Suma de cuadrados

EJERCICIOS DE SUMAS DE CUADRADOS
1).-Partiendo de N = 3293 = 53 ² + 22 ² , y sabiendo que 1301 ² ⠡ 3292 ( mód.3293 ),
hallar los factores de “N” , asÃ− como los cuadrados que tengan como residuo N-1.
2).-El número N = 11.659 es igual a la diferencia de dos cuadrados , 110 ² â “ 21 ² .Hallar los factores de “N”.
3).-Sabiendo que N = 19.993 = 133 ²+ 48 ² ,calcular el cuadrado que genera como resto R(x) = 16744.- Téngase en cuenta que R(x) = ( N - 57 ² ).
4).-N = 26.689 , tiene como factores 13 y 2053.- Descomponer “ N “ en suma de cuadrados.
5).-Hallar los divisores del número N = 56.117 , sabiendo que es igual a 169 ² + 166 ² =
= 226 ²+ 71 ² .
6).-Calcular diversas combinaciones de sumas de cuadrados del número 28.845.
7).-El número 26.689 , es igual a 135 ² + 92 ² . Hallar su factores .
8).-Representar un cuadrado , como la diferencia entre la suma de de dos grupos de tres
cuadrados.
---------------------------------------------------------Ejercicio 1
N = 3293 x = 89 y = 37
3293 = 53 ² + 22 ² = 2809 + 484
--------------------------------------------1301 ² ⠡ 3292 ( mod. 3293 )
22 ² x 1301² ⠡ 2278 ( mód.3293) ; 2278 ² ⠡ 2809 ( mod.3293 )
53 ² x 1301² ⠡ 3093( mód.3293) ; 3093 ² ⠡ 484 ( mod. 3293 )
3093 - 22 = 3071 = 37 x 83
2278 - 53 = 2225 = 25 x 89
1
3293 b + 53
a = ------------------------ = 2547
22
3293 b + 22
a = ----------------------- = 746
53
2547 ² ⠡ 3292 ( mod.3293 )
746² ⠡ 3292 ( mod. 3293 )
---------------------------------------------------------------------Ejercicio 2
N = 11659
110² - 21² = 11659
11659 b - 110
a = ---------------------- = 9433
21
9433 ² ⠡ 1 ( mod. 11659 )
11658² ⠡ 1 ( mod. 11659 )
9433² ⠡ 1 ( mod. 11659 )
----------2225² = 5 x 5 x 89
N = 11659 = 89 x 131
----------------------------------------------------------------Ejercicio 3
N = 19993 = Primo = 133² + 48² R(x) = 16744
1993 b + 133
a = --------------------- = 14581
2
48
14581² ⠡ 19992 ( mod. 19993 )
R CTO C
Cuadrado del
complemento x 14581
---------- ----------------- ------------10898 x 3249 = 19992 19992 ² 5412 ²
19992 x 3249 = 16744 19936 ² 8589 ²
16744 x 3249 = 303 16744 ² 9741 ² De arriba abajo, se multiplica
303 x 3249 = 4790 14737 ² 15426 ² por 57 .
