Modelos Estocásticos para los Sistemas Pensionales de Prestación Definida y de Ahorro Individual Dı́a 1 : Rentas Vitalicias . Minicurso para el IX Coloquio Internacional de Estadı́stica “Métodos Estadı́sticos Aplicados a Finanzas y Salud” Medellı́n, Junio 29 - Julio 2, 2012 Norman Giraldo Escuela de Estadı́stica Universidad Nacional de Colombia 1 /32 Contenido del Minicurso 1. Dı́a 1 1.1 Supervivencia Actuarial. 1.2 Sistemas de Amortización. 1.3 Rentas Vitalicias. 2. Dı́a 2: Sistemas Pensionales de Prestación Definida. 3. Dı́a 3: Modelo Actuarial para el Sistema de Retiro Programado. 2 /32 Contenido del Minicurso 1. Dı́a 1 1.1 Supervivencia Actuarial. 1.2 Sistemas de Amortización. 1.3 Rentas Vitalicias. 2. Dı́a 2: Sistemas Pensionales de Prestación Definida. 3. Dı́a 3: Modelo Actuarial para el Sistema de Retiro Programado. 2 /32 Contenido del Minicurso 1. Dı́a 1 1.1 Supervivencia Actuarial. 1.2 Sistemas de Amortización. 1.3 Rentas Vitalicias. 2. Dı́a 2: Sistemas Pensionales de Prestación Definida. 3. Dı́a 3: Modelo Actuarial para el Sistema de Retiro Programado. 2 /32 Contenido del Minicurso 1. Dı́a 1 1.1 Supervivencia Actuarial. 1.2 Sistemas de Amortización. 1.3 Rentas Vitalicias. 2. Dı́a 2: Sistemas Pensionales de Prestación Definida. 3. Dı́a 3: Modelo Actuarial para el Sistema de Retiro Programado. 2 /32 Contenido del Minicurso 1. Dı́a 1 1.1 Supervivencia Actuarial. 1.2 Sistemas de Amortización. 1.3 Rentas Vitalicias. 2. Dı́a 2: Sistemas Pensionales de Prestación Definida. 3. Dı́a 3: Modelo Actuarial para el Sistema de Retiro Programado. 2 /32 Contenido del Minicurso 1. Dı́a 1 1.1 Supervivencia Actuarial. 1.2 Sistemas de Amortización. 1.3 Rentas Vitalicias. 2. Dı́a 2: Sistemas Pensionales de Prestación Definida. 3. Dı́a 3: Modelo Actuarial para el Sistema de Retiro Programado. 2 /32 Objetivos del Cursillo 1. Introducir algunos elementos actuariales, matemáticos, etc. que puedan contribuı́r a esclarecer la difı́cil discusión en torno a la viabilidad ó nó del sistema público pensional y a si el sistema RAIS es realmente un sistema que puede proveer una pensión digna para la mayorı́a de los jubilados. 2. Definir los elementos de los sistemas públicos de pensiones para compararlos con las nuevas figuras pensionales, con base en inversiones en el mercado de renta variables. 3. Buscamos señalar algunos desarrollos recientes, sin entrar en detalles, como por ejemplo, el uso de técnicas de control óptimo para administración de fondos pensionales, que puedan servir como criterios para establecer la viabilidad de estos sistemas. 3 /32 Objetivos del Cursillo 1. Introducir algunos elementos actuariales, matemáticos, etc. que puedan contribuı́r a esclarecer la difı́cil discusión en torno a la viabilidad ó nó del sistema público pensional y a si el sistema RAIS es realmente un sistema que puede proveer una pensión digna para la mayorı́a de los jubilados. 2. Definir los elementos de los sistemas públicos de pensiones para compararlos con las nuevas figuras pensionales, con base en inversiones en el mercado de renta variables. 3. Buscamos señalar algunos desarrollos recientes, sin entrar en detalles, como por ejemplo, el uso de técnicas de control óptimo para administración de fondos pensionales, que puedan servir como criterios para establecer la viabilidad de estos sistemas. 3 /32 Objetivos del Cursillo 1. Introducir algunos elementos actuariales, matemáticos, etc. que puedan contribuı́r a esclarecer la difı́cil discusión en torno a la viabilidad ó nó del sistema público pensional y a si el sistema RAIS es realmente un sistema que puede proveer una pensión digna para la mayorı́a de los jubilados. 2. Definir los elementos de los sistemas públicos de pensiones para compararlos con las nuevas figuras pensionales, con base en inversiones en el mercado de renta variables. 3. Buscamos señalar algunos desarrollos recientes, sin entrar en detalles, como por ejemplo, el uso de técnicas de control óptimo para administración de fondos pensionales, que puedan servir como criterios para establecer la viabilidad de estos sistemas. 3 /32 Introducción: Dı́a 1 1. El objetivo de este capı́tulo consistes en definir qué es una renta vitalicia, desde el punto de vista financiero y desde el punto de vista actuarial. 2. Elementos básicos: las distribuciones de supervivencia, sistemas de amortización de un crédito y vehı́culos de financiamiento de las anualidades. 3. Ingredientes: ec. dif. + ing.fin. + prob. 4 /32 Introducción: Dı́a 1 1. El objetivo de este capı́tulo consistes en definir qué es una renta vitalicia, desde el punto de vista financiero y desde el punto de vista actuarial. 2. Elementos básicos: las distribuciones de supervivencia, sistemas de amortización de un crédito y vehı́culos de financiamiento de las anualidades. 3. Ingredientes: ec. dif. + ing.fin. + prob. 4 /32 Introducción: Dı́a 1 1. El objetivo de este capı́tulo consistes en definir qué es una renta vitalicia, desde el punto de vista financiero y desde el punto de vista actuarial. 2. Elementos básicos: las distribuciones de supervivencia, sistemas de amortización de un crédito y vehı́culos de financiamiento de las anualidades. 3. Ingredientes: ec. dif. + ing.fin. + prob. 4 /32 Distribuciones de Supervivencia ◮ Para valorar una renta vitalicia es necesario determinar la probabilidad de supervivencia de una vida de edad x. ◮ Tal probabilidad depende del modelo de mortalidad humana que se adopte. ◮ Modelos para la mortalidad humana: tablas de mortalidad. ◮ Distribuciones de superviencia: DeMoivre (1725) , Gompertz-Makeham (1825,1860), Lee-Carter (1992) (1 ) 1 Lee, R.D., Carter, L.R. (1992) Modelling and Forecasting U.S. Mortality. JASA 87, 659-671. 5 /32 Distribuciones de Supervivencia ◮ Para valorar una renta vitalicia es necesario determinar la probabilidad de supervivencia de una vida de edad x. ◮ Tal probabilidad depende del modelo de mortalidad humana que se adopte. ◮ Modelos para la mortalidad humana: tablas de mortalidad. ◮ Distribuciones de superviencia: DeMoivre (1725) , Gompertz-Makeham (1825,1860), Lee-Carter (1992) (1 ) 1 Lee, R.D., Carter, L.R. (1992) Modelling and Forecasting U.S. Mortality. JASA 87, 659-671. 5 /32 Distribuciones de Supervivencia ◮ Para valorar una renta vitalicia es necesario determinar la probabilidad de supervivencia de una vida de edad x. ◮ Tal probabilidad depende del modelo de mortalidad humana que se adopte. ◮ Modelos para la mortalidad humana: tablas de mortalidad. ◮ Distribuciones de superviencia: DeMoivre (1725) , Gompertz-Makeham (1825,1860), Lee-Carter (1992) (1 ) 1 Lee, R.D., Carter, L.R. (1992) Modelling and Forecasting U.S. Mortality. JASA 87, 659-671. 