PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio 2, Opción A Junio, Ejercicio 2, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 2, Opción A Reserva 1, Ejercicio 2, Opción B Reserva 2, Ejercicio 2, Opción A Reserva 2, Ejercicio 2, Opción B Reserva 3, Ejercicio 1, Opción B Reserva 3, Ejercicio 2, Opción A Reserva 3, Ejercicio 2, Opción B Reserva 4, Ejercicio 2, Opción A Reserva 4, Ejercicio 2, Opción B Septiembre, Ejercicio 2, Opción A Septiembre, Ejercicio 2, Opción B www.emestrada.net 1 dx 2 ( x x )( x 1) MATEMÁTICAS II. 2008. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A Calcula 2 R E S O L U C I Ó N Las raíces del denominador son: x 0 ; x 1 ; x 1 Descomponemos en fracciones simples: A ( x 1) 2 Bx( x 1) Cx 1 A B C x ( x 1) ( x 1) x x 1 ( x 1) 2 x ( x 1) 2 Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A, B y C sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores x 0 1 A x 11 C x 2 1 A 2B C B 1 Con lo cual: 1 2 dx 2 ( x x)( x 1) 1 2 1 dx x 1 2 1 dx x 1 1 2 1 1 dx ln x ln( x 1) 2 x 1 ( x 1) 1 ln 2 3 1 4 6 www.emestrada.net Sea f : la función dada por f ( x ) e 2 x a) Justifica que la recta de ecuación y 2ex es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de 1 abscisa x . 2 b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de ordenadas y la recta tangente del apartado anterior. MATEMÁTICAS II. 2008. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B R E S O L U C I Ó N a) La recta tangente en x 1 1 1 1 es y f f ' x 2 2 2 2 1 f e 2 1 f '( x ) 2 e 2 x f ' 2e 2 1 Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y e 2e x y 2ex 2 b) Hacemos el dibujo 0 1 2 e 2x e 2x 2ex dx ex 2 2 0 1 2 1 e e e 1 u 2 2 2 4 4 2 www.emestrada.net Sea f : la función definida por f ( x ) ax 3 bx 2 cx d Se sabe que tiene un máximo local en x 1 , que el punto (0,1) es un punto de inflexión de su 1 9 f ( x ) dx .Calcula a, b, c y d. gráfica y que 4 0 MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. R E S O L U C I Ó N Calculamos la primera y segunda derivada de la función. f '( x) 3ax 2 2bx c ; f ''( x) 6ax 2b Vamos aplicando las condiciones del problema. - Máximo en x 1 f '(1) 0 3a 2b c 0 Pasa por (0,1) d 1 - Punto de inflexión en (0,1) f ''(0) 0 b 0 - 1 0 9 f ( x) dx 4 1 1 ax 4 3ax 2 a 3a 9 (ax 3ax 1) dx x 1 2 4 4 0 4 2 3 0 Resolviendo el sistema formado por estas ecuaciones sale: a 1 ; b 0 ; c 3 ; d 1 www.emestrada.net Sea Dadas las funciones f : 0, y g : 0, definidas por f ( x ) x y g( x ) 3 x calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g. MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 1. EJERCICIO 2.OPCIÓN A. R E S O L U C I Ó N Calculamos los puntos de corte de dichas funciones x 3 x x 3 x 2 x 2 ( x 1) 0 x 0 ; x 1 1 A 1 0 3 x 3 4 x3 x2 3 2 1 2 x dx u 4 3 4 3 12 2 0 3 www.emestrada.net Sea g : (0, ) la función dada por g( x ) ln x (ln x denota logaritmo neperiano). 1 a) Justifica que la recta de ecuación y x es la recta tangente a la gráfica de g en el punto de e abscisa x e . b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g, el eje de abscisas y la recta tangente del apartado anterior. MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 1. EJERCICIO 2.OPCIÓN B. R E S O L U C I Ó N a) La recta tangente en x e es y g (e) g '(e) ( x e) g (e) Ln e 1 1 1 g '( x) g '(e) x e 1 1 Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y 1 ( x e) y x e e b) El área de la región pedida es: 1 A x dx 0e e e x2 e e ln x dx x ln x x 1 1u 2 2 1 2e 0 e www.emestrada.net Sea f : Sean y g: las funciones definidas mediante f ( x ) x 3 4 x y g( x ) 3 x 6 a) Determina los puntos de corte de las gráficas de f y g. b) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas. MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 2. EJERCICIO 2.OPCIÓN A. R E S O L U C I Ó N a) Calculamos los puntos de corte de dichas funciones x 3 4 x 3x 6 x 3 7 x 6 0 x 2 ; x 1 ; x 3 b) 1 2 x 4 7x 2 x 4 7x 2 131 2 A x 7 x 6 dx x 7 x 6 dx 6 x 6x u 3 1 2 2 4 4 3 4 1 1 3 2 3 www.emestrada.net Calcula 1 x ln( x 1) dx . 