Introducción al modelo estándar en el background field method

ENSEÑANZA
REVISTA MEXICANA DE FÍSICA 48 (2) 155–181
ABRIL 2002
Introducción al modelo estándar en el background field method electrodebil
Luis G. Cabral-Rosetti
Instituto de Ciencias Nucleares
Departamento de Fı́sica de Altas Energı́as
Universidad Nacional Autónoma de México, (ICN-UNAM)
Circuito Exterior, C.U., Apartado Postal 70-543, 94510 México, D.F., México
luis@nuclecu.unam.mx
Recibido el 28 de mayo de 2001; aceptado el 17 de agosto de 2001
En este trabajo docente, revisamos la formulación del modelo estándar (ME) electrodebil SU (2)L ⊗ U (1)Y en el contexto del Background
Field Method (BFM). Primeramente, analizamos con cierto detalle las diferentes partes del lagrangiano del ME. A continuación, llevamos a
cabo la cuantización canónica del ME, vı́a integral de caminos. De la misma forma, cuantizamos el ME en el esquema del BFM y analizamos
sus ventajas. Listamos algunas de las identidades de Ward que surgen del BFM electrodebil. Como ejemplo calculamos la carga y el momento
magnético del neutrino y probamos la tranversalidad de la autoenergı́a γB ZB a un lazo por cálculo directo. Finalmente, listamos las reglas
de Feynman del BFM electrodebil en la norma de ’t Hooft-Feynman (ξQ = 1).
Descriptores: Modelo estándar; background field method; background field method electrodebil; interacciones electrodebiles.
In this educational work, we review the formulation of the Standard Model (SM) SU (2)L ⊗U (1)Y in the context of electroweak Background
Field Method (BFM). Firstly, we analyze the different parts of the Lagrangian of the SM with certain detail. Secondly, we make the canonical
quantization of SM, via path integral. In the same way, we quantize the SM in the BFM framework and we analyze its advantages. We list
some Ward identities from electroweak BFM. For example, we calculate the electric charge and the magnetic moment of the neutrino and we
show the transversality of the self-energy γB − ZB at one-loop by direct calculation. Finally, we list the Feynman rules of the electroweak
BFM in the ’t Hooft-Feynman gauge (ξQ = 1).
Keywords: Standar model; background field method; electroweak background field method; electroweak interactions.
PACS: 11.15.-q; 11.15.-m,; 12.38.-t; 12.38.Ex
1. Generalidades del modelo estándar
El modelo estándar (ME) de las interacciones electrodebiles fue propuesto por S. L. Glashow [1] y A. Salam [2], S.
Weinberg [3] para leptones y posteriormente extendido para
grados de libertad hadrónicos mediante el llamado mecanismo GIM [4]. Dicho modelo es hoy por hoy la mejor formulación que unifica las interaciones electromagnéticas y débiles;
es teóricamente consistente y se encuentra en acuerdo con
todos los datos experimentales que involucran fenómenos de
origen electrodebil. Para energı́as que son pequeñas comparadas con la escala electrodebil, dicha teorı́a reproduce la
electrodinámica cuántica (QED), ası́ como el modelo de Fermi, los cuales dan una buena descripción de las interaciones
débiles y electromagnéticas a bajas energı́as. Dicho modelo
es mı́nimo en el sentido de que contiene el número más pequeño de grados de libertad necesarios para describir correctamente todos los experimentos conocidos.
El ME es una teorı́a de norma no abeliana basada en el
grupo semisimple SU (2)L ⊗ U (1)Y y es bien conocido por
los hechos experimentales que tres de los cuatro bosones de
norma son masivos (W + , W − y Z). Esto es implementado
mediante el mecanismo de Higgs–Kibble [5]. De cuerdo con
ello, se introduce un campo escalar Φ, cuyo valor esperado
en el vacı́o es diferente de cero y, por ello, el grupo de norma
de simetrı́a SU (2)L ⊗ U (1)Y es roto espontáneamente. De
esta manera la invariancia bajo el subgrupo electromagnético
U (1)em es preservada, haciendo con ello que el bosón de nor-
ma asociado a este subgrupo permanezca sin masa y que podamos identificarlo con el fotón (γ), esquemáticamente
<Φ>6=0
SU (2)L ⊗ U (1)Y −→ U (1)em .
El ME es quiral, ya que los fermiones levógiros y dextrógiros se transforman de acuerdo con diferentes representaciones del grupo de norma, consecuentemente las masas
de los fermiones están prohibidas en esta teorı́a simétrica.
Ellas deberán de ser generadas a través del rompimiento espontáneo de la simetrı́a vı́a los acoplamientos de Yukawa.
La diagonalización de las masas de los fermiones introduce la matriz de mezcla Vij de Cabbibo-Kobayashi-Maskawa
en el sector de quarks [6], la cual puede dar origen a la violación de CP. En esta teorı́a, los fermiones aparecen en generaciones y su número no es fijado por el modelo; sin embargo, del experimento sabemos que deberán de ser exactamente
tres con sus correspondientes neutrinos.
El ME es una teorı́a cuántica de campos consistente, renormalizable y libre de anomalı́as lo cual fue probado por
G. ’t Hooft [7, 8]. Por lo tanto, dado un conjuto finito de
parámetros de entrada (inputs), dicho modelo nos permite
calcular únicamente correcciones cuánticas y las cantidades
medibles pueden ser predichas orden a orden en teorı́a de perturbaciones.
El presente trabajo de introducción al BFM electrodebil
está organizado como sigue: en la Sec. 2 construimos el lagrangiano clásico del modelo estándar (ME), analizando con
156
LUIS G. CABRAL-ROSETTI
detalle cada una de sus partes. En la Sec. 3, llevamos a cabo
el programa de cuantización del ME vı́a integral de caminos, y obtenemos los propagadores de los bosones vectoriales para diferentes elecciones del parámetro de norma. En la
Sec. 4 hacemos la cuantización del ME en el esquema del
background field method, basándonos para ello en la Ref. 9.
En la Sec. 5, listamos algunas identidades de Ward del BFM
electrodebil. En la Sec. 6 aplicamos el BFM electrodebil al
cálculo de la carga y el momento magnético del neutrino en
la norma de ’t Hooft-Feynman (ξQ = 1). De igual manera,
calculamos la parte transversa de la autoenergı́a γB − ZB y
mostramos que cuando q 2 = 0 dichaPautoenergı́a es cero,
γ Z
en acuerdo con la identidad de Ward TB B (0) = 0 de la
teorı́a. En la Sec. 7 damos nuestras conclusiones y, finalmente, en el Apéndice A listamos todas las reglas de Feynman
del BFM electrodebil por completes.
en donde por conveniencia hemos puesto un acento circunflejo a los campos clásicos.
Debido a que el grupo de norma no es simple, existen
dos constantes de acoplamiento; el acoplamiento del grupo
de norma SU (2)L es g2 , y el acoplamiento para el grupo de
norma U (1)Y es g1 . La derivada covariante está dada por
b µ = ∂µ − i g2 I a W
cµa + i g1 1 YW B
bµ .
D
W
2
(2.5)
El operador de carga eléctrica Q está compuesto por la
3
tercera componente del generador de isoespı́n débil IW
y
la hipercarga débil YW , de acuerdo con la relación de Gellmann–Nishijima:
1.. El lagrangiano clásico del modelo estándar
3
Q = IW
+
El lagrangiano clásico LC del ME , se encuentra compuesto de tres partes; una de ellas es la parte de Yang-Mills,
otra de Higgs y la última de fermiones:
1
YW .
2
(2.6)
1.2.. El sector de Higgs
LC = LY M + LH + LF ,
(2.1)
cada una de ellas es separadamente invariante de norma, las
cuales especificaremos a continuación.
El sector mı́nimo de Higgs consiste en un único campo
b
escalar complejo Φ(x),
doblete bajo SU (2)L , con hipercarga
débil YW = 1:
1.1.. El sector de Yang-Mills
Esta parte de Yang–Mills es también conocida como la
parte de norma del lagrangiano clásico, en donde los campos
de norma son cuatro campos vectoriales que se transforman
de acuerdo con la representación adjunta del grupo de norma
semisimple SU (2)L ⊗ U (1)Y . El isotriplete de los campos de
a
d
norma W
µ , a = 1, 2, 3 está asociado con los generadores
a
bµ
IW del grupo de isoespı́n débil SU (2)L y el isosinglete B
con la hipercarga débil YW del grupo U (1)Y , cuya álgebra de
Lie se expresa como
a
b
a
[IW
, IW
] = i ²abc IW
,
(2.2)
a
[IW
, YW ] = 0,
(2.3)
en donde ²abc es la constante de estructura totalmente antisimétrica del grupo SU (2).
El lagrangiano de los campos de norma es
1 ba baµν
1 b b µν
F F
− B
µν B
4 µν
4
1
cνa − ∂ν W
cµa + g2 ²abc W
cµb W
cνc )2
= − (∂µ W
4
1
bν − ∂ν B
bµ )2 , (2.4)
− (∂µ B
4
LY M = −
 + 
φb (x)
.
Φ(x) = 
◦
b
φ (x)
(2.7)
Éste está acoplado a los campos de norma vı́a la derivada
covariante (2.5) y tiene autointeracción, resultando con ello
el lagrangiano
b † )(D
b − V (Φ).
b
b µΦ
b µ Φ)
LH = (D
(2.8)
El potencial de Higgs es
b =
V (Φ)
λ ³ b † b ´2
b † Φ,
b
Φ Φ − µ2 Φ
4
(2.9)
el cual está construido de tal manera que da origen a la rotura
espontánea de la simetrı́a. Esto significa que los parámetros
b tenga un
λ y µ son elegidos para que el potencial V (Φ)
mı́nimo para un campo de Higgs
­ ® no nulo, es decir, el valor
de expectación en el vacı́o Φ del campo de Higgs no es
cero.
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
157
INTRODUCCIÓN AL MODELO ESTÁNDAR EN EL BACKGROUND FIELD METHOD ELECTRODEBIL
1.3.. El sector fermiónico
1.4.. Parámetros y Campos fı́sicos
Los fermiones levógiros de cada generación de leptones
b y de quarks (Q)
b están agrupados en dobletes de SU (2)L
(L)
(eliminamos el ı́ndice de color):
La teorı́a es construida de tal manera que el estado fundamental de los campos escalares satisfaga la relación
 L
νbk
b L = ω− L
bk =   ,
L
k
b
lkL

b L = ω− Q
bk = 
Q
k
u
bLk
dbLk
¯­ ¯ ¯ ®¯2
v2
¯ ¯ ¯ ¯
6= 0,
¯ 0Φ0 ¯ =
2

 , (2.10)
(2.13)
donde v es el mı́nimo del potencial de Higgs, es decir,
y los fermiones dextrógiros en singletes:
b
lkR = ω+b
lk ,
u
bR
bk ,
k = ω+ u
b
dbR
k = ω+ d k ,
v2 =
(2.11)
donde ω± = 1/2(1 ± γ5 ) es el proyector de helicidad para los campos dextrógiros y levógiros, respectivamente, k es
el ı́ndice de generación y νb, b
l, u
b y db denotan los neutrinos,
los leptones cargados, los quarks tipo up y quarks tipo down,
respectivamente. La hipercarga débil de los multipletes dextrógiros y levógiros es elegida de tal manera que la carga
eléctrica conocida de los fermiones sea reproducida por la
relación de Gell-Mann–Nishijima (2.6). No existen los neutrinos dextrógiros en el ME mı́nimo, los cuales podrı́an ser
añadidos fácilmente dándoles el privilegio de tener masa [ver
los acoplamientos en el Apéndice, Ec.(A.26-A.27)]. Dicha
masa no ha sido observada experimentalmente hasta ahora
[10], aunque los últimos experimentos de las colaboraciones
Superkamiokande y SNO, sugieran que es posible que exista
[12].