5 /32 Distribuciones de Supervivencia ◮ Para valorar una renta vitalicia es necesario determinar la probabilidad de supervivencia de una vida de edad x. ◮ Tal probabilidad depende del modelo de mortalidad humana que se adopte. ◮ Modelos para la mortalidad humana: tablas de mortalidad. ◮ Distribuciones de superviencia: DeMoivre (1725) , Gompertz-Makeham (1825,1860), Lee-Carter (1992) (1 ) 1 Lee, R.D., Carter, L.R. (1992) Modelling and Forecasting U.S. Mortality. JASA 87, 659-671. 5 /32 Vida remanente ◮ Denotamos por X una variable aleatoria continua que represente el tiempo en años que habrá de vivir una persona recién nacida. ◮ La vida remanente de una persona de edad x se define como la variable T (x) = X − x|X > x. ◮ Su función de distribución acumulada está dada por: G(t) := P (T (x) ≤ t) = P (X ≤ x + t|X > x) (1) Y su función de densidad está dada por: g(t) := 6 /32 f (x + t) 1 − F (x) (2) Vida remanente ◮ Denotamos por X una variable aleatoria continua que represente el tiempo en años que habrá de vivir una persona recién nacida. ◮ La vida remanente de una persona de edad x se define como la variable T (x) = X − x|X > x. ◮ Su función de distribución acumulada está dada por: G(t) := P (T (x) ≤ t) = P (X ≤ x + t|X > x) (1) Y su función de densidad está dada por: g(t) := 6 /32 f (x + t) 1 − F (x) (2) Vida remanente ◮ Denotamos por X una variable aleatoria continua que represente el tiempo en años que habrá de vivir una persona recién nacida. ◮ La vida remanente de una persona de edad x se define como la variable T (x) = X − x|X > x. ◮ Su función de distribución acumulada está dada por: G(t) := P (T (x) ≤ t) = P (X ≤ x + t|X > x) (1) Y su función de densidad está dada por: g(t) := 6 /32 f (x + t) 1 − F (x) (2) La notación actuarial ◮ La notación actuarial es t qx = G(t), (3) t px = 1 − t qx = P(T (x) ≥ t). (4) Además, 0 qx = G(0) = 0 y 0 px = 1. ◮ La función t px es clave para el cálculo de las rentas vitalicias. 10 q23 5 p30 = 0.115 = probabilidad de (23) no sobreviva 10 años = 0.833 = probabilidad de (30) sobreviva 5 años 7 /32 La notación actuarial ◮ La notación actuarial es t qx = G(t), (3) t px = 1 − t qx = P(T (x) ≥ t). (4) Además, 0 qx = G(0) = 0 y 0 px = 1. ◮ La función t px es clave para el cálculo de las rentas vitalicias. 10 q23 5 p30 = 0.115 = probabilidad de (23) no sobreviva 10 años = 0.833 = probabilidad de (30) sobreviva 5 años 7 /32 La notación actuarial ◮ La notación actuarial es t qx = G(t), (3) t px = 1 − t qx = P(T (x) ≥ t). (4) Además, 0 qx = G(0) = 0 y 0 px = 1. ◮ La función t px es clave para el cálculo de las rentas vitalicias. 10 q23 5 p30 = 0.115 = probabilidad de (23) no sobreviva 10 años = 0.833 = probabilidad de (30) sobreviva 5 años 7 /32 La notación actuarial ◮ La notación actuarial es t qx = G(t), (3) t px = 1 − t qx = P(T (x) ≥ t). (4) Además, 0 qx = G(0) = 0 y 0 px = 1. ◮ La función t px es clave para el cálculo de las rentas vitalicias. 10 q23 5 p30 = 0.115 = probabilidad de (23) no sobreviva 10 años = 0.833 = probabilidad de (30) sobreviva 5 años 7 /32 Intensidad ó Fuerza de Mortalidad ◮ La intensidad de mortalidad se define como: P(t ≤ T (x) < t + h|T (x) > t) h→0+ h µx+t = lim (5) mide el riesgo de fallecer en un intervalo de tiempo muy pequeño [t, t + h), para una vida (x), dado que se sobrevive t años. ◮ Relaciones básicas µx+t = − t px ◮ d ln(t px ), dt R = e− t 0 µx+s ds La función µx+t es la base para los modelos paramétricos, para: hombre, mujer, inválidos, válidos. 8 /32 (6) (7) Intensidad ó Fuerza de Mortalidad ◮ La intensidad de mortalidad se define como: P(t ≤ T (x) < t + h|T (x) > t) h→0+ h µx+t = lim (5) mide el riesgo de fallecer en un intervalo de tiempo muy pequeño [t, t + h), para una vida (x), dado que se sobrevive t años. ◮ Relaciones básicas µx+t = − t px ◮ d ln(t px ), dt R = e− t 0 µx+s ds La función µx+t es la base para los modelos paramétricos, para: hombre, mujer, inválidos, válidos. 8 /32 (6) (7) Intensidad ó Fuerza de Mortalidad ◮ La intensidad de mortalidad se define como: P(t ≤ T (x) < t + h|T (x) > t) h→0+ h µx+t = lim (5) mide el riesgo de fallecer en un intervalo de tiempo muy pequeño [t, t + h), para una vida (x), dado que se sobrevive t años. ◮ Relaciones básicas µx+t = − t px ◮ d ln(t px ), dt R = e− t 0 µx+s ds La función µx+t es la base para los modelos paramétricos, para: hombre, mujer, inválidos, válidos. 8 /32 (6) (7) La Distribución Gompertz-Makeham ◮ La distribución Gompertz-Makeham se define a partir de la fuerza de mortalidad colocando µx+t = a + b cx+t , (8) con a > 0, a + b > 0 y c > 1 ◮ ◮ ◮ El parámetro a mide la fuerza constante de mortalidad por riesgo de accidente El término b cx+t es la fuerza de mortalidad por envejecimiento. La probabilidad de (x) sobrevivir hasta la edad x+t es: t px = e− Rt 0 µx+s ds = sx g c donde s = e−a , g = exp(−b/ ln(c)). 9 /32 x (ct −1) (9) La Distribución Gompertz-Makeham ◮ La distribución Gompertz-Makeham se define a partir de la fuerza de mortalidad colocando µx+t = a + b cx+t , (8) con a > 0, a + b > 0 y c > 1 ◮ ◮ ◮ El parámetro a mide la fuerza constante de mortalidad por riesgo de accidente El término b cx+t es la fuerza de mortalidad por envejecimiento. La probabilidad de (x) sobrevivir hasta la edad x+t es: t px = e− Rt 0 µx+s ds = sx g c donde s = e−a , g = exp(−b/ ln(c)). 9 /32 x (ct −1) (9) La Distribución Gompertz-Makeham ◮ La distribución Gompertz-Makeham se define a partir de la fuerza de mortalidad colocando µx+t = a + b cx+t , (8) con a > 0, a + b > 0 y c > 1 ◮ ◮ ◮ El parámetro a mide la fuerza constante de mortalidad por riesgo de accidente El término b cx+t es la fuerza de mortalidad por envejecimiento. La probabilidad de (x) sobrevivir hasta la edad x+t es: t px = e− Rt 0 µx+s ds = sx g c donde s = e−a , g = exp(−b/ ln(c)). 9 /32 x (ct −1) (9) La Distribución Gompertz-Makeham ◮ La distribución Gompertz-Makeham se define a partir de la fuerza de mortalidad colocando µx+t = a + b cx+t , (8) con a > 0, a + b > 0 y c > 1 ◮ ◮ ◮ El parámetro a mide la fuerza constante de mortalidad por riesgo de accidente El término b cx+t es la fuerza de mortalidad por envejecimiento. La probabilidad de (x) sobrevivir hasta la edad x+t es: t px = e− Rt 0 µx+s ds = sx g c donde s = e−a , g = exp(−b/ ln(c)). 