14)
(1.15)
resultando:
E(r) = −∇Φ(r)
(1.16)
De manera que el campo eléctrico de una fuente cargada puede describirse por la función vectorial E(r) o
alternativamente por la función escalar Φ(r).
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
8
Primera ecuación fundamental forma diferncial
De la ecuación 1.16 obtenemos:
∇ × E(r) = −∇ × ∇Φ(r)
Como el rotor de cualquir gradiente es nulo, se cumple que:
(1.17)
∇ × E(r) = 0
Esta ecuación diferencial demuestra que cualquier campo electrostático, cualquiera que sea su fuente; es
irrotacional y por ello simboliza una propiedad matemática universal del E(r)
Segunda ecuación fundamental forma diferencial
∇ · E(r) = −∇ · ∇Φ(r) = −∇2 Φ(r)
Ahora bién:
2
2
∇ Φ(r) = ∇ Ke
Z
V
Z
ρ(r)dV
ρ(r 0 )∇2 kr − r0 k−1 dV
= Ke
kr − r0 k
V
(1.18)
y como:
Z
∇2 kr − r0 k−1 dV =
0
; ∀ r 6= r‘
−4π ; ∀ r = r 0
Se cumple que:
en el sistema internacional racionalizado.
∇ · E(r) = 4πKe ρ
Ke =
(1.19)
1
4π0
con lo que:
∇ · E(r) =
ρ
0
(1.20)
Ecuación diferencial, que a través de la divergente, proporciona el campo eléctrico en un punto con la
distribución de carga en el mismo punto.
Primera ecuación fundamental. Forma integral
Según el teorema de integración del rotor podemos obtener:
Z
S
∇ × E = 0 =⇒ ∇ × E · un dS = 0
I
∇ × E · un dS = 0 =⇒
E · dr = 0
C
Aqui S representa una superficie arbitraria y C su contorno.
En forma integral cualquier campo eléctrico de circulación cerrada es nula.
(1.21)
1.3. LEY DE GAUSS
9
Segunda ecuación fundamental. Forma integral
ρ(r)
ρ(r)dV
=⇒ ∇ · EdV =
o
o
Con el teorema de la divergencia en integración tenemos:
Z
Z
ρ(r)dV
=⇒
∇ · EdV =
o
V
I
Q
E · un dS =
o
S
∇·E=
(1.22)
Aqui S representa la superficie frontera del volumen V de distribución.
En forma integral el flujo del campo eléctrico, a través de la superficie limitante del volúmen de distribución,
es igual a la carga neta encerrada por dicha superficie.
1.3. Ley de Gauss
Puesto que el flujo eléctrico depende linealmente de la carga contenida en el volúmen de distribución, es
posible sustituir la superficie frontera S, por otra superficie geométrica SG, denominada superficie gausiana,
de libre elección y cuyas dimenciones no altera el valor de la carga contenida, de la ecuación 1.22 tenemos:
SG
S
S
Q
Q
V
V
Figura 1.5: Superficie gausiana SG
I
Q
E · un dS =
⇐⇒
o
s
I
SG
E · un dS =
Q
o
1.4. Resumen de las ecuaciones integro-diferenciales del campo electrostático
En un medio exterior vacío son las ecuaciones 1.17 1.20 1.21 1.22
I
∇ × E = 0 ⇐⇒ E · r = 0
c
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
10
I
Q
ρ
E · un dS =
⇐⇒
o
o
S
Si en la ecuacion de la divergente eq. 1.20 remplazamos
∇·E=
E = −∇Φ
pasamos a dos ecuaciones diferenciables escalares de marcado interes teórico, la primera:
ρ
∇2 Φ = −
o
(1.23)
llamada ecuación de Poisson, se resulve para puntos interiores de la fuente. La segunda:
∇2 Φ = 0
(1.24)
llamada ecuación de LaPlace nos proporciona la distribución de potenciales en puntos exteriores de la fuente.
Ambas ecuaciones, admiten soluciones relativamente simples, cuando se las plantea en problemas de alta
simetría, plana, cilíndrica o esférica, como se detallara oportunamente.
1.5. Campos y Potenciales electrostáticos
1.5.1. Carga puntual q
Campo eléctrico
P
r
PSfrag replacements
ur
q
Figura 1.6: carga puntual q situada en el origen
q
ur
(1.25)
r2
Función radial de simetria esférica, todos los puntos situados sobre una esfera de radio r y centrada en la
posición de la carga q, tiene el mismo valor de campo.
Por la integral de gauss:
E(r) = Ke
I
s
Q
o
E · un = E
E · un dS =
Constante para una superficie gausiana esférica de radio r. Asi.
I
I
q
q
EdS =
=⇒ E dS =
o
o
q
E(4πr 2 ) =
o
q
E=
4πo r 2
(1.26)
1.5. CAMPOS Y POTENCIALES ELECTROSTÁTICOS
11
E
ur
q
PSfrag replacements
Figura 1.7: función radial
Potencial eléctrico
Φ(r) = Ke
Φ(r) =
q
r
q
4πo r
(1.27)
Consiguientemente cualquier esfera centrada en la posición de q es una superficie equipotencial.
Puede verificarse que: E = −∇Φ, en efecto:
" #
dΦ
d Ke q
E = − un = −
ur
dr
dr
r
q
ur
r2
Esto prueba que el campo eléctrico, en cualquier punto es perpendicular a la equipotencial correspondiente
y que se orienta de mayor a menor potencial.
E(r) = Ke
1.5.2. Distribuciones continuas
Distribución lineal uniforme λ
Campo eléctrico
Fuente lineal de extención infinita.
según:
E = Ke
con:
resulta:
Z
dq
0
3 (r − r )
0
kr − r k
dq = λdl = λ|dr0 |
E = Ke λ
Z
∞
−∞
|dr|
0
3 (r − r )
0
kr − r k
integral vectorial que puede resolverse escalarmente en una base cartesiana según:
(1.28)
(1.29)
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
12
∞
z
r0
PSfrag replacements
0
P
r
x
y
−∞
Figura 1.8: Distribución lineal uniforme λ
r0 = (0,0, z)
dr = (0, 0, dz)
r = (0, y, 0)
kr − r0 k3 = (y 2 + z 2 )3/2
con lo que:
E = Ke λ
Z
∞
−∞
(y 2
r − r0 = (0, y, −z)
dl = |dr 0 | = dz
dz
(0, y, −z)
+ z 2 )3/2
(1.30)
de este modo:
Ex = 0; Ey = Ke λy
Z
∞
−∞
dz
; Ez = −Ke λ
2
(y + z 2 )3/2
Z
∞
−∞
(y 2
zdz
+ z 2 )3/2
(1.31)
puede demostrarse, al resolver la integral inmediata, que Ez = 0, y que al sustituir
Z = y tan θ
Ey = Ke λy
Z
π/2
−π/2
ysec2 θdθ
y 3 sec3 θ
(1.32)
llegamos a:
Ey =
2Ke λ
~ = 2Ke λ un
=⇒ E
y
y
(1.33)
campo perpendicular a su frente y que al ser inversamente proporcional a la distancia presenta simetria
cilíndrica. Tal condición nos permite simplificar su cálculo, usando la integral de gauss, una superficie
cilindrica de radio y, y longitud H, como se detalla en la figura 1.9
1.5. CAMPOS Y POTENCIALES ELECTROSTÁTICOS
13
λ
H
y
PSfrag replacements
ur
E
Figura 1.9: aplicación de la ley de Gauss
I
Q
o
I
λH
Euy · un dS =
o
I
λH
E dS =
o
λH
E(2πyH) =
p
E · un dS =
E=
λ
2πo y
(1.34)
Distribución lineal uniforme λ
Potencial eléctrico
Distribución lineal uniforme λ, sobre una fuente lineal de extención infinita:
Z
dq
Φ(r) = Ke
kr − r0 k
utilizando:
resulta
r0 = (0, 0, z)
kr − r0 k = (y 2 + z 2 )1/2
r = (0, y, 0)
r − r0 = (0, y, −z)
dl = |dr| = dz
Φ = Ke λ
y al sustituir:
(1.35)
Z
∞
−∞
dz
(y 2 + z 2 )1/2
z = y tan θ
se llega a:
Φ = Ke λ
Z
π/2
−π/2
y sec2 θdθ
y sec θ
(1.36)
(1.37)
(1.38)
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
14
Z
Φ = Ke λ
π/2
sec θdθ = 2Ke λ
−π/2
Z
π/2
sec θdθ
0
!,∞
z
1p 2
y + z2 Φ = 2Ke λ ln
+
y y
0
que equivale a calcular(por ser indeterminado)
Φ = 2Ke λ ln
"
z
+
y
lı́m
z→∞
!#
p
y2 + z 2
y
1
λ
λ
ln =⇒ Φ = −
ln y
2πo y
2πo
Φ=
(1.39)
(1.40)
nuevamente puede verificarse que:
E = −∇Φ
λ
d
ln y uy
−
E=−
dy
2πo
λ
uy
2πo y
E=
(1.41)
Distribución lineal uniforme λ sobre una espira circular de radio a
Campo eléctrico
r−
r0
r0 = (a cos φ, a sen φ, 0)
dl = |dr0 | = adφ =⇒ dQ = λadφ
r = (0, 0, z)
= (−a cos φ, −a sen φ, z)
E = Ke λa
resultando:
Z
2π
0
(a2
dφ
(−a cos φ, −a sen φ, z)
+ z 2 )3/2
Ex = E y = 0
Ez = 2πKe λa
(a2
campo axial que presenta un máximo en z =
z
λa
z
=⇒ Ez =
2
3/2
2
2o (a + z 2 )3/2
+z )
(1.42)
(1.43)
(1.44)
√
2
2 a
Potencial electrostático correspondiente
Φ = Ke λa
Z
0
2π
(a2
dφ
+ z 2 )1/2
2π
λa
√
Φ = Ke λa √
=⇒ Φ =
2
2
a +z
20 a2 + z 2
que presenta un máximo en z = 0
(1.45)
(1.46)
1.5. CAMPOS Y POTENCIALES ELECTROSTÁTICOS
15
z
PSfrag replacements
P
a
0
φ
dl
x
y
Figura 1.10: espira circular
Distribución superficial uniforme σ sobre una lámina circular de radio a
Campo eléctrico
E = Ke
Z
dq
(r − r0 )
kr − r0 k3
r0 = (r 0 cos φ, r 0 sen φ, 0)
kr − r0 k3 = (r 02 + z 2 )3/2
r = (0, 0, z)
0
r − r = (−r 0 cos φ, −r 0 sen φ, z)
z
P
PSfrag replacements
0
a
x
ds = r 0 dr 0 dφ
dq = σr 0 dr 0 dφ
y
Figura 1.11: distibución σ uniforme
E = Ke σ
Z
Ex = K e σ
Ey = K e σ
a
0
Z
Z
Z
a
0
0
a
2π
r 0 dr 0 dφ
(−r 0 cos φ, −r 0 sen φ, z)
(r 02 + z 2 )3/2
0
Z 2π
r 02 dr 0
− cos φdφ =⇒ Ex = 0
(r 02 + z 2 )3/2 0
Z 2π
r 02 dr 0
− sen φdφ =⇒ Ey = 0
(r 02 + z 2 )3/2 0
(1.47)
(1.48)
(1.49)
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
16
Ez = Ke σz
Z
a
0
en particular ∀ z = 0 =⇒ Ez =
r 0 dr 0
(r 02 + z 2 )3/2
Z
2π
1
dφ =⇒ Ez = 2πKe σz √
02
r + z2
0
#
"
σ
z
Ez =
1− √
20
a2 + z 2
,0
a
(1.50)
σ
20
y ∀ z = ∞ =⇒ E = 0
Puede darse un enfoque difernte a la solución del problema si consideramos la lamina circular como una
yuxtaposición de anillos de radio r 0 , en el rango:
0 ≤ r0 ≤ a
y establecemos la correspondencia(fig 1.12)
luego el aporte diferencial de cada anillo de radio r’ resulta ser:
dφ
0
r
r0
PSfrag replacements
dq = λr 0 dφ
λ = σdr 0
r
dφ
dq = σr 0 dφdr 0
Figura 1.12: anillos de radio r’
dEz =
Ez =
finalmente:
r 0 dr 0
σz
20 (r 02 + z 2 )3/2
σz
20
Z
a
0
r 0 dr 0
(r 02 + z 2 )3/2
"
#
σ
z
Ez =
1− √
20
a2 + z 2
Potencial electrostático
Φ(r) = Ke
y:
Z
dQ
kr − r0 k
(1.51)
con dQ = σr 0 dr 0 dφ
kr − r0 k = (r 02 + z 2 )1/2
(1.52)
1.5. CAMPOS Y POTENCIALES ELECTROSTÁTICOS
con lo que:
Φ = Ke
Z
a
Z
2π
0
0
17
σr 0 dr 0 dφ
=⇒ Φ = Ke σ2π
(r 02 + z 2 )1/2
a
σ p 02
Φ=
r + z2
20
0
σ p 2
Φ=
a + z2 − z
20 Z
0
a
r 0 dr 0
(r 02 + z 2 )1/2
(1.53)
(1.54)
Distribución superficial uniforme σ sobre una lámina de extención infinita
Campo eléctrico
E = Ke
Z
dQ
(r − r0 )
kr − r0 k3
dQ = σdS = σdydz
z
dq
y
PSfrag replacements
r0
r
0
P
x
Figura 1.13: Lámina de extensión ∞
r = (x; 0; 0)
r − r0 = (x; −y; −z)
Z ∞Z ∞
E = Ke
Ex = Ke σx
Z
∞
−∞
−∞
dy
Z
kr −
−∞
∞
−∞
(x2
r0 = (0; y; z)
= (x2 + y 2 + z 2 )3/2
r 0 k3
σdydz
(x; −y; −z)
+ y 2 + z 2 )3/2
dz
(k 2 + z 2 )3/2
donde :
k 2 = x2 + y 2
(1.55)
(1.56)
y con el cambio de variable: z = k tan θ la integral:
Z
∞
−∞
dz
=⇒
2
(k + z 2 )3/2
Z
π/2
−π/2
k sec2 θdθ
2
= 2
3
3
k sec θ
k
(1.57)
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
18
Ex = 2Ke σx
se transforma en:
Z
∞
−∞
x2
Ex = 2Ke σx
dy
+ y2
Z
π/2
−π/2
Ex = 2πKe σ =⇒ Ex =
con y = x tan φ
x sec2 φdφ
x2 sec2 φ
(1.58)
(1.59)
σ
σ
=⇒ Ex =
ux
20
20
(1.60)
puede verificarse que Ey = Ez = 0
Es un campo perpendicular a la lámina, y de módulo constante que cumple condiciones de simetría para
simplificar su cálculo mediante la aplicación de la integral de gauss. En efecto:
2
σ
S
1
PSfrag replacements
Figura 1.14: aplicación de la ley de Gauss
I
Q
equivalente en este caso a:
E · un dS =
0
s
I
I
σS
E · un ds + E · un ds =
0
1
2
para 1 y 2 de la figura 1.14 =⇒ E · un dS = EdS, esto es:
σS
0
σ
E=
20
2ES =
E=
σ
un
20
(1.61)
1.5. CAMPOS Y POTENCIALES ELECTROSTÁTICOS
19
Distribución superficial uniforme σ, sobre lámina infinita
Potencial eléctrico
Φ = Ke
resulta para:
Z
dQ
kr − r0 k
dQ = σ dydz
r = (x; 0; 0)
r0 = (0; y; z)
r − r0 = (x; −y; −z)
kr − r0 k = (x2 + y 2 + z 2 )1/2
de solución muy engorrosa. Sin embargo podemos intentar una solución alternativa según:
E = −∇Φ
que en el caso mencionado se reduce a:
σ
ux
E=
20
d
con ∇ =
ux
dx
luego
dΦ
σ
ux = − ux
20
dx
y
Z
0
con lo que:
Φ
σ
dΦ = −
20
Φ(x) = −
Z
x
dx
0
σ
x
20
(1.62)
donde se ha tomado arbitrariamente Φ = 0 para x = 0
Apatallamiento electrostático
Proceso que, esencialmente, consiste en confinar el campo eléctrico de un sistema cargado a determinada región del espacio.
Puede verificarse la ocurrencia de tal proceso en el siguente sistema eléctrico: Se trata de dos láminas paralelas de extensión infinita con distribuciones uniformes de diferente polaridad pero de igual valor absoluto(fig
1.15).
Observe que en todas las regiones:
|E+ | = |E− |
Y que el campo total, en cualquir punto, debe cacularse según el principio de superposición.
Tendremos oportunidad de hacer incapié en el apantallamiento eléctrico en la parte dedicado a los capacitores como condensadores de energía eléctrica.
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
20
+σ
PSfrag replacements
E=0
−σ
E=
σ
0
E=0
Figura 1.15: apatantallamiento electrostático
Distribución superficial uniforme σ sobre un cilindro conductor de radio a
Campo eléctrico
según la integral de Gauss
para r< a =⇒ E = 0
y para r≥a
I
sG
E · un dS =
Q
0
a
r
H
E
PSfrag replacements
ur
a
Figura 1.16: Cilindro Conductor σ
después de simplificar:
E=
Z
dS =
σ2πaH
0
E2πrH =
σ2πaH
0
E
σa
;
0 r
o por ser un = ur
E=
σa
ur
0 r
(1.63)
1.5. CAMPOS Y POTENCIALES ELECTROSTÁTICOS
21
Puede ser interesante asociar la distribución σ, con una distribución λ sobre una línea coaxial con el cilindro
conductor. Ello es posible si establecemos la igualdad:
λH = σ2πaH =⇒ σ =
Y sustituyendo en el campo eléctrico:
E=
λ
2πa
λ
ur
2π0 r
(1.64)
σa
ur
0 r
(1.65)
que es naturalmente, equivalente a:
E=
de modo que, en el dominio r≥a, el campo eléctrico de un cilindro conductor es idéntico al de una línea de
carga coaxial con el.
Distribución superficial uniforme σ, sobre un cilindro conductor de radio a
Potencial eléctrico
Como el campo eléctrico correspondiente presenta simetría cilíndrica establecemos:
dΦ
σa
ur = − ur
0 r
dr
entonces:
Z
y:
Φ
0
σa
dΦ = −
0
Φ=−
Z
1
r
dr
r
σa
σa 1
ln r =
ln
0
0
r
(1.66)
con la elección arbitraria Φ = 0 para r = 1
Distribución uniforme ρ, en el volúmen de un cilindro de radio a
Campo eléctrico
En virtud de su simetría cilíndrica fig. 1.17 y por la integral de gauss; para el dominio r≤ a
Ei (2πrH) =
trás simplificar:
Ei =
ρr
ρr
=⇒ Ei =
ur
20
20
En el dominio; r≥ a fig. 1.17
Ee (2πrH) =
Ee =
Puede verificarse que Ee = Ei en r = a
ρπr 2 H
0
(1.67)
ρπa2 H
0
ρa2
ρa2
=⇒ E =
ur
20 r
20 r
(1.68)
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
22
a
r
H
H
PSfrag replacements
r
Figura 1.17: distribución uniforme ρ
Potencial eléctrico correspondiente
Por la ecuación: E = -∇Φ: establecemos para r ≤ a
dΦi
ρr
ur = −
ur
20
dr
Z
Z
ρ
rdr
dΦi = −
20
Φi = −
ρr 2
+C
40
(1.69)
Aqui la constante de integración depende del nivel cero de potencial, el cuál puede resolverse en la región r
≥ a, en efecto:
dΦe
ρa2
ur = −
ur
20 r
dr
Z
Z Φe
ρa2 r dr
dΦe = −
20 1 r
0
Φe = −
ρa2
ln r
20
como:
Φi = Φe ; en r = a; resulta :
−
ρa2
ρa2
+C =−
ln a
40
20
(1.70)
1.5. CAMPOS Y POTENCIALES ELECTROSTÁTICOS
con lo que:
C=
ρa2
20
1
− ln a
2
23
(1.71)
Distribución superficial uniforme σ, sobre la superficie de una esfera de radio a
Campo eléctrico
Siendo el problema de simetría esférica(fig. 1.18), la integral de gauss conduce a:
∀r≤a
Ei (4πr 2 ) = 0 =⇒ Ei = 0 =⇒ Ei = 0
∀r≥a
como: σa2 =
Ee (4πr 2 ) =
σ4πa2
σa2
=⇒ E =
ur
0
0 r 2
(1.72)
Q
; donde Q es la carga total de la esfera, resulta que:
4π
E=
Q
ur
4π0 r 2
(1.73)
Es equivalente al campo eléctrico de una carga puntual ubicada en el centro de la esfera.
Q=0
a
r
PSfrag replacements
Q
a
r
Figura 1.18: esferas de distribución σ
Este comportamiento es bastante general, y de hecho el campo eléctrico exterior de cualquier distribución
de carga de una esfera, es identica al de una carga puntual ubicada en el centro de la esfera y de magnitud
igual a la carga de la esfera.
Potencial eléctrico correspondiente
Por integración de la función:
Φ(r) = Ke
dode:
Z
dQ
kr − r0 k
dQ = σR sin θdφRdθ
kr − r0 k = (r 2 + R2 − 2Rr cos θ)1/2
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
24
Z
2π
Z
π
σR2 sin θdθdφ
2
2
1/2
0 (r + R − 2Rr cos θ)
0
π
σR2 1 p 2
2π Φ(r) =
r + R2 − 2Rr cos θ 4π0 Rr
Φ(r) = Ke
0
Φ(r) =
Φ(r) =
"
2πσR
r + R − (r − R)
4π0 r
#
4πσR2
Q
=⇒ Q = 4πσR2 =⇒ Φ(r) =
4π0 r
4π0 r
Este resultado confirma el comportamiento exterior de una esfera cargada por el de una carga puntual Q
localizada al centro de la esfera(fig. 1.19).
P
0
PSfrag replacements
R
Figura 1.19: esfera distribución uniforme σ
Por integración del campo eléctrico:
dΦ = −E · dr =⇒ dΦ = −
Z
0
Φ
Q
dΦ = −
4π0
Φ(r) =
Z
r
∞
Qdr
4π0 r 2
dr
r2
Q
4π0 r
Aunque aqui se tomó arbitrariamente Φ = 0 ∀ r = ∞.
Como en el dominio 0 ≤ r ≤ a tenemos E = 0, resulta que al interior del conductor es equipotencial y el
valor característico del potencial es, en este caso:
Φ=
Q
4π0 a
1.5. CAMPOS Y POTENCIALES ELECTROSTÁTICOS
25
Distribución uniforme ρ, sobre el volúmen de una esfera de radio a
Campo eléctrico
en la región 0 ≤ r ≤ a
Ei (4πr 2 ) =
trás simplificar
Ei =
4πr 3 ρ
30
ρr
ρr
=⇒ E =
ur
30
30
En la región r≥ a
ρ
a
r
ρ
PSfrag replacements
a
r
Figura 1.20: E en la región r ≤ ay en r ≥ a
Ee (4πr 2 ) =
4πa3 ρ
30
ρa3
ρa3
=⇒
E
=
ur
30 r 2
30 r 2
Ee =
Potencial eléctrico correspondiente
En el dominio 0≤ r ≤ a
Z
dΦ = −
Φi = −
En el dominio r ≥ a
Z
0
Φ
ρ
30
Z
rdr
ρr 2
+C
60
ρa3
dΦ = −
30
Φe =
Z
r
∞
dr
r2
ρa3
30 r
Por la condición de frontera: Φi = Φe en r = a de modo que:
−
ρa2
ρa2
ρa2
+C =
=⇒ C =
60
30
20
si naturalmente elegimos Φ = 0 en r = ∞
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
26
1.6. Energía Electrostática
Se denomina energía electrostática, al equivalente eléctrico de la energía mecánica necesaria para trasladar
estáticamente una carga de prueba q entre dos puntos de un campo eléctrico E, siguiendo una trayectoria
apropiada, aunque arbitraria(fig. 1.21). El trabajo realizado por la fuerza mecánica, entre p i y pf es:
Z rf
Wm = −
Fm · dr
ri
Tratandose de una traslación cuasiestática, en todo punto debe cumplirse la igualdad:
Pf
q
Fm
PSfrag replacements
Fe
Pi
rf
ri
0
Figura 1.21: trabajo realizado por una carga q
Fm + Fe = 0 donde Fe = qE(r)
de modo que:
Wm = −
como:
Z
rf
ri
−Fe · dr = q
Z
rf
ri
E(r) · dr
E = −∇Φ(r)
y:
∇Φ(r) · dr = dΦ(r)
resulta:
Wm = −q
Z
rf
dΦ(r) si :
ri
Φ(rf ) = Φf ;
Φ(ri ) = Φi
llegamos a:
Wm = −q Φf − Φi =⇒ Wm = q Φi − Φf
Del análisis precedente concluimos que:
a) Un campo eléctrico traslada una carga positiva de mayor a menor potencial.
b) Un campo eléctrico traslada una carga negativa de manor a mayor potencial.
1.6. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA
27
c) El movimiento de una carga libre en un campo eléctrico satisface un principio de conservación similar
al de la energía macánica, si en él sustituimos la energía potencial gravitacional por la energía potencial
eléctrica, esto es:
1
1
( mv 2 + qΦ)i = ( mv 2 + qΦ)f
2
2
d) Por tanto es posible establecer la conversión de energía mecánica en energía eléctrica.
e) La medición de energía eléctrica involucra procedimientos de medición de energía mecánica.
f) Lo esencialmente medible de un campo elétrico es la diferncia de potencial o potencial relativo.
g) Al carecer de significado físico el potencial absoluto, la elección de un referencial nulo de potencial pasa
a constituirse en una solución de contorno. Por ejemplo, para problemas eléctricos de simetría esférica,
la elección Φ(∞) = 0, resulta muy ventajosa.
1.6.1. Evaluación de la energía eléctrica
a) Sistema discreto de N cargas puntuales.
designando con Wj , el trabajo realizado para trasladar la carga q j ,desde un punto Φ = 0 hasta la posición
rj fig. 1.22, anotamos:
Wj = q j Φi
donde:
Φi =
X
Ke
i
es decir:
Wj = q j
X
qi
krj − ri k
Ke
qi
krj − ri k
X
Wj
i
como:
W =
j
y con el propósito de sumar ambos índices i y j de 1,2,·... N escribimos:
PSfrag replacements
qj
qi
ri
rj
0
Figura 1.22: Sistema discreto de N cargas
i=N j=N
1XX
qi qj
W =
Ke
2
krj − ri k
i=1 j=1
j6=i
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
28
que resulta equivalente a :
W =
N
N
j
i
1X
1X
qj Φj =
qi Φi
2
2
b) Sistemas con distribución continua de carga
En estos casos resultará:
1
W =
2
donde:
dQ =
de modo que en general:

 σdS

Z
ΦdQ
(conductores)
ρdV
(no conductores)
I
Z
1
W =
2
1
σΦdS +
2
S
ρΦdV
V
donde S representa simbólicamente la superficie de un conductor y V el volúmen de un no conductor o
dieléctrico.
Algo más, como la superficie de cualquier conductor es equipotencial, la energía eléctrica equivalente al
proceso de carga de cualquiera de ellos es:
I
1
1
W = Φs σds =⇒ W = ΦQ
2
2
s
de este modo, por ejemplo, para un conductor esférico de radio R y carga Q, obtendremos:
1
Q
1 Q2
W = Q Ke
=⇒ W = Ke
2
R
2
R
1.7. Ecuación de Laplace
Las soluciones de la ecuación:
∇2 Φ = 0
Deben interpretarse como funciones de distribución del potencial en espacios vacios o libres de carga eléctrica. Tales soluciones se obtienen facilmente en situaciones de alta simetria, como se detalla a continuación:
ı) Simetría plana o cartesiana: Φ = Φ(x)
en este caso:
dΦ
d2 Φ
= 0 =⇒
=A
dx2
dx
con lo que Φ resulta:
Φ(x) = Ax + B
ıı)
(1.74)
Simetría cilíndrica. Si r simboliza el radio del cilindro: Φ = Φ(r)
dΦ
1 d dΦ
dΦ
A
r
= 0 =⇒ r
= A =⇒
=
r dr dr
dr
dr
r
entonces:
Φ(r) = A ln r + B
(1.75)
1.8. ECUACIÓN DE POISSON
ııı)
29
Simetría esférica: Φ = Φ(r), aqui r representa el radio esférico.
1 d 2 dΦ
dΦ
A
dΦ
= −A =⇒
=− 2
r
= 0 =⇒ r 2
2
r dr
dr
dr
dr
r
entonces:
A
+B
r
En todos los casos A y B, deben determinarse con las condiciones de contorno.
Φ(r) =
(1.76)
1.8. Ecuación de Poisson
Las soluciones de la ecuacíon:
ρ
0
representan las funciones de distribución de potenciales en medios materiales con distribuciones continuas
de carga eléctrica.
Para leyes ρ constantes y fuentes con simetría planas, cilíndricas o esféricas, se desarrollan soluciones inmediatas, como se detallan a continuación:
ı) Simetría plana Φ = Φ(x), de modo que:
∇2 Φ = −
ρ
dΦ
ρ
d2 Φ
= − =⇒
=− x+A
dx2
0
dx
0
entonces Φ(x) es:
Φ(x) = −
ıı)
(1.77)
Simetría cilíndrica: Φ = Φ(r)
ρ
dΦ
ρ 2
1 d dΦ
r
= − =⇒ r
r +A
=−
r dr dr
0
dr
20
entonces:
ρ
A
dΦ
=−
r+
dr
20
r
portanto:
Φ(r) = −
ıı)
ρ 2
x + Ax + B
20
ρ 2
r + A ln r + B
40
(1.78)
Simetría esférica: Φ = Φ(r)
1 d 2 dΦ
dΦ
dΦ
ρ 3
ρ
=⇒ r 2
r −A
=−
=−
r
−
2
r dr
dr
0
dr
dr
30
entonces:
dΦ
A
ρ
r− 2
=−
dr
30
r
portanto obtenemos:
ρ 2 A
r + +B
60
r
En todos los casos, las constantes A y B se determinarán por condiciones de contorno.
Ejemplos
Φ(r) = −
(1.79)
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
30
1.
Dos placas conductores paralelas separadas una distancia d se mantienen a una diferencia de potencial
V0 , si el volúmen entre los conductores tiene una distribución uniforme ρ (fig. 1.23), encontrar:
a) La función Φ(x)
b) El campo eléctrico entre las placas.
ρ
PSfrag replacements
0
d
V =0
x
V = V0
Figura 1.23: Placas conductores con ρ en su interior
Solución: Se encontró la solución general de la ecuación de Poisson para simetría plana:
Φ(x) = −
ρ 2
x + Ax + B
20
según la figura 1.23
∀x = 0 =⇒ V = 0
∀x = d =⇒ V = V0
Tales condiciones de contorno, aplicadas a la solución general de Φ para simetrías planas, nos permitirán calculara A y B; según:
0=B
V0
ρd
ρ 2
d + Ad =⇒ A =
+
V0 =
20
d
20
de modo que:
V0
ρd
ρ 2
x +
x
+
Φ(x) = −
20
d
20
en el dominio 0≤ x ≤ d
Para el campo eléctrico tenemos:
dΦ
ux
dx
ρ
V0
ρd
x−
E=
−
u~x ∀ 0 ≤ x ≤ d
0
d
20
E(x) = −
resulta:
En particular sí ρ = 0, es decir sí entre las placas conductoras se estableciera el vacio los resultados se
reducirían a:
V0
Φ(x) =
x
d
V0
E = − ux
d
1.9. POLARIZACIÓN ELÉCTRICA
2.
31
Dos conductores esféricos de radios a y b (a < b) se disponencon concentricamente y se mantienen a
potenciales Va y Vb respectivamente. si Va > Vb ; determinar:
a) La distribución radial de potenciales
b) El campo eléctrico en el dominio: a ≤ r ≤ b.
Solución: Dado que ρ, entre los conductores y tratandose de una simetria esférica, utilizamos la
ec. 1.76
A
Φ(r) = + B
r
de acuerdo a las condiciones de contorno:
Va =
A
+B
a
Vb =
A
+B
b
cuyas soluciones son:
A=
ab(Va − Vb )
b−a
B = bVb − aVa
de modo que:
ab(Va − Vb ) 1
+ bVb − aVa
b−a
r
ab(Va − Vb ) 1
E(r) =
ur
b−a
r2
Φ(r) =
1.9. Polarización Eléctrica
Se denomina así al proceso por el cuál un material no conductor, adquiere propiedades eléctricas. Tal
efecto es detectable cuando un campo electrostático actúa sobre un dieléctrico.
En lo que sigue enfocaremos, desde un punto de vista macroscópico la polarización de un dieléctrico.
1.9.1. Dipolo Eléctrico
EL dipolo eléctrico es, en general, una configuración estable formada por dos cargas de igual magnitud,la
una positiva, y la otra negativa, separadas una distancia pequeña(fig. 1.24).
A pesar del consiguente apantallamiento, originado por la polaridad opuesta de las cargas, el campo eléctrico
dipolar no se nulifica, aunque se debilita ostenciblemente.
