ingenieria estructural y relatividad

INGENIERÍA ESTRUCTURAL Y RELATIVIDAD
Benítez Reynoso, Alberto
Ingeniero Civil, M.Sc., M.E., Ph.D.
Tarija (Bolivia)
Docente Departamento de Estructuras
Universidad Autónoma J.M. Saracho
al_be_rey@hotmail.com
benitez1@entelnet.bo
RESUMEN
En la evolución histórica y conceptual de la Ingeniería Estructural figuran muchos
nombres de importantes ingenieros y científicos, que aportaron al desarrollo teórico y
empírico de esta rama de la Ingeniería.
En este artículo se plantea el problema mediante las preguntas siguientes: ¿Hay
alguna relación entre la Teoría de la Relatividad formulada por A. Einstein y la
Ingeniería Estructural? y ¿Cuál es esa relación?.
En consecuencia, el objetivo central del artículo puede formularse de la siguiente
manera: precisar la relación existente entre algunos elementos de la Teoría de la
Relatividad y la Ingeniería Estructural.
La metodología utilizada estriba en el "análisis" de aquellos elementos de la Teoría
de la Relatividad y la Ingeniería Estructural que pueden tener alguna relación y, la
"síntesis" en el momento de formular las conclusiones, una de las cuales establece
que, la principal relación entre la Teoría de la Relatividad y la Ingeniería Estructural
está vinculada a la significación que tiene la primera en el método de las variaciones,
sus implicaciones en la Mecánica Analítica y el Método de los Elementos Finitos.
ABSTRACT
In the history of Structural Engineering there are many important names of engineers
and scientists that contributed to the development of this branch of Engineering.
In this paper, the problem is formulated by the questions: Is there any relationship
between the Relativity Theory formulated by A. Einstein and Structural Engineering?
and What is that relationship?.
So, the objective is to establish the relationship between some elements of Relativity
Theory and Structural Engineering.
The methodology used is the "analysis" and "synthesis" and the main conclusion
establishes that the main relationship between the Relativity Theory and Structural
Engineering is related to the meaning of the first in the variational methods and its
implications to analytical mechanics and the Finite Element Method.
INTRODUCCIÓN
En ámbito científico, se entiende que una hipótesis científica que se ha comprobado,
por procedimientos también científicos, se convierte en una ley científica. Esta ley
científica se puede definir como una relación constante entre dos o más hechos,
fenómenos o variables. Asimismo, un conjunto de leyes científicas, unificadas,
ordenadas e interrelacionadas, constituye una teoría1.
La mecánica es una teoría científica que estudia el movimiento de los cuerpos y sus
causas, o bien el equilibrio, es decir, la falta de movimiento, como un caso particular
de movimiento. Se trata de una teoría científica porque, en primer lugar es
congruente con la definición de teoría establecida anteriormente y, en segundo
término, porque interpreta la realidad observada que, en este caso, son los
fenómenos naturales que se observan experimentalmente. Para ello, la mecánica
parte de unos principios fundamentales, sobre los que se basa una teoría mediante
modelos matemáticos, dando así una interpretación y explicación coherente a las
observaciones de tipo experimental2.
En la actualidad, hay tres teorías principales de la mecánica, a saber2:
− La mecánica clásica, cuyo desarrollo moderno se considera que se inicia con los
“Principios Matemáticos de la Filosofía Natural”3, continuando con otros
destacados científicos como los Bernoulli, Euler, D’Alembert, Lagrange, Hamilton
y otros.
− La mecánica relativista, que suple la inexactitud de la mecánica clásica para
velocidades cercanas a la velocidad de la luz (teoría de la relatividad restringida)
o para campos gravitatorios muy intensos (teoría de la relatividad generalizada).
La propuso Albert Einstein e implica un rigor matemático mayor.
− La mecánica cuántica, que surge de las observaciones de las partículas
elementales, en las que intervienen acciones (productos de energía por tiempo)
tan pequeñas que son comparables a la constante de Planck. En este caso se
aplica el principio de incertidumbre o indeterminación de Heinsenberg, que
establece la imposibilidad de medir de manera precisa la posición y la velocidad
de la partícula al mismo tiempo, variables cuyos valores se pueden conocer sólo
de manera probabilista. Se debe a Broglie, Schrodinger y Dirac, como los
científicos más relevantes.