9 /32 x (ct −1) (9) Ejemplos de probabilidades con G-M ◮ La Superfinanciera en 2010 modificó las Tablas de Vida vigentes, elaboradas con base en la experiencia del ISS para 1980-1989, y las reemplazó por tablas con base en la experiencia de las Aseguradoras durante 2000-2008. ◮ Se ajustaron distribuciones G-M a estas tablas, para hombres y mujeres, y resultaron 4 distribuciones. Al calcular 33 p62 con éstas se obtiene los resultados ISS H 80-89 0.1503363 ISS M 80-89 0.1110357 Aseg H 2010 0.2130193 Aseg M 2010 0.2010437 10 /32 Ejemplos de probabilidades con G-M ◮ La Superfinanciera en 2010 modificó las Tablas de Vida vigentes, elaboradas con base en la experiencia del ISS para 1980-1989, y las reemplazó por tablas con base en la experiencia de las Aseguradoras durante 2000-2008. ◮ Se ajustaron distribuciones G-M a estas tablas, para hombres y mujeres, y resultaron 4 distribuciones. Al calcular 33 p62 con éstas se obtiene los resultados ISS H 80-89 0.1503363 ISS M 80-89 0.1110357 Aseg H 2010 0.2130193 Aseg M 2010 0.2010437 10 /32 Ejemplos de probabilidades con G-M ◮ La Superfinanciera en 2010 modificó las Tablas de Vida vigentes, elaboradas con base en la experiencia del ISS para 1980-1989, y las reemplazó por tablas con base en la experiencia de las Aseguradoras durante 2000-2008. ◮ Se ajustaron distribuciones G-M a estas tablas, para hombres y mujeres, y resultaron 4 distribuciones. Al calcular 33 p62 con éstas se obtiene los resultados ISS H 80-89 0.1503363 ISS M 80-89 0.1110357 Aseg H 2010 0.2130193 Aseg M 2010 0.2010437 10 /32 Ejemplos de probabilidades con G-M ◮ La Superfinanciera en 2010 modificó las Tablas de Vida vigentes, elaboradas con base en la experiencia del ISS para 1980-1989, y las reemplazó por tablas con base en la experiencia de las Aseguradoras durante 2000-2008. ◮ Se ajustaron distribuciones G-M a estas tablas, para hombres y mujeres, y resultaron 4 distribuciones. Al calcular 33 p62 con éstas se obtiene los resultados ISS H 80-89 0.1503363 ISS M 80-89 0.1110357 Aseg H 2010 0.2130193 Aseg M 2010 0.2010437 10 /32 Ejemplos de probabilidades con G-M ◮ La Superfinanciera en 2010 modificó las Tablas de Vida vigentes, elaboradas con base en la experiencia del ISS para 1980-1989, y las reemplazó por tablas con base en la experiencia de las Aseguradoras durante 2000-2008. ◮ Se ajustaron distribuciones G-M a estas tablas, para hombres y mujeres, y resultaron 4 distribuciones. Al calcular 33 p62 con éstas se obtiene los resultados ISS H 80-89 0.1503363 ISS M 80-89 0.1110357 Aseg H 2010 0.2130193 Aseg M 2010 0.2010437 10 /32 Ejemplos de probabilidades con G-M ◮ La Superfinanciera en 2010 modificó las Tablas de Vida vigentes, elaboradas con base en la experiencia del ISS para 1980-1989, y las reemplazó por tablas con base en la experiencia de las Aseguradoras durante 2000-2008. ◮ Se ajustaron distribuciones G-M a estas tablas, para hombres y mujeres, y resultaron 4 distribuciones. Al calcular 33 p62 con éstas se obtiene los resultados ISS H 80-89 0.1503363 ISS M 80-89 0.1110357 Aseg H 2010 0.2130193 Aseg M 2010 0.2010437 10 /32 1.0 1.0 Probabilidades de Supervivencia hombres: ISS 80−89 mujeres: ISS 80−89 0.6 prob supervivencia 0.0 0.2 0.4 0.6 0.4 0.0 0.2 prob supervivencia 0.8 mujeres: ISS 2010 0.8 hombres: ISS 2010 60 70 80 edad 90 100 60 70 80 90 100 edad Figure: Comparación de Probabilidades de Supervivencia 11 /32 Sistemas de Amortización. Método continuo. ◮ En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral para plantear los sistemas de amortización y pensiones = Método continuo ◮ Un sistema pensional se puede ver como un sistema de amortización de un crédito. ◮ Un sistema de amortización de un crédito con capitalización continua, en el perı́odo [0, T ], requiere las variables . Vt = el saldo de la deuda al tiempo t. . δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó constante, Rt . 0 Vs δ(s)ds = los intereses más capital generados en [0, t] . B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas, Rt . 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0, t]. 12 /32 Sistemas de Amortización. Método continuo. ◮ En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral para plantear los sistemas de amortización y pensiones = Método continuo ◮ Un sistema pensional se puede ver como un sistema de amortización de un crédito. ◮ Un sistema de amortización de un crédito con capitalización continua, en el perı́odo [0, T ], requiere las variables . Vt = el saldo de la deuda al tiempo t. . δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó constante, Rt . 0 Vs δ(s)ds = los intereses más capital generados en [0, t] . B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas, Rt . 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0, t]. 12 /32 Sistemas de Amortización. Método continuo. ◮ En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral para plantear los sistemas de amortización y pensiones = Método continuo ◮ Un sistema pensional se puede ver como un sistema de amortización de un crédito. ◮ Un sistema de amortización de un crédito con capitalización continua, en el perı́odo [0, T ], requiere las variables . Vt = el saldo de la deuda al tiempo t. . δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó constante, Rt . 0 Vs δ(s)ds = los intereses más capital generados en [0, t] . B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas, Rt . 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0, t]. 12 /32 Sistemas de Amortización. Método continuo. ◮ En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral para plantear los sistemas de amortización y pensiones = Método continuo ◮ Un sistema pensional se puede ver como un sistema de amortización de un crédito. ◮ Un sistema de amortización de un crédito con capitalización continua, en el perı́odo [0, T ], requiere las variables . Vt = el saldo de la deuda al tiempo t. . δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó constante, Rt . 0 Vs δ(s)ds = los intereses más capital generados en [0, t] . B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas, Rt . 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0, t]. 12 /32 Sistemas de Amortización. Método continuo. ◮ En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral para plantear los sistemas de amortización y pensiones = Método continuo ◮ Un sistema pensional se puede ver como un sistema de amortización de un crédito. ◮ Un sistema de amortización de un crédito con capitalización continua, en el perı́odo [0, T ], requiere las variables . Vt = el saldo de la deuda al tiempo t. . δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó constante, Rt . 0 Vs δ(s)ds = los intereses más capital generados en [0, t] . B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas, Rt . 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0, t]. 12 /32 Sistemas de Amortización. Método continuo. ◮ En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral para plantear los sistemas de amortización y pensiones = Método continuo ◮ Un sistema pensional se puede ver como un sistema de amortización de un crédito. ◮ Un sistema de amortización de un crédito con capitalización continua, en el perı́odo [0, T ], requiere las variables . Vt = el saldo de la deuda al tiempo t. . δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó constante, Rt . 