Apuntes De Electromagnatismo.

Apuntes De Electromagnatismo.
Prof. Bernabe Franco.
Prof. Carlos Javier Jaimes O.
Departamento De Ciencias Básicas,
Unidades Tecnológicas de Santander.
uts
Textos Universitarios
Departamento de Ciencias Básicas
2013
Contenido
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1
Campos Eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1
Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2
Ley de coulomb para sistemas discretos o sistemas de cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3
Fuerza entre dos cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4
Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5
Campo eléctrico en un punto p situado a una distancia r de una carga q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6
Campo eléctrico en un punto p debido a un sistema de n cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.7
Cálculo del campo eléctrico de un sistema continuo o una distribución continua de carga . . . . . . 3
1.8
Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.9
Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2
Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1
Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2
Flujo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3
Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3
Potencial Eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1
Diferencia de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2
Potencial eléctrico en un punto próximo a una carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3
Potencial eléctrico en un punto próximo a un sistema de n cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4
Potencia eléctrico en un punto próximo a una distribución continua de carga . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5
Energía potencial eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.6
Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4
Capacitores Y Dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1
Definición de capacitor (o condensador) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
CONTENIDO
3
4.2
Definición de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3
Unidad de capacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4
Clases de capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.5
Capacitor de placas planas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.6
Capacitor cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.7
Capacitor esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.8
Combinación de capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.9
Energía almacenada en un capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.10
Densidad de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.11
Capacitancia de un capacitor con dieléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.12
Variaciones de energía debidas a la intromisión de un dieléctrico en un capacitor . . . . . . . . . . . . 22
4.13
Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5
Corriente Y Resistencia Eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1
Corriente eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2
Resistencia y ley de ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.3
Resistencia y temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.4
Energía eléctrica y potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.5
Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6
Corriente Y Resistencia Eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.1
Fuerza electromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2
Resistores en serie y en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.3
Transformación ∆ − y, y − ∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.4
Puente de Wheatstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.5
Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.6
Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7
Campos Magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.1
Campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.2
Fuerza magnética sobre un conductor que conduce corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.3
Momento de torsión sobre un lazo de corriente (espira) situado en un campo magnético . . . . . . . 41
7.4
Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.5
Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
8
Ley De Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.1
Ley de inducción de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.2
FEM de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.3
Ley de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.4
FEM inducidas y campos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.5
Generadores y motores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.6
Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Bibliografía .................................................................................................................................................................... 59
Introducción
Hacia casi todos los ámbitos que nos rodean, que dirijamos nuestra mirada encontraremos testigos de la
actividad humana relacionada con las aplicaciones de los campos eléctricos y magnéticos, y aún en sitios
no afectados por el hombre, la actividad de la naturaleza afecta en sus fenómenos eléctricos y magnéticos
todo. El estudio a nivel elemental introductorio que se hace de la materia electromagnetismo en el tercer
nivel de varias de las tecnologías tiene importancia aclaratoria sobre los principios físicos involucrados y en
algunos casos es vital su comprensión de los fenómenos vistos para una mayor comprensión y aplicaciones
posteriores. Estos apuntes del docente sin duda serán de ayuda, aunque sin ninguna duda no reemplazaran
aquellos textos de la bibliografía que se mencionan y que tienen una gran profundidad y acompañados
de una experiencia experimental mucho mayor que la que estos apuntes puedan aportar. Sin embargo la
intención es ser un aporte rápido y útil de ayuda al estudiante diligente y aplicado.
1
1.1
Campos Eléctricos
Unidades
Cuando se hacen cálculos en los cuales se aplique la Ley de Coulomb, la carga debe estar en coulomb y la
distancia en metros. La constante de proporcionalidad de la fuerza, se expresa en [N · m2 /C2 ].
1.2
Ley de coulomb para sistemas discretos o sistemas de cargas puntuales
La fuerza electrostática ejercida sobre la carga j-ésima, está dada por el vector suma de las fuerzas ejercidas
por cada una de las otras cargas individuales:
N
~Fj =
∑
~Fji
i= j=1
i6= j
Cuando se aplica la ley de Coulomb a sistemas de cargas que interactúan, es importante utilizar el principio
de superposición, que consiste en sumar las fuerzas que cada carga ejerce sobre una carga determinada. El
principio de superposición también se utiliza para determinar el campo eléctrico resultante.
1.3
Fuerza entre dos cargas puntuales
La fuerza que la carga q1 ejerce sobre la carga q2 está dada por
~F21 = ke q1 q2 r̂
r2
Donde r̂ es un vector dirigido de q1 a q2 .
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
3
1.4
Campo eléctrico
El campo eléctrico en cualquier punto del espacio se define como la razón de la fuerza eléctrica por unidad
de carga, ejercida sobre una carga de prueba pequeña y positiva situada en el punto donde el campo es
determinado:
~
~E = F
q0
1.5
Campo eléctrico en un punto p situado a una distancia r de una carga q
La ley de Coulomb conduce a la siguiente expresión:
~E = ke q r̂
r2
Donde r̂ está dirigido de la carga q hacia el punto P.
1.6
Campo eléctrico en un punto p debido a un sistema de n cargas puntuales
Del principio de superposición se sigue que:
~E = ke ∑ qi r̂i
2
i ri
1.7
Cálculo del campo eléctrico de un sistema continuo o una distribución
continua de carga
La expresión general para determinar el campo eléctrico sobre un punto del espacio, cercano a la distribución de carga, usando la ley de Coulomb es:
~E = ke
Z
dQ
r̂
r2
En este caso se debe tener en cuenta:
1. La densidad de carga: (caso uniforme)
ρ=
Q
V
=
dQ
dV ,
para una distribución volumétrica de carga.
σ=
Q
A
=
dQ
dA ,
para una distribución superficial de carga.
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
4
Campos Eléctricos
λ=
Q
L
=
dQ
dL ,
para una distribución lineal de carga.
2. La simetría, la cual permite simplificar los cálculos.
1.8
Constantes
Carga del electrón e = 1.60217733 × 10−19C.
Masa del electrón me = 9.1093897 × 10−31 kg.
Masa del protón m p = 1.672623 × 10−27 kg.
Constante de Coulomb ke = 8.9875 × 109 N · m2 /C2
1.9
Ejercicios Resueltos
1. Tres cargas puntuales están localizadas en los vértices de un triángulo equilátero. Calcule la fuerza
neta sobre la carga de
Solución.
El campo eléctrico debido a la carga de 2µ, es:
9
−6
2
2
~E1 = ke q r̂ = (9x10 N · m /C )(2x10 C) r̂
r2
(0.5 m)2
Pero:
r̂ = cos 600 î + sen600 jˆ = 0.5î + 0.86 jˆ
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
5
Luego:
~E1 = (3.6x104 î + 6.19x104 jˆ)N/C
El campo eléctrico debido a la carga de −4µ C, es:
9
−6
2
2
~E1 = ke q r̂ = (9x10 N · m /C )(−4x10 C) r̂
2
2
r
(0.5 m)
donde
r̂ = cos 600 î − sen600 jˆ = 0.5î − 0.86 jˆ
Luego:
~E2 = (7.2x104 î − 1.23x105 jˆ)N/C
El campo eléctrico resultante, está dado por:
~E = ~E1 + ~E2 = (1.08x105 î − 6.11x104 jˆ)N/C
Luego la fuerza neta sobre la carga de 7µ C, es:
~F = q~E = (7.0µC)(1.08x105 î − 6.11x104 jˆ) N
C
~F = q~E = (7.56x10−1 î − 4.2x10−1 jˆ)N
2. Determine la fuerza eléctrica que una línea finita de carga de longitud l y densidad carga uniforme
λ, ejerce sobre una carga puntual q situada a una distancia y sobre su mediatriz, como se indica en la
figura:
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
6
Campos Eléctricos
Solución.
d ~F = dF(cos θ jˆ + senθ î)
d ~F =
~F =
Z
ke qλ dx
(cos θ jˆ + senθ î)
x 2 + y2
d ~F = ke qλ
Zl/2
dx
(cos θ jˆ + senθ î)
x2 + y2
−l/2
Por simetría, la integral anterior se reduce a:
~F =
Z
Zl/2
d ~F = ke qλ
dx
x 2 + y2
(cos θ jˆ)
−l/2
Sustituyendo el valor de cos θ, se sigue que:
~F =
Z
d ~F = ke qλ
Zl/2
y
dx
p
jˆ
(x2 + y2 ) x2 + y2
−l/2
Usando la fórmula de integración:
Z
dx
3
(x2 + a2 ) /2
=
x
√
,
a2 x2 + a2
se obtiene:
~F =
Z
l/2
ke qλy
x
~
p
dF =
jˆ
2
2
y2
x + y −l/2

k
qλ
~F == e  q
y

l/2
2
(l/2)
+ y2
−q
(−l/2)
2
(l/2)
 jˆ
+ y2


k
qλl
1
q
 jˆ
~F == e
y
(l/2)2 + y2
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
7
3. Determine el campo eléctrico a una distancia x, sobre el eje de un anillo radio a, que tiene una carga
Q distribuida uniformemente. A qué distancia del centro del anillo se presenta el máximo valor del
campo eléctrico y diga cuál es.