La parte fermiónica del lagrangiano (en este trabajo no
tomaremos en cuenta la mezcla entre los quarks) quedará entonces como
LF =
X
Ã
!
bL i D
bL i D
bL + Q
bL
L
6b L
6b Q
k
k
k
k
k
Ã
!
X bR
R
R
b
bk i D
+
lk i D
6b b
lkR + u
6b u
bR
6 b dbR
k + dk i D
k
k
(2.14)
a bajos órdenes.
En teorı́a de perturbaciones tenemos que hacer una expansión alrededor del estado fundamental. La fase es elegida
de tal manera que la invariancia de norma del campo electromagnético U (1)em sea preservada y el campo de Higgs se
escribirá como


b
Φ(x)
=
φb+ (x)
√1 (v
2
b
+ H(x)
+iχ
b(x))


,
(2.15)
b χ
en donde las componentes H,
b y φb+ toman valor de expec+ b−
b
tación cero. Los campos φ , φ y χ
b son grados de libertad no
fı́sicos, los cuales pueden ser eliminados mediante una transformación de norma “conveniente”. La norma en que dichos
campos están ausentes es la llamada norma unitaria. El camb es el campo de Higgs fı́sico.
po H
Insertando (2.15) dentro del lagrangiano clásico (2.1) LC ,
el valor esperado del vacı́o v, introduce acoplamientos con dimensiones de masa y, por ende, términos de masa tanto para
los bosones de norma como para los fermiones.
La fı́sica de los bosones de norma y de los campos fermiónicos es obtenida por diagonalización de la correspondiente matrı́z de masa
Ã
!
X bL
L
L
b
b
l bR b
u Rb
d bR b
e
−
Lk Gk lk Φ+Qk Gk u
bk Φ+Qk Gk dk Φ+h. c. . (2.12)
´
³
c ± = √1 W
cµ1 ∓ i W
cµ2 ;
W
µ
2
  
  3
cµ
Zbµ
cW
sW
W
 =

,
bµ
bµ
− sW
cW
A
B
k
Notemos que en la derivada covariante D
6 = γ µ Dµ , el
término que relaciona a g2 actuando sobre fermiones dextrógiros está ausente, ya que ellos son singletes de SU (2)L .
Los campos fermiónicos son por definición autoestados de la
interacción de norma electrodebil, es decir, las derivadas covariantes son diagonales en esta base con respecto al ı́ndice
de generación. Glk , Guk y Gdk son matrices de los acoplamien¢
¡
b
e = φb0∗ , −φb− T es el conjugado
tos de Yukawa [14], Φ
¡ ¢∗
de carga del campo de Higgs y φb− = φb+ . La simetrı́a
SU (2)L ⊗ U (1)Y prohibe explı́citamente términos de masa
para los fermiones. Las masas de los fermiones son generadas a través de los acoplamientos de Yukawa vı́a rotura espontánea de la simetrı́a.
4µ2
,
λ
(2.16)
donde
g2
cW = cos θW = √ 2
;
g1 + g22
p
sW = sen θW = 1 − cW2
(2.17)
y θW es el ángulo de mezcla débil. Las masas de los campos
fı́sicos están dadas por
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
158
LUIS G. CABRAL-ROSETTI
1
1 p
MW = g2 v ; MZ = v g12 + g22 ,
2
2
√
v Gf
Mγ = 0 ; MH = 2 µ ; mf = √
2
(2.18)
donde f denota a ν, l, u o d. La diagonalización de la matriz
de masa en los quarks, se lleva a cabo mediante la llamada
matriz de mezcla de Cabbibo-Kobayashi-Maskava (CKM), la
cual no será considerada en este trabajo. El lector interesado
en este sector del ME puede consultar, por ejemplo, la Ref.
14.
Los neutrinos permanecen sin masa, ya que debido a la
ausencia de neutrinos dextrógiros se prohiben los correspondientes acoplamientos de Yukawa que generarı́an sus “posibles” masas. Con la relación (2.18) hallamos para el ángulo
de mezcla débil
cW =
MW
MZ
,
sW2 = 1 −
2
MW
.
MZ2
(2.19)
Identificando el acoplamiento del campo √
del fotón Aµ
con el electrón e como la carga eléctrica (e = 4 π α) obtenemos
g1 g2
e= √ 2
g1 + g22
(2.20)
³
´
cµ± δ θbA − cW δ θbZ
cµ± = ∂µ δ θb± ∓ ieW
δW
sW
³
´
bµ − cW Z
bµ δ θb± ,
±ie A
sW
³
´
c
W
− b+
c + δ θb− − W
c
δ Zbµ = ∂µ δ θbZ − ie
W
,
δ
θ
µ
µ
sW
´
³
bµ = ∂µ δ θbA + ie W
cµ+ δ θb− − W
cµ− δ θb+ ,
δA
´
ie ³ b
H + v ± ib
χ δ θb±
2sW
Ã
!
2
2
−
s
c
W
∓ieφb± δ θbA − W
δ θbZ ,
2cW sW
³
´
e
b = ie φb+ δ θb− − φb− δ θb+ +
δH
χ
bδ θbZ ,
2sW
2cW sW
e ³ b+ b− b− b+ ´
δχ
b=
φ δθ + φ δθ
2sW
´
e ³b
−
H + v δ θbZ . (2.24)
2cW sW
δ φb± = ±
Y las correspondientes transformaciones para los campos
fermiónicos serán
ie bL b+
δ fbuL = √
fd θ
2sW
"
Ã
−ie Qf u δ θb −
A
o bien
e = g1 cW = sW g2 .
(2.21)
Las relaciones (2.18) y (2.21) nos permiten reemplazar en
el lagrangiano clásico LC el conjunto original de parámetros
g1 , g2 , λ, µ2 , Gf , por un conjunto de parámetros con interpretación fı́sica directa, es decir, la carga eléctrica e y las masas,
tanto de los bosones vectoriales MW y MZ , como del Higgs
fı́sico MH y los fermiones mf .
El lagrangiano especificado arriba es invariante bajo las
transformaciones locales del grupo norma SU (2)L ⊗ U (1)Y :
"
U = exp i g2 I
a
W
#
i
θa (x) − g1 YW θY (x) ,
2
,
α = {a, YW } .
1
sW
+ Qf d
d
2cW sW
cW
Ã
!
sW bZ bR
δ fbR = −ieQf δ θbA +
δθ f ,
cW
!
#
δ θb
Z
fbuL ,
!
#
Z
b
δ θ fbdL ,
(2.25)
donde fbuL denota a todos los dobletes de quaks tipo up y
neutrinos levógiros de la Ec. (2.10), fbdL denota sus compañeros de isoespı́n, es decir los quarks tipo down y leptones
levógiros, y fbR representa los singletes dextrógiros de la Ec.
(2.11).
(2.22)
2.. Cuantización en el formalismo convencional
a saber,
δLC
=0
δθa (x)
ie bL b−
δ fbdL = √
fu θ
2sW
"
Ã
A
b
−ie Qf δ θ +
1
sW
− Qf u
2cW sW
cW
(2.23)
En términos de campos fı́sicos las transformaciones infinitesimales de norma, tanto de los bosones vectoriales, como
de los campos escalares serán [13]:
Las teorı́as de norma como el modelo estándar (ME), que
nacen del paradigma de la invariancia de norma, representan
sistemas constreñidos en lo que a sus variables dinámicas se
refiere, es decir, existen variables tales como φ+ , φ− , χ, que
no representan verdaderos grados de libertad dinámicos. En
otras palabras, son grados de libertad no fı́sicos. Sin embargo,
aparecen como campos propagándose con masas proporcionales a las masas de los bosones vectoriales intermedios MW
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
INTRODUCCIÓN AL MODELO ESTÁNDAR EN EL BACKGROUND FIELD METHOD ELECTRODEBIL
y MZ . Dichos propagadores neutralizan las componentes logitudinales de los campos de norma masivos Wµ± y Zµ [14].
Como en el caso del método de cuantizacón a la Gupta–
Bleuler en QED, estamos forzados a introducir grados de libertad espurios con el fin de no perder la covariancia Lorentz.
El punto importante por señalar es que en estas formulaciones estamos obligados a eliminar los grados de libertad redundantes (resultado de la invariancia de norma de la teorı́a),
mediante una condición aceptable para fijar la norma. En el
lenguaje del formalismo para cuantizar mediante la integral
de caminos (path integral), debemos restringir la integral funcional para reflejar esta condición de fijar la norma. Es decir,
para cuantizar una teorı́a de norma, es necesario fijar la norma.
En este formalismo, los campos ϕ
b que aparecen en el lagrangiano clásico Ec. (2.1), son directamente cuantizados, es
decir,
LC (ϕ)
b −→ LC (ϕ) ,
Con las consideraciones arriba mencionadas es posible
escribir el término que fija la norma Ec. (3.3), de la forma
siguiente:
Ã
!2
ξ ³ µ b ´2
ξ
MZ
µb
=−
L
∂ Aµ −
∂ Zµ +
χ
2
2
ξ
Ã
!Ã
!
MW +
MW −
µ c+
µ c−
−ξ ∂ Wµ − i
∂ Wµ + i
φ
.
φ
ξ
ξ
(3.4)
conv
GF
Por otro lado, para poder compensar las contribuciones de
las componentes no fı́sicas de los campos de norma en Lconv
GF ,
es necesario introducir el campo de fantasmas de Faddeev–
Popov uα (x) y uα (x), (α = A, Z, W ± ), añadiendo el lagrangiano
Lconv
= − uα
FP
(3.1)
donde ϕ denota los campos cuánticos. Para ello es necesario añadir el llamado término que fija la norma (gauge fixing
term) en el lagrangiano clásico LC , haciendo con esto que se
rompa explı́citamente la invariancia de norma de la teorı́a. Tomando una norma renormalizable del tipo ’t Hooft (Rξ gauge) [15], la cual fija linealmente la norma [7, 8], tendremos
que1 :
p
ξA ∂ µ Aµ ;
p
1
F Z = ξZ ∂ µ Zµ − √ MZ χ;
ξZ
p
1
±
F W = ξW ∂ µ Wµ± ∓ i √ MW φ± ,
ξW
FA =
159
δF α β
u .
δ θbβ
En donde δF α /δ θbβ es la variación del término que fija la
norma F α bajo las transformaciones de norma infinitesimales dadas por la Ec. (2.24), en donde el acento circunflejo de
los campos ha sido omitido por comodidad.
Con todo lo anterior, el lagrangiano renormalizable completo para el ME electrodebil en el formalismo convencional
será
conv
Lconv
+ Lconv
.
ME = LC (ϕ) + LGF
FP
(3.2)
(3.5)
(3.6)
Todas las predicciones fı́sicas del ME son derivadas del
lagrangiano anterior Lconv
ME , empleando para ello los métodos
de la teorı́a cuántica de campos. Usualmente se aplica el formalismo de la integral de caminos para obtener las funciones
de Green de la teorı́a
resultando el siguiente lagrangiano que fija la norma:
"
L
conv
GF
D
#
1 ³ A ´2 ³ Z ´2
+
−
=−
F
.
+ F
+ 2F W F W
2
G(n),conv
(x1 , ..., xn ) =
1...n
(3.3)
En las relaciones anteriores, debemos notar que hemos escrito tres diferentes parámetros de norma ξj (j = A, Z, W ± ),
esto es debido al hecho de que en principio deberá existir un
parámetro de norma por cada campo de norma. Es común
poner todas las constantes iguales entre sı́, es decir, ξj = ξ
para toda j sin pérdida de generalidad. El parámetro de norma es una constante real positiva (ξ ² <e+ ), la cual no es más
que el multiplicador de Lagrange que aparece en el funcional
generador. Cuando dicho parámetro de norma toma ciertos
valores particulares, encontramos estructuras de norma conocidas [norma unitaria (ξ = 0), norma de ’t Hooft-Feynman
(ξ = 1), norma de Landau (ξ → ∞), etc].