0 Vs δ(s)ds = los intereses más capital generados en [0, t] . B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas, Rt . 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0, t]. 12 /32 Sistemas de Amortización. Método continuo. ◮ En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral para plantear los sistemas de amortización y pensiones = Método continuo ◮ Un sistema pensional se puede ver como un sistema de amortización de un crédito. ◮ Un sistema de amortización de un crédito con capitalización continua, en el perı́odo [0, T ], requiere las variables . Vt = el saldo de la deuda al tiempo t. . δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó constante, Rt . 0 Vs δ(s)ds = los intereses más capital generados en [0, t] . B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas, Rt . 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0, t]. 12 /32 Sistemas de Amortización. Método continuo. ◮ En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral para plantear los sistemas de amortización y pensiones = Método continuo ◮ Un sistema pensional se puede ver como un sistema de amortización de un crédito. ◮ Un sistema de amortización de un crédito con capitalización continua, en el perı́odo [0, T ], requiere las variables . Vt = el saldo de la deuda al tiempo t. . δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó constante, Rt . 0 Vs δ(s)ds = los intereses más capital generados en [0, t] . B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas, Rt . 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0, t]. 12 /32 Ecuaciones de Flujo de Caja ◮ El flujo de caja del crédito durante la vida del mismo se describe con una ecuación diferencial lineal Vt′ = δ(t)Vt − B(t), ◮ (10) para 0 ≤ t ≤ T , con V0 > 0 dado y VT = 0, la condición de cierre en el caso de δ(t) no aleatorio ó constante. El valor V0 es el monto del crédito. Rt La solución Vt de (10) en función de Λ(t) = 0 δ(s)ds cumple e 13 /32 −Λ(t) Vt = V0 − Z t 0 e−Λ(s) B(s)ds, (11) Ecuaciones de Flujo de Caja ◮ El flujo de caja del crédito durante la vida del mismo se describe con una ecuación diferencial lineal Vt′ = δ(t)Vt − B(t), ◮ (10) para 0 ≤ t ≤ T , con V0 > 0 dado y VT = 0, la condición de cierre en el caso de δ(t) no aleatorio ó constante. El valor V0 es el monto del crédito. Rt La solución Vt de (10) en función de Λ(t) = 0 δ(s)ds cumple e 13 /32 −Λ(t) Vt = V0 − Z t 0 e−Λ(s) B(s)ds, (11) Condición de Cierre ◮ La solución en t = T cumple e −Λ(T ) VT = V0 − Z T e−Λ(s) B(s)ds. (12) 0 ◮ La condición de cierre es VT = 0, para δ(t) no aleatorio, y es E(e−Λ(T ) VT ) = 0 para aleatoria. ◮ Supongamos el caso no aleatorio por el momento. Luego V0 = Z T e−Λ(s) B(s)ds. (13) 0 Esta condición permite encontrar los parámetros en varias fórmulas para la tasa de pagos B(s). Interpretación: el valor presente de las cuotas iguala el valor del crédito. 14 /32 Condición de Cierre ◮ La solución en t = T cumple e −Λ(T ) VT = V0 − Z T e−Λ(s) B(s)ds. (12) 0 ◮ La condición de cierre es VT = 0, para δ(t) no aleatorio, y es E(e−Λ(T ) VT ) = 0 para aleatoria. ◮ Supongamos el caso no aleatorio por el momento. Luego V0 = Z T e−Λ(s) B(s)ds. (13) 0 Esta condición permite encontrar los parámetros en varias fórmulas para la tasa de pagos B(s). Interpretación: el valor presente de las cuotas iguala el valor del crédito. 14 /32 Condición de Cierre ◮ La solución en t = T cumple e −Λ(T ) VT = V0 − Z T e−Λ(s) B(s)ds. (12) 0 ◮ La condición de cierre es VT = 0, para δ(t) no aleatorio, y es E(e−Λ(T ) VT ) = 0 para aleatoria. ◮ Supongamos el caso no aleatorio por el momento. Luego V0 = Z T e−Λ(s) B(s)ds. (13) 0 Esta condición permite encontrar los parámetros en varias fórmulas para la tasa de pagos B(s). Interpretación: el valor presente de las cuotas iguala el valor del crédito. 14 /32 Sistemas de Amortización ◮ Las fórmulas para la tasa de pagos son los sistemas de amortización de créditos. Un tratamiento completo de los sistemas que se usaron en el paı́s en 1985 está (2 ). Dos ejemplos muy conocidos son: . El sistema de cuotas crecientes geométricamente (Ahorramas). . El sistema de cuotas decrecientes linealmente (BCH, sistemas I-V). ◮ Se pueden re-interpretar estos sistemas de amortización como formas de pagos de pensiones. ◮ E interpretar el sistema de retiro programado introducido en la Ley100/93 como un sistema de amortización, para compararlo con estos sistemas. 2 Gomez Ceballos, J. (1885). Sistemas de Amortización. Tecno Mundo Editores, Ltda, Armenia Colombia 15 /32 Sistemas de Amortización ◮ Las fórmulas para la tasa de pagos son los sistemas de amortización de créditos. Un tratamiento completo de los sistemas que se usaron en el paı́s en 1985 está (2 ). Dos ejemplos muy conocidos son: . El sistema de cuotas crecientes geométricamente (Ahorramas). . El sistema de cuotas decrecientes linealmente (BCH, sistemas I-V). ◮ Se pueden re-interpretar estos sistemas de amortización como formas de pagos de pensiones. ◮ E interpretar el sistema de retiro programado introducido en la Ley100/93 como un sistema de amortización, para compararlo con estos sistemas. 2 Gomez Ceballos, J. (1885). Sistemas de Amortización. Tecno Mundo Editores, Ltda, Armenia Colombia 15 /32 Sistemas de Amortización ◮ Las fórmulas para la tasa de pagos son los sistemas de amortización de créditos. Un tratamiento completo de los sistemas que se usaron en el paı́s en 1985 está (2 ). Dos ejemplos muy conocidos son: . El sistema de cuotas crecientes geométricamente (Ahorramas). . El sistema de cuotas decrecientes linealmente (BCH, sistemas I-V). ◮ Se pueden re-interpretar estos sistemas de amortización como formas de pagos de pensiones. ◮ E interpretar el sistema de retiro programado introducido en la Ley100/93 como un sistema de amortización, para compararlo con estos sistemas. 2 Gomez Ceballos, J. (1885). Sistemas de Amortización. Tecno Mundo Editores, Ltda, Armenia Colombia 15 /32 Sistemas de Amortización ◮ Las fórmulas para la tasa de pagos son los sistemas de amortización de créditos. Un tratamiento completo de los sistemas que se usaron en el paı́s en 1985 está (2 ). Dos ejemplos muy conocidos son: . El sistema de cuotas crecientes geométricamente (Ahorramas). . El sistema de cuotas decrecientes linealmente (BCH, sistemas I-V). ◮ Se pueden re-interpretar estos sistemas de amortización como formas de pagos de pensiones. ◮ E interpretar el sistema de retiro programado introducido en la Ley100/93 como un sistema de amortización, para compararlo con estos sistemas. 