Solución.
d ~EP = dE cos θ î = ke
Z
d ~EP =
λ dl
x
p
î
(x2 + a2 ) (x2 + a2 )
Z
Z
dE cos θ î = ke
x
λ dl
p
î
(x2 + a2 ) (x2 + a2 )
Z
λx
~EP = ke
3
dl î
(x2 + a2 ) 2
~EP = ke λx(2π a) î
3
(x2 + a2 ) 2
~EP = ke
Qx
3
(x2 + a2 ) 2
î
La distancia a la cual se obtiene el máximo valor del campo eléctrico se obtiene de acuerdo al criterio
de la primera derivada, así:
3/
1/
2
(x2 + a2 ) 2 − 3x2 (x2 + a2 )
dE
=0⇒
dx
(x2 + a2 )3
=0
Luego simplificando se obtiene:
a
x2 + a2 = 3x2 ⇒ 2x2 = a2 ⇒ x = √
2
El máximo valor del campo eléctrico es:
√ Q a/ 2
Qa
E = ke = ke
3
√ 2 3 /2
(3a2 /2) /2
a2 + (a/ 2)
E = ke
√
Qa/ 2
1
(3a2 /2) (3a2 /2) 2
Q
=
1
4π ε0 (3a/2) (3a2 ) 2
Q
E= √
6 3π ε0 a2
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
2
2.1
Ley de Gauss
Ley de Gauss
La ley de Gauss constituye un método alternativo para calcular el campo eléctrico producido por distribuciones de carga de elevada simetría.
La ley de Gauss dice que el flujo eléctrico neto que atraviesa una superficie hipotética gaussiana cerrada es
igual a la carga neta dividida por la permitividad eléctrica del vacío ε0 .
I
ϕe =
~E · d~A = qin ,
ε0
donde qin representa la carga neta dentro de la superficie y ~E representa el campo eléctrico en cualquier
punto sobre la superficie cerrada. El símbolo representa una integral sobre una superficie cerrada. El campo
eléctrico situado a una distancia r de una carga puntual q se determina usando el Teorema de Gauss de la
siguiente manera:
I
ϕe =
2.2
~E · d~A =
I
I
EdA = E
dA = E(4π r2 ) =
q
ε0
Flujo eléctrico
Es una medida del número de líneas de campo eléctrico que penetran alguna superficie. El flujo eléctrico
tiene las unidades de N · m2 /C.
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
9
Para una superficie plana situada en un campo eléctrico uniforme, el flujo eléctrico depende del ángulo que
forma la normal a la superficie y la dirección del campo eléctrico.
ϕ = ~E · ~A = ~E ~A cos θ
Observaciones
1. Para el caso de una superficie cerrada general situada dentro de un campo eléctrico no uniforme, el
flujo eléctrico se calcula integrando la componente normal del campo eléctrico sobre la superficie en
cuestión.
Z
ϕ=
~E · d~A
sup er f icie
El flujo eléctrico neto a través de las superficies de diversas formas que rodean una carga q, es el
mismo.
2. La ley de Gauss establece que el flujo ϕ evaluado sobre una superficie hipotética gaussiana cerrada es
igual a la carga neta encerrada dividida por la constante de permitividad eléctrica del vacío ε0 . Si no
hay carga en el interior de la superficie cerrada el flujo eléctrico neto a través de la superficie es cero.
Esto significa que el número de líneas que entra a la superficie es igual al número de líneas que sale
de la superficie.
3. El campo eléctrico es cero en un conductor en equilibrio electrostático.
4. El exceso de carga sobre un conductor aislado se sitúa totalmente sobre su superficie.
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
10
Ley de Gauss
5. El campo eléctrico justamente en el exterior de un conductor cargado es perpendicular a la superficie
del conductor y tiene una magnitud igual a σ/ε0 , donde σ es la carga por unidad de área.
6. En los conductores de forma irregular la carga eléctrica tiende a acumularse en los sitios donde el
radio de curvatura es más pequeño, es decir en las regiones con puntas.
7. La ley de Gauss debe ser escogida de tal manera que tenga la misma simetría de la distribución de
carga.
8. La superficie gaussiana debe escogerse de tal manera que incluya los puntos donde se desea calcular
el campo eléctrico.
9. La dirección del campo está determinada por la simetría de la distribución.
10. La superficie gaussiana puede dividirse en varias superficies, sobre las cuales debe analizarse el ángulo que forma el campo eléctrico con el diferencial de área.
11. La carga total encerrada por la superficie gaussiana puede obtenerse de la expresión:
Z
q=
dq,
donde dq puede expresarse para las diferentes distribuciones de carga mediante: dq = λdl, dq =
σ dA dq = ρ dv, para los casos de distribución de carga lineal, superficial o volumétrica.
2.3
Ejercicios Resueltos
1. Determine el campo eléctrico en el interior y en el exterior de una esfera aislante de densidad de carga
uniforme ρ, radio a y carga total positiva Q.
Solución.
(a) Para puntos situados en el exterior de la esfera r > R, la esfera se comporta como si fuera una
carga puntual, veamos,
I
~E · d~A = Q/ε0
.
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
11
Pero,
~E · d~A = ~E d~A cos 00 = EdA
.
Entonces,
I
dA = Q/ε0 ,
E
Además,
I
dA = 4π r2 ,
Entonces,
E(4π r2 ) = Q/ε0 .
Despejando E, se obtiene
E=
1 Q
;
4πε0 r2
r>R
.
(b) Para puntos situados en el interior se debe calcular la carga situada en el interior de la superficie
gaussiana usando la densidad de carga, así
I
3
~E · d~A = Qin = ρ (4π r /3)
ε0
ε0
Teniendo en cuenta que
~E · d~A = ~E d~A cos 00 = EdA
Se sigue que
E(4π r2 ) =
Q (4π r3 /3)
4π a3
ε0
3
E=
Qr
Q r
= ke 3 ;
3
4π a ε0
a
r<R
Esto significa que cuando se hace la gráfica del campo eléctrico dentro de la esfera aislante de
radio a en función de la distancia r, es una línea recta.
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
12
Ley de Gauss
2. Calcule el campo eléctrico debido a un cascarón esférico delgado, de radio a y carga total Q distribuida
uniformemente sobre su superficie, en puntos interiores y exteriores.
Solución.
(a) Para puntos exteriores el cascarón esférico se comporta como una carga puntual, veamos,
Usando la ley de Gauss, se sigue que
I
~E · d~A = Q/ε0
pero,
~E · d~A = ~E d~A cos 00 = EdA
entonces,
I
dA = Q/ε0
E
además
I
dA = 4π r2
luego,
E(4π r2 ) = Q/ε0
Despejando E, se obtiene
E=
1 Q
;
4πε0 r2
r>R
(b) Para puntos situados dentro del cascarón el campo eléctrico es nulo. Veamos:
De la ley de Gauss,
I
~E · d~A = Q/ε0
pero, la superficie gaussiana, en esta oportunidad no envuelve ninguna carga eléctrica, puesto
que en los conductores toda la carga se localiza sobre su superficie, por tanto,
I
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
~E · d~A = 0 ⇒ E = 0.
uts
13
3. Determine el campo eléctrico a una distancia r de una línea infinita de carga positiva con densidad
lineal de carga uniforme lambda.
Solución.
Aplicando la ley de Gauss, se obtiene,
I
~E · d~A = Qin /ε0 = λ l
ε0
Debemos tener en cuenta que la integral cerrada se reduce solamente a la integral sobre la superficie
lateral de la superficie gaussiana cilíndrica. Por lo tanto se obtiene
E(2π rl) = λ l/ε0
luego,
E=
λ
(2π r)ε0
O también,
λ
E = 2ke .
r
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
14
Ley de Gauss
4. Determine el campo eléctrico debido a un plano infinito no conductor con densidad superficial de
carga uniforme σ.
Solución.
De la ley de Gauss se sigue que
I
~E · d~A = σ A/ε0 .
Integrando sobre las dos bases del cilindro de área A, se sigue que
2EA = σ A/ε0
Simplificando por A, se obtiene
E = σ /2ε0 .