¯ E
¯
¯
¯
0 ¯ T ϕ1 ...ϕn ¯ 0 ,
(3.7)
y con ellas se obtienen los elementos de la matrı́z S mediante la reducción de Lehmann–Symanzik–Zimmermann (LSZ)
[16]. El funcional generador Zconv con el que obtenemos dichas funciones de Green es definido como
Z
Z conv [J, ω, ω] =
Dϕ D u Du
( Z
)
h
i
×exp i d4 x Lconv
, (3.8)
ME + ϕJ + uω + ωu
donde J son las “fuentes clásicas” para los campos ϕ, y ω α ,
ω α denotan las fuentes para los fantasmas y antifantasmas
(de nuevo hemos suprimido el superı́ndice α para simplificar
1 Aqui elegimos el término que fija la norma como originalmente lo
hicieron K. Fujikawa, B. W Lee y A. I. Sanda. [14]
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
160
LUIS G. CABRAL-ROSETTI
la notación). Los campos cuánticos ϕ, u y u aparecen como variables de integración de la integral funcional en la Ec.
(3.8). Las funciones de Green son obtenidas de Zconv [J, ω, ω]
tomando las derivadas funcionles con respecto a J:
G
(n),conv
1...n
¯
1 δ n Zconv ¯¯
(x1 , ..., x1 ) = n
¯
i δJ1 ...δJn ¯
"
.
gµν
Dµν (k) = − i
2
k − MV2
W conv[J, ω, ω] = ln Z conv[J, ω, ω] .
(3.9)
(3.10)
Finalmente, se define la acción efectiva mediante la transformada de Legendre
e = W conv[J, ω, ω]
Γconv = [ϕ,
e u
e, u]
Z
e ωe
e uω,
− i d4 x [ϕJ,
u] , (3.11)
#
V
J=ω=ω =0
De este modo, hallamos todas las funciones de Green disconexas de la teorı́a. Para poder hallar las funciones de Green
conexas simplemente tomamos el logaritmo de la Ec. (3.8):
,
"
#
−i
kµ kν
Dµν (k) = 2
gµν − 2
,
k − MV2
k
V
1 δ n Wconv
1 δ n Wconv
; u
eα =
;
i
δJ
i δωα
n
eα = − 1 δ Wconv .
u
i δω α
(3.12)
Las derivadas de la acción efectiva con respecto a los
campos ϕ
e son las funciones de vértice, o en otras palabras
son las funciones de Green irreducibles a una partı́cula (1PI)
de la teorı́a:
Γ
(n),conv
1...n
¯
δ n Γconv ¯¯
(x1 , ..., x1 ) =
¯
δϕ
e1 ...δ ϕ
en ¯
.
(3.13)
e
ϕ
e =e
u=u=0
La evaluación perturbativa del funcional generador dado
arriba, nos proporcionará las reglas de Feynman para el modelo estándar, ya que las funciones de Green pueden ser calculadas orden a orden [14]. De especial interés son la forma
que toman los propagadores de los bosones vectoriales, los
cuales en el Rξ gauge (lineal y no lineal) son
"
Ã
!
#
−i
1
k
k
µ
ν
V
Dµν
(k) = 2
gµν − 1−
, (3.14)
k −MV2
ξ k 2 −MV2 /ξ
donde V = A, Z, W ± (MA = 0). La expresión anterior
puede ser escrita como
"
#
gµν − kµ kν /MV2
kµ kν /MV2
Dµν (k) =−i
+ 2
. (3.15)
k 2 −MV2
k −MV2 /ξ
(3.17)
ésta es la llamada norma de Landau o también conocida como norma renormalizable, la cual es ampliamente usada en
QED.
(3) Cuando hacemos tender ξ → 0, obtenemos
V
ϕ
e=
(3.16)
ésta es la llamada norma de ’t Hooft–Feynman, en la cual los
propagadores de los bosones vectoriales son proporcionales
a gµν .
(2) Cuando hacemos tender ξ → ∞, obtenemos
"
#
−i
kµ kν
Dµν (k) = 2
gµν −
,
k − MV2
MV2
donde
V
Ası́, con la forma obtenida del propagador para los bosones
vectoriales en (3.15), es posible obtener la forma explı́cita de
dichos propagadores en otras normas conocidas:
(1) Cuando hacemos tender ξ → 1 obtenemos
(3.18)
la norma unitaria, en la cual los propagadores de los escalares no fı́sicos (φ± , χ) no existen, y de esta manera reestablecemos la unitariedad de la matriz S. Sin embargo, en el
“U gauge” las funciones de Green no son manifiestamente
renormalizables.
Para cualquier valor finito de ξ se tendrán singularidades en los propagadores de los mesones escalares no fı́sicos
(φ± , χ), de igual manera que los bosones vectoriales, es decir, cuando k 2 = MV2 /ξ. Para poder preservar la unitariedad
de la matriz S, estos polos no fı́sicos deberán de cancelarse en
dicha matriz, la cual relaciona únicamente partı́culas fı́sicas,
como son Wµ± , Zµ , Aµ y H.
Los propagadores tanto del Higgs, como de los mesones escalares no fı́sicos, ası́ como de los fantasmas, en el
Rξ gauge (lineal o no lineal) se escriben como
i
i,
∆j (k) = h
2
k − m2j /ξj
(3.19)
donde j = φ± , χ, uA , uZ , u± .
Como se mencionó antes, la invariancia de norma presente en el lagrangiano clásico LC se pierde por la introducconv
ción de los Lagrangianos Lconv
GF , que fija la norma, y LF P
de los fantasmas. Sin embargo, es posible definir un tipo
de transformación que involucre a los fantasmas, haciendo
posible que el lagrangiano completo del modelo estándar
Lconv
ME permanezca aún invariante; nos referimos desde luego
a las transformaciones propuestas por Becchi–Rouet–Stora–
Tyutin (BRST) [17]. Las relaciones que aparecen entre las
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
161
INTRODUCCIÓN AL MODELO ESTÁNDAR EN EL BACKGROUND FIELD METHOD ELECTRODEBIL
diferentes funciones de Green como consecuencia de la invariancia de norma de la teorı́a, son las llamadas identidades de
Slavnov–Taylor, que son la generalización al caso no abeliano de las identidades de Ward para QED [17]. Dichas identides BRST tienen una estructura muy complicada y en general
implican contribuciones con campos de fantasmas [19].
3.. Cuantización en el Background Field Method
electrodebil
Como se mencionó en la sección anterior, en el formalismo convencional los campos que aparecen en el lagrangiano clásico son directamente cuantizados, en cambio, en el
Background Field Method (BFM) esto es llevado a cabo separando los campos clásicos ϕ
b del lagrangiano LC en campos
clásicos de fondo (background) ϕ
b y campos cuánticos ϕ (ver
la Sec. 2.3 de la Ref. [9]),
LC (ϕ)
b −→ LC (ϕ
b + ϕ) .
(4.1)
Se añade un término que fija la norma con la propiedad
de romper únicamente la invariancia de norma del campo
cuántico, pero preservando la invariancia de la acción efectiva con respecto al campo clásico de fondo [20].
El término que fija la norma es el propuesto recientemente por A. Denner, S. Dittmaier y G. Weinglein como una generalización del Rξ gauge para el BFM extendido al sector
electrodebil 2 [21].
L
BF M
GF
"
#
³
´ 2
ξQB
g
1
b † Φm −Φ† Φ
bm
=−
∂µ B µ + i B Φ
m
m
2
2ξQ
"
´
ξQW ³ ac
c b W c,µ
−
δ ∂µ + g2 εabc W
µ
2
´
g2 ³ b † a
† a b
−i W Φ
m σmn Φn − Φm σmn Φn
2ξQ
#2
, (4.2)
donde σ a , a = 1, 2, 3, denota las matrices de Pauli, y ξQW ,
ξQB son los parámetros asociados con el término que fija la
norma para los campos cuánticos 3 . Es de hacer notar que a
pesar de existir parámetros análogos de norma para los campos clásicos, ellos pueden ser fijados de cualquier forma, sin
causar ningun daño a la invariancia de norma con respecto a
los campos clásicos de fondo [20]. La invariancia de norma
de los campos de fondo restringe el número de parámetros
cuánticos a dos, uno para SU (2)L y otro para U (1)Y . Los
b tienen el valor usual de expectacampos de Higgs de fondo Φ
ción no nulo v, contrastando con el campo de Higgs cuántico
Φ que es cero:


b
Φ(x)
=
φb+ (x)
b
+ H(x)
+iχ
b(x))


φ+ (x)
 .
Φ(x) = 
√1 (H(x) + i χ(x))
2
√1 (v
2


,
(4.3)
En el espı́ritu del BFM deberı́amos separar también los
campos fermiónicos en dos partes, una cuántica y otra de fondo. No obstante, debido a que los fermiones no entran en el
término que fija la norma, la cuantización de dichos campos
en el BFM se lleva a cabo de manera equivalente al formalismo convencional. Las reglas de Feynman para estos campos
son las mismas tanto para los campos de fondo como para
los cuánticos y es por esto que no es necesario hacer ningun
tipo de distinción entre ellos. En lo que sigue usaremos un
sı́mbolo común para dichos campos, es decir, eliminaremos
el acento circunflejo para los campos fermiónicos de fondo
con la finalidad de hacer más simple la notación.
A continuación, expresaremos el término que fija la norma (4.2) en términos de campos fı́sicos, justo como lo hicimos en la Sec. 3. Hacemos como antes ξQW = ξQB = ξQ sin
pérdida de generalidad, resultando:
M
LBF
GF
"
#
ξ Q ³ A ´2 ³ Z ´2
+
−
=−
G
. (4.4)
+ G
+ 2GW GW
2
donde
´
³
c −µ
cµ+ W −µ − Wµ+ W
GA = ∂ µ Aµ + ie W
e ³ b− + b+ − ´
+i
,
φ φ −φ φ
ξQ
´
cW ³ c + −µ
c −µ
GZ = ∂ µ Zµ − ie
Wµ W
− Wµ+ W
sW
2
e(c − s2W ) ³ b− + b+ − ´
−i W
φ φ −φ φ
2ξQ cW sW
³
´
e
b − vχ ,
+
χ
bH − Hχ
2ξQ cW sW
³
´
bµ − cW Zbµ W ±
= ∂ µ Wµ± ± ie A
µ
sW
³
cW µ ´ c ±
∓ie Aµ −
Z Wµ
sW
"
#
³
´
³
´
e
±
±
b
b
∓i
v + H ∓ ib
χ φ − H ∓ iχ φ
.
2ξQ sW
GW
±
2 Hemos hecho el cambio ξ B,W → 1/ξ B,W en los parámetros de norQ
Q
ma cuánticos, con respecto al término que fija la norma de la referencia
original [25].
3 En el BFM electrodebil, la invariancia de norma restringe el número
W
B
y ξQ
. Dichos parámetros se
de parámetros de norma cuánticos a dos, ξQ
W
Z
A
= c2W ξQ
+ s2W ξQ
encuentran relacionados mediante la igualdad ξQ
.