2 Gomez Ceballos, J. (1885). Sistemas de Amortización. Tecno Mundo Editores, Ltda, Armenia Colombia 15 /32 Sistemas de Amortización ◮ Las fórmulas para la tasa de pagos son los sistemas de amortización de créditos. Un tratamiento completo de los sistemas que se usaron en el paı́s en 1985 está (2 ). Dos ejemplos muy conocidos son: . El sistema de cuotas crecientes geométricamente (Ahorramas). . El sistema de cuotas decrecientes linealmente (BCH, sistemas I-V). ◮ Se pueden re-interpretar estos sistemas de amortización como formas de pagos de pensiones. ◮ E interpretar el sistema de retiro programado introducido en la Ley100/93 como un sistema de amortización, para compararlo con estos sistemas. 2 Gomez Ceballos, J. (1885). Sistemas de Amortización. Tecno Mundo Editores, Ltda, Armenia Colombia 15 /32 Sistemas de Amortización ◮ Las fórmulas para la tasa de pagos son los sistemas de amortización de créditos. Un tratamiento completo de los sistemas que se usaron en el paı́s en 1985 está (2 ). Dos ejemplos muy conocidos son: . El sistema de cuotas crecientes geométricamente (Ahorramas). . El sistema de cuotas decrecientes linealmente (BCH, sistemas I-V). ◮ Se pueden re-interpretar estos sistemas de amortización como formas de pagos de pensiones. ◮ E interpretar el sistema de retiro programado introducido en la Ley100/93 como un sistema de amortización, para compararlo con estos sistemas. 2 Gomez Ceballos, J. (1885). Sistemas de Amortización. Tecno Mundo Editores, Ltda, Armenia Colombia 15 /32 Sistemas de cuotas crecientes geométricamente ◮ En este sistema las cuotas aumentan anualmente por el IPC ó por el incremento legal para el salario mı́nimo anual, ó por algún porcentaje pactado. ◮ Este porcentaje se indica por la tasa continua efectiva anual δ∆ . La expresión para la tasa de pagos es B(t) = Ceδ∆ ⌊t⌋ ◮ donde ⌊t⌋ es la función parte entera. El total pagado por RT cuotas durante el crédito es 0 B(s)ds. (14) Suponemos que las tasas son constantes: δ(t) ≡ δ, y además que δ = δr + δ∆ , donde δr es la tasa real. 16 /32 Sistemas de cuotas crecientes geométricamente ◮ En este sistema las cuotas aumentan anualmente por el IPC ó por el incremento legal para el salario mı́nimo anual, ó por algún porcentaje pactado. ◮ Este porcentaje se indica por la tasa continua efectiva anual δ∆ . La expresión para la tasa de pagos es B(t) = Ceδ∆ ⌊t⌋ ◮ donde ⌊t⌋ es la función parte entera. El total pagado por RT cuotas durante el crédito es 0 B(s)ds. (14) Suponemos que las tasas son constantes: δ(t) ≡ δ, y además que δ = δr + δ∆ , donde δr es la tasa real. 16 /32 Sistemas de cuotas crecientes geométricamente ◮ En este sistema las cuotas aumentan anualmente por el IPC ó por el incremento legal para el salario mı́nimo anual, ó por algún porcentaje pactado. ◮ Este porcentaje se indica por la tasa continua efectiva anual δ∆ . La expresión para la tasa de pagos es B(t) = Ceδ∆ ⌊t⌋ ◮ donde ⌊t⌋ es la función parte entera. El total pagado por RT cuotas durante el crédito es 0 B(s)ds. (14) Suponemos que las tasas son constantes: δ(t) ≡ δ, y además que δ = δr + δ∆ , donde δr es la tasa real. 16 /32 Notación Actuarial ◮ El saldo de un crédito con tasa de pagos B(t) = 1, durante un perı́odo [0, T ] cumple Vt′ = δVt − 1. El valor presente de los pagos V0 es āT ◮ δ := V0 = Z T e−δs ds = 0 1 − e−δT . δ (15) El valor presente de anterior, pero con T pagos anticipados, a la tasa eδ − 1, se denota äT δ := T −1 X j=0 17 /32 e−δj = 1 − e−δT . 1 − e−δ (16) Notación Actuarial ◮ El saldo de un crédito con tasa de pagos B(t) = 1, durante un perı́odo [0, T ] cumple Vt′ = δVt − 1. El valor presente de los pagos V0 es āT ◮ δ := V0 = Z T e−δs ds = 0 1 − e−δT . δ (15) El valor presente de anterior, pero con T pagos anticipados, a la tasa eδ − 1, se denota äT δ := T −1 X j=0 17 /32 e−δj = 1 − e−δT . 1 − e−δ (16) Solución del Sistema con cuotas crecientes geométricamente ◮ La condición de cierre es Z Z T −δx e B(s)ds = C V0 = 0 ◮ e−δs eδ∆ ⌊s⌋ ds. (17) 0 La tasa de pagos es B(t) = Ceδ∆ ⌊t⌋ = ◮ T V0 eδ∆ ⌊t⌋ ā1 δ äT δr (18) Y por tanto 1 V0 Z T B(s)ds = 0 18 /32 eδ∆ (T −1) äT ā1 δ äT δr δ∆ = total pagos valor del crédito (19) Solución del Sistema con cuotas crecientes geométricamente ◮ La condición de cierre es Z Z T −δx e B(s)ds = C V0 = 0 ◮ e−δs eδ∆ ⌊s⌋ ds. (17) 0 La tasa de pagos es B(t) = Ceδ∆ ⌊t⌋ = ◮ T V0 eδ∆ ⌊t⌋ ā1 δ äT δr (18) Y por tanto 1 V0 Z T B(s)ds = 0 18 /32 eδ∆ (T −1) äT ā1 δ äT δr δ∆ = total pagos valor del crédito (19) Solución del Sistema con cuotas crecientes geométricamente ◮ La condición de cierre es Z Z T −δx e B(s)ds = C V0 = 0 ◮ e−δs eδ∆ ⌊s⌋ ds. (17) 0 La tasa de pagos es B(t) = Ceδ∆ ⌊t⌋ = ◮ T V0 eδ∆ ⌊t⌋ ā1 δ äT δr (18) Y por tanto 1 V0 Z T B(s)ds = 0 18 /32 eδ∆ (T −1) äT ā1 δ äT δr δ∆ = total pagos valor del crédito (19) Solución del Sistema con cuotas decrecientes linealmente ◮ La condición de cierre, para C > 0 la cuota en el primer año, y V0 dado, es Z T Z T C⌊s⌋ −δs −δx e C− e B(s)ds = V0 = ds T 0 0 ! eδ äT δ e−δT − . = C āT δ + δ δT ◮ La tasa de pagos es V0 (1 − ⌊t⌋/T ) B(t) = āT ◮ Y por tanto Z T 1 B(s)ds = V0 0 19 /32 δ + e−δT δ − eδ ä T δT (T + 1)/2 āT δ + e−δT δ − eδ ä T δT = δ (20) δ total pagos valor del crédito (21) Solución del Sistema con cuotas decrecientes linealmente ◮ La condición de cierre, para C > 0 la cuota en el primer año, y V0 dado, es Z T Z T C⌊s⌋ −δs −δx e C− e B(s)ds = V0 = ds T 0 0 ! eδ äT δ e−δT − . = C āT δ + δ δT ◮ La tasa de pagos es V0 (1 − ⌊t⌋/T ) B(t) = āT ◮ Y por tanto Z T 1 B(s)ds = V0 0 19 /32 δ + e−δT δ − eδ ä T δT (T + 1)/2 āT δ + e−δT δ − eδ ä T δT = δ (20) δ total pagos valor del crédito (21) Solución del Sistema con cuotas decrecientes linealmente ◮ La condición de cierre, para C > 0 la cuota en el primer año, y V0 dado, es Z T Z T C⌊s⌋ −δs −δx e C− e B(s)ds = V0 = ds T 0 0 ! eδ äT δ e−δT − . = C āT δ + δ δT ◮ La tasa de pagos es V0 (1 − ⌊t⌋/T ) B(t) = āT ◮ Y por tanto Z T 1 B(s)ds = V0 0 19 /32 δ + e−δT δ − eδ ä T δT (T + 1)/2 āT δ + e−δT δ − eδ ä T δT = δ (20) δ total pagos valor del crédito (21) 0.0 0.5 1.0 cuotas 1.5 2.0 2.5 Ejemplos de Pagos Geométricos y Lineales 0 5 10 15 20 25 30 t Figure: Negro = Geométrico , Rojo = Lineal decreciente Para δr = 0.04, δ∆ = 0.06, T = 30, ( 4.890699 cuotas geométricas total pagos = valor del crédito 2.026810 cuotas lineales decrecientes 20 /32 Rentas Vitalicias (1) ◮ Supuesto: Una Renta Vitalicia ó Anualidad de Vida es un contrato entre dos partes, similar a un Crédito ó a un Bono. ◮ En su figura básica, una de las partes (el Emisor) se compromete a realizar pagos periódicos, de acuerdo a una fórmula bien definida y la otra (el titular) aporta un capital en un solo contado ó en varios, como pago de