Departamento de Física Aplicada III Escuela Superior de Ingenieros Camino de los Descubrimientos s/n 41092 Sevilla Práctica 2. Solución analógica del problema del potencial 2.1. Objeto de la práctica El objeto de la práctica es analizar, para distintas configuraciones geométricas, la distribución de potencial en el espacio entre dos conductores inmersos en un medio óhmico y sometidos a una diferencia de potencial. Figura 2.1: Dispositivo experimental. 2.2. Fundamento teórico El potencial electrostático producido como consecuencia de la existencia de conductores cargados en el vacı́o verifica la ecuación de Poisson: ρ(~r) ∇2 φ(~r) = − (2.1) ε0 siendo : ∇2 V (~r) = laplaciano del potencial en un punto dado por ~r. ρ(~r) = densidad de carga eléctrica (volumétrica). ε0 = constante dieléctrica para el vacı́o. y para aquellos puntos en los que no exista carga tenemos la ecuación de Laplace ∇2 φ(~r) = 0 (2.2) 2-2 Por otra parte se cumple que para corrientes estacionarias (que no dependen del tiempo) y medios óhmicos ~ r) = σ E(~ ~ r) = −σ∇φ(~r) J(~ (2.3) siendo: ~ r) = densidad de corriente eléctrica en un cierto punto. J(~ σ = conductividad del medio. ~ r) = campo eléctrico en un cierto punto. E(~ φ(~r) = potencial en un cierto punto. y como a su vez ~ r) = 0 ∇ · J(~ (2.4) ∇ · (σ∇φ(~r)) = 0 (2.5) se tiene, sustituyendo es decir que si consideramos σ homogéneo (en muchos casos es ası́), se llega a ∇2 φ(~r) = 0 (2.6) Esto quiere decir que la distribución de potenciales utilizando corrientes estacionarias (corriente continua) responde a la misma ecuación que la distribución de potenciales electrostáticos en aquellos puntos en los que no hay carga. También las condiciones de contorno en los conductores, potencial fijado en su superficie, son las mismas si la conductividad del medio es mucho menor que la de los cuerpos en los que se establecen los valores del potencial (usualmente metales). La única diferencia entre el problema de conductores en el vacı́o y el modelado mediante un sistema de corrientes se encuentra en la frontera exterior del sistema. En un sistema real, la condición que se impone usualmente es que el potencial decaiga a cero en el infinito. En un sistema de corrientes, la condición es que la densidad de corriente no puede fluir hacia el exterior (ya que al llegar al borde, las cargas no pueden seguir adelante). Matemáticamente, esto equivale a anular la densidad de corriente normal a la frontera o, en términos del potencial, ∂φ = n · ∇φ = 0 (2.7) ∂n Con esta salvedad, podremos por tanto estudiar por analogı́a distribuciones de potenciales electrostáticos, utilizando corrientes continuas. Si la configuración de conductores presenta simetrı́a traslacional respecto de una dirección en el espacio, que elegiremos como eje OZ, el problema no dependerá de la coordenada z, y podremos hacerlo corresponder con un problema bidimensional (en el plano perpendicular a OZ ). De esta forma es posible establecer la analogı́a entre una configuración plana en un medio conductor, que es el dispositivo experimental que usaremos, con un problema de potencial tridimensional en el vacı́o. 2.2.1. Dispositivo experimental Para realizar este modelado del sistema emplearemos el llamado papel Teledeltos, que posee una baja conductividad. Sobre este papel se traza diversas figuras con una pintura altamente conductora. Estas figuras pueden ser conectadas a fuentes de potencial que fijan su voltaje. La alta conductividad de la pintura hace que las figuras puedan considerarse equipotenciales, mientras que el papel representa el espacio entre los conductores, ya que, según se ha visto, en él se verifica la ecuación de Laplace en dos dimensiones. 2.2 Fundamento teórico 2-3 Figura 2.2: Esquema de los efectos de borde. 