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
(4.5)
162
LUIS G. CABRAL-ROSETTI
Finalmente, debemos añadir la parte de los fantasmas de
Faddeev–Popov en el lagrangiano:
M
LBF
= − uα
FP
δGα β
u ,
δ θbβ
donde α = A, Z, W ± . Aquı́ δGα /δ θbβ es la variación del
término que fija la norma Gα bajo las siguientes transformaciones de norma infinitesimales cuánticas [22]:
(4.6)
"
#
´³
³
´ c ³
´
cW Z ´
W
A
bµ −
δθ −
= ∂µ δθ ∓ ie
+
δθ ± ie Aµ + A
Zµ + Zbµ δθ± ,
sW
sW
"
#
³
´
´
³
c
W
cµ+ δθ− − Wµ− + W
cµ− δθ+ ,
δZµ = ∂µ δθZ − ie
Wµ+ + W
sW
#
"
´
´
³
³
A
+
+
−
−
−
+
c
c
δAµ = ∂µ δθ + ie Wµ + Wµ δθ − Wµ + Wµ δθ
,
δWµ±
±
³
Wµ±
cµ±
W
³
´i
´³
³
ie h
c2 − s2W Z ´
b +v±i χ+χ
H +H
b δθ± ∓ ie φ± + φb± δθA − W
δθ ,
2sW
2cW sW
"
#
´
e ³ + b+ ´ − ³ − b− ´ +
e ³
b + v δθZ ,
δχ =
φ + φ δθ + φ + φ δθ −
H +H
2sW
2cW sW
"
#
´
ie ³ + b+ ´ − ³ − b− ´ +
e ³
δH =
φ + φ δθ − φ + φ δθ +
χ+χ
b δθZ ,
2sW
2cW sW
δφ± = ±
y las transformaciones infinitesimales para los campos de
fondo serán
c ± = δ Zbµ = δ A
bµ = δ φb± = δ H
b = δχ
δW
b=0.
µ
(4.8)
Con lo anterior, es posible construir el lagrangiano del
ME en el BFM electrodebil de forma completamente análoga
a lo que discutimos en el Sec. 3, es decir,
M
M
M
LBF
= LC (ϕ + ϕ)
b + LBF
+ LBF
.
ME
GF
FP
fantasmas, para poder hacer frente a la aparente contribución
de dichos fantasmas en las identidades de Slavnov–Taylor.
Las identidades de Ward para los vértices del BFM electrodebil, están libres de contribuciones de fantasmas, haciendo con
ello que el funcional generador (4.10) no tenga un término de
fuente para estos campos. Por tanto,
WBF M [J, ϕ]
b = ln Z BF M [J, ϕ]
b
(4.9)
Haciendo uso del lagrangiano de la Ec. (4.9), es posible
definir cantidades análogas al funcional generador de las funciones de Green disconexas Zconv , Ec. (3.8), al funcional generador de las funciones de Green conexas Wconv , Ec. (3.10)
y a la acción efectiva Γconv , Ec. (3.11), en el BFM electrodebil, justo como lo hace L. F. Abbott [23] (ver la Sec. 2.3 de
la Ref. 9), es decir,
Z
ΓBF M [ϕ, ϕ]
b = WBF M [J, ϕ]
b −
ϕ=
Notemos que las variables de integración en la integral
funcional son los campos cuánticos ϕ y que el funcional generador (4.10) depende de las fuentes clásicas J y de los campos de fondo ϕ.
b El funcional generador del formalismo convencional (3.8), contiene además fuentes para los campos de
d4 x ϕJ ,
(4.12)
donde
Dϕ D u Du
( Z
)
h
i
4
BF M
×exp i d x LME + ϕJ
b
. (4.10)
(4.11)
y
Z
Z BF M [J, ϕ]
b =
(4.7)
δWBF M
.
i δJ
(4.13)
Como ha sido probado en la Ref. 23, estaremos interesados en la acción efectiva descrita en la EC. (4.12) cuando
hacemos ϕ = 0 (ver Sec. 2.3 de la Ref. 9). De esta manera la
acción efectiva ΓBF M [0, ϕ]
b es invariante de norma. En otras
palabras, es invariante bajo las transformaciones de norma
(2.24) y (2.25) de los campos clásicos de fondo. La acción
efectiva ΓBF M [0, ϕ]
b es el funcional generador de los vértices,
es decir, de las funciones 1PI del campo de fondo:
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
163
INTRODUCCIÓN AL MODELO ESTÁNDAR EN EL BACKGROUND FIELD METHOD ELECTRODEBIL
¯
b ¯¯
δ ΓBF M [0, ϕ]
(x1 ...xn ) =
¯
δϕ
b1 ...δ ϕ
bn ¯
n
M
Γ(n),BF
1...n
.
(4.14)
ϕ=0
b
Todas las identidades de Ward que nacen de la acción
efectiva (4.12) se pueden hallar en las Refs. 13, 24 y 25. Se
ha probado en la Ref. 23 que la invariancia de norma de la acción efectiva ΓBF M [0, ϕ]
b del BFM, coincide plenamente con
la acción efectiva convencional (3.11) calculada en una norma no trivial que depende de ϕ
b (ver Sec. 2.3 de la Ref. 9).
Las funciones 1PI del BFM electrodebil son calculadas
directamente de las reglas de Feynman asociadas al lagranM
giano LBF
ME . Dichas reglas de Feynman distinguen entre
los campos cuánticos y los campos de fondo. Los campos
cuánticos aparecen únicamente dentro de los lazos, en cambio los campos de fondo están asociados con lı́neas externas.
Además de que existen el doble de campos de norma y de
Higgs, las reglas de Feynman para el BFM electrodebil difieren del formalismo convencional únicamente en el término
que fija la norma y el sector de fantasmas. Debido a que el
término que fija la norma (4.4) es no lineal en los campos, el
parámetro de norma ξQ entrará también en los vértices de los
bosones de norma. Como ya hemos dicho antes, las reglas de
Feynman para los campos fermiónicos son las mismas que
en el formalismo convencional. La lista completa de las reglas de Feynman del BFM electrodebil que usaremos en este
trabajo, son dadas en el Apéndice A.
La matriz S es construida de forma usual, creando
árboles con los vértices del ΓBF M [0, ϕ],
b los cuales son conectados por los propagadores de los campos de fondo [20].
A. Denner, G. Weinglein y S. Dittmaier han sido capaces de
demostrar que los resultados que se obtienen de la matriz S
son en efecto independientes de ξQ [24], y que es equivalente
a lo que uno obtendrı́a en el formalismo convencional.
A pesar de la distinción entre los campos cuánticos y de
fondo, los cálculos llevados a cabo en el BFM electrodebil,
son en general más simples que en el formalismo convencional. En primer lugar, porque gracias a que el término que fija
la norma es no lineal en los campos de norma, el sector de
fantasmas es más simple y elegante y en segundo lugar porque gracias a esa no linealidad en dichos campos no apareb − W ± − φ∓ , haciendo con ello
cerán acoplamientos como A
que contribuyan menos diagramas de los que usualmente aparecen en el Rξ gauge (lineal). Esta propiedad será utilizada
ampliamente en la siguiente sección. Además, si elegimos como caso particular trabajar en la norma de t’ Hofft–Feynman
(ξQ = 1), los vértices se simplifican considerablemente.
Por otro lado, el término que fija la norma para los campos de fondo (el cual es neceseario para definir los propagadores de los campos de fondo), no tiene ninguna relación
con el término que fija la norma para los campos cuánticos.
Esta libertad puede ser explotada eligiendo una norma conveniente para los campos de fondo, es decir, podemos elegir la
norma Unitaria previamente señalada, o bien, podemos elegir una norma no lineal [26]. De esta forma, el número de
diagramas de Feynman que contribuyen a los elementos de la
matrı́z S pueden ser reducidos drásticamente. El término que
fija la norma para los campos de fondo no afecta en absoluto
b Ello es únicamente relevante
a la acción efectiva ΓBF M [0, ϕ].
para la construcción de las funciones de Green conexas y los
elementos de la matrı́z S en donde únicamente entran cantidades a nivel árbol. La cancelación del parámetro de norma
del campo clásico de fondo en los elementos de la matrı́z S
completa, es una consecuencia directa de las identidades de
Ward del BFM electrodebil, [24,25].
4.. Algunas identidades de Ward en el BFM
electrodebil
En esta sección, damos sólo algunas de la identidades de
Ward que nacen en el BFM electrodebil a manera de ejemplo.
Dichas identidades son válidas a todos los órdenes en teorı́a
de perturbaciones, además de ser válidas para cualquier valor del parámetro de norma cuántica ξQ (Para mayores detalles, ver las Refs. 13, 24 y 25):
bb
bZ
b
k µ ΓA
µν (k) = 0, (5.1)
bb
bχ
k µ ΓAb
µ (k) = 0, (5.2)
A
k µ ΓA
µν (k) = 0,
H
k µ ΓA
µ (k) = 0,
bb
b
Z
χ
bZ
k µ ΓZ
µν (k) − iMZ Γν (k) =
b
χ
b
χ
bχ
b
k µ ΓZ
µ (k) − iMZ Γ (k) +
c± W
c∓
k µ ΓW
µν
c ± b∓
k µ ΓW
µ
φ
ie
b
ΓH (0) = 0, (5.4)
2sW cW
b± W
c∓
(k) ∓ MW Γνφ
b±
(k)∓MW Γφ
φ̂
∓
0, (5.3)
(k) =
0, (5.5)
e Hb
(k)±
Γ (0) = 0. (5.6)
2sW
bb
A
Como consecuencia de la analiticidad de los vértices ΓA
µν (k)
bZ
b
A
y Γµν (k) se ha probado (ver las Ecs. 25 y 26 ası́ como Ecs.
33 y 34 de la Ref. 25) que, las partes transversas de las correspondientes autoenergı́as cuando k 2 = 0, son cero, es decir,
bb
bb
A
ΣA
(0) = 0 (a),
T
b¯
Z
ΣA
(0) = 0 (b),
T
¯
¯
ff
k µ ΓA
(k, p̄, p) = −eQf [Γf f (p̄) − Γf f (−p)],
µ
b¯
(5.7)
(5.8)
¯
ff
k µ ΓZ
(k, p̄, p) − iMZ Γχbf f (k, p̄, p)
µ
¯
¯
= e[Γf f (p̄)(vf − af γ5 ) − (vf + af γ5 )Γf f (−p)] ,
c ± f¯± f∓
k µ ΓW
µ
b± f¯± f∓
(k, p̄, p) ∓ MW Γφ
(5.9)
(k, p̄, p)
e
¯
¯
=√
[Γf± f± (p̄)ω− − ω+ Γf∓ f∓ (−p)] .
2sW
(5.10)
En la próxima sección de este trabajo, haremos la demostración explı́cita de la veracidad de la identidad de Ward
(5.7b) a un lazo, mediante cálculo directo en el BFM electrodebil. Por otro lado, notemos que la identidad de Ward que
relaciona únicamente fermiones y fotones [Ec. (5.8)], es justo la identidad de Ward para QED.
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
164
LUIS G. CABRAL-ROSETTI
bc + W
c−
W
k µ ΓA
µρσ
c+ c−
c+ c−
W
W
(k, k+ , k− ) = e[ΓW
(k+ ) − ΓW
(−k− )],
ρσ
ρσ
h
+
−
+
−
+
−
cW AbZb i
b W
bW
c W
c
bφ
c
c W
c
bA
b
ρ A
W
A
k+
Γµρσ
(k, k+ , k− ) − MW ΓA
(k,
k
,
k
)
=
+e
Γ
(−k
)
−
Γ
(k)
+
Γ (k) ,
+
−
−
µσ
µσ
µσ
sW µσ
h − +
cW AbZb i
b−
bW
c+ W
c−
bW
c+ φ
c W
c
bA
b
σ A
k−
Γµρσ
(k, k+ , k− ) + MW ΓA
(k, k+ , k− ) = −e ΓW
(−k+ ) − ΓA
Γ (k) ,
µρ (k) +
µρ
µρ
sW µρ
cW c + W
bW
c+ W
c−
c+ W
c−
c−
c+ W
c−
Z
χ
bW
k µ Γµρσ
(k, k+ , k− ) − iMZ Γρσ
(k, k+ , k− ) = −e [ΓW
(k+ ) − ΓW
(−k− )] ,
ρσ
sW ρσ
cW h W
sW ZbAb i
b+ W
bW
c+ W
c−
bφ
c−
c+ c−
bZ
b
ρ Z
Z
k+
Γµρσ
(k, k+ , k− ) − MW Γµσ
(k, k+ , k− ) = −e
Γµσ W (−k− ) − ΓZ
(k)
+
Γ (k) ,
µσ
sW
cW µσ
cW h W
sW ZbAb i
b−
bW
c+ W
c−
bW
c+ φ
c− c+
bZ
b
Z
σ Z
k−
Γµρσ
(k, k+ , k− ) + MW Γµρ
(k, k+ , k− ) = e
Γµρ W (−k+ ) − ΓZ
Γ (k) .