De hecho el potencial eléctrico dipolar, según la disposición gráfica(fig. 1.24) que se muestra a continuación
es:
1
1
Φ(r) = Ke q
−
kr − lk r
como:
kr − lk
−1
2
2
= r + l − 2r · l
−1/2
=r
−1
2r · l
l2
1− 2 + 2
r
r
−1/2
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
32
PSfrag replacements
+q
l
0
P
−q
r
Figura 1.24: Configuración dipolar
l
llegamos a la conclución que la función Φ(r) depende, en particular, de la razón . Ahora bién sí restringir
mos el desarrollo a un cociente:
l
<<< 1
r
de modo que podamos aproximar:
n
l
≈0
r
a partir de n = 2; llegamos a:
kr − lk
−1
r·l
2r · l −1/2 ∼ −1
−1
∼
1+ 2
1− 2
=r
=r
r
r
1 r·l
kr − lk−1 ∼
= + 3
r
r
y reemplazando
1 r·l 1
∼
+ 3 −
Φ(r) = Ke q
r
r
r
r·l
r3
Finalmente sí definimos la configuración dipolar por el vector constante:
Φ(r) ∼
= Ke q
p = lı́m ql
l→0
q→∞
entonces:
p·r
r3
al vector p se denomina momento dipolar, algo más, puesto que E = −∇Φ(r) resulta
p·r
E = −Ke ∇
= −Ke (p · ∇)r −3 r
r3
Φ(r) = Ke
por ser p un vector constante, continuando el desarrollo:
−3
−3
E(r) = −Ke r(p · ∇)r + r (p · ∇)r
−4
−3
E(r) = −Ke r(−3r )(p · ∇)r + r (p · ∇)r
(p · ∇)r = r −1 (p · r)
y
(p · ∇)r = p
1.9. POLARIZACIÓN ELÉCTRICA
33
entonces:
E(r) = Ke
"
#
p
3p · r
r− 3
r5
r
puesto que r = rur , también es:
P
PSfrag replacements
P
r
p
r
p
0
ur
0
Figura 1.25: Momento dipolar eléctrico p
E(r) = Ke
"
#
p
3p · ur
ur − 3
r3
r
y para un origen O arbitrario fig. 1.26
PSfrag replacements
r−
p
0
r
r
r0
0
Figura 1.26: Momento dipolar eléctrico
E(r) = Ke
("
#
)
3p · (r − r0 )
p
(r − r0 ) −
kr − r0 k5
kr − r0 k3
Φ(r) = Ke
"
p · (r − r0 )
kr − r0 k3
#
Es ilustrativo verificar la neutralidad eléctrica del dipolo usando la integral de gauss fig. 1.27
I
Q
E(r) · un dS =
0
SG
que para el campo dipolar debe ser:
I
SG
E(r) · un dS = 0
Aunque el resultado no depende de la superficie gaussiana elegida ni de la posición relativa del dipolo al
interior de dicha superficie, facilitaremos la verificación usando una esfera de radio r, centrada en la posición
del dipolo; esto es:
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
34
θ
p
PSfrag replacements
r
φ
Figura 1.27: Neutralidad del p
E(r) = Ke
p
3p · un
un − 3
r3
r
dS = r 2 sen θdθdφ
un = ur ; p · ur = p cos θ
entonces:
I
I "
#
3p · ur
p
E(r) · un dS = Ke
ur − 3 · un r 2 sen θdθdφ
r3
r
I 3pcosθ p cos θ 2
−
r sen θdθdφ
= Ke
r3
r3
π
Z
Z π
2Ke p 2π
2πKe p
2 =
sen θ = 0
dφ
sen θ cos θdθ =
r
r
0
0
0
1.10. Efecto de un campo eléctrico sobre un dipolo
Consideremos un potencial descrito por la función Φ(r). El situar un dipolo en dicho campo, conduce a
dos problemas de bastante interes a saber:
I) La energía mecánica necesaria para tal localización
II) Los efectos dinámicos subsecuentes.
Para resolver ambas situaciones partiremos de la imagen primaria dipolar(fig. 1.28)
Energía mecánica:
W
y para l << r
= −qΦ(r) + qΦ(r + l)
Φ(r + l) ∼
= Φ(r) + (l · ∇)Φ(r); luego
W ∼
= −qΦ(r) + qΦ(r) + q(l · ∇)Φ(r)
W
en términos de p
~:
∼
= q(l · ∇)Φ(r)
1.10. EFECTO DE UN CAMPO ELÉCTRICO SOBRE UN DIPOLO
PSfrag replacements
+q
Φ(r + l)
35
Φ(r)
l
r
r+l
−q
0
Figura 1.28: Energía eléctrica
W
= (p · ∇)Φ(r) = p · ∇Φ(r)
E = −∇Φ
W
= −p · E(r)
(1.80)
que también simboliza la energía potencial eléctrica del dipolo p en el campo E(r)
Efecto dinámico:
a) Traslación:
F = −qE(r) + qE(r + l)
para l <<< r
E(r + l) ∼
= E(r) + (l · ∇)E(r)
∼ −qE(r) + q(l · ∇)E(r) + qE(r)
F =
F ∼
= q(l · ∇)E(r)
y en terminos de P
F = (p · ∇)E(r)
siendo p, un vector constante:
F = ∇(p · E(r))
F = −∇We
b) Rotación: El momento resultante respecto a 0 es:
τ0 = −r × qE(r) + (r + l) × qE(r + l)
en función de los desarrollos acotados:
τ0 ∼
= −r × qE(r) + (r + l) × q [E(r) + (l · ∇)E(r)]
trás simplificar:
τ0 ∼
= ql × E(r) + r × q(l · ∇)E(r)
(1.81)
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
36
y en terminos de p
τ0 = p × E(r) + r × ∇(p · E(r))
tomando el centro de momentos en la posición del dipolo, reducimos el resultado al torque eléctrico:
τ0 = p × E(r)
éste efecto direccional nos permitirá formular teóricamente la polarización de un dieléctrico.
1.11. Teoria macroscópica de la polarización
Recuerde que los dieléctricos carecen de portadores libres. a esta clase pertenecen, entre otros materiales,
el vidrio, el nilon, el azufre, el caucho, el petroleo, el agua destilada, el aire, el anhidrido carbónico . . . ..
Revizando las fórmulas químicas estructurales de una molécula de H 2 0 y otra de C02
Se evidencia que la primera presenta un momento dipolar neto, mientras la segunda es apolar. De modo
PSfrag replacements
H
p1
p1
p2
0
0
0
C
p
p2
H
Figura 1.29: Moléculas de H2 O y CO2
que los dieléctricos pueden ser clasificados como polares y no polores, a pesar de todo, ningun dieléctrico
genera expontaneamente efectos eletrostáticos pero, una vez polarizados estos efectos son particularmente
notables. La inmerción de una bateria en una cubeta con agua, polariza el líquido, estableciendose en él un
gradiente de potencial peligroso.
La acción de un campo eléctrico es impresindible en la polarización de un dieléctrico. el por qué del proceso,
solo lo podríamos responder a nivel proporcional en el universo de la fisíca clásica. Cualitativamente, la
polarización de un dieléctrico no polar puede deberse al efecto de la fuerza:
F = ∇(p · E)
(1.82)
Que originaría una redistribución de la carga eléctrica molecular, mientras la polarización de un dieléctrico
polar debería ser el resultado del momento eléctrico:
τ0 = p × E
(1.83)
que tendería a orientar los dipolos moleculares en la dirección del campo polarizante.
Ambas hipótesis proponen la neutralidad eléctrica del dielétrico polarizado.
cualquiera sean los detalles específicos del proceso podemos calcular el potencial de un dielétrico polarizado,
si a cada elemento de volúmen ∆V , de la muestra, asociamos un momento dipolar ∆p. Para eliminar la
dependencia entre ∆p y ∆V , definimos la polarización P del dieléctrico, como la razón:
dp
∆p
=
∆V →0 ∆V
dV
P = lı́m
(1.84)
Así P es un campo vectorial cuya extención esta definida por el volúmen del dieléctrico. Ahora bién el
1.11. TEORIA MACROSCÓPICA DE LA POLARIZACIÓN
37
P
r − r0
dp = P (r 0 )dV
PSfrag replacements
r
r0
0
Figura 1.30: Vector Polarización
potencial de un dipolo elemental de p, será:
dΦ(r) = Ke
Φ(r) = Ke
como quiera que:
Z
dp · (r − r0 )
kr − r0 k3
P(r 0 ) · (r − r0 )
dV
kr − r0 k3
r − r0
0
0 −1
3 = ∇ kr − r k
0
kr − r k
entonces:
Φ(r) = Ke
Z
V
integramos por partes:
∇0 · kr − r0 k
−1
P(r 0 ) · ∇0 kr − r0 k
−1
−1
dV
P(r 0 ) = ∇0 kr − r0 k · P(r 0 ) + kr − r0 k
P(r 0 )
∇0 · P(r 0 )
−1
∇0 kr − r0 k · P(r 0 ) = ∇0 ·
−
kr − r0 k
kr − r0 k
de modo que:
Φ(r) = Ke
Z
V
según el teorema de la divergencia:
Φ(r) = Ke
Z
P(r 0 )
∇ ·
dV + Ke
kr − r0 k
0
I
S
P(r 0 ) · un
dS + Ke
kr − r0 k
Z
V
V
−1
∇0 · P(r 0 )
−∇0 · P(r 0 )
dV
kr − r0 k
−∇0 · P(r 0 )
dV
kr − r0 k
(1.85)
recordando que una distribución, σ(r 0 ) y ρ(r 0 ), de carga libre originará una función potencial:
Z
I
ρ(r0 )
σ(r 0 )
dS
+
K
dV
Φ(r) = Ke
e
0
0
V kr − r k
S kr − r k
podemos asociar el potencial de un dieléctrico polarizado al potencial de una distribución de carga no libre
dada por las funciones:
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
38
ı) sobre la superficie del dieléctrico
σp (r 0 ) = P(r 0 ) · un
(1.86)
ρP (r 0 ) = −∇0 · P(r 0 )
(1.87)
ıı) sobre el volúmen del dieléctrico
con esto tenemos:
Φ(r) = Ke
Z
S
σp
dS + Ke
kr − r0 k
Z
V
ρp
dV
kr − r0 k
(1.88)
Según este enfoque un dieléctrico polarizado es equivalente a un sistema material cargado. La consistencia
matemática del enfoque precedente está avalada porque mantiene la neutralidad eléctrica del dieléctrico
polarizado, en efecto sumando las contribuciones, superficial y volumétrica de la denominada carga de
polarización o latente, se demuestra que:
I
I
Z
I
P · un dS = 0
P · un dS −
∇ · Pdv =
P · un dS −
Qp =
S
S
V
S
Resta indagar sí el modole propuesto es físicamente consistente, o para decirlo en términos más concisos;
existen inicialmente las cargas de polarización ? La pregunta esta dirigida en principio a los trabajos experimentales. En ellos se evidencia que muchos dieléctricos de composición homogénea manifiestan un
comportamiento lineal e isotrópico respecto a la acción polarizante de un campo eléctrico. Estas observaciones experimentales conducen a la ecuación:
P = 0 χe E
(1.89)
Donde la constante universal 0 aparece por razones de simetría y χe > 0, es la constante caracteristico del
dielétrico. La suceptibilidad eléctrica del dieléctrico, como se denomina a esta constante, puede interpretarse
como una medida de la inercia del dieléctrico a su polarización.
Es evidente la analogía con la ley de Hook en el dominio elástico de los resortes más aún, si evidencias
experimentales confirman que los dieléctricos, al igual que los resortes, recuperan su estado original al
eliminar el campo polarizante siempre y cuando la magnitud del campo no exeda determinados valores
críticos. A estos valores máximos, uno para cada dieléctrico, se los denomina genéricamente tensiones de
roptura. Concretamente la ecuación:
P = 0 χe E
Simboliza el comportamiento elasto-eléctrico de un dieléctrico y nos permite avanzar en la descripción
cuantitativa de la polarización, pués a través de:
ρp = −∇ · P
podemos repostular la ecuación fundamental:
∇·E=
considerando ρp ; es decir:
∇·E=
o
ρ
0
ρ + ρp
0
~ =ρ−∇·P
∇ · 0 E
(1.90)
1.11. TEORIA MACROSCÓPICA DE LA POLARIZACIÓN
39
y
∇ · (0 E + P) = ρ
Introducimos el campo auxiliar:
D = 0 E + P
reducimos a:
∇ · D = ρ =⇒
I
SG
D · un dS = Q
(1.91)
(1.92)
Donde ρ representa la ley de distribución de cargas libres, y Q la carga total libre encerrada por la superficie
gaussiana.
en los dieléctricos LIH (lineales,isotrópicos,homogeneos)
P = 0 χe E
y reemplazando en D:
D = 0 E + 0 χe E = 0 (1 + χe )E
definiendo la permitividad del dieléctrico por:
= 0 (1 + χe )
y la permitividad relativa por:
K=
= 1 + χe
0
(1.93)
(1.94)
concluimos que:
(1.95)
D = 0 KE
~ el campo generado por cargas libres y de polarComo D es el campo producido por las cargas libres y E
ización , este último es más debil que el primero, esto es:
E=
D
con K > 1
0 K
La inclusión del vector auxiliar D, llamado vector desplazamiento, resuelve satisfactoriamente la pregunta
formulada en referencia a las cargas de polarización.
El debilitamiento que experimenta el campo eléctrico de un conductor cargado inmerso en un fluido dieléctrico, sólo puede deberse al apantallamiento electrostático que las cargas de polarización, inducidas en el
dieléctrico, producen sobre las cargas libres del conductor. Este apantallamiento patentiza la existencia física de las cargas latentes o de polarización.
Para concluir, analizaremos la respuesta eléctrica de un conductor esférico de radio R, y carga total Q, rodeado por un dieléctrico gaseoso de constante K.
para r ≥ R y según:
I
D · un dS = Q
que por la simetría esférica del sistema se transforma en:
D(4πr 2 ) = QD =
Q
ur
4πr 2
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
40
Ke
PSfrag replacements
R
Q
Figura 1.31: Conductor esférico
por lo tanto:
Q
ur
4π0 Kr 2
E =
P = 0 (K − 1)
Q
ur
4π0 Kr 2
(K − 1)Q
ur
4πKr 2
P =
podemos calcular las cargas de polarización según:
a)
b)
σp = P · u n
ρp = −∇ · P
a) P en la superficie del dieléctrico es:
(K − 1)Q
ur
4πKR2
y un = −ur el unitario normal a la superficie del dieléctrico es opuesto al unitario normal a la superficie
del conductor,de manera que:
P=
(K − 1)Q
ur · (−ur )
4πKR2
(K − 1)Q
= −
4πKR2
σp = +
σp
y la carga total de polarización en la superficie interna del dieléctrico resulta ser:
K −1
Qp = −
Q
K
la carga neta, QN , que origina el campo eléctrico es:
QN
QN
QN
= Q + Qp
K −1
= Q−
Q
K
Q
=
K
como resultado del apantallamiento enunciado.
La figura 1.32 puede ser útil para comprender lo explicado:
1.12. CONDICIONES DE CONTORNO
41
Ke > 1
+
+
+
−
− −
+−
+
+ +
− −
−+
+− −
+
+ ++ −
+
PSfrag replacements + − +− +
+ −+ −
+
+
Ke > 1 + − + − + Q
−+ −+
+
+
−
−
+
+ −
+
+
+−
− + ++ −
+ −
−
+
−
−
+ + +
−
+
+
−
−
− +
+
+
Ke = 1
Q
Ke
Figura 1.32: carga Neta que origina el E
b)
como P(r) presenta simetría esférica:
ρp
ρp
1 d
2 (K − 1)Q
r
= − 2
r dr
4πKr 2
= 0
Los procesos de polarización descritos, el íonico y el de orientación, son transcitorios y concluyen tan
pronto se anule el campo polarizante, sin embargo hay materiales que presentan polarización permanente
aún después de eliminar el campo eléctrico: Es el caso de los denominados ferroeléctricos(compuestos de
titanio y bario) y el de los llamados electretos que se fabrican usando ciertas ceras o plásticos. En estos
materiales se pierde la linealidad e isotropía y en general su suceptibilidad es alguna función del campo, es
decir, se rigen por una ecuación del tipo:
P = χ(E)E
(1.96)
1.12. Condiciones de contorno
Las ecuaciones fundamentales de la electrostática, explicadas en los puntos que comparten dos dieléctricos LIH polarizados, permiten relacionar la magnitud de sus campos. Dichos puntos que pertencen a la
superficie de separación o interfase de los dieléctricos, satisfacen las denominadas condiciones de contorno
o frontera. La primera está relacionada con la ecuación:
I
E · dr = 0
C
aplicada a la curva cerrada ABCD de la figura 1.33 En este caso:
Z B
Z D
E1 · dr1 +
E · dr2 + Λ1 + Λ2 = 0
A
C
donde Λ1 y Λ2 representan las circulaciones adicionales respectivas: Para llegar a la interfase, tanto BC como DA
deben tender a cero, y en estas condiciones:
Z
Z
E1 · dr1 + E2 · dr2 = 0
(1.97)
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
42
PSfrag replacements
E1
un
B
A
K1
K2
C
D
E2
Figura 1.33: Interfase entre dos dieléctricos
donde: dr1 = dlut , y dr2 = −dlut reemplazando y factorizando:
Z
(E1 − E2 ) · ut dl = 0
(1.98)
que se cumple si: E1 · ut = E2 · ut =⇒ E1t = E2t , o en función del versor normal un :
(E1 − E2 ) × un = 0
Dicho de forma literal: "En cualquier punto de la interfase, las componentes tangenciales(en referencia a
la interfase) de los campos eléctricos tienen la misma magnitud
Al analizar la segunda solución de continuidad, recordemos que:
D1
PSfrag replacements
un S1
σ
S
K1
K2
S2
u0n
D2
s
Figura 1.34: Interfase para D1 y D2
Z
Z
D · un dS = σdS
D · un = σ =⇒
S
s
y aplicado al caso que nos ocupa toma la forma: fig. 1.34
Z
Z
Z
0
D1 · un dS +
D2 · u n dS + Φ = σdS
S1
S2
s
(1.99)
1.13. DENSIDAD DE ENERGÍA ELÉCTRICA
43
Donde Φ, representa el flujo de los campos por la superficie lateral del cilindro S 1 S2 . En la interfase S1 =
S2 = S, y la altura tiende al valor cero; en estas condiciones:
Z
Z
Z
0
D1 · un dS +
D2 · u n dS =
σdS
S
como: u0n = −un llegamos a:
S
Z
ZS
S
(D1 − D2 ) · un dS =
S
Z
σdS
S
[(D1 − D2 ) · un − σ] dS = 0
que se cumple, para cualquier punto de la interfase si:
(D1 − D2 ) · un = σ
donde σ representa la carga superficial libre en la interfase. Si dicha superficie es vacía(σ = 0), entonces:
(D1 − D2 ) · un = 0
D1 · u n = D 2 · u n
D1n = D2n
que traducida literalmente constituye la segunda condición de frontera.
En cualquier punto de la interface, las componentes normales(en referencia a la superficie) de los desplazamientos eléctricos tienen la misma magnitud
1.13. Densidad de energía eléctrica
La energía eléctrica, para distribuciones σ y ρ, de carga libre se obtuvo por las integrales:
I
Z
1
1
σΦdS +
ρΦdV
We =
2 S
2 V
en virtud da las relaciones:
σ = D · un
ρ = ∇·D
I
Z
1
1
ΦD · un dS +
Φ∇ · DdV
We =
2 S
2 V
donde S es la superficie frontera entre un conductor y un dieléctrico y V el volúmen exterior a los conductores.
La integral de volúmen puede desarrollarse por partes según:
∇ · ΦD = ∇Φ · D + Φ∇ · D
por lo cuál:
y:
Φ∇ · D = ∇ · ΦD − ∇Φ · D = ∇ · ΦD + E · D
Z
Φ∇ · DdV =
Z
∇ · ΦDdV +
Z
E · DdV
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
44
reemplazando:
1
We =
2
I
1
ΦD · un dS +
2
S
Z
V
1
∇ · ΦDdV +
2
Z
V
E · DdV
ó por el teorema de la divergencia:
I
I
I
Z
1
1
1
1
We =
ΦD · un dS +
ΦD · u0n dS +
ΦD · u00n dS +
E · DdV
2 S
2 S
2 SG
2 V
las dos integrales de superficie se cancelan, pués una esta referida a la superficie conductora y la otra a la
dieléctrica y para ellas:
u0n = −un
La tercera integral está referida a una superficie dilatable y sí la alejamos suficientemente de la fuente,
formada por conductores y dieléctricos, se anulará, dado el comportamiento de los campos en el infinito. De
modo que:
Z
1
We =
E · DdV
(1.100)
2 V
donde V excluye al volúmen ocupado por los conductores, sin ánimo de generar falsas interpretaciones, se
puede afirmar que todo campo eléctrico es un campo energético caracterizado por su densidad.
Ee =
1
dWe
= E·D
dV
2
(1.101)
En conclución disponemos de dos integrales para calcular la energía de un sistema cargado, es decir, dos
métodos alternativos que, con el propósito de identificarlos, los designaremos como el método del potencial
eléctrico y el método del campo eléctrico, respectivamente.
Al terminar este capítulo, y a manera de ejemplo, validaremos ambos métodos, calculando la energía eléctrica de una esfera de radio R y distribución uniforme ρ.
1.13.1. Método del potencial
We =
1
2
Z
ρΦdV
En el dominio r ≤ R, tomamos la solución esférica de la ecuación de poisson, esto es:
Φi = −
ρr 2 A
+ +B
60
r
donde A y B deben determinarse por condiciones de continuidad. Para la región r ≥ R, y por tratarse de
una esfera:
ρR3
Φe =
30 r
Las condiciones de continuidad en r = R, son:
a
b
Φe (R) = Φi (R)
dΦi
dΦe
=
dr
dr
1.13. DENSIDAD DE ENERGÍA ELÉCTRICA
45
a y
b hallamos los valores de A y B, esto es:
entonces con ρR2
ρR2 A
+ +B =
60
R
30
ρR
A
ρR
−
−
=−
30 R2
30
a
−
b
con esto tenemos:
A = 0
ρr 2
B =
20
entonces:
ρr 2 ρR2
ρ
Φi (r) = −
+
=
60
20
20
r2
R −
3
2
de modo que:
We =
We =
We =
r2
ρ2
2
R −
4πr 2 dr
3
0 20
Z πρ2 R
r2
2
R −
r 2 dr
0 0
3
4πρ2 R5
150
1
2
Z
R
1.13.2. Método del campo
1
We =
2
Z
E · Ddv
Por la integral de gauss para r ≤ R
Ei (4πr 2 ) =
Ei =
Ei =
4πr 3 ρ
30
ρr
30
ρr
ur
30
para r ≥ R
Ee (4πr 2 ) =
Ee =
Ee =
4πR3 ρ
30
ρR3
30 r 2
ρR3
ur
3r 2
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
46
de esta manera:
2
Z
1 ∞
ρR3
0
0
4πr dr +
4πr 2 dr
2 R
30 r 2
0
Z
Z
2πρ2 R 4
2πρ2 R6 ∞ dr
r dr +
2
90 0
90
R r
2πρ2 R5 2πρR5
+
90 5
90
2
5
4πρ R
150
1
2
We =
We =
We =
We =
Z
R
ρr
30
2
2
1.14. Capacitores, Capacitancia
El apantallamiento eléctrico nos sugiere la posibilidad de construir contenedores de energía eléctrica.
Tales dispositivos denominados genericamente capacitores(condensadores) constan de dos placas conductoras finitas, separadas entre si una distancia constante.
La finitud de las placas del capacitor introduce una ligera perturbación de los campos en el borde de las
placas que es controlable via experimental.
Trás el proceso de carga, que detallamos más adelante, una placa del capacitor adquiere carga positiva y la
otra negativa y ambas de la misma magnitud. De Hecho el valor absoluto se toma como carga del capacitor.
La geometría de las placas clasificará a los capacitores en: planos, cilíndricos, esféricos. Cualquiera de ellos,
una vez cargado, confina el campo eléctrico al espacio entre sus placas, de este modo, la energía eléctrica
asociada se almacena en el voúmen definido por sus placas y la constante de separación. Tales volúmenes,
segun la figura 1.35 :
R
PSfrag replacements
r
d
a
V = abd
b
r
H
V = π(R2 − r 2 )H
R
4
V = π(R3 − r 3 )
3
Figura 1.35: formas de capacitores
El volúmen útil de un capacitor puede estar al vacío o contener materiales dieléctricos.
Aunque la energía eléctrica no tiene consistencia material alguna(es en este sentido como la luz o el calor)
el hecho real de constituirse en el contenido de un capacitor cargado, nos induce a pensar en la capacitancia(capacidad) de almacenamiento del capacitor.
1.14. CAPACITORES, CAPACITANCIA
47
Evidencias teórico-experimentales confirman que todo capacitor tiene una capacitancia definida en función
de sus dimensiones geométricas y de las propiedades eléctricas de su núcleo o volúmen útil. El cálculo teórico de la capacitancia, no solo de un capacitor, sino de cualquier conductor, es variable porque el potencial
Φ de un sistema cargado es proporcional a su carga Q. sólo así la razón:
Q
Φ
es una constante que numéricamente no depende de Q. Este valor define la capacitancia C del sistema; es
decir:
Q
C=
(1.102)
Φ
La unidad internacional de capacitancia es el Faradio(F). Un capacitor de un faradio de capacitancia, carga
con un coulomb si se establece entre sus placas una diferencia de potencial igual a un voltio.
en el caso de un conductor esférico de radio R y carga total Q su potencial de superficie respecto al infinito
es:
Q
(1.103)
Φ=
4π0 R
de modo que su capacitancia es:
C=
Q
=⇒ C = 4π0 R
Φ
(1.104)
Si el conductor estuviese inmerso en un fluido dieléctrico de extentensión infinita, su capacitancia habrá
aumentado a:
C = 4π0 KR
(1.105)
donde K es la constante eléctrica del dieléctrico considerado. La presencia del dieléctrico aumenta la capacitancia del conductor, dicho de otra manera aumenta el valor de carga de saturación, o la magnitud de su
tensión de roptura. Este aumento que se verifica sin modificar el volúmen del conductor, justifica sobremanera la sustitución del término capacidad, usado en el sentido geométrico, por el de capacitancia.
El cálculo de capacitancia de un capacitor debe conducirse por:
ı) Se carga hipotéticamente el capacitor.
ıı) Con la información anterior se calcula la diferencia de potencial entre sus armaduras(placas).
ııı) Finalmente se aplica:
Q
C=
∆Φ
1.14.1. Capacitor Plano
Definido por el área A de las placas, la constante de placa d y en un núcleo vacio 0 .
La distribución de potenciales esta dada por:
Φ(x) = A1 x + B1
si
∀x = 0 =⇒ Φ(0) = V1
∀x = d =⇒ Φ(d) = V2
admitimos que: V1 > V2 , calculamos:
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
48
x
PSfrag replacements
A
d
0
0
Figura 1.36: capacitor plano
V1 = B 1
V2 = A 1 d + B 1
V2 = A 1 d + V 1
despejando A1
A1 = −
E=−
∆V
V1 − V 2
=−
d
d
dΦ(x)
ux =⇒ E = −A1 ux
dx
esto es:
E =
E =
∆V
ux
d
∆V
d
(a)
por la integral de gauss:
E =
E =
σA
σ
=⇒ E =
0
0 A
Q
(b)
0 A
igualando (a) y (b) llegamos a:
∆V
Q
=
d
0 A
por lo que:
C=
Q
0 A
=⇒ C =
∆V
d
Si se llenase el espacio entre las armaduras con un dieléctrico de constante K, la nueva capacitancia será:
C=
0 KA
d
(1.106)
1.14. CAPACITORES, CAPACITANCIA
49
A
PSfrag replacements
d
K
Figura 1.37: Capacitor plano llenado con un dieléctrico de constante K
Ri
PSfrag replacements
Re
Figura 1.38: Capacitor Cilíndrico
1.14.2. Capacitor Cilíndrico
Geométricamente definido por el radio interior R i , el radio exterio Re , la longitud H y el vacio entre
sus armaduras 0 .
La distribución de potenciales es, por la simetría cilíndrica:
Φ(r) = A ln r + B
si para:
r = Ri =⇒ Φ(Ri ) = Vi
r = Re =⇒ Φ(Re ) = V2
con Vi > Ve resolvemos:
Vi = A ln Ri + B
Ve = A ln Re + B
Ve − Vi = A ln
Re
Vi − V e
∆V
=⇒ A = −
= − Re
R
e
Ri
ln R
ln R
i
entonces:
B = Vi +
∆V
e
ln R
Ri
con lo que:
∆V
Φ(r) = − Re ln r +
ln Ri
y
E=
i
∆V
V i + Re
ln Ri
!
∆V 1
∆V ur
=⇒ E = r
r
e
e
ln R
ln R
Ri
Ri
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
50
Por la integral de gauss:
E(2πrH) =
Q
Q
=⇒ E =
0
2π0 Hr
de manera que:
ln
finalmente:
∆V
=
Re
Ri
C=
con un dieléctrico K, entre las placas:
C=
Q
2π0 H
2π0 H
Re
ln
Ri
2π0 KH
Re
ln
Ri
(1.107)
(1.108)
1.14.3. Capacitor Esférico
Definido geométricamente por el radio interior R i y el radio exterior Re y el vacio 0 entre ambos
conductores.
Para la distribución radial de potenciales:
Φ(r) =
A
+B
r
y
E=−
dΦ(r)
dΦ(r)
ur =⇒ E = −
dr
dr
A
E= 2
r
si imponemos las condiciones de contorno:
Φ(Ri ) = Vi
Φ(Re ) = Ve
con Vi > Ve de modo que:
A
+B
Ri
A
=
+B
Re
1
1
−
= A
Ri Re
Re − R i
= A
Ri Re
Vi =
Ve
Vi − V e
∆V
con lo que tenemos:
A=
Ri Re ∆V
Re − R i
1.15. ENERGÍA ELÉCTRICA DE UN CAPACITOR CARGADO
y sin calcular B determinamos:
Ri Re ∆V
(Re − Ri )r 2
E=
por la integral de gauss:
E(4πr 2 ) =
E =
al igualar:
51
Q
0
Q
4π0 r 2
Ri Re ∆V
Q
=
Re − R i
4π0
por lo cual:
4π0 Ri Re
Re − R i
(1.109)
4π0 KRi Re
Re − R i
(1.110)
C=
Con dieléctrico K entre las placas esféricas:
C=
1.15. Energía eléctrica de un capacitor cargado
1.15.1. Capacitor Plano
Con los parámetros A,d,0 tenemos:
+
∆V
−
PSfrag replacements
Figura 1.39: Energía eléctrica de un capacitor plano
We =
que al vacío es:
0
We =
2
WE
=
We =
Z
1
2
E 2 dV
Z
E · DdV
como :
E=
∆V
d
0 A
0 ∆V 2
Ad =
(∆V )2
2
d
2 d
1
C(∆V )2
2
(1.111)
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
52
1.15.2. Capacitor Cilíndrico
con los parámetro Ri , Re , H, 0 , en función del potencial ∆V de carga, tenemos:
E =
∆V 1
ln RE r
Ri
dV
We
= 2πrHdr

2
Z
0 Re  ∆V  2πHrdr
=
2 Ri
r2
ln Re
Ri
We =
We =
)2
Re
2π0 H(∆V
2 ln
Ri
e
2 ln R
Ri


1  2π0 H 
(∆V )2
2 ln Re
Ri
We =
1
C(∆V )2
2
(1.112)
1.15.3. Capacitor Esférico
con los parámetros Ri , Re , 0 , con un potencial de carga ∆V es:
E =
dV
=
We =
WE =
We =
We =
Ri Re ∆V
(Re − Ri )r 2
4πr 2 dr
Z
0 Re
Ri Re ∆V 2
4πr 2 dr
2 Ri (Re − Ri )r 2
1
0 Ri 2 Re 2 (∆V )2 4π 1
−
2(Re − Ri )2
Ri Re
1 4π0 Ri Re
(∆V )2
2 Re − R i
1
C(∆V )2
2
Concluimos que la iguladad:
1
We = C(∆V )2
2
puede usarse como fórmula recurrente en el cálculo de la energía eléctrica almacenada, cualquiera sea el
capacitor cargado.
1.16. Red de capacitores
Se denomina así a un grupo de dos o más capacitores interconectados:
Aunque por razones sistemáticas propondremos el análisis del proceso de carga de un capacitor, con viene
aclarar, a esta altura, que una vez cargado las placas de un capacitor se hacen perfectamente identificables
1.16. RED DE CAPACITORES
PSfrag replacements
53
C
2
1
Figura 1.40: Notación de un capacitor
por su polaridad a los bornes de un capacitor, como podemos observar en la figura 1.40.
PSfrag replacements
de este modo al disponer de un conjunto finito de capacitores(figura 1.41)
lograremos dos tipos básicos de interconexión(figura 1.42)
C1
C2
1
2
1
2
Cn
C3
2
1
2
1
Figura 1.41: red de capacitores
PSfrag replacements
1
C1
2
1
C2
2
C3
1
2
1
Cn
2
1
C1
1
2
1
Cn
C3
C2
2
1
2
1
2
2
Figura 1.42: conexión en serie y en paralelo
La primera recibe el nombre de interconexión paralelo, la segunda llamada interconexión en serie.
1.16.1. Capacitor equivalente para la conexión en serie
Puesto que entre dos capacitores adyacentes, no hay fuentes ni sumideros de carga, el principio de
conservación correspondiente, nos permíte afirmar que necesariamente:
Q1 = Q2 = Q3 = . . . ..... = Qn = Q
y por el equilibrio eléctrico debe cumplirse que:
V1 + V2 + V3 + . . . ..... + Vn = V
es decir:
así:
Q
Q
Q
Q
Q
+
+
+ . . . ..... +
=
C1 C2 C3
Cn
C
N
X 1
1
=
C
Ci
i=1
(1.113)
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
54
v1
C1
v2
C2
v3
C3
vn
Cn
Q1
Q2
Q3
Qn
C
Q
V
V
PSfrag replacements
Figura 1.43: Equivalenter para la conexión en serie
desde luego C es la capacitancia del capacitor equivalente.
1.16.2. Capacitor equivalente para la conexión en paralelo
Q1
Q3
Q2
Q
Qn
V
V
C1
C3
C2
C
Cn
Figura 1.44: Equivalente para la conexión en paralelo
Q1 + Q2 + Q3 + . . . ..... + Qn = Q
V1 = V2 = V3 = . . . ..... = Vn = V
de modo que:
N
X
(1.114)
Ci = C
i=1
Aplicaciones:
1.
Calcular la capacitancia C de un capacitor plano cuyo núcleo esta ocupada por dos dieléctricos LHI,
de constantes eléctricas K1 y K2 respectivamente. de la figura 1.45 tenemos A 1 + A2 = A, al aplicar
+
PSfrag replacements
A2
A1
+
d
K2
K1
V
−
−
Figura 1.45: Capacitor ocupado por dos dielectricos
una tensión de carga V en la interfase de los dieléctricos debe cumplirse:
E1 = E 2 = E =
V
d
1.16. RED DE CAPACITORES
55
además:
D1 = 0 K1 E
D2 = 0 K2 E
como en general D · un = σ
resulta:
σ1 = D 1 ;
Q1 = σ 1 A1 ;
σ2 = D2
Q 2 = σ 2 A2
y la carga total Q del capacitor será:
Q = Q 1 + Q2
Q = σ 1 A1 + σ 2 A2
Q = 0 K1 EA1 + 0 K2 EA2
0 K1 A1 0 K2 A2
Q =
V
+
d
d
de modo que:
PSfrag replacements
A1
K2
A1
d
A2
d
V
k2
K1
Figura 1.46: equivalencia del figura 1.45
0 K1 A1 0 K2 A2
+
d
d
C = C 1 + C2
C =
Así C, puede interpretarse como la capacitancia equivalente de dos capacitores en paralelo (figura
1.46).