La mecánica clásica, conocida también como mecánica analítica, dinámica o
simplemente mecánica, constituye una teoría coherente, capaz de proporcionar
interpretaciones y predicciones suficientemente precisas para la mayoría de los
fenómenos que observamos, concretamente para el movimiento de los cuerpos
materiales y el equilibrio de éstos como caso particular.
Vale la pena destacar que la mecánica no es una teoría agotada en su desarrollo, es
decir, las nuevas y permanentes investigaciones podrían provocar nuevas
interpretaciones de los fenómenos. En este ámbito, se tiene la mecánica de los
medios continuos como parte de la mecánica clásica, que estudia el movimiento y
deformación de los medios continuos como los sólidos y los fluidos. Así, se tienen, la
mecánica de los materiales o resistencia de materiales, la mecánica de los fluidos y
la mecánica de los suelos, las tres de capital importancia en la ingeniería civil.
Indudablemente, la base de la mecánica, como teoría científica, está constituida por
las leyes de Newton, formuladas en su obra denominada Principios Matemáticos de
la Filosofía Natural, ya referida anteriormente. Estas leyes, tal como se las formula
en la actualidad, son:
−
Primera Ley: Un cuerpo siempre está en reposo o en movimiento uniforme, a
menos que haya una causa (fuerza) capaz de modificar dichos estados.
− Segunda Ley: Si sobre un cuerpo actúa una fuerza diferente de cero, el mismo
adquiere una aceleración proporcional a la magnitud de la fuerza y en su misma
dirección.
− A toda acción (fuerza) se opone una reacción (fuerza) de la misma magnitud,
dirección y sentido contrario.
La mecánica clásica o de Newton, juntamente con una parte importante de la
mecánica analítica, de desarrollo posterior, constituyen, hasta ahora, el sustento
científico de la Ingeniería Estructural. Debido a esto es que en muchas
universidades del mundo, dentro de las Facultades y Carreras de Ingeniería Civil, se
han creado Departamentos de Mecánica Estructural.
Cuando se da una mirada a la Mecánica Relativista y a la propia Teoría de la
Relatividad, como Ingeniero Estructural uno puede formular las siguiente preguntas:
¿Hay alguna relación entre la Teoría de la Relatividad formulada por A. Einstein y la
Ingeniería Estructural? y ¿Cuál es esa relación?.
En consecuencia, el objetivo central del artículo puede formularse de la siguiente
manera: precisar la relación existente entre algunos elementos de la Teoría de la
Relatividad y la Ingeniería Estructural.
METODOLOGÍA
La metodología utilizada estriba en el "análisis" de aquellos elementos de la Teoría
de la Relatividad y la Ingeniería Estructural que pueden tener alguna relación y, la
"síntesis" en el momento de establecer esta relación y formular las conclusiones.
RESULTADOS
¿Qué relación tienen los aportes de este científico, considerado como el más grande
del siglo XX, con la Ingeniería Estructural?. Aparentemente ninguna, pero, a
continuación, veremos que, evidentemente, Einstein hizo contribuciones que
permitieron el avance científico de la Mecánica, sustento científico, hasta ahora
vigente, de la Ingeniería Estructural.
Desde que Newton formula los principios fundamentales de la Mecánica,
sintetizados en sus famosas tres leyes del movimiento, la Mecánica, como ciencia,
se ha desarrollado principalmente a lo largo de dos líneas, a saber4:
a) La mecánica vectorial, la cual comienza directamente de las leyes del
movimiento de Newton. Esta apunta al reconocimiento de todas las fuerzas
que actúan sobre una partícula dada, siendo su movimiento únicamente
determinado por las fuerzas conocidas que actúan sobre esta en cada
instante. Entonces, lo básico en la mecánica vectorial son el análisis y la
síntesis de fuerzas y momentos.
b) Si bien en la mecánica de Newton la acción de una fuerza es medida por el
momento (momentum) producida por esa fuerza, Leibniz se refiere a otra
cantidad, la “fuerza viva” (vis viva o living force), como una medida apropiada
para la acción dinámica de una fuerza. Esta fuerza viva de Leibniz coincide
con la variable que hoy conocemos como energía cinética, excepto el factor 2
(exponente en la ecuación de la energía cinética). Entonces, Leibniz
reemplaza el “momentum” de Newton por la “energía cinética”. Asimismo,
reemplaza la “fuerza” de Newton por el “trabajo de la fuerza”, el mismo que
fue reemplazado más tarde por una cantidad más básica, la “función trabajo”.