4790 x 3249 = 8156 303 ² 19583 ²
8156 x 3249 = 8119 17271 ² 16616 ²
La columna “ C ” indica los cuadrados que generan los restos de la columna “ R “ .La columna “ CTO” son
los cuadrados que tienen como residuo cuadrático ( N - R )
57 ² ⠡ 3249 ( mod. 19993 )
19936² ⠡ 3249 ( mod. 19993 )
3249² ⠡ 15203 ( mod. 19993 )
14581² ⠡ 19992 ( mod. 19993 )
5412² ⠡ 19992 ( mod. 19993 )
3249 ³ ⠡ 15203 ( mod. 19993 ) 19993 - 4790 = 15203
-----------------------------------------------------------------Ejercicio 4
N = 26689 = 13 x 2053 = ( 2² + 3² ) ( 17² + 42² ) =
= ( 34² + 51² ) + ( 84² + 126² ) = ( 84² + 51² ) + ( 126² - 34 ² ) =
= 135 ² + 92 ² = 33 ² + 160 ²
a + b = 135 c + d = 160
a - b = 33 c - d = 92
3
------ -----2 a = 168 2 c = 68
a = 84 c = 34
b = 51 d = 126 26689 = 34² + 51² + 84² + 126²
34 ² = 2² x 17² 2 2
2 + 3 = 13
51² = 3² x 17²
84 ² = 2² x 42² 2 2
17 + 42 = 2053
126 ² = 42² x 3²
-----------------------------------------------------------------------Ejercicio 5
2222
N = 56117 = 169 + 166 = 226 + 71
c + d = 169 a + b = 226
c - d = 71 a - b = 166
----- ---2 c = 240 2 a = 392
c = 120 a = 196
d = 49 b = 30
-----------------------------------------a = 4 x 49 b = 2 x 15 c = 2 x 15 x 4 d = 7 x 7
49 ² + 30 ² = 3301
4 ² + 1 ² = 17
3301 x 17 = 56.117
a = 4 ² x 7 ² x 7 ²
4
b = 2 ² x 3 ² x 5 ²
c = 2 ² x 4 ² x 3 ² x 5 ²
d = 7 ² x 7 ²
---------------------------------------------------------------------Ejercicio 6
22
N = 28845 = 99 + 138
28845 : 5 = 5769 5 = 2 ² + 1
5769 = 12 ² + 75 ²
( 12 ² + 75² ) ( 2 ² + 1 ² ) = ( 24 ² + 150 ² + 12 ² + 75² )
( 24 + 75 ) ² = 99 ² ( 150 - 12 ) ² = 138 ²
28845 = 99 ² + 138 ²
28845 = 51 ² + 162 ²
---------------------------------------------------------------------28845 : 45 = 641 641 = 25 ² + 4 ²
45 = 6 ² + 3 ²
( 25 ² + 4 ² ) ( 6 ² + 3 ² ) = ( 150 ² + 24 ² ) + ( 75² + 12 ² )
2222
= 162 + 51 = 138 + 99
-------------------------------------------------------------------------------Ejercicio 7
N = 26689 = 135 ² + 92 ²
Multiplicado por “ 5 “
5 x 26689 = 133.445
( 135² + 92² ) ( 2² + 1² ) = ( 270² + 184² ) + ( 135² + 92² ) =
= 362² + 49² = 178² + 319²
5
---------------------------------------------------------a + b = 362 c + d = 319
a - b = 178 c - d = 49
----- ----540 368
a = 270 c = 184
b = 92 d = 135
a = 270 = 2 x 5 x 3 x 3 x 3
b = 92 = 2 x 2 x 23
c = 184 = 2 x 2 x 2 x 23
d = 135 = 3 x 3 x 3 x 5
2 ² + 3 ² = 13
N = 26689 = 13 x 2053
----------------------------------------------------------------------Ejercicio 8
Todo cuadrado ,entero, positive,puede descomponerse como la diferencia
entre la suma de dos grupos de 3 cuadrados.
N ² = ( a ² + b ² + c ² ) ⠓ ( d ² + e ² + f ² )
Condición :
a+d=Nb+e=Nc+f=Nc=2Nâ “aâ “b
Ejemplo :
N = 161
161 ² = ( 101 ² + 97 ² + 124 ² ) - ( 60 ² + 64 ² + 37 ² )
Si ,
( 2 N - a - b ) ² ⠡ 1 ( módulo N )
( 2 N ⠓ a ⠓ b ) ² = 4 N - 4 a N - 4 b N + a ² + 2 a b + b ² ⠡ 1 ( módulo N )
6
( a + b ) ² ⠡ 1 ( módulo N )
Luego ¿ ( a + b ) = N + 1 ? . Es posible, pero no necesario.
---------------------------------------------------------------1
8
7