2.
Calcular la capacitancia C, de un capacitor plano cuyo núcleo está ocupado por dieléctricos LIH, de
constantes eléctricas K1 , K2 respectivamente.
de la figura 1.47 notamos: d1 + d2 = d, aplicada la tensión de carga V la ecuación de continuidad en
la interfase es:
D1 = D 2 = D
D · un = σ =⇒ D = σ
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
56
PSfrag replacements
d1
A
K1
K2
d2
V
Figura 1.47: capacitor ocupado por dos dieléctricos configuración 2
ó
σA
Q
=⇒ D =
A
A
Sí nominamos V1 al gradiente de potencial entre la placa conductora y la interfase; y con V 2 al gradiente entre la interfase y la segunda placa conductora de modo que:
D=
V1 + V 2 = V
entonces:
V1
V2
y E2 =
d1
d2
= V 1 y E 2 d2 = V 2
E1 =
E1 d1
entonces:
E1 d1 + E 2 d2 = V 1 + V 2
E1 d1 + E 2 d2 = V
como:
E1 =
Q
D
=⇒ E1 =
0 K1
0 K1 A
analogamente:
E2 =
de modo que:
Q
0 K2 A
Qd1
Qd2
+
= V =⇒
0 K1 A 0 K2 A
Q
0 K1 A
d1
+
Q
0 K2 A
d2
=V
que también se puede escribir:
1
0 K1 A
d1
+
1
0 K2 A
d2
1
1
+
C1 C2
=
1
C
=
1
C
que puede interpretarse como la capacitancia C de dos capacitores en serie(fig. 1.48)
1.16. RED DE CAPACITORES
57
C1
A
d1
V
PSfrag replacements
A
C2
d2
Figura 1.48: Capacitores en serie
3.
Calcular la capacitancia C, de un capacitor plano de área A constante de placa d, y en cuyo núcleo
se ha localizado tres dieléctricos LIH, de constantes K 1 , K2 y K3 , respectivamente, se muestra en la
figura No 1.49
Solución Consideremos los siguientes capacitores:
A/2
A/2
d/2
PSfrag replacements
d/2
Figura 1.49: Capacitor con dieléctricos K 1 , K2 , K3
1
C1 =
2
C2 =
3
C3 =
0 K1 A/2
0 K1 A
=⇒ C1 =
d/2
d
0 K2 A/2
0 K2 A
=⇒ C2 =
d/2
d
0 K3 A
20 K3 A
=⇒ C3 =
d/2
d
1 y
2 forman una conexión en paralelo, entonces tenemos:
C 0 = C1 + C2 =⇒ C 0 =
3 y C 0 forman una conexión en serie, tenemos:
C=
0 (K1 + K2 )A
d
C 0 C3
20 K3 (K1 + K2 )A
=⇒ C =
0
C + C3
(K1 + K2 + 2K3 )d
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
58
1.17. Fuerzas internas
El método de los desplazamientos virtuales facilita el cálculo de las fuerzas internas en un sistema cargado formado por conductores y dieléctricos en estado de equilibrio. Tal método consiste en desplazar,
mediante una acción mecánica, el elemento del sistema sobre el cuál se desea calcular dicha fuerza y luego
permitir el reestablecimiento de la configuración inicial.
En general el desplazamiento virtual puede efectuarse a carga eléctrica constante, ó potencial eléctrico constante. En el primer caso se restablece al equilibrio original a expensas de la energía eléctrica del sistema, y
en el segundo a expensas de la energía eléctrica suministrada por la fuente de carga. El balance energético,
en el primer caso conduce a:
dWm + dWe = 0
(1.115)
y en el segundo caso a:
dWm + dWe = dWF
donde:
(1.116)
1
dWe = Φ(dQ) y dWF = Φ(dQ)
2
de modo que:
dWF = 2dWe
entonces: a carga constante se cumple que:
dWm = −dWe
y a potencial constante:
dWm = dWe
se advierte solo un cambio de signo.
Aqui en referencia a un sistema cartesiano:
dWm = Fx dx + Fy dy + Fz dz
∂We
∂We
∂We
dWe =
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
entonces si el proceso involucra mantener la carga constante:
F = −∇We
(1.117)
y si involucra mantener el potencial constante:
F = ∇We
Ejemplo 1
Un capacitor plano de área A, constante de placa d y al vacío 0 , se carga aplicando una tensión V. Logrado
el equilibrio se desconecta de la fuente. Calcular la fuerza eléctrica entre las placas del capacitor:
0 A
.
Solución La carga Q correspondiente a una tensión V es: Q = CV , donde C =
d
Desplazamos virtualmente una de las placas y la energía eléctrica es ahora:
We =
1 Q2
2 C
1.17. FUERZAS INTERNAS
59
x
PSfrag replacements
Q
A
Q
A
F
V
ux
0
Figura 1.50: Desplazamiento virtual de una de las placas
donde:
Q=
0 A
d
V
y C=
0 A
x
advierta que el capacitor original se extiende entre x=0, y x=d, sustituyendo:
1 0 A 2 2 x
We =
V
2
d
0 A
2
0 AV x
We =
2d2
y como F = −∇We
F=−
d
dx
0 AV 2
2d2
xux =⇒ F = −
0 AV 2
ux
2d2
Ejemplo 2
Repetir el cálculo anterior, sí el capacitor se mantiene ligado a su fuente de alimentación.
Solución para este caso expresamos :
1
We = CV 2
2
donde:
0 A
C=
x
We =
1 0 A 2
V
2 x
F = ∇We =⇒ F =
F = −
1 0 A 2
V ux
2 x2
finalmente para x = d
F=−
resultando nuevamente una fuerza atractiva.
Ejemplo 3
dWe
ux
dx
1 0 A 2
V ux
2 d2
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
60
Un condensador plano de área (l × l); constante de placa d y con un dieléctrico K entre sus armaduras
fig. ??, se conecta a una fuente V y una vez logrado el equilibrio se aisla de la fuente. Calcular la fuerza F
que actúa sobre el dieléctrico.
0 Kl2
0 KA
=
.
Solución La carga del capacitor es: Q = CV , donde C=
d
d
PSfrag replacements
K
V
Figura 1.51: Condensador de área l × l
Desplazamos virtualmente el dieléctrico(fig. 1.52) con lo que:
PSfrag replacements
K
0
x
0
Figura 1.52: Condensador de área l × l, desplazado virtualmente
C=
como:
0 lx 0 Kl(l − x)
0 l
+
=⇒ C =
[x + K(l − x)]
d
d
d
We =
We =
1 Q2
2 C
Q2
d
2 0 l[x + K(l − x)]
entonces:
F = ∇We =⇒ F =
F=
Q2 d d
[x + K(l − x)]−1 ux
20 l dx
Q2 d
1−K
ux
20 l [x + K(l − x)]
x = 0, corresponde a la configuración original del capacitor luego:
(K − 1)Q2 d
ux
20 lK 2 l2
(K − 1)d 20 K 2 l4 2
F = −
V ux
2 K 2 l3
d2
0
0 (K − 1)l
F = −
V 2 ux
2d
F = −
1.18. CORRIENTE ELÉCTRICA
61
ejemplo 4
Cuál es la fuerza sobre el dieléctrico, si el capacitor se mantiene conectado a su fuente de carga ?
En ese caso
1
CV 2
2
F = ∇We
We =
como:
0 l
[x + K(l − x)]
d
1 0 l
We =
[x + K(l − x)] V 2
2 d
0 l
F = − (K − 1)V 2 ux
2d
C =
También es atractiva.
1.18. Corriente eléctrica
Conceptualmente el término corriente eléctrica denota un movimiento ordenado de cargas.
Se puede establecer una corriente eléctrica, segun:
a) Poniendo en movimiento un sistema material cargado por déficit o exceso de eléctrones(método convectivo)
b) Generando gradientes de potenciales apropiados en el interior de un conductor neutro para orientar el
movimiento caótico de sus electrones libres. Es pertinente recordar que en los conductores matálicos(Li,Na,K,Rb,Cs,C
), las densidades de portadores libres son del órden de 10 28 electrones por metro cúbico(método conductivo).
1.18.1. Intensidad de corriente
Se define una corriente eléctrica por su intensidad i, esto es por la rapidez con la que fluye la carga a
través de una superficie control elegida en el medio portador. Simbólicamente será:
i=
dQ
; para corrientes no estacionarias
dt
i=
∆Q
; para corrientes estacionarias
∆t
Esta definición conlleva:
1.
La unidad internacional de corriente es el Amperio, según:
1Amperio = 1
2.
Coulomb
C
=⇒ 1A = 1
segundo
s
El sentido de circulación de la corriente por el movimiento de portadores positivos. La corriente
por el movimiento de portadores negativos contribuye al mismo valor de intensidad, pues para ellos:
dQ
dQ
−i = −
=⇒ i =
dt
dt
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
62
1.18.2. Densidad de corriente
Imaginemos una corriente de portadores libres q, velocidad de desplazamiento v d , y una superficie control ∆S, según la figura 1.53.
vd
q
v
vt
vn
un
∆S
PSfrag replacements
v · un ∆t
Figura 1.53: ordenamiento de las cargas
La cantidad de carga ∆Q que atraviesa la superficie ∆S en un tiempo ∆t, es igual al número de portadores
contenidos en el volúmen ∆V igual a:
∆V = (vd · un ∆t)(∆S)
Si N es la densidad de portadores, entonces:
∆Q = (N q)(vd · un ∆t)(∆S)
luego:
∆i =
∆Q
=⇒ ∆i = N qvd · un (∆S)
∆t
como:
ρ = N q =⇒ ∆i = ρvd · un (∆S)
En el proceso que nos ocupa, ρ representa la distribución espacial de la carga móvil en la corriente eléctrica,
y el producto, ρvd , la distribución de la corriente por unidad de área ó densidad de corriente J. De modo
que el campo vectorial:
J = ρvd
(1.118)
caracteriza, en magnitud y dirección como cualquier corriente eléctrica. La intesidad i de la corriente que
atraviesa una superficie control S, es decir igual al flujo del campo densidad J calculado para dicha superficie, esto es:
Z
i=
S
J · un dS
(1.119)
1.18. CORRIENTE ELÉCTRICA
63
1.18.3. Ecuación de la continuidad
Conceptualmente una corriente eléctrica presupone la existencia de portadores libres en determinado
medio. El ordenar el movimiento de estos portadores cargados no implica alterar su número, de modo que
cualquier corriente establecida debe ser compatible con la conservación de carga del medio portador. Esta
compatibilidad se traduce en una ecuación diferncial, la que puede obtenerse interponiendo una superficie
gaussiana en el flujo de cargas de cualquier corriente, para comparar la rapidez de cambio de la carga
obtenida al interior de la gaussiana con la rapidez de cambio en la carga que reciben.
Evidentemente, si al interior de la gaussiana no hay fuentes ni sumideros de carga, la suma de ambos cambios
debe ser nulo; esto es:
ρ(r, t)
PSfrag replacements
donde:
Figura 1.54: Lineas de corriente
I
dQ
J · un dS +
=0
dt
SG
Q =
dQ
dt
reemplazando:
I
SG
=
Z
ρ(r, t)dV
ZV G
VG
J · un dS +
(1.120)
∂ρ(r, t)
dV
∂t
Z
V
∂ρ
dV = 0
∂t
por el teorema de la divergencia:
Z Z
Z
∂ρ
∂ρ
dV = 0 =⇒
∇·J+
∇ · jdV +
dV = 0
∂t
∂t
VG
VG
igualdad que se cumple si en cada punto de la corriente se satisface la ecuación diferencial:
∂ρ
=0
∂t
denominada, ecuación de la continuidad referida al principio de conservación de carga.
En régimen estacionario:
∂ρ
=0
∂t
y la ecuación residual:
∇·J =0
∇·J+
es una ley fundamental en el análisis de circuitos eléctricos.
(1.121)
(1.122)
(1.123)
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
64
1.19. Circuitos de corriente directa
Se utilizan como redes de distribución de la energía eléctrica generada en los asientos de fuerza electromotriz(pilas, baterias) por medio de cables metálicos (conductores), en los cuales se establecen corrientes
conductivas que fluyen en un solo sentido: La red más elemental estará constituida por un generador de FEM
y un cable conductor que cierra el circuito(fig. 1.55).
i
+
FEM
i
i
+
−
−
+
−
PSfrag replacements
Pila
Bateria
Figura 1.55: circuitos simples cerrados
Los generadores proporcionan no sólo la energía que impulsa los portadores de un extremo al otro del conductor, sino también la necesaria para establecer el campo electrostático al interior del mismo conductor.
Esto significa que el campo, actuante, o por razones de identificación campo efectivo(E ef ), será:

 Es → al interior del conductor
F
Eef =
→ al interior del generador

q
y en general:
Eef = Es +
donde Es , simbliza el campo estacionario y
F
q
(1.124)
F
, la fuerza impulsora por unidad de carga eléctrica.
q
1.19.1. Modelo clásico de los metales
El modelo clásico de conducción en cables metálicos, propuesto por el físico aleman Drude el año 1900,
supone que establecida la corriente sobre cada portador(electrón) actúa una fuerza eléctrica:
F = qEef
(1.125)
La misma que origina en el portador una aceleración:
a=
qEef
m
(1.126)
en el recorrido libre que separa dos choques sucesivos del portador con la red cristalina fija del metal.
En cada choque la partícula cargada cede la totalidad de su energía cinética a la red transformándosde en
energía calórica(efecto Joule). Reinicia su movimiento, a partir del reposo, y tras un tiempo τ de recorrido
libre adquiere una velocidad:
v = aτ
(1.127)
1.19. CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA
65
inmediatamente antes de chocar. Puesto que, en condiciones estacionarias, la aceleración es constante, se
puede describir el movimiento del portador por la velocidad media:
< V >=
aτ
2
(1.128)
equivalente a su velocidad de desplazamiento v d . De manera que la densidad de corriente asociada será:
aτ
J = N qvd =⇒ J = N q
2
2
Nq τ
J =
Eef
2m
(1.129)
Aunque experimentalmente los recorridos libres y en consecuencia los valores de τ , se modifican drásticamente con la temperatura, dichos cambios son importantes a partir de ciertas temperatuaras. Por debajo de
ellas el factor:
N q2τ
2m
es una constante característica del material conductor, denominada conductividad( % ); es decir:
N q2τ
2m
(1.130)
J = %Eef
(1.131)
%=
de modo que la ecuación lineal:
sintetiza el modelo clásico de la conducción eléctrica, sí la aplicásemos un tramo pasivo de sección A y
longitud l(fig. 1.56), obtendríamos:
J = %Es =⇒
∆V
i
= %
A
l
en consecuencia:
l
PSfrag replacements
i
A
∆V
Figura 1.56: Modelo clásico de la corriente
l
∆V =
i
%A
(1.132)
que establece la proporcionalidad directa entre la diferencia de potencial ∆V del conductor, y la corriente i
que circula por él conforme a éste punto de vista la constante de proporcionalidad:
l
%A
denota la geometría del conductor(l, A) y su naturaleza específica %.
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
66
1.19.2. Ley de Ohm
El físico alemán Simón Ohm, quién en 1827 realizó las primeras pruebas experimentales a la conducción
eléctrica en los metales, caracterizo dicha constante como la resistencia R del conductor, esto es:
R=
l
ηl
=
%A
A
(1.133)
donde η, representa la resistividad del medio, obviamente:
η=
1
%
(1.134)
la relación final:
(1.135)
∆V = Ri
Se conoce precisamente como la ley de Ohm y es fundamental en el análisis de circuitos eléctricos.
La unidad internacional de resistencia es el omhio(Ω) y equivale a:
V
(1.136)
1(Ω) = 1
A
Resulta equivalente que la unidad de resistividad es el Ω · m, y la de conductividad el (Ω · m) −1 .
Algunos valores característicos de resistividad a temperatura 20 o se detallan a continuación:
ηAl = 2,83 × 10−8 (Ω · m)
ηCu = 1,69 × 10−8 (Ω · m)
ηAu = 2,44 × 10−8 (Ω · m)
ηN i = 7,24 × 10−8 (Ω · m)
1.19.3. Enfoque energético de un circuito resistivo
La ecuación básica de un circuito puede establecerse a partir de la ecuación vectorial:
J = %Eef
ηJ = Eef
y reemplazando:
F
q
F
ηJ = Es +
q
Eef
= Es +
Sí la aplicamos al tramo(a → b)fig. 1.57 representado en la forma;
F
= ηJ − Es
q
y desarrollamos las intergrales:
Z
b
a
F · dr
=
q
Z
a
b
ηJ · dr −
Z
a
b
Es · dr
1.19. CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA
67
i
PSfrag replacements
Vb
Va < V b
−
+
b
a
ε
Figura 1.57: Enfoque energético del circuito
concluimos que:
ε = iRab + (Vb − Va )
donde:
ε=
Z
b
a
F · dr
q
(1.137)
(1.138)
representa la energía eléctrica, que por unidad de carga transportada, suministra el generador(FEM).
Rab simboliza la resistencia del circuito entre a y b, La integración entre b y a, ó parte complementaria del
circuito, define la ecuación para un tramo pasivo; esto es:
Z a
Z a
0=
ηJ · dr −
Es · dr
(1.139)
b
Z
b
b
a
Es · dr =
Z
a
b
ηJ · dr
Vb − Va = iRba
(1.140)
La integración entre a y b, ó circuito cerrado:
I
I
I
F · dr
= ηJ · dr − Es · dr
q
Vε = iR
donde R representa la resistencia total de la malla.
Multiplicando cada término de la ecuación:
Vε = iRab + (Vb − Va )
(1.141)
por:
∆Q = i∆t
permitará un análisis energético del tramo elegido; en efecto:
Vε (∆Q) = i2 Rab (∆t) + (Vb − Va )(∆Q)
| {z } | {z } |
{z
}
1
2
3
1 El producto Vε (∆Q), es equivalente a la energía eléctrica que el generador debe producir para transportar
la carga ∆Q entre sus bornes, En cuanto cierra un circuito, el generador transforma irreversiblemente su energía interna en energía eléctrica.
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
68
En las pilas o baterías dicha energía es de naturaleza química.
2 i2 Rab , es el calor que por unidad de tiempo, discipa el conductor con corriente, en virtud de su resisten
cia.
3 (Vb − Va )(∆Q) = (∆V )(∆Q), la energía eléctrica necesaria para mantener el movimiento de la carga
∆Q, por el interior del conductor.
En resumen, parte de la energía interna transformada en el generador se radia al exterior en forma de calor
y la restante en el campo electrostático interior.
Gráficamente un circuito simple se representa del siguente modo( 1.58).
R
R
i
i
PSfrag replacements
+
−
−
+
r V
V
FEM ideal
FEM con resistencia interna
Figura 1.58: Circuito eléctrico simple
1.19.4. Red de resistencias
Una red está formada por un grupo finito, de dos o más resistores, interconectados; dos tipos de interconexión son rescatables:
PSfraga)replacements
Conexión Serie de la forma(fig. 1.59).
V1
R2
Vn
V3
R3
R1
Rn
V2
V
i
Figura 1.59: Conexión en serie
en ella se advierte claramente que:
V1 + V2 + V3 + . . . .... + Vn = V
i1 = i2 = i3 = . . . .... = in = i
por la ley de Ohm:
i(R1 + R2 + R3 + . . . .... + Rn ) = iR
1.19. CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA
69
de modo que:
R=
N
X
(1.142)
Ri
i=1
debe tomarse como la resistencia equivalente.
PSfragb)replacements
Conexión paralelo de la forma(fig. 1.60).
i
+
R1
R2
−
i1
Rn
R3
V
i2
i3
in
i
Figura 1.60: Conexión en paralelo
en esta interconexión se advierte que:
i1 + i2 + i3 + . . . .... + in = i
V1 = V2 = V3 . . . .... = Vn = V
V
V
V
V
V
+
+
+ . . . .... +
=
R1 R2 R3
Rn
R
y la relación que reduce el sistema a una resistencia equivlente es:
X 1
1
=
R
Ri
(1.143)
i=1
1.19.5. Distribución del potencial en una resitencia
La ecuación de continuidad:
∂ρ
=0
∂t
replacements
aplicadaPSfrag
a un resitor
con corriente estacionaria(fig. 1.61).
∇·J+
Ji = J f
Ji = Jf
Ji
Jf
∂ρ
=0
∂t
Figura 1.61: Corriente estacionaria
se reduce a:
∇·J =0
donde
J = %Es
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
70
y
Es = −∇Φ
sustituyendo sucesivamente:
∇2 Φ = 0
de modo que la distribución referida está contenida en la solución de la ecuación de Laplace, al igual que en
los problemas electrostáticos, excepto que para determinar las constantes de integración deben considerse:
1.
La continuidad del potencial eléctrico.
2.
La continuidad de la densidad de corriente.
1.19.6. Equilibrio eléctrico de un conductor cargado
Desde un punto de vista experimental y también teórico se ha reiterado que un conductor cargado en
equilibrio eléctrico adopta una distribución superficial de la carga exedentaria. Intentaremos un estudio más
detallado del problema en la transición ρ a ρ 0 ; donde ρ0 representa la distribución espacial de la carga libre
del conductor y ρ la distribución espacial de la carga que recibe. En el denominado régimen transitorio
podemos aplicar la ecuación:
∂ρ
∇·J+
=0
∂t
y a través de su solución calcular el tiempo que lleva al conductor anular el valor de ρ, y sustituirla por una
distribución superficial σ.
Ahora bién:
J = %E
∇ · J = %∇ · E
como:
ρ
donde es la permitividad eléctrica del conductor, reemplazando:
∇·E=
dρ
%
ρ+
=0
dt
y resolviendo llegamos a:
%
t
ρ = ρ0 e −
(1.144)
(1.145)
solución según cual: ρ = 0; para t = ∞:
esto nos fuerza a buscar una segunda solución físicamente aceptable introduciendo, para cada conductor su
constante de tiempo tc , según:
tc = = η
(1.146)
%
transcurrido el cual:
ρ0
= 0,37ρ0
e
e interpretar que el conductor cargado alcanza el equilibrio electrostático con una concentración de carga
excedentaria igual al 37 % de su concentración iónica.
La duración del transciente en el proceso de carga de los conductores caracteristicos es del orden de los
nanosegundos, por ejemplo para el Cu, de uso industrial muy extendido, es aproximadamente de 17 ns.
ρ=
1.20. REDES DE CORRIENTE DIRECTA
71
1.20. Redes de corriente directa
En general estan conformados por fems y resistencias interconectadas.
Resolver una red consiste en calcular todas las corrientes que circulan por los tramos pasivos y activos de la
red.
La solución sistemática de una red eléctrica propuesta inicialmente por el físico alemán Roberto Kirchoff
en 1847. En años posteriores y hasta finales del siglo pasado, se desarrollaron muchos métodos alternativos
de solución, como ser Thevenim, Norton, Delta, estrella, superposición, etc a pesar de su variedad todos
ellos se fundamentan en los principios universales de conservación: carga y energía: Kirchoff los propuso
del siguente modo:
1.20.1. Ley de nodos
Por nodo se entiende todo punto de la red donde confluyen tres o más conductores. Esta ley establece
que:
“La suma algebraica de las corrientes en un nodo es identicamente nula”.
La aplicación de esta ley, que configura la conservación de carga en los circuitos, conduce al planteamiento
de N-1 ecuaciones independientes, puesto que N es el número de nodos identificados en la red.
1.20.2. Ley de mallas
Da forma matemática a la conservación de la energía en la red y establece que:
“La suma algebraica de las caídas de tensión a lo largo de cualquier circuito elemental(mallas) de la red
es identicamente nula”
En ambas leyes, la suma algebraica, recuerda que la corriente eléctrica esta definida por su intensidad y por
su sentido de circulación .
Antes de ilustrar el manejo de los signos, en un nodo o una malla, debemos advertir que un generador entrega energía eléctrica a la red si la corriente que lo atraviesa se dirige de su borne (−) a su borne (+); en caso
contrario se lo identifica como generador contrafem y en estas circunstancias absorve energía de la red, es
el caso típico de un motor eléctrico.
Supongamos que, figura 1.62 representa un nodo cualquiera de una red, entonces por la ley correspondiente:
i1 + i2 − i3 = 0.
i1
i2
PSfrag replacements
i3
Figura 1.62: Representación de un nodo
Y en una malla aislada cualquiera(fig. 1.63).
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
72
ε1
R1
i3
PSfrag replacements
i1
ε2
R3
R2
i2
ε3
Figura 1.63: Malla aislada
la ley correspondiente se aplicará segun:
(1.147)
−ε1 + ε2 + ε3 − i1 R1 − i2 R2 − i3 R3 = 0
Recuerde que todos los sentidos han sido elegidos arbitrariamente:
A manera de verificación resolvamos las corrientes en la red que se ilustra en la figura 1.64:
1Ω
2Ω
3Ω
+
PSfrag replacements
6V
+
−
−
9V
4Ω
Figura 1.64: Circuito eléctrico
Fijamos arbitrariamente el sentido de las seis(6) corrientes a calcular, y aplicamos las leyes correspondientes
a 3 nodos y tres mallas(fig. 1.65).
1.20. REDES DE CORRIENTE DIRECTA
73
1Ω
PSfrag replacements
i1
2Ω
A
i6
i2
3Ω
i5
i3
+
6V
+
b
C
−
B
−
4Ω
i4
c
Figura 1.65: Circuito eléctrico
Nodos:
a
b
c
i1 + i5 − i3 = 0
i2 + i3 − i4 = 0
i4 − i5 − i6 = 0
Mallas:
A
B
C
− i1 − 3i3 + 2i2 = 0
− 9 + 4i4 + 3i3 = 0
6 − 2i2 − 4i4 = 0
La solución del sistema(6 × 6) conduce sucesivamente a:
B
C
b
4
i 3 = 3 − i4
3
i2 = 3 − 2i4
i2 + i3 = i4
con la que obtenemos los valores de:
10
18
i4 =⇒ i4 =
= 1,38(A)
3
13
= 0,24(A)
i4 = 6 −
i2
i3 = 1,16(A)
también los valores de i1 = −3(A); i5 = 4,15(A); i6 = 2,77(A)
El generador de 6(V)actúa como "motor"
a
9V
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
74
3A
0.24 A
1.16A
4.15 A
1.38 A
2.77 A
Figura 1.66: Corrientes del circuito
1.20.3. Método de Maxwell
El método consiste en resolver la red por las mallas complementarias, prefijando en ellas un sentido
arbitrario de recorrido(horario o antihorario), para la red propuesta(fig. 1.67):
1Ω
2Ω
3Ω
I1
PSfrag replacements
+
6V
+
−
I2
I3
−
4Ω
Figura 1.67: Aplicación del método de Maxwell
M allaI1 =⇒ 6I4 − 2I2 − 3I3 = 0
M allaI2 =⇒ −2I1 + 6I2 − 4I3 = −6
M allaI3 =⇒ −3I1 − 4I2 + 7I3 = 9
9V
1.21. CIRCUITO RC
75
Cuyas soluciones son: I1 = 3(A); I3 = 4,15(A); I2 = 2,77(A) ; las corrientes divisiorias son:
i2 = I1 − I2 =⇒ i2 = 0,23(A)
i3 = I3 − I1 =⇒ i3 = 1,15(A)
i4 = I3 − I2 =⇒ i4 = 1,38(A)
1.21. Circuito RC
Permíte el análisis de la carga y descarga de un capacitor según la figura 1.68
S
a
PSfrag replacements
R
C
b
−
+
ε
Figura 1.68: Carga y descarga de un capacitor
1.21.1. Proceso de carga
Ligando la llave S al terminal a, la ecuación del circuito es:
(1.148)
ε = V c + VR
donde:
VC =
Q
C
y
VR = iR = R
dQ
dt
de modo que:
Q
dQ
+R
C
dt
ecuación diferencial que puede resolverse por el método de separación de variables, según:
ε=
dQ
εC − Q
=
RC
dt
Z Q
Z t
dQ
1
=
dt
RC 0
0 εC − Q
εC − Q
t
=−
ln
εC
RC
t
− RC
Q(t) = εC 1 − e
La carga de saturación en el capacitor debe ser Q f = εC y así:
t
− RC
Q(t) = Qf 1 − e
(1.149)
(1.150)
(1.151)
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
76
de este modo la aproximación al valor Q f es asintótica, es decir, debería transcurrir un tiempo infinito
para saturar el capacitor. Resulta entonces físicamente más adecuado introducir la constante de tiempo del
capacitor a saber: tc = RC y advertir que al término del indicado tiempo:
Q = Qf 1 − e−1
Q = 0,63Qf
la carga en el capacitor es igual al 63 % de la carga final, y en estas condiciones, despreciando las fluctuaciones subsiguientes, suponer el circuito equilibrado. Por otro lado la corriente en el circuito es:
i=
i(t) =
dQ
dt
ε − t
e RC
R
(1.152)
de modo que, a diferencia de los circuitos resistivos se trata de una corriente no estacionaria.
1.21.2. Proceso de descarga
Al desligar la llave S del contacto en a, y conectarla al borde b, el capacitor previamente cargado
empezará a descargarse a traves de la resistencia R, según la ecuación:
0 = V c + VR
dQ
Q
+R
0=
C
dt
separando variables
(1.153)
dQ
dt
=−
, integrando:
Q
RC
Z
Q
Qf
1
dQ
=−
Q
RC
Z
t
dt
0
finalmente:
t
Q(t) = Qf e− RC
(1.154)
proceso que tampoco concluye sino en un tiempo infinito. Concretamente se supone finalizado el proceso
de descarga transcurrido el tiempo crítico t c = RC ; con una carga residual equivalente sólo al 37 % de la
carga inicial.
La corriente eléctrica correspondiente es:
Qf − t
e RC
RC
Cε − t
= −
e RC
RC
t
ε
= − e− RC
C
i(t) = −
i(t)
i(t)
(1.155)
ε
donde
, representa la corriente inicial en la descarga del capacitor y que naturalmente fluye en sentido
R
contrario al establecido en el proceso de carga.
1.21. CIRCUITO RC
77
Ambos procesos son fácilmente advertibles usando un osciloscopio de rayos catódicos para analizar gráficamente las tensiones en el capacitor y en la resistencia, segun:
t
− RC
VC = ε 1 − e
(1.156)
t
VR = εe− RC
respectivamente.
(1.157)
Ejercicios Propuestos
Ley de Coulomb
1.
2.
A que distancia deben estar dos protones para que la fuerza entre sí sea igual al peso de un protón en
la superficie terrestre ?
2
Se supone
que
un
protón
está
formado
por
dos
quarks
”arriba”
de
carga
+
e y uno ”abajo” de carga
3
1
− 3 e. Suponga que los tres quarks están equidistantes entre sí, a una separación de 1,5×10 −15 (m).
Calcular las fuezas electrostáticas entre cada par de los tres quarks.
3.
Dos iones de sodio, a una distancia de 2,3 × 10 −9 (m) entre sí, se repelan con una fuerza de 2,3 ×
10−10 (N ). Cuántos electrones o protones representan la carga de cada ión.
4.
En el modelo clásico del átomo de hidrógeno, el electrón describe una órbita circular alrededor del
protón, con un radio de aproximadamente de 5 × 10 −11 (m). Comparar las fuerzas eléctrica y gravitacional. para el par protón-electrón en el átomo de hidrógeno.
5.
Con referencia al átomo de hidrógeno; (a) Cuál es el periodo de circunvolución
del electrón ?. (b) Cuál es su momento cinético ? (c) Si sustituimos el par electrón-protón, por un par
resorte-electrón; determinar su constante elástica si el electrón debe oscilar con la misma frecuencia.
6.
Dos masas puntuales se colocan a una distancia de 8,75(cm) entre sí y se les transfiere iguales cantidades de carga a cada una. La primera, de 31,3(gr), tiene una aceleración inicial de 1,93(m/s 2 )
dirigida hacia la segunda partícula que a su vez presenta una aceleración inicial de 5,36(m/s 2 ), en
sentido contrario. (a) Calcular la masa de la segunda partícula. (b) Cuál es la carga de carga de cada
partícula ?
7.
Tres cargas: q1 , q2 , q3 , se ejercen fuerzas entre sí de la siguente magnitud y sentido: entre q 1 y q2 , a
12(cm) de distancia, la fuerza es atractiva de 0,91 × 10 −2 (N ); entre q2 y q3 , a 25(cm) de distancia,
la fuerza es atractiva de 7,2 × 10−3 (N ), y entre q1 y q3 a 12(cm) de distancia la fuerza es repulsiva
de 5,6 × 10−3 (N ). Determinar la magnitud y signo de cada carga.
8.
Dos esferitas de corcho, de 0,2(gr) cada una una, se cuelgan con hilos aislantes de 20(cm) de longitud,
de un punto común. Trás cargarlas con la misma cantidad de carga eléctrica, el sistema se equilibra
cuando el ángulo entre ambos hilos es de 20 o . Determinar la carga de cada esferita.
9.
Una carga puntual q1 = −2(nC), se localiza en el orígen de un sistema cartesiano. Una segunda
carga q2 = −1(nC) se fija en el punto (−0,02, 0,02). donde deberá colocarse una tercera carga
q3 = −3(nC), para que ella permanesca en equilibrio?
10.
Se colocan tres cargas positivas iguales, de magnitud igual a 1,2(µC) en los vértices de un triángulo
equilatero de 6(cm) de lado. Calcular la fuerza total que actúa sobre una carga de −2(µC)colocada
en el punto medio de uno de los lados.
79
11.
Una carga q se sitúa en el punto (L, L), una carga −2q en la posición (−L, L); una carga −4q en
(−L, −L) y finalmente una carga 2q en (L, −L). Calcular el trabajo mecánico que se requiere para
trasladar la carga q del punto (L, L) al punto (0, 0).
12.