µρ (k) +
sW
cW µρ
Notemos además que todas las identidades de Ward, relacionan únicamente campos de fondo (ver, secciones 2.4 de la
Ref. 9).
5.. Algunas aplicaciones en el BFM electrodebil
Como ya hemos mencionado antes, la versión electrodebil del BFM fue introducida por A. Denner, G. Weiglein y
S. Dittmaier [13, 24, 25]. En esta vesión del modelo estándar
SU (2)L ⊗U (1)Y , la invariancia de norma de la acción efectiva del BFM (Ec. (4.12)), implica simples identidades de Ward
como ocurren en QED para las diversas funciones de Green;
en contraste con las complicadas identidades de SlavnovTaylor del formalismo convencional, las cuales relacionan
campos de fantasmas no fı́sicos (ver la sec. 1.2.3. de la Ref.
9). El BFM electrodebil ha sido utilizado de forma muy frecuente los últimos años. En esta sección, a manera de ejemplo, usaremos dicho formalismo en el ME abordando el estudio de los factores de forma electromagnéticos del neutrino. Ası́ como la demostración de una importante identidad
de Ward para la autoenergı́a γB ZB mediante cómputo directo
a un lazo 4 . Todos estos cálculos son llevados a cabo en la
norma de ’t Hooft-Feynman (ξQ = 1) 5 .
5.1.. La carga eléctrica del neutrino
La descomposición más general invariante Lorentz para
el vértice electromagnético del neutrino ννγ en el modelo
(5.11)
(5.12)
(5.13)
(5.14)
(5.15)
(5.16)
estándar está dada por [30, 31, 32]
D
E
Mµ = νl (p0 )|Jµem |νl (p)
(
)
FP (q 2 )
ν
= ūl (p ) FD (q )γµ − i
σµν q ul (p) , (6.1)
2me
0
2
donde q = p − p0 , l se refiere a una de las familias leptónicas
e, µ, τ ; FD (q 2 ) y FP (q 2 ) son, respectivamente, los factores
de forma de Dirac y Pauli del neutrino.
Consideremos los diagramas de Feynman a un lazo que
contribuyen al vértice propio ννγ. Usando las reglas de Feynman del BFM electrodebil dadas en el Apéndice A, hallamos
que únicamente existen cuatro diagramas del vértice propio
ννγ (Figs. 1a a 1c). Esta es una tı́pica caracterı́stica de la estructura no lineal del término que fija la norma en el BFM
[27, 28]. En el formalismo convencional (Rξ gauge) existen
dos vértices propios más, los cuales no aparecen en el BFM
electrodebil pues no existe el acoplamiento γ − W − ϕ (ver
la Sec. 4). La contribución a la Carga Eléctrica del Neutrino
(CEN) de cada uno de estos diagramas después de haber usado las identidades entre las integrales escalares de PassarinoVeltman de dos B0 y tres C0 puntos (ver las Refs. 27, 28 y
33) son:
4 En esta sección los campos de fondo (background) serán denotados
con un subı́ndice B, en lugar del acento circunflejo que aparece en las reglas de Feynaman del Apéndice A.
5 Los cálculos de los factores de forma electromagnéticos del neutrino
válidos para cualquier norma, han sido realizadados en [27, 28].
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
INTRODUCCIÓN AL MODELO ESTÁNDAR EN EL BACKGROUND FIELD METHOD ELECTRODEBIL
¯
¯
Qνl ¯F ig,1a = FD (q 2 = 0)¯F ig,1a = −
n
αem2l
2
2
2
64πMW sW (MW
165
− m2l )2
o
2
2
2
2
2
2
× (MW
− m2l )(MW
− 3m2l ) + 2m4l B0 (0; m2l , m2l ) + 2MW
(MW
− 2m2l )B0 (0; MW
, MW
) , (6.2)
¯
¯
Qνl ¯F ig,1b = FD (q 2 = 0)¯F ig,1b = −
αe
2 )2 s2 (M 2 − m2 )2
32π(m2l − MW
W
W
l
h
i
n
2
2
2
2 2
2
2
4
2
4
B0 (0; m2l , m2l )
× 3MW ml (MW − ml ) B0 (0; MW , MW ) + ml − 2m4l + 4MW
m2l − 2MW
i
h
o
2
2
2 2
2
2
4
2
2
(m2l − MW
−MW
(2MW
− m2l )(m2l − MW
) B0 (0; MW
, MW
) − − m4l + MW
)(MW
− m2l ) , (6.3)
¯
¯
¯
Qνl ¯F ig,1c = FD (q 2 = 0)¯F ig,1c = −Qνl ¯F ig,1a , (6.4)
¯
¯
¯
Qνl ¯F ig,1d = FD (q 2 = 0)¯F ig,1d = −Qνl ¯F ig,1b . (6.5)
De las Ecs. (6.1) a (6.5) es obvio que la CEN desaparece:
¯
¯
¯
¯
Qνl = Qνl ¯F ig,1a + Qνl ¯F ig,1b + Qνl ¯F ig,1c + Qνl ¯F ig,1d = 0 .
(6.6)
El factor de forma de Dirac FD (q 2 ) completo (i.e. la contribución de los cuatro diagramas) está dado por:
αe
FD (q ) = −
4π
(
2
+
i
2
2
2
(m2l + 2MW
) B0 (q 2 ; MW
, MW
) − B0 (q 2 ; m2l , m2l ) h 4
2 2
2
2
2
2
+
2m
+
m
(q
+
2M
)
−
2M
(2M
+
3q
)
l
l
W
W
W
2 s2
2 s2
4MW
8q 2 MW
W
W
i
2
2 h
, MW
) 4 2
C0 (0, q 2 , 0; m2l , MW
2
2
2
2
2
4
2
2
m
(m
+
q
)
−
m
M
(3M
+
2q
)
+
2M
(M
+
2q
)
l
l
l
W
W
W
W
2 s2
4q 2 MW
W
)
i
2
, m2l , m2l ) h 4 2
C0 (0, q 2 , 0; MW
2
2
2
2
2
2
2
2 2
+
ml (ml + q ) − ml MW (3MW + 2q ) + 2MW (MW + 2q )
,
2 s2
4q 2 MW
W
(6.7)
que de nuevo, al hacer uso de las relaciones entre las B0 y C0
de las Refs. 27, 28 y 33, es fácil ver que el factor de forma de
Dirac se anula cuando q 2 = 0:
³
´
2 W
= 0.
F
Qνl = lı́m
D q , ξQ
2
q →0
(6.8)
El resultado anterior es notable, pues únicamente con los
cuatro vértices propios (Fig. 1), la cancelación de la CEN se
lleva a cabo. En cambio, en el formalismo convencional (Rξ
gauge), es necesario incluir no sólo dos vértices propios más,
sino los vértices impropios (la parte transversa de la autoenergı́a γZ). Únicamente entonces es cuando obtenemos [29,
R
27, 28] que Qν ξ = 0, en obvia notación. En el BFM electrodebil el vértice impropio (autoenergı́a γZ) también existe,
pero su contribución a la CEN es cero (ver la Sec. 6.3 de más
adelante). Esto es debido a que la parte transversa de la autoenergı́a γB ZB es cero (ver la Sec. 6.3).
F IGURA 1. Contribuciones del vértice própio electromagnético
ννγ al NEC y NMM en el BFM electrodebil.
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
166
LUIS G. CABRAL-ROSETTI
5.2.. El momento magnético del neutrino
En la extensión mı́nima del modelo estándar (ME), donde
los neutrinos dextrógiros son añadidos para cada familia, el
momento magnético del neutrino (MMN) surge naturalmente [30, 34]. La contribución de cada diagrama de la Fig. 1a al
factor de forma de Pauli, considerando neutrinos masivos de
Dirac sin cambio de sabor, está dada por:
¯
emνl GF
√
µνl ¯F ig,1a =
4π 2 2
αe
FP (mνl ) =
4π
(
(
5
x + ···
12
)
,
(6.9)
¯
µνl ¯F ig,1c
¯
µνl ¯F ig,1d
(
"
#
)
2
7
+x
+ log x +· · · , (6.10)
3
6
(
"
#
)
emνl GF
5
√
=
−x
+ log x + · · · , (6.11)
3
4π 2 2
(
)
emνl GF 5 2
√
=
− x + ··· ,
(6.12)
4π 2 2 6 3
¯
emνl GF
√
µνl ¯F ig,1b =
4π 2 2
donde GF es la constante de Fermi y se define
2
x = m2l / MW
<< 1. Todas las expresiones anteriores están dadas hasta segundo orden en la expansión de x. El
factor de forma de Pauli completo a q 2 = 0, está dado por:
2
2
2
) B0 (m2νl ; m2l , MW
(m2l + m2νl + 2MW
)(m2l + m2νl + 2MW
)
+
2
2
2
2
8mνl MW sW
16mνl MW sW
i
B0 (0; m2l , m2l ) h 4
2
2
2
4
2
2
2
3m
+
3m
(M
−
2m
)
−
m
−
M
(6M
−
11m
)
l
l
W
ν
ν
W
W
ν
2 s2
l
l
l
32m3νl MW
W
i
2
2 h
, MW
)
B0 (0; MW
4
2
2
2
4
2
2
2
−
3m
+
m
(3M
−
4m
)
+
m
−
M
(6M
−
15m
)
l
l
W
ν
ν
W
W
ν
2 s2
l
l
l
32m3νl MW
W
+
2
2
2
C0 (m2νl , 0, m2νl ; m2l , MW
, MW
) + C0 (m2νl , 0, m2νl ; MW
, m2l , m2l ) h 4
ml (7m2νl − 3m2l )
2 s2
32m3νl MW
W
)
i
2
2
2
4
2
(3MW
− 4m2νl ) − 5m4νl ] + m6νl − MW
(6MW
− 17m2νl MW
+ m2l [3MW
+ 12m4νl ) .
+
(6.13)
Usando de nuevo las relaciones entre las B0 y las C0 de
las Refs. 27, 28 y 33 obtenemos la expresión
FP (mνl ) =
(
αe
3mνl
2 )2
4π 4s2W (m2l − MW
4
4
+ 2MW
m4l − 5m2l MW
×
2
2MW
)
2
2
m4l [B0 (0; MW
, MW
) − B0 (0; m2l , m2l )]
+
,
2
m2l − MW
µνl
(6.16)
donde µB = e/2me es el magnetón de Bohr.
(6.14)
e introduciendo la expresión explı́cita de la función escalar
de dos puntos B0 en términos de logaritmos, obtenemos [30,
28]
emνl GF
√
4π 2 2
(
)
3[x3 + 2(log x − 3)x2 + 7x − 2]
×
.
4(1 − x)3
Ã
!