Consecuentemente, Leibniz es el creador de esta segunda rama de la
mecánica, llamada “mecánica analítica”, la cual basa su estudio del equilibrio
y movimiento en dos cantidades escalares fundamentales, la “energía
cinética” y la “función trabajo”, esta última es frecuentemente reemplazada por
la “energía potencial”.
Como el movimiento es un fenómeno directo de la naturaleza, parece raro o
enigmático que dos cantidades escalares sean suficientes para determinar el
movimiento. El teorema de la energía, que establece que la suma de las energías
cinética y potencial son constantes durante el movimiento, arroja solo una ecuación,
mientras que el movimiento de una partícula simple en el espacio requiere tres
ecuaciones. En el caso de sistemas mecánicos compuestos por dos o más
partículas la discrepancia llega a ser aún más grande. Es un hecho de que estas dos
cantidades escalares fundamentales contienen la dinámica completa de los más
complicados sistemas materiales, considerando que estas son las bases de un
principio más que una ecuación.
Veamos el procedimiento de Euler y Lagrange. Imaginemos una partícula que se
encuentre en el punto P1 en el tiempo t1 y, en el punto P2, después de que un tiempo
dado ha transcurrido. Aunque no conocemos la trayectoria o camino seguido por la
partícula, es posible establecer el camino completamente por experimentación
matemática, tomando en cuenta que las energías cinética y potencial están dadas
para cualquier velocidad y posición.
Euler y Lagrange, los primeros en plantear el principio de acción mínima, proceden
como sigue4:
− Conectemos los dos puntos P1 y P2 por cualquier trayectoria o camino
tentativo. Con toda probabilidad este camino, que puede ser escogido como
una curva arbitraria continua, no va a coincidir con la trayectoria o camino real
que la naturaleza ha elegido para el movimiento. Sin embargo, podemos
corregir gradualmente nuestra solución tentativa y, eventualmente, arribar a
una curva que puede ser considerada como la trayectoria o camino real del
movimiento.
− Para el propósito señalado, dejamos que la partícula se mueva a lo largo de
la trayectoria o camino tentativo de acuerdo con el principio de la energía. La
suma de las energías cinética y potencial se mantiene constante y siempre es
igual a un valor E, que el movimiento real ha revelado en el tiempo t1. Esta
restricción asigna un valor definido de la velocidad para cualquier punto de de
nuestra trayectoria y, por lo tanto, determina el movimiento. Podemos elegir la
trayectoria libremente, pero, una vez que esto se ha hecho, la conservación
de la energía determina el movimiento únicamente.
− En particular, podemos calcular el tiempo en el cual la partícula pasará un
punto dado arbitrariamente de nuestra ficticia trayectoria o camino y, por
tanto, la integral de la fuerza viva (vis viva), del doble de la energía cinética,
extendida sobre todo el movimiento, desde P1 hasta P2. Esta integral es
llamada acción. Tiene un valor definido para nuestra trayectoria tentativa y
para cualquier otra trayectoria tentativa. Estas trayectorias, consideradas
siempre entre los mismos puntos, P1 y P2 y siempre con la misma energía
constante.
− El valor de esta acción varía de trayectoria a trayectoria. Para algunas
trayectorias será más grande y, para otras, más pequeño. Podemos imaginar
que, matemáticamente, todas las trayectorias han sido ensayadas.
− Debe existir un camino o trayectoria definida (al menos si P1 y P2 no están
muy distantes) para la cual la acción asume un valor mínimo.
− El principio de acción mínima sostiene que esta trayectoria particular es la
elegida por la naturaleza como la trayectoria real del movimiento.