Una carga Q se distribuye uniformemente a lo largo de una varilla de longitud de 2L, que va desde:
y = −L, hasta y = L. Calcular la fuerza eléctrica que actúa sobre una carga q, colocada en el punto
(0, d).
13.
Una varilla delgada de longitud L, se extiende entre los puntos (0, 0) y (0, L). En la varilla se distribuye uniformemente una carga Q a lo largo de su longitud. Calcular la fuerza que actúa sobre una
carga q colocada en el punto (a) (0,L+d), (b) (d,0)
14.
Una carga de 10(µC) se distribuye uniformemente en un anillo delgado de 6(cm) de radio. El centro
del anillo que se encuentra en el plano xy, coincide con el orígen del sistema cartesiano. Una carga de
2,4(µC) se coloca en el punto (0, 0, 4). Calcular la fuerza eléctrica que actúa sobre la carga puntual.
15.
Repetir el problema anterior si los 10(µC) se distribuyen uniformemente sobre un disco de 6(cm) de
radio.
16.
Calcular la fuerza eléctrica entre una carga puntual q y una lámina de extensión infinita con densidad
superficial de carga σ uniforme.
17.
Mediante un hilo de 60(cm) de longitud se cuelga una esfera de corcho a un punto fijo situado a
20(cm) de una lámina vertical infinita con distribución superficial de carga igual a 10 −4 (C/m2 ).
el corcho tiene una masa de 5(gr). Determinar la orientación del hilo si la esfera se carga con: (a)
5 × 10−9 (C), (b) −2,4 × 10−9 (C)
18.
Una carga total de 3,1(µC) se distribuye uniformemente en un alambre delgado y semicircular de
10(cm) de radio. Calcular la fuerza eléctrica que actúa sobre una carga puntual de 2(µC) colocado
en el centro del semicírculo.
19.
Una sucesión de (N +1) cargas : +q, −q, +q, −q, . . . se colocan a lo largo del eje x, en las posiciones:
x = 0, x = d, x = 2d, x = 3d, y así sucesivamente. Una carga aislada Q, se sitúa en x = D. (a)
Encontrar una expresión general para la fuerza coulombiana que actúa sobre Q. (b) Aproximar el
resultado anterior sí D >>> N d.
20.
Una carga Q, inicialmente desconocida, se distribuye uniformemente sobre una placa cuadrada de
1(m2 ) de superficie colocada horizontalmente. Determinar el valor de Q, si una esferita de 1(gr) y
1(µC) de carga debe quedar suspendida en el aire por encima de la placa.
21.
Una carga q1 = 10−7 (C) se fija en la base de un plano inclinado φ o sobre la horizontal. Sobre una
ranura lisa longitudinal, practicada en el plano se coloca una pelotita de 2(gr) de masa y 10 −7 (C) de
carga. Si el sistema se equilibra cuando la distancia entre ambas cargas es igual a 10(cm), a lo largo
del plano inclinado, determinar el valor de φ.
22.
Cuatro cargas puntuales se distribuyen el la siguente manera: q en el punto (0, 3a), −q en (0, a) −q en
(0, −a) y q en (0, −3a). Calcular la fuerza que actúa sobre una carga Q situada en el punto genérico
(x, 0). estimar una aproximación apropiada so x >>> a.
23.
La distancia que separa dos cargas fijas e identicas q es D. Una tercera carga Q , de masa m, se situa
entre las dos primeras. (a) Determinar la posición de equilibrio de Q. (b) Si Q se desplaza ligeramente, respecto a su posición de equilibrio, se comporta como accionada por un resorte. Determinar
su frecuencia de oscilación.
24.
Dos varillas cada una de longitud 2L, se colocan paralelas entre si a una distancia R. Cada una tiene
una carga total Q distribuida uniformemente en la longitud de la varilla. Determinar la fuerza de
interacción eléctrica entre ambas varillas.
25.
En tres vértices de un tetraedro regular de arista a, se fijan tres cargas identicas q, mientras en el
vértice restante se fija una carga −q. Calcular la fuerza total que actúa sobre: (a) La carga −q. (b)
Cualquiera de las cargas q.
26.
En cada vértice de un cubo de 10(cm) de arista, se fijan cargas idénticas de 3(pC). Calcular la magnitud de la fuerza total que actúa en cualquier vértice.
27.
Cuatro cargas, cada una de 1,6 × 10 −19 (C), se fijan en los vértices de un cuadrado de 10(cm) de
lado. Una quinta carga de 1,6 × 10−19 (C) y 1,7 × 10−27 (Kg), colocada inicialmente a 5(cm) por
encima del centro de masa del cuadrado, recibe un impulso que le permite llegar justamente al centro
geométrico de las cargas fijas. Calcular la magnitud de dicho impulso.
28.
Una carga total Q, se distribuye uniformemente sobre un alambre circular de radio R. Una carga
puntual q, fija en el centro de la espira, genera un estado de tensión en el alambre. Despreciando los
efectos eléctricos internos de la espira. Calcular la magnitud de dicha tensión.
29.
Una esfera conductora de 0,5(cm) de radio y 2(nC) de carga se coloca a 4(cm) de una segunda esfera
conductora de 0,2(cm) de radio y 0,5(nC)de carga. (a) Calcular la fuerza entre ambas esferas. (b) Si
ambas esferas se ponen en contacto y luego se los separa hasta una distancia de 4(cm); Calcular la
fuerza de interacción eléctrica entre las esferas.
30.
Tres esferitas identicas de 2(gr) cada una, estan suspendidas mediante tres cuerdas aislante de un
mismo punto. Cada cuerda de masa desprecible, tiene una longitud de 50(cm). Al cargar simultáneamente las tres esferitas se repelan una a otra hasta lograr el equilibrio en los vértices de un triángulo
equilátero de 30(cm). Si cada esferita tiene la misma carga eléctrica, determinar su magnitud.
Campo, Potencial y Energía electrostáticos en el vacío
1.
Una carga de 3(µC) está localizada en el punto (0, 0, 3). Determinar el campo eléctrico en el punto
(0, 4, 9)
2.
Calcular el campo eléctrico en el punto (0, 0), debido a la siguente distribución discreta de cargas: q
en el punto (a, a), (q) en (−a, a), −q en (−a, −a) y −q en (a, −a).
3.
Una carga de −12(µC) está localizada en el punto (0, 0). Una segunda carga de 0,5(nC) se ubica en
el punto (0, 2, 0). En que puntos del plano z = 0 se anula el campo eléctrico ?
4.
se disponen cuatro cargas del siguente modo: −6(µC) en el punto (2, 2); −4(µC) en (2, −2); 2(µC)
en (−2, −2) y 8(µC) en (−2, 2). Calcular el campo eléctrico generado por la distribucion en el punto
(0, 0, 3)
5.
Un sistema dipolar formado por −q en el punto (−L, C) y +q en (L, 0), genera un campo eléctrico
débil en puntos distantes. Calcular el campo eléctrico en el punto en el punto (a) (0, y), si y >>> L.
(b) (x, 0) si x >>> L.
6.
Una varilla delgada infinitamente larga, se carga uniformemente de mode que su densidad lineal es
igual a 4(µC/m). Calcular el campo eléctrico a 50(cm) de la varilla.
7.
Una varilla delgada se carga con 5(µC) distribuidas uniformemente en sus 10(cm) de longitud. Calcular el campo eléctrico a 5(cm) del punto medio de la varilla.
8.
Dos placas infinitas cargadas con densidades uniformes de 3(µc/m 2 ), se localizan en x = 2 y x = −2,
respectivamente. Determinar el campo eléctrico en los puntos: (a) (5, 0, 0), (b) (−5, 0, 0), (c) (5, 2, 3).
9.
Una lámina infinita con densidad uniforme de carga igual a 15(nC/m 2 ) se localiza en z = 0,5(m).
Una segunda lámina con distribución −15(nC/m 2 ), se localiza en z = −0,5(m). El plano z = 0
es horizontal, mediante un hilo no conductor de 0,5(m) de longitud se suspende de la placa superior,
una esferita de 5(gr) y 8(µC) de carga. si la esferita oscila armónicamente, determinar su frecuencia
de oscilación.
10.
Calcular la frecuencia de oscilación en el poblema anterior si la lámina superior es negativa y la
inferior positiva.
11.
Dos placas paralelas se cargan uniformemente con distribuciones +σ y −σ respectivamente. Un electrón inicialmente en contacto con la placa negativa se pone en movimiento y recorre 2(cm) en 15(ns),
antes de chocar con la placa opuesta. Calcular: (a) La velocidad máxima que alcanza el electrón. (b)
La magnitud de σ.
12.
Un tubo hueco de radio R y longitud L tiene una carga Q distribuida uniformemente en su superficie.
Calcular el campo eléctrico en cualquier punto del eje del tubo referido al centro de su base circular
inferior.
13.
Una carga total Q se distribuye uniformemente en una varilla de longitud L. La varilla se extiende
entre x = 0 y x = L. Calcular el campo eléctrico en los puntos: (a) (0, D), (b) (L/2, D).
14.
Una varilla de 80(cm) de longitud se carga uniformemente con una densidad lineal de 40(µC/m).
Una carga puntual de 20(µC) se localiza sobre la mediatriz de la varilla y a 80(cm) de ella. Calcular
el campo eléctrico en cualquier punto de la mediatriz.
15.
Una carga puntual −q está obligada a moverse circularmente en torno a un alambre infinito de densidad lineal λ. Calcular la velocidad de la partícula tomando en cuenta solo las fuerzas eléctricas.
16.
Una carga puntual q puede moverse en órbita circular con respecto a un alambre cargado con densidad
lineal −λ. Demostrar que el periodo de la órbita es proporcional al radio de la misma.
17.
Las placas de deflexión de un tubo de rayos catódicos, tiene una longitud de 3(cm) y generan un
campo eléctrico de 103 (N/C) dirigido verticalmente hacia abajo. Por el punto medio entre las placas
se inyecta un electrón con una velocidad horizontal de 3 × 10 6 (m/s). Si la pantalla fluorescente de
detección está ubicada a 12(cm) del extremo posterior de las placas. Calcular la deflexión total del
electrón al golpear la pantalla.
18.
Cierto campo eléctrico E se orienta en la dirección del eje x con las siguentes caracteristicas: en
x = 0; E = 500(V /m) y en x = 3(m); E = 0. el decrecimiento es de tipo lineal. Un electrón se
inyecta en x = 0 con una velocidad inicial de 2 × 10 7 (m/s) en la dirección del campo. Calcular: (a)
La velocidad final del electrón. (b) El trabajo realizado por el campo eléctrico.
19.
Un electrón se desplaza paralelamente a un campo eléctrico uniforme. Si la velocidad inicial del
electrón es de 5×106 (m/s) y el campo eléctrico tiene una intensidad de 10 3 (N/C): (a) Que distancia
y que tiempo caracterizan el movimiento retardado del electrón ? (b) Si tras recorrer inicialmente una
distancia de 0,8(cm) el campo eléctrico se anulará bruscamente, que fracción de energía cinética
pierde el electrón ?
20.
Se establece un campo eléctrico uniforme con intensidad igual a 2×10 3 (N/C) entre los planos y = 0
y y = 2(m). Si en este campo eléctrico se dispara un electrón en el punto (0, 0) con una velocidad
inicial vi = (4,26 × 106 , 4,26 × 106 ); determinar donde y cuando impactará el electrón.
21.
Dos varillas infinitamente largas se situan paralelas al eje z. La primera con densidad lineal uniforme
λ, pasa por el punto (0, b); la segunda con densidad uniforme lineal −λ, pasa por el punto (0, −b).
Calcular el campo eléctrico generado por las dos varillas en el punto: (a) (b, 0), (b) (0, b), (c) (b, b),
(d) genérico (x, y) si ambas coordenadas son mucho mayores que b.
22.
Dos varillas infinitamente largas uniformemente cargadas con densidades de carga +λ y −λ respectivamente, son paralelas y estan separadas por una distancia 2R. Calcular la fuerza por unidad de
longitud que una varilla ejerce sobre la otra.
23.
Dos placas infinitas uniformemente cargadas se colocan en ángulo recto. La primera con una densidad
de 2(µC/m2 ) coincide con el plano y = 0, y la segunda que coincide con el plano x = 0 tiene una
densidad igual a −3(µC/m2 ). Una carga de prueba de 1(gr) de masa y 2 × 10 −7 (C) de carga se
coloca en el punto (1, 1, 0). Calcular el tiempo que demora en chocar con una de las láminas y su
velocidad de impacto.
24.
Un protón con 106 (eV ) de energía cinética se dispara en dirección perpendicular a la superficie de
una gran placa metálica con distribución superficial uniforme de carga igual a 5 × 10 −6 (C/m2 ).
(a) Calcular el trabajo realizado por el campo hasta detener el protón. (b) Desde que distancia debe
dispararse el protón para que se detenga justamente en la superficie de la placa ?
25.
La carga eléctrica mínima que se puede aislar es la del electrón o la del protón. en 1909 Robert Millikan desarrolló un método para medir esa carga. Tal método clásico se conoce como el experimento
de la gota de aceite. Millikan pudo implantar cargas en diminutas gotitas de aceite que caían a determinada velocidad terminal bajo la influencia de la gravedad y de la resistencia del aire. Colocando esas
gotitas entre placas paralelas, horizontales y cargadas lograba anular en parte la fuerza gravitacional.
Si la masa y el tamaño de la gotita se logran determinar, entonces calculando la velocidad terminal
de la gotita con y sin campo eléctrico, se puede medir la magnitud de su carga eléctrica. Detallar el
proceso analítico a seguir.
26.
Una varilla semi-infinita se localiza entre los puntos x = 0 y x = ∞. La varilla está cargada de manera
que su distribución lineal es la función: λ(x) = kx, donde k es una constante positiva. Calcular el
campo eléctrico generado por la varilla en cualquier punto (0, y).
27.
Una espira cuadrada de lado 2a tiene una distribución lineal uniforme λ. Si el centro de la espira
coincide con el origen de un sistema cartesiano y está apoyada en el plano z = 0. Calcular su campo
eléctrico en cualquier punto del eje z.
28.
Un anillo circular de radio a tiene una distribución de carga lineal dada por la función angular:
λ(φ) = λ0 (1 + cos φ)
donde λ0 es una constante y 0 ≤ φ ≤ 2π. Si el centro de la espira coincide con el origen y esta
apoyada en el plano z = 0. Determinar su campo eléctrico en cualquier punto del eje z.
29.
Una varilla recta coincide con el eje x y se extiende entre los puntos: x = −L y x = L. La varilla
tiene una distribución de cargas no uniforme dada por la función:
λ0
x
λ(x) =
L
donde λ0 es una constante.
(a) Demostrar que la carga total de la varilla es nula. (b) Calcular el campo eléctrico de la varilla en el
punto (R, 0)
(c) Simplificar el resultado anterior si R >>> L.
Para el inciso (b) considere que R > L
30.
Un sistema discreto de cargas punto está configurado de la siguente manera:
−q, en el punto (0, d)
−q, en el punto (0, −d)
+q, en el punto (0, 3d)
+q, en el punto (0, −3d)
Calcular su campo eléctrico en cualquier punto (x, 0) admitiendo la condición de x >>> d.
31.
Dos cargas punto −q y q/2, se sitúan en x = 0 y x = d, respectivamente. Determinar el centro y
radio de la equipotencial φ = 0.
32.
En cada vértice de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio R, se fijan cargas eléctricas q. Calcular: (a) El campo y potencial eléctricos en un punto situado sobre el eje perpendicular
por el centro del hexágono a una distancia R del plano respectivo.
33.
En cada vértice de un triángulo equilátero de 20(cm) de lado, se fijan cargas iguales de 0,1(C). Si
a una de las cargas se suministra energía a razón de 1(Kw); cuánto tiempo le llevará transportarse
desde su posición inicial hasta el punto medio del segmento que une las dos cargas restantes ?
34.
Una partícula de carga Q se fija en el punto 0. Una segunda partícula de masa m y carga q, se mueve
con rapidez constante en una circunferencia de radio R centrado en 0. Calcular la energía necesaria
para transferir la carga movil a otra órbita de radio 2R.
35.
La densidad lineal de carga eléctrica en un alambre de longitud L,esta dado por la función:
λ = kx
donde k es una constante, y 0 ≤ x ≤ L
Calcular el potencial y campo eléctricos en los puntos: (a) (0, y), (b) (x, 0) con x > L (c)(x, y)
36.
El potencial de una esfera de radio R, y cierta distribución de carga eléctrica está dado por la función
radial:
r
k R−
Φ(r) =
0
2
donde k es una constante y 0 ≤ r ≤ R.
encontrar la energía potencial eléctrica de la esfera.
37.
El espacio comprendido entre dos esferas concéntricas, de radios R 1 y R2 , respectivamente presentan
una distribución volumétrica constante ρ 0 . Si R1 < R2 , calcular la energía potencial eléctrica del
sistema indicado.
38.
En 1935 el físico japonés Yukawa propuso, para el átomo de hidrógeno la siguente distribución de
potencial eléctrico:
1 α
+
Φ(r) = Ke qe−αr
r
2
donde q es la carga fundamental, y α una constante. Encontrar las leyes de distribución continua y
discreta de carga que originan dicha función de potencial.
39.
Un alambre finito que se extiende entre: x = 0, y x = L, tienen una distribución no uniforme dada
por la función:
λ = kx2
donde k es una constante y: 0 ≤ x ≤ L.
Si una carga q se localiza en el punto (0, L), calcular: (a) La fuerza elécrica que actúa sobre q. (b) La
energía potencial eléctrica de la carga q.
40.
Un disco de radio R tiene una distribución superficial dada por la función radial:
σ = Ar 2
donde A es una constante y: 0 ≤ r ≤ R.
Calcular la energía necesaria para localizar una carga q sobre el eje del disco a una distancia R de su
centro.
41.
Se dispone de un disco de radio R, cargado con una distribución uniforme σ, calcular la energía
necesaria para localizar un alambre cargado de longitud R y distribución uniforme λ sobre el eje
perpendicular al disco y con un extremo en el centro del mismo.
42.
Una carga puntual q se localiza en el centro de un cascarón esférico de radio R. Calcular la energía
potencial de la carga q, si una mitad del cascarón tiene una distribución σ, y la otra una distribución
2σ.
43.
Un cilindro circular recto de radio R y longitud L, tiene una distribución espacial no uniforme dada
por la función:
ρ = ρ0 + Az
donde ρ0 y A son constantes y z una variable que toma el valor cero en el centro geométrico del
L
cilindro, es decir: − ≤ z ≤ L2 .
2
Calcular el campo y potencial eléctricos en z = 0.
44.
El espacio entre dos láminas cilindricas coaxiales de radio R y 3R, respectivamente, se carga con una
distribución volumétrica dada por la función:
A
ρ(r) =
r
2R
donde A es una constante y la variable radial r ≥ 0.
Encontrar la diferncia de potencial entre ambas láminas.
45.
Cuatro cascarones esféricos de radios: a < b < c < d respectivamente, se disponen concentricamente.
Los cascarones de radio a y d se mantienen a potencial tierra, y entre los cascarones intermedios se
distribuye una carga total Q. Encontrar: (a) La ley de distribución de potenciales electrostáticos. (b)
La cantidad de carga que se distribuye en cada uno de los cascarones intermedios.
46.
Las funciones de potencial electrostáticos de una esfera cargada de radio R es como sigue:
4
A
r
r 2 R2
Φ(r) =
−
+
0 20R2
6
4
para: 0 ≤ r ≤ R
φ(r) =
2AR3
150 r
para: r ≥ R
en ambas funciones de alta simetría esférica A es una constante. Encontrar la energía eléctrica de la
esfera cargada.
47.
Dos conductores esféricos se disponen concentricamente. El primero de radio R 1 se mantiene a potencial U0 , y el segundo que es un cascaron de radios R 2 y R3 (R2 < R3 ), tienen una carga neta Q.
Calcular el potencial electrostático en todas las regiones.
48.
Una gota esférica de agua tiene una carga de 3 × 10 −11 (C) y un potencial de 500(V ) en su superficie,
si dos de estas con la misma carga y el mismo radio se combinan para formar una sola. Encontrar el
potencial superficial de la nueva gota.
49.
Un diodo se compone de un cátodo cilíndrico de 0,5(mm) de radio montado coaxialmente con un
ánodo cilíndrico de 4,5(mm) de radio. El potencial anódico es 300(V ), más alto que el catódico,
si un electrón abandona la superficie del cátodo sin velocidad inicial, calcular su velocidad. (a) Tras
recorrer 2(mm). (b) Al chocar con el ánodo.
50.
Dos tubos conductores de paredes delgadas se disponen coaxialment. El primero tiene un radio de
1(cm), y el segundo un radio de 10(cm). Ambos cilindros se aislan eléctricamente, y el exterior se
conecta a tierra. (a) Calcular el potencial del tubo interior compatible con un campo eléctrico máximo
de 500(V /m). (b) Cuál es entonces el campo y potencial eléctricos a 5(cm) del eje ?. (c) Cuál es la
distribución de carga en cada cilindro ?
51.
Los electrodos en una válvula de radio son dos cilindros coaxilaes. El interior tiene un radio de 1(mm)
y el exterior un radio de 3(mm). Una diferencia de potencial de 150(V ) entre los electrodos acelera
los electrones emitidos por la placa interior. (a) Expresar la aceleración de cada electrón en función de
la distancia al eje de la válvula. (b) Expresar en unidades (eV) la máxima energía cinética adquirida
por un electrón.
52.
Un triodo puede puede esquematizarse del siguente modo:
a)
Una superficie plana (cátodo) emite electrones con velocidad inicial despreciable.
b)
A 3(mm) del cátodo, una regilla de alambre fino que se mantiene a 18(V ) sobre el potencial
catódico, y
c)
a 12(mm) de la regilla una segunda placa (ánodo) que se mantiene a 15(V ) sobre el potencial
del cátodo.
(a) En cuánto tiempo llegará los electrones al ánodo ?
(b) Y cuál es su velocidad final ?
53.
El valor absoluto de las cargas de un dipolo es de 3 × 10 −6 (C), estando separadas una distancia de
2(mm). Calcular el campo eléctrico en un punto situado sobre la mediatriz del dipolo y a 10(dm) de
él.
54.
para una configuración tetrapolar característica. Calcular su campo eléctrico en el punto P , si x >> a.
55.
Calcular la fuerza de interacción eléctrica entre una carga puntual q = −3 × 10 −6 (C), y un dipolo
puntual p = 5 × 10−12 (Cm), si la carga está localizada sobre la mediatriz del dipolo a 30(cm) de él.
Dipolos Eléctricos
1.
Derivar el campo eléctrcio de un dipolo p, a partir de su potencial electrostático.
2. Desarrollar el campo eléctrico de un dipolo p, en coordenadas (a) rectangulares, (b) esféricas.
PSfrag replacements
y
p
p
r
r
θ
p
θ
(a)
0
p
x
0
(b)
φ
prob. 2
3.
El valor absoluto de las cargas de un dipolo es de 3(µC) y ellas están separadas 2(cm). Calcular (a)
el campo eléctrico a 1(m) y 10(m) del dipolo (estas distancias se miden a partir del punto medio
del dipolo y a lo largo de su eje) (b) el campo eléctrico a las mismas distancias, de la carga positiva
solamente, (b) la razón entre los campos monopolar y bipolar calculados.
4.
En la figura adjunta, se muestra una configuración tetrapolar característica. Los efectos eléctricos de
esta distribución no se anulan completamente. Calcular el campo eléctrico tetrapolar, en el punto P ,
PSfrag replacements
considerando
que z >>> a.
a
q
0 a
−2q
p
z
q
prob. 4
5.
Cierto tipo de tetrapolo está formado por cuatro cargas puntuales localizadas en los vértices de un
cuadrado de lado 2a, como se muestra en la figura 5. Calcular su campo eléctrico en el punto P , para
el cual x >>> a.
PSfrag replacements
−q
q
x
q
−q
Prob. 5
p
6.
Una carga puntual q = −3 × 10−6 (C), se coloca a 30(cm) de un dipolo p = 5 × 10 −12 (Cm). La
distancia se mide del punto medio del dipolo sobre una dirección perpendicular a él. Calcular, en
magnitud y dirección la fuerza que actúa sobre (a) la carga, (b) el dipolo.
7.
Demostrar explícitamente que el campo eléctrico de un dipolo p, es de flujo nulo a través de cualquier
superficie cerrada que contenga al dipolo. Tome como superficie cerrada una esfera de radio r, centrada en la posición del dipolo.
8.
Calcular el trabajo realizado al trasladar una carga puntual q, entre los puntos A y B del campo
eléctrico de un dipolo p, por el arco de circunferencia que se muestra en la figura adjunta.
A
PSfrag replacements
p
B
Prob. 8
Polarización, Capacitancia, Capacitores
1.
Una varilla delgada de dieléctrico de sección A, se extiende sobre el eje x, desde x = 0 hasta x = L.
La polarización de la varilla es longitudinal y esta dado por la función: P(x) = (ax 2 + b)ux , donde a
y b son ciertas constantes experimentales. Demostrar explícitamente que la carga total de polarización
es nula.
2.
Un cubo dieléctrico de lado L, tiene una polarización radial dada por la función P = P 0 r, donde P0
es una constante y r es el vector posición con origen en el centro geométrico del cubo. (a) Encontrar
las densidades de carga latente. (b) Demostrar explícitamente que la carga total latente es nula.
3.
una varilla de dieléctrico, que tiene forma de cilindro circular recto de longitud L y radio R, se polariza
en la dirección de su longitud. Si dicha polarización es uniforme y de magnitud P 0 , calcular el campo
eléctrico de la varilla polarizada en cualquier punto de su eje.
4.
Dos bloques semi-infinitos de dieléctrico se colocan uno frente al otro permitiendo una separación
constante entre ellos. La polarización P es uniforme en ambos bloques y su dirección forma un angulo
φ con la normal a los planos que limitan la abertura. Determinar el campo eléctrico en dicha abertura.
5.
Dos medios dieléctricos LIH de constantes K 1 y K2 separados por una interfase plana y vacía presentan polarizaciones uniformes P 1 en el medio K1 y P2 en el medio K2 . Si las direcciones están
definidas por los ángulos θ1 y θ2 que ambas polarizaciones forman con la dirección normal a su
interfase, estimar una relación cualitativa entre ambos ángulos.
6.
Una placa FERROELECTRICA de espesor a y polarización uniforme P se introduce entre dos placas
conductoras paralelas e interconectadas mediante un alambre conductor Ver fig.1
Encuentrese los campos E, D entre ambas placas conductoras.
b
PSfrag replacements
P
a
Fig. 1
7.
Una esfera de material dieléctrico de constante K y radio R, tiene una densidad uniforme de carga
libre ρ0 . (a) Determínese para puntos interiores y exteriores de la esfera las funciones E, D y Φ. (b)
Cacúlese el valor del potencial Φ en el centro de la esfera. (c) Determinese las leyes de distribución
de carga latente.
8.
Un dieléctrico polarizado equivale a una distribución de carga libre y carga de polarización. Una
esfera
A
dieléctrica de radio R y constante K está polarizada radialmente según la función P(r) =
ur ,
r
donde A es una constante positiva y: 0 ≤ r ≤ R. (a) Determinar las leyes de distribución de las cargas
libres y de polarización en la esfera. (b) Determinar la función potencial Φ(r), dentro y fuera de la
esfera.
9.
Un cilindro conductor largo de radio a y distribución uniforme de Carga libre, tiene una cubierta
dieléctrica de constante K y espesor uniforme. Si el radio de la cubierta es b, obtengase las leyes de
distribución de carga latente.
10.
Un cilindro conductor de radio a y densidad lineal uniforme λ 0 se recubre con una capa uniforme
formada por dos dieléctricos de constantes K 1 y K2 como se muestra en la Fig. 2
K2
PSfrag replacements
K1
Fig. 2
Advierta que cada dieléctrico tiene radio b y semicubre la superficie exterior del conductor. Determinar
las funciones: E(r) y D(r) en los siguentes dominios: (a) r ≤ a. (b) a ≤ r ≤ b. (c) b ≥ b.
11.
El espacio entre dos planos conductores paralelos separados una distancia d, se llena con dos dieléctricos de constantes K1 y K2 . Si cada dieléctrico tiene un espesor uniforme igual a d/2 y entre las
placas conductoras se establece una diferencia de potencial U 0 . (a) Hallar el campo eléctrico en cada
dieléctrico. (b) Verificar las unidades de carga latente. (c) Encontrar la densidad de carga libre en los
conductores.
12.
Una capa esférica de dieléctico sólido de constante K 1 , radio interior a y radio exterior b, contiene una
distribución volumétrica uniforme de carga libre ρ 0 . Rodea a esta distribución un segundo dieléctrico
gaseoso de constante K2 y extensión ilimititada. Calcular el campo eléctrico en todas las regiones. (b)
Las densidades de carga latente o de polarización.
13.
Una esfera conductora de radio R y carga total Q,esta sumergida en un medio dieléctrico de permitividad variable seún la función radial: = 0 (1 + a/r), donde a es una constante positiva y r la
distancia radial que se mide desde el centro de las esfera. (a) Obtenga la función potencial Φ(r). (b)
Determine las cargas de polarización.
14.
Una esfera conductora de carga total Q y radio R, flota sumergida a la mitad de un medio dieléctrico
líquido de permitividad 1 . La región por encima del líquido es un gas de permitividad 2 . Calcular el
campo eléctrico de las esfera.
15.
Calcular la energía electrostática de las siguentes distribuciones de carga libre: (a) Una esfera condutora de radio a y carga total Q. (b) Una esfera de radio a y carga total Q, distribuida uniformemente
en todo su volúmen.
16.
Una esfera no conductora de radio R = 1(cm) y constante K 1 , está sumergída en un medio dieléctrico
gaseoso de constante K2 . La distribución de carga libre en la esfera es tal que origina la siguente
distribución de potenciales: Φ(r) = 10,5 − 7,5 × 10 4 r 2 , para r ≤ R, y φ(r) = 0,03/r, para r ≥ R.
Deteminar los valores de K1 y K2 , si la energía electrostática del sistema es de 10 − 10(J).
17.
Encontrar la energía electrostática de una esfera de radio R, con la siguente distribución volumétrica
de carga libre: ρ(r) = ρ0 (1 − r/R), Para 0 ≤ r ≤ R, y ρ = 0 para r ≥ R.
18.
Determinar la capacitancia de los siguentes capacitores: (a) Capacitor plano de área A con dos capas
dieléctricas K1 y K2 com se muestra en la figura 3 (b) Capacitor esférico con dos capas dieléctricas
K1 y K2 , como se muestra en la figura 4 (c) Capacitor cilíndrico de longitud L cuyo corte transversal
puede representarse por la figura 4
K2
K1
PSfrag replacements
K2
c
K1
a
a
b
b
Fig. 3
Fig. 4
19.
Encontrar la capacitancia de: (a) Un capacitor plano de área A y constante d lleno de dos dieléctricos
K1 y K2 como se muestra en la figura 5 (b) Un capacitor esférico de radios R 1 < R2 que contiene
dos dieléctricos K1 y K2 como se muestra en la figura 6 (c) Un capacitor cilíndrico de radios R 1 y
R2 , longitud L con dos dieléctricos K1 y K2 como se muestra en la figura 6 en corte transversal.
20.
Cuando el interruptor S de la figura 7 se mueve hacia la izquierda las placas del capacitor C 1 adquieren
una diferencia de potencial U0 . Los capacitores C2 y C3 están inicialmente descargados. Sí a continuación se mueve el interruptor hacia la derecha, determinar las cargas finales en los tres capacitores.
21.
Dos capacitores C1 = 1(µF ) y C2 = 3(µF ), se cargan al mismo potencial U 0 = 100(V ) aunque con
polaridad opuesta, de este modo los puntos a y c se encuentran del lado positivo y los puntos b y d
A/2
A/2
K1
K1
PSfrag replacements
K2
d
K2
Fig. 5
Fig. 6
del lado negativo de los capacitores como se ilustra en la figura 8 En estas condiciones se cierran las
llaves S1 y S2 . Determinar (a) La diferencia de potencial entre los puntos e y f , (b) La carga final de
PSfrag replacements
cada capacitor.
e
a
+
U0
−
S
C1
C2
C3
d
S1
+
−
−
+
C1
S2
b
Fig. 7
C2
c
f
Fig. 8
22.
Determinar la capacitancia equivalente entre los puntos a y b de la red de capacitores que se muestra
en la figura 9, si C2 = 10(µF ) y C1 = C3 + C4 = C5 = 4(µF ).
23.
En el circuito de capacitores de la figura 10, la batería F suministra 12(V ). Si C 1 = 1(µF ), C2 =
2(µF ), C3 = 3(µF ) y C4 = 4(µF ); determinar la carga final de cada capacitor si se cierra la llave
S1 y (a) se mantiene abierta la llave S2 , (b) se cierra la llave S2 .
24.
Las placas cuadradas de un capacitor, cada una de lado a forman un ángulo θ entre sí como se
muestra en la figura 11. Calcular su capacitancia sí el ángulo θ es tal que justifica la aproximación
sen θ = tan θ = θ.
25.
Dos capacitores idénticos con aire entre sus armaduras, se conectan en serie y la combinación se
mantiene a una diferencia de potencial de 20(V ). En estas condiciones se inserta en uno de los capacitores una lámina dieléctrica de constante K = 5, y espesor uniforme igual a un quinto de la brecha
del aire. se pide calcular (a) el potencial y la carga de cada capacitor antes y despúes de la inserción,
(b) el trabajo realizado en el proceso de inserción del dieléctrico.
26.
Dos conductores cilíndricos coaxiales muy largos se introducen perpendicularmente en un dieléctrico
líquido de suceptibilidad χ y densidad másica δ. si luego se aplica una diferencia de potencial U 0
entre los conductores. Determinar la altura h del dieléctrico entre los conductores, cuando se alcanza
el estado de equilibrio.
C1
PSfrag replacements
C4
S2
b
a
C1
C2
C3
C2
C3
+
C5
F
C4
−
S1
Fig. 10
Fig. 9
θ
Fig. 11
27.
Dos placas conductoras idénticas están separadas a una distancia uniforme d. La primera placa se
encuentra a un potencial U1 y la segunda a un potencial U2 , siendo U2 > U1 . Una tercera placa
idénctica a las anteriores y con potencial U (siendo U 1 < U < U2 ) se inserta entre las dos primeras.