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
3
3.1
Potencial Eléctrico
Diferencia de potencial
La diferencia de potencial entre dos puntos B y A situados en un campo eléctrico, se define como el trabajo
por unidad de carga, hecho por un agente externo para mover una carga (lentamente para estar seguros de
que permanece en equilibrio) de prueba q0 (pequeña y positiva), desde A hasta B.
RB
VB −VA =
WA→B
=
q0
RB
~F · d~l
A
q0
−q0 ~E · d~l
=
A
q0
Por lo tanto, simplificando se sigue que la diferencia de potencial entre los puntos B y A se obtiene por la
integración a lo largo de la trayectoria de A a B:
VB −VA = −
ZB
~E · d~l
A
Para el caso en el cual el campo eléctrico es uniforme, la diferencia de potencial solo depende de la distancia
d paralela al campo E:
VB −VA = −Ed
3.2
Potencial eléctrico en un punto próximo a una carga puntual
El potencial eléctrico calculado en un punto situado en la vecindad de una carga puntual a una distancia r,
considerando que el potencial en el infinito es nulo viene dado por:
V =k
uts
q
r
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
16
Potencial Eléctrico
3.3
Potencial eléctrico en un punto próximo a un sistema de n cargas puntuales
El potencial eléctrico en punto en la proximidad de un sistema de N cargas puntuales (sistema discreto),
asumiendo que el potencial en el infinito es cero, está dado por:
N
qi
i=1 ri
V = ke ∑
3.4
Potencia eléctrico en un punto próximo a una distribución continua de carga
El potencial eléctrico en un punto próximo a una distribución continua de carga (sistema continuo), respecto
al infinito en donde el potencial se define como cero, se puede calcular integrando la contribución debida a
un elemento de carga dQ, sobre la línea, superficie o volumen que contenga toda la carga, así:
Z
V = ke
dQ
r
donde de acuerdo al caso, el diferencial de carga puede expresarse en términos de la densidad de carga,
mediante:
dQ = λ dl;
3.5
dQ = σ dA;
dQ = ρ dv
Energía potencial eléctrica
La energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales separadas una distancia r, representa el trabajo requerido para ensamblar el sistema desde una separación infinita. Si las dos partículas tienen cargas de igual
signo la energía es positiva, pero si tienen cargas de signos opuestos la energía es negativa. La expresión
para la energía electrostática viene dada por:
U = ke
q1 q2
r12
La energía potencial eléctrica total de un sistema de N cargas puntuales se obtiene sumando la energía para
cada par de cargas y sumando los términos algebraicamente:
1 N
U = ke ∑
2 i=1
o también:
N
U = ke ∑
j>i
N
∑
j=1
j6=i
N
∑
i=1
qi q j
ri j
qi q j
ri j
donde U se denomina energía de ensamble.
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
17
La autoenergía o energía potencial eléctrica de un sistema continuo puede obtenerse mediante:
1
U = ε0
2
Z
E 2 dv
Cuando se conoce la función potencial en una región del espacio, el vector de campo eléctrico se puede
calcular como el gradiente negativo del potencial:
~E = −∇V
En coordenadas cartesianas el gradiente negativo se expresa mediante:
~E = −∇V = î ∂V − jˆ∂V − k̂ ∂V
∂x
∂y
∂z
Las componentes escalares del campo eléctrico en coordenadas cartesianas, están dadas por:
Ex = −
∂V
;
∂x
Ey = −
∂V
;
∂y
Ez = −
∂V
∂z
En coordenadas cilíndricas el campo eléctrico puede expresarse mediante:
~E = −∇V = −ρ̂ ∂V − φ̂ 1 ∂V − k̂ ∂V
∂ρ
ρ ∂φ
∂z
En coordenadas esféricas el campo eléctrico puede expresarse mediante:
~E = −∇V = −r̂ ∂V − θ̂ 1 ∂V − φ̂ 1 ∂V
∂r
r ∂θ
rsenθ ∂z
3.6
Ejercicios Resueltos
1. Determine la diferencia de potencial entre los puntos B y A, situados en las proximidades de una carga
puntual q.
Solución
VB −VA = −
ZB
A
uts
~E · d~l = −
ZB
Edl cos 1800
A
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
18
Potencial Eléctrico
VB −VA =
ZB
Edl = −
A
ZB
Edr = −ke q
ZB
A
VB −VA = −ke q
ZB
A
dr
r2
A
dr
1
1
=
k
q
−
e
r2
rB rA
Si
rA → ∞
y definimos V∞ = 0, eliminando el subíndice, se sigue que:
V = ke q/r
2. Potencial eléctrico en un punto P situado a una distancia x sobre el eje de una anillo cargado uniformemente de radio a y carga total Q.
Solución
Z
V = ke
dQ
= ke λ
r
2πA
Z
0
dl
√
x 2 + a2
(2π a)
Q
V = ke λ √
= ke √
2
2
2
x +a
x + a2
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
4
4.1
Capacitores Y Dielectricos
Definición de capacitor (o condensador)
Es un dispositivo que consta de dos conductores (llamados conductores, armaduras o placas) que poseen
cargas iguales y opuestas y que sirve para almacenar cargas energía.
4.2
Definición de capacitancia
La capacitancia de un capacitor se define como la carga sobre cualquiera de las placas (electrodos o armaduras) dividida por la diferencia de potencial eléctrico entre ellas.
C=
|Q| |Q|
=
∆V
V
C es una constante cuyo valor depende de la geometría del sistema (tamaño, forma, separación de las placas
y naturaleza del medio dieléctrico que llena el espacio entre las placas).
Por convenio Q es la carga situada sobre el electrodo, placa o armadura positiva del capacitor y
∆V
es la diferencia de potencial entre el electrodo con carga positiva y el electrodo con carga negativa.
4.3
Unidad de capacidad
La unidad de capacidad en el sistema mks y SI se denomina Faradio (F): 1F = 1C/V .
4.4
Clases de capacitores
Entre los condensadores de capacitancias fijas y variables se encuentran:
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
20
Capacitores Y Dielectricos
- El condensador de placas planas paralelas - El condensador cilíndrico - El condensador esférico.
4.5
Capacitor de placas planas paralelas
C=
Q
=
V
σA
=
Rd
− ~E · d~l
σA
σA
ε0 A
= σ =
Ed
d
d
ε0
0
La capacidad es proporcional al área de cualquiera de las placas e inversamente proporcional a la distancia
de separación de las placas.
4.6
Capacitor cilíndrico
C=
Q
λl
=
=
V
Va −Vb
λl
Ra
− ~E · d~l
b
C=
λl
Ra
− 2πλε drr
0
=
=
λl
Ra
− Edr
b
2π ε0 l
2π ε0 l
a =
− ln b
ln ba
b
La capacidad es directamente proporcional a la longitud del capacitor e inversamente proporcional al logaritmo natural de la razón entre el radio b del cilindro exterior y el radio a del cilindro interior.
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
21
4.7
Capacitor esférico
C=
Q
Q
=
=
V
Va −Vb
Q
Ra
− ~E · d~l
b
C=
Q
a
Q R dr
− 4πε
r2
0
4.8
=
Q
Ra
− Edr
b
4πε0
ab
= 4πε0
1
(b − a)
−b
=
1
a
b
Combinación de capacitores
La capacidad equivalente a n capacitores conectados en paralelo está dada por:
n
C = ∑ Ci
i=1
La capacidad equivalente a n capacitores conectados en serie está dada por:
C=
1
n
∑ C1
i=1 i
La expresión anterior se obtiene de la relación:
n
1
1
=∑
C i=1 Ci
La capacidad equivalente es menor que la capacidad de cualquiera de los capacitores de la combinación.
Cuando se tienen solamente dos capacitores conectados en serie, la capacidad equivalente es igual a la
razón del producto de las capacidades a la suma de las capacidades:
C=
uts
C1C2
C1 +C2
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
22
Capacitores Y Dielectricos
4.9
Energía almacenada en un capacitor
U=
4.10
Q2
1
1
= QV = CV 2
2C 2
2
Densidad de energía
La densidad de energía está dada por:
1
uE = ε0 E 2
2
4.11
Capacitancia de un capacitor con dieléctrico
Cuando la región entre las placas de un capacitor se llena completamente con un material de constante
dieléctrica K, la capacidad aumenta en el factor K:
C=K
4.12
ε0 A
d
Variaciones de energía debidas a la intromisión de un dieléctrico en un
capacitor
U −U0 =
U0
−U0 = −U0
K
K −1
;
K
carga constante
U −U0 = KU0 −U0 = (K − 1)U0 ;
potencial constante.
4.13
Ejercicios Resueltos
1. Evalúe la capacitancia equivalente de la figura. Todas las capacitancias valen C.
Solución
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
23
En el primer lazo hay un capacitor de capacitancia C1 = C.
