x - ies montes obarenes

Razones trigonométricas:
Dado un ángulo x agudo que cumple tag (180 + x) = h , halla las razones trigonométricas
de 180 − x en función de h .
180 + x está en el 3º cuadrante.
x agudo → 
180 − x está en el 2º cuadrante.
tag (180 + α ) =tagα , ∀α
tag ( x) = tag (180 + x) = h
tag (180 − α ) = − tagα , ∀α
tag (180 − x) = −tag ( x) = − h
cot agα =
cot ag (180 − x) =
1
, ∀α
tagα
1
−1
=
tag (180 − x)
h
1 + tag 2α = sec 2 α , ∀α
2 º cuadr .
sec 2 (180 − x) = 1 + tag 2 (180 − x) = 1 + (− h) 2 = 1 + h 2 → sec(180 − x) = − 1 + h 2
sec α =
cos(180 − x) =
1
, ∀α
cos α
1
−1
− 1 + h2
=
=
sec(180 − x)
1 + h2
1 + h2
sen 2α + cos 2 α = 1 , ∀α
sen 2 (180 − x) = 1 − cos 2 (180 − x) = 1 − (
2 º cuadr
→ sen (180 − x) =
1 + h2
1
=
sen(180 − x)
1
, ∀α
senα
1
h
1 + h2
Dpto. Matemáticas
)2 = 1 −
h2
h
h 1 + h2
=
=
1 + h2
1 + h2
1 + h2
cos ecα =
cos ec(180 − x) =
−1
=
1 + h2
h
1
1 + h2 − 1
h2
=
=
1 + h2
1 + h2
1 + h2
Demostraciones trigonométricas:
sen(x ) − cos(x )
= cos( x )
tag ( x ) − 1
sen( x ) − cos( x ) (*) sen( x ) − cos( x ) sen( x ) − cos( x ) (sen( x ) − cos( x )) ⋅ cos( x)
=
=
=
= cos( x)
sen( x )
sen( x ) − cos( x)
tag ( x ) − 1
sen(x ) − cos( x )
−1
cos( x)
cos( x)
(*) tag ( x) = sen( x)
cos( x)
sen(2 x )
= tag (x )
1 + cos(2 x )
2 sen ( x) cos ( x)
2 sen ( x) cos ( x) (**) 2 sen ( x) cos ( x)
sen(2 x ) (*)
=
=
=
1 + cos(2 x ) 1 + cos 2 ( x) − sen 2 ( x) 1 + cos 2 ( x) − sen 2 ( x) cos 2 ( x) + cos 2 ( x)
(
=
2 sen ( x) cos ( x) sen ( x) (***)
=
= tag (x )
cos ( x)
2 cos 2 ( x)
sen(2 x) = 2sen( x) cos( x)
(*) 
2
2
cos(2 x) = cos ( x) − sen ( x)
(**) sen 2 ( x) +cos 2 ( x) = 1
sen( x)
(* * *) tag ( x) =
cos( x)
Dpto. Matemáticas
)
Ecuaciones trigonométricas
sen(2 x ) − sen( x ) = 0
sen (2 x ) − sen ( x ) = 0
→ 2 sen ( x) cos ( x) − sen ( x) = 0 → sen ( x) (2 cos ( x) − 1) = 0


↑


 sen (2 x) = 2 sen ( x) cos ( x)
→
sen ( x) = 0

2 cos (x ) − 1 = 0
sen (2 x ) − sen (x ) = 0
→
→
sen ( x) = 0


1
 cos (x ) = 2
2 cos (
 x = 0º +360º k 


 x = 180º +360º k 
→
 x = 60º +360º k 
 x = 300º +360º k 


x
3x
) sen ( ) = 0
2
2
→
3x

 cos ( 2 ) = 0

 sen ( x ) = 0

2


↑


 sen (a ) − sen(b) = 2 cos ( a + b ) sen ( a − b )

2
2 
→
 3x
 2 = 90º +180º k

 x = 0º +180º k
 2
Dpto. Matemáticas
→
 x = 60º +120º k

 x = 0º +360º k
 x = 60º +360º k 


 x = 180º +360º k 
→ 

 x = 300º +360º k 
 x = 0º +360º k

[
]
sen ( x ) − 3 cos ( x )
=0
2
sen ( x ) − 3 cos ( x )
=0
2
→
1
3
sen ( x ) −
cos ( x ) = 0
2
2
→
sen ( x ) cos 60 º − cos ( x ) sen 60 º = 0


↑




 sen 60 º = 3 

2 

1 
 cos 60 º =

2 

→
sen ( x − 60 º ) = 0
→
 x − 60 º = 0 º +360 º k

 x − 60 º = 180 º +360 º k
→
 x = 60 º +360 º k

 x = 240 º +360 º k


↑


 sen ( a − b ) = sen a cos b − cos a sen b 
sen( x ) − 3 cos( x )
=0
2
→
tag ( x ) = 3
→
sen ( x ) − 3 cos ( x ) = 0
→
→
sen ( x ) = 3 cos ( x)
 x = 60º +360º k

 x = 240º +360º k


↑


tag ( x ) = sen ( x ) 

cos ( x) 
2sen2 (x ) + cos(2 x ) = 4 cos2 ( x )
Dpto. Matemáticas
→
sen ( x)
= 3
cos ( x )
2 sen
→
2
( x ) + cos (2 x ) =
sen
2
2
(x edificios:
) + cos 2 (x ) − sen
→
4 cos 2 (Calcula
x)
sendos
la altura de2los


↑


2
2
 cos ( 2 x ) = cos ( x ) − sen ( x )
(x ) + cos 2 (x ) =
4 cos
2
(x )
cos ( x ) = ±
1
2
→
1 = 4 cos
2
(x )
→
(x ) =
cos
4 cos
2
2
(x )
(x ) =
↑


 sen
→
→
2


2
( x ) + cos 2 ( x ) = 1 
x =
1


 cos ( x ) = 2
  x =
→


 cos ( x ) = − 1
x =

x =
2
 
60 º + 360 º k 

300 º + 360 º k 
120 º + 360 º k 

240 º + 360 º k 
Problemas de trigonometría:
y
24
y = 24 ⋅ tag ( 26º 36 ´ ) = 12,02
tag ( 26º 36 ´ ) =
y
x
x
24
x = 24 ⋅ tag ( 33º 42 ´ ) = 16,01
tag ( 33º 42 ´ ) =
Solución :
Edificio pequeño : 16,01 m
Edificio grande : 12,02 + 16,01 = 28,03 m
Calcula la distancia entre los puntos A y B.
Triángulo ADE :
7 ,2
7,2 ⋅ sen 50º
x
→ x=
= 5,77
=
sen 73º sen 50º
sen 73º
z
x
Dpto. Matemáticas
Triángulo BDC :
y
5,25
y
5,25 ⋅ sen 48º
→ x=
= 4,13
=
sen 71º sen 48º
sen 71º
Triángulo ADB :
D = 180 º − 73º −71º = 36º
z 2 = (5,77 ) + (4,13 ) − 2 ⋅ 5,77 ⋅ 4,13 ⋅ cos 36º = 11,79
2
z = 11,79 = 3,43 m
2
1
4