Determinar la posición relativa de la placa intermedia si ella debe estar en equilibrio electrostático.
28.
Un capacitor plano de área A y constante de placa d, se mantiene a una diferncia de potencial U 0 .
Calcular la fuerza entre sus placas si: (a) se utiliza un dieléctrico sólido de constante K, de este modo
que al no ser perfecto el contacto se deja una delgada capa de aire entre dieléctrico-conductor, (b) se
mejora dicho contacto utilizando un dieléctrico líquido de constante K.
Corriente Eléctrica, Conductores Ohmicos, Circuitos
1.
La densidad instantánea de cierta corriente está dada por el campo vectorial J = 2(x 3 , y 3 , z 3 ). Determinar: (a) la rapidez instantánea de cambio en la densidad volumétrica de carga para el punto
(2, −1, 4), (b) la rapidez instantánea de cambio en la carga total Q contenida en una esfera gaussiana
centrada en el origen y de radio 5(m).
2.
Una carga total Q se distribuye uniformemente en el volúmen de una esfera de radio a. Si la esfera
cargada gira respecto a uno de sus diámetros, con una frecuencia angular constante ω, (a) encontrar la
densidad de corriente en cualquier punto de la esfera. (b) Calcular la corriente total que pasa a través
de un semicírculo de radio a, fijo en el espacio apoyado en el eje de rotación de las esfera.
3.
(a) Una muestra de Cu tiene una densidad de corriente de 10 3 (A/m2 ). Suponiendo que cada átomo
de Cu contribuye con un electrón de conducción, calcular la velocidad de arrastre de los portadores,
(b) si la resistividad del Cu es 1,69×10 −8 (Ωm), calcular el tiempo medio de colisión para un electrón
del Cu.
Nota: el número de Avogadro N0 = 6,023 × 1023 at/mol, el peso atómico del Cu es igual 63,5 y su
densidad es de 8,92(gr/cm3 ).
4.
Dos placas metálicas paralelas planas e infinitas estan separadas a una distancia d. El espacio entre
las placas se llena con dos materiales conductores, el primero de permitividad 1 y conductividad %1 ,
el segundo de permitividad 2 y conductividad %2 . Las placas se mantienen a potencial U 1 y U2 , como
se muestra en la figura 12. Dado que se establece una corriente estacionaria entre los conductores, (a)
replacements
CalcularPSfrag
el potencial
de la superficie que separ los dos medios, (b) encontrar la densidad superficial
de carga libre en la misma superficie.
U2
U1
1
%1
0
2
%2
a
d
x
Fig12
5.
Dos láminas cilíndricas de metal se disponen coaxialmente, el cilindro interior tiene radio a, y el
exterior radio b, entre ellas se establece una diferencia de potencial U 0 . (a) Si el espacio entre las
láminas se llena con un material de conductividad %, encontrar la resistencia por unidad de longitud del
material. (b) Si dicho espacio se llenara con un dieléctrico de permitividad , encontrar la capacitancia
por unidad de longitud del sistema. (c) Qué relación cualitativa puede establecerse entre la resistencia
y la capacitancia ?
6.
Entre dos cáscaras esféricas concéntricas, de radios a y b (a < b), se colocan dos medios de conductividad %1 y %2 respectivamente. Cada conductor ocupa la mitad del volúmen entre las esferas.
Calcular la resitencia a la corriente establecida por una diferencia de potencial U 0 entre ambas cásPSfrag replacements
caras.
7.
La figura 13 representa una combinación en serie-paralelo de varias resistencias. Determinar las resistencias equivalentes entre los puntos: (a) A y C (b) C y B (c) A y D (d) A y B.
8.
En la figura 14 se muestra una red de resistencias. Determinar la resistencia equivalente entre los
puntos: (a) A Y B (b) C y D si los terminales A y B se desconectan.
3000Ω
800Ω
A
1200Ω
D
900Ω
Fig. 13
400Ω
8000Ω
C 1000Ω
300Ω
2000Ω
C
B
B
4000Ω
A
6000Ω
600Ω
2500Ω
D
Fig. 14
9.
Tres resistencias de 50(Ω), 40(Ω) y 73,4(Ω), se conectan en paralelo. Si la corriente por la resistencia
de 73,4(Ω) es de 3,27(A), determinar (a) la tensión entre los terminales del conjunto, (b) la corriente
que circula por cada resistencia.
10.
Tres resistencias A, B y C, están conectadas en paralelo. La resistancia A es de 12(Ω) la B es de
10(Ω) y la C es un reóstato. La intensidad de corriente que alimenta el conjunto es de 8(A). En qué
valor debe ajustarse el reóstato si por el la corriente es de 2,5(A) ?
11. La figura 15 representa un circito serie-paralelo. Si la tensión entre los puntos c y d, es 100(V ), deterPSfrag replacements
minar (a) la tensión entre los puntos b y c, (b) la potencia absorvida por cada una de las resistencias,
(c) la potencia total absorvida por el circuito.
12.
Si la potencia absorvida por la resistencia de 250(Ω) en el circuito de la figura 16 es de 100 vatios, determinar: (a) La corriente que circula por las resistencias de 200(Ω),250(Ω) y 300(Ω), (b) la diferncia
de potencial entre los puntos a y b, (c) la tensiñon eléctrica entre los terminales 0 y 0 0 , (d) la potencia
total absorvida por el sistema.
15Ω
30Ω
b
4Ω
c
d
60Ω
0
100Ω
120Ω
10Ω
a
50Ω
200Ω
250Ω
00
Fig. 15
300Ω
b
Fig. 16
13.
En el circuito de la figura 17 R representa una resistencia variable. Entre los terminales del circuito
se establece una diferncia de potencial de 120(V ). Determinar el valor de (a) la resistencia R para
que el circuito consuma 988,3 vatios, (b) la potencia abasorvida por las dos resistencias constantes,
(c) de R para que absorva la misma potencia que la resistencia de 6(Ω), (d) de R para que la potencia
absorvida en las resistencias de 6(Ω) y R se máxima.
14.
Una corriente de 20(A) alimenta el circuito de la figura 18. Determinar el valor de la resistencia
variable R, si la potencia absorvida por la resistencia de 12(Ω) es de 441 vatios.
8Ω
PSfrag replacements
6Ω
20 A
30Ω
12Ω
R
R
20A
Fig.17
Fig.18
15.
Una resistencia variable R, se dispone en serie con una fija de 22(Ω) y el conjunto se conecta a una
red de 110(V ). determinar (a) el valor de R, para que la potencia absorvida sea máxima, (b) el valor
R para que la potencia que absorva sea el doble de la absorvida por la resistencia de 22(Ω).
16.
En el circuito de la figura 19, determinar (a) la corriente en la resistencia de carga, (b) la corriente en
cada una de las baterias, (c) la tensión entre los puntos a y b.
17.
En el circuito de la figura 20, determinar (a) las corrientes en las baterias, (b) la tensión entre a y b,
(c) la tensión entre los bornes de la batería de 2(V ).
2V
a
6V
PSfrag replacements
0,8Ω
a
6V
0,4Ω
5V
0,6Ω
b
5V
0,8Ω
2,5Ω
2,5Ω
0,6Ω
b
Fig.20
Fig.19
18. En el circuito de la figura 21, determinar las corrientes en las baterias, (b) las tensiones entre los bornes
PSfrag replacements
de las tres baterias, (c) las tensiones entre los puntos a y b.
19.
En el circuito de la figura 22, la resistencia abc es de 40(Ω) y la bc es de 10(Ω). Determinar (a) Las
corrientes en las baterias, (b) el punto hacia el cuál debe moverse el contacto b (en función de la
resistencia bc) para que la corriente en la bateria de 10(V ) se anule.
10V
0,3Ω
6V
3Ω
2V
4Ω
0,2Ω
PSfrag replacements
0,5Ω
a
32V
0,5Ω
b
2Ω
10V
2Ω
c
Fig. 21
0,4Ω
Fig. 22
20.
En el circuito de la figura 23, determinar el valor y sentido de todas las corrientes.
21.
en la red eléctrica de la figura 24, determinar el valor y sentido de las seis corrientes.
8Ω
15V
0,3Ω
4Ω
0,2Ω 8V
0,5Ω
6Ω
15V
12Ω
0,4Ω
16Ω
10V
0,2Ω
2Ω
14Ω
6V
Fig. 23
22.
0,2Ω
10V
Fig. 24
Las tres baterias del circuito 25, tienen resistencias internas despreciables. Calcular en magnitud y
sentido todas las corrientes.
PSfrag replacements
23. En la figura 26, se presenta un puente de Wheatstone alimentado por una bateria. La resistencia del
galvanómetro Rg = 200(Ω). Si el puente no está equilibrado, calcular la corriente que pasa por el
galvanómetro.
12Ω
15Ω
100Ω
40Ω
20V
12V
10Ω
30V
5Ω
5V
25Ω
Rg
0,2Ω
Fig. 25
Fig. 26
PSfrag replacements
24. En el circuito de la figura 27, determinar (a) el valor y sentido de las seis corrientes, (b) la tensión
entre los terminales de las tres baterias.
15V
5Ω
0,2Ω
0,2Ω
2Ω
0,4Ω
3Ω
8V
6Ω
6V
0,3Ω
4Ω
Fig. 27
Capítulo 2
Magnetostática
2.1. Introducción
En este capítulo se estudian las propiedades físico-matemáticas del espacio afin, a una corriente eléctrica
estacionaria, compatible con la ecuación de continuidad:
∇·J =0
En 1820, el físico danés OERSTED confirmó experimentalmente el efecto cinético que una corriente directa
ejerce sobre una brújula magnética(imán natural) e intuitivamente reveló la existencia del campo magnético.
A partir de este descubrimiento, evidentemente casual, la teoría magnética se desarrolla extraordinariamente
e incluso se formulan las primeras hipótesis concernientes al campo magnético terrestre.
Sintetizan ésta labor dos leyes básicas que son las que sustentan el estudio de la magnetostática. Ellas
propuestas casi simultáneamente, son:
2.2. La ley de Ampere-Laplace
Referida a la interacción magnética entre dos corrientes circuitales(C y C’ en la figura 2.1 ) y condensada
en la ecuación vectorial:
I I
dr × [dr0 × (r − r0 )]
0
(2.1)
F = Km ii
kr − r0 k3
C C0
donde F simboliza la fuerza magnética sobre el circuito C, debido a la presencia del circuito C 0 . Alternativamente:
I I
dr0 × [dr × (r0 − r)]
0
0
F = Km ii
(2.2)
kr − r0 k3
C C0
Simboliza la fuerza magnética sobre el circuito C 0 en interacción con el circuito C.
2.3. La ley de Biot-Savart
Referida al campo magnético de una corriente circuital(C 0 en figura 2.2) y cuya ecuación vectorial es:
I
dr0 × (r − r0 )
0
B(r) = Km i
(2.3)
kr − r0 k3
En ambas leyes la constante de integración K m , ajusta los resultados teóricos a los experimentales mediante
97
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
98
PSfrag replacements
i
i0
C
0
C0
r−r
r0
r
0
Figura 2.1: interacción entre los circuitos C y C’
i0
PSfrag replacements
P
C0
0
r−r
r0
r
0
Figura 2.2: Campo magnético generado por un circuito C 0
el uso de unidades apropiadas.
En el sistema internacional, la unidad de intensidad magnética(módulo de B) es el Tesla(T), y el valor de la
constante:
T
−7
Km = 10
A/m
Ambos modelos matemáticos son empíricos y de origen proporcional, sin embargo de ello, su universalidad
ha sido verificada en un amplio espectro experimental, de modo que ambas leyes son teórica y experimentalmente verificables.
Un buen punto de partida, en el plano teórico, es el advertir que ambas leyes son complementarias, pues la
ley referida a la fuerza magnética puede reformularse como:
I
F=i
dr × B(r)
(2.4)
C
ó alternativamente:
0
F =i
0
I
C0
dr0 × B(r 0 )
en ambos casos el campo magnético tendría que evaluarse utilizando la ley de Biot-Savart.
Si en el modelo original de Ampere-Laplace:
I I
dr × [dr0 × (r − r0 )]
F = Km ii0
kr − r0 k3
desarrollamos el triple producto vectorial, según:
dr × dr0 × (r − r0 ) = (r − r0 ) · dr dr0 − dr · dr0 (r − r0 )
(2.5)
2.3. LA LEY DE BIOT-SAVART
99
por lo cual:
F = Km ii
0
I I C
C
I I dr · dr0
(r − r0 ) · dr
0
0
dr − Km ii
(r − r0 )
0 3
kr − r0 k3
C C 0 kr − r k
como son corrientes circuitales, cualquier integral de la forma
I
ξ(r,r0 ) dr0 = 0
(2.6)
C0
que es igual al vector nulo, de modo que:
F = −Km ii
0
I I
y en consecuencia:
0
F = Km ii
C0
C
0
I I
C
C0
dr · dr0
0
3 (r − r )
0
kr − r k
(2.7)
dr0 · dr 0
(r − r)
kr − r0 k3
(2.8)
Y sumando F con F0 , demostramos una propiedad fundamental de la interacción magnética, a saber:
F + F0 = 0 =⇒ F0 = −F
que equivale a satisfacer el principio de acción y reacción en la teoría de Newton, que también se cumple
en la electricidad ecuación 1.4 del capítulo anterior. Esto nos permite afirmar que las fuerzas magnéticas,
aceptan el mismo tratamiento teórico experimental, que las fuerzas mecánicas. Confirmación realmente
importante. !
Los modelos clásicos, de fuerza e inducción magnéticas, corresponden a la teoría de los medios continuos.
Es bastante común y razonable referirse con el nombre de fluído eléctrico a la corriente conductiva en los
alambres metálicos. sin embargo al introducir la densidad de corriente:
J = N qv
podremos establecer los comportamientos discretos para una corriente convectiva formada por una sola
carga eléctrica. En efecto si la sustitución referida la establecemos en la ecuación:
I
dr0 × (r − r0 )
0
B(r) = Km i
kr − r0 k3
llegamos sucecivamente a:
B(r) = Km
I
B(r) = Km
N
X
N qv × (r − r0 )
ó
y con una densidad unidad, de modo que:
movil; esto es:
Z
J(r 0 ) × (r − r0 )
i
kr − r0 k3
kr − r0 k3
dV
dV
(2.9)
(2.10)
N dV = 1 ó N ∆V = 1 , establecemos el campo magnético
B(r) = Km
qv × (r − r0 )
kr − r0 k3
(2.11)
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
100
P
PSfrag replacements
r−
q
r0
v
r
r0
0
Figura 2.3: Campo magnético por una carga q movil
P
PSfrag replacements
r
0q
v
Figura 2.4: Campo magnético por una carga q en r 0 = 0
si reducimos r0 = 0 tenemos:
qv × r
(2.12)
r3
Aún más, si v es una velocidad no relativista, es decir si: v ≤ 0,1c donde c representa la velocidad de la luz:
q
Recordemos que el campo eléctrico para una carga puntual con r 0 = 0 ecuación 1.25 es: E = Ke 3 r y con
r
la ecuación 2.12 obetenemos:
Km
B(r) =
v × E(r)
(2.13)
Ke
B(r) = Km
conocidos los valores de: Km = 10−7 y Ke = 9 × 109 , resulta.
con lo que:
Km
10−7
1
=
=
9
Ke
9 × 10
9 × 1016
1
Km
= 2
Ke
c
(2.14)
entonces:
v × E(r)
(2.15)
c2
Por las condiciones físicas, ambos campos, el eléctrico y el magnético, generados por una carga movil, dejan
de ser estacionarios.
I
Si para la sustitución usamos la ecuación 2.4 que es F m = i dr × B(r), establecemos que:
B(r)
Fm =
Z
J(r) × B(r)
(2.16)
2.3. LA LEY DE BIOT-SAVART
101
E(r)
PSfrag replacements
B(r)
r
q
v
Figura 2.5: Campo magnético y eléctrico generados por una carga q movil
ó
Fm =
finalmente con
Z
Z
(2.17)
N qv × B(r)dV
N dV = 1
(2.18)
Fm = qV × B(r)
Aqui B(r) representa el valor del campo magnético en la posición instantánea de la carga puntual q. Obviamente se trata de la fuerza que un campo magnético ejerce sobre una carga inyectada en él. Su efecto
esencialmente deflector modifica la dirección en el movimiento de la carga, sin producir variaciones en su
energía cinética.
Dado el interés teórico-experimental nos proponemos desarrollar detalladamente la solución a los siguentes
problemas importantes.
1.
Movimiento de una partícula de masa m, carga q y velocidad v inyectada en un campo magnético
uniforme B.
Solución: En referencia a un sistema cartesiano impondremos las siguentes condiciones iniciales:
ri = (0, 0, 0); vi = (v, 0, 0), y ∀ t : B = (0, 0, B).
En todo tiempo t:
de modo que:
ûx ûy ûz F = qv × B = q vx vy vz = q(Bvy , −Bvx , 0)
0
0 B
Fx = qBvy
si sustituimos: ω =
Fy = −qBvx Fz = 0
ax =
qB
qB
vy ay = −
vx
m
m
az = 0
v̇x =
qB
vy
m
qB
vx
m
v̇z = 0
v̇y = −
qB
; resulta.
m
v̇x = ωvy v̇y = −ωvx v̈z = 0 =⇒ z = 0
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
102
Como era de esperar el movimiento evoluciona en el plano z = 0. Las ecuaciones diferenciales
restantes no son directamente integrables, sin embargo si derivamos cada una respecto al tiempo, las
tomamos solubles; en efecto:
v̈x = ω v̇y =⇒ v̈x = −ω 2 vx =⇒ v̈x + ω 2 vx = 0
análogamente:
v̈y = −ω v̇x =⇒ v̈y = −ω 2 vy =⇒ v̈y + ω 2 vy = 0
cuyas soluciones generales son respectivamente:
vx = A1 sen ωt + B1 cos ωt
(2.19)
vy = A2 sen ωt + B2 cos ωt
(2.20)
Ahora bién, segun las ecuaciones v̇ x = ωvy ó v̇y = −ωvx , por lo cual:
A1 ω cos ωt − B1 ω sen ωt = A2 ω sen ωt + B2 ω cos ωt
igualdad que se cumple si:
B2 = A 1
A2 = −B1
de este modo:
vx = A1 sen ωt + B1 cos ωt
vy = −B1 sen ωt + A1 cos ωt
y ∀t = 0 v = (v, 0, 0) obtenemos:
v = B1
0 = A1
a falta de una integración final:
vx = v cos ωt
(2.21)
vy = −v sen ωt
(2.22)
ecuaciones que nos confirman la conservación de la energía mecánica de la partícula, al ser:
vx2 + vy2 = v 2
(2.23)
finalmente:
Z
x
dx = v
0
por lo que:
Z
y
0
Z
t
cos ωtdt
0
dy = −v
x =
y =
Z
t
sen ωtdt
0
v
sen ωt
ω
v
v
cos ωt −
ω
ω
(2.24)
(2.25)
2.3. LA LEY DE BIOT-SAVART
103
z
B
PSfrag replacements
y
q
c
v
F
R=
ω=−
mv
qB
x
q
B
m
Figura 2.6: carga q inyectada en B
ecuaciones que establecen una trayectoria circular:
v
mv
=
ω
qB
v
y centro en el punto 0, −
ω
v 2 v 2
=
x2 + y +
ω
ω
(2.26)
de radio R =
El cálculo explícito de la frecuencia angular ω, es posible dado que la fuerza magnética es una fuerza
centrípeta en el movimiento de la carga q; pues:
qv × B = mac como ac = ω × v
qv × B = mω × v
−qB × v = mω × v
esta igualdad implica:
ω=−
q
B
m
(2.27)
Podemos intentar una ilustración gráfica(fig. 2.6).
Antes de concluir hacemos incapié en algunas conclusiones históricamente importantes:
a)
Partículas eléctricas con la misma carga q y masas diferentes, inyectadas perpendicularmente
al interior de un campo magnético uniforme B con la misma velocidad v, describirán órbitas
circulares de radios proporcionales a sus masas fig. 2.7. Este principio fundamentó el diseño del
primer espectrómetro de masas, equipo con el cual se identificaron los isótopos de un elemento
químico.
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
104
PSfrag replacements
z
B
y
q
C0
c c’
v
m
m0 > m
x
Figura 2.7: cargas q con masas m y m0
b)
el sentido de la deflexción depende del signo de la carga inyectada fig. 2.8 . Aplicando este
principio en una cámara de niebla que permite fotografiar la traza dejada por una partícula en
movimiento, el físico Anderson descubrió en 1932 el positron o electrón positivo.
z
PSfrag replacements
B
y
q<0
v
v
q>0
x
Figura 2.8: cargas con distintos signos
c)
La velocidad de inyección de una partícula cargada, en un campo magnético, no define la magnitud de su frecuencia angular, aunque si determina el valor del radio enla trayectoria
circular
2π
correspondiente fig. 2.9. De este modo el período de circunvolución P =
resulta inω
dependiente de la velocidad lineal. En 1932 funcionó el primer acelerador ciclíco de partículas(ciclotron) cuyo diseño, por el físico Lawrence, se fundamenta en éste esocronismo circular.
d)
Cuando una partícula, de carga q, se somete a la acción simultánea de dos campos estacionarios,
uno eléctrico (E) y otro magnético (B), la fuerza que modifica su impulsión es:
F = qE + qv × B
(2.28)
que es conocido por la fuerza de Lorentz.
La superposición dinámica que se advierte en esta ecuación refleja el efecto exclusivamente
2.3. LA LEY DE BIOT-SAVART
PSfrag replacements
105
z
v
2v
B
C
C0
c’
c
y
q
R
2R
v1
v2
x
Figura 2.9: cargas con distintas velocidades
deflector del componente magnético.
La fuerza de Lorentz ha sida confirmada en el laboratorio en los notables experimentos de J.J.
Thomson(1897), que condujeron al primer cáculo de la carga, específicamente del electrón. Para
tal propósito se utilizaron campos constantes mutuamente perpendiculares(campos cruzados).
2.
Movimiento de una partícula de carga q, masa m, sometida a la acción conjunta de un campo electrostático uniforme y un campo magnetostático también uniforme.
solución Supongamos que la partícula esta inicialmente en reposo y en el origen de un sistema cartesiano y que la acción conjunta se debe a los campos: E = (0, E, 0) y B = (0, 0, B) que son mutuamente perpendiculares.
En estas condiciones la fuerza de Lorentz será:
ûx ûy ûz F = q(0, E, 0) + q vx vy vz = q(0, E, 0) + q(Bvy , −Bvx , 0)
0
0 B
con lo que:
Fx = qBvy
qB
vy
m
qB
introduciendo la constante: ω =
=⇒
m
v̇x = ωvy
v̇x =
Fy = qE − qBvx
Fz = 0
qE qB
−
vx v̇z = 0
m
m
q
ω
=
, anotamos:
m
B
E
− ωvx v̇z = 0
v̇y = ω B
v̇y =
la integración de la componente v̇z = 0 −→ vz = 0 −→ z = 0
Esto nos confirma que el movimiento se confina en el plano xy. Las ecuaciones diferenciales restantes
las derivamos independientemente respecto al tiempo para plantear: v̈ x = ω v̇y y v̈y = −ω v̇x , y con
las sustituciones de v̇x y v̇y , respectivamente.
E
v̈x = ω ω B
− ωvx v̈y = −ω(ωvy )
E
v̈x + ω 2 vx = ω 2 B
v̈y + ω 2 vy = 0
cuyas soluciones generales son:
E
B
vy = A2 sen ωt + B2 cos ωt
vx = A1 sen ωt + B1 cos ωt +
(2.29)
(2.30)
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
106
E
Soluciones que deben satisfacer la condición: v̇ x = ωvy o alternativamente v̇y = ω − ωvx de la
B
primera tenemos:
A1 ω cos ωt − B1 ω sen ωt = A2 ω sen ωt + B2 ω cos ωt
igualdad que se cumple si:
A2 = −B1
B2 = A 1
de modo que en las soluciones generales:
vx = A1 sen ωt + B1 cos ωt +
E
B
vy = −B1 sen ωt + A1 cos ωt
como para t = 0 =⇒ vx = vy = 0 , esto es v = (0, 0, 0) encontramos
B1 = −
E
B
A1 = 0
con lo que las soluciones particulares se reducen a:
vx = −
vy =
E
E
cos ωt +
B
B
E
sen ωt
B
(2.31)
(2.32)
Las últimas integrales conducirán a las ecuaciones paramétricas de la trayectoria descrita por la
partícula cargada, y que como puede verificar el lector, serán:
x =
y =
E
E
t−
sen ωt
B
Bω
E
E
−
cos ωt
Bω Bω
(2.33)
(2.34)
respectivamente.
Dimensionalmente podemos establecer las siguentes igualdades:
qB
m
E
B
E
ωB
= ω
Fracuencia angular
= V
Velocidad lineal
= R
Radio
las cuales estan relacionadas por:
(2.35)
V = Rω
Con lo cual:
x = V t − R sen ωt
vx = V − V cos ωt
y = R − R cos ωt
vy = V sen ωt
Y de las cuales podemos obtener los siguentes resultados importantes:
2.3. LA LEY DE BIOT-SAVART
a)
107
La trayectoria de la partícula por:
(x − V t)2 + (y − R)2 = R2
(2.36)
De modo que el par (x, y) , representa la posición de un punto en una circunferncia de radio
R, que rueda(sin resbalar) sobre la recta y = 0. Tal tipo de curva se conoce con el nombre de
cicloide normal(fig. 2.10).
y
(πR, 2R)
PSfrag replacements
P (x, y)
(2πR, 0)
r(t)
0
x
2πR
t=
t=0
2π
ω
Figura 2.10: cicloide normal
b)
La odógrafa del movimeinto por:
(vx − V )2 + vy2 = V 2
(2.37)
vy
PSfrag replacements
v(t)
t=0
2V
2π
t=
ω
vx
t=
π
ω
Figura 2.11: circunferencia de radio V
una circunferncia de radio V y centro en el punto (V, 0) en el plano (v x , vy )(fig. 2.11). Además:
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
108
vx2 + vy2 = v 2 entonces:
v 2 = V 2 (1 − cos ωt)2 + V 2 sen2 ωt
v 2 = 2V 2 (1 − cos ωt)
ωt
v 2 = 4V 2 sen2
2
ωt
v = 2V sen
2
(2.38)
En función de los parámetros originales:
V
=
ω =
R =
v =
E
B
qB
m
mE
qB 2
qB
2E
t
sen
B
2m
(2.39)
z
B
PSfrag replacements
y
E
q
0
x
Figura 2.12: Campos perpendiculares E, B
2.4. Torque Magnético
Nos proponemos analizar el efecto cinético que un campo magnético uniforme genera al actuar sobre
una espira conductora con corriente eléctrica estacionaria(fig. 2.13).
Segun la ley de Laplace-Ampere ec. 2.4
dF = idr × B(r)
como en el caso que nos preocupa: B(r) = B.
Resulta:
F=i
I
dr × B
(2.40)
2.4. TORQUE MAGNÉTICO
109
i
dr
dF
B
PSfrag replacements
r
0
Figura 2.13: Espira conductora
La integral, por tratarse de un circuito cerrado, es nula y por lo tanto:
F=0
Seguidamente calculamos el torque de la fuerza dF, respecto al punto 0:
dτ = r × (idr × B)
(2.41)
dτ = i(r · B)dr − i(r·dr)B
(2.42)
desarrollando el triple producto vectorial 1 :
Con el propósito de formular una solución general, la conduciremos en referencia a un sistema cartesiano
triortonormal dextrogiro, entomces:
B = (Bx , By , Bz )
r = (x, y, z) −→ dr = (dx, dy, dz)
de este modo la componente x del torque será:
τx = i(xBx + yBy + zBz )dx − iBx (xdx + ydy + zdz)
ó
τx = iBX
I
xdx + iBy
I
ydx + iBZ
I
τx = iBy
I
que se reduce por razones obvias a:
zdx − iBX
I
xdx − iBX
ydx + iBz
I
zdx
I
ydy − iBX
I
zdz
(2.43)
Ahora bién, tomando encuenta el área orientada por el circuito de circulación de la corriente, y delimitada
por el conductor: S = (Sx , Sy , Sz )
Que en una base dextrogiro será:
I
I
I
S=
ydz, zdx, xdy
(2.44)
1
τ es una magnitud vectorial
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
110
con un verctor opuesto:
−S =
I
zdy,
I
xdz,
I
ydx
(2.45)
resulta:
τx = −iBy Sz + iBz Sy = iSy Bz − iSz By
(2.46)
τy = iSz Bx − iSX Bz
(2.47)
y por desarrollos análogos:
τz = iSx By − iSy Bx
(2.48)
componentes que representan el producto vectorial:
(2.49)
~τ = iS × B
Si definimos el momento magnético de la espira rotante por el pseudovector:
(2.50)
M = iS
B
PSfrag replacements
M
i
τ
Figura 2.14: Vectores B, M, τ
entonces:
~τ = M × B
Este efecto rotatorio fundamenta teóricamente el funcionamiento de los motores eléctricos.
2.5. Ecuaciones Integro-Diferenciales
La ley de Biot-Savart en función de la densidad de corriente, resulta ser:
B(r) = Km
Z
J(r 0 ) × (r − r0 )
dV
kr − r0 k3
µ0
B(r) =
4π
Z
J(r 0 ) × (r − r0 )
dV
kr − r0 k3
y en el sistema racionalizado:
µ0 simboliza la permeabilidad magnética del vacio
(2.51)
2.5. ECUACIONES INTEGRO-DIFERENCIALES
111
2.5.1. Potencial vectorial Magnético
Puesto que:
resulta:
Como:
resulta:
r − r0
−1
= −∇kr − r0 k
kr − r0 k3
Z
µ0
−1
B(r) =
−J(r 0 ) × ∇kr − r0 k dV
4π
Z
µ0
−1
B(r) =
∇kr − r0 k × J(r 0 )dV
4π
∇ × kr − r0 k
−1
J(r 0 ) = ∇kr − r0 k
µ0
B(r) =
4π
ó finalmente
−1
× J(r 0 )
Z
∇×
J(r 0 )
dV
kr − r0 k
Z
J(r 0 )
dV
kr − r0
µ0
B(r) = ∇ ×
4π
Se define el Potencial Vectorial Magnético, como la integral:
Z
J(r 0 )
µ0
A(r) =
dV
4π
kr − r0 k
(2.52)
y en términos de la corriente estacionaria:
µ
A(r) =
i
4π
I
dr0
kr − r0 k
(2.53)
En conclusión:
B(r) = ∇ × A(r)
(2.54)
2.5.2. Primera ecuación: Divergente Del Campo Magnético
De la ecuación 2.54 obtenemos: ∇ · B = ∇ · ∇ × A, como sabemos que la divergencia del rotacional
es siempre nula(Apendice A), tenemos:
∇·B =0
(2.55)
Cualquier campo magnetostático es de divergente nulo.
Forma Integral
Resulta evidente la nulidad de la integral:
Z
V
∇ · B(r)dV = 0
(2.56)
donde V simboliza el volúmen finito de la distribución de corriente eléctrica. Por el teorema de la divergencia:(Apendice A)
Z
I
V
∇ · B(r)dV =
S
B(r) · un dS = 0
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
112
aqui S, es la frontera natural de V y sustituyéndola por una superficie gaussiana SG, concluimos que:
I
B(r) · un dS = 0
(2.57)
SG
Solución propia de los campos solenoidales, cuya dirección se define por la tangente geométrica a las líneas
de campo que se cierran a si mismas(fig. 2.15); de este modo elegida cualquier superficie cerrada hay una
compensación entre el flujo saliente y el entrante dando un valor neto igual a cero.
Es por ejemplo, el caso del campo magnético generado por una carga eléctrica en movimiento.
E
B
B
E
q
PSfrag replacements
v
E
B
B
E
Figura 2.15: Líneas de campo cerradas
2.5.3. Segunda Ecuación: Rotacional Del Campo Magnético
Por la relación:B(r) = ∇ × A(r), se sigue que:
∇ × B(r) = ∇ × (∇ × A(r))
cuyo desarrolo formal conduce a:
Z
∇ × B(r) = ∇(∇ · A(r)) − ∇2 A(r)
J(r 0 )
dV , entonces:
kr − r0 k
Z
Z
µ0
µ0
−1
−1
∇ · A(r) =
∇ · kr − r0 k J(r 0 )dV =
∇kr − r0 k · J(r 0 )dV
4π V
4π V
µ0
y como: A(r) =
4π
Por la interpretación de la figura 2.16 no tiene sentido según explorando con el operador ∇; debiendo
hacerlo con el operador ∇0 ; ambos operadores estan relacionados según:∇ 0 = −∇ ó ∇ = −∇0 , así:
Z
µ0
−1
∇ · A(r) = −
∇0 kr − r0 k · J(r)dV
4π V
2.5. ECUACIONES INTEGRO-DIFERENCIALES
113
S
PSfrag replacements
dV
V
r0
S
r
0
Figura 2.16: ∇0 sobre V
prosegimos usando el método de integración vectorial por partes, según la identidad:
∇0 · kr − r0 k
−1
J(r 0 ) = ∇0 kr − r0 k
−1
· J(r 0 ) − kr − r0 k
−1
∇0 · J(r 0 )
como se trata de una corriente estacionaria: ∇ 0 · J(r 0 ) = 0, la integral se reduce a:
Z
µ0
J(r 0 )
0
∇ · A(r) = −
dV
∇ ·
4π V
kr − r0 k
aplicando el teorema integral de la divergencia llegamos finalmente a:
I
J(r 0 ) · un
µ0
dS
∇ · A(r) = −
4π S kr − r0 k
I
µ0
J(r 0 ) · un
∇ · A(r) = −
dS
4π SG kr − r0 k
(2.58)
S
dV
r−r
PSfrag replacements
V
r − r0
SG
Figura 2.17: superficie gausiana
Es facil advertir que magnitud subintegral es inversamente proporcional al valor de kr − r 0 k, y dado que una
superficie gaussiana(fig. 2.17) es perfectamente dilatable el flujo que la atraviesa será nulo para un kr − r 0 k,
suficientemente grande. asi llegamos a la conclusión que el divergente del potencial vectorial magnético es
nulo; es decir:
∇ · A(r) = 0
(2.59)
con lo que el rotor del campo magnético se reduce a:
∇ × B(r) = −∇2 A(r) = −(∇ · ∇)A(r)
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
114
finalmente:
∇ × B(r) = −
µ0
4π
Aqui se presentan dos casos notables:
Z
V
J(r 0 )(∇ · ∇)kr − r0 k
a
si
r 6= r 0 =⇒ ∇ · ∇kr − r0 k
−1
b
si
r = r 0 =⇒ ∇ · ∇kr − r0 k
−1
−1
= −∇ ·
(2.60)
dV
(r − r0 )
kr − r0 k3
=0
se indetermina.