3emνl GF
m
ν
l
√ ≈ 3,2 × 10−19 µB
=
,
1eV
8π 2 2
FP (mνl ) = −
(6.15)
5.3.. Demostración
de la identidad de Ward
PγB ZB
(0)=0
T
Aquı́ realizaremos el cálculo de la parte transversa de la
autoenergı́a γB ZB en el BFM electrodebil, con la finalidad
de
mediante cómputo directo la identidad de Ward
Pγprobar
B ZB
(0)
= 0 a un lazo. Dicha autoenergı́a es separada
T
en dos contribuciones:
XγB ZB
T
Con el primer orden en x hallamos la bien conocida expresión para el momento magnético del neutrino (MMN) [35]
(q 2 ) =
XγB ZB
T
(q 2 )f +
XγB ZB
T
(q 2 )b , (6.17)
que son las que llamaremos parte fermiónica (Fig.2) y parte
bosónica (Fig. 3), respectivamente.
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
167
INTRODUCCIÓN AL MODELO ESTÁNDAR EN EL BACKGROUND FIELD METHOD ELECTRODEBIL
F IGURA 2 Parte fermiónica de la autoenergı́a γZ en el formalismo convencional (Rξ gauge) y γB ZB en el BFM electrodebil.
5.3.1.. Parte fermiónica de la autoenergı́a γB ZB
La parte fermiónica es
XγB ZB
T
α
(q )f =−
4π
(
2
"
#)
2X c
R
L 1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
Nf (−Qf )[Cf + Cf ] q + 2mf B0 (0; mf , mf ) − (q + 2mf )B0 (q ; mf , mf )
, (6.18)
3
3
f
donde
XγB ZB
e2
sW
α=
, CfR = −
Qf ,
4π
cW
CfL =
3
− s2W Qf
IW,f
, Nfc =
sW cW
T
½
3 quarks
.
1 leptones
(6.19)
Notemos que esta parte fermiónica coincide con la primera parte de la Ec. (B.2) calculada en el Rξ gauge de la Ref.
14. Esto es debido a que los acoplamientos en ambos formalismos son iguales en este sector. Este hecho nos ha servido
para verificar nuestros resultados. En el lı́mite q 2 → 0, ésta
parte fermiónica desaparece, es decir,
XγB ZB
T
(0)f = 0 .
(6.20)
5.3.2.. Parte bosónica de la autoenergı́a γB ZB
En la norma de ’t Hooft-Feynman, la parte bosónica de la
parte transversa de la autoenergı́a γB ZB está dada por
(
(
h³
XγB ZB
α
1
1´
2
(q )b =
21c2W + q 2
T
4π 3sW cW
2
i
2
2
2
B0 (q 2 ; MW
+(12c2W − 2)MW
, MW
)
))
1
2
2
2
−(12c2W − 2)MW
B0 (0; MW
, MW
) + q2
, (6.21)
3
que en el lı́mite cuando q 2 → 0, esta parte bosónica también
desaparece,
XγB ZB
T
(0)b = 0 .
(6.22)
Vemos inmediatamente que la suma de ambas contribuciones [Ecs. (6.20) y (6.22)] dan como resultado cero:
(0) =
XγB ZB
T
(0)f +
XγB ZB
T
(0)b = 0 , (6.23)
En acuerdo con la identidad de Ward Ec. (5.7b) del BFM
electrodebil. El hecho de que la parte transversa de la autoenergı́a γB ZB se anule cuando q 2 → 0, es la razón de porque
no contribuyen los vértices impropios (autoenergı́a γZ) en la
cancelación de la carga eléctrica del neutrino (CEN). A diferencia del formalismo convencional (Rξ gauge), donde los
vértices impropios son indispensables para que ocurra dicha
cancelación (ver las Refs. 29, 27 y 28).
Por otra parte, existen multiples y variadas aplicaciones
del BFM electrodebil en la literatura especializada. Prueba
de ello, son las más de 70 citas que registra HEP (SPIRESSLAC) del trabajo central [25]. Recomendamos ampliamente al lector, hacer una busqueda en la mencionada base de
datos (http://www.slac.stanford.edu/spires/hep/), para conocer las diversas aplicaciones del BFM electrodebil.
7. Conclusiones
Hemos revisado algunas de las caracterı́sticas más importantes del Background Field Method (BFM) electrodebil, en
el contexto del modelo estándar (ME). La invariancia de norma de la acción efectiva (4.12) del BFM electrodebil, implica
simples identidades de Ward para las diferentes funciones de
Green, como ocurre en QED. En contraste con las complicadas identidades de Slavnov-Taylor del formalismo convencional (Rξ gauge), en las cuales habitualmente se relacionan
campos no fı́sicos de fantasmas.
Como ejemplo de la aplicación del BFM electrodebil al
ME, hemos calculado explı́citamente la carga y el momento magnético del neutrino. Además, probamos por cómputo
directo la transversalidad de la autoenergı́a γB ZB en el
BFM electrodebil [identidad de Ward (5.7b)]. Finalmente,
por completes con este trabajo introductorio, listamos todas
las reglas de Feynman de la teorı́a en la norma de ’t HooftFeynman (ξQ = 1).
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
168
LUIS G. CABRAL-ROSETTI
F IGURA 3 Parte bosónica de la autoenergı́a γB ZB en el BFM electrodebil.
Hemos dejado de lado algunos aspectos (no por ello menos importantes) del formalismo BFM electrodebil, debido
al carácter introductorio de este trabajo. Como por ejemplo,
la renormalizabilidad de la teorı́a en el llamado esquema de
renormalización sobre la capa de masas (on-shell scheme)
y la construcción explı́cita de las constantes de renormalización. Dejamos el lector interesado, que revise estos y otros
aspectos importantes de la teorı́a en los trabajos originales
[13, 14, 24, 25]. En conclusión, el BFM electrodebil nos proporciona un marco teórico alternativo para cuantizar teorı́as
de norma como el ME. Que en comparación con el formalismo convencional, tiene diferentes ventajas tanto técnicas
como conceptuales.
Agradecimientos
Deseo expresar mi profundo agradecimiento a G. Weiglein por permitirme reproducir aquı́ las reglas de Feynman
del BFM electrodebil (ver la primera cita de la Ref. 13). De
igual manera quiero agradecer a J. C. López-Vieyra del Instituto de Ciencias Nucleares de la UNAM (ICN-UNAM) y a
Alfonso Rosado del Instituto de Fı́sica de la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla (IF-BUAP), la lectura crı́tica
de este trabajo. El presente trabajo ha sido apoyado en parte
por el Programa de Apoyo a Proyectos de Investigación e Inovación Tecnológica PAPIIT) de la DGAPA-UNAM (Proyecto
No. IN109001) y en parte por el Proyecto de Instalación del
CoNaCyT (Proyecto No. I37307-E).
Apéndices
A. Reglas de Feynman del BFM electrodebil
En este Apéndice, listamos todas reglas de Feynman del
BFM electrodebil en la norma de ’t Hooft-Feynman (ξQ =
ξQW = ξQB = 1). Para ello, escribimos los vértices con sus diferentes inserciones de campos, ası́ como los diferentes contratérminos. Dichas reglas han sido tomadas de las Refs. 13 y
25, las cuales son válidas para cualquier valor del parámetro
de norma ξQ .
En estas reglas de Feynman, no incluimos el término que
fija la norma (gauge fixing) para los campos de fondo; esto
es debido a que tales términos únicamente son relevantes para la construcción de funciones de Green conexas y para los
elementos de la matriz S. Dicho término que fija la norma
puede ser elegido independientemente [20] del término que
fija la norma de los campos cuánticos. Gracias a esta libertad,
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
INTRODUCCIÓN AL MODELO ESTÁNDAR EN EL BACKGROUND FIELD METHOD ELECTRODEBIL
es posible elegir dicho término, ya sea como un Rξ gauge (lineal o no lineal), en este último caso, los propagadores de los
campos de fondo tomarán la misma forma que los propagadores cuánticos. Los campos de fondo serán denotados por
b mientras que los campos
un acento circunflejo (Vb , S),
169
cuánticos no llevarán ningún acento (V , S, G), con excepción
de los campos fermiónicos (F ) que en el BFM electrodebil
son tanto cuánticos como de fondo 6 .
Por comodidad, usaremos la notación: s = sW = sen θW
y c = cW = cos θW .
A 1.. Contratérminos
Tadpole:
S
¶
¶
S
b
H
= iδt.
(A.1)
Contratérmino para Vb Vb :
Vb1,µ , k
i
h
= i (−gµν k 2 + kµ kν )C1 + gµν C2
Vb2,ν
S
¶
¶
S
(A.2)
con los valores de Vb1 , Vb2 y C1 , C2 dados por:
Vb1 Vb2
C1
c+W
c−
W
bZb
Z
bZb
A
bA
b
A
δZW
c
δZZbZb
1
bZ
b
2 δZA
δZAbAb
0
0
2
2
2
2
C2 MW
δZW
bZ
b + δMZ
c + δMW MZ δZZ
(A.3)
b
Contratérmino para Vb S:
Vbµ , k
Sb
S
¶
¶
S
= ikµ CδZHb
(A.4)
con los valores de Vb , Sb y C dados por
c ± φb∓ Zbχ
Vb Sb W
b
(A.5)
C ±MW iMZ
b
Contratérmino para SbS:
Sb1 , k
Sb2
S
¶
¶
S
h
i
= i δZHb k 2 − C
(A.6)
con los valores de Sb1 , Sb2 y C dados por
Sb1 Sb2
bH
b
H
χ
bχ
b, φbφb
(A.7)
e δt
C MH2 δZHb + δMH2 − 2s
MW
6 A diferencia del formalismo convencional (el llamado R gauge), la
ξ
dependencia explı́cita con el parámetro de norma en el BFM electrodebil,
aparece tanto en los propagadores, como en los vértices trilineales de los
campos de norma, ver las Refs. 13,25
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
170
LUIS G. CABRAL-ROSETTI
Contratérmino para F F̄ :
F1 , p
-
S
¶
¶
S
-
F̄2
i
h
= i CL6 p ω− + CR6 p ω+ − CS
(A.8)
con los valores de F1 , F̄2 y CL , CR , CS dados por
F1 F̄2
f f¯
CL
δZfL
CR
δZfR
(A.9)
³
´
CS mf 21 δZfL + δZfR + δmf
La forma explı́cita de los diferentes contratérminos en función de las autoenergı́as a ser calculadas, están dados al final
en A.6 (Constantes de renormalización).
A 2.. Acoplamientos de los campos de fondo
A nivel árbol, los vértices de los campos de fondo son idénticos a los que aparecen en el formalismo convencional (Rξ
gauge) (ver la Ref. 14). En los vértices todos los momentos de los campos son considerados entrantes.