El procedimiento descrito sintetiza la aplicación del principio para una partícula
simple, que puede ser generalizado para cualquier número de partículas y cualquier
sistema mecánico arbitrariamente complicado.
Hay problemas de la mecánica en los cuales la función trabajo es una función no
solo de la posición de la partícula sino también del tiempo. Para estos, no se cumple
el principio de conservación de la energía y, el principio de Euler y Lagrange no es
aplicable, pero, el principio de Hamilton es aplicable.
En el procedimiento de Hamilton otra vez comenzamos con el punto inicial dado P1 y
el punto final dado P2. Pero, ahora no se restringe el movimiento ensayado (prueba)
de ninguna manera. No solo la trayectoria puede ser elegida arbitrariamente (salvo
para condiciones naturales de continuidad) sino que el movimiento en el tiempo está
a nuestra disposición. Todo lo que se requiere ahora es que nuestro movimiento
tentativo comience en el tiempo observado t1 del movimiento real y termine en el
tiempo observado t2. Esta condición no es satisfecha en el procedimiento de Euler –
Lagrange porque el teorema de la energía restringe el movimiento y el tiempo
tomado para ir de P1 a P2, en el movimiento tentativo, generalmente diferirá del
tiempo tomando en el movimiento real.
La cantidad o variable característica que ahora usamos para medir la acción es la
integral de la diferencia entre las energías cinética y potencial. La formulación
Hamiltoniana del principio de la acción mínima establece que el movimiento real que
se produce en la naturaleza es ese particular movimiento para el cual esta acción
asume su menor valor.
Se puede demostrar de que, en el caso de sistemas conservativos, tales como los
que satisfacen la ley de la conservación de la energía, el principio de Euler –
Lagrange es una consecuencia del principio de Hamilton, pero este último principio
es válido aún para sistemas no conservativos.
El problema matemático de minimización de una integral tiene que relación con una
rama especial del cálculo, denominada “cálculo de variaciones” o “cálculo
variacional”. La teoría matemática muestra que los resultados finales pueden ser
establecidos sin tomar en cuenta la infinidad de posibles trayectorias o caminos.
Podemos restringir nuestro experimento matemático a tales caminos como
infinitamente cerca del camino actual o real. Un camino tentativo, que difiere del
camino actual en un arbitrario e infinitesimal grado es llamado “variación” del camino
actual y, el cálculo de variaciones investiga los cambios en el valor de una integral
causada por tales variaciones infinitesimales del camino.
Tomando en cuenta los descubrimientos de la relatividad, de Albert Einstein, los
siguientes puntos establecen la superioridad del método las variaciones (método
variacional) frente a las leyes del movimiento de Newton4:
1. El principio de relatividad requiere que las leyes de la naturaleza sean
formuladas con carácter de “invariante”, es decir, independientemente de
cualquier sistema especial de referencia. Los métodos de cálculo de
variaciones satisfacen automáticamente este principio, porque el mínimo de
una cantidad escalar no depende de las coordenadas en las cuales esta
cantidad es medida. Mientras que, las ecuaciones del movimiento de Newton
no satisfacen el principio de relatividad, el principio de la acción mínima se
mantuvo válido, con la única modificación de que la cantidad de la acción
básica tuvo que ser puesta en armonía con el requerimiento de la invariancia.
2. El principio de relatividad requiere que las leyes de la naturaleza sean
formuladas con carácter de “invariante”, es decir, independientemente de
cualquier sistema especial de referencia. Los métodos de cálculo de
variaciones satisfacen automáticamente este principio, porque el mínimo de
una cantidad escalar no depende de las coordenadas en las cuales esta
cantidad es medida. Mientras que, las ecuaciones del movimiento de Newton
no satisfacen el principio de relatividad, el principio de la acción mínima se
mantuvo válido, con la única modificación de que la cantidad de la acción
básica tuvo que ser traída en armonía con el requerimiento de la invariancia.