En el segundo lazo hay dos capacitores en serie que tienen una capacitancia equivalente
C2 =
C
CC
=
C +C
2
En el tercer lazo hay tres capacitores en serie que tienen una capacitancia equivalente
C3 =
1
1
C
+ C1
+ C1
=
C
3
Luego la capacitancia equivalente se obtiene como si se tuvieran tres capacitores
C1 , C2
y
C3
conectados en paralelo, por tanto:
C = C1 +C2 +C3 = C +
C C 11
+ = C
2 3
6
2. Un capacitor esférico de capacitancia C está compuesto por dos superficies esféricas tales, que el radio
de una es dos veces el de la otra. Halle el volumen entre las esferas.
Solución
El volumen entre las esferas está dado por:
4
28
4
volumen = π(2r)3 − π r3 = π r3
3
3
3
3. Una placa conductora de espesor d y área A se inserta dentro del espacio entre las placas de un capacitor de placas paralelas con espaciamientos y área superficial A como en la figura anexa. ¿Cuál es la
capacitancia del sistema?
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
24
Capacitores Y Dielectricos
Solución
La capacitancia del sistema se calcula como si tratara de dos capacitores conectados en serie, así:
C=
C1C2
C1 +C2
Teniendo en cuenta que:
C1 =
C2 =
ε0 A
s−d
2
;
ε0 A
s−d
2
Luego:
ε0 A
2
s−d
ε A
2
= 0
C= s−d
0A
2 εs−d
2
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
5
5.1
Corriente Y Resistencia Eléctrica
Corriente eléctrica
Corriente es la taza a la cual fluye carga por una superficie dada A. Si ∆Q es la cantidad de carga que pasa
esta área en un intervalo de tiempo ∆t, la corriente promedio, Iprom es la carga que pasa por A en la unidad
de tiempo:
I prom =
∆Q
∆t
La corriente instantánea I se define como el límite diferencial de la ecuación anterior:
I=
dQ
dt
La unidad SI de corriente es el Ampere(A).
1A =
1C
1s
Si n representa el número de portadores de carga móvil por unidad de volumen, entonces el número de
portadores de portadores de carga móvil en el elemento de volumen A?x, mostrado en la figura anexa,
está dado por:
nA∆x
Por lo tanto, la carga en este elemento es:
∆Q = (nA∆x)q
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
26
Corriente Y Resistencia Eléctrica
donde q es la carga en cada partícula.
Si los portadores se mueven con una velocidad vd, la distancia que se mueven en un tiempo ?t es:
∆x = vd ∆t
Luego:
∆Q = (nAvd ∆t)q
Luego la corriente en el conductor está dada por:
I = nqAvd
La velocidad
vd
es una velocidad promedio conocida como velocidad de arrastre o velocidad de deriva.
5.2
Resistencia y ley de ohm
Cuando las cargas se mueven bajo la acción de un campo eléctrico dentro de un conductor producen una
corriente. El campo eléctrico dentro del conductor puede existir cuando hay cargas en movimiento.
Densidad de Corriente:
La densidad de corriente se define como la corriente por unidad de área:
J=
I
= nqvd
A
La densidad de corriente es una cantidad vectorial:
J~ = nq~vd
Una densidad de corriente
J~ = nq~vd
se establece en un conductor cuando se mantiene una diferencia de potencial a través del conductor. Si la
diferencia de potencial es constante, la corriente también lo es. Por lo general la densidad de corriente es
proporcional al campo eléctrico:
J~ = σ~E
donde la constante de proporcionalidad recibe el nombre de conductividad del conductor. A la ecuación
anterior se le conoce como ley de Ohm, la cual establece que en muchos materiales, la constante de proporcionalidad entre la densidad de corriente y el campo eléctrico es una constante
σ
, que es independiente del campo eléctrico que produce la corriente. Para el caso de campo eléctrico uniforme, la diferencia de potencial se relaciona con el campo eléctrico a través de un conductor de área A y
longitud l, por medio de la relación:
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
27
V = El
Luego, sustituyendo E en la ley de Ohm se tiene:
J=σ
V
l
Pero, teniendo en cuenta que:
J=
I
A
Entonces:
I
V
V
V
= σ ⇒ I = σA =
A
l
l
R
siendo R la resistencia del conductor, la cual está dada por:
R=
l
V
=
σA
I
El inverso de la conductividad es la resistividad ρ:
ρ=
1
σ
Luego:
R=ρ
l
A
La resistividad se expresa en Ohmio-metro (Ω − m) y la conductividad se expresa en (Ω − m) − 1 = ohm.
Para el caso de un cable coaxial que consta de dos conductores cilíndricos (uno macizo y otro hueco), de
radios a y b respectivamente, de la expresión diferencial correspondiente a una sección de conductor dada
por:
dR = ρ
dl
A
se sigue para el caso particular del cable coaxial, que:
dR = ρ
dr
2πrl
Integrando se obtiene:
Zb
R=
dR =
a
uts
ρ
2πL
Zb
a
dr
ρ
b
=
ln
r
2πL
a
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
28
Corriente Y Resistencia Eléctrica
5.3
Resistencia y temperatura
En todos los metales la resistividad aumenta con el incremento de la temperatura, aproximadamente en
forma lineal:
ρ = ρ0 [1 + α(T − T0 )]
donde ? es la resistividad a la temperatura T (en 0C),
ρ0
es la resistividad a determinada temperatura de referencia T0 (que suele considerarse igual a 200C) y ? es
el coeficiente de temperatura de resistividad..
Este coeficiente puede expresarse como:
α=
1 ∆ρ
ρ0 ∆T
Análogamente, la resistencia varía con la temperatura de acuerdo a:
R = R0 [1 + α(T − T0 )]
.
5.4
Energía eléctrica y potencia
La tasa a la cual la carga
∆Q
pierde energía al atravesar un resistor es:
∆U
∆Q
=
V = IV
∆t
∆t
Como la tasa a la cual la carga pierde energía es igual a la potencia P disipada P en el resistor, tenemos:
P = IV
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
29
Teniendo en cuenta que V=IR, podemos expresar la potencia disipada por un resistor en las siguientes
formas:
P = I2R =
5.5
V2
R
Ejercicios Resueltos
1. Suponga que la corriente que circula por un conductor disminuye exponencialmente con el tiempo
de acuerdo con
t
I(t) = I0 e− τ
donde l0 es la corriente inicial (en t=0) y τ es una constante que tiene dimensiones de tiempo. Considere un punto de observación fijo dentro del conductor.
(a) Cuánta carga pasa por este punto entre t = 0 y t = τ?
(b) Cuánta carga pasa por este punto entre t = 0 y t = 10τ?
(c) Cuánta carga pasa entre t = 0 y t = ∞?
Solución
(a) De la definición de intensidad de corriente instantánea:
I=
dQ
⇒ dQ = Idt
dt
Sustituyendo la expresión dada para I e integrando se sigue que:
ZQ
Zτ
dQ =
0
0
t
I0 e− τ dt = (−τ)
Zτ
t
I0 e− τ
0
1
dt
−
τ
t τ
Q = (−τ)I0 e− τ
0
Q = (−τ)I0 [e−1 − 1]
Q = I0 τ[1 − e−1 ] = (1 − 0.3678)I0 τ = 0.632I0 τ
(b) Para los límites entre t = 0 y t = 10τ, se utiliza el mismo procedimiento, obteniéndose la siguiente
expresión:
t
− τ 10τ
Q = (−τ)I0 e
0
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
30
Corriente Y Resistencia Eléctrica
10τ
− τ
0
Q = (−τ)I0 e
−e
Q = −τI0 e−10 − 1 = I0 τ[1 − e−10 ] = 0.999I0 τ
(c) Análogamente, para los límites entre t = 0 y t = ∞, se obtiene:
t ∞
= −τI0 [e−∞ − e0 ]
Q = (−τ)I0 e− τ
0
Q = −I0 τ[0 − 1] = I0 τ
2. Un conductor coaxial con una longitud de 20m está compuesto por un cilindro interior con un radio
de 3.0mm y un tubo cilíndrico exterior concéntrico con un radio interior de 9.0mm. Una corriente de
fuga distribuida uniformemente de 10µA fluye dentro de los dos conductores. Determine la densidad
de la corriente de fuga (en A/m2 ) a través de una superficie cilíndrica (concéntrica con los conductores) que tiene un radio de 6.0mm.
Solución
J=
I
I
(10µA)(10−6 A/µA)
=
=
A 2π rL 2π (6 × 10−3 m)(20 × 10−2 m)
J = 1.32 × 10−4 A/m2
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
6
6.1
Corriente Y Resistencia Eléctrica
Fuerza electromotriz
Una fuente de fuerza electromotriz es cualquier dispositivo que produce un campo eléctrico y que puede
originar un movimiento de cargas en un circuito. La unidad S.I de fuerza electromotriz es el voltio.