una prima. ◮ Supuesto: Una renta vitalicia puede describirse mediante un flujo de caja similar al de un crédito, por una ecuación diferencial lineal Vt′ = δ(t)Vt − B(t), (22) tal que 0 ≤ t ≤ T (x), y V0 es el precio de la anualidad. ◮ La tasa de pago anual de la renta vitalicia es B(t). R t El pago al titular durante un perı́odo [t1 , t2 ] está dado por t12 B(s)ds. 21 /32 Rentas Vitalicias (1) ◮ Supuesto: Una Renta Vitalicia ó Anualidad de Vida es un contrato entre dos partes, similar a un Crédito ó a un Bono. ◮ En su figura básica, una de las partes (el Emisor) se compromete a realizar pagos periódicos, de acuerdo a una fórmula bien definida y la otra (el titular) aporta un capital en un solo contado ó en varios, como pago de una prima. ◮ Supuesto: Una renta vitalicia puede describirse mediante un flujo de caja similar al de un crédito, por una ecuación diferencial lineal Vt′ = δ(t)Vt − B(t), (22) tal que 0 ≤ t ≤ T (x), y V0 es el precio de la anualidad. ◮ La tasa de pago anual de la renta vitalicia es B(t). R t El pago al titular durante un perı́odo [t1 , t2 ] está dado por t12 B(s)ds. 21 /32 Rentas Vitalicias (1) ◮ Supuesto: Una Renta Vitalicia ó Anualidad de Vida es un contrato entre dos partes, similar a un Crédito ó a un Bono. ◮ En su figura básica, una de las partes (el Emisor) se compromete a realizar pagos periódicos, de acuerdo a una fórmula bien definida y la otra (el titular) aporta un capital en un solo contado ó en varios, como pago de una prima. ◮ Supuesto: Una renta vitalicia puede describirse mediante un flujo de caja similar al de un crédito, por una ecuación diferencial lineal Vt′ = δ(t)Vt − B(t), (22) tal que 0 ≤ t ≤ T (x), y V0 es el precio de la anualidad. ◮ La tasa de pago anual de la renta vitalicia es B(t). R t El pago al titular durante un perı́odo [t1 , t2 ] está dado por t12 B(s)ds. 21 /32 Rentas Vitalicias (1) ◮ Supuesto: Una Renta Vitalicia ó Anualidad de Vida es un contrato entre dos partes, similar a un Crédito ó a un Bono. ◮ En su figura básica, una de las partes (el Emisor) se compromete a realizar pagos periódicos, de acuerdo a una fórmula bien definida y la otra (el titular) aporta un capital en un solo contado ó en varios, como pago de una prima. ◮ Supuesto: Una renta vitalicia puede describirse mediante un flujo de caja similar al de un crédito, por una ecuación diferencial lineal Vt′ = δ(t)Vt − B(t), (22) tal que 0 ≤ t ≤ T (x), y V0 es el precio de la anualidad. ◮ La tasa de pago anual de la renta vitalicia es B(t). R t El pago al titular durante un perı́odo [t1 , t2 ] está dado por t12 B(s)ds. 21 /32 Rentas Vitalicias (2) ◮ El perı́odo del contrato es aleatorio, 0 ≤ t ≤ T (x). ◮ En el caso δ(t) ≡ δ = δr + δ∆ , y B(t) ≡ 1, el precio de la anualidad que paga una unidad en pesos corrientes, actualizados continuamente por costo de vida, es Z 110−x e−δr s s px ds. (23) āx|δr := 0 ◮ ◮ Ejemplo. Para x=60, mujer, Ley G-M 1980-1989, la renta vitalicia anual de 12 salarios mı́nimos $12 ∗ 566.700, si se pacta una tasa real = 4.0% y una tasa inflación = 8%, anual, vale $92′ 297.730. Y vale $110′ 362.700 usando G-M 2000-2008. 22 /32 Rentas Vitalicias (2) ◮ El perı́odo del contrato es aleatorio, 0 ≤ t ≤ T (x). ◮ En el caso δ(t) ≡ δ = δr + δ∆ , y B(t) ≡ 1, el precio de la anualidad que paga una unidad en pesos corrientes, actualizados continuamente por costo de vida, es Z 110−x e−δr s s px ds. (23) āx|δr := 0 ◮ ◮ Ejemplo. Para x=60, mujer, Ley G-M 1980-1989, la renta vitalicia anual de 12 salarios mı́nimos $12 ∗ 566.700, si se pacta una tasa real = 4.0% y una tasa inflación = 8%, anual, vale $92′ 297.730. Y vale $110′ 362.700 usando G-M 2000-2008. 22 /32 Rentas Vitalicias (2) ◮ El perı́odo del contrato es aleatorio, 0 ≤ t ≤ T (x). ◮ En el caso δ(t) ≡ δ = δr + δ∆ , y B(t) ≡ 1, el precio de la anualidad que paga una unidad en pesos corrientes, actualizados continuamente por costo de vida, es Z 110−x e−δr s s px ds. (23) āx|δr := 0 ◮ ◮ Ejemplo. Para x=60, mujer, Ley G-M 1980-1989, la renta vitalicia anual de 12 salarios mı́nimos $12 ∗ 566.700, si se pacta una tasa real = 4.0% y una tasa inflación = 8%, anual, vale $92′ 297.730. Y vale $110′ 362.700 usando G-M 2000-2008. 22 /32 Rentas Vitalicias (2) ◮ El perı́odo del contrato es aleatorio, 0 ≤ t ≤ T (x). ◮ En el caso δ(t) ≡ δ = δr + δ∆ , y B(t) ≡ 1, el precio de la anualidad que paga una unidad en pesos corrientes, actualizados continuamente por costo de vida, es Z 110−x e−δr s s px ds. (23) āx|δr := 0 ◮ ◮ Ejemplo. Para x=60, mujer, Ley G-M 1980-1989, la renta vitalicia anual de 12 salarios mı́nimos $12 ∗ 566.700, si se pacta una tasa real = 4.0% y una tasa inflación = 8%, anual, vale $92′ 297.730. Y vale $110′ 362.700 usando G-M 2000-2008. 22 /32 Rentas Vitalicias (3) ◮ Supuesto La reserva Vt está invertida en un portafolio y sometida a riesgo de tasa, en el sentido de que δ(t) ahora es aleatoria, y puede tomar valores negativos. ◮ Este supuesto no es estándar. Hay que explicar por qué tiene validez. ◮ Las Compañı́as de Seguros venden Rentas Vitalicias y los portafolios en donde invierten las primas son portafolios de renta fija, conformados por tı́tulos TES de deuda pública. Posiblemente tendrán inversiones con riesgo pero muy consevadoras. ◮ Se utilizaba una técnica conocida como Inmunización, que consiste en conformar portafolios de renta fija con igual duración y convexidad que los portafolios de las anualidades. 23 /32 Rentas Vitalicias (3) ◮ Supuesto La reserva Vt está invertida en un portafolio y sometida a riesgo de tasa, en el sentido de que δ(t) ahora es aleatoria, y puede tomar valores negativos. ◮ Este supuesto no es estándar. Hay que explicar por qué tiene validez. ◮ Las Compañı́as de Seguros venden Rentas Vitalicias y los portafolios en donde invierten las primas son portafolios de renta fija, conformados por tı́tulos TES de deuda pública. Posiblemente tendrán inversiones con riesgo pero muy consevadoras. ◮ Se utilizaba una técnica conocida como Inmunización, que consiste en conformar portafolios de renta fija con igual duración y convexidad que los portafolios de las anualidades. 23 /32 Rentas Vitalicias (3) ◮ Supuesto La reserva Vt está invertida en un portafolio y sometida a riesgo de tasa, en el sentido de que δ(t) ahora es aleatoria, y puede tomar valores negativos. ◮ Este supuesto no es estándar. Hay que explicar por qué tiene validez. ◮ Las Compañı́as de Seguros venden Rentas Vitalicias y los portafolios en donde invierten las primas son portafolios de renta fija, conformados por tı́tulos TES de deuda pública. Posiblemente tendrán inversiones con riesgo pero muy consevadoras. ◮ Se utilizaba una técnica conocida como Inmunización, que consiste en conformar portafolios de renta fija con igual duración y convexidad que los portafolios de las anualidades. 