3. El Principio de la Relatividad General es automáticamente satisfecho si la
“acción” fundamental del principio variacional es elegida como un invariante
bajo cualquier transformación de coordenadas. Como la geometría diferencial
de Riemann nos provee de tales invariantes, no hay dificultad en establecer
las requeridas ecuaciones de campo. Además, nuestro conocimiento actual
de matemáticas no da ninguna pista para la formulación de una co-variante y,
al mismo tiempo consistente, sistema de ecuaciones de campo. Entonces, a
la luz de la relatividad, la aplicación del cálculo de variaciones adquiere una
significación especial.
El objeto de incorporar a Einstein en la historia de la mecánica e ingeniería
estructural fue el de precisar la relación entre los principios de la relatividad y los
métodos de la ingeniería estructural. Hasta ahora, vimos que la relatividad tiene una
significación especial en el método de las variaciones y sus implicaciones en la
mecánica analítica; ahora veamos la importancia que tiene este método, de las
variaciones, en la ingeniería estructural.
Dentro de la gama de métodos existentes hoy en día para el cálculo o análisis de
estructuras de ingeniería, incluyendo los sistemas estructurales más complejos, está
el Método de los Elementos Finitos. En este contexto, los principios variacionales
pueden utilizarse para determinar soluciones aproximadas a problemas de medios
continuos.
El cálculo variacional estudia los métodos que permiten determinar los valores
extremos (máximos y mínimos) de los funcionales. Los problemas mediante los
cuales se investigan los máximos y mínimos de una funcional, se denominan
problemas variacionales. En la física en general y, en la mecánica en particular,
muchas leyes se reducen a plantear que ciertas funcionales alcancen su máximo o
su mínimo en el proceso en cuestión, dichas leyes reciben el nombre de principios
variacionales de la física o de la mecánica. A estos principios variacionales
pertenecen el principio de la acción mínima, la ley de la conservación de la energía,
la ley de conservación del impulso, el principio de Castigliano en teoría de la
elasticidad, etc. El cálculo variacional comenzó a desarrollarse en 1696, llegando a
ser una disciplina matemática independiente con métodos propios de investigación
después de los trabajos de L. Euler, quien se considera como el fundador o padre
del cálculo variacional (Elsgoltz, 1969).
El método de Rayleigh – Ritz, basado en el principio de la energía potencial total, se
aplica a estructuras de ingeniería, cuyo comportamiento ante las cargas puede
plantearse mediante expresiones integrales extendidas a toda la estructura, como
son las expresiones de la energía potencial total. A los métodos que obtienen la
formulación de los elementos (finitos) a partir de la energía potencial total, se les
denomina métodos variacionales, en concordancia con lo descrito en los párrafos
que anteceden. Estos métodos, junto con el método de los residuos ponderados,
constituyen la forma débil del Método de los Elementos Finitos de resolución del
problema elástico, ya que lo hacen de forma aproximada, mediante integraciones
extendidas a toda la estructura5.
He ahí la relación existente entre los principios de la relatividad de Einstein, el
cálculo variacional y la ingeniería estructural.
CONCLUSIONES
− Si bien, la mecánica clásica o de Newton, junto con la mecánica analítica y la
mecánica del medio continuo, sigue siendo el sustento científico de la Ingeniería
Estructural, los principios de la relatividad formulados por A. Einstein tienen una
relación, como la descrita, con algunos elementos inherentes a la mencionada
rama de la Ingeniería.
− La relación citada en el párrafo que antecede radica principalmente en
significación especial que tiene la relatividad en el método de las variaciones y
sus implicaciones en la mecánica analítica, que permitieron el desarrollo del
Método de los Elementos Finitos, cuyo uso, popularidad, versatilidad y
aplicaciones son indiscutibles.
REFERENCIAS
1. Gutierrez, R. (1996). Introducción al método científico. Esfinge, México.
2. Goicolea, J. (2001). Curso de mecánica, volumen I. Universidad Politécnica de
Madrid.
3. Newton, I. (1687/2004). Principios matemáticos de la filosofía natural. Alianza
Editorial, Madrid.
4. Lanczos, C. (1970). The variational principles of mechanics. Dover publications,
Inc., New York.
5. Vásquez, M. y E. López (2001). El Método de los Elementos Finitos Aplicado al
Análisis Estructural. Editorial Noela, Madrid.