En el circuito mostrado en la figura anexa, el voltaje V = Vb −Va entre los terminales de la batería es:
V = ε − Ir
De aquí se sigue que:
ε = V + Ir (1)
Este voltaje resulta igual al potencial a través de la resistencia de carga o resistencia externa R, es decir:
V = IR
Igualando las dos ecuaciones anteriores se sigue que la corriente del circuito es:
I=
ε
R+r
(2)
El siguiente gráfico muestra las variaciones de potencial a medida que se recorre el circuito en el sentido de
las manecillas del reloj.
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
32
Corriente Y Resistencia Eléctrica
La potencia suministrada Iε se convierte en la potencia disipada en la resistencia de carga I2 R y la potencia
disipada en la resistencia interna I2 r, como se expresa a continuación en forma analítica, multiplicando la
ecuación (1) por I, así:
Iε = I 2 R + I 2 r
La máxima potencia perdida en la resistencia de carga ocurre cuando R = r, como se demuestra a continuación:
2
ε
2
P=I R=
R
R+r
Derivando P con respecto a R e igualando a cero se obtiene:
#
"
dP
R
2 d
=ε
dR
dR (R + r)2
#
"
2
dP
2 (R + r) − 2R(R + r)
=0
=ε
dR
(R + r)4
(R + r)2 = 2R2 + 2Rr
Luego, simplificando se obtiene:
R=r
6.2
Resistores en serie y en paralelo
a. Conexión en Serie: La corriente que circula por cada resistor es la misma. La caída de potencial entre
los extremos de la combinación es igual a la suma de las caídas de potencial ocurridas en cada resistor.
Para el caso de dos resistores R1 y R2 conectados en serie se tiene:
V = V1 +V2 = IR1 + IR2 = I(R1 + R2 )
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
33
Luego los dos resistores conectados en serie se pueden sustituir por uno solo que tenga una resistencia
equivalente dada por:
Req = R1 + R2
N resistores conectados en serie, pueden ser sustituidos por un solo resistor que tenga una resistencia
equivalente dada por:
N
Req = R1 + R2 + · · · =
∑ Rn
n=1
b. Conexión en Paralelo: La diferencia de potencial entre los extremos de cada resistencia es la misma.
La corriente I se distribuye en cada resistor, de tal manera que para el caso de dos resistores:
I = I1 + I2 =
V
V
1
1
+
=V
+
R1 R2
R1 R2
I =V
1
Req
Luego:
1
1
1
=
+
Req
R1 R2
(3)
Por lo tanto:
Req =
R1 R2
R1 + R2
La expresión (3) puede generalizarse para N resistores conectados en paralelo, así:
Req =
1
N
∑
n=1
6.3
uts
1
Rn
Transformación ∆ − y, y − ∆
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
34
Corriente Y Resistencia Eléctrica
6.4
R1 =
Ra Rb
Ra + Rb + Rc
R2 =
Rb Rc
Ra + Rb + Rc
R3 =
Rc Ra
Ra + Rb + Rc
Ra =
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
R2
Rb =
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
R3
Rc =
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
R1
Puente de Wheatstone
Se utiliza para medir resistencias desconocidas utilizando un circuito conocido como puente de Wheatstone. El circuito consta de un galvanómetro, una batería, una resistencia desconocida Rx y tres resistores
conocidos R1 , R2 , y R3 , donde R1 es un resistor variable.
Variando el valor de la resistencia conocida R1 se logra que la lectura en el galvanómetro sea cero, lo cual
significa que el potencial en el punto a debe ser igual al potencial en el punto b y en este caso se dice que el
puente está balanceado. Según estas consideraciones se tiene:
I1 R1 = I2 R2 (1)
I1 R3 = I2 Rx (2)
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
35
Dividiendo (1) por (2), se encuentra que:
Rx =
R2 R3
R1
(3)
La expresión (3) permite calcular la resistencia desconocida Rx .
6.5
Leyes de Kirchhoff
1. Ley de Mallas o Ley de Voltajes (LKV):
La suma de las corrientes que entran a cualquier nodo o unión debe ser igual a la suma de las corrientes que
salen del nodo o unión. Esta ley expresa el principio de conservación de la carga.
2. Ley de Mallas o Ley de Voltajes (LKV):
La suma algebraica de los cambios o variaciones de potencial a través de todos los elementos alrededor de
cualquier lazo de un circuito cerrado debe ser cero. Esta ley surge del principio de conservación de la
energía.
Para aplicar la segunda ley deben tenerse en cuenta las siguientes reglas:
a. Cuando se recorre un resistor en el sentido de la corriente, la diferencia de potencial a través del
resistor es −IR.
b. Cuando se recorre un resistor en sentido opuesto a la corriente, la diferencia de potencial a través
del resistor es IR.
c. Cuando una fem se recorre de − a + , la diferencia de potencial es ε.
d. Cuando se recorre una fem de + a − la diferencia de potencial es −ε.
6.6
Circuito RC
Consideremos el siguiente capacitor en serie con un resistor, una batería y un interruptor:
Cuando se cierra el interruptor y se aplica la Ley de Kirchhoff de voltajes, se obtiene:
ε − IR −
q
= 0 (1)
C
En el instante en que el circuito se cierra la carga en el capacitor es cero, luego haciendo q = 0, de la ecuación
anterior se encuentra que la corriente inicial del circuito es:
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
36
Corriente Y Resistencia Eléctrica
ε = I0 R ⇒ I0 =
ε
R
(2)
Cuando el capacitor se carga hasta su valor máximo Q, las cargas dejan de fluir y la corriente en el circuito
se hace cero. Reemplazando la corriente por cero en la ecuación (1) se sigue que:
ε−
q
= 0 ⇒ Q = Cε
C
La expresión para la carga en función del tiempo se obtiene resolviendo la ecuación diferencial (1), en donde
al hacer la sustitución I = dq/dt se encuentra que:
dq
ε
q
= −
dt
R RC
Separando variables se tiene:
RC
dq
= Cε − q
dt
1
dq
= − dt
q − εC
RC
Integrando se obtiene:
Zq
0
dq
1
=−
q − εC
RC
Zt
dt
0
1
q
ln [q − εC] = − t
0
RC
q − εC
1
ln
=− t
−εC
RC
t
q − εC
= e− RC
−εC
t
q − εC = −εCe− RC
t
q = εC − εCe− RC
t
q(t) = εC(1 − e− RC )
t
q(t) = Q(1 − e− RC )
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
37
La expresión para la corriente en función del tiempo se obtiene a partir de la definición I = dq/dt, así:
I=
dq εC − t
=
e RC
dt
RC
Teniendo en cuenta que I0 = ε/R, se sigue que:
I=
t
dq
= I0 e− RC
dt
Cuando se carga el capacitor y se desconecta la batería, se puede calcular la variación de la carga en función
del tiempo, en el proceso denominado descarga del capacitor, a partir de la ley de voltajes de Kirchhoff, así:
−IR −
q
=0
C
Teniendo en cuenta que se produce una reducción o decrecimiento de la carga, se sigue que la corriente
viene dada por I = −dq/dt, por lo tanto:
q
dq
= −R
C
dt
Separando variables:
dq
1
= − dt
q
RC
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
38
Corriente Y Resistencia Eléctrica
Integrando:
Zq
dq
1
=−
q
RC
Zt
dt
0
Q
[ln q]
t
q
=−
Q
RC
ln q − ln Q = −
ln
1
t
RC
q
1
=− t
Q
RC
t
q
= e− RC
Q
t
q = Qe− RC
La intensidad de corriente en el proceso de descarga está dada por:
I=−
t
t
1
dq
=
Qe− RC = I0 e− RC
dt
RC
En la ecuación anterior la corriente inicial es:
I0 =
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
Q
RC
uts
7
Campos Magnéticos
En el siglo XIII A.C. los chinos utilizaron por primera vez la brújula, que básicamente consta de una aguja
magnética. Los griegos descubrieron en el año 800 A.C. que ciertas piedras como la magnetita (Fe3 O4 )
atraían pedacitos de hierro.
Todo imán tenga la forma que tenga tiene dos polos llamados polo norte y polo sur. Los polos diferentes se
atraen y los polos iguales se repelen. Los polos magnéticos no pueden aislarse es decir no se han podido
encontrar monopolos.
En el año de 1819 Hans Chistian Oersted encontró que una corriente eléctrica en un alambre desviaba una
aguja de una brújula situada en sus proximidades, dando origen a la ciencia del ELECTROMAGNETISMO,
que relaciona efectos eléctricos con efectos magnéticos.