23 /32 Rentas Vitalicias (3) ◮ Supuesto La reserva Vt está invertida en un portafolio y sometida a riesgo de tasa, en el sentido de que δ(t) ahora es aleatoria, y puede tomar valores negativos. ◮ Este supuesto no es estándar. Hay que explicar por qué tiene validez. ◮ Las Compañı́as de Seguros venden Rentas Vitalicias y los portafolios en donde invierten las primas son portafolios de renta fija, conformados por tı́tulos TES de deuda pública. Posiblemente tendrán inversiones con riesgo pero muy consevadoras. ◮ Se utilizaba una técnica conocida como Inmunización, que consiste en conformar portafolios de renta fija con igual duración y convexidad que los portafolios de las anualidades. 23 /32 Rentas Vitalicias (4) ◮ Pero la demanda creciente de rentas vitalicias ha hecho que los tı́tulos se encarezcan. Sucedió en el Reino Unido a principios de 1990. A su vez, las rentas vitalicias se encarezcen. ◮ Pregunta: se puede financiar una renta vitalicia con el mercado accionario en lugar de utilizar tı́tulos TES?. ◮ La respuesta se dió en el Reino Unido a principios de 1990: aparecieron unos nuevos productos financieros denominados en inglés “Investment-linked retirement-income programmes”. Una traducción al castellano podrı́a ser: retiros programados atados a fondos de inversiones, ó RPAFI. ◮ La figura del Retiro Programado, introducida en el art. 81 de la Ley 100/93, la interpretamos aquı́ como un RPAFI. Es una anualidad financiada con riesgo de mercado. 24 /32 Rentas Vitalicias (4) ◮ Pero la demanda creciente de rentas vitalicias ha hecho que los tı́tulos se encarezcan. Sucedió en el Reino Unido a principios de 1990. A su vez, las rentas vitalicias se encarezcen. ◮ Pregunta: se puede financiar una renta vitalicia con el mercado accionario en lugar de utilizar tı́tulos TES?. ◮ La respuesta se dió en el Reino Unido a principios de 1990: aparecieron unos nuevos productos financieros denominados en inglés “Investment-linked retirement-income programmes”. Una traducción al castellano podrı́a ser: retiros programados atados a fondos de inversiones, ó RPAFI. ◮ La figura del Retiro Programado, introducida en el art. 81 de la Ley 100/93, la interpretamos aquı́ como un RPAFI. Es una anualidad financiada con riesgo de mercado. 24 /32 Rentas Vitalicias (4) ◮ Pero la demanda creciente de rentas vitalicias ha hecho que los tı́tulos se encarezcan. Sucedió en el Reino Unido a principios de 1990. A su vez, las rentas vitalicias se encarezcen. ◮ Pregunta: se puede financiar una renta vitalicia con el mercado accionario en lugar de utilizar tı́tulos TES?. ◮ La respuesta se dió en el Reino Unido a principios de 1990: aparecieron unos nuevos productos financieros denominados en inglés “Investment-linked retirement-income programmes”. Una traducción al castellano podrı́a ser: retiros programados atados a fondos de inversiones, ó RPAFI. ◮ La figura del Retiro Programado, introducida en el art. 81 de la Ley 100/93, la interpretamos aquı́ como un RPAFI. Es una anualidad financiada con riesgo de mercado. 24 /32 Rentas Vitalicias (4) ◮ Pero la demanda creciente de rentas vitalicias ha hecho que los tı́tulos se encarezcan. Sucedió en el Reino Unido a principios de 1990. A su vez, las rentas vitalicias se encarezcen. ◮ Pregunta: se puede financiar una renta vitalicia con el mercado accionario en lugar de utilizar tı́tulos TES?. ◮ La respuesta se dió en el Reino Unido a principios de 1990: aparecieron unos nuevos productos financieros denominados en inglés “Investment-linked retirement-income programmes”. Una traducción al castellano podrı́a ser: retiros programados atados a fondos de inversiones, ó RPAFI. ◮ La figura del Retiro Programado, introducida en el art. 81 de la Ley 100/93, la interpretamos aquı́ como un RPAFI. Es una anualidad financiada con riesgo de mercado. 24 /32 Lo que dice la Ley (1) ARTÍCULO 81. RETIRO PROGRAMADO. El retiro programado es la modalidad de pensión en la cual el afiliado o los beneficiarios obtienen su pensión de la sociedad administradora, con cargo a su cuenta individual de ahorro pensional y al bono pensional a que hubiera lugar. Para estos efectos, se calcula cada año una anualidad en unidades de valor constante, igual al resultado de dividir el saldo de su cuenta de ahorro y bono pensional, por el capital necesario para financiar una unidad de renta vitalicia para el afiliado y sus beneficiarios. La pensión mensual corresponderá a la doceava parte de dicha anualidad. 25 /32 Lo que dice la Ley (2) La “condición de paso a una anualidad”: El saldo de la cuenta de ahorro pensional, mientras el afiliado disfruta de una pensión por retiro programado, no podrá ser inferior al capital requerido para financiar al afiliado y sus beneficiarios una renta vitalicia de un salario mı́nimo legal mensual vigente. 26 /32 Lo que dice la Ley (3) En 1996, el Decreto 832 del MHyCP estableció, en el artı́culo 12, “la opción de paso a la renta vitalicia” como un mecanismo para evitar la pérdida de la pensión, debido a efectos adversos en los rendimientos. El artı́culo 12 se titula “Control de Saldos en el Pago de Pensiones bajo la Modalidad de RP”. En todo caso deberá incorporarse en el contrato de retiro programado o en el reglamento respectivo, una cláusula que aluda al artı́culo 81 de la Ley 100 de 1993...indicando que por tal razón, en el momento en que el saldo deje de ser suficiente, deberá adquirirse una póliza de Renta Vitalicia. por valor de un salario mı́nimo mensual legal vigente. 27 /32 Un Modelo para RP por el método continuo (1) ◮ Para terminar esta Dı́a 1, se dan algunos pasos para modelar el RP como un sistema de amortización. ◮ El objetivo es llegar a un modelo realista que permita responder inquietudes sobre el desempeño del RP. ◮ Por ejemplo, calcular el indicador 1 V0 Z T B(s)ds = 0 total pagos capital ahorrado (24) Y compararlo con el correspondiente indicador en el sistema de prima media con prestación definida, del ISS por ley 100/93. ◮ 3 4 Se han realizado estudios en esta última dirección, por ejemplo Osorio, Martı́nez y Rodrı́quez (2005), (3 ), y en un documento de Asofondos (4 ). El Modelo DNPensión v 4.0. DNP, documento 285. Estimación de los Subsidios en el Régimen de Prima Media 28 /32 Un Modelo para RP por el método continuo (1) ◮ Para terminar esta Dı́a 1, se dan algunos pasos para modelar el RP como un sistema de amortización. ◮ El objetivo es llegar a un modelo realista que permita responder inquietudes sobre el desempeño del RP. ◮ Por ejemplo, calcular el indicador 1 V0 Z T B(s)ds = 0 total pagos capital ahorrado (24) Y compararlo con el