En consecuencia solo resta indagar el valor preciso de la integral:
Z
(r − r0 )
µ0
J lı́m0
∇·
dV
∇ × B(r) =
4π r→r V
kr − r0 k3
I
µ0
(r − r0 ) · un
∇ × B(r) =
dS
J lı́m0
4π r→r S kr − r0 k3
Si para simplificar introducimos: R = r − r 0 ; y
r − r0
= uR (fig. 2.18)
kr − r 0 k
S
PSfrag replacements
R
J
r0
un
B
r
0
Figura 2.18: Relación entre B y J
∇ × B(r) =
∇ × B(r) =
I
uR · u n
µ0
dS
J lı́m
4π R→0 S R2
I
µ0
4πR2
dS
µ0
=
J lı́m
J lı́m
4π R→0 S R2
4π R→0 R2
por lo cual:
(2.61)
∇ × B = µ0 J
ecuación diferencial que establece la correspondencia entre B y J, para una misma posición.
Forma Intergral
Interponiendo, en el flujo de corriente, una superficie abierta orientada por el sentido del flujo(fig. 2.19),
se establece que:
Z
Z
S
∇ × B · un dS = µ0
S
J · un dS
2.6. CAMPOS MAGNÉTICOS NOTABLES
115
Y por el teorema intergral del rotor se reduce a:
I
B(r) · dr = µ0 i
(2.62)
C
PSfrag replacements
c
S
i
J
un
Figura 2.19: Flufo de corriente eléctrica
Conocida como la ley circuital de Ampere( 2.62). Esta ley, al igual que la de Gauss en el caso electrostático,
puede utilizarse para simplificar el cáculo de |B|, en condiciones de alta simetría.
2.6. Campos Magnéticos Notables
a) Conductor rectilíneo de longitud infinita y corriente i.
Problema de importancia teórica y cuya solución confirmará la propiedad solenoidal del campo magnético correspondiente. aplicando la ley de Biot-Savart, a la siguiente disposición cartesiana(fig. 2.20).
z
r0
PSfrag replacements
r
x
P
i
y
Figura 2.20: Conductor rectilineo ∞
B(r) = Km i
con:
r = (0, y, 0)
I
dr0 × (r − r0 )
kr − r0 k3
r0 = (0, 0, z)
dr0 = (0, 0, dz)
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
116
r − r0 = (0, y, −z)
de modo que:
2
kr − r0 k3 = (y + z 2 )3/2
dr0 × (r − r0 ) = (−ydz, 0, 0)
B(r) = Km i
y:
Z
∞
−∞
(−ydz, 0, 0)
(y 2 + z 2 )3/2
By = B z = 0
Bx = −Km i
Bx = −
Bx
Km i
y
Z
∞
(y 2
−∞
Z π/2
ydz
+ z 2 )3/2
si sustituimos
z = y tan θ
cos θdθ
−π/2
π/2
Km i
2Km i
= −
sen
=⇒ Bx = −
y
y
−π/2
En general, podemos notar en la figura 2.22 para corrientes salientes y entrantes al papel.
z
PSfrag replacements
B=−
B=
2Km i
ux
y
2Km i
uy
y
0
B=−
x
2Km i
ux
y
y
B=
2Km i
uy
y
Figura 2.21: Líneas de campo solenoidal
En cualquier caso el campo magnético es tangente a las líneas de campo fig. 2.21 y 2.22 (circunferencias
concéntricas), y su sentido está definido por la regla de la mano dercha.
Dada la alta simetría que presenta el campo considerado puede simplificarse su cálculo recurriendo a la
ley circuital de ampere ecuación 2.62, pués:
I
B · dr = µ0 i
Circunferencia de radio r
C
I
I
BdS = µ0 i =⇒ B dS = µ0 i
B(2πr) = µ0 i =⇒ B =
B =
2Km i
r
µ0 i
2πr
2.6. CAMPOS MAGNÉTICOS NOTABLES
117
B
B
PSfrag replacements
Corriente saliente
Corriente entrante
Corriente entrante i
Corriente saliente i
Figura 2.22: Corriente entrante y saliente
b) Campo magnético axial de una espira circular de radio a, y corriente i.
z
p
r
PSfrag replacements
i
a
r0
P
y
x
Figura 2.23: Espira circular
Según la figura 2.23 se tiene:
r0 = (a cos φ, a sen φ, 0)
r = (0, 0, z)
r − r0 = (−a cos φ, −a sen φ, z)
Bx =
By =
BZ
=
dr0 = (−a sen φdφ, a cos φdφ, 0)
dr0 × (r − r0 ) = (az cos φdφ, az sen φdφ, a2 dφ)
Z 2π
1
µ0
cos φdφ =⇒ Bx = 0
iaz 2
4π
(a + z 2 )3/2 0
Z 2π
µ0 iaz
sen φdφ =⇒ By = 0
4π(a2 + z 2 )3/2 0
Z 2π
µ0 ia2
µ0 ia2
dφ
=⇒
B
=
Z
4π(a2 + z 2 )3/2 0
2(a2 + z 2 )3/2
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
118
El campo magnético deducido presenta un máximo en z=0 de valor:
BM =
µ0 i
2a
y se anula en z = ±∞ graficamente es fig. 2.24.
B
µ0 i
2a
PSfrag replacements
0
z
Figura 2.24: Máximo del campo magnético
c) Campo Magnético axial de un solenoide de redio a, n espiras por unidad de longitud, y corriente i.
i
i
N espiras
PSfrag replacements
a
L
n=
z − z0
z0
P
0
z
z
dN = ndz 0
dz 0
Figura 2.25: Solenoide de radio a
en el punto P de la figura 2.25:
dB =
µ0 ia2 ndz 0
2 [a2 + (z − z 0 )2 ]3/2
uz
obviamente: (z − z 0 )2 = (z 0 − z)2 .
Integrando entre z 0 = 0 y z 0 = L; obtenemos:
µ0 ia2 n
B=
2
Z
0
L
dz 0
[a2 + (z − z 0 )2 ]3/2
uz
N
L
2.6. CAMPOS MAGNÉTICOS NOTABLES
119
el cambio de variable: z 0 − z = a tan θ, reduce la integral propuesta a:
Z
µ0 ia2 n θ2 a sec2 θdθ
B=
uz
2
a3 sec3 θ
θ1
donde:
tan θ1 = −
de modo que:
B=
z
a
tan θ2 =
L−z
a
µo in
(sen θ2 − sen θ1 )uz
2
en función de las variables originales:
#
"
L−z
z
µ0 ni
p
+√
B(z) =
2
a2 + z 2
a2 + (L + z)2
Función simétrica respecto a z =
L
, en efecto:
2
µ nLi
√0
2 a2 + L 2
µ nLi
√0
B(L) =
2 a2 + L 2
B(0) = B(L)
B(0) =
De manera que B(z), presenta un máximo en z =
L
, y cuaya magnitud es:
2
µ0 nLi
BM = √
4a2 + L2
a 2
a
Sí por construcción: <<< 1, de modo que:
≈0
L
L
El valor aumenta a
BM = µ0 ni
que caracteriza el campo magnético de un solenoide largo en una región extendida en torno a su punto
medio.
d) Campo magnético axial en las bobinas de Helmholtz producido por corrientes paralelas.
El sistema esta formado por dos bobinas circulares de radio a, N espiras apretadas y cuyos planos medios
paralelos están separados por una distancia 2b(fig. 2.26).
Por suposición el campo magnético en P es:
#
"
1
1
µ0 N ia2
+
Bz =
2
(a2 + z 2 )3/2 [a2 + (2b − z)2 ]3/2
dB
Campo que presenta un máximo en z = b, pues en el
= 0.
dz
El valor de dicho máximo es:
µ0 N ia2
BM = 2
(a + b2 )3/2
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
120
z
i
PSfrag replacements
P
2b
i
0
a
Figura 2.26: Bobinas de Helmholtz
Es posible optimizar este máximo y extenderlo a una región en torno al punto: z = b
Si en la expansión de la función B(z), por la serie de Taylor:
B(z) = B(b) +
dB
dz
z+
z=b
d2 B
dz 2
z=b
z2
+ ...
2!
(2.63)
a
forzamos la anulación de la segunda derivada en z = b, lo que es posible si: 2b = a, entonces b = .
2
Y tras reemplazar en la expresión de B M , obtenemos el valor característico del campo magnético axial
para las bobinas de Helmholtz por:
B =
√ !
8 5 µ0 N i
25
a
B = (0,72)
µ0 N i
a
e) Dipolo Magnético puntual. Momento Magnético Dipolar.
El potencial vectorial magnético de una corriente cerrada i fig. 2.27 es:
P
PSfrag replacements
i
r0
r
0
Figura 2.27: Corriente cerrada i
A(r) =
como: kr − r0 k
kr − r0 k
−1
−1
µ0
i
4π
I
dr0
kr − r0 k
= (r 2 + r 02 − 2r · r 0 )−1/2 factorizando:
#−1/2
"
0 2
2r · r 0
r
−1
−
=r
1+
r
r2
2.6. CAMPOS MAGNÉTICOS NOTABLES
121
r0
Si reducimos el valor de
a tal punto que el cociente
<<< 1 y
r
logramos la aproximación lineal:
1 r · r0
−1
kr − r0 k ∼
= + 3
r
r
r0,
0 N
r
≈ 0 con N = 2, 3, 4 . . .
r
y reemplazando en el potencial vectorial:
µ0 i
A(r) ∼
=
4π
I
dr0 µ0 i
+
r
4π
I
(r · r0 )dr0
r3
que, por tratarse de una corriente cerrado, se reduce a:
I
µ0 i
∼
A(r) =
(r · r0 )dr0
4πr 3
Asumiendo un sistema cartesiano positivo, de manera que: r = (x, y, z) y r 0 = (x0 , y 0 , z 0 )
y el vector área del circuito:
I
I
I
0 0
0
0
0 0
y dz , z dx , x dy
S=
expresamos la componente x del potencial A como:
µ0 i
(zSy0 − ySz 0 )
Ax ∼
=
4πr 3
ó introduciendo el producto vectorial correspondiente:
A(r) ∼
=
µ0 iS × r
4π r 3
expresión aproximada que puede tomarse en una igualdad introduciendo el momento dipolar magnético
del circuito elemental según:
!
m=
lı́m iS
S→0
i→∞
entonces
A(r) =
un
µ0 m × r
4π r 3
y calcular el campo magnético dipolar por la relación:
B(r) = ∇ × A(r)
que en el caso presente equivale a desarrollar:
µ0
∇ × (m × r −3 r)
4π
µ0 (∇ · r −3 r)m − (∇ · m)r −3 r + (r −3 r · ∇)m − (m · ∇)r −3 r
B(r) =
4π
B(r) =
como, por definición m es un vector constante, todas sus derivadas se anulan, ademas:
∇ · r −3 r = ∇r −3 · r + r −3 ∇ · r = 0
(2.64)
(2.65)
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
122
con lo que:
µ0
(m · ∇)r −3 r
4π
µ0 (m · ∇)r −3 r + r −3 (m · ∇)r
B(r) = −
4π
B(r) = −
y continuando el desarrollo:
B(r) = −
finalmente:
µ0 −3r −5 (m · r) r + r −3 m
4π
µ0
B(r) =
4π
PSfrag tenemos(fig.
replacements2.28):
Gráficamente
3m · r
r5
m
r− 3
r
Bm
m
(2.66)
Br
P
r
0
Figura 2.28: Relación entre los vectores B y m
alternativamente para un origen arbitrario(fig. 2.29):
PSfrag replacements
r
m
P
0
−r
r
r0
0
Figura 2.29:
B(r) =
µ0
4π
m
3m · (r − r0 )
0
(r
−
r
)
−
kr − r0 k5
kr − r0 k3
(2.67)
A esta altura se puede adevertir la analogía con el campo generado por un dipolo eléctrico:
1
3p · (r − r0 )
p
0
E(r) =
(r − r ) −
4π0
kr − r0 k5
kr − r0 k3
Esta analogía se extiende también al efecto direccional que un campo magnético produce sobre un dipolo
de momento m, expresado por la relación:
~τm = m × B
y por cuya acción el dipolo tenderá a orientarse en la dirección del campo magnético actuante.
(2.68)
2.7. MAGNETIZACIÓN DE LA MATERIA
123
2.7. Magnetización De La Materia
Con excepción de los materiales ferromagnéticos(F e, Co, N i), que son fuentes magnéticas naturales,
los demás se clasifican como diamagnéticos o paramagnéticos, y presentan diferentes grados de magnetización cuando se los somete a la acción de un campo magnético apropiado.
Cualquier hipótesis clásica concerniente al por qué de la magnetización considera:
1.
El efecto direccional de un campo magnético sobre un dipolo magnético. A nivel atómico cada electrón orbital configura un dipolo fundamental.
2.
Cierto tipo de corriente se induce en el material magnetizado, de este modo el efecto de una muestra
magnetizada podrá evaluarse según la ley de Biot-Savart.
A nivel macroscópico cualquier elemento de volúmen ∆V , de un material magnetizado debe estar caracterizado por un momento dipolar ∆m. Esto nos permite definir su nivel de magnetización por el campo
vectorial:
dm
∆m
=
(2.69)
M = lı́m
∆V →0 ∆V
dV
S
PSfrag replacements
0
V
M (r 0 )
r0
r
Figura 2.30: Material magnetizado
y el potencial vectorial asociado será:
µ0
A(r) =
4π
sustituyendo:
(r − r0 )
kr − r0 k3
µ0
A(r) =
4π
e integrando por partes:
= ∇0 kr − r0 k
Z
0
0 −1
M(r ) × ∇ kr − r k
µ0
A(r) =
4π
ahora bién:
V
Z
M(r 0 ) × (r − r0 )
dV
kr − r0 k3
Z
V
µ0
dV = −
4π
∇0 × M(r 0 )
dV −
kr − r0 k
Z
V
Z
V
∇0 kr − r0 k
∇0 ×
−1
M(r 0 )
dV
kr − r0 k
I
M(r 0 )
M(r 0 )
u
×
dV
=
dS
∇ ×
n
kr − r0 k
kr − r0 k
S
V
I
I
un × M(r 0 )
un × M(r 0 )
dS
=
dS
0
kr − r k
kr − r0 k
S
SG
0
(2.70)
−1
0
V
Z
× M(r 0 )dV
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
124
que tendrá el valor cero, si kr − r0 k tiende al infinito. De este modo:
Z
µ0
∇0 × M(r 0 )
A(r) =
dV
4π
kr − r0 k
(2.71)
que permite introducir un nuevo tipo de corriente, llamada por su orígen corriente de magnetización, según:
JM (r 0 ) = ∇0 × M(r 0 )
con lo cuál:
µ0
A(r) =
4π
Z
JM dV
kr − r0 k
(2.72)
(2.73)
representa formalmente el potencial vectorial del material magnetizado y por su rotor el campo correspondiente:
Z
JM (r 0 ) × (r − r0 )
µ0
BM (r) =
dV
(2.74)
4π V
kr − r0 k3
2.7.1. Ecuaciones Macroscópicas
Una corriente de portadores libres J, genera en un medio magnetizable una corriente de magnetización
JM , que en un caso favorece la acción del campo magnético asociado a J (paramagnetismo), y otro se opone
a dicha acción(diamagnetismo); en cualquiera de los casos la ecuación de Ampere, establece que:
∇ × B = µ0 (J + JM )
(2.75)
como: JM = ∇ × M, resulta:
∇ × B = µ0 (J + ∇ × M)
B
−M =J
∇×
µ0
introduciendo el campo auxiliar:
H=
B
−M
µ0
(2.76)
llegamos a:
y en forma integral:
∇×H=J
I
H · dr = i
(2.77)
(2.78)
Con el propósito de distinguir entre los campos H y B, al primero suele denominarse intensidad de campo magnético y al segundo densidad de flujo magnético. Sin embargo queda suficientemente claro que la
corriente libre J, es la fuente de A, por:
I
∇ × H = J ⇐⇒
H · dr = i
que la corriente de magnetización J M , es la fuente de M, por:
I
∇ × M = JM ⇐⇒
M · dr = iM
2.7. MAGNETIZACIÓN DE LA MATERIA
125
y que la suma de ambas corrientes J + J M , es la fuente de B.
Se verifica experimentalmente que en los medios magnéticos LIH, que:
M ∝ H
M = χm H
donde la constante de proporcionalidad χ m , es la suceptibilidad magnética. Precísamente:
en los materiales paramagnéticos
χm > 0
en los materiales diamagnéticos
χm < 0
B
−M
µ0
sustituyendo:
como: H =
B
− χm H
µ0
B = µ0 (1 + χm )H
H=
definiendo la permeabilidad magnética del material según:
µ = µ0 (1 + χm )
(2.79)
B = µH
(2.80)
µ
µ0
(2.81)
llegamos a:
o en términos de la permeabilidad relativa:
Km =
(2.82)
B = µ 0 Km H
En síntesis estas ecuaciones nos permiten el cálculo de:
I
a
H
por medio de:
b
B
según la ecuación:
c
H
por la ecuación:
H · dr = i
B = µ 0 Km H
B
M=
−H
µ0
2.7.2. Condiciones De Contorno
En la superficie que separa dos medios magnéticamente permeables(interfase) deben cumplirse ciertas
condiciones de continuidad referidas a la magnitud de los campos H y B.
I Dichas ecuaciones de frontera se
relacionan con las propiedades básicas de los campos referidos, a saber:
H
HC H · dr = 0, y
S B · un dS = 0
C
H · dr = i, con interfase vacio:
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
PSfrag126
replacements
B1
H1
un
ut
un
µ1
µ2
S
c
u0n
B2
H2
Figura 2.31: Interfase vacía
Primera Ecuación
La circulación de H en el contorno orientado C(fig. 2.31), proporciona:
Z
Z
H1 · dr1 + H2 · dr2 + ΛC 0
(2.83)
Donde ΛC 0 , representa la circulación complementaria por la curva C. Pasando al límite: Λ C 0 = 0, además:
dr1 = dlut ; y dr2 = −dlut ; de modo que:
Z
(H1 − H2 ) · ut dl = 0
H1t = H2t
igualdad que establece, en cualquier punto de la interfase, la continuidad de las componentes tangenciales
de H.
Segunda Ecuación
El flujo de B a través de la superficie cerrada S(fig- 2.31), está representado por:
Z
Z
B1 · un dS + B2 · un dS + ΦS = 0
(2.84)
Donde ΦS , representa el flujo lateral complementaria, que para puntos de la interfase tomará el valor cero,
en tales condiciones se cumple:
Z
Z
B2 · u0n ds = 0
B1 · un dS +
S1
S1
y puesto que: u0n = −un , se llega a:
Z
s1
(B1 − B2 ) · un = 0
e independientemente de S1 ; establece la continuidad de las componentes normales de B, es decir:
B1n = B2n
(2.85)
2.7. MAGNETIZACIÓN DE LA MATERIA
127
Ambas ecuaciones de continuidad pueden expresarse en función del unitario normal a la interfase u n , según:
(2.86)
(H1 − H2 ) × un = 0
(2.87)
(B1 − B2 ) · un = 0
Concretamente si la dirección de los campos (H, B) en el primer medio está definida por el ángulo φ 1 ,
respecto a la normal de la interfase, la dirección φ 2 en el segundo medio debe satisfacer la condición que se
detalla a continuación:
φ1
interfase vacia
µ1
PSfrag replacements
µ2
φ2
H1 sen φ1 = H2 sen φ2
B1 cos φ1 = B2 cos φ2
Figura 2.32: Relación direccionales entre dos medios
Como en los medios LIH: H1 =
B2
B1
y H2 =
, reemplazando:
µ1
µ2
B2
B1
sen φ1 =
sen φ2
µ1
µ2
B1 cos φ1 = B2 cos φ2
que también podemos escribir
tan φ1
tan φ2
=
, finalmente:
µ1
µ2
tan φ2 =
µ2
tan φ1
µ1
(2.88)
Al completar la descripción general de los campos estacionarios, presentamos un cuadro sintético coparativo
entre ambos.
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
128
Electrostática
Magnetostática
1 Ley de fuerzas: Coulomb
2 Ley de campos
3 Fuerza sobre carga puntual
F = qE
4 potencial escalar Φ
E = −∇φ
5 Ecuaciones fundamentales:
I
1 Ley de campos: Biot-Savart
2 Ley de fuerzas: Laplace-Ampere.
3 fuerza sobre carga puntual móvil.
F = qv × B
4 potencial vectorial A.
B=∇×A
5 Ecuaciones fundamentales:
I
∇×E = 0 ↔
IC
E · dr = 0
ρ
Q
E · un dS =
↔
0
0
SG
6 Campo dipolar
p:
3p · r
1
p
E=
r− 3
4π0
r5
r
7 Polarización LIH:
∇·E =
0 E = D − P
8 Ecuaciones de frontera:
(D1 − D2 ) · un = 0
(E1 − E2 ) × un = 0
9 Leyes de distribución:
σ = D · un ρ = ∇ · D
σp = P · un ρp = −∇ · P
10
Energía eléctrica:
1X
qi Φi
W =
2
i
Z
1
W =
E · DdV
2
B · dr = µ0 i
∇ × B = µ0 J ↔
I
SG
B · un dS = 0
∇·B =0 ↔
SG
6 Campo dipolar
m 3m · r
m
µ0
r− 3
B=
4π
r5
r
7 Magnetización LHI
B
= H±M
µ0
8 Ecuaciones de frontera
(B1 − B2 ) · un = 0
(H1 − H2 ) × un = 0
9 Leyes de distribución
∇×H=J
∇ × M = JM
10
Energía magnética(por demostrar)
1X
W =
ii Φi
2
i
Z
1
W =
H · BdV
2
Capítulo 3
Campos Electromagnéticos
Variables En El Tiempo
3.1. Inducción Electromagnética
En 1831, un año después del descubrimiento de Oersted, el físico ingles Miguel Faraday puso en evidencia el efecto recíproco, esto es la generación de corriente eléctrica por campo magnético, en una serie
impresionante de experimentos, que gráficamente sintetizamos a continuación:
Circuito inductor
Circuito inducido
Nucleo de madera
−
+
Pila voltaica
Galvanometro
Figura 3.1: Inducción electromagnética
El galvanómetro marca durante el transciente del circuito primario. Naturalmente las corrientes inducidas
son de muy corta duración, aunque el núcleo de hierro dulce magnifica su intensidad.
El desplazamiento de una barra magnética por el núcleo de una espira conductora solenoidal(fig. 3.2) genera
una corriente inducida de mayor intensidad y de duración más prolongada.
Faraday consiguio, haciendo girar un disco de cobre entre los polos de un potente imán en forma de herradura, corrientes permanentes por inducción. Dichas corrientes se recogen por medio de dos alambres que
rozan el eje y la circunferencia del disco.
En 1832 el físico norteamericano José Henry evindenció el fenómeno de autoinducción que refleja el efecto
inductivo del transciente de un circuito sobre si mismo.
Finalmente, en 1834 el sabio ruso Lenz estableció la ley que permite preveer el sentido de la corriente en
todos los casos de inducción; el sentido de la corriente inducida es tal que, por si misma o por sus efectos,
129
130
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
S
N
PSfrag replacements
VARIABLES EN EL TIEMPO
v
Figura 3.2: Desplazamiento de una barra
se opone a las acciones que la generan.
3.1.1. Ley de Henry-Faraday
Concordante con las observaciones experimentales y la proposición de Lenz, es la ley de inducción o la
ley de Henry-Faraday, que literalmente establece:
"La fem inducida es el negativo de la derivada temporal del flujo magnético que atraviesa el área del circuito
inducido”.
Simbólicamente:
dΦm
(3.1)
εL = −
dt
3.1.2. Formulación Analítica De La Inducción
El campo magnético originante del flujo puede deberse a la corriente no estacionaria en el circuito
inductor o a los polos de un electroimán: en términos del campo eléctrico inducido.
I
εL =
E(r, t) · dr
C
de modo que:
o sucesivamente:
I
d
EL (r, t) · dr = −
dt
C
I
Z
S
B(r, t) · un dS
Z
∂Bb
· un dS
C
S ∂t
Z
Z
∂B
· un dS
∇ × EL · un dS =
−
∂t
S
S
Z ∂B
· un dS = 0
∇ × EL +
∂t
s
EL (r, t) · dr = −
que al ser independiente del área S, implica:
∇ × EL (r, t) = −
∂B(r, t)
∂t
(3.2)
ecuación básica para un campo electromagnético al definir que si en cierta región del espacio se establece
un campo magnético no estacionario, en esa misma región se inducirá un campo eléctrico(fig. 3.3).
3.1. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
PSfrag replacements
131
B(r, t)
C
I
S
C
EL · dr = −
Z
S
∂B
· un dS
∂t
EL (r, t)
Figura 3.3: Campos E(r, t), B(r, t) no estacionarios
3.1.3. Inducción por deformación o movimiento del circuito inducido.
En estos procesos el flujo que atraviesa el área del circuito inducido está generado por el campo magnético uniforme que se establece entre los polos de un electroimán en forma de herradura.
a) Circuito formado por un conductor en forma de U, con un segundo conductor transversal móvil que modifica constantemente su área, sometido a la acción de un campo magnético uniforme B perpendicular al
plano del circuito(fig. 3.4).
B
PSfrag replacements
1
iL
un
v
l
2
x
Figura 3.4: Conductor en forma de U
Sobre los portadores libres del conductor móvil actúa una fuerza magnética: F = qv × B, que tiende a
desplazarlos en la dirección (1 − 2). Para un observador que se mueve junto con el conductor móvil, la
fuerza sobre sus portadores libres es de orígen eléctrico, esto es: F = qE L , y como por las transformaciones de Galileo, F = F0 , resulta ser:
qEL = qv × B
EL = v × B
aún más:
con lo que la fem inducida es:
Z
2
1
EL · dr = v × B ·
Z
2
dl
1
εL = v × B · l =⇒ εL = vlB
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
132
VARIABLES EN EL TIEMPO
que implícitamente concuerda con la ley de Lenz.
dΦm
, donde:
Por la ley de inducción ec. 3.1 εL = −
dt
Z
Z
Φm =
B · un dS =⇒ Φm = B dS
Φm = Blx
de modo que:
εl
=
−Bl
dx
dt
εL = − Blv
en este resultado el signo negativo nos adviere que el punto 2 está a mayor potencial que el punto 1
b) Circuito rotando en un campo magnético uniforme perpendicular a su eje de rotación(fig. 3.5).
B
PSfrag replacements
un
ab = l
d
εL
bc = k
θ = ωt
v×t
θ
c
r
a
ω
v×t
θ
b
v =ω×r
Figura 3.5: Circuito rotante
εL = v × B · l =⇒ v = w × r =⇒ εL = (w × r) × B · l
y por el triple producto vectorial:
εl = [(w · B)r − (r · B)w] ·l
εL = −(r · B)w · l
como w⊥B
o resaltando que |r| =
h
εL = − B cos(90o + θ)wl
2
hlwB sen θ
hlwB sen wt
εL =
=⇒ εL =
2
2
considerando ambos conductores:
εL = (hlwB) sen wt
h
2
3.1. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
133
según la ley de Faraday, para un flujo magnético:
Φm = Blh cos wt
resulta la fem inducida:
εL = Blhw sen wt
que corresponde a un generador de corriente alterna.
3.1.4. Coeficiente de inducción
El proceso inductivo desarrollado en el último ejemplo certifica la existencia de corrientes alternas no
estacionarias importantes en el desarrollo de la tecnología eléctrica.
Pero corrientes del tipo i = i(t), generan campos magnéticos no estacionarios, y estos a su vez inducirán
campos eléctricos según la ecuación 3.2:
∇ × EL (r, t) = −
ó equivalentemente:
I
C
∂B(r, t)
∂t
EL (r, t) · dr = −
dΦm
dt
Dos aplicaciones importantes resaltan el efecto del campo eléctrico inducido en las condiciones precedentes,
a conocer: El Betatron, y el Transformador.
El primero acelera electrones en una órbita circular, estable y a diferencia del ciclotrón, no introduce modificaciones en su diseño cuando se alcanzan velocidades relativistas. El segundo, de amplio uso en la transmición de corrientes alternas, permien modificar su tensión o su intensidad de manera predeterminada, sin
alterar su frecuencia.
dΦm
, y en un circuito rígido, estaFijemos ahora nuestra atención en la ley general de inducción: ε L = −
dt
cionario en el que establece una corriente no estacionaria: i = i(t), de manera que:
dΦm di
εL = −
dt di
dΦm di
εL = −
di
dt
Y dado que el campo magnético es una función lineal de la corriente, el coeficiente:
dΦm
Φm
=
=L
di
i
(3.3)
es una constante que depende exclusivamente de la forma geométrica del circuito y del medio que lo rodea. A
este coeficiente se denomina autoinductancia del circuito y es calculable como la capacitancia o la resistencia
de un conductor, entonces:
di
(3.4)
εL = −L
dt
la unidad internacional de L, es el Henrrio, que corresponde a:
1 Henrio = 1
donde:
W eber
Amperio
134
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
VARIABLES EN EL TIEMPO
1 Weber = 1T esla · m2
para calcular la autoinductancia de un imán de un circuito:
Se pasa una corriente hipotética por el.
Se calcúla el campo magnético correspondiente.
Se evalua el flujo magnético que atraviesa el circuito.
Se divide dicho flujo magnético por la corriente.
A manera de ejemplo calculamos la autoinductancia de un circuito solenoidal de largo l y N espiras circulares de radio R.
Al pasar una corriente i, por el solenoide el campo magnético axial es:
µ0 N i
l
B=
el autoflujo consiguiente es: Φm = BN S, donde S = πR2 esto es:
µ0 N 2 πR2 i
l
µ0 N 2 πR2
l
Φm =
L =
3.1.5. Inducción Mutua
Aplicable en el caso de una interacción magnética entre N circuitos rígidos, estacionarios con corrientes
fluctuantes en el tiempo. En este caso el flujo magnético, sobre el circuito i ésimo, será:
Φi =
N
X
Φij
j
y la fem inducida en el mismo circuito será:
εi = −
N
X
dΦij dij
j
dij dt
(3.5)
manteniendo la linealidad de los campos magnéticos respecto a las corrientes, los coeficientes:
Φij
= Mij
dij
son constantes que definen las inductancias mutuas.
Como ejemplo, calculamos la inductancia mutua entre dos circuitos solenoidales de la misma longitud l, la
misma sección S, el primero con N1 vueltas y el segundo con N2 vueltas de alambre sobre el mismo núcleo
de aire.
µ0 N1 i(t)
Al pasar una corriente i(t) por el primero se induce un campo magnético: B 1 =
.
l
µ0 N1 N2 Si(t)
El mismo que al atravezar el segundo genera un flujo magnético: Φ 21 =
, entonces:
l
µ0 N1 N2 S
M21 =
l
3.1. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
135
Podemos ahora invertir el proceso y pasar la corriente i(t) por el segundo solenoide y de este modo, sucesivamente:
µ0 N2 i(t)
l
µ0 N2 N1 Si(t)
Φ21 =
l
µ0 N2 N1 S
M12 =
l
B2 =
de manera tal que resulta la igualdad: M 21 = M12 .
La conmutatividad que se advierte en la igualdad precedente, tiene caracter general. En efecto, refiriéndonos
0
a los circuitos que se muestran en la figura 3.6 al pasar
Z una corriente i, por el circuito C , Calculamos el
flujo que atraviesa el área del circuito C, según: Φ =
S
B(r) · un dS, como:
B(r) = ∇ × A(r), donde el potencial vectorial magnético:
I
µ0
dr0
i
A(r) =
4π C 0 kr − r0 k
C
C0
S
PSfrag replacements
i
S0
0
r−r
r
r0
00
Figura 3.6: Circuitos C y C 0
de este modo:
Φ=
Z
S
y por el teorema del rotor:
∇ × A(r) · un dS
Φ=
por sustitución:
I
C
µ0
Φ=
i
4π
I
µ0
4π
I
Φ
y como: M = , resulta
i
M=
A(r) · dr
C0
C0
I
C
I
C
dr0 · dr
kr − r0 k
dr0 · dr
kr − r0 k
136
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
por analogía:
µ0
M =
4π
0
I I
C
C0
VARIABLES EN EL TIEMPO
dr · dr0
kr0 − rk
y por la conmutatividad del producto escalar concluimos que M = M 0 .
3.2. Energía asociada al campo magnético
a) Circuito CD:
L
R
PSfrag replacements
ε
Figura 3.7: Circuito LR
Parte de la energía entregada por la bateria que alimenta un circuito rígido fig. 3.7 y estacionario debe
asociarse con el campo magnético inducido por la corriente establecida. Dicha asociación es verificable
en el llamado régimen transitorio, pués en él la corriente es cierta función temporal: 0 < i 0 (t) ≤ i, donde
i, es la corriente de saturación. La ecuación circuital en el transciente debe ser:
ε + εL = i0 (t)R
como: εL = −L
(3.6)
di0
, resulta:
dt
di0
+ iR
dt
para un transporte adicional de carga: dq = idt, el balance energético nos conduce a:
ε=L
εdq = Li0 di0 + i02 Rdt
el término: dW =
Li0 di0
óW =L
Z
i
i0 di0 que esto conduce a:
0
W =
1 2
Li
2
está asociado con la energía magnética de la corriente i, esto es:
Wm =
1 2
Li
2
(3.7)
b) En el transciente de un circuito rígido y estacionario, la fem inducida está relacionada con su autoinducdi
tancia, por la ecuación: εL = −L , y por la ley general de inducción:
dt
dΦ
εL = − , por lo cuál: dΦ = Ldi.
dt
3.2. ENERGÍA ASOCIADA AL CAMPO MAGNÉTICO
137
y en las fluctuaciones de la energía magnética asociada: dW = Lidi ó dW = idΦ.