7.1
Campo magnético
El campo magnético se encuentra rodeando cualquier sustancia magnética o cualquier carga móvil.
El campo magnético B puede definirse en términos de la fuerza magnética ejercida sobre un objeto de
prueba apropiado, que puede ser una partícula cargada que se mueve con velocidad v. La fuerza magnética
sobre una partícula cargada viene dada por la siguiente expresión:
~F = q~v × ~B
Esto significa, que el campo magnético se define en términos de la fuerza que actúa sobre la partícula cargada en movimiento. Como puede verse la fuerza magnética es proporcional a la carga q y a la velocidad v
de la partícula. La magnitud y dirección de la fuerza depende de la velocidad de la partícula y de la dirección del campo magnético. La fuerza F es perpendicular al plano formado por v y B. La fuerza magnética
sobre una carga positiva está en dirección opuesta a la dirección de la fuerza sobre una carga negativa que
se mueve en la misma dirección. Si el vector velocidad forma un ángulo θ con el campo magnético, la magnitud de la fuerza es proporcional al sen θ. Un campo magnético estático puede cambiar la dirección de la
velocidad pero no la magnitud de la velocidad o la energía cinética de una partícula cargada.
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
40
Campos Magnéticos
Unidades
La unidad SI del campo magnético es el Weber por metro cuadrado (W B/m2 ) llamado también Tesla (T ).
1T = 1
N
N
Wb
=
=
m2
C · m/s A · m
Otra unidad de uso común es el gauss (G), que se relaciona con el tesla por medio de:
1T = 104 G
En los laboratorios los imanes convencionales pueden producir hasta 2.5T . Los imanes superconductores
que se han construido producen hasta 25T . El campo magnético en puntos cercanos a la superficie de la
tierra es de 0.5 × 10−4 G.
7.2
Fuerza magnética sobre un conductor que conduce corriente
La fuerza magnética sobre una carga q que se mueve con una velocidad de arrastre o velocidad de deriva
vd es qvd × B. Para determinar la fuerza sobre un alambre recto de longitud L multiplicamos la expresión
anterior por el número de cargas nAL del segmento, donde n es el número de cargas por unidad de volumen,
así:
~F = (q~vd × ~B)nAL
Teniendo en cuenta que la corriente en el alambre es I = nqvd A, se sigue que:
~F = I~L × ~B
siendo ~L un vector dirigido en sentido de la corriente I.
Para un alambre de forma arbitraria y de sección transversal uniforme, la fuerza que un campo magnético
B ejerce sobre un segmento muy pequeño de longitud ds es:
Esto significa que la fuerza es máxima cuando B es perpendicular al elemento de corriente Id~s y es cero
cuando B es paralelo al elemento de corriente. Para el caso en el cual el campo magnético B es constante, las
expresiones para la fuerza sobre un lazo abierto y uno cerrado se obtienen por integración y están dadas
respectivamente por:


~F = I 
Zb
d~s × ~B
a
; para lazo abierto
~F = I
I
d~s × ~B
; para lazo cerrado.
Si en el caso de lazo abierto la suma vectorial de todos los vectores de desplazamiento es L? y está dirigido
de a a b, la expresión para la fuerza es:
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
41
~F = I~L0 × ~B
Para el caso del lazo cerrado el conjunto de vectores de desplazamiento forma un polígono cerrado cuya
suma vectorial debe ser cero, es decir,
I
d~s = 0
, por consiguiente F = 0.
7.3
Momento de torsión sobre un lazo de corriente (espira) situado en un
campo magnético
Cuando se tiene una lazo rectangular (o espira rectangular) por el que circula una corriente I y se encuentra
situado en un campo magnético B paralelo al plano del lazo, como se muestra en la figura anexa, las fuerzas
sobre los lados de longitud a son cero, debido a que d~s × ~B = 0. La magnitud de las fuerzas sobre los lados
de longitud b, está dada por:
F1 = F2 = IbB
La fuerza sobre el lazo izquierdo está dirigida hacia fuera del papel y la fuerza sobre el lado derecho está
dirigida hacia adentro del papel. Si suponemos que el lazo rectangular tiene un pivote que le permite girar
en torno al punto O, las dos fuerzas producen un momento de torsión respecto de O que hace girar al lazo
en el sentido de las manecillas del reloj.
La magnitud del momento de torsión, τmáx , es:
a
a
a
a
τmáx = F1 + F2 = (IbB) + (IbB)
2
2
2
2
τmáx = IabB
Puesto que el área del lazo es A = ab, el momento de torsión máximo puede expresarse como:
τmáx = IAB
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
42
Campos Magnéticos
Si el campo magnético forma un ángulo θ con la línea perpendicular al plano del lazo rectangular, como se
muestra en la figura anexa, el momento de torsión alrededor de O tiene la magnitud:
a
a
τ = F1 senθ + F2 senθ
2
2
a
a
τ = IbB senθ + IbB senθ
2
2
τ = IabBsenθ
τ = IABsenθ
En forma vectorial se puede escribir de la siguiente manera:
~τ = I~A × ~B
donde A es un vector perpendicular al plano del lazo rectangular. El sentido de A está determinado por la
regla de la mano derecha según se describe en la figura anexa. Al colocar los dedos de la mano derecha en
la dirección de la corriente en el lazo, el pulgar apunta en la dirección de A.
El producto IA se define como el momento magnético µ del lazo. Es decir:
~µ = I~A
En el SI la unidad del momento magnético es (Am2 ). Con esta definición el momento magnético de torsión
puede definirse como:
~τ =~µ × ~B
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
43
7.4
Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
Cuando la velocidad de una partícula cargada es perpendicular a un campo magnético uniforme, la partícula
se mueve en una trayectoria circular cuyo plano es perpendicular al campo magnético B (ver figura anexa).
De acuerdo con la segunda ley de Newton, se tiene que:
F = qvB =
mv2
r
Despejando r se sigue que:
r=
mv
qB
lo cual indica que el radio de la trayectoria es proporcional a la cantidad de movimiento lineal e inversamente proporcional a la magnitud del campo magnético. La frecuencia angular de la partícula está dada
por:
w=
v qB
=
r
m
El período T está dado por:
T=
2π r 2π 2π m
=
=
v
w
qB
Las expresiones anteriores muestran que la frecuencia angular y el período de movimiento no dependen
de la velocidad de la partícula ni del radio de la órbita.
Cuando una partícula cargada se mueve en un campo magnético uniforme con una velocidad que forma
un ángulo arbitrario con B, su trayectoria es una hélice. Por ejemplo, si el campo está en la dirección x
como se muestra en la figura anexa, no hay componente de la fuerza en dirección de x, y, en consecuencia,
ax = 0 y la componente x de la velocidad permanece constante. Además, la fuerza magnética q~v × ~B hace
que las componentes vx y vy , cambien en el tiempo, y el movimiento resultante es una hélice que tiene su
eje paralelo al campo B. La proyección sobre el plano yz es un círculo y las proyecciones sobre los planos xy
y xz son sinusoides.
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
44
Campos Magnéticos
7.5
Ejercicios resueltos
1. Un lazo rectangular consta de N vueltas enrolladas muy próximas entre sí y tiene dimensiones a y b.
El lazo se articula a lo largo del eje y, y su plano forma un ángulo θ con el eje x (figura anexa). ¿Cuál
es la magnitud del momento de torsión ejercido sobre el lazo por un campo magnético uniforme B
dirigido a lo largo del eje x cuando la corriente es I en la dirección indicada?. ¿Cuál es la dirección
esperada de rotación del lazo?
Solución
Para el caso de una sola espira el momento de torsión está dado por:
~τ =~r × ~F
dónde:
~r = a(cos θ x̂ + senθ ẑ)
Y
F = IbB(ẑ)
Debe tenerse en cuenta que la fuerza sobre el lado superior de la espira se anula con la fuerza sobre el
lado inferior de la espira y además la fuerza sobre el lado izquierdo de la espira no produce momento
de torsión con respecto al eje y puesto que el brazo de palanca es nulo. Luego el momento de torsión
con respecto al eje y es:
~τ = a(cos θ x̂ + senθ ẑ) × IbB(ẑ)
~τ = abIB cos θ (−ŷ).
Luego la magnitud del momento de torsión es:
τ = abIB cos θ
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
45
Para el caso de N espiras el momento de torsión aumenta N veces, entonces:
τ = NabIB cos θ
Como el momento de fuerza va dirigido en sentido de ?y significa que la espira rota en sentido horario
vista por observador situado encima de la espira.