2.2.2. Condensador de placas planas y paralelas El sistema más sencillo que vamos a ver es el correspondiente a dos conductores planos situados paralelamente a una distancia a. Para ello, trazamos dos lı́neas sobre el papel semiconductor. Estas lı́neas representan, según hemos dicho, placas que se extienden indefinidamente en la dirección perpendicular al papel. El problema del potencial entre dos placas puede resolverse exactamente si se desprecian los llamados efectos de borde. Estos efectos corresponden a la curvatura del campo en los extremos del sistema. Despreciar estos efectos equivale a admitir que las lı́neas de campo van siempre en la dirección perpendicular a las placas. En este caso, si suponemos una placa en y = −a/2 a potencial V0 y otra en y = a/2 a tierra, el potencial entre ellas es aproximadamente V0 a V = −y . (2.8) a 2 En particular, en x = 0 (el plano central) resulta V = V0 /2. Por su parte, el campo eléctrico vale, en todos los puntos entre las placas. ~ = V0 ~ux . (2.9) E a Esta situación ideal no es la que se tiene en la práctica, ya que los electrodos tienen una extensión finita. Sin embargo, a lo largo de la lı́nea x = 0, el valor del campo es, con muy buena aproximación, el valor uniforme dado en (2.9). En el las lı́neas x = ±L/2 (siendo L la longitud de los electrodos) los efectos de borde no pueden despreciarse y el campo ya no es uniforme. 2.2.3. Configuración de cilindros conductores coaxiales En esta parte se va a hallar la dependencia del potencial con la posición para dos cilindros coaxiales de radios c y d (c < d), cuando el interior se encuentra a potencial V0 y el exterior a tierra. La solución de la ecuación de Laplace para este problema, admitiendo que el potencial sólo depende de la distancia r al eje común es V0 ln(r/d) φ(r) = − ln(d/c) Cuando medimos r, c y d en las mismas unidades, este potencial puede escribirse como φ(r) = V0 V0 ln(d) − ln(r) = a + b ln(r) ln(d/c) ln(d/c) Esta última expresión permite ajustar una recta de φ frente a ln(r) por el método de mı́nimos cuadrados. (2.10) 2-4 Generador Potenciómetro Papel grafitado conductor Sonda Galvanómetro Voltímetro A G V Figura 2.3: Esquema de montaje y del circuito 2.3. Descripción de los aparatos Para la realización de la práctica son necesarios los siguientes elementos: Fuente de tensión continua regulable. Papel grafitado óhmico (Teledeltos ). Voltı́metro. Galvanómetro (detecta el paso de corriente, pero no mide su intensidad). Potenciómetro (resistencia con un tercer contacto intermedio móvil). Sonda y cables de conexión. Para medir el potencial al cual está un punto cualquiera del papel grafitado cuando se conectan las lı́neas de pintura a los bornes de un generador, realizamos el montaje de la figura. Disponemos el potenciómetro también 2.4 Realización de la práctica 2-5 entre los bornes del generador. El contacto móvil del potenciómetro permite elegir el potencial al cual está el punto A, y se puede leer en el voltı́metro que hemos dispuesto. Al tocar con la sonda en el punto del papel donde queremos medir el potencial pasará en general corriente a través de ella, que será detectada por el galvanómetro dispuesto en serie. Sólo cuando el punto A y el punto del papel tengan el mismo potencial dejará de pasar corriente, y ello se consigue manipulando el contacto móvil del potenciómetro. Una vez conseguido que la aguja del galvanómetro no se desvı́e, el potencial del punto será la lectura del voltı́metro. Aunque este montaje es más complicado que un simple voltı́metro (de alta resistencia interna) más la sonda, resulta más exacto porque no hay corriente de fuga a través de la sonda que pueda distorsionar el régimen de corrientes. Figura 2.4: Sistema de referencia en el condensador con efectos de borde 2.4. Realización de la práctica 2.4.1. Condensador de placas planas y paralelas 1. Conecta el sistema de dos lı́neas con efectos de borde. Observa que en el papel hay una cuadricula pintada. El espaciado entre las lı́neas es hx = hy = 1 cm. A la hora de hacer los cálculos, puedes considerar que el error en la medida de este espaciado es el de una regla, es decir hx = hy = 1.00 ± 0.05 cm. 2. Establece la diferencia de potencial entre las lı́neas en V0 = 10 V. Para medir este voltaje, coloca el contacto móvil del potenciómetro en el extremo que abarca toda la resistencia y anota la lectura del voltı́metro. 