Al considerar un sistema de N circuitos rígidos y estacionarios, dichas variaciones referidas a uno de
ellos, por ejemplo al i ésimo circuito, debemos anotar:
dWi = ii
N1
X
dΦij
j
o sucesivamente:
dWi = ii
N1
X
dΦij
dij
j
dWi = ii
N1
X
dij
Mij dij
j
dW
N2 X
N1
X
=
ii Mij dij
N1 + N 2 = N
i6=j
W
1
2
=
N X
N
X
Mij ii ij
i=j
1
donde el factor
se debe a la conmutatividad de los coeficientes M. Recuerde que: M ij = Mji .
2
Es interesante analizar la expresión resultante cuando N = 2, en cuyo caso el desarrollo conduce a:
2
W
=
1X
(Mi1 ii i1 + Mi2 ii i2 )
2
i
W
=
1
(M11 i21 + M12 i1 i2 + M21 i2 i1 + M22 i22 )
2
y puesto que en general:
Mii = Li
llegamos a:
1
1
W = L1 i11 + L2 i22 + M i1 i2
2
2
(3.8)
donde:
M = M12 = M21
Cualquiera sea la magnitud de la energía magnética, resulta obvio que debe ser positiva, esto es: W ≥ 0,
de modo que la expresión:
1
W = i22 L2 + L1 x2 + 2M x
2
i1
donde se ha introducido la variable: x = .
i2
Debe tomarse un valor mínimo(condición de estabilidad dinámica), sujeto a la condición establecida.
dW
M
Dicho valor resultado de resolver la ecuación:
= 0, ó 2L1 x + 2M = 0 cuya solución es: x = − ,
dx
L1
por lo cual:
1
M2
≥0
(3.9)
Wm = i22 L2 −
2
L1
138
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
VARIABLES EN EL TIEMPO
lo que permite establecer una relación entre los coeficientes de inductancia, según:
L1 L2 − M 2 ≥ 0
M 2 ≤ L 1 L2
podemos finalmente postular la igualdad:
M =k
donde la constante k, debe ser en valor absoluto:
p
L 1 L2
|k| ≤ 1
Este factor k, tiene su origen en la forma de acoplamiento entre ambos circuitos.
1P
c) Por la equivalencia mostrada en el inciso b, a recordar: W =
ii Φi .
2 i
Resolvemos la energía magnética asociada a una distribución continua de corriente. En efecto:
Z
Φi =
B · un dSi
Si
como: B = ∇ × A, resulta:
Φi =
Z
Si
y por el teorema del rotor:
∇ × A · un dSi
I
Φi =
Ci
de modo que:
I
1X
W =
2
i
A · dri
Ci
ii A · dri
y por tratarse de una distribución continua:
1
W =
2
Z
V
J · AdV
según la ecuación de Ampere: ∇ × H = J, entonces:
Z
1
W =
A · ∇ × HdV
2 V
como:
∇ · (A × H) = H · ∇ × A − A · ∇ × H
A · ∇ × H = H · ∇ × A − ∇ · (A × H)
la integral resulta ser:
W =
Z
1
H · ∇ × AdV −
∇ · (A × H)dV
2 V
V
Z
I
1
1
W =
H · BdV −
(A × H) · un dS
2 V
2 S
1
2
Z
(3.10)
3.3. TEORIA DE MAXWELL
139
S
V
PSfrag replacements
SG
Figura 3.8: Superficie gausiana
Recuerde el teorema de la divergencia:
pero:
I
S
(A × H) · un dS =
I
SG
(A × H) · un dS
pues ambas superficies contienen en su interior el volúmen finito V, de la distribución de corriente.
Debido al comportamiento espacial de los campos A, H:
I
(A × H) · un dS = 0
lı́m
SG→∞
entonces:
1
W =
2
Z
V
H · BdV
que conduce a postular una densidad de energía magnética:
Em =
1
B2
B·H=
2
2µ
(3.11)
y concluir, como en el caso eléctrico, que la energía magnética se "localiza” en el campo magnético
inducido por una corriente eléctrica.
3.3. TEORIA DE MAXWELL
En 1873 el físico ingles JC Maxwell formula la teoría más completa de la fenomenología electromagnética. Dicho aporte teórico, en función de muchos propósitos puede sintetizarse en cuatro tópicos relevantes, a
saber:
3.3.1. Corriente de desplazamiento
Define la corriente de desplazamiento mediante su densidad:
JD =
∂D
∂t
(3.12)
que presupone un campo: D = D(r, t).
Este particular tipo de corriente tiene lugar a través del dieléctrico en el proceso de carga de un capacitor, y
140
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
VARIABLES EN EL TIEMPO
por lo tanto diferente a la corriente de conducción , al no estar asociado con el transporte de carga alguna.
Por lo demás, el introducir la corriente de desplazamiento en los circuitos capacitivos, nos permite sustituir
el antiguo postulado de las corrientes abiertas, por el ahora más conveniente postulado de las corrientes
cerradas.
3.3.2. Generalización de la ley de Ampere
Recordemos la ecuación de Ampere:
∇×H=J
Es compatible con la ecuación de la continuidad:
∇·J =0
que se cumple en condiciones estacionarias.Una ecuación más general deberá ser más compatible con la
ecuación de la continuidad:
∂ρ
∇·J+
=0
∂t
que involucran procesos no estacionarios. Ahora bién como: ∇ · D = ρ, se sigue que:
∂
∂D
∂ρ
= (∇ · D) = ∇ ·
∂t
∂t
∂t
y de este modo:
∇·J+∇·
y así la ecuación modificada, resulta ser:
∂D
∂D
=0
= 0 =⇒ ∇ · J +
∂t
∂t
∇×H=J+
∂D
∂t
(3.13)
conocida como la ecuación de Maxwell-Ampere.
La verdadera importancia de esta ecuación es la transformación que experimenta si se la refiere al espacio
vacío y sin corrientes, pues bajo estas condiciones resulta ser:
∇ × B = µ 0 0
∂E
∂t
(3.14)
B
, y D = 0 E.
µ0
La interpretación física de la última ecuación es sorprendente porque establece que si en cierta región del
espacio existe un campo eléctrico con variación temporal, en esa misma región se inducirá un campo magnético. Aún más, expresada en forma integral:
I
Z
d
B(r, t) · dr = µ0 0
E(r, t) · un dS
dt S
C
Recuerde que: H =
nos muestra una total analogía con la ley de Faraday:
Z
I
d
B(r, t) · un dS
E(r, t) · dr = −
dt S
C
dΦm
que referida a los circuitos eléctricos toma la forma standard: ε L = −
.
dt
relacionando la fuerza electromotriz inducida(FEM) con las variaciones temporales del flujo magnéticio que
3.3. TEORIA DE MAXWELL
141
atraviesa el circuito considerado.
Especulando analógicamente podriamos definir la fuerza magnetomotriz(FMM) como la circulación del
campo magnético:
I
B(r, t) · dr
(3.15)
F=
C
e igualarla a las variaciones temporales del flujo eléctrico según:
∂Φe
∂t
pero ciertamente éste no es el caso, porque al igual que la FEM, la FMM deberá estar asociada a un circuito
magnético, el mismo que definirá trayectorias de alta circulación de flujo magnético originados en corrientes
de tipo alterno, es el caso concreto de los electroimanes en general, y el de los transformadores, en particular
concluiremos esta disquisición presentando la ley de OHM magnética:
F = µ 0 0
F = RΦ
(3.16)
donde Φ, es el flujo magnético y R la (reluctancia), similar a la ya conocida: ε = Ri.
Propia de los circuitos eléctricos, y no abordaremos más en el tema.
Finalmente el que todas estas analogías no sean meras especulaciones matemáticas, se debe en gran parte
al trabajo experimental de Röntgen, que en 1888 logró medir el campo magnético que se induce al rotar un
disco de vidrio en el campo eléctrico de un capacitor alimentado con una corriente alterna.
3.3.3. Ecuaciones del campo electromagnético: E(r, t), B(r, t)
El enfoque mecanista que Maxwell propone en la teoría electromagnética, resume su gran capacidad
sintética; todo lo condensa en cuatro ecuaciones memorables, conocidas precisamente como las ecuaciones
de Maxwell. Ellas son en su doble formulación, diferencial e intergral, las siguentes:
I
∇·D=ρ
D · un dS = Q
ISG
∇·B =0
B · un dS = 0
SG
I
Z
d
∂B
E·dr = −
B · un dS
∇×E=−
∂t
dt S
C
I
H·dr = i + iD
∇ × H = J + JD
C Z
∂D
∂D
JD =
iD =
· un dS
∂t
S ∂t
A este sistema compacto deben agregarse por razones experimentales las relaciones en los medios materiales
LIH:
B
D = E
H=
µ
En condiciones estacionarias: E(r); B(r)
I
∇·D = ρ
D · un dS = Q
ISG
B · un dS = 0
∇·B=0
I
SG
E·dr = 0
∇×E=0
IC
∇×H=J
H·dr = i
C
142
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
VARIABLES EN EL TIEMPO
y tomando en cuenta las constantes universales del vacio: µ 0 , 0 ; las ecuaciones de Maxwell son:
I
ρ
Q
∇·E=
E · un dS =
0
0
ISG
B · un dS = 0
Z
d
E·dr = −
B · un dS
dt S Z
C
I
d
B·dr = µ0 i + µ0 0
E · un dS
dt S
C
∇·B =0
∇×E=−
∂B
∂t
∇ × B = µ 0 J + µ 0 0
I
∂E
∂t
SG
3.3.4. Teorema de Poynting
Antes de analizar la teoría ondulatoria de la luz, es preciso referirnos al comportamiento energético de
un campo electromagnético(CEM). Tal referencia esta contenida en el teorema de Poynting, que desarrollaremos a continuación.
Un volúmen finito V, con distribución continua de carga ρ, sometido a la acción de un CEM, experimenta la
acción de la fuerza de Lorentz:
dF = dQE + dQv × B
donde: dQ = ρdV , de modo que:
dF = ρEdV + ρv × BdV
La potencia transferida al sistema, a expensas de la energía interna del CEM, es:
dP
dP
P
= dF · v
= ρv · EdV
Z
ρv · EdV
=
(3.17)
V
en función de la densidad de corriente: J = ρv, resulta:
Z
P = J · EdV
(3.18)
v
Antes de evaluar la integral potencia, proponemos la hipótesis razonable de que la densidad energética de un
CEM es la superposición de la densidad eléctrica y la densidad magnética, esto es, establecemos la igualdad:
EEM = EE + EB = E
ó en función de sus equivalentes:
EEM =
aún más:
1
1
E·D+ H·B
2
2
∂EEM
D
∂B
=
·E+
·H
∂t
∂t
∂t
por las igualdades:
E
·D=
∂t
B
·H=
∂t
D
·E
∂t
H
·B
∂t
(3.19)
(3.20)
3.3. TEORIA DE MAXWELL
143
y ahora proseguimos: por la ecuación de Maxwell-Ampere:
∂D
∂t
∇×H =J+
entonces:
J·E=E·∇×H−E·
así:
Z
V
Según la identidad:
J · EdV =
Z
V
E · ∇ × HdV −
∂D
∂t
Z
V
E·
∂D
dV
∂t
∇ · (E × H) = H · ∇ × E − E · ∇ × H
Z
Z
Z
∂D
J · EdV = −
∇ · (E × H)dV +
H · ∇ × EdV −
E·
dV
∂t
V
V
V
Z
V
como: ∇ × E = −
Z
∂B
∂t
V
J · EdV = −
Z
V
∇ · (E × H)dV −
Z
V
∂B
H·
dV −
∂t
Z
V
E·
∂D
dV
∂t
se define el vector de poynting según la igualdad:
(3.21)
S=E×H
y en función de él, escribimos:
Z Z
Z
∂B
∂D
∇ · SdV −
H·
+ E·
J · EdV = −
dV
∂t
∂t
V
V
V
utilizando el teorema de la divergencia, y la densidad de energía electromagnética:
Z
I
Z
∂EEM
dV
J · EdV = − S · un dS −
∂t
V
S
V
ó por razones de simetría:
Z
I
∂EEM
dV +
∂t
Z
J · EdV
− S · un dS =
V
I S
ZV
Z
d
− S · un dS =
J · EdV
EEM dV +
dt V
S
V
de este modo el flujo de potencia que ingresa al volúmen V a través de la superficie S, es igual a la rapidez
con que se incrementa la energía electromagnética en V , más la potencia en el mismo volúmen.
Si en V existen generadores de potencia, habrá que considerar su integral de volúmen representativa:
Z
Jg · EdV
y así formular:
−
I
S
S · un dS =
d
dt
Z
EEM dV +
V
Z
V
J · EdV +
Z
V
Jg · EdV
144
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
VARIABLES EN EL TIEMPO
ó por razones interpretativas:
Z
Z
Z
I
d
−
Jg · EdV =
EEM dV +
J · EdV +
S · un dS
dt V
V
V
S
literalmente: "La potencia total generada en V es igual a la suma de la rapidez con que incrementa la
energía electromagnética en V , con las pérdidas óhmicas en V y el flujo saliente de potencia que atraviesa
la superficie frontera de V ” Una visión objetiva del teorema de poynting, nos proporciona su aplicación a la
conducción de corriente directa en un conductor circular recto de radio a, y longitud l(fig. 3.9). Por tratarse
de condiciones estacionarias, el referido teorema se reduce a la igualdad:
I
Z
− S · un dS =
J · EdV
S
V
E
S
H
un = u r
PSfrag replacements
Figura 3.9: Conductor circular recto
Con S = E × H; expresado en coordenadas cilíndricas tenemos: E = Eu z y H = Huφ :
S = −EHur
E=
nI
nI
=
2
πa
A
H=
I
2πa
nI 2
ur =⇒ S · un = S · ur
2πaA
Z
I
I
nI 2
nI 2
dS
− S · un dS = − −
dS =
2πaA
2πaA
S=−
y por el flujo total:
R
dS = 2πal; asi:
I
nl
nI 2
(2πal) =
− S · un dS =
I 2 = RI 2
2πaA
A
R
Naturalmente, al desarrollar la intengral de volúmen: V J · EdV .
llegamos al mismo resultaso como es facil de verificarse.
3.4. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA DE LA LUZ
145
3.4. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA DE LA LUZ
En 1690, Cristián Huygens publica su "tratado sobre la luz”, y el propone que semejante al sonido, la
luz es también un movimiento vibratorio. En tanto que las ondas sonoras se propagan en el aire, el lugar
de las ondas luminosas es el ETER, materia extremadamente sútil y de perfecta elasticidad que impregna a
todos los objetos y llena también el vacío.
En 1704, Isaac Newton postula en su tratado ”Optics”, que la luz está formada por partículas de diferentes
tamaños en interacción periódica con las partículas materiales del medio de propagación.
En el transcurso del siglo XIX, se formularon una diversidad de hipótesis, unas corpusculistas, otras ondulatorias, con el propósito de sustentar teóricamente fenómenos ópticos tan varidos como la doble refracción
que sufre un rayo luminoso al penetrar ciertos cristales, la interferencia de Young, la difracción de Fresnel,
la polarización circular producida por triple reflexión en un cristal, la polarización elíptica de rayos reflejados por superficies metálicas. Por su trascendencia histórica resalta sin embargo, el trabajo presentado por
Augusto Fresnel en 1819, con él no solo se hizo acreedor al premio de la académia de ciencias de Paris,
sino que al postular que la luz es una onda transversal con el plano de vibración perpendicular al plano de
polarización, permitió que investigadores notables, como Foncault Fizean, pudiesen medir con bastante exactitud la velocidad lumínica tanto en el aire como en el agua. ambos experimentos hacia 1860, confirmaron
definitivamente la tesis fresneliana.
No se piense, por lo expuesto que el problema central estaba resuelto. Faltaba la sustentación teórica que
permitiese definir la naturaleza específica de las ondas luminosas.
Esta fundamentación se dió a conocer por primera vez en 1873 en el tratado sobre electricidad y magnetismo
de J.C. Maxwell. En lo que resta del programa desarrollaremos la teoría maxweliana sobre la radiación electromagnética, que naturalmente incluye el espectro visible o luz.
Las ecuaciones de Maxwell, referidas al espacio vacío y sin fuentes(cargas y/o corrientes eléctricas) se
reducen a:
1
2
3
4
(3.22)
∇·E=0
(3.23)
∇·B =0
∂B
∇×E=−
∂t
∂E
∇ × B = µ 0 0
∂t
(3.24)
(3.25)
Estas ecuaciones son compatibles con la ecuación general de una onda, por similitud con el caso elasticomecánico. De las ecuaciones 3.22 y 3.24 obtenemos :
∂B
∇ × (∇ × E) = ∇ × −
∂t
= −∇ ×
∂B
∂B
desarrollando:
∂
∇(∇ · E) − ∇2 E = − (∇ × B)
∂t
∂E
∂
2
µ0 0
−∇ E = −
∂t
∂t
finalmente:
∇2 E = µ 0 0
∂2E
∂t2
(3.26)
146
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
VARIABLES EN EL TIEMPO
De forma análoga con las ecuaciones 3.23 y 3.25; para el comportamiento magnético:
∇ × (∇ × B) = ∇ × µ0 0
∂E
∂t
∂
(∇ × E)
∂t
∂
∂B
2
−∇ B = µ0 0
−
∂t
∂t
∇(∇ · B) − ∇2 B = µ0 0
así:
∂2B
(3.27)
∂t2
Ambas ecuaciones diferenciales, con soluciones vectoriales progresivas, coinciden en la magnitud de su
velocidad fásica:
1
vf = √
(3.28)
0 µ0
∇2 B = µ 0 0
constantes típicas del vacío con valores:
0 =
1
4πKe
µ0 = 4πKm
respectivamente, de modo que:
o, numéricamente:
vf = q
1
Km
Ke
=
r
Ke
Km
vf = 3 × 108 (m/s)
que coincide con la velocidad de la luz en el vacío. Nos resta encontrar e interpretar las funciones E(r, t) y
B(r, t), como soluciones de las ecuaciones de onda antes deducidas.
Circunstancialmente nos interesa las soluciones progresivas planas. Tales soluciones pueden interpretarse, si
postulamos que los campos E, B, son de magnitud compleja y en tal sentido asociar su significación física
con las componentes reales respectivos.
Concretamente la ecuación vectorial:
∇2 E(r, t) =
1 ∂ 2 E(r, t)
v 2 ∂t2
equivale a tres ecuaciones escalares del tipo:
∇2 Ei (r, t) =
1 ∂ 2 Ei (r, t)
∂t2
vi2
con i = x, y, z. De modo que una ecuación escalar prototipo será:
2
∂2
∂2
1 ∂ 2 Ex (r, t)
∂
+
+
Ex (r, t) = 2
2
2
2
∂x
∂y
∂z
vx
∂t2
para reducir las complejidades matemáticas, consideremos una solución del tipo: E = E(x, t), que reduce
la ecuación escalar pertinente a:
1 ∂ 2 E(x, t)
∂ 2 E(x, t)
= 2
2
∂x
vx
∂t2
3.4. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA DE LA LUZ
147
Como una función de onda tiene, en general las variables espacio-temporales separadas, postulamos que:
E(x, t) = E1 (x)E2 (t)
y de este modo:
∂ 2 E(x, t)
d2 E1 (x)
=
E
(t)
2
∂x2
dx2
2
2
d E2 (t)
∂ E(x, t)
= E1 (x)
2
∂t
dt2
así la ecuación propuesta se reduce a:
E2 (t)
1
d2 E2 (t)
d2 E1 (x)
=
E
(x)
1
dx2
vx2
dt2
y al dividir ambos miembros por el producto E 1 (x)E2 (t)
1 d2 E1 (x)
1 1 d2 E2 (t)
=
E1 (x) dx2
vx2 E2 (t) dt2
igualdad que tiene sentido si y solo si, se cumple:
vx2 d2 E1 (x)
= −ω 2
E1 (x) dx2
1 d2 E2 (t)
= −ω 2
E2 (t) dt2
en función de parámetros ondulatorios:
2π
ω
= kx =
.
ω = 2πν,
vx
λ
ω
ν, es la frecuencia y λ, es la longitud de onda. Aún más: λν = v x = .
kx
Entonces, las ecuaciones diferenciales ordinarias a resolver serán:
d2 E1 (x)
+ kx2 E1 (x) = 0 para la función espacial
dx2
d2 E2 (t)
+ ω 2 E2 (t) = 0 para la función temporal
dt2
en términos del operador D =
d
dx
(D 2 + kx2 )E1 (x) = 0 =⇒ D = ±ikx
(D ∓ ikx )E1 (x) = 0
así:
dE1 (x)
dE1 (x)
= ±ikx E1 (x) =⇒
= ±ikx dx
dx
E1 (x)
e integrando:
Z
E1∗ (x)
∗
E0x
Z x
dE1 (x)
= ±ikx
dx
E1 (x)
0
∗
E1 (x)
= ±ikx x
ln
∗
E0x
(3.29)
148
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
de la cual tenemos:
VARIABLES EN EL TIEMPO
∗ ±ikx x
E1∗ (x) = E0x
e
(3.30)
El asterisco hace referencia a una magnitud compleja.
Para la función temporal E2 (t), un tratamiento similar nos conduce a:
(D 2 + ω 2 )E2 (t) = 0
con
D=
d
dt
Resolviendo encontramos que: D = ±iω ó
(D − iω)(D + iω)E2 (t) = 0
por un lado:
dE2 (t)
= iωE2 (t)
dt
por otro:
dE2 (t)
= −iωE2 (t)
dt
e integrando:
E2∗ (t) = e±iωt
(3.31)
finalmente colocando las ecuaciones 3.30 y 3.31 en la ecuación 3.29 tenemos:
∗ ±ikx x ±iωt
E ∗ (x, t) = E0x
e
e
∗
E (x, t) =
∗ i(kx x±ωt)
E0x
e
(3.32)
(3.33)
si elegimos kx x > 0, para una onda progresiva en el sentido positivo del eje x.
∗ i(kx x−ωt)
E ∗ (x, t) = E0x
e
ya es posible proponer una solución vectorial compleja para la onda eléctrica como:
E ∗ (r, t) = E0∗ ei(k·r−ωt)
(3.34)
donde E∗0 , es un vector constante en el plano complejo, es decir del tipo:
de modo que:
E∗0 = E0 e±iφ
(3.35)
E∗ (r, t) = E0 ei(k·r−ωt±φ)
(3.36)
No amenita reiterar el proceso para la ecuación de onda magnética, solo denotar que su solución está en fase
con la solución eléctrica; entonces:
B∗ (r, t) = B0 ei(k·r−ωt±φ)
(3.37)
En ambos casos el vector constante k, define la dirección de propagación de la onda correspondiente.
Por último las propias ecuaciones de Maxwell, nos permiten evidenciar por vía teórica, la existencia de la
onda electromagnética(OEM), pues según:
1
2
∇ · E∗ (r, t) = 0
3
∇ × E∗ (r, t) = −
4
∇ · B∗ (r, t) = 0
∂B∗ (r, t)
∂t
∗ (r, t)
∂E
∇ × B∗ (r, t) = µ0 0
∂t
3.4. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA DE LA LUZ
149
se verifica que:
k · E0 = 0 =⇒ k⊥E0
k · B0 = 0 =⇒ k⊥B0
Eo
E0
=
v
c
De modo que en una OEM plana monocromática, la componente eléctrica oscila en fase con la componente
magnética en planos mutuamente perpendiculares, siendo cada uno por separado perpendicular a la dirección de propagación de la onda(fig. 3.10).
k × E0 = ωB0 =⇒ kE0 = ωB0 =⇒ B0 =
z
E0
PSfrag replacements
0
B0
k
x
y
Figura 3.10: Vectores E B k, mutuamente perpendiculares
3.4.1. Expresiones Cartesiana
La parte real de la ecuación 3.36, es :
E(r, t) = E0 cos(k · r − ωt ± φ)
(3.38)
en particular si definimos: k = (0, k, 0), y E 0 = (0, 0, E0 ), entonces:
E = E0 cos(ky − ωt ± φ)uz
E0
cos(ky − ωt ± φ)ux
B=
c
(3.39)
(3.40)
3.4.2. Densidad de energía electromagnética
Definida, como se recordará, según:
EEM =
1
1
E·D+ H·B
2
2
y en el vacío:
1 B2
1
EEM = 0 E 2 +
2
2 µ0
(3.41)
150
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
VARIABLES EN EL TIEMPO
E √
= 0 µ0 E.
en una onda electromagnética: B =
c
De modo que:
1 B2
1
= 0 E 2
2 µ0
2
lo que significa que en una OEM, la densidad de energía tiene contribuciones igualitarias de los campos
eléctrico y magnético. Aún más la densidad combinada de energía, tiene asociada una onda progresiva dada
por:
EEM = 0 E 2 =⇒ EEM = 0 E02 cos2 (ky − ωt ± φ)
Esta onda de energía tiene la misma velocidad fásica que la OEM asociada.
Un valor más representativo de la EEM es su valor medio por ciclo de oscilación, esto es:
< EEM
como T =
1
>= 0 E02
T
Z
t+T
t
cos2 (ky − ωt ± φ)dt
(3.42)
2π
; resulta:
ω
1
< EEM >= 0 E02
(3.43)
2
Recordemos que en el teorema de Poynting, se relacionó la energía radiante, o flujo de energía, con el vector:
S = E × H, y en función de de B:
1
S=
E×B
(3.44)
µ0
en una OEM: k × E = ωB, de modo que:
E × (k × E) = ωE × B, desarrollando el triple producto vectorial:
E 2 k − (k · E)E = ωE × B
E 2 k = ωE × B
aún más: kE 2 uk = ωE × B, así:
E×B =
reemplazando:
S=
k 2
E uk
ω
(3.45)
k
E 2 uk
µ0 ω
el versor uk , define la dirección de propagación de la OEM, y como:
S=
(3.46)
1
ω
=c= √
, resulta:
k
0 µ0
E2
uk
µ0 c
y como: EEM = 0 E 2 , tenemos:
EEM
uk
0 µ0 c
S = cEEM uk
S =
en una OEM:
E = E0 cos(k · r − ωt ± φ)
(3.47)
3.5. ESTADOS DE POLARIZACIÓN
151
y
luego:
cuyo valor medio es:
EEM = 0 E 2 cos2 (k · r − ωt ± φ)
S = c0 E02 cos2 (k · r − ωt ± φ)uk
1
c0 E2o uk
2
1
< S >= c0 Eo2
2
< S >=
De manera que el vector de poynting, expresado en función de los campos de una OEM, representa el flujo
de energía transportada por la onda,es decir, la cantidad de energía electromegnética que fluye a través de
un punto fijo, por unidad de tiempo y unidad de área, perpendicular a la dirección de propagación.
3.5. Estados de polarización
El estado de polarización de una OEM, está definida por una ecuación que permita el cálculo de la
magnitud, dirección y sentido de su componente eléctrico.
Cuando en una OEM progresiva, el vector campo eléctrico permanece paralelo a si mismo, dicha onda está
linealmente polarizada.
Concretamente, si el componente eléctrico de una OEM, es del tipo:
E∗ (r, t) = E∗0 ei(k·r−ωt) = E0 u1 ei(k·r−ωt−φ)
dicha onda presenta Polarización Lineal, en la dirección del versor u 1 .
De hecho dos ondas linealmente polarizadas:
E∗1 = E01 ei(k·r−ωt−φ1 ) u1 = E01 Ψ∗1
E∗2 = E02 ei(k·r−ωt−φ2 ) u2 = E02 Ψ∗2
constituyen una base ortonormal compleja si las funciones de onda Ψ ∗1 y Ψ∗2 , cumplen con los requisitos:
∗
∗∗
Ψ∗1 · Ψ∗∗
1 = Ψ2 · Ψ2 = u1 · u1 = u2 · u2 = 1
∗
∗∗
Ψ∗1 · Ψ∗∗
2 = Ψ2 · Ψ1 = u1 · u2 = u2 · u1 = 0
(El doble asterisco hace referencia al complejo conjugado) de modo que cualquier OEM progresiva puede
expresarse como una superposición de E ∗1 y E∗2 , y por medio de esta superposición caracterizan cualquier
otro estado de polarización.
Para mejorar la comprensión de lo expuesto, detengamos espacialmente las ondas E ∗1 y E∗2 , en el origen
esto es en r=0, con lo cuál:
E∗1 (0, t) = E01 e−i(ωt+φ1 ) u1
E∗2 (0, t) = E02 e−i(ωt+φ2 ) u2
en términos reales:
E1 (0, t) = E01 cos(ωt + φ1 )u1
E2 (0, t) = E02 cos(ωt + φ2 )u2
152
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
VARIABLES EN EL TIEMPO
por razones didácticas proponemos las siguentes identidades:
de modo que:
u1 ≡ u x
u2 ≡ u y
E1 ≡ E x
E2 ≡ E y
Ex = E01 cos(ωt + φ1 )
Ey = E02 cos(ωt + φ2 )
si:
φ1 − φ2 = φ =⇒ φ2 = φ1 − φ
Ex = E01 cos(ωt + φ1 )
Ey = E02 cos(ωt + φ1 − φ)
eliminado el parámetro t, entre las dos ecuaciones obtendremos sucecivamente:
cos(ωt + φ1 ) =
Ex
E01
Ey = E02 [cos(ωt + φ1 ) cos φ + sen(ωt + φ1 ) sen φ]
s
"
#
Ex
Ex2
cos φ + sen φ 1 − 2
Ey = E02
E01
E01
s
Ex
E2
Ey
−
cos φ = sen φ 1 − 2x
E02 E01
E01
2
Ex2
Ex
Ey
2
−
cos φ = sen φ 1 − 2
E02 E01
E01
Ey2
Ex2
2Ex Ey
Ex2
2
2
2
+
cos
φ
−
cos
φ
=
sen
φ
−
2
2
2 sen φ
E02 E01
E02
E01
E01
Ey2
Ex2
2 cos φ
+
−
Ex Ey − sen2 φ = 0
2
2
E02 E01 E02 E01
una función cuadrática en las variables E x , Ey , y cuyo discriminante:
4
4 cos2 φ
− 2 2
2
2
E01 E02
E E
01 02
4
∆=−
sen2 φ
2
2
E01 E02
∆=
De manera que si:
1.
φ = 0, ó φ = π; la cuadrática se reduce a:
Ey
Ex
±
=0
E02 E01
E02
Ex
Ey = ±
E01
en estas condiciones el vector eléctrico resultante presenta polarización lineal con una pendiente:
E02
m=±
E01
3.5. ESTADOS DE POLARIZACIÓN
2.
si φ =
153
π
, la cuadrática toma la forma:
2
Ey2
Ex2
+
2
2 =1
E02
E01
el extremo del vector eléctrico resultante describe una elipse central y la OEM correspondiente presenta polarización elíptica.
Si además: E02 = E01 = E0 =, la OEM correspondiente presentará polarización circular del tipo:
Ey2 + Ex2 = E02
3.
Cualquier otro valor de φ, determina un discriminante: ∆ < 0
y el resultado es una polarización elíptica, salvo que ahora los semiejes estarán girados un ángulo α,
determinado por:
2E01 E02 cos φ
tan 2α =
2 − E2
E01
02
Gráficamente(fig. 3.11), advirtiendo que la OEM se dirige hacia el lector, debería ser:
Ejemplos:
1.
En una OEM, la onda eléctrica esta dada por:
i
h
x
− t uy
E = 0,5 cos 2π × 108
c
determinar:
a)
La longitud, frecuencia y velocidad fásica de la OEM.
b)
La dirección de propagación y el estado de polarización.
c)
La onda magnética correspondiente.
d)
La intensidad media o flujo de potencia por unidad de área.
Solución:
a)
La fase puede escribirse como:
2π × 10
8
x
−t
3 × 108
=
2π
x − 2π × 108 t
3
de modo que:
2π
2π
2π
=⇒
=
=⇒ λ = 3(m)
3
λ
3
ω = 2πν = 2π × 108 =⇒ ν = 108 (Hz)
k=
vf = λν =⇒ vf = 3 × 108 (m/s) = c
154
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
VARIABLES EN EL TIEMPO
Ey
Ey
E0
E02
tan α =
E01
E02
E0
α
E01
Polarizacion Lineal
E02
PSfrag replacements
Ex
Ex
Polarizacion circular
E02
Ey
E01
Ey
α
Ex
Polarizacion Eliptica
E01
Ex
Polarizacion Eliptica
Figura 3.11: Formas de polarización
3.5. ESTADOS DE POLARIZACIÓN
b)
155
x
Como el frente de onda es una superficie plana, ello significa que: − t = K, donde K es una
c
constante. Derivando respecto al tiempo:
ẋ
− 1 = 0 =⇒ ẋ = c
c
y la onda se propaga en la dirección +x.
La onda propuesta está linealmente polarizada en la dirección del eje y.
c)
como:k × E = ωB, en el problema propuesto:
kux × Euy = ωB
E
B = uz
c
asi:
B=
d)
x
h
i
0,5
cos 2π × 108
− t uz
c
c
Según:
1
< S >= 0 cE02
2
1
< S >= (8,85 × 10−12 )(3 × 108 )(0,5)2
2
< S >= 3,32 × 10−4 (W/m2 )
2.
Una onda que vieja perpendicularmente hacia afuera de la página(hacia el lector), es la resultante de
dos componentes linealmente polarizadas:
Ex = 3 cos ωt
3π
Ey = 2 cos ωt +
4
Para la onda resultante determínese:
a)
La razón axial.
b)
El ángulo de inclinación α.
c)
El sentido de rotación.
Solución
156
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
tenemos: cos ωt =
VARIABLES EN EL TIEMPO
Ex
, entonces:
3
3π
3π
− 2 sen ωt sen
4
4
r
π Ex
π
Ex2
Ey = −2 cos
1−
− 2 sen
4 3
4r
9
√
√
2
E2
Ey +
Ex = − 2 1 − x
3
9
!2
√
2
2
Ex
Ey +
=2 1−
Ex
3
9
√
2 2
2Ex2
2
Ex Ey = 2 −
Ey2 + Ex2 +
9
3√
9
9Ey2 + 4Ex2 + 6 2Ex Ey − 18 = 0
Ey = 2 cos ωt cos
∆ = 72 − 144 = −72 (elipse)
√
−6 2
tan 2α =
= −1,7
9−4
α = −29,77o
con lo que:
Ex = Ex0 cos(−29,77o ) − Ey0 sen(−29,77o )
Ey = Ex0 sen(−29,77o ) + Ey0 cos(−29,77o )
Ex = 0,87Ex0 + 0,5Ey0
Ey = −0,5Ex0 + 0,87Ey0
que reduce la cuadrática a:
11,5Ey20 + 1,56Ex0 = 18
Ey20
1,252
la razon axial:
R.A. =
finalmente para t = 0
Ex = 3
Ėx = 0
+
E x0
=1
3,42
3,4
= 2,72
1,25
√
Ey = −√ 2
Ėy = − 2ω
y la onda presenta polarización elíptica izquierda o abreviadamente: PEI.