0 MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 2. EJERCICIO 2. OPCIÓN B. R E S O L U C I Ó N Vamos a calcular la integral I x ln( x 1) dx , que es una integral por partes. u ln ( x 1); du 1 dx x 1 x2 dv x dx ; v 2 I x ln ( x 1) dx x2 1 x2 x2 1 x2 ln ( x 1) dx ln ( x 1) x ln( x 1) C 2 2 ( x 1) 2 2 2 Por lo tanto, la integral que nos piden es: 1 x2 x 2 x ln ( x 1) 1 x ln( x 1) dx ln ( x 1) 4 2 2 0 2 0 4 1 www.emestrada.net x x si x 2 la función definida por: f ( x ) 6 x si x 2 a) Esboza la gráfica de f. b) Estudia la derivabilidad de f. c) Calcula el área comprendida entre la gráfica de f y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. Sea f : R E S O L U C I Ó N x 2 si x 0 x x si x 2 2 a) Lo primero que hacemos es abrir la función. f ( x) x si 0 x 2 6 x si x 2 6 x si x 2 b) Por el dibujo vemos que la función es continua en x 0 y en x 2 . Vamos a estudiar la derivabilidad en esos dos puntos. 2 x si x 0 f '( x) 2 x si 0 x 2 1 si x 2 f '(0 ) 0 f '(0 ) f '(0 ) 0 Derivable en x 0 . f '(0 ) 0 f '(2 ) 4 f '(2 ) f '(2 ) 0 No derivable en x 2 . f '(2 ) 1 c) Ahora, calculamos la integral que nos piden: A 2 x dx 2 0 6 2 2 6 x3 x2 8 32 2 (6 x) dx 6 x (36 18) (12 2) u 2 2 3 3 30 www.emestrada.net Sea f : Sean y g: las funciones dadas por f ( x ) x 2 y g( x ) a (con a 0 ) Se sabe que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f y g es 4 . Calcula el 3 valor de la constante a. MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 3. EJERCICIO 2. OPCIÓN A. R E S O L U C I Ó N Como a 0 , la gráfica de g ( x ) a es un recta paralela al eje OX y por encima de él. La gráfica de f ( x ) es una parábola con vértice en (0,0) y ramas hacia arriba. 4 Como el área encerrada por el recinto es , y sabemos que la recta g ( x ) a es mayor que cero, 3 tenemos que A x3 a x dx ax 3 a a a 2 2a a 2 a ( a)3 ( a)3 a a a a 3 3 ( a)3 4 4a a 4 a 3 1 a 1 3 3 www.emestrada.net Calcula e x 2 ln x dx . 1 MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 3. EJERCICIO 2. OPCIÓN B. R E S O L U C I Ó N Vamos a calcular la integral I x 2 ln x dx , que es una integral por partes. 1 dx x x3 dv x 2 dx ; v 3 u ln x ; du I x 2 ln x dx x3 1 ln x 3 3 x3 x3 1 dx ln x x 3 C x 3 9 Por lo tanto, la integral que nos piden es: e e x3 x3 2e 3 1 x ln x dx ln x 9 1 9 3 2 1 www.emestrada.net Sea Considera las funciones f : 0, 2 y g : (0, ) f ( x) sen x cos 3 x y g( x ) x 3 ln x a) Halla la primitiva de f que tima el valor 1 cuando x (Se puede hacer el cambio de variable t cos x ). b) Calcula definidas por . 3 g( x ) dx MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 4. EJERCICIO 2. OPCIÓN A. R E S O L U C I Ó N a) t cos x dt sen x dx F ( x) sen x dt t 2 1 1 3 dx 3 t dt 2 C 3 cos x t 2 2t 2 cos 2 x 1 1 F 11 C 1 C C 1 1 3 2cos 2 3 2 Luego, F ( x) 1 1 2 cos 2 x b) x 3 ln x dx x 4 ln x x4 x 4 ln x x 4 dx C 4 4x 4 16 1 dx x x4 dv x 3dx ; v 4 u ln x ; du www.emestrada.net Sea g : la función dada por g( x ) 1 3 x x2 x. 4 a) Esboza la gráfica de g. b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g en el punto de abscisa x 2 . b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 4. EJERCICIO 2.OPCIÓN B. R E S O L U C I Ó N a) b) La recta tangente en x 2 es y g (2) g '(2) ( x 2) g (2) 0 g '( x) 3x 2 2 x 1 g '(2) 0 4 Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y 0 0 ( x 2) y 0 c) 2 x4 x3 x2 1 1 A x 3 x 2 x dx u 2 2 0 3 04 16 3 2 www.emestrada.net Sea Dada la función g : definida por g( x ) 2 x x 2 1 . a) Esboza la gráfica de g. c) Calcula 2 g( x ) dx . 0 MATEMÁTICAS II. 2008. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 2. OPCIÓN A. R E S O L U C I Ó N x 2 2 x 1 si x 1 a) Lo primero que hacemos es abrir la función. g ( x) 2 x x 2 1 x 2 2 x 1 si 1 x 1 x 2 2 x 1 si x 1 b) 2 0 g ( x) dx 1 ( x 2 x 1) dx 2 0 2 1 2 x3 x3 ( x 2 x 1) dx x 2 x x 2 x 6 3 0 3 1 2 1 www.emestrada.net Sean f : y g: las funciones definidas por f ( x ) x 2 1 , g( x ) 2 x 2 a) Esboza las gráficas de f y g. b) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas. MATEMÁTICAS II. 2008. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 2. OPCIÓN B. R E S O L U C I Ó N a) b) El área pedida es: 3 x3 32 2 A (2 x 2 x 1) dx ( x 2 x 3) dx x 2 3x u 1 1 3 1 3 3 2 3 2 www.emestrada.net