Cosas-Informe

Sistemas de ecuaciones lineales
En general, un sistema con m ecuaciones lineales con n incógnitas puede ser escrito en
forma ordinaria como:
Donde
son las incógnitas y los números
son los coeficientes del
sistema sobre el cuerpo
. Es posible reescribir el sistema separando con
coeficientes con notación matricial:
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna
de longitud m.
Método de la corrientes de mallas
También conocido como método de mallas su aplicación práctica se realiza de la siguiente manera;
se asigna a cada una de las mallas del circuito una corriente imaginaria que circula en el sentido
que nosotros elijamos; para facilitar en todas las mallas el mismo sentido. Como la ley de mallas
de las Leyes de Kirchoff nos dice que la caída de tensión va a ser cero en una malla cerrada, eso
quiere decir que la caída de tensión que se produce en los elementos de nuestra malla es igual a la
tensión que suministran las fuentes en nuestra malla.
De cada malla del circuito, por tanto, se puede obtener una ecuación si ponemos la caída de
tensión en los elementos de la malla en función de la intensidad que circula por cada elemento. En
un circuito de varias mallas resolveríamos un sistema lineal de ecuaciones diferenciales y
obtendríamos las diferentes corrientes de malla.
Una rama que pertenece a dos mallas es recorrida por una intensidad resultado de la resta de las
intensidades de las mallas a las que pertenezca. Es importante tener esto en cuenta a la hora de
expresar la caída de tensión en la rama en función de la intensidad que circula por ella, por
ejemplo, en una resistencia entre dos mallas la caída sería: VR = R(i1 − i2) siendo i1 la intensidad
de la malla de la que estamos escribiendo su ecuación e i2 la malla contigua; es decir, tomando
como positiva siempre la corriente de la malla que estamos describiendo y negativas las demás. Es
importante el criterio de signos.
Resistencia Equivalente
Se denomina resistencia equivalente, RAB, de una asociación respecto de dos puntos A y B, a
aquella que conectada la misma diferencia de potencial, UAB, demanda la misma intensidad I .
Esto significa que ante las mismas condiciones, la asociación y su resistencia equivalente disipan la
misma potencia (ver Figura 1a)).
Figura 1. Asociaciones de resistencias: a) Serie y b) Paralelo. c) Resistencia equivalente
Asociación en serie
Dos o más resistencias se encuentran conectadas en serie cuando al aplicar al conjunto una
diferencia de potencial, todas ellas son recorridas por la misma corriente.
Para determinar la resistencia equivalente de una asociación serie imaginaremos que ambas,
figuras 1a) y 1c), están conectadas a la misma diferencia de potencial, UAB.
Si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a la asociación en serie tendremos:
Aplicando la ley de Ohm:
En la resistencia equivalente:
Finalmente, igualando ambas ecuaciones se obtiene que:
Y eliminando la intensidad:
Por lo tanto, la resistencia equivalente a n resistencias montadas en serie es igual a la suma
de dichas resistencias.
Asociación en paralelo
Dos o más resistencias se encuentran en paralelo cuando tienen dos terminales comunes de
modo que al aplicar al conjunto una diferencia de potencial, UAB, todas la resistencias
tienen la misma caída de tensión, UAB.
Para determinar la resistencia equivalente de una asociación en paralelo imaginaremos que
ambas, figuras 1b) y 1c), están conectadas a la misma diferencia de potencial mencionada,
UAB, lo que originará una misma demanda de corriente eléctrica, I. Esta corriente se
repartirá en la asociación por cada una de sus resistencias de acuerdo con la primera ley de
Kirchhoff:
Aplicando la ley de Ohm:
En la resistencia equivalente se cumple:
Igualando ambas ecuaciones y eliminando la tensión UAB:
De donde:
Por lo que la resistencia equivalente de una asociación en paralelo es igual a la inversa de la
suma de las inversas de cada una de las resistencias.
Existen dos casos particulares que suelen darse en una asociación en paralelo:
1. Dos resistencias: en este caso se puede comprobar que la resistencia equivalente
es igual al producto dividido por la suma de sus valores, esto es:
2. k resistencias iguales: su equivalente resulta ser:
Para el gráfico de la triangulación de matrices
En éste gráfico se muestra (en cantidad de clocks de CPU) cómo crece exponencialmente el
tiempo que le toma a nuestro algoritmo resolver los sistemas de ecuaciones lineales a
medida que se incrementa la cantidad de incógnitas (en nuestro caso intensidades
eléctricas).
Para nosotros éstos resultados nos parecieron esperables, ya que el algoritmo que se
encarga de resolver el sistema, triangula la matriz asociada a dicho sistema aplicando el
método de Gauss con pivoteo parcial, lo que le demanda un tiempo de orden cúbico.