3. Mide el potencial en puntos equiespaciados 1 cm sobre la recta vertical que une los centros de las dos lı́neas conductoras (x = 0). Para ello, usa la cuadrı́cula y coloca la sonda en cada punto SIN PRESIONAR DEMASIADO SOBRE EL PAPEL. Desliza el potenciómetro hasta conseguir que la aguja del galvanómetro no se desvı́e de cero y anota la lectura del voltı́metro. Tienes que incluir también los dos puntos situados sobre los conductores. 4. Representa en una gráfica el potencial frente a la coordenada y. ¿Es lineal el comportamiento?. A partir de la pendiente de la recta de mejor ajuste calcula el valor de la componente vertical del campo eléctrico. 2-6 ´´ ´ ´ ´ ´´ Figura 2.5: Esquema de las dos circunferencias y los puntos de medida 5. Haz las mismas medidas para una lı́nea vertical que una los bordes de las lı́neas conductoras (x = L/2). 6. Representa sobre la misma gráfica que antes, en otro color, los puntos correspondientes a la lı́nea que une los bordes. ¿Es lineal el comportamiento? ¿Por qué?. Une mediante segmentos rectos los puntos consecutivos de esta representación. ¿Que información podemos obtener de las pendientes de estos segmentos? 7. Gráficas Recta de mejor ajuste Φ = a + b y con los puntos de la lı́nea central. En la misma gráfica que la anterior, y con otro color, los valores correspondientes a la lı́nea que une los bordes de los conductores, trazando segmentos rectilı́neos entre los puntos. 2.4.2. Condensador coaxial 1. Usa la hoja en la que se encuentran dos circunferencias concéntricas, siendo la interior de radio 2 cm aproximadamente. 2. Mide el diámetro exterior de la circunferencia pequeña y el interior de la grande. A partir de estas medidas halla los radios respectivos, c y d. 3. Conecta la circunferencia exterior a tierra y la interior a una tensión V0 = 10 V. 4. Mide la tensión en la circunferencia interior. 5. Mide la tensión en una serie de puntos espaciados 1 cm a lo largo de un radio, de acuerdo con la cuadrı́cula trazada sobre el papel. 6. Ajusta una recta de mı́nimos cuadrados para Φ como función de ln(r). Calcula, a partir de la ecuación (2.10), los valores teóricos de a y b y compara el resultado con el del ajuste. 7. Gráficas 2.4 Realización de la práctica 2-7 Representa gráficamente la curva φ = φ(r) para los puntos medidos (incluyendo los propios conductores). Recta de regresión φ frente a ln(r). 2.4.3. Estimación del campo eléctrico en el punto central de la lı́nea x = L/2 La derivada de una función mide la rapidez con que la función varı́a en función de la variable independiente. La definición matemática es f ′ (y) = lı́m ∆y→0 f (y + ∆y) − f (y) ∆f = lı́m ∆y→0 ∆y ∆y En nuestro caso, el campo eléctrico es el gradiente del potencial. En concreto, la componente vertical del campo eléctrico es la derivada parcial respecto a y del potencial Ey (x, y) = − ∂Φ Φ(x, y + ∆y) − Φ(x, y) ∆Φ = − lı́m = − lı́m ∆y→0 ∆y→0 ∆y ∂y ∆y A partir de los datos experimentales no podemos determinar la función Φ(x, y), ya que sólo hemos medido el potencial en puntos discretos. Por tanto no podemos calcular exactamente su derivada. Pero si podemos estimar su valor a partir de las medidas realizadas. La figura muestra un ejemplo de gráfica experimental que representa los valores medidos de una función f (y) para tres valores de y. Para estimar la derivada calculamos el cociente de los incrementos de la función y de la variable independiente, esto es ∆f f ′ (y) ≃ ∆y En este caso podemos calcular dos cocientes, entre el punto P y el P+ por un lado, y entre el punto P− y el P por el otro f+′ = fP+ − fP ∆y f−′ = fP − fP− ∆y Ahora podemos estimar la derivada en el punto P como el promedio de estos dos valores fP′ = fP − fP− 1 1 ′ f+ + f−′ = fP+ − fP + fP − fP− = + 2 2∆y 2∆y Aplicando esto a la estimación de la componente vertical del campo eléctrico en el punto central de la lı́nea que une los bordes de las lı́neas conductoras, el punto P es el punto central, el punto P+ el inmediatamente superior y el punto P− el inmediatamente inferior. El valor aproximado de Ey es Ey ≃ − ΦP+ − ΦP− 2hy 2-8