2. Un electrón choca con un segundo electrón inicialmente en reposo. Después del choque, los radios
de sus trayectorias son 1.0cm y 2.4cm. Las trayectorias son perpendiculares a un campo magnético
uniforme de 0.044T de magnitud. Determine la energía (en KeV) del electrón incidente.
Solución
La expresión para la energía cinética de una partícula es:
1
K = mv2
2
Cuando un electrón ingresa a la región donde hay campo magnético, éste ejerce sobre la partícula una
fuerza igual a la fuerza centrípeta, luego:
Ber
B2 e2 r2
mv2
= evB ⇒ v =
⇒ v2 =
r
m
m2
Luego:
2 2 2
1
B e r
B2 e2 r2
K= m
=
2
2
m
2m
Insertando los valores dados se obtiene:
2
K=
2
(0.044T )2 (1.6 × 10−19C) (2.4 × 10−2 m)
2(9.1 × 10−31 kg)
−14
K = 1.56 × 10
J
1keV
1.6 × 10−16 J
= 98.03393keV
Análogamente para el otro electrón se tiene
2
K=
2
(0.044T )2 (1.6 × 10−19C) (1.0 × 10−2 m)
2(9.1 × 10−31 kg)
K = 17.01978 keV
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
8
Ley De Faraday
Experimentos llevados a cabo por Michael Faraday en Inglaterra en 1831 e independientemente por Joseph
Henry en los Estados Unidos en el mismo año, demostraron que una corriente eléctrica podría ser inducida
en un circuito por un campo magnético variable.
La ley de inducción de Faraday establece que:
La magnitud de la fem inducida en un circuito es igual a la razón de cambio del flujo magnético a través del circuito.
8.1
Ley de inducción de Faraday
La fem inducida en un circuito es directamente proporcional a la rapidez de cambio del flujo magnético a través del
circuito.
E
Este enunciado se puede expresar analíticamente mediante ε = − dϕ
dt donde ε es la f em inducida y φE es el
flujo eléctrico, que puede expresarse como
Z
ϕE =
→
→
− −
B · dA
Si el circuito consta de N espiras, la f em inducida es:
ε = −N
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
dϕE
dt
uts
47
Figura 1.1.1
Consideremos una espira conductora de área A en presencia de un campo magnético uniforme B, el cual
forma un ángulo θ con la normal a la espira como se indica en la figura 1.1.1, en este caso, el flujo a través
de la espira es BA cos θ y la f em inducida puede expresarse como:
ε=−
d
(BA cos θ)
dt
De esta expresión, se ve que la f em puede ser inducida en el circuito de varias formas:
1. Variando la magnitud de B con respecto al tiempo.
2. Variando el área con respecto al tiempo.
→
−
3. Cambiando el ángulo θ entre B y la normal al plano con respecto al tiempo, y
4. Cualquier combinación de éstas.
8.2
FEM de movimiento
−
Consideremos una barra conductora recta de longitud l moviéndose con una velocidad →
v a través de un
→
−
→
−
campo magnético B dirigido perpendicularmente a v . Una f em igual a Blv se induce entre los extremos
de la barra, veámoslo:
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
48
Ley De Faraday
Figura 1.2.1
Los electrones en el conductor experimentarán una fuerza magnética a lo largo del conductor dada por
−
→
→
−
−
Fm = q→
v × B , que producirá el desplazamiento de los electrones hacia el extremo inferior del conductor
dejando una carga neta positiva en el extremo superior. Debido a la separación de las cargas se produce
un campo eléctrico en el interior del conductor produciendo una fuerza eléctrica sobre los electrones dada
→
−
→
−
por Fe = q E dirigida hacia arriba. En el momento en que la fuerza magnética es balanceada por la fuerza
eléctrica, las cargas dejan de fluir y la condición de equilibrio requerida es:
Fm = Fe
⇒ qvB = qE
⇒ vB = E
La relación entre el campo eléctrico y la diferencia de potencial entre los extremos del conductor es:
V = El = vBl
donde el extremo superior está a mayor potencial que el extremo inferior.
Cuando el conductor en movimiento es parte de una trayectoria conductora cerrada, como el circuito
mostrado en la figura 1.2.2, que consta de una barra conductora de longitud l deslizándose a lo largo de
dos rieles conductores paralelos, el cálculo de la f em inducida, de la corriente inducida y de la potencia se
efectúa de la siguiente manera:
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
49
Figura 1.2.2
−
Barra conductora deslizándose con velocidad →
v a lo largo de dos rieles conductores por acción de una
−→
fuerza aplicada Fap .
Un campo magnético B uniforme y constante se aplica al plano del circuito. Cuando la barra se jala hacia
−→
−
la derecha con una velocidad variable →
v por la influencia de una fuerza aplicada Fap , las cargas libres de
la barra experimentarán una fuerza magnética a lo largo de la longitud de la barra. Esta fuerza a su vez
produce una corriente inducida, puesto que la rapidez de cambio de flujo magnético a través de la espira y
por ende la f em inducida es proporcional al cambio de área de la espira que se produce cuando la barra se
mueve a través del campo magnético.
El flujo magnético externo a través del circuito está dado por ϕm = Blx , siendo lx el área del circuito en
cualquier instante.
De la ley de Faraday se sigue que la f em inducida es:
ε=−
dϕm
d
dx
= − (Blx) = −Bl
= −Blv
dt
dt
dt
Si la resistencia del circuito es R, la magnitud de la corriente inducida está dada por:
I=
|ε| Blv
=
R
R
La potencia disipada por la fuerza aplicada es:
P = Fap v = (IlB)v =
B2 l 2 v2
R
Esta potencia mecánica es igual a la potencia eléctrica Iε suministrada por la f em inducida y también es
igual a la rapidez con que se disipa energía en la resistencia, I 2 R.
Ejemplos
Ejemplo 1. Fem Inducida en una Barra que Gira.
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
50
Ley De Faraday
Una barra conductora de longitud l gira con una velocidad w alrededor de un pivote fijo en su extremo. Un
→
−
campo magnético uniforme B está dirigido perpendicularmente al plano de rotación, como se muestra en
la figura 1.3.1.
Encuentre la f em inducida entre los extremos de la barra.
Figura 1.3.1
Solución
Considérese un segmento de barra de longitud dr que se mueve con velocidad v.
La f em inducida en el conductor está dada por:
dε = Bvdr
Z
ε=
Bvdr
Teniendo en cuenta que la velocidad lineal v esta relacionada con la velocidad angular w mediante: v = wr
y que además B y w son constantes se sigue que:
Zl
Z
ε=B
vdr = Bw
1
rdr = Bwl 2
2
0
Ejemplo 2. Fuerza Magnética sobre una Barra que se Desliza.
Una barra de masa m y longitud l se mueve sobre dos rieles paralelos, en presencia de un campo magnético
dirigido hacia dentro de la página. Si se le imprime a la barra una velocidad inicial v0 hacia la derecha y
después se libera. Encuéntrese la velocidad de la barra como una función del tiempo.
Figura 1.3.2
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
51
Solución
La corriente inducida circula en sentido contrario a las manecillas del reloj y la fuerza magnética es Fm =
−IlB, donde el signo negativo denota que la fuerza está hacia la izquierda y retarda el movimiento.
De la segunda ley de Newton
Fx = ma = m
dv
= −IlB
dt
Como la corriente inducida está dada por la ecuación I =
Fx = −
Bvl
R ,
entonces:
Bvl
B2 vl 2
dv
· lB = −
=m
R
R
dt
⇒
2 2
B l
dv
=−
dt
v
mR
Integrando esta última ecuación, utilizando como condiciones iniciales v = v0 , para t = 0, se encuentra que:
Zv
v0
siendo
B2 l 2
t
dv
=−
t =−
v
mR
τ
mR
B2 l 2
v
t
⇒ ln
=−
v0
τ
τ=
t
v = v0 e− τ
La f em inducida viene dada por:
t
ε = IR = Blv0 e− τ ,
y la corriente inducida viene dada por:
t
I=
Blv Blv Blv0 e− τ
=
=
R
R
R
.
8.3
Ley de Lenz
La ley de Lenz establece que:
La polaridad de la f em inducida produce una corriente que crea un flujo magnético que se opone al cambio en el flujo
magnético a través del circuito.
Considérese un imán de barra que se mueve hacia la derecha introduciéndose en una espira estacionaria,
como se muestra en la figura 1.4.1.
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
52
Ley De Faraday
Figura 1.4.1
a. Cuando el imán se mueve, en la espira conductora estacionaria se induce una corriente en la dirección
mostrada.
b. Esta corriente inducida produce su propio flujo hacia la izquierda para contrarrestar el incremento
del flujo externo hacia la derecha.