correspondiente indicador en el sistema de prima media con prestación definida, del ISS por ley 100/93. ◮ 3 4 Se han realizado estudios en esta última dirección, por ejemplo Osorio, Martı́nez y Rodrı́quez (2005), (3 ), y en un documento de Asofondos (4 ). El Modelo DNPensión v 4.0. DNP, documento 285. Estimación de los Subsidios en el Régimen de Prima Media 28 /32 Un Modelo para RP por el método continuo (1) ◮ Para terminar esta Dı́a 1, se dan algunos pasos para modelar el RP como un sistema de amortización. ◮ El objetivo es llegar a un modelo realista que permita responder inquietudes sobre el desempeño del RP. ◮ Por ejemplo, calcular el indicador 1 V0 Z T B(s)ds = 0 total pagos capital ahorrado (24) Y compararlo con el correspondiente indicador en el sistema de prima media con prestación definida, del ISS por ley 100/93. ◮ 3 4 Se han realizado estudios en esta última dirección, por ejemplo Osorio, Martı́nez y Rodrı́quez (2005), (3 ), y en un documento de Asofondos (4 ). El Modelo DNPensión v 4.0. DNP, documento 285. Estimación de los Subsidios en el Régimen de Prima Media 28 /32 Un Modelo para RP por el método continuo (1) ◮ Para terminar esta Dı́a 1, se dan algunos pasos para modelar el RP como un sistema de amortización. ◮ El objetivo es llegar a un modelo realista que permita responder inquietudes sobre el desempeño del RP. ◮ Por ejemplo, calcular el indicador 1 V0 Z T B(s)ds = 0 total pagos capital ahorrado (24) Y compararlo con el correspondiente indicador en el sistema de prima media con prestación definida, del ISS por ley 100/93. ◮ 3 4 Se han realizado estudios en esta última dirección, por ejemplo Osorio, Martı́nez y Rodrı́quez (2005), (3 ), y en un documento de Asofondos (4 ). El Modelo DNPensión v 4.0. DNP, documento 285. Estimación de los Subsidios en el Régimen de Prima Media 28 /32 Un Modelo para RP por el método continuo (2) ◮ El modelo debe considerar un perı́odo [0, T (x)] aleatorio. Y un tiempo intermedio T0 + 1, también aleatorio, en el cual ocurre lo que plantea el Decreto 832 del MHyCP: el cambio a una anualidad de vida, con pensión indexada por costo de vida. ◮ Iniciar con la ecuación básica, asumiendo una tasa constante δ = δr + δ∆ . Un modelo más avanzado asumirá tasa variable, por ejemplo δ(t) = µt + σW (t) (25) con W (t) un proceso Wiener. O la tasa de rendimiento de un portafolio rp (t) como se verá en el Dı́a 2 en un ejemplo. ◮ La ecuación es Vt′ = δVt − B(t), para 0 ≤ t ≤ T (x). 29 /32 (26) Un Modelo para RP por el método continuo (2) ◮ El modelo debe considerar un perı́odo [0, T (x)] aleatorio. Y un tiempo intermedio T0 + 1, también aleatorio, en el cual ocurre lo que plantea el Decreto 832 del MHyCP: el cambio a una anualidad de vida, con pensión indexada por costo de vida. ◮ Iniciar con la ecuación básica, asumiendo una tasa constante δ = δr + δ∆ . Un modelo más avanzado asumirá tasa variable, por ejemplo δ(t) = µt + σW (t) (25) con W (t) un proceso Wiener. O la tasa de rendimiento de un portafolio rp (t) como se verá en el Dı́a 2 en un ejemplo. ◮ La ecuación es Vt′ = δVt − B(t), para 0 ≤ t ≤ T (x). 29 /32 (26) Un Modelo para RP por el método continuo (2) ◮ El modelo debe considerar un perı́odo [0, T (x)] aleatorio. Y un tiempo intermedio T0 + 1, también aleatorio, en el cual ocurre lo que plantea el Decreto 832 del MHyCP: el cambio a una anualidad de vida, con pensión indexada por costo de vida. ◮ Iniciar con la ecuación básica, asumiendo una tasa constante δ = δr + δ∆ . Un modelo más avanzado asumirá tasa variable, por ejemplo δ(t) = µt + σW (t) (25) con W (t) un proceso Wiener. O la tasa de rendimiento de un portafolio rp (t) como se verá en el Dı́a 2 en un ejemplo. ◮ La ecuación es Vt′ = δVt − B(t), para 0 ≤ t ≤ T (x). 29 /32 (26) Un Modelo para RP por el método continuo (3) ◮ Se define la tasa de pagos B(t) como V⌊t⌋ si 0 ≤ tleqT0 + 1, āx+⌊t⌋|δr B(t) = C eδ∆ ⌊t−T0 −1⌋ si T + 1 < t ≤ T (x). 0 0 donde T0 + 1 es el tiempo en el cual se debe pasar a una anualidad porque el saldo Vt ha disminuı́do talque no alcanza para financiar una pensión mı́nima anual. 30 /32 Un Modelo para RP por el método continuo (4) ◮ Cómo se define T0 ?. Se empieza por el valor de la pensión mı́nima anual en t = 0 cuando el pensionado tiene edad x. Suponga que es Pmin . ◮ El capital inicial es V0 . Suponga que permite una pensión anual de m > 1 veces el salario mı́nimo. Entonces V0 = mPmin āx ◮ (27) Entonces se define T0 como el mayor j ≥ 1 para el cual se cumple Vj+1 ≥ Pmin eδ∆ (j+1) } (28) āx+j+1 31 /32 Un Modelo para RP por el método continuo (4) ◮ Cómo se define T0 ?. Se empieza por el valor de la pensión mı́nima anual en t = 0 cuando el pensionado tiene edad x. Suponga que es Pmin . ◮ El capital inicial es V0 . Suponga que permite una pensión anual de m > 1 veces el salario mı́nimo. Entonces V0 = mPmin āx ◮ (27) Entonces se define T0 como el mayor j ≥ 1 para el cual se cumple Vj+1 ≥ Pmin eδ∆ (j+1) } (28) āx+j+1 31 /32 Un Modelo para RP por el método continuo (4) ◮ Cómo se define T0 ?. Se empieza por el valor de la pensión mı́nima anual en t = 0 cuando el pensionado tiene edad x. Suponga que es Pmin . ◮ El capital inicial es V0 . Suponga que permite una pensión anual de m > 1 veces el salario mı́nimo. Entonces V0 = mPmin āx ◮ (27) Entonces se define T0 como el mayor j ≥ 1 para el cual se cumple Vj+1 ≥ Pmin eδ∆ (j+1) } (28) āx+j+1 31 /32 Un Modelo para RP por el método continuo (5) ◮ Una vez definido T0 se plantean dos flujos de caja. Uno en el tramo 0 ≤ t ≤ T0 + 1 dado por Vt′ = δVt − B1 (t), V⌊t⌋ B1 (t) = āx+⌊t⌋|δr ◮ (29) El otro en el tramo final T0 + 1 ≤ t ≤ T (x) Vt′ = δVt − B2 (t), B2 (t) = C0 e (30) δ∆ ⌊t−T0 −1⌋ donde C0 = Pmin eδ∆ (T0 +1) . Y tal que E(VT (x) ) ≥ 0. ◮ Finalmente las ecuaciones (29), (30) se resuelven y se calculan los indicadores de interés. 32 /32 Un Modelo para RP por el método continuo (5) ◮ Una vez definido T0 se plantean dos flujos de caja. Uno en el tramo 0 ≤ t ≤ T0 + 1 dado por Vt′ = δVt − B1 (t), V⌊t⌋ B1 (t) = āx+⌊t⌋|δr ◮ (29) El otro en el tramo final T0 + 1 ≤ t ≤ T (x) Vt′ = δVt − B2 (t), B2 (t) = C0 e (30) δ∆ ⌊t−T0 −1⌋ donde C0 = Pmin eδ∆ (T0 +1) . Y tal que E(VT (x) ) ≥ 0. ◮ Finalmente las ecuaciones (29), (30) se resuelven y se calculan los indicadores de interés. 32 /32 Un Modelo para RP por el método continuo (5) ◮ Una vez definido T0 se plantean dos flujos de caja. Uno en el tramo 0 ≤ t ≤ T0 + 1 dado por Vt′ = δVt − B1 (t), V⌊t⌋ B1 (t) = āx+⌊t⌋|δr ◮ (29) El otro en el tramo final T0 + 1 ≤ t ≤ T (x) Vt′ = δVt − B2 (t), B2 (t) = C0 e (30) δ∆ ⌊t−T0 −1⌋ donde C0 = Pmin eδ∆ (T0 +1) . Y tal que E(VT (x) ) ≥ 0. ◮ Finalmente las ecuaciones (29), (30) se resuelven y se calculan los indicadores de interés. 32 /32