Acoplamiento para Vb Vb Vb Vb :
Vb1,µ
Vb3,ρ
i
h
= ie2 C 2gµν gσρ − gνρ gµσ − gρµ gνσ (1 + δZW
c)
s
Vb2,ν
(A.10)
Vb4,σ
con los valores de Vb1 , Vb2 , Vb3 , Vb4 y C dados por
c+W
c+W
c−W
c− W
c+W
c − ZbZb W
c+W
c−A
bZb W
c+W
c−A
bA
b
Vb1 Vb2 Vb3 Vb4 W
2
1
s2
C
− sc2
c
s
−1
(A.11)
Acoplamiento para Vb Vb Vb :
Vb2,ν , k2
Vb1,µ , k1
h
= −ieC gµν (k2 − k1 )ρ + gνρ (k3 − k2 )µ
i
+ gρµ (k1 − k3 )ν (1 + δZW
c)
s
(A.12)
Vb3,ρ , k3
con los valores de Vb1 , Vb2 , Vb3 y C dados por
bW
c+W
c − ZbW
c+W
c−
Vb1 Vb2 Vb3 A
C
1
(A.13)
− sc
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
INTRODUCCIÓN AL MODELO ESTÁNDAR EN EL BACKGROUND FIELD METHOD ELECTRODEBIL
171
b
Acoplamiento para SbSbSbS:
Sb1
Sb3
"
δMH2
e
δt
= ie C 1 +
+
+ δZHb
MH2
2s MW MH2
s
#
2
Sb2
(A.14)
Sb4
con los valores de Sb1 , Sb2 , Sb3 , Sb4 y C dados por
bH
bH
b H,
b χ
bH
bχ
bH
b φb+ φb− , χ
Sb1 Sb2 Sb3 Sb4 H
bχ
bχ
bχ
bH
bχ
b, H
bχ
bφb+ φb− φb+ φb− φb+ φb−
M2
M2
− 4s32 M 2H
C
W
(A.15)
M2
− 4s12 M 2H
− 2s12 M 2H
W
W
b
Acoplamiento para SbSbS:
Sb2
"
Sb1
δMH2
e
δt
= ieC 1 +
+
+ δZHb
MH2
2s MW MH2
s
#
(A.16)
Sb3
con los valores de Sb1 , Sb2 , Sb3 y C dados por
bH
bH
b H
bχ
b φb+ φb−
H
bχ
b, H
Sb1 Sb2 Sb3
M2
(A.17)
M2
3
H
C − 2s
MW
1
H
− 2s
MW
b
Acoplamiento para Vb Vb SbS:
Vb1,µ
Sb1
s
= ie2 gµν C(1 + δZHb )
Vb2,ν
(A.18)
Sb2
con los valores de Vb1 , Vb2 , Sb1 , Sb2 y C dados por
bH
b W
c+W
c−H
b H,
b W
c+W
c − φb+ φb− A
bA
bφb+ φb− ZbA
bφb+ φb− ZbZ
bφb+ φb−
Vb1 Vb2 Sb1 Sb2 ZbZbH
c+W
c−χ
ZbZbχ
bχ
b W
bχ
b
C
1
2c2 s2
1
2s2
2
−c
2
−s2
cs
(c2 −s2 )2
2c2 s2
y
c±A
bφb∓ H
b W
c±A
bφb∓ χ
c ± Zbφb∓ H
b W
c ± Zbφb∓ χ
Vb1 Vb2 Sb1 Sb2 W
bW
b
C
1
− 2s
i
∓ 2s
1
− 2c
i
∓ 2c
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
(A.19)
172
LUIS G. CABRAL-ROSETTI
b
Acoplamiento para Vb SbS:
Sb1 , k1
Vbµ
s
= ieC(k1 − k2 )µ (1 + δZHb )
(A.20)
Sb2 , k2
con los valores de Vb , Sb1 , Sb2 y C dados por
b A
bφb+ φb− Zbφb+ φb− W
c ± φb∓ H
b W
c ± φb∓ χ
Vb Sb1 Sb2 Zbχ
bH
b
i
C − 2cs
−1
c2 −s2
2cs
1
∓ 2s
i
− 2s
(A.21)
Acoplamiento para SbVb Vb :
Vb1,µ
Sb
s
= iegµν C(1 + δZHb )
(A.22)
Vb2,ν
b Vb1 , Vb2 y C dados por
con los valores de S,
SbVb1 Vb2
C
bZ
bZb H
bW
c+W
c − φb± W
c∓A
b φb± W
c ∓ Zb
H
1
c2 s MW
1
s MW
−MW
− sc MW
(A.23)
Acoplamiento para Vb F̄ F :
Vbµ
F̄1
½½
>
½
s
½
ZZ
}
Z
Z
F2
h
= ieγµ CL ω− (1 + δZFL1 )
³
´i
+ CR ω+ 1 + 21 (δZFR1 + δZFR2 )
(A.24)
con los valores de Vb , F̄1 , F2 y CR , CL dados por
bf¯f
Vb F̄1 F2 A
CL −Qf
CR −Qf
Zbf¯f
3
IW,f
−s2 Qf
cs
s
− c Qf
c + f¯u fd , W
c − f¯d fu
W
√1
2s
0
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
(A.25)
INTRODUCCIÓN AL MODELO ESTÁNDAR EN EL BACKGROUND FIELD METHOD ELECTRODEBIL
173
Acoplamiento para SbF̄ F :
F̄1
½
½
½
>
s
½
ZZ
Z
}
Z
F2
Sb
Ã
"
!
δmF1
1 L
1 R
= ie CL ω− 1 +
+ δZF1 + δZF1
m F1
2
2
Ã
!#
δmF2
1 L
1 R
+ CR ω+ 1 +
+ δZF1 + δZF2
mF2
2
2
(A.26)
b F̄1 , F2 y CR , CL dados por
con los valores de S,
b f¯f
H
SbF̄1 F2
χ
bf¯f
m
φb+ f¯u fd
φb− f¯d fu
m
m
mfu
fd
f
f
1
1
3
√1
√1
CL − 2s
MW −i 2s 2IW,f MW + 2s MW − 2s MW
1 mf
CR − 2s
MW
mf
1
3
i 2s
2IW,f
MW
m
− √12s MfWd
(A.27)
m
+ √12s MfWu
bH
b H,
b
Notemos que, en contraste con el formalismo convencional, no se necesitan contratérminos para los acoplamientos ZbA
b
b
b
b
b
b
b
Z Ab
χχ
b, Ab
χH y H Z A.
A 3.. Acoplamientos entre los campos cuánticos y de fondo
Debido a que el término que fija la norma es cuadrático en los campos cuánticos, además de los vértices que relacionan
los campos de fantasmas, únicamente vértices que contienen exactamente dos campos cuánticos son diferentes del formalismo
convencional. De esta manera, los otros vértices que relacionan campos cuánticos tienen a nivel árbol, la misma forma como
los vértices de fondo “puros” dados antes. Dichas inserciones de los campos cuánticos pueden ser obtenidas de los vértices
de fondo, formando todas las posibles combinaciones de campos cuánticos y campos de fondo; por ejemplo, es posible inferir
c + W − AZ, W + W
c − AZ, W + W − AZ
b y W + W − AZb como la inserción para el acoplamiento
los diversos acoplamientos para W
+ c− b b
b
c
V V V V que proviene de W W AZ.
b V,
Algunos de los vértices conteniendo dos campos cuánticos tienen las reglas de Feynman usuales. Ellos son Vb Vb SS, SbSV
b
b
V SS y SV V . De aquı́ en adelante, daremos aquellas formas genéricas de las inserciones que difieren del formalismo convencional. Debemos notar sin embargo, que algunas de las inserciones que aparecen aquı́, no tienen contraparte en el formalismo
convencional.
Acoplamiento para Vb Vb V V :
El acoplamiento para Vb Vb V V tiene dos formas genéricas dependiendo de las inserciones de los campos,
Vb1,µ
V3,ρ
i
h
= ie2 C 2gµν gρσ
s
Vb2,ν
(A.28)
V4,σ
para las inserciones
c±W
c ± W ∓ W ∓ ZbZW
b +W − A
bZW
b +W − A
bAW
b +W −
Vb1 Vb2 V3 V4 W
c+W
c − ZZ W
c+W
c − AZ W
c+W
c − AA
W
C
1
s2
2
− sc2
c
s
(A.29)
−1
y como
i
h
ie2 C 2gµρ gνσ − gµν gρσ − 2gµσ gνρ
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
(A.30)
174
LUIS G. CABRAL-ROSETTI
para las inserciones
c+W
c−W +W − W
c ± ZW
b ∓Z W
c ± AW
b ∓Z W
c ± AW
b ∓A
Vb1 Vb2 V3 V4 W
c ± ZW
b ∓A
W
2
− sc2
1
s2
C
c
s
(A.31)
−1
Acoplamiento para Vb V V :
V2,ν , k2
Vb1,µ , k1
h
= −ieC gνρ (k3 − k2 )µ + gµν (k2 − k1 + k3 )ρ
i
+ gρµ (k1 − k3 − k2 )ν
s
(A.32)
V3,ρ , k3
con los valores de Vb1 , V2 , V3 y C dados por
b +W −, W
c + W − A, W
c − AW + ZW
b +W −, W
c + W − Z, W
c − ZW +
Vb1 V2 V3 AW
C
− sc
1
(A.33)
b
Acoplamiento para SbSSS:
Sb1
S3
s
= ie2 C
Sb2
(A.34)
S4
con los valores reales de Sb1 , Sb2 , S3 , S4 y C dados por
b HHH
b
Sb1 Sb2 S3 S4 H
b Hχχ
b
H
χ
bχ
bχχ
C
M2
− 4s32 M 2H
W
b Hφ
b + φ−
φb+ φb− HH, H
bχ
bφ+ φ−
φb+ φb− χχ, χ
bχ
H
bHχ
χ
bχ
bHH
M2
− 4s12 M 2H
W
−
1
2c2 s2
M2
− 4s12 M 2H +
W
M2
1
4c2 s2
− 4s12 M 2H −
W
1
2s2
y
Sb1 Sb2 S3 S4
C
b ∓H
φb± Hφ
bφ∓ χ
φb± χ
M2
− 4s12 M 2H
W
+
1
4s2
φb+ φb− φ+ φ−
M2
− 2s12 M 2H
W
−
1
4c2 s2
φb± φb± φ∓ φ∓
M2
− 2s12 M 2H
W
+
b ∓χ
φb± Hφ
bφ± H
φb∓ χ
1
2c2 s2
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
∓ 4ci 2
(A.35)
INTRODUCCIÓN AL MODELO ESTÁNDAR EN EL BACKGROUND FIELD METHOD ELECTRODEBIL
175
b
Acoplamiento para SSS:
S2
Sb1
s
= ieC
(A.36)
S3
con los valores de Sb1 , S2 , S3 y C dados por
Sb1 S2 S3
b
HHH
b
Hχχ
2
MH
2
MH
3
1
C − 2s
MW − 2s MW −
b + φ−
Hφ
χ
bHχ
MW
c2 s
2
MH
1
− 2s
MW +
MW
2c2 s
M2
1
H
− 2s
MW −
MW
s
y
φb± φ∓ H
Sb1 S2 S3
2
MH
1
C − 2s
MW +
MW
2s
φb± φ∓ χ
(A.37)
∓iMW 2cs2
b
Acoplamiento Vb V SS:
Vb1,µ
Sb1
s
= ie2 gµν C
V2,ν
(A.38)
S2
con los valores de Vb1 , V2 , Sb1 , S2 y C dados por
b HH
b W
c ± W ∓ HH
b W
c ± W ∓ φb∓ φ± AA
b φb± φ∓ ZA
b φb± φ∓ ZZ
b φb± φ∓
Vb1 V2 Sb1 S2 ZZ
b χ
c±W ∓χ
b φb± φ∓
ZZ
bχ W
bχ
AZ
C
1
2c2 s2
1
2s2
1
s2
2
−c
2
−s2
cs
(c2 −s2 )2
2c2 s2
y
c ± AHφ
b ∓ W
c ± Ab
c ± Z φb∓ H W
c ± Z φb∓ χ W
c ± Z Hφ
b ∓ W
c±Z χ
Vb1 V2 Sb1 S2 W
χφ∓ W
bφ∓
b ± φb∓ H AW
b ± φb∓ χ ZW
b ± Hφ
b ∓ ZW
b ±χ
b ± φb∓ H ZW
b ± φb∓ χ
AW
bφ∓ ZW
C
− 1s
∓ si
1
− 2cs
2
i
∓ 2cs
2
c2 −s2
2cs2
2
2
−s
±i c2cs
2
y
c±W ∓χ
Vb1 V2 Sb1 S2 W
bH
c ∓ W ± Hχ
b
W
C
(A.39)
± 2si 2
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
176
LUIS G. CABRAL-ROSETTI
b
Acoplamiento para V SS:
Sb1 , k1
Vµ
s
= ie2k1,µ C
(A.40)
S2 , k 2
con los valores de V , Sb1 , S2 y C dados por
b Aφb± φ∓ Z φb± φ∓ W ± φb∓ H, W ∓ Hφ
b ± W ± φb∓ χ W ± χ
V Sb1 S2 Z χ
bH Z Hχ
bφ∓
i
C − 2cs
i
2cs
∓1
2
−s
± c 2cs
2
1
∓ 2s
i
− 2s
i
2s
(A.41)
Acoplamiento para S Vb V :
Vb1,µ
S
s
= iegµν C
(A.42)
V2,ν
con los valores de S, Vb1 , V2 y C dados por
S Vb1 V2
C
b
c ± W ∓ χW
c ± W ∓ φ± W
c ∓ A φ± W
c ∓ Z φ± ZW
b ∓
H ZZ
HW
1
c2 s MW
1
s MW
∓ si MW
−2MW
c2 −s2
cs MW
1
− cs
MW
(A.43)
A 4.. Acoplamientos con campos de fantasmas
Como antes, los vértices de campos cuánticos, tienen las reglas de Feynaman usuales.