Aplicación de la Ley de Lenz:
La figura 1.4.2. muestra una barra que se hala horizontalmente a través de un par de rieles paralelos por
una cuerda (se supone que sin masa) que pasa sobre una polea ideal a la cual está sujeta y suspendida una
masa M. El campo magnético uniforme tiene una magnitud B, la barra deslizante tiene una masa m y la
distancia entre los rieles es l. Los rieles son conectados en uno de sus extremos por una resistencia de carga
R. Deduzca una expresión que dé el valor de la velocidad horizontal como función del tiempo, suponiendo
que la masa suspendida se dejó caer cuando la barra está en reposo para t = 0. Suponga que no hay fricción
entre la barra y los rieles.
Figura 1.4.2
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
53
Solución
←−−−−−
Fm = mg
De la cinemática se sabe que la posición de la barra en función del tiempo es:
1
x = v0t + at 2
2
Teniendo en cuenta que la aceleración es a = Mg/m, se sigue que:
x=
1 Mg 2
t
2 m
De la definición de f em:
dϕ
d
=−
ε=−
dt
dt
Z
→
→
− −
B · dA
Pero A = lvt, entonces:
d
lvt = −Blv
dt
d 1 Mg 2
ε = −β l
t
dt 2 m
ε = −β
ε = −β
l Mg
t
2 m
La velocidad está dada por:
v=−
v=−
ε
Bl
− B626l Mg
m t
B6l
Simplificando se obtiene:
v=−
Mg
t
2m
De la segunda ley de Newton:
ΣF = ma :
µg − Ilβ = ma
Reemplazando el valor de I, se obtiene:
ε
µg − lβ = ma
R
β2 l 2 µg t
= ma
2 mR
β2 l 2 t
dv
µg 1 +
=m
2 mR
dt
µg
β2 l 2 t
dv =
1+
dt
m
2 mR
µg +
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
54
Ley De Faraday
Zt
Zv
dv =
µg
β2 l 2 t
1+
dt
m
2 mR
0
0
Mg
Mg
t2
t + 2 B2 l 2
m
m R
2
v=
dv =
εBd
dt
mR
dv =
εBd
mR
Z
Z
dv = −
v
v0
dt
vd 2 B2
t
mR
ln v]vv0 = −
ln
Z
d 2 B2
t
mR
=−
d 2 B2
t
mR
d 2 B2
v
= e− mR t
v0
v = v0 e−
d 2 B2 t
mR
,
que indica claramente que v decrece con el tiempo.
8.4
FEM inducidas y campos eléctricos
Consideremos una espira de radio r situada en un campo magnético uniforme que es perpendicular al
plano de la espira como se muestra en la figura 1.5.1.
m
Si el campo magnético cambia en el tiempo, se induce en la espira una f em dada por: ε = − dϕ
dt .
La corriente inducida implica la aparición de un campo eléctrico E, tangente a la espira. El trabajo que se
realiza para mover una carga de prueba q alrededor de la espira es igual a qε. El trabajo realizado por fuerza
eléctrica sobre la carga eléctrica está dado por qE (2πr),donde 2πr es la longitud de la circunferencia de la
espira. Luego igualando las dos expresiones para el trabajo se sigue que:
qε = qE (2πRr)
E=
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
ε
2πr
uts
55
Figura 1.5.1
m
2
Teniendo en cuenta que ε = − dϕ
dt , siendo ϕm = BA = πr B, se encuentra que el campo eléctrico inducido
puede expresarse como:
E =−
r dB
1 dϕm
=−
2πr dt
2 dt
El signo menos indica que el campo eléctrico inducido E se opone al cambio del campo magnético.
−
→
− →
En general, la f em para cualquier trayectoria cerrada puede ser expresada como la integral de línea E · dl
sobre la trayectoria.
I
ε=
−
dϕm
→
− →
E · dl = −
dt
→
−
Obsérvese que el campo eléctrico inducido E que aparece en la ecuación anterior no es conservativo, varía
en el tiempo y es generado por la variación de un campo magnético.
Campo Eléctrico Debido a un Solenoide:
Un largo solenoide de radio R tiene n vueltas por unidad de longitud y conduce una corriente que varía en
el tiempo sinusoidalmente I = I0 cos ωt,,donde I0 es la máxima corriente y w es la frecuencia angular de la
fuente de corriente como se aprecia en la figura 1.5.2.
Ejemplos:
a. Determine el campo eléctrico fuera del solenoide, a una distancia r de su eje.
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
56
Ley De Faraday
Figura 1.5.2
Solución.
I
~E · d~l = − dϕ = − d β π R2 = −π R2 dB
dt
dt
dt
dB
dt
dB
N d
B = µ0 nI ⇒
= µ0
I0 cos ωt
dt
e dt
N d
B = µ0
I0 senωt
e dt
ε (2π r) = −π R2
ε (2π r) = −π R2 µ0 nI0
ε=
d
(cos ωt) = π R2 µ0 nI0 ωsenωt
dt
µ0 nI0 ωR2
senωt
2r
r>R
b. Cual es el campo eléctrico dentro del solenoide a una distancia r de su eje.
ε (2π r) = πR2 µ0 nI0 ωsenωt ⇒ E =
µ0 nI0 rsenωt
2
r<R
8.5
Generadores y motores
Los generadores y motores son dispositivos que operan por el principio de inducción electromagnética. El
generador de corriente alterna (o generador de AC ),es un dispositivo que convierte la energía mecánica
en energía eléctrica. Un generador de AC consta de una bobina de alambre que se hace girar dentro de
un campo magnético. Cuando la espira gira, el flujo magnético a través de esta cambia con el tiempo,
induciendo una f em y una corriente en un circuito externo. Supóngase que la bobina tiene N espiras de
área A y que gira con velocidad angular w. Si θ es el ángulo entre el campo magnético y la normal al plano
de la espira como en la figura (1.6.1), entonces el flujo magnético a través de la espira en cualquier instante
t está dado por:
ϕm = BA cos θ = BA cos ωt
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
57
Figura 1.6.1
Bobina con N espiras de área A que gira con velocidad angular w dentro de un campo magnético B. La f em
inducida varía sinusoidalmente en el tiempo.
Donde se ha utilizado la relación entre el desplazamiento angular y la velocidad angular θ = ωt. Por lo tanto
la f em inducida en la bobina está dada por:
ε = −N
d
dϕm
= −NAB (cos ωt) = NAB cos ωt
dt
dt
De la ecuación anterior se ve que la f em tiene un valor máximo εmax = NABω. El cual ocurre cuando θ = 900
o θ = 2700 . La f em es nula cuando ωt = 0 o 1800 . La frecuencia de los generadores comerciales es por lo
general de 60Hz.
Los motores son dispositivos que convierten la energía eléctrica en energía mecánica. Se suministra corriente a la bobina por la medio de una batería y el momento de torsión que actúa sobre la bobina provoca
la rotación. A medida que la bobina gira, el flujo variable induce una f em en ella; esta f em siempre actúa
para reducir la corriente en la bobina. Esta contra f em aumenta en magnitud con el aumento de la rapidez
rotacional de la bobina.
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
58
Ley De Faraday
8.6
Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell para el espacio libre, en forma integral, son:
1. Ley de Gauss para el campo eléctrico:
I
→ Q
→
− −
E · dA =
ε0
(1)
2. Ley de Gauss para el campo magnético:
I
→
→
− −
B · dA = 0 (2)
3. Ley de Faraday - Henry :
I
−
dϕm
→
− →
E · dl = −
dt
(3)
4. Ley de Ampere- Maxwell:
I
−
dϕe
→
−→
B dl = µ0 I + µ0 ε0
dt
(4)
La ecuación (1) establece que el flujo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga
neta dentro de la superficie dividida entre la constante ε0 .
La ecuación (2) establece que el flujo magnético total a través de una superficie cerrada es cero.
La ecuación (3) describe la relación entre un campo eléctrico y un flujo magnético variable. Como consecuencia de la ley de inducción de la Ley de Faraday se induce una corriente en una bobina conductora
colocada dentro de un campo magnético que varía en el tiempo.
La ecuación (4) describe la relación entre los campos eléctrico y magnético y las corrientes eléctricas.
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas
uts
Bibliografía
[1] Serway Raymond, 2008. FÍSICA para ciencias e ingeniería, Cengage Learnig, 7a Edición.
[2] Hans Ohanian, 2000. FÍSICA para ingeniería y ciencias, Mc Graw Hill, 2a Edición.
[3] William Hayt, 2000. Teoría Electromagnética, Mc Graw Hill, 7a Edición.
[4] Sears y Zemansky, 2009. FÍSICA para ingeniería y ciencias, Addison-Wesley, 12a Edición, Vol 2.
uts
Electromagnetismo
Departamento de Ciencias Básicas