Bibliografía
[1] Nestor Avilés R. "Electrostática-Magnetostática”,
[2] David J. Griffiths, "Introduction to electrodynamics”, Prentice Hall
[3] Reitz-Milford-Christy, "Fundamentos de la teoría Electromagnética” Addison Wesley
[4] Raymond A. Serway, "Física Tomo II” Mc Graw Hill 4 ta edición
[5] Marcelo Alonso-Edward J.Finn, ”Campos y ondas” Addison Weslwy Iberoamericana
157
Ejercicios Propuestos
Magnetostática
Inducción electromagnética
1.
Deducir un medelo matemático que permita calcular el campo magnético de una carga puntual q, que
es desplazada con una velocidad uniforme v.
2.
Una partícula de carga q1 , se mueve con la velocidad v1 = (v1 , 0, 0), una segunda partícula de carga
q2 se mueve con la velocidad v2 = (0, v2 , 0). Cuando la primera pasa por el origen, la segunda ocupa
la posición (0, −a, 0), para estas posiciones instantáneas, calcular (a) el campo magnético inducido en
la posición de q2 , (b) el campo magnético inducido en la posición de q 1 , (c) la fuerza de Lorentz que
actúa sobre q1 , (d) la correspondiente fuerza que actúa sobre q 2 , se cumple la tercera ley de Newton ?
3.
Un conductor rectilineo muy largo que transporta una corriente de 200(A), atraviesa un cubo de
madera por los puntos medios de dos de sus caras opuestas. Si el volúmen del cubo es de 8×10 3 (cm3 ),
calcular el campo magnético inducido en (a) los puntos medios de sus seis caras,(b) los puntos medios
de sus aristas, (c) sus ocho vértices.
4.
Dos conductores rectilineos muy largos transportan corrientes antiparalelas de 20(A) cada una. Los
conductores están separados una distancia a = 40cm. (a) Calcular el campo megnético en cualquier
punto perteneciente al plano de las corrientes. (b) Encontrar el flujo magnético que atraviesa la superficie del rectángulo mostrado en la figura 1, si en un caso b 1 = b2 = 10(cm), y en otro b1 = 10(cm),
b2 = 20(cm). En ambos casos c = 25(cm).
5.
Un anillo de madera cuya representación en corte se muestra en la figura 2, está atravezado a lo largo
de su eje por un conductor rectilineo infinito que transporta una corriente i = 200(A). Si a = 10(cm)
y b = 5(cm), evaluar el flujo magnético dentro del anillo.
i
PSfrag replacements
i
b1
a
c
6.
b
a
b2
i
b
Fig. 2
Fig. 1
Un agrimesor utiliza una brújula a 6(m) por debajo de una línea de potencial que transporta una corriente de 100(A), en una región donde el campo megnético terrestre tiene una componente horizontal
159
de 0,2 gauss (1 gauss= 10−4 tesla). Analizar si es o no influyente el campo magnético de la corriente
en la lectura de la brújula.
7.
Un electrón que viaja a razon de 10 7 (m/s), se encuentra inicialmente a 5(cm) de una línea infinta
que transporta 50(A) de corriente. Determinar la fuerza que actúa sobre el electrón si su velocidad
(a) es perpendicular a la línea (aproximandose, alejandose), (b) tiene la dirección de la línea (paralela,
antiparalela).
8.
Un alambre muy largo de Cu es un cilindro sólido de radio a. Si el alambre transporta una corriente i,
distribuida uniformemente a través de su sección transversal, calcular su campo magnético en función
de la distancia (r) al eje del alambre, si (a) r ≤ a, (b) r ≥ a.
9.
Cuatro alambres de Cu largos y paralelos están colocados de tal forma que sus secciones transversales
forman un cuadrado de 20(cm) de lado, como se muestra en la figura 3. Por cada alambre circula una
corriente de 20(A), en los sentidos indicados, calcular la fuerza por unidad de longitud (magnitud y
dirección) que actúa sobre el alambre marcado con 1 en las representaciones A y B.
PSfrag replacements
A
B
(1)
(1)
Fig. 3
10.
Tres conductores largos y paralelos estan colocados de modo que sus secciones transversales forman
un triángulo, como se muestra en la figura 4. Calcular en cada caso la fuerza por unidad de longitud
sobre el conductor que transporta 1(A) de corriente.
1(A)
1(A)
PSfrag replacements
2(A)
45º
5(A)
30º
2(A)
0,9(m)
125º
5(A)
25º
0,5(m)
Fig. 4
11.
Un cable coaxial consta de dos conductores cilíndricos largos que tienen el mismo eje, y por tanto
son concéntricos. el conductor central tiene un radio a y el conductor externo un radio interior b y
un exterior c. Si por ambos conductores circulan corrientes antiparalelas de valor i, calcular el campo
magnético para un radio r, de modo que: (a) r < a, (b) a ≤ r ≤ b, (c) b ≤ r ≤ c, (d) r > c.
12.
Un conductor hueco de paredes cilíndricas y radio a y b respectivamente. (a < b), transporta una corriente i distribuida uniformemente en toda su sección transversal. Si el conductor es suficientemente
largo, calcular el campo magnético para un radio r, talque: (a) a ≤ r ≤ b, (b) r ≥ b.
13.
Un sistema conductor está formado por un número infinito de alambres largos adyacentes, cada una
de las cuales transporta una corriente i, como se muestra en la figura 5, Dibujar las líneas de campo
magnético y calcular su valor en cada uno de los casos: de la figuras 5.
14.
En la figura 6, el conductor rectilíneo transporta una corriente de 30(A), y la espira rectangular una
corriente de 20(A). Si a = 1(cm), b = 8(cm) y h = 30(cm), calcular la fuerza magnética que actúa
sobre el conductor rectilíneo.
PSfrag replacements
(a)
b
(c)
a
h
(b)
Fig. 5
Fig. 6
15.
Un conductor largo rectilíneo tiene una sección transversal de radio R y transporta una corriente i.
Dentro del conductor hay un orificio cilíndrico de radio a, con su eje paralelo al eje del conductor y
auna distancia b de él. Utilizando las ideas de superposición, encontrar una espresión para el campo
magnético en el interior del orificio.
16.
Una franja metálica delgada muy larga y de ancho a, transporta una corriente i, a lo largo de su
longitud distribuida uniformemente. Calcular (a) el campo magnético en el plano de la franja a una
distancia b, del borde más próximo, (b) la fuerza por unidad de longitud que actúa sobre un alambre
coplanar infinito que transporta una corriente i 0 , paralelo a la longitud de la franja y a una distancia b
del borde más próximo.
17.
Calcular el campo magnético producido por un segmente rectilíneo que transporta una corriente estacionaria i, en un punto P situado a una distancia b del alambre, ver figura 7. Expresar el resultado en
función de los ángulos (a) φ1 y φ2 (b) θ1 y θ2 .
PSfrag replacements
φ2
φ1
b i
θ2
θ1
0
i
Fig. 7
18.
Encontrar el campo magnético en puntos del eje central perpendicular al plano de las siguentes distribuciones estacionarias de corriente i. (a) una espira cuadrada de lado a (b) una espira rectangular
de lados a y b, (c) un polígono no regular de N lados cada uno de longitud L.
19.
Sobre una esfera de material no magnética, de radio a, se enrollan N vueltas de un alambre muy fino
de tal manera que las espiras está muy próximas entre si. Si la corriente en el alambre es i, calcular el
campo magnético inducido en el centro de la esfera.
20.
En 1878, el físico Rowland demostró experimentalemente que un disco cargado en rotación producía
efectos magnéticos particularmente notables a lo largo del eje de rotación. Considerando un disco
no conductor de 10(cm) de radio, con una carga de 0,1(µC) distribuída uniformente y que gira con
una frecuencia angular de 120π(s−1 ), determinar analíticamente el campo magnético inducido en el
centro del disco.
21.
La superficie lateral de un cilindro circular recto de radio R y longitud L se carga uniformente con una
distribución σ0 . Si el cilindro gira en torno a su eje con una frecuencia angular constante ω, determinar
el campo magnético inducido en puntos de su eje.
22.
El primer cálculo de la carga específica del electrón (la razón e/m), fue realizado por J.J. Thomson
en 1897, utilizando un tubo de rayos catódicos (similar al del los televisores) cuya representación
esquemática se muestra en la figura 8. Los electrones térmicamente emitidos y sometidos a un previo
proceso de aceleración, diafragmados en un haz estrecho penetran en el campo eléctrico de un capacitor plano que ocasiona su desviación. (a) Calcular el valor de dicha desviación H en la pantalla de
detección. (b) Thomson aplicó un campo magnético perpendicualr al campo eléctrico del capacitor,
ajustando su valor hasta anular la desviación eléctrica (H = 0 en la pantalla), cuál es la relación
(e/m) en función de los campos E y B ?
+
−
L
+
v
−
PSfrag replacements
Emision y
aceleracion
Deflexion
Electrica
magnetica
H
D
Pantalla
fluorescente
Fig. 8
23.
Una tira delgada de Cu de 1.5(cm) de ancho y 1,25(mm) de espesor, se coloca perpendicularmente a
un campo magnético de 1,75(T ). A lo largo de la tira circula una estacionaria de 100(A). Encontrar (a)
el campo Hall inducido, (b) la velocidad media de arrastre de los electrones. Considere una densidad
de portadores N q = 8,47 × 1028 (C/m3 )
24.
El coeficiente Hall para el Cu es R H = −6,10×10−11 (m3 /C). Calcular (a) la densidad de portadores
(electrones) libres del Cu. (b) Si la debsidad másica del Cu es de 8,9 × 10 3 (Kg/m3 ) y la masa de
un átomo de Cu es de 1,06 × 10−25 (Kg); con cuantos electrones libres en promedio contribuye cada
átome de Cu ?
25.
Para medir la magnitud de un campo magnético por efecto Hall, se usa una tira de Ag perpendicular al
campo. Una corriente longitudinal de 20(A), genera una tensión transversal Hall V H = 15(µV ). La
constante de Hall para la Ag es RH = −0,84 × 10−10 (m3 /C). Si el espesor de la tira es 0,2(mm),
calcular (a) la densidad de portadores libres en la Ag, (b) La magnitud del campo magnético.
26.
Una carga puntual q y masa m, cruza el origen de un sistema cartesiano con una velocidad v =
(v0 cos θ0 , v0 sen θ0 , 0). Determinar donde y cuando la partícula cruzará nuevamente el plano y = 0,
si se aplica un campo magnético uniforme dado por: (a) B = (B 0 , 0, 0), (b) B = (0, B0 , 0), (c)
B = (0, 0, B0 ).
27.
Una partícula de carga q y masa m inicialmente en reposo y en el orígen de un sistema cartesiano, es
sometida a la acción simultánea de un campo eléctrico E = (0, 2 × 10 5 , 0), y un campo magnético
B = (0, 0, 5). Obtener las ecuaciones cartesianas del movimiento subsecuente de la partícula.
28.
Una partícula de carga q y masa m, por la acción conjunta del campo eléctrico de un condensador
plano cargado E y un campo magnético perpendicular B perpendicular a E, como se muestra en la
figura 9, si la partícula inicialmente en reposo se encuntra en el origen 0, (a) encontrar las ecuaciónes
de movimiento de la partícula, (b) expresar las velocidades: v x , vy y v como funciones de la coordenada y, (c) Calcular el campo magnético que anulará v y en y = d.
PSfrag replacements
y
B
d
0
Fig. 9
E
x
29.
En una cierta región del espacio, se han inducido un campo eléctrico E = (0, 0, E 0 ) y un campo
magnético B = 0, 0, B0 , una partícula de carga q y masa m, se inyecta por el origen con una velocidad
inicial v = (0, v0 , 0), obtener las ecuaciones de movimiento de q una vez ingresado en la región
electromágnetica.
30.
Una línea de corriente I, de longitud infinita está dentro de un material cilíndrico de radio a y permeabilidad magnética µ, como se muestra en la figura 10. Si el cilindro está rodeado por el espacio
libre, calcular (a) los campos B, H, M, dentro y fuera del material magnetizado, (b) la corriente de
magnetización.
31.
Calcular los campos B, H, M, y las corrientes de magnetización para los siguentes casos: (a) Una
corriente volumétrica distribuida uniformemente J 0 uz a través de un cilindro de radio a y permeabilidad µ limitado por el espacio vacío ver figura12. (b) Una lámina de corriente K 0 uz con centro en
una placa permeable de espesor d rodeado por el espacio libre. Ver figura 13
32.
En la figura 11 se muestra un cilindro de radio a y longitud L con magnetización permanente M.
Calcular los campos B, H en cualquier punto de su eje, si (a) M = M 0 uz , (b) M = M0 (1 − r/a)uz ,
donde 0 ≤ r ≤ a.
I
z
!
!
!
!
!
!
!
!!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!!
#"#" !
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
#"
#""#
PSfrag replacements
#"#"
#"#"
"##"
Juz
µ
#"#"
M
#""#
#"#"
µ0
#"#"
"##"
#"#"
#""#
#"#"
y "#""##"#
"#"#
"#
k0
Fig. 10
µ0
0
x
µ
Fig. 11
J0 uz
z
PSfrag replacements
K0
µ0
µ0
µ
y
I
µ
x
M
(a)
Fig. 12
d
Fig. 13
(b)
Inducción electromagnética
1.
Una espira rectangular simple de dimensiones: a = 0,10(m), b = 0,15(m), está localizada en el
plano z = 0. Dentro de la espira se establece un campo magnético no estacionario dado por:
B = (0, 12x sen 103 t, 12y cos 103 t)
Determinar la FEM inducida.
2.
Un toroide de 500 vueltas de alambre y sección rectangular, tiene las siguentes dimensiones: radio
interior ri = 6(cm), radio exterior re = 9(cm) y altura h = 2(cm). Por el toroide circula una
corriente variable según: i = 50 sen 120πt. Una bobina de 20 vueltas de alambre enlaza una porción
del toroide. Determinar la FEM inducida en la bobina.
3.
Un solenoide ideal de 400(vueltas/m), transporta una corriente variable según: i = 30(1 − e −1,6t ).
Dentro del solenoide y coaxial con él, se localiza una bobina de 6(cm) de radio y 250 vueltas de
alambre fino. Cuál es la FEM inducida en la bobina ?
4.
Sobre un conductor doblado en forma de U , con un ancho de 80(cm) desliza una varilla conductora
transversalcon una velocidad de 15(m/s), aumentando la magnitud la magnitud del área encerrada.
Un campo magnético uniforme de 0,08(T ) atraviesa la superficie del circuito formado. Determinar la
FEM inducida en la varilla conductora por dos métodos diferentes.
5.
Una barra conductora de 50(cm) de largo, gira en torno a uno de sus extremos con una velocidad de
360(rad/s), en presencia de un campo magnético constante de 0,02(T ) perpendicular a la barra. Determinar la diferencia de potencial entre los extremos de la barra y sus polaridades correspondientes.
6.
Un disco de 20(cm) de radio y conductividad igual a 6×10 −8 (Ωm), se localiza en un campo magnético perpendicular a su plano. Si el campo magnético varía en función del tiempo según: B(t) = 0,122t;
calcular la densidad de corriente inducida. Puede aplicar la ley de Ohm.
7.
Un campo eléctrico, en cierta región del espacio esta definido por:
Ez = (E0 /a)(a − r)
Ez = 0,
para r ≥ a
Determinar el campo magnético inducido en ambas regiones.
8.
Las componentes de cierto campo eléctrico son:
Ex = (E0 /a2 )x2 ; EY = (E0 /a2 )y 2 ; Ez = −(2E0 /a2 )(x + y)z
(a) Que campo magnético inducido B(t) es compatible con el rotor del campo eléctrico especificado
? (b) Determinar la densidad J asociada al campo B(t). (c) Verificar que la divergencia de B(t) es
cero.
9.
El dipolo magnético, no estacionario, m = m 0 sen(ωt)uz , esta localizado sobre el eje de una espira
circular de radio a. La distancia entre el dipolo y el centro de espira es b, como se muestra en la
figura 14. Determinar la F EM inducida en la espira. (El flujo que atravieza la espira es igual al que
atavieza el segmento de la esfera que tiene su centro en la posición del dipolo y cuya radio es tal que:
R 2 = a2 + b2 )
z
PSfrag replacements
s
b
R
m
Fig. 14
10.
Un solenoide largo, cuyo eje coincide con el eje x, tiene 200 vueltas de alambre por metro de longitud
y transporta una corriente estacionaria de 15(A). Una espiral de alambre de 30 vueltas apretadas y
8(cm) de radio, se localiza dentro del solenoide monatada sobre un eje que coincide con el eje y. Si
la espira gira a razón de 4π radianes por segundo, determinar la F EM inducida.
11.
Una barra conductora de 1(m) de longitud; se mueve paralelamente al eje x con una velocidad v =
(0, 100, 0) a través de una campo magnético uniforme dado por: B = 0,0045(3, 4, 5). Determinar la
F EM inducida entre los extremos de la barra.
12.
Una espira rectanguar de lados a y b de N vueltas de alambre, se mueve en el plano z = 0, con
una velocidad v = (0, v0 , 0) como se muestra en la figura 15. Si dicho desplazamiento se efectúa en
presencia del campo magético: B = (0, 0, B 0 sen(πy/a) sen(ωt)). Determinar la F EM inducida en
la espira.
PSfrag replacements
z
B
B
a
y
b
x
µ0
v0
Fig. 15
13.
En cierta región del espacio el campo eléctrico es enteramente azimutal en torno al z de un sistema
cilíndrico de referencia, y está definido por: E = E φ uφ = −E0 (r/a)uφ . (a) Verificar que siendo
un campo estacionario es no conservativo. (b) Obtener la expresión del campo magnético, no estacionario, capaz de inducirlo.
14.
Dos hilos conductores, de resistencias despreciables se disponen paralelamente como se muestra en la
figura 16. La resistencia R es fija mientras la resistencia r se mueve apoyada sobre los hilos con una
velocidad v. El área formada por los hilos y las dos resistencias se encuentran en un campo magnético
uniforme B0 . Calcular la diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia móvil.
15.
Apoyado sobre dos guías verticales unidos por una resistencia R, puede deslizar libremente, un conductor de masa m, y longitud l. El sistema se encuentra en un campo magnético uniforme perpendicular al plano de la figura 17. Describir el movimiento del conductor por acción de la gravedad, si se
desprecian las resistencias de las guías y del propio conductor.
R
PSfrag replacements
z
B0
B0
l
y
R
r
mg
v
x
Fig. 17
Fig. 16
Juz
16.
El circuito que se muestra en la figura 18, está formado por dos guías paralelas cerradas por un
capacitor de capacitancia C y un conductor móvil, inicialmente en reposo,accionado por una fuerza
constante F. Despreciando todo rozamiento y la resistencia total del circuito, calcular la aceleración
del conductor móvil. En qué se transforma el trabajo realizado por la fuerza F ?
17.
Un anillo de alambre de radio r se encuentra en un campo magnético, cuya dirección es perpendicular
al plano del anillo y varía con el tiempo según la ley: B = kt. si k es una constante positiva, determinar
el campo eléctrico inducido en el anillo.
18.
Un anillo conductor de resistividad η, tiene radio interior a, radio exterior b y altura h. el anillo se
encuentra en un campo magnético paralelo a su eje y que crece en función del tiempo según: B = kt.
Calcular la intensidad de la corriente eléctrica inducida en el anillo.
19.
Determinar el sentido y magnitud de las corrienes inducidas en el circuito que se muestra en la fiura
19, por acción del campo magnético perpendicular a su plano y que varía en función del tiempo según:
B = kt, donde k es una constante positiva.
PSfrag replacements
3R
z
B
b/2
B0
b/2
B
R
2R
y
C
F
x
Fig. 18
b
Fig. 19
20.
La inductancia mútua entre dos circuitos rígidos y estacionarios es 100(µH). Calcular el voltaje máximo inducido en uno de los circuitos, si por el otro fluye una corriente i = 10 sen 10 3 t.
21.
dos solenoides de la misma longitud se disponen coaxialmente. El primero tiene N 1 vueltas y radio
R1 ; el segundo N2 vueltas y radio R2 (R2 < R1 ). Determinar la inductancia mutua del par de
solenoides, asumiendo que una corriente i fluye por el primero y luego asumiendo que la misma
corriente fluye por el segundo. Puede verificar entonces que M 12 = M21 .
22.
Una bobina rectangular formada por N vueltas de alambre fino y que encierra una superficie b × c,
se coloca paralelamente a un conductor rectilíneo muy largo y a una distancia a de él. Determinar la
inductancia mutua del sistema propuesto.
23.
Dos espiras circulares simples, una de 2(cm) de radio y la otra de 20(cm), se disponen concéntrica y
coplanarmente. encontra el valor de su inductancia mutua.
24.
Un conductor rectilineo suficientemente largo coincide con el eje central de un toroide formado por
N vueltas, radio interior R, radio exterior (R + a) y altura h. Encontrar una expresión que permita
calcular la inductancia mutua del sistema.
25.
Calcular el auto flujo de un espira inductora de 10(µH), si una corriente de 2(A) circula a través de
ella.
26.
Una corriente: i = 5 sen(120πt), fluye a través de un inductor de 10(mH). Expresar en función del
tiempo la F EM auto inducida.
27.
Un anillo de Rowland con núcleo de aire, está formado por 500 vueltas de alambre, con un radio
interior de 10(cm) y sección cuadrada de 4(cm) de lado. Calcular el valor de su auto-inductancia.
28.
Un conductor cilíndrico muy largo y de radio R, transporta una corriente estacionaria y uniforme i.
Calcular la energía magnética por unidad de longitud del conductor.
29.
Una aguja larga y delgada de hierro cuya constante magnética es K m = 150, se coloca paralelamente
en un campo magnético uniforme B0 = 0,012(T ). Despreciando los efectos de borde, determinar los
tres vectores magnéticos: B, H, M dentro de la aguja.
30.
Una lámina circular de hierro (K m = 150) se localiza perpendicular a un campo magnético uniforme
B0 = 0,012(T ). Sin considerar los efectos de borde, calcular B, H, M dentro del disco.
31.
El espacio de un capacitor circular de placas paralelas, se llena con un material no conductor que tiene
una constante dieléctrica K = 4, y una permeabilidad relativa K m = 30. La densidad de carga libre
en el capacitor varía en función del tiempo según: σ = ∓10t. Determinar el valor de los campos:
D, E, P, H, B, M, para t = 20(ms) en un punto situado en la parte media del capacitora 5(cm) de
su eje.
32.
Dos pequeñas corrientes circulares de radios a y b respectivamente, se colocan sobre un mismo plano
y a una distancia r, una de la otra. Considerando cada espira como un dipolo magnético, calcular el
coeficiente de inducción mutua.
33.
Una concha esférica de radio R, con una carga total Q distribuída uniformemente en su superficie,
gira en torno a uno de sus diámetros con una frecuencia angular constante ω. En contrar el momento
magnético de la esfera.
Apéndice A
Definiciones, Identidades y Teoremas
Vectoriales
Operador Vectorial Nabla
Deriva direccionalmente funciones escalares o vectoriales dependientes de la posición, segun:
a) Gradiente de φ = gradφ = ∇φ
b) Divergentete de F~ = DivF~ = ∇ · F~
c) Rotacional de F~ = RotF~ = ∇ × F~
A.1. Definiciones
A.1.1. Coordenadas Rectangulares (x, y, z)
∂
∂
∂
ex +
ey +
ez
∂x
∂y
∂z
∂Φ
∂Φ
∂Φ
∇Φ =
ex +
ey +
ez
∂x
∂y
∂z
∂Fx ∂Fy
∂Fz
∇ · F~ =
+
+
∂x
∂y
∂z
∂F
∂F
∂Fx ∂Fz
∂Fy
∂Fx
z
y
~
−
−
−
∇×F =
ex +
ey +
ez
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ
∇2 Φ =
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
∇=
A.1.2. Coordenadas Cilíndricas (ρ, φ, z)
∂
1 ∂
∂
eρ +
eφ +
ez
∂ρ
ρ ∂φ
∂z
1 ∂ψ
∂ψ
∂ψ
eρ +
eφ +
ez
∇ψ =
∂ρ
ρ ∂φ
∂z
1 ∂(ρFρ ) 1 ∂Fφ ∂Fz
∇ · F~ =
+
+
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
∂z
∇=
169
APÉNDICE A. DEFINICIONES, IDENTIDADES Y TEOREMAS VECTORIALES
∂Fφ
∂Fρ
∂z
1 ∂(ρFφ ) ∂Fρ
1 ∂Fz
eρ +
eφ +
ez
∇ × F~ =
−
−
−
ρ
∂φ
∂z
∂z
∂ρ
ρ
∂ρ
∂φ
∂ψ
1 ∂2ψ ∂2ψ
1∂
ρ
+ 2 2 + 2
∇2 ψ =
ρρ
∂ρ
ρ ∂φ
∂z
170
A.1.3. Coordenadas Esféricas (r, θ, φ)
∂
1 ∂
1 ∂
er +
eθ +
eφ
∂r
r ∂θ
rsinθ ∂φ
∂ψ
1 ∂ψ
1 ∂ψ
∇ψ =
er +
eθ +
eφ
∂r
r ∂θ
rsinθ ∂φ
1 ∂
1 ∂
1 ∂Fφ
r 2 Fr +
∇ · F~ = 2
(sinθFθ ) +
r ∂r rsinθ ∂θ
rsinθ ∂φ
∂F
∂
1
1
∂
∂Fr
θ
~
(Fφ sen θ) −
− sen θ (rFφ ) eθ
∇×F =
er +
r sen θ ∂θ ∂φ
r sen θ ∂φ
∂r
∂Fr
1 ∂
(rFθ ) −
+
eφ
r ∂r
∂θ
1 ∂
∂
∂2ψ
∂ψ
1
∂ψ
1
∇2 ψ = 2 (r 2
)+ 2
(sinθ
)+ 2 2
r ∂r
∂r
r sinθ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ2
∇=
A.2. Identidades Notables
Identidades Vectoriales
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
~ = (F~ · ∇)G
~ + (G
~ · ∇)F~ + F~ × (∇ × G)
~ +G
~ × (∇ × F~ )
∇(F~ · G)
~
~
~
∇ · ΦF = ∇Φ · F + Φ∇ · F
∇ · ∇Φ = ∇2 Φ
~ =G
~ · (∇ × F~ ) − F~ · (∇ × G)
~
∇ · (F~ × G)
~
∇ · (∇ × F ) = 0
∇ × ΦF~ = ∇Φ × F~ + Φ∇ × F~
~ = (∇ · G)
~ F~ − (∇ · F~ )G
~ + (G
~ · ∇)F~ − (F~ · ∇)G
~
∇ × (F~ × G)
∇ × ∇Φ = 0
∇ × (∇ × F~ ) = ∇(∇ · F~ ) − ∇2 F~
A.3. Teoremas de Integración
Integración Vectorial
I
Z
F~ · ~un dS
∇ · F~ dV =
1.
S I
ZV
F~ · d~r
∇ × F~ · ~un dS =
2.
C
S
Z
I
3.
∇ × F~ dV =
~un × F~ dS
V
S
Teorema de la divergencia
Teorema del Rotor
Apéndice B
Constantes Físicas
Constante
Velocidad de la luz
Carga elemental
Constante de Avogadro
Constante de Faraday
Constante de Plank
Constante de los gases
Constante de Boltzmann
Constante gravitacional
permitividad del vacío
Permeabilidad del Vacío
Radio de Bohr
Masa en reposo del electrón
Símbolo
c
e
NA
F
h
~ = h/2π
R
k
G
0
µ0
a0
me
Masa en reposo del protón
mp
Masa en reposo del neutrón
Unidad de masa unificada
mn
u
Valor
2,99792458 × 10 8
1,620189 × 10−19
6,02204 × 1023
96484,6
6,62618 × 10−34
4,13570 × 10−15
1,054589 × 10−34
8.3144
1,38066 × 10 −23
6,672 × 10 −11
8,85418782 × 10−12
4π × 10−7
5,291771 × 10−11
9,10953−31
0511003
1,572648−27
938,280
1,674954 × 10−27
1,6601566 × 10 −27
931,502
Unidad
m/s
C
partículas/mol
C/mol
J-s
eV-S
J-s
J/mol-K
J/K
N-m2 /Kg2
C2 /J-m
N/A2
m
Kg
MeV/c2
Kg
MeV/c2
Kg
Kg
MeV/c2
Estos Valores (Tomados del Physics Today, septiembre 1974) están recomendados por el committee on
Data for Science and Technology of the International Council of Scientific Unions. Se han redondeado de
modo que sólo es incierto el último dígito.
Nota: Electrón volt(eV) = energía adquerida por un electrón cuando se acelera por la diferencia de potencial
de un volt.
171
172
APÉNDICE B. CONSTANTES FÍSICAS
Apéndice C
Tabla de derivadas e integrales
C.1. Propiedades especiales de las derivadas
Derivada del producto de dos funciones
dh
dg
d
(g(x)h(x)) = g
+h
dx
dx
dx
Derivada del cociente de dos funciones
d
dx
g(x)
h(x)
h
=
dh
dg
−g
dx
dx
h2
Derivada de la suma de dos funciones
dg
dh
d
(g(x) + h(x)) =
+
dx
dx dx
Regla de la cadena del cálculo diferencial
Sí y = f (x) y x = f (z), entonces
dy
puede escribirse como el producto de dos derivadas
dx
dy dz
dy
=
dx
dz dx
La segunda derivada
d
d2 y
−
2
dx
dx
173
dy
dx
APÉNDICE C. TABLA DE DERIVADAS E INTEGRALES
174
C.2. Derivada para diversas funciones
d
(c) = 0
dx
d
(cxn ) = ncxn−1
dx
d cx
(e ) = cecx
dx
d
(sen cx) = c cos cx
dx
d
(cos cx) = −c sen cx
dx
d
(tan cx) = c sec 2 cx
dx
d
(cotcx) = −c csc2 cx
dx
d
(secx) = tan x sec x
dx
d
(csc x) = − cot x csc x
dx
1
d
(ln cx) =
dx
x
Nota: Las letras c,n son constantes
C.3. Integración
Integral definida
I(x) =
Integral indefinida
Z
B
A
B
f (x)dx = F (x) = F (B) − F (A)
A
I(x) =
Z
f (x)dx = F (x) + C
Donde F (x) es la primitiva de la función f (x), y C es una constante
Integración por partes
Z
udv = uv −
Z
vdu
C.3. INTEGRACIÓN
175
Algunas integrales indefinidas
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
xn+1
+ C (siempre que n 6= −1)
x dx =
Z n+1
dx
= x−1 dx = ln(x) + C
x
1
dx
= ln(a + bx) + C
a + bx
b
dx
1
=−
+C
2
(a + bx)
b(a + bx)
1
x
dx
= tan−1 + C
a2 + x 2
a
a
1
a+x
dx
=
ln
+ C (a2 − x2 > 0)
a2 − x 2
2a a − x
xdx
1
= ± ln(a2 ± x2 ) + C
a2 ± x 2
2
dx
x
x
√
= sen−1 = − cos−1 + C
2
2
a
a
a −x
p
dx
2
2
√
= ln x + x ± a + C
x2 ± a2
p
xdx
√
= − a2 − x 2 + C
a2 − x2 p
xdx
√
= x2 ± a2 + C
x2 ± a2
1
eax dx = eax + C
a
p
1
2
x a − x2 dx = − (a2 − x2 )3/2 + C
3
n
Z
eax
(ax − 1) + C
a2
Z
dx
x
1
= −
ln(a + becx ) + C
cx
a ac
Z a + be
1
sen(ax)dx = − cos(ax) + C
a
Z
1
cos(ax)dx = sen(ax) + C
a
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
xeax dx =
1
ln(sen ax) + C
a
1
sec(ax)dx = ln(sec ax + tan ax) + C
a
x sen(2ax)
sen2 (ax)dx = −
+C
2
4a
1
csc(ax)dx = ln(csc ax − cot ax) + C
a
x sen 2ax
2
+C
cos (ax)dx = +
2
4a
1
dx
= − cot ax
sen2 ax
a
dx
1
= tan ax + C
2
cos ax
a
1
2
tan (ax)dx = (tan ax) − x + C
a
1
2
cot (ax)dx = − (cot ax) − x + C
a
cot(ax)dx =
ln(ax)dx = (x ln ax) − x + C
p
1
x x2 ± a2 dx = (x2 ± a2 )3/2 + C
3
√
Z
Z
dx
x
1 − a 2 x2
−1
−1
= √
+C
+C
cos (ax)dx = x(cos ax) −
2
2
3/2
2
(x + a )
a x2 + a2
√ a
Z
Z
xdx
1
1 − a 2 x2
+C
sen−1 (ax)dx = x(sen−1 ax) +
+C
= −√
2
2
3/2
2
a
(x + a )
x + a2
Z p
1 p 2
x
a2 − x2 dx =
x a − x2 + a2 sen−1
+C
2
2
Z p
i
p
1h p 2
x2 ± a2 dx =
x x ± a2 ± a2 ln x + x2 ± a2 + C
2
Z
1
1
tan(ax)dx = − ln(cos ax) = ln(sec ax)
a
a
Z
APÉNDICE C. TABLA DE DERIVADAS E INTEGRALES
176
Valores de In =
Z
∞
0
n
0
2
4
6
Si n es par, entonces:
Si n es impar:
2
xne−ax dx
In
r
1 π
2r a
1 π
4 r a3
3 π
8 ra5
15 π
16 a7
Z
∞
−∞
Z
n
1
3
5
7
2
xn e−ax dx = 2In
∞
−∞
2
xn e−ax dx = 0
In
1
2a
1
2a2
1
a3
3
a4