Acoplamiento para Vb ḠG:
Ḡ1 , k1
pp
pp
pp
p>
pspp
pp
p
}p p p
p
Vbµ
= ie(k1 − k2 )µ C
(A.44)
G2 , k2
con los valores de Vb , Ḡ1 , G2 y C dados por
b ± u± , W
c ± ūA u∓ , W
c ∓ ū∓ uA Zbū± u± , W
c ± ūZ u∓ , W
c ∓ ū∓ uZ
Vb Ḡ1 G2 Aū
C
±1
∓ sc
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
(A.45)
INTRODUCCIÓN AL MODELO ESTÁNDAR EN EL BACKGROUND FIELD METHOD ELECTRODEBIL
177
Acoplamiento para V ḠG:
Ḡ1 , k1
pp
pp
Vµ
pspp
pp
p>
pp
p
}p p p
= iek1,µ C
(A.46)
p
G2 , k2
con los valores de V , Ḡ1 , G2 y C dados como en (A.45).
Acoplamiento para Vb Vb ḠG:
Vb1,µ
Ḡ1
pp
p
p
p
p
p>
pspp
pp
p
}p p p
p
Vb2,ν
= ie2 gµν C
(A.47)
G2
con los valores de Vb1 , Vb2 , Ḡ1 , G2 y C dados por
c±W
c ± ū± u∓ W
c+W
c − ūA uA W
c+W
c − ūA uZ , A
bZbū± u± W
c+W
c − ūZ uZ
Vb1 Vb2 Ḡ1 G2 W
bAū
b ± u± W
c+W
c − ūZ uA
A
ZbZbū± u±
C
− s22
−2 sc
2
2
2 sc2
(A.48a)
y
c+W
c − ū± u± A
bW
c ± ū± uA
Vb1 Vb2 Ḡ1 G2 W
bW
c ± ūA u∓
A
c ± ū± uA , A
bW
c ± ū± uZ
ZbW
c ± ūA u∓ , A
bW
c ± ūZ u∓
ZbW
c ± ū± uZ
ZbW
c ± ūZ u∓
ZbW
1
s2
c
s
− sc2
C
−1
2
(A.48b)
Acoplamiento para Vb V ḠG:
Vb1,µ
Ḡ1
pp
p
p
pp>p
pspp
pp
p
}p p p
p
V2,ν
= ie2 gµν C
(A.49)
G2
con los valores de Vb1 , Vb2 , Ḡ1 , G2 y C dados por
c ± W ± ū± u∓ W
c ± W ∓ ūA uA
Vb1 V2 Ḡ1 G2 W
b ± u±
AAū
C
− s12
1
c ± W ∓ ūA uZ , AZ
b ū± u± W
c ± W ∓ ūZ uZ
W
c±W
c ∓ ūZ uA , ZAū
b ± u± ZZ
b ū± u±
W
− sc
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
c2
s2
178
LUIS G. CABRAL-ROSETTI
y
c ± W ∓ ū± u± AW
b ± ū± uA ZW
b ± ū± uA , AW
b ± ū± uZ ZW
b ± ū± uZ
Vb1 V2 Ḡ1 G2 W
c ± AūA u∓ W
c ± Z ūA u∓ , W
c ± AūZ u∓ W
c ± Z ūZ u∓
W
1
s2
C
−1
(A.50)
2
− sc2
c
s
Acoplamiento para SbḠG:
Ḡ1
p
pp p
pp
p>
pspp
pp
p
}p p p
p
Sb
= ieC
(A.51)
G2
b Ḡ1 , G2 y C dados por
con los valores de S,
b ūZ uZ H
b ū± u± φb± ū± uA , φb± ūA u∓ φb± ū± uZ , φb± ūZ u∓
SbḠ1 G2 H
C − c21s MW − 1s MW
(A.52)
s
c MW
MW
Acoplamiento para S ḠG:
Ḡ1
p
pp p
pp
p>
pspp
pp
p
}p p
S
= ieC
(A.53)
pp
G2
con los valores de S, Ḡ1 , G2 y C dados por
S Ḡ1 G2
H ūZ uZ
H ū± u± χū± u± φ± ū± uA
1
i
C − 2c12 s MW − 2s
MW ∓ 2s
MW
MW
φ± ū± uZ
2
2
−s
− c 2cs
MW
φ± ūZ u∓
(A.54)
1
2cs MW
Acoplamiento para SbSbḠG:
Sb1
Ḡ1
p
pp p
pp
p>
pspp
pp
p
}p p p
p
Sb2
= ie2 C
(A.55)
G2
con los valores de Sb1 , Sb2 , Ḡ1 , G2 y C dados por
bH
b ūZ uZ H
bH
b ū± u±, φb+ φb− ū± u± φb+ φb− ūA uA φb+ φb− ūA uZ φb+ φb− ūZ uZ
Sb1 Sb2 Ḡ1 G2 H
χ
bχ
būZ uZ χ
bχ
bū± u±
φb+ φb− ūZ uA
C
− 2c21s2
− 2s12
−2
c2 −s2
cs
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
2
2 2
)
− (c2c−s
2 s2
INTRODUCCIÓN AL MODELO ESTÁNDAR EN EL BACKGROUND FIELD METHOD ELECTRODEBIL
179
y
b φb± ū± uA χ
Sb1 Sb2 Ḡ1 G2 H
bφb± ū± uA
b ūA u∓ φb± χ
φb± H
būA u∓
C
1
2s
b φb± ū± uZ χ
H
bφb± ū± uZ
b ūZ u∓ φb± χūZ u∓
φb± H
i
∓ 2s
1
2c
(A.56)
1
∓i 2c
b ḠG:
Acoplamiento para SS
Sb1
Ḡ1
pp
p
p
p
p
p>
pspp
pp
p
}p p p
p
S2
= ie2 C
(A.57)
G2
con los valores de Sb1 , S2 , Ḡ1 , G2 y C dados por
b ūZ uZ HH
b ū± u± φb± φ∓ ū± u± φb± φ∓ ūA uA φb± φ∓ ūA uZ φb± φ∓ ūZ uZ
Sb1 S2 Ḡ1 G2 HH
χ
bχūZ uZ χ
bχū± u±
φb± φ∓ ūZ uA
C
− 4c21s2
− 4s12
− 2s12
−1
c2 −s2
2cs
2
2 2
)
− (c4c−s
2 s2
y
b ± ū± uA χ
b ± ū± uZ Hφ
b ± ūZ u∓ χ
Sb1 S2 Ḡ1 G2 Hφ
bφ± ū± uA Hφ
bφ± ū± uZ χ
bφ± ūZ u∓
φb± H ūA u∓ φb± χūA u∓ φb± H ūZ u∓ φb± H ū± uZ φb± χūZ u∓ φb± χū± uZ
C
1
2s
2
i
∓ 2s
2
−s
− c4cs
2
1
4cs2
2
2
−s
±i c4cs
2
i
∓ 4cs
2
y
b ± u±
Sb1 S2 Ḡ1 G2 Hχū
χ
bH ū∓ u∓
C
(A.58)
∓ 4si 2
A 5.. Propagadores de los campos cuánticos
Bosones de Norma:
V = A, Z, W (MA = 0)
Vµ s
k
·
s Vν
= −i
gµν
k 2 − MV2
¸
= Vµν (k)
(A.59)
Fantasmas de Faddeev–Popov:
G = uA , uZ , u± (MuA = 0, MuZ = MZ , Mu± = MW )
k
p p p p p p sp Ḡ
G sp p p p -
=
i
2 = G(k)
k 2 − MG
(A.60)
Campos Escalares:
S = H, χ, φ (Mχ = MZ , Mφ = MW )
S s
k
sS
=
i
= S(k)
k 2 − MS2
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
(A.61)
180
LUIS G. CABRAL-ROSETTI
Campos Fermiónicos:
F =f
p
-
F s
sF̄
=
i(6 p + mF )
= F (k)
p2 − m2F
(A.62)
A 6.. Constantes de renormalización
Contratérminos en función de las diferentes autoenergı́as:
δZZbAb = 0.
(A.63)
¯
bA
b 2 ¯
(k ) ¯
∂ΣA
T
δZAbAb = −2δZe = −
¯
¯
∂k 2
.
(A.64)
δZHb = δZχb = δZφb = Re ΣH (MH2 ).
(A.65)
k2 =0
bb
Z
(MZ2 )
ΣA
T
,
MZ2
¯
bb
∂ΣTZ Z (k 2 ) ¯¯
= − Re
¯
¯ 2
∂k 2
δZAbZb = −2 Re
δZZbZb
k
¯
∂ΣT (k 2 ) ¯¯
= − Re
¯
¯
∂k 2
,
2
=MZ
cW
c
W
δZW
c
δZe =
2
δMW
=
δMZ2 =
δMH2 =
δmf =
,
2
k2 =MW
¯
bA
b 2 ¯
1 ∂ΣA
(k
)
¯
T
,
¯
¯ 2
2
∂k 2
k =0
³
´
cW
c
W
2
Re ΣT
(MW
) ,
³
´
bZ
b
2
Re ΣZ
T (MZ ) ,
³
´
bH
b
2
Re ΣH
(M
)
,
T
H
h ¯
i
1
¯
¯
mf Re ΣfLf (m2f ) + ΣfRf (m2f ) + 2ΣfSf (m2f ) ,
2
b
δt = −T H (tadpole).
δZfL
δZfRu
δZfRd
(A.66)
³ ¯
´¯¯
∂
fd fd 2
f¯d fd 2
f¯d fd 2 ¯
=
−
Re ΣL (k ) + ΣR (k ) + 2ΣS (k ) ¯
,
∂k 2
k2 =m2f
d
³ ¯
´¯¯
∂
f¯u fu
fu fu 2
f¯u fu 2
f¯u fu 2 ¯
2
2
= − Re ΣR (mfu ) − mfu 2 Re ΣL (k ) + ΣR (k ) + 2ΣS (k ) ¯
,
∂k
k2 =m2fu
³ ¯
´¯¯
∂
¯
¯
f¯d fd 2
= − Re ΣfRd fd (m2fd ) − m2fd 2 Re ΣLfd fd (k 2 ) + ΣR
(k ) + 2ΣSfd fd (k 2 ) ¯¯
.
∂k
k2 =m2
¯
− Re ΣLfd fd (m2fd )
m2fd
fd
(A.67)
Rev. Mex. Fı́s. 48 (2) (2002) 155–181
INTRODUCCIÓN AL MODELO ESTÁNDAR EN EL BACKGROUND FIELD METHOD ELECTRODEBIL
1. S. L. Glashow, Ph. D. Thesis. Harvard University (1958); S. L.
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(Ed. N. Svartholm). Almqvis and Wilsell, Stockholm (1968).
3. S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1264.
4. S. L. Glashow, J. Iliopoulos and L. Maiani, Phys. Rev. D2
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5. P. W. Higgs, Phys. Rev. Lett. 12 (1964) 132; P. W. Higgs, Phys.
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